Über Begriffe und Begriffsbildung

Vor einigen Tagen kam ich mit einem Kollegen aus der Philosophie ins Gespräch. Er berichtete mir von dem Scheitern seines Vorhabens, eine interdisziplinäre Gruppe von Wissenschaftlern zusammen zu bringen, um das Thema „Unbestimmtheit“ von allen Seiten zu beleuchten. Ich wurde hellhörig, hatte ich doch gleich den Verdacht, dass hier die Unbestimmtheit der Quanteneigenschaften auch eine Rolle spielen dürfte. In der Tat, aber das wäre nur eine Form der Unbestimmtheit und die Vorstellungen der potentiellen Mitglieder der Gruppe wären so unterschiedlich gewesen, dass eine fruchtbare Diskussion nicht zu erwarten gewesen wäre. Die Unbestimmtheit, die ihm auf den Nägeln brennte, wäre eine bei der Begriffsbildung, ein Problem, das eigentlich lange bekannt aber am Ende des letzten Jahrhunderts, also vor etwa 20 Jahren, wieder höchst aktuell geworden sei. Es ginge dabei um die Frage: Kann man eigentlich beim Argumentieren mit den Begriffen unseres täglichen Lebens stets die Regeln der formalen Logik anwenden?


Ab wann ist eine Ansammlung von Körnern ein Haufen?

Er konnte das Problem auch gleich an einem einfachen Beispiel erläutern: Man betrachte eine Ansammlung von Reiskörnern. Besteht diese aus sehr vielen Körnern spricht man von einem Haufen, bei nur wenigen aber nicht. Im allgemeinen ist die Eigenschaft einer Ansammlung, ein Haufen zu sein, jedoch nur unbestimmt definierbar. Jeder weiß das: Es gibt Ansammlungen, die so wenig Körner enthalten, dass man wirklich nicht von einem Haufen reden kann, andererseits Ansammlungen, die man mit allem Recht einen Haufen nennen kann, aber eben auch viele Ansammlungen „dazwischen“, bei denen es eine Ermessensfrage ist, ob man ihnen das Prädikat Haufen zuerkennt. Objektiv gibt es keine scharfe Grenze zwischen Haufen und Nicht-Haufen. Jeder Versuch, mit solch einem Begriff einwandfrei logische Schlüsse zu ziehen, führt irgendwann zu Widersprüchen. Auch im Rahmen einer Mengentheorie kann man keine Menge von Haufen definieren, dazu müssten diese Elemente erst scharf definiert sein. Kurz und gut: Mit einem solchen Begriff kann man keine „harte“ Wissenschaft betreiben.

Meine erste Reaktion war: „Kein Wunder – der Begriff ‚Haufen‘ ist ja ein Konstrukt unseres menschlichen Geistes, und da kann so etwas wohl passieren. Vergessen wir doch einfach solche unbestimmten Begriffe und beschränken wir uns auf eindeutigere.“ Ich wurde aber bald belehrt, dass es solche unbestimmten Begriffe in unserem Alltag, in Politik und insbesondere im Recht zuhauf gibt, z.B.: kalt, tot, Freiheit, Gerechtigkeit, Armut. Ab wann sind im Laufe der Evolution unsere Vorfahren als Menschen zu bezeichnen? Ab wann ist nach der Befruchtung einer menschlichen Eizelle von einem Menschen zu sprechen? Ist diese Farbe da noch rot oder schon gelb?  

Wir helfen uns mit den Formulierungen „mehr oder weniger“, manchmal können wir wirklich ausweichen: Bei dem Körnerhaufen einfach auf die Anzahl der Körner, bei der Farbe auf die Wellenlänge des reflektierten Lichtes, aber Freiheit und Menschsein kann man nicht messen. Natürlich stimmt der Spruch: „Es gibt mehr unter Himmel und Erde als was man messen und wägen kann.“

Ich war verblüfft, hatte aber das angenehme Gefühl, das man immer hat, wenn etwas, was man schon immer irgendwie gewusst hat, plötzlich ins helle Bewusstsein gerät. Nur die Verzweiflung meines Kollegen aus der Philosophie angesichts dieser Sachlage konnte ich noch nicht nachfühlen und bat deshalb um etwas „Geschriebenes“. Das schickte er mir und ich konnte in einem ausführlichen, sehr klar und verständlich geschriebenen Artikel [Kemmerling, 2012] noch einmal nachlesen, warum dieses Problem für manche Philosophen so bedeutend ist, welche Ansätze es gibt, das Problem zu lösen, warum diese alle untauglich sind, und ich verstand nun auch die Bestürzung, die sich in seinen Worten so ausgedrückt: „Die theoretische Philosophie muss zum einen fürchten, kaum noch Gegenstände zu finden, die für sie theoriefähig sind; zum andern sieht es so aus, als gingen selbst die profundesten verfügbaren Beiträge zu einer Rationalitätstheorie an fast der Gesamtheit dessen vorbei, was vernünftiges menschliches Denken ausmacht.“

Die mathematische Methode als Ideal

Eindeutige Begriffe möchte man haben, mit denen man logisch formal einwandfrei und eindeutig argumentieren kann – dieses Ideal sieht man am besten verwirklicht in der Mathematik. Wenn ich an meine Mathematik-Vorlesungen zurück denke, habe ich noch deutlich vor Augen, wie neue Begriffe mit großer Akribie „zugeschnitzt“ wurden, damit sie eindeutig wurden und tauglich für stringentes Schließen. So entstanden logisch in sich konsistente Theoriengebäude, eine Gruppentheorie z.B. oder eine Garbentheorie, und ich erinnere mich noch gerne daran, wie ich meiner späteren Frau, damals noch Medizinstudentin, mit einem Lehrbuch über eine Theorie der Verbände zu imponieren versuchte.

Euklid und andere Philosophen der Antike hatten entdeckt, dass man etwas „beweisen“ kann. Etwa 2000 Jahre schlummerte dieses Wissen, überdeckt von der Aristotelischen Philosophie. Erst Galilei revoltierte gegen deren Übermacht und zeigte als erster, zu welchen Einsichten der Gebrauch der Mathematik bei der Beobachtung der Natur führen kann. Er trat damit eine beispiellose Entwicklung los, unsere moderne westliche Welt mit all ihren wissenschaftlichen und technischen Errungenschaften sind eine Frucht dieser der „neuen Wissenschaft“ Galileis. In Floris Cohens Buch „Die zweite Erschaffung der Welt – Wie die moderne Naturwissenschaft entstand“ [Cohen, 2010] ist dieses ausführlich beschrieben. Wie man nur mit Fäden, die nicht reißen, ein immer größeres Netz weben kann, kann auch ein stabiles und kohärentes Wissenschaftsgebäude nur entstehen, wenn es genügend Argumentationsstränge gibt, die unzweifelhaft richtig sind. In meinem Beitrag „Die Sprache der Physik“ habe ich beschrieben, wie diese Sprache, die Mathematik nämlich, nicht nur für die Belastbarkeit der Begründungen sorgt, sondern auch noch Inspiration für neue Hypothesen bieten kann und zudem uns noch befähigt, über unsere Anschauungsfähigkeit hinaus sicher zu argumentieren.

Die Unanfechtbarkeit mathematischer Begründungen hatte sich seit dem frühneuzeitlichen Rationalismus herum gesprochen, auch wenn viele sie nicht immer explizit nachempfinden konnten. So versuchte Baruch Spinoza eine Ethik „more geometrico“ zu entwickeln, Christian Wolff habilitierte sich Anfang des 18.Jahrhunderts mit einer Arbeit „de philosophia practica universali methodo mathematica conscripta“ und Johann Gustav Reinbeck erhielt den Auftrag, die Einfachheit der Seele „methodo mathematica“ [FAZ vom 25.1.2012, S. N4] nachzuweisen. Matthias Jacob Schleiden glaubte, dass man mit Kants „kritischer Methode“ ebenso „consequent und sicher“ wie in der Naturwissenschaft von den „unmittelbar wahrgenommenen Tatsachen der inneren Erfahrung zu den metaphysischen Grundsätzen, die auch die Naturwissenschaften beherrschen,“ gelangen kann und auch „zu den Ideen wie ‚Seele, Freiheit, Gott‘ , die über alle Naturwissenschaften hinausgreifen.“ Der einzige wirkliche Schüler und Nachfolger Kants sei Jacob Friedrich Fries, „gerade wie sein Lehrer, gebildet durch mathematisch-astronomische und naturwissenschaftliche Vorstudien“, habe dieser aber erst in „logisch consequenter Entwicklung“ die Theorie zu den von Kant gefundenen Gesetzen geliefert, „und zwar in solcher Vollendung, dass sein ebenfalls mathematisch-astronomisch gebildeter Schüler Apelt nur noch wenig hinzuzufügen und zu verbessern hatte“ [Schleiden, 1863].

Entwicklung von Begriffen in der Physik

Alle diese Vorhaben sind natürlich gescheitert. Man kann aber gut verstehen, dass manche Philosophen immer noch davon träumen, eine solche Stringenz in der Argumentation z.B. auch in Fragen des Rechts oder der Ethik zu erhalten. Ich meine aber, der Traum ist unerfüllbar. Wenn man sich nur einen Schritt weit von der Mathematik entfernt und betrachtet wie in der Physik Begriffe entstehen, ahnt man dieses schon. Ich habe z.B. im Beitrag „Reduktionismus“ darzulegen versucht, dass in der Physik grundlegende Begriffe in der Regel nicht explizit definiert werden. Denn bei solchen Definitionen können ja nur Bezüge zu etwas Bekanntem hergestellt werden und so bleibt man in der Welt seiner Erfahrungen und Vorstellungen gefangen. Begriffe wie Quant, Spin oder Entropie wären so nie entstanden. In der Natur gibt es zu jeder Zeit mehr als „wir uns gedacht haben“ und so werden wir dort mit neuen Phänomenen konfrontiert. So können wir zunächst nur darauf zeigen, sie benennen, beschreiben und versuchen, von dem, was wir so und so benennen, einen Begriff zu bekommen. Dann steht der Begriff nicht ein für allemal fest wie in der Mathematik, weitere Erfahrungen führen meistens dazu, dass ein Begriff sich langsam wandelt, wie man es z.B. am Begriff Materie (siehe Beitrag „Wandlungen des Materiebegriffs“ ) gut studieren kann. Und letztlich können wir nur sagen, welche Entitäten wir unter diesem Begriff subsumieren und wie sich diese in allen möglichen Umständen verhalten. Die ontologische Frage „Was ist Materie eigentlich“ geht ins Leere. Wie sollten wir denn sagen können, was ein Quant ist? Unser Repertoire von Begriffen und Vorstellungen aus der Welt der mittleren Dimensionen, das uns im Rahmen der Evolution zugewachsen ist und uns für verbale Formulierungen zur Verfügung steht, hilft da nicht weiter. Daher kommt z.B. die Redeweise, dass wir die Quantenmechanik nicht mehr verstehen. Wir verstehen sie sehr wohl – nur nicht in Begriffen unserer Lebenswelt; und wir verstehen vorzüglich damit umzugehen. Die Entwicklung der Quantentechnologie zeigt das beeindruckend.

Nun könnte man einwenden, dass es im Kontext des hier geschilderten Problems um das Hinausgreifen über unsere Lebenswelt ja gar nicht geht, sondern schlicht darum, auch für die zwischenmenschlichen Probleme Begriffe zu finden, mit denen man stringente und für alle akzeptable Schlussfolgerungen ziehen kann.

Aber durch die Entwicklung der Physik wurde überdeutlich, dass es sogar dort, wo es „nur“ um „Messbares“ geht, unlösbare Probleme in der Ontologie der Dinge gibt, dass diese einen aber nicht daran hindern, Verlässliches über die Dinge auszusagen. Offensichtlich kann man exakte und einer Nachprüfung Stand haltende Aussagen machen über Eigenschaften von Dingen, obwohl die Dinge selbst nicht exakt definierbar sind. In meinem Beitrag „Strukturenrealismus und Evolution“ habe ich das weiter ausgeführt.

Präzisierung nur so weit, wie es die Problemsituation erfordert

Das Streben nach Exaktheit der Begriffe ist also gar nicht nötig, um verlässliche Theorien entwickeln zu können. Die Begriffe müssen nur „so exakt sein, wie es die Problemsituation erfordert“. So formuliert es Popper in seinem Exkurs über den Essentialismus im Buch „Ausgangspunkte – meine intellektuelle Entwicklung“. Erst die Problemsituation entscheidet, ob ein Begriff schon etwas taugt, ob er noch präzisiert werden muss oder eliminiert werden soll.

So versteht man auch, dass viele Begriffe in verschiedenen Gebieten verschiedene Bedeutung erhalten haben – einfach, weil sie in unterschiedlichen Problemsituationen verschieden präzisiert worden sind. Auch unsere Alltagsbegriffe sind in Problemsituationen entstanden und bewähren sich, trotz ihrer mangelnden Exaktheit, ständig in einfacheren Situationen. Natürlich gibt es Fälle, in denen sie das nicht mehr tun, in denen es z.B. nicht von vorne herein klar ist, was gerecht ist. Aber dann muss, von Fall zu Fall, darüber nachgedacht werden. Dabei ist noch nicht einmal klar, ob man zu einer von allen akzeptablen Lösung kommt, eine exakte Definition für alle Fälle und für alle Zeiten ist schon gar nicht möglich.

„Frei vagabundierende“ Begriffe ohne Problembezug können also nur unbestimmt sein, sie sind Rohmaterial, das erst in Bezug auf ein Problem geschliffen werden muss, mit durchaus unterschiedlichem Erfolg. Aber erst dann, wenn man den Problembezug sieht, lohnt sich das. Mit den Worten von Popper: „Versuche nicht, deine Begriffe und Formulierungen im Voraus mit voller Präzision auszustatten – in der vergeblichen Hoffnung, dich dadurch für künftige Probleme zu wappnen, die bisher noch nicht aufgetreten sind; vielleicht werden alle deine Bemühungen von der Entwicklung der Theorie überholt.“ Genau das lehrt uns die Geschichte der Physik: Bei der Entstehung aller großen Theorien veränderten sich her gebrachte Begriffe und es entstanden neue, die vorher nicht einmal geahnt werden konnten. Eigenschaften von Dingen traten zu Tage, die vorher unmöglich schienen. 

So kann ich nur dem Zitat aus Wittgensteins Philosophischen Untersuchungen (107) zustimmen, das ich in dem anregenden Artikel meines Kollegen aus der Philosophie gefunden habe: „Wir wollen gehen; dann brauchen wir die Reibung.“

Literatur:
Kemmerling, Andreas: Informationsimmune Unbestimmtheit – Bemerkungen und Abschweifungen zu einer klaffenden Wunde der theoretischen Philosophie, 2012
Cohen, Floris: Die zweite Erschaffung der Welt, Wie die moderne Naturwissenschaft entstand, campus 2010
Schleiden, Matthias Jacob: Ueber den Materialismus der neueren deutschen Naturwissenschaft, sein Wesen und seine Geschichte, Leipzig, 1863, in Bayertz, Kurt, Myriam Gerhard und Walter Jaeschke (Hsg): Der Materialismus-Streit, Felix Meiner, 2012
Popper, Karl R.: Ausgangspunkte – Meine intellektuelle Entwicklung, campe paperback, 1994

Josef Honerkamp

Veröffentlicht von

Josef Honerkamp war mehr als 30 Jahre als Professor für Theoretische Physik tätig, zunächst an der Universität Bonn, dann viele Jahre an der Universität Freiburg. Er hat er auf den Gebieten Quantenfeldtheorie, Statistische Mechanik und Stochastische Dynamische Systeme gearbeitet und ist Autor mehrerer Lehrbücher sowie des Sachbuchs: "Die Entdeckung des Unvorstellbaren". Nach seiner Emeritierung im Jahre 2006 möchte er sich noch mehr dem interdisziplinären Gespräch widmen. Er interessiert sich insbesondere für das jeweilige Selbstverständnis einer Wissenschaft, für ihre Methoden sowie für ihre grundsätzlichen Ausgangspunkte und Fragestellungen und kann berichten, zu welchen Ansichten ein Physiker angesichts der Entwicklung seines Faches gelangt. In seiner "Freizeit" versucht er, im klassischen Stil zu komponieren und seine Kompositionen auch mit Hilfe moderner Software zu produzieren. Insgesamt versteht er sich heute als Physiker und "wirklich freier Schriftsteller und Tonsetzer".

30 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Vagheit

    Der erwähnte Artikel von Andreas Kemmerling, Informationsimmanente Unbestimmtheit – Bemerkungen und Abschweifungen zu einer klaffenden Wunde der theoretischen Philosophen, 2012, lässt sich finden auf Prof. Kemmerlings Homepage:

    http://www.philosophie.uni-hd.de/…zfall_2012.pdf

    Absolut lesenswert, meine ich, sowohl unterhaltsam als auch lehrreich. Wenn Naturwissenschaftler mit vagen Begriffen auch gut zurechtkommen können, wie in diesem Post beschrieben, so erklärt Kemmerling in seinem Artikel warum Philosophen dies nicht so einfach können. Ihr Geschäft sind ja eben die Begriffe und die Logik. Wenn die Begriffe unscharf sind, lässt sich die Logik nicht mehr so einfach auf sie anwenden.

  2. Vagheit und Exaktheit

    Es mag sein, dass Vagheit ein schwieriges Feld ist, vor allem wenn es um philosophische Fragen geht. Gleich eine Katastrophe für die Theoretische Philosophie zu beschwören, geht etwas zu weit (Was der Autor des obigen Textes zum Glück nicht macht).

    Philosophische Probleme entstehen nicht zuletzt sehr häufig dadurch, dass wir nicht allzu kritisch mit unseren Voraussetzungen, Methoden und Schlussfolgerungen sind.

    Die (formale) Logik hat gewiss ihr wichtigen Platz, aber man vergisst immer wieder, dass solche Kalküle nur ›Bilder‹ bzw. ›Modelle‹ bilden. Dabei müssen wir notwendigerweise immer auch unseren normalen Sprachgebrauch als funktionstüchtig voraussetzen. Wer das nicht tut, kann gar nicht erst anfangen, sich überhaupt Sorgen um spezifische sprachliche Probleme zu machen. Es gilt bei der externen Anwendung der internen Kriterien und Definition (also Gebrauchsfestlegungen von Begriffen) immer mit einer kompetent entwickelten Urteilskraft zu agieren, sonst gerät man schnell in dunkle Fahrwasser allzu naiver Positionen (z.B. logischen Empirismus, logischer Atomismus oder logischen Nominalismus oder sonstiger szientistischer Positionen).

    —————–
    Eine kleine Auswahl an empfohlener Literatur (unter anderen):
    – Tim Schöne: „Was ist Vagheit“, Paderbon: mentis, 2011.

    – Herbert Wiegand (Hg.): „Sprache und Sprachen in den Wissenschaften – Geschichte und Gegenwart“, Berlin [u.a.]: de Gruyter, 1999.
    -> darin vor allem der Artikel von Pirmin Stekeler-Weithofer: „Wie bestimmen Sprachformen den Horizont einer Wissenschaft? Bemerkungen zur Vagheit und zur Norm der Exaktheit“, S. 508-532.

    – Pirmin Stekeler-Weithofer: „Grundprobleme der Logik – Elemente einer Kritik der formalen Vernunft“, Berlin [u.a.]: de Gruyter, 1986.

  3. Vage Begriffe…

    Ich habe den Kemmerling-Artikel heruntergeladen und bin gerade dabei ihn zu lesen.

    Ich möchte in aller Bescheidenheit und Zurückhaltung höflich und humorvoll darauf Hinweisen, das der Artikel in der mir vorliegenden Version (obigen Link gefolgt) mit „InformationsIMMUNE Unbestimmtheit…“ (Hervorhebung von mir) betitelt ist.

    Ich gehe mal davon aus, dass die scharfe Grenze zwischen „immanent“ und „immun“ existent und erkennbar ist.

    Angesicht der bevorstehenden „vagen Tage“ könnte man sich ja vielleicht auf ein „immnmnmnmnmnt“ einigen.

    🙂

  4. @ Volker Homann

    „Ich gehe mal davon aus, dass die scharfe Grenze zwischen „immanent“ und „immun“ existent und erkennbar ist.“

    An scharfe Grenzen glaube ich zwar immer noch nicht, aber immun / immanent – hmm, das hätte mir auffallen sollen. Okay, vielleicht hab ich das gelesen als „begriffsimmanente“ Unbestimmtheit, was ja zumindest Sinn machen könnte. Auch wenn diese Unbestimmtheit informationsimmun ist, ich bin es nicht und werde den Unterschied ab jetzt berücksichtigen – Danke für den Hinweis.

    Und jetzt: Narhalla-Marsch

  5. Philosophen und Sandhaufen

    Ein Sandhaufen ist gewiss dann kein Sandhaufen mehr, wenn alle seine N Sandkörner entlang einer Linie gleichmässig aufgereiht werden. Der Begriff Sandhaufen umfasst folglich auch qualitative Merkmale der Gestalt, die sich nicht allein auf die Anzahl N der dabei beteiligten Sandkörner reduzieren lassen. Als Sandhaufen bezeichnen wir ein Objekt nur dann, wenn ein bestimmtes Muster erkannt wird, andernfalls tun wir das nicht.

    Unsere Wahrnehmung ist insgesamt mehr darauf konditioniert, wesentliche Muster zu erkennen, und nicht so sehr die Details. Dieses System funktioniert robust gegenüber hinreichend kleinen Störungen. Was „hinrechend klein“ dann konkret bedeutet, wird jeweils im Kopf entschieden. Dafür hat es keine universelle Formel.

    Und diese Robustheit wird reflektiert durch unsere Begriffsbildungen und deren Gebrauch, denn die Ausbildung der Sprache ist massgeblich an observablen Mustern orientiert. Robust ausgelegte Begriffe sind naturgemäss in ihren Anwendungen unscharf, und das ist ein Vorteil. Das ist insbesondere auch grundlegende Voraussetzung dafür, überhaupt begrifflich abstrahieren und strukturelle Merkmale benennen zu können. Wenn dies alles eine Krise für die Philosophie bedeuten sollte, dann, so scheint mir, machen die Philosophen vielleicht irgendwas falsch.

  6. @ Chrys

    „Wenn dies alles eine Krise für die Philosophie bedeuten sollte, dann, so scheint mir, machen die Philosophen vielleicht irgendwas falsch.“

    Wenn ich Herrn Professor Kemmerlings (hervvorragend geschriebenen!) Aufsatz recht verstanden habe, ich es eine Krise der _analytischen_ Philosophie, die durch die notwendige Vagheit von Alltagsbegriffen ausgelöst wird, denn sie kann dann nicht mehr mit der logischen Stringenz, die sie sich selbst verordnet hat, über den Alltag reden, kann ihr Programm des „Exorzismus der Sprachhexerei aus der Vernunft“ (angelehnt Wittgenstein) also nicht durchziehen. Sie wird, wenn sie nicht mehr vom Alltag reden kann, ziemlich leer.

    Das ist, wenn ich es recht sehe, insofern ein Problem für die GANZE Philosophie, weil sie heutzutag fast ganz und gar analytisch ist.

  7. @Helmut Wicht

    Ja, vielleicht fehlt es mir da einfach noch an Problembewusstsein, kann schon sein.

    Das Verhältnis von Sandhaufen zu Sand ist jedenfalls ganz ähnlich dem von Wald zu Baum. Und manche analytisch-philosphische Betrachtung mag immerhin dazu führen, dass man schlussendlich vor lauter Bäumen keinen Wald mehr erkennt. Das bedingt möglicherweise eine Krise.

    Anders gesagt, die analytische Philosophie kann grundsätzlich auch „ein Mittel zur Verhexung unsres Verstandes durch den Kampf mit unserer Sprache“ werden (wieder in Anlehnung an Wittgenstein). Und das wäre dann wohl ein Irrweg.

  8. Unschärferelation

    Jokers Unschärferelation zur fraktalen Eigenschaft von Begriffen:

    Je genauer man einen Begriff (oder ein Objekt) analysiert, desto unschärfer wird seine Grenze, man erhält mehr Grenzfälle.

    Mehr Information über Intension oder Extension führt demnach nicht unbedingt zu einer Präzisierung eines Begriffs, sondern vergrößert sozusagen die Grenzoberfläche um den Begriffskern und erfordert daher noch mehr Information, um Intension und Extension näher bestimmen zu können.

    „Je mehr du darüber redest, je mehr du darüber nachdenkst, desto weiter entfernst du dich.
    Höre auf zu Reden, höre auf zu Denken, und da ist nichts, was du nicht verstehst.“
    (Seng-Ts’an)

  9. @ Joker

    „Je genauer man einen Begriff (oder ein Objekt) analysiert, desto unschärfer wird seine Grenze, man erhält mehr Grenzfälle.“

    Das glaub‘ ich nicht. Oder besser: nicht ganz, nicht für alle Begriffe.

    Manche Begriffe der Mathematik sind doch „scharf“, erfüllen die Bedingungen der eindeutigen In- und Exklusion. „Alle geraden Zahlen“ – schärfer geht nicht, oder?

    Für Begriffe, die sich auf Dinge beziehen, geb‘ ich das aber gerne zu.

  10. @ Helmut Wicht: Gute Idee

    Vermutlich haben sie Recht. Die mathematischen Begriffe scheinen sehr gut abgegrenzt zu sein. Vielleicht kann man sie nicht weiter analysieren, und sie sind deshalb so scharf?

    Ganz sicher bin ich mir nicht. 1 Tropfen + 1 Tropfen ergeben nicht immer 2 Tropfen, manchmal entsteht ja auch 1 (großer) Tropfen. Dies kann man natürlich auf den vagen Objektbegriff schieben, aber vielleicht ist ja auch die Trennung zwischen „1“ und „2“ etwas vage. Vielleicht wollen wir, durch die einseitige Zurechnung der Vagheit zum Objekt, uns nur die Exaktheit der Mathematik bewahren.

    Weitere Ausnahmen könnten sich noch in Platons Ideenhimmel finden lassen.

  11. @Joker

    Ist das nicht eher eine verfehlte Anwendung der Addition auf einen physikalischen Vorgang? Ein Tropfen hier und ein Tropfen da sind zwei Tropfen – das ist schon die Addition. Wenn man die Tropfen „zusammenführt“, so daß (vielleicht) einer entsteht, ist das ein physikalischer Prozeß, der mit Addieren nichts zutun hat. Und gerade die Schärfe des Unterschiedes von 1 und 2 erlaubt es uns, das festzustellen.

  12. @Helmut Wicht

    Gerade bin ich auf einer geraden Straße gefahren, und nun lese ich hier von geraden Zahlen,also hat das Wort „gerade“ je nach Kontext sehr verschiedene Bedeutungen. So ist es wohl mit allen Wörtern, und der Wunsch nach Logik und Mathematik ohne Widersprüchlichkeiten ist seit Gödels Beweis aus der Mode.

  13. @ Christoph Deblon

    Zum Glück hab ich das mit der „1“ und „2“ schon so spekulativ formuliert. Das macht es mir leichter hier einen Rückzieher zu machen. Das Zusammenführen zweier Tropfen entspricht zugegebenermaßen nicht dem Additionsbegriff der Mathematik.

    Aber sind deswegen schon alle Begriffe der Mathematik vor Vagheit gefeit? Mir fällt da noch der Begriff „Menge“ ein. Intuitiv leicht zu erfassen und scheinbar eindeutig bestimmt. Dann kommt auf einmal Bertrand Russell und verwendet ihn selbstbezüglich. Was ist die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten? Ist das auch eine Menge, oder muss man, um die Mathematik zu schützen, hier den Begriff präzisieren?

    Weitere Kandidaten sind das „Infinitesimale“ und das „Unendliche“; oder was bedeutet „wahr“ in der Mathematik, wenn es Sätze gibt, die nicht beweisbar sind (siehe Gödel)?

    Nehmen wir nur das „Unendliche“. Da kann man sich ja leicht was drunter vorstellen. Dann wird man gezwungen genauer hinzugucken und lernt etwas von „abzählbaren“ und „überabzählbaren“ unendlichen Mengen. Damit nicht genug, über Potenzmengen gelangt man schließlich noch zu Ordinalzahlen, also zu weiteren unterscheidbaren Unendlichkeiten. Das kann einen schon verunsichern, vielleicht gibt es doch noch mehr zu entdecken als wir vermuten.

    Letztendlich wäre ich gar nicht unzufrieden, falls sich herausstellen würde, dass die Begriffe der Mathematik klare Grenzen hätten – aber noch hege ich Zweifel.

  14. Überzeugend scheint mir das Konzept, dass die Grad der Präzisierung sich aus der Problemsituation ergeben muss. Der Sinn der Sprache ist doch in erster Linie die Kommunikation zwischen Leuten zur Verbesserung der Zusammenarbeit. Und da ist, weil wir in einem Echtzeitsystem agieren, Geschwindigkeit und Aufwand ebenso wichtig, wie Präzision. Die Evolution hat da offensichtlich ein vernünftiges Optimum generiert. Mathematiker und Wissenschaft können den Schwerpunkt auf Präzision legen, weil sie keine Echtzeitanforderungen haben.

  15. Begriffe in Physik vs. Geisteswissensc.

    Begriffsbildungen in der Physik und der Philosophie oder den Geisteswissenschaften allgemein haben zuerst einmal einige Gemeinsamkeiten. Die Evolution der Begriffe ist jedoch in beiden Wissenschaftsgruppen eine ganz andere. Der tiefere Grund dafür liegt darin, dass die Sprache der Physik letztlich die Mathematik ist.

    Neue Begriffe in Physik und Geisteswissenschaften stehen zu alten, bekannten Begriffen zuerst einmal in einem Beziehungs-/Assoziationsnetz, das man als Hierarchie (Mindmap) oder Netzwerk wiedergeben kann.

    Dadurch, dass Physik mathematisch unterlegt ist, kann man dieses anfängliche Begriffsnetz aber reduzieren ohne dass man etwas verliert. Das gleiche geht in den Geisteswissenschaften kaum. Dort verliert man durch Ausdünnung des Beziehungsgeflechts zwischen Begriffen meist wesentliche Aspekte, wobei es sogar schwer fallen kann, das genau festzumachen.

    Warum kann man ein Begriffsnetz in der Physik (aufs Wesentliche) reduzieren ohne etwas zu verlieren? Weil es wie in der Mathematik grundlegende Begriffe (Axiome) und abgeleitete Begriffe (Sätze) gibt und die abgeleiteten Begriffe jederzeit rekonstruiert werden können durch einen systematischen Herleitungsprozess.

    In den Geisteswissenschaften fällt eine solche Reduktion schwer. Viele Konzepte dort machen nur Sinn vor dem Hintergrund einer ganzen Kultur und Geschichte. Deshalb ist das philosophische und allgemein geisteswissenschaftliche Denken aus vergangengen Jarhhunderten heute oft schwierig nachvollziehbar. Ein wirkliches Nachvollziehen würde voraussetzen, dass wir uns in die Zeit zurückversetzen in der die Gedanken formuliert und die Begriffe geschaffen wurden.

    Ganz anders in der Physik. Die Physik eines Newton ist heute noch für jeden modernen Physiker nachvollziehbar ohne dass er sich in die Zeit Newton’s zurückversetzen muss, einfach darum, weil die Sprache Newton’s und die Sprache der Physik die Mathematik ist. Newton’s 3 Bewegungsgesetze sind schon ähnlich formuliert wie Axiome in der Mathematik und eine axiomatische Mathematik kannten schon die alten Griechen. Sie kommt wohl am besten in Euklids Elementen zum Ausdruck.

    Weil die Mathematisierung der Physik so erfolgreich war versuchen nun auch viele Geistes- und Sozialwissenschaflter ihre Wissensgebiete zu mathematisieren. Recht weit fortgeschritten ist das bei den Ökonomen. Doch gebracht haben diese Bemühungen lange nicht so viel wie in der Physik. Oft muss man sich fragen ob die Formeln der Ökonomen überhaupt etwas wesentliches widergeben oder ob sie nicht willkürlich sind. Diese Frage stellt sich in der Physik nicht. Die Formeln, die die Physiker verwenden haben Auswirkungen für jedes Experiment und für jede Messung, die man vornimmt. Auch in der Physik können Gesetze und Formeln an Bedeutung verlieren, allerdings meist deshalb weil es mit dem Fortschritt noch bessere und allgemeinere Beschreibungen gibt für das was frühere Physiker gefunden haben.

    In den Geisteswissenschaften passiert es viel häufiger, dass altes Wissen (?) an Bedeutung verliert oder sogar obsolet wird ohne dass das alte Wissen in einer allgemeineren und umfassenderen Theorie aufgeht.

    Wahrheiten, die nicht anfechtbar sind gibt es sowieso nur in der Mathematik und es gilt (nach Einstein):

    Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

    Dass die Mathematisierung der Physik so ein Erfolg war und ist hängt mit einer anderen Aussage Einsteins zusammen:

    Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

  16. scharfe Begriffe in Physik und Philosoph

    Die Vagheit unserer Begriffbildung hat eine einfache Ursache: wir machen Erfahrungen immer nur über Teilsysteme des Ganzen (des Universums). Beim Umgang mit diesen Teilsystemen müssen wir diese objektivieren, d.h. wir müssen uns die Wechselwirkungen (Bezüge) mit dem Rest des Universums wegdenken (vernachlässigen) – dieser Rest aber trägt die Unschärfe in Beobachtung und Anschauung, in alle Messvorgänge, hinein, und damit in die die Erfahrung ordnenden Begriffe.

    Auch die Begriffe in der Physik sind nur solange nicht vage, wie sie sich auf Idealisierungen beziehen (idealisierte Systeme = abgeschlossene Systeme). Reale Systeme lassen sich mit diesen Begriffen nur näherungsweise beschreiben (wenn der die Unschärfen bildende Rest vernachlässigt wird).

    In der Mathematik ist das wohl nicht anders: Näherungslösungen von Gleichungen tragen auch hier eine Vagheit mit sich, die in ihrer Bedeutung eben beliebig eingestuft werden kann.

    Grüsse Bernd

  17. @Helmut Wicht

    Zitat: »„Alle geraden Zahlen“ – schärfer geht nicht, oder?«

    Anscheinend kam Sir Michael Dummett hier zu ganz einem anderen Schluss:

    The question whether two people mean the same by a certain expression, as it arises in everyday life, is not indeed entirely definite: no doubt there are contexts in which it would be natural to allow an agreement as to the criterion for the correct application of a predicate to imply an agreement on its meaning; in this sense, then, we do have a unique and definite meaning for the expression ’natural number‘. […] If we understand the word ‚meaning‘ differently, so as to make the meaning of the expression ’natural number‘ involve, not only the criterion for recognising a term as standing for a natural number, but also the criterion for asserting something about all natural numbers, then we have to recognise the meaning of ’natural number‘ as inherently vague.

    Quelle: The Philosophical Significance of Gödel’s Theorem. In: M.A.E. Dummett. Truth and Other Enigmas. Harvard University Press, 1978, p. 193f.

    Wie ich das verstehe bliebe es in diesem Sinne beispielsweise unklar, inwiefern ein Konstruktivist und ein Nichtkonstruktivist dieselbe Vorstellung von den natürlichen Zahlen haben können, auch wenn sie etwa hinsichtlich der Peano-Arithmetik völlig übereinstimmen.

    N.B. In dem genannten Band von Dummett ist u.a. auch ein Essay, (Wang’s paradox), wo er zum Sandhaufen Rätsel geschrieben hat.

  18. @Joker: Nur falls Sie keinen Scherz

    Zählt 2i zu den geraden Zahlen?
    Halb und halb! 2: ja – i: nein.

    „2“ bezeichnet die natürliche Zahl 2, „i“ bezeichnet die

    http://de.wikipedia.org/…/Imagin%C3%A4re_Einheit

    mithin ebenfalls eine (imaginäre) Zahl. Das Produkt aus 2 und i ist 2i, auch eine (imaginäre) Zahl. Nach dieser Definition

    http://de.wikipedia.org/…ade_und_ungerade_Zahlen

    ist 2i eine gerade Zahl. (Interessant ist gar nicht die Defintion von „gerade“, sondern, was alles man als „Zahl“ bezeichnet).

  19. No jokes / @Ano Nym

    Die von Ihnen verlinkte wiki Definition ist völlig korrekt und besagt:
    „Eine natürliche oder ganze Zahl heißt gerade, wenn sie durch Zwei teilbar ist, ansonsten ungerade.“

    Die imaginäre Einheit i ist keine natürliche oder ganze Zahl. Folglich ist 2i keine gerade Zahl.

    N.B. Der Begriff teilbar bedeutet übrigens in einem zahlentheoretischen Kontext stets ganzzahlig teilbar. In der Alltagssprache mag teilbar etwas anderes heissen, aber in der Mathematik ist es ein klar festgelegter Terminus.

  20. nicht unbedingt vage, aber kontextabhäng

    Bei dem Philosophen Gernot Böhme meine ich einst sinngemäß folgendes gelesen zu haben: Der Begriff „hart“ wird unter Bäckern nicht weniger präzise gebraucht als unter Physikern, nur ist er bei letzterem nicht kontextabhängig. Wenn der Bäcker von einem harten Holz spricht, meint er etwas ganz anderes, als wenn er von einem harten Brot spricht, aber seine Begriffe sind nicht vage, sondern eben kontextabhängig.

  21. Das Beweisen?

    1. Ich bin mir nicht sicher, aber meines Wissens war das Verhältnis von Euklids Geometrie (und Mathematik) zur Aristoteles Logik (und Semantik) etwas komplexer.
    So herrschte zum Beispiel jahrhundertelang das Problem, dass man manche Schlussfolgerungen von Euklid, grade wenn sie geometrisches Gebiet betreffen, nicht korrekt in Syllogistische Form bringen konnte. Das ergab sich daraus, dass Aristoteles Relationen wie „kleiner als“, „größer als“ oder „a liegt zwischen b und c“ nicht so ohne weiteres darstellen konnte.
    Was bei kleiner/größer vielleicht (bei 2 Dingen) vielleicht noch umgangen werden kann wird bei Konstruktionen wie a zwischen b und c sehr schwierig.
    Die Begriffslogik (die verwandt ist mit der Mengenlehre, da Begriffe und Mengen oft ähnlich behandelt werden können) war mit diesen Dingen wohl oft überfordert. Das führte zum einen zu einer Abwertung der Methoden der Logik, aber auch oft zu solchen Vorstellungen wie selbstevidenten Axiomen etc.
    Erst die moderne Logik nach Boole und Frege konnte das Problem lösen. Erst ab dann wurde Logik endgültig mit Mitteln der Mathematik erforscht und die mathematischen Grundlagen mit logischen Mitteln auszuarbeiten versucht.
    2. Das Problem mit den Haufen könnte man ggf. mit Fuzzy-Logik lösen. Ein Logiker kann sich aber auch auf den Einwand zurückziehen, das sei ein linguistisch-sprachphilosophisches Problem, für seine Zwecke genügen andere Definitionen völlig aus.
    3. Generell finde ich es aber gut, dass solche logischen Themen hier auch behandelt werden. Ich wünsche allen Lesern einen guten Tag!

  22. Kommentar 2. Ordnung

    @Martin Holzherr:

    Weil die Mathematisierung der Physik so erfolgreich war versuchen nun auch viele Geistes- und Sozialwissenschaflter ihre Wissensgebiete zu mathematisieren. Recht weit fortgeschritten ist das bei den Ökonomen.

    Die Ökonomie wird meines Wissens schon seit dem späten 18. bis frühen 19. Jahrhundert mit Hilfe mathematischer Mittel untersucht. Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich habe Zweifel an der obigen Aussage. Es könnte sein, dass sie ahistorisch ist und die Physik und Ökonomie (mehr oder weniger 😉 gleichzeitig begonnen haben, ihre Gegenstände mittels mathematischer Methoden zu untersuchen.

    Über Wahrheit oder Falschheit konkrete ökonomischer Theorien sagt das natürlich nichts aus. Auch nicht über physikalische, übrigens.
    Die Physiker haben aber den Vorteil, das sie auf ihren Gebiet sehr viel leichter experimentieren können als Ökonomen es je könnten. Insofern ist ein Vorwurf in diese Richtung etwas unfair.

    @Chrys

    Wenn dies alles eine Krise für die Philosophie bedeuten sollte, dann, so scheint mir, machen die Philosophen vielleicht irgendwas falsch.

    Und wie, meinen Sie, sollte sie es besser machen?

    @Steffen Rehm

    […]und der Wunsch nach Logik und Mathematik ohne Widersprüchlichkeiten ist seit Gödels Beweis aus der Mode.

    Nein, das stimmt nicht. Im Gegenteil wird in der Mathematik im Allgemeinen die Widerspruchsfreiheit sehr hoch eingeschätzt, auch wenn dafür die Vollständigkeit beopfert werden müsste.

  23. Einige Kommentare

    Nun komme ich endlich dazu, mich in die Kommentare einzumischen:
    @Schulze-Ollendorf:
    Sie schreiben „Es gilt bei der externen Anwendung der internen Kriterien und Definition … immer mit einer kompetent entwickelten Urteilskraft zu agieren, sonst gerät man schnell in dunkle Fahrwasser allzu naiver Positionen“: Ich möchte Ihnen gerne zustimmen, aber leider habe ich schon zu oft (gerade unter Philosophen) erlebt, dass jemand sich selbst als kompetent und andere als naiv empfindet. – Herzlichen Dank für die interessanten Literaturhinweise.
    @Chris:
    „Unsere Wahrnehmung ist insgesamt mehr darauf konditioniert, wesentliche Muster zu erkennen, und nicht so sehr die Details. Dieses System funktioniert robust“. Ich stimme Ihnen zu. Das erinnert mich auch an meine Ausführungen zum Strukturenrealismus: Strukturen erkennen wir verlässlicher als Substanzen.
    @Frage:
    Zu 1: Ich sah Euklids Geometrie nicht vs. Aristotelische Logik, sondern vs. seiner gesamten Philosophie, die die Universitäten im Mittelalter beherrschte. Vielleicht muss ich das noch deutlicher machen. Ihrem Hinweis auf Frege et.al. stimme ich voll zu.
    zu 2: Ja, Fuzzy-Logik hab ich auch mal betrieben, hat mich damals intellektuell nicht beeindruckt. Es wird da aber auch immer quantifiziert, aber eben nur fuzzy.
    zu @Martin Holzherr: Die Physik (Galilei, Newton) war sicher historisch eher. Der Gradient des Erfolges war auch sonst sehr unterschiedlich, so dass man die Anfänge der mathematisierten Ökonomik wohl auch nur sehr vage(!) definieren kann. Natürlich ist die Ökonomie viel komplexer, weil handelnde Personen im Spiel sind.
    zu @Steffen Rehm: “ … wird in der Mathematik im Allgemeinen die Widerspruchsfreiheit sehr hoch eingeschätzt, auch wenn dafür die Vollständigkeit geopfert werden musste.“ Genau!

  24. @Josef Honerkamp

    Vorab bitte ich um Verzeihung für die verspätete Antwort:
    „Ich sah Euklids Geometrie nicht vs. Aristotelische Logik, sondern vs. seiner gesamten Philosophie, die die Universitäten im Mittelalter beherrschte.“

    Vielleicht sollte man an der Stelle klarstellen, dass es zu dieser Zeit noch keine klare Trennung (sofern die Trennung überhaupt klar ist…) zwischen Physik und sonstiger Philosophie gab. Ja eigentlich gab es gar keine Trennung. Noch bei Newton sprach man von „Naturphilosophie“. Was, besonders wenn man bedenkt, dass es Begriffe wie „Wissenschaftler“ damals noch nicht gab und Philosoph eine sehr allgemeine Bezeichnung für „Weltweise“ (also nicht geistliche Akademiker außer Mediziner und Juristen), die Sache ja auch treffend umschreibt.

    Ob Euklid sich nicht doch gut in das Umfeld der damaligen Physik eingeordnet hat, das kann ich nicht beurteilen.

    „Ja, Fuzzy-Logik hab ich auch mal betrieben, hat mich damals intellektuell nicht beeindruckt. Es wird da aber auch immer quantifiziert, aber eben nur fuzzy.“

    Es wurde da mW ja auch analogien zur Wahrscheinlichkeitsrechnung gezogen. Einige behaupten sogar, es sei im Grunde das selbe mit verschiedenen Mitteln.

  25. Interdisziplin. – transdisziplin.? I-Vor

    Interdisziplinär – transdisziplinär, wie auch immer, das (fast einzige) Geheimnis des Gelingens solcher Wissenschaft ist die Sprache, die gemeinsame, damit: Der GEMEINSAME INFORMATIONSVORRAT.
    Das bedeutet, solange bereits die Teile dieses Begriffes nicht einvernehmlich definiert sind, gibt es keinen nutzbaren gemeinsamen Informationsvorrat.
    Folge:
    Jegliche Fachbegriffskleinstaaterei in den (zentral bedeutsamen) Begriffsbildungen verhindert fachübergreifende Forschungserfolge.
    Wenden wir uns doch gleich erst mal dem Begriff der Information zu ….

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