42 als Summe dreier Kubikzahlen
1955 stellten die Mathematiker J.C.P. Miller und M.F.C. Woollett die diophantische Gleichung x3+y3+z3 = k auf, wobei k alle ganze Zahlen von eins bis 100 sind [1]. Es sind nur Lösungen erlaubt, bei denen x, y und z ganze Zahlen sind.
Nachdem die Zahlentheoretiker für manche k schnell Lösungen fanden, wurde die Gleichung für einige k bald schwierig, zu lösen, da die Lösungen – wenn sie tatsächlich existierten – unmöglich berechnet werden konnten, so groß waren die benötigten Zahlen.
Aber, über viele Jahre hinweg, dank ausgefeilter mathematischer Techniken und moderner Computer, wurde die Gleichung für viele k gelöst oder bewiesen, dass die Gleichung für dieses k unlösbar ist. Schließlich blieben nur noch zwei Zahlen übrig, über die Ungewissheit herrschte: 33 und 42. Im März dieses Jahres fand Andrew Booker von der Universität Bristol in England mit einem Supercomputer schließlich die Lösung für 33. Blieb also nur noch die 42 übrig.
42 lässt sich eindeutig als die Summe dreier Quadratzahlen darstellen: 42 = 12 + 42 + 52
Aber als Summe dreier Kubikzahlen!? Das war die letzte harte Nuss, die es zu knacken galt.
Booker wandte sich an den Mathematiker Andrew Sutherland vom Massachusetts Institute of Technology (MIT) in den USA, den Weltrekordhalter mit Massiv-parallelen Computern. Sutherland nutzte Charity Engine; ein “weltweiter Computer”, der die ungenutzte Rechenleistung von über 500.000 Heim-PCs verwendet. Nach über einer Millionen Stunden Rechenzeit fand Charity Engine die Lösung: x = -80538738812075974 y = 80435758145817515 z = 12602123297335631
Die Mathematiker von Numberphile haben darüber ein Video gemacht.
Weiterführende Literatur
[1]. J. C. P. Miller & M. F. C. Woollett (1955) Solutions of the Diophantine equation x3 +y3 + z3 = k, J. London Math. Soc, v. 30, 101-110.
Die Quadratur des Kreises und von Lindemanns Geburtstag
Wie lautet die Lösung für k=33 ?
Für k = 33 lautet die Lösung:
x = 8866128875287528
y = -8778405442862239
z = -2736111468807040
42 is the “Answer to the Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything”
(1 + 2i)³ + (1 – 2i)³ + 4³ = 42
Die “Lösung” mit komplexen Zahlen (i² = -1) ist zwar keine Lösung der definierten Problemstellung aber sehr elegant.
Mit Hilfe der binomischen Formel (a + ib)³ = a³ -3ab² + i(3a²b – b³) kann man sie sehr einfach nachrechnen:
(1 + 2i)³ + (1 – 2i)³ + 4³ = ( 1 – 12 + (6 – 8)i ) + ( 1 – 12 + (-6 + 8)i ) +64 = -11 -2i -11 +2i +64 = 42
ich bin keine mathematiker, aber wie kann man beweisen, dass es für bestimmte k nicht geht? gibt es da kein allgemeines verfahren, dass dann auch eine Lösung für 42 vorausgesagt hätte?
Alle Kubikzahlen lassen bei der Division durch 9 den Rest 1, 8 oder 0 (periodisch in dieser Reihenfolge, wenn man mit 1 anfängt). Dabei kann man 8 auch als −1 betrachten, da eine Zahl, die mod 9 auf 8 abbildet, um 1 kleiner ist als ein Vielfaches von 9. Die Summe dreier beliebiger Kubikzahlen kann bei der Division durch 9 damit je nach Zusammensetzung nur Gesamtreste von −3 bis +3 bilden, wobei −3 … −1 den positiven Resten 6 … 8 entsprechen. Es ist daher nicht möglich, dass die Summe dreier Kubikzahlen geteilt durch 9 einen Rest von 4 oder 5 (entspricht −4) lässt.
Konstruierbar sind beliebige Lösungen für Kubikzahlen (zwei der drei Zahlen so wählen, dass ihre Summe Null ist) sowie Lösungen für das k³-fache einer bereits gelösten Zahl c (die Lösungswerte für c mit k multiplizieren). Bei allen anderen Zahlen geht bislang nur Suchen 🙂
Ein Problem ist, dass häufig kein brauchbares Lösungsverfahren bekannt ist, allein die Frage nach der Existenz von Lösungen ist im Allgemeinen nicht zu beantworten. Mathematiker haben bewiesen, dass es für Zahlen k, die bei Division mit 9 den Rest 4 oder 5 ergeben, keine Darstellung der Form k = x3+y3+z3 geben kann.