Wieviel LaTeX ist im Haupttext und in den Kommentaren möglich?

Dies ist kein richtiger Blogartikel – und daher weit zurückdatiert (obwohl im Dezember 2016 abgefasst), um nicht in die Liste der regulären Beiträge zu rutschen.

Diese Spielwiese soll dazu dienen, im Haupttext und in den Kommentaren zu schauen: Wieviel LaTeX ist zur Darstellung von Formeln möglich/einsetzbar?

\(E\approx E_1\)

Beispiel von Frank Wappler:

$$ 0 = \begin{vmatrix} 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_K~]~] \cr
\text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~]~] & 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_K~]~] \cr \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_J~]~] & 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_J, \beta_K~]~] \cr \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_K~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_K~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_J, \beta_K~]~] & 1 \end{vmatrix} $$

…funktioniert im Haupttext erst, wenn vorher ein Kommando \([\mathsf{latex}]\mathsf{irgendwas}[\mathsf{/latex}]\) eingebaut war (dann wird MathJax offenbar erst geladen). Auch Latex in den Kommentaren dürfte erst funktionieren, wenn im Haupttext etwas entsprechendes eingebaut ist.

Markus Pössel hatte bereits während des Physikstudiums an der Universität Hamburg gemerkt: Die Herausforderung, physikalische Themen so aufzuarbeiten und darzustellen, dass sie auch für Nichtphysiker verständlich werden, war für ihn mindestens ebenso interessant wie die eigentliche Forschungsarbeit. Nach seiner Promotion am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut) in Potsdam blieb er dem Institut als "Outreach scientist" erhalten, war während des Einsteinjahres 2005 an verschiedenen Ausstellungsprojekten beteiligt und schuf das Webportal Einstein Online. Ende 2007 wechselte er für ein Jahr zum World Science Festival in New York. Seit Anfang 2009 ist er wissenschaftlicher Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Astronomie in Heidelberg, wo er das Haus der Astronomie leitet, ein Zentrum für astronomische Öffentlichkeits- und Bildungsarbeit. Pössel bloggt, ist Autor/Koautor mehrerer Bücher, und schreibt regelmäßig für die Zeitschrift Sterne und Weltraum.

37 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Markus Pössel schrieb (10. Dezember 2016):
    > Lob der Stundenkilometer
    > […] Alltagssprachlich folgen die Stundenkilometer einem logischen Muster, dem der Genitivkomposita.
    > […] dass die Begriffsverwendung vom Kontext abhängt. Diesen wichtigen Umstand zu lehren, dafür sind die Stundenkilometer eine schöne Gelegenheit

    Kann man gelten lassen.
    Etwa so wie die Minutencents.

    Die Singularform allerdings, wie in dieser Formulierung: …

    > Und der Stundenkilometer ist nach diesem Muster eben der Kilometer der Stunde, der Kilometer pro Stunde.

    … assoziiert doch auffallend ungünstig dahingehend,
    dass ein Stundenkilometer und noch ein Stundenkilometer und noch sieben Stundenkilometer zusammen drei Stundenkilometer ergeben (können).

    p.s. – Copy-n-paste-ready LaTeX rendering test suite:

    “$\LaTeX $” is rendered as: $\LaTeX$.
    “$$ \LaTeX $$” is rendered as: $$\LaTeX$$.
    “$latex \LaTeX $” is rendered as: $latex \LaTeX$.
    “[latex \LaTeX ]” is rendered as: [latex] \LaTeX [/latex].

  2. @Markus Pössel / ad LaTeX

    »Im Haupttext schreibe ich [latex]\LaTeX[/latex], aber das scheint hier in den Kommentaren offenbar gerade nicht zu funktionieren.«

    Ein Blick in die Page Source offenbart, dass Ihr [latex]…[/latex] Input vom System interpretiert und durch \(…\) ersetzt wurde. Dies lässt sich auch direkt verwenden und funktionert dann prinzipiell in Kommentaren zur Eingabe von \(\mbox{\LaTeX}\)-Ausdrücken im Text, wie dieses Beispiel hier jetzt hoffentlich demonstriert.

    • P.S. Hat nicht geklappt wie erfofft; die mbox hat er nicht geschluckt.

      Noch ein Versuch: \({\LaTeX}\)

    • Chrys schrieb (11. Dezember 2016 @ 13:41):
      > […] durch \(&hellpi;\)

      Na, das ist doch schon mal ein brauchbarer Schritt in Richtung Editierhinweise für die (im Entstehen begriffene) SciLogs-Kommentarvorschau. (Vielen Dank, Chrys!)

      Basierend auf der Idee, mal den Rohtext dieser Seite anzuschauen, versuche ich auch nochmal darzustellen, was oben undokumentiert und (für mich) überraschend funktioniert hat:

      “$$ \LaTeX $$” is rendered as: $$ \LaTeX $$.

      p.s.
      Um aber auch meinen oben begonnenen Ansatz noch einen Schritt weiter zu verfolgen, oder ansonsten wenigstens ‘n paar (löbliche) Stundenkilometer draufzupacken:

      $$ \beta_A[~B~] := \text{lim}_{\varepsilon_{A \Xi} \rightarrow \varepsilon_{A B}}\left[~\left( \frac{\ell[~\varepsilon_{A \Xi}~]^2 – \ell[~\varepsilon_{B \Upsilon}~]^2}{\ell[~\varepsilon_{A \Xi}~]^2 + \ell[~\varepsilon_{B \Upsilon}~]^2} \right)~\mid_{\{B_{\Upsilon} \equiv B_{\circledR~A \! \circ \! \Xi} \}}
      ~right]. $$

      • @Frank Wappler / 11. Dezember 2016 @ 22:00

        Zwar wird ein einzelnes `$’ Token im HTML Code von MathJax als Math Mode Switch ignoriert, ein doppeltes aber nicht. D.h., $$…$$ wird behandelt wie \[…\] und dient wie gewohnt zur Darstellung einer vom Text abgesetzten Formel.

        • Chrys schrieb (12. Dezember 2016 @ 00:14):
          > Zwar wird ein einzelnes `$‘ Token im HTML Code von MathJax als Math Mode Switch ignoriert, ein doppeltes aber nicht.

          Eben. Deshalb bestand die Herausforderung darin, eine Zeichenfolge zu finden, die zwar („schlicht und einfach“) wie ein doppeltes Dollarzeichen dargestellt, aber dennoch „ als Math Mode Switch ignoriert“ würde, weil sie eigentlich, vom Quelltext her, gar kein doppeltes Dollarzeichen ist.

          > D.h., $$…$$

          Genau; wobei hinzugefügt sei (zur Offenlegung und damit verbundenen Dokumentation, insbesondere hinsichtlich der im Entstehen begriffenen SciLogs-Kommentarvorschau), dass „$<b> </b>$“ als diese (eine?) entsprechende Zeichenfolge geeignet ist.

          p.s.
          Mein obiger Versuch, ein Symbol aus dem „\( \text{amssymb} \) package“ zu benutzen, hat leider nicht geklappt wie erhofft. (Was sollen wir nur machen, falls wir irgendwann mal ausführlichere Kommentare zu Funktionen, deren Zielmenge Tupel reeller Zahlen sind geben wollten ?? …)

          Um aber trotzdem zu illustrieren, dass sich auf den einen oder anderen Stundenkilometer gut verzichten lässt:

          $$ \beta_A[~B~] := \text{lim}_{\varepsilon_{A \Xi} \rightarrow \varepsilon_{A B}}\left[~\left( \frac{\ell[~\varepsilon_{A \Xi}~]^2 – \ell[~\varepsilon_{B \Upsilon}~]^2}{\ell[~\varepsilon_{A \Xi}~]^2 + \ell[~\varepsilon_{B \Upsilon}~]^2} \right)~\mid_{\{B_{\Upsilon} \equiv B_{{\text{\textcircled{R}}}~A \! \circ \! \Xi} \}}~\right]. $$

          • @Frank Wappler / 12. Dezember 2016 @ 10:54

            Bei der textuellen Darstellung u.a. des Doppeldollars kam es mir jetzt nur darauf an, einen unsichtbaren Trenner einzufügen, um die Evaluation zu verhindern — und zwar möglichst so, dass einem dabei die superduper SciLogs-Blog-Software nicht eigenmächtig ins Handwerk zu pfuschen versucht.

            Prinzipiell kann MathJax auch mit AMS Extensions umgehen, doch alles hängt von der aufgerufenen config ab. Hier ist aktuell `config=default’ gesetzt, wo das mit den Extensions dann nicht klappt. Man darf wohl nicht zuviel erwarten…

            N.B. Funktioniert hier eigentlich die numerische HTML Codierung von Unicode Symbolen noch? Das testen wir doch gleich mal mit einem Ampèremeter.

          • Chrys schrieb (12. Dezember 2016 @ 15:19):
            > Bei der textuellen Darstellung u.a. des Doppeldollars kam es mir jetzt nur darauf an, einen unsichtbaren Trenner einzufügen, um die Evaluation zu verhindern

            Mir auch. Mein eigener Versuch, dafür “<!>” zu verwenden, erwies sich aber z.B. als untauglich.

            > Prinzipiell kann MathJax auch mit AMS Extensions umgehen […] Man darf wohl nicht zuviel erwarten…

            Von jemandem, der sich zutraut, “ zur Frage von Koordinaten und koordinatenfreien Darstellungen […] mal einen gesonderten Blogbeitrag machen zu können (und der nicht abgeneigt wäre, \( \text{LaTeX}\)-Ausdrucksmöglichkeiten dafür zu selbst benutzen oder zumindest den eventuellen Kommentatoren bereitzustellen), darf man aber doch ein “\( \mathbb R \)” erwarten.

            > N.B. Funktioniert hier eigentlich die numerische HTML Codierung von Unicode Symbolen noch?

            Das ist spätestens dann kein Ersatz, wenn und falls Kommentare zum Wie?-und-Warum? von (insbesondere Lorentzschen) Mannigfaltigkeiten abzugeben wären; also dass für je fünf unterscheidbare Beteiligte (\[ A, B, J, K, P\) ), die sich in einem Ereignis (\( \varepsilon_{ABJKP}\)) trafen und passierten,

            $$ 0 = \begin{vmatrix} 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_K~]~] \cr
            \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~]~] & 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_K~]~] \cr \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_J~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_J~]~] & 1 & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_J, \beta_K~]~] \cr \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_A, \beta_K~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_B, \beta_K~]~] & \text{Cos}[~{}_P \angle[~\beta_J, \beta_K~]~] & 1 \end{vmatrix} $$

            sein soll; wobei

            $$ {}_P \angle[~\beta_A, \beta_B~] := \text{Arccos}\left[~\frac{1}{\beta_A[~P~]} \, \frac{1}{ \beta_B[~P~] } \, \left( \sqrt{ \frac{(1 – \beta_A[~P~]^2) \, (1 – \beta_A[~Q~]^2)}{(1 – \beta_P[~Q~]^2)} } – 1 \right) ~\right].$$

            p.s.
            > testen wir doch gleich mal mit einem Ampèremeter.

            Da lob ich mir (meine schlichteren Tests mit) Jahrestonnen, Wochenfestmetern, oder wenigstens Schichtfestmetern,

          • Nachdem Sie jetzt Ihre Tests durchgeführt haben und wissen, was geht und was nicht, würde ich die entsprechenden Kommentare gerne löschen – auf die anderen Leser dürften sie eher abschreckend wirken.

            Wenn Sie möchten, können Sie gerne zusammenfassen, was Sie beim herausgefunden haben; das ist dann ja wirklich ein Mehrwert.

            (Und im Gegensatz zu Ihren Erwartungen: Ich habe mit der technischen Umsetzung der LaTeX-Codierung im WordPress-System von SciLogs nichts zu tun – wenn Sie konkrete Vorschläge haben, kann ich das gerne weitergeben, aber ich kann Ihnen keine Wunsch-Symbole aus dem Hut zaubern!)

          • Markus Pössel schrieb (13. Dezember 2016 @ 10:42):
            > Nachdem Sie jetzt Ihre Tests durchgeführt haben

            Wenn der Administrator eines SciLogs das so formuliert, egal welche(r) Kommentator(en) damit im Einzelnen angesprochen werden sollte(n), dann wird es allein schon dadurch zum unumstößlichen Fakt:
            Die Durchführung aller in Frage kommenden Tests gehört der Vergangenheit an; und den Gedanken an einen dafür ansonsten vielleicht tauglichen “just another”-Threads müssen wir hier begraben.

            > würde ich die entsprechenden Kommentare gerne löschen – auf die anderen Leser dürften sie eher abschreckend wirken.

            Wenig schmeichelhaft, dass dieses SciLog solche Leser hätte, oder haben wollte.
            Aber wenn ein Administrator das so formuliert, egal welche Kommentare damit im Einzelnen angesprochen wären, dann wohl dem, der sich noch Kopien machen konnte.

            > Wenn Sie möchten, können Sie gerne zusammenfassen, was Sie beim herausgefunden haben; das ist dann ja wirklich ein Mehrwert.

            Eine Einladung, einen Gastbeitrag “zur Frage von Koordinaten und koordinatenfreien Darstellungen” zu verfassen, ist das offenbar nicht. Hoffentlich wird den Lesern eine Kommentarvorschau (und entsprechende Editier-Dokumentation) zur Verfügung stehen, wenn bzw. falls ein Beitrag dazu dennoch in diesem SciLog erscheinen sollte.

          • (1) Noch einmal: ich bin kein Administrator. Ich kann keine Plugins installieren, sonstwie direkt beeinflussen, wie LaTeX angezeigt wird oder ob und wie es eine Kommentar-Vorschaufunktion geben kann oder wird. Keiner der SciLogs-Autoren hat derartige Administratorrechte.

            (2) Dass Leser unter einem Artikel zum Thema Stundenkilometer, Wissenschaft und Sprache keine seitenlangen Ausführungen über LaTeX-Befehle und Testformeln lesen möchten, die keinen direkten Bezug zum Hauptbeitrag haben, ist aus meiner Sicht naheliegend und verständlich. Die Existenz solcher Leser anzuzweifeln finde ich weltfremd, sie über das “wenig schmeichelhaft” abzuqualifizieren klingt in meinen Ohren durchaus arrogant.

          • @Frank Wappler

            Bevor hier alle Tests gelöscht werden, sei rasch noch ein möglicherweise irgendwie erhellender Link auf das MathJax default config file gegeben. Demnach werden AMSmath und AMSsymbols nicht by default geladen. Mir ist allerdings weder klar, worauf die “ver=1.2.1” bei der SciLogs config zu beziehen ist, noch wieso e.g. das \text command dann in den Wapplerschen Experimenten offenbar funktioniert hat.

            Falls AMSmath geladen ist, sollte jedenfalls das Logo darstellbar sein, etwa so \(\text{\AmS}\). Oder vielleicht doch so \({\AmS}\)? (Letzteres würde in einem LaTeX Dokument jedoch eine Fehlermeldung produzieren.)

          • P.S. Die Sache mit dem \text command hat sich inzwischen bei mir weitestgehend geklärt. Bleibt festzuhalten, dass bei \text wie bei \mbox der als Argument übergebene String hier verbatim genommen wird, anders als sonst üblich. Und ich korrigiere mich: \AmS im Math Mode sollte normalerweise keine Fehlermeldung, sondern nur ein leicht fehlerhaftes Logo produzieren.

          • Chrys schrieb (14. Dezember 2016 @ 23:15):
            > […] Demnach werden AMSmath und AMSsymbols nicht by default geladen. […]

            Mich hat jedenfalls überrascht, und deshalb um so mehr verunsichert, dass das Blackboard-bold-R zum Vorschein kommt, obwohl das Cirkel-centrierte-R Ärger machte.

            Da komme ich leider nicht weiter ohne ein direkte(re)s Vorbild, oder eine Möglichkeit zum systematischen Ausprobieren, oder das Abrücken von der Notation für “indication of receiving (registering, recording, reflecting) a signal indication”, die ich bisher bevorzuge (weil sie so günstig durch entsprechende Notationen für “indication simultaneous to some particular indication” und für “indication of coincidence with some particular participant” ergänzt wird).

            Also nochmals vielen Dank für die Bemühungen soweit; aber meine Tageskalorien setze ich lieber dann ein, wenn und falls das oben Erarbeitete in diesem SciLog wieder sachdienlich wird.

          • @Frank Wappler / 15. Dezember 2016 @ 11:13

            »Mich hat jedenfalls überrascht, und deshalb um so mehr verunsichert, dass das Blackboard-bold-R zum Vorschein kommt, obwohl das Cirkel-centrierte-R Ärger machte.«

            Das Blackboard-bold-R ist in amsfonts, nicht in amssymb, und das erstgenannte Package wird offenbar implizit geladen. Entsprechendes wäre für amstext zu konstatieren, weshalb das mit dem \text command hier funktioniert.

          • Markus Pössel schrieb (13. Dezember 2016 @ 15:07):
            > (1) Noch einmal: ich bin kein Administrator. […]

            Und ich werde mich davor hüten, jemandem zu widersprechen, der mit dem Löschen von Kommentaren drohen kann.
            (Insbesondere von Kommentaren, in denen öffentlich um die Einrichtung einer SciLogs-Kommentarvorschau gebeten wurde …)

  3. Schreibe “\<b></b>( \LaTeX \<b></b>)”, um “\( \LaTeX \)” zu sehen.

    Schreibe “\( \LaTeX \)”, um “\( \LaTeX \)” zu sehen.

    \(\href{https://scilogs.spektrum.de/relativ-einfach/latex-spielwiese}{\text{If you don’t use it }}{\small{\text{you }}}{\scriptsize{\text{lose }}}{\tiny{\text{it. }}}\)

  4. Die Anzeige des Teilnehmers \(A\) beim Koinzidenz-Ereignis \(\varepsilon_{A X}\) (d.h. beim Treffen, im Vorübergehen, der Teilnehmer \(A\) und \(X\)) ist:
    \(A_{{\href{“coincident”}{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} X}\).

  5. Gleichzeitigkeit von \(A\)s Anzeige \(A_{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} X}\) (beim Koinzidenz-Ereignis \(\varepsilon_{A X}\) und \(B\)s Anzeige \(B_{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} Y}\) (beim Koinzidenz-Ereignis \(\varepsilon_{B Y}\) bedeutet:

    $$
    \begin{eqnarray*}
    A_{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} X} \equiv A_{{\href{“simultaneous.to”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} }}B {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} Y} & \Leftrightarrow & \cr
    B_{{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} Y} \equiv B_{{\href{“simultaneous.to”}{{\hphantom{.}\text s \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}}} A {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} X} & \Leftrightarrow & \cr
    \exists M \, | \, \forall \Psi : M_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Psi} & \equiv & M_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Psi}, \cr
    \forall \Xi : \, \, \, A_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Xi} & \equiv & A_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Xi}, \cr
    \forall \Upsilon : \, \, B_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Upsilon} & \equiv & B_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} M {\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} \Upsilon} \text{ and} \cr
    M_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} A {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} X} & \equiv & M_{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} B {\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc} Y}.
    \end{eqnarray*}
    $$

  6. Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb (4. Januar 2017 @ 15:42):
    > Wie also setzt die ART die Federkraft Ihres Schreibtischstuhls, die Sie daran hindert, in den Erdmittelpunkt frei zu fallen, ins Gleichgewicht mit dem, was man landläufig „Schwerkraft“ nennt?

    Zumindest vom „Betrag“ her (um eine eingehendere Erörterung von „Richtung“ in diesem Kommentar zu ersparen):

    $$F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] := m_A \, c \, \mathop{\text{lim}}_{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \rightarrow 0} \left[ \, \frac{1}{2 \, \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \, \sqrt{ 2 + 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 + 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} } \right)^2 \, ] – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 } \, \right],$$

    wobei \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) den Betrag der (z.B. durch eine Feder) auf den Beteiligten \( A \) im Ereignis \( \varepsilon_{A P} \) (d.h. dem Koinzidenzereignis, an dem die Beteiligten \( A \) und \( P \) gemeinsam, „im Passieren“ teilnahmen) ausgeübten Kraft bezeichnet,
    \( m_A \) die (sinnvoller Weise positive) Masse des Beteiligten \( A \),
    \( \ell \) die Werte der Lorentzschen Distanzen zwischen je zwei Koinzidenzereignissen,
    und \( \Xi \) bzw. \( \Upsilon \) als Variable für betreffende Beteiligte stehen,
    und wobei der Beteiligte \( A \) an allen in der Formel auftretenden Ereignissen teilnahm, so dass sich all diese Ereignisse entsprechend ordnen lassen und es gilt:
    $$ 0 \lt \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ], $$
    $$ 0 \lt \ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ], $$

    sowie (deshalb)
    $$ 0 \lt \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] $$

    und
    $$ 0 \le 2 + 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 + 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} } \right)^2 \, ] – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2. $$

    Dazu noch zwei Bemerkungen:
    Die eventuelle Charakterisierung des Kraftbetrags \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) als „Schwer“ oder „Inertial“ kann nicht aus den in der Formel auftretenden Ereignissen allein erschlossen werden, sondern erfordert die Betrachtung bzw. die Bewertung der Lorentzschen Distanzen hinsichtlich geeigneter zusätzlicher Ereignisse (an denen insbesondere \( A \) nicht teilgenommen hatte).

    Eine darauf basierende eventuelle Unterscheidung und (formal) entsprechende Bezeichnung der Masse \( m_A \) als \( m_A^{\text{schwer}} \) oder \( m_A^{\text{inertial}} \) bleibt allerdings jenen vorbehalten, die in der Vorstellung befangen sind, dass der Kraftbetrag \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) als eine „dynamische Messgröße“ an sich messbar sei, und nicht nur die „geometrische Messgröße“ \( \frac{F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ]}{m_A \, c} \).

  7. Frank Wappler schrieb (5. Januar 2017 @ 16:54):
    > Zumindest vom „Betrag“ her […]\( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] := \) […]
    > […] wobei […]

    In dieser vorausgegangenen Spielwiesen-Übung befanden sich (erwartbarer Weise) noch einige Fehler bzw. eher ästhetische Mängel, die ich hiermit zu berichtigen versuchen möchte:

    Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb (4. Januar 2017 @ 15:42):
    > Wie also setzt die ART die Federkraft Ihres Schreibtischstuhls, die Sie daran hindert, in den Erdmittelpunkt frei zu fallen, ins Gleichgewicht mit dem, was man landläufig „Schwerkraft“ nennt?

    Zumindest vom „Betrag“ her (um eine eingehendere Erörterung von „Richtung“ in diesem Kommentar zu ersparen):

    $$
    F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] := m_A \, c \, \mathop{\text{lim}}_{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \rightarrow 0} \left[ \, \frac{1}{2 \, \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \, \sqrt{
    \begin{matrix}
    \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \cr + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – 2 \cr
    – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 \end{matrix}
    } \, \right].$$

    wobei \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) den Betrag der (z.B. durch eine Feder) auf den Beteiligten \( A \) im Ereignis \( \varepsilon_{A P} \) (d.h. dem Koinzidenzereignis, an dem die Beteiligten \( A \) und \( P \) gemeinsam, „im Passieren“ teilnahmen) ausgeübten Kraft bezeichnet,
    \( m_A \) die (sinnvoller Weise positive) Masse des Beteiligten \( A \),
    \( \ell \) die Werte der Lorentzschen Distanzen zwischen je zwei Koinzidenzereignissen,
    und \( \Xi \) bzw. \( \Upsilon \) als Variable für betreffende Beteiligte stehen,
    und wobei der Beteiligte \( A \) an allen in der Formel auftretenden Ereignissen teilnahm, so dass sich all diese Ereignisse entsprechend ordnen lassen und es gilt:
    $$ 0 \lt (\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ])^2, $$
    $$ 0 \lt (\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ])^2, $$

    sowie (deshalb)
    $$ 0 \lt (\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ])^2 $$

    und (“Subadditivität”)

    $$
    \begin{matrix}
    \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 & \cr + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – 2 & \cr
    – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 & \ge 0.\end{matrix}
    $$

    Die beiden schon oben gemachten Bemerkungen bestehen unverändert:
    Die eventuelle Charakterisierung des Kraftbetrags \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) als „Schwer“ oder „Inertial“ kann nicht aus den in der Formel auftretenden Ereignissen allein erschlossen werden, sondern erfordert die Betrachtung bzw. die Bewertung der Lorentzschen Distanzen hinsichtlich geeigneter zusätzlicher Ereignisse (an denen insbesondere \( A \) nicht teilgenommen hatte).

    Eine darauf basierende eventuelle Unterscheidung und (formal) entsprechende Bezeichnung der Masse \( m_A \) als \( m_A^{\text{schwer}} \) oder \( m_A^{\text{inertial}} \) bleibt allerdings jenen vorbehalten, die in der Vorstellung befangen sind, dass der Kraftbetrag \( F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ] \) als eine „dynamische Messgröße“ an sich messbar sei, und nicht nur die „geometrische Messgröße“ \( \frac{F_A[ \, \varepsilon_{A P} \, ]}{m_A \, c} \).

  8. Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb (4. Januar 2017 @ 15:42):
    > Wie also setzt die ART die Federkraft Ihres Schreibtischstuhls, die Sie daran hindert, in den Erdmittelpunkt frei zu fallen, ins Gleichgewicht mit dem, was man landläufig „Schwerkraft“ nennt?

    In Fortsetzung des obigen Antwort-Anfangs (Zum Kraft-Begriff in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Teil 1: Kraft-Betrag) hier nun die Fortsetzung:

    Zum Kraft-Begriff in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Teil 2: Kraft-Richtung

    Der in Teil 1 vorgestellte Kraft-Begriff, hinsichtlich eines bestimmten Beteiligten, \(A\), und einems bestimmten Ereignisses \(\varepsilon_{A P}\), an dem \(A\) teilgenommen hatte,
    beruhte auf der Betrachtung von Mengen i.A. zahlreicher Ereignisse,
    \( \{ \, \varepsilon_{A \Xi} \, \}, \{ \, \varepsilon_{A \Upsilon} \} \, \) , an denen \(A\) (ebenfalls) teilgenommen hatte;
    und der Bewertung der geometrischen Beziehungen zwischen diesen Ereignissen durch Werte (bzw. Verhältnisse der Werte) ihrer paarweisen Lorentzschen Distanzen \(\ell\).

    Da \(A\) an all diesen Ereignissen teilgenommen hatte, lässt sich diese Ereignismenge $$ \mathcal E_A := \{ \, \varepsilon_{A \Xi} \, \} \cup \varepsilon_{A P} \cup \{ \, \varepsilon_{A \Upsilon} \}
    $$
    insgesamt deshalb entsprechend ordnen und (wie in Teil 1 benutzt) von Null verschiedene Werte \(\ell\) voraussetzen und ggf. ermitteln.

    Ausgehend von dieser gesamten Ereignismenge \(\mathcal E_A\) lassen sich weitere Ereignisse identifizieren, an denen \(A\) nicht unbedingt teilgenommen hatte;
    z.B. sei Ereignis \(\varepsilon_{J K}\) dadurch bestimmt, dass

    $$\ell[ \, \varepsilon_{A X}, \varepsilon_{J K}\, ] + \ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{A Y}\, ] = \ell[ \, \varepsilon_{A X}, \varepsilon_{A Y}\, ]$$

    und

    $$\frac{\ell[ \, \varepsilon_{A X}, \varepsilon_{A P}\, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{A X}, \varepsilon_{J K}\, ]} = \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Y}\, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{A Y}\, ]}, $$

    für jedes Ereignispaar \( \varepsilon_{A X} \in \{ \, \varepsilon_{A \Xi} \, \} \) und \( \varepsilon_{A Y} \in \{ \, \varepsilon_{A \Upsilon} \, \} \).

    (Eine Diskussion der “pathologischen Fälle bzw. Regionen”, in denen sich ein entsprechend definiertes Ereignis \(\varepsilon_{J K}\) eventuell nicht finden lässt, oder nicht eindeutig bestimmbar wäre, überlasse ich vorerst gern jenen, denen das Privileg gegeben ist, ganze SciLogs-Beiträge zu verfassen.)

    Betrachtung von Grenzübergängen wie in Teil 1,
    \( \mathop{\text{lim}}_{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon}\, ] \rightarrow 0}\) erlaubt, eine bestimmte Menge von Ereignissen \( \{ \, \varepsilon_{\mathcal J \mathcal K} \, \} \) wie beschrieben zu identifizieren und zu ordnen.

    Jede solche geordnete Menge (an sich) kann als Repräsentant der Kraft-Richtung betrachtet werden, die dem in Teil 1 gefundenen Kraft-Betrag entspricht.

    Es bleibt allerdings zu beachten, dass die Werte der Lorentzschen Distanzen zwischen diesen identifizierten Ereignissen alle Null sein können (und in “vernünftigen Fällen” sicherlich auch sind).

    Um diese Ereignismengen \( \{ \, \varepsilon_{\mathcal J \mathcal K} \, \} \) eventuell als (Teilmengen von) Kurven zu charakterisieren (die anschließend als kontinuierlich parametrisierte Wege darstellbar wären),
    und darüberhinaus, um zu bewerten, ob die betreffenden, in Betrachtung des Grenzüberganges erhaltenen verschiedenen Kurven dahingehend “konvergent” wären, dass sie sich im Ereignis \(\varepsilon_{A P}\) berühren, aber nicht schneiden (tangential zueinander sind),
    erfordert deshalb andere geometrische Bewertungen der Beziehungen von Ereignispaaren (die zwar ebenfalls aus Lorentzschen Distanzen zwischen geeigneten zusätzlichen Ereignissen definierbar sind, worauf aber in diesem Kommentar nicht näher eingegangen werden soll).

  9. Herr Senf schrieb (17. Januar 2017 @ 18:32):
    > [… dass] Newton (absichtlich) der Grenzfall
    der ART ist

    Natürlich lassen sich im Rahmen der ART gewisse Grenzfälle untersuchen; insbesondere

    – der Fall “geringer Geschwindigkeit(en)”:
    $$
    \begin{matrix}
    \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 & \cr + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 – 2 & \cr
    – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A P} \, ] } \right)^2 – 2 \, \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] }{\ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] } \right)^2 & \ll 1,\end{matrix}
    $$
    für alle Ereignisse, an denen ein bestimmter, in Betracht gezogener Beteiligter \( A \) teilnahm, mit den entsprechenden Wert der Lorentschen Distanz \( \ell\), und

    – der Fall “kleiner Masse(n)”:
    $$ \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \ll 1 / \kappa_{\text{max}},$$
    für alle Ereignisse, an denen ein bestimmter, in Betracht gezogener Beteiligter \( A \) teilnahm, sowie für das Maß \( \kappa_{\text{max}} \) der (maximalen) Krümmung der Region, in der \( A \) enthalten war, d.h. der maximale Wert \( \kappa \) der (betragsmäßig kleinsten) Lösungen der Gram-Determinanten-Gleichung
    $$
    \small{
    0 =
    \begin{vmatrix}
    1 & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{F G} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{J K} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{U V} \, ] \, ] \cr
    \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{F G} \, ] \, ] & 1 & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{J K} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{U V} \, ] \, ] \cr
    \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{J K} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{J K} \, ] \, ] & 1 & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{U V} \, ] \, ] \cr
    \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{J K}, \varepsilon_{P Q} \, ] \, ] & 1 & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{P Q}, \varepsilon_{U V} \, ] \, ] \cr
    \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{A B},\varepsilon_{U V} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{F G},\varepsilon_{U V} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{J K},\varepsilon_{U V} \, ] \, ] & \text{Cos}[ \, \kappa \, \ell[ \, \varepsilon_{P Q},\varepsilon_{U V} \, ] \, ] & 1
    \end{vmatrix},
    }
    $$
    für fünf (i.A. beliebige) Ereignisse \( \varepsilon_{A B} \),\( \varepsilon_{F G} \), \( \varepsilon_{J K} \), \( \varepsilon_{P Q} \), \( \varepsilon_{U V} \) in der betrachteten Region, in der sich Teilnehmer \( A \) aufhielt.

    Aber zu behaupten, dass dabei nachvollziehbar auf Newton Bezug genommen würde, hieße Newtons Nachvollziehbarkeit zu überschätzen, und die nachvollziehbaren Grundlagen der ART zu verleugnen.

    • “zu behaupten, dass dabei nachvollziehbar auf Newton Bezug genommen würde”

      Wieso? steht doch da … ℓ[ε AΞ ,ε AΥ ]≪1/κ max

      • Herr Senf schrieb (18. Januar 2017 @ 14:38):
        > Wieso? steht doch da …

        Wo hätte sich Newton denn über Lorentzsche Distanzen geäußert,
        oder über Krümmung bzw. insbesondere den Krümmungsparameter \( \kappa \),
        oder (und darauf käme es wohl ganz besonders an) darüber, wie
        deren Werte zumindest im Prinzip zu messen sind
        ??

        p.s.
        Frank Wappler schrieb (18. Januar 2017 @ 11:05):
        > – der Fall “kleiner Masse(n)”:
        > $$ \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \ll 1 / \kappa_{\text{max}},$$

        … wäre besser/allgemeiner so auszudrücken:
        $$ \ell[ \, \varepsilon_{A \Xi}, \varepsilon_{A \Upsilon} \, ] \, \kappa_{\text{max}} \ll 1.$$

        > […] d.h. der maximale Wert \( \kappa \)der (betragsmäßig kleinsten) Lösungen der Gram-Determinanten-Gleichung

        Die allgemeine Lösung \( \kappa = 0 \) käme jeweils nur dann in Frage, falls auch die entsprechende Cayley-Menger-Determinante verschwindet.

  10. Identifikation gegenüber einander lichtartiger Ereignispaare anhand gegebener Lorentzscher Distanzen

    Die Bewertung von geometrischen Beziehungen zwischen Ereignisspaaren (aus Ereignismenge \( \mathcal E \))duch Lorentzsche Distanzen, $$\ell :

    $$ \ell : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow [ \, 0 … \infty \, ), $$

    ordnet (definitionsgemäß) allen Ereignispaaren, deren Beziehung gegenüber einander jeweils nicht zeitartig war (d.h. so dass kein identifizierbarer Beteiligter auffindbar oder auch nur denkbar ist, der jeweils an beiden Ereignissen des Ereignispaares teilgenommen hätte), den Wert \( \ell = 0 \) zu;
    drückt damit also an sich keine quantitative Differenzierung von geometrischen Beziehungen zwischen solchen, gegenüber einander jeweils nicht zeitartigen Ereignisspaaren aus (wie man sie insbesondere von „Distanzen, im üblichen Sinne; zwischen Paaren identifizierbarer Beteiligter“ her gewohnt sein mag);
    und drückt an sich nicht einmal eine qualitative Differenzierung zwischen „raumartigen“ und „lichtartigen“ Ereignispaaren aus (wie sie von Raumzeitintervallen (im Flachen) : $$ s^2 \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow \mathbb R $$
    her bekannt ist).

    Folglich lässt sich die Frage stellen (und sofern die oben beschriebene Eigenschaft Lorentzscher Distanzen als ein Mangel betrachtet würde, stellt sie sich mit besonderer Dringlichkeit):

    Lassen sich qualitative und quantitative Differenzierungen von geometrischen Beziehungen zwischen nicht-zeitartigen Ereignispaaren zumindest anhand von \( \ell \)-Werten ausdrücken, die insgesamt (für eine geeignete Ereignismenge \( \mathcal E \)) gegeben sind?

    Im hiermit vorgelegten Kommentar soll der erste Teil dieser Frage (also die Möglichkeit der qualitativen Differenzierung zwischen „raumartigen“ und „lichtartigen“ Ereignispaaren) skizziert werden;
    der zweite Teil (d.h. die quantitative Bewertung von gegenüber einander raumartigen Ereignispaaren, anhand der auf einer geeigneten Ereignismenge gegebenen Lorentzschen Distanzen) in einem nachfolgenden Kommentar.

    Es sei also für zwei geeignete Ereignisse
    \( \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \in \mathcal E \) gegeben:

    $$\ell[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \, ] = \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{J P} \, ] = 0.$$

    Die folgende Forderung lässt sich aufstellen und auswerten:

    Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
    lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{J B} \in \mathcal E \) finden, für das \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) sowie
    $$ \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J B} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ]} \right) + \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ]} \right) = 1 $$
    erfüllt ist,
    und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{J F} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) sowie
    $$ \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J F} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ]} \right) + \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ]} \right) = 1 $$
    gilt:
    $$\ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.$$

    Eine ähnliche Forderung (diesmal „von K her“) lässt sich folgendermaßen aufstellen und auswerten:

    Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{K Y} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K Y} \, ] \gt 0 \)
    lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{K X} \in \mathcal E \) finden, für das \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ] \gt 0 \) sowie
    $$ \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K Y} \, ]} \right) + \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{K X}, \varepsilon_{K Y} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K Y} \, ]} \right) = 1 $$
    erfüllt ist,
    und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{K V} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K V} \, ] \gt 0 \) sowie
    $$ \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K V} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ]} \right) + \left(\frac{\ell[ \, \varepsilon_{K V}, \varepsilon_{K X} \, ]}{ \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ]} \right) = 1 $$
    gilt:
    $$\ell[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K V} \, ] \gt 0.$$

    Sind diese beiden Forderungen erfüllt, dann heißen die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) „gegenüber einander lichtartig“ (und insbesondere „mit Signalfront von \( \varepsilon_{J P} \) nach \( \varepsilon_{K Q} \)“).

    Ist keine dieser beiden Forderungen erfüllt, dann heißen die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) „gegenüber einander raumartig“.

    (Die denkbaren Fälle, dass genau nur eine dieser beiden Forderungen erfüllt wäre, mögen als „interessant“ bzw. „pathologisch“ gelten, und hier nicht näher untersucht werden.)

  11. Identifikation gegenüber einander lichtartiger Ereignispaare anhand gegebener Lorentzscher Distanzen

    Die Bewertung von geometrischen Beziehungen zwischen Ereignisspaaren (aus Ereignismenge \( \mathcal E \)) duch Lorentzsche Distanzen, $$\ell :

    $$ \ell : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow [ \, 0 … \infty \, ), $$

    ordnet (definitionsgemäß) allen Ereignispaaren, deren Beziehung gegenüber einander jeweils nicht zeitartig war (d.h. so dass kein identifizierbarer Beteiligter auffindbar oder auch nur denkbar ist, der jeweils an beiden Ereignissen des Ereignispaares teilgenommen hätte), den Wert \( \ell = 0 \) zu;
    drückt damit also an sich keine quantitative Differenzierung von geometrischen Beziehungen zwischen solchen, gegenüber einander jeweils nicht zeitartigen Ereignisspaaren aus (wie man sie insbesondere von „Distanzen, im üblichen Sinne; zwischen Paaren identifizierbarer Beteiligter“ her gewohnt sein mag);
    und drückt an sich nicht einmal eine qualitative Differenzierung zwischen „raumartigen“ und „lichtartigen“ Ereignispaaren aus (wie sie von Raumzeitintervallen (im Flachen) : $$ s^2 : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow \mathbb R $$
    her bekannt ist).

    Folglich lässt sich die Frage stellen (und sofern die oben beschriebene Eigenschaft Lorentzscher Distanzen als ein Mangel betrachtet würde, stellt sie sich mit besonderer Dringlichkeit):

    Lassen sich qualitative und quantitative Differenzierungen von geometrischen Beziehungen zwischen nicht-zeitartigen Ereignispaaren zumindest anhand von \( \ell \)-Werten ausdrücken, die insgesamt (für eine geeignete Ereignismenge \( \mathcal E \)) gegeben sind?

    Im hiermit vorgelegten Kommentar soll der erste Teil dieser Frage (also die Möglichkeit der qualitativen Differenzierung zwischen „raumartigen“ und „lichtartigen“ Ereignispaaren) skizziert werden;
    der zweite Teil (d.h. die quantitative Bewertung von gegenüber einander raumartigen Ereignispaaren, anhand der auf einer geeigneten Ereignismenge gegebenen Lorentzschen Distanzen) in einem nachfolgenden Kommentar.

    Es sei also für zwei geeignete Ereignisse
    \( \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \in \mathcal E \) gegeben:

    $$\ell[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \, ] = \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{J P} \, ] = 0.$$

    Die folgende Forderung (“auf \( J \) zu” ) lässt sich aufstellen und auswerten:

    Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
    lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{J B} \in \mathcal E \) finden, für das
    \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J B} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) erfüllt ist,
    und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{J F} \in \mathcal E \) mit
    \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J F} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) gilt:
    $$\ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.$$

    Eine ähnliche Forderung (diesmal “von \( K \) her”) lässt sich folgendermaßen aufstellen und auswerten:

    Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{K Y} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K Y} \, ] \gt 0 \)
    lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{K X} \in \mathcal E \) finden, für das
    \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K X} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{K X}, \varepsilon_{K Y} \, ] \gt 0 \) erfüllt ist,
    und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{K V} \in \mathcal E \) mit
    \( \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{K V} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{K V}, \varepsilon_{K X} \, ] \gt 0 \) gilt:
    $$\ell[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K V} \, ] \gt 0.$$

    Sind diese beiden Forderungen erfüllt, dann heißen die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) „gegenüber einander lichtartig“ (und insbesondere „mit Signalfront von \( \varepsilon_{J P} \) nach \( \varepsilon_{K Q} \)“).

    Ist keine dieser beiden Forderungen erfüllt, dann heißen die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) „gegenüber einander raumartig“.

    (Die denkbaren Fälle, dass genau nur eine dieser beiden Forderungen erfüllt wäre, mögen als „interessant“ bzw. „pathologisch“ gelten, und hier nicht näher untersucht werden.)

    • Frank Wappler schrieb (16. Februar 2017 @ 12:09):
      > […] Die folgende Forderung (“auf \( J \) zu” ) lässt sich aufstellen und auswerten:
      > Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
      > lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{J B} \in \mathcal E \) finden, für das
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J B} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) erfüllt ist,
      > und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{J F} \in \mathcal E \) mit
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J F} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) gilt:
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.\) […]

      Diese Forderung mag übertrieben kompliziert erscheinen …

      Weil Lorentzsche Distanzen (sofern sie von Null verschieden sind!) superadditiv sind (d.h. das Gegenteil der Dreiecksungleichung erfüllen; natürlich nicht zu verwechseln mit der “umgekehrten Darstellung“, die äquivalent zur Dreiecksungleichung ist),
      beinhaltet die obige Forderung jedenfalls, dass:

      zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
      schlicht \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.\) gilt.

      Auch diese vereinfachte Forderung, zusammen mit der entsprechend vereinfachten Forderung “von \( K \) her”, mag sich (insbesondere im Folgenden) als geeignet erweisen, um die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) als „gegenüber einander lichtartig“ und „mit Signalfront von \( \varepsilon_{J P} \) nach \( \varepsilon_{K Q} \)“ auszuzeichnen (und von „gegenüber einander raumartigen“ Ereignispaaren zu unterscheiden) ;
      d.h. formal (und als Abkürzung im Folgenden) $$ \varepsilon_{J P} \nearrow \varepsilon_{K Q}.$$

    • Frank Wappler schrieb (16. Februar 2017 @ 12:09):
      > […] Die folgende Forderung (“auf \( J \) zu” ) lässt sich aufstellen und auswerten:
      > Zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
      > lässt sich ein Ereignis \( \varepsilon_{J B} \in \mathcal E \) finden, für das
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J B} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) erfüllt ist,
      > und außerdem dass für jedes Ereignis \( \varepsilon_{J F} \in \mathcal E \) mit
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J B}, \varepsilon_{J F} \, ] \gt 0 \) sowie \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \) gilt:
      > \( \ell[ \, \varepsilon_{J F}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.\) […]

      Diese Forderung mag übertrieben kompliziert erscheinen …

      Weil Lorentzsche Distanzen (sofern sie von Null verschieden sind!) superadditiv sind (d.h. das Gegenteil der Dreiecksungleichung erfüllen; natürlich nicht zu verwechseln mit der “umgekehrten Darstellung“, die äquivalent zur Dreiecksungleichung ist),
      beinhaltet die obige Forderung jedenfalls, dass:

      zu jedem Ereignis \( \varepsilon_{J A} \in \mathcal E \) mit \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{J P} \, ] \gt 0 \)
      schlicht \( \ell[ \, \varepsilon_{J A}, \varepsilon_{K Q} \, ] \gt 0.\) gilt.

      Auch diese vereinfachte Forderung, zusammen mit der entsprechend vereinfachten Forderung “von \( K \) her”, mag sich (insbesondere im Folgenden) als geeignet erweisen, um die beiden Ereignisse \( \varepsilon_{J P} \) und \( \varepsilon_{K Q} \) als „gegenüber einander lichtartig“ und „mit Signalfront von \( \varepsilon_{J P} \) nach \( \varepsilon_{K Q} \)“ auszuzeichnen (und von „gegenüber einander raumartigen“ Ereignispaaren zu unterscheiden) ;
      d.h. formal (und als Abkürzung im Folgenden) $$ \varepsilon_{J P} \stackrel{\Rightarrow}{\sim} \varepsilon_{K Q}.$$

  12. Quantative Bewertung raumartiger Abstände: Zielstellung und Strategie

    Um das im vorausgegangenen Kommentar (“Identifikation gegenüber
    einander lichtartiger Ereignispaare anhand gegebener Lorentzscher
    Distanzen”, 16. Februar 2017 @ 12:09, sowie der anschließenden Bemerkung 17. Februar 2017 @ 11:06) Erreichte einzuordnen, und folgende Betrachtungen vorzubereiten, sei das Ziel dieser Kommentarreihe hiermit ein weiteres Mal konkret formuliert:

    Ausgehend von gegebenen Werten \( \ell \) der Lorentzschen Distanzen zwischen Ereignispaaren aus einer betrachteten Ereignismenge \( \mathcal E \) soll
    “chronometrische Distanz” \( \chi : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow (\mathbb R \cup \{-\infty\}) \) so definiert werden, dass:

    – für gegenüber einander zeitartige Ereignispaare, z.B. die beiden (Koinzidenz-)Ereignisse \(\varepsilon_{A Q} \) und \(\varepsilon_{K Q} \) (mit mindestens einem Beteiligten, \(Q \), an beiden Ereignissen), gilt:
    \( \begin{align*} \, & \chi[ \, \varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{K Q} \, ] =
    \chi[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{A Q} \, ] := \\
    \, & -(\ell[ \, \varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{K Q} \, ] + \ell[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{A Q} \, ]) \lt 0 \end{align*}\)
    (angepasst an die “Vorzeichen-Konvention “räumliche Abstände positiv”),

    – für gegenüber einander lichtartige Ereignispaare (und nur für diese, entsprechend der schon diskutierten Definition), z.B. für \( \varepsilon_{J P} \stackrel{\Rightarrow}{\sim} \varepsilon_{K Q} \), gilt:
    \( \chi[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{K Q} \, ] = \chi[ \, \varepsilon_{K Q}, \varepsilon_{J P} \, ] := 0, \)

    – für alle anderen (d.h. gegenüber einander raumartigen) Ereignispaare, z.B. die beiden (Koinzidenz-)Ereignisse \(\varepsilon_{A Q} \) und \(\varepsilon_{J P} \), soll gelten:
    \( \chi[ \, \varepsilon_{A Q}, \varepsilon_{J P} \, ] = \chi[ \, \varepsilon_{J P}, \varepsilon_{A Q} \, ] \gt 0, \)

    – und schließlich: “Kompatibilität mit Raumzeit-Intervallen \(s^2 \)“;
    d.h. falls die Region mit der betrachteten Ereignismenge \( \mathcal E \) flach ist (sofern das anhand der gegebenen Werten \(\ell \) eindeutig feststellbar ist), dann sollen die in diesem Falle ermittelten chronometrischen Distanzen \( \chi_{\text{flach}} \) folgendermaßen mit den (nur in diesem Falle definierten bzw. messbaren bzw. gegebenen) Werten der Raumzeit-Intervalle \(s^2 \) zusammenhängen:
    \( \chi_{\text{flach}} := \text{sgn}[ \, s^2 \, ] \, \sqrt{ \text{sgn}[ \, s^2 \, ] \, s^2 } \).

    Allein durch diese Forderungen sind die Werte “chronometrischer Distanz \( \chi \)” zwar noch nicht eindeutig bestimmt; insbesondere noch nicht für Abstände zwischen gegenüber einander raumartigen Ereignispaaren in Regionen, die nicht flach sind.

    Trotzdem ist damit gerade für diese Fälle eine bestimmte Strategie, ein Algorithmus zur Ermittlung von \(\chi\)-Werten aus gegebenen \(\ell\)-Werten nahegelegt; nämlich:

    “Auf die so weit wie möglich selbe Weise, wie man Werte von Intervallen \(s^2\) für alle Paare einer Ereignismenge ermitteln würde, wenn man für die betreffende Ereignismenge zunächst nur die zeitartigen Intervall-Werte gegeben hätte;
    ohne dabei ausdrücklich die Definition von Flachheit einzusetzen,
    also ohne die gesuchten Intervall-Werte durch das Null-Setzen von Cayley-Menger-Determinanten zu errechnen.”

    Es wird deshalb im Folgenden darzulegen sein, wie eine Bestimmung der Werte von raumartigen Intervallen aus gegebenen zeitartigen Intervall-Werten (zwangsläufig “im Flachen”, aber weitgehend ohne ausdrückliches Berufen auf “Flachheit”) möglich ist. Wesentlich werden dabei sein:

    – die Identifizierung von Teilmengen der betrachteten Ereignismenge als “überall zeitartigen Kurven” (bzw. “Beteiligte”), und die Bestimmung ihrer Bogenlängen (“Dauern” \(\tau\)),

    – die Bestimmung, welche Ereignispaare gegenüber einander lichtartig waren (wie oben schon für allgemeine Fälle diskutiert wurde),

    – die Identifizierung von (lichtartigen) Pings zwischen verschiedenen Beteiligten, und Bestimmung der entsprechenden Ping-Dauern jedes Beteiligten.

  13. Ping-Beziehungen und Bewertung raumartig getrennter Ereignisse im Flachen

    Eine Methode zur quantitativen Bewertung von Paaren raumartig getrennter Ereignisse, die im allgemeinen anwendbar sein soll (um chronometrische Distanz \( \chi \) zu definieren bzw. deren Werte zu ermitteln), muss selbstverständlich und insbesondere auch in flachen Regionen einsetzbar sein;
    und in diesen Fällen Werte \( \chi_{\text{flach}} \) liefern, für die (wie oben gefordert) gilt:
    \( \chi_{\text{flach}} = \text{sgn}[ \, s^2 \, ] \, \sqrt{ s^2 \, \text{sgn}[ \, s^2 \, ] }\).

    Wie bereits beschrieben, soll zur Konstruktion der Methode Folgendes zur Verfügung stehen und eingesetzt werden:

    – die Identifikation, welche Beteiligten an welchen Ereignissen teilnahmen (bzw. die Identifikation von Ereignissen als eindeutige Koinzidenzen unterscheidbarer Beteiligter),

    – die Werte der Lorentzschen Distanz \( \ell \) zwischen allen Ereignispaaren, und

    – die Beurteilung, welche Paare von Ereignissen lichtartig voneinander getrennt waren;

    zusammen also insbesondere die Werte der Ping-Dauern \( \tau^{\text{ping}} \) zwischen (geeigneten, d.h. nicht unbedingt allen) Paaren von Beteiligten,

    wobei sich insbesondere die Ping-Dauer des Beteiligten \(A\) bzgl. des Beteiligten \(B\) und bzgl. \(A\)s Signal-Anzeige \(A_J\) als

    \(
    \tau A[ \, \_ J, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J \, ] :=
    \)

    \(
    \underset{n \to \infty}{\hbox{lim}} \Big[ \, \underset{\small{\text{Passanten } \Gamma}}{\hbox{inf}} \big[ \, \big\{ \, \sum_{k = 0}^{n – 1} \ell[ \, \varepsilon_{A \Gamma_{(k)}}, \varepsilon_{A \Gamma_{(k + 1)}} \, ] \, \big|
    \)
    \(
    \, A_{\Gamma_{(0)}} \equiv A_J, \qquad A_{\Gamma_{(n)}} \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J}, \qquad \ell[ \, \varepsilon_{A \Gamma_{(k)}}, \varepsilon_{A \Gamma_{(k + 1)}} \, ] \gt 0 \, \big\} \, \big] \, \Big]
    \)

    errechnet bzw. definiert,
    und \(B\)s Echoanzeige \(B_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} A {{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \equiv B_Q \) (sofern eine gefunden wurde) auch \(B\)s Anzeige der Koinzidenz mit einem geeigneten Beteiligten \(Q\) in deren eindeutigen Koinzidenz-Ereignis \( \varepsilon_{B Q} \) ist,
    sodass das Ereignispaar \(( \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} )\) zueinander lichtartig ist;
    und ebenso das Ereignispaar \(( \varepsilon_{B Q}, \varepsilon_{A Z})\) mit \(A\)s entsprechender Ping-Anzeige (sofern eine gefunden wurde) \( A_Z \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \).

    Im Folgenden sollen deshalb Ping-Beziehungen zwischen geeigneten Paaren von Beteiligten in einer flachen Region untersucht werden; und ob und wie aus entsprechenden Ping-Dauern auf Intervall-Werte \(s^2\) zwischen raumartig getrennten Ereignissen geschlossen werden kann;
    nämlich insbesondere auf den (von Null verschiedenen) Wert
    \(s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]\)
    betreffend die raumartig voneinander getrennten Ereignisse \( \varepsilon_{B Q} \) (das oben bereits beschrieben wurde) und \( \varepsilon_{A P} \) an dem \(A\) sowie (mindestens) ein weiterer geeigneter Passant \(P\) in Koinzidenz teilnahmen,
    so dass \(A\)s entsprechende Passage-Anzeige \(A_P\) nach \(A\)s oben diskutierter Signal-Anzeige \(A_J\) aber vor \(A\)s entsprechenden Ping-Anzeige \( A_Z \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \) wahrgenommen wurde,
    d.h. so dass sowohl
    \( \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] \gt 0 \)
    als auch
    \( \ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] \gt 0 \).

    Aus der Flachheitsbedingung für die beschriebenen vier Ereignisse,

    \(
    0 = \begin{vmatrix}
    0 & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 0 & 1 \cr
    1 & 1 & 1 & 1 & 0
    \end{vmatrix}
    \)

    zusammen mit der Bewertung für Paare lichtartiger Ereignisse (in flachen Regionen)

    \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] = 0, \qquad s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] = 0 \)

    ergibt sich (bei gegebenem Wert \( s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] \lt 0 \))

    – dass der Wert des zeitartigen Intervalls \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) keine obere Schranke hat;
    die entsprechende Ping-Dauer \(A\)s, für die gilt
    \(
    \tau A[ \, \_ J, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J \, ] := \tau A[ \, \_ J, \_ Z \, ] \le \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] = \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \, | }, \)
    demnach ebenfalls keine obere Schranke hat; und

    – dass der Wert des zeitartigen Intervalls \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) zwar eine untere Schranke hat, nämlich

    \(
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \ge -s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]
    \),

    was allerdings die entsprechende Ping-Dauer \(A\)s nicht nach unten einschränken kann.

    Falls jedoch außerdem \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\) der entsprechenden Lorentzschen Distanz zwischen den Ereignissen \(\varepsilon_{A J} \) und \(\varepsilon_{A Z}\) gleicht,
    sich \(A\) im Versuchsverlauf also “unbeschleunigt/frei bewegte“,
    und deshalb insbesondere die drei Ereignisse \(\varepsilon_{A J} \), \(\varepsilon_{A P} \) und \(\varepsilon_{A Z}\) gegenüber einander (zeitartig) gerade lagen, d.h. also falls auch gilt

    \(
    0 = \begin{vmatrix}
    0 & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 0 & 1 \cr
    1 & 1 & 1 & 0
    \end{vmatrix}
    \)

    dann ist die untere Schranke für \( \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] = \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) zwangsläufig auch die untere Schranke für \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\),

    und diese ergibt sich in diesem Fall als

    \( \tau A^{\text{frei}}[ \, \_ J, \_ Z \, ] \ge 2 \, \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]. \)

    Um den von Null verschiedenen Wert des Intervals (bzw. entsprechend der chronometrischen Distanz) zwischen zwei raumartig voneinander getrennten Ereignissen in einer flachen Region zu ermitteln, ließen sich folglich alle Beteiligten in Betracht zu ziehen, die

    – an dem einen oder dem anderen Ereignis teilnahmen,

    – Pings bzgl. des jeweils anderen Ereignisses wahrnahmen, und

    – sich dabei (mindestens) von Signal-Anzeige bis Ping-Anzeige “unbeschleunigt/frei bewegten”;

    – der geringste Wert \( \tau_{\text{min}}^{\text{ping}} \) aller von diesen Beteiligten ermittelten Ping-Dauern wäre auszuwählen;
    und schließlich “\( \chi_{\text{flach}} := -\frac{1}{2} \, \tau_{\text{min}}^{\text{ping}} \)” zu setzen.

    Allerdings erweist sich dieser einfache Methoden-Ansatz bei Anwendung in allegmeinen gekrümmten Regionen als untauglich hinsichtlich der Forderung, dass die so ermittelten Werte \( \chi \) für alle Paare raumartig getrennter Ereignisse von Null verschieden sein soll, um die quantitative Bewertung dieser Abstände zu gewährleisten.

    Die beschriebene Methode muss deshalb im Allgemeinen geeignet ergänzt und angepasst werden. Eine entscheidende Rolle wird dabei den Ping-Beziehungen zwischen mehreren geeigneten Beteiligten zukommen;
    basierend auf der Tatsache, dass in einer flachen Region zu jedem Beteiligten, der an einem bestimmten Ereignis teilnahm und sich durchwegs “unbeschleunigt/frei bewegte”
    sich andere Beteiligte finden lassen, (insbesondere auch solche, die sich ebenfalls durchwegs “unbeschleunigt/frei bewegten”),
    so dass deren gegenseitige Ping-Dauern jeweils durchwegs konstant blieben, sie also gegenüber einander “chronometrisch starr” blieben (und insbesondere sogar mit durchwegs gegenseitig gleichen Ping-Dauern).

  14. Ping-Beziehungen und Bewertung raumartig getrennter Ereignisse im Flachen

    Eine Methode zur quantitativen Bewertung von Paaren raumartig getrennter Ereignisse, die im allgemeinen anwendbar sein soll (um chronometrische Distanz \( \chi \) zu definieren bzw. deren Werte zu ermitteln), muss selbstverständlich und insbesondere auch in flachen Regionen einsetzbar sein;
    und in diesen Fällen Werte \( \chi_{\text{flach}} \) liefern, für die (wie oben gefordert) gilt:
    \( \chi_{\text{flach}} = \text{sgn}[ \, s^2 \, ] \, \sqrt{ s^2 \, \text{sgn}[ \, s^2 \, ] }\).

    Wie bereits beschrieben, soll zur Konstruktion der Methode Folgendes zur Verfügung stehen und eingesetzt werden:

    – die Identifikation, welche Beteiligten an welchen Ereignissen teilnahmen (bzw. die Identifikation von Ereignissen als eindeutige Koinzidenzen unterscheidbarer Beteiligter),

    – die Werte der Lorentzschen Distanz \( \ell \) zwischen allen Ereignispaaren, und

    – die Beurteilung, welche Paare von Ereignissen lichtartig voneinander getrennt waren;

    zusammen also insbesondere die Werte der Ping-Dauern \( \tau^{\text{ping}} \) zwischen (geeigneten, d.h. nicht unbedingt allen) Paaren von Beteiligten,

    wobei sich insbesondere die Ping-Dauer des Beteiligten \(A\) bzgl. des Beteiligten \(B\) und bzgl. \(A\)s Signal-Anzeige \(A_J\) als

    \(
    \tau A[ \, \_ J, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J \, ] :=
    \)

    \(
    \underset{n \to \infty}{\hbox{lim}} \Big[ \, \underset{\small{\text{Passanten } \Gamma}}{\hbox{inf}} \big[ \, \big\{ \, \sum_{k = 0}^{n – 1} \ell[ \, \varepsilon_{A \Gamma_{(k)}}, \varepsilon_{A \Gamma_{(k + 1)}} \, ] \, \big|
    \)
    \(
    \, A_{\Gamma_{(0)}} \equiv A_J, \qquad A_{\Gamma_{(n)}} \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J}, \qquad \ell[ \, \varepsilon_{A \Gamma_{(k)}}, \varepsilon_{A \Gamma_{(k + 1)}} \, ] \gt 0 \, \big\} \, \big] \, \Big]
    \)

    errechnet bzw. definiert,
    und \(B\)s Echoanzeige \(B_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} A {{\hphantom{.}\text c \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \equiv B_Q \) (sofern eine gefunden wurde) auch \(B\)s Anzeige der Koinzidenz mit einem geeigneten Beteiligten \(Q\) in deren eindeutigen Koinzidenz-Ereignis \( \varepsilon_{B Q} \) ist,
    sodass das Ereignispaar \(( \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} )\) zueinander lichtartig ist;
    und ebenso das Ereignispaar \(( \varepsilon_{B Q}, \varepsilon_{A Z})\) mit \(A\)s entsprechender Ping-Anzeige (sofern eine gefunden wurde) \( A_Z \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \).

    Im Folgenden sollen deshalb Ping-Beziehungen zwischen geeigneten Paaren von Beteiligten in einer flachen Region untersucht werden; und ob und wie aus entsprechenden Ping-Dauern auf Intervall-Werte \(s^2\) zwischen raumartig getrennten Ereignissen geschlossen werden kann;
    nämlich insbesondere auf den (von Null verschiedenen) Wert
    \(s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]\)
    betreffend die raumartig voneinander getrennten Ereignisse \( \varepsilon_{B Q} \) (das oben bereits beschrieben wurde) und \( \varepsilon_{A P} \) an dem \(A\) sowie (mindestens) ein weiterer geeigneter Passant \(P\) in Koinzidenz teilnahmen,
    so dass \(A\)s entsprechende Passage-Anzeige \(A_P\) nach \(A\)s oben diskutierter Signal-Anzeige \(A_J\) aber vor \(A\)s entsprechenden Ping-Anzeige \( A_Z \equiv A_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J} \) wahrgenommen wurde,
    d.h. so dass sowohl
    \( \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] \gt 0 \)
    als auch
    \( \ell[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] \gt 0 \).

    Aus der Flachheitsbedingung für die beschriebenen vier Ereignisse,

    \(
    0 = \begin{vmatrix}
    0 & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] & 0 & 1 \cr
    1 & 1 & 1 & 1 & 0
    \end{vmatrix}
    \)

    zusammen mit der Bewertung für Paare lichtartiger Ereignisse (in flachen Regionen)

    \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{B Q} \, ] = 0, \qquad s^2[ \, \varepsilon_{A Z}, \varepsilon_{B Q} \, ] = 0 \)

    ergibt sich (bei gegebenem Wert \( s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] \lt 0 \))

    – dass der Wert des zeitartigen Intervalls \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) keine obere Schranke hat;
    die entsprechende Ping-Dauer \(A\)s, für die gilt
    \(
    \tau A[ \, \_ J, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} B {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J \, ] := \tau A[ \, \_ J, \_ Z \, ] \le \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] = \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \, | }, \)
    demnach ebenfalls keine obere Schranke hat; und

    – dass der Wert des zeitartigen Intervalls \( s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \) zwar eine untere Schranke hat, nämlich

    \(
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] \ge -s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ]
    \),

    was allerdings die entsprechende Ping-Dauer \(A\)s nicht nach unten einschränken kann.

    Falls jedoch außerdem \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\) der entsprechenden Lorentzschen Distanz zwischen den Ereignissen \(\varepsilon_{A J} \) und \(\varepsilon_{A Z}\) gleicht,
    sich \(A\) im Versuchsverlauf also “unbeschleunigt/frei bewegte“,
    und deshalb insbesondere die drei Ereignisse \(\varepsilon_{A J} \), \(\varepsilon_{A P} \) und \(\varepsilon_{A Z}\) gegenüber einander (zeitartig) gerade lagen, d.h. also falls auch gilt

    \(
    0 = \begin{vmatrix}
    0 & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A P} \, ] & 0 & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 1 \cr
    s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] & s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{A Z} \, ] & 0 & 1 \cr
    1 & 1 & 1 & 0
    \end{vmatrix}
    \)

    dann ist die untere Schranke für \( \ell[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] = \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A J}, \varepsilon_{A Z} \, ] } \) zwangsläufig auch die untere Schranke für \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\),

    und diese ergibt sich in diesem Fall als

    \( \tau A^{\text{frei}}[ \, \_ J, \_ Z \, ] \ge 2 \, \sqrt{ | \, s^2[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] }. \)

    Um den von Null verschiedenen Wert des Intervals (bzw. entsprechend der chronometrischen Distanz) zwischen zwei raumartig voneinander getrennten Ereignissen in einer flachen Region zu ermitteln, ließen sich folglich alle Beteiligten in Betracht zu ziehen, die

    – an dem einen oder dem anderen Ereignis teilnahmen,

    – Pings bzgl. des jeweils anderen Ereignisses wahrnahmen, und

    – sich dabei (mindestens) von Signal-Anzeige bis Ping-Anzeige “unbeschleunigt/frei bewegten”;

    – der geringste Wert \( \tau_{\text{min}}^{\text{ping}} \) aller von diesen Beteiligten ermittelten Ping-Dauern wäre auszuwählen;
    und schließlich “\( \chi_{\text{flach}} := -\frac{1}{2} \, \tau_{\text{min}}^{\text{ping}} \)” zu setzen.

    Allerdings erweist sich dieser einfache Methoden-Ansatz bei Anwendung in allegmeinen gekrümmten Regionen als untauglich hinsichtlich der Forderung, dass die so ermittelten Werte \( \chi \) für alle Paare raumartig getrennter Ereignisse von Null verschieden sein soll, um die quantitative Bewertung dieser Abstände zu gewährleisten.

    Die beschriebene Methode muss deshalb im Allgemeinen geeignet ergänzt und angepasst werden. Eine entscheidende Rolle wird dabei den Ping-Beziehungen zwischen mehreren geeigneten Beteiligten zukommen;
    basierend auf der Tatsache, dass in einer flachen Region zu jedem Beteiligten, der an einem bestimmten Ereignis teilnahm und sich durchwegs “unbeschleunigt/frei bewegte”
    sich andere Beteiligte finden lassen, (insbesondere auch solche, die sich ebenfalls durchwegs “unbeschleunigt/frei bewegten”),
    so dass deren gegenseitige Ping-Dauern jeweils durchwegs konstant blieben, sie also gegenüber einander “chronometrisch starr” blieben (und insbesondere sogar mit durchwegs gegenseitig gleichen Ping-Dauern).

  15. Definition der chronometrischen Distanz \( \chi \) für Paare raumartig getrennter Ereignisse

    Wie am Ende der vorausgegangenen Betrachtungen angedeutet, wird der hier folgenden Definition von chronometrischer Distanz \( \chi \) (insbesondere zwischen raumartig getrennten Ereignissen) die Auswahl von Paaren von Beteiligten zugrundegelegt, die gegenübereinander (opto-)chronometrisch starr waren und blieben;
    d.h. so dass die (zwangsläufig von Null verschiedene) Ping-Dauer jeweils eines der Beteiligte gegenüber dem anderen konstant war (d.h. aus den als gegeben betrachteten Werten Lorentzscher Distanzen zu ermitteln war),
    und zwar für alle Signal- und Ping-Anzeigen im Rahmen eines “hinreichend ausgedehnten” Versuchs.

    Die (für sich im gesamten Versuche konstante) Ping-Dauer des einen Beteiligten gegenüber dem anderen muss dabei nicht unbedingt gleich der (für sich ebenfalls im gesamten Versuche konstanten) Ping-Dauer des Gegenübers sein;
    und ein geeigneter “hinreichend ausgedehnter” Versuch bestehe der Eindeutigkeit und Einfachheit halber für jeden der beiden Beteiligten aus zwei aufeinanderfolgenden Ping-Perioden, wobei die erste jeweils mit dem bestimmten Ereignis endet, dessen chronometrische Distanz zum bestimmten anderen Ereignis ermittelt werden soll, und die zweite mit diesem Ereignis beginnt.

    Es sei nun die chronometrische Distanz der beiden (raumartig getrennten) Ereignisse \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) voneinander gesucht, und \( (J, K) \) ein Paar von Beteiligten, die jeweils ebenfalls an einem dieser beiden Ereignisse teilnahmen,
    konkret:
    \( \varepsilon_{A P} \equiv \varepsilon_{A J P} \)
    sowie
    \( \varepsilon_{B Q} \equiv \varepsilon_{B K Q} \),

    und die außerdem gegenüber einander (opto-)chronometrisch starr waren und blieben. Entsprechend gilt:

    \( J_P \equiv J_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} F}, \qquad K_Q \equiv K_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} G} \)

    sowie

    \( \forall J_L \in \{ J_F … J_P \} \subset J : \)
    \( \tau J[ \, \_ L, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} L \, ] = \tau J[ \, \_ F, \_ P \, ] \equiv \tau J^{(\text{starr} K)}
    \)

    und

    \( \forall K_M \in \{ K_G … K_Q \} \subset K : \)
    \( \tau K[ \, \_ M, \_ {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} M \, ] = \tau K[ \, \_ G, \_ Q \, ] \equiv \tau K^{(\text{starr} J)}
    . \)

    (Dabei wird natürlich vorausgesetzt, dass sich mindestens ein solches starres Paar \( (J, K) \) überhaupt finden lässt. Das ist zumindest dann garantiert, falls die Lorentzschen Distanzen zwischen allen Ereignissen einer Causal Diamond-Region gegeben sind, die die Ereignisse \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) in ihrem Inneren hat.)

    Falls \( J \) oder \( K \) im Verlauf des Versuchs nicht durchwegs (beide einzeln) unbeschleunigt/frei waren, dann lassen sich im Allgemeinen weitere Paare \( (U, V) \) von Beteiligten finden, die jeweils ebenfalls an den (“wesentlichen”) Ereignissen dieses Versuchs mit zwei aufeinanderfolgenden Pings teilgenommen hatten:

    – “Versuchsbeginn \( J \)”: \( \varepsilon_{F J} \equiv \varepsilon_{F J U} \),

    – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \),

    – “Versuchsschluss \( J \)”: \( \varepsilon_{J X} \equiv \varepsilon_{J X U} \) mit \( J \)s Anzeige \( J_X \equiv J_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} P} \),

    bzw.

    – “Versuchsbeginn \( K \)”: \( \varepsilon_{G K} \equiv \varepsilon_{G K V} \),

    – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

    – “Versuchsschluss \( K \)”: \( \varepsilon_{K Y} \equiv \varepsilon_{K Y V} \) mit \( K \)s Anzeige \( K_Y \equiv B_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} Q}, \)

    kurz: \( \text{Vers}[ \, (U, V) \, ] \equiv \text{Vers}[ \, (J, K) \, ] \);

    und die ebenfalls gegenüber einander (opto-)chronometrisch flach waren,
    aber mindestens so große (wenn nicht sogar größere) Ping-Dauer feststellten.

    Von Interesse ist demnach die Obergrenze (das Supremum) von Ping-Dauern für alle gegenüber einander starren Paare, die zusammen mit Paar \( (J, K) \) im selben Versuch zweier aufeinanderfolgende Pings teilgenommen hatten:

    \( \text{sup} \! \big[ \, \{ \text{max}[ \, \tau U^{(\text{starr} V)}, \tau V^{(\text{starr} U)} \, ] \, | \, \text{Vers}[ \, (U, V) \, ] \equiv \text{Vers}[ \, (J, K) \, ] \} \big], \)

    kurz: \( \tau^{\text{sup}}_{(\text{Vers}[ \, (J, K) \, ])}.\)

    Als Wert der chronometrischen Distanz zwischen den Ereignissen \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) lässt sich schließlich die Untergrenze (das Infimum) solcher Obergrenzen setzen, hinsichtlich aller gegenüber einander starren Paare \( (J, K) \), von denen der eine Beteiligte an dem einen, und der andere am anderen Ereignis teilgenommen hatte; unter Hinzufügung des Konventions-bedingten Faktors \( -\frac{1}{2}\):

    \( \chi[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] := \text{inf} \! \big[ \{ \tau^{\text{sup}}_{(\text{Vers}[ \, (J, K) \, ])} \, | \, \varepsilon_{A P} \equiv \varepsilon_{A J P}, \varepsilon_{B Q} \equiv \varepsilon_{B K Q} \} \big]. \)

    Es bleibt nun zu untersuchen, ob die derartig definierte chronometrische Distanz \( \chi \) die gewünschten Eigenschaften hat, nämlich: quantitative Bewertung raumartig getrennter Ereignisse, und Konsistenz mit Intervall-Werten \( s^2 \) für flache Regionen.

    • Frank Wappler schrieb (23. Juni 2017 @ 17:48):
      > Definition der chronometrischen Distanz χ für Paare raumartig getrennter Ereignisse […] \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \)

      Dazu zwei Berichtigungen:

      (1)
      > […] Falls \( J \) oder \( K \) im Verlauf des Versuchs nicht durchwegs (beide einzeln) unbeschleunigt/frei waren, dann lassen sich im Allgemeinen weitere Paare \( (U, V) \) von Beteiligten finden, die jeweils ebenfalls an den (“wesentlichen”) Ereignissen dieses Versuchs mit zwei aufeinanderfolgenden Pings teilgenommen hatten:

      Das soll nicht unbedingt heißen, dass sowohl \(U\) zusammen mit \(J\) als auch \(V\) zusammen mit \(K\) jeweils an den drei wesentlichen Ereignissen, die einen Versuch mit zwei aufeinanderfolgenden Pings kennzeichnen, teilgenommen hätte;
      sondern dass
      entweder

      – “Versuchsbeginn \( J \)”: \( \varepsilon_{F J} \equiv \varepsilon_{F J U} \),

      – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \),

      – “Versuchsschluss \( J \)”: \( \varepsilon_{J X} \equiv \varepsilon_{J X U} \) mit \( J \)s Anzeige \( J_X \equiv J_{{{\hphantom

      {.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} P} \),

      zusammen mit

      – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

      oder

      – “Versuchsbeginn \( K \)”: \( \varepsilon_{G K} \equiv \varepsilon_{G K V} \),

      – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

      – “Versuchsschluss \( K \)”: \( \varepsilon_{K Y} \equiv \varepsilon_{K Y V} \) mit \( K \)s Anzeige \( K_Y \equiv B_{{{\hphantom

      {.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} Q}, \)

      zusammen mit

      – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \)

      erfüllt ist.

      (2)
      > Als Wert der chronometrischen Distanz zwischen den Ereignissen \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) lässt sich schließlich die Untergrenze (das Infimum) solcher Obergrenzen setzen, hinsichtlich aller gegenüber einander starren Paare \( (J, K) \), von denen der eine Beteiligte an dem einen, und der andere am anderen Ereignis teilgenommen hatte; unter Hinzufügung des Konventions-bedingten Faktors \( -\frac{1}{2}\):

      ergibt sich:

      \( \chi[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] := -\frac{1}{2} \, \text{inf} \! \big[ \{ \tau^{\text{sup}}_{(\text{Vers}[ \, (J, K) \, ])} \, | \, \varepsilon_{A P} \equiv \varepsilon_{A J P}, \varepsilon_{B Q} \equiv \varepsilon_{B K Q} \} \big]. \)

    • Frank Wappler schrieb (23. Juni 2017 @ 17:48):
      > Definition der chronometrischen Distanz χ für Paare raumartig getrennter Ereignisse […] \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \)

      Dazu zwei Berichtigungen:

      (1)
      > […] Falls \( J \) oder \( K \) im Verlauf des Versuchs nicht durchwegs (beide einzeln) unbeschleunigt/frei waren, dann lassen sich im Allgemeinen weitere Paare \( (U, V) \) von Beteiligten finden, die jeweils ebenfalls an den (“wesentlichen”) Ereignissen dieses Versuchs mit zwei aufeinanderfolgenden Pings teilgenommen hatten:

      Das soll nicht unbedingt heißen, dass sowohl \(U\) zusammen mit \(J\) als auch \(V\) zusammen mit \(K\) jeweils an den drei wesentlichen Ereignissen, die einen Versuch mit zwei aufeinanderfolgenden Pings kennzeichnen, teilgenommen hätte;
      sondern dass
      entweder

      – “Versuchsbeginn \( J \)”: \( \varepsilon_{F J} \equiv \varepsilon_{F J U} \),

      – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \),

      – “Versuchsschluss \( J \)”: \( \varepsilon_{J X} \equiv \varepsilon_{J X U} \) mit \( J \)s Anzeige \( J_X \equiv J_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} K {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} P} \),

      zusammen mit

      – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

      oder

      – “Versuchsbeginn \( K \)”: \( \varepsilon_{G K} \equiv \varepsilon_{G K V} \),

      – \( \varepsilon_{B K Q} \equiv \varepsilon_{B K Q V} \),

      – “Versuchsschluss \( K \)”: \( \varepsilon_{K Y} \equiv \varepsilon_{K Y V} \) mit \( K \)s Anzeige \( K_Y \equiv B_{{{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} J {{\hphantom{.}\text r \hphantom{.}}\llap{\bigcirc}} Q}, \)

      zusammen mit

      – \( \varepsilon_{A J P} \equiv \varepsilon_{A J P U} \)

      erfüllt ist.

      (2)
      > Als Wert der chronometrischen Distanz zwischen den Ereignissen \( \varepsilon_{A P} \) und \( \varepsilon_{B Q} \) lässt sich schließlich die Untergrenze (das Infimum) solcher Obergrenzen setzen, hinsichtlich aller gegenüber einander starren Paare \( (J, K) \), von denen der eine Beteiligte an dem einen, und der andere am anderen Ereignis teilgenommen hatte; unter Hinzufügung des Konventions-bedingten Faktors \( -\frac{1}{2}\):

      ergibt sich:

      \( \chi[ \, \varepsilon_{A P}, \varepsilon_{B Q} \, ] := -\frac{1}{2} \, \text{inf} \! \big[ \{ \tau^{\text{sup}}_{(\text{Vers}[ \, (J, K) \, ])} \, | \, \varepsilon_{A P} \equiv \varepsilon_{A J P}, \varepsilon_{B Q} \equiv \varepsilon_{B K Q} \} \big]. \)

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