Über einen Aspekt der Schönheit bei physikalischen Theorien und Inventionen von J.S. Bach

Mathematiker und Physiker hört man oft von der Schönheit ihrer Gleichungen reden. Außenstehende können so etwas nicht nachvollziehen, verbinden Sie doch Schönheit mit dem Aussehen von Menschen oder mit Werken aus Malerei und Musik. Nun ist in der Tat die Empfindung von Schönheit ein sehr persönliches Gefühl und Kriterien dafür, was als schön zu gelten hat, sind schwer zu formulieren. Merkwürdigerweise sind sich Mathematiker und Physiker aber erstaunlich einig darüber, was sie als schön ansehen. Es muss wohl einen halbwegs objektiven Maßstab dafür geben. Darüber will ich versuchen zu reden.

Da ich Physiker bin, will ich aber nicht über Schönheit mathematischer Strukturen reden sondern über Schönheit bei physikalischen Theorien. Unsere physikalischen Theorien, die heute fester Bestandteil unseres Wissens über die Gesetzmäßigkeiten in der Natur sind, haben ja eine ganz bestimmte Struktur: Ausgangspunkt ist ein allgemeines Prinzip oder ein Satz von so genannten Grundgleichungen. Das sind Postulate; diese stehen aber nicht allein für sich da, sondern sind Keime eines großen Gebäudes von Aussagen, die sich alle auf die Natur beziehen und experimentell überprüfbar sind. Die Ableitung dieser Aussagen geschieht dabei in mathematisch exakter Form. Vieldeutigkeiten wie bei rein verbalen Argumentationen können also nicht auftreten. Auf diese Weise kann man eine Fülle von Phänomenen in der Natur auf ein Postulat oder einen Satz von Grundgleichungen zurück führen. Man besitzt mit diesen sozusagen ein Wissen in kompakter Form, aus der man eine Fülle von weiterem Wissen über die Natur "entfalten" kann.

Die Theorien der Physik – die Theorie der Bewegungen, die der elektrodynamischen Effekte, die beiden Relativitätstheorien, die Quantenmechanik wie die späteren Quantenfeldtheorien – alle haben diese Struktur. Natürlich sind sie jeweils nur für einen bestimmten Phänomenbereich gültig, dieser aber ist jeweils riesig. Was bewegt sich nicht alles, wo etwa sind nicht elektromagnetische Effekte im Spiel?

Diese Verdichtung von vielen Aussagen über die Natur in einer einzigen Aussage und auch die Art, wie bei der "Entfaltung" die einzelnen Aussagen über bestimmte Phänomene folgerichtig auftauchen, das ist es, was viele als "schön" empfinden. Insbesondere die spezielle Relativitätstheorie ist ein besonders häufig zitiertes Beispiel dafür. Sie begeistert alle, die näher in sie eindringen. Das Postulat ist hier, dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom Bewegungszustand der Quelle ist, und dies ist die einzige Annahme, wenn man die Gültigkeit des Relativitätsprinzips für alle Gesetze der Natur als gegeben voraussetzt.

Richten wir unser Augenmerk nun auf die Musik. Eine Art, die von vielen besonders geschätzt und studiert wird, ist die von Johann Sebastian Bach. "Das ist reine Mathematik", hört man oft von Musikliebhabern schwärmen, und häufig wird versucht, das durch Abzählen von Takten und anderen Zahlenspielereien zu belegen. Als wenn sich Mathematik auf solch einem billigen Niveau abspielte! Dennoch, "da ist was dran", möchte man sagen – aber was eigentlich?

Ich meine, es ist die Struktur dieser Musik, die selbst Leute, die gar nicht wissen, was Mathematik eigentlich ist, dennoch an diese denken lässt. Und diese Struktur ist sogar von der gleichen Art wie die unserer physikalischen Theorien: Aus einem einzigen Keim erwächst alles. Dieser Keim ist hier ein Thema oder ein Motiv, das Material sozusagen, von dem das ganze Stück lebt. Bach und Beethoven waren besondere Könner darin, aus einem winzigen Fetzen von Musik ein großes imposantes Gebäude zu komponieren. Immer wieder hören wir etwas, was uns – manchmal vielleicht nur unbewusst – an das Motiv, an diesen Fetzen, erinnert. Das ist eben von diesem abgeleitet, nicht in mathematischer sondern in musikalischer Sprache. Das Motiv kann auf den verschiedensten Stufen beginnen, in Umkehrungen erscheinen, zu Sequenzen mit allen möglichen Akkordfolgen Anlass geben wie auch zu Ausweichungen oder Modulationen in eine andere Tonart. Der Ungeübte hört das nicht direkt, aber fühlt sich wohl dabei, findet es irgendwie schön. Wenn man dann das Stück analysiert, sieht man, wo dieses Motiv überall auftaucht, und ist verblüfft. Ein besonders schönes Beispiel ist die Invention Nr. 1 von J.S. Bach. Die Analyse der Struktur findet man hier (rot markiert das Motiv) . Das Motiv besteht aus den sieben 16tel-Tönen: cde, fdec. Es gibt kaum einen Takt, in dem dieses Motiv nicht in irgendeiner Form erklingt. Die Kunst besteht darin, solch ein schönes Gebäude mit entsprechenden Überstrukturen mit diesem Baustein zu errichten – und überhaupt solch einen Baustein zu finden – nicht jeder eignet sich so gut dazu.

J.S. Bach lebte in einer Zeit, als man in der Physik nur erst die Newtonsche Mechanik kannte, diese aber ihre größten Triumpfe feierte. Man lernte, ausgehend von den Newtonschen Prinzipien alle Bewegungen auf der Erde und am Himmel zu berechnen, insbesondere auch die drei Keplerschen Gesetze über die Planetenbewegungen aus einem einzigen Gravitationsgesetz abzuleiten. Haben Bach oder eventuell seine Vorgänger die Parallele gesehen? Gab es da Einflüsse von der Physik auf die Musik oder umgekehrt?

Ich habe mich hier auf einen ganz bestimmten Aspekt beschränkt und auf wenige Beispiele, in denen dieser Aspekt eine Rolle spielt. Es gibt viele, auch modernere Musikstücke und auch weitere Gebiete, in denen dieser Aspekt bedeutsam ist. Die Mathematik ist ein Paradebeispiel dafür. Die fraktale Geometrie, in der eine kleine Gleichung Anlass zu den wunderbarsten Bildern gibt, demonstriert das heute auch Außenstehenden. Aus der Biologie weiß man, dass die Grundbausteine des Lebens die vier Nukleotiden A,T,G und C sind. Aus diesen vier Motiven ist eine ganze DNA-Helix aufgebaut, die die Gene und letztlich die Information für den Aufbau der Proteine enthält und mitbestimmt darüber, wie wir aussehen und für welche Krankheiten wir anfälliger sind. Hier sieht man ganz besonders deutlich, wie komplex die "Gebäude" sein können, die nur aus wenigen Motiven bestehen. Vielleicht ist es das Grundprinzip der Welt: Alles entfaltet sich letztlich aus Einem. Aber das ist nur ein Gefühl.

Bleiben wir auf dem Boden. Auf diesem kann man immerhin versuchen, etwas ähnliches zu komponieren – wobei man noch mehr Respekt vor dem Genie J.S. Bachs bekommt. Dennoch – hier ist sie: MeineInvention Nr.1

Veröffentlicht von

Josef Honerkamp war mehr als 30 Jahre als Professor für Theoretische Physik tätig, zunächst an der Universität Bonn, dann viele Jahre an der Universität Freiburg. Er hat er auf den Gebieten Quantenfeldtheorie, Statistische Mechanik und Stochastische Dynamische Systeme gearbeitet und ist Autor mehrerer Lehr- und Sachbücher. Nach seiner Emeritierung im Jahre 2006 möchte er sich noch mehr dem interdisziplinären Gespräch widmen. Er interessiert sich insbesondere für das jeweilige Selbstverständnis einer Wissenschaft, für ihre Methoden sowie für ihre grundsätzlichen Ausgangspunkte und Fragestellungen und kann berichten, zu welchen Ansichten ein Physiker angesichts der Entwicklung seines Faches gelangt. Insgesamt versteht er sich heute als Physiker und "wirklich freier Schriftsteller".

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  1. kleine Bemerkung

    “Schönheit (als) mit dem Aussehen” verbunden trifft gut die Funktion von Schönheit in Theorien, denn es ist idR erst so ein spontaner Eindruck, der einen veranlasst, sich mit ihnen näher zu beschäftigen. Umgekehrt wendet man sich von Theorien, denen “Schönheit” fehlt, ab. Als Beispiele “schöner” Theorien würde ich aber eher die allg. Relativitätstheorie nehmen, als die spezielle. Hier ein (bis auf gräßlich viele Tippfehler, hoffentlich inzw. korregiert bzw. Korrekturen auf der Autorenwebsite verfügbar) schönes Buch über ein paar schöne Theorien. Eine besondere Schönheit hat natürlich die Zahlentheorie und deren enger Zusammenhang mit z.B. Modulfunktionen (link 1, link 2). Jedenfalls wüßte ich nicht, wieso man sich als Laie mit solchen Sachen beschäftigen sollte, wenn nicht ästhetische Zufallseindrücke einen dazu veranlassen. Andererseits ist es das Fehlen “schöner” Hintergrundkonzepte, das dazu führte, dass mich (Super)stringtheorien, loop gravity u. dergl. nicht interessierten. Als Laie liest man sich zwar sowieso nur ein paar Standarttexte zu den evt. interessanten Themen durch, aber auch dazu muß man erstmal motiviert sein.

  2. @Josef honerkamp

    Ich gratuliere zu der schönen Invention, die J.S.Bach sehr nahe kommt.
    Interessant ist bei diesen Stücken, daß sie von allen Interpreten ziemlich genau im gleichen Tempo gespielt werden, wobei die 4. Invention immer am schnellsten gespielt wird, bis an die Grenze des Möglichen, das heißt: circa 6 Anschläge pro Sekunde. Ihre Invention hat genau das Tempo der 1. von Bach, geschätzte 4,5 Sechzehntel pro Sekunde.
    Vor vielen Jahren habe ich Untersuchungen mit Tonband und Stoppuhr gemacht, die beweisen, daß ich bestimmte Stücke jedes mal sekundengenau in der gleichen Zeit spiele, ohne daß ich ein Metronom benutze. Es muß also ein interner Taktgeber wirksam sein, der das Tempo sehr exakt bestimmt, und dieser Taktgeber muß in gewissen Grenzen variabel in der Frequenz sein, aber auch eine unüberwindbare Grenze haben, die keine schnelleren Bewegungen zulässt.
    Ebenso muß der Zuhörer ein Referenztempo im Kopf haben, wenn er bestimmte
    Stücke intuitiv als zu schnell oder zu langsam beurteilt.
    Musik ist nicht reine Mathematik, aber sie läßt sich bis in die Klassik mathematisch gut beschreiben, in der Romantik und modernen Musik wird es zunehmend komplexer und schwieriger.

    Was die Schönheit betrifft ist das Phänomen „Harmonie“ bekanntlich in den ganzzahligen Schwingungsverhältnissen der musikalischen Intervalle mathematisch begründet.
    Warum wir die ganzzahligen Schwingungsverhältnisse angenehm empfinden,
    bedarf jedoch zusätzlich eine psychologische Erklärung.

  3. @Rehm

    Zu: “Warum wir ganzzahlige Schwingungsverhältnisse angenehm empfinden” würde ich eine Verallgemeinerung viel interessanter finden: Warum ist ästh. Gespür so zielsicher beim Identifizieren guter Theorien *bevor* man auch nur annähernd die hinreichenden Hintergrundkenntnisse dafür hat? Wie ist das überhaupt möglich?

  4. @T

    Ja, warum schrie Archimedes “Heureka” und lief nackend auf die Straße, nachdem er das Badewasser überschwappen ließ?
    Er hatte gedanklich zwei weit voneinander liegende Phänomene in eine sinnvolle Verbindung gebracht, die Menge des Wassers mit der Menge seines fetten Bauches, in dieser Verbindung entdeckte er intuitiv einen SINN.

  5. @Rehm

    Ich meine nicht solche “Eureka”-Events, sondern dass man intuitiv spürt, wo etwas interessantes versteckt ist, bevor man weiß, was und wo. Beispielsweise hätte ich mich nie für Zahlentheorie interessiert, wenn nicht ein zufälliges, gelangweiltes Herumstöbern in einer Buchhandlung, auf die in Romane versunkene Begleiterin wartend, so etwas hervorgerufen hätte. Ein anderes Beispiel ist, dass ich als Jugendlicher einige Zeit die Angewohnheit hatte, in der Bibl. neben den gesuchet Texten auch benachbarte Zeitschriftenbände sehr schnell durchzublättern und mir intuitiv auffallendes zu kopieren. Oft erst viel später stellte sich heraus, dass ich instinktiv die Rosinen herausgepickt hatte.

  6. Glückwunsch (+Madame Synkope)

    Ich gratuliere Ihnen zu Ihrer ersten Intervention! Sie gefällt mir kompositorisch. Nur an den Synthie kann ich mich nicht gewöhnen, da bin ich offenbar durch meine Ausbildung zum Klavier- und Cembalobauer und nachfolgendes Grundstudium der Musikwissenschaft verdorben.

    Ich nehme an, daß Sie wohlwollende Kritik wohlwollend aufnehmen. Also zwei Punkte: Erstens fehlt mir zum Schluß ein Ritardando im vorletzten Takt. Der Schluß kommt mir zu plötzlich. Zweitens bräuchten die Synkopen alle einen kleinen Akzent. Heinrich Neuhaus verwendet in seiner ‘Kunst des Klavierspiels’ dazu das schöne Bild einer ‘Madame Synkope’, die einzigartig ist und nie mit jemand anders verwechselt werden darf. Eine Dame mit einem kleinen Akzent. Auf einem schönen Klavier aus Fichtenholz, Stahl und Filz ist das leicht zu gestalten, auf Ihrem Synthie wahrscheinlich nicht.

    Ihr Buch habe ich übrigens mittlerweile gelesen und größerenteils auch verstanden. Ich finde es, genau wie Ihre Blogbeiträge und Kommentare, inhaltlich zutreffend und stilistisch außerordentlich angenehm. Bach als Newton der Musik zu verstehen, das ist mir auch eingängigerer als die von Bülowsche Metapher vom ‘Wohltemperierten Klavier’ als ‘Altes Testament’ und Beethovens Sonaten als ‘Neues Testament’ des Klavierspiels. Wenn ich Ihren Gedanken fortsetze, wäre Beethoven dann der Maxwell der Tonkunst?

  7. @Jürgen Bolt:

    Ich kann verstehen, dass Ihnen der Synthie nicht gefällt. Dabei habe ich schon eine sehr gute Klangbibliothek. Was man mit der Klangbibliothek erreichen kann, sieht und hört man auf
    http://vsl.co.at/de/67/702/252.vsl
    Ich kümmere mich aber noch gar nicht um die “Aufführungspraxis”, das verschlingt sicher viel zu viel Zeit. So konzentriere ich mich erst einmal auf das Kompositorische.
    Bach als Newton der Musik passt wohl, für Maxwell müsste man wohl eher einen Romantiker nehmen, z.B. Schumann. Der ist auch nicht alt geworden.

  8. Schönheit physikalischer Theorien

    “Insbesondere die spezielle Relativitätstheorie ist ein besonders häufig zitiertes Beispiel dafür. Sie begeistert alle, die näher in sie eindringen.”

    Wie wahr! Als Elektroingenieur habe ich im Studium nur die “normalen” Maxwellgleichungen kennengelernt. Die Relativitätstheorie lernt man da leider nur am Rande und nicht in voller Breite in den Grundlagenvorlesungen kennen. Im Selbststudium tun sich da erstaunliche Einsichten auf. Wie elegant sich die Maxwellgleichungen in der Relativitätstheorie (und erst recht in der allgemeinen) formulieren lassen! Das hat mich zu eigenem Gedankenspielen angeregt,
    was sich mit dieser Theorie so alles anstellen lässt😉

    Wie heißt es so schön:
    “Nichts ist praktischer als eine gute Theorie”.
    Ludwig Boltzmann

  9. @Josef Honerkamp: Klangbibliothek

    Vielen Dank für den Link zu Ihrer Klangbibliothek. Sie enthält ja wirklich wunderbare Interpretationen. Da freue ich mich schon auf Ihre weiteren Werke. Und auf Ihre physikalischen Beiträge freue ich mich sowieso.

  10. @Schneider

    Genau, ich hatte mir auch gerade überlegt, daß meine Aussage zur allg. Relativitätstheore wegen der Schönheit der El.-Dynamik modifiziert werden muß.

    Ich lernte die spezielle Relativitätstheorie als Mittelstufenschüler zuerst nur über die üblichen elementaren Gedankenexperimente usw. kennen, glücklicherweise in einem Buch, daß parallel zu solchen elementaren Herleitungen auch die normalen unter Verwendung der Analysis enthielt. Als ich mir dann ein Analysisbuch durchgearbeitet hatte, und daran eine Buchreihe zur th. Physik für Anfangssemester anschloß, dass aber an dem Bedarf für Teilchenphysik orientiert war und somit die allg. RT nicht enthielt, fand ich die elegante Formulierung der El.-Dynamik besonders schön. Wie auch anders, denn die sp. RT entstand ja durch Umständlichkeiten der El.-Dynamik im Galilei’schen Kontext. Baez’ genanntes Buch zeigt dies alles besonders gut, auch sehr schöner Erweiterungen auf andere Feldtheorien. Die Darstellung ist sehr einfach und gut lesbar, die erwähnten Tippfehler meistens sehr leicht zu endtekcen und die darin benutzte/eingeführte Mathematik einfacherals Sie als El.-Ingenieur gewohnt sind (bei früherer Nachhilfe für El.-Ing. staunte ich nicht schlecht, als mir dann plötzlich Integralgleichungen begegneten).

  11. Ähnlichkeit

    Kanon, Fugen und Inventionen zeigen, wie tief das Prinzip „Ähnlichkeit“ in der menschlichen Ästhetik verwurzelt ist. Diese Musikstücke bestehen nur aus Ähnlichkeiten zu einem oder ein paar kurzen Motiven, die in allen möglichen Variationen durchgeführt werden. Offenbar macht es dem Zuhörer ein besonderes Vergnügen, dauernd solche ähnlichen Gestalten zu erkennen.
    Wagners Leitmotive frönen der gleichen Leidenschaft.
    Naturalistisch gesehen: Alle Sinnesorgane haben sich im Verlauf der Evolution optimal entwickelt zum (Wieder-) Erkennen von Ähnlichkeit, das als Ausgangslage von Unterscheidungen, Entscheidungen, Einteilungen und Urteilen dient. Deshalb lieben wir Bach.

  12. royalsociety.tv

    Wissenschaftsfernsehen für’s verregnete Wochenende: “Watch and listen to Royal Society events online, at home, in the office, or on the move. Our public events and prize lectures feature cutting-edge science, revealing history of science, and the exploration of science and culture.” (link)

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