Nachdem wir im letzten Blogbeitrag die Mathematik der Pythagoreer und anderer griechischer Philosophen der damaligen Zeit studiert haben, müssen wir uns jetzt damit beschäftigen, welche Schlüsse die Pythagoreer aus Ergebnissen ihrer Studien gezogen haben. Dazu müssen wir uns vorher noch die Gemeinschaft der Pythagoreer etwas anschauen, um auch das weitere Schicksal der pythagoreischen Philosophie zu verstehen.

Die Gemeinschaft der Pythagoreer

Die Gruppe um Pythagoras bestand keineswegs aus vorwiegend weltfremden Philosophen, die allein Freude an mathematischen Problemen hatten. Aus späteren antiken Quellen (Iamblichos, 3./4. Jhdt) erfährt man, dass es bei den Pythagoreern später zwei Gruppen gab: „Mathematiker hießen jene, welche mehr in den besonderen, und im Hinblick auf Exaktheit gepflegten Lehre seiner Wissenschaft unterrichtet worden waren, Akusmatiker, jene, welche nur die kurzgefassten Vorschriften ohne exakte Begründung vernommen hatten.“ (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. 137, Nr.20). 

Hier zeigte sich auch schon, wie soziale Trennungen entstehen:  Für die Akusmatiker (ἄκουσμα = Akousma = auditive Wahrnehmung) waren die Mathematiker gar keine richtigen Pythagoreer. Andererseits verstanden sich die Mathematiker als eine Art „höherer“ Pythagoreer. Franz Schupp erwähnt in diesem Zusammenhang, dass es später bei den Gnostikern und frühen Christen auch eine ähnliche Unterscheidung gegeben habe: Es gab „Pistiker“, die einfachen Gläubigen, und „Gnostiker“, die eine höhere Einsicht haben oder solches nur behaupten (Schupp, 2003a, p. 67). In unserer Zeit sind es in den Religionen das „einfache Volk“ und auf der anderen Seite die Gruppe der Priester und Theologen.

Der Vergleich passt aber nicht in allen Aspekten. Man könnte es nämlich nicht unvernünftig nennen, wenn Pistiker oder Gläubige die Lehren der Gnostiker in Zweifel ziehen würden oder ganz vom Glauben abfielen. Sie wenden sich dann ja nur von den Setzungen bestimmter Autoritäten ab. Unvernünftig, also gegen die Vernunft handelnd, wäre es aber, wenn Akusmatiker mathematische Beweise grundsätzlich nicht anerkennen würden. Sie könnten sich höchstens so weit unterrichten lassen, dass sie fähig werden, die Beweise auf ihre Richtigkeit überprüfen zu können.   

Beide Denkweisen, die dem Mythos wie die dem Logos nahestehende, gab es also in der Gemeinschaft und natürlich auch in einzelnen Köpfen. Und für spätere Zwecke ist es ratsam beim Mythos noch eine Unterscheidung zu treffen, nämlich in eine „rein philosophische“ Richtung, die eine Ähnlichkeit zwischen Strukturen der Natur und der Struktur mathematischer Begriffe, also zwischen den „Prinzipien des Mathematischen und die Prinzipien der seienden Dinge“ sahen, und in eine stark religiöse Richtung, die dieses Weltbild so weit interpretierte, dass man daraus strenge Regeln für das Leben und Zusammenleben folgern zu können glaubte. Zu dieser religiösen Richtung will ich auch die Seelenlehre zählen, die Zuordnung der Zahlen zu irgendwelchen Tugenden wie auch all die Vorschriften für das Leben, die man z.B. in der Liste von „Akusmata“ von Iamblichos findet (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. 193, Nr.102).

Was ich von der Seelenlehre gesagt habe, soll natürlich allgemein von der religiösen Richtung des pythagoreischen Denkens gelten. Dieses soll hier keine Rolle spielen.  

Die Prinzipien des Mathematischen und die Prinzipien der seienden Dinge

Wenn man sich einen Überblick über die Mathematik der frühen Griechen verschaffen will, dann muss man sich die Mühe machen, die „Elemente“ des Euklid von Alexandria zu studieren. Euklid muss dieses Lehrbuch in den Jahren um -300 geschrieben haben, und nach Proklos Diadochos (412 bis 485) hat er dabei „vieles aus Eudoxos verwendet, vieles von Theaitetos Behandelte zum Abschluss gebracht, und was von Früheren nur oberflächlich dargestellt war, durch unanfechtbare Beweise gestützt“. Ob das gerecht geurteilt ist, wissen wir nicht.

Auf jeden Fall müssen wir feststellen, dass unter den Mathematikern, die später in irgendwelchen Listen frühgriechischer Mathematiker auftauchen, nicht allzu viele Pythagoreer gewesen sind. Aus den pythagoreischen Gemeinschaften bzw. Bünden sind uns aber auf jeden Fall zwei Gruppen bekannt, deren Führer Philolaos (-470 bis -399) und Architas von Tarent (-428 bis -347) berühmte Mathematiker waren, und deren mathematische Ergebnisse heute noch bemerkenswert sind.

Von Philolaos wissen wir über den Sammler antiker philosophischer Schriften Stobaios (5. Jhdt.), welches Weltbild die Pythagoreer aus ihren mathematischen Studien abgeleitet haben. In einem der Fragmente, die uns von ihm überliefert sind, heißt es:

 „Und es ist wahrhaft alles, was man erkennen kann, Zahl, denn es ist nicht möglich, irgendetwas zu verstehen oder zu erkennen ohne diese“ (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. S. 147, Nr.28).

Der Begriff der Zahl ist danach also die Grundlage einer jeden Erkenntnis. Wenn man etwas erkennen will, muss es quantitativ formulierbar sein. Und in der quantitativ formulierbareren Erkenntnis entdeckt man die Ordnung und die Harmonie der Welt. In einem anderen Fragment heißt es:

„Es wäre jedoch ausgeschlossen, dass eines von den Seienden und von uns Menschen erkannten Dingen entstanden wäre, wenn es nicht auch schon das Wesen der Dinge gäbe, aus dem die Welt zusammengesetzt ist: Das Wesen der Begrenzenden und Unbegrenzten. Da aber diese Prinzipien […] nicht gleich sind, [..] muss es notwendig durch eine derartige Harmonie zusammengeschlossen sein, wenn es in der Weltordnung enthalten sein will.“ (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. 145, 27).

Mit dem Begriff der Zahl kommt auch das Unbegrenzte in den Blick. Aus der Tatsache, dass es die seienden Dinge gibt, muss man also folgern, dass dieses Unbegrenzte in Harmonie mit dem Begrenzten existiert. Es liegt nahe, dass es insbesondere die Entdeckung der rationalen Frequenzverhältnisse bei den Saiten z.B. des Tetrachords war, die hier die Verbindung von Zahlen mit einer Harmonie nahelegte. (Aristoteles, kein Datum) sagt dazu:

„Da sie nun auch darauf aufmerksam wurden, dass die Verhältnisse und Gesetze der musikalischen Harmonie sich in Zahlen darstellen lassen, und da auch alle anderen Erscheinungen eine natürliche Verwandtschaft mit den Zahlen zeigten, die Zahlen aber das erste in der gesamten Natur sind, so kamen sie zu der Vorstellung, die Elemente der Zahlen seien die Elemente alles Seienden und das gesamte Weltall sei eine Harmonie und eine Zahl.“

Wenn man einmal einen solchen Gedanken gefasst hat, sieht man in der Geometrie auch die Schönheit der regelmäßigen Polyeder durch die Beziehungen zwischen den dort vorliegenden Zahlen verursacht.  

Die Pythagoreer gingen allerdings noch weiter. Aristoteles spottet darüber: „Was sich nur irgendwie an Übereinstimmungen zwischen den Zahlen und Harmonien einerseits und den Prozessen und Teilen des Himmelsgewölbes und dem gesamten Weltenbau andererseits auftreiben ließ, das sammelten sie und suchten einen Zusammenhang herzustellen; wo ihnen aber die Möglichkeit dazu entging, da scheuten sie sich auch nicht vor künstlichen Annahmen, um nur ihr systematisches Verfahren als streng einheitlich durchgeführt erscheinen zu lassen.“

Dazu führte er ein Beispiel an:

„Da sie die Zehn für die vollkommene Zahl halten und der Meinung sind, sie befasse die gesamte Natur der Zahlen in sich, so stellen sie die Behauptung auf, auch die Körper, die sich am Himmel umdrehen, seien zehn an der Zahl, und da uns nur neun in wirklicher Erfahrung bekannt sind, so erfinden sie sich einen zehnten in Gestalt der Gegenerde.“

Die Gegenerde hatte Philolaos erfunden. Man hatte auch ein Argument dafür parat, dass man diese nie sehen konnte: Sie sollte von der Erde aus gesehen immer genau hinter der Sonne stehen.

Man erinnert sich unwillkürlich an manche Hypothesen der Physik, z.B. an die Annahme Wolfgang Paulis, dass es ein bestimmtes Teilchen geben müsse, dass bei dem Zerfall eines Neutrons eine bestimmte Energie mit sich führt, so dass die Erhaltung der Energie auch hier bestätigt werden konnte. Der Unterschied ist aber ganz wesentlich: Zu Zeiten Paulis war die Hypothese ein Auftrag zur Nachprüfung, bei Philolaos war eine Überprüfung nicht denkbar. Es war also reine Metaphysik.  

Die Krise:  Inkommensurable Größen statt Zahlen

Aber nicht von diesen und anderen nicht überprüfbaren Aussagen drohte den Pythagoreer Unheil mit ihrer Philosophie. Dieses kam mit einer Entdeckung, die im Kern ihre Philosophie erschütterte. Um das zu verstehen, muss man ein wenig ausholen:

Die Pythagoreer kannten die natürlichen Zahlen {1,2,3,…} und die positiven rationalen Zahlen, also Verhältnisse von natürlichen Zahlen wie 3/4 oder 2/5. Da diese Zahlen die Beschaffenheit der Welt wiederspiegeln sollten, mussten auch alle Dinge ein Maß besitzen, das sich durch diese Zahlen ausdrücken lässt. Die Länge einer Strecke z.B. musste sich durch ein Vielfaches einer Einheitslänge ausdrücken lassen und für zwei Strecken musste es immer eine gemeinsame Einheitslänge geben. In Zahlen ausgedrückt: Es musste einen gemeinsamen Teiler g für zwei Zahlen geben, so dass die beiden Zahlen m und n als ganzzahliges Vielfaches von g darstellbar ist. Der größte dieser Teiler heißt dann sinnigerweise „größter gemeinsamer Teiler“ (GGT). Man denke an die Schulzeit. Für die Pythagoreer mussten also alle Strecken in diesem Sinne „kommensurabel“ sein, ja, alle Dinge der Welt mussten kommensurabel sein, also ein gemeinsames Maß haben. Denn die Zahlen regieren die Beschaffenheit der Welt.

Die antiken Griechen hatten sogar einen Algorithmus gefunden, mit dem sie leicht den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlichen Zahlen ausrechnen konnten. In Abb. 1 wird dieser demonstriert:

Dieses Verfahren wird als „Wechselwegnahme“ bezeichnet und findet sich in Euklids „Elementen“; aber schon die Pythagoreer sollen diesen Algorithmus gekannt haben.

Nun kannten die Griechen aber auch, und die Pythagoreer schon gar, den so genannten Satz des Pythagoras. In einem Quadrat der Seitenlänge 1 hat die Diagonale eine Länge, deren Quadrat nach diesem Satz gleich 1² + 1² = 2 ist. Sie kannten aber keine Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Seitenlänge und Diagonale können also nicht kommensurabel sein.

Wenn jemand noch an irgendeinen Ausweg sucht, kann man ihn mit einem strengen Beweis überzeugen:

Nennen wir die Größe, deren Quadrat gleich 2 ist, schon einmal $*latex \sqrt{2}$ , so wie wir es heute tun, und stellen die Behauptung auf, dass sich diese Größe als Zahl im Sinne der antiken Griechen, also als ein Verhältnis von natürlichen Zahlen darstellen lässt. Dann gilt also

\(\sqrt{2} = m/n\).

Die Zahlen m und n kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit so wählen, dass die Aussage

A:= „m und n sind teilerfremd“

wahr ist. Quadrieren der Gleichung ergibt

2 = m²/n², also auch m² = 2·n²

Darauf folgt, dass m eine gerade Zahl ist, dass man also m = 2·k schreiben kann, somit auch m² = 4·k² ist. Damit gilt mit Hilfe der vorherigen Gleichung auch 4·k² = 2·n², also n² = 2·k², was nun schließlich heißt, dass n wie n² durch 2 teilbar ist. Also: m und auch n sind durch 2 teilbar.

Insgesamt kommen wir so zum Schluss, dass m und n nicht teilerfremd sind, d.h. die Aussage A ist falsch, obwohl sie als wahr angenommen wurde. Dann kann A nicht wahr sein. Denn aus einer wahren Aussage kann man nie logisch schließen, dass sie falsch ist. Das ist einleuchtend. In einem späteren Blogbeitrag werde ich diesen logischen Schluss streng formal im Rahmen einer so genannten Aussagenlogik zeigen.

Das Verhältnis \(\sqrt{2}\) : 1 lässt sich also nicht als ein Verhältnis natürlicher Zahlen m/n darstellen.  Eine natürliche Zahl und eine Größe wie \(\sqrt{2}\) haben also kein gemeinsames Maß, sie sind inkommensurabel.

Die Größe \(\sqrt{2}\) wurde bis in die Neuzeit nicht als Zahl akzeptiert. Solche nicht-rationalen, als irrationalen Zahlen wurden höchstens als „unmögliche“ oder „eingebildete“ Zahlen gesehen. Man konnte zwar mit ihnen rechnen, ihr Quadrat war nun einmal gleich 2, aber man konnte diese Größen nie vollständig hinschreiben, wie es sich „für eine Zahl gehörte“. Erst Ende des 19.Jahrhunderts lernte man, den Zahlbegriff so zu definieren, dass auch irrationale Größen als eine besondere Klasse von Zahlen akzeptiert werden konnten.

Diese Entdeckung, dass es in der Natur Strecken geben kann, deren Länge sich nicht als eine rationale Zahl darstellen lässt, hat die Pythagoreer stark erschüttert. Dieses Wissen müsse geheim bleiben, so glaubte man. Iamblichos (245 bis 325) kolportiert in seinem Buch Über das pythagoreische Leben die Geschichte, dass jemand diese Entdeckung ausgeplaudert haben soll. Dieser sei dann aus dem gemeinsamen Kreis ausgeschlossen worden und später sei er gar im Meer umgekommen (Mansfeld & Primavesi, 2011, pp. 171, Nr.61,62). Wie alle Anekdoten aus dieser Zeit kann man auch diese zur Unterhaltung einstreuen. Glauben muss man sie nicht.

Das Erbe der Pythagoreer

Die antiken Griechen waren die Ersten, die aus dem mathematischen Wissen, das ihnen von früheren Völkern überliefert worden war, eine Wissenschaft machten. Sie fanden nicht nur interessante Beziehungen zwischen mehreren Zahlen sowie zwischen Zahlen und geometrischen Figuren, Körpern und Klängen. Noch viel bedeutsamer ist, dass sie eine Argumentation entdeckten, die unanfechtbar ist, also das darstellt, was wir heute einen mathematischen Beweis nennen.

Euklid von Alexandria hat dieses Wissen gesammelt und in eine logische Ordnung gebracht. In dieser Ordnung werden Definitionen und Axiome an den Anfang gestellt, und daraus wird das ganze Wissen in Form mathematischer Beweise abgeleitet. Ein „axiomatisch deduktives System“ wurde damit geschaffen. Damit war schon in der Zeit um -300 die Idee einer strengen Wissenschaft nicht nur geboren, sondern auch schon einmal realisiert worden ist. Diese Idee inspiriert bis heute alle, die sich Gedanken darüber machen, was eine Wissenschaft eigentlich ausmacht. In Die Idee einer Wissenschaft – Ihr Schicksal in Physik, Rechtwissenschaft und Theologie habe ich das weiter ausgeführt (Honerkamp, 2017).

Auch in den Jahren nach Euklid ist die Mathematik der Griechen weiter vorangeschritten. Mit Archimedes (ca. -287 bis -212) hat sie dann einen vorläufigen Höhepunkt erreicht. Aber Wissenschaftshistoriker sprechen von ersten Anzeichen des Schwindens kreativer Kräfte schon in den nächsten Jahrhunderten (Russo, 2005).

Pythagoras und die Pythagoreer gaben im antiken Griechenland den Anstoß zu dieser ersten Blüte einer Wissenschaft. Allerdings: Mit ihrer Lehre von der Harmonie übertrieben sie es, ihr religiöser Eifer einschließlich ihrer Vorschriften für den Lebenswandel wirkt heute auf uns höchst befremdlich, mitunter skurril. Mit ihrer Vorstellung von den Zahlen als Grundmuster für die Natur scheiterten sie.  

Dennoch waren sie auf der richtigen Spur. Erst im zweiten Anlauf, 2.000 Jahr später, sollte sich eine Verbindung von Mathematik und Naturforschung ergeben, die dann aber zu einem Verständnis der Natur führte, aus dem heraus die Menschen höchst segens- wie auch schreckensreiche Instrumente entwickeln konnten.