Schneiden sich Parallelen im Unendlichen?
BLOG: Uhura Uraniae
Man hört diesen Satz öfter mal, dass sich angeblich Parallelen im Unendlichen schneiden. Er ist so populär wie die Formel E=mc², aber wer versteht eigentlich, was damit gemeint ist? Zu Ehren des Mathematikers und Astronomen Johannes Kepler, der heute 449 Jahre alt würde (nächstes Jahr also rundes Jubiläum hat), sei dies hier erklärt:
A) Eine mögliche Deutung ist der Parallelentransport auf der Kugel: Zwei Längenkreise verlaufen am Äquator parallel zueinander, aber aufgrund der Krümmung der Kugel laufen sie polwärts aufeinander zu und sind sonst also nicht parallel. Das ist insofern gemogelt, als wir hier die euklidische Geometrie verlassen. Wir betrachten ja eigentlich gar nicht “Geraden” – oder wenn, dann die Tangenten an die Kugel – sondern Geodäten, also Stücke von Großkreisen.
[Ein Großkreis ist ein Kreis mit dem Umfang des Äquators einer Kugel. Die meisten Kreise geographischer Breite sind keine Großkreise.]
Daher können sich “Wolkenstrahlen” am Himmel (Beitrag von Gunnar Ries 2018) schneiden: Sie sehen aus, als gingen sie gerade von der Sonne weg – und das tun sie auch – aber wenn man sie bei tiefstehender Sonne über den ganzen Himmel beobachten kann, scheinen sie sich zu schneiden.
B) Der Satz, dass sich Parallelen angeblich im Unendlichen schneiden, erfordert aber keine Kugelmetrik, denn das wäre für den Alltag zu kompliziert. In Bertolt Brechts “Leben des Galilei” wird zitiert, dass den Gelehrten diese Frage langweilt, die er immer wieder seinen Schülern beibringen muss… Heute wird das in der Schule nicht gelehrt, aber jeder Neuntkläßler (wdm) könnte dies herleiten. Ich habe das zwar nie gelernt, aber es kam mir einst in den Sinn in einem Philosophieseminar, als ich die Spekulationen meiner Kommilitonen erklären wollte.
Es klingt ja mit Worten erstmal absurd: Parallelen sind dadurch definiert, dass sie sich nicht schneiden. Warum sollen sie es jetzt doch tun?
Dass das geht und sehr logisch ist, liegt daran, dass es “den Punkt namens unendlich” schlichtweg nicht gibt. Wenn also eine mathematische Gleichung “unendlich” als Ergebnis zurückgibt, dann ist meistens physikalisch irgendwas schief gegangen, d.h. es gibt keine Entsprechung in der realen Welt.
Rechnen wir es nach:
- Parallelen sind Gerade in euklidischer Metrik, also sind sie durch die Geradengleichung beschrieben, die wir seit der 9. Klasse kennen:
y = m x + n,
wobei (x,y) die Koordinaten im Koordinatensystem sind, m der Anstieg und n der Schnittpunkt mit der y-Achse. - Nun schreiben wir die Gleichungen hin.
Gerade 1: y = m1 x + n1
Gerade 2: y = m2 x + n2 - Wie rechnet man nun die Schnittpunkt aus? Der Schnittpunkt ist da, wo beide Geradengleichungen dieselben Punktkoordinaten (x,y) haben, also das y aus der Gleichung für Gerade 2 mit dem aus der Gleichung für Gerade 1 übereinstimmt.
Also: Gleichsetzen der beiden “y” liefert das “x”, dann kann man bei Bedarf hinterher das “y” durch einsetzen finden – werden wir hier nicht brauchen.
Gerade 1: y = y :Gerade 2
m1 x + n1 = m2 x + n2 - Umstellen zeigt nun unser Formel für x:
m1 x – m2 x = n2 – n1 (ausklammern von x)
(m1 – m2) x = n2 – n1
x = ( n2 – n1 ) / (m1 – m2) - Zwei parallele Geraden haben denselben Anstieg m = m1 = m2, aber verschiedenen Schnittpunkt mit der y-Achse. Die eine Gerade schneidet die Achse bei n1, die andere bei n2. Auf dem Bruchstrich steht also oben eine reelle Zahl.
- Wenn aber m1 = m2 dann ist (m1 – m2) = 0 und wir müssten auf der rechten Seite durch Null dividieren.
- In der formalen Sprache der Mathematik heißt das, dass der x-Wert des Schnittpunktes “gegen Unendlich strebt” (je näher die Zahl unterm Bruchstrich der Null kommt, desto kleiner wird sie und desto größer wird der Quotient insgesamt). Das Ergebnis dieser Division ist keine Zahl, d.h. erreicht nie irgendeinen echten Wert, sondern wir können nur schauen, was links und rechts neben der Null passiert und da wird das Ergebnis riesengroß – und kein Ende in Sicht. Das entspricht der Definition der Parallelen, die ins Unendliche strebend nie einander erreichen.
q.e.d. - In der Grundschule hatten wir gelernt, dass die Division durch Null “nicht erlaubt” ist. Das liegt aber nicht daran, dass irgendein Jurist dies gesagt hätte oder dass die Mathematiker “zu doof” dazu wären, sondern es ist in der Lebenswelt jedes Kindes ganz einfach verstehbar:
- Gehen wir nochmal in die Lebenswelt zurück, was Dividieren überhaupt heißt: Die Familie sitzt Weihnachten bei einem Kuchen zusammen und der Kuchen soll gleichmäßig auf alle Familienmitglieder aufgeteilt werden.
- Wenn nur Eltern und 2 Kinder da sind, soll der Kuchen auf vier Personen aufgeteilt werden: jedes Familienmitglied bekommt ein Viertel. Sitzen auch Omas und Opas dabei, muss der Kuchen in 8 Teile geteilt werden und jedes Familienmitglied bekommt ein Achtel.
- Soll der Kuchen aber durch 0 Familienmitglieder geteilt werden, ist er wahrscheinlich aus Wachs oder anderem ungenießbaren Material, d.h. niemand will ihn essen, er wird nicht geteilt – es gibt keine Division (Aufteilung) des Kuchens. Im Schulbuch der Mathe-Aufgaben taucht dieses Problem nicht auf, weil eben keine Aufgabenstellung existiert.
Solange wir innerhalb der Mathematik bleiben , scheint es ausgeschlossen , dass sich die geraden schneiden.
Verlassen wir die Mathematik und nehmen ein 2cm breites Gummiband, dass 1m lang ist. Wir färben die linke Kante des Gummibandes rot, die rechte Kante färben wir blau. Das sollen unsere zwei Geraden sein.
Im Normalzustand ist das Band 2cm breit, die parallelen Kanten(Geraden) auch 2cm voneinander entfernt.
Wir ziehen an dem Gummiband, und siehe da , der Abstand der Kanten verringert sich, obgleich sie immer noch parallel sind. Wenn wir jetzt annehmen, dass das Gummiband unzereissbar ist, dann berühren sich die beiden Kanten , wenn wir das Gummiband bis in die Unendlichkeit verlängern.
Wir können die beiden Parallelen auch ganz schnell zusammenführen, wenn wir die beiden Enden verdreht zusammennähen. Frage, haben Parallele einen Anfang ? Wenn nicht, woher kommen sie ?
(Erinnerung, wir sind außerhalb der Mathematik)
Wenn es irgendwo im Unendlichen einen Punkt x(P) (oder mehrere) gibt, an dem sich die Parallelen schneiden, dann müssen:
1. Danach die Parallelen einander die Höhenlage tauschen (also weiter oben oder weiter rechts müsste hinter dem Punkt weiter unten oder links der anderen Geraden liegen) anderenfalls ist es kein Schnittpunkt sondern nur ein Berührungspunkt. Demnach müsste über “m1*x(P)+n1 = m2*x(P)+n2” auch die Aussage “m1*x(P+1)+n1 m2*x(P-1)+n2” gelten.
2. Von dem Punkt x(P) im Unendlichen betrachtet müsste mein Startpunkt x(0) ein Schnittpunkt der Parallelen sein. Sozusagen von x(0) betrachtet ist x(P) ein Schnittpunkt, von x(P) betrachtet schneiden sich die Parallelen in x(0).
3. Von knapp neben meinem Startpunkt x(0+1) ist der Punkt knapp neben x(P) also x(P+1) ein Schnittpunkt der Parallelen.
Bin kein Mathematiker. Habe mir das jetzt nur nach meiner Logik zusammengereimt. Vielleicht findet jemand den Denkfehler. Denn wenn es keinen Denkfehler gibt, folgt aus den drei Kriterien,
Wenn sich Parallelen im Unendlichen “schneiden”, tun sie es nirgendwo aber berühren sich überall also sind identisch.
weiter gedacht…
…eine generelle, erweiterte Betrachtung axiomatisch begründeter Konstrukte, kommt u.a. zu dem “Schluss”:
Natur kann nur addieren oder subtrahieren. Eine „gesicherte“ »höhere mathematische Realität« existiert ausschließlich im Rahmen axiomatisch begründeter Sprache (Mathematik). Inwieweit eine korrekte mathematische Struktur (»höhere mathematische Realität«) physikalisch anwendbar ist, lässt sich mit den „Mitteln“ der Mathematik nicht entscheiden (siehe „unstrittig-exemplarisch“ Epizykeltheorie und insbesondere das Banach–Tarski–Paradoxon). Mathematik erfasst letztendlich Mengen und kann nicht zwischen Staubsauger und Staub unterscheiden.
Ich habe den Satz bisher mit der Fluchtpunktperspektive in Verbindung gebracht.
Wenn man sich auf eine Eisenbahngleis stellt und in die Ferne schaut, sieht man wie die parallele Schiene immer “enger” wird. Am Fluchtpunkt müssten sich geometrisch gesehen die Schienen kreuzen. Tun sie aber nicht, denn was wir sehen ist nur eine Projektion.
Was ist jetzt real ? Die Perspektive mit Fluchtpunkt, oder die Perspektive ohne Fluchtpunkt ?
Gemäss dem Wikipedia-Eintrag Parallelität (Geometrie) gilt:
Wenn die Parallelen sich im Unendlichen schneiden können, können Sie auch dort auch jeden anderen beliebigen Abstand zueinander haben. Somit macht die Aussage eigentlich gar keinen Sinn.
Eine kurze und hübsch illustrierte Einführung in die Geometrie der projektiven Ebene sowie zur Frage nach den parallelen Linien ist noch hier zu finden: The Projective Plane: A Visual Introduction. Have fun!
Liegen je zwei Parallelen in einer Ebene?
Susanne M. Hoffmann schrieb (27. Dez 2020):
> […] auf der Kugel: Zwei Längenkreise verlaufen am Äquator parallel zueinander, aber [… verlaufen] sonst also nicht parallel.
Das ist richtig — und zwar hinsichtlich einer bestimmten geeigneten Definition von “parallelem Verlauf (zweier Kurvenabschnitte gegenüber einander, jeweils hinsichtlich eines bestimmten Punktes des einen bzw. anderen Kurvenabschnittes)”; nämlich:
(1) dass die beiden Kurvenabschnitte keinen Punkt gemeinsam haben (sich also weder schneiden, noch berühren),
(2) dass es sich bei den beiden in Betracht stehenden Kurvenabschnitten im metrischen Sinne um Geradenabschnitte handelt (d.h. im einfachsten Fall insbesondere: jeweils die kürzeste Kurve, die zwei bestimmte Abschnitts-Endpunkte miteinander verbindet),
(3) dass diese beiden Kurvenabschnitte jeweils einen bestimmten Punkt (jeweils “zwischen den beiden Abschnitts-Endpunkten”) enthalten, so dass dieser Punkt jeweils die “Spitze” gleichschenkliger Dreiecke ist, deren “Dreiecks-Seiten” diesen Punkt mit dem anderen Kurvenabschnitt verbinden (so dass deren “Dreickes-Basis” jeweils vollständig auf dem anderen Kurvenabschnitt liegt),
(4) dass für jedes dieser gleichschenkligen Dreiecke der jeweils andere durch (3) bestimmte Punkt genau die Mitte der entsprechenden Dreiecks-Basis bildet, und
(5) dass für je zwei dieser gleichschenkligen Dreiecke, die entgegengesetzt liegen (d.h., die nicht den selben bestimmten Punkt als Spitze haben, sondern das eine Dreieck den einen, und das andere Dreieck den anderen; bzw. deren Basen nicht auf dem selben Kurvenabschnitt liegen, sondern die Basis des einen Dreiecks auf dem einen, und die Basis des anderen Dreiecks auf dem anderen) jede Dreiecks-Seite genau eine Seite des anderen Dreiecks genau einmal schneidet.
(Würde anstatt der ausdrücklichen Forderung (5) verlangt, dass die beiden in Betracht stehenden Kurvenabschnitte »in derselben Ebene liegen« sollten, wie z.B. in der dort präsentierten Auffassung des Begriffes “parallel”, handelt es sich offenbar nicht um die strikte Forderung nach “Ebenheit” als dem Verschwinden aller Cayley-Menger-Determinanten für je vier Punkte dieser Kurvenabschnitte, sondern doch “nur” um eine Forderung entsprechend (5). Schließlich bestimmen ein Kreisabschnitt zusammen mit einem Punkt, der nicht zu dem entsprechenden Kreis gehört, i.A. auch nicht eine Ebene im strikten Sinne, sondern stattdessen eine bestimmte Kugelfläche.)
Die o.g. Definition lässt sich insbesondere dahingehend zu “Gesamt-Parallelität” verallgemeinern, dass ggf. für zwei bestimmte Kurven und jeden ihrer Punkte sich jeweils ein bestimmter Punkt der anderen Kurve finden ließe, so dass hinsichtlich dieser beiden bestimmten Punkte jeweils der beschriebene “parallele Verlauf” zutrifft.
Zwei verschiedene Großkreise einer Kugeloberfläche sind dann deshalb nicht “insgesamt parallel” zueinander, weil sie schon an Forderung (1) scheitern, aber i.A. auch an den Forderungen (2) und (4).
p.s.
> [Ein Großkreis ist ein Kreis mit dem Umfang des Äquators einer Kugel. Die meisten Kreise geographischer Breite sind keine Großkreise.]
Hinsichtlich einer schlicht durch die Distanzverhältnisse zwischen ihren Punkten gegebenen Kugeloberfläche ließe sich jeder beliebige Großkreis gleichermaßen wahlweise als “Äquator” bezeichnen.
Es stimmt zwar, dass alle Großkreise einer Kugel den gleichen Umfang haben, und dass (folglich) ein/jeder Großkreis ein Kreis mit dem Umfang des Äquators ist; und dass sich auch Kreise anderen Umfangs in der gegebenen Kugel finden lassen, die (folglich) keine Großkreise sind. Was Großkreise aber auszeichnet, und sich offensichtlich in ihrem Namen ausdrückt, ist, dass sie alle gleichermaßen die hinsichtlich ihres Umfangs größten Kreise sind, die sich jeweils in einer gegebenen Kugel finden lassen.
Susanne M. Hoffmann schrieb (27. Dez 2020):
> […] auf der Kugel: Zwei Längenkreise verlaufen am Äquator parallel zueinander, aber [… verlaufen] sonst also nicht parallel.
Das ist richtig — und zwar hinsichtlich einer bestimmten geeigneten Definition von “parallelem Verlauf (zweier Kurvenabschnitte gegenüber einander, jeweils hinsichtlich eines bestimmten Punktes des einen bzw. anderen Kurvenabschnittes)”; nämlich:
(1) dass die beiden Kurvenabschnitte keinen Punkt gemeinsam haben (sich also weder schneiden, noch berühren),
(2) dass es sich bei den beiden in Betracht stehenden Kurvenabschnitten im metrischen Sinne um Geradenabschnitte handelt (d.h. im einfachsten Fall insbesondere: jeweils die kürzeste Kurve, die zwei bestimmte Abschnitts-Endpunkte miteinander verbindet),
(3) dass diese beiden Kurvenabschnitte jeweils einen bestimmten Punkt (jeweils “zwischen den beiden Abschnitts-Endpunkten”) enthalten, so dass dieser Punkt jeweils die “Spitze” [[gleichschenkliger Dreiecke]] ist, deren “Dreiecks-Seiten” diesen Punkt mit dem anderen Kurvenabschnitt verbinden (so dass deren “Dreickes-Basis” jeweils vollständig auf dem anderen Kurvenabschnitt liegt),
(4) dass für jedes dieser gleichschenkligen Dreiecke der jeweils andere durch (3) bestimmte Punkt genau die Mitte der entsprechenden Dreiecks-Basis bildet, und
(5) dass für je zwei dieser gleichschenkligen Dreiecke, die entgegengesetzt liegen (d.h., die nicht den selben bestimmten Punkt als Spitze haben, sondern das eine Dreieck den einen, und das andere Dreieck den anderen; bzw. deren Basen nicht auf dem selben Kurvenabschnitt liegen, sondern die Basis des einen Dreiecks auf dem einen, und die Basis des anderen Dreiecks auf dem anderen) jede Dreiecks-Seite genau eine Seite des anderen Dreiecks genau einmal schneidet.
(Würde anstatt der ausdrücklichen Forderung (5) verlangt, dass die beiden in Betracht stehenden Kurvenabschnitte »in derselben Ebene liegen« sollten, wie z.B. in der dort präsentierten Auffassung des Begriffes “parallel”, handelt es sich offenbar nicht um die strikte Forderung nach “Ebenheit” als dem Verschwinden aller Cayley-Menger-Determinanten für je vier Punkte dieser Kurvenabschnitte, sondern doch “nur” um eine Forderung entsprechend (5). Schließlich bestimmen ein Kreisabschnitt zusammen mit einem Punkt, der nicht zu dem entsprechenden Kreis gehört, i.A. auch nicht eine Ebene im strikten Sinne, sondern stattdessen eine bestimmte Kugelfläche.)
Die o.g. Definition lässt sich insbesondere dahingehend zu “Gesamt-Parallelität” verallgemeinern, dass ggf. für zwei bestimmte Kurven und jeden ihrer Punkte sich jeweils ein bestimmter Punkt der anderen Kurve finden ließe, so dass hinsichtlich dieser beiden bestimmten Punkte jeweils der beschriebene “parallele Verlauf” zutrifft.
Zwei verschiedene Großkreise einer Kugeloberfläche sind dann deshalb nicht “insgesamt parallel” zueinander, weil sie schon an Forderung (1) scheitern, aber i.A. auch an den Forderungen (2) und (4).
p.s.
> [Ein Großkreis ist ein Kreis mit dem Umfang des Äquators einer Kugel. Die meisten Kreise geographischer Breite sind keine Großkreise.]
Hinsichtlich einer schlicht durch die Distanzverhältnisse zwischen ihren Punkten gegebenen Kugeloberfläche ließe sich jeder beliebige Großkreis gleichermaßen wahlweise als “Äquator” bezeichnen.
Es stimmt zwar, dass alle Großkreise einer Kugel den gleichen Umfang haben, und dass (folglich) ein/jeder Großkreis ein Kreis mit dem Umfang des Äquators ist; und dass sich auch Kreise anderen Umfangs in der gegebenen Kugel finden lassen, die (folglich) keine Großkreise sind. Was Großkreise aber auszeichnet, und sich offensichtlich in ihrem Namen ausdrückt, ist, dass sie alle gleichermaßen die hinsichtlich ihres Umfangs größten Kreise sind, die sich jeweils in einer gegebenen Kugel finden lassen.
Vermutlich gibt es mehrere Festlegungen/Veranschaulichungen, was der Begriff „parallel“ genau bedeutet. Zwei davon fallen mir spontan ein:
Die erste ist am ehesten vorstellbar und nachvollziehbar:
zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn jedes „gegenüberliegende“ Punktepaar den gleichen Abstand hat. Diese Veranschaulichung führt definitiv nicht zu dieser Sprechweise, dass parallele Geraden sich im Unendlichen schneiden, sondern verwirrt total an dieser Stelle.
Die zweite Vorstellung ist die eines Grenzfalls (einer Grenzwertbetrachtung, etwas, was vielen Leuten in der Vorstellung schwerfällt), die aber zu der genannten Formulierung führt:
zwei Geraden, die sich schneiden, sind nicht parallel. Soweit klar. Wenn man aber versucht, diese beiden sich schneidenden Geraden so zu drehen, dass sie sich schrittweise der Parallelität nähern, so wandert der Schnittpunkt immer weiter weg, sprich ins Unendliche. Daher kommt die Aussage, dass sich parallele Geraden im Unendlichen schneiden (der Grenzfall ist eingetreten).
Wenn sich Parallelen schneiden, muss es am Raum liegen oder an der Definition der Parallelen, des Parallelismus sozusagen.
Mathematik kann nicht darauf hindeuten, dass physikalisch etwas “nicht stimmt”.
Die Unendlichkeit ist zudem keine Zahl, sondern ein Prozess.
MFG, gute Arbeit und guten Rutsch!
Dr. Webbaer
Um eine positive Zahl x durch 0 zu teilen, braucht man keinen Kuchen für x. Es genügt zu wissen, dass jede Divisionsaufgabe eine äquivalente Multiplikationsaufgabe besitzt. Zu x/0 =y ist y*0=x äquivalent. Da ein Produkt, in dem ein Faktor gleich 0 ist, ebenfalls 0 ist, muss jetzt auch x=0 sein. Dies ist bereits ein Widerspruch zu der Annahme, x sei eine positive Zahl.
natürlich geht der moderne mathematische Beweis einfacher – das Problem ist aber die Philosophen zu überzeugen: die Schwierigkeit ist, dass Mathematik in der Grundschule (der Einfachheit halber) recht dogmatisch gelehrt wird (und das ist auch gut so!) und sich dann manche Erwachsenen fragen, ob das so richtig ist. Das sind aber natürlich die Nichtmathematiker unter uns, die es anschaulich erklärt haben wollen. Ganz im Sinne Platons (wahr oder zugeschrieben) wählte ich daher den geometrischen Weg.
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω