42 als Summe dreier Kubikzahlen

1954 stellte ein Mathematiker der Universität Cambridge die diophantische Gleichung x3+y3+z3 = k auf, wobei k alle ganze Zahlen von eins bis 100 sind. Es sind nur Lösungen erlaubt, bei denen x, y und z ganze Zahlen sind.

Nachdem die Zahlentheoretiker für manche k schnell Lösungen fanden, wurde die Gleichung für einige k bald schwierig, zu lösen, da die Lösungen – wenn sie tatsächlich existierten – unmöglich berechnet werden konnten, so groß waren die benötigten Zahlen.

Aber, über viele Jahre hinweg, dank ausgefeilter mathematischer Techniken und moderner Computer, wurde die Gleichung für viele k gelöst oder bewiesen, dass die Gleichung für dieses k unlösbar ist. Schließlich blieben nur noch zwei Zahlen übrig, über die Ungewissheit herrschte: 33 und 42. Im März dieses Jahres fand Andrew Booker von der Universität Bristol in England mit einem Supercomputer schließlich die Lösung für 33. Blieb also nur noch die 42 übrig.

zweiundvierzig

42 lässt sich eindeutig als die Summe dreier Quadratzahlen darstellen: 42 = 12 + 42 + 52

Aber als Summe dreier Kubikzahlen!? Das war die letzte harte Nuss, die es zu knacken galt.

Booker wandte sich an den Mathematiker Andrew Sutherland vom Massachusetts Institute of Technology (MIT) in den USA, den Weltrekordhalter mit Massiv-parallelen Computern. Sutherland nutzte Charity Engine; ein “weltweiter Computer”, der die ungenutzte Rechenleistung von über 500.000 Heim-PCs verwendet. Nach über einer Millionen Stunden Rechenzeit fand Charity Engine die Lösung: x = -80538738812075974 y = 80435758145817515 z = 12602123297335631

Die Mathematiker von Numberphile haben darüber ein Video gemacht.

Weiterführende Literatur

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Joe Dramiga

Veröffentlicht von

Joe Dramiga ist Neurogenetiker und hat Biologie an der Universität Köln und am King’s College London studiert. In seiner Doktorarbeit beschäftigte er sich mit der Genexpression in einem Mausmodell für die Frontotemporale Demenz. Die Frontotemporale Demenz ist eine Erkrankung des Gehirns, die sowohl Ähnlichkeit mit Alzheimer als auch mit Parkinson hat. Kontakt: jdramiga [at] googlemail [dot] com

6 Kommentare

  1. ich bin keine mathematiker, aber wie kann man beweisen, dass es für bestimmte k nicht geht? gibt es da kein allgemeines verfahren, dass dann auch eine Lösung für 42 vorausgesagt hätte?

  2. Ein Problem ist, dass häufig kein brauchbares Lösungsverfahren bekannt ist, allein die Frage nach der Existenz von Lösungen ist im Allgemeinen nicht zu beantworten. Mathematiker haben bewiesen, dass es für Zahlen k, die bei Division mit 9 den Rest 4 oder 5 ergeben, keine Darstellung der Form k = x3+y3+z3 geben kann.

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