Dimensionen des Internets

BLOG: Quantenwelt

Gedanken eines Experimentalphysikers
Quantenwelt

Hat schonmal wer die Dimension der Internetwelt ausgerechnet?”, fragte neulich die Journalistin Julia Seeliger (@zeitrafferin) auf Twitter. Und da ich (ebenfalls neulich) über Vekorräume gebloggt habe, hat mich das interessiert. Wie viele Dimensionen könnte das Internet haben und was ist in diesem Zusammenhang mit Dimensionen gemeint?

[Ich w]ürde halt alle Kommunikationsbeziehungen nehmen und daraus zum Spaß die Dimension des Internets ausrechnen.” Kommunikationsbeziehungen kann man natürlich als Abstände in einem virtuellen Raum ansehen. Man kann dann versuchen all die Knoten des Internets, all die Computer, Smartphones und andere Endgeräte, in solch einem Raum anzuordnen, so dass die richtigen Beziehungen durch die Abstände in diesem Raum herauskommen. Die Frage ist dann, wie viele Dimensionen dieser Raum hat und ob es ihn eigentlich gibt.

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Ein gleichseitiges Dreieck als Modell für das Drei-Computer-Internet.

Mal überlegen, wie das gehen könnte: Nehmen wir an, das Internet bestünde aus drei Computern, die alle miteinander verbunden sind. Den Abstand dieser Kommunikationsbeziehungen definieren wie einfach über die Tatsache, dass eine Verbindung besteht. Er ist also für alle Computer gleich. Natürlich könnte man sich eine kompliziertere Abstandsdefinition einfallen lassen. Zum Beispiel über Signallaufzeiten oder über maximale Datenraten der Verbindungen. Ich möchte aber mit einem einfachen Modell einsteigen: Drei Computer, drei gleiche Abstände. Das gibt offensichtlich ein gleichseitiges Dreieck. Wir brauchen genau zwei Dimensionen. Ein Blatt Papier reicht auf, um das Drei-Computer-Internet Maßstabsgerecht aufzuzeichnen.

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Für vier Objekte im gleichen Abstand ist ein dreidimensionales Objekt nötig, ein Tetraeder.

Nehmen wir einen vierten Computer hinzu, dann können wir ihn auf dem Papier nirgends so einzeichnen, dass weiterhin alle Computer voneinander denselben Abstand haben. Zeichnen wir ihn ins Innere der Dreiecks, so ist er allen anderen Computern näher als diese einander, zeichnen wir ihn außerhalb, so ist er von mindestens einem Computer weiter weg. Wenn wir nun aber eine weitere Dimension hinzunehmen, können wir problemlos einen weiteren Computer im selben Abstand zu den dreien aufstellen. Das geometrische Konstrukt aus vier Punkten im selben Abstand zueinander ist ein Tetraeder (siehe Bild).

Nun lässt sich das Spiel beliebig fortsetzen. Wir können einen weiteren, fünften Computer nehmen und ihn im gleichen Abstand zu drei der vorherigen Computer setzen. Sein Abstand zu dem vierten ist aber wesentlich größer. Wir brauchen eine vierte Dimension, die ich in Bildern natürlich nicht mehr darstellen kann. Ich kann aber mit Worten beschreiben, wie so ein vierdimensionaler Pentachoron aussehen würde: Der vierte Computer befände sich in unseren drei Dimensionen genau in der räumlichen Mitte des Tetraeders, wäre aber in der vierten Dimension so weit entrückt, dass der Gesamtabstand des Mittelcomputers zu allen vier Eckcomputern so groß ist, wie die Kantenlängen des Tetraeders.

An dieser Beschreibung sieht man, dass man auf eine Dimension verzichten kann, wenn man beliebige Dehnungen von Abständen zulässt. Wenn man annimmt, dass der Innenraum so gedehnt ist, dass der Abstand von einer Ecke zum Mittelpunkt eines Tetraeders genau so groß wird, wie der Abstand von einer Ecke zur anderen, dann kann man fünf Computer auch im dreidimensionalen Raum in zueinander gleiche Abstände bringen.

Analog kann man einige dreidimensionale Objekte mit einer gekrümmten Fläche umspannen.  Man könnte ein Gummituch um den Tetraeder im Bild spannen und die durch das Gummituch dargestellte Ebene als zweidimensionalen Raum auffassen, in dem vier Computer zueinander gleichen Abstand haben. Hier gibt es eine Verbindung zu meinem Vektorraum-Artikel, in dem ich den Übergang vom Vektorraum in der klassischen Physik zum beliebig gedehnten Raum in der allgemeinen Relativitätstheorie geschildert habe. Man sieht hier auch schön, was das Gummituchmodell aus der ART meint.

Aber nochmal zurück zu der Frage nach der Dimensionalität des Internets: Wenn wir bei intuitiven Abstandsmaßen bleiben wollen, bleibt und nichts übrig, als festzustellen, dass ein vollständig miteinander verknüpftes Netzwerk von drei Computern zwei Dimensionen braucht, eines mit vier Computern drei Dimensionen, eines mit fünf Computern vier und so weiter. Das kann man tatsächlich fortführen, wenn man will. Aber im Internet sind ja nicht alle Computer miteinander verbunden.

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Wenn nicht alle Computer verbunden sind, kommt man eventuell mit weniger Dimensionen aus. Hier sind es fünf Computer in drei statt vier Dimensionen.

Der Doppel-Tetraeder im dritten Bild ist ein Beispiel für ein dreidimensionales Netzwerk von fünf Computern, in dem zwei der Computer mit nur drei anderen verbunden sind, während drei je vier Verbindungen haben. Im letzten Bild zeige ich ein zweidimensionales Netzwerk aus zehn Computern. Die Ausgangsfrage, wie viele Dimensionen das Internet hat, ist also unter der hier vorgestellten Definition von Abständen durchaus sinnvoll. Ob aber jemand die Rohdaten hat, das zu berechnen, bezweifle ich. Das wäre wohl nur für einen begrenzten Teil des Netzes möglich.

Noch schwieriger wird es, wenn man statt gleicher Abstände zulässt, dass die Computer beliebige Abstände zueinander haben. Man könnte sie zum Beispiel umso dichter zueinander setzen, je kleiner die Übertragungszeiten sind oder je größer die durchschnittlichen oder maximalen Datenraten. Solch ein Netzwerk ist womöglich gar nicht darstellbar. Nimmt man das Dreieck aus dem ersten Bild, so ist klar, dass sich das Dreieck verzerrt, wenn man verschiedene Abstände zulässt.

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Wenn jeder Computer mit maximal fünf anderen Verbunden ist und eine gewisse Ordnung herrscht, kann man ein beliebig großes Netzwerk manchmal in zwei Dimensionen darstellen.

Dabei gibt es aber eine Einschränkung: Wenn die Längen zweier Seiten bekannt sind, nennen wir sie A und B, und die Länge A größer ist als B, dann kann die dritte Länge C nicht kleiner sein als A minus B. Sind die Abstände zwischen drei Computern also beliebig, so gibt es Fälle, in denen das Verhältnis nicht maßstabsgetreu auf einem Blatt Papier darstellbar ist. Es kommt also möglicherweise heraus, dass die Frage nach der Dimension auf diese Weise gar nicht beantwortet werden kann.

Physik

Jetzt möchte ich diese Ausführungen nutzen um eine Aussage zur Physik zu machen. Es ist experimentell gesichert+, dass sich die Welt, in der wir leben, in drei Dimensionen darstellen lässt. Vermisst man von einem Objekt in unserer Weit die Abstände zu drei beliebigen anderen Objekten*, so sind alle anderen Abstände berechenbar. Wir brauchen nur drei Zahlen, um die Position eines Objektes relativ zu allen anderen darzustellen.

Das ist keine triviale Aussage, es ist eine echte Erkenntnis über die Welt. Der Vergleich mit dem Computernetzwerk mit beliebigen Abständen zeigt, dass es auch anders denkbar wäre. Eine völlig chaotische Welt, in der jedes Objekt beliebige Abstände zu anderen haben kann, ohne sich an eine Geometrie zu halten, wäre durchaus denkbar. Es fällt uns nur Schwer uns das vorzustellen, weil wir in einer geometrischen 3D-Welt großgeworden sind. Es ist nicht selbstverständlich, dass wir Koordinaten verwenden können, um Mechanik zu betreiben.

Anmerkung

*Diese Objekte dürfen nicht auf einer geraden liegen.

+ Diese experimentelle Bestätigung gilt für die relativ kleinen Skalen, die uns in klassischer Mechanik zugänglich sind. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie ist es nicht unbedingt möglich, das gesamte Universum mit dreidimensionalen Koordinaten zu erfassen. In der Elementarteilchenphysik könnten weitere Dimensionen ihrer Entdeckung harren. [Ergänzt am 2.5.2012 gegen 10 Uhr]

Joachim Schulz

Veröffentlicht von

www.quantenwelt.de/

Joachim Schulz ist Gruppenleiter für Probenumgebung an der European XFEL GmbH in Schenefeld bei Hamburg. Seine wissenschaftliche Laufbahn begann in der Quantenoptik, in der er die Wechselwirkung einzelner Atome mit Laserfeldern untersucht hat. Sie führte ihn unter anderem zur Atomphysik mit Synchrotronstrahlung und Clusterphysik mit Freie-Elektronen Lasern. Vier Jahre hat er am Centre for Free-Electron Laser Science (CFEL) in Hamburg Experimente zur kohärenten Röntgenbeugung an Biomolekülen geplant, aufgebaut und durchgeführt. In seiner Freizeit schreibt er zum Beispiel hier im Blog oder an seiner Homepage "Joachims Quantenwelt".

9 Kommentare

  1. Hat 3-Dimensionalität einen Grund?

    N unabhängige Eigenschaften eines Objektsensembles können mit N Dimensionen abgebildet werden. Auch im obigen Beispiel der Dimensionalität des Internets werden Dimensionen eingeführt um Gleichberechtigung zwischen Komponenten (hier der Vernetzung von Internetknoten) herzustellen.

    Im Falle unseres 3 dimensional erlebten Raumes hat man 3 voneinander unabhängige Freiheitsgrade der Verschiebung. Es leuchtet schnell ein, dass eine Welt in der etwas interessantes geschehen soll mindestens 3-dimensional sein muss. Sogar Mikrochips wie sie in Computern verwendet und die auf den ersten Blick 2 dimensional erscheinen, wären in einer reinen 2D-Welt gar nicht realisierbar, denn dann könnten sich Leitungen nicht mehr berührungsfrei kreuzen.

    3 Dimensionen brauchen wir also mindestens – und genau so viele räumliche Dimensionen erleben wir. Das Universum scheint also faul zu sein: Nur gerade was es braucht gibt es auch. Dabei könnte man sich doch soo phantastische Welten vorstellen. Zum Beispiel eine mehrdimensionale Welt, in der Objekte der einen Sorte 3 der N Dimensionen bevölkern und Objekte einer anderen Sorte ebenfalls 3 Dimensionen, wo aber eine der 3 Dimensionen mit einer der 3 Dimensionen der anderen Welt zusammenfällt.

    Wäre doch ein herrliches Durcheinander!! Da wären Geschichten denkbar, die jede noch so abstruse Science-Fiction oder Fantasy-Vision übersteigen.

    Das Universum scheint also nicht nur faul, sonder sogar noch langweilig zu sein. Schade eigentlich. Vielleicht gibt es ja Theoretiker, die sich mehrdimensionale Welten ausmalen, weil sie etwas gelangweilt sind von unserer Alltagswelt? Ist die Stringtheorie also nur eine Flucht in eine andere, interessantere Welt? Das Äquivalent zu Vergnügen wie Spiel- und Drogensucht?

  2. Vielleicht den Vorschlag ernstnehmen?

    Die Idee von Julia Seeliger finde ich trotzdem cooler: Wirklich mal das Internet mit “Kugeln” überdecken, von denen jede aus der Menge der Knoten besteht, deren Pingzeit vom Mittelrechner der Kugel aus unter einer Grenze liegt. Ich vermute, dass das Internet großräumig zweidimensional ist (da dominieren die Langstrecken-Laufzeiten, und man reproduziert die Erdoberfläche) und kleinräumig hochdimensional (es dominieren die Reaktionszeiten der Gegenstellen und die Verzögerungen in Routern u.ä., welche relativ konstant sind, und jeder Rechner hat da viele Nachbarn).

    @Martin Holzherr: In mehr als 3 räumlichen Dimensionen gibt es andere Probleme. So hat das Spektrum des Wasserstoffatoms (oder was immer es dort gibt) keinen Grundzustand, sondern ist nach unten unbegrenzt; und es gibt (außer exakten Kreisen) keine stationären Planetenbahnen.

  3. Dimension

    Ist mit der Dimension die Räumliche Ausdehnung gemeint, so denke ich bezieht sich die frage sicher auf eine Fläche oder ein Volumen. Müsste man da nicht alle benötigten Elektronen zusammen rechnen und deren Volumen addieren ? Ihre Ausführung in allen ehren, aber für einen nicht-Physiker lustig, aber kaum- oder schwer zu verstehen.

  4. Eigentlich ist ja nicht jeder Computer mit jedem verbunden. Meiner hier zum Beispiel ist RichtungInternet nur mit einer Gegenstelle verbunden, dem Aufschaltknoten meines Providers, der wiederum hat sicherlich eine mindestens zweifach redundante Anbindung an das Internet-Backbone und natürlich einige zigtaussend weitere “einfache” Verbindungen zu den Rechnern weitere Kunden. Zu denen habe ich keine direkte Verbinmdung, sondern nur via einen Hop zum Provider. Die Kundenanbindungen der Provider stellen also jeweils eine Sternförmige Topologie in einem zweidimensionalen Raum dar, womit dann aber schon ein paar und neunzig Prozent der Recher am Internet erschlagen sind.
    Wenn ich wissen wil wie viele Hops es sind von mir bis zu einem bestimmten Rechner im Internet, dann kann ich das mittels des tools traceroute (unix) oder tracert (windows) ganz leicht ermitteln:
    Wie ich das hier am Beispiel miot dem Halunken aus China geamcht habe, der versucht hat in mein Netz einzudringen:

    C:\Users >tracert 222.175.179.157

    Routenverfolgung zu 222.175.179.157 über maximal 30 Abschnitte

    1 2 ms 5 ms 2 ms 192.168.19.254
    2 19 ms 21 ms 19 ms
    3 33 ms 22 ms 21 ms
    4 19 ms 19 ms 21 ms
    5 21 ms 19 ms 19 ms
    6 28 ms 31 ms 27 ms
    7 20 ms 21 ms 22 ms vl-3201-ve-128.ebr2.Dusseldorf1.Level3.net [4.69
    .161.133]
    8 24 ms 22 ms 23 ms ae-46-46.ebr1.Amsterdam1.Level3.net [4.69.143.20
    1]
    9 23 ms 22 ms 27 ms ae-1-100.ebr2.Amsterdam1.Level3.net [4.69.141.17
    0]
    10 30 ms 31 ms 35 ms ae-48-48.ebr2.London1.Level3.net [4.69.143.82]
    11 100 ms 101 ms 101 ms ae-44-44.ebr1.NewYork1.Level3.net [4.69.137.78]

    12 99 ms 98 ms 98 ms ae-61-61.csw1.NewYork1.Level3.net [4.69.134.66]

    13 99 ms 98 ms 99 ms ae-62-62.ebr2.NewYork1.Level3.net [4.69.148.33]

    14 167 ms 171 ms 167 ms 4.69.135.185
    15 167 ms 170 ms 168 ms ae-91-91.csw4.SanJose1.Level3.net [4.69.153.14]

    16 168 ms 169 ms 167 ms ae-44-90.car4.SanJose1.Level3.net [4.69.152.198]

    17 174 ms 210 ms 168 ms CHINA-TELEC.car4.SanJose1.Level3.net [4.71.114.1
    02]
    18 329 ms 329 ms 329 ms 202.97.58.189
    19 329 ms 325 ms 332 ms 202.97.60.37
    20 347 ms 338 ms 339 ms 202.97.33.33
    21 320 ms 320 ms 323 ms 202.97.40.102
    22 348 ms 348 ms 353 ms 60.235.32.6
    23 329 ms 328 ms 331 ms 60.235.32.246
    24 327 ms 326 ms 325 ms 222.175.179.157

    Ablaufverfolgung beendet.

    In diesem Fall waren es also 24 Hops von mir nach China. Auf dem erstn Teil des Weges und auf dem letzten war die Anzahl der Freiheitsgrade wohl 1, da wir beide wohl keine redundante Anbindung haben. Die 22 Knoten dazwischen haben wohl zwischen 2 (mein provider) und Zigtausend (die leve13.net Knoten) direkte mögliche alternative Kommunikationspartner. Nimmt man mal an, dass das im Schnitt 10 bis 1000 sind, dannn lässt sich die Dimension des Raumes (= Anzahl der Freiheitsgrade der Kommunikation in dem durch die beiden Computer (meiner und der des Bösewichts) aufgespannten Rau) grob abschätzen mit:
    10^22 – 10^24

    Achja, der mir nahe liegende Teil der tracert Tabelle ist anonymisiert.

  5. @morrg Nicht alle Verbunden

    Selbstverständlich sind nicht alle Computer miteinander verbunden. Die hier gemachten Überlegungen sind natürlich eine Spielerei. Nicht umsonst hat Julia Seeliger “zum Spaß” geschrieben.

    Ich habe die Anregung aufgenommen, weil sie so schön zu meinen Beiträgen zu Vektorräumen und zur Relativitätstheorie passt. Das werde ich demnächst nochmal vertiefen.

    Was Ihre Abschätzung anbetrifft, so bedingt natürlich nicht jeder mögliche Weg (Sie nennen ihn Freiheitsgrad) eine Dimension. In dem zweidimensionalen Netz des letzten Bildes führen auch viele Wege von der Kugel unten links zur Kugel oben rechts. Es sind dennoch nur zwei Dimensionen. Und auch um auf der Erdoberfläche zum Beispiel von Hamburg nach München zu kommen, kann man unzählige Wege finden, ohne dass man mehr als drei Dimensionen annehmen muss.

  6. Raum als Form unserer Anschauung

    Also ich als Nicht-Physiker fand’s sehr schön verständlich. Was ich verstanden habe, das ist natürlich eine andere Frage.

    Ich habe den Text als Kantianer gelesen. Raum (also 3 Dimensionen) ist uns demnach als Anschauungsform mitgegeben (“weil wir in einer geometrischen 3D-Welt großgeworden sind”). D.h. die Beschränkgung auf 3-Dimensionalität existiert “für uns”, aber nicht “an sich”. Mehr können wir nicht bildlich darstellen, nicht einmal bildlich vorstellen. Relativitätstheorie und subatomare Mehrdimensionalität sind, wenn ich das richtig sehe, mehr mathematisch als anschaulich.

    Mir stellt sich dabei die Frage, ob so etwas wie ein “materieller” Zugang von Menschen zu zusätzlichen Dimensionen überhaupt möglich ist, und in welchem Sinne. Deshalb würden mich Praxisoptionen einer 5., 6. oder n. Dimension interessieren. Kann man daraus Energie gewinnen oder Eigenschaften hinsichtlich der Dimensionen 1-3 manipulieren?

    Lustig auch der Vertipper: “Vermisst man von einem Objekt in unserer Weit[sic] die Abstände zu drei beliebigen anderen Objekten”…

  7. Die Welt wird störend oft empfunden

    Joachim Schulz schrieb (01. Mai 2012, 17:36)
    > Vermisst man von einem Objekt in unserer We[l]t die Abstände zu drei beliebigen anderen Objekten [die dabei nicht zueinander gerade lagen], so sind alle anderen Abstände berechenbar.

    Nennen wir die drei (nicht zueinander geraden) Referenzobjekte “J”, “K” und “N” und betrachten zwei weitere Objekte, “A” und “B”, für die Abstände sowohl zueinander als auch zu den drei Referenzobjekten vermessbar gewesen sein sollen, und von Null verschieden.

    (1.) Allein aus den drei Abständen AJ, AK und AN sind irgendwelche anderen Abstände zwischen den betrachteten Beteiligten nicht berechenbar; also weder JK, JN, KN, noch BJ, BK, BN, noch AB.
    Es ist lediglich gemäß der Definition von “Abstand” und der damit verbundenen Dreiecksungleichung damit zu rechnen, dass
    JK + AJ ≥ AK,
    JK + AK ≥ AJ, usw.

    (2.) Allein aus den sechs Abständen JK, JN, KN sowie AJ, AK und AN sind irgendwelche anderen Abstände zwischen den betrachteten Beteiligten nicht berechenbar; also weder BJ, BK, BN, noch AB.

    (3.) Allein aus den neun Abständen JK, JN, KN, sowie AJ, AK, AN und außerdem BJ, BK, und BN ist Abstand AB nicht berechenbar; sonderen lediglich eingeschränkt durch
    AB + AJ ≥ BJ,
    AB + BJ ≥ AJ, usw.

    Stattdessen lässt sich
    (4). aus den zehn (von Null verschiedenen) Abständen zwischen gegebenen fünf verschiedenen Beteiligten z.B. der Krümmungsradius (bzgl. symmetrischer Einbettung) dieser Beteiligten berechnen (in Analogie dazu, wie man aus den sechs Großkreisbogenlängen zwischen vier geeignet gegebenen Punkten auf einer Kugeloberfläche den Kugelradius errechnet); bzw. es lässt sich errechnen, ob J, K, N, A und B zueinander flach waren, oder nicht.

    Andererseits, unter der _Annahme_, dass J, K, N, A und B zueinander flach gewesen wären (oder auch unter Annahme eines bestimmten Wertes “ρ” ihres Krümmungsradius) , mag man natürlich auch (Milchmädchen-)Rechnungen anstellen; also z.B. mit den gegebenen oder (ebenfalls) geeignet angenommenen neun Abständen JK, JN, KN, sowie AJ, AK, AN, BJ, BK, und BN den “Abstand AB errechnen”.
    (Übrigens ergeben sich dabei i.A. zwei verschiedenen “Lösungen”; z.B. eine “mit A und B auf der selben Seite bzgl. der von J, K und N bestimmten Ebene”, und eine “mit A und B auf verschiedenen Seiten” …)

  8. @Frank Wapler

    Sie haben es (vermutlich) verstanden. Wenn die Positionen der Körper A, B und C im dreidimensionalen Raum bekannt sind, dann kann man aus den Abständen zu diesen Körpern die Position eines vierten Körpers berechnen (bis auf die Spiegelung). Das mag für Sie eine Milchmädchenrechnung sein, ist aber so.

  9. Wetten, dass der Milchkrug bricht?

    Joachim schrieb (04.05.2012, 13:14):
    > Wenn die Positionen der Körper A, B und C im dreidimensionalen Raum bekannt sind, dann kann man aus den Abständen zu diesen Körpern die Position eines vierten Körpers berechnen

    Im oben (04.05.2012, 11:19) zitierten Blogtext war ausschließlich von “[vermessenen] Abständen” bzw. der “[Berechnung aller] anderen Abstände” die Rede;

    nicht von “Positionen” (was auch immer das sein soll — vermutlich mal wieder irgendwelche Koordinaten-verseuchte Nebensächlichkeiten).

    Krümmungsradien berechnet man jedenfalls aus Abständen; und wenn man einen Wert des Krümmungsradius (oder Flachheit) annimmt, ohne alle Abstände (oder zumindest Abstandsverhältnisse) der betrachteten Beteiligten schon vermessen zu haben, dann ist diese Annahme i.A. experimentell prüfbar.

    > (bis auf die Spiegelung).

    Ob man wohl auch von “Spiegelung” spricht, falls die Beteiligten nicht als zueinander flach vermessen (oder so angenommen) wurden??

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