Wieviel LaTeX ist im Haupttext und in den Kommentaren möglich?

Dies ist kein richtiger Blogartikel – und daher weit zurückdatiert (obwohl im Dezember 2016 abgefasst), um nicht in die Liste der regulären Beiträge zu rutschen.

Diese Spielwiese soll dazu dienen, im Haupttext und in den Kommentaren zu schauen: Wieviel LaTeX ist zur Darstellung von Formeln möglich/einsetzbar?

\(E\approx E_1\)

Beispiel von Frank Wappler:

$$ 0 = \begin{vmatrix} 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_K~]~] \cr
\text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~]~] & 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_K~]~] \cr \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_J~]~] & 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_J, \beta_K~]~] \cr \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_K~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_K~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_J, \beta_K~]~] & 1 \end{vmatrix} $$

…funktioniert im Haupttext erst, wenn vorher ein Kommando \([\mathsf{latex}]\mathsf{irgendwas}[\mathsf{/latex}]\) eingebaut war (dann wird MathJax offenbar erst geladen). Auch Latex in den Kommentaren dürfte erst funktionieren, wenn im Haupttext etwas entsprechendes eingebaut ist.

Markus Pössel hatte bereits während des Physikstudiums an der Universität Hamburg gemerkt: Die Herausforderung, physikalische Themen so aufzuarbeiten und darzustellen, dass sie auch für Nichtphysiker verständlich werden, war für ihn mindestens ebenso interessant wie die eigentliche Forschungsarbeit. Nach seiner Promotion am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut) in Potsdam blieb er dem Institut als "Outreach scientist" erhalten, war während des Einsteinjahres 2005 an verschiedenen Ausstellungsprojekten beteiligt und schuf das Webportal Einstein Online. Ende 2007 wechselte er für ein Jahr zum World Science Festival in New York. Seit Anfang 2009 ist er wissenschaftlicher Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Astronomie in Heidelberg, wo er das Haus der Astronomie leitet, ein Zentrum für astronomische Öffentlichkeits- und Bildungsarbeit. Pössel bloggt, ist Autor/Koautor mehrerer Bücher, und schreibt regelmäßig für die Zeitschrift Sterne und Weltraum.

87 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Markus Pössel schrieb (10. Dezember 2016):
    > Lob der Stundenkilometer
    > […] Alltagssprachlich folgen die Stundenkilometer einem logischen Muster, dem der Genitivkomposita.
    > […] dass die Begriffsverwendung vom Kontext abhängt. Diesen wichtigen Umstand zu lehren, dafür sind die Stundenkilometer eine schöne Gelegenheit

    Kann man gelten lassen.
    Etwa so wie die Minutencents.

    Die Singularform allerdings, wie in dieser Formulierung: …

    > Und der Stundenkilometer ist nach diesem Muster eben der Kilometer der Stunde, der Kilometer pro Stunde.

    … assoziiert doch auffallend ungünstig dahingehend,
    dass ein Stundenkilometer und noch ein Stundenkilometer und noch sieben Stundenkilometer zusammen drei Stundenkilometer ergeben (können).

    p.s. – Copy-n-paste-ready LaTeX rendering test suite:

    “$\LaTeX $” is rendered as: $\LaTeX$.
    “$$ \LaTeX $$” is rendered as: $$\LaTeX$$.
    “$latex \LaTeX $” is rendered as: $latex \LaTeX$.
    “[latex \LaTeX ]” is rendered as: [latex] \LaTeX [/latex].

  2. @Markus Pössel / ad LaTeX

    »Im Haupttext schreibe ich [latex]\LaTeX[/latex], aber das scheint hier in den Kommentaren offenbar gerade nicht zu funktionieren.«

    Ein Blick in die Page Source offenbart, dass Ihr [latex]…[/latex] Input vom System interpretiert und durch \(…\) ersetzt wurde. Dies lässt sich auch direkt verwenden und funktionert dann prinzipiell in Kommentaren zur Eingabe von \(\mbox{\LaTeX}\)-Ausdrücken im Text, wie dieses Beispiel hier jetzt hoffentlich demonstriert.

    • P.S. Hat nicht geklappt wie erfofft; die mbox hat er nicht geschluckt.

      Noch ein Versuch: \({\LaTeX}\)

    • Chrys schrieb (11. Dezember 2016 @ 13:41):
      > […] durch \(&hellpi;\)

      Na, das ist doch schon mal ein brauchbarer Schritt in Richtung Editierhinweise für die (im Entstehen begriffene) SciLogs-Kommentarvorschau. (Vielen Dank, Chrys!)

      Basierend auf der Idee, mal den Rohtext dieser Seite anzuschauen, versuche ich auch nochmal darzustellen, was oben undokumentiert und (für mich) überraschend funktioniert hat:

      “$$ \LaTeX $$” is rendered as: $$ \LaTeX $$.

      p.s.
      Um aber auch meinen oben begonnenen Ansatz noch einen Schritt weiter zu verfolgen, oder ansonsten wenigstens ‘n paar (löbliche) Stundenkilometer draufzupacken:

      $$ \beta_A[~B~] := \text{lim}_{\varepsilon_{A \Xi} \rightarrow \varepsilon_{A B}}\left[~\left( \frac{\ell[~\varepsilon_{A \Xi}~]^2 – \ell[~\varepsilon_{B \Upsilon}~]^2}{\ell[~\varepsilon_{A \Xi}~]^2 + \ell[~\varepsilon_{B \Upsilon}~]^2} \right)~\mid_{\{B_{\Upsilon} \equiv B_{\circledR~A \! \circ \! \Xi} \}}
      ~right]. $$

      • @Frank Wappler / 11. Dezember 2016 @ 22:00

        Zwar wird ein einzelnes `$’ Token im HTML Code von MathJax als Math Mode Switch ignoriert, ein doppeltes aber nicht. D.h., $$…$$ wird behandelt wie \[…\] und dient wie gewohnt zur Darstellung einer vom Text abgesetzten Formel.

        • Chrys schrieb (12. Dezember 2016 @ 00:14):
          > Zwar wird ein einzelnes `$‘ Token im HTML Code von MathJax als Math Mode Switch ignoriert, ein doppeltes aber nicht.

          Eben. Deshalb bestand die Herausforderung darin, eine Zeichenfolge zu finden, die zwar („schlicht und einfach“) wie ein doppeltes Dollarzeichen dargestellt, aber dennoch „ als Math Mode Switch ignoriert“ würde, weil sie eigentlich, vom Quelltext her, gar kein doppeltes Dollarzeichen ist.

          > D.h., $$…$$

          Genau; wobei hinzugefügt sei (zur Offenlegung und damit verbundenen Dokumentation, insbesondere hinsichtlich der im Entstehen begriffenen SciLogs-Kommentarvorschau), dass „$<b> </b>$“ als diese (eine?) entsprechende Zeichenfolge geeignet ist.

          p.s.
          Mein obiger Versuch, ein Symbol aus dem „\( \text{amssymb} \) package“ zu benutzen, hat leider nicht geklappt wie erhofft. (Was sollen wir nur machen, falls wir irgendwann mal ausführlichere Kommentare zu Funktionen, deren Zielmenge Tupel reeller Zahlen sind geben wollten ?? …)

          Um aber trotzdem zu illustrieren, dass sich auf den einen oder anderen Stundenkilometer gut verzichten lässt:

          $$ \beta_A[~B~] := \text{lim}_{\varepsilon_{A \Xi} \rightarrow \varepsilon_{A B}}\left[~\left( \frac{\ell[~\varepsilon_{A \Xi}~]^2 – \ell[~\varepsilon_{B \Upsilon}~]^2}{\ell[~\varepsilon_{A \Xi}~]^2 + \ell[~\varepsilon_{B \Upsilon}~]^2} \right)~\mid_{\{B_{\Upsilon} \equiv B_{{\text{\textcircled{R}}}~A \! \circ \! \Xi} \}}~\right]. $$

          • @Frank Wappler / 12. Dezember 2016 @ 10:54

            Bei der textuellen Darstellung u.a. des Doppeldollars kam es mir jetzt nur darauf an, einen unsichtbaren Trenner einzufügen, um die Evaluation zu verhindern — und zwar möglichst so, dass einem dabei die superduper SciLogs-Blog-Software nicht eigenmächtig ins Handwerk zu pfuschen versucht.

            Prinzipiell kann MathJax auch mit AMS Extensions umgehen, doch alles hängt von der aufgerufenen config ab. Hier ist aktuell `config=default’ gesetzt, wo das mit den Extensions dann nicht klappt. Man darf wohl nicht zuviel erwarten…

            N.B. Funktioniert hier eigentlich die numerische HTML Codierung von Unicode Symbolen noch? Das testen wir doch gleich mal mit einem Ampèremeter.

          • Chrys schrieb (12. Dezember 2016 @ 15:19):
            > Bei der textuellen Darstellung u.a. des Doppeldollars kam es mir jetzt nur darauf an, einen unsichtbaren Trenner einzufügen, um die Evaluation zu verhindern

            Mir auch. Mein eigener Versuch, dafür “<!>” zu verwenden, erwies sich aber z.B. als untauglich.

            > Prinzipiell kann MathJax auch mit AMS Extensions umgehen […] Man darf wohl nicht zuviel erwarten…

            Von jemandem, der sich zutraut, “ zur Frage von Koordinaten und koordinatenfreien Darstellungen […] mal einen gesonderten Blogbeitrag machen zu können (und der nicht abgeneigt wäre, \( \text{LaTeX}\)-Ausdrucksmöglichkeiten dafür zu selbst benutzen oder zumindest den eventuellen Kommentatoren bereitzustellen), darf man aber doch ein “\( \mathbb R \)” erwarten.

            > N.B. Funktioniert hier eigentlich die numerische HTML Codierung von Unicode Symbolen noch?

            Das ist spätestens dann kein Ersatz, wenn und falls Kommentare zum Wie?-und-Warum? von (insbesondere Lorentzschen) Mannigfaltigkeiten abzugeben wären; also dass für je fünf unterscheidbare Beteiligte (\[ A, B, J, K, P\) ), die sich in einem Ereignis (\( \varepsilon_{ABJKP}\)) trafen und passierten,

            $$ 0 = \begin{vmatrix} 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_K~]~] \cr
            \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~]~] & 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_K~]~] \cr \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_J~]~] & 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_J, \beta_K~]~] \cr \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_K~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_K~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_J, \beta_K~]~] & 1 \end{vmatrix} $$

            sein soll; wobei

            $$ {}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~] := \text{Arccos}\left[~\frac{1}{\beta_A[~P~]} \, \frac{1}{ \beta_B[~P~] } \, \left( \sqrt{ \frac{(1 – \beta_A[~P~]^2) \, (1 – \beta_A[~Q~]^2)}{(1 – \beta_P[~Q~]^2)} } – 1 \right) ~\right].$$

            p.s.
            > testen wir doch gleich mal mit einem Ampèremeter.

            Da lob ich mir (meine schlichteren Tests mit) Jahrestonnen, Wochenfestmetern, oder wenigstens Schichtfestmetern,

          • Nachdem Sie jetzt Ihre Tests durchgeführt haben und wissen, was geht und was nicht, würde ich die entsprechenden Kommentare gerne löschen – auf die anderen Leser dürften sie eher abschreckend wirken.

            Wenn Sie möchten, können Sie gerne zusammenfassen, was Sie beim herausgefunden haben; das ist dann ja wirklich ein Mehrwert.

            (Und im Gegensatz zu Ihren Erwartungen: Ich habe mit der technischen Umsetzung der LaTeX-Codierung im WordPress-System von SciLogs nichts zu tun – wenn Sie konkrete Vorschläge haben, kann ich das gerne weitergeben, aber ich kann Ihnen keine Wunsch-Symbole aus dem Hut zaubern!)

          • Markus Pössel schrieb (13. Dezember 2016 @ 10:42):
            > Nachdem Sie jetzt Ihre Tests durchgeführt haben

            Wenn der Administrator eines SciLogs das so formuliert, egal welche(r) Kommentator(en) damit im Einzelnen angesprochen werden sollte(n), dann wird es allein schon dadurch zum unumstößlichen Fakt:
            Die Durchführung aller in Frage kommenden Tests gehört der Vergangenheit an; und den Gedanken an einen dafür ansonsten vielleicht tauglichen “just another”-Threads müssen wir hier begraben.

            > würde ich die entsprechenden Kommentare gerne löschen – auf die anderen Leser dürften sie eher abschreckend wirken.

            Wenig schmeichelhaft, dass dieses SciLog solche Leser hätte, oder haben wollte.
            Aber wenn ein Administrator das so formuliert, egal welche Kommentare damit im Einzelnen angesprochen wären, dann wohl dem, der sich noch Kopien machen konnte.

            > Wenn Sie möchten, können Sie gerne zusammenfassen, was Sie beim herausgefunden haben; das ist dann ja wirklich ein Mehrwert.

            Eine Einladung, einen Gastbeitrag “zur Frage von Koordinaten und koordinatenfreien Darstellungen” zu verfassen, ist das offenbar nicht. Hoffentlich wird den Lesern eine Kommentarvorschau (und entsprechende Editier-Dokumentation) zur Verfügung stehen, wenn bzw. falls ein Beitrag dazu dennoch in diesem SciLog erscheinen sollte.

          • (1) Noch einmal: ich bin kein Administrator. Ich kann keine Plugins installieren, sonstwie direkt beeinflussen, wie LaTeX angezeigt wird oder ob und wie es eine Kommentar-Vorschaufunktion geben kann oder wird. Keiner der SciLogs-Autoren hat derartige Administratorrechte.

            (2) Dass Leser unter einem Artikel zum Thema Stundenkilometer, Wissenschaft und Sprache keine seitenlangen Ausführungen über LaTeX-Befehle und Testformeln lesen möchten, die keinen direkten Bezug zum Hauptbeitrag haben, ist aus meiner Sicht naheliegend und verständlich. Die Existenz solcher Leser anzuzweifeln finde ich weltfremd, sie über das “wenig schmeichelhaft” abzuqualifizieren klingt in meinen Ohren durchaus arrogant.

          • @Frank Wappler

            Bevor hier alle Tests gelöscht werden, sei rasch noch ein möglicherweise irgendwie erhellender Link auf das MathJax default config file gegeben. Demnach werden AMSmath und AMSsymbols nicht by default geladen. Mir ist allerdings weder klar, worauf die “ver=1.2.1” bei der SciLogs config zu beziehen ist, noch wieso e.g. das \text command dann in den Wapplerschen Experimenten offenbar funktioniert hat.

            Falls AMSmath geladen ist, sollte jedenfalls das Logo darstellbar sein, etwa so \(\text{\AmS}\). Oder vielleicht doch so \({\AmS}\)? (Letzteres würde in einem LaTeX Dokument jedoch eine Fehlermeldung produzieren.)

          • P.S. Die Sache mit dem \text command hat sich inzwischen bei mir weitestgehend geklärt. Bleibt festzuhalten, dass bei \text wie bei \mbox der als Argument übergebene String hier verbatim genommen wird, anders als sonst üblich. Und ich korrigiere mich: \AmS im Math Mode sollte normalerweise keine Fehlermeldung, sondern nur ein leicht fehlerhaftes Logo produzieren.

          • Chrys schrieb (14. Dezember 2016 @ 23:15):
            > […] Demnach werden AMSmath und AMSsymbols nicht by default geladen. […]

            Mich hat jedenfalls überrascht, und deshalb um so mehr verunsichert, dass das Blackboard-bold-R zum Vorschein kommt, obwohl das Cirkel-centrierte-R Ärger machte.

            Da komme ich leider nicht weiter ohne ein direkte(re)s Vorbild, oder eine Möglichkeit zum systematischen Ausprobieren, oder das Abrücken von der Notation für “indication of receiving (registering, recording, reflecting) a signal indication”, die ich bisher bevorzuge (weil sie so günstig durch entsprechende Notationen für “indication simultaneous to some particular indication” und für “indication of coincidence with some particular participant” ergänzt wird).

            Also nochmals vielen Dank für die Bemühungen soweit; aber meine Tageskalorien setze ich lieber dann ein, wenn und falls das oben Erarbeitete in diesem SciLog wieder sachdienlich wird.

          • @Frank Wappler / 15. Dezember 2016 @ 11:13

            »Mich hat jedenfalls überrascht, und deshalb um so mehr verunsichert, dass das Blackboard-bold-R zum Vorschein kommt, obwohl das Cirkel-centrierte-R Ärger machte.«

            Das Blackboard-bold-R ist in amsfonts, nicht in amssymb, und das erstgenannte Package wird offenbar implizit geladen. Entsprechendes wäre für amstext zu konstatieren, weshalb das mit dem \text command hier funktioniert.

          • Markus Pössel schrieb (13. Dezember 2016 @ 15:07):
            > (1) Noch einmal: ich bin kein Administrator. […]

            Und ich werde mich davor hüten, jemandem zu widersprechen, der mit dem Löschen von Kommentaren drohen kann.
            (Insbesondere von Kommentaren, in denen öffentlich um die Einrichtung einer SciLogs-Kommentarvorschau gebeten wurde …)

  3. Schreibe “\<b></b>( \LaTeX \<b></b>)”, um “\( \LaTeX \)” zu sehen.

    Schreibe “\( \LaTeX \)”, um “\( \LaTeX \)” zu sehen.

    \(\href{https://scilogs.spektrum.de/relativ-einfach/latex-spielwiese}{\text{If you don’t use it }}{\small{\text{you }}}{\scriptsize{\text{lose }}}{\tiny{\text{it. }}}\)

  4. Die Anzeige des Teilnehmers \(A\) beim Koinzidenz-Ereignis \(\varepsilon_{A X}\) (d.h. beim Treffen, im Vorübergehen, der Teilnehmer \(A\) und \(X\)) ist:
    \(A_{{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} X}\).

  5. Gleichzeitigkeit von \(A\)s Anzeige \(A_{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} X}\) (beim Koinzidenz-Ereignis \(\varepsilon_{A X}\) und \(B\)s Anzeige \(B_{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} Y}\) (beim Koinzidenz-Ereignis \(\varepsilon_{B Y}\) bedeutet:

    $$
    \begin{eqnarray*}
    A_{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} X} \equiv A_{{\href{“simultaneous.to”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} }}B {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} Y} & \Leftrightarrow & \cr
    B_{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} Y} \equiv B_{{\href{“simultaneous.to”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} X} & \Leftrightarrow & \cr
    \exists M \, | \, \forall \Psi : M_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Psi} & \equiv & M_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Psi}, \cr
    \forall \Xi : \, \, \, A_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Xi} & \equiv & A_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Xi}, \cr
    \forall \Upsilon : \, \, B_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Upsilon} & \equiv & B_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Upsilon} \text{ and} \cr
    M_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} X} & \equiv & M_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} Y}.
    \end{eqnarray*}
    $$

  6. Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb (4. Januar 2017 @ 15:42):
    > Wie also setzt die ART die Federkraft Ihres Schreibtischstuhls, die Sie daran hindert, in den Erdmittelpunkt frei zu fallen, ins Gleichgewicht mit dem, was man landläufig „Schwerkraft“ nennt?

    Zumindest vom „Betrag“ her (um eine eingehendere Erörterung von „Richtung“ in diesem Kommentar zu ersparen):

    $$F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] := m_A \, c \, \mathop{\text{lim}}_{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \rightarrow 0} \left[ \, \frac{1}{2 \, \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \, \sqrt{ 2 + 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 + 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} } \right)^2 \, ] – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 } \, \right],$$

    wobei \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) den Betrag der (z.B. durch eine Feder) auf den Beteiligten \( A \) im Ereignis \( \varepsilon_{A P} \) (d.h. dem Koinzidenzereignis, an dem die Beteiligten \( A \) und \( P \) gemeinsam, „im Passieren“ teilnahmen) ausgeübten Kraft bezeichnet,
    \( m_A \) die (sinnvoller Weise positive) Masse des Beteiligten \( A \),
    \( \ell \) die Werte der Lorentzschen Distanzen zwischen je zwei Koinzidenzereignissen,
    und \( \Xi \) bzw. \( \Upsilon \) als Variable für betreffende Beteiligte stehen,
    und wobei der Beteiligte \( A \) an allen in der Formel auftretenden Ereignissen teilnahm, so dass sich all diese Ereignisse entsprechend ordnen lassen und es gilt:
    $$ 0 \lt \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ], $$
    $$ 0 \lt \ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ], $$

    sowie (deshalb)
    $$ 0 \lt \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] $$

    und
    $$ 0 \le 2 + 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 + 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} } \right)^2 \, ] – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2. $$

    Dazu noch zwei Bemerkungen:
    Die eventuelle Charakterisierung des Kraftbetrags \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) als „Schwer“ oder „Inertial“ kann nicht aus den in der Formel auftretenden Ereignissen allein erschlossen werden, sondern erfordert die Betrachtung bzw. die Bewertung der Lorentzschen Distanzen hinsichtlich geeigneter zusätzlicher Ereignisse (an denen insbesondere \( A \) nicht teilgenommen hatte).

    Eine darauf basierende eventuelle Unterscheidung und (formal) entsprechende Bezeichnung der Masse \( m_A \) als \( m_A^{\text{schwer}} \) oder \( m_A^{\text{inertial}} \) bleibt allerdings jenen vorbehalten, die in der Vorstellung befangen sind, dass der Kraftbetrag \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) als eine „dynamische Messgröße“ an sich messbar sei, und nicht nur die „geometrische Messgröße“ \( \frac{F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ]}{m_A \, c} \).

  7. Frank Wappler schrieb (5. Januar 2017 @ 16:54):
    > Zumindest vom „Betrag“ her […]\( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] := \) […]
    > […] wobei […]

    In dieser vorausgegangenen Spielwiesen-Übung befanden sich (erwartbarer Weise) noch einige Fehler bzw. eher ästhetische Mängel, die ich hiermit zu berichtigen versuchen möchte:

    Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb (4. Januar 2017 @ 15:42):
    > Wie also setzt die ART die Federkraft Ihres Schreibtischstuhls, die Sie daran hindert, in den Erdmittelpunkt frei zu fallen, ins Gleichgewicht mit dem, was man landläufig „Schwerkraft“ nennt?

    Zumindest vom „Betrag“ her (um eine eingehendere Erörterung von „Richtung“ in diesem Kommentar zu ersparen):

    $$
    F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] := m_A \, c \, \mathop{\text{lim}}_{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \rightarrow 0} \left[ \, \frac{1}{2 \, \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \, \sqrt{
    \begin{matrix}
    \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \cr + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – 2 \cr
    – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 \end{matrix}
    } \, \right].$$

    wobei \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) den Betrag der (z.B. durch eine Feder) auf den Beteiligten \( A \) im Ereignis \( \varepsilon_{A P} \) (d.h. dem Koinzidenzereignis, an dem die Beteiligten \( A \) und \( P \) gemeinsam, „im Passieren“ teilnahmen) ausgeübten Kraft bezeichnet,
    \( m_A \) die (sinnvoller Weise positive) Masse des Beteiligten \( A \),
    \( \ell \) die Werte der Lorentzschen Distanzen zwischen je zwei Koinzidenzereignissen,
    und \( \Xi \) bzw. \( \Upsilon \) als Variable für betreffende Beteiligte stehen,
    und wobei der Beteiligte \( A \) an allen in der Formel auftretenden Ereignissen teilnahm, so dass sich all diese Ereignisse entsprechend ordnen lassen und es gilt:
    $$ 0 \lt (\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ])^2, $$
    $$ 0 \lt (\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ])^2, $$

    sowie (deshalb)
    $$ 0 \lt (\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ])^2 $$

    und (“Subadditivität”)

    $$
    \begin{matrix}
    \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 & \cr + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – 2 & \cr
    – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 & \ge 0.\end{matrix}
    $$

    Die beiden schon oben gemachten Bemerkungen bestehen unverändert:
    Die eventuelle Charakterisierung des Kraftbetrags \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) als „Schwer“ oder „Inertial“ kann nicht aus den in der Formel auftretenden Ereignissen allein erschlossen werden, sondern erfordert die Betrachtung bzw. die Bewertung der Lorentzschen Distanzen hinsichtlich geeigneter zusätzlicher Ereignisse (an denen insbesondere \( A \) nicht teilgenommen hatte).

    Eine darauf basierende eventuelle Unterscheidung und (formal) entsprechende Bezeichnung der Masse \( m_A \) als \( m_A^{\text{schwer}} \) oder \( m_A^{\text{inertial}} \) bleibt allerdings jenen vorbehalten, die in der Vorstellung befangen sind, dass der Kraftbetrag \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) als eine „dynamische Messgröße“ an sich messbar sei, und nicht nur die „geometrische Messgröße“ \( \frac{F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ]}{m_A \, c} \).

  8. Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb (4. Januar 2017 @ 15:42):
    > Wie also setzt die ART die Federkraft Ihres Schreibtischstuhls, die Sie daran hindert, in den Erdmittelpunkt frei zu fallen, ins Gleichgewicht mit dem, was man landläufig „Schwerkraft“ nennt?

    In Fortsetzung des obigen Antwort-Anfangs (Zum Kraft-Begriff in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Teil 1: Kraft-Betrag) hier nun die Fortsetzung:

    Zum Kraft-Begriff in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Teil 2: Kraft-Richtung

    Der in Teil 1 vorgestellte Kraft-Begriff, hinsichtlich eines bestimmten Beteiligten, \(A\), und einems bestimmten Ereignisses \(\varepsilon_{A P}\), an dem \(A\) teilgenommen hatte,
    beruhte auf der Betrachtung von Mengen i.A. zahlreicher Ereignisse,
    \( \{ \, \varepsilon_{A \Xi} \, \}, \{ \, \varepsilon_{A \Upsilon} \} \, \) , an denen \(A\) (ebenfalls) teilgenommen hatte;
    und der Bewertung der geometrischen Beziehungen zwischen diesen Ereignissen durch Werte (bzw. Verhältnisse der Werte) ihrer paarweisen Lorentzschen Distanzen \(\ell\).

    Da \(A\) an all diesen Ereignissen teilgenommen hatte, lässt sich diese Ereignismenge $$ \mathcal E_A := \{ \, \varepsilon_{A \Xi} \, \} \cup \varepsilon_{A P} \cup \{ \, \varepsilon_{A \Upsilon} \}
    $$
    insgesamt deshalb entsprechend ordnen und (wie in Teil 1 benutzt) von Null verschiedene Werte \(\ell\) voraussetzen und ggf. ermitteln.

    Ausgehend von dieser gesamten Ereignismenge \(\mathcal E_A\) lassen sich weitere Ereignisse identifizieren, an denen \(A\) nicht unbedingt teilgenommen hatte;
    z.B. sei Ereignis \(\varepsilon_{J K}\) dadurch bestimmt, dass

    $$\ell[ \, \varepsilon_{A X}, \varepsilon_{J K}\, ] + \ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{A Y}\, ] = \ell[ \, \varepsilon_{A X}, \varepsilon_{A Y}\, ]$$

    und

    $$\frac{\ell[ \, \varepsilon_{A X}, \varepsilon_{A P}\, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{A X}, \varepsilon_{J K}\, ]} = \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Y}\, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{A Y}\, ]}, $$

    für jedes Ereignispaar \( \varepsilon_{A X} \in \{ \, \varepsilon_{A \Xi} \, \} \) und \( \varepsilon_{A Y} \in \{ \, \varepsilon_{A \Upsilon} \, \} \).

    (Eine Diskussion der “pathologischen Fälle bzw. Regionen”, in denen sich ein entsprechend definiertes Ereignis \(\varepsilon_{J K}\) eventuell nicht finden lässt, oder nicht eindeutig bestimmbar wäre, überlasse ich vorerst gern jenen, denen das Privileg gegeben ist, ganze SciLogs-Beiträge zu verfassen.)

    Betrachtung von Grenzübergängen wie in Teil 1,
    \( \mathop{\text{lim}}_{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon}\, ] \rightarrow 0}\) erlaubt, eine bestimmte Menge von Ereignissen \( \{ \, \varepsilon_{\mathcal J \mathcal K} \, \} \) wie beschrieben zu identifizieren und zu ordnen.

    Jede solche geordnete Menge (an sich) kann als Repräsentant der Kraft-Richtung betrachtet werden, die dem in Teil 1 gefundenen Kraft-Betrag entspricht.

    Es bleibt allerdings zu beachten, dass die Werte der Lorentzschen Distanzen zwischen diesen identifizierten Ereignissen alle Null sein können (und in “vernünftigen Fällen” sicherlich auch sind).

    Um diese Ereignismengen \( \{ \, \varepsilon_{\mathcal J \mathcal K} \, \} \) eventuell als (Teilmengen von) Kurven zu charakterisieren (die anschließend als kontinuierlich parametrisierte Wege darstellbar wären),
    und darüberhinaus, um zu bewerten, ob die betreffenden, in Betrachtung des Grenzüberganges erhaltenen verschiedenen Kurven dahingehend “konvergent” wären, dass sie sich im Ereignis \(\varepsilon_{A P}\) berühren, aber nicht schneiden (tangential zueinander sind),
    erfordert deshalb andere geometrische Bewertungen der Beziehungen von Ereignispaaren (die zwar ebenfalls aus Lorentzschen Distanzen zwischen geeigneten zusätzlichen Ereignissen definierbar sind, worauf aber in diesem Kommentar nicht näher eingegangen werden soll).

  9. Herr Senf schrieb (17. Januar 2017 @ 18:32):
    > [… dass] Newton (absichtlich) der Grenzfall
    der ART ist

    Natürlich lassen sich im Rahmen der ART gewisse Grenzfälle untersuchen; insbesondere

    – der Fall “geringer Geschwindigkeit(en)”:
    $$
    \begin{matrix}
    \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 & \cr + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – 2 & \cr
    – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 & \ll 1,\end{matrix}
    $$
    für alle Ereignisse, an denen ein bestimmter, in Betracht gezogener Beteiligter \( A \) teilnahm, mit den entsprechenden Wert der Lorentschen Distanz \( \ell\), und

    – der Fall “kleiner Masse(n)”:
    $$ \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \ll 1 / \kappa_{\text{max}},$$
    für alle Ereignisse, an denen ein bestimmter, in Betracht gezogener Beteiligter \( A \) teilnahm, sowie für das Maß \( \kappa_{\text{max}} \) der (maximalen) Krümmung der Region, in der \( A \) enthalten war, d.h. der maximale Wert \( \kappa \) der (betragsmäßig kleinsten) Lösungen der Gram-Determinanten-Gleichung
    $$
    \small{
    0 =
    \begin{vmatrix}
    1 & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{F G} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{J K} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{U V} \, ] \, ] \cr
    \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{F G} \, ] \, ] & 1 & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{J K} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{U V} \, ] \, ] \cr
    \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{J K} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{J K} \, ] \, ] & 1 & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{U V} \, ] \, ] \cr
    \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & 1 & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{P Q}, \varepsilon_{U V} \, ] \, ] \cr
    \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B},\varepsilon_{U V} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G},\varepsilon_{U V} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{J K},\varepsilon_{U V} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{P Q},\varepsilon_{U V} \, ] \, ] & 1
    \end{vmatrix},
    }
    $$
    für fünf (i.A. beliebige) Ereignisse \( \varepsilon_{A B} \),\( \varepsilon_{F G} \), \( \varepsilon_{J K} \), \( \varepsilon_{P Q} \), \( \varepsilon_{U V} \) in der betrachteten Region, in der sich Teilnehmer \( A \) aufhielt.

    Aber zu behaupten, dass dabei nachvollziehbar auf Newton Bezug genommen würde, hieße Newtons Nachvollziehbarkeit zu überschätzen, und die nachvollziehbaren Grundlagen der ART zu verleugnen.

    • “zu behaupten, dass dabei nachvollziehbar auf Newton Bezug genommen würde”

      Wieso? steht doch da … ℓ[ε AΞ ,ε AΥ ]≪1/κ max

      • Herr Senf schrieb (18. Januar 2017 @ 14:38):
        > Wieso? steht doch da …

        Wo hätte sich Newton denn über Lorentzsche Distanzen geäußert,
        oder über Krümmung bzw. insbesondere den Krümmungsparameter \( \kappa \),
        oder (und darauf käme es wohl ganz besonders an) darüber, wie
        deren Werte zumindest im Prinzip zu messen sind
        ??

        p.s.
        Frank Wappler schrieb (18. Januar 2017 @ 11:05):
        > – der Fall “kleiner Masse(n)”:
        > $$ \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \ll 1 / \kappa_{\text{max}},$$

        … wäre besser/allgemeiner so auszudrücken:
        $$ \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \, \kappa_{\text{max}} \ll 1.$$

        > […] d.h. der maximale Wert \( \kappa \)der (betragsmäßig kleinsten) Lösungen der Gram-Determinanten-Gleichung

        Die allgemeine Lösung \( \kappa = 0 \) käme jeweils nur dann in Frage, falls auch die entsprechende Cayley-Menger-Determinante verschwindet.

  10. Identifikation gegenüber einander lichtartiger Ereignispaare anhand gegebener Lorentzscher Distanzen

    Die Bewertung von geometrischen Beziehungen zwischen Ereignisspaaren (aus Ereignismenge \( \mathcal E \))duch Lorentzsche Distanzen, $$\ell :

    $$ \ell : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow [ \, 0 … \infty \, ), $$

    ordnet (definitionsgemäß) allen Ereignispaaren, deren Beziehung gegenüber einander jeweils nicht zeitartig war (d.h. so dass kein identifizierbarer Beteiligter auffindbar oder auch nur denkbar ist, der jeweils an beiden Ereignissen des Ereignispaares teilgenommen hätte), den Wert \( \ell = 0 \) zu;
    drückt damit also an sich keine quantitative Differenzierung von geometrischen Beziehungen zwischen solchen, gegenüber einander jeweils nicht zeitartigen Ereignisspaaren aus (wie man sie insbesondere von „Distanzen, im üblichen Sinne; zwischen Paaren identifizierbarer Beteiligter“ her gewohnt sein mag);
    und drückt an sich nicht einmal eine qualitative Differenzierung zwischen „raumartigen“ und „lichtartigen“ Ereignispaaren aus (wie sie von Raumzeitintervallen (im Flachen) : $$ s^2 \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow \mathbb R $$
    her bekannt ist).

    Folglich lässt sich die Frage stellen (und sofern die oben beschriebene Eigenschaft Lorentzscher Distanzen als ein Mangel betrachtet würde, stellt sie sich mit besonderer Dringlichkeit):

    Lassen sich qualitative und quantitative Differenzierungen von geometrischen Beziehungen zwischen nicht-zeitartigen Ereignispaaren zumindest anhand von \( \ell \)-Werten ausdrücken, die insgesamt (für eine geeignete Ereignismenge \( \mathcal E \)) gegeben sind?

    Im hiermit vorgelegten Kommentar soll der erste Teil dieser Frage (also die Möglichkeit der qualitativen Differenzierung zwischen „raumartigen“ und „lichtartigen“ Ereignispaaren) skizziert werden;
    der zweite Teil (d.h. die quantitative Bewertung von gegenüber einander raumartigen Ereignispaaren, anhand der auf einer geeigneten Ereignismenge gegebenen Lorentzschen Distanzen) in einem nachfolgenden Kommentar.

    Es sei also für zwei geeignete Ereignisse
    \( \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \in \mathcal E \) gegeben:

    $$\ell[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \, ] = \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{J P} \, ] = 0.$$

    Die folgende Forderung lässt sich aufstellen und auswerten:

    Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
    lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{J B} \in \mathcal E \) finden, für das \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) sowie
    $$ \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J B} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ]} \right) + \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ]} \right) = 1 $$
    erfüllt ist,
    und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{J F} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) sowie
    $$ \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J F} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ]} \right) + \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ]} \right) = 1 $$
    gilt:
    $$\ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.$$

    Eine ähnliche Forderung (diesmal „von K her“) lässt sich folgendermaßen aufstellen und auswerten:

    Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{K Y} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K Y} \, ] \gt 0 \)
    lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{K X} \in \mathcal E \) finden, für das \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ] \gt 0 \) sowie
    $$ \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K Y} \, ]} \right) + \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{K X}, \varepsilon_{K Y} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K Y} \, ]} \right) = 1 $$
    erfüllt ist,
    und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{K V} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K V} \, ] \gt 0 \) sowie
    $$ \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K V} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ]} \right) + \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{K V}, \varepsilon_{K X} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ]} \right) = 1 $$
    gilt:
    $$\ell[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K V} \, ] \gt 0.$$

    Sind diese beiden Forderungen erfüllt, dann heißen die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) „gegenüber einander lichtartig“ (und insbesondere „mit Signalfront von \( \varepsilon_{J P} \) nach \( \varepsilon_{K Q} \)“).

    Ist keine dieser beiden Forderungen erfüllt, dann heißen die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) „gegenüber einander raumartig“.

    (Die denkbaren Fälle, dass genau nur eine dieser beiden Forderungen erfüllt wäre, mögen als „interessant“ bzw. „pathologisch“ gelten, und hier nicht näher untersucht werden.)

  11. Identifikation gegenüber einander lichtartiger Ereignispaare anhand gegebener Lorentzscher Distanzen

    Die Bewertung von geometrischen Beziehungen zwischen Ereignisspaaren (aus Ereignismenge \( \mathcal E \)) duch Lorentzsche Distanzen, $$\ell :

    $$ \ell : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow [ \, 0 … \infty \, ), $$

    ordnet (definitionsgemäß) allen Ereignispaaren, deren Beziehung gegenüber einander jeweils nicht zeitartig war (d.h. so dass kein identifizierbarer Beteiligter auffindbar oder auch nur denkbar ist, der jeweils an beiden Ereignissen des Ereignispaares teilgenommen hätte), den Wert \( \ell = 0 \) zu;
    drückt damit also an sich keine quantitative Differenzierung von geometrischen Beziehungen zwischen solchen, gegenüber einander jeweils nicht zeitartigen Ereignisspaaren aus (wie man sie insbesondere von „Distanzen, im üblichen Sinne; zwischen Paaren identifizierbarer Beteiligter“ her gewohnt sein mag);
    und drückt an sich nicht einmal eine qualitative Differenzierung zwischen „raumartigen“ und „lichtartigen“ Ereignispaaren aus (wie sie von Raumzeitintervallen (im Flachen) : $$ s^2 : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow \mathbb R $$
    her bekannt ist).

    Folglich lässt sich die Frage stellen (und sofern die oben beschriebene Eigenschaft Lorentzscher Distanzen als ein Mangel betrachtet würde, stellt sie sich mit besonderer Dringlichkeit):

    Lassen sich qualitative und quantitative Differenzierungen von geometrischen Beziehungen zwischen nicht-zeitartigen Ereignispaaren zumindest anhand von \( \ell \)-Werten ausdrücken, die insgesamt (für eine geeignete Ereignismenge \( \mathcal E \)) gegeben sind?

    Im hiermit vorgelegten Kommentar soll der erste Teil dieser Frage (also die Möglichkeit der qualitativen Differenzierung zwischen „raumartigen“ und „lichtartigen“ Ereignispaaren) skizziert werden;
    der zweite Teil (d.h. die quantitative Bewertung von gegenüber einander raumartigen Ereignispaaren, anhand der auf einer geeigneten Ereignismenge gegebenen Lorentzschen Distanzen) in einem nachfolgenden Kommentar.

    Es sei also für zwei geeignete Ereignisse
    \( \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \in \mathcal E \) gegeben:

    $$\ell[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \, ] = \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{J P} \, ] = 0.$$

    Die folgende Forderung (“auf \( J \) zu” ) lässt sich aufstellen und auswerten:

    Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
    lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{J B} \in \mathcal E \) finden, für das
    \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J B} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) erfüllt ist,
    und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{J F} \in \mathcal E \) mit
    \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J F} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) gilt:
    $$\ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.$$

    Eine ähnliche Forderung (diesmal “von \( K \) her”) lässt sich folgendermaßen aufstellen und auswerten:

    Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{K Y} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K Y} \, ] \gt 0 \)
    lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{K X} \in \mathcal E \) finden, für das
    \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{K X}, \varepsilon_{K Y} \, ] \gt 0 \) erfüllt ist,
    und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{K V} \in \mathcal E \) mit
    \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K V} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{K V}, \varepsilon_{K X} \, ] \gt 0 \) gilt:
    $$\ell[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K V} \, ] \gt 0.$$

    Sind diese beiden Forderungen erfüllt, dann heißen die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) „gegenüber einander lichtartig“ (und insbesondere „mit Signalfront von \( \varepsilon_{J P} \) nach \( \varepsilon_{K Q} \)“).

    Ist keine dieser beiden Forderungen erfüllt, dann heißen die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) „gegenüber einander raumartig“.

    (Die denkbaren Fälle, dass genau nur eine dieser beiden Forderungen erfüllt wäre, mögen als „interessant“ bzw. „pathologisch“ gelten, und hier nicht näher untersucht werden.)

    • Frank Wappler schrieb (16. Februar 2017 @ 12:09):
      > […] Die folgende Forderung (“auf \( J \) zu” ) lässt sich aufstellen und auswerten:
      > Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
      > lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{J B} \in \mathcal E \) finden, für das
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J B} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) erfüllt ist,
      > und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{J F} \in \mathcal E \) mit
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J F} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) gilt:
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.\) […]

      Diese Forderung mag übertrieben kompliziert erscheinen …

      Weil Lorentzsche Distanzen (sofern sie von Null verschieden sind!) superadditiv sind (d.h. das Gegenteil der Dreiecksungleichung erfüllen; natürlich nicht zu verwechseln mit der “umgekehrten Darstellung“, die äquivalent zur Dreiecksungleichung ist),
      beinhaltet die obige Forderung jedenfalls, dass:

      zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
      schlicht \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.\) gilt.

      Auch diese vereinfachte Forderung, zusammen mit der entsprechend vereinfachten Forderung “von \( K \) her”, mag sich (insbesondere im Folgenden) als geeignet erweisen, um die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) als „gegenüber einander lichtartig“ und „mit Signalfront von \( \varepsilon_{J P} \) nach \( \varepsilon_{K Q} \)“ auszuzeichnen (und von „gegenüber einander raumartigen“ Ereignispaaren zu unterscheiden) ;
      d.h. formal (und als Abkürzung im Folgenden) $$ \varepsilon_{J P} \nearrow \varepsilon_{K Q}.$$

    • Frank Wappler schrieb (16. Februar 2017 @ 12:09):
      > […] Die folgende Forderung (“auf \( J \) zu” ) lässt sich aufstellen und auswerten:
      > Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
      > lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{J B} \in \mathcal E \) finden, für das
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J B} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) erfüllt ist,
      > und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{J F} \in \mathcal E \) mit
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J F} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) gilt:
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.\) […]

      Diese Forderung mag übertrieben kompliziert erscheinen …

      Weil Lorentzsche Distanzen (sofern sie von Null verschieden sind!) superadditiv sind (d.h. das Gegenteil der Dreiecksungleichung erfüllen; natürlich nicht zu verwechseln mit der “umgekehrten Darstellung“, die äquivalent zur Dreiecksungleichung ist),
      beinhaltet die obige Forderung jedenfalls, dass:

      zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
      schlicht \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.\) gilt.

      Auch diese vereinfachte Forderung, zusammen mit der entsprechend vereinfachten Forderung “von \( K \) her”, mag sich (insbesondere im Folgenden) als geeignet erweisen, um die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) als „gegenüber einander lichtartig“ und „mit Signalfront von \( \varepsilon_{J P} \) nach \( \varepsilon_{K Q} \)“ auszuzeichnen (und von „gegenüber einander raumartigen“ Ereignispaaren zu unterscheiden) ;
      d.h. formal (und als Abkürzung im Folgenden) $$ \varepsilon_{J P} \stackrel{\Rightarrow}{\sim} \varepsilon_{K Q}.$$

  12. Quantative Bewertung raumartiger Abstände: Zielstellung und Strategie

    Um das im vorausgegangenen Kommentar (“Identifikation gegenüber
    einander lichtartiger Ereignispaare anhand gegebener Lorentzscher
    Distanzen”, 16. Februar 2017 @ 12:09, sowie der anschließenden Bemerkung 17. Februar 2017 @ 11:06) Erreichte einzuordnen, und folgende Betrachtungen vorzubereiten, sei das Ziel dieser Kommentarreihe hiermit ein weiteres Mal konkret formuliert:

    Ausgehend von gegebenen Werten \( \ell \) der Lorentzschen Distanzen zwischen Ereignispaaren aus einer betrachteten Ereignismenge \( \mathcal E \) soll
    “chronometrische Distanz” \( \chi : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow (\mathbb R \cup \{-\infty\}) \) so definiert werden, dass:

    – für gegenüber einander zeitartige Ereignispaare, z.B. die beiden (Koinzidenz-)Ereignisse \(\varepsilon_{A Q} \) und \(\varepsilon_{K Q} \) (mit mindestens einem Beteiligten, \(Q \), an beiden Ereignissen), gilt:
    \( \begin{align*} \, & \chi[ \, \varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{K Q} \, ] =
    \chi[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{A Q} \, ] := \\
    \, & -(\ell[ \, \varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{K Q} \, ] + \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{A Q} \, ]) \lt 0 \end{align*}\)
    (angepasst an die “Vorzeichen-Konvention “räumliche Abstände positiv”),

    – für gegenüber einander lichtartige Ereignispaare (und nur für diese, entsprechend der schon diskutierten Definition), z.B. für \( \varepsilon_{J P} \stackrel{\Rightarrow}{\sim} \varepsilon_{K Q} \), gilt:
    \( \chi[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \, ] = \chi[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{J P} \, ] := 0, \)

    – für alle anderen (d.h. gegenüber einander raumartigen) Ereignispaare, z.B. die beiden (Koinzidenz-)Ereignisse \(\varepsilon_{A Q} \) und \(\varepsilon_{J P} \), soll gelten:
    \( \chi[ \, \varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{J P} \, ] = \chi[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{A Q} \, ] \gt 0, \)

    – und schließlich: “Kompatibilität mit Raumzeit-Intervallen \(s^2 \)“;
    d.h. falls die Region mit der betrachteten Ereignismenge \( \mathcal E \) flach ist (sofern das anhand der gegebenen Werten \(\ell \) eindeutig feststellbar ist), dann sollen die in diesem Falle ermittelten chronometrischen Distanzen \( \chi_{\text{flach}} \) folgendermaßen mit den (nur in diesem Falle definierten bzw. messbaren bzw. gegebenen) Werten der Raumzeit-Intervalle \(s^2 \) zusammenhängen:
    \( \chi_{\text{flach}} := \text{sgn}[ \, s^2 \, ] \, \sqrt{ \text{sgn}[ \, s^2 \, ] \, s^2 } \).

    Allein durch diese Forderungen sind die Werte “chronometrischer Distanz \( \chi \)” zwar noch nicht eindeutig bestimmt; insbesondere noch nicht für Abstände zwischen gegenüber einander raumartigen Ereignispaaren in Regionen, die nicht flach sind.

    Trotzdem ist damit gerade für diese Fälle eine bestimmte Strategie, ein Algorithmus zur Ermittlung von \(\chi\)-Werten aus gegebenen \(\ell\)-Werten nahegelegt; nämlich:

    “Auf die so weit wie möglich selbe Weise, wie man Werte von Intervallen \(s^2\) für alle Paare einer Ereignismenge ermitteln würde, wenn man für die betreffende Ereignismenge zunächst nur die zeitartigen Intervall-Werte gegeben hätte;
    ohne dabei ausdrücklich die Definition von Flachheit einzusetzen,
    also ohne die gesuchten Intervall-Werte durch das Null-Setzen von Cayley-Menger-Determinanten zu errechnen.”

    Es wird deshalb im Folgenden darzulegen sein, wie eine Bestimmung der Werte von raumartigen Intervallen aus gegebenen zeitartigen Intervall-Werten (zwangsläufig “im Flachen”, aber weitgehend ohne ausdrückliches Berufen auf “Flachheit”) möglich ist. Wesentlich werden dabei sein:

    – die Identifizierung von Teilmengen der betrachteten Ereignismenge als “überall zeitartigen Kurven” (bzw. “Beteiligte”), und die Bestimmung ihrer Bogenlängen (“Dauern” \(\tau\)),

    – die Bestimmung, welche Ereignispaare gegenüber einander lichtartig waren (wie oben schon für allgemeine Fälle diskutiert wurde),

    – die Identifizierung von (lichtartigen) Pings zwischen verschiedenen Beteiligten, und Bestimmung der entsprechenden Ping-Dauern jedes Beteiligten.

  13. Ping-Beziehungen und Bewertung raumartig getrennter Ereignisse im Flachen

    Eine Methode zur quantitativen Bewertung von Paaren raumartig getrennter Ereignisse, die im allgemeinen anwendbar sein soll (um chronometrische Distanz \( \chi \) zu definieren bzw. deren Werte zu ermitteln), muss selbstverständlich und insbesondere auch in flachen Regionen einsetzbar sein;
    und in diesen Fällen Werte \( \chi_{\text{flach}} \) liefern, für die (wie oben gefordert) gilt:
    \( \chi_{\text{flach}} = \text{sgn}[ \, s^2 \, ] \, \sqrt{ s^2 \, \text{sgn}[ \, s^2 \, ] }\).

    Wie bereits beschrieben, soll zur Konstruktion der Methode Folgendes zur Verfügung stehen und eingesetzt werden:

    – die Identifikation, welche Beteiligten an welchen Ereignissen teilnahmen (bzw. die Identifikation von Ereignissen als eindeutige Koinzidenzen unterscheidbarer Beteiligter),

    – die Werte der Lorentzschen Distanz \( \ell \) zwischen allen Ereignispaaren, und

    – die Beurteilung, welche Paare von Ereignissen lichtartig voneinander getrennt waren;

    zusammen also insbesondere die Werte der Ping-Dauern \( \tau^{\text{ping}} \) zwischen (geeigneten, d.h. nicht unbedingt allen) Paaren von Beteiligten,

    wobei sich insbesondere die Ping-Dauer des Beteiligten \(A\) bzgl. des Beteiligten \(B\) und bzgl. \(A\)s Signal-Anzeige \(A_J\) als

    \(
    \tau A[ \, \_ J, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J \, ] :=
    \)

    \(
    \underset{n \to \infty}{\hbox{lim}} \Big[ \, \underset{\small{\text{Passanten } \Gamma}}{\hbox{inf}} \big[ \, \big\{ \, \sum_{k = 0}^{n – 1} \ell[ \, \varepsilon_{A \Gamma_{(k)}}, \varepsilon_{A \Gamma_{(k + 1)}} \, ] \, \big|
    \)
    \(
    \, A_{\Gamma_{(0)}} \equiv A_J, \qquad A_{\Gamma_{(n)}} \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J}, \qquad \ell[ \, \varepsilon_{A \Gamma_{(k)}}, \varepsilon_{A \Gamma_{(k + 1)}} \, ] \gt 0 \, \big\} \, \big] \, \Big]
    \)

    errechnet bzw. definiert,
    und \(B\)s Echoanzeige \(B_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} A {{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \equiv B_Q \) (sofern eine gefunden wurde) auch \(B\)s Anzeige der Koinzidenz mit einem geeigneten Beteiligten \(Q\) in deren eindeutigen Koinzidenz-Ereignis \( \varepsilon_{B Q} \) ist,
    sodass das Ereignispaar \(( \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} )\) zueinander lichtartig ist;
    und ebenso das Ereignispaar \(( \varepsilon_{B Q}, \varepsilon_{A Z})\) mit \(A\)s entsprechender Ping-Anzeige (sofern eine gefunden wurde) \( A_Z \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \).

    Im Folgenden sollen deshalb Ping-Beziehungen zwischen geeigneten Paaren von Beteiligten in einer flachen Region untersucht werden; und ob und wie aus entsprechenden Ping-Dauern auf Intervall-Werte \(s^2\) zwischen raumartig getrennten Ereignissen geschlossen werden kann;
    nämlich insbesondere auf den (von Null verschiedenen) Wert
    \(s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]\)
    betreffend die raumartig voneinander getrennten Ereignisse \( \varepsilon_{B Q} \) (das oben bereits beschrieben wurde) und \( \varepsilon_{A P} \) an dem \(A\) sowie (mindestens) ein weiterer geeigneter Passant \(P\) in Koinzidenz teilnahmen,
    so dass \(A\)s entsprechende Passage-Anzeige \(A_P\) nach \(A\)s oben diskutierter Signal-Anzeige \(A_J\) aber vor \(A\)s entsprechenden Ping-Anzeige \( A_Z \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \) wahrgenommen wurde,
    d.h. so dass sowohl
    \( \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] \gt 0 \)
    als auch
    \( \ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] \gt 0 \).

    Aus der Flachheitsbedingung für die beschriebenen vier Ereignisse,

    \(
    0 = \begin{vmatrix}
    0 & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 0 & 1 \cr
    1 & 1 & 1 & 1 & 0
    \end{vmatrix}
    \)

    zusammen mit der Bewertung für Paare lichtartiger Ereignisse (in flachen Regionen)

    \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] = 0, \qquad s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] = 0 \)

    ergibt sich (bei gegebenem Wert \( s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] \lt 0 \))

    – dass der Wert des zeitartigen Intervalls \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) keine obere Schranke hat;
    die entsprechende Ping-Dauer \(A\)s, für die gilt
    \(
    \tau A[ \, \_ J, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J \, ] := \tau A[ \, \_ J, \_ Z \, ] \le \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] = \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \, | }, \)
    demnach ebenfalls keine obere Schranke hat; und

    – dass der Wert des zeitartigen Intervalls \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) zwar eine untere Schranke hat, nämlich

    \(
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \ge -s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]
    \),

    was allerdings die entsprechende Ping-Dauer \(A\)s nicht nach unten einschränken kann.

    Falls jedoch außerdem \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\) der entsprechenden Lorentzschen Distanz zwischen den Ereignissen \(\varepsilon_{A J} \) und \(\varepsilon_{A Z}\) gleicht,
    sich \(A\) im Versuchsverlauf also “unbeschleunigt/frei bewegte“,
    und deshalb insbesondere die drei Ereignisse \(\varepsilon_{A J} \), \(\varepsilon_{A P} \) und \(\varepsilon_{A Z}\) gegenüber einander (zeitartig) gerade lagen, d.h. also falls auch gilt

    \(
    0 = \begin{vmatrix}
    0 & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 0 & 1 \cr
    1 & 1 & 1 & 0
    \end{vmatrix}
    \)

    dann ist die untere Schranke für \( \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] = \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) zwangsläufig auch die untere Schranke für \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\),

    und diese ergibt sich in diesem Fall als

    \( \tau A^{\text{frei}}[ \, \_ J, \_ Z \, ] \ge 2 \, \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]. \)

    Um den von Null verschiedenen Wert des Intervals (bzw. entsprechend der chronometrischen Distanz) zwischen zwei raumartig voneinander getrennten Ereignissen in einer flachen Region zu ermitteln, ließen sich folglich alle Beteiligten in Betracht zu ziehen, die

    – an dem einen oder dem anderen Ereignis teilnahmen,

    – Pings bzgl. des jeweils anderen Ereignisses wahrnahmen, und

    – sich dabei (mindestens) von Signal-Anzeige bis Ping-Anzeige “unbeschleunigt/frei bewegten”;

    – der geringste Wert \( \tau_{\text{min}}^{\text{ping}} \) aller von diesen Beteiligten ermittelten Ping-Dauern wäre auszuwählen;
    und schließlich “\( \chi_{\text{flach}} := -\frac{1}{2} \, \tau_{\text{min}}^{\text{ping}} \)” zu setzen.

    Allerdings erweist sich dieser einfache Methoden-Ansatz bei Anwendung in allegmeinen gekrümmten Regionen als untauglich hinsichtlich der Forderung, dass die so ermittelten Werte \( \chi \) für alle Paare raumartig getrennter Ereignisse von Null verschieden sein soll, um die quantitative Bewertung dieser Abstände zu gewährleisten.

    Die beschriebene Methode muss deshalb im Allgemeinen geeignet ergänzt und angepasst werden. Eine entscheidende Rolle wird dabei den Ping-Beziehungen zwischen mehreren geeigneten Beteiligten zukommen;
    basierend auf der Tatsache, dass in einer flachen Region zu jedem Beteiligten, der an einem bestimmten Ereignis teilnahm und sich durchwegs “unbeschleunigt/frei bewegte”
    sich andere Beteiligte finden lassen, (insbesondere auch solche, die sich ebenfalls durchwegs “unbeschleunigt/frei bewegten”),
    so dass deren gegenseitige Ping-Dauern jeweils durchwegs konstant blieben, sie also gegenüber einander “chronometrisch starr” blieben (und insbesondere sogar mit durchwegs gegenseitig gleichen Ping-Dauern).

  14. Ping-Beziehungen und Bewertung raumartig getrennter Ereignisse im Flachen

    Eine Methode zur quantitativen Bewertung von Paaren raumartig getrennter Ereignisse, die im allgemeinen anwendbar sein soll (um chronometrische Distanz \( \chi \) zu definieren bzw. deren Werte zu ermitteln), muss selbstverständlich und insbesondere auch in flachen Regionen einsetzbar sein;
    und in diesen Fällen Werte \( \chi_{\text{flach}} \) liefern, für die (wie oben gefordert) gilt:
    \( \chi_{\text{flach}} = \text{sgn}[ \, s^2 \, ] \, \sqrt{ s^2 \, \text{sgn}[ \, s^2 \, ] }\).

    Wie bereits beschrieben, soll zur Konstruktion der Methode Folgendes zur Verfügung stehen und eingesetzt werden:

    – die Identifikation, welche Beteiligten an welchen Ereignissen teilnahmen (bzw. die Identifikation von Ereignissen als eindeutige Koinzidenzen unterscheidbarer Beteiligter),

    – die Werte der Lorentzschen Distanz \( \ell \) zwischen allen Ereignispaaren, und

    – die Beurteilung, welche Paare von Ereignissen lichtartig voneinander getrennt waren;

    zusammen also insbesondere die Werte der Ping-Dauern \( \tau^{\text{ping}} \) zwischen (geeigneten, d.h. nicht unbedingt allen) Paaren von Beteiligten,

    wobei sich insbesondere die Ping-Dauer des Beteiligten \(A\) bzgl. des Beteiligten \(B\) und bzgl. \(A\)s Signal-Anzeige \(A_J\) als

    \(
    \tau A[ \, \_ J, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J \, ] :=
    \)

    \(
    \underset{n \to \infty}{\hbox{lim}} \Big[ \, \underset{\small{\text{Passanten } \Gamma}}{\hbox{inf}} \big[ \, \big\{ \, \sum_{k = 0}^{n – 1} \ell[ \, \varepsilon_{A \Gamma_{(k)}}, \varepsilon_{A \Gamma_{(k + 1)}} \, ] \, \big|
    \)
    \(
    \, A_{\Gamma_{(0)}} \equiv A_J, \qquad A_{\Gamma_{(n)}} \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J}, \qquad \ell[ \, \varepsilon_{A \Gamma_{(k)}}, \varepsilon_{A \Gamma_{(k + 1)}} \, ] \gt 0 \, \big\} \, \big] \, \Big]
    \)

    errechnet bzw. definiert,
    und \(B\)s Echoanzeige \(B_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} A {{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \equiv B_Q \) (sofern eine gefunden wurde) auch \(B\)s Anzeige der Koinzidenz mit einem geeigneten Beteiligten \(Q\) in deren eindeutigen Koinzidenz-Ereignis \( \varepsilon_{B Q} \) ist,
    sodass das Ereignispaar \(( \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} )\) zueinander lichtartig ist;
    und ebenso das Ereignispaar \(( \varepsilon_{B Q}, \varepsilon_{A Z})\) mit \(A\)s entsprechender Ping-Anzeige (sofern eine gefunden wurde) \( A_Z \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \).

    Im Folgenden sollen deshalb Ping-Beziehungen zwischen geeigneten Paaren von Beteiligten in einer flachen Region untersucht werden; und ob und wie aus entsprechenden Ping-Dauern auf Intervall-Werte \(s^2\) zwischen raumartig getrennten Ereignissen geschlossen werden kann;
    nämlich insbesondere auf den (von Null verschiedenen) Wert
    \(s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]\)
    betreffend die raumartig voneinander getrennten Ereignisse \( \varepsilon_{B Q} \) (das oben bereits beschrieben wurde) und \( \varepsilon_{A P} \) an dem \(A\) sowie (mindestens) ein weiterer geeigneter Passant \(P\) in Koinzidenz teilnahmen,
    so dass \(A\)s entsprechende Passage-Anzeige \(A_P\) nach \(A\)s oben diskutierter Signal-Anzeige \(A_J\) aber vor \(A\)s entsprechenden Ping-Anzeige \( A_Z \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \) wahrgenommen wurde,
    d.h. so dass sowohl
    \( \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] \gt 0 \)
    als auch
    \( \ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] \gt 0 \).

    Aus der Flachheitsbedingung für die beschriebenen vier Ereignisse,

    \(
    0 = \begin{vmatrix}
    0 & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 0 & 1 \cr
    1 & 1 & 1 & 1 & 0
    \end{vmatrix}
    \)

    zusammen mit der Bewertung für Paare lichtartiger Ereignisse (in flachen Regionen)

    \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] = 0, \qquad s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] = 0 \)

    ergibt sich (bei gegebenem Wert \( s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] \lt 0 \))

    – dass der Wert des zeitartigen Intervalls \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) keine obere Schranke hat;
    die entsprechende Ping-Dauer \(A\)s, für die gilt
    \(
    \tau A[ \, \_ J, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J \, ] := \tau A[ \, \_ J, \_ Z \, ] \le \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] = \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \, | }, \)
    demnach ebenfalls keine obere Schranke hat; und

    – dass der Wert des zeitartigen Intervalls \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) zwar eine untere Schranke hat, nämlich

    \(
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \ge -s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]
    \),

    was allerdings die entsprechende Ping-Dauer \(A\)s nicht nach unten einschränken kann.

    Falls jedoch außerdem \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\) der entsprechenden Lorentzschen Distanz zwischen den Ereignissen \(\varepsilon_{A J} \) und \(\varepsilon_{A Z}\) gleicht,
    sich \(A\) im Versuchsverlauf also “unbeschleunigt/frei bewegte“,
    und deshalb insbesondere die drei Ereignisse \(\varepsilon_{A J} \), \(\varepsilon_{A P} \) und \(\varepsilon_{A Z}\) gegenüber einander (zeitartig) gerade lagen, d.h. also falls auch gilt

    \(
    0 = \begin{vmatrix}
    0 & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 0 & 1 \cr
    1 & 1 & 1 & 0
    \end{vmatrix}
    \)

    dann ist die untere Schranke für \( \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] = \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] } \) zwangsläufig auch die untere Schranke für \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\),

    und diese ergibt sich in diesem Fall als

    \( \tau A^{\text{frei}}[ \, \_ J, \_ Z \, ] \ge 2 \, \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] }. \)

    Um den von Null verschiedenen Wert des Intervals (bzw. entsprechend der chronometrischen Distanz) zwischen zwei raumartig voneinander getrennten Ereignissen in einer flachen Region zu ermitteln, ließen sich folglich alle Beteiligten in Betracht zu ziehen, die

    – an dem einen oder dem anderen Ereignis teilnahmen,

    – Pings bzgl. des jeweils anderen Ereignisses wahrnahmen, und

    – sich dabei (mindestens) von Signal-Anzeige bis Ping-Anzeige “unbeschleunigt/frei bewegten”;

    – der geringste Wert \( \tau_{\text{min}}^{\text{ping}} \) aller von diesen Beteiligten ermittelten Ping-Dauern wäre auszuwählen;
    und schließlich “\( \chi_{\text{flach}} := -\frac{1}{2} \, \tau_{\text{min}}^{\text{ping}} \)” zu setzen.

    Allerdings erweist sich dieser einfache Methoden-Ansatz bei Anwendung in allegmeinen gekrümmten Regionen als untauglich hinsichtlich der Forderung, dass die so ermittelten Werte \( \chi \) für alle Paare raumartig getrennter Ereignisse von Null verschieden sein soll, um die quantitative Bewertung dieser Abstände zu gewährleisten.

    Die beschriebene Methode muss deshalb im Allgemeinen geeignet ergänzt und angepasst werden. Eine entscheidende Rolle wird dabei den Ping-Beziehungen zwischen mehreren geeigneten Beteiligten zukommen;
    basierend auf der Tatsache, dass in einer flachen Region zu jedem Beteiligten, der an einem bestimmten Ereignis teilnahm und sich durchwegs “unbeschleunigt/frei bewegte”
    sich andere Beteiligte finden lassen, (insbesondere auch solche, die sich ebenfalls durchwegs “unbeschleunigt/frei bewegten”),
    so dass deren gegenseitige Ping-Dauern jeweils durchwegs konstant blieben, sie also gegenüber einander “chronometrisch starr” blieben (und insbesondere sogar mit durchwegs gegenseitig gleichen Ping-Dauern).

  15. Definition der chronometrischen Distanz \( \chi \) für Paare raumartig getrennter Ereignisse

    Wie am Ende der vorausgegangenen Betrachtungen angedeutet, wird der hier folgenden Definition von chronometrischer Distanz \( \chi \) (insbesondere zwischen raumartig getrennten Ereignissen) die Auswahl von Paaren von Beteiligten zugrundegelegt, die gegenübereinander (opto-)chronometrisch starr waren und blieben;
    d.h. so dass die (zwangsläufig von Null verschiedene) Ping-Dauer jeweils eines der Beteiligte gegenüber dem anderen konstant war (d.h. aus den als gegeben betrachteten Werten Lorentzscher Distanzen zu ermitteln war),
    und zwar für alle Signal- und Ping-Anzeigen im Rahmen eines “hinreichend ausgedehnten” Versuchs.

    Die (für sich im gesamten Versuche konstante) Ping-Dauer des einen Beteiligten gegenüber dem anderen muss dabei nicht unbedingt gleich der (für sich ebenfalls im gesamten Versuche konstanten) Ping-Dauer des Gegenübers sein;
    und ein geeigneter “hinreichend ausgedehnter” Versuch bestehe der Eindeutigkeit und Einfachheit halber für jeden der beiden Beteiligten aus zwei aufeinanderfolgenden Ping-Perioden, wobei die erste jeweils mit dem bestimmten Ereignis endet, dessen chronometrische Distanz zum bestimmten anderen Ereignis ermittelt werden soll, und die zweite mit diesem Ereignis beginnt.

    Es sei nun die chronometrische Distanz der beiden (raumartig getrennten) Ereignisse \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) voneinander gesucht, und \( (J, K) \) ein Paar von Beteiligten, die jeweils ebenfalls an einem dieser beiden Ereignisse teilnahmen,
    konkret:
    \( \varepsilon_{A P} \equiv \varepsilon_{A J P} \)
    sowie
    \( \varepsilon_{B Q} \equiv \varepsilon_{B K Q} \),

    und die außerdem gegenüber einander (opto-)chronometrisch starr waren und blieben. Entsprechend gilt:

    \( J_P \equiv J_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} F}, \qquad K_Q \equiv K_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} G} \)

    sowie

    \( \forall J_L \in \{ J_F … J_P \} \subset J : \)
    \( \tau J[ \, \_ L, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} L \, ] = \tau J[ \, \_ F, \_ P \, ] \equiv \tau J^{(\text{starr} K)}
    \)

    und

    \( \forall K_M \in \{ K_G … K_Q \} \subset K : \)
    \( \tau K[ \, \_ M, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} M \, ] = \tau K[ \, \_ G, \_ Q \, ] \equiv \tau K^{(\text{starr} J)}
    . \)

    (Dabei wird natürlich vorausgesetzt, dass sich mindestens ein solches starres Paar \( (J, K) \) überhaupt finden lässt. Das ist zumindest dann garantiert, falls die Lorentzschen Distanzen zwischen allen Ereignissen einer Causal Diamond-Region gegeben sind, die die Ereignisse \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) in ihrem Inneren hat.)

    Falls \( J \) oder \( K \) im Verlauf des Versuchs nicht durchwegs (beide einzeln) unbeschleunigt/frei waren, dann lassen sich im Allgemeinen weitere Paare \( (U, V) \) von Beteiligten finden, die jeweils ebenfalls an den (“wesentlichen”) Ereignissen dieses Versuchs mit zwei aufeinanderfolgenden Pings teilgenommen hatten:

    – “Versuchsbeginn \( J \)”: \( \varepsilon_{F J} \equiv \varepsilon_{F J U} \),

    – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \),

    – “Versuchsschluss \( J \)”: \( \varepsilon_{J X} \equiv \varepsilon_{J X U} \) mit \( J \)s Anzeige \( J_X \equiv J_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} P} \),

    bzw.

    – “Versuchsbeginn \( K \)”: \( \varepsilon_{G K} \equiv \varepsilon_{G K V} \),

    – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

    – “Versuchsschluss \( K \)”: \( \varepsilon_{K Y} \equiv \varepsilon_{K Y V} \) mit \( K \)s Anzeige \( K_Y \equiv B_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} Q}, \)

    kurz: \( \text{Vers}[ \, (U, V) \, ] \equiv \text{Vers}[ \, (J, K) \, ] \);

    und die ebenfalls gegenüber einander (opto-)chronometrisch flach waren,
    aber mindestens so große (wenn nicht sogar größere) Ping-Dauer feststellten.

    Von Interesse ist demnach die Obergrenze (das Supremum) von Ping-Dauern für alle gegenüber einander starren Paare, die zusammen mit Paar \( (J, K) \) im selben Versuch zweier aufeinanderfolgende Pings teilgenommen hatten:

    \( \text{sup} \! \big[ \, \{ \text{max}[ \, \tau U^{(\text{starr} V)}, \tau V^{(\text{starr} U)} \, ] \, | \, \text{Vers}[ \, (U, V) \, ] \equiv \text{Vers}[ \, (J, K) \, ] \} \big], \)

    kurz: \( \tau^{\text{sup}}_{(\text{Vers}[ \, (J, K) \, ])}.\)

    Als Wert der chronometrischen Distanz zwischen den Ereignissen \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) lässt sich schließlich die Untergrenze (das Infimum) solcher Obergrenzen setzen, hinsichtlich aller gegenüber einander starren Paare \( (J, K) \), von denen der eine Beteiligte an dem einen, und der andere am anderen Ereignis teilgenommen hatte; unter Hinzufügung des Konventions-bedingten Faktors \( -\frac{1}{2}\):

    \( \chi[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] := \text{inf} \! \big[ \{ \tau^{\text{sup}}_{(\text{Vers}[ \, (J, K) \, ])} \, | \, \varepsilon_{A P} \equiv \varepsilon_{A J P}, \varepsilon_{B Q} \equiv \varepsilon_{B K Q} \} \big]. \)

    Es bleibt nun zu untersuchen, ob die derartig definierte chronometrische Distanz \( \chi \) die gewünschten Eigenschaften hat, nämlich: quantitative Bewertung raumartig getrennter Ereignisse, und Konsistenz mit Intervall-Werten \( s^2 \) für flache Regionen.

    • Frank Wappler schrieb (23. Juni 2017 @ 17:48):
      > Definition der chronometrischen Distanz χ für Paare raumartig getrennter Ereignisse […] \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \)

      Dazu zwei Berichtigungen:

      (1)
      > […] Falls \( J \) oder \( K \) im Verlauf des Versuchs nicht durchwegs (beide einzeln) unbeschleunigt/frei waren, dann lassen sich im Allgemeinen weitere Paare \( (U, V) \) von Beteiligten finden, die jeweils ebenfalls an den (“wesentlichen”) Ereignissen dieses Versuchs mit zwei aufeinanderfolgenden Pings teilgenommen hatten:

      Das soll nicht unbedingt heißen, dass sowohl \(U\) zusammen mit \(J\) als auch \(V\) zusammen mit \(K\) jeweils an den drei wesentlichen Ereignissen, die einen Versuch mit zwei aufeinanderfolgenden Pings kennzeichnen, teilgenommen hätte;
      sondern dass
      entweder

      – “Versuchsbeginn \( J \)”: \( \varepsilon_{F J} \equiv \varepsilon_{F J U} \),

      – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \),

      – “Versuchsschluss \( J \)”: \( \varepsilon_{J X} \equiv \varepsilon_{J X U} \) mit \( J \)s Anzeige \( J_X \equiv J_{{{\hphantom

      {.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} P} \),

      zusammen mit

      – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

      oder

      – “Versuchsbeginn \( K \)”: \( \varepsilon_{G K} \equiv \varepsilon_{G K V} \),

      – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

      – “Versuchsschluss \( K \)”: \( \varepsilon_{K Y} \equiv \varepsilon_{K Y V} \) mit \( K \)s Anzeige \( K_Y \equiv B_{{{\hphantom

      {.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} Q}, \)

      zusammen mit

      – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \)

      erfüllt ist.

      (2)
      > Als Wert der chronometrischen Distanz zwischen den Ereignissen \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) lässt sich schließlich die Untergrenze (das Infimum) solcher Obergrenzen setzen, hinsichtlich aller gegenüber einander starren Paare \( (J, K) \), von denen der eine Beteiligte an dem einen, und der andere am anderen Ereignis teilgenommen hatte; unter Hinzufügung des Konventions-bedingten Faktors \( -\frac{1}{2}\):

      ergibt sich:

      \( \chi[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] := -\frac{1}{2} \, \text{inf} \! \big[ \{ \tau^{\text{sup}}_{(\text{Vers}[ \, (J, K) \, ])} \, | \, \varepsilon_{A P} \equiv \varepsilon_{A J P}, \varepsilon_{B Q} \equiv \varepsilon_{B K Q} \} \big]. \)

    • Frank Wappler schrieb (23. Juni 2017 @ 17:48):
      > Definition der chronometrischen Distanz χ für Paare raumartig getrennter Ereignisse […] \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \)

      Dazu zwei Berichtigungen:

      (1)
      > […] Falls \( J \) oder \( K \) im Verlauf des Versuchs nicht durchwegs (beide einzeln) unbeschleunigt/frei waren, dann lassen sich im Allgemeinen weitere Paare \( (U, V) \) von Beteiligten finden, die jeweils ebenfalls an den (“wesentlichen”) Ereignissen dieses Versuchs mit zwei aufeinanderfolgenden Pings teilgenommen hatten:

      Das soll nicht unbedingt heißen, dass sowohl \(U\) zusammen mit \(J\) als auch \(V\) zusammen mit \(K\) jeweils an den drei wesentlichen Ereignissen, die einen Versuch mit zwei aufeinanderfolgenden Pings kennzeichnen, teilgenommen hätte;
      sondern dass
      entweder

      – “Versuchsbeginn \( J \)”: \( \varepsilon_{F J} \equiv \varepsilon_{F J U} \),

      – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \),

      – “Versuchsschluss \( J \)”: \( \varepsilon_{J X} \equiv \varepsilon_{J X U} \) mit \( J \)s Anzeige \( J_X \equiv J_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} P} \),

      zusammen mit

      – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

      oder

      – “Versuchsbeginn \( K \)”: \( \varepsilon_{G K} \equiv \varepsilon_{G K V} \),

      – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

      – “Versuchsschluss \( K \)”: \( \varepsilon_{K Y} \equiv \varepsilon_{K Y V} \) mit \( K \)s Anzeige \( K_Y \equiv B_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} Q}, \)

      zusammen mit

      – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \)

      erfüllt ist.

      (2)
      > Als Wert der chronometrischen Distanz zwischen den Ereignissen \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) lässt sich schließlich die Untergrenze (das Infimum) solcher Obergrenzen setzen, hinsichtlich aller gegenüber einander starren Paare \( (J, K) \), von denen der eine Beteiligte an dem einen, und der andere am anderen Ereignis teilgenommen hatte; unter Hinzufügung des Konventions-bedingten Faktors \( -\frac{1}{2}\):

      ergibt sich:

      \( \chi[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] := -\frac{1}{2} \, \text{inf} \! \big[ \{ \tau^{\text{sup}}_{(\text{Vers}[ \, (J, K) \, ])} \, | \, \varepsilon_{A P} \equiv \varepsilon_{A J P}, \varepsilon_{B Q} \equiv \varepsilon_{B K Q} \} \big]. \)

  16. @Frank Wappler

    Sei \(\tau \mapsto (\tau,\rho,\phi,\theta)\) eine \(\tau\)-Koordinatenlinie für den radial freien Fall “aus dem Unendlichen” im Schwarzschild-Feld. Mit \((\tau,\rho)\) korrespondiert dann der (standard) \(r\)-Koordinatenwert
    \[
    r(\tau,\rho) = \left(1-\frac{3\sqrt{r^*}}{2}\,\tau\rho^{-3/2}\right)^{\!2/3}\!\rho
    \]

  17. Chrys schrieb (14. Oktober 2017 @ 22:33):
    > Bei Schwarzschild in Freifall-Koordinaten bezeichnet das Tupel (τ,ρ,φ,θ) einen Punkt in der Raumzeit […]

    Das geht (zwar auch);
    aber leider zeigt sich dabei eine Mehrdeutigkeit der Notation hinsichtlich Chrys, 5. Oktober 2017 @ 18:50:
    > Die Weltlinie dieses Punktes wird dann beschrieben durch die t-Koordinatenlinie (t,0,y,0)
    ;
    und auch mangelhafte Unterscheidung zwischen “einem Punkt in der Raumzeit“, d.h. einem (Koinzidenz-)Ereignis, in dem sich mehrere verschiedene identifizierbare Beteiligte trafen/passierten,
    und “Punkt” im Sinne eines einzelnen Beteiligten (“materiellen Punktes”), der (dessen einzelne Anzeigen, bzw. Koinzidenz-Ereignisse, die dessen einzelne Anzeigen beinhalteten) mit einer Menge von Koordinatentupeln zu bestreußeln ist, die dann “Weltlinie” genannt wird.

    Wir können uns ja gern darauf einigen, “eine bestimmte t-Koordinatenlinie ” stattdessen so aufzuschreiben:

    \( \{ (t, \rho, \phi, \theta) \in \mathbb R^4 : \forall t \in \mathcal M[ \, \rho, \phi, \theta \, ] \subseteq \mathbb R \} \)

    wobei \( \rho, \phi \) und \( \theta \) für die jeweils eine bestimmte “ t-Koordinatenlinie ” festgehalten geeignete reelle Koordinaten-Zahlen sind, und

    \( \mathcal M[ \, \rho, \phi, \theta \, ] \) eine geeignete Teilmenge der reellen Zahlen ist, die (explizit) von den Werten \( \rho, \phi \) und \( \theta \) abhängt,

    und (implizit) natürlich auch von der zugrundegelegten Raumzeit, d.h. von der (Koinzidenz-)Ereignis-Menge \( \mathcal S \) und damit einhergehenden geometrischen Beziehungen; insbesondere den Verhältnissen von Lorentzscher Distanzen zwischen Ereignis-Paaren:
    \( \ell : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R \),

    sowie von der zugrundegelegten Bestreußelung der gegebenen Raumzeit mit Koordinatentupeln:

    \( \psi : \mathcal S \rightarrow \mathbb R^4 \).

    Eine bestimmte “ t-Koordinatenlinie ” \( \mathcal K \) heißt dann insbesondere “Freifall-t-Koordinatenlinie“, falls für je drei Koordinatentupel \( a, b, c \in \mathcal K \), die

    \( \ell[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, b \, ] \, ] \ne 0 \),
    \( \ell[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, c \, ] \, ] \ne 0 \),
    und
    \( \ell[ \, \psi^{-1}[ \, b \, ], \psi^{-1}[ \, c \, ] \, ] \ne 0 \)

    erfüllen, gilt:

    \(

    0 = \begin{matrix}(\ell[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, b \, ] \, ])^4 + \ell[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, c \, ] \, ])^4 + \ell[ \, \psi^{-1}[ \, b \, ], \psi^{-1}[ \, c \, ] \, ])^4 – \cr
    2 \, \ell[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, b \, ] \, ])^2 \, \ell[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, c \, ] \, ])^2 + 2 \, \ell[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, b \, ] \, ])^2 \, \ell[ \, \psi^{-1}[ \, b \, ], \psi^{-1}[ \, c \, ] \, ])^2 + 2 \, \ell[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, c \, ] \, ])^2 \, \ell[ \, \psi^{-1}[ \, b \, ], \psi^{-1}[ \, c \, ] \, ])^2
    \end{matrix} \).

    > wobei τ zugleich eine Eigenzeit-Parametrisierung dieser Weltlinie liefert.

    Also, dass für je drei Koordinatentupel \( a, b, c \in \mathcal K \), wie oben beschrieben, auch gilt:

    … was wenig übersichtlich sein dürfte, weil das Symbol “\( \tau \)” natürlich (vorrangig) für die Dauer eines bestimmten Beteiligten benutzt wird …

    \( (\tau_b – \tau_a) \, \tau M[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, c \, ] \, ] = \)
    \( (\tau_c – \tau_a) \, \tau M[ \, \psi^{-1}[ \, a \, ], \psi^{-1}[ \, b \, ] \, ] \),

    wobei ich mit \( M \) den Beteiligten bzw. “materiellen Punkt” benannt habe, dem die Koordinaten-Tupel-Menge \( \mathcal K \) als “Weltlinie” aufgestreußelt wurde.

    > Zur Eindeutigkeit bedarf es dann noch der Wahl einer Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit des Partikels bei der Anfangszeit 0

    … im Prinzip ja …

    > etwa “aus dem Unendlichen fallend”.

    Es mag noch (ein wenig) eindeutiger und zur Beschreibung der geometrischen Beziehungen zwischen mehreren Beteiligten geeigneter sein, die Vorgabe stattdessen “im Endlichen” anzusetzen;
    z.B. “bei Passage der Photonsphäre“.

    Bliebe (“nur”?) noch zu klären:
    Was bedeutet hier (bzw. was ist die Definition der Messgröße) “Geschwindigkeit“?;
    insbesondere in Unterscheidung zu “Koordinaten-Geschwindigkeit”.

    > Was ist dann der räumliche (hier: radiale) Abstand zwischen diesen Punkten […]

    Sofern es dabei um eine (Mess-)Größe gehen soll, die nicht unbedingt und von vornherein konstant ist, spricht man besser von “räumlicher Entfernung“.

    > […] Koordinatenabstand
    > [ … Betrag der Differenz der] radiale[n] Koordinaten r […] diese[r] beiden Punkte […]

    Das erinnert doch stark an die “improperen”, auf Koordinatendifferenzen bezogenen Betrachtungen von Ehrenfest & Co.

    Relevanter, gerade was das mögliche “Zerreißen” angeht, sind doch wohl (Verhältnisse von) Ping-Dauern zwischen den Beteiligten.

    > weil die Testpartikel entlang ihrer Freifall-Weltlinien tatsächlich keine Beschleunigung erfahren

    Leider haben wir noch nicht viel Forschritt dahingehend genacht, was hier bzw. in vorausgegangenen Kommentaren mit “Beschleunigung” überhaupt gemeint ist.
    (Ich verweise in diesem Zusammenhang auf die obige Definition von “Freifall” durch Werte Lorentzscher Distanz.)
    Vielleicht ist es ja zielführend, zunächst den oben nachgefragten Begriff “Geschwindigkeit” zu definieren …

    > und daher an ihren anfänglichen Positionen verharren.

    Zu Einsteins bahnbrechendem Ansatz

    dass ich an Stelle der “Zeit” die “Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr” setze

    gehört doch (spätestens seit 1916) selbstverständlich

    dass ich an Stelle des “Ortes” bzw. der “Position” die (beharrlichen) Identitäten derjenigen setze, die am betreffenden Koinzidenz-Ereignis beteiligt waren

    .

  18. 1. Einige Vorbemerkung zur analytischen Mechenik
    Sei \((M,g)\) die Darstellung einer Raumzeit und die Energiefunktion \(E: TM\to\mathbb{R}\) definiert durch
    \[
    E(q,\dot{q}) := \textstyle \frac{1}{2}\,g(\dot{q},\dot{q}) = \frac{1}{2}\,\|\dot{q}\|^2_g\quad\text{wobei}\quad \dot{q}\in T_qM.
    \]
    Hat der metrische Tensor \(g\) die Signatur \(-2\) (also wie es Schwarzschild 1916 hatte), so gilt \(E(q,\dot{q}) > 0\) genau dann, wenn der Tangentenvektor \(\dot{q}\) zeitartig ist.

    Eine parametrisierte Kurve \(u(\tau)\) in \(M\), mit \(\dot{u} = du/d\tau\), ist genau dann eine zeitartige Geodäte, wenn \(u\) eine Lösung der Lagrange Gl. \(\frac{d}{d\tau}(\partial_{\dot{q}^i}E) – \partial_{q^i}E = 0\) bei positiver Energie \(E\) ist. In diesem Fall ist \(E(u,\dot{u}) > 0\) eine Konstante, d.h., \(E\) ist stets ein erstes Intergral.

    Zur Untersuchung zeitartiger Geodäten in \((M,g)\) ist es sinnvoll, diese zusammen mit einer natürlichen Parametrisierung durch die Eigenzeit \(s\) anstelle eines unspezifschen affinen Parameters \(\tau\) zu betrachten. Insbesondere wird die Untersuchung damit auf die Hyperfläche \(E^{-1}(\{\frac{1}{2}\}) \subset TM\) reduziert. (Wobei hervorzuheben wäre, dass Schwarzschild (1916) dies nicht so unternommen hat, was jedoch für die beabsichtigte Herleitung von Einsteins Perihel-Gleichung letztlich ohne Belang ist.)

    2. Hrn. Schwarzschilds Raumzeit und Hrn. Einsteins Gleichung
    Sei nun konkret \((M,g)\) die Schwarzschild Raumzeit und \(u\) eine durch \(s\) natürlich parametrisierte zeitartige Geodäte, deren Komponenten unter Verwendung von Polarkoord. durch \(u^0 = t, u^1 = r, u^2 = \vartheta, u^3 = \varphi\) gegeben sind. Entsprechend bezeichnen \(\dot{u}^0 = \dot{t}, \dot{u}^1 = \dot{r}, \dot{u}^2 = \dot{\vartheta}, \dot{u}^3 = \dot{\varphi}\) die Konponenten der 4-Geschw. \(\dot{u}\). Dann gilt zunächst
    \[
    2 E(u,\dot{u}) = \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\dot{t}^2 – \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-1} \dot{r}^2 – r^2\left(\dot{\vartheta}^2 + \sin^2\vartheta\,\dot{\varphi}^2\right) = 1.
    \]
    Aus den Lagrange Gl. erhält man hier zwei weitere erste Integrale,
    \[
    \frac{\partial E}{\partial \dot{\varphi}} = -r^2 \sin^2\vartheta\,\dot{\varphi} \quad\text{und}\quad \frac{\partial E}{\partial \dot{t}} = \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\dot{t}.
    \]
    Die Bewegungsgl. für \(\vartheta\) lautet
    \[
    \frac{d}{ds}\,\frac{\partial E}{\partial \dot{\vartheta}} – \frac{\partial E}{\partial \vartheta} = -\frac{d}{ds}(r^2\dot{\vartheta}) + r^2\sin\vartheta\,\cos\vartheta\,\dot{\varphi}^2 = 0,
    \]
    woraus sich die konstante Lösung
    \[
    \vartheta = \frac{\pi}{2},\;\;\dot{\vartheta} = 0
    \]
    unmittelbar ersehen lässt. Setzen wir diese ein, so ist speziell für eine Bewegung mit nicht verschwindendem Drehimpuls \(r^2\dot{\varphi}\) die Bestimmung von \(u\) ein vollständig integrables Problem mit den drei ersten Integralen
    \[
    \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\dot{t}^2 – \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-1} \dot{r}^2 – r^2\dot{\varphi}^2 = 1,\quad r^2\dot{\varphi} =: a^{-1},\quad\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\dot{t} =: b,
    \]
    wobei die Konstanten \(a\) und \(b\) durch die Wahl der Anfangsbedingungen für \(u\) bestimmt sind. In Entsprechung zu den Gleichungen (15), (16) und (17) bei Schwarzschild (1916) folgt daraus
    \[
    \dot{t}^2 = \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-2}b^2,\quad \dot{r}^2 = \frac{1}{r^4a^2}\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2,\quad \dot{\varphi}^2 = \frac{1}{r^4a^2},
    \]
    und mithin
    \[
    \left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2 = a^2b^2r^4 – (r^2 + a^2r^4)\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right).
    \]
    Die Substitution \(x = 1/r\) liefert schliesslich
    \[
    \left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2 = a^2b^2 – (x^2 + a^2)\left(1 – \alpha x\right) = a^2(b^2 – 1) + a^2\alpha x – x ^2 + \alpha x^3,
    \]
    woraus mit \(A := (b^2 – 1)/2\) und \(B := 1/a\) zuletzt wieder Hrn. Einsteins Gleichung (11) erhalten wird, also
    \[
    \left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2 = \frac{2A}{B^2} + \frac{\alpha}{B^2}\,x – x ^2 + \alpha x^3.
    \]

    3. Schlussbemerkung
    Die Herleitung zeigt, dass Einsteins Gleichung formal nicht nur für Bahnen vom elliptischen Typ gilt, denn es werden dabei keine entsprechend einschränkende Bedingungen gesetzt; lediglich ein verschwindender Drehimpuls wurde ausgeschlossen. Genauer gesagt, eine Bahn vom elliptischen Typ liegt vor, wenn das Polynom
    \[
    P(x) = \alpha\left(x^3 – \frac{1}{\alpha}x^2 + \frac{1}{B^2}\,x + \frac{2A}{\alpha B^2}\right) = \alpha (x – x_1) (x – x_2) (x- x_3).
    \]
    drei positive reelle Wurzeln \(x_1 < x_2 < x_3\) hat. In diesem Fall lässt sich Einsteins Perihel-Formel gewinnen, wie es in den MathPages näher erläutert wird. Jedoch ist e.g. der Fall \(b = 1\) und somit \(A = 0\) hier nicht ausgeschlossen, was auf \(x_1 = 0\) führt und einer Bahn vom parabolischen Typ entspricht. Eine erschöpfende Klassifikation von Bahntypen erweist sich allerdings als viel zu aufwendig, um hier angemessen diskutiert zu werden.

  19. 4. Nachtrag
    Bei der Schar von Hyperflächen \(\{2E = h\}\) mit \(h > 0\) kommt dem Fall \(h = 1\) insofern eine besondere Bedeutung zu, als hierdurch Lösungskurven zusammen mit einer natürlichen Parametrisierung durch Eigenzeit charakterisiert werden. Populär gesprochen läuft auf jeder dieser Hyperflächen der gleiche Film ab, nur für \(h 1\) schneller als in Echtzeit.

    Ist nämlich \(u(s)\) eine durch Eigenzeit \(s\) parametrisierte zeitartige Geodäte, dann ist für \(h > 0\) durch die Transformation \(s(\tau) = \sqrt{h}\,\tau\) eine Umparametrisierung \(u_h(\tau) := u(s(\tau))\) definiert, sodass deren 4-Geschw. \(\dot{u}_h(\tau) = \sqrt{h}\,\dot{u}(s(\tau))\) ist. D.h., \(u_h\) ist eine zeitartige Geodäte mit
    \[
    2 E(u_h, \dot{u}_h) = h,
    \]
    die geometrisch genau die gleiche Lösungskurve wie \(u\) liefert.

    Während ich für meine vorigen Ausführungen ein solches \(u\) angenommen hatte, bezieht sich Schwarzschild auf das entsprechende \(u_h\), wobei \(h\) durch die Bedingung \(b\sqrt{h} = 1\) bestimmt ist. Beachtet man noch, dass er dann auch beim Drehimpuls einen zusätzlichen Faktor \(\sqrt{h}\) hereinbekommt, ist die Beziehung zwischen meinen Konstanten \(a, b\) und seinen Konstanten \(h, c\) beschrieben durch
    \[
    h = \frac{1}{b^2},\quad c = \frac{\sqrt{h}}{a}.
    \]
    Bei der Orbitalgleichung, wo nur noch die Variablen \(r\) resp. \(x = 1/r\) und \(\varphi\) aufscheinen, sind die Unterschiede schliesslich eliminiert, denn durch Einsetzen findet man
    \[
    \left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2 = a^2(b^2 – 1) + a^2\alpha x – x ^2 + \alpha x^3 = \frac{1 – h}{c^2} + \frac{h\alpha}{c^2}\,x – x ^2 + \alpha x^3,
    \]
    womit wieder Schwarzschilds Gl. (18) erhalten wäre. Untern Strich kommen wir zum selben Resultat, mich stört aus eher ästhetischen Gründen seine “Festlegung der Zeiteinheit“. Denn erstens ist dabei eigentlich eine Einheitsdauer gemeint (für Zeiteinheiten wäre wohl die Metrologie zuständig), und zweitens ist eine solche durch die Einheit von Eigenzeit bereits intrinsisch festgelegt.

    • Letzter Satz im ersten Absatz wurde vom System verstümmelt. Es soll heissen:

      … nur für h < 1 langsamer und für h > 1 schneller als in Echtzeit.

  20. Chrys schrieb (4. März 2018 @ 12:51):
    > […] Polarkoord. […]

    Dann darf man auf die Koordinaten-freie Darstellung von Trajektorien “freier” Beteiligter ja noch gespannt sein …

    Neben der (“Dimensions-behafteten” Mess-)Größe \( \alpha \), die in der gezeigten Rechnung schon auftaucht (wenn auch ohne Definition),
    würde so wohl auch die Bedeutung weiterer relevanter (zu \( \alpha \) kommensurabler) Messgrößen wie \( a \) und \( r_Q \) verdeutlicht.

    > […] die Eigenzeit \( s \) anstelle eines unspezifschen affinen Parameters \( \tau \) […]

    Natürlich ist die Benennung von Parametern und Ähnlichem Konventions-Sache (sofern zumindest gewährleistet ist, dass verschiedene Parameter verschiedene Namen haben);
    aber ich empfehle die Konvention, wonach unspezifsche affine Parameter (der Anzeigen eines bestimmten Beteiligten, bzw. der entsprechenden Ereignisse, an denen dieser Teilgenommen hatte) mit \( \lambda \) (wie bei MTW) benannt sind,
    das Symbol \( \tau \) aber für die spezifische (“Dimensions-behaftete” Mess-)Größe “Dauer” reserviert ist.

  21. 5. Zur Orbitalgleichung
    Wird zur Herleitung der Orbitalgleichung nicht sogleich ein Energieniveau fixiert, sondern lediglich beachtet, dass die Energie eine Konstante der Bewegung ist, findet man als erste Integrale
    \[
    \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\dot{t}^2 – \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-1} \dot{r}^2 – r^2\dot{\varphi}^2 = h,\quad r^2\dot{\varphi} = a^{-1},\quad\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\dot{t} = b,
    \]
    woraus wie zuvor eine Orbitalgleichung
    \[
    \left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2 = a^2(b^2 – h) + a^2h\alpha x – x ^2 + \alpha x^3
    \]
    folgt, die nun jedoch formal von drei Parametern \(a, b, h\) abhängt.
    Schreiben wir die rechte Seite um gemäss
    \[
    \left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2 = \left(a\sqrt{h}\right)^2\left(\left(b/\sqrt{h}\right)^2 – 1\right) + \left(a\sqrt{h}\right)^2\alpha x – x ^2 + \alpha x^3,
    \]
    so lässt sich offenbar durch die Substitution
    \[
    \hat{a} := a\sqrt{h},\quad \hat{b} := b/\sqrt{h},
    \]
    der Energie-Parameter daraus eliminieren, und die Koeffizienten haben dann wieder die zuvor gefundene Gestalt.

    Alternativ lässt sich die rechte Seite auch umschreiben zu
    \[
    \left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2 = (ab)^2\left(1 – \left(h/b^2\right)\right) + (ab)^2\left(h/b^2\right)\alpha x – x ^2 + \alpha x^3,
    \]
    woraus offensichtlich mit
    \[
    \hat{a} := ab,\quad \hat{h} := h/b^2,
    \]
    die von Schwarzschild (1916) angegebene Form der Koeffizienten erhalten wird, wenn man zum Schluss noch \(c = \hat{a}^{-1}\) einsetzt.

  22. 6. Zu Einsteins Approximation
    Für seine Herleitung der Orbitalgleichung hatte Einstein nur eine Näherung \(\tilde{g}\) an Schwarzschilds exakte Lösung \(g\) der Feldgl. zur Hand, die in sphär. Polarkoordinaten dargestellt ist durch
    \[
    \tilde{g} = \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right) dt^2 – \left(1 + \frac{\alpha}{r}\right) dr^2 – r^2\left(d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta\,d\varphi^2\right).
    \]
    Mit der zu \(\tilde{g}\) gehörigen Energiefunktion \(\tilde{E}(q,\dot{q}) = \frac{1}{2}\|\dot{q}\|_{\tilde{g}}^2\) gelangt man in Analogie zum exakten Fall zu einer modifizierten Orbitalgleichung, wohingegen Einstein als Ergebnis seiner Herleitung die eigentlich für \(g\) gültige Form dieser Gleichung präsentiert hatte. In Earman & Janssen [1] sind beide Herleitungen im Vergleich kommentiert, woraus jedoch ein erneuter Bedarf an Klärung entsteht.

    Dazu sei zunächst wie zuvor eine Parametrisierung zeitartiger Geodäten \(u\) durch die Eigenzeit \(s\) angenommen, sodass folglich \(2\tilde{E}(u,\dot{u}) = 1\) gilt, und es werden wieder Lösungen mit Drehimpuls \(\neq 0\) bei konstantem Polarwinkel \(\vartheta = \pi/2\) betrachtet. Für die Lagrange Funktion \(\tilde{E}\) findet man so die drei ersten Integrale
    \[
    \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\dot{t}^2 – Q\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-1}\dot{r}^2 – r^2\dot{\varphi}^2 = 1,\quad r^2\dot{\varphi} = a^{-1},\quad\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\dot{t} = b,
    \]
    mit
    \[
    Q = 1 – \frac{\alpha^2}{r^2}.
    \]
    Der Unterschied zum exakten Fall besteht einzig im Auftreten des Faktors \(Q\) in der ersten Gleichung, was jedoch für die Ableitungen
    \[
    \dot{t}^2 = \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-2}b^2,\quad \dot{r}^2 = \frac{1}{r^4a^2}\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2,\quad \dot{\varphi}^2 = \frac{1}{r^4a^2}
    \]
    ohne Belang ist. Durch Einsetzen folgt dann
    \[
    Q\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2 = a^2b^2r^4 – (r^2 + a^2r^4)\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right),
    \]
    und mit der Substitution \(x = 1/r\) ergibt sich daraus die modifizierte Orbitalgleichung
    \[
    \left(1 – \alpha^2x^2\right)\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2 = a^2(b^2 – 1) + a^2\alpha x – x^2 + \alpha x^3.
    \]
    Modulo einer Umbenennung der Bewegungskonstanten gemäss \(C = b\) und \(B = 1/a\) sowie einer Ersetzung der schlussendlich eliminierten Zeitkoordinate \(t\) durch \(ct\) wird dieses Ergebnis auch in [1] als Gl. (50) erhalten. Ohne den vernachlässigbaren Term \(\alpha^2x^2\) entsteht daraus Einsteins Gl. (11), doch Earman & Janssen weisen darauf hin, dass dabei eine scheinbare Unstimmigkeit hinsichtlich des konstanten Terms auf der rechten Seite besteht. Denn mit der Konstanten \(b\) gilt bis zu erster Ordnung in \(\alpha/r\)
    \[
    \dot{t} = \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-1} b \approx \left(1 + \frac{\alpha}{r}\right) b,
    \]
    was sich mit Einsteins Gl. (9), das heisst
    \[
    \dot{t} = 1 + \frac{\alpha}{r},
    \]
    augenscheinlich nur im Fall \(b = 1\) vereinbaren lässt. Earman & Janssen schliessen daraus, dass diese Bedingung generell erfüllt sein muss, womit der konstante Term auf der rechten Seite ihrer Gl. (50) verschwindet. Sie bemerken dabei nicht, dass mit dieser Bedingung angesichts der Energieerhaltung gemäss \(2\tilde{E}(u,\dot{u}) = 1\), das ist Gl. (49) in [1], jedoch nur diejenigen Lösungen \(u\) selektiert werden, die bei Parametrisierung durch Eigenzeit \(s\) gerade zu \(b = 1\) führen. Und das sind dann, wie Hr. Engelhardt immerhin bemerkt hat, nur die Lösungen, die zu parabolischen Bahnen gehören, wo gar keine Periheldrehung auftritt.

    Um die besagte scheinbare Unstimmigkeit zu beseitigen argumentieren Earman & Janssen weiter, dass Einsteins Herleitung gleichfalls zum Verschwinden des konstanten Term auf der rechten Seite seiner Gl. (11) führen müsse, d.h., dass dort \(A = 0\) gilt. Der vermeintliche Nachweis gelingt ihnen dadurch, dass sie Einsteins Gl. (9) wieder mit dem Energieniveau \(\{2\tilde{E} = 1\}\) ihrer Gl. (49) in Verbindung bringen.

    Earman & Janssen übersehen dabei jedoch, dass bei Einsteins Herleitung die Gl. (9) im Fall \(b \neq 1\) gerade dadurch erfüllt wird, dass er eine Umparametrisierung der Lösungen gemäss
    \[
    s = \tau/b =: \tau\sqrt{h} = \tau\sqrt{1 – 2A}
    \]
    vornimmt, womit er \(\tau\) als neuen Zeitparameter einführt, den er allerdings sogleich auf recht kryptische Weise wieder in \(s\) umbenennt. Für eine umparametrisierte Lösung \(u_h(\tau) := u(\tau\sqrt{h})\) gilt indessen
    \[
    2\tilde{E}(u_h,\dot{u}_h) = h = 1 – 2A,
    \]
    d.h. es entgeht Earman & Janssen, dass sich durch Einsteins Umparametrisierung im Fall \(b \neq 1\) das Energieniveau ändert, und sie halten diesen Schritt in seiner Herleitung daher irrtümlich auch für redundant.

    Zustimmen kann man Earman & Janssen gewiss in ihrer Beurteilung von Einsteins Herleitung als “labyrinthisch“, einen eindrucksvollen Nachweis dafür haben sie zweifellos erbracht.

    [1] J. Earman and M. Janssen. Einstein’s explanation of the motion of Mercury’s perihelion. In J. Earman, M. Janssen, and J. D. Norton (eds), The Attraction of Gravitation: New Studies in the History of General Relativity, pages 129-172, Birkhäuser, Boston Basel Berlin, 1993.

    • P.S. Um allfällige Missverständnisse zu vermeiden sei noch betont, dass in Einsteins Argumentation zuerst die Gl. (9) als eine Bedingung (für die Parametrisierung von Lösungen) formuliert wird, was Schwarzschild dann mit seiner “Festlegung der Zeiteinheit” auf ganz entsprechende Weise unternommen hat. Einsteins Umparametrisierung ist daher gerade umgekehrt zu lesen, d.h., es ist die Eigenzeit, die er dabei als neuen Zeitparameter einführt.

      Eine solche Umparametrisierung ist in der Tat für die Herleitung der Orbitalgleichung letztlich redundant. Nur ist die von Earman \& Janssen hierzu angeführte Begründung nicht korrekt.

  23. On Einstein’s derivation of the orbital equation (E.11)

    There appears to be an agreement concerning Einstein’s derivation of the equations of motion in the form(E.7b)
    \[
    \ddot{x}^k = -\frac{\alpha}{2}\,\frac{x^k}{r^3}\left(1 + \frac{\alpha}{r} + 2u^2 – 3\dot{r}^2\right)
    \]
    where the derivatives \(d/ds\) are indicated by a dot. Einstein then employs the conservation of energy and angular momentum as stated in (E.8),
    \[
    \left.
    \begin{array}{rcl}
    \frac{1}{2}\,u^2 + \Phi_N & = & A\\[2mm]
    r^2\,\dot{\phi} & = & B
    \end{array}
    \right\}
    \]
    where, according to (E.8a),
    \[
    \Phi_N = -\frac{\alpha}{2r}\quad\text{and}\quad u^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2
    \]
    are adopted from Newtonian mechanics. By first substituting \(\alpha/r = u^2 – 2A\), inserting the formula for \(u^2\), and eventually replacing \(r^2\dot{\phi}^2 = B^2/r^2\) in (E.7.b), he arrives at
    \[
    \ddot{x}^k = -\frac{\alpha}{2}\,\frac{x^k}{r^3}\left(1 – 2A + 3\,\frac{B^2}{r^2}\right).
    \]
    Next he reparameterizes solutions by proper time, immediately renaming the new time parameter again to \(s\). More formally, with abbreviating \(h = 1 – 2A\), one would set \(x^k_h(\tau) := x^k(\tau/\sqrt{h})\) to find \(dx_h^k/d\tau = \dot{x}^k/\sqrt{h}\) and, consequently,
    \[
    h\,\frac{d^2x_h^k}{d\tau^2} = – h\,\frac{\alpha}{2}\,\frac{x_h^k}{r^3}\left[1 + 3\,\frac{1}{r^2}\left(\frac{B}{\sqrt{h}}\right)^{\!\!2}\right].
    \]
    Dividing this equation by \(h\) and renaming \(\tau \to s, x_h^k \to x^k, B/\sqrt{h} \to B,\) one obtains the equations of motion in the form
    \[
    \ddot{x}^k = -\frac{\alpha}{2}\,\frac{x^k}{r^3}\left(1 + 3\,\frac{B^2}{r^2}\right).
    \]
    Einstein has noticed that this system of equations is equivalent to \(\ddot{x} = -\nabla\Phi_E(x)\) for a suitably modified potential \(\Phi_E\). That is to say, he gets
    \[
    \ddot{x}^k = -\frac{\partial\Phi_E}{\partial x^k}\quad\text{with}\quad \Phi_E := -\frac{\alpha}{2r}\left(1 + \frac{B^2}{r^2}\right),
    \]
    This is (E.7c), with an obvious typo in Einstein’s original paper being corrected. So he is prepared to reformulate the conservation of energy and angular momentum as
    \[
    \left.
    \begin{array}{rcl}
    \frac{1}{2}\,u^2 + \Phi_E & = & A\\[2mm]
    r^2\,\dot{\phi} & = & B
    \end{array}
    \right\}
    \]
    with the Newtonian gravitational potential \(\Phi_N\) being replaced by \(\Phi_E\). This turns out to be the crucial step, as now the energy conservation gives
    \[
    u^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2 = 2A – 2\Phi_E = 2A + \frac{\alpha}{r} + \frac{\alpha B^2}{r^3}.
    \]
    Using the conservation of angular momentum to eliminate the time dependence, we see that this equation is equivalent to
    \[
    \left(\frac{dr}{d\phi}\right)^2 = \frac{2A}{B^2}\,r^4 + \frac{\alpha}{B^2}\,r^3 – r^2 + \alpha r,
    \]
    and Einstein’s orbital equation (E.11) then follows by substituting \(x = 1/r\).

  24. Sei \(\alpha\) der Schwarzschild Radius einer zentralen Masse. Dann ist die normale Geschwindigkeit eines in deren Schwarzschild-Feld mit Drehimpuls null aus der Ruhelage bei \(r = \varrho > \alpha\) frei fallenden Testpartikels als Funktion der Schwarzschild-Koordinate \(r\) gegeben durch
    \[
    \beta(r) = \sqrt{\frac{\alpha}{r}}\;\sqrt{\frac{\varrho – r}{\varrho – \alpha}}
    \]
    und es gilt \(\beta(r) \to 1\) für \(r \to \alpha\). Das heisst, ganz egal aus welcher initialen Position \(\varrho\) das Partikel fällt, \(\beta(r)\) konvergiert bei Annäherung an \(\alpha\) gegen die Lichtgeschw.

  25. We recall that after parameterizing solutions by proper time \(\tau\), Einstein’s equations of motion attain the form (7c),
    \[
    \frac{d^2x_\nu}{d\tau^2} = -\frac{\alpha}{2}\,\frac{x_\nu}{r^3}\left(1 + 3\,\frac{B^2_E}{r^2}\right) = -\frac{\partial\Phi_E(\mathbf{r})}{\partial x_\nu}.
    \]
    Here we use the symbol \(B_E\) to distinguish the proper time angular momentum from Einstein’s original \(B\). Moreover, the bold face \(\mathbf{r}\) denotes the position vector of a solution, i.e., \(\mathbf{r} = (x_1, x_2, x_3)\) in a Cartesian representation.

    To reveal what is behind Dr. Engelhardt’s appendix procedure, let us repeat his steps applied to the equations of motion in the form (7c). Actually he treats this system of differential equations as the components of a vector equation and then takes the scalar product with the momentum vector \(\dot{\mathbf{r}}\) on both sides. Writing \(\frac{1}{2}\,u^2_E\) for the proper time kinetic energy, this yields
    \[
    \frac{1}{2}\,\frac{du^2_E}{d\tau} \,=\, \frac{\alpha}{2}\,\frac{d}{d\tau}\left(\frac{1}{r}\right)\left(1 + 3\,\frac{B^2_E}{r^2}\right) \,=\, -\langle\nabla\Phi_E(\mathbf{r}),\dot{\mathbf{r}}\rangle.
    \]
    The first identity corresponds to the equation before eq. (*) in Dr. Engelhardt’s appendix, just without his \(\alpha/r – u^2\) term which has vanished as a result of the reparameterization. Einstein’s original time parameter is inappropriate for representing solutions which describe an orbital motion in a gradient field, so Dr. Engelhardt misses the second identity. However, in connection with the proper time parameter the solutions have this feature, and we see immediately that in this case the scalar equation is equivalent to
    \[
    \frac{d}{d\tau}\left(\textstyle\frac{1}{2}\,u^2_E + \Phi_E(\mathbf{r})\right) = 0
    \]
    which simply reasserts the conservation of energy for the motion in a conservative force field. As deducing the orbital equation (11) from
    \[
    \textstyle\frac{1}{2}\,u^2_E + \Phi_E(\mathbf{r}) = A
    \]
    requires nothing else but ordinary classical mechanics, it should be pretty clear now that Dr. Engelhardt is far from having presented any valid objection against Einstein’s line of argument.

  26. The conservation of energy for a solution of Einstein’s equation (7c) can be written as
    \[
    u^2_E = 2A – 2\Phi_E(\mathbf{r}) = 2A + \frac{\alpha}{r} + \frac{\alpha\,B^2_E}{r^3},
    \]
    which corresponds to eq. (**) in Dr. Engelhardt’s appendix. We divide by 2 and take the proper time derivative, which gives
    \[
    \frac{1}{2}\,\frac{du^2_E}{d\tau} \,=\, \frac{\alpha}{2}\,\frac{d}{d\tau}\left(\frac{1}{r}\right)\left(1 + 3\,\frac{B^2_E}{r^2}\right).
    \]
    Now we go back to Einsteins original time parameter \(s = \tau/\sqrt{h}\), where \(h = 1 – 2A\). Observing that \(\frac{d}{ds} = \sqrt{h}\,\frac{d}{d\tau}\), the above equation becomes
    \[
    \frac{1}{2}\,\frac{du^2}{ds} \,=\, \frac{\alpha}{2}\,\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{r}\right)\left(1 – 2A + 3\,\frac{B^2}{r^2}\right).
    \]
    where \(\frac{1}{2}\,u^2\) and \(B = B_E\sqrt{h}\) are the kinetic energy and the angular momentum associated with \(s\). And, finally, we can replace \(2A\) by \(u^2 – \alpha/r\) without affecting the second order terms on the right hand side of this equation. So we get
    \[
    \frac{1}{2}\,\frac{du^2}{ds} \,=\, \frac{\alpha}{2}\,\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{r}\right)\left(1 + \frac{\alpha}{r} – u^2 + 3\,\frac{B^2}{r^2}\right),
    \]
    which is the equation without number in Dr. Engelhardt’s appendix.

  27. 7. Getting Einstein from Schwarzschild
    Let us have a conclusive look at Einstein’s approach to the orbital equation (E.11) from Schwarzschild’s perspective, where the former is retrieved from the latter by using the approximation \((1 – \alpha/r)\,(1 + \alpha/r) \approx 1\), that is to say, by setting \(\alpha^2/r^2 = 0\).

    Recalling the relation \(h = 1 – 2A\) between Schwarzschild’s \(h\) and Einstein’s \(A\), we denote the proper time by \(\tau\) to distinguish it from Einstein’s original time parameter \(s = \tau/\sqrt{h}\). In what follows one should especially bear in mind that \(\frac{d}{ds} = \sqrt{h}\,\frac{d}{d\tau}\).

    From Schwarzschild’s proper time Lagrangian we obtain the energy equation
    \[
    \underbrace{\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2}_{\approx \left(1 + \frac{\alpha}{r}\right)/h} – \underbrace{\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-1}}_{\approx \left(1 + \frac{\alpha}{r}\right)}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 – r^2\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 = 1.
    \]
    Note that the indicated approximation for the first term involves basically Einstein’s eq. (E.9) adapted to proper time, so that
    \[
    \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)\frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{h}}
    \quad\Rightarrow\quad
    \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 \approx \frac{1}{h}\left(1 + \frac{\alpha}{r}\right)^2.
    \]
    Moreover, Einstein wrote \(\frac{1}{2}\,u^2\) for the kinetic energy of an orbit parameterized by \(s\), and based upon his notation we write
    \[
    u^2_E = \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2 = \frac{1}{h}\,u^2.
    \]
    With these settings the above energy equation becomes approximately
    \[
    \frac{1}{h}\left(1 + \frac{\alpha}{r}\right) – u^2_E = 1 + \frac{\alpha}{r}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2,
    \]
    which is equivalent to
    \[
    u^2 – \frac{\alpha}{r} = 1 – h – \frac{\alpha}{r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2.
    \]
    On the right hand side the dependence on time parameter can be eliminated as usual by the conservation of angular momentum,
    \[
    r^2\,\frac{d\varphi}{ds} = B = B_E\sqrt{h},
    \]
    and thus establishing the azimuthal angle \(\varphi\) as an orbital parameter. Then one obtains from Schwarzschild’s calculations
    \[
    \left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2 = \frac{1}{B^2}\,r^4 – \left(r^2 + \frac{h}{B^2}\,r^4\right)\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right),
    \]
    which yields
    \[
    \frac{\alpha}{r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2 = \frac{\alpha}{r}\,\frac{B^2}{r^4}\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2 \approx \frac{\alpha}{r}\,\frac{B^2}{r^4}\left(\frac{1 – h}{B^2}\,r^4 – r^2\right) = \frac{\alpha}{r}\,(1 – h) – \frac{\alpha}{r}\,\frac{B^2}{r^2}.
    \]
    Now we replace this expression in the energy equation and find
    \[
    u^2 – \frac{\alpha}{r} = (1 – h)\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right) + \frac{\alpha}{r}\,\frac{B^2}{r^2} = 1 – h – \frac{\alpha}{r} + h\,\frac{\alpha}{r}\left(1 + \frac{B^2_E}{r^2}\right).
    \]
    This equation shows that the constant \(A\) as given in (E.8) is indeed not a constant of motion for the solutions of (E.7b). And this can obviously still be stated for a Clairaut-style modification \(\Phi_N\left(1 + \frac{B^2}{r^2}\right)\) of the Newtonian potential \(\Phi_N = -\frac{\alpha}{2r}\) as long as one keeps the — somewhat classical — time parameter \(s\). Whereas it is true that such a modification can be interpreted as a velocity-dependent potential, it is definitely not true that Einstein has merely derived a classical and more or less Gerber-like potential in disguise, as Dr. Engelhardt is trying to suggest. However, the above equation can also be rewritten as
    \[
    u^2_E – \frac{\alpha}{r}\left(1 + \frac{B^2_E}{r^2}\right) = \frac{1-h}{h},
    \]
    which asserts the conservation of energy for the solutions of (E.7c). This can alternatively be expressed by
    \[
    \textstyle\frac{1}{2}\,u^2_E – \Phi_E = \displaystyle\frac{A}{h} =: A_E.
    \]
    We notice that also the value of Einstein’s energy constant \(A\) is affected by the change of the time parameter from \(s\) to \(\tau\). This is far less obvious than for the angular momentum \(B\) and was not even mentioned by Einstein. Of course, this detail has no consequences for deriving the orbital equation (E.11) from the energy principle.

    • @Chrys: Warum beginnt Ihre Rechnung mit
      \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2-r^2\left(\frac{d\varphi}{d\tau}\right)^2=1\]
      und nicht mit
      \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\varphi}{ds}\right)^2=1\]?
      Ich dachte, \(s\) sei die Eigenzeit und nicht \(\tau=s\sqrt{h}\).

    • @Chrys: Sie schreiben:
      “Then one obtains from Schwarzschild’s caculations:
      \[\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1}{B^2}r^4-\left(r^2+\frac{h}{B^2}r^4\right)\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)\]”
      Das lässt sich umschreiben zu:
      \[\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1-h}{B^2}r^4+\frac{\alpha r^3}{B^2}h+\alpha r-r^2\]
      Ich komme aber hier von Schwarzschild auf:
      \[\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2=\frac{2A}{B_E^2}+\frac{\alpha x}{B_E^2}+\alpha x^3-x^2\]
      Mit x=1/r folgt daraus:
      \[\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1-h}{B_E^2}r^4+\frac{alpha}{B_E^2}r^3+\alpha r-r^2\]
      wobei die Relation h=1-2A benutzt wurde. Mit \(B_E=B/\sqrt{h}\) folgt daraus:
      \[\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1-h}{B^2}hr^4+\frac{alpha}{B^2}hr^3+\alpha r-r^2\]
      Die Differenz zwischen den beiden Ausdrücken für \(\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2\) ist
      \[\left\frac{(1-h)^2}{B^2}r^4=\frac{4A^2}{B^2}r^4=\frac{4A^2}{B^2/r^2}r^2\]
      und damit von der gleichen Größenordnung wie \(alpha r\), also keineswegs vernachlässigbar.

    • Zweiter Versuch:

      @Chrys: Sie schreiben:
      “Then one obtains from Schwarzschild’s caculations:
      \[\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1}{B^2}r^4-\left(r^2+\frac{h}{B^2}r^4\right)\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)\]”
      Das lässt sich umschreiben zu:
      \[\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1-h}{B^2}r^4+\frac{\alpha r^3}{B^2}h+\alpha r-r^2\]
      Ich komme aber hier von Schwarzschild auf:
      \[\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2=\frac{2A}{B_E^2}+\frac{\alpha x}{B_E^2}+\alpha x^3-x^2\]
      Mit x=1/r folgt daraus:
      \[\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1-h}{B_E^2}r^4+\frac{\alpha}{B_E^2}r^3+\alpha r-r^2\]
      wobei die Relation h=1-2A benutzt wurde. Mit \(B_E=B/\sqrt{h}\) folgt daraus:
      \[\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2=\frac{1-h}{B^2}hr^4+\frac{\alpha}{B^2}hr^3+\alpha r-r^2\]
      Die Differenz zwischen den beiden Ausdrücken für \(\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2\) ist
      \[\frac{(1-h)^2}{B^2}r^4=\frac{4A^2}{B^2}r^4=\frac{4A^2}{B^2/r^2}r^2\]
      und damit von der gleichen Größenordnung* wie \(\alpha r\), also keineswegs vernachlässigbar.

      *(wenn man A, alpha/r und B²/r² als klein und von gleicher Größenordnung betrachtet)

  28. Dies ist nur ein Test:

    Getting Einstein from Schwarzschild
    Ich würde so vorgehen:
    Wir haben ein Variationsprinzip, nämlich
    \delta \int_{s_0}^{s_1}ds\sqrt{(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2}=0

  29. Dies ist nur ein Test:

    Getting Einstein from Schwarzschild
    Ich würde so vorgehen:
    Wir haben ein Variationsprinzip, nämlich
    \[\delta \int_{s_0}^{s_1}ds\sqrt{(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2}=0\]

  30. Getting Einstein from Schwarzschild
    Ich würde so vorgehen:
    Wir haben ein Variationsprinzip, nämlich
    \[\delta\int_{s_0}^{s_1}ds\sqrt{(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2}=0\].
    Bei Variation nur von \[t\] und \[\phi\] folgt:
    \[\int_{s_0}^{s_1}ds\frac{1}{\sqrt{\ldots}}\left[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}\delta\frac{dt}{ds}-r^2\frac{d\phi}{ds}\delta\frac{d\phi}{ds}\right]=0\].
    Partielle Integration mit \[\delta t=\delta\phi=0\] für \[s=s_0,s_1\] und \[\sqrt{\ldots}=1\] ergibt:
    \[\int_{s_0}^{s_1}ds\left[-\frac{d}{ds}\left((1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}\right)\delta t+\frac{d}{ds}\left(r^2\frac{d\phi}{ds}\right)\delta\phi\right]=0\].
    Daraus folgen zwei Konstanten der Bewegung:
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=const=\tau\] und
    \[r^2\frac{d\phi}{ds}=const=B\].
    Das setzen wir in die Gleichung
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=1
    ein und erhalten:
    \[\frac{\tau^2}{1-\alpha/r}-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-\frac{B^2}{r^2}=1.
    Daraus folgt:
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-\tau^2+\frac{B^2}{r^2}(1-\alpha/r)=-1+\alpha/r\].
    Und daraus folgt:
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{B^2}{r^2}-\alpha/r-\frac{B^2\alpha}{r^3}=\tau^2-1=2A\].
    Mit \[x=1/r\] und \[u^2=\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{ds^2}=\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{B^2}{r^2}\] folgt:
    \[u^2=2A+\alpha x+B^2\alpha x^3\].
    Das setzen wir in \[\left(\frac{dx}{d\phi}\right)^2=u^2/B^2-x^2\] ein und erhalten:
    \[\left(\frac{dx}{d\phi}\right)^2=\frac{2A}{B^2}+\frac{\alpha x}{B^2}+\alpha x^3-x^2\]. Und das ist Einsteins Gl. (11), die exakt aus der Schwarzschild-Metrik folgt, übrigens ohne Neudefinition von \[B\].

  31. Noch ein Versuch:

    Getting Einstein from Schwarzschild
    Ich würde so vorgehen:
    Wir haben ein Variationsprinzip, nämlich
    \[\delta\int_{s_0}^{s_1}ds\sqrt{(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2}=0\].
    Bei Variation nur von \(t\) und \(\phi\) folgt:
    \[\int_{s_0}^{s_1}ds\frac{1}{\sqrt{\ldots}}\left[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}\delta\frac{dt}{ds}-r^2\frac{d\phi}{ds}\delta\frac{d\phi}{ds}\right]=0\].
    Partielle Integration mit \(\delta t=\delta\phi=0\) für \(s=s_0,s_1\) und \(\sqrt{\ldots}=1\) ergibt:
    \[\int_{s_0}^{s_1}ds\left[-\frac{d}{ds}\left((1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}\right)\delta t+\frac{d}{ds}\left(r^2\frac{d\phi}{ds}\right)\delta\phi\right]=0\].
    Daraus folgen zwei Konstanten der Bewegung:
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=const=\tau\] und
    \[r^2\frac{d\phi}{ds}=const=B\].
    Das setzen wir in die Gleichung
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=1\]
    ein und erhalten:
    \[\frac{\tau^2}{1-\alpha/r}-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-\frac{B^2}{r^2}=1.\]
    Daraus folgt:
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-\tau^2+\frac{B^2}{r^2}(1-\alpha/r)=-1+\alpha/r\].
    Und daraus folgt:
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{B^2}{r^2}-\alpha/r-\frac{B^2\alpha}{r^3}=\tau^2-1=2A\].
    Mit \(x=1/r\) und \(u^2=\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{ds^2}=\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{B^2}{r^2}\) folgt:
    \[u^2=2A+\alpha x+B^2\alpha x^3\].
    Das setzen wir in \(\left(\frac{dx}{d\phi}\right)^2=u^2/B^2-x^2\) ein und erhalten:
    \[\left(\frac{dx}{d\phi}\right)^2=\frac{2A}{B^2}+\frac{\alpha x}{B^2}+\alpha x^3-x^2\]. Und das ist Einsteins Gl. (11), die exakt aus der Schwarzschild-Metrik folgt, übrigens ohne Neudefinition von \(B\).

  32. @Martin Raible / 24. Mai 2018 @ 01:22

    Als Referenz sei hier zunächst noch Schwarzschild (1916a) verlinkt; daraus zitierte Formelnummern sind durch ein S gekennzeichnet.

    Schreiben wir noch etwas weiter um,
    \[
    \left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2 = \frac{1-h}{B^2}\,r^4 + \frac{\alpha h}{B^2}\\,r^3 + \alpha r – r^2 = \frac{1-h}{h}\,\frac{1}{B^2_E}\,r^4 + \frac{\alpha}{B^2_E}\,r^3 + \alpha r – r^2.
    \]
    Schwarzschild führt an entsprechender Stelle dann die Bezeichnung \((1-h)/h = 2A\) ein, und eben dieses post-(E.7c)-\(A\) ist mein \(A_E\). Einsteins pre-(E.7c)-\(A\) kommt bei Schwarzschild gar nicht vor, doch ist die Beziehung zwischen Schwarzschilds \(h\) und diesem \(A\) durch die Bestimmung des Zeitparameters \(s\) gegeben. Denn (S.17) korrespondiert mit (E.9) für \(\alpha^2/r^2 \approx 0\) gemäss
    \[
    \frac{dt}{ds} = \left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-1} \approx 1 + \frac{\alpha}{r},
    \]
    d.h., beide bestimmen im Rahmen der Einsteinschen Näherung das gleiche \(s\). In (S.15) ist nun \(\sqrt{h}\) als der Betrag der 4-Geschw. einer Lösung definiert, womit bei Schwarzschild die Relation zwischen \(s\) und der Eigenzeit \(\tau\) durch \(\tau = s\sqrt{h}\) festgelegt ist. Einstein hat stattdessen \(\tau = s\sqrt{1 – 2A}\) mit dem \(A\) aus (E.8), und folglich gilt dann \(h \approx 1 – 2A\). Wenn nun im Rahmen von Einsteins Näherung \(h := 1 – 2A\) gesetzt wird, so ist dieses \(h\) zwar nicht exakt das \(h\) aus (S.15), aber mit der Approximation \(\alpha^2/r^2 = 0\) wird (S.15) schliesslich zu
    \[
    \left(1 + \frac{\alpha}{r}\right) – \left(1 + \frac{\alpha}{r}\right)\left(\frac{dr}{ds}\right)^2 – r^2\left(\frac{d\varphi}{ds}\right)^2 = h,
    \]
    und dort steht dann rechts das \(h = 1 – 2A\). Falls nun zwischen dem pre-(E.7c)-\(A\) und dem post-(E.7c)-\(A\) nicht unterschieden wird, entsteht so ein hausgemachter und durch geeignete Wahl der Bezeichnungen leicht vermeidbarer Konflikt:
    \[
    \text{pre-(E7c):}\quad 1 – h = 2A \quad\text{vs. post-(E.7c):}\quad \frac{1-h}{h}\stackrel{!}{=} 2A.
    \]
    Bei Einsteins Umparametrisierung bleibt das Verhältnis \(A/B^2\) eines Orbits erhalten. Da jedoch das \(B\) dabei eine etwas geänderte Bedeutung erfährt, muss dies entsprechend dann auch für das \(A\) gelten.

  33. Reparatur der verunglückten Formel:
    \[
    \left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2 = \frac{1-h}{B^2}\,r^4 + \frac{\alpha h}{B^2}\,r^3 + \alpha r – r^2 = \frac{1-h}{h}\,\frac{1}{B^2_E}\,r^4 + \frac{\alpha}{B^2_E}\,r^3 + \alpha r – r^2.
    \]

  34. @Chrys:
    Schwarzschild setzt für die Eigenzeit \(\tau\) die Gleichung \(\tau=s\sqrt{h}\) mit \((1-h)/h\)=2A\). Das geht aus seiner Gleichung S15 und den auf S18 folgenden Bezeichnungen hervor. Aus \((1-h)/h\)=2A\) folgt \(h=1/(1+2A)\). Aus der Gleichung S17
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=1\]
    folgt daher
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{d\tau}=1/\sqrt{h}=\sqrt{1+2A}\]
    Außerdem ist nach Schwarzschilds S16 \(r^2\frac{d\phi}{ds}=c\) und damit \(r^2\frac{d\phi}{d\tau}=c\sqrt{1+2A}=B_E\).

    Einstein setzt nun hingegen \(\tau=s\sqrt{h}\) mit einem anderen \(h\), nämlich \(h=1-2A\). Damit ist Einsteins s nicht exakt mit Schwarzschilds s identisch. Aus Einsteins Definition folgt daher
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}\]
    Außerdem ist \(r^2\frac{d\phi}{ds}=B_E\sqrt{1-2A}=B\). Das setzen wir nun in
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=h=1-2A\]
    ein und erhalten dadurch:
    \[\frac{(1+2A)(1-2A)}{1-\alpha/r}-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-B^2/r^2=1-2A\]
    (Und das können wir nicht vereinfachen zu
    \[1+\alpha/r-(1+\alpha/r)\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-B^2/r^2=1-2A\]
    , da sich die Terme nullter Ordnung in \(A\), \(\alpha/r\), \(\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\) und \(B^2/r^2\), also die 1, herauskürzen. Wir müssen also auch die Terme zweiter Ordnung berücksichtigen.)
    Aus der Gleichung folgt dann
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-(1+2A)(1-2A)+\frac{B^2}{r^2}(1-\alpha/r)=-(1-\alpha/r)(1-2A)\)
    Daraus folgt:
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-2A(1-2A)+\frac{B^2}{r^2}(1-\alpha/r)=(\alpha/r)/1-2A)\]
    Und das ergibt:
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{B^2}{r^2}=(2A+\alpha/r)(1-2A)+\frac{B^2\alpha}{r^3}\]
    Mit \(u^2=(dr^2+r^2d\phi^2)/ds^2=\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{B^2}{r^2}\) folgt schließlich
    \[u^2=(2A+\alpha/r)(1-2A)+\frac{B^2\alpha}{r^3}\]
    Diese Gleichung nenne ich X1.

    Aus X1 folgt, wenn man nur Terme erster Ordnung in \(A\), \(\alpha/r\) und \(B^2/r^2\) berücksichtigt, die Gleichung
    \[u^2=2A+\alpha/r\]
    Diese Gleichung nenne ich X2. X2 stimmt mit der ersten der Gleichungen E8 überein.

    Nun ist \(u_E^2\) durch \(u_E^2=(dr^2+r^2d\phi^2)/d\tau^2=u^2/(1-2A)\) definiert. Außerdem ist \(B_E\sqrt{1-2A}=B\). Dividiert man X1 durch \(1-2A\), so erhält man deswegen:
    \[u_E^2=2A+\alpha/r+\frac{B_E^2\alpha}{r^3}\]
    Diese Gleichung nenne ich X3. Sie stimmt mit der unnummerierten Gleichung unterhalb von Einsteins Gl. (7c) überein.

    In den gleichungen X1, X2 und X3 steht jeweils dasselbe \(A\). Deshalb ist keine Umdefinition von \(A\) nötig. Einstein schreibt ja auch nirgends “bei etwas geänderter Bedeutung der Konstanten A”.

  35. Zweiter Versuch:

    @Chrys:
    Schwarzschild setzt für die Eigenzeit \(\tau\) die Gleichung \(\tau=s\sqrt{h}\) mit \((1-h)/h=2A\). Das geht aus seiner Gleichung S15 und den auf S18 folgenden Bezeichnungen hervor. Aus \((1-h)/h=2A\) folgt \(h=1/(1+2A)\). Aus der Gleichung S17
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=1\]
    folgt daher
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{d\tau}=1/\sqrt{h}=\sqrt{1+2A}\]
    Außerdem ist nach Schwarzschilds S16 \(r^2\frac{d\phi}{ds}=c\) und damit \(r^2\frac{d\phi}{d\tau}=c\sqrt{1+2A}=B_E\).

    Einstein setzt nun hingegen \(\tau=s\sqrt{h}\) mit einem anderen \(h\), nämlich \(h=1-2A\). Damit ist Einsteins s nicht exakt mit Schwarzschilds s identisch. Aus Einsteins Definition folgt daher
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}\]
    Außerdem ist \(r^2\frac{d\phi}{ds}=B_E\sqrt{1-2A}=B\). Das setzen wir nun in
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=h=1-2A\]
    ein und erhalten dadurch:
    \[\frac{(1+2A)(1-2A)}{1-\alpha/r}-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-B^2/r^2=1-2A\]
    (Und das können wir nicht vereinfachen zu
    \[1+\alpha/r-(1+\alpha/r)\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-B^2/r^2=1-2A\]
    , da sich die Terme nullter Ordnung in \(A\), \(\alpha/r\), \(\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\) und \(B^2/r^2\), also die 1, herauskürzen. Wir müssen also auch die Terme zweiter Ordnung berücksichtigen.)
    Aus der Gleichung folgt dann
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-(1+2A)(1-2A)+\frac{B^2}{r^2}(1-\alpha/r)=-(1-\alpha/r)(1-2A)\]
    Daraus folgt:
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-2A(1-2A)+\frac{B^2}{r^2}(1-\alpha/r)=(\alpha/r)/1-2A)\]
    Und das ergibt:
    \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{B^2}{r^2}=(2A+\alpha/r)(1-2A)+\frac{B^2\alpha}{r^3}\]
    Mit \(u^2=(dr^2+r^2d\phi^2)/ds^2=\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+\frac{B^2}{r^2}\) folgt schließlich
    \[u^2=(2A+\alpha/r)(1-2A)+\frac{B^2\alpha}{r^3}\]
    Diese Gleichung nenne ich X1.

    Aus X1 folgt, wenn man nur Terme erster Ordnung in \(A\), \(\alpha/r\) und \(B^2/r^2\) berücksichtigt, die Gleichung
    \[u^2=2A+\alpha/r\]
    Diese Gleichung nenne ich X2. X2 stimmt mit der ersten der Gleichungen E8 überein.

    Nun ist \(u_E^2\) durch \(u_E^2=(dr^2+r^2d\phi^2)/d\tau^2=u^2/(1-2A)\) definiert. Außerdem ist \(B_E\sqrt{1-2A}=B\). Dividiert man X1 durch \(1-2A\), so erhält man deswegen:
    \[u_E^2=2A+\alpha/r+\frac{B_E^2\alpha}{r^3}\]
    Diese Gleichung nenne ich X3. Sie stimmt mit der unnummerierten Gleichung unterhalb von Einsteins Gl. (7c) überein.

    In den gleichungen X1, X2 und X3 steht jeweils dasselbe \(A\). Deshalb ist keine Umdefinition von \(A\) nötig. Einstein schreibt ja auch nirgends “bei etwas geänderter Bedeutung der Konstanten A”.

    • Korrektur einer verunglückten Formel:
      \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-2A(1-2A)+\frac{B^2}{r^2}(1-\alpha/r)=(\alpha/r)(1-2A)\]
      statt
      \[\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-2A(1-2A)+\frac{B^2}{r^2}(1-\alpha/r)=(\alpha/r)/1-2A)\]

  36. @Martin Raible / 26. Mai 2018 @ 01:58

    »Aus Einsteins Definition folgt daher«
    \[
    (1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}
    \]
    Was recht offensichtlich dann aber nicht (E.9) ist, wo Einstein den Zeitparameter \(s\) durch
    \[
    \left(1-\frac{\alpha}{r}\right)\frac{dt}{ds} \approx \left(1+\frac{\alpha}{r}\right)^{-1}\frac{dt}{ds} = 1\quad\text{sofern}\quad \frac{\alpha^2}{r^2}\approx 0
    \]
    festlegt, und zwar völlig unabhängig von jeglichen Konstanten namens \(A\). Und diesem Vorgehen folgt Schwarzschild dann bei seiner Festlegung der Zeiteihnheit (S.17). Auf diese Weise kommen beide zum gleichen \(s\), wobei diese Vergleichbarkeit naturgemäss die einschränkende Bedingung \(\alpha^2/r^2 \approx 0\) voraussetzt. Diese Bedingung ist zunächst notwendig, um die Vergleichbarkeit der metrischen Koeffizienten zu garantieren,
    \[
    \underbrace{\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-1}}_{\text{Schwarzschild}}dr^2 \approx \left(1 – \frac{\alpha^2}{r^2}\right)\left(1 – \frac{\alpha}{r}\right)^{-1}dr^2 = \underbrace{\left(1 + \frac{\alpha}{r}\right)}_{\text{Einstein}}dr^2.
    \]
    Damit ist jedoch nicht unbedingt klar, ob sie für Einsteins labyrinthische Herleitung von (E.11) auch hinreichend ist. Mit meiner Betrachtung vom 20. Mai 2018 @ 14:31 habe ich mich lediglich davon überzeugt, dass dies tatsächlich der Fall ist. Denn es ist die einzige Bedingung, die es braucht, um Einsteins Kalkulationen aus Schwarzschilds einfacher Herleitung zu rekonsruieren. Mehr ist da nicht.

    Können Sie denn anhand von Einsteins Text konkretisieren, was Sie glauben macht, er müsse gemeint haben, das \(A\) aus (E.8) sei das gleiche wie das nach (E.7c)? Dergleichen sehe ich nicht, und seine Argumentation erfordert das schliesslich auch nicht.

  37. Schwarzschild hat \(\tau\)=s\sqrt{h}\) mit \(h=1/(1+2A)\), und Einstein hat \(\tau\)=s\sqrt{h}\) mit \(h=1-2A\). Wenn man die Konsequenz
    \[s_{Einstein}=\frac{s_{Schwarzschild}}{\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}}\]
    nicht ziehen will, so muss man zeigen, dass Einstein und Schwarzschild unterschiedliches \(A\) oder unterschiedliches \(\tau\) haben.

    Nun haben Einstein und Schwarzschild beide die Gleichung
    \[\left(\frac{dx}{d\phi}\right)^2=\frac{2A}{B^2}+\frac{\alpha x}{B^2}-x^2+\alpha x^3\]
    und deswegen haben beide das gleiche \(A\) und (ab Einsteins Neudefinition von \(B\)) auch das gleiche \(B\).

    Bei Schwarzschild ist \(\tau=s\sqrt{h}\) die Eigenzeit, und es lässt sich aus S15 bis S17 und den Bezeichnungen \(c^2/h=B^2\) und \((1-h)/h=2A\) die Gleichung
    \[\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{d\tau^2}=2A+\frac{\alpha}{r}+\frac{B^2\alpha}{r^3}\]
    herleiten. Diese Gleichung steht aber auch bei Einstein unterhalb von Gleichung E7c (wobei Einstein das \(\tau\) wieder \(s\) genannt hat). Also haben Einstein und Schwarzschild das gleiche \(\tau\).

    Somit können wir die Konsequenz
    \[s_{Einstein}=\frac{s_{Schwarzschild}}{\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}}\]
    nicht vermeiden.

    Für das Schwarzschildsche \(s\) gilt Gl. S17:
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=1\]
    Für das Einsteinsche \(s\) muss daher
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}\]
    gelten. Diese Gleichung besitzt die Näherung Gl. E9:
    \[\frac{dt}{ds}=1+\alpha/r\]
    wenn man Terme zweiter Ordnung in \(A\) und \(\alpha/r\) vernachlässigt. Diese Näherung ist genau genug, wo Einstein sie einsetzt. Sie ist aber nicht genau genug, um in die Gleichung
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=h=1-2A\]
    eingesetzt zu werden. Denn man muss hier alle Glieder erster und zweiter Ordnung in \(A\), \(\alpha/r\), \(r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=B^2/r^2\) und \(\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\) berücksichtigen, um einen in Größen zweiter Ordnung genauen Ausdruck für \(\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\) zu finden.

    Die Gleichung
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=h=1-2A\]
    kann übrigens durch
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-(1+\alpha/r})\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=h=1-2A\]
    ersetzt werden, denn dadurch ändern wir nur Terme dritter Ordnung. Somit ist es egal, ob man den Schwarzschildschen oder den Einsteinschen metrischen Tensor einsetzt. Es ist aber nicht genau genug, den ersten Term auf der linken Seite einer dieser beiden Gleichungen durch \(1+\alpha/r\) zu ersetzen, denn dadurch verändern wir Terme zweiter Ordnung und erhalten ein falsches Ergebnis für \(\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\).

  38. Zweiter Versuch:

    @Chrys / 26. Mai 2018 @ 16:06

    Schwarzschild hat \(\tau=s\sqrt{h}\) mit \(h=1/(1+2A)\), und Einstein hat \(\tau=s\sqrt{h}\) mit \(h=1-2A\). Wenn man die Konsequenz
    \[s_{Einstein}=\frac{s_{Schwarzschild}}{\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}}\]
    nicht ziehen will, so muss man zeigen, dass Einstein und Schwarzschild unterschiedliches \(A\) oder unterschiedliches \(\tau\) haben.

    Nun haben Einstein und Schwarzschild beide die Gleichung
    \[\left(\frac{dx}{d\phi}\right)^2=\frac{2A}{B^2}+\frac{\alpha x}{B^2}-x^2+\alpha x^3\]
    und deswegen haben beide das gleiche \(A\) und (ab Einsteins Neudefinition von \(B\)) auch das gleiche \(B\).

    Bei Schwarzschild ist \(\tau=s\sqrt{h}\) die Eigenzeit, und es lässt sich aus S15 bis S17 und den Bezeichnungen \(c^2/h=B^2\) und \((1-h)/h=2A\) die Gleichung
    \[\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{d\tau^2}=2A+\frac{\alpha}{r}+\frac{B^2\alpha}{r^3}\]
    herleiten. Diese Gleichung steht aber auch bei Einstein unterhalb von Gleichung E7c (wobei Einstein das \(\tau\) wieder \(s\) genannt hat). Also haben Einstein und Schwarzschild das gleiche \(\tau\).

    Somit können wir die Konsequenz
    \[s_{Einstein}=\frac{s_{Schwarzschild}}{\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}}\]
    nicht vermeiden.

    Für das Schwarzschildsche \(s\) gilt Gl. S17:
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=1\]
    Für das Einsteinsche \(s\) muss daher
    \[(1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}\]
    gelten. Diese Gleichung besitzt die Näherung Gl. E9:
    \[\frac{dt}{ds}=1+\alpha/r\]
    wenn man Terme zweiter Ordnung in \(A\) und \(\alpha/r\) vernachlässigt. Diese Näherung ist genau genug, wo Einstein sie einsetzt. Sie ist aber nicht genau genug, um in die Gleichung
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=h=1-2A\]
    eingesetzt zu werden. Denn man muss hier alle Glieder erster und zweiter Ordnung in \(A\), \(\alpha/r\), \(r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=B^2/r^2\) und \(\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\) berücksichtigen, um einen in Größen zweiter Ordnung genauen Ausdruck für \(\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\) zu finden.

    Die Gleichung
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac{1}{1-\alpha/r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=h=1-2A\]
    kann übrigens durch
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-(1+\alpha/r)\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=h=1-2A\]
    ersetzt werden, denn dadurch ändern wir nur Terme dritter Ordnung. Somit ist es egal, ob man den Schwarzschildschen oder den Einsteinschen metrischen Tensor einsetzt. Es ist aber nicht genau genug, den ersten Term auf der linken Seite einer dieser beiden Gleichungen durch \(1+\alpha/r\) zu ersetzen, denn dadurch verändern wir Terme zweiter Ordnung und erhalten ein falsches Ergebnis für \(\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\).

  39. @Martin Raible / 28. Mai 2018 @ 09:33

    Einstein schreibt doch ganz klar, wie er auf (E.9) kommt: “Wir haben nun die Gleichungen (7) um eine Größenordnung genauer auszuwerten. Die letzte der Gleichungen (7) liefert dann zusammen mit (6b) … (9)” In der Geodätengl. (E.7) ist naturgemäss kein \(A\) zu finden. An dieser Stelle hat er nicht die geringste Veranlassung, dort wie auch immer einen Bezug zu \(A\) herzustellen. Anscheinend wollen sie mit Ihrer Gleichung
    \[
    (1-\alpha/r)\frac{dt}{ds}=\sqrt{1+2A}\sqrt{1-2A}
    \]
    unter der zusätzlichen Annahme eines vernächlässigbar kleinen \(A^2\) hier eine Náherung ins Spiel bringen, die Einstein jedoch in keiner Weise unternimmt.

    Die Bedingung \(A^2 \approx 0\) bedeutet eine Einschränkung auf approximativ parabolische Bahnen. Dass die Merkurbahn, um die es Einstein geht, in diesem Sinne als approximativ parabolisch durchgeht, darf zumindest bezweifelt werden. Eine Betrachtung darüber, ob oder inwiefern da irgendwo \(A^2 \approx 0\) gilt, stellt er nicht an, und das muss ihn auch nicht interessieren.

    Mit (E.7c) hat Einstein erreicht, dass die Lösungen seiner Bewegungsgl. in dieser Darstellung Bahnen beschreiben, die einer Bewegung im Potentialkraftfeld von \(\Phi_E\) entsprechen. Für solche Bahnen gilt die Energieerhaltung, woarus er im Anschluss (E.11) gewinnt, und die Energie einer Bahn bezeichnet er dabei mit \(A\). Eine zusátzliche Einschránkung auf approximativ parabolische Bahnen ist dazu jedoch weder erforderlich noch wünschenswert.

    Schwarzschild hat für seine Geodäten gar kein \(A\), sondern nur die Energiekonstante \(h\). Der Koeffizientenvergleich mit Einsteins (E.11) und dem dort auftretenden \(A\) liefert ihm die Beziehung \((1 – h)/h = 2A\). Zum exakt gleichen Ergebnis gelange ich, wenn ich in Analogie dazu aus Einsteins Rechnungen zunächst das \(A\) von (E.8) vermittels \(h = 1 – 2A\) eliminiere, damit wie gesehen zu \(u^2_E + 2\Phi_E = (1 – h)/h\) komme, und letztlich die rechte Seite nach Einsteins Vorbild wieder \(2A\) nenne. Doch dann lande ich zunächst auch bei der dummen Formel
    \[
    \frac{2A}{1 – 2A} \stackrel{!}{=} 2A,
    \]
    aus der Earman & Janssen prinzipiell schliessen wollen, dass \(A = 0\) gelten muss. Sie wollen entsprechend in einer etwas abgemilderter Form offenbar schliessen, dass \(A^2 \approx 0\) gelten soll. Ich schliesse hingegen nur, dass exzessives Symbol-Recycling keine gute Idee ist und das \(A\) auf der rechten besser nicht wieder \(A\) genannt werden sollte, denn damit liesse sich die ganze Verwirrung vermeiden.

  40. Einsteins Weg von A zu A

    Im Kontext von Einsteins Auswertung der Geodätengl. (E.7) in zweiter Ordnung, beginnend auf S. 836, ergibt sich die Grösse \(A\) im Zuge einer klassischen Deutung zunächt als erste Näherung für die klassische Energie (\(E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}}\)) eines Orbits in der \((r,\varphi)\)-Ebene, welcher durch eine Lösung der als Ergebnis dieser Auswertung erhaltenen Bewegungsgleichungen beschrieben wird.

    Die klassische Deutung erfordert, dass er zuerst die Gleichung für \(x_4\) aus (E.7) separiert, die Festlegung eines Zeitparameters \(s\) vornimmt, und mit Bezug auf dieses \(s\) die verbleibenden Gleichungen aus (E.7) als klassische Bewegungsgleichungen formuliert. Die in (E.9) getroffene Festlegung von \(s\) folgt der zuvor von ihm betrachteten Auswertung erster Ordnung (E.7a) mit der Wahl \(s = x_4\), sodass sich sich nun gegenüber dieser lediglich Abweichungen in der Ordnung von \(\alpha/r\) ergeben. Mit Bezug auf (E.9) erhält er anschliessend aus (E.7) seine klassischen Bewegungsgleichungen (E.7b).

    Nun kann er eine Lösung von (E.7b) ins Auge fassen und mit Hinblick auf die getroffenen Festlegungen unter Verwendung des Flächensatzes (E.7b) umschreiben zu
    \[
    \frac{d^2x_\nu}{ds^2} = -\frac{\alpha}{2}\,\frac{x_\nu}{r^3}\left(1 + \frac{\alpha}{r} – u^2 + 3\,\frac{B^2}{r^2}\right).
    \]
    Den Energiesatz betreffend hat er indessen einstweilen nur in erster Näherung die Existenz einer Konstanten \(A\), sodass
    \[
    \textstyle u^2 – \frac{\alpha}{r} = 2A + O(\frac{\alpha}{r})
    \]
    gilt. Diese erste Näherung ist jedoch hinreichend, um \(\alpha/r – u^2\) im Klammerausdruck der Bewegungsgl. durch \(-2A\) zu ersetzen, denn insgesamt fällt dabei auf der rechten Seite nur ein — im Rahmen von Einsteins zweiter Näherung vernachlässigbarer — Fehler der Ordnung \(\frac{\alpha}{r^2}\,O(\frac{\alpha}{r}) = \frac{\alpha^2}{r^2}\,O(\frac{1}{r}) \approx 0\) an.

    Die Grössen \(A\) und \(B\) sind zum einen spezifisch für den ins Auge gefassten Orbit, zum anderen ist ihr Wert i.a. aber durch die Festlegung von \(s\) bestimmt. Im Falle \(A \neq 0\) sind diese Grössen unter der im nächsten Schritt vorgenommenen Umparamatrisierung von Lösungen nicht invariant. Setzen wir wieder \(h = 1 – 2A\), so hat bezogen auf den Zeitparameter \(\tau = s\sqrt{h}\) insbesondere der Drehimpuls den Wert \(B_E = B/\sqrt{h}\), und für die kinet. Energie des Orbits folgt entsprechend \(\frac{1}{2}u^2_E = \frac{1}{2}u^2/h\).

    Mit dem Wechsel des Zeitparameters von \(s\) zu \(\tau\) erreicht Einstein, dass die transformierten Bewegungsgl. eine Beschreibung der Bewegung in einem konservativen Kraftfeld mit dem Potential
    \[
    \Phi_E = -\frac{\alpha}{2r}\left(1 + \frac{B^2_E}{r^2}\right)
    \]
    liefern, es gilt hier also der klassische Energiesatz in strikter Form. Das heisst, es existiert für den ins Auge gefassten Orbit eine Konstante \(A_E\), sodass
    \[
    u^2_E + 2\Phi_E = 2A_E
    \]
    gilt. Dies entspricht der bei Einsteins auf (E.7c) folgenden Gleichung ohne Nummer.

    Das \(A_E\) ist die klassische Energie eines Orbits für Einsteins zweite Näherung, und \(A_E\) lässt sich definieren, ohne dass man sich Gedanken über die formale Beziehung zwischen \(A_E\) und \(A\) machen müsste. Um dies dennoch zu tun, schreiben wir die oben verwendete erste Näherung für den Energiesatz um als \(u^2 = 2A + \frac{\alpha}{r} + O(\frac{\alpha}{r})\), was äquivalent ist zu
    \[
    \textstyle h\left(u^2_E + 2\Phi_E\right) = 2A + \frac{\alpha}{r} + h2\Phi_E + O(\frac{\alpha}{r}) = 2A + O(\frac{\alpha}{r}).
    \]
    Der Vergleich mit der Formel für die Energieerhaltung zeigt, dass die rechte Seite konstant ist und notwendigerweise dann \(A_E = A/h = A/(1 – 2A)\) gilt.

  41. @Chrys / 29. Mai 2018 @ 12:17

    Ihre Gleichung
    \[u^2-\frac{\alpha}{r}=2A+O(\frac{\alpha}{r})\]
    müsste eigentlich lauten:
    \[u^2-\frac{\alpha}{r}=2A+(\text{Groessen zweiter Ordnung in }A,\alpha/r,B^2/r^2)\]

    Ihre spätere Gleichung
    \[h(u_E^2+2\Phi_E)=2A+\frac{\alpha}{r}+h2\Phi_E+O(\frac{\alpha}{r})\]
    muss ich daher umschreiben zu
    \[h(u_E^2+2\Phi_E)=2A+\frac{\alpha}{r}+h2\Phi_E+(\text{Groessen zweiter Ordnung in }A,\alpha/r,B^2/r^2)\]
    und daher zu
    \[u_E^2+2\Phi_E=2A+(\text{Groessen zweiter Ordnung in }A,\alpha/r,B^2/r^2)\]

  42. @Chrys / 29. Mai 2018 @ 12:17

    Ihre Gleichung
    \[u^2-\frac{\alpha}{r}=2A+O(\frac{\alpha}{r})\]
    müsste eigentlich lauten:
    \[u^2-\frac{\alpha}{r}=2A+(\text{Groessen zweiter Ordnung in }A,\alpha/r,B^2/r^2)\]

    Ihre spätere Gleichung
    \[h(u_E^2+2\Phi_E)=2A+\frac{\alpha}{r}+h2\Phi_E+O(\frac{\alpha}{r})\]
    muss ich daher umschreiben zu
    \[h(u_E^2+2\Phi_E)=2A+\frac{\alpha}{r}+h2\Phi_E+(\text{Groessen zweiter Ordnung in }A,\alpha/r,B^2/r^2)\]
    und daher zu
    \[u_E^2+2\Phi_E=2A+(\text{Groessen zweiter Ordnung in }A,\alpha/r,B^2/r^2)\]
    Diese Gleichung nenne ich Y.

    Leider kann man aus dieser Gleichung nicht erkennen, dass exakt gilt:
    \[u_E^2+2\Phi_E=2A\]
    Man kann nicht einmal erkennen, dass
    \[u_E^2+2\Phi_E=2A+(\text{Groessen dritter Ordnung in }A,\alpha/r,B^2/r^2)\]
    gilt.

    Das liegt daran, dass man von der nur in Größen erster Ordnung genauen Gl. E8 nicht auf die in Größen zweiter Ordnung genaue unnummerierte Gleichung nach Gl. E7c kommen kann.

    Aus Y folgt auch nicht
    \[u_E^2+2\Phi_E=2A/h+(\text{Groessen dritter Ordnung in }A,\alpha/r,B^2/r^2)\]

    Ihre Behauptung \(A_E=A/h=A/(1-2A)\) ist deswegen völlig unbegründet, denn man müsste das Kunststück vollbringen, von E8 durch Division durch h auf eine in Größen zweiter Ordnung genaue Gleichung zu kommen, um solch eine Gleichung begründen zu können.

  43. @Martin Raible / 2. Juni 2018 @ 00:55

    Mit Hinblick auf die Koeffizienten der Metrik, die mit Einsteins in zweiter Ordnung ausgewerteteten Geodätengl. korrespondiert, erhält man insbesondere die Darstellung
    \[
    u^2 – \frac{\alpha}{r} = 2A – \frac{\alpha}{r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2,
    \]
    sodass sich ziemlich gut herausfinden lässt, was da eigentlich auf der rechten Seite steht und was nicht.(*) Und unter Verwendung des Flächensatzes lässt sich dann ziemlich rasch herausfinden, dass dort keine “Grössen zweiter Ordnung in \(B^2/r^2\)” stehen — sofern Sie denn von einer “Grösse zweiter Ordnung in \(B^2/r^2\)” im selben Sinne reden, in dem Sie zuvor stets von \(A^2\) als einer “Grösse zweiter Ordnung in \(A\)” geredet haben. Damit können wir diesen Teil schon mal ersatzlos streichen.

    Nach Ihrer Deutung bliebe dann noch immer die Forderung nach einer Formulierung der folgenden Art: Für einen aus (E.7b) erhaltenenen Orbit existiert eine Konstante \(A\), sodass
    \[
    u^2-\frac{\alpha}{r}=2A+(\text{Groessen zweiter Ordnung in }A,\alpha/r)
    \]
    gilt. Aber was soll denn eine “Grösse zweiter Ordnung in einer Konstanten” denn überhaupt sein? Wer auf Einsteins Weg bis zu dieser Stelle gefolgt ist, wo also der Energiesatz aus (E.8) als eine erste Näherung für die Energie von Orbits aus (E.7b) herangezogen wird, kann in einer solchen Formuliereung keinen Sinn erkennen. Ausgesagt werden soll doch nur die Existenz einer Konstanten, die ausdrückt, was auf der rechten Seite konstant ist, und was was da nicht konstant ist, hat einen Faktor \(\alpha/r\).

    Ihre Motivation, hier von “Grössen zweiter Ordnung in \(A\)” zu reden, stammt doch nur daher, dass Sie bereits davon ausgehen, das \(A\) hier sei unbedingt auch das \(A\) nach (E.7c), von dem wir als Fussgänger auf Einsteins Pfad jedoch noch gar nichts wissen. Und Sie legen sich daher hier mit Ihrer “Ordnung in \(A\)” ein Argument zurecht, das Sie hinterher dazu verwenden, Ihre Prämisse der Gleichheit dieser beiden Konstanten als eine Schlussfolgerung zu präsentieren.

    Dieses Argument mit der Ordnung erscheint Ihnen gewiss irgendwie mathematisch, aber was bitte haben denn die Potenzen einer Konstanten mit der Ordnung von Einsteins Auswertung seiner Geodätengleichung zu tun? Rein gar nichts, und was Sie da betreiben ist daher auch keine math. Physik, sondern eher schon okkulter Symbolismus.

    Um zu (E.7c) zu kommen, reicht es Einstein völlig hin zu wissen, dass da auf der rechten Seite \(A + O(\frac{\alpha}{r})\) steht, und das können wir ihm auch nachtun, wenn wir einfach nur in seiner Spur bleiben. In (E.7c) ist nun das alte \(A\) erfolgreich eliminiert. Anschliessend schreibt er lapidar: “Bei der Bestimmung der Bahnform geht man nun genau vor wie im Newtonschen Falle. Aus (7c) erhält man zunächst [unter Vermeidung seines Symbol-Recyclings]
    \[
    u^2_E = 2A_E – 2\Phi_E.
    \]
    Wie erhält man denn diese Gleichung aus (E.7c)? Er gibt uns den Hinweis, genau wie im Newtonschen Falle vorzugehen. Okay, das schaffen wir. Aber wie Sie es schaffen wollen, unter Beachtung von Einsteins Anleitung dann auch noch auf \(A_E = A\) mit dem alten \(A\) zu schliessen, ist mir schleierhaft. Da ist keine Analogie zum Newtonschen Fall. Hier müssten Sie jetzt ein plausibles und solides Argument bringen, um die Behauptung dieser Gleichheit zu vertreten, andernfalls können Sie’s vergessen.

    (*) Dabei wird bereits ersichtlich, dass Kreisbahnen einen etwas ausgearteten Grenzfall darstellen, was ansonsten womöglich erst bei (E.11) irgendwie auffällt. Einstein hat zur Besonderheit von Kreisbahnen nichts gesagt, und da ist auch kein ernsthaftes Problem. Um hier möglichst wenig von Einsteins Vorgehen abzulenken, erscheint es angeraten, ihm auch in dieser Hinsicht zu folgen und Kreisbahnen oBdA ausser acht zu lassen.

  44. @Chrys 3. Juni 2018 @ 17:15

    Wo bitte kommt Ihre Gleichung
    \[u^2-\frac{\alpha}{r}=2A-\frac{\alpha}{r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\]
    her?

    Anscheinend haben Sie in der Gleichung
    \[(1-\alpha/r)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-(1+\alpha/r)\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=1-2A\]
    den ersten Summanden auf der linken Seite durch \(1+\alpha/r\) ersetzt. Und diese Ersetzung ist nur in Größen erster Ordnung genau, so dass sich nicht “ziemlich gut herausfinden” lässt, dass auf der rechten Seite Ihrer Gleichung \(2A-\frac{\alpha}{r}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\) und nicht \(2A+(\text{Grossen zweiter Ordnung in }A, \alpha/r, B^2/r^2)\) steht.

    Aus \(u_E^2=2A+\alpha/r+\alpha B_E^2/r^3\), der Gleichung, die unter Einsteins Gl. E7c steht, folgt jedenfalls nach Multiplikation mit \(1-2A\):
    \[u^2=(2A+\alpha/r)(1-2A)+\alpha B^2/r^3\]
    so dass meine Gleichung
    \[u^2-\frac{\alpha}{r}=2A+(\text{Grossen zweiter Ordnung in }A, \alpha/r, B^2/r^2)\]
    stimmt.

    Eine Größe zweiter Ordnung in einer Konstanten ist das Gleiche wie eine Größe zweiter Ordnung in einer Nichtkonstanten. Was würden Sie denn sagen, wenn diese Konstante ein kleines bisschen nichtkonstant wäre? Wenn A während eines Merkur-Orbits um ein Hundertstel schwanken würde? Würden Sie mir dann gestatten, von Größen zweiter Ordnung in A zu sprechen? Wenn Sie mir das gestatten, während Sie es mir im Falle einer Konstanten nicht gestatten, betreiben Sie Okkultismus.

  45. @Chrys 5. Juni 2018 @ 17:33

    Sie haben mir die Sache schwieriger gemacht, indem Sie mir vorgeschrieben haben, dass \(A^2\) nicht eine Größe zweiter Ordnung, sondern nur das Quadrat des Werts einer Größe erster Ordnung sei. Aber selbst dann komme ich an mein Ziel:

    Wenn man die Gleichung
    \[u_E^2=2A+\frac{\alpha}{r}+\frac{\alpha B_E^2}{r^3}\]
    mit \(1-2A\) multipliziert, so erhält man mit \(x=1/r\):
    \[u^2=(2A+\alpha x)(1-2A)+\alpha B^2x^3\]
    Das löse ich jetzt nach \(A\) auf und erhalte:
    \[A=\frac{1-\alpha x}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{(1-\alpha x)^2+4(-u^2+\alpha x+\alpha B^2x^3)}\]
    Ich habe von den zwei Lösungen der quadratischen Lösung diejenige gewählt, bei der \(A\) der Wert eine Größe erster Ordnung ist, und nicht die andere, bei der \(A\) der Wert einer Größe nullter Ordnung ist. Das setze ich jetzt in den dritten und vierten Summanden auf der rechten Seite meiner Gleichung
    \[u^2=2A+\alpha x-4A^2-2A\alpha x+\alpha B^2x^3\]
    ein und erhalte:
    \[u^2=2A+\alpha x-4\left(\frac{1-\alpha x}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{(1-\alpha x)^2+4(-u^2+\alpha x+\alpha B^2x^3)}\right)^2
    -2\left(\frac{1-\alpha x}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{(1-\alpha x)^2+4(-u^2+\alpha x+\alpha B^2x^3)}\right)\alpha x+\alpha B^2x^3\]
    Der dritte, vierte und fünfte Summand auf der rechten Seite sind Größen zweiter Ordnung. Diese drei Summanden lasse ich jetzt weg. Ich mache also eine in Größen erster Ordnung genaue Näherung. Das ergibt:
    \[u^2=2A+\alpha x+\text{Groessen zweiter Ordnung}\]
    und damit:
    \[H_1=A+\text{Groessen zweiter Ordnung}\]
    \(A\) ist also der Näherungswert für die Energie eines Orbits zweiter Ordnung bezüglich der Energiefunktion erster Ordnung. Und zwar dasselbe \(A\), das in der Gleichung \(H_2=A\) steht.

  46. @Chrys 5. Juni 2018 @ 17:33

    Sie haben mir die Sache schwieriger gemacht, indem Sie mir vorgeschrieben haben, dass \(A^2\) nicht eine Größe zweiter Ordnung, sondern nur das Quadrat des Werts einer Größe erster Ordnung sei. Aber selbst dann komme ich an mein Ziel:

    Wenn man die Gleichung
    \[u_E^2=2A+\frac{\alpha}{r}+\frac{\alpha B_E^2}{r^3}\]
    mit \(1-2A\) multipliziert, so erhält man mit \(x=1/r\):
    \[u^2=(2A+\alpha x)(1-2A)+\alpha B^2x^3\]
    Das löse ich jetzt nach \(A\) auf und erhalte:
    \[A=\frac{1-\alpha x}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{(1-\alpha x)^2+4(-u^2+\alpha x+\alpha B^2x^3)}\]
    Ich habe von den zwei Lösungen der quadratischen Lösung diejenige gewählt, bei der \(A\) der Wert eine Größe erster Ordnung ist, und nicht die andere, bei der \(A\) der Wert einer Größe nullter Ordnung ist. Das setze ich jetzt in den dritten und vierten Summanden auf der rechten Seite meiner Gleichung
    \[u^2=2A+\alpha x-4A^2-2A\alpha x+\alpha B^2x^3\]
    ein und erhalte:
    \[u^2=2A+\alpha x-4\left(\frac{1-\alpha x}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{\ldots}\right)^2
    -2\left(\frac{1-\alpha x}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{\ldots}\right)\alpha x+\alpha B^2x^3\]
    Der dritte, vierte und fünfte Summand auf der rechten Seite sind Größen zweiter Ordnung. Diese drei Summanden lasse ich jetzt weg. Ich mache also eine in Größen erster Ordnung genaue Näherung. Das ergibt:
    \[u^2=2A+\alpha x+(\text{Groessen zweiter Ordnung})\]
    und damit:
    \[H_1=A+(\text{Groessen zweiter Ordnung})\]
    \(A\) ist also der Näherungswert für die Energie eines Orbits zweiter Ordnung bezüglich der Energiefunktion erster Ordnung. Und zwar dasselbe \(A\), das in der Gleichung \(H_2=A\) steht.

    • Eigentlich wollte ich schreiben:

      Ich habe von den zwei Lösungen der quadratischen Gleichung diejenige gewählt, bei der \(A\) der Wert einer Größe erster Ordnung ist, und nicht die andere, bei der \(A\) der Wert einer Größe nullter Ordnung ist.

  47. @Martin Raible / Zur A-Frage

    Mit \(h = 1 – 2A\) folgy aus dem Energiesatz für Orbits zweiter Ordnung durch Multiplikation mit \(h\) und Subtraktion von \(\alpha/r\) auf beiden Seiten zunächst
    \[
    h\left(u^2_E + 2\Phi_E\right) – \frac{\alpha}{r} = 2A_Eh – \frac{\alpha}{r},
    \]
    also
    \[
    u^2 – \frac{\alpha}{r} = 2A_Eh – \frac{\alpha}{r} + \frac{\alpha}{r}\,h + \frac{\alpha}{r}\,\frac{B^2}{r^2} = 2A_Eh – \frac{\alpha}{r}\left(2A – \frac{B^2}{r^2}\right) = 2A_Eh + O(\textstyle\frac{\alpha}{r}).
    \]
    Da nach Konstruktion \(u^2 – \alpha/r = 2A + O(\frac{\alpha}{r})\) gilt, folgt durch Koeffizientenvergleich
    \[
    A_Eh = A_E(1- 2A) = A,\quad\text{also}\quad A_E = \frac{A}{1 – 2A}.
    \]
    Die Energiefunktion erster Ordnung, \(H_1 = \frac{1}{2}\left(u^2 – \alpha/r\right)\), liefert demnach für die Energie eines Orbits zweiter Ordnung im allgemeinen nur einen Näherungswert \(A\) mit einem Fehler der Grössenordnung \(\alpha/r\). Bei der Ersetzung von \(\alpha/r – u^2\) durch \(-2A\) in (E.7b) entsteht insgesamt jedoch nur einen Fehler der Grössenordnung \(\alpha^2/r^2\), also ein Ausdruck, der in Einsteins zweiter Näherung vernachlässigbar ist. So findet man mit dem in der vorletzten Gleichung explizit erhaltenen Fehlerterm bei der Ersetzung in (E.7b)) insgesamt den Fehler
    \[
    \frac{\alpha}{2}\,\frac{x_\nu}{r^3}\left[\frac{\alpha}{r}\left(2A – \frac{B^2}{r^2}\right)\right] = \frac{\alpha^2}{r^2}\left[\frac{1}{2}\,\frac{x_\nu}{r^2}\left(2A – \frac{B^2}{r^2}\right)\right] = O(\textstyle\frac{\alpha^2}{r^2}) \approx 0.
    \]
    Dass hier der aus dem Newtonschen Potential stammende Faktor vor der Klammer in (E.7b) eine entscheidende Rolle spielt, hätte ich aus Einsteins Text vielleicht gar nicht ersehen können, dazu war mir die Analyse von Earman & Janssen in der Tat sehr hilfreich. Deren Analyse von Einsteins Herleitung ist im übrigen schon ziemlich gut, erst beim Vergleich mit Schwarzschilds Herleitung patzen sie mit der Fehlschluss, dass da eigentlich überall \(A = 0\) stünde.

  48. Test “\leftsquigarrow“:

    \[
    \matrix{ \hphantom{:::} ::::: A ::::: \cr \, \cr ::::: J ::::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: B :::::::: \cr \rotatebox{ \rightsquigarrow } \varepsilon \rotatebox{ \rightsquigarrow } \hphantom{ ~ } \cr ::::::: K :::::::: } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::: F :::::: \hphantom{ ::::::::: } \cr \, \cr ::::::::::::::::::::::::::: Q ::::::: }
    \]
    .

  49. Test “\leftsquigarrow“:

    \[
    \matrix{ \hphantom{:::} ::::: A ::::: \cr \, \cr ::::: J ::::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: B :::::::: \cr \reflectbox{ \rightsquigarrow } \varepsilon \reflectbox{ \rightsquigarrow } \hphantom{ ~ } \cr ::::::: K :::::::: } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::: F :::::: \hphantom{ ::::::::: } \cr \, \cr ::::::::::::::::::::::::::: Q ::::::: }
    \]
    .

  50. Test “\leftsquigarrow“:

    \[
    \matrix{ \hphantom{:::} ::::: A ::::: \cr \, \cr ::::: J ::::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: B :::::::: \cr \leftsquigarrow \varepsilon \leftsquigarrow \hphantom{ ~ } \cr ::::::: K :::::::: } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::: F :::::: \hphantom{ ::::::::: } \cr \, \cr ::::::::::::::::::::::::::: Q ::::::: }
    \]
    .

  51. Frank Wappler schrieb (28. Mai 2018 @ 16:11):
    > Mir gefällt nun mal, was ich oben (19. Januar 2018 @ 13:21) hinsichtlich des Vergleichs von Distanzen (“Längenkontraktion”) für eine bestimmte geeignete Versuchsanordnung vorgeführt habe […]
    > (Auf eine ähnlich einfache/direkte Darstellung des Vergleichs von Dauern, alias “Zeitdilatation”, bin ich bisher leider noch nicht gekommen …)

    Aber immerhin ist die mir bekannte Herleitung und zugrundeliegende Gedanken-experimentelle Versuchsanordnung einfach (und Koordinaten-frei) genug, um sie aufzuschreiben:

    Drei Beteiligte, \(A\), \(B\) und \(G\), seien gegeben, die gegenüber einander ruhten, und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{AB}{AG} \right) + \left( \frac{BG}{AG} \right) = 1. \]

    (Die Namen der genannten Beteiligten sind natürlich austauschbar, und hier willkürlich gewählt mit Rücksicht insbesondere auf die schon vorgelegten Versuchsanordnungen zur Bestimmung von Gleichzeitigkeit und dem o.g. Vergleich von Distanzen.)

    Drei weitere Beteiligte, \(J\), \(P\) und \(U\), seien gegeben, die ebenfalls gegenüber einander ruhten (aber nicht gegenüber \(A\), \(B\) und \(G\)) und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{JP}{JU} \right) + \left( \frac{PU}{JU} \right) = 1. \]

    Dabei sollen sich jeder von \(A\), \(B\) und \(G\) mit jedem von \(U\), \(P\) und \(J\) genau einmal getroffen und passiert haben, in dieser Reihenfolge. Außerdem sollen

    – \(G\) und \(U\) koinzident mit ihrem Treffen \(A\)s und \(P\)s Signal-Anzeigen ihres Treffens wahrgenommen haben, wie in den zwei folgenden Skizzen dargestellt:
    \[
    \matrix{ \hphantom{ ::::: J :::::::::: } \cr \, \cr ::::: J :::::::::: } \! \!
    \matrix{ ::::: A ::::::: \cr \hphantom{ \rightarrow } \varepsilon {\small \longrightarrow} \cr ::::: P ::::::: } \! \! \matrix{ ::::: B ::::::: \cr \, \cr :::::::::::::::: } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::::: G ::::: \cr \, \cr ::::::::: U ::::::\hphantom{ ::::::::: } }
    \]

    und
    \[
    \matrix{ \hphantom{ :::::::: } ::::: A :::::::::::: B :::::::::::::::::::: \cr \, \cr ::::: J ::::::::::::::: P ::::::::::::::::::::::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: G :::::::: \cr \twoheadleftarrow \! \! \! \rightarrow \varepsilon \hphantom{ \longrightarrow ~ } \cr ::::::: U ::::::: }
    \]

    weiterhin
    – \(B\) und \(P\) koinzident mit ihrem Treffen \(G\)s und \(U\)s Signal-Anzeigen ihres Treffens wahrgenommen haben:
    \[
    \matrix{ \hphantom{:::} ::::: A ::::: \cr \, \cr ::::: J ::::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: B :::::::: \cr \twoheadleftarrow \! \! \! \! \! \twoheadleftarrow \varepsilon \twoheadleftarrow ~\cr ::::::: P :::::::: } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::: G :::::: \hphantom{ ::::::::: } \cr \, \cr ::::::::::::::::::::::::::: U ::::::: }
    \]

    und schließlich
    – \(A\) und \(J\) koinzident mit ihrem Treffen \(B\)s und \(P\)s Signal-Anzeigen ihres Treffens wahrgenommen haben:
    \[
    \matrix{ ::::: A ::::::::: \cr \phantom{ ~~ } \varepsilon \twoheadleftarrow \! \! \! \! \! \twoheadleftarrow \cr ::::: J ::::::::: } \! \! \matrix{ ::: B :::::::::::: \cr \, \cr :::::::: P ::::::: } \! \! \matrix{ :::::::::::::: G :::::::::: \hphantom{ ::::::::: } \cr \, \cr ::::::::::::::::::::::::::: U ::::::: }
    \]

    .​

    Die gegenseitig gleichen Geschwindigkeitsparameter lassen sich demnach durch Distanzverhältnisse ausdrücken und auswerten:

    \[
    \beta := \beta_{ABG}[ \, P \, ] := \frac{1}{ \left( \frac{AG}{AB} \right) + \left( \frac{BG}{AB} \right) } = \frac{\left( \frac{AB}{AG} \right)}{1 + \left( \frac{AB}{AG} \right) \left( \frac{BG}{AB} \right) } = \frac{1 – \left( \frac{BG}{AG} \right)}{1 + \left( \frac{BG}{AG} \right)},
    \]
    bzw.
    \[
    \beta := \beta_{JPU}[ \, A \, ] := \frac{1}{ \left( \frac{PU}{JP} \right) + \left( \frac{JU}{JP} \right) } = \frac{\left( \frac{JP}{PU} \right)}{1 + \left( \frac{JP}{PU} \right) \left( \frac{JU}{JP} \right) } = \frac{1 – \left( \frac{PU}{JU} \right)}{1 + \left( \frac{PU}{JU} \right)} = \frac{\left( \frac{JU}{PU} \right) – 1}{\left( \frac{JU}{PU} \right) + 1}.
    \]

    Der Vergleich von Dauern von Beteiligten, die nicht gegenüber einander ruhten, ergibt sich aus der Forderung gegenseitig gleicher Verhältnisse zwischen einander entsprechenden Dauern:

    \[
    \left( \frac{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} B \, ]}{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} P, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} B {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} P \, ]} \right) = \left( \frac{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} P, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} J \, ]}{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} J {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A \, ]} \right).
    \]

    Diese gleichen Verhältnisse von Dauern lassen sich ebenfalls durch Distanz-Verhältnisse (und die Signalfront-Geschwindigkeit \(c\)) ausdrücken:

    \[
    \left( \frac{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} B \, ]}{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} P, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} B {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} P \, ]} \right) := \frac{2 PU / c}{(AG + BG) / c} := \frac{2}{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) },
    \]

    bzw.

    \[
    \left( \frac{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} P, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} J \, ]}{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} J {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A \, ]} \right) := \frac{2 AG / c}{(PU + JU) / c} := \frac{2}{ \left( \frac{PU}{AG} \right) + \left( \frac{JU}{AG} \right) }.
    \]

    Durch Gleichsetzen dieser Ausdrücke, Umformung und Einsetzen der oben erhaltenen Formeln für \(\beta\) folgt:

    \[
    \eqalign{
    \frac{2}{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) } &= \frac{2}{ \left( \frac{PU}{AG} \right) + \left( \frac{JU}{AG} \right) } = \left( \frac{AG}{PU} \right) \, \left( \frac{2}{ 1 + \left( \frac{JU}{PU} \right) } \right) \\ &= \left( \frac{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) }{2} \right) \, \left( \frac{2}{ 1 + \left( \frac{BG}{AG} \right) } \right) \, \left( \frac{2}{ 1 + \left( \frac{JU}{PU} \right) } \right) \\ &= \left( \frac{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) }{2} \right) \, \left( 1 + \beta \right) \, \left( 1 – \beta \right) \\ &= \left( \frac{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) }{2} \right) \, \left( 1 – \beta^2 \right) \\ &= \sqrt{ 1 – \beta^2 }.
    }
    \]

    Zusammenfassend lässt sich der Wert der Verhältnisse von Dauern durch den Wert des Geschwindigkeitsparameters ausdrücken und ermitteln:

    \[
    \left( \frac{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} B \, ]}{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} P, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} B {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} P \, ]} \right) = \left( \frac{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} P, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} J \, ]}{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} J {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A \, ]} \right) = \sqrt{ 1 – \beta^2 }.
    \]

  52. Frank Wappler schrieb (28. Mai 2018 @ 16:11):
    > Mir gefällt nun mal, was ich oben (19. Januar 2018 @ 13:21) hinsichtlich des Vergleichs von Distanzen (“Längenkontraktion”) für eine bestimmte geeignete Versuchsanordnung vorgeführt habe […]
    > (Auf eine ähnlich einfache/direkte Darstellung des Vergleichs von Dauern, alias “Zeitdilatation”, bin ich bisher leider noch nicht gekommen …)

    Aber immerhin ist die mir bekannte Herleitung und zugrundeliegende Gedanken-experimentelle Versuchsanordnung einfach (und Koordinaten-frei) genug, um sie aufzuschreiben:

    Drei Beteiligte, \(A\), \(B\) und \(G\), seien gegeben, die gegenüber einander ruhten, und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{AB}{AG} \right) + \left( \frac{BG}{AG} \right) = 1. \]

    (Die Namen der genannten Beteiligten sind natürlich austauschbar, und hier willkürlich gewählt mit Rücksicht insbesondere auf die schon vorgelegten Versuchsanordnungen zur Bestimmung von Gleichzeitigkeit und dem o.g. Vergleich von Distanzen.)

    Drei weitere Beteiligte, \(J\), \(P\) und \(U\), seien gegeben, die ebenfalls gegenüber einander ruhten (aber nicht gegenüber \(A\), \(B\) und \(G\)) und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{JP}{JU} \right) + \left( \frac{PU}{JU} \right) = 1. \]

    Dabei sollen sich jeder von \(A\), \(B\) und \(G\) mit jedem von \(U\), \(P\) und \(J\) genau einmal getroffen und passiert haben, in dieser Reihenfolge. Außerdem sollen

    – \(G\) und \(U\) koinzident mit ihrem Treffen \(A\)s und \(P\)s Signal-Anzeigen ihres Treffens wahrgenommen haben, wie in den zwei folgenden Skizzen dargestellt:
    \[
    \matrix{ \hphantom{ ::::: J :::::::::: } \cr \, \cr ::::: J :::::::::: } \! \!
    \matrix{ ::::: A ::::::: \cr \hphantom{ \rightarrow } \varepsilon {\small \longrightarrow} \cr ::::: P ::::::: } \! \! \matrix{ ::::: B ::::::: \cr \, \cr :::::::::::::::: } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::::: G ::::: \cr \, \cr ::::::::: U ::::::\hphantom{ ::::::::: } }
    \]

    und
    \[
    \matrix{ \hphantom{ :::::::: } ::::: A :::::::::::: B :::::::::::::::::::: \cr \, \cr ::::: J ::::::::::::::: P ::::::::::::::::::::::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: G :::::::: \cr \leftarrow \! \! \! \! \leftarrow \! \! \! \rightarrow \varepsilon \hphantom{ \longrightarrow ~ } \cr ::::::: U ::::::: }
    \]

    weiterhin
    – \(B\) und \(P\) koinzident mit ihrem Treffen \(G\)s und \(U\)s Signal-Anzeigen ihres Treffens wahrgenommen haben:
    \[
    \matrix{ \hphantom{:::} ::::: A ::::: \cr \, \cr ::::: J ::::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: B :::::::: \cr \leftarrow \! \! \! \! \leftarrow \! \! \! \! \leftarrow \varepsilon \leftarrow \! \! \! \! \leftarrow ~\cr ::::::: P :::::::: } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::: G :::::: \hphantom{ ::::::::: } \cr \, \cr ::::::::::::::::::::::::::: U ::::::: }
    \]

    und schließlich
    – \(A\) und \(J\) koinzident mit ihrem Treffen \(B\)s und \(P\)s Signal-Anzeigen ihres Treffens wahrgenommen haben:
    \[
    \matrix{ ::::: A ::::::::: \cr \phantom{ ~~~~ } \varepsilon \leftarrow \! \! \! \! \leftarrow \! \! \! \! \leftarrow \cr ::::: J ::::::::: } \! \! \matrix{ ::: B :::::::::::: \cr \, \cr :::::::: P ::::::: } \! \! \matrix{ :::::::::::::: G :::::::::: \hphantom{ ::::::::: } \cr \, \cr ::::::::::::::::::::::::::: U ::::::: }
    \]

    .​

    Die gegenseitig gleichen Geschwindigkeitsparameter lassen sich demnach durch Distanzverhältnisse ausdrücken und auswerten:

    \[
    \beta := \beta_{ABG}[ \, P \, ] := \frac{1}{ \left( \frac{AG}{AB} \right) + \left( \frac{BG}{AB} \right) } = \frac{\left( \frac{AB}{AG} \right)}{1 + \left( \frac{AB}{AG} \right) \left( \frac{BG}{AB} \right) } = \frac{1 – \left( \frac{BG}{AG} \right)}{1 + \left( \frac{BG}{AG} \right)},
    \]
    bzw.
    \[
    \beta := \beta_{JPU}[ \, A \, ] := \frac{1}{ \left( \frac{PU}{JP} \right) + \left( \frac{JU}{JP} \right) } = \frac{\left( \frac{JP}{PU} \right)}{1 + \left( \frac{JP}{PU} \right) \left( \frac{JU}{JP} \right) } = \frac{1 – \left( \frac{PU}{JU} \right)}{1 + \left( \frac{PU}{JU} \right)} = \frac{\left( \frac{JU}{PU} \right) – 1}{\left( \frac{JU}{PU} \right) + 1}.
    \]

    Der Vergleich von Dauern von Beteiligten, die nicht gegenüber einander ruhten, ergibt sich aus der Forderung gegenseitig gleicher Verhältnisse zwischen einander entsprechenden Dauern:

    \[
    \left( \frac{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} A, \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} B \, ]}{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} P, \, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} B {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} P \, ]} \right) = \left( \frac{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} P, \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} J \, ]}{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} A, \, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} J {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} A \, ]} \right).
    \]

    Diese gleichen Verhältnisse von Dauern lassen sich ebenfalls jeweils durch Distanz-Verhältnisse (und die Signalfront-Geschwindigkeit \(c\)) ausdrücken:

    \[
    \left( \frac{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} A, \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} B \, ]}{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} P, \, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} B {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} P \, ]} \right) := \frac{2 PU / c}{(AG + BG) / c} := \frac{2}{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) },
    \]

    bzw.

    \[
    \left( \frac{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} P, \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} J \, ]}{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} A, \, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} J {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} A \, ]} \right) := \frac{2 AG / c}{(PU + JU) / c} := \frac{2}{ \left( \frac{PU}{AG} \right) + \left( \frac{JU}{AG} \right) }.
    \]

    Durch Gleichsetzen dieser Ausdrücke, Umformung und Einsetzen der oben erhaltenen Formeln für \(\beta\) folgt:

    \[
    \eqalign{
    \frac{2}{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) } &= \frac{2}{ \left( \frac{PU}{AG} \right) + \left( \frac{JU}{AG} \right) } = \left( \frac{AG}{PU} \right) \, \left( \frac{2}{ 1 + \left( \frac{JU}{PU} \right) } \right) \\ &= \left( \frac{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) }{2} \right) \, \left( \frac{2}{ 1 + \left( \frac{BG}{AG} \right) } \right) \, \left( \frac{2}{ 1 + \left( \frac{JU}{PU} \right) } \right) \\ &= \left( \frac{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) }{2} \right) \, \left( 1 + \beta \right) \, \left( 1 – \beta \right) \\ &= \left( \frac{ \left( \frac{AG}{PU} \right) + \left( \frac{BG}{PU} \right) }{2} \right) \, \left( 1 – \beta^2 \right) \\ &= \sqrt{ 1 – \beta^2 }.
    }
    \]

    Zusammenfassend lässt sich der Wert der Verhältnisse von Dauern durch den Wert des Geschwindigkeitsparameters ausdrücken und ermitteln:

    \[
    \left( \frac{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} A, \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} B \, ]}{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} P, \, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} B {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} P \, ]} \right) = \left( \frac{\tau A[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} P, \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} J \, ]}{\tau P[ \, {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} A, \, {{\href{“simultaneous”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} J {{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}}} A \, ]} \right) = \sqrt{ 1 – \beta^2 }.
    \]

    • Frank Wappler schrieb (14. Juni 2018 @ 00:43):
      > […] Die gegenseitig gleichen Geschwindigkeitsparameter lassen sich demnach durch Distanzverhältnisse ausdrücken und auswerten: […]

      Berichtigung zweier aufeinanderfolgender Umformungen (ohne Konsequenz für das letztliche Ergebnis):

      \[
      \beta := \beta_{JPU}[ \, A \, ] := \frac{1}{ \left( \frac{PU}{JP} \right) + \left( \frac{JU}{JP} \right) } = \frac{\left( \frac{JP}{JU} \right)}{\left( \frac{JP}{JU} \right) \left( \frac{PU}{JP} \right) + 1 } = \frac{1 – \left( \frac{PU}{JU} \right)}{1 + \left( \frac{PU}{JU} \right)} = \frac{\left( \frac{JU}{PU} \right) – 1}{\left( \frac{JU}{PU} \right) + 1}.
      \]

  53. Da die Herleitung des Vergleichs von Distanzen (“Längenkontraktion”) sogar knapper gefasst werden kann, sei sie hier angefügt:

    Drei Beteiligte, \(A\), \(B\) und \(F\), seien gegeben, die gegenüber einander ruhten, und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) + \left( \frac{BG}{AF} \right) = 1. \]

    (Die Namen der genannten Beteiligten sind natürlich austauschbar, und hier passend zur oben gezeigten Herleitung des Vergleichs von Dauern.)

    Drei weitere Beteiligte, \(K\), \(P\) und \(Q\), seien gegeben, die ebenfalls gegenüber einander ruhten (aber nicht gegenüber \(A\), \(B\) und \(F\)) und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{KP}{KQ} \right) + \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = 1. \]

    Dabei sollen sich jeder von \(A\), \(B\) und \(F\) mit jedem von \(Q\), \(P\) und \(K\) genau einmal getroffen und passiert haben, in dieser Reihenfolge. Außerdem sollen

    – \(A\)s Anzeige der Passage von \(P\) und \(B\)s Anzeige der Passage von \(Q\) gleichzeitig gewesen sein; d.h. entsprechend Einsteins Definition (1916/17) soll ein weiterer Beteiligter \(M\) als “Mitte zwischen” \(A\) und \(B\) identifizierbar war und blieb (wie im Folgenden skizziert), und \(M\) (im weiteren Verlauf) die Signal-Anzeigen des Treffens von \(A\) und \(P\) sowie die Signal-Anzeigen des Treffens von \(B\) und \(Q\) koinzident (d.h. zusammen, auf einmal) wahrnahm. Schematisch-illustrativ zusammengefasst:

    \[
    \matrix{ :::::::::::::::::: \cr \, \cr ::::: K ::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: A === \cr ~~~~ \varepsilon {\small \longrightarrow} \cr ::::::: P :::::::: } \! \! \matrix{ ===== M ====== \cr \, \cr :::::::::::::::::::::::::::::::::::: } \! \! \matrix{ == B ::: \cr ~~~\varepsilon \cr :::::: Q ::: } \! \! \matrix{ ::::::: F :::::: \cr \, \cr :::: \hphantom{ :: F :::::: } } \]

    weiterhin
    – sollen \(F\) und \(Q\) koinzident mit ihrem Treffen \(A\)s und \(P\)s Signal-Anzeigen ihres Treffens wahrgenommen haben, und

    – \(Q\)s Anzeige der Passage von \(F\) und \(K\)s Anzeige der Passage von \(A\) sollen gleichzeitig gewesen sein; d.h. der weitere Beteiligte \(N\) wurde und blieb als “Mitte zwischen” \(K\) und \(Q\) identifiziert, und nahm (im weiteren Verlauf) die Signal-Anzeigen des Treffens von \(A\) und \(K\) sowie die Signal-Anzeigen des Treffens von \(F\) und \(Q\) koinzident wahr. Zusammenfassend skizziert:

    \[
    \matrix{ ::::::: A :::::::: \cr \varepsilon ~~ \cr :::::: K === } \! \! \matrix{ ::::::::::::::: \cr \, \cr == P == } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::::::::::::::: B :: \cr \, \cr === N ======== } \! \! \matrix{ :::::::: F ::::: \cr {\small \longrightarrow} \varepsilon ~ \cr === Q :::: } \! \! \matrix{ ::: \cr \, \, \cr ::: }
    \]

    Die beiden Systeme messen den (auf Signalfront-Geschwindigkeit normalisierten) Geschwindigkeitsparameter \(\beta\) gegenüber einander durch Distanzverhältnisse als:

    \[ \beta := \beta_{ABF}[ \, Q \, ] = \left( \frac{BF}{AF} \right), \]

    \[ \beta := \beta_{KPQ}[ \, A \, ] = \left( \frac{KP}{PQ} \right) = \left( \frac{KP}{KQ} \right) / \left( \frac{PQ}{KQ} \right). \]

    Demnach

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) = (1 – \beta) \]

    und

    \[ \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = 1 – \left( \frac{KP}{KQ} \right) = 1 – \beta; \, \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = \frac{1}{(1 + \beta)}. \]

    Das Verhältnis dieser beiden Distanzverhältnisse ergibt wiederum:

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) / \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = (1 – \beta) \, (1 + \beta) = (1 – \beta^2) := \left( \frac{AB}{AF} \right) * \left( \frac{KQ}{PQ} \right). \}

    Im letzten Term steht dabei das Produkt aus zwei Distanzverhältnissen die gemäß der oben beschriebenen Versuchsanordnung gegenseitig einander entsprechen; in den obigen Skizzen kennzeichnet das Symbol \(“=”\) die Verbindung \(“AB”\) (mit Anzeige \(A_P\) gleichzeitig zu Anzeige \(B_Q\)), sowie die Verbindung \(“KQ”\) (mit Anzeige \(K_A\) gleichzeitig zu Anzeige \(Q_F\)).

    Die Forderung nach gegenseitiger Nachvollziehbarkeit und Anwendbarkeit der Distanz-Vergleiche legen den Bewertungsansatz nahe, dass (gegenseitig gleich)

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) = \left( \frac{KQ}{PQ} \right). \]

    Folglich:

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) = \left( \frac{KQ}{PQ} \right) = \sqrt{ 1 – \beta^2}. \]

  54. Da die Herleitung des Vergleichs von Distanzen (“Längenkontraktion”) sogar knapper gefasst werden kann, sei sie hier angefügt:

    Drei Beteiligte, \(A\), \(B\) und \(F\), seien gegeben, die gegenüber einander ruhten, und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) + \left( \frac{BG}{AF} \right) = 1. \]

    (Die Namen der genannten Beteiligten sind natürlich austauschbar, und hier passend zur oben gezeigten Herleitung des Vergleichs von Dauern.)

    Drei weitere Beteiligte, \(K\), \(P\) und \(Q\), seien gegeben, die ebenfalls gegenüber einander ruhten (aber nicht gegenüber \(A\), \(B\) und \(F\)) und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{KP}{KQ} \right) + \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = 1. \]

    Dabei sollen sich jeder von \(A\), \(B\) und \(F\) mit jedem von \(Q\), \(P\) und \(K\) genau einmal getroffen und passiert haben, in dieser Reihenfolge. Außerdem sollen

    – \(A\)s Anzeige der Passage von \(P\) und \(B\)s Anzeige der Passage von \(Q\) gleichzeitig gewesen sein; d.h. entsprechend Einsteins Definition (1916/17) soll ein weiterer Beteiligter \(M\) als “Mitte zwischen” \(A\) und \(B\) identifizierbar war und blieb (wie im Folgenden skizziert), und \(M\) (im weiteren Verlauf) die Signal-Anzeigen des Treffens von \(A\) und \(P\) sowie die Signal-Anzeigen des Treffens von \(B\) und \(Q\) koinzident (d.h. zusammen, auf einmal) wahrnahm. Schematisch-illustrativ zusammengefasst:

    \[
    \matrix{ :::::::::::::::::: \cr \, \cr ::::: K ::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: A === \cr ~~~~ \varepsilon {\small \longrightarrow} \cr ::::::: P :::::::: } \! \! \matrix{ ===== M ====== \cr \, \cr :::::::::::::::::::::::::::::::::::: } \! \! \matrix{ == B ::: \cr ~~~\varepsilon \cr :::::: Q ::: } \! \! \matrix{ ::::::: F :::::: \cr \, \cr :::: \hphantom{ :: F :::::: } } \]

    weiterhin
    – sollen \(F\) und \(Q\) koinzident mit ihrem Treffen \(A\)s und \(P\)s Signal-Anzeigen ihres Treffens wahrgenommen haben, und

    – \(Q\)s Anzeige der Passage von \(F\) und \(K\)s Anzeige der Passage von \(A\) sollen gleichzeitig gewesen sein; d.h. der weitere Beteiligte \(N\) wurde und blieb als “Mitte zwischen” \(K\) und \(Q\) identifiziert, und nahm (im weiteren Verlauf) die Signal-Anzeigen des Treffens von \(A\) und \(K\) sowie die Signal-Anzeigen des Treffens von \(F\) und \(Q\) koinzident wahr. Zusammenfassend skizziert:

    \[
    \matrix{ ::::::: A :::::::: \cr \varepsilon ~~ \cr :::::: K === } \! \! \matrix{ ::::::::::::::: \cr \, \cr == P == } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::::::::::::::: B :: \cr \, \cr === N ======== } \! \! \matrix{ :::::::: F ::::: \cr {\small \longrightarrow} \varepsilon ~ \cr === Q :::: } \! \! \matrix{ ::: \cr \, \, \cr ::: }
    \]

    Die beiden Systeme messen den (auf Signalfront-Geschwindigkeit normalisierten) Geschwindigkeitsparameter \(\beta\) gegenüber einander durch Distanzverhältnisse als:

    \[ \beta := \beta_{ABF}[ \, Q \, ] = \left( \frac{BF}{AF} \right), \]

    \[ \beta := \beta_{KPQ}[ \, A \, ] = \left( \frac{KP}{PQ} \right) = \left( \frac{KP}{KQ} \right) / \left( \frac{PQ}{KQ} \right). \]

    Demnach

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) = (1 – \beta) \]

    und

    \[ \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = 1 – \left( \frac{KP}{KQ} \right) = 1 – \beta; \, \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = \frac{1}{(1 + \beta)}. \]

    Das Verhältnis dieser beiden Distanzverhältnisse ergibt wiederum:

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) / \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = (1 – \beta) \, (1 + \beta) = (1 – \beta^2) := \left( \frac{AB}{AF} \right) * \left( \frac{KQ}{PQ} \right). \]

    Im letzten Term steht dabei das Produkt aus zwei Distanzverhältnissen die gemäß der oben beschriebenen Versuchsanordnung gegenseitig einander entsprechen; in den obigen Skizzen kennzeichnet das Symbol \(“=”\) die Verbindung \(“AB”\) (mit Anzeige \(A_P\) gleichzeitig zu Anzeige \(B_Q\)), sowie die Verbindung \(“KQ”\) (mit Anzeige \(K_A\) gleichzeitig zu Anzeige \(Q_F\)).

    Die Forderung nach gegenseitiger Nachvollziehbarkeit und Anwendbarkeit der Distanz-Vergleiche legen den Bewertungsansatz nahe, dass (gegenseitig gleich)

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) = \left( \frac{KQ}{PQ} \right). \]

    Folglich:

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) = \left( \frac{KQ}{PQ} \right) = \sqrt{ 1 – \beta^2}. \]

  55. Da die Herleitung des Vergleichs von Distanzen (“Längenkontraktion”) sogar knapper gefasst werden kann, sei sie hier angefügt:

    Drei Beteiligte, \(A\), \(B\) und \(F\), seien gegeben, die gegenüber einander ruhten, und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) + \left( \frac{BG}{AF} \right) = 1. \]

    (Die Namen der genannten Beteiligten sind natürlich austauschbar, und hier passend zur oben gezeigten Herleitung des Vergleichs von Dauern.)

    Drei weitere Beteiligte, \(K\), \(P\) und \(Q\), seien gegeben, die ebenfalls gegenüber einander ruhten (aber nicht gegenüber \(A\), \(B\) und \(F\)) und die gegenüber einander gerade lagen; d.h. mit Distanzverhältnissen

    \[ \left( \frac{KP}{KQ} \right) + \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = 1. \]

    Dabei sollen sich jeder von \(A\), \(B\) und \(F\) mit jedem von \(Q\), \(P\) und \(K\) genau einmal getroffen und passiert haben, in dieser Reihenfolge. Außerdem sollen

    – \(A\)s Anzeige der Passage von \(P\) und \(B\)s Anzeige der Passage von \(Q\) gleichzeitig gewesen sein; d.h. entsprechend Einsteins Definition (1916/17) soll ein weiterer Beteiligter \(M\) als “Mitte zwischen” \(A\) und \(B\) identifizierbar war und blieb (wie im Folgenden skizziert), und \(M\) (im weiteren Verlauf) die Signal-Anzeigen des Treffens von \(A\) und \(P\) sowie die Signal-Anzeigen des Treffens von \(B\) und \(Q\) koinzident (d.h. zusammen, auf einmal) wahrnahm. Schematisch-illustrativ zusammengefasst:

    \[
    \matrix{ :::::::::::::::::: \cr \, \cr ::::: K ::::::: } \! \! \matrix{ ::::::: A === \cr ~~~~ \varepsilon {\small \longrightarrow} \cr ::::::: P :::::::: } \! \! \matrix{ ===== M ====== \cr \, \cr :::::::::::::::::::::::::::::::::::: } \! \! \matrix{ == B ::: \cr ~~~\varepsilon \cr :::::: Q ::: } \! \! \matrix{ ::::::: F :::::: \cr \, \cr :::: \hphantom{ :: F :::::: } } \]

    weiterhin
    – sollen \(F\) und \(Q\) koinzident mit ihrem Treffen \(A\)s und \(P\)s Signal-Anzeigen ihres Treffens wahrgenommen haben, und

    – \(Q\)s Anzeige der Passage von \(F\) und \(K\)s Anzeige der Passage von \(A\) sollen gleichzeitig gewesen sein; d.h. der weitere Beteiligte \(N\) wurde und blieb als “Mitte zwischen” \(K\) und \(Q\) identifiziert, und nahm (im weiteren Verlauf) die Signal-Anzeigen des Treffens von \(A\) und \(K\) sowie die Signal-Anzeigen des Treffens von \(F\) und \(Q\) koinzident wahr. Zusammenfassend skizziert:

    \[
    \matrix{ ::::::: A :::::::: \cr \varepsilon ~~ \cr :::::: K === } \! \! \matrix{ ::::::::::::::: \cr \, \cr == P == } \! \! \matrix{ :::::::::::::::::::::::::::::: B :: \cr \, \cr === N ======== } \! \! \matrix{ :::::::: F ::::: \cr {\small \longrightarrow} \varepsilon ~ \cr === Q :::: } \! \! \matrix{ ::: \cr \, \, \cr ::: }
    \]

    Die beiden Systeme messen den (auf Signalfront-Geschwindigkeit normalisierten) Geschwindigkeitsparameter \(\beta\) gegenüber einander durch Distanzverhältnisse als:

    \[ \beta := \beta_{ABF}[ \, Q \, ] = \left( \frac{BF}{AF} \right), \]

    \[ \beta := \beta_{KPQ}[ \, A \, ] = \left( \frac{KP}{PQ} \right) = \left( \frac{KP}{KQ} \right) / \left( \frac{PQ}{KQ} \right). \]

    Demnach

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) = (1 – \beta) \]

    und

    \[ \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = 1 – \left( \frac{KP}{KQ} \right) = 1 – \beta; \, \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = \frac{1}{(1 + \beta)}. \]

    Das Verhältnis dieser beiden Distanzverhältnisse ergibt wiederum:

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) / \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = (1 – \beta) \, (1 + \beta) = (1 – \beta^2) := \left( \frac{AB}{AF} \right) * \left( \frac{KQ}{PQ} \right). \]

    Demnach auch, durch Umordnen der Terme in den Verhältnissen:

    \[ \left( \frac{AB}{AF} \right) / \left( \frac{PQ}{KQ} \right) = \left( \frac{AB}{PQ} \right) / \left( \frac{AF}{KQ} \right) = (1 – \beta^2) := \left( \frac{AB}{AF} \right) * \left( \frac{KQ}{PQ} \right) = \left( \frac{AB}{PQ} \right) * \left( \frac{KQ}{AF} \right). \]

    Im letzten Term steht dabei das Produkt aus zwei Distanzverhältnissen die gemäß der oben beschriebenen Versuchsanordnung gegenseitig einander entsprechen; in den obigen Skizzen kennzeichnet das Symbol \(“=”\) die Verbindung \(“AB”\) (mit Anzeige \(A_P\) gleichzeitig zu Anzeige \(B_Q\); gegenüber \(“PQ”\)), sowie die Verbindung \(“KQ”\) (mit Anzeige \(K_A\) gleichzeitig zu Anzeige \(Q_F\); gegenüber \(“AF”\)).

    Die Forderung nach gegenseitiger Nachvollziehbarkeit und Anwendbarkeit der Distanz-Vergleiche legen den Bewertungsansatz nahe, dass (gegenseitig gleich)

    \[ \left( \frac{AB}{PQ} \right) = \left( \frac{KQ}{AF} \right). \]

    Folglich:

    \[ \left( \frac{AB}{PQ} \right) = \left( \frac{KQ}{AF} \right) = \sqrt{ 1 – \beta^2}. \]

  56. Chrys schrieb (24. November 2018 @ 16:21):
    > […] * Anzeigen sollte die Uhr normalerweise eine gemessene Zeitdauer in SI-Sekunden.

    Was ein bestimmter Beteiligter \(A\) anzeigt, ist jeweils dessen Anteil an einem bestimmten Ereignis.
    Z.B. die “Stellung [seines] kleinen Zeigers”, die “Passage einer bestimmten Lokomotive”, oder Entsprechendes.

    Sofern diesen Anzeigen bestimmte reelle Zahlenwerte zugeordnet wurden,
    \[t_{\mathfrak A} : \mathcal A \rightarrow \mathbb R, \]
    lässt sich anschließend entscheiden,

    – ob die daraus gebildete Uhr, \(\mathfrak A \equiv (\mathcal A, t_{\mathfrak A}) \), gut war, d.h. ob für je drei verschiedene Anzeigen \(A\)s,
    \(\forall A_J, A_K, A_Q \, \in \, \mathcal A,\)
    gilt:
    \((t_{\mathfrak A}[ \, A_K \, ] – t_{\mathfrak A}[ \, A_J \, ]) = (t_{\mathfrak A}[ \, A_Q \, ] – t_{\mathfrak A}[ \, A_J \, ]) \times \left( \frac{\tau A[ \, \_J, \_K \, ]}{\tau A[ \, \_J, \_Q \, ]} \right); \)

    und falls so,

    – ob die daraus gebildete Uhr im obigen Sinne “normalerweise” war, d.h. ob für je zwei Anzeigen \(A\)s,
    \(\forall A_J, A_K \, \in \, \mathcal A,\)
    gilt:
    \((t_{\mathfrak A}[ \, A_K \, ] – t_{\mathfrak A}[ \, A_J \, ]) = \left( \frac{\tau A[ \, \_J, \_K \, ]}{\rm s} \right). \)

    Die (durchschnittliche) Gangrate einer guten Uhr, \( \frac{(t_{\mathfrak A}[ \, A_K \, ] – t_{\mathfrak A}[ \, A_J \, ])}{\tau A[ \, \_J, \_K \, ]}, \) ist konstant.

    Für die oben beschriebenen “normalerweisen Uhren” hat die entsprechende Konstante offenbar den Wert \(\frac{1}{\rm s}\).

    > Eine manipulierte Anzeige ändert natürlich nichts am `Verrinnen der Zeit’ selbst […]

    Verändern/justieren/manipulieren lassen sich lediglich die Zahlenwerte (Ablesewerte, Readings, “Zeit”- bzw. “Datums”-Angaben), die jeweils einer bestimmten Anzeige eines bestimmten Beteiligten (bzw. “Anzeigers“) zugeordnet werden.

    Die Anzeigen an sich aber, also jeweils der Anteil eines bestimmten Beteiligten an einem bestimmten Ereignis, lassen sich nicht “(nachträglich) verändern oder justieren oder manipulieren”; sondern sie sind jeweils schlicht und ein-für-alle-mal als Beobachtungsdatum gegeben.

    Richtig ist, dass jegliches Zuordnen von Zahlenwerten (Ablesewerten, Readings, “Zeit”- bzw. “Datums”-Angaben) zur Menge der Anzeigen eines bestimmten Beteiligten (bzw. “Anzeigers“) nichts an der Dauer dieses Beteiligten zwischen je zwei seiner Anzeigen ändert.

    p.s.
    Zur (Koordinaten-freien, allgemeinen) Quantifizierung des (durchschnittlichen) “`Verrinnens der Zeit’ selbst” eines bestimmten Beteiligten \(A\) bietet sich wohl die (reellwertige) Größe \[ \left( \frac{\tau A[ \, \_J, \_K \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A K} \, ]} \right) \]
    an, also das Verhältnis der Dauer \(A\)s von seiner Anzeige des Treffens/Passierens von \(J\) bis zu seiner Anzeige des Treffens/Passierens von \(K\), im Verhältnis zur (sogenannten) Lorentzschen Distanz zwischen den entsprechenden beiden Koinzidenz-Ereignissen. (Grenzbetrachtungen im Übergang zu immer kleineren Werten \(\ell\) stehen übrigens in Zusammenhang mit gewissen Einschränkungen der Beschleunigung \(A\)s …)

  57. Joachim Schulz schrieb (6. Dezember 2018 @ 14:38):
    > […] es sind ja […] nicht dieselben Strecken die in unterschiedlichen Koordinatensystemen die Länge eines Objektes definieren.

    ??? Es sind die Bestandteile des betreffenden “Objektes“, deren geometrische Beziehungen untereinander dessen Form/Gestalt/Ausmaße definieren.
    Die Länge des betreffenden “Objektesist definiert als die Distanz (der Strecke) zwischen den beiden (meinetwegen “am weitesten voneinander entfernten) Enden dieses “Objektes“.

    Und nichts anderes. Man mag ja daneben noch andere Objekte, Beteiligte/Enden, Strecken in Betracht ziehen, und deren Längen bzw. Distanzen voneinander mit der oben eindeutig definierten Länge des “betreffenden (erstgenannten) Objektes” vergleichen.
    Das ändert aber nichts daran, dass für jedes geeignete (gegenüber einander ruhende) Paar von Enden dessen Länge bzw. Distanz voneinander eindeutig (definiert) ist.

    Und daran ändert übrigens auch nicht, wie die betreffenden Paare von Beteiligten/Enden mit Koordinaten-Tupeln bestreuselt würden, falls überhaupt. Form/Gestalt/Ausmaße eines bestimmten “Objektes” sind schlicht intrinsisch.

    > wegen der Relativität der Gleichzeitigkeit

    Die Bestimmungen von Gleichzeitigkeits-Beziehungen sind für den Vergleich von Längen zwischen verschiedenen, nicht insgesamt gegenüber einander ruhenden Paaren bekanntlich bedeutsam; vgl. die damit verbundene Herleitung des (aus historischen Gründen so genannten) “Lorentzfaktors”.

    Damit ist allerdings auch verbunden, dass die erforderlichen Feststellungen von Gleichzeitigkeits-Beziehungen bestimmt/eindeutig erfolgen …
    (“Relativität der Gleichzeitigkeit” bezieht sich lediglich darauf, dass diese bestimmten/eindeutigen Gleichzeitigkeits-Beziehungen nicht als Beziehungen zwischen Paaren von ganzen Koinzidenz-Ereignissen verstanden und zugeschrieben werden können,
    sondern “nur” als bestimmte/eindeutige Beziehungen zwischen Paaren von Anzeigen einzelner Beteiligter, also “nur” zwischen deren jeweiligen Anteilen an Koinzidenz-Ereignissen.)

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