Warum ausgerechnet exponentiell

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Gedanken eines Experimentalphysikers
Quantenwelt

Exponentielles Wachstum ist in Zeiten der COVID-19 Pandemie in aller Munde. Aber oft habe ich das Gefühl, dass gar nicht so recht klar ist, was exponentiell überhaupt bedeutet und warum nicht etwa quadratisches, kubisches oder lineares Wachstum anzunehmen ist.

Exponentiell ist irgendwie rasend schnell. So ist mir aufgefallen, dass JournalistInnen, um Wiederholungen zu vermeiden, den Begriff explosives Wachstum synonym verwenden. Natürlich sind exponentiell und explosiv wissenschaftlich betrachtet keineswegs synonym, so manche Explosion startet zwar exponentiell aber es gibt auch exponentiell anwachsende Prozesse, die eher gemächlich sind.

Etwas Mathematik

Zunächst einmal ist exponentielles Wachstum eine mathematische Beschreibung. Exponentiell ist etwas, was einer Exponentialfunktion folgt. Solch eine Funktion trägt die Laufvariable im Exponenten, also als Hochzahl. f(x)=ax ist die allgemeine Definition, wobei a eine Konstante ist.

Damit gilt also f(0)=1, f(1)=a, f(2)=a·a, f(3)= a·a·a, f(4)= a·f(3), und so weiter. Eine Exponentialfunktion beginnt also mit 1 und wächst mit jedem Schritt um denselben Faktor. Nun treten in der Natur keine einheitenlosen Zahlen x auf, sondern die Zeit t. Wenn also von einer Verdopplungszeit gesprochen wird, dann suchen wir konkret eine Funktion f(t)=2t/τ, die den momentanen Erkrankungsverlauf beschreibt. Der griechische Buchstabe τ (tau) ist die Verdopplungszeit und diese Funktion ist nur dann tatsächlich eine Exponentialfunktion, wenn dieser Wert konstant ist.

Das war offensichtlich nie der Fall. Die Verdopplungszeit wurde ja immer wieder tagesaktuell publiziert. Wissenschaftler haben diese Zahl ermittelt, indem sie immer wieder eine neue Exponentialfunktion an die Daten angepasst haben. Aber warum haben sie nicht immer wieder eine lineare Funktion angepasst und die Steigung angegeben?1 Oder eine quadratische?

Wann Wachstum exponentiell ist

Es gibt einen guten, theoretischen Grund von exponentiellem Wachstum auszugehen. Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, deren Steigung immer linear mit dem aktuellen Wert zusammenhängt. Oder Mathematisch ausgedrückt: Deren Ableitung proportional zum Funktionswert ist. Kurz und prägnant: Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung.

Damit ist sie für die mathematische Beschreibung von Wachstumsprozessen oft die richtige Funktion. Ein Bakterienteppich wächst auf einem Nährboden exponentiell, weil die Bakterien im schnitt immer gleich lang brauchen um sich zu teilen und zu wachsen. Damit verdoppelt sich ihr Platzbedarf fortgesetzt in gleichen Zeitabschnitten. Eine nukleare Kettenreaktion verläuft exponentiell, weil jeder Kernzerfall wieder mehrere neue Zerfälle auslöst. Und eine Pandemie startet exponentiell solange jeder neu infizierte Mensch in gleicher Zeit etwa gleich viele weitere Menschen infiziert.

Realistische Vorgänge

Exponentielles Wachstum ist immer dann die einfachste Annahme, wenn nichts dem Wachstum entgegensteht. Die Bakterien hören auf, sich exponentiell auszubreiten, wenn der Platz knapp wird oder die Nährstoffe. Die nukleare Kettenreaktion verlangsamt sich, wenn die Dichte des spaltbaren Materials abnimmt. Also interessanter Weiser gerade dann, wenn die Explosion einsetzt. (Soviel zum explosiven Wachstum, Explosionen breiten sich dann eher linear mit Schallgeschwindigkeit aus.)

Und die Pandemie? Wenn wir unser Verhalten ändern, so dass Infektionsketten durchbrochen werden, infiziert nicht mehr jeder Patient ein paar neue und das Wachstum ist nicht mehr exponentiell. Patienten, die die Erkrankung überstanden haben, sind nicht mehr infektiös, so dass die Ansteckungsrate nach ein paar Wochen nicht mehr proportional zur gesamten Anzahl aller Erkrankten sein sollte, sondern “nur” noch zur Anzahl der aktiv Kranken. Von dem Fall, dass den Viren die Ressourcen ausgehen, weil viele Menschen schon immun sind, sind wir dagegen wohl noch etwas weiter weg.

Leider sind realistische Vorgänge fast nie so trivial, dass sie durch eine einfache mathematische Funktion modelliert werden können. Komplexe Systeme lassen sich durch Simulationen einigermaßen verstehen. Vorhersagen lassen sie sich weniger leicht. Die Exponentialfunktion war Anfang März ein gutes Mittel, den Krankheitsausbruch in Deutschland zu modellieren und zu verstehen. Ich hoffe sehr, dass sie es nicht wieder wird.

Anmerkungen:
1. Das haben sie übrigens auch gemacht, die Zahl der Neuerkrankten ist die lineare Steigung. Da gibt es nicht viel zu rechnen.
Joachim Schulz

Veröffentlicht von

www.quantenwelt.de/

Joachim Schulz ist Gruppenleiter für Probenumgebung an der European XFEL GmbH in Schenefeld bei Hamburg. Seine wissenschaftliche Laufbahn begann in der Quantenoptik, in der er die Wechselwirkung einzelner Atome mit Laserfeldern untersucht hat. Sie führte ihn unter anderem zur Atomphysik mit Synchrotronstrahlung und Clusterphysik mit Freie-Elektronen Lasern. Vier Jahre hat er am Centre for Free-Electron Laser Science (CFEL) in Hamburg Experimente zur kohärenten Röntgenbeugung an Biomolekülen geplant, aufgebaut und durchgeführt. In seiner Freizeit schreibt er zum Beispiel hier im Blog oder an seiner Homepage "Joachims Quantenwelt".

16 Kommentare

  1. Sehr gute Erklärung.
    Die Wissenschaft leidet an ihrer mathematischen Kürze. Es werden Begriffe verwendet, die eigentlich erklärt gehören, wie hier gerade geschehen.
    Für die Information der Öffentlichkeit sollte man auch mit absoluten Zahlen, meinetwegen gerundet, argumentieren, damit die Leute verstehen um welche Größenordnungen es geht.
    In vielen Berichten geschieht das auch schon.

  2. Vielen Dank für die leicht verständliche Darstellung des Sachverhalts, die leider sehr nötig ist. Leider wurde ja auch in einem Beitrag bei Scilogs die Ansicht vertreten, das anfängliche Wachstum der Infiziertenzahlen sei nicht exponentiell gewesen und die Epidemie sei somit ein statistischer Trugschluss.

  3. Man muss unterscheiden zwischen einer geometrischen Folge und einer Exponentialfunktion. Die Anzahl der Neuinfektionen folgt einer geometrischen Folge. Wenn jede infizierte Person zwei andere Personen infiziert, dann verdoppelt sich die Anzahl der Neuinfektionen stetig über die Zeit. Die erste Person infiziert zwei Personen, zwei Personen infizieren 4 Personen und so weiter. Einen Parameter bildet die Zeit t, in der bspw. eine Verdoppelung der Infektionen erfolgt. Beim Coronavirus beginnt die Infektiosität etwa mit dem vierten Tag nach der Infektion und dauert etwa fünf Tage.

    Die Anzahl der Gesamtinfektionen ist die Summe der Neuinfektionen. Sie folgt dann einer Exponentialfunktion aⁿ. Dabei ist a>1 der Faktor der geometrischen Reihe, denn 1ⁿ = 1. n steht hier anstelle der Zeit t. Diese Formeln bilden nur das Gerüst. Die Summenformel bei Verdoppelung ist s=2ⁿ – 1, für n=3 also s = 7 = 1+2+4.

    • Streng genommen bildet weder eine Funktion noch eine Folge die Realität richtig ab. Funktionen bilden kontinuierliche Mengen auf kontinuierliche Mengen ab. Also zum Beipiel reelle Zahlen auf reelle Zahlen. Folgen operieren im Raum der Natürlichen Zahlen. In der Epidemiologie haben wir es mit Erkrankten zu tun. Die werden gezählt, können also durch natürliche Zahlen abgebildet werden. Die Zeit, über die das geschehen abläuft, ist aber nicht diskret und das Ansteckungsgeschehen ist nicht getaktet. Damit können wir mit Folgen hier nichts anfangen.

      Funktionen von reeller Zeit auf eine Menge natürlicher Zahlen geht zwar, aber damit kann man keine Ableitungen bilden. Deshalb werden die natürlichen Zahlen durch reelle angenähert. Bei sehr großen Mengen geht das in der Regel gut. Mit Funktionen können wir arbeiten.

      Bei Computersimulationen wird dann wieder die Zeit konkretisiert und in Schritten gerechnet. Damit hat man es tatsächlich mit einer Zahlenfolge zu tun.

      • Streng genommen bildet weder eine Funktion noch eine Folge die Realität richtig [Hervorhebung : Dr. Webbaer] ab. [Dr. Joachim Schulz]

        Dies liegt daran, dass die Mathematik inklusive Logik eine von der Welt zwar abgeleitete, aber doch i.p. Fähigkeitslehre abstrahierte Lehre ist, die auch auf andere Welten, als die gegebene funktioniert, weil derartige Formalwissensschft tautologisch ist.
        Diese Fähigkeitskehre ist insofern eine nicht unwillkommene Begleitung der naturwissenschaftlichen Bemühung.
        In puncto Ratio anleitend.
        Mehr aber nicht.

        Insofern kann ein Formalwissenschafter zwar Kohärenz von weltlicher Überlegung begutachten, nicht aber über die Welt aussagen.
        Wittgenstein hat hier versucht über Sprachlichkeit (“Logik”) auszusagen, was ebenfalls “schwer schief ging”, im “Trakatus”.

        Die Welt kann über das Wollen ansatzweise verstanden werden.

        MFG – WB

  4. Exponentiell ist Wachstum in ressourcenlimitierten Systemen immer nur in der Anfangsphase. Für den gesamten Zeitraum gilt in einfachen Fällen von ressourcenlimitierten Systemen dagegen eine sigmoidale Funktion, die logistische Funktion f(x)=L/(1+e^(-k*(x-x0))), wobei x0 der sigmoidale Mittenpunkt, L der Maximalwert und k die logistische Wachstumsrate ist.

    Man sagt auch: Die exponentielle Phase dauert so lange wie Sättigung noch keine Rolle spielt. Die Sättigung wäre im Falle einer Pandemie erreicht, wenn alle infiziert sind.

    Der Artikel Generalized logistic growth modeling of the COVID-19 outbreak
    in 29 provinces in China and in the rest of the world
    vom 10. März 2020 untersucht die Verbreitung von Covid-19 mit dem logistischen Modell in China und zieht Schlüsse über die zu erwartende Ausbreitung in anderen Ländern und kommt zum Fazit, dass China die Verbreitung unterbunden hat, Japan, Iran, Italien und ganz Europa aber in der Frühphase der Ausbreitung sind und Südkorea am 10. März bereits daran ist die Infektion unter Kontrolle zu bringen. Für Europa wird vorausgesagt (Zitat):

    Unsere statistische Analyse zeigte, dass sich die Epidemie in Europa in einem frühen exponentiellen Stadium befindet und dass dies wahrscheinlich für eine Weile anhalten wird . Dieses negative, aber wahrscheinliche Szenario wird 114867 Infizierte in Europa in
    10 Tage, was 0,015% der europäischen Bevölkerung entspricht.

    Mit anderen Worten, es wurden 114’000 Infizierte in gesamt Europa am 20. März prognostiziert unter der Annahme, dass bis dann wenig Gegenmassnahmen ergriffen würden. In Wirklichkeit waren am 20. März 2020 aber nur etwa 30’000 Covid-19 Diagnosen in Europa gestellt worden.

    Der Artikel zeigt aber für mich auch, dass am 10. März die Autoren noch keine Vorstellung von der riesigen Dunkelziffer dieser Krankheit hatten.

  5. Am 28.1. wurde die erste Infektion in Deutschland festgestellt, bei einme Mitarbeiter der Firma Webasto bei München. Am 30.1. wurden 3 weitere Infizierte identifiziert. Diese Personen wurden sofort in Quarantäne geschickt und ihre Kontaktpersonen wurden ausfindig gemacht. Es wurden also schon nach der ersten Infektion Gegenmaßnahmen ergriffen, um eine exponentielle Ausbreitung zu verhindern. Am 15.2 war die Karnevalssitzung in Heinsberg mit dutzenden Infektionen danach. Die Gegenmaßnahmen haben sicher Wirkung gezeigt, eine weitere starke Ausbreitung konnten sie aber nicht verhindern, weil jede Person grundsätzlich beliebig viele weitere Personen infizieren kann und eine Ausbreitung daher hochgradig exponentiell oder explosiv werden kann.

  6. Exponentielles Wachstum als natürliche Form ungebremsten Wachstums
    Wenn die “Wachstumskraft” oder auch die Schrumpftendenz in jedem Teil eines Kollektivs, einer Gesamtmenge gleichmässig verteilt und vorhanden ist, dann haben wir exponentielles Wachstum. Anders formuliert bedeutet dies, dass wir bei einem solchen “natürlichem Wachstum”, also bei exponentiellem Wachstum das gleiche Wachstum erwarten, wenn wir das wachsende Kollektiv bezugsweise die wachsende Gesamtmenge aufteilen in 2 oder auch n kleinere Kollektive/Mengen.
    Beispiel 1: Verdoppelt sich ein Kollektiv von 100 Individuen in einem Tag, dann erwarten wir die gleiche Verdoppelung, wenn wir das Kollektiv aufteilen in zwei Gruppen zu je 50 Individuen oder in 10 Gruppen zu je 10 Individuen.
    Beispiel 2: Ein Sparguthaben von 100’000 Euro, das 5% Zins abwirft pro Jahr erzielt den gleichen Zuwachs, wenn wir das Sparguthaben auf zwei Banken oder auch auf 5 oder n Banken verteilen.
    Beispiel 3: Beim radioaktiven Kohlenstoff-14 gilt: Wenn 10 Gramm Kohlenstoff-14 in der Zeit t½(C-14) auf 5 Gramm abnimmt, dann müssen 10 Haufen Kohlenstoff, die sich zur Gesamtmenge von 10 Gramm aufsummieren in der Zeit t½(C-14) auch auf 5 Gramm abnehmen und das selbst dann, wenn die 10 Haufen ungleich gross sind. Solange sich die Haufen zur gleichen Gesamtmenge addieren müssen wir insgesamt immer den gleichen Zerfall erwarten.

    Quantitativ ergibt sich für ein solch exponententielles Wachstum für diskrete Zeitschritte t, bei einer Wachstumsrate von r und einer Startmenge von x₀ folgende Formel: xₜ = x₀ (1+r)^t

    Persönliche Beurteilung: Dass bei exponentiellem Wachstum eine Gesamtmenge in beliebige Teilmengen aufgeteilt werden kann und immer noch das gleiche Gesamtwachstum herauskommt, hat wichtige Konsequenzen – auch praktische Konsequenzen. So gibt es etwa progressive Steuern (=wachsender Stuersatz) auf dem persönlichen Einkommen, es gibt aber keine progressiven Gewinnsteuern für Unternehmen, denn gäbe es progressive Gewinnsteuern, würde damit das Wachstum, mindestens aber das Gewinnwachstum von Unternehmen beschränkt werden. Umgekehrt gibt es aber bei Unternehmen auch nicht das Umgekehrte. Es ist also nirgends so, dass grosse Unternehmen prozentual weniger Umsatz- oder Gewinnsteuern bezahlen müssten. Wäre das so würden grosse Unternehmen begünstigt werden. Allerdings können sehr grosse Unternehmen mehr Druck auf ihre potenziellen Standortgemeinden ausüben, dort die Steuern tief zu halten, worin sich zeigt, dass ein lokaler Vorteil eine globale Ungerechtigkeit (hier Begünstigung von Grossen) bewirken kann.

  7. Im vorliegenden Artikel geht es zwar speziell um den prinzipiellen Verlauf einer Pandemie.
    Aber hat die Beurteilung einer Pandemie nicht auch irgendwie mit den gesamten Sterbefallzahlen zu tun?
    Laut der Mitteilung des statistischen Bundesamtes (destatis.de, Sterbefallzahlen und Übersterblichkeit) ist jedenfalls bislang kein kein auffälliger Anstieg
    der Sterbefallzahlen im Vergleich zu den Vorjahren erkennbar.
    Seit der letzten Märzwoche liegen die tagesgenauen Zahlen allerdings tendenziell über dem Durchschnitt der Jahre 2016 bis 2019.
    (Leider geht diese Auswertung nur bis Ende März.)

    Von daher stellt sich mir die Frage, ist diese Auswertung der Sterbefallzahlen nicht auch ein wichtiger Faktor, der in die Berechnung zur Beurteilung
    einer Epidemie oder Pandemie mit einfließen müsste? Diese Zahlen müssten doch irgendwie auf eine vorhandene Hintergrundimunität schließen lassen?
    Die Frage die sich mir noch aufdrängt ist, wieso kann man sogenannte Corona-Tote mit nur ein paar Tagen Verzug ermittlen, aber die Ermittlung der
    Gesamtzahl der Toten hinkt einen Monat hinterher?

    • Ja, selbstverständlich ist die Ausbreitung des Virus in der Bevölkerung allein nicht entscheidend. Es gibt viele weitere Aspekte. Sie nennen die Sterbefälle. Ein weiterer ist die Auslastung von Krankenhäusern, insbesondere Intensivbetten.

      Das alles lässt sich sicher nicht mit einem einfachen mathematischen Modell abbilden. Und ich bin nicht qualifiziert, das im Detail zu kommentieren.

    • Die Antwort ist relativ einfach:
      – es gibt die direkte Meldung der registrierten Corona-Sterbefälle nach IfSG an das RKI
      – die Sterbestatistik “insgesamt” kommt mit der Übersterblichkeit von den Standesämtern
      Dabei kommt es zum Verzug und man kann erst später auf “wöchentlich” vergleichen.

    • Für das Wachstum der Anzahl der Infektionen sind die Verstorbenen irrelevant, denn sie zählen selbstverständlich schon zu den Infizierten. Die Meldewege für die Verstorbenen sind unterschiedlich. Die Covid-Verstorbenen werden von den Krankenhäusern sofort an die Gesundheitsämter und von dort an das RKI gemeldet. Ein Problem sind vielmehr die zuhause oder in Pflegeheimen Verstorbenen, deshalb mussten in einigen Ländern die Zahlen nachträglich korrigiert werden.

      Die “normal” Verstorbenen werden von den Standesämtern der Gemeinden monatlich an die Statistischen Landesämter und von dort an das Statistische Bundesamt gemeldet.

    • Wichtich (mittelniederdeutsch) ist neben der Feststellung der direkten Folgen einer Epidemie, sog. Corona-Tote sind gemeint, bei denen beim Exitus eine Corona-Infektion nachgewiesen werden konnte, die sog. Übersterblichkeit.

      Um ein Maß zu finden, das unabhängig, möglichst unabhängig von der Definition eines sog. Corona-Toten ist.
      Die diesbezüglichen europäischen, wenn auch nicht vollständigen, Datenlagen stehen hier bereit :

      -> https://www.euromomo.eu/graphs-and-maps

      Und da schaut es so aus, als ob die sog. Übersterblichkeit einige, aber nicht viele Kalenderwochen vielleicht 20k über dem Erwarteten lag, nun aber wieder stark zurückgegangen ist – und in der BRD nie derart festgestellt werden konnte, dass eine sog. Anomalie vorlag, anderswo schon.

      Dr. Webbaer will die hier gemeinten Maßnahmen von Politikern nicht an Hand dieser Datenlagen bewerten, regt aber an auch Ihren Einwand, der nicht nur der Ihrige ist, ernst zu nehmen und A) eine eher geringe Gefährlichkeit der aktuell aufgetauchten Corona-Variante in Betracht zu ziehen und B) die teils auch aversiven Maßnahmen sukzessive zurückzufahren.

      Daneben darf bis soll die Gefährlichkeit von Endemien oder Pandemien oder Viren oder Bakterien möglichst sachnah bearbeitet werden, gerade auch politisch.
      Es darf bspw. politischerseits gewagt werden schlicht (“schlecht”) festzustellen, dass es Gefahr gibt für die es (aktuell) kein Gegenmittel gibt und wenn diese Gefahr eher gering ist, darf dies ebenso kommuniziert werden.
      Da wird keinem Politiker etwas “weggenommen”, durch Sachnähe.

      Ansonsten leidet die Resilienz der hier gemeinten politischen Systeme, Herrschaftssysteme sind gemeint, allgemein, wenn die Bevölkerung (“Staatsvolk” ginge ebenso) mit Gefahr verlernt umzugehen.

      MFG – WB

  8. Die Exponentialfunktion war Anfang März ein gutes Mittel, den Krankheitsausbruch in Deutschland zu modellieren und zu verstehen. Ich hoffe sehr, dass sie es nicht wieder wird. [Artikeltext, letzte Absätze haben oft etwas Fazitäres]

    In etwa so.
    Wenn in einem mit n (n == “vielen”) geladenen Mausefallen ein Ball geworfen wird, kann mit der Exponentialität von Wachstum anfangs sinnhaft hantiert werden, später dann nicht mehr.

    Zur Datenlage i.p. “Corona” kann diese Datenlage webverwiesen werden :

    -> https://www.euromomo.eu/graphs-and-maps/

    Soviel zur “Exponentialität”, Daten sind oft erfrischend unemotional, wie einige finden.

    MFG + schöne KW 19 noch !
    Dr. Webbaer (der “mal davon ausgeht”, dass die Abwehrmaßnahmen i.p. “Corona” in der BRD zügig zurückgefahren werden, der Sozialität, aber auch der schnöden Wirtschaftlichkeit geschuldet, auch : sinnhafterweise, wenn die Datenlagen (u.a. : s.o.) berücksichtigt werden für diese Einschätzung)

    • *
      Wenn in einem mit n (n == “vielen”) geladenen Mausefallen [Raum] ein Ball geworfen wird


      Räume sind auch wichtich, Theorien haben einen Geltungsbereich.

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