Der optimierte Verkehrsstau oder das Paradox von Braess

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Wenn jeder Autofahrer den für ihn selbst günstigsten Weg wählt, dann müsste doch eigentlich eine für alle Fahrer optimale Lösung herauskommen – sollte man denken. Aber das stimmt nicht.

 

Dieses Bild zeigt ein stark vereinfachtes, aber nicht unrealistisches Straßennetz. A, B, C und D können Städte sein oder auch nur Punkte, an denen mehrere Straßen abzweigen. Wer mit dem Auto von A nach D fahren will, kann entweder den Weg über B oder den über C nehmen. Beide sind im Prinzip gleichwertig; es kommt nur darauf an, mit wie vielen Autos man sich die Straße teilen muss. Die „waagerechten“ Straßen AB und CD sind kurz, aber sehr eng. Ein Auto, das allein dort unterwegs ist, durchmisst sie in zehn Minuten, aber jedes weitere Auto, das zugleich die Straße befährt, verursacht einen Zeitverlust von ebenfalls zehn Minuten, mit dem Effekt, dass die gesamte Fahrzeit über ein waagerechtes Teilstück 10 f Minuten beträgt, wobei f die Anzahl der Fahrzeuge ist. Dagegen sind die „senkrechten“ Strecken zwar lang, aber gut ausgebaut, so dass jedes zusätzliche Auto den Verkehrsfluss nur um eine Minute verzögert.

Die Leute müssen täglich von A nach D zur Arbeit und haben deswegen ausreichend Gelegenheit auszuprobieren, welcher Weg sie die geringste Zeit kostet. Auf die Dauer hat sich der Brauch etabliert, dass von den sechs Fahrern genau die Hälfte (die „Blauen“) den Weg über B und die andere Hälfte (die „Roten“) den über C wählt. (In der Realität müsste eher von Kilo-Autos – Tausenden von Autos – als von Einzelautos die Rede sein; aber auf die Wahl der Einheiten kommt es hier nicht an.) Und dieses Arrangement ist stabil! Sollte es zum Beispiel einem Blauen einfallen, zur Abwechslung über C zu fahren, wäre er statt bisher 83 Minuten 94 Minuten unterwegs. Nebenher würde er seinen blauen Kollegen 11 Minuten Zeitgewinn und den roten einen ebensolchen Zeitverlust einbringen; aber gehen wir davon aus, dass die Leute nicht miteinander reden und sich vor allem nicht um die Wirkung ihres Handelns auf andere scheren. Jedenfalls würde der aufmüpfige Blaue alsbald aus Eigeninteresse zum alten Weg zurückkehren, noch bevor die anderen Gelegenheit haben, sich auf die veränderte Situation einzustellen.

Jetzt wird eine Autobahn von B nach C eröffnet. Auf ihr braucht man nur noch zehn Minuten, plus eine Minute für jedes Fahrzeug, was bei dem Zeitgewinn gegenüber den alten senkrechten Strecken nicht sonderlich ins Gewicht fällt.

Kaum ist die Autobahn freigegeben, da entdeckt ein Blauer, dass er mit dem Schlenker über C volle zwei Minuten einsparen kann: Statt 30 + 53 = 83 Minuten braucht er nur noch 30 + 11 + 40 = 81 Minuten. Nebeneffekt dieser Aktion ist, dass die Roten jetzt 93 statt 83 Minuten brauchen. Da sieht ein Roter Optimierungsmöglichkeiten, wechselt ebenfalls auf den Fahrweg ABCD und holt damit aus seiner Situation immerhin noch eine Minute heraus.

 

Damit ist das perfekte Gleichgewicht wiederhergestellt: Jeder Fahrer braucht auf seinem Weg genau 92 Minuten, und jeder kann sich durch die Wahl eines anderen Weges nur verschlechtern. Aber o weh! Allen Beteiligten geht es neun Minuten schlechter als zuvor.

Dieses Problem heißt Braess-Paradox nach dem Numeriker Dietrich Braess, der es 1968 während seiner Zeit in Münster (Westfalen) ausarbeitete; später war er bis zu seinem Ruhestand 2003 Professor an der Universität Bochum.

Was wir hier sehen, ist die heimtückische Eigenschaft jenes Zustandes, den man als Nash-Gleichgewicht bezeichnet und der auch beim Gefangenendilemma die Beteiligten in Konflikte stürzt. Das Nash-Gleichgewicht ist stabil, weil jeder Beteiligte sich durch einseitiges Abweichen nur verschlechtern kann. Und kooperatives Handeln kommt nicht in Frage, weil nach Voraussetzung die Autofahrer beziehungsweise die Gefangenen nicht miteinander reden. Wenn sie es täten, könnten sie sich natürlich darauf einigen, die Autobahn nicht zu benutzen; aber eine solche Vereinbarung wäre stets gefährdet, weil jeder durch Brechen der Vereinbarung einen Vorteil für sich herausholen könnte.

Die gute Lösung des Problems ist geeignet, jedem Neoliberalen Tränen des Zorns ins Gesicht zu treiben: Die weise Obrigkeit, sagen wir in diesem Fall die Verkehrsbehörde, sperrt die Autobahn – oder baut sie gar nicht erst –, und alle sind glücklicher als zuvor. Damit ist das Braess-Paradox ein schlagendes Beispiel dafür, dass ein globales Optimum sich eben nicht immer dann einstellt, wenn jeder der Beteiligten für sich ein („lokales“) Optimum anstrebt.

Die beschriebene Situation ist übrigens längst nicht so exotisch, wie sie auf den ersten Blick aussieht. Inzwischen gibt es zahlreiche Beispiele dafür, dass das Braess-Paradox in der Realität auftritt. Da wird eine Straße – zum Beispiel für Bauarbeiten – gesperrt, und der Verkehr in ihrer Umgebung fließt besser als zuvor (siehe die Liste im Wikipedia-Artikel zum Thema).

Dasselbe Paradox in der klassischen Mechanik

So wie ich das Braess-Paradox hier beschrieben habe, gehört es zur Spieltheorie und hängt damit entscheidend an dem Bestreben der Beteiligten, ihre jeweils eigene Situation zu verbessern. Die nächste Überraschung ist: Irgendwelche bewussten Absichten sind gar nicht nötig. Es genügt das „Bestreben“ jedes physikalischen Objekts, den Zustand geringster Energie einzunehmen. Und bekanntlich reden die Physiker gerne – und für das Verständnis hilfreich – von solchen Bestrebungen. Ein Gewicht, das an einer Schraubenfeder hängt, möchte gerne einen möglichst tiefen Punkt einnehmen, nur gehindert durch das Bestreben der Feder, sich bis zum entspannten Zustand zusammenzuziehen.

Das linke Teilbild zeigt folgende Situation: Ein Gewicht hängt an zwei Schraubenfedern, die ihrerseits durch ein kurzes Stück Schnur verbunden sind. Zusätzlich sind Sicherheitsleinen angebracht, die für den Fall, dass die Schnur reißt, den Fall des Gewichts ins Bodenlose verhindern sollen. Gegenwärtig hängen sie noch schlaff herunter.

Schneidet man jetzt die Schnur entzwei, so verschafft man dem Gesamtsystem dadurch mehr Freiheiten, als es vorher hatte, ebenso wie der Bau der Autobahn. Die sollte das Gewicht nutzen, seinem Bestreben folgend noch etwas tiefer zu sinken. Aber Überraschung (rechtes Teilbild): Das Gewicht wandert nach oben!

Als ich das vor knapp 30 Jahren las, musste ich es auch erstmal ausprobieren. Die als Spielzeug erhältlichen Schraubenfedern, damals noch aus Metall, leisteten dabei nützliche Dienste. Und wahrhaftig: Sowie die Schnur durchschnitten wird, wandert das Gewicht nach oben, und zwar sofort, ohne auch nur ein bisschen abzutauchen.

Man kann die Energiebilanz der beiden Szenarien durchrechnen und bestätigen, dass das alles seine Richtigkeit hat. Es stellt sich heraus, dass die Gesamtenergie neu verteilt wird: Die beiden Federn nutzen die Gelegenheit, sich zu entspannen, und drücken dadurch dem Gewicht eine potenzielle Energie auf, die es vorher nicht hatte.

Warum kommt einem das trotzdem so seltsam vor? Eine mögliche Erklärung lautet: Wenn an dem ganzen System nur Schraubenfedern beteiligt wären, dann wäre das nicht passiert. Die sind nämlich linear: Kraft ist proportional der Auslenkung (Hooke’sches Gesetz), und zwar zumindest theoretisch auch dann, wenn die Feder über ihren Gleichgewichtszustand hinaus zusammengedrückt wird. Das problematische Element ist die Schnur. Die Kraft, die sie ausübt, ist null im schlaffen und proportional der Zugkraft im gespannten Zustand. Man darf sie in diesem Fall als eine extrem stramme Hooke’sche Feder auffassen.

Dasselbe Paradox gibt es übrigens auch in elektrisch statt mechanisch. An die Stelle der Schnur tritt hier eine so genannte Zener-Diode. Die sperrt den Strom in der einen Richtung und wirkt wie ein gewöhnlicher Widerstand in der anderen. Und da gibt es tatsächlich Stromkreise, bei denen der Strom abnimmt (also der effektive Widerstand zunimmt), wenn eine zusätzliche Leitung freigeschaltet wird.

Welche Weisheit kann man aus diesen verschiedenen Paradoxa ziehen? Vielleicht zwei. Erstens: Wir sind viel zu sehr lineare Systeme gewohnt. Es sind ja auch die theoretisch einfachsten. Irgendeine Nichtlinearität in dem System ist häufig für eine Überraschung gut. Und zweitens: Ein nichtlineares Element ist nicht immer etwas Kompliziertes. Eine simple Schnur ist sozusagen viel nichtlinearer als eine aufwendig hergestellte Schraubenfeder.

Neuerdings haben Kimmo Eriksson und Jonas Eliasson („The Chicken Braess Paradox“, Mathematics Magazine 92:3, S. 213–221, 2019) das originale Braess-Paradox mit dem Straßenverkehr erheblich erweitert. Da gibt es eine Verbindungsstraße, die zu befahren in beiden Richtungen auf dem Weg zum Ziel sinnvoll ist. Aber sie ist so eng, dass man sich an zahlreichen Stellen mit dem Gegenverkehr arrangieren muss, was richtig Zeit kostet. Also ist es rational für jeden der Beteiligten, die Straße zu meiden, sowie auch nur ein Auto in der Gegenrichtung auf ihr unterwegs ist.

Und was passiert, wenn zwei Autos gleichzeitig an entgegengesetzten Enden dieser Straße auftauchen? Dann haben wir eine Situation, die in der Spieltheorie als „Chicken game“ („Feiglingsspiel“) bekannt und berüchtigt ist. In der Standarddarstellung rasen zwei Autos frontal aufeinander zu; wer zuerst ausweicht, hat verloren. Offensichtlich gewinnt dabei derjenige, der glaubwürdig den Eindruck vermittelt, sein eigenes Leben sei ihm nichts wert. Eine einst heiß diskutierte Version des Chicken game ist die Drohung mit dem totalen Atomschlag, mit der Gewißheit, dass die Gegenseite ebenso zerstörerisch zurückschlagen kann und wird („MAD“ wie „mutually assured destruction“).

Aber hier geht es ja nicht gleich um den Weltuntergang, sondern nur um den Straßenverkehr. Und für den finden Eriksson und Eliasson auch kooperativere Lösungen.

Über das originale Braess-Paradox und die mechanische sowie die elektrische Variante habe ich in Spektrum der Wissenschaft (November 1992, S. 23) einen Artikel geschrieben. Leider gibt es so alte Artikel nicht online (nicht einmal für Geld). Grundlage war eine Arbeit von Joel Cohen und Paul Horowitz in Nature 352, S. 699, 1991.

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

49 comments

  1. Die gute Lösung des Problems ist geeignet, jedem Neoliberalen Tränen des Zorns ins Gesicht zu treiben: Die weise Obrigkeit, sagen wir in diesem Fall die Verkehrsbehörde, sperrt die Autobahn – oder baut sie gar nicht erst –, und alle sind glücklicher als zuvor.

    Ein typischer Irrtum. 🙂 Es gibt sicher keinen Neoliberalen, der staatlichen Autobahnbau empfiehlt. Eine wirklich harte neoliberale Lösung wäre eine Privat-Autobahn, auf der man sich gewisse Privilegien (z.B. freie Spuren auf der teuren Erste-Klasse-Autobahn) dazubuchen kann.

    Angenehmer Nebeneffekt: In einer neoliberalen Autobahnwelt gäbe es viel weniger Autobahnkilometer, also auch viel weniger Umweltzerstörung bzw. Zerschneidung von Biotopen.

    Der Hauptfehler im genannten Beispiel ist, dass eine (aus ökologischer Sicht irrsinnige) Leistung kostenlos angeboten wird.

    • @Tim: in der Praxis gibt es ja solche neoliberale, private Lösungen. So gibt es mehrere Seeufer mit lauter privaten Ufer-Parzellen und der Unmöglichkeit ans Ufer zu kommen, wenn einem das Land nicht gehört. Solche privaten Lösungen tendieren dazu, Lösungen für wenige zu sein.

      Wobei es theoretisch nicht unbedingt zwingend ist, dass breitere Interessen in einem neoliberalen Modell nicht auch berücksichtigt werden können.

      • @ Martin Holzherr

        Ich möchte ja auch gar nicht dafür plädieren, alles zu privatisieren. 🙂 Ich wollte nur zeigen, dass die Zuschreibung im Artikel falsch ist, weil Neoliberale das Autobahn-Angebot eben ganz anders strukturieren würden. Es ist ja geradezu eine Kernforderung neoliberalen Denkens, immer die vollständigen Kosten eines Angebots einzupreisen, auch die externen. Das geschieht bei Autobahnen in Deutschland leider nicht. Tatsächlich beschreibt der Artikel eher die Tragik der Allmende, also etwas völlig anderes.

        • @Tim
          Aus dem Allmendeproblem wird Neoliberalismus abgeleitet und Ressourcenverbrauch gerechtfertigt. Es ist beides.
          Optimal wäre,nicht von A nach D oder B zu C zu wollen bzw. müssen.

        • Hm. Das müssen ziemlich theoretische Neoliberale sein, die stets auch die externen Kosten einpreisen. Von den real existierenden Liberalen haben ich solch weise Überlegungen nicht vernommen.
          Aber zurück zum Thema: Externe Kosten kommen in dem geschilderten Modell zum Braess-Paradox gar nicht vor. Ein Autofahrer drückt die Kosten seiner Anwesenheit auf der Straße (in der Realität schon, aber in diesem Modell) nicht irgendwelchen Unbeteiligten auf, sondern seinesgleichen! Das kommt in der Tat der Tragik der Allmende näher.
          Und ich bleibe dabei: Auch das ist für Neoliberale echt zum Heulen. Indem jeder nur seinen Vorteil verfolgt, erreicht das System nicht ein Optimum, sondern großen Mist. Und was hilft dagegen? Es muss ja nicht die Obrigkeit sein; ein demokratischer Mehrheitsbeschluss tut’s auch. Aber der Markt tut’s eben nicht.

          • @ Christoph Pöppe

            Aber der Markt tut’s eben nicht.

            Man darf das Pferd nicht von hinten aufzäumen. Nicht der Markt verursacht das Problem, sondern die Tatsache, dass Autobahnen in Deutschland eben kein Markt sind.

            Die Leistung wird vom Staat kostenlos angeboten, so dass (zusätzlich zu den genannten Umweltschäden) die typischen Allmende-Probleme auftreten. Marktmechanismen kann und sollte man hingegen nutzen, um bei knappen Ressourcen die im Artikel beschriebenen Probleme zu entzerren.

            Aber es ist ganz typisch, dass vom Staat verursachte Probleme aus Unkenntnis gern dem Markt oder natürlich den Neoliberalen zugeschoben werden.

          • @Tim:
            Ich fürchte, der Markt kann’s nicht tun. Selbst unter günstigen Voraussetzungen.
            Sagen wir Deutschland Anfang der 1930er. Firma X erwägt, eine Autobahn von A nach B zu bauen. Das sind erstmal Investitionen in Milliardenhöhe. Wenn die Autobahn in Betrieb ist, erspart sie den Autofahrern so viel Zeit (oder macht für sie das Fahren überhaupt erst rational), dass sie bereit sind, eine fette Maut dafür zu bezahlen. Von den Mauteinnahmen muss die Investition wieder reinkommen, und zwar innerhalb eines überschaubaren Zeitraums. Der liegt realistischerweise bei 30 Jahren oder darüber.
            (Trauriges Beispiel: der Tunnel unterm Ärmelkanal. Der wurde zu Marktbedingungen finanziert, ist de facto pleitegegangen, weil bei den hohen Mautpreisen nicht genug Kundschaft kam, und heute noch nicht richtig ausgelastet. Offensichtlich ist es zum Teil immer noch günstiger, das Theater mit der Fähre in Kauf zu nehmen, als die Trassenpreise zu zahlen.) Mehr als 30 Jahre Geduld aufzubringen ist für eine Bank nicht rational; zu viel kann in der Zwischenzeit passieren.
            Nehmen wir an, Firma X findet Geldgeber mit ausreichend Geduld. Dann muss sie immer noch sicherstellen, dass Konkurrentin Y nicht eine Parallelautobahn baut, wird also vom Staat ein Monopol einfordern. (Oder sie müsste mit aberwitzigen Wachstumsraten für den Verkehr rechnen – die sind zwar eingetreten, waren aber damals nicht vernünftig vorstellbar.) Und schon hat der Kunde nicht die Option, sich zwischen verschiedenen Autobahnanbietern zu entscheiden, sondern nur, Autobahn, Landstraße oder gar nicht zu fahren. Schwierig, unter diesen Umständen von einem Markt zu sprechen.
            Weiter: Richtig attraktiv für den Nutzer (und lukrativ für Firma X) wird die Autobahn erst, wenn man von A über B hinaus nach C fahren kann. Was macht Firma X? Ein Autobahnnetz durchs ganze Land planen? Dann muss sie so groß und systemrelevant sein, dass sie vom Staat nur noch mühsam zu unterscheiden ist. Insbesondere würde dem Staat nichts überig bleiben, als im Insolvenzfall einzuspringen. Mehrere Autobahnbetreiber stecken lokale Claims ab und beschränken sich auf diese? Ist reine Augenwischerei. Die Firmen hängen in ihrem Wohlergehen voneinander ab und täten gut daran, schon wegen der Synergieeffekte alsbald zu fusionieren. Ist jedenfalls kein Markt. Vergleiche den Markt der regionalen Eisenbahnlinien. Da gibt es immerhin Konkurrenz unter verschiedenen Bahnunternehmen, aber die Synergie leidet, wie der Bahnkunde unschwer schmerzlich feststellen kann.
            In der Provinz Ontario (Kanada) gibt es tatsächlich eine private (mautpflichtige) Autobahn parallel zu einer existierenden staatlichen. Schwer vorstellbar unter deutschen Platzverhältnissen. Ja, die staatlichen kanadischen Autobahnen sind ziemlich heruntergekommen. Es ist unklar, ob es den Kanadiern insgesamt besser geht als uns, was das Autofahren angeht. Klar, die zahlen minimale Mineralölsteuer; davon kann der Staat keine ordentlichen Straßen finanzieren. Wenn sie jetzt die fetten deutschen Steuern zahlen würden und hätten dafür deutsche Autobahnen, auf denen es sich komfortabler fährt und ihre Autos länger halten – das wäre vielleicht ein Geschäft. Aber nicht einmal das könnte ein Markt vermitteln.
            Nichts gegen den Markt. Aber so große Strukturen (sehr viel Geld, sehr lange Zeiträume, große Unsicherheiten) kann er sozusagen konstruktionsbedingt nicht regeln.
            Je länger ich darüber nachdenke, desto absurder wird es.

    • Es lag ja, im dankenswerterweise zV gestellten Artikel, ein Gag vor, Dr. Webbaer ist ‘neoliberal’, zieht aber die Adjektivierungen mit ‘ordoliberal’ und ‘sozialiberal’ deutlich vor.
      (‘Neoliberal’ klingt ja so, als ob es beim ersten Versuch, lol, nicht geklappt hätte, es ist ansonsten schon so, dass die Europäische Aufklärung zu liberalem Handeln, auch das Sapere-Aude meinend, angeleitet hat, das ganze, auch hier vorkommende Gerühre wäre ansonsten auch gar nicht vorstellbar, in kollektivistischem Gesamtsystem.
      Sich als ‘neoliberal’ zu bezeichnen müsste insofern zuvörderst schlechtes Marketing bedeuten.)

      Herr Dr. Pöppe versucht offensichtlich ins Emotionale zu verschieben.

      Dank an Herrn Dr. Pöppe für seine Toleranz!

      MFG
      WB (der zu diesem Thema noch einiges zu sagen hätte, allerdings mittlerweile als sozusagen neoliberal ein wenig kauert)

  2. Bis 0,65 Volt sperrt eine Siliziumdiode. Danach steuert sie sofort in die Sättigung.
    Bei der Zenerdiode ist der Sperrbereich bis – 5 Volt , sie kann also universeller eingesetzt werden.
    Z.B. bei Spannungskonstantern, wenn die Spannung überschritten wird, dann öffnet die Zenerdiode.

    Was jetzt die zwei Federn und die zwei Sicherungsseile betrifft, wenn man die Sicherungsseile so lang wählt, dass beim Durchschneiden des Fadens zwischen den Federn keine Lageänderung des Gewichtes erfolgt, was bedeutet das ? Ich verstehe das Paradoxon nicht.

    • Was jetzt die zwei Federn und die zwei Sicherungsseile betrifft, wenn man die Sicherungsseile so lang wählt, dass beim Durchschneiden des Fadens zwischen den Federn keine Lageänderung des Gewichtes erfolgt …

      Das wäre der Fall, wenn im linken Teilbild die Sicherungsseile schon stramm sind, bevor der Faden durchgeschnitten wird, richtig? Oder, vielleicht einfacher nachzuvollziehen: Wir machen in Gedanken den Faden länger, bis die Seile stramm sind. Dabei sinkt das Gewicht, das gesamte System verliert also Energie (nämlich die potenzielle Energie des Gewichts, an den Federn hat sich ja nichts getan). Wenn man jetzt den Faden durchschneidet, hat das System nichts mehr zu verlieren, und deswegen bewegt sich auch nichts. Das ist also nur der langweilige Grenzfall, in dem der Effekt verschwindet.
      Mir hat es damals geholfen, die Energiebilanz durchzurechnen.Geeignete Beispielzahlen sind: Das Gewicht hat etwas mehr als 50 Gramm Masse, so dass es mit einer Kraft von 0,5 Newton nach unten zieht. Die Federkonstante D beider Federn ist 1 Newton pro Meter; zieht man sie um eine Länge x auseinander, so gewinnen sie dadurch \(Dx^2/2\) an potenzieller Energie. Der Faden ist 3/8 Meter lang, die Sicherheitsleinen jeweils 1 Meter. Nach Durchschneiden des Fadens ist das Gewicht um 1/8 Meter gestiegen (macht 1/16 Nm potenzieller Energie). Aber die Federn haben vorher beide einer Kraft von 1/2 N die Waage gehalten und sich daher um 1/2 Meter verlängert, was jeder eine potenzielle Energie von 1/8 Nm einbrachte. Hinterher muss jede von ihnen nur noch die Hälfte der Kraft (1/4 N) tragen, ist nur noch 1/4 Meter ausgelenkt und hat deswegen nur noch 1/32 Nm potenzielle Energie. Beide zusammen haben also 3/16 Nm potenzielle Energie abgegeben – dreimal so viel, wie das Gewicht zugelegt hat.

  3. @Pöppe
    Der Markt und der Wettbewerb wird immer argumentiert mit optimalem Einsatz der Ressourcen. Gleichzeitig steigt der Ressourcenverbrauch. Paradox.Warum?
    Rätsel an die Redaktion!

    • Kein Paradox, aber ein geläufiger Effekt, der häufig Anlass zur Sorge gibt: der so genannte Rebound-Effekt. Es gelingt, ein Gut (Ware oder Dienstleistung) mit geringerem Ressourceneinsatz herzustellen. Daraufhin wird das Gut günstiger, und daraufhin kaufen mehr Leute das Gut als zuvor, und zwar ist der (prozentuale) Anstieg der Nachfrage größer als die Preissenkung (Nachfrageelastizität größer als 1).
      Vom Rebound-Effekt bedroht sind insbesondere Güter, an denen man sich nicht “überfressen” kann, wo es also keine natürliche Sättigung gibt. Das gilt merkwürdigerweise insbesondere für den Straßenverkehr. Man beobachtet, dass eine neue Straße zunächst die Fahrzeiten verkürzt; daraufhin gibt es jede Menge Fahrten über die neue Straße, die ohne sie nicht stattgefunden hätten, mit dem Effekt, dass Staus anderswo entstehen (und nach Straßenausbau schreien). Ganz ohne Braess-Paradox.

  4. Es ist möglich, dass eigenzentriertes Handeln zu einem generellen Misserfolg führt, wenn eigenzentriertes Handeln nicht strafbewehrt und frei ist.
    Es ist möglich, dass dirigistische Vorgaben so abwenden, im Erfolg günstig(er) erscheinen.

    Hier, bei – ‘Die gute Lösung des Problems ist geeignet, jedem Neoliberalen Tränen des Zorns ins Gesicht zu treiben’ – wird geschmunzelt, kollektivistische Einstellung des werten hiesigen Inhaltegebers vermutend.
    Statt ‘neoliberal’ ginge womöglich auch schlicht liberal, die sog. unsichtbare Hand meinend.

    Die Kunst sozusagen besteht darin Systeme (der Wirtschaft) so zu schaffen, in denen bei den Mitarbeitern ein Drang entsteht dem Unternehmen durch Eigennutz (!) zu nützen, günstig gewählte Interessenabgleiche meinend.
    So dass sich da spieltheoretisch sozusagen nicht nagen lässt, Dr W weiß, was er schreibt.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer

    • Schon recht, die klassischen Liberalen dürfen mit den Neoliberalen gerne mitweinen. Für unser Thema ist der Unterschied zwischen liberal und neoliberal nicht wirklich bedeutend.
      Aber bitte verzichten Sie auf Spekulationen über meine Grundeinstellung. Und zwar nicht nur, weil sie in diesem Fall (“kollektivistisch”) grottenfalsch sind. Es ist eben nicht eine vorgefasste Ideologie, die mich veranlasst, über das Braess-Paradox (oder irgendein Thema) zu schreiben. Sondern erst ist das mathematische Thema interessant, und dann ergeben sich daraus Folgerungen, die vielleicht auch eine Grundeinstellung beeinflussen können. Nicht andersherum!

      • Es kann sein, dass zweckmäßige Lösung überhaupt nicht politisch ist.
        Wie beim Militär sozusagen, allerdings war es der werte hiesige Inhaltegeber, der eine politische Note (zuerst) beigebracht hat.
        Dr. W wüsste, nach erneutem Beharken, auch nicht, wie das mit dem Weinen gemeint ist.


        Insgesamt ist es so, dass in der Wirtschaft amoralisch (vs. unmoralisch) gehandelt wird, sich hier gar kein politischer Bezug ergibt.
        Es sei denn, er wird irgendwie konstruiert.
        Es gibt viele Beispiele dafür, wie freies individuelles Handeln in die sozusagen Sackgasse führen kann.

        Mit freundlichen Grüßen
        Dr. Webbaer

  5. Zum Wesen des sog. Nash-Equilibrium, Dr. W muss immer noch ein wenig schmunzeln darüber, dass eine derartige Beschau, eine derartige Theoretisierung erst vor ca. 70 Jahren beigebracht werden konnte, Dr. Webbaer sich hier auskennen tun :

    Es hat nichts mit der Physik(lehre) zu tun, es ist auch nicht direkt gesellschaftlich, politisch einsetzbar, es gilt insbesondere für die Zweiseitigkeit, kann n-seitig spekulativ extrapoliert werden, an dieser Frage wird genagt,

    MFG
    WB

  6. Das Nash-Gleichgewicht ist stabil, weil jeder Beteiligte sich durch einseitiges Abweichen nur verschlechtern kann.

    Beim sog. Nash-Gleichgewicht weichen bilateral (!) Kooperierende vom Vertrag sozusagen auf eine gewisse Weise ab, die von der Gegenseite, bei optimalem Spiel sozusagen, derart gestraft werden kann, so dass sie bestimmte Abweichungsgröße nicht überschreitet, wobei die Gegenseite genau so vorgeht und auf eine gewisse Weise von verabredeter Kooperation abweicht wie dann auch “konditioniert” wird, wobei ständige derartige Versuche, auch um die Aufmerksamkeit der jeweiligen Gegenseite getestet wissen wollend, infinitiv stattfinden.

  7. Die Ausgangslage ( A – B – D und A – C – D ) habe ich verstanden – denke ich. Was ich aber nicht verstehe, ist die Annahme zur Verkomplizierung, dass eine Autobahn zwischen B und C gebaut werde, die allen bisherigen Annahmen zufolge absolut keine Begründung hat. Sicher werfen Bürokraten und Politiker gerne Geld aus dem Fenster, um sich besser darzustellen, als sie sind, aber unter allen Regularien hätte die Autobahn B – C wegen mangelnden Bedarfs überhaupt keine Chance, in der Planung weiter als zur Stufe “Schnapsidee” zu kommen. Planerisch und logisch und überhaupt nur zu rechtfertigen wäre bei den angenommenen Verkehrsströmen nur eine Autobahn A – D.
    Mir scheint, dass da ein Logiker und Theoretiker zu viel Zeit hatte, ein scheinbares Paradoxon zu erdenken.

  8. Es kann so sein, wie ausgerechnet, die Autobahn zwischen B und C könnte hinzugekommen sein und die Gesamtfahrzeit aller Fahrer verlängern, von A nach D zu kommen.

    Hab’s nicht durchgerechnet, weil als nicht wesentlich betrachtet, grundsätzlich ist es so, das eine Mehrzahl an Fahrmöglichkeit insgesamt Fahrtzeit verkürzt.

    Ischt schon interessant und auch praxisrelevant, es gibt derartige Bauten und Dr. W meint sich erinnern zu können selbst mit derartiger Problematik konfrontiert gewesen zu sein, eigentlich jeder Autofahrer könnte so betroffen gewesen sein.

    MFG
    WB

  9. Ist hier nicht nachvollziehbar :
    <blockquote< Die „waagerechten“ Straßen AB und CD sind kurz, aber sehr eng. Ein Auto, das allein dort unterwegs ist, durchmisst sie in zehn Minuten, aber jedes weitere Auto, das zugleich die Straße befährt, verursacht einen Zeitverlust von ebenfalls zehn Minuten […]}

    Die Problem-Spezifität könnte anders ausschauen, macht aber nichts.
    An sich könnte wie beschrieben zutreffen, auch wenn es anti-intuitiv ist, beim skizzierten Beispiel wäre Dr. Webbaer vorsichtig, vielleicht ist der Wurm drin.

    MFG + GN
    WB

  10. Ist hier nicht nachvollziehbar :

    Die „waagerechten“ Straßen AB und CD sind kurz, aber sehr eng. Ein Auto, das allein dort unterwegs ist, durchmisst sie in zehn Minuten, aber jedes weitere Auto, das zugleich die Straße befährt, verursacht einen Zeitverlust von ebenfalls zehn Minuten […]}

    Die Problem-Spezifität könnte anders ausschauen, macht aber nichts.
    An sich könnte wie beschrieben zutreffen, auch wenn es anti-intuitiv ist, beim skizzierten Beispiel wäre Dr. Webbaer vorsichtig, vielleicht ist der Wurm drin.

    MFG + GN
    WB

    PS:
    Sorry, one o’clock.

  11. Nachtrag:
    Die scheinbare Paradoxie des Federbeispiels ist aus meiner Sicht nur der geschickten ( verwirrenden ) Darstellung geschuldet. Im linken Teilbild trägt eine ( wenn man sich den Faden und die Schere weg denkt ) aus zwei Einzelfedern zusammengesetzte lange Schraubenfeder das Gewicht ( seriell ), im rechten Teilbild ergibt sich aus einer einfachen Verschiebung der Darstellung eine Parallelschaltung zweier kurzer Federn. So trägt jede Feder nur das halbe Gewicht, wenn man die Feinheiten der Federlänge ( Eigengewicht ) außer Acht lässt. Im Hook’schen Gesetz hat die Länge der Feder keinen Term, nur die Federkonstante – und natürlich die angehängte Last.

  12. Noch’n Nachtrag, meine Güte, es ist wirklich spät:
    Die Fragestellung und die scheinbare Lösung ( Autobahn zwischen B und C ) ist wirklich nur zur Verwirrung ausgedacht. Im Beispiel sind die Strecken A – B und C – D die Flaschenhälse, der Rest der Strecken, ob Autobahn oder nicht, ist demgegenüber Nebensache. Würde man die Strecke A – B als Autobahn ausbauen ( f + 10 ) wäre das billiger ( weil kürzer ) als die angebotene Scheinlösung der B – C-Autobahn, die Fahrzeit wäre für alle ( rot + blau ) dann 6 + 10 = 16 Minuten. Fahren dann alle auf der Strecke B – D, wäre nach der Vorgabe die Fahrzeit 6 + 50 = 56 Minuten, in Summe also 72 Minuten, also deutlich kürzer als die erstgenannte Zeit. Weitere Optimierungen, die sich aus Teilmengen der die dann freie Strecke A – C – D fahrenden Autos ergeben ( 1 Fahrzeug = 61 Minuten versus 5 Fahrzeuge = 70 Minuten oder 2 Fahrzeuge = 72 Minuten versus 4 Fahrzeuge = 68 Minuten ) sind dann Lotterie.

    • Das Beispiel hier ist tatsächlich eher ungünstig, ich empfehle den Wikipedia-Artikel zum Thema. Dort gibt es ebenfalls ein Beispiel, das nicht so seltsam ist…
      Um die Verwirrung dennoch etwas aufzulösen: es gibt ja “in der Realität” wahrscheinlich noch andere Verkehrsströme als die genannten, die eine neue Verbindung B-C durchaus sinnvoll erscheinen lassen. Die werden hier nur nicht betrachtet, um das ganze nicht noch komplizierter zu machen.

      • Markus H.
        05.08.2021, 02:52 o’clock

        Natürlich würde in der Realität eine Autobahn B – C auch anderen Verkehr als nur den Umwegverkehr A – D aufnehmen, genauer gesagt, sie würde in der realität nur bei entsprechendem Verkehrsaufkommen C – C überhaupt gebaut werden. Dann ist aber die Annahme von >f + 10< nicht mehr für die Berechnung des Modells brauchbar, weil die Zahl der Fahrzeuge B – C unbestimmt wird.

      • Gepriesen seien die Kommentatoren! Da wird mitten in der Nacht ein Problem aufgeworfen und noch in selbiger Nacht beantwortet. Herzlichen Dank, Markus H.!
        Viel hinzuzufügen habe ich nicht. Nur zwei Sätze: Dass “reale” Beispiele für eine theoretische Sache entweder realistisch oder lehrreich sind, aber nicht beides zusammen, kommt leider häufig vor. Und dafür, dass das Braess-Paradox in der Realität vorkommt, liefert der genannte Wikipedia-Artikel sogar konkrete Beispiele.

  13. Dass eine Autobahn von B nach D den Verkehrsfluss von A nach C nicht zwangsläufig verbessern muß (unter ganz bestimmten Voraussetzungen sogar spürbar verschlechtern kann), ist kein Paradoxon, sondern eine Binsenweisheit: eben dafür wird diese Autobahn ja auch nicht gebaut – sondern für den Verkehrsfluss von B nach D. Und den verbessert die Autobahn im vorliegenden Beispiel dramatisch: um ca. das Fünffache!

    Was das mechanische Feder-Beispiel mit dem Ganzen zu tun haben soll, wird aus dem Artikel nicht so recht klar – was daran nun wiederum “paradox” sein soll, freilich auch nicht: dass zwei in Reihe gehängte Federn doppelt so stark auseinandergezogen werden wie zwei parallel aufgehängte, auf die man dasselbe Gewicht verteilt, ist trivial.

    In beiden Fällen – das ist wohl das Gemeinsame – wird der Blick des Lesers mit Hilfe darstellerischer Taschenspielertricks vom Wesentlichen abgelenkt und auf nur aus einem sehr speziellen Blickwinkel “paradox” erscheinende Nebeneffekte gerichtet. Und das Ganze verkauft man uns dann als “Wissenschaft”.

    • Lol, Zustimmung, Her Dr. W. H. Greiner.
      Sicherlich liegt ein ganz unter besonderen Umständen entstehendes Paradox vor, an sich, herkömmliche Anforderungslagen meinend, nicht.

  14. Ch. Pöppe
    Der Versuch mit den zwei Federn stellt tatsächlich ein Paradoxon dar, weil man erwartet, dass das Gewicht noch weiter nach unten sinkt.
    Wenn man den Versuch gedanklich rückwärts ablaufen lässt, denn merkt man dass durch das Auseinanderziehen beider Federn der Abstand zwischen dem Gewicht und der oberen Aufhängung größer wird.
    Richtig spannend wird es wie man so einen Versuch mathematisch behandelt. Die Erklärung über die Lageenergie ist nachvollziehbar.
    Ohne die Zuhilfenahme von Energie braucht man vermutlich eine Differentialgleichung ?

  15. Ich erkenne im Versuch mit den zwei Federn kein Paradoxon. Die beiden Federn hängen an zwei Aufhängungen. Im ersten Fall, die Schnur ist intakt, hat die zweite, die rechte Aufhängung keine tragende Funktion. Die Federn sind dadurch ‘in Reihe geschaltet’, sie verhalten sich also wie eine einzige Feder mit doppelter Länge.

    Im zweiten Fall, die Schnur ist gerissen, wird die untere Feder jedoch via Sicherheitsleine von der rechten Aufhängung getragen, die Federn sind ‘parallel geschaltet’. Jetzt verteilt sich das Gewicht auf beide Federn, von denen jede nur noch die Hälfte tragen muß.

    Hier liegt also weder ein einfaches noch gar ein Braess’sches Paradoxon vor, es wird lediglich durch die Versuchsanordnung – die Federn hängen optisch in beiden Darstellungen untereinander – der Eindruck erweckt, die Lastverteilung auf die zwei Federn sei in beiden Fällen gleich.

    Daher verwundert es mich auch etwas, wie diese Darstellung es sogar in den Wikipedia-Eintrag zu dem Thema geschafft hat. Sie ist dort m. E. völlig deplaziert.

  16. Schorsch,
    das Paradoxe an dem Fall ist das Verschwinden von Energie.
    Wie Herr Pöppe ausgeführt hat, steigt das Gewicht nach oben, nimmt also an Lageenergie zu, und zwar um 1/16 Nm.
    Die Federn hatten vorher 2 mal 2/16 Nm Spannungsenergie .Nach dem Zusammenziehen haben sie nur noch 2 mal 1/32 Nm Spannungsenergie. 4/16 Nm vorher, 1/16 Nm nachher Wo sind die restlichen 3/16 Nm Energie ? Im Gewicht stecken sie nicht, das hat nur um 1/16 Nm Lageenergie zugenommen.

    • hwied
      06.08.2021, 09:51 o’clock

      Da ist nix “verschwunden”.
      Unter https://de.wikipedia.org/wiki/Federkonstante kann man sich das zu Gemüte führen. Die Längenänderung einer Feder ist abhängig vom Gewicht und der Federkonstante, die Länge der Feder ist dabei grob gesagt uninteressant. Im linken Teilbild hängen zwar zwei Federn, verbunden durch den Faden, hintereinander, aber mechanisch-rechnerisch ist das nur eine ( lange ) Feder, der Faden dazwischen trägt nichts dazu bei.
      Im rechten Teillbild hängen die zwei Federn zwar auch untereinander, aber durch die Konstruktion sind sie parallel geschaltet, wir haben also 2* die Federkonstante. Die scheinbar “verschwundene” Lageenergie steckt in der zweiten Federkonstante.

    • Bleiben 2/16 Nm Energie, die einfach so verschwunden sind. Da es sich um ein mechanisches System mit Reibung handelt, trifft die übliche Antwort zu: Das ganze System zappelt nach dem Durchschneiden des Fadens ein bisschen, die überschüssige Energie wird durch Reibung in (eine unmerkliche Menge) Wärme verwandelt, und das System kommt im neuen Energieminimum ins Gleichgewicht.

      • Christoph Pöppe
        06.08.2021, 16:42 o’clock

        Ist die Erklärung mit “Reibungsverlusten” nicht ein bisschen zu einfach und nur dem gezeichneten Systemaufbau geschuldet?

        Was wäre, wenn die Sicherheitsleinen knapp bemessen sind und die Halteleine nicht durchschnitten wird, sondern sich einfach immer mehr langsam längt?

        Ich könnte mir vorstellen, dass die Halteleine aus trockenem Rosshaar besteht und für den Versuch die Luftfeuchte im Versuchsraum allmählich erhöht wird. Das Rosshaar nimmt die Feuchte auf und längt sich ( Hygrometerprinzip ), langsam und stetig, bis allmählich die Sicherheitsleinen übernehmen. Was sollte denn da zappeln? Alternativ könnten die Sicherheitsleinen aus feuchtem Rosshaar bestehen, was allmählich trocknet und sich dabei verkürzt, dann gäbe es auch die Frage nach dem Gewichtsunterschied zwischen trockener und feuchter Halteleine nicht. Die Längenänderung kann man mit einem an ebensolchem Rosshaar aufgehängten Maßstab kompensieren.

        • DIe Frage kann man unabhängig von diesem speziellen Aufbau beantworten. Masse hängt an Faden von der Decke, Faden leiert mit der Zeit aus (oder verlängert sich wg. Feuchtigkeitsaufnahme). Am Ende hängt die Masse tiefer als zuvor, das System hat also Energie verloren, ohne dass sich unterwegs etwas sichtbar bewegt hätte (vom Absinken selbst abgesehen). Wo ist die Energie abgeblieben?
          Antwort: Sie hat sich in Wärme umgewandelt, aber man merkt es kaum. Da haben sich tatsächlich die Atome im Faden gegeneinander bewegt, und zwar irreversibel (unelastisch), denn der Faden schnurrt ja nicht wieder zusammen, wenn man die Masse abhängt. (Täte er es, wäre er ungefähr einer Schraubenfeder äquivalent.) Das heißt, die Atome haben gegeneinander Positionen eingenommen, die unter den gegenwärtigen Umständen energieärmer (“energetisch günstiger”) sind als die bisherigen. Die überschüssige Energie haben sie in ungeordnete Bewegung umgesetzt – was man so Wärme nennt.
          Derartige unelastische Prozesse sind so ziemlich das häufigste, was im Alltag vorkommt. Wassertropfen in See, Faust in Boxsack, Auto vor Baum: In jedem Fall ist hinterher die kinetische Energie weg und die Temperatur des Systems ein bisschen höher. Manchmal gibt es dabei irreversible Deformationen.

          • Die Sache mit dem Auto, dem Baum und dem verformten Blech habe ich verstanden, denke ich: Mittels der dem Auto am Baum “entnommenen” kinetischen Ernergie wird das Blech verformt, dabei entsteht Wärme ( ich habe mir schon mal fast die Finger verbrannt, als ich Kupferdraht “abgenoddelt” habe ) und die wird in die Umgebung abgegeben.
            Bei dem anderen Fall mit den Federn, dem Gewicht und der von mir angenommenen Rosshaaraufhängung ist mir zwar klar, dass die Haare ( feucht – trocken ) mit der Umgebung im Gleichgewicht stehen, was die Wärmetönung beim Befeuchten und beim Trocknen angeht, ich verstehe nur nicht ganz, wie das von den metallischen Federn und dem metallische Gewicht abhängen soll, wie die Lageenergie des Gewichts die Wärmemenge beeinflusst, die bei der Trocknung der Haare im Austausch mit der Umgebung eine Rolle spielt.

          • Was die Ausdehnung des Rosshaars bei Luftfeuchtigkeit angeht, bin ich leider Amateur. Ich weiß nicht, was sich im Einzelnen zwischen den Wassermolekülen und den Kollagenmolekülen an der Oberfläche des Haars abspielt. Aber auch ohne Detailkenntnis kann man sich ein paar Gedanken zur Energiebilanz machen.
            Dazu genügt es, sich ein Rosshaar an den Decke aufgehängt und mit einem Gewicht unten dran vorzustellen. (Der ganze Aufbau mit den Schraubenfedern macht die Sache nur unübersichtlicher.) Nehmen wir an, die Luft ist total trocken, Haar ist kurz, Gewicht hängt hoch. Jetzt kommen die Wassermoleküle angedampft. Die Kollagenmoleküle bemerken, dass ihre Energie geringer ist, wenn sie ein paar Wassermoleküle zwischen sich lassen, deswegen tun sie das, werden länger, Haar dehnt sich aus, Gewicht sinkt, die Energiedifferenz landet als Wärme in der ungeordneten Bewegung der Kollagenmoleküle. (Natürlich bemerken die Kollagenmoleküle nichts; der verlängerte Zustand stellt sich ein, weil im dynamischen Austausch – Wasser an Kollagen, Wasser wieder weg – der energieärmere, nämlich Wasser an Kollagen, sich durchsetzt.)
            So, jetzt wird es wieder trocken. Die Wassermoleküle machen sich davon, und die Kollagenmoleküle müssen sich in den alten, wasserlosen Zustand zurückbegeben, weil der jetzt wieder der energieärmste ist. Dabei wird das Gewicht gelupft, gewinnt also an Energie. Wo kommt die Energie her? Aus der Bewegung der Kollagenmoleküle. Das Haar ist also beim Trocknen eine Winzigkeit kühler geworden. (Kaum vorstellbar, dass man das messen kann, aber so muss es sein.)
            Jetzt sind wir echt weit ab vom Thema gekommen. Aber ich verstehe schon: Wenn das auch nur ein bisschen so aussieht, als stünde der Energieerhaltungssatz in Frage, kann man schon etwas nervös werden.

  17. Ch. Pöppe,
    man kann es auch anders betrachten.
    Der Faden hatte eine Länge von 3/8m. Multipliziert man die mit 0,5 N erhält man 3/16 Nm. welch ein Zufall .
    Um es mal plastisch darzustellen. Zur Zerstörung(Durchschneiden) des Fadens benötigt man 3/16 Nm Energie. Stellen Sie sich den Faden mit rechteckigem Querschnitt vor 3/8 m lang. Jetzt quer nehmen und durchsägen mit einer Kraft von 0,5 N ergibt 3/8m mal 0,5 N = 3/16 Nm.
    Wenn man sich vorstellt, dass der Faden durch Übermüdung von selbst reißt, dann wird es noch logischer. Die Zerstörungsarbeit beträgt 3/16 Nm.

  18. Dasselbe Paradox in der klassischen Mechanik

    So wie ich das Braess-Paradox hier beschrieben habe, gehört es zur Spieltheorie und hängt damit entscheidend an dem Bestreben der Beteiligten, ihre jeweils eigene Situation zu verbessern. Die nächste Überraschung ist: Irgendwelche bewussten Absichten sind gar nicht nötig. Es genügt das „Bestreben“ jedes physikalischen Objekts, den Zustand geringster Energie einzunehmen. Und bekanntlich reden die Physiker gerne – und für das Verständnis hilfreich – von solchen Bestrebungen. Ein Gewicht, das an einer Schraubenfeder hängt, möchte gerne einen möglichst tiefen Punkt einnehmen, nur gehindert durch das Bestreben der Feder, sich bis zum entspannten Zustand zusammenzuziehen.

    Das linke Teilbild zeigt folgende Situation: Ein Gewicht hängt an zwei Schraubenfedern, die ihrerseits durch ein kurzes Stück Schnur verbunden sind. Zusätzlich sind Sicherheitsleinen angebracht, die für den Fall, dass die Schnur reißt, den Fall des Gewichts ins Bodenlose verhindern sollen. Gegenwärtig hängen sie noch schlaff herunter.

    Schneidet man jetzt die Schnur entzwei, so verschafft man dem Gesamtsystem dadurch mehr Freiheiten, als es vorher hatte, ebenso wie der Bau der Autobahn. Die sollte das Gewicht nutzen, seinem Bestreben folgend noch etwas tiefer zu sinken. Aber Überraschung (rechtes Teilbild): Das Gewicht wandert nach oben!

    Als ich das vor knapp 30 Jahren las, musste ich es auch erstmal ausprobieren. Die als Spielzeug erhältlichen Schraubenfedern, damals noch aus Metall, leisteten dabei nützliche Dienste. Und wahrhaftig: Sowie die Schnur durchschnitten wird, wandert das Gewicht nach oben, und zwar sofort, ohne auch nur ein bisschen abzutauchen.

    Man kann die Energiebilanz der beiden Szenarien durchrechnen und bestätigen, dass das alles seine Richtigkeit hat. Es stellt sich heraus, dass die Gesamtenergie neu verteilt wird: Die beiden Federn nutzen die Gelegenheit, sich zu entspannen, und drücken dadurch dem Gewicht eine potenzielle Energie auf, die es vorher nicht hatte.

    Warum kommt einem das trotzdem so seltsam vor? Eine mögliche Erklärung lautet: Wenn an dem ganzen System nur Schraubenfedern beteiligt wären, dann wäre das nicht passiert. Die sind nämlich linear: Kraft ist proportional der Auslenkung (Hooke’sches Gesetz), und zwar zumindest theoretisch auch dann, wenn die Feder über ihren Gleichgewichtszustand hinaus zusammengedrückt wird. Das problematische Element ist die Schnur. Die Kraft, die sie ausübt, ist null im schlaffen und proportional der Zugkraft im gespannten Zustand. Man darf sie in diesem Fall als eine extrem stramme Hooke’sche Feder auffassen.

    Ganz schön lange diese Ausführungen. Etwas knapper:

    Links sind die Federn hintereinander befestigt. Jede muss das ganze Gewicht tragen. Rechts sind die Federn parallel befestigt. Jede muss also nur das halbe Gewicht tragen. Das ist alles.

  19. Mistelberger,
    schon klar, der Unterschied von parallel und hintereinander.
    Lassen Sie sich mal auf eine Analyse ein . Nach Herrn Pöppe geht das Gewicht nur um 1/8 m nach oben, was einer Zunahme der Lageenergie von 1/8 mal 0,5 N = 1/16 Nm entspricht.
    Jetzt betrachten wir die Spannungsenergie der Federn.
    die 1. Feder war bei o,5 N Gewichtskraft zu 25 cm gedehnt. Ergibt eine Spannungsenergie von 0,5 N mal 1/4 m = 1/8 Nm
    Die 2. Feder ebenfalls 1/8 Nm zusammen 2/8 Nm oder 4 /16 Nm Spannungsenergie.
    Nach dem Riss der Schnur ist jede Schnur nur noch mit 1/4 N belastet, bei einer Ausdehnung von 1/4 m = 1/16 Nm Beide Federn also 2/16 Nm Spannungsenergie.
    Der Unterschied der Spannungsenerien bei den Federn beträgt 4/16 Nm – 2/16 Nm = 2 /16 Nm Spannungsenergie.
    Die Lageenergie des Gewichtes hat nur um 1/16 Nm zugenommen. wo ist das fehlende 1/16 Nm.
    Oder wo steckt der Denkfehler ?

    • Lassen Sie sich mal auf eine Analyse ein.

      Gerne. Die Dehnung einer Feder sei x. Dann dehnt sich die linke Anordnung um 2x. Für die rechte Anordnung beträgt sie bei Gültigkeit des Hookschen Gesetzes x/2. Ein Beispiel: x=10 cm, Dehnung links = 20 cm, rechts 5 cm.

  20. Nachtrag Herr Mistelberger.
    Verwendete Maße.
    1. Federkonstante beider Federn = 1 N/m
    2. Gewichtskraft = 0,5 N
    3. Länge der Sicherungsseile je 1m
    4. Länge der Schnur zwischen den Federn = 3/8m

    Es bleibt unklar , ob bei der Angabe der Federkonstanten jede einzelne Feder 1N/m hat oder ob jede einzelne Feder 2 N/m . Das wären dann bei Reihenschaltung wieder 1 N/m für beide Federn.
    Ch. Pöppe
    wie war es gemeint ?

    Anmerkung: Es geht nicht um Erbsenzählerei, sondern um Grundsätzliches.

    • Gemeint ist: Jede der beiden Federn hat für sich die Federkonstante 1 N/m.
      Ja, und das System hat durch das Fadendurchschneiden tatsächlich Energie verloren (genauer gesagt, sie ist in Wärme umgewandelt worden).
      Nein, die Energie, die für das Durchschneiden des Fadens erforderlich ist, spielt keine Rolle. Der Wechsel von “Gewicht niedrig” zu “Gewicht hoch” spielt sich genau gleich ab, einerlei ob es sich um einen seidenen Faden oder eine – masselose – Stahltrosse handelt.

  21. Nachtrag: wenn man so rechnet, stimmen die Werte.
    Alternative Erklärung zum Federparadox.

    Konstant: Sicherungsleine = 1m , Federkonstante D= 2N/m für eine Feder, Faden = 3/8 m

    Wenn man von der Federkonstanten D ausgeht, dann verändert die sich für zwei Federn, abhängig davon ob die Federn in Reihe angeordnet sind oder parallel. Wenn man eine Feder mit 2N/m mit einer zweiten Feder in Reihe bringt und sie dann als eine Feder betrachtet, dann halbiert sich die Federkonstante auf 1 N/m. Ordnet man die Federn parallel an, dann verdoppelt sich die Federkonstante auf 4 N/m.
    Der Längenunterschied zwischen Reihen und Parallelanordnung beträgt also das Vierfache im Vergleich zur Parallelanordnung.

    Jetzt betrachten wir das rechte Bild ohne Faden und geben die Längenausdehnung an als 1m (vom Sicherungsseil) + x (Länge der Feder ) an – 1/8m die diese Anordnung kürzer geworden ist.
    Beim linken bild mit Spannfaden haben wir 4x Federlänge + 3/8m Fadenlänge
    Das ergibt die Gleichung 4x +3/8m = 1m +x + 1/8m ergibt 3x = 6/8m oder 1x =2/8m
    x ist die Länge der Federausdehnung rechts.
    Für die linke Seite ergibt sich der vierfache Wert. Die linke Seite ist 8/8m + 3/8 m (Schnur ) gedehnt. = 11 /8m.
    Die rechte Seite ist 1/8m weniger gedehnt, also 10/8m. Probe : 1m +x +1/8m = 10/8m

  22. Herr Pöppe,
    jetzt können wir berechnen, wann und wieviel sich die Lage des Gewichtes auf der rechten Seite verändert.
    Bei einer Verkürzung der Fadenlänge auf 2/8 m wird sich die Lage des Gewichtes nicht verändern.
    links 4x + 2/8m oder 8/8m + 2/8m = 10/8m
    rechts 1m + x oder 8/8m + 2/8m +0 m (konstante Lage)= 10/8 m Die Länge des Fadens bestimmt also die Lageveränderung des Gewichtes. und verändert das Gleichgewicht.

    Jetzt zum verkehrsproblem. Kommt der Autobahn die gleiche Schlüsselposition zu ? Muss ich noch verinnerlichen !

  23. Pöppe, Mistelberger
    Danke, über Fehler kommt man zur Einsicht!

    Durch die mathematische Darstellung versteht man die Zusammenhänge.

  24. Pöppe, Mistelberger
    Zum Straßennetz,
    Die Form erinnert an eine Brückenschaltung in der Elektronik.
    Wenn wir AB und CD mit einem elektronischen Bauelement ersetzen das eine nichtlineare Kennlinie hat, AC und BD mit einem elektronischen Bauelement das eine lineare Kennlinie hat, dann liegen zwischen B und C genau 0 Volt Spannung an, wenn der linke Brückenzweig ACDgenau den gleichen widerstand hat wie der rechte Brückenzweig.ABD. Das bedeutet, wenn sich auf ABD genausoviele Fahrzeuge befinden wie zwischen ACD. Und da zwischen B und D 0Volt Spannung anliegen, braucht es keine Autobahn.
    Das müsste mit geeigneten Transistorschaltungen möglich sein.
    Bei NTC und PTC Widerständen wird es schwierig.

  25. Christoph Pöppe
    12.08.2021, 12:27 o’clock
    Jetzt sind wir echt weit ab vom Thema gekommen.

    Ja und nein. Bei den Federn handelt es sich um eine Seriell- und eine Parallelschaltung und hat deshalb je nach Einstellung eine Auswirkung auf die Lage des Gewichts im Schwerefeld der Erde ( potentielle Energie ). Die Konstruktion mit den Haaren soll nur bewirken, dass die Schaltung der Federn ohne Gewalteinwirkung ( Durchschneiden eines Fadens ) umgestellt werden kann. Sicher ist doch nur, dass die Kollagenfasern der Haare das Wasser und die Energie mit der Umgebung austauschen, die Frage ist, wie groß und wie lange der Temperaturunterschied zwischen Haaren und Umgebung sein wird, wenn der Übergang/Austausch sehr langsam vonstatten geht. Damit würde letztendlich der Unterschied der Lageenergie des Gewichts in der Umgebung gespeichert/aus der Umgebung abgeholt.

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