Einstein inside: Relativitätstheorie als Ausstellung

„Einstein inside“ war eines der letzten Projekte des im letzten Jahr verstorbenen Astrophysikers Hanns Ruder: eine (zum Teil interaktive) Ausstellung zum 100. Jubiläum der Allgemeinen Relativitätstheorie, realisiert mit Hilfe der verschiedenen Institute, die sich in Deutschland mit Gravitation und Relativitätstheorie oder deren Anwendungen z.B. in der Astrophysik beschäftigen.

Äquivalenzprinzip und Krümmung

An einigen der Exponaten von „Einstein inside“ sieht man sehr schön, was das Medium Ausstellung für Möglichkeiten bietet, Aspekte der Relativitätstheorien erfahrbar zu machen, die es in anderen Medien nicht gibt. Das Zentrum für Angewandte Raumfahrttechnologie und Mikrogravitation (ZARM) in Bremen beispielsweise hat einen kleinen Mini-Fallturm beigesteuert. Ähnlich wie es auch bei dem großen, 146 Meter hohen Fallturm möglich ist, den das ZARM betreibt, wird darin eine kleine Kapsel von einem Kolben nach oben geworfen und fliegt dann im freien Fall erst nach oben und dann wieder nach unten. Die Kapsel, ein Ball, enthält einen Beschleunigungssensor, der seine Daten an einen Bildschirm meldet (in dem folgenden Kurzvideo ganz am Ende links eingeblendet). Daran kann man sehen, dass die Beschleunigung, die der Sensor meldet, während des Flugs auf Null sinkt:

Der freundliche Herr, der während dieses Videoclips erzählt, ist übrigens Hans-Peter Nollert aus Tübingen, gemeinsam mit Hanns Ruder Initiator und weiterhin die treibende Kraft hinter der Ausstellung. Hans-Peter hat die Besucher bei der heutigen Heidelberger Eröffnung durch die Ausstellung geführt.

Diese Schwerelosigkeit im freien Fall ist über das Äquivalenzprinzip einer der Bausteine der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ein weiterer Baustein ist die Geometrie, und konkret das Konzept der gekrümmten Raumzeit. Stellvertretend ist in der Ausstellung eine gekrümmte Kugelfläche vertreten, auf der man mithilfe von Schnüren (geradesten Strecken = Geodäten) die Winkelsumme von Dreiecken vermessen und feststellen kann, dass diese Winkelsumme anders als in der euklidischen Schulgeometrie mehr als 180 Grad beträgt:

Die erste Version des Modells hatte ich damals für die „MS Einstein“, das Wissenschaftsschiff im Einsteinjahr 2005 entwickelt. Hans-Peter Nollert hatte für die Ausstellung des SFB/Transregio 7 als schöne Ergänzung dann noch ein entsprechendes flaches Holzmodell hinzugefügt, in dem man sich überzeugen kann, dass die Winkelsumme in der ebene tatsächlich 180 Grad beträgt.

Gravitationslinsen und Gravitationswellen

Auch zu den interessanten Anwendungen der Theorie finden sich in der Ausstellung hübsche Exponate. Eines davon ist das Gravitationslinsenmodell; die Gravitationslinse, im Original eine Masse, die allein aufgrund ihrer Gravitationsanziehung das Licht ablenkt, ist dabei durch eine geeignet geformte Glaslinse ersetzt die das dahinterliegende Bild genau so verzerrt, wie es auch im Falle einer Gravitationslinse verzerrt wäre. In der Ausstellung sind die Hintergrundbilder sehr schön gewählt, von einem elementaren geometrischen Gitter links bis hin zu geeigneten astronomischen Motiven:

Was die Gravitationswellen angeht, so bietet Einstein inside ein kleines Michelson-Interferometer, mit dem man die Empfindlichkeit selbst sehr einfacher Instrumente dieses Typs selbst erfahren kann – den deutlich komplizierteren Versionen der LIGO-Gravitationswellendetektoren ist ja letzten September der erste Nachweis einer Gravitationswelle gelungen. Außerdem gibt es ein mechanisches Exponat, das die Verzerrungen und Abstandsänderungen deutlich macht, die beim Durchgang einer Gravitationswelle auftreten:

Das ist die mechanische Version der Animationen, die ich ja auch in Was sind eigentlich Gravitationswellen gezeigt hatte.

Ein alter Bekannter bei „Einstein inside“

Und auch ein alter Bekannter darf nicht fehlen: Das relativistische Fahrrad als vermutlich bekannteste Erfindung von Hanns Ruder und seiner Tübinger Gruppe, entwickelt für das Einsteinjahr 2005. Mit dem Fahrrad kann man durch Tübingen fahren; freilich in einem Universum, in dem die Lichtgeschwindigkeit künstlich auf 30 km/h herabgesetzt wurde. So werden Effekte der relativistischen Optik auch im Alltagskontext sichtbar:

Wir, also das Haus der Astronomie, haben ein nicht-interaktives Exponat beigetragen, nämlich ein Modell im Maßstab 1:10 des Astrometrie-Satelliten Gaia:

Gaia-Modell in der Ausstellung "Einstein inside"Gaia vermisst die Position von rund einer Milliarde Sternen so genau, dass relativistische Lichtablenkungs-Effekte dabei zwingend berücksichtigt werden müssen, um die angestrebte Genauigkeit zu erreichen.

Institutionen, die an der Ausstellung "Einstein inside" beteiligt sind.Insgesamt kann ich die Ausstellung allen Interessierten nur empfehlen. Sie ist noch bis zum 4.11. in Heidelberg zu sehen; weitere Ausstellungsorte sind dann auf der Webseite zur Ausstellung zu finden.

Wer in der Nähe ist: Es gibt auch eine Vortragsreihe zur Ausstellung, und am 12. Oktober eine Fortbildung und Führung für Lehrer.

Rechts die Liste der beteiligten Institute und der Agentur, die das Design der Ausstellung entworfen und umgesetzt hat. Finanziert wird die Ausstellung vom Bundesforschungsministerium und der WE Heraeus-Stiftung. Die lokale Organisation hier in Heidelberg liegt bei Guido Thimm vom Zentrum für Astronomie der Universität Heidelberg.

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Markus Pössel hatte bereits während des Physikstudiums an der Universität Hamburg gemerkt: Die Herausforderung, physikalische Themen so aufzuarbeiten und darzustellen, dass sie auch für Nichtphysiker verständlich werden, war für ihn mindestens ebenso interessant wie die eigentliche Forschungsarbeit. Nach seiner Promotion am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut) in Potsdam blieb er dem Institut als "Outreach scientist" erhalten, war während des Einsteinjahres 2005 an verschiedenen Ausstellungsprojekten beteiligt und schuf das Webportal Einstein Online. Ende 2007 wechselte er für ein Jahr zum World Science Festival in New York. Seit Anfang 2009 ist er wissenschaftlicher Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Astronomie in Heidelberg, wo er das Haus der Astronomie leitet, ein Zentrum für astronomische Öffentlichkeits- und Bildungsarbeit. Pössel bloggt, ist Autor/Koautor mehrerer Bücher, und schreibt regelmäßig für die Zeitschrift Sterne und Weltraum.

204 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Lieber Herr Pössel,
    ich lese bei Ihnen:
    „Gravitation ist keine Kraft, sondern Eigenschaft der Raumzeit-Geometrie.“

    Können Sie mir bitte sagen, welche Kraft den Shoemaker 1994 in 21 Fragmente zerlegt hat? War es eine psyschische Kraft, die den Kometen beim Anblick des großen Jupiter vor lauter Ehrfurcht zerplatzen ließ?

    Und wie steht es mit den Gezeitenkräften, die jeder Küstenbewohner tagtäglich mindestens zweimal erlebt? Handelt es sich um eine Raumzeitkrümmung, welche der Mond an der Erdoberfläche auslöst, oder müssen wir wieder auf die Mythologie rekurrieren? Bringt Poseidon regelmäßig das Meer in Wallung, wenn er mit Amphitrite schläft?

    Die Schwerkraft hat ja seit 1915 ausgespielt, wie Einstein lehrte, und Sie offenbar auch glauben.

    Für eine erschöpfende Einordnung der Gezeitenkräfte in die kraftlose Allgemeine Relativitätstheorie wäre ich Ihnen dankbar.

    Mit besten Grüßen,
    Wolfgang Engelhardt

    • Lieber Herr Engelhardt,
      beschäftigen Sie sich doch einfach mal mit der Theorie Einsteins, über die Sie hier auf diesem Blog so beißende Kritik äußern – was Sie hier fragen, wird in so gut wie jedem einführenden Lehrbuch zur Allgemeinen Relativitätstheorie vorgerechnet!

      Die kurze und vereinfachte Antwort ist: Alles, was die Newton’sche Theorie der Gravitation (Punktmechanik plus Newton’sches Gravitationsgesetz) voraussagt, kann man im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie[1] als ortsabhängige Verzerrung der Zeit[2] beschreiben. Bei der Beschreibung der Gezeitenkräfte kommt dabei in der Tat der auf die Zeit bezogene Anteil der Raumzeitkrümmung ins Spiel; die Quellen sind dabei in guter Näherung dieselben Massen wie bei Newton.

      Alles mathematisch direkt beschreibbar. Das als Mythologie, psychische Einflüsse oder sonstwelche außerphysikalischen Wirkungen abzutun ist reine Polemik und wischt eine zentrale Gemeinsamkeit unter den Teppich: hie wie dort, bei Einstein wie bei Newton, haben wir es mit mathematischen Modellen zu tun, die quantitativ richtig vorhersagen, was in den von Ihnen genannten Beispielsituationen geschieht.

      Auch mit der klassischen Physik kann man übrigens einsehen: Damit ein Komet zerplatzt oder ein Ozean relativ zum Land schwappt, reicht es, dass die entsprechenden Objekte/Teilobjekte relativ zueinander eine Beschleunigung erfahren. Ob die von einer Kraft herrührt ist für die Konsequenzen egal!

      Mit den besten Grüßen,

      Markus Pössel

      [1] genauer: in einem dem klassischen möglichst nahen Koordinatensystem
      [2] genauer: unterschiedlicher Gang von Uhren, die an unterschiedlichen Orten in unserer Situation ruhen und deren Ganggeschwindigkeit wir mit Lichtsignalen vergleichen

      • @Markus Pössel

        »[2] genauer: unterschiedlicher Gang von Uhren, die an unterschiedlichen Orten in unserer Situation ruhen und deren Ganggeschwindigkeit wir mit Lichtsignalen vergleichen«

        Es erschliesst sich mir nicht recht, was Sie Herrn Engelhardt damit vermitteln wollten.

        Dass gemäss der RT alle (als ideal anzunehmenden) Uhren gleich rasch gehen, folgt unmittelbar aus der Prämisse, dass sie die Passage von Eigenzeit messen resp. anzeigen. Insbesondere hat die CGPM die SI-Sekunde als eine Einheit von Eigenzeit festgelegt, konsequenterweise ortsunabhängig, sodass zwei im SI-Sekundentakt tickende Uhren, von denen sich eine in Braunschweig und die andere in Boulder, CO, befinden möge, gleich rasch ticken. Gleichwohl ticken solche Uhren bekanntlich nicht synchron, was jedoch gar nichts mit deren Ganggeschwindigkeit zu tun hat.

        Eine Geometrisierung von Schwerkraft ist zudem kein Privileg der GR, das funktioniert vergleichbar auch ganz klassisch (d.h. ohne Einstein) und wird dann gemeinhin unter Newton-Cartan Theorie gehandelt. Die NCT ist zur Newtonschen Gravitation observationell äquivalent, nur eben ohne Gravitationskraft, und überdies ziemlich unverdächtig, an Verzerrungen der Zeit zu leiden.

        • Ihre Kritik lässt bequemerweise außer acht, dass in meiner Fußnote vom Vergleich mittels Lichtsignalen die Rede war. Und wenn ein Physiker in der (ruhig als statisch angenommenen) Situation, mit der wir es hier zu tun haben, sich anschickt, Ganggeschwindigkeiten von Uhren mittels Lichtsignalen zu vergleichen, bekommt er je nach Lage der Uhr unterschiedliche Resultate. Mehr wollte ich nicht sagen, und mehr steht in der Fußnote auch nicht drin, soweit ich sehen kann.

          Ohne Messverfahren, wie man die Aussage überprüfen soll, macht eine Aussage wie „gleich rasch ticken“ ja auch keinen rechten Sinn.

          Wieviel des Unterschiedes auf die Ganggeschwindigkeit selbst (was immer das heißen soll; Sie argumentieren so, nicht ich) und wieviel auf das Vergleichsverfahren zurückgeht, lasse ich an dieser Stelle offen. Und ja, ich kenne Newton-Cartan-Theorie – warum sollte ich Herrn Engelhardt, der ja nun ausdrücklich nach der ART gefragt hat, damit verwirren? Und wo habe ich behauptet, Geometrisierung sei ein „Privileg der ART“? Irgendwie kritisieren Sie in Ihrem Kommentar jede Menge Dinge, die ich hier gar nicht behauptet habe.

          • @Markus Pössel / 31. Dezember 2016 @ 15:44

            Welchen theoriebedingten Sinn Sie darin sehen wollen, »Ganggeschwindigkeiten von Uhren mittels Lichtsignalen zu vergleichen,« leuchtet mir leider nach wie vor nicht ein. Der einzige Wert für Ganggeschwindigkeit, die gemäss der RT einer Uhr in einer Raumzeit natürlicherweise zukommt, ist die Pseudo-Norm der Ableitung u'(s) ihrer nach Eigenzeit s parametrisierten Weltlinie u. Und dieser Wert ist dann für alle Uhren zu jedem Zeitpunkt derselbe.

            »Ohne Messverfahren, wie man die Aussage überprüfen soll, macht eine Aussage wie „gleich rasch ticken“ ja auch keinen rechten Sinn.«

            Dass eine SI-Sekunde in Boulder genauso lange dauert wie in Braunschweig, lässt sich im Rahmen der RT nicht durch Messung überprüfen. Das ist als axiomatisch getroffene Festsetzung postuliert, indem die SI-Sekunde als eine Einheit von Eigenzeit deklariert wurde. Dass mithin zwei als ideal gedachte, im SI-Sekundentakt tickende und an den genannten Orten befindliche Uhren gleich rasch ticken, ergibt sich als logische Implikation und ist in der RT gar nicht hinterfragbar.

            Herrn Engelhardt wäre zunächst womöglich mehr mit dem Hinweis darauf gedient, dass eine Geometrisierung von Gravitation nicht zwangsläufig an Relativität und Einstein geknüpft ist. Wenn er damit bereits vertraut wäre, hätte er seine Frage gewiss nicht so formuliert, wie er es hier getan hat, aber dazu sollte er sich am besten selbst äussern.

          • Warum sollte man nicht tickende Uhren, also das, was man im Alltag unter „Ganggeschwindigkeit“ versteht, mithilfe von Lichtgeschwindigkeit vergleichen? Ich argumentiere hier nicht für das Niveau von jemandem, der die Theorie bereits halbwegs verstanden hat, sondern habe versucht, mit wenigen Worten (um nicht vom eigentlichen Thema der Frage abzulenken) zu skizzieren, worum es hier ungefähr geht.

            Und wenn Sie meinen, dass Herrn Engelhardt auf andere Weise besser geholfen wäre: Probieren Sie’s doch einmal aus und antworten Sie direkt! Sie sehen ja, was er direkt da unten neu gefragt hat. Mein Eindruck ist eher, dass eine Antwort auf noch einfacherem Niveau ansetzen sollte als meine letzte, und ganz sicher als Ihre Komplikationen, aber wie gesagt: Probieren Sie’s doch mal selbst!

        • Chrys schrieb (2. Januar 2017 @ 12:28):
          > »Ganggeschwindigkeiten von Uhren […]

          Mit Ganggeschwindigkeit bzw. Gangrate einer Uhr „A := (A, t)“ ist sinnvoller Weise vor allem der (Durchschnitts-)Wert

          (t[ A_f ] – t[ A_i ]) / τA[ _i, _f ]

          gemeint,
          bzw. der Grenzwert (falls einer existiert) solcher Durchschnittswerte im Übergang
          τA[ _i, _f ] → 0,

          oder kurz und formal: Δ t / Δ τA;

          wobei
          – A die (geordnete) Menge der Anzeigen eines bestimmten betreffenden Beteiligten bezeichnet,
          die insbesondere die in Betracht gezogene initiale und finale Anzeige beinhaltet:
          A_i, A_f ∈ A,

          – t : A → ℝ
          eine bestimmte (reell-wertige, i.A. monotone) Parametrisierung dieser Anzeigenmenge, und

          – τA[ _i, _f ] die Dauer dieses Beteiligten zwischen (einschl.) dessen Anzeigen A_i und A_f.

          Man beachte, dass diese Definition auch die Möglichkeit der Bewertung nahelegt, ob eine gegebene Uhr „gut“ war, d.h. ob für je drei verschiedene Anzeigen A_n, A_p, A_q galt

          (t[ A_p ] – t[ A_n ]) τA[ _n, _q ] = (t[ A_q ] – t[ A_n ]) τA[ _q, _p ];

          oder falls nicht, dann sogar zu bewerten, in wie fern nicht.

          > die Pseudo-Norm der Ableitung u'(s) ihrer nach Eigenzeit s parametrisierten Weltlinie u.

          Sofern mit „ u'(s) “ die „Ableitung der Funktion u nach ihrem Argument s“ notiert sein soll,
          und wir Einsteins Ansatz ernstnehmen, dass wir

          an Stelle der „Zeit“ die „Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr“ [bzw. „Anzeige“] setze[n]

          ,
          dann sollte „s“ hier besser „Dauer“ genannt werden,

          s ≡ τ“

          (wie bekanntlich auch in der SI-Definition der Einheit „Sekunde“ angedeutet wird).

          > Und dieser Wert ist dann für alle Uhren zu jedem Zeitpunkt derselbe.

          Gemeint ist vermutlich, dass in jedem Fall als Wert die Signalfrontgeschwindigkeit erhalten würde.
          (Allerdings bleibt dann fraglich, wie die Unterscheidung zwischen „guten“ Uhren und anderen Uhren überhaupt nachvollziehbar zu definieren wäre.)
          > Dass eine SI-Sekunde in Boulder genauso lange dauert wie in Braunschweig, lässt sich im Rahmen der RT nicht durch Messung überprüfen.

          Im Rahmen der RT wird allerdings definiert, wie sich Verhältnisse der Dauern von Uhren zwischen bestimmten Paaren ihrer Anzeigen messen lassen.

          Und das ist gemäß der SI-„Sekunden“-Definition sogar praktisch notwendig, nämlich um zu messen, ob eine gegebene (durch die Anzahl von Cs133-Perioden parametrisierte) Uhr „ungestört“ bzw. „auf [gleiche] Cs133-Atome in Ruhe und bei 0 K referenziert“ gewesen wäre, oder in wie fern nicht.

          Aber es stimmt: aus der Definition ergibt sich die Gleichheit der SI-Sekunden (bei erfolgreicher Messung).

          > Das ist als axiomatisch getroffene Festsetzung postuliert,

          (Diese Formulierung verträgt sich nicht mit dem Begriff von Axiomen als an sich nicht hinterfragbaren begrifflichen Selbstverständlichkeiten, durch deren Einsatz die verschiedensten Festsetzungen, Postulate, Definitionen überhaupt erst formuliert werden können.)

          > indem die SI-Sekunde als eine Einheit von Eigenzeit [Dauer] deklariert wurde

          Die (im Rahmen der RT nachvollziehbare) Messbarkeit von Dauer-Verhältnissen ist jedoch nicht an die Wahl irgendwelcher Einheiten gebunden. (Die sind lediglich von praktisch-ingenieur-administrativem Interesse.)

          > Dass mithin zwei als ideal gedachte, im SI-Sekundentakt tickende und an den genannten Orten befindliche Uhren gleich rasch ticken, ergibt sich als logische Implikation und ist in der RT gar nicht hinterfragbar.

          Stimmt. Aber es besteht im jedem Fall die praktische(re) Frage, ob zwei konkrete gegebene Uhren überhaupt mit gleichen (Durchschnitts-)Raten tickten, oder in wie fern nicht; insbesondere, während sie voneinander getrennt waren.

          > […] mittels Lichtsignalen zu vergleichen«

          Einleuchtender Weise, und (insbesondere gemäß Einsteins Forderung) auf Koinzidenzfeststellungen hinauslaufend, natürlich durch das Aufsuchen von geeigneten (hinreichend ausgedehnten und feinen) Ping-Koinzidenz-Gittern.

  2. Lieber Herr Pössel,
    von einem Krankenhausaufenthalt genesen lese ich Ihre Antwort, für die ich mich herzlich bedanke. Natürlich habe ich Lehrbücher konsultiert wie z.B. die Himmelsmechanik von Bucerius, wo die Gezeitenkräfte ausführlich im Rahmen der Newtonschen Mechanik behandelt werden. Allerdings finde ich dort keinen Zusammenhang zwischen der Raumzeitkrümmung der ebenfalls ausführlich behandelten ART und jenen Gezeitenkräften, die einen Kometen entgegen den inneren Federkräften zerreißen können.

    Ich wäre Ihnen sehr dankbar wenn Sie mir ein geeignetes Lehrbuch nennen könnten, welches ein so einfaches Problem wie ein Pfund Butter im Gleichgewicht auf einer Federwaage mit Hilfe der „ortsabhängigen Verzerrung der Zeit“ behandeln würde. Nach meiner altmodischen Vorstellung presst die Schwerkraft die Feder zusammen bis Gleichgewicht herrscht, doch weiß ich nicht wie die Butter die Zeit derart verzerrt, dass der gleiche Effekt auf die Feder ausgeübt wird, den ich übrigens auch mit Muskelkraft erzeugen könnte.

    Die Gewichtheber können ein Lied davon singen, wie schwer es ist, gegen die Schwerkraft anzukämpfen. Sie wissen natürlich nicht, dass die Schwerkraft eine Illusion ist und sie sich allein gegen eine verzerrte Zeit abmühen, welche durch die Gewichte auf der Hebestange erzeugt wird. Profunde Aufklärung tut hier sicher not, denn ich kann diese Probleme ohne weiteres im Newtonschen Modell beschreiben, aber ich finde keinen Zugang im Rahmen von Einsteins ART. Ihre Leser vermutlich auch nicht.

    Die Teile des Kometen erfahren übrigens keine Beschleunigung bevor sie auseinander bersten. Sie geraten bei Annäherung an den Jupiter nur in einen übermäßigen Spannungszustand der ihre inneren Federkräfte übersteigt. Nach meiner altmodischen Vorstellung ist dafür die Schwerkraft verantwortlich, doch nach der modernen Theorie gibt es diese nicht. Warum in aller Welt zerplatzt dann der Komet in Jupiternähe? Ihre Erklärung mit Hilfe eines „unterschiedlichen Gangs von Uhren, die an unterschiedlichen Orten in unserer Situation ruhen und deren Ganggeschwindigkeit wir mit Lichtsignalen vergleichen“ ist wenig befriedigend, denn weder gibt es auf dem Kometen Uhren, noch wird deren Ganggeschwindigkeit von irgendjemand mit Lichtsignalen verglichen.

    Schließlich wird die Sache völlig obskur, wenn wir einen Satelliten betrachten, der aus einer Hohlkugel besteht. Sein Schwerpunkt mag sich auf einer geodätischen Linie kraftfrei um ein Gravitationszentrum bewegen, doch in der Mitte gibt es keine Masse, während alle Massenpunkte auf der Schale wegen der Federkräfte nicht auf geodätischen Linien um das Zentrum kreisen können. Sollten wir vielleicht doch zur Newtonschen Physik zurückkehren und die Esoterik der ART den unverbesserlichen Relativisten überlassen? In der Praxis tun wir das ohnehin und „überlassen den Himmel den Engeln und den Spatzen“ (H.H).

    Mit den besten Wünschen für ein erfolgreiches neues Jahr, sei es mit oder ohne ART,
    Wolfgang Engelhardt

    • @Dr.Wolfgang Engelhardt;
      Wie lange wollen Sie Ihre Widerlegung der RT noch aufrechterhalten, obwohl sie längst selber widerlegt wurde. Es ist jedoch typisch für die Leugner der RT (es sind immer dieselben Namen), dass sie nie ihre Irrtümer einsehen und penetrant ihre „Wahrheiten“ verkünden. Diskussionen sind daher fruchtlos.
      http://www.relativ-kritisch.net/blog/kritiker/wolfgang-engelhardt-und-sein-unsinn-uber-das-gps-und-die-srt

      Wolfgang Engelhardt ist RelativKritisch seit 2007 bekannt. In diesem Jahr trat er erstmals bei der Jahresversammlung der inzwischen aufgelösten GFWP in Salzburg auf. Schon damals war er davon überzeugt, dass der Sagnac-Effekt im Widerspruch zur SRT steht. Dies dürfte nicht zuletzt der Grund dafür gewesen sein, dass er Harald Maurer bei den Vorbereitungen zu seinem Jupiter-Experiment im Herbst 2008 als wissenschaftlicher Berater zur Seite stand.

      • Herr reutlinger,
        ich habe Ihnen bereits geantwortet, aber meine Antwort wurde hier nicht veröffentlicht. Sie schreiben:
        „…obwohl sie längst selber widerlegt wurde.“ Ganz richtig! Einstein hat sie (die SRT) 1938 selber widerlegt. Siehe mein Beitrag in ResearchGate: „Einstein’s Third Postulate“ oder in Kurzform: „Einsteins eigene Widerlegung seiner Theorie“.

        Sie zitieren: „Schon damals war er davon überzeugt, dass der Sagnac-Effekt im Widerspruch zur SRT steht.“ Diese „Überzeugung“ ist mittlerweile durch eine strikte Beweisführung gefestigt worden, welche in den Annales de la Fondation Louis de Broglie, volume 40 (2015) 149, nach akribischer Prüfung veröffentlicht wurde.

  3. Hier hatten wir mal eine interessante Diskussion zum Thema: Uhren auf einem rotierenden Geoid.

    http://astronews.com/forum/showthread.php?7915-Relativitätstheorie-eine-Frage&p=109627#post109627

    Der Gang einer sehr genauen Atomuhr hängt also nicht von irgendwelchen physikalischen Faktoren ab, sondern allein von der Höhe über dem Meeresspiegel.

    @Herrn Engelhardt

    Wie erklären sie dieses Phänomen ohne die Raumzeit?

    Die Rt wusste davon jedenfalls schon lange, bevor man es messen konnte.

  4. @Markus Pössel / 2. Januar 2017 @ 13:46

    Nehmen wir als simplen Fall einmal an, die paradoxen Zwillinge seien mit idealen Uhren ausgestattet, und jeder sendet im periodischen Sekundentakt seiner Uhr Lichtsignale aus. Dann empfängt jeder die Abfolge der Signale des anderen zeitweilig zunächst in verlängerten, und irgendwann später in verkürzten Intervallen. Wenn nun einer angesichts solcher Verlängerung/Verkürzung sagte, „Aha, gerade geht die Uhr meines Zwillings langsamer/schneller als die meine,“ so hat er zu beachten, dass eine Interpretation seiner Beobachtung stets erfolgt unter der Bedingung, dass die Signale, wie vereinbart, im isochronen Eigenzeit-Sekundentakt der Zwillingsuhr gesendet wurden. Da Eigenzeit-Sekunden invariant sind, kann diese Uhr ihren Gang dann aber nicht verändert haben, und somit hängt die Interpretation, die Zwillingsuhr ginge langsamer/schneller, von der Prämisse ab, dass sie nicht langsamer/schneller gegangen ist. Dieser Widerspruch löst sich auf, wenn die Zwillinge bei ihrem Uhrenvergleich mit Lichtsignalen die verlängerten/verkürzten Signalintervalle gar nicht auf den Gang ihrer Uhren, sondern vielmehr auf ihre (durch relative Bewegung bedingte) unterschiedliche Beurteilung von Gleichzeitigkeit beziehen.

    Entsprechend können die Braunschweiger nicht gut sagen, „Aha, die Uhr in Boulder geht schneller als die unsere,“ wenn in Braunschweig deren Abfolge von Zeitsignalen in verkürzten Intervallen registriert wird. Zutreffend ist hingegen, dass Gleichzeitigkeit in Braunschweig anders beurteilt wird als in Boulder, was nun durch Gravitation und den unterschiedlichen Abstand zum Geoid bedingt ist.

    Geometrisierung von Gravitation. David Malament hat dazu einen einführenden Abschnitt (3.2 Geometrized Newtonian Gravitation Theory) in seinem Übersichtsartikel, der dankenswerterweise frei erhältlich ist, und mit diesem Hinweis mag ein jeder hier nach Belieben verfahren. Malament hat noch mehr zur NCT verfasst und geht dann u.a. auch die geodätische Abweichung explizit ein, doch ich denke, ich belasse es besser erst einmal bei diesem einen Link.

    • Bei den bewegten Zwillingen: Wie würden Sie denn analog dazu den Dopplereffekt beschreiben? Da ist die Situation (Eigenfrequenz vs. gemessene Frequenz) ja durchaus ähnlich.

      Wichtige Unterschiede zwischen bewegten Zwillingen und Boulder/Braunschweig: Das passiert in guter Näherung in einer statischen Raumzeit, beide Uhren ruhen in dieser Raumzeit relativ zu den an die Statizität (Statik?) angepassten Koordinaten, und die Situation ist nicht symmetrisch. Aufgrund der Statizität bekommt das Argument, dass jedes von zwei aufeinanderfolgenden Lichtsignale gleich viel „Laufzeit“ auf dem Hinweg bzw. Rückweg gebraucht hat, und daher Unterschiede in den Ankunftsintervallen einen anderen Grund haben müssen, besondere Prägnanz.

      Aufgrund der Asymmetrie kann ich die Überprüfung auch mit Uhrentransport vornehmen: Vergleichsuhr in aufeinanderfolgenden Versuchen in gleicher Weise von A nach B transportiert und in gleicher Weise zurück; einziger Unterschied: Eigenzeit-Verweildauer bei B. Uhrenvergleich zeigt: Anzeigeunterschiede bei Wiederankunft an A ergeben sich als Summe von konstantem Beitrag und Beitrag proportional zur Eigenzeit-Verweildauer. Bei den relativ zueinander gleichberechtigt bewegten Zwillingen funktioniert so ein Direkt-Vergleich nicht; irgendwie sollte der Sprachgebrauch diesen Unterschied wiedergeben.

      • Markus Pössel schrieb (3. Januar 2017 @ 12:10):
        > die Statizität (Statik?) […]

        (Opto-)Chronometrische Starrheit (zweier voneinander getrennter Beteiligter gegenüber einander).
        D.h. jeweils konstante, aber nicht unbedingt gegenseitig gleiche Ping-Dauern.
        (Selbstverständlich koordinatenfrei.)

        • In diesem Falle war tatsächlich die deutsche Entsprechung von „static space-time“ gemeint. Konstante Ping-Dauern sollte man auch im allgemeineren Falle einer stationären Raumzeit („stationary“) bekommen.

      • Markus Pössel schrieb (3. Januar 2017 @ 13:51):
        > In diesem Falle [3. Januar 2017 @ 12:10] war tatsächlich die deutsche Entsprechung von „static space-time“ gemeint.

        Tatsächlich. Aber (insbesondere auch) notwendiger Weise?

        Dass es auf solche Feinheiten ankäme, um Vergleiche zwischen Boulder und Braunschweig anzustellen, hatte ich nicht in Betracht gezogen; Entschuldigung.

        > Konstante Ping-Dauern sollte man auch im allgemeineren Falle einer stationären Raumzeit („stationary“) bekommen.

        Einseitig jeweils konstante (aber dabei nicht unbedingt gegenseitig gleiche) Ping-Dauern (zwischen mindestens zwei bestimmten, voneinander getrennten Beteiligten) sind ja nicht mal hinreichend, um die Raumzeit, in der die betreffenden Beteiligten enthalten waren, als „stationär“ zu charakterisieren. (Sondern sind auch für wesentlich allgemeinere Charakterisierungen zu gebrauchen; z.B. von Raumzeiten mit „Gravitationswellen“.)

        (Im Zusammenhang mit solch feinen Unterscheidungen stellt sich (mir) übrigens die Frage, ob „(exakte) Stationarität“ notwendiger Weise insgesamt „schon immer genau so gewesen, und für ewig genau so bleiben“ müsste, oder einen Anfang innerhalb einer (noch) nicht ganz „stationären Raumzeit“ haben könnte; z.B. in Verbindung mit einem gewissen „beobachtbaren astronomischen Ereignis“: „als die Emission von Gravitationswellen aufhörte“. (Von Interesse ist dabei natürlich besonders eine absehbare koordinaten-freie Darstellung des Themas.))

        > Uhrentransport […] Bei den relativ zueinander gleichberechtigt bewegten Zwillingen funktioniert so ein Direkt-Vergleich nicht

        Doch zumindest in beliebiger Näherung: entsprechend „schneller“ Uhrentransport.
        (Wobei natürlich auch in diesem Falle die eigentliche Unbekannte und letztendliche Messgröße ist und bleibt, ob die transportierte „Vergleichsuhr“ während der Transporte und während des Versuchs insgesamt „gut“ gewesen wäre, oder in wie fern nicht.)

        p.s.
        > Eigenfrequenz vs. gemessene Frequenz

        Gemeint ist sicherlich
        „Frequenz (eines bestimmten Beteiligten) von (dessen bestimmten Sende-)Anzeigen
        vs.
        Frequenz (eines bestimmten Beteiligten) von (dessen bestimmten) Anzeigen der Wahrnehmung bzw. des Empfangs (von Anzeigen eines bestimmten anderen Beteiligten)“
        .

        Messbar, und insbesondere miteinander vergleichbar, sind natürlich beide diese Frequenz-Arten;
        und seit einem reichlichen Menschenleben wird das, was messbar ist, so gründlich und umfassend als charakteristisch und eigentümlich und vorrangig nachvollziehbar für die betreffenden, dadurch (ggf. im Zusammenhang, als System) charakterisierten Beteiligten aufgefasst, dass eine ausdrücklich Nennung dieses Eigen-Bezugs
        unüblich geworden ist (zumindest unter Physikern) und eher von Unverständnis der Physik-Errungenschaften des 20. Jh.s zeugt.

      • @Markus Pössel / 3. Januar 2017 @ 12:10

        Ein Senden von Lichtsignalen im diskreten Sekundentakt lässt sich schlüssig umdeuten als kontinuierliche Transmission einer 1 Hz-Welle. Misst der Empfänger dann mit seiner Uhr mehr als eine Sekunde für die Abfolge der eintreffenden Lichtsignale, entspricht das einem redshift dieser Welle, misst er hingegen weniger als eine Sekunde, einem blueshift.

        Beim Uhrenvergleich zwischen Braunschweig und Boulder wollte ich mich hinsichtlich der Methode zum Signaltransfer vorsichtshalber nicht so genau festlegen, denn wie so etwas dann zu bewerkstelligen ist, gehört prinzipiell auch zu den Fragen, die sich bei der Entwicklung von chronometrischer Geodäsie stellen. Von “optical frequency transfer” ist da u.a. die Rede, doch es bräuchte nun jemanden, der einem halbwegs laientaugich nahebringen kann, was das ist und wie es funktioniert.

        Die dem Alltag entlehnte Vorstellung, dass von zwei nicht synchron gehenden Uhren eine wohl langsamer gehen müsse als die andere, ist in den Köpfen schon ziemlich fest verwurzelt, wie sich sogar bei manchen mit der uhren-basierten Erdvermessung befassten Autoren zeigt. Da werden die Uhren auf einem tieferen Gravitationsiveau mit Hinweis auf die GR gerne leichthin als die langsameren behauptet. Korrekt wäre, dass das Verhältnis SI-Sekunde/TAI-Sekunde mit zunehmender Höhe über dem Geoid kleiner wird, wobei es die SI-Sekunde ist, die hierbei eine Konstante darstellt. Folglich dauert eine auf 15 Minuten(UTC) angesetzte Kaffeepause in Boulder geringfügig länger als in Braunschweig, so paradox das auch klingen mag.

        • Chrys schrieb (4. Januar 2017 @ 11:26):
          > Korrekt wäre, dass das Verhältnis SI-Sekunde/TAI-Sekunde mit zunehmender Höhe über dem Geoid kleiner wird

          Über welchemGeoid genau? Und „Höhe“ in welcher Richtung? (Ganz zu schweigen von: Wie weit?) …

          Koordinatenfrei-relativistisch ist, die geometrischen Beziehungen zwischen voneinander getrennten Kaffetrinkern (zuerst!) zu ermitteln und (daraufhin!) zu berücksichtigen, um (zur Charakterisierung dieser Kaffetrinkenden insgesamt) zu ermitteln, wessen Kaffeepause länger dauerte.

          • @Frank Wappler / 4. Januar 2017 @ 13:55

            Zu diversen Fragen hinsichtlich chronometrisch-geodätischer Messungen scheint mir dieses Paper von Kopeikin et al. (2016) vielleicht noch aufschlussreich zu sein.

            »Über welchem „Geoid“ genau?«

            Über jenem Geoid, auf welches sich das Comité Consultatif pour la Définition de la Seconde 1980 bei seinen Erörterungen zur TAI-Sekunde bezogen hat.

            »Koordinatenfrei-relativistisch ist, die geometrischen Beziehungen zwischen voneinander getrennten Kaffetrinkern (zuerst!) zu ermitteln und (daraufhin!) zu berücksichtigen, um (zur Charakterisierung dieser Kaffetrinkenden insgesamt) zu ermitteln, wessen Kaffeepause länger dauerte.«

            Die schlechte Nachricht ist, dass TAI (und mithin UTC) explizit als Skala von Koordinatenzeit anzusehen ist, siehe SI Brochure, Appendix 2.

        • Chrys schrieb (5. Januar 2017 @ 00:31):
          > Zu diversen Fragen hinsichtlich chronometrisch-geodätischer Messungen scheint mir dieses Paper von Kopeikin et al. (2016) vielleicht noch aufschlussreich zu sein.

          Aufschlussreich jedenfalls dahingehend, wie wenig die dort u.a. vorgeführte Auffassung (oder doch nur bloße Wortgirlande?)

          […] a different rate of the proper time at
          different points of space with different values of the
          gravitational potential […]

          der Auffassung (2. Januar 2017 @ 12:28) entspricht:

          Der einzige Wert für Ganggeschwindigkeit, die gemäss der RT einer Uhr in einer Raumzeit natürlicherweise zukommt, ist die Pseudo-Norm der Ableitung u'(s) ihrer nach Eigenzeit s parametrisierten Weltlinie u. Und dieser Wert ist dann für alle Uhren zu jedem Zeitpunkt derselbe.

          oder (meinetwegen) gar der Auffassung (3. Januar 2017 @ 12:23):

          Mit Ganggeschwindigkeit bzw. Gangrate einer Uhr „A := (A, t)“ ist sinnvoller Weise vor allem der (Durchschnitts-)Wert
          (t[ A_f ] – t[ A_i ]) / τA[ _i, _f ]
          gemeint, […]


          .

          > […] jenem Geoid, auf welches sich das Comité Consultatif pour la Définition de la Seconde 1980 bei seinen Erörterungen zur TAI-Sekunde bezogen hat.

          (ROTFLOLTBITF.)

          > Die schlechte Nachricht ist, dass TAI (und mithin UTC) explizit als Skala von Koordinatenzeit anzusehen ist […]

          Jenen, die auf Koordinaten-Freiheit wert legen, dürfte das eher als eine indifferente Nachricht erscheinen; bzw. noch eher als gar keine. Die vergleichsweise gute Nachricht ist dagegen die Aussicht (24. September 2016 @ 10:56) auf Markus Pössels gesonderten Blogbeitrag zur Frage von Koordinaten und koordinatenfreien Darstellungen (und die damit verbundene Gelegenheit für unsereins, öffentlich, Barriere-frei, einigermaßen auffindbar, und womöglich sogar unter Verwendung von \( \LaTeX \)-Befehlen über Fragen der Koordinaten-Freiheit zeit-räumlicher Konstatierungen zu korrespondieren).

          • @Frank Wappler / 5. Januar 2017 @ 14:21

            Nicht so hastig, Compadre. Die Formulierung “a different rate of the proper time …” lässt sich schliesslich interpretieren als “a different amount of the proper time per TAI second …”, und damit ist dann nichts über irgendeine „Veränderung von Gangeschwindigkeit“ gesagt (was angesichts des ausdrücklichen Bezugs auf `proper time‘ eigentlich auch nicht gemeint sein kann). Das heisst, `rate‘ meint hier eher das Verhältnis SI-Sek./TAI-Sek., und zumindest zu dessen Inversem könnte ich Literatur nennen, wo dieses entsprechend als `rate of TAI‘ aufscheint.

            Kopeikin et al. (2016) schreiben in der Legende zu Fig. 1, “The results have been obtained by the Common View satellite synchronization method.” Damit ist die TAI Sekunde dann auch ersichtlich beim Uhrenvergleich involviert, denn sowohl bei GPS wie auch bei GLONASS ist sie massgeblich (GLONASS verwendet intern die Zonenzeit von Moskau).

            Kontrastierend zu Kopeikin et al. hier noch ein idealtypisches Gegenbeispiel zur Abschreckung: “According to General Relativity, a clock at lower altitude – and therefore in a stronger gravity potential – is slowed down with respect to a clock at higher altitude by the relative relativistic frequency shift …

        • Chrys schrieb (6. Januar 2017 @ 00:49):
          > Die Formulierung “a different rate of the proper time …” lässt sich schliesslich interpretieren als “a different amount of the proper time per TAI second …”

          Na: es ist wohl zumindest vorstellbar, dass jemand “Koordinaten-Rate” schlicht als “Rate” ansprechen würde (und sich damit gründlich vom Verdacht disqualifiziert, Physiker zu sein).

          > […] hier eher das Verhältnis SI-Sek./TAI-Sek.

          Sowas passt doch bestens zu „Tageskalorien“, „Jahrestonnen“, „Minutencents“ … (bzw. zu jener Sorte von Tüftlern, die damit zu werkeln versuchen).

          > und zumindest zu dessen Inversem könnte ich Literatur nennen

          Und ich möchte hiermit nochmals auf die vorliegende Literatur über (die Definition von) „Rate“ verweisen, deren Inverses „Koordinaten-Rate“ ist (3. Januar 2017 @ 12:23).

          > hier noch ein idealtypisches Gegenbeispiel zur Abschreckung: “According to General Relativity, a clock at lower altitude – and therefore in a stronger gravity potential – is slowed down with respect to a clock at higher altitude by the relative relativistic frequency shift …”

          Echt Janz Fürchterlich! …

          Es ist aber (wie immer) einfach genug, dem entgegenzusetzen:

          Von zwei Beteiligten, die gegenüber einander chronometrisch starr waren und blieben, heißt derjenige „höher gelegen“ als der andere (entsprechend „niedriger gelegene“), der dabei die größe Pingdauer feststellt.

        • Chrys schrieb (6. Januar 2017 @ 00:49):
          > Die Formulierung “a different rate of the proper time …” lässt sich schliesslich interpretieren als “a different amount of the proper time per TAI second …”

          Na: es ist wohl zumindest vorstellbar, dass jemand “Koordinaten-Rate” schlicht als “Rate” ansprechen würde (und sich damit gründlich vom Verdacht disqualifiziert, Physiker zu sein).

          > […] hier eher das Verhältnis SI-Sek./TAI-Sek.

          Sowas passt doch bestens zu „Tageskalorien“, „Jahrestonnen“, „Minutencents“ … (bzw. zu jener Sorte von Tüftlern, die damit zu werkeln versuchen).

          > und zumindest zu dessen Inversem könnte ich Literatur nennen

          Und ich möchte hiermit nochmals auf die vorliegende Literatur über (die Definition von) „Rate“ verweisen, deren Inverses „Koordinaten-Rate“ ist (3. Januar 2017 @ 12:23).

          > hier noch ein idealtypisches Gegenbeispiel zur Abschreckung: “According to General Relativity, a clock at lower altitude – and therefore in a stronger gravity potential – is slowed down with respect to a clock at higher altitude by the relative relativistic frequency shift …”

          Echt Janz Fürchterlich! …

          Es ist aber (wie immer) einfach genug, dem entgegenzusetzen:

          Von zwei Beteiligten, die gegenüber einander chronometrisch starr waren und blieben, heißt derjenige „höher gelegen“ als der andere (entsprechend „niedriger gelegene“), der dabei die größere Pingdauer feststellt.

          • @Frank Wappler / 6. Januar 2017 @ 10:51

            Die Bedeutung des Wortes `rate‚ ist stets kontextuell zu erschliessen, und die `rate of TAI‘ finde ich insbesondere bei McCarthy & Seidelmann, meiner ultimativen Referenz für alle metrolog. Zeitfragen.

            »Von zwei Beteiligten, die gegenüber einander chronometrisch starr waren und blieben, heißt derjenige „höher gelegen“ als der andere (entsprechend „niedriger gelegene“), der dabei die größere Pingdauer feststellt.«

            Yep. Und höher ist, wer für “10:00 – 10:15 Coffee Break” die längere Dauer ermittelt.

        • Chrys schrieb (6. Januar 2017 @ 14:04):
          > Die Bedeutung des Wortes `rate‘ [ https://en.wiktionary.org/wiki/rate#Noun ]‚ ist stets kontextuell zu erschliessen

          Das deutliche Verständnis der semantischen bzw. der dadurch bedingten historisch-etymologischen Grundlage dieses Wortes muss gewiss vorausgesetzt werden, um jemandem die Fähigkeit aufrichtig zugestehen zu können, „kontextuell zu erschliessen“.

          > […] bei McCarthy & Seidelmann, meiner ultimativen Referenz für alle metrolog. Zeitfragen.

          Noch so `ne offenkundige Fehlleistung zum Thema „Zeit und Messung“ dahingehend, dass das Wort „duration“ darin undefiniert und als nebensächliche Kuriosität erscheint (ganz zu schweigen von „Lorentzian distance“) …

          > […] Yep.

          Ausdrücklich Danke! für diese positive Rückmeldung.

          > Und höher ist, wer für “10:00 – 10:15 Coffee Break” die längere Dauer ermittelt.

          Nein!, das wäre ein Fehlschluss. Stattdessen:
          Falls das Verhältnis zwischen
          – der Dauer des höheren Beteiligten für eine (jede) seiner „10:00 – 10:15 Coffee Break(s)”
          und
          – der Dauer des niedrigeren Beteiligten für eine (jede) seiner „10:00 – 10:15 Coffee Break(s)”
          (stets) gleich dem Verhältnis zwischen
          – der Pingdauer des höheren bzgl. dem niedrigeren
          und
          – der Pingdauer des niedrigeren bzgl. dem höheren
          ist,
          (und deshalb insbesondere: größer als 1),
          dann
          … verdient diese spezielle Koordinatenwahl dieser beiden Beteiligten zusammen sicherlich einen besonderen Namen;
          z.B. „koordiniert“.

  5. @ Julian Apostata:
    Der Gang von Uhren hat gewiss nichts mit dem Konstrukt einer „Raumzeit“ zu tun. Pendeluhren gehen in der Höhe langsamer, Atomuhren schneller und die rotierende Erde, die von jeher zur Zeitmessung benützt wurde, rotiert oben und unten gleich schnell.

    Eine tentative Erklärung für das Verhalten von Atomuhren habe ich am Ende dieser Notiz gegeben (Gln. (8) und (9)): https://www.researchgate.net/publication/281784452_A_Remark_on_the_Constancy_of_the_Velocity_of_Light

    • Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb (4. Januar 2017 @ 15:06):
      > Pendeluhren gehen in der Höhe langsamer

      Pendeluhren mit gleicher reduzierter Pendellänge, die jeweils auf einer bestimmten Höhe gehalten wurden und dabei pendelten
      (und ansonsten ungestört blieben), pendelten mit ungleichen Periodendauern: je höher, desto langsamer.

      > Atomuhren [gehen in der Höhe] schneller

      Nein. …
      Geometrische Beziehungen (wie z.B. Höhenunterschiede) zwischen voneinander getrennten Uhren müssen berücksichtigt werden, um deren Periodendauern miteinander zu vergleichen.
      Werden zwei Uhren, die gleiche Periodendauer haben, auf ungleichen Höhen gegenüber einander starr (und nicht-rotierend) gehalten, dann ist die Dauer der höheren Uhr von ihrer Anzeige der Wahrnehmung eines Periodenbeginns der tieferen Uhr bis zu ihrer Anzeige der Wahrnehmung des entsprechenden Periodenendes der tieferen Uhr größer als die Dauer der tieferen Uhr von ihrer Anzeige der Wahrnehmung eines Periodenbeginns der höheren Uhr bis zu ihrer Anzeige der Wahrnehmung des entsprechenden Periodenendes der höheren Uhr.
      (Und das trifft übrigens auf Atomuhren und Pendeluhren gleichermaßen zu.)

      > und die rotierende Erde […] rotiert oben und unten gleich schnell.

      Auch nicht. …
      (Erst recht nicht in Anbetracht der hier angedeuteten Feinheiten.)

    • Dr. Engelhardt, Sie schreiben verlinkt auf ResearchGate 2015:

      „The electron mass is not constant according to experiment
      and to SRT, but depends on the velocity of the electron.“

      Alle Physiker wissen aber, daß es so nicht ist, Masse ist invariant.

      Grüße und ein schönes und erfolgreiches Jahr 2017

      • Zitat:

        Alle Physiker wissen aber, daß es so nicht ist, Masse ist invariant.

        . Doch gemäss Mass in special relativity sind es nicht alle, sondern nur 60% der Physiker, die Masse als invariant betrachten:

        Roche states that about 60% of modern authors just use rest mass [invariante Masse] and avoid relativistic mass [beobachtete Masse].

        • Halle Herr Holzherr,
          dort steht 60 % der Autoren, und diese sind 100 % Physiker 🙂
          Hauptsache, es ist egal, wer die anderen 40 % sind.

          Neue Grüße Senf

  6. @ Markus Pössel: „was Sie hier fragen, wird in so gut wie jedem einführenden Lehrbuch zur Allgemeinen Relativitätstheorie vorgerechnet!“

    Haben Sie vielleicht den Mund etwas zu voll genommen, oder habe ich Ihre Antwort übersehen? Bis jetzt haben Sie mir kein Lehrbuch genannt, in dem die Gezeitenkräfte mit Hilfe der ART erklärt werden. Das scheint mir auch nicht möglich zu sein, weil die ART keine Kraft kennt, wie Sie selber geschrieben haben. Wie also setzt die ART die Federkraft Ihres Schreibtischstuhls, die Sie daran hindert, in den Erdmittelpunkt frei zu fallen, ins Gleichgewicht mit dem, was man landläufig „Schwerkraft“ nennt?

    Beste Grüße! Ihr W.E.

  7. Herr reutlinger,
    ich habe Ihnen bereits geantwortet, aber meine Antwort wurde hier nicht veröffentlicht. Sie schreiben:
    „…obwohl sie längst selber widerlegt wurde.“ Ganz richtig! Einstein hat sie (die SRT) 1938 selber widerlegt. Siehe mein Beitrag in ResearchGate: „Einstein’s Third Postulate“ oder in Kurzform: „Einsteins eigene Widerlegung seiner Theorie“.

    Sie zitieren: „Schon damals war er davon überzeugt, dass der Sagnac-Effekt im Widerspruch zur SRT steht.“ Diese „Überzeugung“ ist mittlerweile durch eine strikte Beweisführung gefestigt worden, welche in den Annales de la Fondation Louis de Broglie, volume 40 (2015) 149, nach akribischer Prüfung veröffentlicht wurde.

    • So, jetzt aber – Vorlesungszeit ist vorbei, und ich habe wieder etwas Ruhe auf Kommentare zu antworten.

      Ich schlage jetzt mal eines meiner Lieblings-ART-Bücher auf: Rindlers „Relativity: Special, General and Cosmological“. Da wird im Abschnitt 10.6 gezeigt, wie Gezeitenkräfte mit dem Riemannschen Krümmungstensor zusammenhängen. (Das ist aus meiner Sicht auch physikalisch die intuitivste Weise, diesen Tensor zu verstehen.)

      In Abschnitt 9.4. gab es vorher bereits eine Ableitung, die man meiner Erfahrung nach wirklich in jedem ART-Lehrbuch in irgendeiner Version findet: Wie sich aus den Einstein-Gleichung im Grenzfall langsam bewegter, frei fallender Körper in einer statischen Raumzeit genau die Bewegungsgleichungen im Newtonschen Gravitationsfeld ergeben. Dabei spielt die Abweichung der Zeit-Komponente (tt) der Metrik von der flachen Raumzeit bis auf einen konstanten Faktor die Rolle des üblichen Newtonschen Gravitationspotentials. Das zeigt schon, ganz allgemein: Für alles, was Newtonsche Schwerkraft beschreiben kann (Angabe eines bestimmten Gravitationspotentials) finden sie auch in der ART eine entsprechende Näherungsbeschreibung.

      Die Gleichung, die die Bewegung von Teilchen beschreibt, die sich nicht frei in der Raumzeit bewegen, sondern auf die externe Kräfte wirken, finde ich bei Rindler auf die Schnelle nicht, aber z.B. in dem Buch von Straumann (General Relativity, 2. Auflage) in Abschnitt 2.4.

      Insofern: Für alles, was sie in der klassischen Gravitation berechnen können, finden Sie in der ART eine entsprechende Beschreibung; die Gleichungen sind für langsame Bewegungen näherungsweise dieselben.

      Soweit, so gut; nur dass Einsteins Theorie eben für Effekte, die in der klassischen Gravitationstheorie nicht richtig beschrieben werden können (klassische Tests wie Lichtablenkung, anomale Periheldrehung, Shapiro-Verzögerung) zusätzlich noch einen richtigen und mit den Beobachtungsdaten übereinstimmenden Beschreibungsrahmen liefert. Die Bewegung in der Raumzeit ist damit in der Tat die fundamentale Beschreibung (die alle Beobachtungsdaten erklärt), die Newtonsche Beschreibung mit der Gravitation als Kraft nur eine Näherung (wenn auch dort, wo die Unterschiede klein sind, eine sehr gute Näherungsbeschreibung).

  8. > Atomuhren [gehen in der Höhe] schneller

    „Nein. …“

    Dies wurde aber im so genannten „Maryland Experiment“ gemessen (s. meine Notiz „A remark on the constancy of the velocity of light“) und wird angeblich durch das GPS bestätigt.

    • Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb (4. Januar 2017 @ 23:19):
      > > [Atomuhren gehen in der Höhe schneller …] Dies wurde aber im so genannten „Maryland Experiment“ gemessen

      Zweifellos wird allerlei Derartiges geschrieben und behauptet. (Besonders auffällig von jenen, die sich auf “Stabilität moderner Atomuhren“ berufen wollen, offenbar ohne sich dafür zu interessieren, wie solche überhaupt als Messgröße zu definieren und im konkreten Falle entsprechend zu messen wäre.)

      Dem Vorbild gewissenhafter(er) (und dabei doch sozialverträglicher) Physiker folgend, wird die schärfst-mögliche Zurückweisung solcher Behauptungen durch „nicht nur nicht richtig, sondern nicht einmal falsch!“ ausgedrückt.
      (Und übrigens: Kompliment für die zumindest implizierte Anerkennung meiner Absicht, solcherlei Behauptungen insbesondere auch hinsichtlich des (zumindest im deutsch-sprachigen Fragment der Wikipedia so genannten) „Maryland-Experiments“ schärfst-möglich zurückzuweisen. (Und Dank natürlich auch an die hiermit benutze Infrastruktur, die diese schärfst-möglichen Zurückweisungen solcher Behauptungen öffentlich, Barriere-frei, und einigermaßen auffindbar ermöglicht.))

      Im Übrigen habe ich eine Sprachregelung zum Mitteilen, was in diesem Zusammenhang stattdessen messbar ist, in meinem vorausgegangenen Kommentar (4. Januar 2017 @ 16:21) vorgeschlagen.

      p.s.
      > (s. meine Notiz „A remark on the constancy of the velocity of light“)

      Um dahingehend Barriere-frei öffentlich zu korrespondieren (um z.B. hinsichtlich der einen Stelle die Einfügung eines Δ-Symbols vorzuschlagen, oder hinsichtlich der anderen schärfst-mögliche Zurückweisung zum Ausdruck zu bringen), wäre die Angabe eines entsprechenden Zitats oder eines URL ein hilfreicher Schritt;
      als auch die Ermöglichung der Darstellung von Formeln durch \( \LateX \)-Befehle auf dieser Seite.

      p.p.s.
      \( \LateX \)-Test:
      $$ \sqrt{ – \left( \left\langle \, \frac{d}{d \tau A}[ \, \Psi_A[ \, E \,] \,] \, {\huge |} \, \Psi_A[ \, E \,] \, \right\rangle – \left\langle \, \Psi_A[ \, E \,] \, {\huge |} \, \frac{d}{d \tau A}[ \, \Psi_A[ \, E \,] \,] \, \right\rangle \right)^{ \! \! \! 2}} \equiv \frac{2 \, E}{\hbar} \, \Big\langle \, \Psi_A[ \, E \,] \, \Big| \, \Psi_A[ \, E \,] \, \Big\rangle.$$

      • Ich bin nach wie vor der Überzeugung, dass die Wortwahl „unterschiedlich schnell gehende Uhren im Gravitationsfeld“ physikalisch durchaus sinnvoll und für vereinfachte Erklärungen geeignet sind.

        In einer statischen Raumzeit, der Einfachheit halber: rund um eine kugelsymmetrische Masse kann ich schließlich Uhren zu unterschiedlichen Zeiten auf genau die gleiche Weise transportieren. Dann kann ich drei Uhren vergleichen: Eine Uhr A, die die ganze Zeit fern von der Masse ruht. Die Uhr B, die ich vom Ort von A aus in die Nähe der Masse verbringe, dort für eine bestimmte Eigenzeitdauer ruhen lasse und anschließend zu A zurücktransportiere. Und die Uhr C, der ich dieselbe Rundreise verordne, mit einem Unterschied: sie bleibt eine längere Eigenzeitdauer am Ruheplatz nahe der Masse.

        Diese Prozedur kann ich noch mit verschiedenen anderen Uhren wiederholen, mit unterschiedlichen Verweildauern am Ruheplatz nahe der Masse.

        Wieviel Zeit der entsprechenden Weltlinienabschnitte zwischen den jeweils zwei Vergleichen am Ort von A vergangen ist, kann ich direkt lokal durch Uhrenvergleiche bestimmen. Die Eigenzeitlänge der Weltlinienabschnitte „Transport vom Ort von A zum Ruheplatz nahe der Masse“ und „Rücktransport“ ist per Definition für alle meine Uhren dieselbe. So kann ich direkt die Eigenzeitlängen der Weltlinienabschnitte „Uhr A ruht am Ort von A“ und „Uhr B, C, … ruht am Ruheplatz nahe der Masse“ vergleichen. Und komme auf eine Systematik, die durch „die Eigenzeitlänge am Ruheplatz nahe der Masse ist jeweils kürzer“, vulgo „eine Uhr am Ruheplatz nahe der Masse geht langsamer als am Ort von A“ gut beschrieben wird. Und diese Beschreibung entspricht genau dem, was sich Nichtphysiker typischerweise darunter vorstellen würden, dass Uhren langsamer bzw. schneller gehen.

        Sicher habe ich dabei ausgenutzt, dass die Raumzeit statisch ist. In allgemeineren Raumzeiten kann ich nicht so argumentieren. Aber diese spezielle Situation wird durch die Aussage „Uhren tiefer im Gravitationsfeld gehen langsamer“ gut beschrieben, und umgekehrt: die Aussage vermittelt kompakt und nahe an den Alltagsvorstellungen Wissen darüber, wie Eigenzeitdauern und der Gravitationseinfluss von Massen zusammenhängen.

  9. @ Wappler
    Ich bin froh, dass Herr Wappler meine Überlegungen noch „nicht einmal falsch“ einstuft. Besseres kann man über wissenschaftliche Aussagen kaum sagen.

    Inzwischen habe ich ein kleines Papier über den freien Fall im Gravitationsfeld verfasst, das den einen oder anderen vielleicht interessieren mag. Einige Gedanken, die ich hier (erfolglos) zu diskutieren versucht habe, sind in die Conclusions eingegangen.
    https://www.researchgate.net/publication/312118218_Free_Fall_in_Gravitational_Theory

    ps: meine Notiz „A remark on the constancy of the velocity of light“ wurde 2001 neben meiner beruflichen Tätigkeit geschrieben. Formal erfüllt sie nicht die Anforderungen, die man an eine Publikation stellen muss. Ich wollte nur das Rätsel aufklären, weshalb Pound-Rebka den einfachen und nicht den doppelten Effekt gemessen haben. Ich fand meine Erklärung ausreichend und habe mich nicht weiter um die Sache gekümmert. Ob @Julian Apostata mit meinem Erklärungsversuch zufrieden ist, hat er nicht mitgeteilt.

    • Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb (6. Januar 2017 @ 17:55):
      > ps: meine Notiz „A remark on the constancy of the velocity of light“

      In meinen obigen, auf diese erneut genannte Notiz bezogenen ersten Kommentar (5. Januar 2017 @ 11:49) hatte ich mich darüber verärgert geaußert, dass daraus nicht sachdienlich zitiert oder wenigstens ein (öffentlich zugänglicher) Link dahin angegeben wurde. (Einen Artikel anhand des genannten Titels zu finden, war zwar nicht schwierig; aber ein solcher ist eben nicht so kritisierbar und zwingend zu verantworten, wie ein Zitat aus erster Hand.)

      Mittlerweile habe ich aber festgestellt, dass ein solcher Link, nämlich zu https://www.researchgate.net/publication/281784452_A_Remark_on_the_Constancy_of_the_Velocity_of_Light
      doch schon in einem anderen Kommentar auf dieser Seite zu finden ist (4. Januar 2017 @ 15:06. Auch einige Formulierungen aus diesem Kommentar hatte ich zitiert und darauf geantwortet; ohne allerdings den dort angegebenen Link zu verfolgen oder in Erinnerung zu behalten.)

      Dort finde ich erneut:

      – auf Seite 2 die Gleichung:
      >

      h ν = E_2 – E_1 (2)

      , und

      – auf Seite 4 die Gleichung:
      >

      E = h ν (4)

      .

      Meinen 5. Januar 2017 @ 11:49 angedeuteten Vorschlag, in (mindestens) eine dieser Gleichungen ein „Δ“-Symbol einzufügen, ziehe ich hiermit zurück.

  10. Hallo Herr Pössel,
    da ich wohl in der Rubrik „Gravitationswellen-Nachweistechnik“ nicht gelesen werde, stelle ich meine letzte Anfrage sinngemäß hier nochmal: Wenn man beweisen kann, dass nicht alle Körper beim freien Fall aus derselben Höhe im selben Gravitationsfeld dieselbe Fallzeit (bei der selben Bahnkurve) besitzen,
    würde die Gleichheit von schwerer und träger Masse nicht gelten. Damit wäre das Schwache Äquivalenzprinzip als wesentliche Voraussetzung der ART widerlegt. Stimmen Sie mir da zu?

    • Zumindest von der Formulierung her, die Sie gewählt haben, klingt die Situation erst einmal stärker als das Einsteinsche Äquivalenzprinzip, das ja nur besagt, dass die Gesetze der Physik in einem frei fallenden Bezugssystem lokal (infinitesimal kleine Umgebung) dieselben sind wie ganz ohne Gravitation. Wenn Sie mit Ihrer Beispielsituation diese Formulierung des Äquivalenzprinzips widerlegen können, hat die ART ein Problem.

      Wenn Sie „nur“ eine andere Version des Äquivalenzprinzips widerlegen (mit Eigenschaften außer der Masse, anhand derer sich die Körper unterscheiden; in einer Situation, in der die Körper nicht mehr als Testteilchen betrachtet werden können, sondern ihre Eigengravitation wichtig wird; in einer Situation in der nicht mehr nur lokal-infinitesimal argumentiert wird, oder…) ist nicht von vornherein klar, dass die ART falsch ist.

  11. @Dr. Wolfgang Engelhardt / 4. Januar 2017 @ 23:19

    »Dies [in der Höhe gehen Atomuhren schneller] wurde aber im so genannten „Maryland Experiment“ gemessen …«

    Beim „Maryland Experiment“ ist theoretisch keine Uhr schneller oder langsamer gegangen als irgendeine andere. Die geometr. Interpretation besagt, dass das Flugzeug bei seinem 15-Stunden-Trip einen geringfügig längeren zeitartigen Weg absolviert hat als der unterdessen auf dem Flugfeld parkierte Truck mit den Vergleichsuhren. Der hierfür theoret. vorhergesagte Wert von 47.1 ns wurde dann mit einer relat. Genauigkeit von 1.5% durch Messung bestätigt gefunden, wobei der Effekt als überwiegend durch Gravitation bedingt zu verstehen ist (und nicht etwa durch die Kinematik der Flugbewegung).

    Allerdings hatte C.O. Alley ersichtlicheMühe, seine Messresultate zu deuten, und behauptete 1979 noch, “[C]locks run slower when moving and run faster or slower, the higher or lower respectively they are in the earth’s gravity field.” Das ist falsch, und in seiner Abhandlung von 1983 hat er dergleichen dann auch weitestgehend unterlassen. Eine schlüssig zusammengefasste Darstellung gibt im übrigen É. Gourgoulhon, Special Relativity in General Frames, Springer, 2013.

    • Chrys schrieb (9. Januar 2017 @ 09:25):
      > Beim „Maryland Experiment“ […]
      > […] dass das Flugzeug bei seinem 15-Stunden-Trip einen geringfügig längeren zeitartigen Weg absolviert hat als der unterdessen auf dem Flugfeld parkierte Truck

      Länge eines (bestimmten, durch die pausenlose Teilnahme eines bestimmten identifizierbaren Beteiligten koordinatenfrei bestimmbaren) zeitartigen Weges “ nennt man umgangssprachlich(er):
      „die Dauer des betreffenden Beteiligten“.

      Beim Maryland Experiment ging es demnach darum, dass die Dauer des Flugzeugs (einschl. seiner Bestandteile) von seiner Anzeige bei Trip-Anfang bis zu seiner Anzeige bei Trip-Ende geringfügig länger war, als die Dauer des Flugfelds (einschl. seiner Bestandteile) von seiner Anzeige bei Trip-Anfang bis zu seiner Anzeige bei Trip-Ende.
      Kurz:
      Der Trip des Flugzeugs dauerte geringfügig länger als der Trip des Flugfeldes.

      > Der hierfür theoret. vorhergesagte Wert von 47.1 ns

      Der offenbar vorhergesagte bzw. erwartete Wert von 47.1 ns (für die Differenz der beiden Trip-Dauern) ergibt sich nicht aus einer Theorie an sich (insbesondere nicht aus der Definition von Dauer als Messgröße), sondern erst in Bezug auf ein bestimmtes Modell (der Geometrie der Region, in der Flugzeug und Flugfeld während ihrer Trennung voneinander enthalten waren, einschl. der Geometrie bzw. Kinematik der Bahnen von Flugzeug bzw. Flugfeld in dieser Region).

      > wurde dann mit einer relat. Genauigkeit von 1.5% durch Messung bestätigt gefunden

      Durch den Vergleich von „Readings“ der Uhren des Flugzeugs mit „Readings“ der Uhren des Flugfelds wurden die erwähnten Modell-Erwartungen hinsichtlich Geometrie bzw. Kinematik nicht an sich im Rahmen der genannten Genauigkeit bestätigt, sondern (nur) bestimmte Modell-Erwartungen, die auch die „Gänge“ der betreffenden Uhren einschließen.

      • @Frank Wappler / 9. Januar 2017 @ 12:02

        Ein erläuternder Kommentar wäre gewiss noch unbedingt angebracht zu folgendem Zitat aus dem hintergründig arXiv-verlinkten Preprint von Wortel et al. (2007):

        After landing, the plane was parked alongside a group of six identical reference clocks so a direct comparison could be made. The clocks flown in the plane ran slower than the clocks that remained on the Earth.

         

        Mir verschlägt es schlicht und ergreifend die Sprache.

        • Chrys schrieb (9. Januar 2017 @ 23:53):
          > hintergründig arXiv-verlinkten Preprint von Wortel et al. (2007):

          Der Vordergrund dieser Verlinkung (in meinem vorausgegangenen Kommentar, 9. Januar 2017 @ 12:02) war die Angabe von 47.1 ns als erwartetem Wert (der Differenz von Trip-Dauern, Δτ) im sogenannten „Maryland-Experiment“;
          insbesondere in Unterscheidung zur (in diesem Artikel ebenfalls zu findenden) Angabe von 46.5 ns als ermitteltem Ergebnis (der Differenz von Clock-Readings, Δt).

          Der verlinkte Artikel sollte diese Bedeutung des (schon 9. Januar 2017 @ 09:25 genannten) Wertes „47.1 ns“ unterstreichen, da mir diese ansonsten kaum öffentlich ausfindig zu machen scheint.

          > Ein erläuternder Kommentar wäre gewiss noch unbedingt angebracht zu folgendem Zitat […]

          Sicher: der Artikel erscheint ansonsten weitgehend indiskutabel.
          Schade, dass Wortel et al. sich nicht auf eine Weise geäußert haben, die öffentliche, Barriere-freie und auffindbare Kommentare ermöglicht, um ihnen zu helfen.

          • @Frank Wappler / 10. Januar 2017 @ 09:48

            Deutsche wikipedia schreibt: „Aufgrund des Gravitationseffektes gehen die Flugzeuguhren während des Fluges laufend schneller.“ Das englische wikipedia kommt an entsprechender Stelle ganz ohne schneller gehende Uhren aus, was hier einmal lobend erwähnt sei. Wortel et al. (2007) behaupten die Flugzeuguhren indes als verlangsamt. Angesichts evidenter Orientierungslosigkeit von Autoren sowie ihren Begutachtern erscheint der erhobene Anspruch auf Vermittlung eines “actual physical framework in which to understand what is (and is not) happening” dann eher doch ungerechtfertigt.

        • Chrys schrieb (10. Januar 2017 @ 13:34):
          > Das englische wikipedia[-Fragment] kommt an entsprechender Stelle ganz ohne schneller gehende Uhren aus

          Schockschwerenot! — ist eine derartige Auslassung denn überhaupt schon wippycadia-Community-(Leader-)Ansichts-kompatibel von (mindestens) einer externen Quelle vorgeführt worden ?? …

          (Wenigstens ist die betreffende, zumindest in dieser Hinsicht lobenswerte Stelle doch ziemlich überschaubar und kleiner als der in Frage stehende Gesamtartikel).

          > Wortel et al. (2007) behaupten die Flugzeuguhren indes als verlangsamt.

          Ach, schau an!
          (Meine eigene begutachterliche Toleranz und Konzentrationsfähigkeit hatte das oben vorgelegte Zitat schon ausgeschöpft, als darin mehrere, verschiedene, unterscheidbare Uhren „identical“ genannt wurden.)

          p.s.
          > […] Anspruch auf Vermittlung eines “actual physical framework in which to understand what is (and is not) happening”

          Dafür bieten sich eben nun mal doch die
          Wikipedia-zugänglichen Skizzen von flachen Ping-Koinzidenz-Gittern an; als ein hier lobend zu erwähnender Ausdruck von „Schwarmintelligenz“.

    • Chrys schrieb (9. Januar 2017 @ 09:25):
      > C.O. Alley […] behauptete 1979 noch, “[C]locks run slower when moving and run faster or slower, the higher or lower respectively they are in the earth’s gravity field.” Das ist falsch […]

      Da dieser SciLog ausdrücklich auf das „Webportal Einstein Online“ des Max-Planck-Instituts für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut, Golm/Potsdam) verweist (wo direkt auffindbare öffentliche Kommentare offenbar nicht vorgesehen sind),
      besteht die naheliegendste Möglichkeit wohl hier, öffentlich darauf hinzuweisen,
      dass derartige falsche bzw. anstößige Behauptungen auch durch das genannte Webportal verbreitet werden; konkret:

      gravitative Zeitdehnung […]
      Eine Uhr geht umso langsamer, je näher sie einer Masse (oder sonstigen Gravitationsquelle) ist.

      Es sei hiermit erneut darauf hingewiesen, dass die (durchschnittliche) Gangrate einer gegebenen Uhr als das Verhältnis
      der Differenz zwischen Anzeigewerten („clock readings“)
      zur Dauer der Uhr zwischen ihren entsprechenden Anzeigen definiert ist;
      sodass Vergleiche der Gangraten verschiedener Uhren (einschl. der eventuellen Feststellung, welche vergleichsweise „langsamer ging„, und welche „schneller ging“) die Messung von Dauer-Verhältnissen voraussetzt.

      • @Frank Wappler / 16. Januar 2017 @ 12:43

        Also sprach Einstein-Online: »Eine Uhr geht umso langsamer, je näher sie einer Masse (oder sonstigen Gravitationsquelle) ist.«

        Womit in der Konsequenz behauptet wäre, dass eine SI-Sekunde in Braunschweig länger dauert als eine SI-Sekunde in Boulder. Oder anders gewendet, dass das Comité Consultatif pour la Définition de la Seconde einen reichlich dilettantischen Bockmist fabriziert hätte, indem dieser bemerkenswerte Umstand glatt übersehen wurde.

        Zum Glück — speziell für die messende Zunft — hat das CCDS dabei jedoch nichts übersehen. Korrekt ist indessen, dass eine TAI-Sekunde in Boulder länger dauert als in Braunschweig. Was sich als nicht weiter tragisch erweist, da die TAI-Sekunde gar nicht für Messungen beabsichtigt, sondern als Grundlage zur Koordinierung 15-minütiger Kaffeepausen sowie vergleichbarer Veranstaltungen konzipiert ist.

        • Chrys schrieb (17. Januar 2017 @ 12:33):
          > Also sprach Einstein-Online: »Eine Uhr geht umso langsamer, je näher sie einer Masse (oder sonstigen Gravitationsquelle) ist.«
          > <em Womit in der Konsequenz behauptet wäre, dass eine SI-Sekunde in Braunschweig länger dauert als eine SI-Sekunde in Boulder.

          Dass sich aus der beanstandeten Aussage eine derartige Konsequenz ableiten ließe, scheint mir zwar absurd.
          (Eher hat die zitierte Aussage wohl gar keine Konsequenz.)

          Aber das macht sie ja trotzdem nicht hinnehmbar, oder vertretbar.
          (Sie wäre als „noch nicht einmal falsch“ zu disqualifizieren.)

          > Korrekt ist indessen, dass eine TAI-Sekunde in Boulder länger dauert als in Braunschweig.

          Ob das korrekt ist, käme auf die detaillierten Zusammenhänge zwischen (der Definition von) „TAI-Sekunde“ und (der Definition) der Messgröße „Dauer“ an.

          Korrekt ist aber jedenfalls (auch):
          Falls eine Uhr in Boulder vorstellbar (bzw. sogar auffindbar) wäre, deren Anzeigen als „TAI-Sekunden„-Anzahl abgelesen bzw. parametrisiert wurden,
          dann ist auch vorstellbar (bzw. es kann angeordnet werden), diese Anzeigen (oder auch andere Anzeigen von/in Boulder) durch (systematisch) geringere Koordinaten-Zahlenwerte zu parametrisieren; oder auch durch (systematisch) größere.

          D.h. zu einer Uhr in Boulder, die „wie TAI-Boulder ging“, sind auch Uhren in Boulder vorstellbar (bzw. sogar auffindbar), die „langsamer gingen“, oder auch welche, die „schneller gingen“.

          Und das gilt analog auch für Uhren in Braunschweig.

          Um so schwieriger ist es, Vergleiche zwischen der Gangrate einer Uhr in Boulder und der Gangrate einer Uhr in Braunschweig anzustellen;
          und um so weniger ist die zitierte Aussage geeignet, Ergebnisse oder Erwartungen hinsichtlich solcher Vergleiche auszudrücken.

          > [… dass] die TAI-Sekunde gar nicht für Messungen beabsichtigt, sondern als Grundlage zur Koordinierung 15-minütiger Kaffeepausen sowie vergleichbarer Veranstaltungen konzipiert ist.

          Sofern mit „Koordinierung“ dabei Spezifischeres gemeint sein sollte, als das bloße beliebige Bestreußeln von Anzeigen mit Koordinatenzahlen („Readings“), muss auch eine entsprechende Festlegung nachvollziehbar gemacht, festgehalten, mitgeteilt werden.

          (Diese Forderung stellt sich natürlich nicht weniger für die nachvollziehbare Festlegung von bestimmten Messgrößen, als der Grundlage von Messungen; hier insbesondere der Messgröße „Dauer“.

          Oder, im Interesse jener, die dabei nicht ohne Maßeinheiten auszukommen meinen: deren nachvollziehbare Festsetzung; hier insbesondere der Maßeinheit „SI-Sekunde„, und der damit verbundenen „Referenz auf 0 K“ bzw. „Ungestörtheit“ von Cs133-Atomen.

          Sofern das Comité Consultatif pour la Définition de la Seconde dahingehend aber keine nachvollziehbaren, insbesondere auf Koinzidenz-Feststellungen hinauslaufende Festsetzungen in Betracht zieht, schweigt des Sängers Höflichkeit …

          Das „Webportal Einstein Online“, aus dem das obige Zitat stammt, und das mit diesem SciLog offenbar in besonderer Weise verbunden ist, erwähnt ja immerhin die „Sonderrolle der Inertialsysteme„;
          nennt aber leider keine (Mess-)Definition für „(Mitgliedschaft in einem) Inertialsystem„, die ausdrücklich durch Koinzidenz-Feststellungen nachvollziehbar wäre.)

          • @Frank Wappler / 17. Januar 2017 @ 16:40

            Ein nennenswertes Verständnisproblem dabei stellt sich garantiert jenen, die meinen, »dass die (durchschnittliche) Gangrate einer gegebenen Uhr als das Verhältnis der Differenz zwischen Anzeigewerten („clock readings“) zur Dauer der Uhr zwischen ihren entsprechenden Anzeigen definiert ist; sodass Vergleiche der Gangraten verschiedener Uhren … die Messung von Dauer-Verhältnissen voraussetzt.« Wie bestimmen wir denn für eine gegebene (ideale) Uhr die einem Paar s1 < s2 von Anzeigewerten zukommende Dauer und vergleichen diese mit der entsprechenden Dauer für ein anderes solches Paar s3 < s4?

            Im Rahmen der Theoretisierung sind die besagten »Dauer-Verhältnisse« für eine beliebige (ideale) Uhr kein Gegenstand von Messungen, sondern die sind durch das Uhrenpostulat (vgl. P2 bei Malament) schon als konstant festgesetzt. Uhren mit unterschiedlichen Gangraten kommen in einer Raumzeit nicht vor. Einstein hatte es 1905 noch versäumt, hinlänglich zu klären, was eigentlich unter einer Uhr zu verstehen sein soll und was sie anzeigt; erst Minkowski hat dies mit der Konzipierung von Eigenzeit nachgeholt und damit de facto auch das Uhrenpostulat etabliert.

            Für eine reale Uhr stellt sich naturgemäss noch die Frage, inwieweit sie als eine brauchbare Näherung an eine ideale Uhr gelten kann. Aber das ist dann ein anderes Kapitel.

          • Ich hatte ja oben schon näher ausgeführt, was ich damit meine. Und bin nach wie vor der Meinung, dass diese Formulierung in guter Näherung kompakt und dem Alltagsverständnis nahe ausdrückt, was da passiert. Während die meisten Menschen aus Ihren exakteren, aber eben sehr umständlichen Formulierungen eben kein gesteigertes Verständnis der Verhältnisse sondern nur ein „Häh, verstehe ich nicht“ mitnehmen dürften.

            Das scheint ja sowieso ein fundamentaler Unterschied zwischen uns zu sein: Ich halte Näherungs-Formulierungen durchaus für sinnvoll, weil sie Menschen, die sich nicht vertieft mit dem Thema beschäftigen wollen/können zumindest einen Eindruck davon geben, was da vorgeht. Von Ihnen bekomme ich dann regelmäßig eins aufs Dach, inklusive durchaus arroganter Formulierungen nach dem Motto „wer so spricht, ist kein Physiker“ – aber damit verabschieden Sie sich aus meiner Sicht in den sprichwörtlichen Elfenbeinturm. Wer auf einem kompromisslosen „entweder ganz richtig oder gar nicht beschreiben!“ beharrt, schließt viele Menschen, die einfach nur eine ungefähre Vorstellung davon bekommen möchten, worum es in den Relativitätstheorien geht, von vornherein aus. Und das ist aus meiner Sicht eine ganz fatale und unkonstruktive Haltung.

        • Chrys schrieb (18. Januar 2017 @ 16:52):
          > Für eine reale Uhr stellt sich naturgemäss noch die Frage, inwieweit sie als eine brauchbare Näherung an eine ideale Uhr gelten kann. Aber das ist dann ein anderes Kapitel.

          Jedenfalls begrüße ich die Unterscheidung (sofern sie so gemeint ist):
          zuerst die Festsetzung einer Messgröße als Messoperator, danach dessen Anwendung auf Beobachtungsdaten;
          bzw.
          zuerst die Theorie, danach Messwerte und Modelle.

          > Im Rahmen der Theoretisierung sind die besagten »Dauer-Verhältnisse« für eine beliebige (ideale) Uhr kein Gegenstand von Messungen, sondern

          … eine Sache der Definition, nicht wahr?.

          Wie lautet also die (bzw. eine geeignete) Definition?

          Und dieser Frage noch vorausgehend:
          Was sind denn überhaupt die (selbstverständlichen) Begriffe, aus denen die gesuchte Definition konstruiert werden könnte??

          Und dafür:
          Wie ließe sich denn überhaupt entscheiden, welche Begriffe als „selbstverständlich“ gelten könnten??? …
          (Der Begriff „ideale Uhr“ an sich sicherlich nicht. …)

          Deshalb, wie schon mehrfach erwähnt:

          Alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen laufen stets auf die Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinaus

          Und wer nicht wüsste, dass Einstein das schon (spätestens 1916) eingefallen ist (oder war’s doch schon E. Kretschmann 1915) (oder war’s doch schon A. A. Robb 1914) (oder war’s doch schon D. F. Comstock 1910) (oder war’s doch schon Einstein 1905) (oder war’s doch H. Poincaré moch deutlich eher) … dem sei zugestanden, auch von selbst darauf zu kommen.

          Und nun, d.h. in der Entwicklung der RT, geht’s darum, allein daraus eine Messoperation zu konstruieren, um „Dauer“ einer/jeder gegebenen realen Uhr zwischen Paaren ihrer Anzeigen zu vergleichen.

          > Einstein hatte es 1905 noch versäumt, hinlänglich zu klären, was eigentlich unter einer Uhr zu verstehen sein soll

          Leider.
          (Und wie Einstein 1905 mit dem eng damit zusammenhängenden Begriff „Inertialsystem“ umging, ist sogar noch schlimmer.)

          > erst Minkowski hat dies mit der Konzipierung von Eigenzeit nachgeholt und damit de facto auch das Uhrenpostulat etabliert.

          Minkowski!??
          In dessen ach-so-oft-zitiertem, Koordinaten-triefendem Vortrag „Raum und Zeit“ ist jedenfalls von „Uhr“ offanbar keine Rede; noch von „Dauer“; noch von „Koinzidenz“ …

          Nein:
          konkrete Anwendungen des (Einsteinschen) Koinzidenz-Begriffs sind Ping-Koinzidenz-Gitter; und für die/eine Definition des „Dauer“-Begriffs (und im selben Aufwasch zur Definition von „Distanz“ und „Inertialsystem“) insbesondere flache.

  12. [/quote]
    @ Julian Apostata:
    Der Gang von Uhren hat gewiss nichts mit dem Konstrukt einer „Raumzeit“ zu tun. Pendeluhren gehen in der Höhe langsamer, Atomuhren schneller[/quote]

    @Herrn Engelhardt
    Pendeluhren gehen langsamer wenn die Schwerkraft geringer wird. Das ist der Fall wenn man sie Richtung Äquator verschiebt.

    Atomuhren reagieren darauf nicht. Sie reagieren nur auf die Höhe über dem Meeresspiegel. Luftdruck und Schwerkraft sind ihnen egal!

    Da kam von ihnen noch immer keine Antwort, warum man das schon wusste, bevor es Atomuhren gab.

  13. @Julian Apostata: „Pendeluhren gehen langsamer wenn die Schwerkraft geringer wird. Das ist der Fall wenn man sie Richtung Äquator verschiebt.“

    Oder wenn man sie auf den Mount Everest verbringt, weil dort die Schwerkraft geringer als auf Meereshöhe ist. Das wusste man schon immer. Man wusste aber nicht, dass Atomuhren auf dem Mount Everest schneller gehen, wie das Maryland-Experiment behauptet und die GPS-Leute vorgeben, gemessen zu haben. Einig ist man sich wohl, dass die Erde eine konstante Umdrehungsfrequenz oben und unten hat, die man von altersher zur Zeitmessung benützt. Ein unterschiedlicher Gang von Uhren hat offenbar nichts mit „der Zeit“ zu tun.

    Eine denkbare Erklärung für das Verhalten von Atomuhren habe ich in meiner Notiz angegeben, die sich allerdings in erster Linie damit befasste, warum Pound-Rebka den einfachen Effekt gemessen haben. Vielleicht sollten sie den kleinen Aufsatz noch einmal lesen, wenn Sie meine (mögliche) Antwort auf der letzten Seite, welche die Atomuhr betrifft, überlesen haben.

    Herr @Pössel ist offenbar aus der Diskussion ausgestiegen und beantwortet meine Fragen nicht, die ich oben und in meinem Aufsatz „Free Fall in Gravitational Theory“ gestellt habe. Schade! Vielleicht liest er aber wenigstens mit und macht sich Gedanken darüber, warum Bruce Allen und Karsten Danzmann sich nicht mehr mit dem Eichpapier von LIGO identifizieren wollen, siehe Kommentar zu: https://www.researchgate.net/publication/305882033_Observation_of_Gravitational_Waves_from_a_Binary_Black_Hole_Merger

  14. @Pössel:
    Es freut mich, dass Herr Pössel nicht mehr diesen unseligen Satz: „Gravitation ist keine Kraft, sondern Eigenschaft der Raumzeit-Geometrie.“ zu verteidigen sucht, sondern sich lieber in Schweigen hüllt. Er kann uns ja nicht erklären, wie ein Pfund Butter die Raumzeit gerade so verkrümmt, dass die Feder in der Waage bis zum Eichstrich „1 Pfund“ zusammengedrückt wird. Da schweigt man lieber im Einklang mit dem Einstein-Institut, das sich auch nicht argumentativ zu helfen weiß.

    Es ist zu hoffen, dass das Nobelkomitee auch in diesem Jahr Augenmaß beweist und sich diesen Brief zu Herzen nimmt: https://www.researchgate.net/publication/312369037_Second_Open_Letter_to_the_Nobel_Committee_for_Physics

    • Das liegt an der Feder, nicht am Pfund, weil Newton (absichtlich) der Grenzfall
      der ART ist, deshalb paßt es automatisch und ist selbsterklärend.

    • Zu den angeblich verschwundenen oder gelöschten Kommentaren von Ihnen ist zumindest in dem mir zugänglichen Teil des Systems nichts zu sehen (Backend des Blogs; dort sollten alle zu moderierenden Kokmmentare angezeigt sein). Am wahrscheinlichsten erscheint mir ein Bedienfehler Ihrerseits. Bei älteren Artikeln ist die Kommentarfunktion ab einem bestimmten Zeitpunkt ganz abgeschaltet.

      Und, ja, sorry: Gerade während der Vorlesungszeit reagiere ich oft nicht so schnell auf alle Kommentare. Aber keine Bange, ab in einer Woche habe ich wieder mehr Luft. Von voreiligen Schlüssen, was ich erklären kann und was nicht, bitte ich abzusehen. (Das dürfte auch in Ihrem eigenen Interesse sein – ich glaube nicht, dass Leser dieses Blogs auf so billige Rhetorik anspringen.)

  15. @ Senf:
    Die Marktfrau wiegt die Buttermenge so ab, wie der Kunde es wünscht. Beide vertrauen darauf, dass die Butter eine Kraft auf die Feder ausübt, die man gemeinhin „Schwerkraft“ nennt. Die gibt es aber gar nicht, sagt Herr Pössel, sondern die Butter verkrümmt die Raumzeit. Wie erfährt nun die Feder von dieser Störung der Raumzeit-Geometrie und warum zieht sie sich bis zum Eichstrich entgegen ihrer Federkraft zusammen?

    Und warum verschwindet die Störung wieder, wenn die Marktfrau die Butter von der Waage nimmt und sie dem Kunden überreicht? Dann nämlich entspannt sich die Waage und zeigt 0 Pfund an wie vorher.

    Schade, dass Einstein schon tot ist und keine Antwort mehr auf diese einfachen Fragen geben kann, die ihm wohl nie jemand gestellt hat. Herr Pössel weiß leider auch nichts dazu zu sagen.

  16. @ Herr Senf,
    tut mir leid, ich hatte Ihnen geantwortet, aber meine Kommentare werden wieder mal gelöscht.

    Ich finde es jedenfalls erstaunlich, wie eine solche Feder die Störung der Raumzeit erspüren kann, ohne dass die Butter eine Kraft auf die Waagschale ausübt.

  17. @Dr. Wolfgang Engelhardt / 18. Januar 2017 @ 18:46

    »Die Marktfrau wiegt die Buttermenge so ab, wie der Kunde es wünscht. Beide vertrauen darauf, dass die Butter eine Kraft auf die Feder ausübt, die man gemeinhin „Schwerkraft“ nennt. Die gibt es aber gar nicht, sagt Herr Pössel, sondern die Butter verkrümmt die Raumzeit.«

    Nicht die Buttermenge übt hier eine Schwerkraft aus, sondern der Butterklumpen erfährt eine Beschleunigung im Schwerefeld der Erde. Das Gravitationsfeld handelsüblicher Buttermengen kann für eine Wägung als vernachlässigbar gelten, das heisst, der Butterklumpen agiert hierbei lediglich als ein „Testpartikel“ in einem Raum mit Schwerefeld. Nun lässt sich Bewegung unter dem Einfluss eines Potentialkraftfeldes äquivalent auch als kräftefreie Bewegung in einem Raum mit geeigneten geometr. Eigenschaften formulieren. Gegen die Vorstellung von Kraft als einem fundamentalen physikal. Konzept hatte im übrigen bereits George Berkeley argumentiert, und im 19. Jhdt. wurde diese Ablehnung dann u.a. prominent von Kirchhoff, Hertz und Mach programmatisch verteten.

    Wenn es nur die Eliminierung von Kraft aus den Bewegungsgl. ist, was Sie stört, so hat das nichts spezifisch mit Relativität und Einstein zu tun. Wenn Sie das allerdings nur stört, weil in der GR die Gravitation geometrisiert ist, wäre Ihr Einwand eher etwas von der Art dessen, was man gemeinhin einen Strohmann nennt. Das sollten Sie vielleicht klarstellen; auf eine absehbar fruchtlose Strohmann-Diskussion wird sich kaum jemand wirklich einlassen wollen.

    • Chrys schrieb (21. Januar 2017 @ 09:53):
      > Nun lässt sich Bewegung unter dem Einfluss eines Potentialkraftfeldes äquivalent auch als kräftefreie Bewegung in einem Raum mit geeigneten geometr. Eigenschaften formulieren.

      Diese beiden genannten Fälle wären also dahingehend unterscheidbar, dass

      – entweder: „geometrische Eigenschaften des Raumes“ (allein) dadurch bestimmt wären, dass sie

      geeignet zur Formulierung von „kräftefreier Bewegung“ sind
      (vermutlich insbesondere einschließlich: „geeignet“ zur Darstellung des Austausches von bloßen, beispielhaft unbefangenen Signal-Fronten zwischen identifizierbaren Beteiligten),

      – oder: … Wie denn sonst ?!?

      Die genannte vermeintliche „Äquivalenz“ kann also höchstens jene überzeugen, die sich die Frage nach der Messung von „geometrische Eigenschaften“ („des Raumes„, oder auch von Beteiligten in Beziehung und ggf. in „Bewegung“ gegenüber einander) gar nicht stellen.

      (Etwa jene Sorte von Senf-in-die-Augen-Wischern, die Waagen für kalibriert halten, wenn man sie derart beschriftet im Regal liegen hat …)

      • @Frank Wappler / 23. Januar 2017 @ 10:36

        Zu der Äquivalenz, die sich in einer Geometrisierung von Newton sowie einer diese verlustfrei invertierenden Degeometrisierung manifestiert, sei einmal mehr auf den Übersichtsartikel von Malament verwiesen. Weniger formal und daher womöglich leichter vedaulich, jedoch mit Fragstellungen zum selben Kontext befasst ist zudem der folgende physik-philosophische Essay:

        Knox, Eleanor (2009) Geometrizing gravity and vice-versa: the force of a formulation. [Preprint]

        • Chrys schrieb (23. Januar 2017 @ 18:49):
          > Zu der Äquivalenz, die sich in einer Geometrisierung von Newton sowie einer diese verlustfrei invertierenden Degeometrisierung manifestiert, sei einmal mehr auf den Übersichtsartikel von Malament verwiesen.

          Der Übersichtsartikel von Malament ist jedenfalls sachdienlich, denn (wie schon 9. April 2013 @ 16:41 bemerkt) er erkennt zumindest das wesentliche Problem:

          S. 53: The question arises whether it is possible to […] start with the pair (M, ≪) or (M, <), with M […] construed as a bare point set, and recover the geometric structure

          Newton (oder den „klassischen Geometern“) erkannte(n) diese Aufgabe gar nicht; geschweige denn eine Lösung alternativ zu der, die wir als (Geometrie der) RT kennen
          (nämlich kurz gesagt: Ping-Koinzidenz-Gitter identifizieren, und diese ggf. stückweise in flache Ping-Koinzidenz-Gitter einbetten).

          Die behauptete Äquivalenz ist demnach allenfalls oberflächlich, und darum irreführend.

        • Chrys schrieb (23. Januar 2017 @ 18:49):
          > Zu der Äquivalenz, die sich in einer Geometrisierung von Newton sowie einer diese verlustfrei invertierenden Degeometrisierung manifestiert, sei einmal mehr auf den Übersichtsartikel von Malament verwiesen.

          Der Übersichtsartikel von Malament ist jedenfalls sachdienlich, denn (wie schon 9. April 2013 @ 16:41 bemerkt) er erkennt zumindest das wesentliche Problem:

          S. 53: The question arises whether it is possible to […] start with the pair (M, ≪) or (M, <), with M […] construed as a bare point set, and recover the geometric structure

          Newton (oder die „klassischen Geometer“) erkannte(n) diese Aufgabe gar nicht; geschweige denn eine Lösung alternativ zu der, die wir als (Geometrie der) RT kennen
          (nämlich Ping-Koinzidenz-Gitter identifizieren, und diese ggf. stückweise in flache Ping-Koinzidenz-Gitter einbetten).

          Die behauptete Äquivalenz ist demnach allenfalls oberflächlich, und darum irreführend.

          • @Frank Wappler / 24. Januar 2017 @ 08:03

            Liegt hier gegebenenfalls seitens des lieben Lesers eine Fehldeutung darüber vor, worauf sich die Rede von `recover‚ in Sec. 3.2 bei Malament genau bezieht?

        • Chrys schrieb (25. Januar 2017 @ 01:05):
          > Liegt hier gegebenenfalls seitens des lieben Lesers eine Fehldeutung darüber vor, worauf sich die Rede von `recover´‚ in Sec. 3.2 bei Malament genau bezieht?

          Liegt hier gegebenenfalls seitens des werten Autors eine bestimmte Absicht dahingehend vor, dass etwas (z.B. „geometric structure„), das zunächst nur in Aussicht gestellt (behauptet, versprochen, gewollt) war, anschließend erhalten (bewiesen, erfüllt, gehalten, getan) und dabei unmissverständlich wiederzuerkennen sein würde?

          In meinem Bemühen, der Möglichkeit eventueller Fehldeutungen nachzugehen und solchen ggf. zu begegnen, habe ich allerdings bemerkt, dass über die oben verlinkte Seite verschiedene Versionen von Malaments Artikel abrufbar sind, die sich hinsichtlich ihrer Seitenanzahl und -einteilung unterscheiden. Mein obiger Verweis (und auch meine vorausgegangenen Verweise), das relevante Zitat auf Seite 53 zu suchen, eignet sich deshalb wohl für ein(ig)e Version(en) des Artikels; jedoch nicht für alle gleichermaßen.

          Auf alle (mir bekannten) Artikel-Versionen trifft aber zu, dass sich das betreffende Zitat in Sec. „3.3 Rcovering Global Geometric Structure from „Causal Structure““ befindet.

          Übrigens:
          Liegt da gegebenenfalls seitens des werten Autors eine Verfehlung (eine Verletzung des Ockhamschen Prinzips) dergestalt vor, dass er eventuelle Betrachtungen ohne erkennbare Not auf „global geometric structure“ einschränkt?

          • @Frank Wappler / 25. Januar 2017 @ 10:54

            Es lag in der Tat eine bestimmte Absicht vor, die darin bestand, vermuten zu lassen, dass mit `recover‘ in Sec. 3.2 keinerlei GOTO-Anweisungen in andere Sections verbunden sind, sondern dahin gezielt wird, wo es heisst, “We have the following recovery, or de-geometrization, theorem (also essentially due to Trautman [1965]).” Danach folgt eine Proposition, welche je nach Version entweder als Prop. 14 oder als Prop. 3.2.2 gekennzeichnet ist. In jedem Fall steht aber nochmals Recovery Theorem dran.

        • Chrys schrieb (25. Januar 2017 @ 23:41):
          > Es lag in der Tat eine bestimmte Absicht vor, die darin bestand, […]

          Meine Reaktion (24. Januar 2017 @ 08:00) auf die Erwähnung des (auch vor Längerem schon woanders angesprochenen) „Übersichtsartikels von Malament“ war ebenfalls mit einer bestimmten Absicht verbunden. Nämlich (um darüber keine Zweifel aufkommen zu lassen):

          den Koordinaten-Schnickschnack zu übergehen, mit dem Malament 3.2 Sektionen lang diejenigen Leser beleidigt, die auf der Suche nach „geometric structure“ sind,
          und (erneut) zu fordern, dass die oben zitierte Textaufgabe, die Malament in Sec. 3.3 ja immerhin formuliert, auch endlich und vorrangig angepackt wird.

          Ausgehend vongeometric structure“ mag sich dann ja gern auch „differential geometric structure“ bzw. „dynamics“ studieren lassen …

          • @Frank Wappler / 26. Januar 2017 @ 09:57

            Man wundert sich, was mancher aus so einem Text herauslesen mag (speziell jemand, der sich ganz unmotiviert angewöhnt hat, ohne seine geliebten Koordinaten-Scheuklappen keinen Schritt vor die Haustür zu wagen, geschweige denn einen Blick in eine Raumzeit zu riskieren).

            Die drei Special Topics im zweiten Teil von Malaments Übersicht sind doch ganz unterschiedlichen Themata gewidmet und haben untereinander keinen inhaltlichen Querbezug. Und Abschnitt 3.2 handelt zuvörderst von Sir Isaacs Theorie der Gravitation (NG); Einstein hat in diesem Akt des Dramas keinen Auftritt.

            Im Bemühen um eine physikertaugliche Formulierung könnte man vielleicht sagen, die Frage nach einer Geometrisierung von NG ist die nach einer Strategie, Newtons Schwerkraft als eine Zwangskraft zu behandeln und folglich aus den Bewegungsgl. zu eliminieren. Wenn eine frei fallende Testmasse dann noch immer beschleungt fällt, kann die Raumgeometrie nicht mehr so ganz trivial sein, denn in diesem Fall würde sie ja im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig-geradlinigen Bewegeung verharren. Spätestens nach erfolgreich absolvierter Teilnahme an einer Vorlesung über klass. Mechanik sollte doch zumindest die Fragestellung plausibel erscheinen.

        • Chrys schrieb (26. Januar 2017 @ 18:51):
          > […] Wenn eine frei fallende Testmasse dann noch immer beschleungt fällt, kann die Raumgeometrie nicht mehr so ganz trivial sein, denn in diesem Fall würde sie ja im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig-geradlinigen Bewegung verharren. […]

          Sollte man sich auf jemandes Meinung verlassen, welche Beteiligten „frei fallende Testmasse“ gewesen wären, und welche nicht, dem man die Feststellung von geometrischen Beziehungen nicht an sich zutraut ?

          Und von wegen „unmotivierte Koordinaten-Scheuklappen“:

          Meint jemand, der Ereignisse mit Koordinatenwerten benennt , ohne sich darum zu kümmern, wer an den jeweilligen Ereignissen (ggf. in Koinzidenz) teilnahm und was diese Beteiligten dabei (jeweils koinzident) wahrnahmen, dadurch etwa gerade diejenigen (geo-)metrische Strukturen darzustellen, die in Malaments Textaufgabe gesucht sind ??

          (Dabei versteht sich hoffentlich, dass durch die von Malament genannten Relationen „≪“ bzw. „<“ schon eine gewisse Struktur der Menge M von Ereignissen beschrieben und abstrahiert ist, deren Ermittlung darauf hinausläuft, festzustellen und auszuwerten, „wer wen traf“, und „wen dabei nicht“, und „wessen Treffen dabei außerdem wahrnehmbar waren“.)

          Um Modelle aufzustellen, die durch Auswertung von Beobachtungsdaten ggf. falsifizert werden, muss als Messgröße(n) festgelegt sein, wie Messwerte aus gegebenen Beobachtungsdaten zu ermitteln sind.
          Ob und wie Koordinaten noch darübergestreußelt werden, ist und bleibt grundsätzlich egal.

          (Die Vermittlung dieser Motivation gehört MBBN zumindest in die Einführungsvorlesung jedes Physikkurses.
          Aber hoffentlich gibt Markus Pössel uns und allen Lesern recht bald noch die 24. September 2016 @ 10:56 angekündigte ausfühlichere Gelegenheit, sich mit dieser Motivation auseinanderzusetzen.)

  18. @ Chrys: „Nun lässt sich Bewegung unter dem Einfluss eines Potentialkraftfeldes äquivalent auch als kräftefreie Bewegung in einem Raum mit geeigneten geometr. Eigenschaften formulieren.“
    Wie ist es aber, wenn sich die Butter in Ruhe, bewegungslos auf der Waagschale befindet? Welche „Raumkrümmung“ drückt dann die Feder zusammen, wenn es doch gar keine Schwerkraft gibt? Und welche Kraft zerlegt den freifallenden Shoemaker in 21 Fragmente, wenn es nicht die Schwerkraft ist, die es nach Pössel und ART nicht gibt?

    Übrigens ist es ein weitverbreiteter Irrtum zu glauben, Newtons second law würde die Kraft definieren. Es gibt z.B. die Reibungskraft, die zu einer Erwärmung bei konstanter Geschwindigkeit ohne Beschleunigung führt. Die Auftriebskraft hält die Schiffe an der Meeresoberfläche und die Flugzeuge in der Luft. Beide ganz unterschiedliche Kräfte halten der Schwerkraft (die es nicht gibt) das Gleichgewicht.

    Man könnte viele Beispiele mehr nennen, wo die Schwerkraft in ihrer Wirkung in Beziehung zu anderen Kräften tritt. Ähnliches gilt für die Fliehkraft oder die Corioliskraft, die man niemals durch Gravitation ersetzen kann, auch wenn dieser Gedanke ein Steckenpferd von Herrn Einstein in seiner winzigen Aufzugskapsel war.

    • @ „Wie ist es aber,
      wenn sich die Butter in Ruhe, bewegungslos auf der Waagschale befindet?…“
      Die Federwaagenhypothese ist Ausgangspunkt der ART:
      schwere Masse = träge Masse ist doch mit mindestens 10^-13 bestätigt.
      Damit bestätigt die bestätigte ART, daß Federwaagen überhaupt funktionieren.
      Die Butter versucht wegen der Haltbarkeitsdauer maximale Eigenzeit zu erreichen.
      Sie würde vom Tisch aufgehalten, als Meßgerät steht dazwischen die Federwaage.
      Die Feder, um eine Observable der ART zu messen, ist deswegen nicht starr.
      Sie gibt dem Wunsch der Butter, vorher kalibriert, ein Stückchen nach.
      Sie ist eine Uhr, auf dem Mond würde sie geringere Zeitkrümmung anzeigen.

      • @ Herr Senf

        Habe ich das jetzt richtig verstanden, auf dem Mond würde die Feder eine geringere Zeitkrümmung anzeigen, wegen dort längerer Haltbarkeitsdauer der Butter?

        scnr

        „(Physik) Dunkle Materie. Heller Geist. Beide schwer zu finden.“ (Helmut Wicht)

  19. @Dr. Wolfgang Engelhardt / 22. Januar 2017 @ 22:20

    Newtons Begriff von Schwerkraft betrifft zunächst die wechselseitige Attraktion von Erdmasse und Buttermasse, woraus für alle praktischen Belange der Schulphysik eine Fallbeschleunigung der Butter im Erdschwerefeld resultiert. Diese Fallbeschleunigung bedingt wiederum eine Gewichtskraft (vulgo Gewicht), das die Butter auf ein Hindernis in ihrem Fallweg ausübt; die Butter im freien Fall wäre noch gewichtslos. Mit der Waage wird dann diese Gewichtskraft der Butter ermittelt (und nicht etwa deren Schwerkraft). Präziser gesagt, die Waage zeigt die Federkraft an, die es braucht, um die Gewichtskraft der Butter dem Betrage nach zu kompensieren und die Buttermasse in einem Equilibrium zu halten. Wenn nun die Schwerkraft geometrisiert wird, bleibt die resultierende Fallbeschleunigung der Butter davon unberührt, und folglich auch ihre Gewichtskraft, welche dann effektiv die Feder der Waage zusammendrückt. Für die Marktfrau hat sich unterm Strich dadurch also nichts geändert.

    Nach meinem Eindruck bleiben Aspekte zur Geometrisierung der Newtonschen Gravitation in gängigen Lehrbüchern weitgehend unerwähnt, und Beipiele, wo mit dieser Tradition deutlich gebrochen wird, sind nicht so leicht zu finden. Eine bemerkenswerte Ausnahme ist Classical Mechanics von Joseph McCauley, wo ein konzeptioneller Zugang zur GR über Newton-Cartan beschritten wird.

    Dass die Physik kein einheitliches Konzept von Kraft vorzuweisen hat, ist ja zumindest Teil des Problems, das etwa ab Mitte des 19. Jhdts eine Revision der begrifflichen Grundlagen motivert hat. Bis dahin war die `Kraft‘ zu einem recht inflationär gebrauchten Modewort verkommen, das allem möglichen angeheftet wurde. 1847 schrieb Helmholtz Ueber die Erhaltung der Kraft, und die Studiosi lernten in den Vorlesungen zur Mechanik von der Bedeutung der lebendigen Kraft. Diese wurde nachfolgend in Energie verwandelt, was gewiss einen Fortschritt darstellt, doch inzwischen haben wir eher schon wieder ein Problem mit unzureichend reflektiertem Palaver über Energie.

  20. Hallo Herr Pössel,
    vermutlich haben Sie meine Frage übersehen, die ich mir nun gestatte zum dritten Mal zu stellen: Wenn man beweisen kann, dass nicht alle Körper beim freien Fall aus derselben Höhe im selben Gravitationsfeld dieselbe Fallzeit (bei der selben Bahnkurve) besitzen, würde die Gleichheit von schwerer und träger Masse nicht gelten. Damit wäre das Schwache Äquivalenzprinzip als wesentliche Voraussetzung der ART widerlegt. Stimmen Sie mir da zu?

  21. @ Chrys
    Ihren Ausführungen kann ich größtenteils zustimmen, nur habe ich ein Problem damit, was Sie eigentlich unter „Fallbeschleunigung“ verstehen. Marktfrau, Waage und Butter sind alle in relativer Ruhe zueinander, nichts wird beschleunigt. Allerdings wirkt auf die Butter offenbar eine Kraft, welche die Feder proportional zur Buttermasse zusammendrückt. Die gleiche Kompression könnte man auch mit Muskelkraft erreichen, so dass es durchaus gerechtfertigt ist, von einer „Schwerkraft“ zu sprechen, die Sie „Gewichtskraft“ im speziellen Fall nennen.

    Problematisch wird das beim frei fallenden Kometen, den die Gezeitenkräfte zerreißen. In diesem Fall scheint es mir doch angebracht, von einer Wirkung der Gravitation = Schwerkraft zu sprechen. Ganz unplausibel ist es, das Kraftkonzept aus der Gravitationstheorie zu verbannen und es durch eine fiktive „Raumzeitkrümmung“ zu ersetzen. Das ist schon deshalb problematisch, weil es gar keine einheitliche Theorie gibt (s. mein Papier https://www.researchgate.net/publication/312118218_Free_Fall_in_Gravitational_Theory, Einstein vs. Schwarzschild) und noch weniger eine Vorschrift, welche die hypothetische Raumzeitkrümmung in ein klares Konzept zur Übersetzung in messbare Effekte überführt. Der inhaltsleere Satz „Gravitation ist keine Kraft, sondern Eigenschaft der Raumzeit-Geometrie.“ sollte besser vermieden werden, denn über Kraftwirkungen wissen wir weit besser Bescheid, als über den Wolpertinger „Raumzeit-Geometrie“.

    Sehr nützlich ist übrigens die Kraftdefinition über Kraft x Weg = Energie. Der Bergsteiger, der sich am durchgerutschten Seil mal die Finger verbrannt hat, weiß damit jedenfalls mehr anzufangen als mit einer gekünstelten Erklärung seiner Brandblasen durch „Krümmung der Raumzeit“.

  22. @Dr. Wolfgang Engelhardt / 26. Januar 2017 @ 18:35

    »… nur habe ich ein Problem damit, was Sie eigentlich unter „Fallbeschleunigung“ verstehen.«

    Die Begriffe Schwerkraft und Gewichtskraft verwende ich nicht synonym, und hinlänglich gewissenhafte Physiklehrer halten es damit meines Wissens genauso. Hier e.g. aus einem Online-Schülerlexikon: Die Gewichtskraft gibt an, wie stark ein Körper auf eine Unterlage drückt oder an einer Aufhängung zieht. Hingegen verstehe ich unter Schwerkraft generell die in Newtons Gravitationsgesetz formulierte Anziehungskraft zwischen Massen, was dann in restringierter Form für eine Testmasse m unter dem Einfluss eines gegebenen Gravitationspotentials V auf die Newtonsche Bewgungsgl. d(mv)/dt = −grad V führt. Die mit einer solchen Bewegung einhergehende Beschleunigung der Testmasse habe ich mit ihrer „Fallbeschleunigung“ gemeint, womit ich, wie ich einräumen muss, vom üblichen Sprachgebrauch im Physikunterricht womöglich insofern abweiche, als dort diese Bezeichnung dem konkreten Wert 9.81 m/s² vorbehalten sein mag.

    Was demnach im Szenario der Butterwägung die Feder zusammendrückt, ist das Gewicht der Butter. Es werden hierbei also Federkraft und Gewichtskraft gegeneinander aufgerechnet. Zu ihrem Gewicht kommt eine Buttermasse dadurch, dass sie durch die Waage an einer beschleunigten Bewegung des freien Falls im Erdschwerefeld (gemäss der genannten Bewegungsgl.) gehindert und in einem Gleichgewicht gehalten wird.

    Wenn sich nun ein Weg angeben lässt, die Schwerkraft in Newtons Gravitationstheorie (NG) formal als eine Zwangskraft zu behandeln, die in den Bewegungsgleichungen nicht mehr aufscheint, dann wäre damit eine Umformulierung der NG erreicht, mit einigen Konsequemzen für die Interpretation von Bewegungsgleichungen. Entscheidend ist jedoch, dass es sich dabei lediglich eine Unformulierung handelt, die inhaltlich komplett der NG entspricht und dieselben Aussagen über die Bewegung von Testmassen liefert. Eine Testmasse fällt dann also nicht anders als in der NG, und insbesondere hat die auf der Waage ruhende Butter noch immer dasselbe Gewicht wie zuvor. Pointiert gesagt: Eine formale Eliminierung der Schwerkraft eliminiert nicht die Gewichtskraft.

    Élie Cartan hat schlussendlich mit seiner Geometrisierung der NG, der NCT, gerade einen solchen Weg aufgezeigt und beschritten. Von Interesse ist das nicht zuletzt deshalb, weil so ersichtlich wird, dass die Aspekte von Geometrisierung und Relativität eigentlich zwei verschieden Paar Schuhe sind, die sich durchaus separieren lassen, was einem üblicherweise in Lehrtexten zur GR gar nicht nahegelegt wird.

    Mit der Gezeitenkraft, die einen Kometen zerreissen kann, verhält es sich prinzipiell ähnlich wie mit der Gewichtskraft, d.h., auch sie ist von der Geometrisierung nicht betroffen und nach wie vor so präsent wie beim klassischen Newton. Ich kann gerne darauf noch eingehen, was mir aber nur sinnvoll erschiene, wenn Sie bis hierher keine Einwände hätten, was ich zunächst einmal abwarten möchte.

  23. Was ich meine, ist die Aussage, dass alle Körper im Gravitationsfeld gleich schnell fallen sollen. Diese Aussage ist schlicht falsch. Bei den Versuchen, die gemacht wurden, waren die fallenden Körper immer sehr viel kleiner als der anziehende (die Erde). Im Weltraum kann diese Situation kaum befriedigen. Bei der Beschreibung der Gravitation ist es unzulässig, einem der wechselwirkenden Körper kein eigenes Gravitationsfeld zuzubilligen. Jedes Wasserstoffatom hat mit seiner Masse eines. Schließlich ist die Masse ein Maß für die Gravitationsladung. Wie sollten sonst Sterne entstehen? Wenn nun bspw. ein sehr dichter kleiner Körper, dessen Masse der der Erde entspricht auf die Erde fällt, fällt natürlich auch die Erde auf ihn. D.h. in diesem Zweimassensystem wird ein fallender Körper bei gleichem Anfangsabstand mit zunehmender Masse in der Endgeschwindigkeit immer langsamer. Das ziehen die Gesetze der Energie-und Impulserhaltung einfach nach sich. Wenn Sie das bezweifeln, gebe ich Ihnen gern ein Rechenbeispiel.
    In Anlehnung an das bekannte Fahrstuhlexperiment ist es auch nicht sehr schwer, ein Beispiel zu beschreiben, bei dem der Mensch im freien Fall im geschlossenen Fahrstuhl sehr wohl unterscheiden kann, ob er sich im Gravitationsfeld befindet oder nicht.

    • Man darf aber den freien Fall von Testmassen im Feld nicht mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz zwischen Feldern (Massen) durcheinander bringen.
      Den gleich schnellen Fall hat schon Galilei bewiesen, sonst würde sich ein Körper selbst überholen, so was wie Überholen ohne Einhohlen.

    • Andreas Gimsa schrieb (30. Januar 2017 @ 16:38):
      > […] dass alle Körper im Gravitationsfeld gleich schnell fallen sollen

      … illustriert eher eine Phrase, die an sich „noch nicht mal falsch“ ist; bzw. „gar keine ordentliche [[Aussage]]„.

      Man mag ja vermuten, dass es dabei um alle Versuche (mit beliebigen „Körpern„, insbesondere von beliebiger Masse)
      im Gravitationsfeld“ jeweils von gleicher (Feld-)Stärke gehen soll;
      und dass die erwähnte „Schnelligkeit des Fallens“ (und deren in Frage stehende Gleichheit, oder Ungleichheit) sich konkret auf die (Beträge von) Beschleunigung bezieht, der ein (idealisierter Weise einziger Bestandteil bzw. „Punkt“ eines) Körper(s) unterläge.

      (Der Anschaulichkeit halber sei hinzugefügt: insbesondere ein Körper, der gegenüber anderen Beteiligten, z.B. Bestandteilen von „Waagen“, starr war und blieb, also „gehalten wurde“.)

      Auf Grundlage dieser Interpretation (die mehr oder weniger naheliegt), lässt sich z.B. die Aussage treffen,


      dass alle Beteiligten, die jeweils in einem bestimmten Versuch gleiche Beschleunigungs-Beträge aufwiesen, dabei/deshalb einem „Gravitationsfeld“ gleicher Stärke ausgesetzt waren.

      Von „Masse“ solcher Beteiligten ist dabei offenbar keine Rede;
      sie können in dieser Hinsicht also durchaus ungleich sein.

      (Es dürfte auch auffallen, dass in dieser Aussage gar nicht ausdrücklich erwähnt wurde, hinsichtlich welcher „Waagen“-Bestandteile der betreffende Beteiligte jeweils starr gewesen und geblieben wäre. Solche Feststellungen wären erst zur weiterführenden Bestimmung von eventuellen „Ursachen des jeweiligen Gravitationsfeldes“ relevant.)

      > […] im freien Fall im geschlossenen Fahrstuhl sehr wohl unterscheiden kann, ob er sich im Gravitationsfeld befindet oder nicht.

      Sofern „im freien Fall“ definitionsgemäß die oben genannte (und im verlinkten Kommentar ausdrücklich als Messgröße definierte) Beschleunigung exakt Null sein muss, ergibt sich die Bewertung des entsprechenden „Gravitationsfeldes“ zwangsläufig als:
      (so gut wie) gar keins.

      Die Region, die den Fahrstuhl enthält, kann ja trotzdem gekrümmt sein.
      Insbesondere müssten die Pingdauern zwischen voneinander getrennten, jeweils frei fallenden Beteiligten dabei nicht unbedingt konstant bleiben; sie könnten stattdessen „(von den Gezeiten) auseinandergezogen“ werden.

      > […] einem der wechselwirkenden Körper [sein] eigenes Gravitationsfeld zuzubilligen.

      Sicher. Und nicht minder:
      einer (Federwaagen)-Feder, die „unter Druck steht“, sofern sie zwei (signifikante) Massen gegenüber einander starr hält (also insbesondere davon abhält, aufeinanderzu zu fallen);
      wobei zweifellos beide Federenden (einzeln) beschleunigt waren (allerdings i.A. mit ungleichen Beträgen), alias „Gravitationsfeldern ausgesetzt“ waren (allerdings i.A. von ungleicher Feldstärke).

      Aber um lediglich die Beschleunigung eines bestimmten Beteiligten zu ermitteln, ist es natürlich nicht erforderlich, Beschleunigungen irgendwelcher anderer Beteiligter zu kennen bzw. schon ermittelt zu haben.

      > [… Beim] Zweimassensystem wird ein fallender Körper bei gleichem Anfangsabstand mit zunehmender Masse in der Endgeschwindigkeit immer langsamer.

      Dahinter verbirgt sich vermutlich die Vorstellung bzw. Fiktion eines umfassenden Inertialsystems, dem gegenüber beide Massen eine bestimmte Geschwindigkeit hätten,
      und zu dem insbesondere „der Schwerpunkt dieses Zweimassensystem“ gehört;
      sowie die Vorstellung eines bestimmten „Endes des freien Aufeinanderzufallens“ (z.B. ein „Aufeinanderprallen der Oberflächen“) markiert duch ein Ereignis in einer Region, die (passender Weise) nahezu flach ist (so dass während des Fallens jedenfalls noch kein Teil des einen Körpers bis zur [[Photonsphäre]] des anderen gekommen wäre, sofern dieser eine solche überhaupt besäße).

      Es ist zu beachten, dass Beschleunigungswerte (wie sie oben formulierten Aussage gebraucht werden) sich (im Rahmen der Relativitätstheorie) ermitteln lassen, ohne auf solche Vorstellungen bzw. Fiktionen angewiesen zu sein.

      • Herr Wappler,
        Sie argumentieren am Kern vorbei. Jede Masse hat ihr eigenes Gravitationsfeld das mit anderen Gravitationsfeldern wechselwirken kann. Wenn man das Gravitationsfeld von kleinen Massen ausblendet und feststellt, dass sie gleich schnell auf große Massen fallen, blendet man damit auch ihre Massen und ihre gravitative Ladung aus. Ohne Masse könnten sich die Objekte im Gravitationsfeld gar nicht bewegen (Neutrinos werden im elektrischen Feld aufgrund ihrer Neutralität auch nicht abgelenkt). Also muss es sich bei der Annahme, dass Massen im Gravitationsfeld gleich schnell fallen, um eine Näherung handeln. Dieser Spezialfall eines 2-Massensystems mit einer sehr großen und einer beliebigen sehr kleinen fallenden Testmasse war jedoch für Einstein eine wesentliche Grundlage der Verallgemeinerung in Form der ART (nachzulesen in „Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie“, Annalen der Physik, Bd. 49, S.773, Leipzig, 1916) deren Verfechter die korrekte Wirkungsbeschreibung der Gravitation für sich beanspruchen- eine fatale Situation. Ihre Ursache bleibt ungeklärt (gekrümmte Raumzeit ist nun wirklich eine Erklärungskrücke, obwohl es richtig ist, dass sich der Zeitfluss unter Graviationseinfluss ändert), gegenüber der hervorragenden Quantenphysik ist sie inkonsistent, die Maxwell-Gleichungen bleiben unvollständig uns es werden uns Wunder in Form von Dunkler Energie präsentiert, die antigravitativ wirken soll.
        Nehmen wir zum Beispiel den Mond in seinem jetzigen Abstand zur Erde, tun so, als befänden sich beide in Ruhe, als wären sie die beiden Einzigen auf der Welt und lassen sie aufeinander fallen. Die Mondgeschwindigkeit beim Zusammenprall (Berührung der Oberflächen) würde 9.750 m/s betragen. Die Endgeschwindigkeit der Erde betrüge 120 m/s. Das heißt, sie rauschen mit 9.870 m/s zusammen. Ein Stein mit 1 kg Masse und einem Durchmesser von 10 cm bringt es aus der gleichen Entfernung bis zum Zusammenstoß auf 11.091 m/s, die Erde bewegt sich hier natürlich so gut wie gar nicht auf den Stein zu. Es ist auch klar, dass sich alle Systeme mit einer großen und sehr kleinen Testmassen im Vakuum so verhalten müssen, egal ob es nun Stahlkugeln, Bettfedern oder Regenwürmer sind.
        Ihre mystischen Bemerkungen zum Inertialsystem bleiben mir ein Rätsel, obwohl es nach meinen Erkenntnissen ein universelles Bezugssystem in Form einer mathematisch imaginären Gegenwart geben muss. Das lässt sich im Minkowski-Raum gut beschreiben.

  24. @Markus Pössel / 27. Januar 2017 @ 21:12

    »Ich bin nach wie vor der Überzeugung, dass die Wortwahl „unterschiedlich schnell gehende Uhren im Gravitationsfeld“ physikalisch durchaus sinnvoll und für vereinfachte Erklärungen geeignet sind.«

    Das relativistische Verhalten von Uhren ist bereits vollständig und auf die einfachste überhaupt vorstellbare Weise geklärt durch die Forderung, dass Uhren die Passage von Eigenzeit anzeigen. Wer sich nur konsequent daran hält, hat damit einen fabelhaften Ariadnefaden, um sich in dem Labyrinth missglückter RT-Belehrungen, an dem seit nunmehr über 100 Jahren unverdrossen gebaut wird, nicht mehr so leicht zu verirren.

    Leider hat Rindler mit seinem Buch auch nur einen Stein zum Bau des Labyrinths beigetragen. Was er da etwa schon in Sec. 1.16 zum Gang von Uhren verkündet, ist komplett falsch. Gemäss Rindlers Deutung müssten die von ihm betrachteten Uhren dann entsprechend auch sensitiv auf Beschleunigungen reagieren (Äquivalenzprinzip!), was Uhren, die ein Verrinnen von Eigenzeit anzeigen, aber nun einmal ganz gewiss nicht tun. Und Herrn Engelhardts Vorbehalte gegen die RT werden sich mit solch kontradiktorischen Deutungen garantiert nicht ausräumen lassen.

    • Chrys schrieb (1. Februar 2017 @ 13:18):
      > […] die Forderung, dass Uhren die Passage von Eigenzeit anzeigen.

      Eine konkrete Forderung, die darüber hinausgeht, dass sich die die Menge von „Zeigerstellungen“ bzw. „Anzeigen“ eines bestimmten Beteiligten eindeutig zu einer geordnetenMenge/Folge/“Passage“ ordnen lassen soll,
      wäre z.B., nur „gute“ Uhren zu berücksichtigen;
      d.h. die gegebenen Anzeigen eines bestimmten Beteiligten A stets so zu „lesen“ bzw. mit reellen Zahlen t zu parametrisieren, dass für je vier verschiedene Anzeigen As gilt:

      (t[ A_Q ] – t[ A_P ]) = (t[ A_K ] – t[ A_J ]) τA[ _P, _Q ] / τA[ _J, _K ].

      Im Sinne Einsteins (1917) setzt eine solche Forderung freilich die Festsetzung einer (nachvollziehbaren) Messdefinition bzw. -methode zur Ermittlung von Dauer-Verhältnissen voraus.

    • …und wer diese „einfachste überhaupt vorstellbare“ Erklärung, dass Uhren die Passage von Eigenzeit anzeigen, jemandem vorsetzt, der das Wort „Eigenzeit“ noch nie gehört hat, wird Unverständnis erzeugen. ‚Am einfachsten, wenn man es einmal verstanden hat‘ und ‚Ausgehend vom Alltagswissen einfach näherungsweise richtige Vorstellungen vermittelnd‘ sind zwei verschiedene paar Schuhe.

      Zu Rindler: Ich sehe in dem betreffenden Abschnitt nichts falsches. Und Ihre ohne nähere Begründung vorgetragene Aussage, dass Uhren jenes „nun einmal ganz gewiss nicht tun“ kann ich auch nicht nachvollziehen.

  25. Markus Pössel schrieb (27. Januar 2017 @ 21:12):
    > Ich bin nach wie vor der Überzeugung, dass die Wortwahl „unterschiedlich schnell gehende Uhren im Gravitationsfeld“ physikalisch durchaus sinnvoll und für vereinfachte Erklärungen geeignet sind.

    Ich bin nach wie vor der Überzeugung, dass die Wortwahl „unterschiedlich schnell gehende Uhren“ sinnvoll, unmissverständlich und ohne irgendwelche Einschränkungen Uhren beschreibt (oder auch verschiedene Versuche der selben Uhr), für die

    τA[ _Versuchsbeginn, _Versuchsende ] / τB[ _Versuchsbeginn, _Versuchsende ]
    ungleich
    (t[ A_Versuchsende ] – t[ A_Versuchsbeginn ]) / (t[ B_Versuchsende ] – t[ B_Versuchsbeginn ]).

    Das erfordert natürlich, Dauern τ messen, also Verhältnisse von Dauern als reelle Zahlenwerte ermitteln zu können, die in der linken Seite der obigen Ungleichung auftreten.
    Die Auswertung der rechten Seite ist dagegen trivial, da die Readings bzw. Koordinaten t, die den Anzeigen zugeordnet wurden, unmittelbar reelle Zahlenwerte darstellen.

    > In einer statischen Raumzeit, der Einfachheit halber: rund um eine kugelsymmetrische Masse kann ich schließlich Uhren zu unterschiedlichen Zeiten auf genau die gleiche Weise transportieren. […]
    > Die [Dauern für] „Transport […]“ und „Rücktransport“ [sind] per Definition für alle meine Uhren [gleich].

    Das Schlüsselwort lautet kann.
    Ohne Festsetzung einer Messgrößen-Definition, die eine nachvollziehbare Methode einschließt bzw. an die Hand gibt, um solche Dauern im konkreten Falle zu vergleichen, ist die geforderte Gleichheit nur Illusion.

    > Wieviel Zeit der entsprechenden Weltlinienabschnitte zwischen den jeweils zwei Vergleichen am Ort von A vergangen ist, kann ich direkt lokal durch Uhrenvergleiche bestimmen.

    ???
    Da werden offenbar Uhren vorausgesetzt, die (im obigen Sinne) durchwegs gleich schnell gingen.
    Diese Voraussetzung geringzuschätzen, hieße (im oft-zitierten Sinne Einsteins), sich einer Täuschung hinzugeben.
    Sie bewußt zu verschweigen hieße sogar, andere täuschen zu wollen.

    > „die Eigenzeitlänge am Ruheplatz nahe der Masse ist jeweils kürzer“,

    Ich bin nach wie vor der Überzeugung, dass die Wortwahl „Dauer“ zur Bezeichnung des Maßes von Zeit im Allgemeinen, bzw. für konkrete Messwerte (jeweils bezüglich eines bestimmten Beteiligten, und zweier bestimmter Anzeigen dieses Beteiligten) geeignet und unmissverständlich ist;
    Insbesondere im Gegensatz zu Wortschöpfungen wie „Eigenzeitlänge“ oder „Eigenzeitdauer“, die

    – durch explizites Nennen des Wortes „Eigen“ den Eindruck nahelegen, es seien auch Größen denkbar oder diskutabel, die nicht eigen wären; und

    – das Wort „Zeit“ nicht im Sinne Einsteins (dass ich an Stelle der „Zeit“ die „Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr“ [bzw. „Anzeige“] setze) gebrauchen.

    Außerdem bin ich nach wie vor der Überzeugung, dass mit dem Wort „Ruhe“ nur solche Beteiligte bezeichnet werden sollten, die nicht (einzeln betrachtet, „absolut“) beschleunigt sind;
    insbesondere in Unterscheidung zu Systemen von mehreren Beteiligten, die alle gegenüber einander (opto-chronometrisch) starr sind.

    Im Übrigen stimme ich weitgehend zu:
    Von zwei Beteiligten, die gegenüber einander (opto-chronometrisch) starr waren und blieben, nennt man denjenigen „tiefer gelegen (als der andere)“, dessen Pingdauer geringer/kürzer als die des anderen war.

    > diese spezielle Situation wird durch die Aussage „Uhren tiefer im Gravitationsfeld gehen langsamer“ gut beschrieben

    Nein. Wenn überhaupt, dann:
    „Uhren tiefer im Gravitationsfeld gehen (in gemeinsamen Versuchen) kürzer“.

    • Hm. Wo soll man da anfangen?

      Selbstverständlich gibt es Größen, die nicht „eigen“ sind. Koordinatenzeit und ähnliche Dinge, so allergisch Sie dagegen sein mögen.

      Ihre Beschreibung mit t[ A_Versuchsende ] – t[ A_Versuchsbeginn ]) / (t[ B_Versuchsende ] – t[ B_Versuchsbeginn ] macht die Sache hier aus meiner Sicht unnötig kompliziert. Wie gesagt: Voraussetzung war in dieser speziellen Situation, dass die Uhren bei Versuchsende und Versuchsbeginn am gleichen Ort sind und lokal direkt verglichen werden können.

      Dass „Uhren […] kürzer [gehen]“ ist dem Alltags-Sprachgebrauch so fern, dass man zwar versuchen kann, es als neue Sprechweise einzuführen; für die ursprüngliche Fragestellung, die diese Diskussion ausgelöst hat, nämlich mit möglichst alltagsnahen Worten kurzgefasst einen Eindruck von dem zu vermitteln, was da passiert, ist sie nicht geeignet. „Uhren tiefer im Gravitationsfeld gehen langsamer“ ist dem Alltags-Sprachgebrauch nahe, und dürfte bei den meisten Menschen zu dem richtigen Schluss führen, wenn sie gefragt werden, was das für die hier beschriebene Testsituation (Uhr tiefer ins Feld verbracht, dort stehengelassen, zum Vergleich wieder an Ausgangsort verbracht).

      • Markus Pössel schrieb (5. Februar 2017 @ 11:05):
        > Beschreibung mit

        (t[ A_Versuchsende ] – t[ A_Versuchsbeginn ]) /
        (t[ B_Versuchsende ] – t[ B_Versuchsbeginn ])

        > macht die Sache hier aus meiner Sicht unnötig kompliziert.

        Oh. Dabei war diese Seite der oben dargelegten Gleichung bzw. Ungleichung doch ganz wesentlich einfacher auswertbar gemeint als deren andere (linke) Seite:

        τA[ _Versuchsbeginn, _Versuchsende ] /
        τB[ _Versuchsbeginn, _Versuchsende ].

        (Sich mit der experimentellen Ermittlung dieses Verhältnisses zu beschäftigen, wäre jedenfalls ein brauchbarer Anfang beim Versuch einer Feststellung, welche von zwei betrachteten Uhren, A und B, „schneller ging“, während sie voneinander getrennt waren.)

        > Voraussetzung war […], dass die Uhren bei Versuchsende und Versuchsbeginn […] direkt verglichen werden können.

        Selbstverständlich.
        Und wie sollte denn das Ergebnis dieser beiden direkten (und unkomplizierten) Vergleiche ausgedrückt werden, wenn nicht als reeller Zahlenwert, der entsprechend der zitierten Formel ermittelt würde
        ??

        p.s.
        > Dass „Uhren […] kürzer [gehen]“ ist dem Alltags-Sprachgebrauch […] fern

        Zwei Belege für die Häufigkeit dieses Sprachgebrauchs:
        Kurzurlaub,
        einlangesWochenende.

        • Reden wir aneinander vorbei? Ich hatte τ_A und τ_B als die Eigenzeitintervalle der beiden betroffenen Uhren gesehen. Die sind bei einem solchen Versuch direkt ablesbar; Zeitkoordinaten (t) brauchen wir zumindest für diesen Versuch nicht. Der einfachste Vergleich ist erst einmal der direkte Vergleich der beiden Intervalle. Der erlaubt allerdings noch keine Zuordnung, welcher Anteil des Unterschieds auf das Verweilen tiefer im Gravitationsfeld zurückgeführt werden kann und welcher Anteil auf die Reise hin und zurück. Daher die Erweiterung des Versuchs um unterschiedlich lange Verweildauern bei gleichem Reiseablauf.

          Zum Sprachgebrauch: Dass ein Zeitintervall kürzer oder länger sein kann kenne ich auch als Alltags-Sprachgebrauch. Die Verbindung mit „gehen“ für eine Uhr aber nicht.

          • Markus Pössel schrieb (6. Februar 2017 @ 21:22):
            > Ich hatte τ_A und τ_B als die Eigenzeitintervalle der beiden betroffenen Uhren gesehen.

            Als Dauern; richtig.

            > Die sind bei einem solchen Versuch direkt ablesbar;

            Nein:
            Zahlenwerte, die gegebenen Uhren-Anzeigen durch Ablesung (als „Readings“) bzw. als Koordinaten zugeordnet wurden, sind etwas (ganz) anderes als Dauern;
            und werden entsprechend auch (ganz) anders benannt,
            nämlich mit dem Symbol t.

            (Nach Jahren des Korrespondierens sollte das zwar längst verstanden worden sein; aber gelegentliches Nachfragen und Wiederholen wird wohl nicht schaden.)

            > Der einfachste Vergleich ist erst einmal der direkte Vergleich der beiden Intervalle.

            (Dauern.)
            Ja, das ist zweifellos einfacher als Dauern miteinander zu vergleichen und diese außerdem mit Koordinaten-Differenzen ins Verhältnis zu setzen.

            Damit einher geht zwar der weitgehende Verzicht auf Vergleiche, welche Uhren „schneller“ oder „langsamer“ gingen (abgesehen von entsprechenden Vergleichen idealer Uhren); aber solche Vergleiche scheinen mir sowieso weniger wichtig, als manchen anderen Kommentatoren.

            > Der erlaubt allerdings noch keine Zuordnung, welcher Anteil des Unterschieds auf das Verweilen tiefer im Gravitationsfeld zurückgeführt werden kann und welcher Anteil auf die Reise hin und zurück.

            Um die beiden genannten Dauern
            τA[ _Versuchsanfang, _Versuchsende ] und
            τB[ _Versuchsanfang, _Versuchsende ]
            miteinander vergleichen zu können,
            müssen die geometrischen Beziehungen zwischen A und B ja insgesamt und in allen Details festgestellt worden sein.

            Ich hatte die obige Versuchsanordnung (3. Januar 2017 @ 12:10): „in gleicher Weise transportiert so verstanden, dass die (absoluten, nicht prozentualen) „Reise-Anteile“ der Gesamtdauern beider Uhren gleich sein sollten.

            > Daher die Erweiterung des Versuchs um unterschiedlich lange Verweildauern bei gleichem Reiseablauf.

            Das erfordert natürlich (erst recht), die Reisedauern separat zu messen, um konkret entscheiden zu können, welche Versuche entsprechend Versuchsanordnung gültig waren, und welche nicht.

            > Zum Sprachgebrauch: […]

            „Mein Meeting ging länger als ich wach bleiben konnte.“ …

          • Dann reden wir da (nicht überraschend) unterschiedlich. Für mich ist die Eigenzeit das, was man auf der Uhr selbst ablesen kann – ohne eine Gleichzeitigkeitsvorschrift, wie sie für eine (überall im Raum oder zumindest in einer begrenzten Region) definierten Zeitkoordinate nötig wäre.

            Wie bestimmen Sie denn das τ, wenn nicht mithilfe der betroffenen Uhr selbst?

            Und nein, der Vergleich von abgelesenen Eigenzeiten geht nicht mit dem Verzicht auf „schneller“ oder „langsamer“ einher – zumindest nicht in einer statischen Situation, in der ich das Experiment „Uhr ruht tiefer im Gravitationsfeld“ für unterschiedlich lange Ruhe-Eigenzeitintervalle wiederhole und den Rest des Experiments (Uhrentransport an den Ruheort und zurück zur Vergleichsuhr) durchführen kann.

            Die geometrischen Eigenschaften der Raumzeit müssen sicherlich festgestellt werden, um sagen zu können, dass sie statisch sei. Alternativ können wir uns erst einmal in der Theorie bewegen und schauen, welche Eigenschaften statische Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen haben. Welche realen Situationen durch solche Lösungen beschrieben werden, ist dann ein zweiter Zuordnungsschritt (aus der häufigen Serie „Welches Modell beschreibt den Realitätsausschnitt, der mich interessiert, am besten?“).

            Zu den „Reise-Anteilen“: Genau, die absoluten Dauern/Eigenzeitintervalle für die Reise-Abschnitte sollen gleich sein.

            Sprachgebrauch: Das ist schon sehr umgangssprachlich und hat selbst da andere Assoziation – ein Meeting definiert einen Zeitraum, der beim Bezugspunkt „geht bis…“ zuende ist. Uhrengang bezieht sich auf die regelmäßig wiederkehrenden Ticks der Uhr. Das passt sprachlich hinten und vorne nicht zusammen.

  26. @Frank Wappler / 1. Februar 2017 @ 16:25

    »Das erfordert natürlich, Dauern τ messen, …«

    C’est ça. Und sofern in Theorie und Praxis mit „Uhr“ eine entsprechende Messvorrichtung gemeint ist, erfordert dies wiederum eine begriffliche Bestimmung der konstitutiven Merkmale von „Uhr“. Eine Forderung, die sich letztlich als anspruchsvoller erweist, als man auf den ersten Blick meinen könnte.

    Wir haben keine unmittelbare Anschauung für die Gleichzeitigkeit, ebensowenig wie für die Gleichheit zweier Zeiträume. Wenn wir diese Anschauung zu haben glauben, so ist das eine Täuschung. Wir helfen uns durch bestimmte Regeln, die wir meist anwenden, ohne uns Rechenschaft darüber zu geben.
    —Henri Poincaré, 1898 (Das Maß der Zeit, dt. Übers. von Emilie Weber, 1906)

    So sehe ich das auch. Übrigens hat C.O. Alley 1983 seine bei der Planung und Durchführung des Maryland-Experiments gesammelten Erfahrungen so kommentiert:

    We should not be surprised at such lack of understanding of some of the fundamental concepts of General Relativity since the subject is almost never taught to engineers and rarely even to physicists. Also, confusion about these concepts is not restricted to engineers and others who must deal with ultra-stable clocks, but is widespread even among eminent physicists.

    • Chrys schrieb (3. Februar 2017 @ 14:07):
      > [Dauern τ messen …] Und sofern in Theorie und Praxis mit „Uhr“ eine entsprechende Messvorrichtung gemeint ist,

      Falls das (immer noch) jemand meinen sollte, kann und sollte man denjenigen berichtigen:
      eine Messvorrichtung zur Ermittlung von Dauer heißt (spätestens seit MTW 1973, Fig. 1.9) „gute Uhr“;
      bzw. (sofern es nur um ganzzahlige Vielfache einer bestimmten minimalen Dauer geht) „ideale Uhr“.

      Eine Uhr, die zwar nicht „gut“ bzw. „ideal“ war und blieb, aber von der zumindest ermittelt/quantifiziert werden konnte, „wie schlecht“ sie (höchstens) war und blieb, kann ja zumindest für gewisse Abschätzungen taugen; die man wohl (auch) Messwerte nennen kann, sofern sie durch entsprechende Bewertung(en) des systematischen Vertrauens ergänzt würden.

      Irgendeine Uhr ohne Qualifikation („wie schlecht“, geschweige denn „gut/ideal“) dient bestenfalls als Gedankenstütze für „Reihenfolge der Anzeigen“.

      > erfordert dies wiederum eine begriffliche Bestimmung der konstitutiven Merkmale von „Uhr“.

      Oder insbesondere: wenigstens von „idealer Uhr“.

      > Eine Forderung, die sich letztlich als anspruchsvoller erweist, als man auf den ersten Blick meinen könnte.

      Offenbar; insbesondere in Verbindung mit Einsteins bekannter Forderung,

      [dass] all unsere zeit-räumlichen Konstatierungen auf die Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinauslaufen [müssen].

      ,
      an der z.B. die von MTW §16.4 genannte Marzke-Wheeler-Uhr scheitert.

      Daher ja meine gelegentlichen Hinweise auf flache und (vor allem!) rationale Ping-Koinzidenz-Gitter.

      > „[…] Wir helfen uns durch bestimmte Regeln, die wir meist anwenden, ohne uns Rechenschaft darüber zu geben.”
      —Henri Poincaré, 1898

      In wie fern das auf Mathematiker jemals zutraf, oder womöglich noch immer zutrifft, wage ich nicht zu spekulieren.

      Seit aber Einstein solches gewissenloses Verhalten von ca. 100 Jahren in Frage stellte, und seit insbesondere Heisenberg und Bohr das so gründlich verstanden und lehrten, dass uns auch Einsteins anschließende gelegentliche (Selbst-)Verleugnungen nicht erschüttern, berufen wir Physiker uns nur noch auf nachvollziehbare Regeln.

      • …und wieder einmal der Hinweis, dass der Sachlichkeits-Grad der Diskussion gehoben würde, wenn Sie denen, die anderer Ansicht sind, nicht gleich „gewissenloses Verhalten“ unterstellen sich nicht als Hüter dessen, was universell „wir Physiker“ machen/meinen/tun einsetzen würden, und derlei rhetorische Spitzen mehr.

  27. @Frank Wappler / 3. Februar 2017 @ 16:53

    Der ansonsten doch so oft und gern erhobene Vorwurf einer Verbreitung von sinnfreiem Koordinaten-Geschwafel erschiene ausnahmsweise einmal berechtigt, wenn er, mit Hinblick auf die GR, gegen die MTW-Fig. 1.9 gerichtet wäre, doch ausgerechet da unterbleibt er — befremdlicherweise. Denn in der GR ist das Konzept von Zeit, das zur Beschreibung einer freien Fallbewegung dient, eben nicht eine Koordinatenzeit, sondern die von einer diese Bewegung begleitenden (idealen) Uhr angezeigte Zeit. (Welche Kopfschmerzen sich Newton hinsichtlich seiner absolut gleichmässig dahinfliessenden Inertialzeit bereitet haben mag, sei mal dahingestellt, aber dass er in seinen Überlegungen so etwas wie eine MTW-„bad clock“ auch nur beiläufig erwogen hätte, ist meines Wissens historisch nicht belegt.)

    Gemäss der GR wird die Bewegung einer frei fallenden Testmasse durch eine Geodätengleichung beschrieben, und allein der Umstand einer geodätischen Bewegung setzt dem damit verknüpften Begriff von Zeit sehr enge Grenzen. Es besteht hier überhaupt nicht mehr die Möglichkeit, die Begriffe „Zeit“ oder „Uhr“ so anzuwenden, dass die Trajektorie einer frei fallenden Testmasse anders aussieht als eine Geodäte, also eine „covariante Gerade“, wenn man so will. Eine nachträglich noch ins Spiel gebrachte Unterscheidung zwischen „good clock“ und „bad clock“ ist dann obsolet und faktisch völlig nichtssagend, letztlich nur ein von MTW entzündetes Irrlicht, das von anderen Autoren zum Glück nicht weitergetragen wurde.

    §1.5 in MTW ist unter eine Devise gestellt: “Time is defined so that motion looks simple.” Ich hege den Verdacht, dass der dahinterstehende Gedanke plagiiert, verkürzt, und aus dem Kontext gerissen wurde, und zwar von hier:

    Die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse oder ihre Aufeinanderfolge und die Gleichheit zweier Zeiträume müssen derart definiert werden, daß der Wortlaut der Naturgesetze so einfach als möglich wird“.

    Jetzt rate mal, woher dieses Zitat stammt. (Hint: Dt. Übers. von Emilie Weber, 1906.)

    • Im Gegenteil: Newtons Definition einer absoluten Zeit (mit deren Hilfe dann seine Bewegungsgesetze in der von ihm formulierten Form gelten) ist genau seine Abgrenzung von „schlechten Uhren“ im Sinne von MTW. Das Beispiel, das Newton für eine (grobe) schlechte Uhr selbst angibt (Principia, Definitionen, Scholium IV) ist die natürliche Taglänge, die mit der Jahreszeit variiert. Einige vereinfachte Schilderungen der Relativitätstheorie tun Newton da aus meiner Sicht Unrecht, wenn sie seine absolute Zeit auf den Aspekt reduzieren (Transformation zwischen Inertialsystemen), der aus heutiger Sicht nicht mehr richtig ist. Dass Newton die Zeit von den im Detail unregelmäßigen (im MTW-Sinne also zumindest etwas „schlechten“) real existierenden Uhren seiner Zeit abstrahiert hat, war und bleibt eine große Leistung.

      Zu Poincare: Der sagt ein paar Seiten vorher (bei mir 3. Auflage Teubner Berlin 1921 ist es S. 32) genau dasselbe wie MTW: „Die Zeit muß so definiert werden, daß das Newtonsche Gesetz und das der lebendigen Kraft gelten“, zusammen mit seiner ersten Kurzform: „Die Zeit muß so definiert werden, daß die Gleichungen der Mechanik so einfach wie möglich werden“. Das ist genau derselbe Kontext wie bei MTW. (Aber kein Plagiat; dieser Umstand war zu Poincares Zeiten und erst recht zu MTWs Zeiten schlicht physikalisches Allgemeinwissen. Poincare schreibt das selbst [S. 33]: „Die Schwierigkeit, mit der wir uns eben beschäftigt haben, ist, wie schon gesagt, oft bemerkt worden.“)

      Zur GR allgemein: Richtig ist, dass das Variationsprinzip sich auf die Eigenzeit bezieht. Aber richtig ist auch, dass praktisches Ausrechnen, was sich aus dem Variationsprinzip ergibt, wieder Koordinaten erfordert; wenn man in denen die entsprechenden Bewegungsgleichungen formuliert, kommt man über ähnliche Überlegungen wie bei MTW und Poicare doch wieder auf die Frage, welche Koordinaten besonders geeignet sind, welche nicht, und wie die allgemeinen Koordinaten mit dem Raum- und Zeitbegriff der klassischen Mechanik zusammenhängen. Dabei sind die Überlegungen zu guten/schlechten Uhren kein Irrlicht, sondern wichtiges Hilfsmittel zur Einordnung.

    • Chrys schrieb (5. Februar 2017 @ 14:42):
      > Gemäss der GR wird die Bewegung einer frei fallenden

      Testmasse durch eine Geodätengleichung beschrieben […]

      In MTW (insbesondere Box 10.2 usw.), oder auch anderswo, finden sich Hinweise auf die

      Beziehung zwischen bestimmten geometrischen Forderungen (deren

      Auswertung als Geodätengleichung dargestellt werden kann) und

      einer bestimmten Äquivalenzklasse von „Zeit„-

      Parametrisierungen der geordneten Menge von Anzeigen des jeweils

      betrachteten Beteiligten.

      (MTW symolisieren solche Parametrisierungen mit

      λ„; woanders findet man auch „s„, oder

      (sogar)“τ„.)

      > in der GR ist das Konzept von Zeit, das zur Beschreibung einer freien Fallbewegung dient, eben nicht eine Koordinatenzeit, sondern die von einer diese Bewegung begleitenden (idealen) Uhr angezeigte Zeit.

      Auch wenn die Charakterisierung bzw. Forderung „ideal“ nur in Klammern steht, ist sie hiermit doch immerhin eingeräumt.

      Folglich stehen die (vor allem experimental-physikalische) Fragen:

      Sind (auch) Uhren denkbar (und demnach eventuell sogar auffindbar), die nichtideal“ sind?

      Durch welche Koinzidenz-Feststellungen lassen sich die einen von den anderen unterscheiden?

      Und falls wir dahingehend übereinstimmen, dass zur Parametrisierung von geeigneten Anzeigen („Ticks“) einer/jeder „idealen Uhr“ im Sinne von MTW §16.4 nur ganze Zahlen in Frage kommen,
      dann bleibt auch zu fragen, wie Uhren zu nennen wären, die ggf. den Wertebereich auf rationale (oder sogar reelle) Zahlenwerte verallgemeinern.

      Im Übrigen finde ich den Begriff „Dauer τ“ (als Maß von „Zeit“ im Sinne einer geordneten Menge einzelnen Zeiten/Anzeigen eines bestimmten Beteiligten) für die Diskussion bedeutsam (weil aus Koinzidenzfeststellungen definierbar);
      und wiederum zur Definition der Begriffe „Freiheit“ bzw. „Fall“ geeignet.

      p.s.

      > §1.5 in MTW ist unter eine Devise gestellt:

      “Time is defined so that motion looks simple.”

      Dazu hatte ich mich schon 2011 direkt geäußert:

      Duration is defined so that simple motion may be called simple (regardless of who looked).

      An anderer Stelle war mir übrigens mal die folgende ähnliche, aber vielleicht noch pointiertere Erwiderung eingefallen:

      Coordinates may be assigned to let simple motion look simple.

      .

      p.p.s.

      > […] definiert werden, daß der Wortlaut der Naturgesetze so einfach als möglich wird

      Diese („klassische“) Maxime hat Einstein bekanntlich spätestens 1917 mit der (gewissenhafteren!) Forderung zurückgewiesen,

      [dass jede relevante] Definition die Methode an die Hand gibt, nach welcher im vorliegenden Falle aus Experimenten entschieden werden kann, ob [eine bestimmte Charakterisierung zutraf].

  28. @Markus Pössel / 5. Februar 2017 @ 11:51

    »…und wer diese „einfachste überhaupt vorstellbare“ Erklärung, dass Uhren die Passage von Eigenzeit anzeigen, jemandem vorsetzt, der das Wort „Eigenzeit“ noch nie gehört hat, wird Unverständnis erzeugen.«

    Die Einfachheit liegt in der sich ergebenden Konsequenz, dass die relativistisch zulässigen Uhren alle gleich rasch gehen. Und die von einer Uhr gemessene Dauer zwischen zwei Ereignissen ist in keiner Weise irgendwelcher „Zeitdilatation“ unterworfen. Das ist interessierten Laien sehr hilfreich und leicht vermittelbar.

    »Zu Rindler: Ich sehe in dem betreffenden Abschnitt nichts falsches.«

    Rindler gelangt zu dem Schluss, Uhren beim RGO würden infolge von gravitational time dilation langsamer gehen als Uhren beim NIST. Das ist falsch. (Das RGO war zwar schon beim Erscheinen von Rindlers Buch längst nurmehr ein Museum, aber das ist hier nicht mit falsch gemeint.)

    »Und Ihre ohne nähere Begründung vorgetragene Aussage, dass Uhren jenes „nun einmal ganz gewiss nicht tun“ kann ich auch nicht nachvollziehen.

    Folgt unmittelbar aus der Def. von Eigenzeit und ist eine Übungsaufgabe, die man praktisch durch Hingucken lösen kann. Manche Autoren weisen aber auch nachdrücklich darauf hin, und das hat sogar einen eigenen Namen.

    • Chrys schrieb (6. Februar 2017 @ 23:53):
      > […] die relativistisch zulässigen Uhren

      Auch gut.
      (Sicher nicht so nah am alltäglichen Sprachgebrauch wie „gute Uhren“;
      aber: auch gut.)

      > […] dass die relativistisch zulässigen Uhren alle gleich rasch gehen.

      Zwei Marzke-Wheeler Uhren, die voneinander getrennt, jede für sich „irgendwo“ vorgefunden wurden,
      müssen nicht unbedingt mit gleichen Raten ticken;
      sie müssen nicht unbedingt gleich „rasch gehen„.

      Zwei (endliche, voneinander getrennte) flache Ping-Koinzidenz-Gitter
      müssen nicht unbedingt „gleiche Maschenweite“ haben.

      > […] Folgt unmittelbar aus der Def. von Eigenzeit

      Um eventuelle Unsicherheiten auszuräumen, welches denn die (nachvollziehbarste, universellste) entsprechende Definition wäre,
      beziehe man sich vorrangig auf diejenige Definition, die ausschließlich auf Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinausläuft.

      (Die also lediglich Begriffe gebraucht und voraussetzt, deren Verständnis man auch jedem zugestehen müsste, der guten Gewissens fragen würde, wer denn mit „Laien“ gemeint ist).

      Im Übrigen muss man bisweilen doch sehr genau hinschauen, um Ausschnitte aus allgmeinen (nicht unbedingt flachen) Ping-Koinzidenz-Gittern auch in flachen wiederzuerkennen.

      • @Frank Wappler / 7. Februar 2017 @ 11:07

        »… beziehe man sich vorrangig auf diejenige Definition, die ausschließlich auf Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinausläuft.«

        Kurz dazu angemerkt: Aus Beobachtungsdaten allein lässt sich noch kein eindeutiges Bild erschliessen. Es bedarf hier — wie überhaupt in den empirischen Wissenschaften — zusätzlicher Regeln zur Interpretation von empirischen Daten, die ihrerseits nicht durch Empirie gerechtfertigt werden können. Betrachten wir (in Ermangelung echter Alternativen zur GR) nochmals die SR im Vergleich zur Lorentzschen Aethertheorie. Hinsichtlich ihrer ontological commitments sind diese beiden bekanntermasen verschieden, doch aus Beobachtungen zeiträumlicher Koinzidenzen allein lässt sich das nicht folgern. Der Unterschied liegt darin begründet, was jeweils an grundlegenden Annahmen postuliert wurde, und die Gültigkeit dieser Postulate ist innerhalb einer Theorie dann nicht mehr hinterfragbar.

        In der Lorentzschen Aethertheorie wäre der Satz „Bewegte Uhren gehen verlangsamt“ zutreffend, wobei dies auf die Bewegung relativ zum ruhenden Aether zu beziehen ist. Zulässige Uhren zeigen hier generell das an, was Lorentz `Lokalzeit‘ nannte. In der SR widerspricht der besagte Satz bereits für inertiale Uhren dem spez. Relativitätsprinzip, und was Uhren generell anzeigen, hat erst Minkowski mit dem Begriff der `Eigenzeit‘ befriedigend geklärt. Folglich darf man nicht erwarten, die Eigenzeit und ihre Bedeutung für Uhren allein durch Beobachtungen rechtfertigen zu können, weshalb Malament das relativistische Verhalten von Uhren dann auch durch sein Postulat P2 festschreibt. Um ein Postulat, in welchem prinzipell festgelegt wird, was mit „Uhr“ gemeint ist und was sie anzeigt resp. misst, kommt man hier letztlich nicht herum.

        • Chrys schrieb (7. Februar 2017 @ 13:54):
          > […] Regeln zur Interpretation von empirischen Daten, die ihrerseits nicht durch Empirie gerechtfertigt werden können.

          Die sind wichtig, jawohl.
          Ich habe in diesem Zusammenhang schon öfters von „Messoperatoren“ geschrieben, die zuerst nachvollziehbar festzusetzen sind, um sie anschließend (gern auch mehrfach bzw. wiederholt) auf gegebene „Beobachtungsdaten“ anzuwenden (und dadurch ggf. „Messwerte“ zu ermitteln).

          An dieser Stelle sei nochmals ausdrücklich darauf hingewiesen, dass „experimentelle Tests“ zur Formulierung, Auswahl oder Rechtfertigung dieser Regeln bzw. Messoperatoren deshalb nicht geeignet sind. Stattdessen:

          > ontological commitments

          Gutes Stichwort …
          Passend zum oben Erwähnten geht es dabei etwas detaillierter um zwei miteinander zusammenhängende Darlegungen des Selbstverständnisses, nämlich:

          – was überhaupt als „(gegebenes) Beobachtungsdatum“ in Betracht gezogen werden sollte/könnte; und

          – welcherlei Mess- bzw. Bewertungsoperationen darauf anwendbar wären.

          (Mein ausdauernd vorgetragenes und zur Nachahmung empfohlenes Bekenntnis zu den schon von Einstein hervorgehobenen „Koinzidenzfeststellungen“ umfasst beides. Eine detailliertere/großzügige Auslegung beinhaltet insbesondere auch das Bewerten/Erkennen von „Identität“ bzw. „Verschiedenheit“ der von Einstein in diesem Zusammenhang erwähnten „materiellen Punkte“. (Vgl. auch MTW Box 13.2.))

          > In der Lorentzschen Aethertheorie wäre der Satz „Bewegte Uhren gehen verlangsamt“ zutreffend

          Die Phrase „Bewegte Uhren gehen verlangsamt“ bzw. „eine bewegte Uhr geht verlangsamt“ bzw. „eine bewegte Uhr geht langsamer“ ist ein (so gut wie) agrammatischer Torso. Insbesondere in der letzteren Variante sollte auffallen, dass darin das „als …“ fehlt.
          Es fehlt jedenfalls die Festsetzung

          „verlangsamt“ gegenüber wem ?; und/oder

          „verlangsamt“ im Sinne welcher detaillierten Messdefinition ? (die aus den im „ontological commitment“ zur Verfügung gestellten Begriffen formuliert/konstruiert werden sollte).

          Ich weiß (leider?) nicht genug über „Lorentzsche Aethertheorie“ , um mir zusammenzureimen, wie die genannten Lücken damit zu schließen wären.

          Der (rein grammatisch hinreichende) Beispiel-Strohmann …
          „Eine bewegte Uhr geht langsamer als eine unbewegte Uhr die genauso langsam geht
          … erscheint mir jedenfalls beispielhaft unbefriedigend.

          > was Uhren generell anzeigen, hat erst Minkowski mit dem Begriff der `Eigenzeit‘ befriedigend geklärt.
          Wie schon oben (21. Januar 2017 @ 00:11) weise ich erneut darauf hin, dass da, wo man es entsprechend vermuten sollte das Wort „Uhr“ von Minkowski (unbefriedigender Weise) nicht erwähnt ist. Und „Anzeige“ auch nicht.

          (Dass Minkowski dabei auch auf die Wortschöpfung „Eigenzeit“ verfallen ist, anstatt bei „Dauer“ zu bleiben, rächt sich offenbar damit, dass eher von „Lorentzschen Mannigfaltigkeiten“ und von „Lorentzscher Distanz“ gesprochen wird, anstatt Minkowski wenigstens dahingehend zu würdigen.)

          > Um ein Postulat, in welchem prinzipell festgelegt wird, was mit „Uhr“ gemeint ist und was sie anzeigt resp. misst, kommt man hier letztlich nicht herum.

          Deshalb wiederhole ich hier die (mit den begrifflichen Mitteln des o.g. Selbstverständnisses/commitments formulierte) Definition von „Uhr“ als

          – der (geordneten) Menge „A := { A_ }“ der Anzeigen eines bestimmten/identifizierbaren Beteiligten (den man entsprechend ebenfalls „A“ nennen würde),

          zusammen mit

          – Zuordnung von „Readings“ bzw. Koordinaten zu dieser Anzeigenmenge
          „t : A → ℝ“.

          Formal, und nicht ganz zufällig:
          das Paar „(A, t)“ benennt eine bestimmte Uhr.

          > Malament […] Postulat P2

          P2 Clocks record the passage of elapsed proper time along their worldlines.

          Ich fände es auch nicht wesentlich besser zu sagen dass “Clocks record their duration.”
          Denn: Uhren zeichnen nur ihre Anzeigen und (bestenfalls) ihre zuzuordnenden Readings auf.
          (Der Rest ist Experimentalistenwerk.)

          Im Übrigen fällt mir auf, dass Malements Begriff „clock“ in keiner der anschließend vorgestellten „Propositions“ auftritt. Offenbar geht’s ihm sowieso nur um die Dauern τ an sich. (Und das ist an sich befriedigend.)

          p.s.
          Nur einen Absatz weiter schreibt Malament (Classical Relativity Theory∗,
          Version 2.4):

          Now suppose that one has determined the conformal structure of spacetime,
          say, by using light rays.

          Wie das wohl im Detail ginge?
          Und ob dazu nicht doch auch (oder sogar: vor allem) „identifizierbare materielle Beteiligte“ nötig wären? …

          • Frank Wappler schrieb (7. Februar 2017 @ 17:45):
            > […] Ich weiß (leider?) nicht genug über „Lorentzsche Aethertheorie“ , um mir zusammenzureimen, wie die genannten Lücken damit zu schließen wären.

            Das war von mir (leider!) nicht befriedigend argumentiert, angesichts der Tatsache, dass (ich dabei gar nicht darauf eingegangen bin dass)

            > Chrys schrieb (7. Februar 2017 @ 13:54):
            > > [Zulässige Uhren zeigen hier generell das an, was Lorentz `Lokalzeit‘ nannte.]

            In „erster Näherung“ ermöglicht das die (grammatisch vollständige/untadlige) Formulierung

            „Eine bewegte Uhr geht langsamer als eine ruhende Lorentz-zulässige Uhr.“

            Die Hervorhebung von solchen „Lorentz-zulässigen Uhren“ verpflichtet den Schreiber und Leser aber zumindest auf den zweiten Blick auch zur Anerkennung von bzw. Auseinandersetzung mit „Uhren, die nicht Lorentz-zulässig sind“.

            Zum Schließen dieser Lücke könnte ich mir z.B. zusammenreimen:

            „Eine Lorentz-zulässige bewegte Uhr geht langsamer als eine ruhende Lorentz-zulässige Uhr.“

            Damit ist endlich die Stelle erreicht, an der mein Wissen (und vielleicht nicht nur meines) nicht ausreicht:
            Sind die commitments/Messoperatoren/Versuchsanordnungen „Lorentz-zulässig“ und „bewegt“ überhaupt miteinander kompatibel ??

            p.s.
            Auch möchte ich erneut um Entschuldigung bitten, dass ich in einem anderen Kommentar gestern den Namen „Chrys“ falsch geschrieben hatte; und leider sogar mehrfach.

          • Damit sind Sie, soweit ich sehen kann, einmal mehr auf einem Nebengleis. Der entscheidende Unterschied (und ich nehme an, das hat Chrys gemeint) ist doch, dass man bei Lorentz, aber nicht in der SRT von „bewegt“ sprechen kann ohne anzugeben, relativ wozu die Bewegung stattfindet. (Bei Lorentz eben: absolute Bewegung, relativ zum Äther.)

    • Da häufen sich aus meiner Sicht wieder die falschen Aussagen. Dass die Eigenzeitdauer zwischen zwei Ereignissen wegeabhängig ist, zeigt mein Gedankenexperiment (das ja auch als reales Experiment durchgeführt wurde) mit dem Uhrenvergleich, bei dem eine Uhr zwischenzeitlich tiefer (oder höher) im Gravitationsfeld ruht.

      Und Rindler rechnet in dem betreffenden Abschnitt gerade vor, wie sich dieser Umstand aus einer allgemeinen Metrik ergibt – und aus der Definition der Eigenzeit, die bei der Rechnung direkt eingeht.

      Ich würde ja auch durchaus nachsehen, wer die Autoren sind, die es angeblich anders machen, aber da sie sich da ja betont mysteriös geben und nicht sagen wer und was (warum auch immer!), warte ich erst einmal, ob sie sich noch zu konkreteren Aussagen bequemen.

  29. Markus Pössel schrieb (7. Februar 2017 @ 19:43):
    > Für mich ist die Eigenzeit das, was man auf der Uhr selbst ablesen kann […]

    Wow!. …

    Wenn also eine gute Uhr und eine deutlich weniger gute Uhr (vgl. erneut MTW Fig. 1.9) durchwegs koinzident („beisammen“) waren und blieben, dann — …
    — wären die „Eigenzeiten“ dieser beiden Uhren deutlich ungleich
    ???

    > Uhrengang bezieht sich auf die regelmäßig wiederkehrenden Ticks der Uhr.

    Ich verweise (zum wievielten Mal eigentlich?) auf radiologische, Blumen- oder andere biologische Uhren, die offenbar nichtregelmäßig wiederkehrenden Ticks“ anzeigen, und von denen sich trotzdem sagen lässt, ob die eine „schneller ging“ oder die andere „langsamer ging“; welche „gut“ war (und blieb), und welche nicht.

    > Wie bestimmen Sie denn das τ, wenn nicht mithilfe der betroffenen Uhr selbst?

    Na (zum wievielten Mal eigentlich?):
    durch eine geeignete Familie von idealen Uhren (und natürlich zusammen mit betroffenen Uhr, deren Dauern ermittelt werden sollen);
    konkret durch das Aufsuchen von flachen Ping-Koinzidenz-Gittern in der Region, die die betroffene Uhr enthielt,
    das Zählen der Pings zwischen den einander nächsten Mitgliedern des betreffenden Ping-Koinzidenz-Gitters,
    daraus die Ermittlung der (möglicher Weise veränderlichen, mittleren) Werte β der betroffenen Uhr gegenüber dem relevanten Ping-Koinzidenz-Gitter,
    und daraus der Berechnung der Dauer der betroffenen Uhr als

    τ-Ping * Summe_über_alle_einzelnen_Pings Sqrt[ 1 – β^2 ].

    (Die etwas kompliziertere Beschreibung der Dauer-Ermittlung betroffener Uhren, die in Regionen enthalten waren, in denen sich flache Ping-Koinzidenz-Gitter nicht finden lassen, spare ich mir an dieser Stelle.)

    p.s.
    Da ich in diesem Kommentar (hoffentlich) noch einen Link frei habe, möchte ich anmerken, dass dieser, nur implizit (aber dennoch sicherlich eindeutig) an Chris gerichtete Kommentar mir ebenfalls ein „Wow!“ entlockt hat. Aber ich traue Chris durchaus zu, darauf angemessen sachlich(er) zu antworten.

    • Naja, jetzt mal keine Panik! In meinen vorigen Antworten bin ich jeweils davon ausgegangen, dass die Uhren, die ich betrachte, tatsächlich Eigenzeit anzeigen. Unser eigentliches Thema war ja auch nicht „…aber wie kann man sicherstellen, dass sie tatsächlich Eigenzeit anzeigen?“ (worauf Sie jetzt hier also wiederholt abheben) sondern „was ergibt sich beim Vergleich solcher Uhren, wenn eine davon zwischenzeitlich tiefer im Gravitationsfeld ruht?“

      Zum Uhrengang: Sobald Sie Zeit tatsächlich messen wollen, müssen Sie in irgendeiner Form Vielfache einer Zeiteinheit bestimmen, haben also „Ticks“ im allgemeinen Sinne. Welcher Mechanismus dahinter steht ist Ihnen selbst überlassen; wenn Sie die Ticks an die Auswertung eines radioaktiven Zerfallsprozesses koppeln wollen: bitte sehr, warum nicht! Jedenfalls, um zum eigentlichen Einwand zurückzukommen: das ist etwas deutlich anderes als „Meeting ging bis…“. Die regelmäßigen Unterteilungen sind wichtig! Und die sind bei einem Meeting nicht gegeben/assoziiert.

      • Markus Pössel schrieb (8. Februar 2017 @ 07:43):
        > […] davon ausgegangen, dass die Uhren, die ich betrachte, tatsächlich Eigenzeit anzeigen.

        Solcherlei Annahmen, insbesondere wenn sie (zunächst, bis auf Nachfrage) stillschweigend gemacht werden, kontrastieren jedenfalls mit der Experimentalisten-Perspektive, die mir naheliegt. (In wie weit sie deshalb für mehr als rein rhetorische Verwunderung sorgen, sei dahingestellt.)

        > Unser eigentliches Thema […] „was ergibt sich beim Vergleich solcher Uhren, wenn eine davon zwischenzeitlich tiefer im Gravitationsfeld ruht?“

        Naja — eigentlich wurde dieses Thema auf dieser SciLogs-Seite offenbar erst so richtig in einer Fußnote eines Kommentars (24. Dezember 2016 @ 16:48) angerissen. Und wurde (wie so oft) natürlich dankbar aufgegriffen.

        In diesem Sinne: jedenfalls vielen Dank für diese Gelegenheit zur öffentlichen und Barriere-freien Korrespondenz zu diesem Thema. Aber vielleicht wäre es sogar noch befriedigender, wenn öffentliche und Barriere-freie Korrespondenz zu einem bestimmten Thema (wie z.B. dem genannten) ausdrücklich und auffindbar und konzentriert jeweils zu diesem bestimmten Thema geführt werden könnte; ohne dabei den Langmut derjenigen eventuell strapazieren zu müssen, die diese SciLogs-Seite wegen ihres Interesses an anderen, insbesondere den im obigen SciLogs-Beitrag behandelten Themen aufsuchen und lesen würden.

        Zum genannten Thema an sich:
        Wenn also die Frage steht,

        „was ergibt sich beim Vergleich von Uhren, deren Anzeigen tatsächlich/einfach als affine Parametrisierung ihrer [Dauer] gelesen werden können, wenn eine davon zwischenzeitlich tiefer im Gravitationsfeld [starr gehalten wurde, und die andere höher]?“,

        dann lässt sich offensichtlich eine entsprechende einfachere Frage so formulieren:

        „was ergibt sich beim Vergleich der Dauern zweier Beteiligter, von denen einer tiefer gehalten wurde, und der andere höher?“.

        Eine (die?) Antwort auf die letztere, einfachere Frage habe ich oben schon mehrfach, u.a. hier (1. Februar 2017 @ 16:25) formuliert:

        Von zwei Beteiligten, die gegenüber einander (opto-chronometrisch) starr waren und blieben, nennt man denjenigen „tiefer gelegen bzw. gehalten (als der andere)“, dessen Pingdauer geringer/kürzer als die des anderen war.

        Stimmen wir so weit überein?
        (Im darauffolgenden Kommentar 5. Februar 2017 @ 11:05 hatte ich dahingehend leider noch keine Rückmeldung erkannt.)

        Ob und wie die Anzeigen dieser Beteiligten darüberhinaus gelesen bzw. mit t-Koordinaten assoziiert würden, wäre mir jedenfalls ziemlich egal.

        > Thema war ja auch nicht „…aber wie kann man sicherstellen, dass sie tatsächlich Eigenzeit anzeigen?“ (worauf Sie jetzt hier also wiederholt abheben)

        Das ist aber nun mal das Thema, das mich in diesem Zusammenhang (und seit ich mich schon etliche Jahre hier engagiere) im Wesentlichen interessiert:

        „…aber wie werden denn Dauern (bestimmter Beteiligter; jeweils zwischen zwei bestimmten Anzeigen) überhaupt gemessen?“;

        oder was hinsichtlich des Zusammenhangs mit „Bogenlänge“ auf das Selbe hinausläuft:

        „…aber wie werden denn Lorentzsche Distanzen (jeweils zwischen zwei bestimmten Ereignissen) überhaupt gemessen?“.

        .

        > Sobald Sie Zeit tatsächlich messen wollen, […]

        … nebenbei bemerkt: bezogen auf „räumliche Beziehungen“ ist die analoge Formulierung: „Sobald Sie Raum tatsächlich messen wollen, …“. Die Resultate solcher Messungen heißen insbesondere: „Distanzen“ bzw. (wenigstens) „Distanzverhältnisse“ …

        > müssen Sie in irgendeiner Form Vielfache einer Zeiteinheit bestimmen, haben also „Ticks“ im allgemeinen Sinne.

        Der Wert eines Dauer-Verhältnisses, also eines eigentlichen Resultats einer „Zeit“-Messung, ist immer eine (positive) reelle Zahl. Und die ist invariant hinsichtlich der Wahl irgendwelcher Einheiten. Man mag ja Fall für Fall die Dauer „im Nenner“ des gemessenen Dauer-Verhältnisses „die Einheit“ nennen; muss man aber nicht. Auf den reellen Zahlenwert des gemessenen Dauer-Verhältnisses hat das keine Auswirkung.

        Und falls diese Invarianz als „„Ticks“ im allgemeinen Sinne“ verstanden und (auch schon oben) gemeint gewesen sein sollte, dann ist dieser „allgemene Sinn“ MBMN sehr allgemein.

        Allerdings: bei flachen Ping-Koinzidenz-Gittern (als nachvollziehbaren „idealen Uhren“) geht es natürlich ganz ausdrücklich doch um „Ticks“; nämlich das Erkennen von Ping-Echos, und das Zählen aufeinanderfolgender Ping-Echos.

        > Welcher Mechanismus dahinter steht ist Ihnen selbst überlassen;

        Es muss (zur Definition „idealer Uhren“ bzw. von „Dauer“) natürlich um nachvollziehbareMechanismen“ gehen;
        also solche, die (im Sinne Einsteins) ausdrücklich und ausschließlich

        auf die Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinauslaufen.

        > wenn Sie die Ticks an die Auswertung eines radioaktiven Zerfallsprozesses koppeln wollen: bitte sehr, warum nicht!

        Danke sehr!; doch nicht übersehen:
        Zum „Koppeln“ gehören immer (mindestens) zwei („Enden“).
        Soll heißen:
        Zuerst kommt die nachvollziehbare Definition eines Messoperators,
        und nur danach dessen „Kopplung“ bzw. Anwendung auf das (oft Unvermutete, möglicherweise Einzigartige) was hier und da, dann und wann, eben vorkommen mag.

        p.s.
        > um zum eigentlichen Einwand zurückzukommen: […]

        Das geht ganz kurz:
        dahingehend hat Chrys (8. Februar 2017 @ 22:32) gerade beispielhaft abgeliefert.

  30. Herr Pössel und Herr Wappler,

    stimmen Sie mir in den Rechenergebnissen meiner Beispiele vom 6. Februar 2017 @ 11:22 zu?

    • Andreas Gimsa schrieb (8. Februar 2017 @ 17:30):
      > stimmen Sie mir in den Rechenergebnissen meiner Beispiele vom 6. Februar 2017 @ 11:22 zu?

      Um’s für den Moment kurz zu machen:

      Im betreffenden Kommentar (den ich bisher glatt übersehen hatte) kann ich zwar einige einzeln genannte Werte erkennen … Aber:
      Was genau wären denn die entsprechenden Rechnungen?? (Und warum?).

      • Erdmasse, Mondmasse, mittlerer Erdradius, mittlerer Mondradius, mittlerer Mittelpunktabstand Erde-Mond – alles Wikipedia. Rechnen Sie am besten einfach mit der ART. Die Daten des Steines sind angegeben.
        Das „Warum“ möchte ich mal so beantworten: Ein Erkenntnisgewinn hat noch nie geschadet.

        • Andreas Gimsa schrieb (9. Februar 2017 @ 08:57):
          > Erdmasse, Mondmasse, mittlerer Erdradius, mittlerer Mondradius, mittlerer Mittelpunktabstand Erde-Mond – alles Wikipedia.

          Sicher.
          In Wikipedia steht so manches —
          insbesondere auch so manches (leider noch) Unverlinktes,
          (und deshalb) Unerklärtes, Unverstandenes oder Unerklärliches.

          > Rechnen Sie am besten einfach mit der ART.

          Ganz so einfach scheint das „Rechnen mit der ART“ im betreffenden Fall leider nicht zu sein …

          Insbesondere, wenn es dabei um Erkenntnisse hinsichtlich von „Gegenseitigkeit“ der Beteiligten gehen soll.

          Und allein schon:
          was die Größen „mittlerer Erdradius, mittlerer Mondradius, mittlerer Mittelpunktabstand Erde-Mond“ in diesem Zusammenhang überhaupt bedeuten;
          d.h. wie sie als Messgrößen definiert wären und (deshalb) in entsprechende Rechnungen (in definitionsgemäßen Zusammenhängen miteinander bzw. auch mit weiteren Messgrößen) einfließen würden.

          Das ginge doch offenbar ganz erheblich über die (vermutlich) eher bescheidenen Rechnungen hinaus, die Galileo im Zusammenhang mit dem (mit seiner Person verbundenen) sogenannten „Fallgesetz“ angestellt haben mag.

          Möglicher Weise gingen ja sogar schon die Rechnungen, die von Kepler oder Newton oder Halley usw. angestellt wurden, erheblich über das hinaus, was „Galileos Fallgesetz“ an sich zu rechnen aufgibt. …

          p.s.
          Nix für ungut, bitte schön;
          es ist nur so, dass ich erst vor wenigen Tagen eine Anfrage anderswo, die schon am 27. Dezember 2016 @ 18:27 an mich gerichtet wurde bemerkt habe, die ich eigentlich noch interessanter und beantwortbarer finde; was aber Mühe machen würde und ich noch vor mir her schiebe, und deswegen ein schlechtes Gewissen habe.

          p.p.s.
          Gerade habe ich festgestellt, dass mir auch der Kommentar (auf dieser Seite) vom 9. Januar 2017 @ 09:18 bisher entgangen war.
          Den finde ich zumindest einigermaßen interessant.

          • Herr Wappler, es geht bei den Geschwindigkeiten ja nicht um Nachkommastellen.
            Da sind die Werte aus Wiki schon gut genug. Nehmen Sie die Massen einfach als kugelförmig an, und schon kann es losgehen. Ich habe das über die wechselseitige gravitative Zeitdilatation gerechnet- Also dem Zeitunterschied auf dem Mond durch die Erde im Abstand gegenüber dem Zusammenprall sowie dem Zeitunterschied auf der Erde durch den Mond im Abstand gegenüber dem Zusammenprall. Das anschließende Gleichsetzen der gravitativen und der geschwindigkeitsabhängigen Zeitdilatation führt zielsicher auf die Geschwindigkeiten. Viel Spaß.

    • Ich habe die konkreten Rechenbeispiele nicht nachgerechnet, weil mir Ihre Argumente an ganz anderen Dingen als den Zahlenwerten zu kranken scheinen.

      „Jede Masse hat ihr eigenes Gravitationsfeld das mit anderen Gravitationsfeldern wechselwirken kann.“ – nein, das sagt ja selbst Newton nicht, dass die Schwerkraft durch die direkte Wechselwirkung von Gravitationsfeldern zustandekäme. Gravitationsfelder wirken dort auf Massen, nicht auf andere Gravitationsfelder.“

      „Also muss es sich bei der Annahme, dass Massen im Gravitationsfeld gleich schnell fallen, um eine Näherung handeln.“ – genau. Es geht um die Näherung einer sehr großen Masse und einer oder mehrerer Testteilchen, und das sowohl in der klassischen Physik als auch bei der Allgemeinen Relativitätstheorie. Dieser Artikel hier legt das ganz gut dar (auch wenn ich einiges etwas anders formuliert hätte). Die Schlüsse, die man daraus für die Allgemeine Relativitätstheorie ziehen kann, benötigen ja auch nicht mehr als den Umstand, dass die Universalität des freien Falls in der Testteilchen-Näherung gilt; insofern ist alles in Ordnung.

      In Situationen, in denen zwei sich umkreisende Körper nicht mehr als eine große Masse und ein Testteilchen betrachtet werden können, muss eine Beschreibung im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie dann in der Tat die Gravitationseinflüsse beider Objekte, sprich: deren Einfluss auf die umgebende Raumzeit modellieren. So etwas machen ja z.B. die Simulationen für verschmelzende Schwarze Löcher, und die post-Newtonschen Rechnungen für unser Sonnensystem.

      „Ohne Masse könnten sich die Objekte im Gravitationsfeld gar nicht bewegen“ – das ist halt die Frage! Zumindest für Testteilchen scheint die Beschleunigung bei der Gravitation ebensowenig von der Testteilchen-Masse abzuhängen wie bei Trägheitskräften.

      • Jede Masse koppelt über Gravitationsfelder an andere Massen. Der Prozess der Wechselwirkung mit Austausch- Teilchen ist unverstanden. Zumindest soweit hatten Sie das auch schon anerkannt. Die Felder selbst beeinflussen sich gegenseitig. Gravitationsfelder ohne massebehaftete Objekte (Dunkle Masse) scheint es auch zu geben. Auch diese Felder können aufeinander, die Raumzeit und andere Massen wirken. Das war jedoch gar nicht der Punkt. Es ging um die gegenseitige Beeinflussung zweier Massen und die Falschaussage, dass Testmassen im Gravitationsfeld gleich schnell fallen. Ich möchte es hier richtig formulieren:
        „Unterschiedliche Testmassen müssen im freien Fall aus gleicher Höhe auf die gleiche Masse zu unterschiedlichen Bahnkurven und zu unterschiedlichen Endgeschwindigkeiten gelangen.“
        Die Messergebnisse der Versuche zur Bestätigung des Schwachen Äquivalenz- prinzips sind leider nur Näherungen.
        Und um das den Lesern nahezubringen, hatte ich die Rechenaufgabe entworfen.
        Vielleicht nehmen Sie sich denn doch noch der Sache an. So ensteht der Eindruck, meine Ergebnisse könnten nicht stimmen. Es wird Ihnen als Gravitationsphysiker doch möglich sein, im einfachst denkbaren 2-Massensystem beim Fall aus der Ruhe die beiden Endgeschwindigkeiten der Massen zum Zeitpunkt des Zusammenstoßes zu berechnen.

        • Dann lassen Sie doch bitte die Austauschteilchen und aneinander koppelnden Gravitationsfelder außen vor – das sind einfach missverständliche Aussagen, und wenn so etwas gar nicht „der Punkt“ für Sie ist, dann bitte einfach weglassen.

          Zur Hauptsache: Sie argumentieren immer noch am Begriff der Testmasse vorbei. Eine Testmasse ist per Definition eine Masse, die so gering ist, dass sie das Gravitationsfeld der zu erkundenden Masse nicht merklich beeinflusst sondern in guter Näherung als „störungsfreie Probe“ eingesetzt werden kann. Daraus folgt sofort: In den von ihnen beschriebenen Situationen, wo die Massen vergleichbar groß sind, haben wir es entsprechend gerade nicht mit Testmassen in diesem Sinne zu tun.

          Bei Ihnen hört es sich so an, als wäre das ein Problem, etwa wenn Sie schreiben, die Messergebnisse bei Tests des Schwachen Äquivalenzprinzips seien „leider nur Näherungen“. Wieso „leider“? Das ganze Einstein’sche Äquivalenzprinzip ist nur eine Näherung, aber das macht nichts: es wird bei der Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie ja auch nur als Näherung, sprich: als Grenzfall benutzt! Insofern: das passt alles gut zueinander.

  31. @Markus Pössel / 7. Februar 2017 @ 19:51

    Minkowski hat in Raum und Zeit (1909) Eigenzeit als (zukunftsorientierte) Bogenlänge einer zeitartigen Weltlinie eingeführt, sodass Eigenzeit schon per definitionem stets auf einen Weg zu beziehen ist. Indem er dann für eine gegebene zeitartige Weltlinie eine natürliche Parametrisierung durch ihre Eigenzeit vornimmt, repräsentiert die Weltline eine „Uhr“ u(τ), deren „Anzeigewert“, τ, ein invariantes Mass dafur ist, wie lange es für diese Uhr gedauert hat, um von u(0) längs ihrer Weltlinie bis u(τ) zu gelangen.

    Der Tangentenvektor du/dτ heisst bei Minkowski Bewegungsvektor; im Englischen wird er gemeinhin four-velocity (e.g. Malament, Straumann) oder 4-velocity (e.g. Synge, Wald) genannt. Und Minkowski bemerkt, „der Bewegungsvektor ist der zeitartige Vektor in Richtung der Weltlinie in P vom Betrage 1,“ wobei P einen beliebigen Punkt auf der Uhren-Weltlinie bezeichnet. Der Betrag des Bewegungsvektors aber gerade die Rate, mit der die Anzeigewerte τ der „Uhr“ u(τ) anwachsen, d.h., ihre natürliche Ganggeschwindigkeit. Da diese Grösse nun konstant gleich 1 ist, kann sich folglich die Ganggeschw. einer Uhr, die Eigenzeit anzeigt, nicht verändern, unter keinen Umständen.

    Ironischerweise kommt sogar Rindler auf eine 4-velocity von konstantem Betrag. Damit widerspricht er elegant seiner eigenen, in 1.16 proklamierten These “But if the clock at A is seen to go slow, then it really does go slow.” Man darf eben nicht alles glauben, was man zu sehen meint.

    Ihr Gedankenexperiment, das Rindler ja ganz ähnlich anstellt, erlaubt Ihnen keineswegs den Schluss, dass die eine Uhr langsamer gegangen wäre als die andere, nur weil für diese zwischendurch weniger Zeit vergangen ist als für jene. Mit dem zusätzlichen Wissen, dass beide gleich rasch gegangen sein müssen, ist indes zu schliessen, dass die eine Uhr dabei einen kürzeren zeitartigen Weg genommen hat als die andere.

    Mit Bezug auf das Maryland-Experiment hatte ich schon É. Gourgoulhon und sein Buch erwähnt. Es mag vielleicht auch für Herrn Wappler noch von Interesse sein, dass das betreffende Buchkapitel, Worldlines and Proper Time, frei bei Springer erhältlich ist. (Hier folgen und dann auf `Download Sample pages‘ clicken.)

    • Chrys schrieb (8. Februar 2017 @ 22:32):
      > Minkowski hat in Raum und Zeit (1909) Eigenzeit als (zukunftsorientierte) Bogenlänge einer zeitartigen Weltlinie eingeführt […]

      Und „Bogenlänge“ wurde (sicherlich von B. Riemann, schon im 19. Jh.) eingeführt; wie hier gezeigt, als Supremum (oberer Grenzwert) von Partialsummen über (Werte von) Distanzen zwischen je zwei (aufeinanderfolgenden) Bestandteilen des betrachteten „Bogens„.

      Für Minkowskis (oder Einsteins) Zwecke, also zur Feststellung von Dauer (die sich natürlich jeweils auf einen bestimmten identifizierbaren Beteiligten bezieht, wie auch Markus Pössel zweifellos bald mitkriegen wird), ist dabei „Distanz“ bekanntlich durch „Lorentzsche Distanz“ zu substituieren; und „Supremum“ durch „Infimum“.

      Fragt sich eben bloß:
      Woher die dazu erforderlichen Werte von „Lorentzscher Distanz“ nehmen?

      > É. Gourgoulhon und […] dass das betreffende Buchkapitel, Worldlines and Proper Time, frei bei Springer erhältlich ist.

      Danke für den Tip. (Trotzdem blöd, dass É. Gourgoulhon seine Darlegungen nicht z.B. einfach bei Wikipedia veröffentlicht hat, wo sich ggf. direkt kommentieren bzw. daran gemeinsam weiterarbeiten ließe.)

      Mir fällt darin besonders auf:

      – von „Lorentzschen Distanzen“ ist darin offenbar keine Rede (und Beem/Ehrlich/Easley kenn ich auch nur per „Google books“);

      – der gesamte Abschnitt 2.6.6. ist „ontologisch“ zweifelhaft (wie kürzlich,
      7. Februar 2017 @ 17:45, schon ausgeführt; aber „let’s burn this bridge when come to it“);

      p. 29: A “particle at a
      given instant” will be represented by a point in the spacetime ℰ (an event),

      (Das ist Quatsch; denn ein einzelnes event/Ereignis beinhaltet i.A. zahlreiche unterscheidbare Beteiligte, in Koinzidenz. Der Anteil eines einzelnen, bestimmten Beteiligten an einem bestimmten Ereignis ist stattdessen dessen entsprechende „Anzeige“.)
      Und schließlich:

      p. 33: An ideal clock is then defined as a clock for which the [duration] τ[ E_{(k)}, E_{(k + N)} ] between two ticks E_{(k)} and E_{(k + N)} is equal to a constant K times the number N of
      elapsed ticks: [eq. (2.11)]

      .

      (Man vermutet, dass die Konstante K ungleich Null sein sollte.)

      Diese Konstante K ist also offenbar nicht unbedingt gleich 1;
      und es ist demnach offenbar nicht unbedingt richtig, die Anzeige-Bewertung (Reading; hier konkret: Tick-Anzahl) N einer idealen Uhr mit Dauer τ gleichzusetzen.
      Stattdessen ist lediglich gefordert, dass die die Tick-Anzahl einer idealen Uhr proportional zur Dauer (des betreffenden „Mechanismus“) von dessen Tick-Anzeige bei Anfang der Zählung bis zu dessen Tick-Anzeige bei Ende der Zählung sein soll.

      Anhand der Gleichung (2.11) lässt sich natürlich darüber nachdenken, wie die Konstante K „(mathematisch) zu eliminieren“ wäre …

      (An dieser Stelle erweist sich auch die offenbar hartnäckige Verweigerung von \(\LaTeX\)-formatierten Darstellungsmöglichkeiten auf dieser Seite als störend.)

    • Danke für die konkrete und verständliche Darlegung, der Dinge, um die es Ihnen geht! Zumindest bei den Definitionen von Eigenzeit und Vierergeschwindigkeit gehen wir d’accord.

      Jedenfalls kann ich aus Ihren Ausführungen sehen, dass derjenige Punkt, an dem wir andere Auffassungen haben, offenbar die Definition von „Ganggeschwindigkeit“ ist. Sie definieren (!) Ganggeschwindigkeit als den Betrag der Vierergeschwindigkeit. Wenn Sie diese Definition voraussetzen, kann ich auch Ihre vorangehenden Behauptungen nachvollziehen.

      Rindler (und ich, und viele andere) machen aber etwas anderes. Wir nehmen eine alltagsnähere Version des Begriffs der Ganggeschwindigkeit und fragen, wie sich der auf die ART übertragen lässt. Im Alltag kann man die Ganggeschwindigkeiten zweier (insbesondere: relativ zueinander ruhender) Uhren durch Signalaustausch vergleichen. Überträgt man dieses Verfahren auf die ART, ergeben sich für unterschiedlich tief im Gravitationsfeld ruhende Uhren unterschiedliche Ganggeschwindigkeiten. An dieser Stelle kommt auch bei Rindler der Einwand, den Sie machen: was, wenn dieser Effekt nicht an den Uhren, sondern an den Signalen liegt? (In der SRT z.B. bekommt man mit analogem Vorgehen ja gerade heraus, dass jeder von zwei relativ zueinander bewegten Inertialbeobachtern bei einem solchen Vergleich die Uhren des jeweils anderen als langsamer gehend einschätzt.)

      An genau der Stelle kommt das Experiment ins Spiel, das ich hier mehrfach beschrieben hatte: Wiederholter Uhrentransport tiefer ins Gravitationsfeld, dort ruhen lassen, anschließend zurück; Reisephasen jeweils gleich gestaltet. Das zeigt nämlich, dass auch dem anderen Alltags-Vergleichsverfahren für Ganggeschwindigkeiten nach (direkter Vergleich von Uhren zu mindestens zwei Zeitpunkten, sehen auf welcher Uhr sich die Anzeige wieviel erhöht hat) die Uhr tiefer im Gravitationsfeld langsamer ging.

      In vierdimensionaler Perspektive, das sieht garantiert auch Rindler so, haben Sie vollkommen recht: die unterschiedlichen Uhren zeigen schlicht unterschiedliche Weltlinien-Längen an, und Vierer-Ganggeschwindigkeit war auf jenen unterschiedlichen Wegen gleich.

      Insofern: Nein, Rindler widerspricht sich nicht; und er verkündet auch nichts, was „komplett falsch“ (oder auch nur: falsch) ist. Er (und da ist er nicht der einzige) benutzt schlicht den Begriff Ganggeschwindigkeit anders, als Sie ihn benutzen.

      Die Situation ist ziemlich genau analog dazu, als würden Sie jemanden kritisieren, der behauptet, Körper könnten unterschiedliche Geschwindigkeiten haben – weil Sie Vierergeschwindigkeiten meinen (in der RT in der Tat die natürlichere Beschreibung), der andere dagegen den räumlichen Anteil des Geschwindigkeits-Vierervektors (in der RT bezugssystemabhängig, aber direkt an den Alltagsbegriff der Geschwindigkeit anknüpfend und daher allein schon aus Gründen der Anschlussfähigkeit an die Alltagserfahrungen etwas, mit dem man sich auch in der RT auseinandersetzen muss).

      • Markus Pössel schrieb (10. Februar 2017 @ 08:15):
        > […] dass derjenige Punkt, an dem wir andere Auffassungen haben, offenbar die Definition von „Ganggeschwindigkeit“ ist

        Dem ist sicher zuzustimmen; insbesondere in Bezug auf die Definition von „Ganggeschwindigkeit“ bzw. „Gangrate“, die ich oben (16. Januar 2017 @ 12:43, und dort sicherlich nicht zum ersten Mal) angegeben hatte, nämlich (sie hiermit ein weiteres Mal vorzulegen):

        dass die (durchschnittliche) Gangrate einer gegebenen Uhr als
        das Verhältnis
        der Differenz zwischen Anzeigewerten („clock readings“)
        zur Dauer der Uhr zwischen ihren entsprechenden Anzeigen definiert ist

        .

        Wie unschwer zu erkennen sein sollte, und natürlich nicht anders zu fordern ist, bezieht sich diese Definition jeweils auf eine bestimmte Uhr „an sich“ („eigentlich“, „properly“).
        Es wäre daher unnötig, wenn nicht sogar irreführend, diese definierte Größe ausdrücklich „Eigengangrate“ zu nennen, und nicht nur schlicht „Gangrate“.

        > Rindler (und ich, und viele andere) machen aber etwas anderes. Wir nehmen eine alltagsnähere Version des Begriffs der Ganggeschwindigkeit und fragen, wie sich der auf die ART übertragen lässt.

        … o.k. …

        > Vergleichsverfahren für Ganggeschwindigkeiten […]
        > direkter Vergleich von Uhren zu mindestens zwei Zeitpunkten, sehen auf welcher Uhr sich die Anzeige wieviel erhöht hat […]

        Vergleichsverfahren schön und gut;
        aber was genau wäre denn zunächst überhaupt Rindlers (vermeintliche)
        Definition der „Ganggeschwindigkeit“ einer Uhr an sich
        ??

        (Die bloße „Differenz der Differenzen“ von Readings der Anzeigen zweier Uhren kann man übrigens „relativen Gang“ dieser Uhren nennen.)

        p.s.
        Es sei denn (natürlich) …
        … der Begriff „Geschwindigkeit“ (der, abhängig von Details seiner Definition auch nicht unbedingt als „an sich“ bzw. „eigen“ verstanden werden muss), wäre mit Bedacht und Absicht ausdrücklich in Unterscheidung von „Rate“ gewählt, und konsequent so verstanden und benutzt.

        • Ich denke, mehr als die relativen Ganggeschwindigkeiten von Uhren (was Sie hier relativen Gang nennen) kann man aus den Alltagsvorstellungen nicht in die Relativitätstheorie hinüberretten. Bei Newton haben Sie eine globale, universelle Zeit im Hintergrund, auf die Sie Ganggeschwindigkeiten dann auch absolut zurückführen können. In der Relativitätstheorie können Sie nur vergleichen. Zum einen mit Lichtsignalen, wobei Sie dann natürlich die Unterscheidungsschwierigkeit haben, ob ein gemessener Unterschied jetzt auf die Uhren oder die Lichtsignale zurückzuführen ist – in der SRT kommt durch so etwas ja die symmetrische Situation bei der Zeitdilatation zustande. Zum anderen durch direkte Vergleiche, und da sind sie bei der Gravitations-Zeitdilatation eben in der günstigen Lage, den Vergleich so präparieren zu können, dass ein bestimmter Anteil des Unterschied eben nicht auf Reise-Effekte zurückgeht sondern auf den Aufenthalt der einen Uhr tiefer im Gravitationsfeld.

  32. @Markus Pössel / 10. Februar 2017 @ 08:15

    Bevor zu erörtern wäre, welche Aspekte in didaktischer Hinsicht vielleicht besonders wichtig erscheinen, möchte ich mich im Moment auf einen von zuvor noch ungeklärten Punkt beschränken: Wenn gesagt wird, der relativistische Gang von Uhren variiere in Abhängigkeit vom Gravitationsniveau, dann muss auch gesagt werden, dass der Gang dieser Uhren in Abhängigkeit von Beschleunigung variiert. Das folgt aus dem Äquivalenzprinzip — stimmen Sie dem soweit zu?

    Doch wenn der Gang gewisser Uhren durch deren beschleunigte Bewegung im Raum beeinflussbar ist, kann das, was diese Uhren anzeigen, nicht Eigenzeit sein. Um es mit den Worten von C.O. Alley (1983) zu sagen:

    It is important to note the absence of any explicit dependence of elapsed proper time on the acceleration of the clock, or on any of the higher derivatives of the motion.

    Ihr Gedankenexperiment läuft letztlich auf eine Variante des Maryland-Experiments hinaus, bei dem, wenn man so will, das Flugzeug durch ein U-Boot ersetzt wird, das unter das Geoid abtaucht. Nun haben Alley und sein Team ihre Experimente aber durchgeführt mit Uhren, die in hinreichend akzeptabler Näherung Eigenzeit anzeigen, um berechtigt von Proper Time Experiments reden zu können.

    Mutatis mutandis wollen Rindler und Sie jetzt quasi Alleys Messresultate erklären mit Bezug auf Uhren, die sich gerade in entscheidender Hinsicht, nämlich der Forderung nach Anzeige von Eigenzeit, ganz anders verhalten als Alleys Atomuhren. Kurzum, Sie beziehen sich zwecks beabsichtigter Erklärung auf Uhren, die nicht einmal den Bedingungen für eine relativistisch zulässige Uhr genügen. Sehen Sie, wo das Problem mit Ihren verlangsamten Uhren liegt?

  33. @Frank Wappler / 9. Februar 2017 @ 02:42

    »Diese Konstante K ist also offenbar nicht unbedingt gleich 1; und es ist demnach offenbar nicht unbedingt richtig, die Anzeige-Bewertung (Reading; hier konkret: Tick-Anzahl) N einer idealen Uhr mit Dauer τ gleichzusetzen.«

    Die realen Uhren der Metrologen haben einen Oszillator, der den Takt der Uhr bestimmt, sodass die Uhr tickt, wohingegen meine punkthafte Minkowski-Uhr u(τ) offenbar nicht von einem Oszillator abhängt. Doch lässt sie sich durch Wahl einer Konstanten K > 0 zur Modellierung einer gleichmässig tickenden Uhr verwenden, deren „Tickfrequenz“ gerade den Wert 1/K hat. Die Konstante K selbst entspricht der Dauer zwischen zwei sukzessiven Ticks, was man die „Tickperiode“ der Uhr nennen könnte, wenn’s genehm ist.

    Wird die Anzeige der Minkowski-Uhr gemäss τ → floor(τ/K) verändert, so zeigt sie statt τ nun die Anzahl der seit τ = 0 verstrichenen Tickperioden an. Alternativ wäre durch u(τ;K) := u(K·floor(τ/K)) eine „tickende Minkowski-Uhr“ mit Tickfrequenz 1/K und diskretisierter Anzeige definiert. Es bestehen durchaus einige Freiheiten bei der Deutung von `Reading‘.

    »– von „Lorentzschen Distanzen“ ist darin offenbar keine Rede (und Beem/Ehrlich/Easley kenn ich auch nur per „Google books“);

    Da sehe ich allerdings auch keine Veranlassung für Gourgoulhon, in diesem Kapitel über Lorentzian distance zu reden.

    »– der gesamte Abschnitt 2.6.6. ist „ontologisch“ zweifelhaft«

    Ontologisch ist so gut wie immer zweifelhaft. Im Zweifelsfall sollte man „ontologisch“ vermeiden.

  34. @Frank Wappler / 10. Februar 2017 @ 10:36

    Noch zum Begriff der Ganggeschwindigkeit einer Uhr: Darunter verstehen wir ansatzweise wohl alle das gleiche, nämlich eine Änderungsrate von Anzeigewerten der Uhr, d.h., das Verhältnis einer Differenz von Anzeigewerten zu der Zeitspanne, die von der Uhr für das Anzeigen dieser Werte beansprucht wird. Oder symbolisch: Δ(Anzeige)/Δ(Dauer).

    Das Δ(Anzeige) ist dabei vergleichsweise unproblematisch. Unbedingt erforderlich ist aber eine Festlegung, wie dann das zugehörige Δ(Dauer) zu ermitteln ist. Eben weil uns Dauer nur in Form einer Konvention begreifbar wird, lässt sich keinesfalls voraussetzen, dass dies rein intuitiv schon irgendwie klar wäre.

    • Chrys schrieb (12. Februar 2017 @ 10:11):
      > Ganggeschwindigkeit einer Uhr: Darunter verstehen wir ansatzweise wohl alle das gleiche, nämlich eine Änderungsrate von Anzeigewerten der Uhr,

      Die Formulierung „Änderungsrate von Anzeigewerten der Uhr“ kann ich durchaus als ansatzweise Beschreibung meiner durchwegs gehaltenen und mehrfach präsentierten Auffassung anerkennen.

      Wichtig ist mir allerdings die sorgfältige Unterscheidung zwischen „Anzeige einer Uhr, an sich“ (prototypisch bekanntlich „die Stellung des großen Zeigers“) und der Bewertung bzw. Parametrisierung einer Anzeige (insbesondere durch einen rellen Zahlenwert);
      und natürlich soll sich diese Rate die eine betrachtete Uhr selbst und an sich charakterisieren, nicht etwa mehrere Uhren in Beziehung zu einander.

      Aber ob „wir alle“ das so verstehen?? …

      (Dazu könnte mit der Formulierung von
      2. Januar 2017 @ 12:28
      („die Pseudo-Norm der Ableitung u'(s) ihrer nach Eigenzeit s parametrisierten Weltlinie u.„) vergleichen; und auf Rindlers oder Markus Pössels Formulierung des Ansatzes einer Definition warte ich noch mit … Interesse.)

      > d.h., das Verhältnis einer Differenz von Anzeigewerten zu der Zeitspanne, die von der Uhr für das Anzeigen dieser Werte beansprucht wird.

      An dieser detaillierteren Formulierung habe ich dreierlei auszusetzen:

      – Ich akzeptiere nicht, dass „Werte angezeigt“ würden. Werte werden Anzeigen zugeordnet; bzw. Anzeigen werden bewertet.

      – Die relevante Zeitspanne (d.h. die geordnete Menge von Anzeigen) die mit einer bestimmten Anzeige begann, und mit einer anderen bestimmten endete, bestand i.A. nicht nur aus genau diesen beiden Anzeigen, sondern eventuell außerdem aus weiteren Anzeigen „dazwischen“.

      – Im Zähler des Verhältnisses steht nicht eine bestimmte Zeitspanne (also eine bestimmte geordnete Menge von Anzeigen) an sich; sondern das Maß einer Zeitspanne, also eine Dauer.

      > Oder symbolisch: Δ(Anzeige)/Δ(Dauer).

      Nein:

      Δ(t) / Dauer,

      wobei die insbesondere die Bewertung der Anzeigen von tickenden Uhren durch Werte t (bzw. bei Gourgolhon: N) von ganzen Zahlen dabei besonders naheliegend ist.

      > Unbedingt erforderlich ist aber eine Festlegung, wie dann [die] zugehörige […](Dauer) zu ermitteln ist.

      Ja; jedenfalls insbesondere um unterscheiden und feststellen zu können, ob Raten gleich bzw. konstant oder ungleich bzw. veränderlich waren.

      > Eben weil uns Dauer nur in Form einer Konvention begreifbar wird, lässt sich keinesfalls voraussetzen, dass dies rein intuitiv schon irgendwie klar wäre.

      Doch; und auch davon schreibe ich mehr oder weniger seit wir hier korrespondieren:
      Wenn eine Konvention nachvollziehbar sein soll, dann dürfen zu deren Formulierung ausschließlich nur solche Begriffe eingesetzt werden, deren Verständnis man (auch) irgendjemandem von vornherein zugestehen muss, der (guten Gewissens) die Frage stellen könnte: „An welche Konvention soll ich mich denn halten?“.

      Konkret dafür erforderlich ist Verständnis von (bzw. des Unterschiedes zwischen) „Identität“ und „Verschiedenheit“. Bei großzügiger Auslegung auch (schon) von „Koinzidenz, oder nicht“, im Sinne Einsteins.

      Welche Messdefinition zur Ermittlung geometrischer Beziehungen lässt sich denn sonst aus diesen (sehr wenigen) Begriffen konstruieren, wenn nicht Ping-Koinzidenz-Gitter; und darunter insbesondere auch flache??

      Chrys schrieb (10. Februar 2017 @ 23:29):
      > Da sehe ich allerdings auch keine Veranlassung für Gourgoulhon, in diesem Kapitel [2] über Lorentzian distance zu reden.

      Oben (8. Februar 2017 @ 22:32) war mal von „Bogenlänge“ die Rede; und Gourgoulhon Kapitel 2 setzt sowas offenbar auch voraus. (Ob und wie er das woanders definiert haben mag, kann ich so rasch nicht nachweisen.)

      Was also soll „Bogen“ und „Bogenlänge“ in diesem Zusammenhang heißen? (Gibt es Veranlassung dazu?) Un im Vergleich dazu erneut die bekannte Definition https://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)#Rektifizierbare_Wege_in_beliebigen_metrischen_R.C3.A4umen

      p.s.
      Gourgoulhons eq. 2.11 benutzt τ ausdrücklich mit zwei Argumenten; und ein drittes, nämlich die Identität des betreffenden Beteiligten/Bogens/materiellen Punktes ist sicherlich impliziert. Auf die Veranlassung/Notwendigkeit, so ausführliche Notation einzusetzen (wie ich es auch meistens gemacht habe), könnte ich ein andermal noch eingehen.

    • Chrys schrieb (12. Februar 2017 @ 10:11):
      > Ganggeschwindigkeit einer Uhr: Darunter verstehen wir ansatzweise wohl alle das gleiche, nämlich eine Änderungsrate von Anzeigewerten der Uhr,

      Die Formulierung „Änderungsrate von Anzeigewerten der Uhr“ kann ich durchaus als ansatzweise Beschreibung meiner durchwegs gehaltenen und mehrfach präsentierten Auffassung anerkennen.

      Wichtig ist mir allerdings die sorgfältige Unterscheidung zwischen „Anzeige einer Uhr, an sich“ (prototypisch bekanntlich „die Stellung des großen Zeigers“) und der Bewertung bzw. Parametrisierung einer Anzeige (insbesondere durch einen rellen Zahlenwert);
      und natürlich soll sich diese Rate die eine betrachtete Uhr selbst und an sich charakterisieren, nicht etwa mehrere Uhren in Beziehung zu einander.

      Aber ob „wir alle“ das so verstehen?? …

      (Dazu könnte mit der Formulierung von
      2. Januar 2017 @ 12:28
      („die Pseudo-Norm der Ableitung u'(s) ihrer nach Eigenzeit s parametrisierten Weltlinie u.„) vergleichen; und auf Rindlers oder Markus Pössels Formulierung des Ansatzes einer Definition warte ich noch mit … Interesse.)

      > d.h., das Verhältnis einer Differenz von Anzeigewerten zu der Zeitspanne, die von der Uhr für das Anzeigen dieser Werte beansprucht wird.

      An dieser detaillierteren Formulierung habe ich dreierlei auszusetzen:

      – Ich akzeptiere nicht, dass „Werte angezeigt“ würden. Werte werden Anzeigen zugeordnet; bzw. Anzeigen werden bewertet.

      – Die relevante Zeitspanne (d.h. die geordnete Menge von Anzeigen) die mit einer bestimmten Anzeige begann, und mit einer anderen bestimmten endete, bestand i.A. nicht nur aus genau diesen beiden Anzeigen, sondern eventuell außerdem aus weiteren Anzeigen „dazwischen“.

      – Im Zähler des Verhältnisses steht nicht eine bestimmte Zeitspanne (also eine bestimmte geordnete Menge von Anzeigen) an sich; sondern das Maß einer Zeitspanne, also eine Dauer.

      > Oder symbolisch: Δ(Anzeige)/Δ(Dauer).

      Nein:

      Δ(t) / Dauer,

      wobei die insbesondere die Bewertung der Anzeigen von tickenden Uhren durch Werte t (bzw. bei Gourgolhon: N) von ganzen Zahlen dabei besonders naheliegend ist.

      > Unbedingt erforderlich ist aber eine Festlegung, wie dann [die] zugehörige […](Dauer) zu ermitteln ist.

      Ja; jedenfalls insbesondere um unterscheiden und feststellen zu können, ob Raten gleich bzw. konstant oder ungleich bzw. veränderlich waren.

      > Eben weil uns Dauer nur in Form einer Konvention begreifbar wird, lässt sich keinesfalls voraussetzen, dass dies rein intuitiv schon irgendwie klar wäre.

      Doch; und auch davon schreibe ich mehr oder weniger seit wir hier korrespondieren:
      Wenn eine Konvention nachvollziehbar sein soll, dann dürfen zu deren Formulierung ausschließlich nur solche Begriffe eingesetzt werden, deren Verständnis man (auch) irgendjemandem von vornherein zugestehen muss, der (guten Gewissens) die Frage stellen könnte: „An welche Konvention soll ich mich denn halten?“.

      Konkret dafür erforderlich ist Verständnis von (bzw. des Unterschiedes zwischen) „Identität“ und „Verschiedenheit“. Bei großzügiger Auslegung auch (schon) von „Koinzidenz, oder nicht“, im Sinne Einsteins.

      Welche Messdefinition zur Ermittlung geometrischer Beziehungen lässt sich denn sonst aus diesen (sehr wenigen) Begriffen konstruieren, wenn nicht Ping-Koinzidenz-Gitter; und darunter insbesondere auch flache??

      Chrys schrieb (10. Februar 2017 @ 23:29):
      > Da sehe ich allerdings auch keine Veranlassung für Gourgoulhon, in diesem Kapitel [2] über Lorentzian distance zu reden.

      Oben (8. Februar 2017 @ 22:32) war mal von „Bogenlänge“ die Rede; und Gourgoulhon Kapitel 2 setzt sowas offenbar auch voraus. (Ob und wie er das woanders definiert haben mag, kann ich so rasch nicht nachweisen.)

      Was also soll „Bogen“ und „Bogenlänge“ in diesem Zusammenhang heißen? (Gibt es Veranlassung dazu?) Un im Vergleich dazu erneut die bekannte Definition https://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)#Rektifizierbare_Wege_in_beliebigen_metrischen_R.C3.A4umen

      p.s.
      Gourgoulhons eq. 2.11 benutzt τ ausdrücklich mit zwei Argumenten; und ein drittes, nämlich die Identität des betreffenden Beteiligten/Bogens/materiellen Punktes ist sicherlich impliziert. Auf die Veranlassung/Notwendigkeit, so ausführliche Notation einzusetzen (wie ich es auch meistens gemacht habe), könnte ich ein andermal noch eingehen.

    • Nein, denn die Intuition ist vermutlich eher Newtonsch und versucht, die Dauer auf ein und dieselbe absolute Zeit zu beziehen. Hinüberretten lässt sich von den Alltagsvorstellungen wohl nur so etwas wie eine relative Ganggeschwindigkeit, also das Verhältnis zweier Anzeigen.

  35. @Frank Wappler / 13. Februar 2017 @ 08:42

    »Wichtig ist mir allerdings die sorgfältige Unterscheidung zwischen „Anzeige einer Uhr, an sich“ (prototypisch bekanntlich „die Stellung des großen Zeigers“) und der Bewertung bzw. Parametrisierung einer Anzeige (insbesondere durch einen rellen Zahlenwert); und natürlich soll sich diese Rate die eine betrachtete Uhr selbst und an sich charakterisieren, nicht etwa mehrere Uhren in Beziehung zu einander.«

    Um eine gegebene zukunftsorientierte Weltlinie w:ℝ → (M,g) in einer Raumzeit zu einer idealen Uhr zu machen, wie geht Minkowski dabei grundsätzlich vor? Schauen wir das nochmals kurz an — in der Hoffnung, dass dies zur Erläuterung der Begriffsbildungen dienlich sein möge.

    Die Uhr soll etwas anzeigen. Sei P = w(t) ein beliebiger Punkt auf der Weltlinie, dann ist das einzige, was als Anzeige bei P in Betracht kommt, der Parameterwert t. Da die Parametrisierung noch völlig unspezifisch gewählt war, ist dieser Anzeigewert noch nichtssagend. Wir haben damit einstweilen nur eine Idee davon, was eine ideale Uhr bei einem Punkt P überhaupt anzeigen kann, doch w ist noch keine Uhr.

    Weiters soll die Uhr etwas messen. Zum Messen ist uns nur das g an die Hand gegeben, was heute „Metrik“ heisst und seinerzeit gerne „Massbestimmung“ genannt wurde. Als Geometer wusste Minkowski, wie sich mittels g jedem Segment der Weltlinie ein intrinsisches Längenmass zuordnen lässt, eben die Bogenlänge dieses Segments, die zudem zukunftsorientiert sei (was besagen soll, dass die Masszahl positiv ist, wenn das Segment in Richtung wachsender Parameterwerte von w gemessen wird).

    Damit lässt sich nun eine (sogenannte) natürliche Parametrisierung der Weltlinie durch die Bogenlänge s vornehmen, Dazu wählt man einen beliebigen Punkt O = w(t*) auf der Weltlinie aus und setzt s(t) := “Bogenlänge des Segments von O bis w(t)”. Da s(t) streng monoton wächst, lässt sich umgekehrt auch t als Funktion von s ausdrücken, t = φ(s), und die Weltlinie gemäss u(s) := w(φ(s)) umparametrisieren. Diese Parametrisierung ist wiederum zukunftsorientiert, und je zwei gleichorientierte natürliche Parametrisierungen unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante, die nicht weiter stört.

    Bei einem Punkt P = u(s) auf der Weltlinie wird von u jetzt der Parameterwert s angezeigt, also eine Masszahl, nämlich die Bogenlänge des Segments von O bis P. Relativistisch lässt sich dieses Längenmass konvertieren in ein Zeitmass, indem die Bogenlänge durch die Lichtgeschw. in vacuo, c, dividiert wird. Im Sinne Minkowskis setzen wir folglich fest:

    Eigenzeit := Bogenlänge/c   resp.   τ := s/c.

    Damit ist Eigenzeit als ein „Mass für Dauer“ definiert, und u repräsentiert eine ideale „Uhr“, die etwas anzeigt, das strikt proportional zur Eigenzeit ist. Wobei der Wert τ gerade angibt, wie lange es für die Uhr u „dauert“ um von u(0) bist u(s) zu gelangen. Dann lässt sich aber auch wieder symbolisch schreiben:

    c = Δ(Bogenlänge)/Δ(Eigenzeit) = Δ(Anzeige)/Δ(Dauer).

    Dabei soll das Δ andeuten, dass dort Differenzen einzusetzen sind, womit die Abhängigkeit vom beliebig gewählten Bezugspunkt O wegfällt. Auf die gängige Normalisierung c = 1 habe ich hier einmal verzichtet. Falls man die Ausdrücke noch mit physikal. Einheiten zu dekorieren geneigt ist, sieht man so vielleicht eher, dass da tatsächlich eine Geschwindigkeit, nämlich c, als Ganggeschw. der Uhr herauskommt.

    Es mag bisweilen hilfreich sein, die Uhren-Weltlinie u(ℝ) noch mit „periodischen Ticks“ zu bestreuseln, dazu hatte ich ja auch schon etwas angemerkt. Nötig ist das aber nicht unbedingt, und es reicht zu wissen, dass es im Bedarfsfalle möglich ist.

    Ist das soweit nachvollziehbar?

  36. Chrys schrieb (13. Februar 2017 @ 22:49):
    > eine gegebene zukunftsorientierte Weltlinie w : ℝ → ( M, […])

    > Sei P = w(t) ein beliebiger Punkt auf der Weltlinie, dann ist das einzige, was als Anzeige bei P in Betracht kommt, der Parameterwert t.

    Keineswegs.
    Um die betreffenden Anzeige zu beschreiben (anstatt ihr schon einen bestimmten reellen Wert t zuzuordnen),
    kommen offensichtlich die (zur Identifikation) gegebenen Namen „w“ und „P“ in Betracht;
    es lässt sich also z.B. von der (eindeutig identifizierten)
    „Anzeige w’s beim Ereignis P“ sprechen.

    Grundlegender ließe sich Bezug auf insgesamt alle identifizierbaren zukunftsorientierte Weltlinien nehmen (benannt z.B. „u“, „v“, „w“ …),
    und es ließe sich angeben,

    – welche davon überhaupt („jemals“) mit w koinzident waren, und
    – welche davon mit w genau einmal koinzident waren,

    sodass anstatt „P“ deutlicher z.B. von dem (ggf. eindeutig identifizierten) „Ereignis der Koinzidenz von w und u“ gesprochen würde, formal:

    P ≡ M_{u w},

    und die entsprechende Anzeige w’s bei diesem (dem einzigen) Ereignis, an dem sowohl w ald auch u teilnahmen, formal

    „w_u“

    geschrieben würde (wie ich es seit Jahren vormache).

    > […] Raumzeit […] (M,g)
    > […] Zum Messen ist uns nur [der metrische Tensor] g an die Hand gegeben
    > […] wie sich mittels g jedem Segment der Weltlinie ein intrinsisches Längenmass zuordnen lässt, eben die Bogenlänge dieses Segments

    Auf die Idee, dass der metrische Tensor „g zum Messen von Bogenlänge an die Hand gegeben“ sei, können wohl (hoffentlich!) nur Mathematiker verfallen …

    Meine Auffassung ist dagegen
    (und ich hoffe und vermute, dass diese weitgehend von denen geteilt wird, die sich davon abgrenzen, Mathematiker zu sein),
    dass sich aus Verhältnissen von (insbesondere Lorentzschen) Distanzen

    1.
    ermitteln lässt, welche betrachteten Beteiligten/Bögen sich in einem bestimmten Koinzidenzereignis gerade nur „berührten“ (anstatt sich zu „schneiden“)

    (diese Messung wird von gewissen Mathematikern offenbar gern schon im „M“ als Annahme eingeschmuggelt; im Zusammenhang mit der Annahme bestimmter „Koordinaten“),
    und

    2.
    bewerten lässt,
    … als Zahl „g_mu_nu / Sqrt[ g_mu_mu g_nu_nu ]“ …
    in welchen „Winkeln“ sich verschiedene Äquivalenzklassen (von Beteiligten/Bögen, die sich jeweils gerade nur „berührten“) untereinander „schneiden“.

    (Zur Ermittlung von „Bogenlänge“, bzw. genauer wenigstens von „Bogenlängen“-Verhältnissen, aus Distanzverhältnissen, reicht die geeignete Variante der schon mehrfach verlinkten Formel.)

    Damit ist natürlich noch nicht beantwortet, wie denn überhaupt Verhältnisse von (insbesondere Lorentzschen) Distanzen ermittelt werden könnten …

    Diesbezüglich:
    Chrys schrieb (10. Februar 2017 @ 23:29):
    > […] wohingegen meine punkthafte Minkowski-Uhr u(τ) offenbar nicht von einem Oszillator abhängt.

    Aber: Im Zusammenhang mit einer bestimmten Weltlinie (bzw. einem bestimmten identifizierbaren Beteiligten) „u“
    können und müssen auch (geeignete) andere gedacht und eventuell sogar gefunden werden, die u’s Anzeigen beobachten können, und deren Anzeigen u wiederum beobachten kann.

    D.h. u ist ein Mitglied eines Ping-Koinzidenz-Gitters (oder sogar zahlreicher verschiedener); und (erst) das ermöglicht die nachvollziehbare Ermittlung von Dauer-Verhältnissen (alias Verhältnissen von „Bogenlängen“).

    > […] Damit lässt sich nun eine (sogenannte) natürliche Parametrisierung der Weltlinie durch die Bogenlänge s vornehmen, […]

    Wenn solche „s“-Verhältnisse bzw. „τ“-Verhältnisse erst einmal ermittelt sind, dann ist der Rest (sicherlich reine) Formsache.
    Die (für mich) interessante (für andere problematische?, kontroverse?) Frage ist aber, wie man diese überhaupt bekommt.

  37. @Frank Wappler / 14. Februar 2017 @ 11:47

    Nach einigem Nachdenken kann man auf die Idee kommen, dass Einstein der Zeigerstellung seiner Uhr eine Information entnimmt, die sich vollständig auch durch die Angabe eines Winkels vermitteln lässt. So wäre die in Einsteins Konstatierung „Der kleine Zeiger meiner Uhr zeigt auf 7“ codierte Information bei Einhaltung gäniger Konventionen durch die Angabe „α = 7π/6“ gleichwertig wiedergegeben. Einstein schreibt 1905:

    Es könnte scheinen, daß alle die Definition der „Zeit“ betreffenden Schwierigkeiten dadurch überwunden werden könnten, daß ich an Stelle der „Zeit“ die „Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr“ setze.

     

    Diese Behauptung kann zwar allenfalls unter einigen weiteren, hier nicht näher explizierten Annahmen hingenommen werden, doch überall dort, wo sie akzeptiert wird, kann wiederum die Angabe der „Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr“ durch die Angabe des besagten Winkels α substituiert werden. Was mithin also durch die Stellung des kleinen Zeigers angezeigt wird, ist der Wert eines reellen Parameters, der im Beispiel von Einsteins Uhr eben ein Winkel ist.

    Nach dieser Motivation wieder zurück zu Minkowskis zeitartigen Weltlinien. Der Wert des Parameters t ist die einzige Information, die von einer „uhrenartigen“ Parametrisierung w:IR → (M,g) der Weltlinie im Fall P = w(t) zusätzlich geliefert wird. Mit der formalen Aussage P = w(t) ∧ t = 42 wird nur abstrakt ausgedrückt, was in Worten durch „Das Anzeigen des Wertes t = 42 durch w und das Eintreten von P sind koinzidente Ereignisse“ gesagt wäre, in Analogie zu Einsteins Wendung „Das Zeigen des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 7 und das Ankommen des Zuges sind gleichzeitige Ereignisse.

    Die von Einstein 1905 betrachteten Uhren dienten ihm mit ihren Zeigerstellungen letztlich nur zu dem Zweck, ihrem jeweiligen inertialen Ruhesystem eine Zeitkoordinate zu geben. So konnte er zwar die Relativierung von Gleichzeitigkeit diskutieren, es fehlten ihm aber noch die Begriffe, um sich mit dem Aspekt von Dauer und deren Bestimmung, d.h. der „Zeitmessung“, in adäquater Allgemeinheit befassen zu können. Einstein hatte da auch noch gar keine geometrische Raumzeit, vielmehr betrachtete er nur eine Menge von Inertialsystemen zusammen mit der Forderung, dass diese a) alle gleichberechtigt und b) durch Lorentz Transformation zueinander in Beziehung zu setzen seien.

    »(Zur Ermittlung von „Bogenlänge“, bzw. genauer wenigstens von „Bogenlängen“-Verhältnissen, aus Distanzverhältnissen, reicht die geeignete Variante der schon mehrfach verlinkten Formel.)«

    Nein, reicht nicht. Die Lorentzian distance function setzt schliesslich eine Lorentzsche Metrik g voraus, und nicht etwa umgekehrt. Das ist im übrigen auch bei Beem, Ehrlich & Easley nicht anders. Also bitte nicht das Ross von der falschen Seite her aufzäumen.

    • Chrys schrieb (15. Februar 2017 @ 17:43):
      > Nach einigem Nachdenken kann man auf die Idee kommen, dass Einstein der Zeigerstellung seiner Uhr eine Information entnimmt, die sich vollständig auch durch die Angabe eines Winkels vermitteln lässt. […] bei Einhaltung gängiger Konventionen […]

      Bei verständnisvoll-großzügiger Auslegung kann man in der zitierten Aussage also lesen, dass eine Unterscheidung zwischen einer (koordinaten-freien Beschreibung einer „physischen“) „Anzeige an sich“ einerseits, und andererseits der Zuordnung eines bestimmten Zahlenwertes zu einer bestimmten Anzeige (als dessen „Koordinate“ oder „Parameter“ oder „Reading“; ggf. entsprechend irgendwelchen Konventionen) durchaus anerkannt wird.

      Zur Unterstützung hier noch einige relevante Beispiele für Beschreibungen von Anzeigen:
      Einstein 1905:
      – A’s Anzeige “dass ein Lichtstrahl abging“,
      – B’s Anzeige „A’s Anzeige wahrgenommen zu haben, dass ein Lichtstrahl abgegangen war“,
      – A’s Anzeige „B’s Anzeige wahrgenommen zu haben, dass A angezeigt hatte, dass ein Lichtstrahl abgegangen war“;

      oder insbesondere auch hinsichtlich der schon 1905 erhobenen Forderung nach Transivität von „Gleichzeitigkeit“:
      Einstein 1917:
      – M’s Anzeige “A’s Blitzanzeige und B’s Anzeige des Aufleuchtens koinzident wahrgenommen zu haben“;

      oder: jemandes Anzeige, wahrgenommen zu haben, dass am Bodensee Schneeglöckchen blühen.

      Oder:
      – eine bestimmte Signalanzeige M’s, und
      – M’s Anzeige, koinzident wahrgenommen zu haben, dass sowohl A als auch B diese bestimmte Signalanzeige M’s wahrgenommen hatten; und
      – eine bestimmte Signalanzeige A’s, und
      – A’s Anzeige, koinzident wahrgenommen zu haben, dass B diese bestimmte Signalanzeige A’s wahrgenommen hatte und dass M wahrgenommen hatte, dass A wahrgenommen hatte, dass M diese bestimmte Signalanzeige A’s wahrgenommen hatte; und
      – eine bestimmte Signalanzeige B’s, und
      – B’s Anzeige, koinzident wahrgenommen zu haben, dass A diese bestimmte Signalanzeige B’s wahrgenommen hatte und dass M wahrgenommen hatte, dass B wahrgenommen hatte, dass M diese bestimmte Signalanzeige B’s wahrgenommen hatte.

      > Die Lorentzian distance function setzt schliesslich eine Lorentzsche Metrik g voraus […] Das ist im übrigen auch bei Beem, Ehrlich & Easley nicht anders.

      Zunächst mal vielen Dank für die hiermit erbrachte Kenntnisnahme des Begriffs, den ich selbst erst seit ca. einem Jahr kenne und den ich in unserer Korrespondenz bisher wohl höchstens ein-Dutzend-mal benutzt habe (weil er sich so gut zur Koordinaten-freien Darstellung allgemeiner geometrischer Beziehungen eignet, dass ich ihn hätte erfinden wollen, wenn ich nicht rechtzeitig erfahren hätte, dass es ihn schon gibt).

      Zugegeben: Beem, Ehrlich & Easley leiten „Lorentzsche Distanz“ aus als gegeben betrachteter „Lorentzscher Mannigfaltigkeit (M, g)“ her.

      > und nicht etwa umgekehrt.

      Doch, doch:
      mit vergleichbar entschlossener Mathematiker-Naivität ließe sich natürlich auch eine Ereignismenge zusammen mit Werten Lorentzscher Distanz als schlicht gegeben betrachten; als „Prämetrischer Raum (ℰ, ℓ)“.
      Und MTW’s Box 13.2 „Metric [tensor] distilled from distances“ legt nahe, dass und wie sich daraus doch der ach-so-unverzichtbare metrische Tensor (mehr oder weniger eindeutig) ermitteln lässt; für diejenigen, die eben partout nicht von Koordinaten lassen wollen.

      (Ein bißchen mehr „Song-and-Dance“ wird dafür allerdings doch gebracuht, weil „Lorentzian distances“ nun mal keine herkömmlichen „distances“ sind, die MTW voraussetzen. Ich hab da schon mal begonnen, was vorzubereiten … (Und ich schau auch gleich mal nach, ob Beem, Ehrlich & Easley dahingehend schon etwas vorgemacht haben.))

      Mich erinnert gerade die Gegenseitigkeit dieser beiden Auffassungen von „(vermeintlich!) gegebener Raumzeit“ sehr an das Bild der „zwei Hände“ von M. Escher. (Deswegen hatte ich neulich schon mal im Memo darauf verwiesen.)

      Und so, wie das Bild paradox wirkt, bis man sich klarmacht, dass nicht etwa die eine Hand die andere gemalt hätte, sondern der (nicht abgebildete) Künstler beide zusammen hervorbrachte,
      muss beachtet werden, dass uns „Raumzeit“ weder in der einen noch in der anderen mathematischen Gestalt schlicht gegeben ist, sondern dass

      all unsere zeit-räumlichen Konstatierungen auf Koinzidenzbestimmungen hinauslaufen

      ;
      wie es nicht zuletzt auch „Malaments Hausaufgabe (Sec. 3.3)“ auferlegt.

      • Frank Wappler schrieb (16. Februar 2017 @ 13:35):
        > Chrys schrieb (15. Februar 2017 @ 17:43):
        > > […] Die Lorentzian distance function […]
        > Zunächst mal vielen Dank für die hiermit erbrachte Kenntnisnahme des Begriffs, den ich selbst erst seit ca. einem Jahr kenne […]

        Bei einer mittelbar damit verbundenen Suche (nämlich nach „„distilled from distances“
        bin ich gerade auf diesen Kommentar (Chris, 6. April 2013 @ 11:06) und unsere nachfolgende Korrespondenz dort gestoßen.

        Also hätte ich oben richtiger schreiben sollen, dass „Lorentzian distance“ ein Begriff ist, den erst seit ca. einem Jahr aktiv kenne …

        Und die betreffende MTW-Box „Metric [tensor] distilled from distances“ ist offenbar Box 13.1.

    • Das mit dem Winkel sehe ich ähnlich. Ich hatte mich durchaus gewundert, dass Herr Wappler in einem früheren Kommentar an dieser Stelle offenbar diskrete Maße einführen und den Übergang zu einem reellen Parameter (wie es der Winkel wäre) als signifikanten Extraschritt sehen wollte.

      • Markus Pössel schrieb (18. Februar 2017 @ 23:08):
        > Das mit dem Winkel sehe ich ähnlich.

        Was „mit dem Winkel“ ??
        Ähnlich“ wem oder was ??
        Menschenskind, Herr Pössel, lern doch endlich mal zu zitieren! …

        > Ich hatte mich durchaus gewundert, dass Herr Wappler in einem früheren Kommentar an dieser Stelle offenbar diskrete Maße einführen […] wollte

        Welcher Teil „eines“ meiner „früheren Kommentar an dieser Stelle“ wurde derart aufgefasst und/oder missverstanden ?? …

        Soweit ich mich erinnere, habe ich das Wort „diskret“ in meinen (mittlerweile recht zahlreichen) Kommentaren in diesem SciLog bisher überhaupt noch nicht gebraucht; und auf dieser Seite erst recht nicht. (Und in Korrespondenz mit Chrys in einem anderen SciLog letztmalig vor mittlerweile über einem Jahr.)

        Zugegebenermaßen schreibe ich aber regelmäßig und nachdrücklich von Ping-Koinzidenz-Gittern, und insbesondere von flachen, rational eindeutig bestimmbaren Ping-Koinzidenz-Gittern als nachvollziehbarer Konstruktion von idealen Uhren;
        und beim damit verbundenen bzw. in Betracht zu ziehenden Abzählen sukzessiver Pings (jeweils zwischen einem bestimmten Paar von Beteiligten) werden zwangsläufig natürliche Zahlenwerte ermittelt, also diskrete Zahlenwerte.

        • Ach ja, noch zu dem Winkel: Der war in dem Kommentar, auf den ich mich bezog direkt angegeben. Lesen Sie keine Threads? Elementare Browser-Kompetenzen, so mit finden und so, führen auch da binnen Sekunden zum Ziel. Ich finde eher ihre übermäßige Zitiererei nervig – die bläht ihre ohnehin ja meiste sehr ausladenden Kommentare dann noch mehr auf. Aber ich habe da bis jetzt (soweit ich erinnere) nichts gesagt; ich will Sie ja nicht einengen. Und Sie anzuraunzen „Menschenskind, Herr Wappler, fass dich doch endlich mal kurz!“ wäre mir deutlich zu unhöflich. Letztlich ist ja auch der Umgangston ein wichtiges Element eines konstruktiven Diskurses.

  38. @Frank Wappler / 16. Februar 2017 @ 13:35

    »Zur Unterstützung hier noch einige relevante Beispiele für Beschreibungen von Anzeigen: …«

    Neugierig wäre ich ja noch auf eine in Deinen eigenen Worten verfasste Beschreibung, wie eine Koordinatenlinie, welche bei MTW je nach Parametrisierung mal als „gute“, mal als „schlechte“ Uhr gilt (oder zumindest als Modell einer solchen), etwas „anzeigt“. So geht offenbar die Formulierung “Let T(t) be the reading of the “bad” clock; …” dabei vorbehaltlos durch. Der gleiche „Anzeigemechanismus“ liesse sich dann auch für eine Minkowski-Uhr denken, womit gewiss diverse hingemurmelte Bedenken getrost ad acta gelegt werden könnten.

    »MTW-Box „Metric [tensor] distilled from distances“«

    In dieser Box kommt klammheimlich immer wieder auch ein Bezug auf “angles” zum Vorschein, in Fig. 13.1 dann sogar völlig unverblümt. Was allerdings nicht zulässig wäre, wenn tatsächlich nur von distances als Voraussetzung ausgegangen wird. Mich dünkt, die Box ist eine Trick-Kiste.

    By the way, liegt es an meinem getrübten Blick, oder kommen sogar MTW ohne verlangsamte Uhren à la Rindler/Pössel aus? Ich habe da nichts dergleichen gesehen, mal abgesehen von einem Einstein-Zitat von 1908 in 17.7, aber mir könnte auch leicht was durchgerutscht sein.

    Dass auch Einstein mit dem Gangverhalten von Uhren so seine Not hatte, wird noch in Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie vom Frühjahr 1916 ersichtlich, wo er mit Bezug auf einen gewissen Beobachter in einem rotierenden Bezugssystem konstatiert: „Er wird also nicht umhin können, die Zeit so zu definieren, daß die Ganggeschwindigkeit einer Uhr vom Orte abhängt.“ Das hätte er eigentlich besser wissen können; dem Minkowski wäre so etwas bestimmt nicht passiert.

    • Chrys schrieb (17. Februar 2017 @ 18:53):
      > […] »MTW-Box 13.1: „Metric [tensor] distilled from distances“«
      > In dieser Box kommt klammheimlich immer wieder auch ein Bezug auf “angles” zum Vorschein […]
      > Was allerdings nicht zulässig wäre, wenn tatsächlich nur von distances als Voraussetzung ausgegangen wird.

      Auf Anhieb finde ich dort nur die ausdrückliche Erwähnung von „right triangle“; die entsprechende Bedingung an Distanzen zwischen den Ecken eines solchen Dreiecks (bzw. deren Distanz-Verhältnisse) ist als „Satz des Pythagoras“ bekannt.

      Aber „Winkel“ können natürlich auch ganz allgemein aus Distanzverhaltnissen definiert werden; wie z.B. dort beschrieben; in Anwendung von „Herons Formel„.
      Und MTW Box 13.1 erwähnt ja nicht zufällig die „extended Hero-Tartaglia formula“; alias Cayley-Menger determinants.

      (Das dort gezeigte lässt sich offensichtlich nicht direkt anhand von als gegeben betrachteten Verhältnissen von Lorentzschen Distanzen ℓ auswerten. Nicht zuletzt deswegen habe ich ja vor, als Fortsetzung dieser Vorarbeiten einen geeigneten Begriff von
      chronometric distance χ : ℰ × ℰ → ℝ“ zu beschreiben/definieren;
      deren Werte im Falle flacher Regionen zu den entsprechenden Intervall-Werten passen:

      „Abs[ &#967_flach ] &#967_flach == s^2“.

      Übrigens: in diesen genannten „Vorarbeiten“, und auch den bislang hinzugefügten Bemerkungen, ist mir ein ziemlich grober/peinlicher Fehler unterlaufen, der mir ungefähr 17. Februar 2017 @ 11:08 aufgefallen ist …
      )

      > Neugierig wäre ich ja noch auf eine in Deinen eigenen Worten verfasste Beschreibung, wie eine Koordinatenlinie, welche bei MTW je nach Parametrisierung mal als „gute“, mal als „schlechte“ Uhr gilt (oder zumindest als Modell einer solchen), etwas „anzeigt“.
      > […] diverse hingemurmelte Bedenken […]

      Einerseits schätze ich ja das Interesse. Andererseits finde ich die gestellte Aufgabe recht unpräzise gestellt; das könnte (deshalb) in Arbeit ausarten.

      Vielleicht reicht ja der Hinweis, dass ich als „Uhr“ stets eine bestimmte (geordnete) Menge „(physischer, beschreibbarer) Anzeigen A“ zusammen mit einer bestimmten „(reell-wertigen) Parametrisierung t der Menge A“ bezeichnet und gedacht habe;
      kurz: „(A, t)“.

      (Die geordnete Anzeigenmenge A an sich habe ich als „identifizierbaren Beteiligten“ bezeichnet und gedacht.)

      > By the way, […]

      Wenigstens scheinen wir (mittlerweile) in Sachen „langsameres Gehen“ Einvernehmen erzielt zu haben.

      MTW fassen sich hinsichtlich „Twin paradox“ sowie sehr kurz; und „§38.5: Test of Geodesic Motion. Gravitational Redshift Experiments“ ist diesbezüglich auffallend sorgfältig formuliert. (Abgesehen von dem entscheidenden Mangel, dass unter den Tisch gekehrt wird, wie denn überhaupt gemessen würde, ob „das Co57“ und „das Fe57“ „eigentlich gleich gingen“, oder in wie fern nicht.)

      Und Einstein selbst? Tja: keiner ist vollkommen.
      (Aber um so schwieriger ist leider die Debatte mit den Dr. Engelhardts dieser Welt …)

      • p.s. zu 17. Februar 2017 @ 22:18

        „Winkel“-Definition aus Distanz-Verhältnissen: konkret dort beschrieben;

        Werte „chronometrischer Distanz χ“, die im Falle flacher Regionen zu den entsprechenden Intervall-Werten passen:

        „Abs[ χ_flach ] χ_flach == s^2“.

  39. Geehrter Herr Pössel,
    einverstanden, die Diskussion mit den Feldern und Austauschteilchen führt zu nichts. Sie wissen es nicht, und ich glaube zwar zu wissen, wie es funktioniert, das hilft Ihnen jedoch vorläufig auch nicht weiter.
    Zur Testmasse: Ich wiederhole mich jetzt, eine massenlose Testmasse ist eine sinnlose Definition. Wenn die gravitative Ladung fehlt, kann sie von einer großen Testmasse (oder wo soll Ihr Gravitationsfeld sonst herkommen?) nicht angezogen werden. Wenn der Testkörper jedoch eine signifikante Masse hat, üben er und sein kleines Feld einen Einfluss auf das große Feld und die große Masse aus.
    Sehen wir, was Einstein über Bezugssysteme K und K‘ in „Die Grundlage der ART, S. 773, AdP, 1916“ schreibt:
    „Eine Masse, die sich gleichförmig im Verhältnis zu K bewegt, kann von K‘ auch so gedeutet werden, dass K‘ sich gleichförmig bewegt und die Masse gravitativ beschleunigt wird…Diese Auffassung wird dadurch ermöglicht, dass uns die Erfahrung die Existenz eines Kraftfeldes (nämlich des Gravitationsfeldes) gelehrt hat, welches die merkwürdige Eigenschaft hat, allen Körpern dieselbe Beschleunigung zu erteilen“
    In der Tat eine merkwürdige Eigenschaft, nur ausgerechnet von ihr wird die Geometrisierung der Gravitation abgeleitet. Wenn Sie jedoch in einem Teilsystem kein Gravitationsfeld zulassen wollen, sondern nur winzige Testmassen, können die beiden Bezugssysteme nicht gleichwertig sein.
    Sie wollen eine Theorie als allgemeingültig verkaufen, deren Grundlage diese Näherung ist und diese Theorie soll dann genaue Aussagen treffen über Phänomene, die die Grundlage direkt betreffen (bspw. die Wirkung zwischen 2 Schwarzen Löchern, oder hat hier eines auch kein Gravitationsfeld?). Ein Teufelskreis, der nicht funktionieren kann (Division durch 0, Unendlichkeiten…)
    Ich möchte hier 10 Gründe nennen, warum die ART falsch sein müsste. Alles werden Sie möglicherweise nicht richtig interpretieren können. Da bitte ich um Nachsicht, weil mir dieses Format zur vollständigen Erläuterung ungeeignet erscheint.

    1. Die Gleichheit von träger und schwerer Masse trifft nicht zu: Unterschiedliche Testmassen müssen im freien Fall aus gleicher Höhe auf die gleiche Masse zu unterschiedlichen Bahnkurven und zu unterschiedlichen Endgeschwindigkeiten gelangen.
    2. Die Energie-Zeit-Unschärfe kann zu extremen Vakuumfluktuationen im Raum führen, bei denen in kleinsten Zeiten sehr große Energien entstehen, deren Gravitationsfelder den Raum „krümmen“. Das steht im Widerspruch zum „flachen“ Raum außerhalb von Gravitationsfeldern.
    3. Die ART beschreibt keine Wechselwirkungsteilchen der Gravitation. Durch die Raum-Geometrisierung geht auch die wertvolle Beschreibung der Kraftwirkung, wie sie bei Ladungen üblich ist, verloren.
    4. Es fehlt der Bezug zur Magnetostatik, v.a. zu magnetischen Elementarladungen, obwohl das Newtonsche Gravitationsgesetz diese Äquivalenz nahelegt.
    5. Die Maxwell- Gleichungen bleiben in der ART unvollständig, denn gerade bei einer Vervollständigung würden die Wirkungen magnetischer Elementarladungen sichtbar werden.
    6. Die Gravitation müsste sich nach meinen Erkenntnissen, genau wie die Phase von Materiewellen oder der Zustand verschränkter Quanten instantan ausbreiten. Die publizierte Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit beruht wahrscheinlich auf falschen Messungen. Also Newton hatte diesbezüglich m.E. Recht.
    7. Gravitationswellen sind nach meinen Erkenntnissen wahrscheinlich keine Quadrupol- sondern Monopolwellen, weil sie sich über magnetische Monopole fortpflanzen können.
    8. Die SRT gilt in der Quantenmechanik widerspruchsfrei, nicht jedoch die ART, die bei kleinsten Abständen Unendlichkeiten produziert. Da die Quantenmechanik jedoch für Mikro- und Makrosysteme funktioniert, können nicht beide Theorien (SRT und ART) richtig sein, sondern nur die Mathematik der SRT (Lorentz).
    9. Die Gravitationskonstante müsste nach meinen Erkenntnissen mit dem Weltraumalter anwachsen, weil alle Massen einem Zerfallsprozess unterliegen und geringfügig kleiner werden. Das schreibt die Schwarzlochbedingung, die während der gesamten Expansion des Weltraumes gilt, vor. Die ART setzt jedoch mit der Einsteinkonstanten auch eine unveränderliche Gravitationskonstante voraus.
    10. Dunkle Masse und Dunkle Energie bleiben unerklärt, weil die Grundlagen der Gravitation unverstanden sind. U.a. mit Einführung des Äthers in Form einer mathematisch imaginären Gegenwart im Minkowski-Raum lassen sich die Phänomene erklären.

    Sie sprachen von einem extrem unwahrscheinlichen Fall, der „Unkorrektheit der ART“.
    Ohne Ihnen nahetreten zu wollen, meine ich: Die ART ist ein Haufen Schrott, den man endlich einschmelzen sollte. Das wird eines Tages (hoffentlich bald) für die Physik und die Menschheit ein Befreiungsschlag. Es ist auch nicht schlimm, wenn man sie nicht verstanden hat. Es ist m.E. nicht besonders rühmlich, etwas angeblich verstanden zu haben und anzupreisen, was falsch ist.

    P.S. Haben Sie die kleine Rechenaufgabe schon gelöst?

    • Hui, das gehört schon in die Klasse „Argumentation durch Zuschütten“!

      Zum Konzept der Testmasse: nein, das ist keineswegs sinnlos. Wenn Sie beschreiben wollen, wie ein Elefant zu Boden fliegt, ist das Massenverhältnis ein Trilliardstel. Selbstverständlich werden diese und andere Situationen erfolgreich und höchst präzise beschrieben, indem man Testteilchen im Erd-Gravitationsfeld beschreibt! Zum Grenzwert Masse gegen Null: Bereits in der Newtonschen Theorie macht dieser Grenzwert einen Sinn. Für Testteilchen bekommen Sie ja schon in der klassischen Mechanik heraus, dass die Beschleunigung zählt – eine etwaige Masse kürzt sich heraus. Genau das besagt ja auch das Einstein-Zitat, dass Sie anführen. Alles konsistent.

      Die Testmassennäherung ist in der Tat eine der Voraussetzungen für die Formulierung der ART, aber das heißt doch keineswegs, dass die sich so ergebende Theorie dann nur Testteilchenbewegungen beschreiben kann! Sobald Sie die Einsteingleichungen haben, können Sie ganz allgemeine Situationen beschreiben. Bei den von Ihnen genannten sich umkreisenden Schwarzen Löchern werden selbstverständlich die Gravitationseinflüsse beider Schwarzer Löcher berücksichtigt. Hier beruht Ihre Kritik also schlicht auf einem falschen Verständnis, wie in diesem Falle mithilfe der Relativitätstheorie gerechnet wird!

      Zu den 10 Gründen:

      1. In Näherung trifft es in der Tat zu, selbst schon bei Newton. Mehr als die Näherung benötigt man nicht, um auf die Spur der geometrischen Beschreibung zu kommen (die, sobald dann vollständig formuliert, auch nicht-genäherte Situationen sehr gut modellieren kann).

      2., 3., 8. – es gibt in der Tat keine konsistente Theorie einer Quantengravitation. Das zeigt in der Tat, dass die Allgemeine Relativitätstheorie ihrerseits nur eine Näherung ist. Was nichts daran ändert, dass diese Näherung Gravitation im klassischen Regimen exzellent beschreibt.

      Die restlichen Punkte beruhen, soweit ich sehen kann, auf Ihren nicht näher genannten Privaterkenntnissen. Bitte haben Sie Verständnis, dass ich jenen angesichts der konkreten Beispiele, in denen Sie in dieser Diskussion ein aus meiner Sicht durchaus mangelhaftes Verständnis der Grundlagen der ART demonstrieren, kein großes Vertrauen entgegenbringe.

      Und nein, ich sehe nach wie vor keine Veranlassung, die Rechenaufgabe zu lösen – sie geht, wie mehrfach dargelegt, schon von der Formulierung her am Thema vorbei.

  40. @Frank Wappler / 17. Februar 2017 @ 22:18

    MTW-Box 13.1 schreibt: “Let the shape of the earth be described as in Figure 13.1, by giving distances between some of the principal identifiable points: buoys, ships, icebergs, lighthouses, peaks, and flags: points to a total of n = 2 × 10⁷. […] Idealize the surface of the earth as smooth. Then in any sufficiently limited region the geometry is Euclidean. This circumstance has a happy consequence.”

    Darin liegt aber auch schon die Annahme, dass die distances, von denen zunächst die Rede ist, verträglich sind mit der lokal Euklidischen Geometrie, also der Riemannschen Struktur, die anschliessend ins Spiel gebracht wird. Die `distances‘ könnten sonst ja auch auf eine Finsler Geometrie bezogen sein, mit der die Sache nicht wie von MTW beschrieben funktioniert. In that case, there is no such thing as a happy consequence in Box 13.1.

    Analog dazu lassen sich auch relativist. Raumzeiten mit Finsler Struktur betrachten, und man kann dann Lösungen der Feldgl. finden, die nicht Pseudo-Riemannsch sind. Eine Entsprechung zur Lorentzian distance hat es da allerdings auch, und wenn von solchen „Abständen“ als etwas Gegebenem ausgegangen würde, gelangte man damit auf alle Fälle nicht mehr zu einem metrischen Tensor der üblichen Art.

    • Chrys schrieb (19. Februar 2017 @ 18:46):
      > MTW-Box 13.1 […] die Annahme, dass die distances, von denen zunächst die Rede ist, verträglich sind mit der lokal Euklidischen Geometrie

      Erstens ist es ja einfach genug nachzuprüfen, ob das zutrifft:
      Entweder verschwinden all entsprechenden Cayley-Menger-Determinanten aus den Distanzen (bzw. Distanz-Verhältnissen) von jeweils fünf Beteiligten („principal identifiable points“);
      oder eben nicht;
      oder vielleicht nur annährend, im Grenzübergang zu beliebig kleinen Distanzen
      (vgl. auch das Verschwinden von entsprechenden Gram-Determinanten, die hier schon mal als „Beispiel“ vorgelegt wurden).

      Zweitens ist die Frage natürlich berechtigt, wie die Werte der Distanzen (bzw. wenigstens der Distanz-Verhältnisse) überhaupt „in die MTW trucks“ gekommen sein sollen;
      und ob die entsprechende Methodik (um nicht zu schreiben „Messdefinition“) überhaupt vonvornherein garantieren könnte, dass entsprechend ermittelte Distanzverhältnisse wie oben verlangt „flach“ sind.

      (Dahingehend lassen MTW offensichtlich sehr zu wünschen übrig; man kann ja versuchen, ihrem Hinweis auf „Robb 1914“ zu folgen. Oder direkt auf Ping-Koinzidenz-Gittern und deren Einbettung in flache Ping-Koinzidenz-Gitter kommen.)

      Drittens geht es ja eigentlich um die Ermittlung von Distanzen und von Dauern bzw. Lorentzschen Distanzen (und nicht unbedingt in dieser Reihenfolge der Ermittlung); und natürlich der Nachvollziehbarkeit wegen unbedingt so, dass die Ermittlung auf Koinzidenzbestimmungen hinausläuft.

      > Die `distances‘ könnten sonst ja auch auf eine Finsler Geometrie bezogen sein […]

      Wie oben:
      Um das erstens nachzuprüfen, was genau wären denn die entsprechenden Forderungen an gegebene Distanzen bzw. Distanzverhältnisse?
      Und lässt sich sechstens eine auf Koinzidenzbestimmungen hinauslaufende Messdefinition angeben, die die Erfüllung dieser Forderungen garantiert?

      • p.s. zu Frank Wappler (20. Februar 2017 @ 11:36):

        … das Verschwinden von entsprechenden Gram-Determinanten, das hier schon mal als „Beispiel“ vorgelegt wurde).

      • @Frank Wappler / 20. Februar 2017 @ 11:36

        »MTW-Box 13.1 …«

        In die Box wurde freilich mehr Heuristik als sonstwas hineingepackt, und man darf raten, was uns darin eigentlich offenbart werden soll. So wird zunächst gar nicht gesagt, wie diese distances zu ermitteln wären, das gilt anscheinend als evident. Dass die verbeulte Erdfläche als lokal Euklidisch betrachtet werden soll, ist nicht logisch zwingend, aber heuristisch naheliegend, womit dann zugleich eine Riemannsche Struktur hinzugedacht wird. Die 1 million truckloads an distance data sollen dann dazu dienen, die metrischen Koeffizienten zu bestimmen, was aber doch voraussetzt, dass die Ermittlung der distances von vornherein kompatibel zur Riemannschen Metrik erfolgt sein muss. In der logischen Abfolge ist es noch immer so, dass der metrische Tensor die distances bestimmt, auch wenn es in der Box so hingestellt wird, als ginge es umgekehrt.

        Wenn es das Pseudo-Skalarprodukt ist, was Dich an der Raumzeit stört, wäre ein naheliegender erster Schritt zur Verallgemeinerung, stattdessen Raumzeiten mit Finsler Struktur zu betrachten und zu schauen, was da geht. Immerhin geht das was, das ist gewiss, wenngleich gemeinhin eher wenig bekannt.

        • Chrys schrieb (22. Februar 2017 @ 17:52):
          > »MTW-Box 13.1 …« […] Die 1 million truckloads an distance data sollen dann dazu dienen, die metrischen Koeffizienten zu bestimmen, was aber doch voraussetzt, dass die Ermittlung der distances von vornherein kompatibel zur Riemannschen Metrik erfolgt sein muss.

          Um meine Antwort zu unterstreichen, die ich oben (20. Februar 2017 @ 11:36) dazu schon gegeben habe:

          Sofern vorausgesetzt wird, dass eine gegebene Menge von „distance data“ (hinsichtlich einer bestimmten zu betrachtenden Menge von „principal identifiable points“; also insgesamt ein gegebener „metrischer Raum“, im allgemeinsten Sinne) „kompatibel zur Riemannschen Metrik“ wäre,
          setzt das wiederum voraus, dass eine Definition dafür gegeben ist ( … die eine Methode an die Hand gibt, durch deren Anwendung Fall für Fall entschieden werden kann …), ob das zutrifft, oder nicht.

          Also:
          „Ein gegebener (allgemeiner) metrischer Raum heißt kompatibel zur Riemannschen Metrik falls: …“ – Was genau gilt??

          (Und bitteschön möglichst eine „intrinsische“ Antwort geben, d.h. besser in der Form
          „Die gegebene distance data muss folgende Bedingung erfüllen: …“,
          als in der Form
          „Es muss ein mathematisches Objekt (g) denkbar bzw. ermittelbar sein, das zusammen mit der gegebenen distance data folgende Bedingung erfüllt: …“.)

          > In der logischen Abfolge ist es noch immer so, dass der metrische Tensor die distances bestimmt

          Logisch erscheint mir zu versuchen, zwischen der (allgemeinen) Forderung nach „Kompatibilität“ irgendeines metrischen Raumes zu zu irgendeinerRiemannschen Metrik“ einerseits, und andererseits der Ermittlung bestimmter konkreter Werte „des metrischen Tensors“ (aus konkreten Distanzwerten, usw.) zu unterscheiden. Und hInsichtlich Abfolge erinnere ich an (meine obige Bemerkung zu) M. C. Escher.

          > auch wenn es in der Box so hingestellt wird, als ginge es umgekehrt.

          Zugegebenermaßen steht der Titel des MTW-Kapitels 13 ja auch in erkennbarem Widerspruch zum Titel (und offenbar auch Inhalt) der MTW-Box 13.1; und auf das relevantere „Destillieren pseudo-Riemannscher metrischer Tensoren“ wird ja gar nicht ausdrücklich eingegangen. (Die Ansicht, „dass der metrische Tensor die distances bestimmt“, wäre dann bekanntlich um so fragwürdiger.)

          Trotzdem wird damit die (für (Experimental-)Physiker brennende) Frage „Wo sollen konkrete g-Werte überhaupt herkommen?“ wenigstens ernstgenommen. (Wenn auch nicht ganz schlüssig beantwortet, sofern konsequent weitergefragt werden kann: „Wo soll konkrete distance data überhaupt herkommen?“.)

          p.s.
          > Wenn es das Pseudo-Skalarprodukt ist, was Dich an der Raumzeit stört […]

          Was micht stört … ist die Annahme von Bewertungen, bzw. die (billigend in Kauf genommene) Andeutung von Bewertungen, ohne eine entsprechende nachvollziehbare Bewertungsmethode anzugeben, zu kennen, zu würdigen. Mich stört jedes „dass“ ohne vorausgehendes „ob“.

          Hinsichtlich „Raumzeit“ stört mich deshalb, wenn einer Menge von als gegeben betrachteten (als Koinzidenzen von identifizierbaren Beteiligten beschriebenen) Ereignissen eine bestimmte Topologie zuerkannt (bzw. durch Angabe von Koordinaten-Tupeln „natürlich“ aufgedrückt) werden soll, ohne sich zuerst erkennbar damit zu beschäftigen, wie eine topologische Bewertung überhaupt (aus den gegebenen Koinzidenz-Feststellungen) zu gewinnen wäre;
          oder wenn bestimmte Teilmengen der als gegeben betrachteten gesamten Ereignismengen ohne vorab festgesetzte Messdefinition als „sich gerade nur berührend, aber nicht schneidend“ charakterisiert wird (oft einfach anhand der entsprechenden „natürlichen Struktur“ von Koordinaten-Tupeln);
          oder wenn von „Gleichheit“ die Rede ist, und die entsprechende „natürliche Struktur“ reeller (Koordinaten-)Zahlen wie selbstverständlich hinzugezogen wird,
          oder wenn „freie“ von „unfreien“ Beteiligten unterschieden werden sollen,
          ohne eine nachvollziehbare Festlegung mitzuteilen, wie solche Bewertungen Fall für konkreten Fall zu treffen wären.

          Ob mich Pseudo-Skalarprodukte stören??
          Normalerweise nicht.
          Sicher nicht so sehr wie die oben gezeigte Liste von Störungen insgesamt …

  41. Markus Pössel schrieb (21. Februar 2017 @ 13:17):
    > […] Lesen Sie keine Threads?

    Falls mit „Threads“ hier die bloße Reihenfolge gemeint ist, in der Kommentare auf dieser Seite (in meinem Browser) dargestellt sind:
    Ich erkenne, dass der Kommentar 18. Februar 2017 @ 23:08 direkt unter dem Kommentar 16. Februar 2017 @ 14:33 folgt.

    (Meine Einbildung, dass im Kommentar 18. Februar 2017 @ 23:08 deshalb in Betracht gezogen worden sein könnte, was im Kommentar 17. Februar 2017 @ 22:18 über „Winkel“ dargelegt und verlinkt wurde, war aber zugegebenermaßen illusorisch.)

    Ansonsten sind mir „Threads“ durch ausdrückliche Zitate erkennbar; und ich lese sie nicht nur, ich stelle sie sogar her.

  42. @Markus Pössel / 21. Februar 2017 @ 13:10

    Ihr Gedankenexperiment lässt sich auch ins Innere einer Einsteinschen Liftkabine verlegen. So wie Rindler es mit dem in 1.16 gegebenen Verweis auf Exercise 4.4 ebenfalls macht, nur mit Rakete statt Liftkabine. Die Deutung liefert er dort freundlicherweise mit: “By the equivalence principle, the rocketship is a rigid frame with a parallel gravitational field, and as such it gives rise to a gravitational frequency shift from top to bottom, as discussed in Section 1.16.

    Halten wir fest: Dem Äquvalenzprinzip zufolge wäre eine in Section 1.16 durch ein Schwerefeld in ihrem Gang beeinflusste Uhr dann in Exercise 4.4 gleichermassen durch Beschleunigung beeinflusst, und umgekehrt.

    Wenn Sie nun zur Begründung der beim Maryland-Experiment festgestellten gravitationsbedingten Abweichung anführen wollen, die Uhren im Flugzeug seien halt schneller gegangen als die auf dem Flugfeld verbliebenen Vergleichsuhren, müssen Sie sich — mit Hinblick auf das soeben Gesagte — auf Uhren beziehen, deren Gang durch Beschleunigungen signifikant beeinflussbar ist. Alley hat seine Messresultate hingegen erhalten mit Uhren, von denen er für die Bedingungen des Experimentes versichern kann, dass ihr Gang gerade eben nicht durch Beschleunigungen beeinflussbar ist und ergo auch nicht vom Gravitationsniveau abhängt. Erklärungen mit einer variierender Ganggeschwindigkeit passen nicht zusammen mit Alleys Uhren — da haben Sie den Widerspruch.

    • Nein, das gibt nicht richtig wieder, was Alley sagt. Das sieht man nicht zuletzt daran, dass Alley ab S. 378 in der ganz normalen Weise mit dem allgemeinen Linienelement argumentiert.

      Sauber aufgedröselt lautet die Aussage: In einem gewählten Koordinatensystem t,x,y,z beschrieben hängt die Eigenzeit dtau, die entlang einem Abschnitt einer gegebenen Weltlinie x(t), y(t), z(t) vergeht, von dreierlei ab: von den metrischen Koeffizienten der entsprechenden Raumzeit, von der Koordinatengeschwindigkeit dx/dt, dy/dt, dz/dt entlang der Weltlinie und natürlich von dem Koordinatenzeitintervall tA, tB das wir auswerten.

      Von denjenigen Größen, die die Weltlinie beschreiben, geht in diese Beschreibung nur die Geschwindigkeit (dx/dt, dy/dt, dz/dt). An keiner Stelle des sich ergebenden Ausdrucks steht irgendeine zweite Ableitung, sprich: eine Beschleunigung. Genau das heißt Alleys Aussage „It is important to note the absence of any explicit dependence of elapsed proper time on the acceleration of the clock, or on any higher derivatives of the motion“ – in der Formel kommen nur die ersten Ableitungen vor.

      Keine explizite Abhängigkeit von höheren Ableitungen der x,y,z nach der Zeitkoordinate t. Das gilt auch in den von Ihnen beschriebenen Situationen, denn wenn ich ein homogenes Gravitationsfeld durch Beschleunigung meines Bezugssystems (!) zu simulieren zu versuche, beeinflusst das schließlich die metrischen Koeffizienten, aber es sorgt nicht dafür, dass in der Eigenzeit-Formel auf einmal explizit höhere Ableitungen der Weltlinien-Koordinaten x,y,z der zu beschreibenden Uhr auftauchen. Daher: kein Widerspruch.

  43. @Markus Pössel / 23. Februar 2017 @ 11:39

    Das geht einfacher. Zeigt eine Uhr Eigenzeit an, dann wäre ihre Gangbeschleunigung gegeben durch die Komponente ihres Beschleunigungsvektors (4-acceleration) in Richtung ihres Bewegungsvektors (4-velocity), und diese Komponente ist stets identisch null, wie schon bei Minkowski (Raum und Zeit)zu ersehen ist, bei dessen Terminologie ich mich hier bedient habe. Alley muss dem nichts hinzufügen, aber hat es wenigstens bemerkt.

    Alleys Gewissheit, dass seine realen Uhren in ihrem Gang nicht durch Beschleunigungen beeinflusst werden, besteht folglich bis zu dem Grade, wie er sagen kann, dass sie Eigenzeit anzeigen, d.h., wie gut sie die SI-Sekunde realisieren. Und das tun sie für seine experimentellen Zwecke hinreichend gut, um diese Experimente dann berechtigt als Proper Time Experiments zu bezeichnen.

    Im Umkehrschluss, wenn Sie eine „Uhr“ vorzeigen, deren Ganggeschwindigkeit in Abhängigkeit von Beschleunigungen oder, äquivalent dazu, der Nähe zu schweren Massen variiert, können wir gewiss sein, dass sie der “clock hypothesis” nicht genügt.

    Der besagte Widerspruch lässt so nicht unter den Teppich kehren.

    • Chrys schrieb (23. Februar 2017 @ 18:52):
      > […] Im Umkehrschluss, wenn Sie eine „Uhr“ vorzeigen, deren Ganggeschwindigkeit in Abhängigkeit von Beschleunigungen oder, äquivalent dazu, der Nähe zu schweren Massen variiert, [dann …]

      Aufmerksame Leser werden bemerken, dass die Erwägung der Möglichkeit, eine derartige (schlechte) „Uhr“ vorzeigen zu können, voraussetzt,
      nicht etwa diese Definition von „Ganggeschwindigkeit“ (Chrys, 2. Januar 2017 @ 12:28) einzusetzen:

      Der einzige Wert für Ganggeschwindigkeit, die gemäss der RT einer Uhr in einer Raumzeit natürlicherweise zukommt, ist die Pseudo-Norm der Ableitung u'(s) ihrer nach Eigenzeit s parametrisierten Weltlinie u. Und dieser Wert ist dann für alle Uhren zu jedem Zeitpunkt derselbe.

      sondern z.B. (und insbesondere) jene Definition von „Ganggeschwindigkeit“ (Chrys, 12. Februar 2017 @ 10:11):

      Noch zum Begriff der Ganggeschwindigkeit einer Uhr: Darunter verstehen wir ansatzweise wohl alle das gleiche, nämlich eine Änderungsrate von Anzeigewerten der Uhr, d.h., das Verhältnis einer Differenz von Anzeigewerten zu der Zeitspanne [Dauer der Uhr von der einen Anzeige bis zur anderen.]

      > Alleys Gewissheit, dass seine realen Uhren in ihrem Gang nicht durch Beschleunigungen beeinflusst werden, besteht folglich bis zu dem Grade, wie er sagen kann, dass sie Eigenzeit anzeigen, d.h., wie gut sie die SI-Sekunde realisieren.

      … oder (falls sie eine andere bestimmte Tick-Rate realisieren, oder überhaupt nicht „periodisch ticken“) zumindest: dass sie gut sind.

      Und
      (diesen Hinweis habe ich besonders in Bezug auf Markus Pössels jüngstem Kommentar, 23. Februar 2017 @ 11:39, vermisst):

      Gewissheit, dass bestimmte realen Uhren, die durchwegs gut gingen, in ihrem Gang nicht beeinflusst wurden, besteht folglich sowohl hinsichtlich ihrer (eventuell von Null verschiedenen) Beschleunigung (die insbesondere aus den Lorentzschen Distanzen zwischen den Ereignissen, an denen sie teilnahm, unter Anwendung der Heronschen Formel definiert bzw. zu ermitteln ist),
      als auch hinsichtlich aller denkbaren Koordinaten-Beschleunigungen (von denen sich natürlich stets solche (er-)finden lassen, die von Null verschieden und sogar beliebig variierend sind).

      • @Frank Wappler / 24. Februar 2017 @ 01:30

        »Aufmerksame Leser werden bemerken, …«

        In der Tat sehr aufmerksam bemerkt. Nur unter der Prämisse von Malaments Postulat P2 kriege ich beides unter einen Hut.

        Hat Einstein uns eigentlich irgendwo eine präzise Begriffsbestimmung von „Ganggeschwindigkeit einer Uhr“ an die Hand gegeben? Im Frühjahr 1916 schreibt er (Grundlage, S. 820): „Es werde ferner die auf die Zeitkoordinate untersuchte (sic!) Ganggeschwindigkeit einer Einheitsuhr untersucht, welche in einem statischen Gravitationsfelde ruhend angeordnet ist. […] Die Uhr läuft also langsamer, wenn sie in der Nähe ponderabler Massen aufgestellt ist.“ Beabsichtigt war vermutlich, „die auf die Zeitkoordinate bezogene Ganggeschwindigkeit„, sonst ergibt das keinen Sinn. Indem er aber die Ganggeschw. auf eine Koordinatenzeit bezieht, verknüpft er den Begriff mit dem Aspekt von Gleichzeitigkeit, nicht mit dem Aspekt von Dauer. Denn einer Differenz von Zeitkoordinaten lässt sich in der RT keine eindeutige Zeitdauer zuweisen, weshalb in metrolog. Laboratorien schliesslich auch nicht mit TAI-Sekunden gemessen wird. Koordinatenzeiten wie TAI existieren nur auf dem Papier, zum Zweck der „Zeitrechnung“, doch zur metrolog. „Zeitmessung“, also zur Bestimmung von Zeitdauer, ist das nicht gedacht. Ein auf Zeitkoordinaten bezogener Begriff von „Ganggeschwindigkeit einer Uhr“ ist physikalisch völlig inhaltsleer. Die Eigenzeit ist hier die einzig wirklich „physikalische Zeit“, wie auch Gourgoulhon betont, womit er allerdings auch nicht der erste ist.

        • Chrys schrieb (24. Februar 2017 @ 18:45):
          > Nur unter der Prämisse von Malaments Postulat P2 kriege ich beides unter einen Hut.

          Unter ein-und-den-selben Hut sollen also
          Malaments Postulat P2„:

          P2 Clocks record the passage of elapsed proper time along the
          ir worldlines.

          ,

          wobei sich „elapsed proper time“ als „(their) duration“, d.h. („ihre (eigene!) Dauer“) versteht;
          und die Annahme/Versuchsanordnung von
          Chrys (23. Februar 2017 @ 18:52):

          eine „Uhr“ vorzeigen, [… die] der “clock hypothesis” nicht genügt

          .

          Offenbar gelingt das nicht zuletzt dadurch, dass im Kommentar-Zitat bestimmte Anführungszeichen gesetzt sind. Soll heißen: Malament denkt wohl ausschließlich an das, was ich konsequent „gute Uhren“ nennen,
          während das Kommentar-Zitat anhand der Anführungszeichen jegliche „Uhren“ einschließt, und sich insbesondere mit solchen beschäftigt, die nicht „gut“ sind (sondern, meinentwegen, mehr oder weniger „schlecht“).

          Bestreitet Malament also implizit, dass etwas, das der “clock hypothesis” nicht genügt, das (von uns offenbar einvernehmlich) also „schlechte Uhr“ zu nennen wäre, überhaupt denkbar geschweige denn auffindbar ist?

          Weil im vorausgegangenen Kommentar (Chrys, 23. Februar 2017 @ 18:52) von „realen Uhren [und] wie gut sie die SI-Sekunde realisieren die Rede war, und wir uns im Zusammenhang mit „idealen Uhren“ (Gourgoulhon eq. (2.11)) ohnehin auf solche Uhren konzentrieren, deren Anzeigen durch ganze Zahlen bezeichnet/bewertet/koordiniert werden können (die also „diskret ticken“), hier als Diskussionsgrundlage zunächst (nochmals systematisch) eine Auflistung, die „Güte“ und denkbare „Schlechtigkeiten“ vergleicht:

          (a)
          Uhren, deren „Ticks“ „die SI-Sekunde realisieren„; in dem Sinne dass die Dauern dieser Uhren von jeder Tick-Anzeige zur nächstfolgenden Tick-Anzeige gleich ist (sowohl für jede einzelne Uhr, als auch untereinander).

          Diese Tick-Anzeigen sind dabei (trotzdem) unterscheidbar, sodass jeweils eine bestimmte Tick-Anzeige markiert gedacht werden kann und sich dahingehend „Ticks abzählen“ lassen; als Gourgoulhon (ganze) Zahl N.

          Die Bewertung bzw. Koordinate t der (Tick-)Anzeigen — und um die geht es nämlich — sei hier („einfach“)

          t[ Tick-Anzeige ] := N[ Tick-Anzeige ],

          kurz: t := N.

          (b)
          Uhren, deren „Ticks“ eine bestimmtes ganzzahliges Vielfaches „der SI-Sekunde realisieren„;
          deren Dauer von jeder Tick-Anzeige zur nächstfolgenden Tick-Anzeige also gleich ist, aber ein ganzzahliges Vielfaches der Uhren vom Typ (a).
          Bewertung bzw. Koordinate t := N.

          (c)
          Uhren, deren „Ticks“ eine bestimmtes rational-zahliges Vielfaches „der SI-Sekunde realisieren„; ebenfalls mit t := N.

          (d)
          Uhren, deren Dauer jeder Tick-Anzeige zur nächstfolgenden Tick-Anzeige gleich ist, aber mit
          Bewertung bzw. Koordinate nicht t := N;
          sondern (als ein Beispiel)
          t := N^3.

          (e)
          Uhren, deren Dauer jeder Tick-Anzeige zur nächstfolgenden Tick-Anzeige nichtgleich ist;
          aber (trotzdem) mit Bewertung bzw. Koordinate t := N.

          (Wobei N natürlich nach wie vor die Anzahl der seit der markierten Anzeige gezählten Ticks bezeichnet.)

          (f)
          Uhren, deren Dauer jeder Tick-Anzeige zur nächstfolgenden Tick-Anzeige nichtgleich ist;
          mit (z.B.) Bewertung bzw. Koordinate

          t[ Tick-Anzeige ] :=
          K *
          τUhr[ _Mark-Anzeige, _Tick-Anzeige ] /
          τUhr[ _Mark-Anzeige, _erster_Tick_nach_Mark_Anzeige ],

          wobei (wie bei Gourgoulhon) K eine beliebige, festgehaltene, von Null verschiedene konstante reelle Zahl ist.

          > Ein auf Zeitkoordinaten bezogener Begriff von „Ganggeschwindigkeit einer Uhr“ ist physikalisch völlig inhaltsleer.

          (Zu allem, was Koordinaten (an sich!) als physikalisch völlig inhaltsleer bezeichnet, sage ich prinzipiell erstmal: Ja. …)
          Aber:
          Immerhin scheint ein solcher auf Zeitkoordinaten (t) bezogener Begriff von „Ganggeschwindigkeit einer Uhr“ doch zumindest mathematisch sinnvoll.
          Und:
          Ein auf Tick-Zählung (N) bezogener Begriff von „Ganggeschwindigkeit einer Uhr“ ist doch sicherlich physikalisch bedeutsam (bzw.: hält Ockhams Klinge stand).

          Denmach:
          Ein Begriff von „Ganggeschwindigkeit einer Uhr“, der sich Zeitkoordinaten (t) bezieht, die nicht „irgendwie beliebig aufgestreußelt“ sind, sondern sich nachvollziehbar, systematisch (wenn auch nicht unbedingt „eins-zu-eins“) wiederum auf Tick-Zählung (N) beziehen, ist doch ebenfalls diskutabel.

          > Hat Einstein uns eigentlich irgendwo eine präzise Begriffsbestimmung von „Ganggeschwindigkeit einer Uhr“ an die Hand gegeben? […]

          Gute Frage.
          Die (MBMN nicht ganz so tolle) Anwort kommentiere ich am besten mit einer Gegenfrage:

          Hat Einstein uns eigentlich irgendwo an die Hand gegeben, wie Zeitkoordinaten den unterscheidbaren Anzeigen eines identifizierbaren Beteiligten zuzuordnen wären?

          (Das kann ich im Moment nicht verbindlich recherchieren. Aber vielleicht hat Einstein ja insbesondere an gute Koordinaten gedacht? …)

          p.s.
          Falls der Eindruck besteht, dass meine Kommentare Markus Pössel oder einige Leser dieses seines SciLogs mit Bemerkungen zutexten, die sie höchstens am Rande interessieren:
          Das täte mir erstens leid;
          und falls so, wäre es mir zweitens lieber, wenn Chrys und/oder ich selbst auch einen SciLog hätten, um öffentlich auffindbar und Barriere-frei, aber womöglich andere weniger störend korrespondieren zu können;
          und ich wiederhole drittens meine Auffassung, dass ich dafür auch gern einen angemessenen Anteil meiner Rundfunkgebühren eingesetzt sähe.

          • Hier mal nur zum Meta-PS: Das Problem, dass sie an den meisten Lesern hier vorbeitexten, würde auch dann bestehen, wenn Sie einen eigenen Scilog hätten – Ihre Diskussionen gehen ja nun einmal recht häufig in die Mathematik. Dafür sollte es entsprechende Fachforen geben; allgemeinverständlich, auch die gehobene Version davon bei den Scilogs, ist etwas anderes.

    • Ich sehe nicht, wie das die Aussagen in meiner letzten Mail entkräftet. Insofern meine Bitte: Versuchen wir’s bitte Schritt für Schritt um zu sehen, wo wir divergieren, mit jeweils möglichst kurzen Statements und Antworten.

      Als Beginn bietet sich die Formel für den Eigenzeitzuwachs entlang eines in Koordinaten ausgedrückten Bahnabschnitts an. Der wird beschrieben durch
      $$
      \mathrm{d}\tau^2 = \left[g_{00}(t,x,y,z) + \sum_{i=1}^3 2g_{0i}(t,x,y,z)\,\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t} + \sum_{i,j=1}^3 g_{ij}(t,x,y,z)\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}
      \frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}
      \right]\,\mathrm{d}t^2
      $$
      mit [latex]x^i(t)[/latex] den drei Raumkoordinaten x(t),y(t),z(t) der betreffenden Bahn. Sind wir uns zumindest soweit einig, dass diese Formel explizit nur von den ersten Ableitungen der Raumkoordinaten der Bahn nach der Koordinatenzeit t abhängt? Sprich, von den Dreier-Geschwindigkeitskomponenten, nicht von den Dreier-Beschleunigungskomponenten?

      • Markus Pössel schrieb (25. Februar 2017 @ 20:33):
        > Ich sehe nicht, wie das die Aussagen in meiner letzten Mail […]

        Ich erkenne zwar nicht genau, worauf sich das (zitierte)

        das“ genau bezieht. Aber trotzdem:
        > […-]zuwachs […] wird beschrieben durch [s.o.]

        Es würde mir (besser) gefallen, wenn „Zuwachs“ stets zusammen mit dem bestimmten „(Intergations-)Abschnitt angegeben würde, über dem dieser Zuwachs ermittelt worden wäre; also etwa so: $$\int_{A_{\text{Anfang}}}^{A_{\text{Ende}}} \rm d \tau_A;$$

        dann wäre wohl auch erklärlich, dass sich bestimmte Größen (z.B. \(g\)) in der vorgeschlagenen „Formel für den Zuwachs“ anhand ihrer Argument gar nicht ausdrücklich auf einen gesamten Abschnitt (mit voneinander verschiedenen „Grenzen“) zu beziehen scheinen, sondern jeweils nur auf einen einzigen „Punkt im Abschnitt“.

        > Sind wir uns zumindest soweit einig, dass diese Formel explizit nur von den ersten Ableitungen der Raumkoordinaten der Bahn nach der Koordinatenzeit t abhängt?

        Sofern sich die Ausdrücke „\(\frac{{\rm{ d}} x^i}{{\rm{ d}} t}\)“ tatsächlich als (existierende) „erste Ableitungen„, als Grenzwert vonZuwachs-Verhältnissen“ verstehen.
        (Was einschließt, dass die betreffenden „Raumkoordinaten der Bahn, \(x^i[ \, t \, ]\)“ nicht völlig beliebig gegenüber der „Koordinatenzeit \(t\)“ dahingestreußelt sein sollen; sondern: „differenzierbar“).

        > Sprich, von den Dreier-Geschwindigkeitskomponenten

        Nein!,
        sondern offenbar von „Dreier-KoordinatenGeschwindigkeitskomponenten„.

        (Wobei es sich sicher anbieten würde, den Begriff „Geschwindigkeit“ überhaupt erst einmal Koordinaten-frei zu definieren; am besten wohl im Rahmen eines eigenen schon länger versprochenen SciLogs-Artikels.)

        > nicht von den Dreier-Beschleunigungskomponenten?

        Jedenfalls offensichlich unabhängig von „Dreier-KoordinatenBeschleunigungskomponenten„.

        (Wobei es sich sicher auch anbieten würde, den Begriff „Beschleunigung“ überhaupt erst einmal Koordinaten-frei zu definieren …)

        p.s.
        Markus Pössel schrieb (25. Februar 2017 @ 20:14):
        > […] Diskussionen gehen ja nun einmal recht häufig in die Mathematik. Dafür sollte es entsprechende Fachforen geben;

        Zweifellos. Aber gäbe es denn wenigstens eine solches „Fachforum„, in dem sich jeder öffentlich und Barriere-frei beteiligen könnte, so wie (dankenswerter Weise) in diesen SciLogs (und bekanntlich auch in dem einen anderen Laden mit „Sci“)?

        > allgemeinverständlich, auch die gehobene Version davon bei den Scilogs, ist etwas anderes.

        Es ist zwar nicht zu übersehen, dass sich einige SciLogs an Leser zu richten versuchen, die sich für mathematische Grundlagen und Methoden der Wissenschaft nicht besonders interessieren, und denen nicht zugemutet werden soll, ggf. entsprechend nachzufragen.
        Unter „Relativ einfach„, gerade auch die pädagogische Version davon bei den ScilLogs, versteht sich aber hoffentlich etwas anderes.

        p.p.s.
        „\(\LaTeX\)“ wird so dargestellt: \(\LaTeX\).

        • Markus Pössel schrieb (27. Februar 2017 @ 11:33):
          > Es geht hier ganz konkret um den Alley-Text [und die] Suche danach, an welchem Punkt ich und Chrys getrennte Interpretationswege gehen

          Das ist doch mal unmissverständlich ausgedrückt (wenn auch leider erst auf meine Nachfrage hin); und diesbezüglich möchte ich „hier“ nicht stören.

          Es sei nur noch empfohlen, die zitierte Formulierung jedem weitern Kommentar und/oder SciLog-Beitrag voranzustelllen, der so verstanden werden soll;
          und meinen ausdrücklichen Dank an Joker (19. Februar 2017 @ 15:46), für den Hinweis auf eine Barriere-frei zugänglichen Version des genannten Texts.

          Naja … ein‘ hab ich noch („hier“):

          > [Der] Alley-Text […] nutzt Koordinaten.

          Das wäre mir zumindest Anlass, sorgfältig zwischen „Koordinaten-Beschleunigung“ und „(eigentlicher) Beschleunigung“ zu unterscheiden.

          p.s.
          Für eventuelle Nachfragen betreffend z.B. die neulich (im Kommentar 25. Februar 2017 @ 20:33) eingeführten Begriffe „Zuwachs„, „Bahnabschnitt“ und/oder „Ableitung steht offenbar kein öffentliches Barriere-freies Forum zur Verfügung außer (dankenswerter Weise!) diesem „hier“ — sofern es „hier“ eben nicht stört.

  44. Herr Pössel,
    zuschütten möchte ich Sie nicht, das tut mir leid. Es ist nur etwas problematisch, da ich wegen meiner Tätigkeit immer nur spät oder am Wochenende etwas mehr Zeit mitbringe. Dann kann ich mich intensiver mit der Sache befassen.
    Schön, dass Sie jetzt schon mal einräumen, dass die ART eine Näherung ist. Außerdem bin ich mir ziemlich sicher, dass Sie früher oder später einräumen müssen, dass sie falsch ist.
    Die Testmassen haben es Ihnen wohl angetan. Wenn man ein Gravitationsfeld erkunden möchte, sind sie ja durchaus sinnvoll. Das ist soweit völlig in Ordnung. Sie brauchen für die ART ihr kleines lokales Inertialsystem, damit die Idee, die Gravitation in eine für alle Körper gleiche gekrümmte Raumzeit zu packen, überhaupt funktionieren kann. Interessant in dem Zusammenhang ist es, dass in der SRT das Inertialsystem prinzipiell beliebig groß sein kann.
    Nur die Natur tut Ihnen den Gefallen infinitesimal kleiner Körper nicht. Da die Abmessungen des Körpers das System mitbestimmen, kann man sie nicht ungestraft abschaffen.
    Man kann sogar schon mit einem Massensystem, bei dem unterschiedlich große Objekte mit identischen Massen, auf eine größere Masse fallen, beweisen, dass die Beschleunigungen der aus gleicher Höhe fallenden Massen verschieden sind.
    Ihr Elefantenbeispiel ist gut, darauf können wir aufbauen. Ist auch lebendiger mit putzigen Tieren zur rechnen, anstatt mit Himmelskörpern. Nehmen wir Joseph, einen afrikanischen Elefantenbullen und Erna, seine indische Freundin. Die beiden haben immer einen Mordskohldampf und sich deshalb kugelrund gefressen. Gerade schweben sie einsam im Raum und freuen sich auf ihre Annäherung. Er wiegt stattliche 3 Tonnen und hat einen Radius von 2 Metern. Sie wiegt 2 Tonnen und ihr Radius ergibt sich aus der gleichen Dichte. Beide bewegen sich nicht und haben einen Oberflächenabstand von 2 Metern. Einstein kennen sie nicht aber die Gravitation, auf die ist Verlass. Sie nähern sich an und berühren sich. Immerhin hat Erna eine Geschwindigkeit von 1,5x10h-4 m/s. Ihre Beschleunigung beträgt dabei 6,1x10h-9 m/s². Dann macht Joseph eine dumme Bemerkung über Ernas Figur. Sie ärgert sich so doll, dass sie auf ihren Schwarzschildradius schrumpft (3x10h-24 m) und sofort auf Abstand geht (wie anfangs). Ihre erneute Annäherung aus völliger Ruhe sieht jetzt anders aus. Erna ist fast doppelt so schnell (2,5x10h-4 m/s). Auch ihre Beschleunigung hat sich etwa verdoppelt (1,2x10h-8 m/s²). Was ist passiert?
    Bei gleichem Oberflächenabstand muss durch die Reduktion von Ernas Radius der Mittelpunktabstand sinken. Das führt sogar bei sonst identischen Massen zu einer größeren Gravitationskraft (siehe Newton), die Ernas größere Beschleunigung und Geschwindigkeit nach sich zieht.
    Zu den Schwarzen Löchern: Dass eines keine Masse haben soll, war ein Witz. Schade, dass Sie das nicht erkannt haben.
    Aber stimmen sonst die Berechnungen mit der ART? Vor nicht allzu langer Zeit hatte ich Kontakt mit einem angesehenen Gravitationsphysiker. Er gab mir den Hinweis auf ein geeignetes Paper zur Möglichkeit der Berechnung der Gravitationsenergie zweier fallender Körper aus der Ruhe bis zum Zusammenstoß mit einer Speziallösung der Feldgleichungen. https://arxiv.org/abs/0910.2857. Ich hatte damit verschiedene Systeme gerechnet: Die Sonne stürzt in ein Schwarzes Loch, zwei Schwarze Löcher fallen aufeinander etc. Bei dem System SL/Sonne war es bspw. so, dass von der Sonne das Schwarze Loch, dass einige Zehnerpotenzen größer war als sie, vollständig geschluckt wurde (ersichtlich an der Größe der frei gewordenen Gravitationsenergie). Das hat mein Misstrauen gegenüber der ART verstärkt.
    P.S. Ist kein Problem, wenn Sie meine alte Aufgabe nicht rechnen wollen oder können. Vielleicht mögen Sie ja auch nur nicht zugeben, dass die Rechnung stimmt. Das Gravitationsproblem wurde von dritter Seite simuliert und mir die Richtigkeit der Ergebnisse zu den Fallgeschwindigkeiten von Erde und Mond bestätigt

    • Hhm, haben Sie überhaupt mit harmonischen Koordinaten gerechnet?
      Oder in welchem Bezugssystem kommen so seltsame Ergebnisse raus?
      Das ist wie in der Thermodynamik, wenn man den Carnot falsch rechnet.

    • Dass aus dem allgemein bekannten Umstand, dass die ART eine klassische Theorie ist, etwas wird, dass ich angeblich „einräumen“ musste, scheint mir schon eine recht verzerrte Sicht der Dinge!

      Ansonsten: Nein, ich brauche für die ART und deren Version der Universalität des freien Falls in der Tat nicht mehr als Testteilchen im freien Fall. Und ich brauche auch nicht mehr als eine infinitesimal kleine Umgebung, in der diese Universalität gilt. (Ganz analog zur Riemannschen Geometrie und der lokalen Flachheit von Flächen, Räumen, etc.) Praktische Situationen, die der Testteilchennäherung sehr nahe kommen, gibt es wie erwähnt im Alltag zuhauf – in Bezug auf die Erde ist jedes Alltagsobjekt ein Testteilchen.

      Dass die Testteilchennäherung nicht mehr gilt, wenn man lediglich zwei Körper ähnlicher Masse betrachtet, versteht sich von selbst. Sie können solche Situationen meinetwegen gerne rechnen, solange Sie möchten, aber diese Situationen sagen nichts darüber aus, was bei der Ableitung/Motivation der Grundlagen der ART mit Universalität des freien Falls gemeint ist. Sie widerlegen hier fortwährend etwas, von dem niemand ernsthaft behauptet hat, dass es in der ART stimmt!

  45. Tut mir leid, Herr Senf, da müssen Sie schon das Paper lesen. Dann erübrigen sich Ihre Fragen. Natürlich kann ich nicht ganz ausschließen, mich verrechnet zu haben.
    Im Zweifel hilft immer, selbst rechnen. Zur von Ihnen erwähnten Thermodynamik: Die lässt sich sehr gut auf den Weltraum anwenden und auch mit der Gravitation verbinden. Vielleicht beruhigt es Sie zu wissen, dass ich ein Teilgebiet der TD an der TU Dresden mit dr. und m.c.l. abgeschlossen habe.

    • So genau wollt ich’s nicht, wollte nur die Bewegungsgleichung wissen
      a=( 1- 3v²/c² – (4-2x) φ /c² ) ∇ φ zB für Testkörper
      ob für x=0 oder =1 oder =2 gerechnet wurde, und
      in welchen Koordinaten die falschen Aussagen rausgekommen sind?

      • Ich sag es Ihnen trotzdem mal ganz genau: Nutzen Sie die Gleichung (47) und die dazugehörigen Erläuterungen. Sie rechnet nicht mit der effektiven Schwarschild-koordinate, sondern mit der isotropen Koordinate r12. Der Zusammenhang zwischen der exakten Schwarzschild-Koordinate R12 und der exakten isotropen Koordinate r12 bei stark verschiedenen Massen der Schwarzen Löcher ist folgender: R12 = r12(1+(RS/4r12))^2. RS kennen Sie sicher.
        Mit (47) wird der freie Fall quasi aus dem Umkehrpunkt der Massen gewonnen.
        Für weitere Nachfragen wenden Sie sich evtl. direkt an den Autor, es ist ja nicht meine Theorie.

  46. Lieber Herr Pössel,
    schade, dass Sie sich nicht an den Diskussionen in ResearchGate beteiligen, wo mein Artikel „Free Fall in Gravitaional Theory“ (https://www.researchgate.net/publication/312118218_Free_Fall_in_Gravitational_Theory?ev=prf_high) inzwischen mit ca. 9000 „Reads“ bedacht wurde.

    Mein jüngstes Ergebnis dieser Diskussionen möchte ich Ihnen nicht vorenthalten:

    „Dear Eric Lord ,
    as an experimental physicist I prefer to consider concrete examples. Take a train running from the equator to the north pole and another train running from the north pole to the equator. Let the trains meet at 45° lattitude very close to each other, but on different tracks. One train feels a Coriolis force (axial vector) pointing to the east, the other train feels a Coriolis force pointing to the west on the same spot they are just passing. Which limiting process predicts these forces from gravitational forces (polar vectors) that, incidentally, have been removed from GR?

    If you cannot find a satisfying answer, I would prefer to stop this discussion now, as Einstein’s GR has turned out to be a chimaera.

    As to gravitational waves: We can, of course, make a theory of how many angels are sitting around God’s throne. Personally, I prefer to work out this theory after I have been admitted to this impressive assembly. So far the waves are hidden in the noise … and unsubstantial claims.

    All my best to you,
    Wolfgang“

    • …nachdem das jüngste Ergebnis offenkundig darin besteht, dass Sie weiterhin, trotzdem Sie von mehreren Menschen hier en detail darauf hingewiesen wurden, nicht erkennen, dass entsprechende Gezeitenbeschleunigungen – auch die innerhalb der ART – exakt dieselbe Wirkung haben können wie Gezeitenkräfte, meine Bitte: doch, bitte enthalten Sie mir solche sinnlosen Wiederholungen Ihrer Irrtümer bitte in Zukunft vor.

  47. @Markus Pössel / 25. Februar 2017 @ 20:33

    Mir ist nicht so recht klar, was Sie aus der Darstellung in Koordinaten eigentlich herauslesen wollen. Ich versuche mal eine Entgegnung, soweit ich es verstanden zu haben meine, und was sich dann aus meiner Sicht daraus ergibt.

    Sie betrachten mit Bezug auf ein Koordinatensystem eine durch die Zeitkoordinate \(t\) zukunftsorientiert parametrisierte zeitartige Kurve \(X(t) = (t,\xi(t))\) in einer Raumzeit \((M,g)\), wobei \(\xi(t)\) die damit einhergehende raumartige Bewegung beschreibt. Sei \(s\) wieder der zugehörige Bogenlängen-Parameter, sodass mit \(w(s) := X(t(s))\) eine ebenfalls zukunftsorientierte, natürliche Parametrisierung dieser Kurve gegeben ist. Nachfolgend sei stets die Ableitung nach \(t\) durch einen `prime‘, die Ableitung nach \(s\) durch einen `dot‘ gekennzeichnet. Damit haben wir \(\dot{w} = \dot{t}\,X’\) und \(\ddot{w} = \ddot{t}\,X‘ + \dot{t}^2 X“\). Nun muss für die \(g\)-Länge von \(\dot{w}\) aber \(\|\dot{w}\|_g = 1\) gelten, sodass
    \[
    \dot{t} = \frac{1}{\|X’\|_g}\quad\mbox{und}\quad \ddot{t} = -\frac{g(X‘,X“)}{\|X’\|_g^4},
    \]
    und daher
    \[
    \dot{w} = \frac{1}{\|X’\|_g} X’\quad\mbox{und}\quad \ddot{w} = \frac{1}{\|X’\|_g^2} X“ – \frac{g(X‘,X“)}{\|X’\|_g^4} X‘.
    \]
    Daraus wird jedenfalls ersichtlich, dass der Bewegungsvektor \(\dot{w}\) nicht von der 3-Beschleunigung \(X“ = (0,\xi“)\) abhängt. Letztere trägt nur zur 4-Beschleunigung \(\ddot{w}\) bei, die ihrerseits offenkundig \(g\)-orthogonal zum Bewegungsvektor ist. Höhere Ableitungen kommen dabei überhaupt nicht vor.

    Qualitativ ändert sich an alldem naturgemäss nichts, wenn die Bogenlänge \(s\)durch die Eigenzeit gemäss \(\tau = s/c\) mit \(c \neq 1\) substituiert wird.

    • Nachdem es Herr Wappler schon wieder geschafft hat, sich in die Alley-Diskussion mit seinem Steckenpferd-Thema dazwischenzuschieben: dies ist eine Antwort auf Chrys 27.2.2017, 13:23:

      Mein Koordinatenausdruck bezieht sich direkt auf das, was Alley selbst schreibt – trotz aller Ablenkungen: es soll hier doch darum gehen, wie Alleys Aussage zur Beschleunigungsunabhängigkeit von Uhren zu interpretieren ist. Dafür knüpfe ich an die Formeln (in Koordinaten ausgedrückt) an, die Alley in diesem Zusammenhang selbst benutzt. Ist es für Sie wichtig, das ganze koordinatenabhängig umzuschreiben (auch wenn man dann wieder rückübersetzen muss, um den Bezug zu Alleys Artikel hinzubekommen)? Wenn ja, und wenn Sie sich wirklich soweit der Koordinaten entwöhnt haben dass Sie dem entsprechenden Ausdruck nichts mehr abgewinnen können, kann ich die Bogenlängeformel aus meinem Kommentar vom 25.2.2017 20:33 meinetwegen auch umschreiben. Ansonsten wäre nett, wenn Sie nur ganz kurz sagen könnten, ob Sie die Aussage, dass der entsprechende Ausdruck explizit nur von der Dreiergeschwindigkeit abhängt, nicht von der Dreierbeschleunigung, bestätigen können oder nicht.

      • @Markus Pössel / 28. Februar 2017 @ 02:14

        Das war schon affirmativ gemeint. Und wenn wir genau hinschauen, können wir sogar Ihre Formel zwischen meinen wiederfinden.

        Wenn Sie sich strikt an Alley halten, der verwendet \(g_{00} = c^2\). Diesen Faktor müssten Sie der linken Seite der Formelgleichung auch spendieren, falls das so übernommen werden soll, sodass dort \(c^2 d\tau^2 = ds^2\) steht. Wenn dann anschliessend „die Wurzel gezogen wird“, wie Alley das auch macht, ist das, was übrigbleibt, nichts anderes als mein \(\dot{t} = 1/\|X^\prime\|_g\).

        • Ich war mir nur nicht sicher – wenn auf meine Bitte nach Kurzfassen recht lange Ausführungen folgen, dann ging ich davon aus, dass damit noch etwas anderes bezweckt wäre als ein „Ja, OK.“ Aber gut.

          Wenn wir uns also einig sind, dass
          $$
          c^2\mathrm{d}\tau^2 = \left[g_{00}(t,x,y,z) + \sum_{i=1}^3 2g_{0i}(t,x,y,z)\,\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t} + \sum_{i,j=1}^3 g_{ij}(t,x,y,z)\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}
          \frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}
          \right]\,\mathrm{d}t^2
          $$
          nicht explizit von der Koordinaten-Dreierbeschleunigung, sondern nur von der Metrik und der Koordinaten-Dreiergeschwindigkeit abhängt, dann die nächste Frage (wieder die Bitte um möglichst kurze Antwort):

          Ändert sich an dieser Situation etwas, wenn wir die Metrik verändern (z.B. um ein Gravitationsfeld einzuführen) oder das Koordinatensystem verändern (z.B. um in ein beschleunigtes Koordinatensystem überzugehen? Eigentlich doch ganz klar nein: Zwar werden Gravitationsfeld und Beschleunigung des Koordinatensystems sich dann implizit in den spezifischen metrischen Koeffizienten wiederfinden, und in der neuen Form von x(t),y(t),z(t). Aber es bleibt dabei: explizit hängt die obige Formel auch dann noch nur von der Metrik und den Dreiergeschwindigkeiten ab. Stimmen Sie soweit zu?

          • An der Stelle löst sich der vermeintliche Widerspruch aber aus meiner Sicht aus. Denn ob nun ein Gravitationsfeld präsent ist oder ich in ein beschleunigtes Koordinatensystem übergehe: der Einfluss beider auf die Eigenzeit entlang eines bestimmten Weltlinienabschnitts ergibt sich aus der obigen Formel über die Metrik bzw. implizit über die veränderten Ausdrücke x(t), y(t), z(t). Was sich nicht ändert ist, dass in der Formel explizit nach wie vor nur die metrischen Koeffizienten und die ersten Ableitungen nach t auftauchen. Es besteht demnach kein Widerspruch zu Alleys Aussage, dass in der obigen Formel die zweiten Ableitung nach t, also die (Koordinaten-)Beschleunigungen nicht explizit auftauchen.

          • @Markus Pössel / 6. März 2017 @ 07:43

            Wird Rindlers Argument auf Alleys Uhren angewendet, die nicht anders als die von Rindler exemplarisch genannten Uhren in Boulder und London Eigenzeit anzeigen, dann messen die Transportuhren, also die in der Lockheed, hier im Unterschied zu Rindlers Szenario aus Section 1.16 eine längere Zeitdauer des Trips als die stationär verbliebenen Vergleichsuhren. Gemäss Rindlers Deutung wären sie demnach insgesamt „wirklich“ schneller gegangen.

            Weiter sagt Rindler mit Hinweis auf Exercise 4.4 und das Äquivalenzprinzip selber, dass wir den Effekt völlig gleichwertig auch in einer beschleunigten Rakete würden feststellen können. Wir denken uns daher eine am Heck der Rakete verbleibende stationäre Uhr sowie eine Transportuhr, die mit einer Drohne (statt der Lockheed) zum Bug geflogen werde, und nach einiger Verweildauer von dort wieder zurück zum Uhrenvergleich am Heck. Auch dabei erwarten wir, dass die Transportuhr eine längere Dauer des Trips misst als die stationäre Uhr. Die beschleunigte Bewegung der Rakete macht sich bei der Drohnen-Uhr qualitativ genauso bemerkbar wie die Gravitation bei Alleys Flugzeug-Uhren. Wenn in einem dieser beiden Fälle eine „wirkliche Gangverschnellerung“ von Transportuhren stattfindet, dann, und nur dann, auch im anderen. Und falls das passiert, müsste sich die Anzeigerate der Drohnen-Uhr irgendwie infolge der Raketenbeschleunigung nachweislich verändern lassen.

            Doch wie die beschleunigte Raketenbewegung sich auf die Anzeigerate dieser Uhr auswirkt, lässt sich genau sagen: Die daraus resultierenden Terme finden sich, wie demonstriert, in der 4-Beschleunigung \(\ddot{w}\) wieder, und da die 4-Beschleunigung stets orthogonal zum Bewegungsvektor \(\dot{w}\) ist, wird die zeitartige Bewegung der Uhr längs ihrer Weltlinie dadurch in keiner Weise schneller oder langsamer. Ergo keine Chance, die Anzeigenrate einer Uhr, die Eigenzeit anzeigt, durch beschleunigte Bewegungen dieser Uhr im Raume irgendwie zu verändern.

          • @Chrys : Bei Rindlers Argument geht es doch aber darum, dass wir den Beobachter beschleunigen, sprich: ein nicht im freien Fall befindliches Bezugssystem einfallen. Warum das nicht zu einem Widerspruch zu Alleys Aussage führt, hatte ich doch in meiner vorigen Antwort dargelegt: Ein Bezugssystemwechsel ändert zwar die metrischen Koeffizienten und die Koordinatendarstellung der Bahn der Uhr, ändert aber nichts daran, dass in der obigen Formel explizit nur die Dreier-(Koordinatengeschwindigkeit) der Uhr vorkommt, keine höheren Ableitungen.

            Wo genau ist da der Widerspruch? Wenn er vorhanden ist, sollte er sich direkt anhand der Formel, auf die sich das von Ihnen vorgebrachte Alley-Zitat bezieht, zeigen lassen. Versuchen Sie das doch bitte einmal!

        • Chrys schrieb (6. März 2017 @ 23:53):
          > Anzeigerate

          Das ist eine sehr bedauerliche, irreführende Wortschöpfung;
          wo doch (stattdessen) der Begriff Gangrate hier schon mehrfach (und insbesondere auch von Chrys, 18. Januar 2017 @ 16:52) verwendet wurde.

          Anzeigen (prototypisch bekanntlich die Einsteinschen „Zeigerstellungen“) sollten nicht mit (reellen) Ablesewerten bzw. Koordinaten „\(t\)“ verwechselt werden, die bestimmten Anzeigen eines bestimmten Beteiligten zugeordnet werden,
          und für die sich Differenzen „\( \Delta t\)“ als reelle Zahlen ermitteln und vergleichen lassen.

          > Rindler

          Den („ „Relativity: Special, General and Cosmological“ „) hat Markus Pössel (27. Januar 2017 @ 20:59) in die Diskussion getragen; bedauerlicherweise ohne Barriere-freie Referenz.

          Schon möglich, dass dadurch noch weitergehende Fragen (hinsichtlich Definition. Messung bzw. Vergleich von Gangraten) aufgeworfen werden.

          Der Artikel von C.O. Alley, http://www2.montgomerycollege.edu/departments/planet/planet/Numerical_Relativity/AlleyProperTimeExperiments.pdf
          scheint ja in dieser Hinsicht an sich schon recht ergiebig; z.B.

          p. 373: However, it must be emphasized that macroscopic clocks can have their rates influenced by sufficiently large accelerations […].

          und

          p. 384: Fig. 20. The rate of a clock as influenced by the gravitational potential of the Sun [and Earth]. […] With respect to some coordinate observer, a clock runs slower as it is lower in the potential well, or faster as it is higher on the potential hill.

          > dass die [höher gehaltene] Transportuhr eine längere Dauer des Trips misst als die [tiefer gehaltene] stationäre Uhr.

          Wir stimmen wohl darin überein, dass hier der Vergleich von Dauern entscheidend ist (anstatt von Gangraten),
          und dass derjenige Beteiligte „höher“ genannt wird, dessen Dauer in „entsprechenden“ Versuchen größer war
          (sowohl hinsichtlich von Trennungsdauern, als auch noch direkter hinsichtlich von Pingdauern, sofern diese konstant blieben).

          Wir divergieren aber offenbar dahingehend,

          – ob irgendwelche Uhren (wie z.B. die von Alley eingesetzten) ihre jeweilige „Dauern messen„,

          – oder ob Dauern von Systemen idealer Uhren (insbesondere: Mitgliedern von flachen Ping-Koinzidenz-Gittern) gemessen werden
          (während die Messung, die mit Alleys Uhren verbunden ist, stattdessen und darüberhinaus in der Feststellung besteht, in wie fern diese Uhren durchwegs gut blieben).

          > 4-Beschleunigung \( \ddot{w} \)

          Mich irritiert nach wie vor die schamlose Koordinaten-Abhängigkeit (vgl. 27. Februar 2017 @ 13:23) von
          \( w[ \, \tau W \, ] \) := ( t[ \, \tau W \, ], \xi[ \, t[ \, \tau W \, ] \, ] ) \) …

          Setzen wir z.B. mal:
          \( \xi \equiv \vec 0 ,\)
          \( w \equiv ( t, \xi ) \equiv ( t, \vec 0 ). \)

          Demnach sicherlich:
          \( \dot{t} = \frac{1}{\| ( 1, \vec 0 ) \|_g}. \)

          Wie errechnen wir nun \( \ddot{t} \) nochmal?
          (Wird dazu nicht eventuell „\( \dot{g} \)“ gebraucht ??) …

  48. Chrys schrieb (27. Februar 2017 @ 13:23):
    > […] betrachten mit Bezug auf ein Koordinatensystem eine durch die Zeitkoordinate \(t\) zukunftsorientiert parametrisierte zeitartige Kurve \( X(t)=(t,\xi(t))\) in einer Raumzeit \((M,g)\) […]

    Um das konkrete Koordinatensystem offenzulegen, anhand dessen jeweils ein bestimmtes Tupel \( X(t)\) einem bestimmten Element der (gegebenen) Menge \(M\) zugeordnet würde, könnte man es zumindest konkret benennen; z.B. als

    $$k : M \rightarrow \mathbb R^4.$$

    > Sei \(s\) wieder der zugehörige Bogenlängen-Parameter

    Wie werden dessen Werte ermittelt?
    Sind dessen Werte von der konkreten Wahl des Koordinatensystems abhängig?
    Insbesondere: in wie fern legt das oben vorgegebene \(g\), zusammen mit der konkreten Wahl des Koordinatensystems \(k\), den Wert \(g_{00}\) fest, der <a href="im obigen Kommentar (25. Februar 2017 @ 20:33) auftrat?

    > […] und daher \( \dot w = \frac{1}{\| X‘ \|_g} X‘ \) […]

    > Daraus wird jedenfalls ersichtlich, dass der Bewegungsvektor \( \dot w \) nicht von der 3-Beschleunigung \( X“ = (0, \xi“) \) abhängt.

    Könnte es denn gar keine Abhängigkeit/Funktion

    $$ X'[ \, t \, ] := f[ \, X“[ \, t \, ] \, ] $$

    geben; zumindest sofern \( X“[ \, t \, ] \) nicht konstant wäre ?

    Nehmen wir z.B. den Fall \( X‘ = X“ \) …

    • p.s.
      Frank Wappler schrieb (27. Februar 2017 @ 15:43):
      > […] zumindest sofern \( X^{\prime ~ \prime}[ \, t \, ] \) nicht konstant wäre ?
      > Nehmen wir z.B. den Fall \( X^{\prime} = X^{\prime ~ \prime} \) …

      Richtiger:
      Nehmen wir z.B. den Fall
      $$ X^{\prime}[ \, t \, ] := (1, \xi^{\prime}[ \, t \, ]) = (1, \xi^{\prime ~ \prime}[ \, t \, ]) := (1, 0) + X^{\prime ~ \prime}[ \, t \, ]. $$

  49. Was meinen Sie denn jetzt mit „klassischer Theorie“? Ein etwas ungewöhnlicher Begriff. Wenn Sie die klassische Physik meinen, die rechnet ja gerade nicht mit einer 4-dimensionalen Raumzeit.
    Mir ging es v.a. um die Universalität der ART. Hier scheint es doch mächtige Defizite zu geben.
    Denn aktuell räumen Sie ein, dass die ART mit Körpern ähnlicher Massen im freien Fall auch nicht umgehen kann. Mein Reim dazu: „Elefanten sind keine Quanten“.
    Ein Hinweis für den Blog aus dem ich mich jetzt verabschiede: Bitte etwas mehr Aufgeschlossenheit und Respekt gegenüber neuen Ideen. Sie müssen mühsam erkämpft werden und sind die wahren Wegbereiter der Zukunft. Die etablierten Theorien, von denen Sie sich eine ganz besonders zweifelhafte ausgesucht haben, können das nicht leisten. Für mich hat sich bestätigt, dass wesentliche Grundlagen der Gravitation unverstanden sind. In dem Kontext scheint mir die aktuelle Messung von Gravitationswellen sehr fragwürdig zu sein. Das auch vor dem Hintergrund der theoretisch erreichbaren Messgenauigkeit. Alles Gute.

    • „Klassische Physik“ hat zwei Bedeutungen – zugegeben etwas verwirrend. Erste Bedeutung: alles außer Quantentheorie und Relativitätstheorie. Zweite Bedeutung: Alles außer Quantentheorie. Letztere Bedeutung war das, was ich meinte.

      Und nein, bitte genau lesen: Ich habe nirgends behauptet, dass die ART mit Körpern ähnlicher Massen im freien Fall nicht umgehen kann. Nur dass sich solche Situationen nicht mithilfe von Testteilchen beschreiben lassen (und das solche Situationen damit für das Äquivalenzprinzip nicht relevant sind). Das ist ein himmelweiter Unterschied! Und ich habe in einer Antwort an Sie ja auch direkt erklärt, wie wenn nicht mittels Äquivalenzprinzip man solche Situationen beschreibt: direkt mithilfe entsprechender Lösungen der Einsteingleichung. Wenn Sie daraus schließen, dass wesentliche Grundlagen der Gravitation unverstanden sind, dann ist das, sagen wir mal: ein ziemlich persönlicher Schluss.

  50. @Frank Wappler / 27. Februar 2017 @ 15:43 & 16:01

    Super! Du hast diese #%$&*%?@!! Blogsoftware ausgetrickst, die einem beständig bei Apostrophen und Quotes ins typographische Handwerk pfuscht. Danke! Wer hat sich bloss eine solche geistlose Verunstaltung wohlgeformter Ausdrücke durch unausgegorene Algorithmen einfallen lassen?

    »Um das konkrete Koordinatensystem offenzulegen, …«

    Der Blogherr ist hier derjenige, der auf Koordinaten aus ist. Bei dieser Gelegenheit sei aber noch an Sec. 2.4 bei Gourgoulhon erinnert, wo das, was Minkowski zu Bewegungsvektor & Co. unter Verwendung von Koordinaten bringt, in einer koord.freien Darstellung präsentiert wird.

    »Wie werden dessen [des Bogenlängen-Parameters] Werte ermittelt?«

    Auf die übliche, hier auch schon angesprochene und sogar quasi von Dir selbst verlinkte Weise.

    »Könnte es denn gar keine Abhängigkeit/Funktion …«

    Nun ja, man kennt schliesslich diverse sogenannte „Uhren“, die sensitiv auf 3-Beschleunigungen resp. Schwerkraft reagieren (Pendeluhr, Sanduhr, κλεψύδρα, …).

    • Chrys schrieb (27. Februar 2017 @ 22:16):
      > […] Blogsoftware ausgetrickst, die einem beständig bei Apostrophen und Quotes ins typographische Handwerk pfuscht.

      Danke!

      Gern gescheh’n.
      (Dass dieser Darstellungspfusch tatsächlich eher an der Software als an uns Kommentatoren liegt, fiel mir gestern jedenfalls erstmals und ziemlich unerwartet auf.
      Immerhin gibt uns die (selbe) Software ja das „Show Math as >> Tex Commands“-Menü, um Verbessungen zu suchen und zu finden.

      Eine SciLog-Kommentar-Vorschaufunktion wäre mir aber recht, besonder weil LaTeX (nun erfreulicher Weise) „scharfgemacht“ ist.

      Ansonsten sind Prime-Zeichen sicherlich die konventionelle Symbolik z.B. für (Koordinaten-)Ableitungen. Zur unterschiedlichen Benennung von verschiedenen Beteiligten, wie z.B. bei Einstein 1917, Kap. 9, würde ich sie aber lieber vermeiden.)

      > Sec. 2.4 bei Gourgoulhon […] in einer koord.freien Darstellung

      Von „koord.freien Darstellung“ kann aber kaum die Rede sein,
      solang da immer noch das berüchtigte \(g\) auftaucht; insbesondere in eq. (2.13): $$\vec u = \frac{\vec v}{\sqrt{-g[ \, \vec v, \vec v\, ]}} = \frac{\vec v}{ \| \vec v\|_g},$$

      und solang dieses \(g\) wiederum (erst) anhand einer bestimmten Koordinatenzuordnung

      $$\lambda_W : W \rightarrow \mathbb R $$

      ermittelt würde, nämlich wie z.B. in eq. (2.10) angedeutet (die hier angepasst an meine bevorzugte Notationsart wiedergegeben sein soll):

      $$\tau W[ \, \_A, \_B \, ] = \int_{\lambda_W[ \, \varepsilon_{W A} \, ]}^{\lambda_W[ \, \varepsilon_{W B} \, ]} {\rm d} \lambda_W \, \sqrt{-g[ \, \vec v[ \, \lambda_W \, ], \vec v[ \, \lambda_W \, ] \, ] };$$

      wobei sich versteht, dass
      $$W \equiv k^{-1}[ \, \{ w \}\, ] \equiv k^{-1}[ \, \{ X \}\, ].$$

      In anderen Worten: auf der oben verlinkten Seite scheinen mir die Werte \(d\) doch wichtig; bzw. entsprechende Werte \(\ell\).

      > man kennt schliesslich diverse sogenannte „Uhren“, die sensitiv auf 3-Beschleunigungen resp. Schwerkraft reagieren

      Sicher. Aber um hinsichtlich meines oben vorgeschlagenen Beispiel-Falls eventuellen Missverständnissen vorzubeugen:

      Auch einem Beteiligten \(U\), der ausdrücklich nicht (eigentlich) beschleunigt war, d.h. so dass für alle Treffen (Koinzidenzereignisse) \(\varepsilon_{U Q}\) mit Anzeige \(U_Q\) zwischen den Anzeigen \(U_A\) und \(U_Q\) gilt: $$\ell[ \, \varepsilon_{U A}, \varepsilon_{U Q} \, ] + \ell[ \, \varepsilon_{U Q}, \varepsilon_{U B} \, ] = \ell[ \, \varepsilon_{U A}, \varepsilon_{U B} \, ],$$
      ließen sich doch sicherlich Koordinaten \(Y\) so zuordnen, dass
      $$ Y^{\prime}[ \, t \, ] := (1, y^{\prime}[ \, t \, ]) = (1, y^{\prime ~ \prime}[ \, t \, ]) := (1, 0) + Y^{\prime ~ \prime}[ \, t \, ],$$
      und sogar insbesondere mit \(y^{\prime}[ \, t \, ] \ne 0 \).
      Oder etwa nicht?

      Ansonsten, hinsichtlich „Unabhängigkeit von Beschleunigung“, bleibt wohl lediglich festzuhalten, dass sich allein aus einem einzigen Wert \(\tau W[ \, \_A, \_B \, ]\) nicht ermitteln lässt, ob der Beteiligte \(W\) während dieser Dauer (eigentlich) beschleunigt war, oder nicht.

      • @Frank Wappler / 28. Februar 2017 @ 10:59

        »Von „koord.freien Darstellung“ kann aber kaum die Rede sein, …«

        „Koordinatenfrei“ heisst schlicht „ohne Verwendung von Koordinaten“, nicht mehr und nicht weniger. Der Wapplerschen Deutung zufolge kann dann aber auch von koordinatenfreien Darstellungen der Maxwellschen Gleichungen kaum die Rede sein, mit der Begründung, dass Maxwell dieselben dereinst unter Verwendung von Koordinaten hinschreiben konnte. Eine solche Logik ist jedoch kaum für alle Beteiligten nachvollziehbar.

        • Chrys schrieb (1. März 2017 @ 09:35):
          > „Koordinatenfrei“ heisst schlicht „ohne Verwendung von Koordinaten“, nicht mehr und nicht weniger.

          Ein Versuch einer Beschreibung, wie \(g\) und insbesondere \(g_{00}\) „ohne Verwendung von Koordinaten“ zu ermitteln bzw. einzusetzen wären, hätte mich an dieser Stelle überrascht.

          Anlass genug, um (einmal mehr) zusammenzufassen, was „ohne Verwendung von Koordinaten“ geht, bzw. im Rahmen der Einsteinschen RT gehen soll:

          – Beteiligte zu identifizieren (einvernehmlich zu erkennen, zu unterscheiden und entsprechend konsistent zu benennen); z.B. als \(A\), \(B\), \(M\) usw.,

          – Koinzidenz (oder ansonsten: Nicht-Koinzidenz) solcher verschiedener Beteiligter festzustellen (wahrzunehmen und konsistent zu bewerten),

          – die eigenen Wahrnehmungen zu unterscheiden, festzuhalten, und deren Koinzidenz (oder ansonsten: Nicht-Koinzidenz; der Einfachheit auch einschl. Reihenfolge) zu bewerten,

          – insbesondere: „Pings“ zu erkennen; d.h. für jede Wahrnehmung einer Anzeige jedes anderen identifizierten Beteiligten zu erkennen, ob diese eine „Echo“-Anzeige hinsichtlich einer bestimmten eigenen (Signal-)Anzeige war,
          und falls so, feststellen zu können, ob es sich um die allererste Wahrnehmung einer „Echo“-Anzeige dieses bestimmten Beteiligten hinsichtlich dieser eigenen (Signal-)Anzeige war (oder ansonsten: „ein Nachhall“).

          Dadurch schließlich:

          – die Anzahl von aufeinanderfolgenden wiederholten Pings (jeweils bzgl. eines bestimmten anderen identifizierten Beteiligten) zu zählen,

          – je zwei Folgen von Ping-Wiederholungen (bzgl. zweier verschiedener identifizierter Beteiligter) anhand von Koinzidenzfeststellungen in Beziehung zu setzten
          (insbesondere für Folgen mit der selben Anfangs(Signal-)Anzeige zu beurteilen, ob die Wahrnehmung des Endes der einen Folge koinzident mit der Wahrnehmung des Endes der anderen war;
          sich die beiden Folgen von Ping-Wiederholungen also dahingehend entsprechen);

          – die Anzahlen von Ping-wiederholungen (bzgl. verschiedener identifizierter Beteiligter) für einander entsprechende Folgen ins Verhältnis zu setzen;

          – mit diesen rationalen Ping-Verhältniszahlen die „geometrische Beziehungen“ zwischen den Beteiligten zu charakterisieren;
          z.B. zu unterscheiden, welche sich (paarweise) bei einem Koinzidenzereignis gerade nur „berührten“ (anstatt sich zu „schneiden“) bzw. entsprechende Werte \(\beta\) zu ermitteln.

          > Maxwellschen Gleichungen […] dass Maxwell dieselben dereinst unter Verwendung von Koordinaten hinschreiben konnte.

          Wer behauptet denn, dass Maxwell die Maxwellschen Gleichungen
          (bzw. meinetwegen „rot E = 0, div E = ρ„) ausdrücklich unter Verwendung von Koordinaten hingeschrieben hätte;
          und nicht eventuell doch „ohne Verwendung von Koordinaten“, sondern (z.B.) unter Verwendung der beschriebenen Ping-Verhältniszahlen ??

          Ob sich wohl Maxwell selbst überhaupt dahingehend sicher war ? …

          p.s.
          Re: Alley: Bin erleichtert, dass der (vermeintlichen) „conclusion“ (hinsichtlich „Veränderlichkeit der Lichtgeschwindigkeit“) auf S. 378 (oben) die Gleichung (38), S. 381, folgt:
          $$c_{\text{coord}} = \sqrt{ c^2 + 2 \Phi}.$$

          Finde andererseits Fig. 20, S. 384, unmissverständlich missverständlich.

  51. @Frank Wappler / 1. März 2017 @ 12:58

    »Ein Versuch einer Beschreibung, wie [Math Processing Error] und insbesondere [Math Processing Error] „ohne Verwendung von Koordinaten“ zu ermitteln bzw. einzusetzen wären, hätte mich an dieser Stelle überrascht.«

    Oops! Irgendwas ging da jetzt schief.

    »Wer behauptet denn, dass Maxwell die Maxwellschen Gleichungen (bzw. meinetwegen „rot E = 0, div E = ρ„) ausdrücklich unter Verwendung von Koordinaten hingeschrieben hätte;«

    Ich. Hab‘ ich von Walter Thirring, der eine Übersicht zu „Maxwell im Wandel der Zeiten“ zusammengstellt hatte. Lässt sich aber im bestimmt im Web nachprüfen. Mich nimmt jedoch wunder, wenn hier jetzt div und rot als koordinatenfrei durchgehen sollten, denn die kann man ja auch mit Koordinaten darstellen.

    Ausserdem frage ich mich, wie konkrete experimentelle Bedingungen wie etwa die des Maryland-Experiments ohne Verwendung von Koordinaten modelliert werden sollten. Versuch doch mal, die von Alley vorhergesagten 47.1 ns koordinatenfrei herzuleiten.

    • Zu Koordinaten: Dem kann ich mich nur anschließen. Koordinatenfreie Darstellungen sind super, um größere Zusammenhänge darzustellen und zu erkennen, und um die unvermeidbaren Willkürlichkeiten jeder Koordinatenwahl in den Hintergrund treten oder sogar verschwinden zu lassen. Aber wenn man konkret etwas ausrechnen will, kommt man um Koordinaten nicht herum. Als Physiker braucht man letztlich beide Arten der Darstellung.

    • Chrys schrieb (1. März 2017 @ 23:01):
      > […] kann man ja auch mit Koordinaten darstellen.

      Seufz! …
      Versuchen wir’s bitte Schritt für Schritt um zu sehen, wo wir divergieren:

      Wenn man z.B. eine bestimmte Menge \(M\) von Beteiligten betrachtet, deren paarweise Abstände
      \(d : M \times M \rightarrow \mathbb R \)
      (durch Messung) gegeben sind,
      dann lässt sich allein daraus ausrechnen (auch wenn manche das offenbar noch lernen müssen):

      – ob und welche „Topologie“ auf dieser Menge durch \(d\)-Bälle induziert wird,

      – welche Teilmengen der Menge \(M\) „Kurven“ sind,

      – die „Bogenlängen“ dieser Kurven,

      – für je drei Beteiligte, ob sie „gegenüber einander gerade lagen“; oder ansonsten: welcher „Umkreis-Radius“-Wert sie beschreibt;
      oder für je vier Beteiligte, ob sie „gegenüber einander eben lagen“; oder ansonsten: welcher „Umkugel-Radius“-Wert sie beschreibt;
      oder für je fünf Beteiligte, ob sie „gegenüber einander flach lagen“; oder ansonsten: welcher „Krümmungs“-Wert \(\kappa\) sie beschreibt; usw.

      – welche der ober errechneten Kurven „Knicke“ hatten (also kein von Null verschiedenes Infimum von Umkreis-Radien für je drei ihrer Bestandteile),

      – welche Knick-losen Kurven, die (mindestens) einen Beteiligten gemeinsam hatten, sich „gerade nur „berührten“ (anstatt sich zu „da zuschneiden“).

      (Die Verallgemeinerung auf die Betrachtung einer bestimmten Menge von (Koinzidenz-)Ereignissen und deren gegebene geometrische Beziehungen als geeignet verallgemeinerter metrischer Raum lässt sich dazudenken.)

      Nun kann man dieser betrachteten Menge \(M\) auch Koordinaten zuordnen:
      \( k : M \stackrel{\text{eins-zu-eins}}{\longrightarrow} \mathbb R^n \).

      Wer Lust hat, kann sich die dadurch induzierte Distanzfunktion

      $$\mathfrak d_k : \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R, \qquad \mathfrak d_k[ \, \vec x, \vec y \, ] = d[ k^{-1}[ \, \vec x \, ], k^{-1}[ \, \vec y \, ] \, ]$$

      hernehmen, und die oben für den metrischen Raum \((M, d)\) ermittelte Topologie und „Bogenlängenstruktur“ und „Tangentialstruktur“ entsprechend für den metrischen Raum \((\mathbb R^n, \mathfrak d_k)\) errechnen.

      Und dann kann man fragen und versuchen herauszufinden, ob bzw. in wie fern diese induzierten „mathematischen Strukturen“ denen ähneln, die den Tupeln reeller Zahlen „natürlich“ zugeschrieben werden:

      – Ähnelt die errechnete „\(d\)-Ball-Topologie auf \(M\)“ der „natürlichen“ Intervall-Topologie (oder der vermutlich ebenso „natürlichen“ Euklidischen Ball-Topologie) der reellen Tupel?
      Bzw. noch direkter: gleicht die entsprechende induzierte „\(\mathfrak d_k\)-Ball-Topologie auf \(\mathbb R^n\)“ der „natürlichen Topologie“ reeller Tupel?
      D.h.: ist die spezielle Koordinatenzuordnung \(k\) ein Homöomorphismus zwischen \(M\) und \(\mathbb R^n\) ?

      – Entspricht die errechnete „Tangentenstruktur auf \(M\)“ (bzw. gleicht die entsprechend durch \(\mathfrak d_k\) auf \(\mathbb R^n\) induzierte „Tangentenstruktur“) der „natürlichen Tangentenstruktur des \(\mathbb R^n\)“,
      die sich insbesondere dadurch auszeichnet, dass sich die beiden Teilmengen

      \( P := \{ \vec p \in \mathbb R^n \, | \, \forall \lambda \in \mathbb R : \vec p = \vec x + \lambda \, (p_1, p_2, …) \}; \)
      wobei
      \(p_1, p_2, … \in \mathbb R \) und \( \sum_{j = 1}^n q_j^2 \gt 0, \)

      und

      \( Q := \{ \vec q \in \mathbb R^n \, | \, \forall \lambda \in \mathbb R : \vec q = \vec x + \lambda \, (q_1, q_2, …) \}; \)
      wobei
      \(q_1, q_2, … \in \mathbb R \) und \( \sum_{j = 1}^n q_j^2 \gt 0, \)

      dann und nur dann „berühren“ (bzw. zur selben „Äquivalenzklasse von Tangenten durch \(\vec x\)“ gehören), falls
      \( (\sum_{j = 1}^n p_j \, q_j)^2 = (\sum_{j = 1}^n p_j^2) \, (\sum_{j = 1}^n q_j^2) \) ?

      – Und besonders naheliegend die Frage:
      Sind alle, oder wenigstens manche, der Koordinaten „metrisch gut bzw. kompatibel“;
      d.h. für welche Paare von Koordinaten-Tupeln \(\vec x\) und \(\vec y\), und für welche reellen Zahlen \(\alpha \) gilt:

      $$ \mathfrak d_k[ \, \vec x, \vec x + \alpha \, (\vec y – \vec x) \, ] = \alpha \, \mathfrak d_k[ \, \vec x, \vec y \, ] $$
      ?.

      Man könnte sich dann sogar entschließen, nur noch solche Koordinatenzuordnungen zur betrachteten Menge \(M\) zu berücksichtigen, deren „natürliche Strukturen“ den „errechneten Strukturen“ des metrischen Raumen \((M, d)\) besonder gut ähnelt, soweit das Fall zu Fall möglich sein mag.

      Wenn nun stattdessen die paarweisen Abstände \(d\) zwischen Paaren von Elementen (Konstituenten, Beteiligten) aus \(M\) nicht bekannt sind, oder nicht berücksichtigt werden,
      und folglich auch keine entsprechende „Topologie“, „Bogenlängenstruktur“ oder „Tangentenstruktur“ errechnet werden konnte,
      dann kann man zwar immer noch dieser betrachteten Menge \(M\) reelle Tupel als Koordinaten („auf’s Geratewohl“) zuordnen;

      aber: es ließe sich nicht sagen, feststellen, herausfinden, dass die (stets vorhandenen) „natürlichen Strukturen“ dieser reelle Tupel etwas Bestimmtes hinsichtlich der Menge \(M\) darstellen, bzw. irgendwelche Ähnlichkeit (geschweige denn konkrete Homöomorphie, Tangential- oder metrische Kompatibilität) aufwiesen.

      Stimmen wir soweit überein?
      Bitte um eine sachbezogene (und im Rahmen dessen gern geeignet kurze) Antwort.

      p.s.
      > wie konkrete experimentelle Bedingungen wie etwa die des Maryland-Experiments ohne Verwendung von Koordinaten modelliert werden sollten.

      Sehr einfach:
      Die Pingdauern der „ground clocks“ bzgl. der „aircraft clocks“ waren im Wesentlichen konstant und durchwegs ziemlich genau 10^{-10} Prozent geringer als die (per „Flugphase“) entsprechenden
      Pingdauern der „aircraft clocks“ bzgl. der „ground clocks“;
      vgl. Fig. 46.
      (Außerdem traten im Laufe des Experiments auch ca. 60 mal regelmäßige geringe Modulationen der Pingdauern auf.)

      > Versuch doch mal, die von Alley vorhergesagten 47.1 ns koordinatenfrei herzuleiten.

      Versuch doch mal herauszufinden, woher Alley den zur Auswertung von eq. (51), S. 393, erforderlichen Wert der Potential-Differenz
      \(\Phi_A – \Phi_G\)
      hergenommen hat; insbesondere mit der erforderlichen Genauigkeit …

      p.p.s.
      > @Frank Wappler / 1. März 2017 @ 12:58
      > »[…] [Math Processing Error] […]«

      > Oops! […]

      In den von mir benutzten Browsern war die Darstellung meines Kommentars aber wie beabsichtigt; \(g\) bzw. \(g_{00}\).

      • p.s.
        Frank Wappler schrieb (2. März 2017 @ 12:31):
        > […] Sind alle, oder wenigstens manche, der Koordinaten „metrisch gut bzw. kompatibel“;
        d.h. für welche Paare von Koordinaten-Tupeln \(\vec x\) und \(\vec x\), und für welche reellen Zahlen \(\alpha\) gilt:

        $$mathfrak d_k[ \, \vec x, \vec x + \alpha \, (\vec y – \vec x) \, ] = \alpha \, \mathfrak d_k[ \, \vec x, \vec y \, ],$$

        Der Begriff der „metrischen Kompatibilität“ (bestimmter Koordinaten \(k\) bzgl. gegebener Abstände \(d\)) kann noch allgemeiner gefasst werden, als oben angegeben; wobei auch die ermittelten Werte der Bogenlänge ausdrücklch ins Spiel kommen. Nämlich:
        für welche Paare von Koordinaten-Tupeln \(\vec x\) und \(\vec x\), und für welche reellen Zahlen \(\alpha\) gilt:

        $$ \text{sup}\left[ \sum_{j = 0}^{s – 1} \mathfrak d_k[ \, \vec x + b_j \, \alpha \, (\vec y – \vec x), \, \vec x + b_{(j + 1)} \, \alpha \, (\vec y – \vec x) \, ] \, {\Large\mid} \, s \in \mathbb N, 0 = b_0 \lt b_1 \lt … \lt b_{(s – 1)} \lt b_s = 1 \right] $$
        $$ = \alpha \, \text{sup}\left[ \sum_{j = 0}^{t – 1} \mathfrak d_k[ \, \vec x + c_j \, (\vec y – \vec x), \, \vec x + c_{(j + 1)} \, (\vec y – \vec x) \, ] \, {\Large\mid} \, t \in \mathbb N, 0 = c_0 \lt c_1 \lt … \lt c_{(t – 1)} \lt c_t = 1 \right].$$

      • p.s.
        Frank Wappler schrieb (2. März 2017 @ 12:31):
        > […] Sind alle, oder wenigstens manche, der Koordinaten „metrisch gut bzw. kompatibel“;
        d.h. für welche Paare von Koordinaten-Tupeln \(\vec x\) und \(\vec x\), und für welche reellen Zahlen \(\alpha\) gilt:

        $$\mathfrak d_k[ \, \vec x, \vec x + \alpha \, (\vec y – \vec x) \, ] = \alpha \, \mathfrak d_k[ \, \vec x, \vec y \, ],$$

        Der Begriff der „metrischen Kompatibilität“ (bestimmter Koordinaten \(k\) bzgl. gegebener Abstände \(d\)) kann noch allgemeiner gefasst werden, als oben angegeben; wobei auch die ermittelten Werte der Bogenlänge ausdrücklch ins Spiel kommen. Nämlich:
        für welche Paare von Koordinaten-Tupeln \(\vec x\) und \(\vec y\), und für welche reellen Zahlen \(\alpha\) gilt:

        $$ \text{sup}\left[ \sum_{j = 0}^{s – 1} \mathfrak d_k[ \, \vec x + b_j \, \alpha \, (\vec y – \vec x), \, \vec x + b_{(j + 1)} \, \alpha \, (\vec y – \vec x) \, ] \, {\Large\mid} \, s \in \mathbb N, 0 = b_0 \lt b_1 \lt … \lt b_{(s – 1)} \lt b_s = 1 \right] $$
        $$ = \alpha \, \text{sup}\left[ \sum_{j = 0}^{t – 1} \mathfrak d_k[ \, \vec x + c_j \, (\vec y – \vec x), \, \vec x + c_{(j + 1)} \, (\vec y – \vec x) \, ] \, {\Large\mid} \, t \in \mathbb N, 0 = c_0 \lt c_1 \lt … \lt c_{(t – 1)} \lt c_t = 1 \right],$$

        wobei

        $$\mathfrak d_k : \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R, \qquad \mathfrak d_k[ \, \vec x, \vec y \, ] \mapsto d[ k^{-1}[ \, \vec x \, ], k^{-1}[ \, \vec y \, ] \, ]$$

        die „Distanz-Funktion“ ist, die durch die Koordinatenwahl \(k\) induziert ist.

  52. @Frank Wappler / 2. März 2017 @ 12:31

    »Seufz! …«

    Das ist gut. Mir ist noch nicht einmal klar, unter welchen Prämissen da eigentlich was gemessen werden soll. So erfordert „Pingdauer vergleichen“ u.a. mindestens eine Konvention über die Bemessung von Dauer, also einen Begriff von „Uhr“, der zuvor irgendwie zu begründen wäre. Ich fürchte aber, wenn das hier und jetzt noch weiter koordinatenfrei ausgewalzt werden sollte, findet das nicht unbedingt den Beifall von Markus Pössel.

    »Versuch doch mal herauszufinden, woher Alley den zur Auswertung von eq. (51), S. 393, erforderlichen Wert der Potential-Differenz \(\Phi_A – \Phi_G\) hergenommen hat; insbesondere mit der erforderlichen Genauigkeit …«

    Wäre ich nicht jüngst zufallsbedingt im Kontext von TAI über einen diesbezüglichen Hinweis bei McCarthy & Seidelmann gestolpert, hätte ich in der Tat kaum gewusst, wo ich suchen soll. Dieser Hinweis besagt, dass es bis zu einer Flughöhe von 24 km über Grund unter der Bachtung der geforderten Genauigkeit zulässig ist, die Potentialdifferenz mit \(\Delta\Phi = g \Delta h\) anzusetzen, wobei \(g\) für die Fallbeschleunigung von 9.81 m/s² und \(h\) für die Höhe über dem Geoid steht. Als Quelle beim BIPM war hierzu genannt:

    P Giacomo 1981 Metrologia 17 69. DOI: 10.1088/0026-1394/17/2/007

    »[Math Processing Error]«

    Vermutlich war so etwas wie ein Server Timeout der Auslöser dieser Fehlermeldung; ist seither auch nicht wieder aufgetreten. Zum fraglichen Punkt sei daher noch angemerkt:

    Der Cartansche Kalkül gestattet es durchaus, den metr. Tensor koordinatenfrei darzustellen, und nur mit Bezug auf diesen Kalkül wüsste ich dann auch die Maxwellschen Gl. in eine koordinatenfreie Gestalt zu bringen. Die Konkretisierung der Schnittstelle zwischen theoretischer und experimenteller Physik ist mir allerdings ohne Verwendung von Koordinaten gar nicht vorstellbar.

    • Chrys schrieb (3. März 2017 @ 10:36):
      > Der Cartansche Kalkül gestattet es durchaus, den metr. Tensor koordinatenfrei darzustellen […]

      Falls das so sein sollte, dann wäre Markus Pössels seit
      24. September 2016 @ 10:56 angekündigtem „gesonderten Blogbeitrag zum Thema koordinatenfreier Darstellungen
      sicher besonders geeignet, das nachzuweisen und zu diskutieren.

      Mir kommt es jedenfalls (vorerst) eher so vor, als sei das Gegenteil der Fall;
      nicht zuletzt weil im offenbar relevanten Wikipedia-Artikel [[Exterior derivative]] ausdrücklich [[Differentiable manifolds]] vorausgesetzt werden, die insbesondere hinsichtlich ihrer Differential-Struktur ([[Differential structure]]) auf Koordinaten angewiesen zu sein scheinen:
      \( \phi_i : M \supset W_i \rightarrow U_i \subset \mathbb R^n \).

      > […] erfordert „Pingdauer vergleichen“ u.a. mindestens eine Konvention über die Bemessung von Dauer, also einen Begriff von „Uhr“,

      Sogar von „idealer Uhr“; natürlich.

      > der zuvor irgendwie zu begründen wäre.

      Na sicher: die Definition des Begriffs muss, wie Einstein schon 1917 forderte, (ausschließlich) auf Koinzidenzfeststellungen hinauslaufen.
      Also: flache Ping-Koinzidenz-Gitter.
      Was denn sonst ??.

      > Die Konkretisierung der Schnittstelle zwischen theoretischer und experimenteller Physik ist mir allerdings ohne Verwendung von Koordinaten gar nicht vorstellbar.

      Hier/uns geht es allerdings („lediglich“) um die Schnittstelle zwischen
      experimentellen (empirischen) Beobachtungsdaten, d.h. insbesondere Koinzidenzfeststellungen (einschl. der dafür vorauszusetzenden Feststellungen von Identität),
      und experimentellen Ergebnissen (Messwerten), d.h. insbesondere den (rationalen) Werten von Dauer-Verhältnissen.

      > […] dass es bis zu einer Flughöhe von 24 km über Grund unter der Beachtung der geforderten Genauigkeit zulässig ist, die Potentialdifferenz mit \(\Delta\Phi = g \, \Delta\h\), wobei \(g\) für die Fallbeschleunigung von 9.81 m/s² […] steht

      … meinetwegen; sieht jedenfalls an sich einigermaßen Koordinaten-frei aus …

      > \(h\) für die Höhe über dem Geoid

      … bzw. \(\Delta h\) demnach als „Höhendifferenz“ bzw. „altitude“.

      Und woher hätte Alley nun Werte dieser Größe „\(\Delta h\)“ nehmen sollen (und noch dazu mit der gebotenen Genauigkeit), wenn nicht aus Messwerten, wie sie in Fig. 45 („the atomic clock as an altimeter“) bzw. Fig. 46 („Radar tracking data converted to \(\Delta \Phi / c^2 \) […]“) dargestellt sind ??

      Zur oben angefragten Koordinaten-freien Darstellung von Alleys Erwartungswert von
      \(47.1~\text{ns} \approx (15 \times 3600 \times 10^9~\text{ns}) \times 10^{-12}\)
      würde ich demnach vorschlagen:

      $$ \left(\frac{\tau A[ \, \_G_{\text{left}}, \_G_{\text{returned}} \, ]}{\tau G[ \, \_A_{\text{left}}, \_A_{\text{returned}} \, ]}\right)_{\! \! \! \_\text{expected}}\approx $$
      $$\left(\frac{(\Delta\Phi)_{\_\text{expected}}}{(\Delta\Phi)_{\_\text{past_trials}}} \right) \, \left(\frac{\tau A[ \, \_G_{\text{left}}, \_G_{\text{returned}} \, ]}{\tau G[ \, \_A_{\text{left}}, \_A_{\text{returned}} \, ]}\right)_{\! \! \! \_\text{past_trials}} + \mathcal O \! \left[ \, \left( \frac{v}{c}\right)^2 \, \right] $$
      $$ \approx \left(\frac{(\Delta h)_{\_\text{expected}}}{(\Delta
      h)_{\_\text{past_trials}}} \right) \, \left(\frac{\tau A[ \, \_G_{\text{left}}, \_G_{\text{returned}} \, ]}{\tau G[ \, \_A_{\text{left}}, \_A_{\text{returned}} \, ]}\right)_{\! \! \! \_\text{past_trials}} + \mathcal O \! \left[ \, \left( \frac{v}{c}\right)^2 \, \right].$$

  53. Lieber Herr Pössel,

    nachdem ich hier längere Zeit nicht hereingeschaut habe, weil ich mit den vielen Kommentaren und den mehr als 13 000 Reads von „Free Fall… “ auf ResearchGate beschäftigt war, verwirren Sie mich völlig mit dieser Bemerkung: „…dass entsprechende Gezeitenbeschleunigungen – auch die innerhalb der ART – exakt dieselbe Wirkung haben können wie Gezeitenkräfte.“ Es war doch von einem frei fallenden Kometen die Rede, in dem es keine Gezeitenbeschleunigungen gibt, wohl aber Gezeitenkräfte, welche durch die Schwerkraft hervorgerufen werden. Sie schreiben doch: „Gravitation ist keine Kraft, sondern Eigenschaft der Raumzeit-Geometrie.“ Es gab aber zweifellos eine Kraft, die im Gleichgewicht mit der inneren Bindungskraft war, bis es den Kometen zerrissen hat. Wie soll man das alles verstehen?

    Auch die Experten in RG konnten nicht aufklären, wie man aus einer nicht vorhandenen Gravitationskraft messbare Kräfte aus der Eigenschaft von Raumzeit-Geometrie herleitet und warum man das überhaupt machen soll, wo man doch seit Newton eine hervorragende Theorie hat, die sowohl Schwerkraft als auch Trägheitskraft aufs Genaueste beschreibt.

    Beste Grüße!
    Wolfgang Engelhardt

  54. @Markus Pössel / 7. März 2017 @ 13:29

    Bei Rindlers Argument geht es um einige Uhren, die wir uns laut Rindler als “standard[] atomic clocks (for example, cesium clocks)” vorstellen dürfen, und deren Gang bestimmt ist durch eine “universal rate at which all standard clocks tick.” Zwei davon seien jeweils stationär positioniert, und zwar a) höher und tiefer in einem Schwerefeld (1.16), sowie, äquivalent dazu, b) vorne und hinten in der Rindler-Rakete (Exercise 4.4). Von höher/vorne nach tiefer/hinten gesendete Tick-Signale werden dort blauverschoben empfangen, in umgekehrter Richtung ist es hingegen rotverschoben.

    Anschliessend präsentiert Rindler die These, “But if the clock at A [d.h. tiefer/hinten] is seen to go slow, then it really does go slow.” Zu deren Untermauerung schickt er eine weitere Standarduhr auf Rundreise, deren Start- und Zielpunkt er höher/vorne wählt, sodass die Transportuhr für die Zeitspanne zwischen Departure und Arrival weniger Ticks anzeigt als die stationäre Vergleichsuhr. Diese Differenz dient ihm dann als Beleg dafür, dass die Transportuhr dabei “really” langsamer gegangen sein muss. Die braven Scholasten nicken zustimmend, murmeln etwas von “gravitational time dilation,” und geben sich dem Glauben hin, etwas verstanden zu haben.

    Alleys Experiment enspricht aber dem Fall, wo der Start- und Zielpunkt der Uhren-Rundreise tiefer/hinten gewählt wird, und den Rindler ganz clever zu erörtern vermeidet. Alleys Transportuhr zeigt dann für die Zeitspanne zwischen Departure und Arrival mehr Ticks an als die stationäre Vergleichsuhr. Konsequenterweise müsste man hier von “gravitational time contraction” reden, was aber nicht vorgesehen ist. Hier hakt die Sache, und spätestens jetzt sollte eigentlich auch Ihnen auffallen, dass an Rindlers Erklärungen etwas grundlegend faul ist. Rindler steht dabei nicht im Widerspruch zu Alley, sondern zu sich selbst.

    Noch zu Alley und der Clock Hypothesis. Die hat für Alley speziell die Konsequenz, dass er für seine Experimente nur solche realen Uhren verwenden kann, deren Mechanismus in der Theorie “explicit” insensitiv gegenüber Beschleunigungen ist, denn nur deren Anzeigen lassen sich mit geforderter Genauigkeit als Eigenzeit interpretieren. Pendeluhren erfüllen dieses Kriterium beispielsweise nicht und scheiden daher aus. Wie er ausführt, lasst sich das in der Praxis aber nur innerhalb gewisser technischer Grenzen gewährleisten, denn jede reale Atomuhr hat irgendwelche Komponenten, die bei extremen Beschleunigungen versagen.

  55. @Frank Wappler / 7. März 2017 @ 11:45

    Die „Gangrate“ war wohl eine Wapplersche Wortschöpfung, die ich dann übernommen hatte. Gemeint war jedenfalls die Änderungsrate der von der Uhr angezeigten Werte; für eine ideale Uhr, die Eigenzeit (Bogenlänge) anzeigt, ist dies eine intrinsische Grösse, die einzig durch die Geometrie der Raumzeit bestimmt ist und nichts mit Koordinaten zu schaffen hat.

    »C.O. Alley, p. 384: Fig. 20.«

    Ja, das ist ein Rückfall, das hat er praktisch unverändert aus seinem Artikel von 1979 übernommen. Da ist noch eine zweite Stelle, auf p. 423, wo er ein “run slow” für eine GPS Satellitenuhr in Anschlag bringt. Das ist allerdings korrekt, denn die Anzeige solcher Uhren wird ja in der Tat so manipuliert, dass sie mit einer Koordinatenzeit, der GPS Time, synchron bleibt.

    »Mich irritiert nach wie vor die schamlose Koordinaten-Abhängigkeit …«

    Die Koordinaten hatte Markus Pössel hier intentional ins Spiel gebracht, was zulässig ist. Die \(g\)-Orthogonalität von Bewegungsvektor und 4-Beschleunigung ist dessen ungeachtet eine Feststellung, die nicht von Koordinaten abhängt. Sei dazu alternativ noch auf Gourgoulhon, Sec. 2.4, oder etwa MTW, §6.2 verwiesen, falls meine Rede hier irgendwie schleierhaft erscheinen sollte.

    • Chrys schrieb (8. März 2017 @ 12:05):
      > Die „Gangrate“ war wohl eine Wapplersche Wortschöpfung

      Zuviel der Ehre.

      > Gemeint war jedenfalls die Änderungsrate der von der Uhr angezeigten Werte

      Solang Werte (zwischen denen sich Differenzen und Verhältnisse ermitteln lassen) nicht mit dem („Anzeigen“) verwechselt würden, was da bewertet oder parametrisiert wurde bzw. dem die Werte zugeordnet wurden, wär’s mir ja recht. Aber von manchen ist solche Sorgfalt offenbar zu viel verlangt …

      Im Übrigen verweise ich nochmals auf <a href="die Definition von „ideal clock“ in Sec. 2.3.2 bei Gourgoulhon, für die nämlich

      $$
      \begin{align*}
      \tau A[ \, \_(\text{Tick } j), \_(\text{Tick } j + N) \, ] & = \\
      J \, (t_{\text{ideal}}[ \, A_{(\text{Tick } j + N)}\, ] – t_{\text{ideal}}[ \, A_{(\text{Tick } j )}\, ]) & := \\
      J \, \alpha \, ((j + N) – j) & = J \, \alpha \, N = K \, N \end{align*}$$

      für irgendeine (von Null verschiedene) Konstante \( K \)
      (die sich Gourgoulhon möglicherweise Dimensions-behaftet gedacht hat; und sich problemlos mathematisch eleminieren lässt, sofern sich mindestens drei unterscheidbare Tickanzeigen der betreffenden Uhr in Betracht ziehen und zählen lassen),

      und stelle nochmals die Definition einer „guten Uhr“ gegenüber, deren Anzeigewerte (Koordinaten, Parametrisierung) \( t_{\text{gut}} A \rightarrow \mathbb R \) für beliebige drei verschiedene ihrer Anzeigen,
      \( A_P, A_Q, A_X \in A \) erfüllt:
      $$(t_{\text{gut}}[ \, A_X\, ] – t_{\text{gut}}[ \, A_P\, ]) = (t_{\text{gut}}[ \, A_Q\, ] – t_{\text{gut}}[ \, A_P\, ]) \, \left( \frac{\tau A[ \, \_P, \_ X \, ]}{\tau A[ \, \_P, \_ Q \, ]} \right),$$
      d.h. insbesondere ohne zu fordern, dass die betreffenden Anzeigen als „Ticks“ erkennbar und abzählbar wären.
      Zu beachten ist auch, dass „Dauer“ in dieser Definition nur im Rahmen reell-wertiger „Dauer“-Verhältnisse auftritt;
      weshalb sich zu jeder guten Uhr mit Parametrisierung \( t_{\text{gut}} \) eine ganze Äquivalenzklasse guter Uhren mit

      \( t_{\text{auch_gut}} A \rightarrow \mathbb R, \qquad t_{\text{auch_gut}}[ \, A_X \, ] \mapsto a \, t_{\text{gut}}[ \, A_X \, ] + b \)

      finden lässt (\(a \ne 0 \)).

      > Da ist noch eine zweite Stelle, auf p. 423, wo er [Alley] ein “run slow” für eine GPS Satellitenuhr in Anschlag bringt. Das ist allerdings korrekt, […]

      Das finde ich auch. Denn die Anzeige-Parametrisierung solcher Uhren wird ja in der Tat so manipuliert, dass sie mit einer Koordinatenzeit, der GPS Time, synchron bleibt;
      und zwar offenbar so, dass deren Gangrate
      „\( \frac{\Delta t_{\text{Satellite}}}{\tau \text{Satellite}}\)“
      geringer ist als die Gangrate
      „\( \frac{\Delta t_{\text{Master}}}{\tau \text{Master}}\)“.

      > Die \(g\)-Orthogonalität von Bewegungsvektor und 4-Beschleunigung ist […] eine Feststellung, die nicht von Koordinaten abhängt.

      Die Koordinaten-Abhängigkeit lässt sich wohl kaum deutlicher demonstrieren als durch das oben (Chrys, 27. Februar 2017 @ 13:23) vorgeführte

      $$\dot t = \frac{1}{\| X^{\prime} \|_g} = \frac{1}{\| (1, \vec \xi^{\prime} ) \|_g}.$$

      (Vermutlich hat \(\ddot t\) dann i.A. mit „Christoffel-Symbolen“ zu tun, aber:
      Genug von diesem Koordinaten-Geschwurbel!
      Schon allein der Begriff „Bewegungsvektor“ wirkt verdächtig improper …)

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