Quantencomputer: Mehr als Computer mit Quanteneffekten

Quantenwelt

Quantenmechanik ist die Physik der kleinen Dinge. Wenn Strukturen in der Größenordnung von Atomen eine Rolle spielen, müssen quantenmechanische Gesetzmäßigkeiten bedacht werden. Wenn Computerchips immer kompakter werden ist abzusehen, dass eines Tages die Grenze zur Quantenmechanik erreicht wird. Streng genommen funktioniert ohnehin kein Computer ohne Quanteneffekte. Aber das macht einen Computer nicht zum Quantencomputer.

Quantencomputer sind Computer, deren kleinste Informationseinheiten aus einem quantenmechanischen Bit, einem Q-Bit bestehen. Wie das klassische Bit kann das Q-Bit einen von zwei Zuständen einnehmen. Diese tragen die Namen 0 und 1. In quantenmechanischer Schreibweise heißen sie \(\left|0\right>\) und \(\left|1\right>\). Das Q-Bit kann aber noch mehr: Es kann zusätzlich jeden beliebigen Überlagerungszustand von \(\left|0\right>\) und \(\left|1\right>\) annehmen. Das sind Zustände wie \(a\cdot\left|0\right>+b\cdot\left|1\right>\), wobei \(a\) und \(b\) komplexe Zahlen sind, für die die Einschränkung \(a^2+b^2=1\) gilt1.

Analogcomputer

Die beiden Zahlen \(a^2\) und \(b^2\) sind Wahrscheinlichkeiten, mit denen beim Abfragen des Q-Bits entweder \(\left|0\right>\) oder \(\left|1\right>\) herauskommt. Hierin ähnelt ein Quantencomputer ein bisschen einem analogen Computer: Analogcomputer verwenden keine Zahlen 0 oder 1 sondern kontinuierliche Werte von 0 bis 1. Damit ist \(\frac{3}{4}\) oder 0,75 ein möglicher Wert eines Bits in einem Analogcomputer.

Bei einem Quantencomputer mit \(a=\sqrt{\frac{1}{4}}\) und \(b=\sqrt{\frac{3}{4}}\) ergibt die Messung des Q-Bits in \(\frac{1}{4}\) der Fälle das Ergebnis \(\left|0\right>\) und in \(\frac{3}{4}\) der Fälle \(\left|1\right>\). Im Unterschied zum Analogrechner kommt also nie etwas vergleichbares zu 0,75 heraus. Ein Quantencomputer ist ein echter Digitalrechner. Die Möglichen Zustände eines Q-Bits liegen nicht irgendwo zwischen \(\left|0\right>\) und \(\left|1\right>\), sie enthalten beides mit einem bestimmten Gewicht. Beim Auslesen des Q-Bits kommt immer einer der beiden Werte heraus.

Wahrscheinlichkeiten

Nun ist ein Computer, bei dem jedesmal etwas anderes herauskommt, kein besonders nützliches Instrument. Tatsächlich liegt die Stärke des Quantencomputers in etwas anderem, nämlich darin dass Q-Bits auch untereinander verschränkt sein können.

In einem herkömmlichen Computer finden sich Bits zu größeren Einheiten zusammen: Vier Bits sind ein Nibble und können Zahlen von 0 (Binär: 0000) bis 15 (Binär: 1111) dastellen. Acht Bits sind ein Byte (Zahlen von 0 bis 255) und 16 Bit sind ein Word (0 bis 65535). Das geht mit Quantencomputern auch. Um die Übersicht zu behalten, lasse ich es hier bei einem Nibble.

Ein Q-Nibble besteht aus vier Q-Bits. Das erste Q-Bit kann die Zustände \(\left|0\right>_1\) und \(\left|1\right>_1\) annehmen, das zweite \(\left|0\right>_2\) und \(\left|1\right>_2\), das dritte \(\left|0\right>_4\) und \(\left|1\right>_4\) und das vierte  \(\left|0\right>_8\) und \(\left|1\right>_8\). Wie Sie vielleicht schon bemerkt haben, schreibe ich hinter jedem Q-Bit-Zustand als kleine, tiefgestellte Zahl seine Wertigkeit. Wie bei gewöhnlichen binären Zahlen soll das erste Q-Bit die Wertigkeit 1 haben, das zweite 2, das dritte 4 und das vierte 8. Mit Hilfe dieser Wertigkeiten und der Schreibweise, bei der die höchste Wertigkeit zuerst kommt lässt sich die Zahl 4 Binär als 0100 schreiben, die Zahl 9 als 1001 \(\left(1\cdot8+0\cdot4+0\cdot2+1\cdot1\right)\) und die Zahl 15 als 1111.

Analog stellt das Q-Nibble  \(\left|1\right>_8\left|0\right>_4\left|0\right>_2\left|1\right>_1\) die Zahl 9 dar und \(\left|0\right>_8\left|0\right>_4\left|1\right>_2\left|0\right>_1\) die Zahl 2. Lassen Sie mich das ein Wenig abkürzen. Ich schreibe nun \(\left|1001\right>\) für die 9 und \(\left|0010\right>\) für die 2. Wie bereits oben beschrieben kann sich ein Q-Bit, das zu einem Q-Nibble gehört. in einem Überlagerungszustand befinden. Befindet sich zum Beispiel das 2-wertige Q-Bit in der oben beschriebenen Überlagerung, während die anderen Q-Bits alle im Zustand \(\left|0\right>\) sind, so bekommen wir das Q-Nibble \(a\cdot\left|0000\right>+b\cdot\left|0010\right>\).

Das Q-Nibble \(\frac{1}{2}\cdot\left(\left|0000\right>+\left|0001\right>+\left|0010\right>+\left|0011\right>\right)\) beschreibt einen Gesamtzustand, in dem jeweils das 2-wertige und das 1-wertige Q-Bit unabhängig voneinander mit 50% Wahrscheinlichkeit im Zustand \(\left|0\right>\) oder \(\left|1\right>\) sind. Es handelt sich außerdem um einen Zustand, der die Zahlen 0, 1, 2 und 3 mit jeweils gleichem Anteil repräsentiert. Dies ist nicht das einzige Q-Nibble, das die genannten Eigenschaften hat. \(\frac{1}{2}\cdot\left(\left|0000\right>-\left|0001\right>+\left|0010\right>-\left|0011\right>\right)\) ist ein anderes Q-Nibble, bei dem 1-wertiges und 2-wertiges Q-Bit unabhängig voneinander mit 50% Wahrscheinlichkeit besetzt sind, und das die Zahlen 0, 1, 2 und 3 mit gleicher Mächtigkeit repräsentiert. Mit komplexen Faktoren lassen sich noch mehr solcher Zustände angeben.

Es gibt also mehrere Q-Nibble, die dieselben Wahrscheinlichkeiten ergeben, einzelne Q-Bits in einem bestimmten Zustand anzutreffen. Sie unterscheiden sich in den Ergebnissen quanten-logischer Operationen. Eine Operation, die in einem Fall die Wahrscheinlichkeit für alle Q-Bits im gleichen Sinne verändert, ändert sie im anderen Fall entgegengesetzt. Auch wenn die Wahrscheinlichkeiten der Q-Bits in dieser Klasse von Q-Nibbles unabhängig voneinander sind, sind sie durch eine sogenannte Phase mit einander verbunden. In den obigen Beispielen zeigt sich die Phase im Vorzeichen.

Verschränkungen

Q-Nibbles, bei denen die einzelnen Q-Bits unabhängige Zustands-Wahrscheinlichkeiten haben, sind sehr spezielle Fälle. Im allgemeinen sind sie nicht unabhängig. Folgendes Q-Nibble stellt zum Beispiel mit 50% Wahrscheinlichkeit je die Zahl 0 und 15 dar: \(\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot\left(\left|0000\right>+\left|1111\right>\right)\) Hier ist kein Q-Bit von dem anderen unabhängig. Sie sind bei einer Messung entweder alle im Zustand \(\left|0\right>\) oder alle im Zustand \(\left|1\right>\). Das ist eine strenge Korrelation. Wir nennen es auch eine Verschränkung der Q-Bits.

Auch dieses Beispiel zeigt, dass ein Quantencomputer nichts mit einem Analogrechner gemein hat. Die Zahl, die dieses Q-Nibble darstellt liegt nicht irgendwo zwischen 15 und 0. Das Q-Nibble enthält die Zahlen 0 und 15 je mit halbem Gewicht ohne irgendeine Zahl dazwischen zu repräsentieren.

In folgendem Q-Nibble sind die drei höherwertigen Q-Bits miteinander streng korreliert, das 1-wertige dagegen ist unabhängig von den Übrigen mit je 50% Wahrscheinlichkeit \(\left|0\right>\) oder \(\left|1\right>\): \(\frac{1}{2}\cdot\left(\left|0000\right>+\left|0001\right>+\left|1110\right>+\left|1111\right>\right)\). Es handelt sich um eine gleichzeitige Repräsentation der Zahlen 0, 1, 14 und 15.

Alles zugleich rechnen

Die Fähigkeit, viele oder gar alle möglichen Zahlen zugleich in einem Rechenschritt zu bearbeiten ist die Stärke aber zugleich auch ein Problem von Quantencomputern. Schließlich wollen Sie am Ende des Programmlaufs auch ein Ergebnis herausbekommen.

Das Auslesen eines Q-Nibbles geschieht in der Regel klassisch. Es handelt sich um einen Messprozess, bei dem die Wellenfunktion zerfällt und eine der repräsentierten Zahlen herauskommt. Lesen wir das zuletzt dargestellte Q-Nibble aus, so bekommen wir entweder eine 0 oder eine 1 oder eine 14 oder eine 15 heraus. Die einzelne Messung gibt weder Aufschluss über die Wahrscheinlichkeiten noch über die Phasen oder die Verschränkungen. Das Ergebnis lautet zum Beispiel einfach 14.

Quantencomputer sind effektive Parallelrechner. Wir können einfach zwei Q-Nibbles mit jeweils einer Hand voll unterschiedlicher Zahlen laden und dann Rechenoperationen an ihnen durchführen. Diese Rechenoperationen geschehen dann parallel an allen möglichen Kombinationen dieser Zahlen. Nur darf man nicht allzu naiv an die Rechnung herangehen: wenn wir am Ende eine Überlagerung aller möglichen Ergebnisse haben und diese auslesen ist nichts gewonnen. Wir bekommen nur eines von vielen Ergebnissen und wissen nicht einmal aus welchen Eingangswerten dieses Ergebnis herausgekommen ist.

Quanten-Algorithmen

Um diese Schwierigkeit zu umgehen, müssen für Quantencomputer spezialisierte Programmabläufe2 entwickelt werden. Der Ausleseprozess ist immer dann kein Problem, wenn am Ende des Programmlaufes entweder ein eindeutiges Q-Nibble wie \(\left|1001\right>\) steht oder wenn es sich um eine Überlagerung aus Zuständen handelt, von denen wir nur irgendeinen als Ergebnis brauchen. Im ersten Fall bekommen wir bei der Messung mit Sicherheit das richtige Ergebnis im anderen erhalten wir ein richtiges Ergebnis, erfahren aber nicht ob und wie viele andere es noch gibt.

Ein Programm für einen Quantencomputer ist eine Art Filter, in den eine Überlagerung vieler Zahlen hineingesteckt wird aber nur eine Antwort herauskommt. Ein gutes Beispiel ist der Shor-Algorithmus, der nach einem Teiler einer Zahl sucht und so die rechenaufwendige Faktorisierung großer Zahlen ermöglicht. Der Quantencomputer probiert hier zugleich alle möglichen Zahlen aus und filtert mit großer Wahrscheinlichkeit genau das richtige Ergebnis heraus, das dann in einem Messprozess gewonnen und mit einem herkömmlichen Rechner überprüft werden kann.

In mathematischen Suchaufgaben, wo die Nadel aus dem Heuhaufen herausgefiltert werden soll, sind Quantencomputer gewöhnlichen Computern haushoch überlegen. Für die meisten Aufgaben, wie Textverarbeitung und Anwendung von Grundrechenarten oder schnelle Grafikausgabe ergibt das Prinzip der Quantencomputer dagegen keinen Vorteil. Hier wollen wir auf eine eindeutige Frage eine eindeutige Antwort. Das ist das Regime gewöhnlicher binärer oder – in Einzelfällen – analoger Rechner.

Weil Quantencomputer so spezialisiert sind, werden sie nie die konventionellen Computer ersetzen. Sie werden aber nützliche Ergänzungen zur Computertechnologie sein, sobald kompakte und zuverlässige Systeme zur Verfügung stehen. Bis dahin ist es noch ein weiter Weg, denn die technische Realisierung von Q-Bits, -Bytes und -Words ist eine große Herausforderung, auf die ich hier nicht eingehen möchte.

Anmerkungen:
1. Für die Kenner*innen komplexer Zahlen: Natürlich müsste ich hier korrekt die Betragsquadrate einsetzen |a|²+|b|²=1. Ich wollte mir aber hier die Erklärung ersparen, wie Beträge von komplexen Zahlen definiert sind und eher die Ähnlichkeit zum Satz von Pythagoras in den Vordergrund stellen.
2. Algorithmen
Joachim

Veröffentlicht von

www.quantenwelt.de/

Joachim Schulz ist Gruppenleiter für Probenumgebung an der European XFEL GmbH in Schenefeld bei Hamburg. Seine wissenschaftliche Laufbahn begann in der Quantenoptik, in der er die Wechselwirkung einzelner Atome mit Laserfeldern untersucht hat. Sie führte ihn unter anderem zur Atomphysik mit Synchrotronstrahlung und Clusterphysik mit Freie-Elektronen Lasern. Vier Jahre hat er am Centre for Free-Electron Laser Science (CFEL) in Hamburg Experimente zur kohärenten Röntgenbeugung an Biomolekülen geplant, aufgebaut und durchgeführt. In seiner Freizeit schreibt er zum Beispiel hier im Blog oder an seiner Homepage "Joachims Quantenwelt".

24 Kommentare

  1. Mit Quantenalgorithmen scheinen viele Probleme aus der linearen Algebra exponentiell schneller gelöst werden zu können. Darunter so praktische wie das Lösen eines Systems von Gleichungen.
    Lineare Algebra spielt heute eine wichtige Rolle ausserhalb den klassischen numerischen Anwendungen in der Physik und Technik. Bei Verfahren im Zusammenhang mit Big Data und Künstlicher Intelligenz beispielsweise.
    Falls es je gelingt einen Quantencomputer mit genügend QBits zu bauen würde solche Maschinen wohl sehr häufig eingesetzt werden, denn viele grosse Probleme wären überhaupt nur mit einer solchen Maschine lösbar: Es wären Rechenzeiten von Sekunden anstatt hunderten von Jahren realisierbar. Auch wenn diese Maschinen sich also nur für wenige Aufgaben eignen, könnten sie einen riesigen Unterschied ausmachen. Vor allem weil diese wenigen Aufgaben (wie Probleme aus der linearen Algebra) von höchster praktischer Relevanz sind.

    Eigentlich verwundert mich nur, dass nach mehr als 20 Jahre Forschung immer noch kein Quantencomputer existiert, der irgend ein Problem schneller lösen kann als ein konventioneller Computer. Man ist immer noch bei einigen wenigen QBits anstatt bei den nötigen hunderten von QBits. Vielleicht gibt es da ja ein grundsätzliches Hindernis. Vielleicht lassen sich Quantencomputer nicht beliebig skalieren und irgend jemand beweist dann nach 40 Jahren Forschung, dass diese ganze Forschung für die Katz war.

    • Der von dir angeführte HHL-Algorithmus zum Lösen von linearen Differentialgleichungen ist zwar tatsächlich eine spannendsten Veröffentlichungen der letzten Jahre in diesem Bereich, allerdings gibt es auch hier einige Probleme: Damit das Problem Ax=b (mit A Matrix und b und x Vektoren) mit dem HHL mit logarithmischem Aufwand gelöst werden kann, müssen die Einträge von b halbwegs gleichverteilt sein. Hinzu kommen noch Fragen wie das effiziente Präparieren der für den HHL notwendigen Zustände. Scott Aaronson hat zum Stand der Quanten-Algorithmik in der aktuellen Nature Physics einen sehr lesenswerten und vergleichweise wenig technischen Text geschrieben, in dem er sich insbesondere dem HHL widmet. Den Artikel gibt es auch ohne Paywall hier.

      • Zustimmung, oft scheinen Quantenalgorithmen nur restringierte Probleme zu akzeptieren. Doch es scheint trotzdem interessante Anwendungsfälle zu geben. Im Artikel Quantum computers could greatly accelerate machine learning wird versucht, den Abstand zwischen zwei Vektoren mit einem eigens dafür gebauten Quantencomputer zu berechnen:

        “To calculate the distance between two large vectors with a dimension of 10^21 (or, in the language of Big Data, we can call it 1 Zettabyte (ZB)), a GHz clock-rate classical computer will take about hundreds of thousands of years,” Lu told Phys.org. “A GHz clock-rate quantum computer, if we can build it in the future, with the exponential speed-up, will take only about a second to estimate the distance between these two vectors after they are entangled with the ancillary qubit.”

    • Vielen Dank meine Herren! Konnte gerade etwas für meine Masterarbeit einbauen! und keine Angst wegen Plagiaten .. hab nur meinen Wissensstand vervollständigt

  2. Joachim Schulz schrieb (9. April 2015):
    > Q-Bits in dieser Klasse von Q-Nibbles [… sind] durch eine sogenannte Phase mit einander verbunden. In den obigen Beispielen zeigt sich die Phase im Vorzeichen.

    > […] Wir können einfach zwei Q-Nibbles mit jeweils einer Hand voll unterschiedlicher Zahlen laden und dann Rechenoperationen an ihnen durchführen.

    Können „wir“ auch die o.g. Vorzeichen (oder sogar noch komplexere Phasenbeziehungen zwischen einzelnen Q-Bits) „einfach laden“?

    (Na, vielleicht kann ja mit einem herkömmlich-zuverlässigen Rechner jeweils überprüft werden, ob bzw. in wie fern das Versuch/Rechnung für Versuch/Rechnung so wie erwartet gelungen gewesen mag …)
    p.s. (an Stelle eines ausdrücklichen (\LaTeX \)-Tests):

    > Das Q-Nibble (\ \frac{1}{2}~\cdot~(|0000\rangle + |0001\rangle + |0010\rangle + |0011\rangle) \) [ist ein] Zustand, der die Zahlen 0, 1, 2 und 4 mit jeweils gleichem Anteil repräsentiert.

    Wohl eher die Zahlen 0, 1, 2 und 3.

    • p.p.s. (an Stelle einer auf Kommentarvorschau beruhenden „stillen Korrektur“):

      Frank Wappler schrieb (10. April 2015 10:13):
      p.s. (an Stelle eines ausdrücklichen (\LaTeX \)-Tests):

      … wäre eher: an Stelle eines ausdrücklichen \( \LaTeX \)-Tests:

      > Joachim Schulz schrieb (9. April 2015):

      > > Das Q-Nibble \( \frac{1}{2}~\cdot~(|0000\rangle + |0001\rangle + |0010\rangle + |0011\rangle) \) [ist ein] Zustand, der die Zahlen 0, 1, 2 und 4 mit jeweils gleichem Anteil repräsentiert.

      > Wohl eher die Zahlen 0, 1, 2 und 3.

    • Können „wir“ auch die o.g. Vorzeichen (oder sogar noch komplexere Phasenbeziehungen zwischen einzelnen Q-Bits) „einfach laden“?

      Ja, können “wir”. Die Details der Präparation hängen natürlich von der technischen Realisierung der Q-Bits ab. Meist erfolgt die Manipulation durch einen Laser oder gezielte Mikrowellenimpulse. Die Phase des Lichts bestimmt dann direkt die Phase der Q-Bits.

      • Joachim Schulz schrieb (10. April 2015 10:59):
        > Ja, können “wir”. Die Details der Präparation hängen natürlich von der technischen Realisierung der Q-Bits ab. […]

        Gut jedenfalls, dass „wir“ auch ganz grundsätzlich das jeweilige Ergebnis nachprüfen und „uns“ gegebenenfalls ordentlich auf die Finger klopfen könn(t)en, falls „wir“ zwischendurch mal (z.B. vor lauter Begeisterung) vergessen hätten, wo rechts und links ist.

  3. Joachim Schulz schrieb: “Wir bekommen nur eines von vielen Ergebnissen und wissen nicht einmal aus welchen Eingangswerten dieses Ergebnis herausgekommen ist.”

    ..das ist natürlich noch kein “Rechenautomat” sondern eher noch ein “Zufallsgenerator”.

    Danke für die klare Darlegung der QuBit-Berechnung!

        • Dann verstehe ich Ihren Einwand nicht. Der Artikel geht doch nach dem von Ihnen zitierten Satz noch weiter. Im letzten Abschnitt “Quanten-Algorithmen” steht doch, wie ein Quantencomputer als “Rechenautomat” genutzt werden kann.

          • Informationswissenschaftlich sehe ich das so: Es geht die vorhandene Informationsmenge der Eingabedaten durch die Erstellung e i n e s Ergebnisses verloren.

            Geforderte “Quanten-Algorithmen” müssen mathematisch festlegbar sein, sonst kann man nicht vorn Algorithmen sprechen. Ein Durchsuchen aller möglichen Lösungen ist kein Algorithmus. Man braucht ein mathematisch-logisches Regelwerk, das immer richtige oder falsche Antworten liefert.

            Ein technische Anwendung wäre sonst schon rein aus Haftungsgründen nie realisierbar.

            Das will aber nicht heißen, dass es keine Lösungswege gibt. Sie sind in den Bereichen physische Quantenzusammenhänge – Mathematik – Systemtheorie vielleicht auch zu finden.

          • @ Herr Plochberger :
            Wenn auf Basis der QM irgendwie “gewürfelt” wird und Ergebnisse näherungsweise herauskommen, die verwertbar (“sinnhaft”) sind, ähnelt dies sogenannten Läufen, denen der Zufall erst unter Zuhilfenahme der “Schnittstelle Physik” (um sozusagen echte Zufallszahlen zu generieren) beigebracht werden muss, die als stochastisch nützlich gelten.

            Frage:
            Warum wird der “Quantenrechner” noch nicht genutzt? [1]

            MFG
            Dr. W

            [1]
            Webverweis oder so reicht natürlich, ist jetzt nur ganz interessiert-laienhaft angefragt.

  4. Joachim Schulz schreibt: “Das Auslesen eines Q-Nibbles geschieht in der Regel klassisch. Es handelt sich um einen Messprozess, bei dem die Wellenfunktion zerfällt und eine der repräsentierten Zahlen herauskommt.”

    Dabei habe ich zwei Probleme:
    a) In jüngerer Physik werden Messvorgänge angestrebt, die das Objekt nicht vernichtet (Serge HAROCHE in seiner Nobelpreisrede 2012: http://www.nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=1871)
    b) Muss dann ein Quantencomputer auch ein quantenmechanisches System sein? Ist die “quanten-logische Operation” in den Quanten gespeichert oder bedarf es einer eigenen Logik-Steuerung dafür.

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  6. Dieser Beitrag ist besonders lehrreich und inspiriert neuerlich zu weiterer Recherche. Vielen Dank. Bringt mir für meine PRojektarbeit sehr viel!

  7. Man würde echt darauf hoffen, dass einige Herren auf dieser Seite bereit wären an meiner Uni zu referrieren. Da gäbe es volle Hörsäle mit Menschen die großes Interesse an dem Wissen hätten! 🙂 Bei dieser Gelegenheit möchte ich natürlich nicht verabsäumen, auch die besten Wünsche für das neue Jahr 2017 zu übermitteln 

  8. Ihr habt wirklich die besten Lehrer und Pädagogen wir man sehr eindeutig hier auf dieser Seite sehen kann. Da braucht man nur einmal hinzugucken und schon sieht man das! Alles Gute euch im neuen Jahr 2017, LG Beate

  9. Danke fürs Teilen Hr. Schulz. Das Video in der MItte (Werbung) .. muss das drin sein oder kann man es auch rausnehmen. Stört wahnsinnig beim Lesen der nicht ganz einfachen Materie 🙂 LG Simone

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