Wie viele Dimensionen hat unser Universum? (Videos)
Wenn von Dimensionen die Rede ist, klingt das für einige nach Science Fiction. Aber die Frage, die jüngst jemand an unsere Vortragsreihe “Fragen ans Universum” (als Teil des Wissenschaftsjahrs 2023 “Unser Universum”) stellte, wie viele Dimensionen denn nun unser Universum habe, fällt durchaus in den Bereich der Wissenschaft. Nachdem ich vor einer Weile in jener Reihe schon einige Fragen zum Kosmos als Ganzes beantwortet hatte (Ist unser Universum unendlich? Fand der Urknall an einem einzigen Punkt statt), bin ich im jüngsten Vortrag der Frage nachgegangen, von den Raumdimensionen bis zur Raumzeit und am Ende noch mit einem Abstecher zu den Extra-Dimensionen der Stringtheorie:
In der Science Fiction dienen zusätzliche Dimensionen ja nicht selten dazu, so etwas wie Paralleluniversen ins Spiel zu bringen (“Wesen aus einer anderen Dimension”). Darauf bin ich in obigem Vortrag nicht eingegangen, aber das hatte vor ein paar Wochen in derselben Reihe freundlicherweise Sven Krippendorf von der Ludwig-Maximilians-Universität München übernommen, unter dem Titel: Gibt es noch andere Universen außer unserem eigenen?
Last but not least möchte ich Ihnen noch den schönen Vortrag von Christian Theis, dem Leiter des Planetariums Mannheim ans Herz legen. Der hat sich der Frage angenommen, wie lange unser Universum sich noch ausdehnen wird:
Wenn ein Universum durch einen Urknall entsteht, entstehen erst Raum und Zeit mit all den darin gesetzmäßigen naturwissenschaftlichen Abläufen. Ohne Urknall also kein Raum, keine Zeit sondern nur ein zeitloses NICHTS was permanent (endlos) solche Urknallblasen produzieren könnte die irgendwann wieder ,wenn die Energien aufgebraucht sind, in NICHTS zerfallen.
Schon die Formulierung, dass Zeit und Raum dadurch “entstehen” würden, tut der klassischen Urknall-Singularität zuviel der Ehre an. Wir sollten die Urknall-Singularität als das benennen, was es ist: eine Grenze in den klassischen Modellen, an denen deren Beschreibungsform versagt. Dazu habe ich ja z.B. in dem hier verlinkten Video etwas mehr erzählt.
Ich habe mir das komplette Video des Vortrags vom 05.12.2023 über das Thema “Wie viele Dimensionen hat unser Universum” mit Interesse angesehen.
Für mich als ‘Realist’ hat unser Universum (und es gibt nur dieses) nur die drei uns bekannten Dimensionen. Die Zeit ist unabhängig von den drei Raumdimensionen … und nichts weiter als das Altern von Materie. Wobei sämtliche Materie im Raum, relativ gesehen, mit einer unterschiedlichen Geschwindigkeit altert.
In der ersten Hälfte des Videos ergibt sich die Schlussfolgerung, dass das Universum 4-dimensional ist (3 geometrische Dimensionen, 1 Zeit-Dimension).
Die Natur selbst sieht die Dinge anders: Das Universum sagt uns, wo sich etwas befindet (x,y,z), es sagt uns wann es sich dort befindet (t) und es sagt uns auch, was sich dort befindet (objekt). Das Universum beschreibt also Entitäten durch den Vektor (x, y, z, t, objekt), ist also 5-dimensional.
Es gibt nicht nur Raum und Zeit, sondern auch Materie.
Das Problem ist, dass die Materie im Video einfach als Massenmittelpunkt wegidealisiert wird, was aber bei der Frage nach der Dimensionalität nicht zulässig ist. Es geht ja nicht um eine mathematische Berechnung von Bahnkurven usw., sondern es geht um die Frage: Wie viele Dimensionen hat das Universum – also: wie viele Zahlen werden benötigt, um eine Entität im Universum vollständig zu beschreiben.
Und da sich in der realen Welt an
* verschiedenen Orten zu
* verschiedenen Zeiten
* verschiedene Dinge
befinden, ist eben die Angabe von allen drei Größen notwendig, woraus resultiert, dass das Universum 5-dimensional ist:
* 3 geometrische Dimensionen
* 1 Dimension der Zeit
* 1 Dimension des Inhaltes
Das ist keine sinnvolle Beschreibung. Richtig ist, dass es natürlich noch andere Möglichkeiten gibt, Dimensionen ins Spiel zu bringen – Phasenräume beispielsweise. Aber die sind dann deutlich höherdimensional. Eine bloße, eindimensionale “Inhaltsangabe” wie in Ihrem Vorschlag reicht dafür aber nicht aus. Was Raum und Zeit gemeinsam haben ist, dass sie nicht nur ein Vektorraum, sondern tatsächlich ein einheitliches geometrisches Gebilde sind. Das ist in den allermeisten Fällen gemeint, wenn gesagt wird, unser Universum sei vierdimensional.
Im letzten Posting wurde nicht alles angezeigt, weil ich eckige Klammern verwendet habe. Ich sende daher das Posting noch einmal.
Bitte überprüfen Sie das Raumzeit-Diagramm im Video bei 19:57.
Dieses Diagramm ist nicht 2-dimensional wie der Titel “Raumzeitdiagramm in 1+1 Dimensionen” suggeriert, sondern es ist 3-dimensional: Es enthält 1 Raum-Dimension, 1 Zeit-Dimension und 1 Farb-Dimension (jeder Weltlinie wurde genau eine Farbe zugeordnet). Die Farbe zeigt letztlich Materie an, denn die Farbe Grün steht für Baum, die Farbe Braun steht für Hund und die Farbe Rot steht für Mensch. Die Objekte Baum, Hund und Mensch gehören nicht zur Kategorie Raum oder Zeit, sondern sie gehören zur Kategorie Materie – bilden als eine eigene Dimension.
Tatsächlich zeigt das Diagramm also nicht nur Raum und Zeit an, sondern es zeigt auch Materie an, ist also 3-dimensional. (Dass es auch Materie anzeigt, lässt sich im Video an der Stelle 17:57 gut erkennen. Der Betrachter kann im Diagramm durch den grünen Punkt eindeutig das Vorhandensein eines ganz bestimmten Baumes erkennen. Auf analoge Weise sieht er auch einen Hund und einen Mensch.)
Die Einführung der Farbdimension war zwingend notwendig. Da sich in der Raum-Zeit mehrere Objekte befinden (Baum, Hund, Mensch) musste klargestellt werden, welches Objekt nun welche Weltlinie erzeugt. Und dies wird eben durch die Farbe festgelegt.
Mit anderen Worten: Der Autor des Diagrammes hat verstanden, dass die bloße Angabe von Raum und Zeit nicht ausreicht, sondern dass natürlich auch noch das Objekt angeben werden muss. Damit beschreibt das Diagramm die Realität im Sinne meiner Ausführungen. Meine Aussage war:
Da sich in der realen Welt an
* verschiedenen Orten, zu
* verschiedenen Zeiten
* verschiedene Dinge befinden
ist die Angabe von allen drei Größen notwendig. Und genau das passiert auch in der Grafik.
Meine Frage wäre: Stimmen Sie zu, dass die Angabe von allen drei Größen notwendig ist?
Das Diagramm beschreibt die Realität durch 3 Dimensionen: (x, t, farbe) oder allgemeiner: (x, t, objekt). Wenn es alle 3 geometrischen Dimensionen enthalten würde, dann würde es die Realität durch (x, y, z, t, objekt) darstellen. Das Diagramm bestätigt also meine Aussage, dass das Universum 5 Dimensionen besitzt.
Meine Frage wäre: Stimmen Sie zu, dass das Universum 5-dimensional ist?
Was noch getan werden muss ist, die Überschrift des Diagrammes zu ändern. Logisch folgerichtig wäre: 1+1+1 Raum-Zeit-Materie Diagramm.
Meine Frage ist: Stimmen Sie dieser Überschrift zu?
Wie schon in meiner letzten Antwort gesagt (auch wenn Sie auf meine Einwände soweit ich sehen kann nirgends eingehen): Hier geht es um geometrische Dimensionen. Nicht um irgendeinen willkürlichen Vektorraum, sondern über Dimensionen, die eine gemeinsame Geometrie haben – sich im Falle von Raumdimensionen durch Drehungen ineinander überführen lassen, im Falle der Raumzeit kommen noch die Boosts (“Drehung” zwischen Raum- und Zeitdimension) dazu. In dem Sinne ist “Materie” keine zusätzliche Dimension. Insofern: doch, in dem Sinne, in dem “Dimension” dort gemeint ist, ist das genannte Diagramm 1+1-dimensional. Im abstrakteren Sinne wäre eine Inhaltsangabe ja übrigens auch keine einzelne neue Dimension. Materieteilchen haben Masse und verschiedene Arten von Ladungen. Wenn Sie an der Stelle konsequent sind, ist jede Materieeigenschaft eine neue Dimension. Nur eben nicht in dem üblichen und hier gemeinten geometrischen Sinne.
* …auch wenn Sie auf meine Einwände soweit ich sehen kann nirgends eingehen
Im Folgenden gehe ich explizit auf Ihre Argumente ein:
* Diese Beschreibung ist nicht sinnvoll.
Im 1+1 Diagramm beschreiben Sie die Realität mit (x,t,farbe). Enthält es alle 3 geometrische Dimensionen, ergibt sich (x,y,z,t,farbe) oder allgemeiner (x,y,z,t,objekt), da Farbe nur ein Symbol für Objekt ist. Sie beschreiben das Universum also gleich wie ich, nämlich 5-dimensional.
* Eine bloße, eindimensionale “Inhaltsangabe” wie in Ihrem Vorschlag reicht dafür aber nicht aus.
Die Erklärungen im Video beweisen das Gegenteil: Auch Sie charakterisieren Objekte eindimensional. Jedem Objekt wird genau eine Farbe zugeordnet. Zum Beispiel ist das Objekt Baum durch die Farbe Grün eindeutig identifiziert. Im Video zeigen Sie, dass diese eindimensionale Charakterisierung ausreichend ist und dass es nicht notwendig ist, auf Materialeigenschaften, Masse, Ladung usw. einzugehen.
* Was Raum und Zeit gemeinsam haben ist, dass sie … ein einheitliches geometrisches Gebilde sind.
Ich nehme an Sie beziehen sich auf die RT. Dass auf Basis einer mathematischen Theorie Raum und Zeit als einheitliches geometrisches Gebilde beschrieben werden können, oder dass Boosts dargestellt werden können, sagt nichts darüber aus, wie viele Dimensionen das Universum hat. Und darum geht es hier.
Wie ich bereits erwähnte (und was Sie bisher trotz Nachfrage unkommentiert liesen) gibt es im realen Universum verschiedene Orte, Zeiten und Dinge, daher müssen alle drei Größen angegeben werden, wie Sie es im Diagramm auch durchführen. Die RT kann verschiedene Orte und Zeiten beschreiben, aber nicht verschiedene Dinge, weil sie Objekte nicht kennzeichnet (wie es im Diagramm zum Beispiel durch Farbe geschieht). Sie kann also diesen Aspekt der Realität nicht darstellen. Ein Diagramm, im welchem nicht klar ist, welches Objekt zu einer bestimmten Weltlinie gehört, ist bedeutungslos. Dies zeigt, dass eine 4-dimensionale Beschreibung der Realität nicht vollständig ist und daher nicht richtig sein kann.
Erst eine 5-dimensionale Darstellung beschreibt das Universum auf korrekte Weise, wie es zum Beispiel das 1+1 Diagramm zeigt (erweitert auf 3 geometrische Dimensionen).
Danke für die Antworten, die ich im Einzelnen aus den folgenden Gründen für falsch halte.
Fangen wir mit der dritten Frage an. Dass es hier nicht nur um die Relativitätstheorie geht, zeigt ja bereits der Umstand, dass die drei Raumdimensionen bereits in der klassischen Physik (und in der Mathematik) geometrisch sind: Wie man den Raum in drei Richtungen aufteilt, ist willkürlich. Das zugrundeliegende Gebilde ist geometrisch dreidimensional – es gibt keine absolute Weise, die drei Dimensionen zu separieren. Das ist ein deutlich engerer Zusammenhang als bei den Dimensionen eines bloßen Vektorraums. Wenn in der Physik von Dimensionen die Rede ist, gibt es immer mehrere Möglichkeiten, was gemeint ist. Geht es um geometrische Dimensionen (wie im Titel meines Vortrags und in dem Vortrag selbst) dann hängen nur Raum und Zeit in dieser geometrischen Weise zusammen – als nicht separables Gebilde. Darauf bezieht sich die Aussage, das Universum habe 4 Dimensionen.
Nun kommen Sie und sagen: Aber um das Universum zu beschreiben, benötige ich doch noch weitere Aussagen! Zweifellos. Aber ich benötige nicht noch weitere geometrische Dimensionen. Ich benötige Aussagen zu den Inhaltsstoffen, im einfachsten Falle beispielsweise dazu, wo sich im Universum welche Teilchen zu welchem Zeitpunkt befinden. Das ist eine zweite Bedeutung von “Dimension”, die in der Physik typischerweise mit Begriffen wie “Konfigurationsraum” oder auch “Phasenraum eines Systems” einher geht. Wenn ich beispielsweise ein System aus N unterscheidbaren Teilchen im dreidimensionalen Raum betrachte, dann benötige ich 3N Zahlenangaben, um die Konfiguration meines Systems zu beschreiben. Der Konfigurationsraum jenes Systems ist 3N-dimensional, und in diesem Sinne (nicht im geometrischen Sinne) ist auch meine Modellwelt 3N-dimensional. Wenn ich noch die momentanten Geschwindigkeiten zur Beschreibung dazunehme, lande ich bei einem 6N-dimensionalen Phasenraum. In jenem Sinne ist meine Modellwelt 6N-dimensional.
Es gibt also zwei jeweils legitime Arten und Weisen, über die Dimensionalität der Welt bzw. von Modellwelten zu sprechen. Entweder ich rede (wie in meinem Vortrag) nur über geometrische Dimensionen. Dann ist unsere Welt vierdimensional. Oder ich beschreibe die Inhaltsstoffe der Welt. Dann brauche ich typischerweise deutlich mehr Zahlenangaben, und entsprechend mehr Dimensionen – das sind dann allerdings keine geometrischen Dimensionen.
Ihre Behauptung, für die Beschreibung der Inhaltsstoffe würde lediglich eine einzelne Zahlenangabe reichen, ist in der Praxis schlicht falsch. In meinen einfachen Modellsituationen nutze ich in der Tat Farbe als Informationsträger – der Hund ist braun, der Baum ist grün, der Mensch ist rosa. Aber das ist nur eine pädagogische Vereinfachung. Mit etwas Nachdenken fallen Ihnen sicher noch mehr unterschiedliche braune, oder grüne, oder rosa Gebilde ein. Der Farbe an jener Stelle eine besondere Stellung als fünfte Dimension zuzuweisen wird der Vielfalt der Objekte also ganz bestimmt nicht gerecht. Das sagt Ihnen (hoffentlich) auch Ihre Alltagserfahrung. Und Ihr Schluss, das, was für eine stark vereinfachte pädagogische Darstellung ausreiche müsse zwangsläufig auch für eine allgemeine Beschreibung der Welt ausreichen (denn so argumentieren Sie ja in Ihrer zweiten Antwort) ist einfach unlogisch.
Jedes *Modell* auf Basis der Relativitätstheorien enthält zusätzlich zur Raumzeit ganz selbstverständlich Angaben zu den Dingen, die ich in jener Raumzeit betrachten muss. In jeder Beschreibung einer im Rahmen der Relativitätstheorien finden Sie Aussagen wie “hier ist ein Objekt der Masse M” oder “von A nach B wird ein Lichtstrahl geschickt” oder derlei Beschreibungen des Inhalts mehr. Die Raumzeit ist der Rahmen. Den Inhalt beschreibt man jeweils explizit, wie in anderen Bereichen der Physik auch. Dass die Relativitätstheorien jenen Aspekt der Wirklichkeit nicht darstellen könnten, ist aus diesem Grund eine absurd falsche Behauptung. Jene Gesetze der Relativitätstheorien, die mir sagen, wie sich Objekte oder Licht in der Raumzeit bewegen, sind ja im Gegenteil direkte Anweisungen, wie sich der Raumzeit-Rahmen mit Dingen und Objekten “füllen” lässt um auf dieser Basis Modelle der Welt zu formulieren.
Kurzgefasst: Sie verwischen den Unterschied zwischen geometrischen Dimensionen (Raum, Raumzeit) und allgemeinen Dimensionen (Zustandsraum, Phasenraum). Dieser Unterschied ist wichtig; dass Sie Ihn nicht treffen, führt direkt zu falschen Aussagen. Sie behaupten, für die allgemeinen Dimensionen würde eine einzige genügen. Dass das falsch ist, sieht man bereits daran, dass Farbe nicht zwischen weiteren wichtigen Objekteigenschaften unterscheidet (Masse, Ladung etc.). Ihre Beschreibung ist also zum Teil sprachlich inkonsistent, zum anderen Teil greift sie bei der Beschreibung der Welt viel zu kurz (Farbe).
Vielen Dank für Ihre Antworten. Ihr Schreiben beginnt mit Frage 3, wobei Sie die wichtige Frage 1 übergehen:
Darin weise ich nach, dass Sie das Universum ebenfalls 5-dimensional darstellen. Dazu gibt es von Ihnen keinen Kommentar. Zum Beispiel: Stimmen Sie dem zu oder wollen Sie dementieren?
Ich bitte darum, den Kommentar nachzureichen. Falls Sie dementieren wollen: Zitieren Sie bitte den Satz den Sie als nicht richtig erachten, und erklären dann warum. Ich erwarte also eine explizite Antwort, ich habe Ihr Posting auch explizit beantwortet.
Was Sie schreiben, ist nicht korrekt, denn zu Ihrer Frage 1 sage ich ja oben im vierten Absatz etwas: Dass es sich bei mir um eine vereinfachte Modellsituation handelt. Dass im Universum aber ja bereits nicht alle Objekte eindeutig farbkodiert sind. Dass es generell unzulässig ist, von meiner vereinfachten Darstellung zu schließen, die sei ganz allgemein für das Universum ausreichend. Und dass es insgesamt unzulässig ist, weil Farbe eben für eine eindeutige Beschreibung dessen, was Sie als Inhalt des Universums bezeichnen, nicht ausreicht. Ganz abgesehen davon, dass “Farbe” keine eindimensionale Größe ist. Sondern im RGB-Falle ja bereits dreidimensional. Last but not least, dass “dimensional” eben nicht gleich “dimensional” ist. Mir geht es um geometrische Dimensionen. Ihnen um eine ungewöhnliche Form eines Konfigurationsraums. Steht da alles 🙂
Im Video gelangen Sie zur Erkenntnis, dass das Universum 4-dimensional ist. Innerhalb der Rahmenbedingungen, die das Video vorgibt, ist das Universum aber 5-dimensional, wie ich im Folgenden nachweisen werde.
Ich beziehe mich dabei auf die gleiche makroskopische Ebene wie im Video, und verwende im Wesentlichen die gleichen Begriffe Raum, Zeit, Objekt. Den Dimensionsbegriff verwende ich gemäß dem Inventarbeispiel, das ist wissenschaftlicher Standard. Ich halte mich also an die gleichen Rahmenbedingungen.
Ich führe den Nachweis nicht auf Basis einer Theorie oder eines Diagrammes, sondern ich schaue einfach, was auf dieser makroskopischen Ebene im Universum vorhanden ist. Ich halte mich dabei so nahe wie möglich an die Realität. Ich stelle fest: Auf dieser Ebene zeigt das Universum
* wo sich etwas befindet (Ort), es zeigt
* wann es sich dort befindet (Zeit), und es zeigt
* was sich dort befindet. (Objekt)
Das ist ein physikalisches Faktum. Es kann von jedem überprüft – d.h. gemessen werden.
Das Universum spezifiziert dabei genau den Ort (x,y,z), genau die Zeit (t) und es spezifiziert auch genau das Objekt (z.B. Baum). Mit anderen Worten: das Universum gibt alle drei Größen an, es lässt keine der drei Größen Raum, Zeit und Objekt unbestimmt.
Wenn wir Menschen also die Realität beschreiben wollen, müssen wir ebenfalls alle drei Größen spezifizieren: Wir müssen den Ort (x,y,z) angeben, die Zeit (t) angeben, und das das Objekt(objekt) angeben. Wir benötigen also 5 Zahlen: (x,y,z,t,objekt). Das Universum ist daher 5-dimensional.
(Objekte können durch genau eine Zahl dargestellt werden. Zum Beispiel können den Objekten Baum, Hund und Mensch die Zahlen 1, 2, und 3 zugeordnet werden. Sie sind damit eindeutig identifiziert. Auf ähnliche Weise ist z.B. auch die Zeit durch eine Zahl (t) eindeutig identifiziert.)
Damit ist der Nachweis abgeschlossen.
Ihre Behauptung, das Universum sei 4-dimensional, ist damit widerlegt. Um die Realität beschreiben zu können sind 5 Zahlen notwendig (x,y,z,t,objekt). Wenn nur 4 Zahlen verwendet werden, also (x,y,z,t), dann kann das Objekt nicht spezifiziert werden, welches sich an (x,y,z,t) befindet. Da das Objekt aber in der Realität vorhanden ist, bedeutet das, dass die 4-dimensionale Beschreibung nicht vollständig ist und daher nicht korrekt sein kann.
Genauso fragwürdig wäre es, statt dem Objekt einfach den Raum wegzulassen und das Universum durch (t,objekt) beschreiben zu wollen. Es kann dann zwar das Objekt und die Zeit spezifiziert werden, es kann aber nicht der Ort angegeben werden. Auch das wäre keine vollständige Beschreibung der Realität.
Sie ignorieren nach wie vor den Unterschied zwischen geometrischen Dimensionen und zustandsraum-artigen Dimensionen. Dass das Universum vierdimensional ist, bezieht sich auf die geometrischen Dimensionen, also auf Raum und Zeit.
Willkürlich Objekten Zahlen zuzuordnen macht aus der Objektebene noch keine “Dimension”. Und dass selbst die Objekt-Spezifizierung für die von Ihnen geforderte “vollständige Beschreibung der Realität” nicht ausreichen würde, sieht man ja bereits daran, dass beispielsweise das Objekt “Elektron” sich zwar an einem Ort befinden mag, Sie aber für eine vollständige Beschreibung mindestens noch die momentane Geschwindigkeit des Elektrons benötigen – schwupps, wieder drei Dimensionen mehr.
Reality schrieb (15.05.2024, 12:17 Uhr):
> […]
> * wo sich etwas befindet (Ort), […]
> * wann es sich dort befindet (Zeit), […]
> * was sich dort befindet. (Objekt)
Diese (drei Arten von) Einordnungen der Gegebenheiten sind offenbar möglich, und bisweilen auch praktisch, aber keineswegs auf das unbedingt Nötigste reduziert …
… wie der Aphorismus illustriert:
.
Allerdings erwähnt diese gebräuchliche Formulierung doch alle drei genannten “Arten der Einordnung” gemeinsam, und gibt damit keinen deutlichen Hinweis darauf, was davon weggelassen oder reduziert werden könnte. Konkrete Lösungsansätze finden sich im Forschungsgebiet »Individuation of Events«; insbesondere:
– anstatt nach “Wo?” zu fragen und zu sortieren, sich (ausschließlich) damit zu beschäftigen, “Was? bzw. Wer?” (also: welche identifizierbaren Beteiligten) auftraten, und ggf. deren geometrische Beziehungen untereinander (veränderliche Entfernungsverhältnisse, konstante Abstandsverhältnisse, …) festzustellen; und
– anstatt nach “Wann?” zu fragen und zu sortieren, sich (vorrangig) damit zu beschäftigen, “Was? bzw. Wer?” (also welche identifizierbaren Beteiligten) jeweils zusammen (koinzident) aufgetreten war, und welche nicht; einschl. “Wer welche Wahrnehmungen?” gemacht hatte;
insgesamt also Ereignisse insbesondere daran (eindeutig) zu identifizieren, wer daran (jeweils zusammen) teilgenommen hatte und was dabei jeweils (ggf. zusammen, einvernehmlich) wahrgenommen wurde.
* Dass das Universum vierdimensional ist, bezieht sich auf die geometrischen Dimensionen, also auf Raum und Zeit.
Wir diskutieren hier nicht die Frage: Wie viele Dimensionen hat die RT, sondern: Wie viele Dimensionen hat das reale Universum. Warum Sie trotzdem immer wieder die RT ins Spiel bringen, ist rätselhaft.
Raum und Zeit bilden nur in der RT eine geometrische Einheit – es ist nur ein mathematisches Modell, welches mit der Realität nichts zu tun hat. Im realen Universum ist Zeit nicht geometrisch. Raum wird mit dem Meterstab gemessen. Um Zeit messen zu können, werden Uhren benötigt. Das bedeutet: Die Natur realisiert Raum und Zeit physikalisch auf unterschiedliche Weise, sie sind wesensverschieden.
Das Problem scheint zu sein, dass Sie die Bestimmung der Anzahl der Dimensionen für eine schwierige Sache halten und meinen, sie nur auf Basis der RT lösen zu können. Tatsache ist: Die Anzahl der Dimensionen ein Systems hat mit der RT nichts zu tun.
Wie einfach es ist, die Dimensionen eines Systems zu ermitteln, sehen Sie beim Inventarbeispiel. Da kommen Sie ja auch ohne die RT aus. Beim Inventar stellen Sie fest: es gibt 4 wesensverschiedene Dinge: Grußkarten, Faserschreiber, A3, A4. Jedes dieser Dinge kann durch 1 Zahl identifiziert werden, macht in Summe 4 Zahlen, also 4 Dimensionen. Es ist tatsächlich so einfach – und wie Sie sehen, ergibt sich das richtige Ergebnis ganz ohne die RT. Ebenfalls erkennen wir, dass der Dimensionsbegriff nicht auf geometrische Dimensionen beschränkt ist.
Auf die gleiche einfache Weise kann auch beim Universum vorgegangen werden. Wir stellen fest was auf der makroskopischen Ebene vorhanden ist und erkennen: es gibt 3 wesensverschiedene Dinge: Raum, Zeit und Objekt. Für den Raum werden 3 Zahlen benötigt, für die Zeit 1 Zahl und für das Objekt auch 1 Zahl, das macht in Summe 5 Zahlen (x,y,z,t,objekt), also ist das Universum 5-dimensional. Punkt.
Es ist also sehr einfach – aber nicht für Sie, weil Sie die Dimensionsfrage stets mit Ansichten aus der RT vermischen. Es wäre wünschenswert, wenn Sie auf weitere Hinweise auf diese Theorie verzichten könnten.
Hoppla, da gehen jetzt ja wirklich viele Dinge durcheinander. Fangen wir doch mal ganz einfach an: Wie definieren Sie überhaupt “Dimension”? Das ist ja kein willkürlicher Begriff. In der Mathematik gibt es mindestens zwei hier relevante Definitionen: Zum einen die geometrische (die, im Gegensatz zu Ihrer Behauptung, nicht auf die Relativitätstheorien beschränkt ist – auch im Newtonschen Universum hat ja z.B. der Raum drei geometrische Dimensionen). Zum anderen die Vektorraum-Definition. Die klingt bei Ihrem Inventar-Beispiel an, allerdings ja nicht vollständig – im Inventar kommen ja üblicherweise nur ganze Zahlen vor, im Vektorraum muss da mindestens ein Körper (im mathematischen Sinne) im Spiel sein.
Also: Wenn Sie von “Dimension” reden, auf welche der möglichen, allgemein akzeptierten Definitionen beziehen Sie sich?
Meine Antwort scheint nicht angekommen zu sein. Ich sende sie daher noch einmal.
* Wie definieren Sie überhaupt “Dimension”?
Ich definiere den Begriff “Dimension” genau gleich wie es im Video dargestellt wird. Beim Inventarbeispiel geben Sie folgende Definition:
Wieviele Dimensionen hat dieses Inventar?
Wie viele unabhängige Zahlenangaben sind nötig, um es zu beschreiben?
In den Beispielen ermittle ich, wie viele Zahlenangaben nötig sind, z.B. 3 Zahlen für Raum, 1 Zahl für Zeit und 1 Zahl für Objekt, die Summe der Zahlen ergibt die Anzahl der Dimensionen.
Dann wäre die nächste Frage: An jener Stelle im Video, und allgemeiner in dem, was in der Mathematik Vektorraum heißt, geht es, wie Sie richtig sagen, um Zahlenangaben. Beim Inventar um ganze Zahlen oder bei kontinuierlichen Stoffen um reelle/rationale Zahlen (1 Liter Milch, 1,524 Liter Milch). Bei den geometrischen Dimensionen (um die es später im Video geht) um Zahlen, die für Längen- und Zeitintervalle stehen. Sobald ich beschrieben habe, was die Dimension darstellt, brauche ich nur noch eine Zahl. Inwiefern erfüllt Ihre (einzelne) Dimension “Objekt” diese entscheidende Voraussetzung? Wie ist jene Dimension definiert, so dass anschließend jede Zahlenangabe tatsächlich das tut, was Sie von ihr verlangen, nämlich ein bestimmtes Objekt zu beschreiben? An der Stelle steht das, was Sie schreiben, im krassen Widerspruch zum mathematischen (Vektorraums-)Dimensionsbegriff. Anders gesagt: Es gibt keine natürliche Anordnung sämtlicher Objekte entlang einer Linie, die ohne komplizierte “Übersetzungslisten” (1 enspricht einem Hund, 2 entspricht einer Katze, 3 entspricht einer Kerze, …) auskommen und damit eben nicht mehr das sind, was mit “Dimension” gemeint ist.
* Hoppla, da gehen jetzt ja wirklich viele Dinge durcheinander.
Nachdem Sie erkannt haben, dass in Ihren Erklärungen einiges durcheinander geht, wäre es angemessen, eine korrekte Berechnung der Anzahl der Dimensionen des Universums anzugeben.
Daher: Wie berechnen Sie die Anzahl der Dimensionen auf korrekte Weise?
Das ist jetzt wirklich nur noch billige Rhetorik. Für das Universum ist die Antwort nach wie vor dieselbe, die ich in vereinfachter Weise im Video zu erklären versucht habe: Es gibt vier Dimensionen, nämlich die der Raumzeit, die gemeinsam die dem Universum zugrundeliegende Geometrie bilden. Mathematisch gesprochen hat der jeweilige Tangentenraum der [gekrümmten] Raumzeit vier Dimensionen, und jede Karte benötigt vier Koordinaten, um einen Teil der Raumzeit zu beschreiben.
Nachdem Sie auf meine Frage, welchen Dimensionsbegriff Sie Ihrer angeblichen “Dimension Objekt” zugrundeliegen, jetzt schon zum dritten oder vierten Male nicht eingehen, hoffe ich, dass Sie jene irrige Idee ad acta gelegt haben. (Um Ihren “Dimensionsbegriff” ging es ja auch in meinem Hoppla-durcheinander-Kommentar – samt der erwähnten Frage.)
Bitte korrigieren Sie in meinem vorigen Posting den html-tag </em zu . Danke.
* Willkürlich Objekten Zahlen zuzuordnen macht aus der Objektebene noch keine “Dimension”
Die Objektebene bildet 1 Dimension, weil sie wesensverschieden zu Raum und Zeit ist, und weil Objekte durch genau eine Zahl identifiziert werden können.
Genauso bilden die Grußkarten 1 Dimension, weil sie wesensverschieden zu allen andern Dingen des Inventares sind, und weil sie durch 1 Zahl identifiziert werden können.
* … Sie aber für eine vollständige Beschreibung mindestens noch die momentane Geschwindigkeit des Elektrons benötigen
Genauso gut könnten Sie beim Inventarbeispiel behaupten, dass noch die momentane Geschwindigkeit der Grußkarten benötigt wird. Die Anzahl von Dimensionen hängt nicht von Geschwindigkeiten ab.
Ich habe festgestellt, dass es im Video keine wirkliche Definition des Dimensionsbegriffes gibt. Bei den Erklärungen zum Inventar gibt es zwar den Satz “Wieviele Dimensionen hat das Inventar? Wieviele Zahlenangaben sind nötig um es zu beschreiben?”. Das sagt aber nichts darüber aus, was eine Dimension ist. Hier geht es nur um die Anzahl der Dimensionen.
Sie sprechen davon, dass 4 voneinander unabhängige Zahlen notwendig sind um das Inventar zu beschreiben. Es wird allerdings nicht erklärt, aufgrund welcher Kriterien entschieden wird, dass 4 Zahlen notwendig sind.
Ihre tatsächliche Definition des Dimensionsbegriffes scheint zu sein, dass Sie feststellen: Es gibt im Inventar 4 verschiedene Typen von Artikeln, das macht 4 Dimensionen. Und um die mathematisch darstellen zu können, werden 4 Zahlen benötigt.
Das wird im Video allerdings so nicht ausgesprochen. Daher die Frage: Wie definieren Sie den Begriff “Dimension”, oder aufgrund welcher Kriterien bestimmen Sie, dass genau 4 Zahlen notwendig sind?
Es ist eben ein populärwissenschaftliches Video. Die Ideen sind nicht als mathematische Definitionen dort vertreten, aber durch die Beschreibungen: das Inventarbeispiel für den Vektorraum, das Drehbeispiel für geometrische Dimensionen. Weitere Ausführungen etwas später zu ihrem längeren letzten Kommentar.
Antwort auf Beitrag vom 06.06.2024, 21:26 Uhr. Ich setze die Antwort hier her, damit der Beitrag nicht zu lang wird.
* Sobald ich beschrieben habe, was die Dimension darstellt, brauche ich nur noch eine Zahl. Inwiefern erfüllt Ihre (einzelne) Dimension “Objekt” diese entscheidende Voraussetzung? Wie ist jene Dimension definiert, so dass anschließend jede Zahlenangabe tatsächlich das tut, was Sie von ihr verlangen, nämlich ein bestimmtes Objekt zu beschreiben?
Die Antwort auf diese Frage wird etwas ausführlicher, denn sie betrifft den Kern der Diskussion. Ich beschreibe zunächst meine Interpretation des Inventarbeispieles, wobei ich das Beispiel weiter vereinfache:
In einer Firma gibt es einen Inventarraum, da herrscht leichtes Chaos, also sagt der Chef zu einem Angestellten: Schaffen Sie bitte Ordnung! Nachdem der Angestellte die Aufgabe erledigt hat, betritt der Chef den Raum und stellt fest: Im Inventarraum gibt es zwei Regale. In einem Regal sind 5 Bücher, im anderen Regal befinden sich 5 Kalender.
Dann sagt der Chef weiter zum Angestellten: Nummerieren Sie alle Bücher und alle Kalender! Der Angestellte nimmt also einen Stift, und nummeriert die Bücher von 1 bis 5, und genauso nummeriert er die Kalender von 1 bis 5. Damit ist jedes Objekt im Inventarraum eindeutig charakterisiert.
Wir stellen fest: Im Inventar gibt es zwei Typen von Artikel, nämlich (Buch, Kalender), das macht zwei Dimensionen. Es werden zwei Zahlen benötigt, um es vollständig beschreiben zu können: Eine Zahl, um ein bestimmtes Buch zu identifizieren, und eine Zahl, um einen bestimmten Kalender identifizieren zu können.
Der Chef kann also zu einem Angestellten sagen: Sehen Sie nach, ob (2,4) noch im Inventar sind. Der Angestellte weiß dann, dass er nachsehen soll, ob sich das Buch mit Nummer 2 und der Kalender mit Nummer 4 noch im Inventarraum befinden.
Der Raum, den das Inventar aufspannt, ist kein Vektorraum. Objekte sind diskrete Dinge, d.h. der Vektorraum müsste auf der Menge der ganzen Zahlen definiert werden. Die bildet aber keinen Körper, was aber Voraussetzung für einen Vektorraum ist. Welche Art Raum das Inventar aufspannt, ist für die Bestimmung der Anzahl der Dimensionen nicht relevant, und wird daher hier nicht weiter verfolgt.
Das Inventar-Beispiel lehrt, dass es möglich ist, Objekten (z.B. Büchern) eine Dimension zuzuordnen. Damit einzelne Objekte identifiziert werden können, müssen Objekte nummeriert werden (genauso wie Orte oder Zeitpunkte auch nummeriert werden müssen).
Nun gehen wir vom Inventar über zum realen Universum:
Wenn wir nun – bildlich gesprochen – im Inventarraum des Universums Ordnung schaffen, dann haben wir am Ende 3 Regale: In einem Regal befinden sich Raumpunkte, im zweiten Regal befinden sich Zeitpunkte und im dritten Regal befinden sich Objekte.
Um Eindeutigkeit zu erreichen, müssen auch hier allen Dingen Zahlen zugeordnet werden (so wie bei den Büchern und Kalendern). Das bedeutet:
* jedem Raumpunkt werden durch ein Koordinatensystem drei Zahlen (x,y,z) zugeordnet
* jedem Zeitpunkt wird durch die Anzeige einer Uhr eine Zahl (t) zugeordnet
* jedem Objekt wird durch eine Übersetzungsliste eine Zahl (obj) zugeordnet (zum Beispiel: Auto=1, Flugzeug=2, Hubschrauber=3, usw.)
Dann kann zum Beispiel festgestellt werden: am Ort (2,5,7) befindet sich zum Zeitpunkt (9) das Objekt (3), oder kürzer: (2,5,7,9,3).
Schlussendlich stellen wir analog zum Inventar fest: Das Universum ist 5-dimensional, denn es werden 5 Zahlen benötigt, um es vollständig beschreiben zu können.
Damit sollte Ihre Frage, inwiefern Objekte eine Dimension bilden, oder wie Zahlenangaben Objekte identifizieren, beantwortet sein.
* An der Stelle steht das, was Sie schreiben, im krassen Widerspruch zum mathematischen (Vektorraums-)Dimensionsbegriff. Es gibt keine natürliche Anordnung sämtlicher Objekte entlang einer Linie…
Das 5-dimensionale Universum muss nicht der klassischen Definition eines Vektorraumes entsprechen, daher ist Ihr Einwand hier nicht relevant. Festzustellen, um welche Art Raum es sich handelt, wäre der nächste Schritt, was hier aber nicht notwendig ist. Die Anzahl der Dimensionen des Universums kann unabhängig davon ermittelt werden. Wir fragen einfach nur nach der Anzahl der Zahlen, die notwendig sind, um das System beschreiben zu können (so wie beim Inventar).
* … die ohne komplizierte “Übersetzungslisten” … auskommen und damit eben nicht mehr das sind, was mit “Dimension” gemeint ist.
Zum Thema Übersetzungsliste:
* um Orten Zahlen zuordnen zu können, wird ein Koordinatensystem verwendet
* um Zeitpunkten Zahlen zuordnen zu können, wird eine Uhr verwendet
* um Objekten Zahlen zuordnen zu können, wird eine Übersetzungsliste verwendet
Um also Dingen im Universum Zahlen zuordnen zu können, werden Hilfsmittel benötigt. Die Art der Hilfsmittel ändert aber nichts an der Anzahl der Dimensionen.
Zum Beispiel: Um das Universum beschreiben zu können, werden 5 Zahlen benötigt (x,y,z,t,obj). Welche Hilfsmittel wir Menschen verwenden, um Dingen Zahlen zuzuordnen, ändert daran nichts.
Ich denke wir kommen dem Kern der Sache in der Tat näher. Der Inventarraum funktioniert nur deswegen als (näherungsweise, nicht vollständige) Illustration eines Vektorraums, weil für jede, nennen wir es “Bestellung”, pro Objekt-Typ genau eine (ganze) Zahl benötigt wird, um die Bestellung vollständig zu beschreiben. Die Anzahl der Dimensionen (als Vektorraum) ergibt sich dann aus der Anzahl der Basis-Objekte. Sprich: Wenn der Kunde “Grillzange Margarete” und “Grill Mephisto” und “Grillset Faust (enthält Grillzange Margarete und Grill Mephisto)” bestellen kann, dann sind das nicht drei, sondern zwei Dimensionen. Weil sich die Grillzange als (1,0), der Grill als (0,1), aber das Grillset eben ohne hinzufügen einer weiteren Dimension als (1,1) schreiben lässt. So funktionieren Dimensionen in einem Vektorraum.
An der Stelle schreiben Sie, aus meiner Sicht absurderweise: “Das 5-dimensionale Universum muss nicht der klassischen Definition eines Vektorraumes entsprechen, daher ist Ihr Einwand hier nicht relevant.” – sorry, aber so sind Definitionen nun einmal definiert. Daher “erben” auch geometrische Räume den Begriff der Dimension. Begriffe haben Definitionen. Sie können einem wissenschaftlichen Begriff nicht eine Privat-Definition verpassen und dann allen, die den Begriff in der allgemein anerkannten Variante verwenden, vorwerfen, ihre Aussagen würden nicht zutreffen.
Zu Übersetzungslisten: Die sind etwas grundlegend anderes, und haben erst einmal gar keinen Bezug zum Dimensionsbegriff. Als Übersetzungsliste beschrieben wäre ja z.B. auch ein Schachbrett eindimensional – ich könnte einfach alle Felder durchnummerieren. Die Zweidimensionalität ginge bei jener “Übersetzung” verloren. Umgekehrt könnte man eine beliebig feine, aber endliche Unterteilung von Raum und Zeit einfach in die Objekt-Übersetzungsliste eingliedern. Selbst bei unendlich feiner Unterteilung, nämlich wenn man rationale statt reeller Zahlen verwendet, sollte man eigentlich beliebig höherdimensionale geometrische Räume mit geeigneter “Übersetzungsliste” als eindimensionale Gebilde beschreiben können, indem man z.B. die rationale x-Koordinate für sich nimmt, die rationale y-Koordinate mit Pi malnimmt und die rationale z-Koordinate mit e. Das Ergebnis liegt auf der reellen Zahlengerade, aber enthält trotzdem das Koordinaten-Tripel – allerdings ist die geometrische Information dabei dann komplett versteckt.
Möglicherweise ist mein letzter Beitrag nicht angekommen. Ich sende ihn daher noch einmal.
Ich habe festgestellt, dass Sie im Video zwei verschiedene Dimensionsbegriffe verwenden, wobei Sie nur einen davon dem Publikum vorstellen. Das ist auch die Ursache der Missverständnisse, die sich wie ein roter Faden durch die ganze Diskussion zieht. Ich nehme mir einmal die Zeit, ein paar Dinge klarzustellen.
Zunächst zwei Begriffsdefinitionen, damit verständlich wird, von was wir überhaupt reden:
Der Dimensionsbegriff im Video (im Folgenden kurz: Video-Begriff)
Beim Inventarbeispiel geben Sie für den Dimensionsbegriff die Definition: Anzahl der notwendigen Zahlen = Anzahl der Dimensionen. Dieser Dimensionsbegriff ist allgemeiner als der eines Vektorraumes. Er hat den Vorteil, dass er keine bestimmte Art von Räumen erfordert (im Gegensatz zum Dimensionsbegriff von Vektorräumen). Mit diesem Begriff können die Dimensionen von verschiedenen Räumen bestimmt werden: von Farbräumen, Vektorräumen, Inventarräumen, Schachspiel, Universum, usw. Einen solchen allgemeineren Dimensionsbegriff mussten Sie wählen, da das Inventar keinen Vektorraum bildet.
Der Dimensionsbegriff eines Vektorraumes
Hier ist der Dimensionsbegriff definiert mit: Anzahl der Basisvektoren = Anzahl der Dimensionen. Darüber hinaus muss die Menge, auf welcher der Raum definiert ist, noch bestimmte Voraussetzungen erfüllen (Körper). Das ist eine ziemliche Einschränkung, welche der Video-Begriff nicht hat.
Es gibt also einen deutlichen Unterschied zwischen dem Dimensionsbegriff im Video und dem eines Vektorraumes. Das scheinen Sie aber nicht zu bemerken. Und genau hier liegt die Quelle der Missverständnisse.
Im Video passiert folgendes:
1.) Beim Inventarbeispiel verwenden Sie den Video-Begriff. Das müssen Sie, denn das Inventar ist kein Vektorraum. Hier haben Sie noch kein Problem damit, Objekten (z.B. Faserschreibern) eine Dimension zuzuordnen. Ich verwende beim Inventarbeispiel ebenfalls den Video-Begriff, und es ergibt sich das gleiche Ergebnis.
2.) Beim Universum allerdings verwenden Sie dann einen anderen Dimensionsbegriff, nämlich den von Vektorräumen. Da sich nur Raum und Zeit als Vektorraum definieren lassen, erhalten Sie das Ergebnis, dass das Universum 4-dimensional ist. Den Objekten wollen sie hier keine Dimension zugestehen, da sie keinen Vektorraum bilden. Ich hingegen verwende beim Universum den Video-Begriff, und ordne auch hier den Objekten eine Dimension zu so wie beim Inventar, und erhalte das Ergebnis, dass das Universum 5-dimensional ist.
Dass Sie zwei verschiedene Dimensionsbegriffe verwenden löst das Rätsel, warum Sie in einem Fall den Objekten eine Dimension zuschreiben (Inventar) und in einem anderen Fall nicht (Universum).
Bei der Berechnung der Anzahl der Dimensionen machen Sie allerdings einen schwerwiegenden Fehler: Tatsache ist, dass das Universum in seiner Gesamtheit kein Vektorraum ist. Es enthält Objekte – also diskrete Dinge, und die bilden wie beim Inventar keinen Vektorraum. Beim Universum kann also der Dimensionsbegriff von Vektorräumen nicht angewendet werden – was Sie aber tun. Dadurch erhalten Sie ein falsches Ergebnis.
Nein, da unterliegen Sie leider wiederum einigen Missverständnissen. Das erste ist ein Meta-Missverständnis und betrifft das Niveau des Videos. Es handelt sich um Populärwissenschaft, und damit eben um kein Medium, in dem man exakte mathematische Definitionen transportieren könnte. Das Inventar-Beispiel veranschaulicht einige Eigenschaften des Vektorraum-Dimensionsbegriffs (insbesondere eine Art ganzzahliger linearer Unabhängigkeit). Da Inventar-Zahlen allerdings ganzzahlig sind, handelt es sich nicht im mathematischen Sinne um einen Vektorraum. Damit ist diese vereinfachte Version allerdings entgegen Ihrer Behauptung ein eingeschränkterer Dimensionsbegriff als für einen Vektorraum. Und ja, selbstverständlich bin ich mir des Unterschieds bewusst. Solche Unschärfen muss man bei Popularisierungen inkaufnehmen. Die meisten Zuschauer*innen scheinen das soweit ich sehen kann so aufgenommen zu haben, wie es intendiert war.
Zweites Missverständnis: Nein, bei Ihrem “Inventarbeispiel” bzw. bei Ihren Versuchen, eine Dimension “Objektart” zu definieren, verwenden Sie ausdrücklich nicht den einfachen Dimensionsbegriff meines Inventars. Bei meinem vereinfachten Begriff gibt es im “Objektraum” so viele Dimensionen, wie es unterscheidbare Objekte gibt. Zwei Bleistifte, ein Radiergummi und ein Lineal sind in diesem “Raum” ja gerade ein Vektor (2,1,1) bei geeigneter Zuordnung von Dimensionen zu Objekten. Sie dagegen wollen für die Objekte insgesamt eine Dimension hinzufügen (Raum, Zeit, Objektart). Das entspricht keinem der in meinem Video definierten Dimensionsbegriffe, ob nun vereinfacht oder nicht. An dieser Stelle haben Sie sich offenbar komplett verrannt.
Zum Vektorraum: Der Dimensionsbegriff ist dort im Gegenteil definiert über die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren. Den Begriff der Basisvektoren kann man dann auf der linearen Unabhängigkeit aufbauen, er ist aber nicht elementar.
Beim Universum verwende ich – wie in meinen Antworten an Sie schon mehrmals, aber offenbar vergeblich, erklärt – nicht bloß den Vektorraum-Dimensionsbegriff sondern einen geometrischen Dimensionsbegriff. Charakteristisch für die Raumdimensionen im Universum, bzw. für die vier Raumzeitdimensionen, ist ja gerade, dass es Transformationen gibt, die die verschiedenen Dimensionen ineinander überführen. Das ist dann der Dimensionsbegriff, demzufolge unser Universum vier Dimensionen hat. Denn solche ineinander-Überführbarkeit gibt es ja zwischen den weiteren in der Physik definierbaren Dimensionen (Phasenraum) und der Raumzeit gerade nicht. Insofern: nein, nirgends ein “schwerwiegende[r] Fehler”, sondern soweit ich sehen kann lediglich Verwirrung Ihrerseits, was den Begriff der Dimension angeht.
Aber ich wiederhole meine nun schon mehrfach gestellte Frage an Sie gerne noch einmal: Welchen Dimensionsbegriff legen Sie Ihrer “Objektart ist eine Dimension” zugrunde? Mein vereinfachter Dimensionsbegriff mit dem Inventar ist es nicht. Die Vektorraum-Dimension ist es auch nicht. Die geometrischen Dimensionen schon gar nicht. Also: Auf welcher Basis stellen Sie sicher, dass Sie es an jener Stelle tatsächlich mit einer Dimension in irgendeinem allgemein akzeptierten Sinne zu tun haben?
* Populärwissenschaftliche Erklärungen…
Dies war niemals ein Kritikpunkt meinerseits. Im Gegenteil, ich finde es lobenswert, wenn sich jemand die Mühe macht, physikalische Themen auf einfache Weise zu erklären.
Auf populärwissenschaftliche Ungenauigkeit können Sie sich allerdings bei der folgenden Sache nicht berufen: Das Inventarbeispiel ist ein mathematisch gültiges Beispiel. Hier ordnen Sie mathematisch korrekt Objekten eine Dimension zu, beim Universum behaupten Sie dann aber seltsamerweise, dass Objekten keine Dimension zugeordnet werden kann. Erklären Sie doch mal im Detail, wann Objekte eine Dimension bilden und wann nicht.
* Damit ist diese vereinfachte Version allerdings entgegen Ihrer Behauptung ein eingeschränkterer Dimensionsbegriff als für einen Vektorraum.
Ich sehe die Dinge so: Der Dimensionsbegriff von Vektorräumen gilt nur für Vektorräume, das bedeutet: mit diesem Begriff kann nur die Anzahl der Dimensionen von Vektorräumen bestimmt werden. Weiters erfordert dieser Dimensionsbegriff als Grundmenge einen Körper – im Fall von reellen Zahlen also eine unendliche Menge.
Den vereinfachten Dimensionsbegriff interpretiere ich in seiner allgemeinen Form mit: “Wie viele Dimensionen hat ein System? Wie viele unabhängige Zahlenangaben sind nötig, um es zu beschreiben?” Dieser Begriff ist überall dort gültig, wo Dingen Zahlen zugeordnet werden können. Damit können die Dimensionen von vielen verschiedenen Räumen bestimmt werden und die Grundmenge muss kein Körper sein, sondern es können einfache Mengen sein die sowohl endlich als auch unendlich sind. Mit dem vereinfachten Dimensionsbegriff können zum Beispiel die Dimensionen von folgenden Räumen bestimmt werden: von Vektorräumen, Farbräumen, Inventarräumen, Schachspiel, Universum, usw.
Nehmen wir zum Beispiel das Schachspiel: Für den Ort wird 1 Zahl benötigt, für die Zeit wird ebenfalls 1 Zahl benötigt und für die Objekte (Figuren) wird auch 1 Zahl benötigt. Das macht in Summe 3 Zahlen, also ist das Schachspiel 3-dimensional. Wenn man das Spiel beschreiben will, dann muss (Ort, Zeit, Figur) angegeben werden, wie es im realen Leben auch geschieht.
Würde man aber versuchen, die Dimensionen des Schachspieles mit dem Dimensionsbegriff von Vektorräumen zu bestimmen, ergibt sich das Ergebnis, dass das Spiel 0 Dimensionen besitzt, weil es nirgendwo ein Vektorraum ist. Auch beim Inventar wäre das Resultat 0 Dimensionen, weil auch das Inventar kein ein Vektorraum ist. Der vereinfachte Dimensionsbegriff hingegen liefert in beiden Fällen das richtige Ergebnis, er ist also universeller, weil er mehr Fälle lösen kann als der Begriff von Vektorräumen.
Zum Schachspiel hätte ich noch eine Frage: Würden Sie hier den Objekten (Figuren) auch keine Dimension zuordnen so wie beim Universum? Würden Sie sagen, dass nur die Angabe von (Ort, Zeit) eine ausreichende Beschreibung des Spieles ist?
Weitere Antworten folgen.
Um den Austausch hier nicht ausufern zu lassen, beschränke ich mich hier mal auf das, was aus meiner Sicht der Knackpunkt ist. In meinem Inventarbeispiel (als eine Art Prä-Vektorraum) entspricht jeder Objektsorte eine Dimension. Wenn das Inventar (jeweils untereinander identische) HB-Bleistifte, Kugelschreiber und Schreibblöcke umfasst, dann ist das Inventar dreidimensional: Ich benötige 3 Zahlen, um jeden Inventarzustand zu beschreiben. Der Zahlenraum jeder Dimension sind hier jeweils die natürlichen Zahlen, und zwar samt ihrer Rechenoperationen: Entnehme ich dem Inventar einen HB-Bleistift, dann reduziert sich die Zustandszahl der Bleistift-Dimension um 1. Addition und Subtraktion, aber z.B. auch das Malnehmen mit einer ganzen Zahl sind Operationen, die jeweils Veränderungen des Inventars beschreiben.
Sie dagegen postulieren eine “Objektdimension” (wie ja jetzt beim Schachbeispiel auch wieder), bei der *allen* Objekten *gemeinsam* eine Dimension zugeordnet wird. Das ist etwas grundlegend anderes. Denn dieser Dimension entspricht eben kein echter Zahlenraum, sondern das was in den Computerwissenschaften ein Lexikon wäre: “1” wäre ein Bleistift, “2” wäre ein Kugelschreiber, und Rechenoptionen (Addition, Subtraktion, Multiplikation) sind auf jenem Lexikon überhaupt nicht definiert.
Ist Ihnen an dieser Beschreibung und bei diesem grundlegenden Unterschied etwas unklar?
* Zum Vektorraum: Der Dimensionsbegriff ist dort im Gegenteil definiert über die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren.
Bei Wikipedia ist zu lesen: Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis wird Dimension des Vektorraums genannt. Der Dimensionsbegriff wird also über die Anzahl der Basisvektoren bestimmt. Meine Kurzfassung Anzahl der Basisvektoren = Anzahl der Dimensionen ist korrekt.
* Aber ich wiederhole meine nun schon mehrfach gestellte Frage an Sie gerne noch einmal: Welchen Dimensionsbegriff legen Sie Ihrer “Objektart ist eine Dimension” zugrunde? Mein vereinfachter Dimensionsbegriff mit dem Inventar ist es nicht….
Diese Frage haben Sie genau einmal gestellt (Beitrag 17.05.2024), und ich habe sie auch beantwortet (Beitrag 06.06.2024). Ich nehme mir dieses mal mehr Zeit. Die Antwort fällt auch hier gleich aus: Ich verwende den vereinfachten Dimensionsbegriff. Ich zitiere aus meinem Beitrag vom 17.05.2024, darin bestimme ich die Dimensionen des Universums auf Basis dieses Begriffes:
“Wir stellen fest was auf der makroskopischen Ebene vorhanden ist und erkennen: es gibt 3 wesensverschiedene Dinge: Raum, Zeit und Objekt. Für den Raum werden 3 Zahlen benötigt, für die Zeit 1 Zahl und für das Objekt auch 1 Zahl, das macht in Summe 5 Zahlen (x,y,z,t,objekt), also ist das Universum 5-dimensional. Punkt.”
Wie Sie sehen, verwende ich den vereinfachten Dimensionsbegriff: Ich ermittle die Anzahl der Zahlen, die notwendig sind, um das Universum zu beschreiben.
Seit Ihrem Beitrag von heute 01.07.2024, 11:11 Uhr verstehe ich, welche Sache Ihnen dabei Bedenken bereitet. Ich werde noch darauf antworten.
* Auf welcher Basis stellen Sie sicher, dass Sie es an jener Stelle tatsächlich mit einer Dimension in irgendeinem allgemein akzeptierten Sinne zu tun haben?
Ich betrachte den vereinfachten Dimensionsbegriff als einen vom Vektorraum abgeleiteten Begriff. Anstatt zu fragen, wie viele Basisvektoren notwendig sind, wird einfach danach gefragt, wie viele Zahlen notwendig sind um ein System zu beschreiben. Ich betrachte das als mathematisch äquivalent und daher als gültig. Da der Vektorraum Begriff allgemein akzeptiert ist, sollte es nicht schwerfallen, eine Ableitung davon ebenfalls zu akzeptieren.
Weitere Antworten folgen.
Zumindest mein vereinfachter Dimensionsbegriff (Inventarbeispiel) ist das nicht mehr. Denn wie in der letzten Antwort beschrieben: Der weist immerhin noch die auch beim echten Vektorraum-Dimensionsbegriff gegebene Eigenschaft auf, dass die betreffenden Zahlen tatsächlich Zahlen sind, mit entsprechenden Rechenoperationen. Diese Eigenschaft bleibt bei Ihrem Zahlen-als-Lexikon-“Dimensions”-Begriff auf der Strecke.
Was Sie als “Dimension” beschreiben, nämlich die Anzahl der Zahlen, die notwendig sind, um das Universum zu beschreiben, lässt sich leicht ad absurdum führen. Wenn es alleine um Zahlen-Zuweisung ginge, wäre selbst der übliche dreidimensionale Raum eindimensional. Ich kann drei reelle Koordinaten nämlich problemlos zu einer einzigen reellen Zahl kombinieren, indem ich sie miteinander verschränke und z.B. aus dem Zahlen-Tripel 0.512, 0.991, 0.162 die “neue” Zahl 0.591196212 bilde. Solchermaßen verwässert ginge der Sinn des Dimensionsbegriffs komplett verloren.
* Zumindest mein vereinfachter Dimensionsbegriff (Inventarbeispiel) ist das nicht mehr… Der weist immerhin noch die auch beim echten Vektorraum-Dimensionsbegriff gegebene Eigenschaft auf, dass die betreffenden Zahlen tatsächlich Zahlen sind, mit entsprechenden Rechenoperationen.
Dazu mehr in meiner noch folgenden Antwort auf Ihren Beitrag vom 01.07.2024, 11:11 Uhr.
* Ich kann drei reelle Koordinaten nämlich problemlos zu einer einzigen reellen Zahl kombinieren…
Die Verschränkung ändert nichts an der Anzahl der Zahlen. Dazu ein Beispiel: Gegeben sei ein 2-dimensionaler Vektorraum. Gemäß des einfachen Dimensionsbegriffes werden dafür 2 Zahlen (x,y) benötigt. Die beiden Zahlen x und y können nun entweder so hingeschrieben werden (x=0.123 , y=0.456) oder sie werden in eine Zahl codiert, zum Beispiel (z = 0.142536)
Dann enthält z aber per Definition zwei Zahlen, nämlich x und y. Mit anderen Worten: Es hat sich nur die Darstellung der Zahlen geändert, aber nicht die Anzahl. Und spätestens dann, wenn mit x und y gerechnet werden soll, müssen sie wieder aus z decodiert werden, und es ergeben sich wieder zwei Zahlen.
Sie sind schon nahe dran! Aber dass Ihre Aussage, Dimensionen sei “wie viele Zahlen man braucht” zu kurz gedacht ist, zeigt das Beispiel ja sehr wohl. Wenn es nur darum ginge, würde Verschränkung eben dazu führen, dass die Antwort immer “eine Dimension ist”.
Sie führen dagegen an, wenn mit x und y gerechnet werden solle, würden wieder zwei Zahlen gebraucht. Das geht über Ihre falsche Kurzfassung “wie viele Zahlen man braucht” bereits hinaus, insofern: gut so! Nun müssen Sie das Ganze nur noch auf Ihre ungewöhnliche Behauptung, Objekten entspräche “eine Dimension”, anwenden. Das ist nämlich ein ganz analoger Fall (auch wenn es sich beim Inventar nicht um einen ganzen Vektorraum, sondern um ein Gitter handelt). Übertragen Sie Ihr Gegenargument doch mal auf jenen Objekt-Dimensions-Begriff. Auch da gilt schließlich: Zwar kann man formal aufzählbar viele Objektarten als “eine Zahl” zusammenfassen (genau wie bei meinem verschränkten Beispiel). Aber wenn man damit in der Weise rechnen will, die bei einem Inventar möglich ist (Objekt-Sets dazuaddieren [= dem Inventar hinzufügen], Objekt-Sets abziehen [=Objekte entnehmen], die Menge an Objekten vervielfältigen) dann muss man die Objektarten trennen wie in meinem eigenen Inventarbeispiel. Und damit zeigt sich, hier genau wie gerade eben bei Ihrem Gegenargument: die tatsächliche Anzahl der zur Beschreibung nötigen Zahlen ist größer. Im Inventarbeispiel nämlich eine Dimension pro Objektart.
* Ich kann drei reelle Koordinaten nämlich problemlos zu einer einzigen reellen Zahl kombinieren…
Beweisen Sie Ihre Behauptung, und zeigen Sie, wie Sie die Zahlen -0.111, +0.222, -0.333 zu einer rellen Zahl kombinieren.
Vorzeichen sind in der Tat eine Komplikation, die mein bisheriges Rezept nicht mit einschloss. Aber da wir ja, wie bei Ihren Beispielen, auf der Basis von Lexika operieren (sprich: es müssen keine direkten Rechenoperationen möglich sein), kann man auch da einfach eine Konvention treffen. Z.B. dass die erste Stelle vor dem Dezimalpunkt mit ihren Werten von 0 bis 7 die verschiedenen möglichen Vorzeichenkombinationen der drei “Teil-Zahlen” kodiert. Voilà.
Dann ist es aber keine reelle Zahl mehr – auch keine Zahl, mit der Rechenoperationen möglich sind.
Ihre Behauptung war, dass es möglich ist, drei reelle Zahlen zu einer einzigen zu kombinieren. Tatsächlich ist dies eben nicht möglich.
Selbstverständlich ist das Resultat eine reelle Zahl. Es ist aber in der Tat keine Zahl, bei der einfache Rechenoperationen eine einfache und sinnvolle Bedeutung für die drei Ausgangs-Zahlen haben. Das ist exakt dasselbe Problem wie wenn Sie mit einem Lexikon Objekte durch eine einzige Zahl kodieren wollen – Voraussetzung für Ihre “Objekte liefern eine einzige zusätzliche Dimension”. Insofern: Das Beispiel führt die Behauptung ad absurdum, bei Dimensionen ginge es lediglich darum, wie viele Zahlen man zur Beschreibung benötigt. Es geht um mehr (nämlich letztlich um das, was bei Vektorräumen lineare Unabhängigkeit heißt.)
* Selbstverständlich ist das Resultat eine reelle Zahl.
Sie bezeichnen eine Zahl mit drei Vorzeichen als reelle Zahl? Um recht zu behalten führen Sie einfach eine neue Zahlenkategorie ein. Außerdem führt das zu Doppeldeutigkeiten. Wie unterscheiden Sie, ob es sich bei der Zahl 345 um eine normale reelle Zahl handelt oder um eine Zahl mit 3 Vorzeichen?
Die reellen Zahlen bilden einen Körper, in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden können. Das ist mit den +++Zahlen nicht mehr möglich, weil sie kein sinnvolles Ergebnis liefern, wie Sie selbst bestätigen. Sie gehören also nicht zur Menge der reellen Zahlen.
Sorry, aber ich hatte Ihnen ein paar Kommentare weiter oben explizit das Rezept angegeben, wie jene drei reellen Zahlen mit ihren drei Vorzeichen auf eine einzige reelle Zahl abgebildet werden können. Und die Konvention ist nicht doppeldeutig. Der Vorzeichen-Code ist wie gesagt die erste Ziffer vor dem Komma. Nach links schließen sich alternierend die Vorkomma-Stellen der drei Teilzahlen an, nach rechts alternierend die Nachkommastellen.
In Ihrem zweiten Absatz bringen Sie zwei Dinge durcheinander. Mit der resultierenden, kodierten reellen Zahl könnte ich nach wie vor rechnen. Und selbstverständlich ist z.B. 7.111222333 eine reelle Zahl. Das Problem ist, dass jenen Rechnungen keinen einfachen Rechenoperationen auf den zugrundeliegenden Zahlen-Tripeln entsprechen. Ebenso wie beim “Objekt-Lexikon” Ihrer angeblich-nur-einen-zusätzlichen-Objektdimension. Für die Bestimmung der Dimensionen sind beide Kodierungs-Lexika gleich ungeeignet, und Ihre Kurzfassung der zur-Beschreibung-nötigen-Anzahl-von-Zahlen eben auch.
Doppeldeutigkeit:
1.) Die Zahl 345 könnte: eine normale Zahl sein
2.) Die Zahl 345 könnte: eine Zahl mit 3 Vorzeichen sein, bei der die Vorzeichen in die Zahl 5 codiert wurden
Wenn Ihnen also die Zahl 345 vorgelegt wird, wie entscheiden Sie, ob es sich um eine normale Zahl handelt, oder um eine Zahl mit 3 Vorzeichen?
Die *Abbildung* ist eindeutig. Jede der 8 möglichen Vorzeichen-Kombinationen ist ja als Ziffer von 0 bis 7 kodiert. Jede Dreier-Kombination die auf diese Weise zustandekam ist eindeutig wieder in die drei einzelnen Zahlen zerlegbar, ohne Doppeldeutigkeit.
Dass Lexika dieser Art immer Konvention sind, und man Konventionen natürlich auch anders wählen kann – geschenkt, das ist offensichtlich. Und war ja z.B. bei der ursprünglichen Farb-Codierung, die Sie für die Argumentation “Objektbeschreibungen sind eindimensional” angeführt hatten, auch so, und bei der Zahl-Objekt-Zuordnung die Sie dann in der zweiten Beschreibung angeführt hatten. Genau gegen diese Ihre Argumentation ist ja mein reelle-Zahl-Gegenbeispiel gerichtet. Wenn sich Ihr Doppeldeutigkeits-Einwand also darauf bezieht: Herzlichen Glückwunsch, Sie haben meinen Einwand nachvollzogen; nächster logischer Schritt wäre, dass Sie endlich Ihre (jetzt ja bereits mehrmals ad absurdum geführte) Objekte-sind-eine-einzige-Dimension-Behauptung fallenlassen.
* Beim Universum verwende ich … nicht bloß den Vektorraum-Dimensionsbegriff sondern einen geometrischen Dimensionsbegriff.
Der Dimensionsbegriff von Vektorräumen kann beim Universum nicht angewendet werden. Dieser Begriff gilt nur für Vektorräume. Das Universum in seiner Gesamtheit ist aber kein Vektorraum, da es diskrete Objekte enthält. Warum die Anwendung des Dimensionsbegriffs ein falsches Ergebnis liefern würde, möchte ich an einem Beispiel demonstrieren:
Man könnte zum Beispiel auch beim Inventar versuchen, die Anzahl der Dimensionen mit dem Vektorraum-Begriff zu bestimmen. Das Ergebnis wäre, dass das Inventar 0 Dimensionen besitzt, weil es nirgendwo ein Vektorraum ist. Dass dieses Ergebnis nicht richtig ist, erkennen Sie. Ein ebenso unrichtiges Ergebnis ergibt sich, wenn man diesen Begriff auf das Universum anwendet.
Daher die Frage: Warum wenden Sie beim Universum den Dimensionsbegriff von Vektorräumen an, obwohl es kein Vektorraum ist?
Dafür gibt es geeignete mathematische Beschreibungsformen. Im allgemeinen gekrümmten Fall, mit einer gekrümmten Raumzeit, ist der geeignete mathematische Begriff der der Mannigfaltigkeit. Die sieht lokal so aus wie eine flache Raumzeit (und Regionen darin lassen sich entsprechend mit jeweils vierdimensionalen Koordinatenkarten beschreiben); Vektorräume sind dabei an jedem Punkt “angeschmiegte” sogenannte Tangentialräume.
Aber das sind schon recht fortgeschrittene Themen. Reden wir doch erstmal weiter über die einfachen Missverständnisse bei Ihnen, wie das was ich hier angesprochen habe. Zumal Sie ja auch in Ihrem letzten Kommentar offenbar wieder Schwierigkeiten mit meinem Inventar-Beispiel haben. Eins nach dem anderen, und am besten das Einfache zuerst.
Antwort auf Ihren Beitrag vom 01.07.2024, 11:11 Uhr
* Ist Ihnen an dieser Beschreibung und bei diesem grundlegenden Unterschied etwas unklar?
Die Beschreibung ist klar, den grundlegenden Unterschied sehe ich ebenfalls. Allerdings: Ihr Einwand beruht auf der irrigen Annahme, dass im Objektraum die gleichen mathematischen Gesetze zu herrschen haben wie in Raum und Zeit. Woher nehmen sie diese Erkenntnis? Die Natur selbst führt vor, dass nicht gilt: Motorrad + Auto = Flugzeug. Sie wendet hier eine andere Mathematik an. Ich gehe im Folgenden noch genauer darauf ein.
* Wenn das Inventar (jeweils untereinander identische) HB-Bleistifte, Kugelschreiber und Schreibblöcke umfasst…
Zunächst möchte ich die Frage klären: Müssen die Elemente, welche eine Dimension bilden physikalisch identisch sein?
Die Antwort lautet: Nein, müssen sie nicht. Aber: alle Elemente, die eine Dimension bilden, müssen genau eine Eigenschaft besitzen, die sie gemeinsam haben.
Dazu ein Beispiel: Wir haben einen Raum mit Büchern, Kalendern und Bildern. Die Bücher können alle unterschiedlich sein, trotzdem können sie aufgrund der Eigenschaft “Bücher zu sein”, zu einer Dimension zusammengefasst werden. Auch die Kalender können alle unterschiedlich sein, dennoch können wir sie aufgrund der Eigenschaft “Kalender zu sein”, zu einer Dimension zusammenfassen. Dasselbe gilt auch für die Bilder. Wir können also sagen, dass der Inhalt des Raumes 3-dimensioal ist, obwohl Bücher, Kalender und Bilder alle unterschiedlich sind. Die Rechenoperationen funktionieren natürlich auch: 3 Bücher + 4 Bücher = 7 Bücher
(Selbst wenn die Elemente einer Dimension physikalisch identisch sind, wie etwa die Punkte eines Raumes, so sind sie es spätestens dann nicht mehr, wenn ihnen durch ein Koordinatensystem Zahlen zugeordnet werden. Da gibt es dann keine zwei gleichen Punkte mehr. Genau so gibt es keine zwei gleichen Zeitpunkte und auch keine zwei gleichen Objekte mehr. Sie unterscheiden sich alle durch die zugeordnete Zahl.)
Genauso gehen wir beim Universum vor: Hier sortieren wir die Dinge nach den Eigenschaften “Raum zu sein”, “Zeit zu sein” und “Objekt zu sein”. Objekte werden also aufgrund dieser Eigenschaft zu einer Dimension zusammengefasst. Wie die Objekte physikalisch realisiert sind, spielt dabei keine Rolle. Auch hier funktionieren die Rechenoperationen: 2 Objekte + 5 Objekte = 7 Objekte.
* Denn dieser Dimension entspricht eben kein echter Zahlenraum, sondern das was in den Computerwissenschaften ein Lexikon wäre: “1” wäre ein Bleistift, “2” wäre ein Kugelschreiber, und Rechenoptionen (Addition, Subtraktion, Multiplikation) sind auf jenem Lexikon überhaupt nicht definiert.
Es ist richtig, dass die Objekt-Addition: Motorrad + Auto = Flugzeug nicht funktioniert. Das muss sie aber auch nicht. Der Objektraum ist kein Vektorraum, die Rechenoperationen dort werden anders aussehen als bei Raum und Zeit. Eine zukünftige Theorie von Allem wird nicht nur Raum und Zeit, sondern auch Objekte (z.B. mögliche Grundbausteine) darstellen, wird also mindestens auf dem 5er Tupel (x,y,z,t,objekt) operieren. (Ich lasse in den Erklärungen quantenmechanische Erkenntnisse, wie etwa die Heisenbergsche Unschärfe, Welleneigenschaften von Teilchen, Statistik usw. weg, sonst wird es einfach zu kompliziert. Es geht nur um eine Erklärung im Prinzip.)
Wie der Raum dazu mathematisch im Detail definiert wird, oder wie die Rechenoperationen innerhalb der Dimensionen auszusehen haben, ist Aufgabe dieser zukünftigen Theorie. Es kann zum Beispiel auch sein, dass es im Objektraum überhaupt keine Mathematik oder eine Veränderung gibt, so wie zum Beispiel beim Schachspiel. Das Objekt König (x,t,könig) verändert sich nicht. Analog dazu könnte eine TOE einfach nur berechnen, wie Objekte durch Raum und Zeit wandern. Nachdem sich aber Elementarteilchen – zum Beispiel Elektron und Positron gegenseitig vernichten, könnte es im Objektraum eine Mathematik geben, welche auch diese Operation beschreibt. Diese Mathematik muss nicht der von Vektorräumen entsprechen, wie Sie fordern. Wie das im Detail auszusehen hat, überlasse ich Leuten, die mehr Zeit haben als ich.
Im Moment und auf dieser Webseite geht es nur darum, die Anzahl der Dimensionen zu bestimmen. Und das ist möglich, ohne sich auf mathematische Theorien beziehen zu müssen.
Wie Sie hier hin und her mäandern zeigt doch recht deutlich, dass Sie hier kein konsistentes Konzept haben. Vorher war die Dimensionen-Anzahl bei Ihnen noch die Anzahl der zur Beschreibung nötigen Zahlen. Jetzt lassen Sie im Gegenteil das “zur Beschreibung nötig” komplett fallen und es geht nur noch um vereinzelte Eigenschaften, die mitnichten vollständig beschreiben, worum es geht. Und eine direkte Antwort, was Sie meinen, wenn Sie “Dimension” sagen, vermisse ich auch nach wie vor. Ich sehe bei Ihnen nur vage Analogien, und dort, wo die Analogie nicht hinkommt weichen Sie auf jeweils neue Beschreibungen aus. Ich habe jetzt länger versucht, Ihnen die verschiedenen Probleme aufzuzeigen, aber sehe nicht, dass wir damit irgendwie vorankämen – bzw. dass Ihren Behauptungen ein konsistenter und sinnvoller Dimensionsbegriff zugrunde läge.
* Und eine direkte Antwort, was Sie meinen, wenn Sie “Dimension” sagen, vermisse ich auch nach wie vor.
Es wäre an Ihnen gelegen, eine solche Definition zu liefern. Sie haben ja die Webseite mit dem Thema Dimension ins Netz gestellt und hätten klarstellen müssen, auf Basis welchen Dimensionsbegriffes das Thema behandelt werden soll.
Tatsächlich geben Sie nur an: Anzahl der nötigen Zahlen = Anzahl der Dimensionen.
Das sagt nichts darüber aus, was unter dem Begriff “Dimension” zu verstehen ist. In meinem Beitrag (12.06.2024) habe ich darauf aufmerksam gemacht und gefragt, wie Sie den Begriff “Dimension” definieren. Anstatt dass Sie eine direkte Antwort geben, verweisen Sie auf ein Folgeposting, wo Sie anhand von Grillsets erklären, wie “Dimensionen in einem Vektorraum funktionieren”. Was Sie unter dem Begriff Dimension verstehen, weiß ich immer noch nicht.
Warum haben Sie im Video den Begriff “Dimension” nicht definiert? Wäre das nicht das erste, was notwendig gewesen wäre? Wie Sie sehen erzeugt die Nicht-Definition einiges an Missverständnissen. Nicht nur in dieser Diskussion, sondern auch beim Zuseher.
Also: Wie definieren Sie den Begriff “Dimension”?
Meine Definition von “Dimension” ist der von “Typ” oder “Kategorie”. Zum Beispiel: In einem Raum gibt es 3 Typen von Dingen: Bücher, Kalender und Bilder, das macht 3 Dimensionen. Oder: Im Raum gibt es 3 Kategorien von Dingen, Äpfel, Birnen und Orangen, das macht 3 Dimensionen. Oder: Ein Raum bietet die Möglichkeit, entweder rote, grüne oder blaue Objekte zu entnehmen – der Raum hat also 3 Freiheitsgrade, das macht 3 Dimensionen.
Oder allgemeiner: Anzahl der verschiedenen Dinge = Anzahl der Dimensionen. Es muss aber klar sein, nach welchen Eigenschaften die Verschiedenheit festgestellt wird.
* Ich sehe bei Ihnen nur vage Analogien, und dort, wo die Analogie nicht hinkommt weichen Sie auf jeweils neue Beschreibungen aus. Ich habe jetzt länger versucht, Ihnen die verschiedenen Probleme aufzuzeigen, aber sehe nicht, dass wir damit irgendwie vorankämen.
Keine Sorge. Ich werde hier vielleicht noch 3 oder 4 Beiträge schreiben, dann sind Sie mich wieder los.
Noch einmal: Mein Video ist populärwissenschaftlich. Ich habe darin versucht zu veranschaulichen, was es mit unterschiedlichen Dimensionen auf sich hat – den Begriff “lineare Unbhängigkeit” über das Inventar-Beispiel, den Begriff geometrischer Dimensionen (den Sie ja aber in unserem ganzen Austausch hier komplett beiseitelassen) über Rotationen (soweit ich erinnere zumindest; ich sehe mir das Video jetzt nicht noch einmal an). Mit den Zuschauer*innen direkt mathematische Definitionen durchzuarbeiten ist ein höheres Niveau, als ich es hier anstrebe. Daraus folgt aber eben leider auch: Alleine die Informationen im Video sind nicht ausreichend, damit Sie selbst mathematische Schlüsse ziehen können. Sie versuchen aber irgendwie beides – allein auf Basis des Videos neue Eigenschaften von Dimensionen abzuleiten und bestimmte Aussage zu be- bzw. widerlegen. Das geht auf Basis des Videos, wie ja viel allgemeiner auf Basis populärwissenschaftlicher Darstellungen, nicht. Damit gehen Sie über das Populärwissenschaftliche hinaus; wenn Sie das wollen, führt aber leider kein Weg daran vorbei, dass Sie sich erst selbst das Wissen aneignen, das die Lücke zwischen Populärwissenschaft und den betreffenden Gebieten der mathematischen Wissenschaft füllt. Alleine aufgrund vagen Verständnis-Bausteinen aus einem populärwissenschaftlichen Video drauf los beweisen und ableiten zu wollen ist zum Scheitern verurteilt – Beispiele dafür bieten Ihre früheren Kommentare hier ja reichlich.
Ihre “Definition” via Typ und Kategorie trifft es leider nicht. Das können Sie ja direkt daran sehen, dass sonst jedes Gebilde aus “Punkten” eindimensional wäre – ein “Punkt” ist ja nur ein Typ von geometrischem Objekt. Der Unterschied zwischen Linie (1D), Flöche (2D) und Raum (3D) wäre dann komplett futsch. Ihr Äpfel-Birnen-Orangen-Beispiel ist in der Tat ein vereinfachtes Beispiel auf ähnlichem Niveau wie meine Inventar-Veranschaulichung – und wie Sie richtig sagen: auf dieser vereinfachten Ebene entsprächen Äpfel-Birnen-Orangen drei Dimensionen. Das war ja, wenn Sie oben anschauen, einer meiner ersten Einwände gegen Ihre Behauptung, für die Angabe von Objekten im Raum würde eine zusätzliche Dimension genügen. Wie Sie hier selbst richtig sagen: Nein, sondern das mindeste wäre eine Dimension pro “Objekttyp” – Apfel, Birne, Orange, oder wie in Ihrezweiten Beispiel rot, grün, blau. Und selbst das sind ja noch stark veinfachte Angaben.
Wenn Sie diese Schiene weiterverfolgen, dann landen Sie (wie ja auch in meinen ersten Antworten an Sie beschrieben) bei so etwas wie Zustands- oder Phasenräumen. Und ja, die resultierenden Systeme sind dann auf alle Fälle höherdimensional. Denn, wie auch schon mehrmals gesagt: Die Aussage, unser Universum sei vierdimensional, bezieht sich ja gerade nicht auf solche Phasen- oder Zustandsraumbeschreibungen, sondern auf geometrische Dimensionen. Die, wie auch schon erwähnt, die zusätzliche Eigenschaft haben, dass sie durch Transformationen ineinander überführbar sind, ohne das sich etwas an der Geometrie ändert.
Eine Anmerkung von mir: In meinem letzten Posting habe ich Sie zum wiederholten male gefragt, wie Sie den Begriff “Dimension” definieren. Obwohl ich Ihre Fragen beantworte, sind Sie dazu nicht bereit. Leider zieht sich auch das wie ein roter Faden durch die Diskussion. Ich habe seit langem den Eindruck , dass Sie genau dann, wenn es um wichtige Dinge geht, klare Aussagen vermeiden. Das beginnt schon damit, dass Sie nicht korrekt zitieren, so das nie ganz klar ist, auf welche meiner Aussagen Sie sich eigentlich beziehen. Einen solchen Diskussionsstil wählt man, wenn man so vage wie möglich bleiben will, und nicht auf Aussagen festgelegt werden will.
* … den Begriff geometrischer Dimensionen (den Sie ja aber in unserem ganzen Austausch hier komplett beiseitelassen).
Ihren wiederholten Hinweis darauf, dass Dimensionen geometrisch sein müssen habe ich ignoriert, weil der Dimensionsbegriff nicht auf Geometrie beschränkt ist. (Z.B. kann von Dimensionen eines Farbraumes gesprochen werden). Warum pochen Sie beim Universum darauf, dass es geometrische Dimensionen sein müssen? Im realen Universum ist nur der Raum geometrisch. Weder ist die Zeit etwas geometrisches noch wird die Materie als geometrisch betrachtet.
* Ihre “Definition” via Typ und Kategorie trifft es leider nicht. Das können Sie ja direkt daran sehen, dass sonst jedes Gebilde aus “Punkten” eindimensional wäre – ein “Punkt” ist ja nur ein Typ von geometrischem Objekt. Der Unterschied zwischen Linie (1D), Fläche (2D) und Raum (3D) wäre dann komplett futsch.
Logikfehler. Um die Dimensionen von Räumen zu bestimmen, wird nicht nach dem Punkt-Typ gefragt, sondern nach der Anzahl der Richtungen. Ein Beispiel: Wie viele Dimensionen hat der 3D Raum? In diesem Raum gibt es 3 Typen von Richtungen, nämlich die x, y und z Richtung, also ist er 3-dimensional.
* Die Aussage, unser Universum sei vierdimensional, bezieht sich … auf geometrische Dimensionen. Die, wie auch schon erwähnt, die zusätzliche Eigenschaft haben, dass sie durch Transformationen ineinander überführbar sind …
Sie versuchen, die Dimensionsfrage auf Basis der RT zu lösen. Das ist der Grund, warum Sie darauf bestehen, dass Dimensionen geometrisch sein müssen, oder dass es nur dann wirkliche Dimensionen sind, wenn sie durch die Lorentz-Transformation ineinander überführbar sind, usw.
Nur: gerade das Inventarbeispiel zeigt, dass auch dann mathematisch korrekt von Dimensionen gesprochen werden kann, wenn sie
* nicht geometrisch sind
* nicht durch Transformationen ineinander überführt werden können
* nicht auf einem Vektorraum basieren
* nicht die mathematischen Rechenoperationen von Vektorräumen möglich sind.
All diese Dinge haben mit dem Dimensionsbegriff offensichtlich nichts zu tun. Trotzdem pochen Sie darauf. Warum?
Beim Inventar gehen Sie so vor: Es gibt 4 verschiedene Dinge, daher ist es 4-dimensional.
Erklären Sie, warum sie beim Universum nicht auf die gleiche Weise vorgehen. Wozu brauchen Sie die RT?
Schöne selbstrechtfertigende Geschichte, die nur leider daran krankt, dass ich ja im Gegensatz zu Ihnen gar nicht auf einen persönlichen Dimensionsbegriff hinauswill, sondern Standardbegriffe aus der Mathematik verwende: Vektorraum-Dimensionen zum einen, geometrische Dimensionen (die sich in der Anzahl der Koordinaten bei Karten und der Dimension der Tangentialräume niederschlagen) andererseits. Diese Information hatte ich jetzt schon mehrmals geliefert. Und die Literatur im Netz ist ja nun wirklich umfangreich. Wenn Sie sich da hätten einlesen wollen, hätte es dafür viele Quellen geben können.
Beim Universum poche ich auf nichts, sondern habe nur darauf hingewiesen: geometrische Dimensionen waren bei meiner Antwort auf die Frage, wie viele Dimensionen das Universum habe, gemeint. Dass man alternativ Phasen- oder Zustandsraumdimensionen zählen kann, hatte ich ja ebenfalls seit ganz am Anfang eingeräumt. Allerdings hängen jene Dimensionen dann jeweils von den betrachteten Systemen ab. Die vier geometrischen Dimensionen sind *immer* dabei. Da ist die Kurzform, das seien die Dimensionen “des Universums” (und alles weitere Beschreibungen des Inhalts des Universums) sehr natürlich und naheliegend.
Zum angeblichen Logikfehler: Nein, das war lediglich wieder ein Gegenbeispiel zu der Variante, die Sie in jenem Kommentar (Sie sind da ja leider recht wechselhaft und nicht immer widerspruchsfrei) behauptet hatten. Und das Gegenbeispiel zeigt, wo Ihr damaliger Begriff mit “Typen” eben zu kurz greift. Wie Sie ja jetzt indirekt selbst zugeben: Beim Raum spielt die Anzahl der Richtungen, konkreter müsste man sagen: unabhängigen Richtungen eine Rolle. Womit wir schon fast bei den geometrischen Dimensionen sind, die Sie bis auf diesen letzten Kommentar so standhaft ignoriert haben.
Zu den vier Dimensionen: In der Tat, meine Aussage bezieht die Erkenntnisse der Relativitätstheorien ein. Die entsprechenden Experimente zu Raum und Zeit zeigen ja sehr deutlich, dass sich das Universum nach den Regeln der Relativitätstheorien richtet. Was gleichzeitig heißt, dass es keine natürliche Trennung der Raumzeit in Raum und Zeit gibt. Die “Bühne” für die Inhaltsstoffe ist vierdimensional.
Dass das Inventarbeispiel “nicht auf einem Vektorraum basieren” würde ist übrigens falsch. Jedes Inventar dieser Art ist letztlich ein Gitter im N-dimensionalen euklidischen Raum.
“Erklären Sie, warum Sie beim Universum nicht auf die gleiche Weise vorgehen” – es sind schlicht verschiedene Begriffe. Dass es *auch* die Möglichkeit von Zustands- oder Phasenraumbeschreibungen gibt, schreibe ich ja so ziemlich seit meiner ersten Antwort auf Sie hier. Insofern tun Sie bitte nicht so, als wäre das eine neue Erkenntnis, zu der Sie mich hier bringen würden. Das sind zwei unterschiedliche Arten von Dimensionen, die man dem Universum zuordnen kann – wobei die Zustands- bzw. Phasenraumdimensionen-Anzahl unbestimmbar ist, die Zahl der geometrischen Dimensionen ist die der Raumzeit, nämlich vier.
Und, auch wenn das in Ihrem letzten Kommentar gar nicht mehr vorkommt: Das “Objekte definieren eine einzige Zusatzdimension” was Ihnen früher so wichtig war, ist weder geometrisch noch als Phasen-/Zustandsraumbeschreibung sinnvoll.
Die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit kann auf einfache Weise ermittelt werden:
Für den Raum werden 3 unabhängige Zahlen benötigt und für die Zeit 1 Zahl, das macht in Summe 4 Zahlen (x,y,z,t) also ist die Raumzeit 4-dimensional.
Warum benötigen Sie zur Bestimmung der Dimensionen der Raumzeit die Relativitätstheorie?
Wegen des (nun ja schon sehr oft in Antworten auf Sie erwähnten) Unterschieds von Vektorraum-Dimensionen und geometrischen Dimensionen. Die Relativitätstheorie ist ja erst diejenige Theorie, die uns sagt, warum jene vier Dimensionen nicht einfach eine unzusammenhängende Sammlung von 3 Raumdinensionen, eine Zeitdimension” sind sondern tatsächlich ein einheitliches vierdimensionales Gebilde. Weil jene Dimensionen sich eben nicht in eindeutiger, beobachterunabhängiger Weise in Raum und Zeit aufteilen lassen, sondern Boosts die Raum- und Zeitdimensionen so miteinander “mischen” wie es reguläre Drehungen ja bereits beim Raum selbst tun.
Diese Einheitlichkeit – die bei Phasen- bzw. Zustandsraumdimensionen gerade nicht gegeben ist – macht es letztlich ja so natürlich, davon zu reden, unser Universum habe vier Dimensionen. Weil jene vier Dimensionen eben tatsächlich eine Einheit bilden und damit eben mehr als eine bloße Zusammenstellung von “wie viele linear unabhängige Basisvektoren benötige ich zur Beschreibung” sind.
Bevor ich mich verabschiede, gibt es doch noch etwas, das mich interessiert.
Sie haben mir vorgeworfen, ich würde Hinweise auf geometrische Dimensionen ausblenden. Ich möchte daher einmal näher darauf eingehen. Sie behaupten, das Universum sei 4-dimensional, und meinen, dass die Dimensionen geomterisch sein müssen. Ich sehe nur 3 geometrische Dimensionen, nämlich die des geometrischen Raumes.
Erklären Sie, wo die 4te geometrische Dimension sein soll.
(Die Zeit kann es nicht sein, denn die ist nicht geometrisch. Zeit wird mit der Uhr gemessen und nicht mit dem Meterstab. Das hatten wir bereits geklärt.)
Doch, ganz genau darum geht es: die vier geometrischen Dimensionen gehören zur Raumzeit, und die Raumzeit besitzt eine eigene Geometrie. Und umgekehrt wird ein Schuh daraus: Unser Universum verhält sich so, dass es gar keinen universellen Gleichzeitigkeitsbegriff gibt, der es Ihnen erst ermöglichen würde, in der Raumzeit beobachterunabhängig so etwas wie “den dreidimensionalen Raum” zu isolieren. Zumindest im einfachsten Fall, in der Speziellen Relativitätstheorie, sind die Verknüpfungen je einer Raum und einer Zeitdimension (“Boost”) ja auch formal analog zu den Drehungen im dreidimensionalen Raum. Aus mathematische Sicht alles Teil einer großen Transformationsgruppe.
Markus Pössel schrieb (10.07.2024, 12:16 Uhr):
> […] die vier geometrischen Dimensionen gehören zur Raumzeit, und die Raumzeit besitzt eine eigene Geometrie.
Ganz recht: Diese Terminologie ist völlig üblich. Und wie schon erwähnt, wird die “eigene Geometrie” der Raumzeit als “Lichtkegel-Geometrie” bezeichnet, bzw. (in bestimmtem engeren Sinne) als “Lorentz-Geometrie”.
> […] in der Raumzeit beobachterunabhängig so etwas wie “den dreidimensionalen Raum” zu isolieren [geht nicht].
Jede (maximale) Teilmenge von Ereignissen jeder (geeignet gegebenen, allgemeinen) “3+1”-dimensionalen Raumzeit-Region, die alle Paar-weise Raum-artig voneinander getrennt sind, ist “ein dreidimensionalen Raum” (alias “eine 3-dimensionale Raum-artige Hyperfläche der 3+1-dimensionalen Raumzeit-Region”).
Dass verschiedene dieser Raum-artigen Hyperflächen z.B. verschiedene sogenannte Kongruenzen Zeit-artiger Kurven jeweils “orthogonal schneiden”, ändert nichts an der Unveränderlichkeit (Invarianz) der Raumartigkeit jeder einzelnen dieser Raum-artigen Hyperflächen.
> Zumindest im einfachsten Fall, in der Speziellen Relativitätstheorie, sind die Verknüpfungen je einer Raum und einer Zeitdimension (“Boost”) ja auch formal analog zu den Drehungen im dreidimensionalen
… womöglich eher: im zweidimensionalen (?) …
> Raum.
Die “Verknüpfung” (gegenseitiges Ausdrücken als Linear-Kombination) von ungleich gewählten Basisvektor-Paaren, die die selbe 1+1-dimensionale Raumzeit-Region aufspannen, lässt sich wohl ähnlich formalisieren, wie das gegenseitige Ausdrücken als Linear-Kombination von Basis-Vektoren zweier ungleicher Ortho-(normal-)Systeme im selben zweidimensionalen Raum.
Von “Verknüpfung von Dimensionen” muss dabei keine Rede sein. …
p.s.
> […] Unser Universum verhält sich so, dass […]
Dieser (grundsätzlichen) Auffassung ist die (nicht minder grundsätzliche) Auffassung entgegenzusetzen:
— besonders von jenen, die sich immer zuerst darauf festlegen, wie sie ggf. messen würden, bevor sie an bestimmte Messwerte als Ergebnisse des Messens denken.
Markus Pössel schrieb (01.07.2024, 22:21 Uhr):
> […] geeignete mathematische Beschreibungsformen. Im allgemeinen gekrümmten Fall, mit einer gekrümmten Raumzeit, ist der geeignete mathematische Begriff der der Mannigfaltigkeit.
Sofern es um eine geeignete mathematische Beschreibungsform eines Begriffes von “Dimension” geht, genügt (auch) die Beschreibung der gegebenen “Figur” als topologischer Raum, mit entsprechenden (zwei verschiedenen “gängigen”) Begriffen von “topologischer Dimension”.
Eventuelle Charakterisierungen von “Krümmung” sind dabei also entbehrlich.
(Und der womöglich interessanten Frage, ob jeder topologischer Raum, der hinsichtlich jeder seiner offenen Mengen die gleiche topologische (und insbesondere Lebesgue-Überdeckungs-)Dimension aufweist, deshalb garantiert und zwangsläufig eine (topologische) Mannigfaltigkeit ist, ist übrigens auch schon Katie Steckles ausgewichen. …)
> […] und Regionen darin lassen sich entsprechend mit jeweils vierdimensionalen Koordinatenkarten beschreiben
Insbesondere, sofern solchen Koordinatenkarten “die natürliche Topologie” von reellen Quadrupeln (alias: “des ℝ^4”) zugeschrieben würde, und diese Karten anhand dieser Zuordnung dem gegebenen, zu kartierenden topologischen Raum wiederum “(umkehrbar) stetig” (alias: “homöomorph”) zugeordnet werden sollten.
> Vektorräume sind dabei an jedem Punkt “angeschmiegte” sogenannte Tangentialräume.
Die abschreckenden Anführungszeichen sind dabei ganz berechtigt, denn die (auch wörtliche) Forderung an eine Tangente bzw. einen Tangentialraum ist ja (“nur”), dass sie bzw. er die gegebene Figur an jedem Punkt “(sanft) berührt“, ggf. auch “(sanft) durchdringt”, aber keinesfalls “(scharf, im Sinne von: mit endlichem Winkel) schneidet”.
Das Anschmiegen meint dagegen (eigentlich) die strengere Forderung nach gleichen Krümmungsradien, wie sie ggf. insbesondere von einem Schmiege-Kreis (an einen Punkt einer Kurve alias Linie) bzw. einem Schmiege-Ellipsoid (an einen Punkt einer Fläche) erfüllt ist.
Wenn Sie sich einmal den Rest des Austauschs hier anschauen: Das ist alles meilenweit jenseits dessen, was hier vermutlich (hoffentlich) zum Verständnis beitragen kann.
Markus Pössel schrieb (03.07.2024, 18:25 Uhr):
> Wenn Sie sich einmal den Rest des Austauschs hier anschauen:
… das hatte ich auch gestern ja schon deshalb gemacht, um zu entscheiden, was ich alles nicht zitieren und kommentieren würde …
> Das
… gemeint ist sicherlich mein gestriger Kommentar (03.07.2024, 18:02 Uhr) …
> ist alles meilenweit jenseits dessen, was hier vermutlich (hoffentlich) zum Verständnis beitragen kann.
Von wegen “vermutlich (hoffentlich)”:
Mein gestriger Kommentar (03.07.2024, 18:02 Uhr) zitierte und kommentierte ausschließlich Äußerungen von Markus Pössel (und absichtlich-praktischer Weise sogar aus nur einem einzigen Kommentar). Wenn also Markus Pössel diesen Kommentar von mir so weit gelesen und verdaut hat, um darauf öffentlich zu antworten, dann sollte Markus Pössel klipp und klar (also nicht etwa nur “vermutlich (hoffentlich)”) beantworten können, ob mein Kommentar zu Markus Pössels Verständnis beigetragen hat:
“Ja.” oder “Nein.” oder “Weiß nicht.”
Und falls jemand dadurch veranlasst (worden) wäre, selbständig die Begriffe zu recherchieren, die ich zitiert oder in Verbindung damit benutzt habe, bzw. entsprechende Nachfragen stellen wollte, dann nehme ich das billigend in Kauf.
Da Markus Pössel derzeit auf viel elementarerer Ebene in eine Diskussion verwickelt ist, war Markus Pössels Reaktion tatsächlich “Achherrgott, das hier macht die Verwirrung dann wenn noch größer und trägt so gar nichts zu der laufenden Diskussion bei”. YMMV.
Markus Pössel schrieb (01.07.2024, 22:21 Uhr)
* Im allgemeinen gekrümmten Fall, mit einer gekrümmten Raumzeit, ist der geeignete mathematische Begriff der der Mannigfaltigkeit. Die sieht lokal so aus wie eine flache Raumzeit (und Regionen darin lassen sich entsprechend mit jeweils vierdimensionalen Koordinatenkarten beschreiben); Vektorräume sind dabei an jedem Punkt “angeschmiegte” sogenannte Tangentialräume.
Seit Sie erkannt haben, dass der Dimensionsbegriff von Vektorräumen im Universum nicht angewendet werden kann, wollen Sie plötzlich in die ART wechseln. (Im Video waren Sie noch in der SRT).
Leider ändert auch die ART nichts an der simplen Tatsache, dass der Dimensionsbegriff von Vektorräumen in Nicht-Vektorräumen nicht angewendet werden darf – was Sie aber tun. Wenn Sie wollen, können Sie gerne auch noch in die Elektrodynamik wechseln, die ändert auch nichts daran.
Bedauerlicherweise ist das Dilemma noch etwas größer: Denn auch der Raum, auf dem die ART definiert ist, enthält nur Raum und Zeit. Sie argumentieren auf Grundlage dieses Raumes. Die Natur selbst verwendet diesen Raum aber gar nicht, sie verwendet einen anderen, der Objekte enthält.
Mit anderen Worten: Sie argumentieren auf Basis eines Raumes, welcher in der Realität nicht vorkommt. Sie befinden sich nicht mehr innerhalb der Physik.
Die Relativitätstheorie ignoriert ein Drittel der Realität – und zwar die gesamte Materie des Universums. Diese Theorie kann Raum und Zeit darstellen, sie kann aber nicht darstellen, was sich an (x,y,z,t) befindet.
Genau so gut könnten Sie auf Basis einer Theorie argumentieren, in der einfach der Raum weggelassen wird und dann behaupten, das Universum sei zweidimensional (Zeit, Objekt). Auch da befinden Sie sich nicht mehr innerhalb der Physik.
Falls Sie das Beispiel für absurd halten: genau nach diesem absurden Prinzip gehen Sie vor. Damit sind Sie meilenweit jenseits dessen entfernt, was unter Physik verstanden wird.
Wenn Sie die Anzahl der Dimensionen des Universums bestimmen wollen, müssen Sie sich an die Realität halten, und nicht an ein mathematisches Modell, das im Universum nirgendwo vorkommt. Als jemand, der vorgibt, in fortgeschrittenen Themen unterwegs zu sein, sollten Sie das wissen. Davon lassen Sie im Moment jedenfalls nichts erkennen.
Ihre Kombination von steilen Thesen und Behauptungen auf dem Hintergrund von vergleichsweise wenig (Vor-)Wissen lässt unseren Austausch hier schon wieder ins Absurde umschlagen. Und wieder haben Sie meine Erklärung entweder nicht verstanden oder ignoriert – Stichwort Tangentialraum. Das Konzept funktioniert sowohl in der ART als auch in der SRT. Und selbstverständlich hat die (vierdimensionale) Raumzeit in der ART Inhaltsstoffe. Die Einsteingleichungen als Verknüpfung von Energie/Impuls der Materie und der Eigenschaften der Raumzeit hat eine linke und eine rechte Seite 🙂
Insofern: Trotz der meinungsstarken Formulierungen haben Sie anscheinend überhaupt nicht verstanden, worum es bei den Schlüsselkonzepten, die hier eine Rolle spielen – Vektorräume, Relativitätstheorien etc. – geht. Was im Prinzip nicht schlimm wäre. Für fachliche Nachfragen sind Blogkommentarbereiche ja unter anderen dar. Bei Ihnen kommt nun aber leider hinzu, dass Ihr Nichtwissen mit der irrigen, aber festen Überzeugung gekoppelt ist, es besser zu wissen. Das macht die Diskussion hier dann doch sehr zäh.
Und die einfachsten Aspekte, an denen man in diesem Rahmen noch am ehesten gemeinsam klären könnte, was Sache ist – Ihr ursprüngliches Konzept von “Lexikon-kodierten”, also mit Zahlen (oder ganz am Anfang Farben) kodierten Objekteigenschaften, gipfelnd in der (falschen) Behauptung, Objekte entsprächen einer einzigen Zusatz-Dimension – vermeiden Sie in diesem Kommentar ja vollständig.
Insofern sehe ich ehrlich gesagt nicht, wie wir in dieser Diskussion hier noch auf einen grünen Zweig kommen. Das, was an Ihrer eigenen Darstellung falsch ist, ignorieren Sie trotz mehrfacher expliziter Gegenargumente. Dass bei solchem Verhalten keine Erkenntnisfortschritte zu erwarten sind, liegt auf der Hand.
Markus Pössel schrieb (04.07.2024, 11:08 Uhr):
> […] Die Einsteingleichungen als Verknüpfung von Energie/Impuls der Materie und der Eigenschaften der Raumzeit hat […]
Auch um mich selbst einmal in der Erhabenheit elementarer Diskussion zu sonnen, hier eine kleine fachliche Nachfrage dazu:
Verstehen sich diese genannten “Eigenschaften der Raumzeit” zusätzlich zur geometrischen Dimensionalität der (in Betracht stehenden) Raumzeit ? — Etwa vergleichbar zusätzlich, wie im mathematischen Ausdruck “(M^{3+1}, g)” das Symbol “g” zusätzlich zum Symbol “M” auftritt ?
p.s.
Meine größer fachliche Frage, nämlich wie die Konstatierung der betreffenden “Eigenschaften der Raumzeit” (bzw. die Feststellung von Werten “g” usw.) denn konkret auf Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinausliefe, steht dabei (wie öfters) im Schatten.
Da Sie ja zumindest in anderen Kommentaren Ihr Vorwissen durch ausgiebige Benutzung von Fachtermini sehr deutlich machen, und da ich deswegen davon ausgehe, dass Sie genau wissen, welche Größen die Einsteingleichungen miteinander verknüpfen, wundert mich die Nachfrage. Denn dass da nicht steht “Dimensionszahl = (irgendetwas anderes)” sondern dass da eine geeignete Krümmungsgröße mit dem Energie-Impuls-Tensor gleichgesetzt wird, wird Ihnen dann ja nichts Neues sein. Weswegen ich mich frage, warum ich hier für Sie über ein Stöckchen springen soll und was das bringt.
Markus Pössel schrieb (04.07.2024, 21:57 Uhr):
> […] die Einsteingleichungen […] dass da nicht steht “Dimensionszahl = (irgendetwas anderes)” sondern dass da eine geeignete Krümmungsgröße mit dem Energie-Impuls-Tensor gleichgesetzt wird
Ganz recht.
Dabei sind wir (einschl. SciLog-Kommentariat-Geselle “Reality”) ja vermutlich/hoffentlich darin einig, die (jeweils in Frage kommende “geometrische”) “Dimensionszahl” (bzw. –Signatur) auch als eine bestimmte “Eigenschaft” einer bestimmten (geeigneten) Mannigfaltigkeit bzw. einer bestimmten (realen, oder erdachten) geeigneten Ereignismenge alias Raumzeit-Region zu bezeichnen.
Und außerdem gibt es (bekanntlich) etliche verschiedene Krümmungsgrößen, die (bzw. jeweils deren konkrete Werte) ausdrücklich schon im obigen Kommentar (Markus Pössel 04.07.2024, 11:08 Uhr), im Fall-Beispiel des Einstein-Tensors als einer bestimmten Krümmungsgröße, ebenfalls als “Eigenschaften der Raumzeit” bezeichnet wurden.
> […] wundert mich […]
Was ich in der Konsequenz nahezulegen versuchte, ist die Möglichkeit, diejenigen “Eigenschaften der Raumzeit”, die ausdrücklich nicht deren geometrische Dimensionszahl bzw. -signatur an sich sind (sondern die stattdessen insbesondere mit Krümmungsgrößen und deren Werten zu tun haben), trotzdem auch als “(abstrakte Index-)Dimension” aufzufassen und zu bezeichnen;
und somit womöglich gewisses Verständnis für “Reality”s obige Formulierungen zu erlangen. (Kaum verwunderlich, wie rasch man mit derlei Absichten gegen die sprichwörtliche Wand fährt. …)
> […] warum ich hier für Sie über ein Stöckchen springen soll
Warum so persönlich nehmen ? — Sollen doch diejenigen springen, die springen wollen ! (Und dann womöglich auch selbst mal Stöckchen halten.)
Wenn Sie mich persönlich ansprechen, ist es per Definitionem persönlich; überraschend, dass jemand wie Ihnen der ansonsten so viel auf genaue Ausdrucksweise gibt, das nicht auffällt 🙂
Aber ich lasse an dieser Stelle dann gerne hier in den Kommentaren springen, wer mag.
* Stichwort Tangentialraum. Das Konzept funktioniert sowohl in der ART als auch in der SRT.
Sie sprechen neuerdings nicht nur vom Tangentialraum sondern auch von gekrümmter Raumzeit, Mannigfaltigkeiten, vierdimensionalen Koordinatenkarten usw. Sie haben tatsächlich die Flucht in die ART angetreten.
* … auf dem Hintergrund von vergleichsweise wenig (Vor-)Wissen lässt unseren Austausch hier schon wieder ins Absurde umschlagen.
Weil Sie von wenig Wissen und Absurditäten sprechen: In Ihrem Versuch, meine Aussagen zu widerlegen, machen Sie folgende fragwürdige Behauptung: MP: Ich kann drei reelle Koordinaten nämlich problemlos zu einer einzigen reellen Zahl kombinieren….
Wenn Sie die Zahlen -11, +22, -33 kombinieren, erhalten Sie eine Zahl mit 3 Vorzeichen, nämlich -+-123123. Bereits hier hätte Ihnen auffallen müssen, dass mit der Zahl etwas nicht stimmen kann. Anstatt zurückzurudern und zuzugeben, dass Sie sich geirrt haben, machen Sie aber weiter – Zahlen mit 3 Vorzeichen sind für Sie kein Problem.
Erklären Sie doch mal: Steht die Zahl -+-123123 auf der Zahlengeraden links der 0 oder rechts davon? Eine Antwort darauf muss es geben, später behaupten Sie ja, dass es eine reelle Zahl ist.
Sie machen den Vorschlag, die Vorzeichen in eine Ziffer zu codieren und sie dem Komma voranzustellen. Wenn wir für plus=0 und minus=1 setzen, dann erhalten wir die Zahl 1231235. Man beachte, dass diese Zahl immer noch drei Vorzeichen hat. Tatsächlich handelt es sich um die Zahl 123123, die Ziffer 5 steht für die drei Vorzeichen (-+-).
Auf meinen Hinweis, dass es sich bei 1231235 nicht mehr um eine reelle Zahl handelt schreiben Sie im Vollton: Selbstverständlich ist das Resultat eine reelle Zahl.
Wenn das Resultat eine reelle Zahl ist, dann bedeutet das, dass sie zur Menge der reellen Zahlen IR gehört. Wir haben dann die leicht absurde Situation, dass es in IR zwei Typen von Zahlen gibt: Normale Zahlen und Zahlen mit 3 Vorzeichen.
Auch das ist für Sie kein Problem.
Auf meinen Hinweis, dass es Doppeldeutigkeiten gibt, weil z.B. die Zahl 345 in IR zweimal vorkommt, einmal als normale Zahl und einmal als Zahl mit 3 Vorzeichen, schreiben Sie am Thema vorbei: … die Konvention ist nicht doppeldeutig… . Sie haben also noch nicht mal das Problem verstanden.
Ich verzichte auf den Rest.
Mein Vorschlag: Posten Sie Ihre neu Erfindung der reellen Zahlen mit drei Vorzeichen doch mal auf einem Mathe-Forum und hören sich an, was die Leute dazu sagen. Da erklären Ihnen dann Mittelschüler, wie der algebraische Zahlkörper funktioniert. Hier im Blog diskutieren wir nur zu zweit, da steht Aussage gegen Aussage, da können Sie alles behaupten. Wenn Ihnen mehrere Leute in einem Forum sagen, dass das, was Sie machen, mit Wissenschaft nichts mehr zu tun hat, dann sehen Sie es vielleicht auch ein.
Tangentialraum: Keine Flucht in die ART, denn in der SRT ist die Situation ja im Gegenteil noch einfacher. In beiden Fällen ist Ihre Behauptung, dort gäbe es gar keine an Vektorräume anschließende Dimensions-Definition, falsch. Und mit “Tangentialraum” haben Sie auf alle Fälle das richtige Stichwort, um sich das z.B. in einem Mathe-Forum von anderen erklären zu lassen, wenn Sie das von mir aus irgendwelchen Gründen nicht akzeptieren können.
Zu den drei Vorzeichen: Gehen Sie doch mal alleine mit der Aussage “dass es sich bei 1231235 nicht mehr um eine reelle Zahl handelt” in ein Matheforum; ich denke, falls Sie da ob so einer offensichtlich falschen Aussage nicht gleich als Troll eingestuft und verbannt werden, findet sich sicher jemanden, der Ihnen erklärt, dass das selbstverständlich eine reelle Zahl ist. Und wenn Sie die dann zu Ihrer Verteidigung die näheren Umstände erwähnen findet sich vielleicht jemand, der Ihnen erklärt, dass Abbildungen in die Menge der reellen Zahlen im Allgemeinen eben nicht linear sein und nicht die entsprechenden Rechenoperationen respektieren müssen.
Was Sie als “dass es in IR zwei Typen von Zahlen gibt” bezeichnen, wird dann vielleicht auch ein freundlicher Antwortender aufklären. Es ist nämlich noch schlimmer! Es gibt in IR überabzählbar viele solche “Typen von Zahlen”, wenn Sie mit “Typ von Zahlen” die Bildmengen beliebiger Abbildungen meinen. :-/
Ansonsten aber faszinierend, wie Sie hier den entscheidenden Umstand ausblenden, dass nämlich die Eigenschaft, eben nicht linear in den Argumenten zu sein, ja gerade das war, was meine Zahlen-Abbildung zu einem Gegenbeispiel zu Ihrer Dimensionsbehauptung macht. Diese Verbindung zu Ihrer eigenen Argumentation ist Ihnen offenbar vollständig verlorengegangen. Obwohl ja eigentlich das, was Sie hier absurd finden (auch wenn Sie das wegen Ihrer Begriffsverwirrung zwischen IR und Abbildungen auf IR fälschlicherweise als sogar mathematisch falsch sehen) genau das ist, was Ihre ursprüngliche (sinngemäß zusammengefasste) Behauptung “Objekt-Kodierungsmöglichkeiten zeigen, dass ‘Objekt’ eine einzige zusätzliche Dimension ist” ad absurdum führt.
Aber das mit dem Mathematik-Forum ist eine gute Idee. Gehen Sie doch mit Ihren ursprünglichen Behauptungen zur Dimensionalität und insbesondere zu (sinngemäß) “durch Objekt-Spezifizierung kommt eine einzige Dimension hinzu” in ein solches Forum und schauen Sie, ob irgendjemand dort nachvollziehen kann, was Sie behaupten. Bei meinen Gegenargumenten scheinen Sie ja direkt auf Durchzug zu schalten; vielleicht haben Sie weniger Schwierigkeiten, die Einwände anzunehmen, wenn sie nicht gerade von mir kommen.
Zurück zur Sachlichkeit.
Ihre Behauptung war: “Ich kann drei reelle Koordinaten nämlich problemlos zu einer einzigen reellen Zahl kombinieren”. (Sie wollen damit andeuten, dass es möglich ist, einen Ort durch nur eine reelle Zahl anzugeben.)
Wenn die Zahlen (-11, +22, -33) kombiniert werden, ergibt sich eine Zahl mit 3 Vorzeichen, nämlich -+-123123. Eine Zahl mit 3 Vorzeichen ist keine reelle Zahl. Damit ist Ihre Behauptung widerlegt, und das Thema ist beendet.
Ihr Vorschlag, die 3 Vorzeichen in eine Ziffer zu codieren ändert daran auch nichts. Wir hätten dann die Äquivalenz
-+-123123 = 123123(-+-) = 123123(101) = 123123(5)
Die Ziffer 5 gehört nicht zum Zahlenwert von 123123 sondern codiert nur die Anzahl der Vorzeichen. Es ist also immer noch eine Zahl mit 3 Vorzeichen. Auf meinen Hinweis, dass es sich bei 123123(5) = 123123(-+-) nicht um eine reelle Zahl handelt schreiben Sie: “Selbstverständlich ist das Resultat eine reelle Zahl”.
?
Sollte Ihr Vorschlag im Sinne einer Chiffrierung gemeint gewesen sein, dann bringt das auch nichts. Das Gebilde -+-123123 mit einer Methode in 1231235 zu verwandeln ist nur eine Verschlüsselung. Mit diesem Ergebnis kann nicht gerechnet werden. Wenn z.B. der “3D Vektor” 1231235 in ein Koordinatensystem gezeichnet werden soll, dann muss wieder entschlüsselt werden, und es ergibt sich wieder die ungültige Zahl -+-123123.
Die Verschlüsselung und Entschlüsselung ist komplett überflüssig. Sie ändert auch nichts an der Tatsache, dass für die Angabe eines Ortes (x,y,z) weiterhin 3 Zahlen notwendig sind. Wenn Sie einen 3-dimensionalen Vektor zeichnen, verwenden Sie sicher auch 3 Zahlen und nicht eine. Sie wollten aber beweisen, dass ein Ort mit nur einer Zahl angegeben werden kann.
Gerne zurück zur Sachlichkeit. Aus Sicht der Mathematik gilt: Solange ich Ihnen ein eindeutiges Rezept angebe, welche reelle Zahl Sie einem beliebigen Tripel reeller Zahlen zuordnen sollen, definiert das eine Abbildung in die reellen Zahlen. Mathematisch ist das Thema an der Stelle beendet.
Und selbstverständlich kann man mit der resultierenden Zahl rechnen. Das einzige, was nicht mehr geht, ist, die Vektor-Operationen auf dem Zahlentripel (Addition, Malnehmen mit Skalar etc.) als einfache arithmetische Operationen auf der Bild-Zahl umzusetzen. Das ist dann aber eine spezielle Eigenschaft der Abbildung und ändert nichts daran, dass meine Bildmenge eine Untermenge der reellen Zahlen ist.
Last but not least: Jene Schwierigkeiten, die Vektor-Operationen einfach umzusetzen, ist genau das Problem mit dieser Art von “Lexikon” (bzw. dem was Sie Verschlüsselung und Entschlüsselung nennen). Und zwar schon in Ihrer ursprünglichen Objekte-definieren-eine-einzige-Zusatzdimension-Behauptung. Für die mein Zahlenbeispiel ja, das geht bei Ihnen wieder komplett unter, als Gegenbeispiel gedacht war.
Markus Pössel schrieb (05.07.2024, 09:49 Uhr):
> […] warum jene vier Dimensionen nicht einfach eine unzusammenhängende Sammlung von [“]3 Raumdi[m]ensionen, eine Zeitdimension” sind sondern tatsächlich ein einheitliches vierdimensionales Gebilde. Weil jene Dimensionen sich eben nicht in eindeutiger, beobachterunabhängiger Weise in Raum und Zeit aufteilen lassen, […]
Wer zu dieser zitierten Formulierung recherchiert und dabei die Idee der “Einheitlichkeit der Raumzeit als vierdimensionales Gebilde” mit dem Stichwort “Lichtkegel” (“light cone” bzw. “light cone structure of spacetime” usw.) in Verbindung bringt, dem dürfte alsbald ein Widerspruch zur (verbreiteten) Formulierung “Invarianz des Lichtkegels” auffallen.
> sondern Boosts die Raum- und Zeitdimensionen so miteinander “mischen” wie es reguläre Drehungen ja bereits beim Raum selbst tun.
In Euklidisch-flachen 3-dimensionalen Raum lassen sich verschiedene Systeme von Basisvektoren wählen, die den betrachteten Raum jeweils als Vektorraum “aufspannen”;
die Beziehungen zwischen den Basisvektoren verschiedener solcher Systeme erweisen sich i. A. als Linearkombinationen (jeweils eines Basisvektors eines solchen Systems bzgl. der Basisvektoren des anderen Systems);
und man spricht (i. A.) auch von “(statischer Ver-)Drehung” solcher Systeme gegenüber einander, parametrisiert durch bestimmte Werte von “Winkeln”.
In wie fern solche Beziehungen als “Mischen von Raum-Dimensionen” zu bezeichnen sind, hängt davon ab und damit zusammen, ob man jeweils einen bestimmten Basisvektor als “(räumliche) Dimension” auffassen und bezeichnen würde, oder nicht. (Insbesondere, sofern die Basisvektoren jeweils eines Systems nicht unbedingt zueinander “orthogonal” sein müssen.)
Vergleichbares gilt in Minkowski-flacher “3+1”-dimensionaler Raumzeit. …
Die bekannte und Zweck-mäßige Unterscheidung/Aufteilung und Bezeichnung
– von Ereignispaaren als entweder “zeit-artig” oder “licht-artig” oder “raum-artig” voneinander getrennt, bzw.
– von Elementen (Vektoren) eines Tangentialraumes in “3+1”-dimensionaler Raumzeit als entweder “zeit-artig” oder “licht-artig” oder “raum-artig” (“gerichtet”)
bezieht sich jedenfalls auf Dimensionen im Sinne von invarianter “light cone structure” und nicht auf detaillierte Wahl von Basisvektoren.
(Dabei ist “Tangentialraum” übrigens nicht etwa “nur als rein mathematischer Begriff” aufzufassen, sondern hängt im gegebenen Kontext mit der Frage bzw. der entsprechenden Festlegung zusammen, wie — z.B. — denn überhaupt festgestellt werden sollte, ob sich die Trajektorien zweier materieller Punkte, die sich in genau nur einem Ereigniss getroffen und passiert hatten, dabei “nur berührt” hätten und daher zum selben Tangential-Vektor gehörten, oder stattdessen zu verschiedenen.)
p.s.
In wie fern sich der o.g. Autor der zitierten Formulierungen von meinem SciLog-Kommentar als persönlich angesprochen betrachtet, oder überhaupt (noch) so betrachten könnte,
ist diesem Autor selbstverständlich persönlich überlassen, und hängt nicht zuletzt von dessen persönlichem Befinden ab.
Im Übrigen (vgl. 06.07.2024, 11:50 Uhr) ist wohl allen, die meinen Kommentar an dieser Stelle zur Kenntnis nehmen konnten, bis auf Weiteres die Wahl-weise Möglichkeit eingeräumt, darauf Barriere-freie und auffindbar per SciLog-Kommentar zu antworten.
Ich bleibe weiterhin sachlich.
* …vielleicht haben Sie weniger Schwierigkeiten, die Einwände anzunehmen, wenn sie nicht gerade von mir kommen.
Es geht nicht um etwas persönliches sondern darum, das Sie sich bei der Frage, ob Objekte eine Dimension bilden oder nicht – aus meiner Sicht – im Widerspruch befinden. Ich versuche kurz zu erklären:
Beim Inventar ordnen Sie mathematisch korrekt Objekten eine Dimension zu. Jeder Mathematiker wird bestätigen, dass es ein gültiges Beispiel ist. Wenn ich allerdings beim Universum den Objekten eine Dimension zuordne, dann haben Sie die seltsamsten Einwände dagegen, wie zum Beispiel:
1.) dass Dimensionen geometrisch sein müssen — obwohl das Inventarbeispiel zeigt, dass der Dimensionsbegriff nicht auf geometrische Dimensionen beschränkt ist
2.) dass Objekte keine Dimension bilden, weil sie keine “natürliche Anordnung” besitzen wie etwa Punkte im Raum — beim Inventar ist Ihnen die Anordnung der Objekte egal und bezeichnen sie trotzdem als Dimension
3.) dass Objekte keine “richtige” Dimension bilden, weil sie Übersetzungslisten benötigen — beim Inventar ist Ihnen egal, mit welcher Methode den Objekten Zahlen zugeordnet werden, und trotzdem werden sie als Dimension bezeichnet
Den Widerspruch erkennen Sie. Dazu habe ich die Frage gestellt: “Erklären Sie doch mal im Detail, wann Objekte eine Dimension bilden und wann nicht.” Ihre Kernaussage dazu war: “Sie dagegen postulieren eine “Objektdimension”, bei der *allen* Objekten *gemeinsam* eine Dimension zugeordnet wird. Das ist etwas grundlegend anderes. Denn dieser Dimension entspricht eben kein echter Zahlenraum…”
Diese Behauptung ist leider nicht korrekt. Der Dimension entspricht doch ein echter Zahlenraum. Da Sie es nicht erkennen, erkläre ich es Ihnen:
* Sie fassen die Grußkarten zu einer Dimension zusammen, aufgrund der Eigenschaft “Grußkarte zu sein”. Wenn Sie die Karten mit dem Mikroskop untersuchen, werden Sie feststellen, dass sie alle unterschiedlich sind.
* Genau so fasse ich alle Objekte des Universums aufgrund der Eigenschaft “Objekt zu sein” zu einer Dimension zusammen. Auch die Objekte sind alle unterschiedlich.
Die Dimension “Objekt” besitzt genau so einen echte Zahlenraum wie die Dimension “Grußkarte”. Die von Ihnen angesprochenen Rechenarten, Addition, Subtraktion, Multiplikation sind darin möglich, zum Beispiel:
Sie sagen: 3 Karten + 4 Karten = 7 Karten
Ich sage: 3 Objekte + 4 Objekte = 7 Objekte
Wie Sie sehen: die Objekt-Dimension besitzt doch einen echten Zahlenraum. Ihr Einwand ist daher ungültig. Genau so ungültig wie die Einwände in 1.), 2.), und 3.). Tatsächlich haben Sie bisher keine einzige stichhaltige Begründung gegen eine Objekt-Dimension angeführt.
Wie schon in meinen ersten Antworten ausgeführt: Ja, es gibt verschiedene Arten von Dimensionen. In der Physik insbesondere: Zustands- bzw. Phasenräume einerseits, geometrische Dimensionen andererseits. Zum Widerspruch kommt es erst, wenn man wie Sie versucht, die Begriffe gegeneinander auszuspielen. Sie haben ja ausdrücklich mit Verweis auf Ihre mysteriöse “Objektdimension” behauptet, meine Aussage zu den vier (geometrischen) Dimensionen sei falsch. Solche Ausschließlichkeit funktioniert schlicht nicht, wo es lediglich um mehrere Definitionsmöglichkeiten gibt.
Zu den Inventardimensionen: Vorsicht mit dem Verschieben der Torpfosten bitte! Dass es jetzt einfach darum ginge, wie viele Objekte sich an einem Punkt befinden, ist ja etwas deutlich anderes als Ihre ursprüngliche Behauptung. Da ging es bei der (einzigen) Objektdimension noch darum, sie solle beschreiben “was sich dort befindet”, es solle eine “Dimension des Inhalts” sein (hier). Sie hatten im Anschluss in Analogie zu meiner Wahl der Weltlinien-Farben weiter argumentiert, jene Dimension funktioniere genau so wie ich mit den verschiedenen Farben verschiedene Inhalte definieren würde: “Farbe Grün steht für Baum, die Farbe Braun steht für Hund und die Farbe Rot steht für Mensch” (hier). Damals war das Ihre “Kategorie Materie”, und der Sinn war anzugeben, dass sich in der Welt “verschiedene Dinge befinden” – oder wie Sie damals schrieben:
“Die Einführung der Farbdimension war zwingend notwendig. Da sich in der Raum-Zeit mehrere Objekte befinden (Baum, Hund, Mensch) musste klargestellt werden, welches Objekt nun welche Weltlinie erzeugt. Und dies wird eben durch die Farbe festgelegt.”
Mein Haupteinwand gegen jene Deutung war, dass eine einzige Dimension eben nicht ausreicht, um alle Information darüber, welches Ding sich dort befindet, also um so etwas wie ein lokales Inventar anzugeben. Sondern dafür bräuchte ich für jeden Objekttyp eine Zahl – so viele Zusatzdimensionen wie Objekttypen.
Wenn Sie all das, was Sie da vorher geschrieben haben, wo es noch darum ging, Objekte auseinanderhalten zu können (wie bei meinem Farbcode) und eine vollständige Beschreibung zu liefern, jetzt nicht mehr behaupten, soll mir das nur recht sein. Die neue Version Ihrer “Objekt-Dimension”, die lediglich zählt, wie viele Objekte zur gleichen Zeit am gleichen Ort sind, ist aber genau so leicht absurdum zu führen. Solange wir in der klassischen Welt sind, kann sich an jedem Ort zu jeder Zeit ja höchstens ein materielles Objekt befinden. Damit ist Ihre neue Version der Objekt-Dimension noch nicht einmal eine Inventar-Dimension. Allenfalls so etwas wie ein digitales “Besetzt”-Zeichen. (Und in der Quantenwelt ist die Beschreibung dann ja noch einmal eine ganz andere, da ergibt der klassische Objektbegriff dann überhaupt keinen Sinn mehr.)
Markus Pössel schrieb (10.07.2024, 14:34 Uhr):
> […] Solange wir in der klassischen Welt sind, kann sich an jedem Ort zu jeder Zeit ja höchstens ein materielles Objekt befinden.
Bekanntlich nannte A. Einstein »die Begegnungen zweier oder mehrerer dieser materiellen Punkte« als Beispiele für »zeiträumliche Koinzidenzen […] auf deren Bestimmung alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen [in Einsteins Relativitätstheorie] hinauslaufen «.
(Übrigens erwähnte Einstein dabei (konsequenter Weise) die Worte “Ort” oder “Zeit” offenbar überhaupt nicht.)
Somit erscheint fraglich, ob Einsteins Relativitätstheorie überhaupt “in die klassische Welt” gehört.
Außerdem ermöglich Einsteins Relativitätstheorie ja ohnehin, für jedes einzelne (Koinzidenz-)Ereignis die (“dessen”) jeweiligen Werte etlicher verschiedener Krümmungsgröße zu konstatieren. …
Ach ja, Ihr Lieblingsthema! Aber ehrliche Frage: Das ist aus Ihrer Sicht keine Idealisierung, keine Näherung? Und Sie sehen keinen Unterschied zwischen dem Einfall z.B. eines Photons auf einen Detektor, der ja tatsächlich näherungsweise an einem Punkt stattfindet, und einer Aussage wie “an diesem Raumpunkt befinden sich 6371 Bäume”?
Vielen Dank für die Antworten, ich habe sie zur Kenntnis genommen.
Ich verabschiede mich wieder aus dem Blog und bedanke mich für die Freundlichkeit, dass Sie auf meine Beiträge geantwortet haben, ebenfalls für die Geduld die Sie bewiesen haben. Ich wünsche allen Mitpostern noch einen schönen Tag.
Mfg Reality
@Reality
Versetzen wir uns doch mal zurück in unsere Schulzeit (5.Klasse?). Und zeichnen ein Achsenkreuz auf ein Stück Papier. Dann können wir jeden Punkt über 2 Zahlen (x und y) definieren.
Hab ich das so richtig verstanden?
Oder hab ich das falsch verstanden? Dann müsste ich aber noch fragen. Worauf wollen sie hinaus?
Oder anders gefragt. Kann man die Sache so erklären, dass ein Dummy wie ich es auch kapiert?
Den bisherigen Aussagen eben nicht “ein paar Objektdimensionen” sondern “genau eine Objektdimension”. Dieser Unterschied ist ja ein wesentlicher Grund, warum ich das als absurd ablehne. Je nach Objekt-Typ (Teilchenart) eine zusätzliche Dimension könnte zumindest ich einigermaßen nachvollziehen. Das wäre nah dran an dem Vorgehen, jeder Teilchenart ein Feld zuzuordnen, das dann natürlich an jedem Raumpunkt zu jedem Zeitpunkt einen möglichen Wert hat. Nur das eine-einzige-Objektdimension-reicht kann ich nicht nachvollziehen. Aber vielleicht haben Sie da mehr Glück und bekommen eine nachvollziehbare Erklärung von “Reality”.
Markus Pössel schrieb (10.07.2024, 17:03 Uhr):
> […] Das </em
… Dieses “Das” interpretiere ich (hoffentlich einvernehmlich) als:
“Einsteins Begriff der »Koinzidenz-Bestimmung«, als Grundlage »aller zeiträumlicher Konstatierungen« in der Relativitätstheorie”. …
> ist aus Ihrer Sicht keine Idealisierung, keine Näherung?
(Diese Fragestellung wirkt auf mich übrigens eher wie ein Vorwurf; als hätte ich mich dazu schon jemals geäußert, woran ich mich jedenfalls momentan nicht erinnere.)
Doch, bestimmt ist das eine Idealisierung (insbesondere gegenüber “dem, wozu” Menschen zuverlässig fähig wären; oder sogar “dem, was” irgendwem zugestanden werden könnte).
Und dabei eine Idealisierung, deren grundsätzliches Verständnis von vornherein zugestanden werden kann und muss, weil sich allein schon die Frage, was denn mit “zusammen” in Unterscheidung zu “voneinander getrennt” gemeint sei, gar nicht (Gewissen-haft, ehrlich) formulieren bzw. stellen lässt, ohne damit genau dieses grundsätzliche Verständnis bereits zu demonstrieren.
Um jedoch von Näherung (oder auch nur von Abweichung bzw. Ungenauigkeit) zu reden, müsste ja zunächst überhaupt quantifiziert werden; man müsste Werte (jeweils einer bestimmten Größe) ermitteln und miteinander vergleichen können; man müsste die betreffenden Größen überhaupt erstmal definiert haben, also konkret festsetzen, wie die Ermittlung von Werten auf Koinzidenz-Bestimmungen hinausläuft. (Daher die Priorisierung meines oben erwähnten Lieblingsthemas; mit https://arxiv.org/abs/2302.12209 als eine Art “praktisches Beispiel” und Zeichen des breiteren Interesses …)
> Und Sie sehen keinen Unterschied zwischen dem Einfall z.B. eines Photons auf einen Detektor, der ja tatsächlich näherungsweise an einem Punkt stattfindet, und einer Aussage wie “an diesem Raumpunkt befinden sich 6371 Bäume”?
Ich gebe zu, dass ich beim Urteil eines Detektors, das (jeweilige) Aufflammen zweier Streichholzköpfe “zusammen” wahrgenommen zu haben, anstatt “nacheinander”, nicht vordergründig an alle 6371 Silizium-Atome einer Sensor-Zelle einzeln denke.
Ich sehe da nach wie vor ein Spannungsverhältnis zwischen der Idealisierung “Raumpunkt” (oder auch “Ereignis”) und der einer Objekt-Inventar-“Dimension” innewohnende Idealisierung, die eine beliebige endliche Zahl von Objekten an einem “Raumpunkt” beinhaltet. Zumal wenn wie in dem letzten Vorschlag von “Reality” offenbar alle Objekte möglich sind, unabhängig von ihrer Größe. Gerade weil eine Näherung, die für 6371 Siliziumatome passt, nicht unbedingt für 6371 Bäume passen muss. Das macht es deutlich schwieriger als in der üblichen Idealisierung “unsere Betrachtungsweise ist so grob, dass wir das Objekt X näherungsweise als Punkt betrachten können”. Allerdings sehe ich derzeit nicht, dass es sich lohnen würde, in Überlegungen, wie man jene Idealisierungen doch noch irgendwie zusammenbringen könnte, groß Zeit zu investieren.
Markus Pössel
11.07.2024, 09:37 Uhr
Also 3 Raumdimensionen + 1 Zeitdimension. Das ist noch ziemlich einfach zu kapieren. Unter anderem, weil man diese noch in der Einheit Meter (reelll und komplex) definieren kann.
Aber jetzt sollen noch ein oder mehrere Objektdimensionen hinzu kommen! Hier muss mein Gehirn kapitulieren.
Und überhaupt. In welcher Einheit miss man diese denn?
Der Betreffende hat sich ja jetzt zurückgezogen; ich fand das, was er da vorgeschlagen hat, auch problematisch. An den Einheiten würde ich das aber nicht aufhängen. Bei Raum- und Zeitdimensionen finde ich halt wirklich wichtig, dass die nicht eindeutig voneinander zu trennen sind; das macht die Aussage, die “Bühne” des Weltgeschehens sei vierdimensional, sinnvoll. Darüber hinaus kann man natürlich noch nicht-geometrische Dimensionen hinzufügen. Ich hatte oben Phasen- und Zustandsräume erwähnt, aber auch jedes Feld ist ja eine Größe, die an jedem Ort und zu jeder Zeit definiert ist, und in dem Sinne der Beschreibung eine oder mehrere “Materie-Dimensionen” hinzufügt.
Markus Pössel schrieb (11.07.2024, 12:58 Uhr):
> Ich sehe da nach wie vor ein Spannungsverhältnis zwischen der Idealisierung “Raumpunkt” (oder auch “Ereignis”) und der einer Objekt-Inventar-“Dimension” innewohnende Idealisierung, die eine beliebige endliche Zahl von Objekten an einem “Raumpunkt” beinhaltet.
Das streift zumindest die Thematik “Individuation of Events”, auf die ich schon oben (16.05.2024, 13:24 Uhr) hingewiesen habe. (Und die mich im Zusammenhang mit der RT und “meinem Lieblingsthema” natürlich beonders interessiert. …)
Schon bei Minkowski findet sich ja auch die dazu passende Idealisierung »(unterscheidbare, identifizierbare) materielle Punkte«; auch für unterscheidbare Konstituenten von “Objekten”, “Körpern” oder Ähnlichem.
Mir liegt außerdem der Verdacht nahe, dass eventuelle Spannung dabei von Vorurteilen hinsichtlich “Geometrie” angetrieben wird;
sowohl betreffend die (eigentlich doch überhaupt erst noch zu messenden) “geometrischen Beziehungen” verschiedener »materieller Punkt« untereinander (insbesondere, sofern diese Punkte als Konstituenten des selben “Objekts” gelten sollten),
als auch betreffend die (eigentlich doch überhaupt erst noch zu messenden) “geometrischen Beziehungen” zwischen den (den doch kaum erst überhaupt “individuierten” Ereignissen bzw. Raumpunkten (insbesondere, dass die Werte gewisser Krümmungsgrößen vernachlässigbar oder wenigstens beschränkt wären. Typischer Weise nach dem ungenauen Slogan: “Je kleiner die betrachtete Region, desto weniger krumm.”).
Um so mehr Interesse und Mühe verdient (meines Erachtens) die Beschäftigung mit Festsetzungen, wie “Geometrie” überhaupt Fall für Fall festzustellen sei.