Im Jahr 1637 schrieb Pierre de Fermat (1608-1665) bei der Lektüre der Arithmetica des Diophant von Alexandrien neben den Satz des Pythagoras folgende Zeilen als Randbemerkung in seine Ausgabe dieses Buches:

„Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen, oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate, oder allgemein irgendeine Potenz größer als die zweite in Potenzen gleichen Grades. Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“

Und jetzt bitte auf Deutsch! Wer soll das verstehen?

Ja, die Algebra ist eine stolze Dame die ihr Herz nicht leichtfertig jedem dahergelaufenen Jüngling verschenkt, deshalb müssen wir die Geometrie, ihre Zofe, um Hilfe bitten:

Abb.: Teppich

Nehmen wir an, ich habe einen großen quadratischen Teppich und finde zwei andere kleinere quadratische Teppiche, so dass die Summe aus deren Flächen genauso groß ist wie die Fläche des großen Teppichs.

Mein großer quadratischer Teppich hat die Seitenlänge 5 Meter und die Fläche 25 (5×5) Quadratmeter. Die kleineren quadratischen Teppiche haben jeweils die Seitenlängen 3 Meter bzw. 4 Meter also die Flächen 9 (3×3) Quadratmeter und 16 (4×4) Quadratmeter. 25 = 9+16 = 5² = 3²+4²

Ich darf mich glücklich schätzen, denn das ist nicht möglich für jeden großen quadratischen Teppich, aber für unendliche viele. (Hört sich komisch an, aber so ist es)

Der Mathematiker formuliert das allgemein und abstrakt als die Gleichung a² + b² = c² und nennt das eine diophantische Gleichung, wenn er sich nur für die ganzzahligen Lösungen interessiert.

Da gibt es z.B. die Lösungen 5² + 12² = 13² oder 152² + 285² = 323². Schon in der Antike war bekannt und bewiesen, dass es unendlich viele ganzzahlige Lösungen der Gleichung a² + b² = c² gibt. Drei ganze Zahlen, die diese Gleichung erfüllen, nennt man Pythagoreisches Tripel. 5,12 und 13 bilden also ein Pythagoreisches Tripel.

So weit so gut, leider hört hier der Spaß aber auf und der Ernst der Mathematik beginnt: Habe ich nämlich einen großen Würfel, so werde ich niemals zwei andere kleinere Würfel finden, deren Volumina zusammen so groß sind wie das Volumen des großen Würfels. Es ist unmöglich! 1770 bewies das der berühmte Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783).

Abb.: Die Zerlegung des Würfels ist unmöglich

Fermat sagt nun, dass es auch für höhere Exponenten  a⁴ + b⁴ = c⁴ usw., keine Lösung gibt und behauptete es beweisen zu können.

Die Fermatsche Vermutung entwickelte sich zum Albtraum für viele Mathematiker. Jahrhundertelang konnte sie niemand beweisen oder widerlegen. Weil aber gerade Fermat selbst die Ansicht vertreten hatte, dass er einen wunderbaren Beweis gefunden habe, versuchten sich Generationen von Mathematikern, darunter auch die bedeutendsten ihrer Zeit, an der Findung des Beweises. Erst 1994, über 350 Jahre später, gelang dem britischen Mathematiker Andrew Wiles der Beweis.

Weiterführende Links

Diophant von Alexandrien

Diophantische Gleichung

Pierre de Fermat

Andrew Wiles

Die Geschichte der FermatschenVermutung (PDF)

Bildnachweis

Bild „Teppich“

Rocafort8

Der Teppich

Quelle: Wikimedia

Bild “ Zerlegung des Würfel“

Quelle: Unbekannt, Autor: Unbekannt