Und täglich grübelt Dornröschen

Auflösung zum Problem der fairen Münze mit angeblicher Wahrscheinlichkeit für Kopf 1/3 und Zahl 2/3.

Das Problem mit Dornröschen aus dem Beitrag im Oktober habe ich mir nicht selbst ausgedacht. Es ist ein teils heftig diskutiertes Beispiel, das in seiner Urform “The Absent-Minded Driver” hieß und von den beiden Wirtschaftswissenschaftlern Michele Piccione und Ariel Rubinstein im Rahmen einer Spieltheorie mit  unvollständiger Erinnerung (imperfect recall) untersucht wurde [1]. In Wikipedia ist es als Sleeping Beauty problem aufgeführt.

Manche erinnert es an das Ziegenproblem (engl: Monty Hall problem) mit den drei Türen, aber da gibt es im Wesenskern eigentlich wenig Gemeinsamkeiten. Beide werden aber zumindest klarer, wenn man sie radikal erweitert, also eine Million Türchen sich denkt bzw. Dornröschen eine Million mal aufweckt (Extreme Sleeping Beauty).1

Ich fand das Problem gut, weil hier einerseits die Lage doch recht einfach ist. Die Münze ist fair und fällt in 50% der Fälle auf Kopf. Andererseits aber eine Diskussion über andere Herangehensweisen als die über den frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit interpretiert, motiviert wird, ohne gleich zu tief einzusteigen in den bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der Wahrscheinlichkeit als Grad persönlicher Überzeugung interpretiert. Möchte Dornröschen nicht gerne Unrecht haben, sollte sie Zahl sagen, denn sie wird ja eventuell dies zweimal gefragt (und würde dann zweimal falsch antworten, wenn sie Kopf wählt).

Hier ist noch eine Knobelei, die diesmal weniger philosophisch angehaucht ist:2

Wenn Sie eine Antwort zu dieser Frage zufällig wählen, wie hoch ist Ihre Chance richtig zu liegen?

A) 25%

B) 50%

C) 60%

D) 25%

 

Vorschläge bitte in den Kommentaren.

Das passt auch auf ein Kärtchen und lässt sich auf jede Silvesterparty mitnehmen und dem netten Gegenüber in die Hand drücken. (Mein Tipp: gleich fünf Kärtchen anlegen, wenn man auf eine große Party allein geht.)

Einen gute Rutsch!

 

Fußnote

1 Dornröscchen 1 Milion mal zu wecken, hat  übrigens Nick Bostrom angeblich ertmals vorgeschlagen, einer der Gründer von Humanity+ (ehemals World Transhumanist Association)  eine Bewegung, die eine Veränderung der menschlichen Spezies durch den Einsatz technologischer Verfahren befürwortet, womit wir nahe an der Migräne und deren Thearie sind, aber das ist ein Thema für einen anderen Blogbeirag.

2 Gefunden habe ich das bei Ed Yong, einem Wissenschaftbloger (Blog:  Not Exactly Rocket Science) auf Google+.

 

Literatur

[1]  Michele Piccione & Ariel Rubinstein, On the Interpretation of Decision Problems with Imperfect Recall, Games and Economic Behavior, 20, 3-24, 1997

Markus Dahlem forscht seit über 20 Jahren über Migräne, hat Gastpositionen an der HU Berlin und am Massachusetts General Hospital. Außerdem ist er Geschäftsführer und Mitgründer des Berliner eHealth-Startup Newsenselab, das die Migräne- und Kopfschmerz-App M-sense entwickelt.

59 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Lösungsversuch

    A) 25% B) 50% C) 60% D) 25%

    Wenn “D) 70%” wäre, wäre 25% (A) die richtige Antwort, weil man ja zufällig aus 4 verschiedenen Antworten wählt, wovon eine richtig sein muss (Problemvoraussetzung).

    Wegen der Gleichheit von A und D wird die Sache merkwürdig, Dr. W hat’s vor vier Wochen mal analysiert, die Lösung lautete: Frage nicht beantwortbar; im Moment aber die Begründung nicht zur Hand…

    Aja, doch, es war die unbekannte Problemvoraussetzung…

    Guten Rutsch und so allen!
    Dr. Webbaer

  2. Voraussetzungen

    @Dr. Weihnachtswebbaer:
    Dabei gehen sie aber davon aus, dass jeder mögliche Wert gleich wahrscheinlich gewählt wird. Die Aufgabenstellung legt dagegen eher nahe, dass jeder Buchstabe gleich wahrscheinlich sein sollte.

    Hier wählen wir dann mit 50% Wahrscheinlichkeit 25% und mit je 25% Wahrscheinlichkeit 50% und 60%. Gäbe es nur eine Möglichkeit von vieren, die 25% zu treffen, dann wäre die Aufgabe einfach. 25% wäre richtig.

    Wenn nicht die 25%, sondern die 50% zwei mal vorkäme, wäre das die Lösung: 50%. So gibt es keine Lösung. Man wählt mit 25% Wahrscheinlichkeit die 50% und mit 50% Wahrscheinlichkeit Die 25%. Keine dieser Lösungen ist richtig. Aber immerhin ist die 60% eindeutig falsch.

  3. Seltsame Schleife

    Während das Dornröschen-Problem logisch bzw. wahrscheinlichkeitstheoretisch erschlossen werden kann, ist es bei obiger Frage nicht möglich, eine richtige Antwort zu geben. Das Paradoxon ergibt sich daraus, dass die Antworten selbst Gegenstand der Frage sind und ihr Wahrheitsgehalt sich je nach Auswahl verändert. Ist analog zu einem Kreter, der äußert, dass alle Kreter lügen.

  4. Lösungsversuch

    Hi,

    um das klarzustellen: Dr. W hat sich mit dieser Fragestellung beschäftigt, sie ging vor 4-8 Wochen durchs Web, aber die Lösungen und Lösungsversuche anderer sind unberücksichtigt (ungelesen) geblieben.

    @Joachim: Yup, so scheint es zu sein.

    Irritierende Fragestellung, einerseits wegen des Selbstbezugs (ohne S. wäre die Frage schon schwierig) und andererseits wegen der Gewichtung, die durch die Verdopplung einer Antwort dem Problem beigefügt wird. Man fängt dann an über die Wahrscheinlichkeiten der Richtigkeit einer jeden Antwortoption zu philosophieren. – Allein, der Auswählende lost ja einfach.

    Sie sind sich bzgl. Ihrer Antwort sicher?

  5. @ Joachim: Nichts ist eindeutig

    “Aber immerhin ist die 60% eindeutig falsch.”

    Dann käme man zu einer Abschätzung: Die Chance ist

  6. @ Joachim: Eindeutig falsch

    Was ich richtig schreiben wollte:

    “Aber immerhin ist die 60% eindeutig falsch.”

    Dann käme man zu einer Abschätzung: Die Chance ist kleiner-gleich 75 %. Dann wäre C doch wieder eine vielleicht korrekte Antwort, denn 60 ist kleiner-gleich 75!

  7. @ jhermes

    “…, ist es bei obiger Frage nicht möglich, eine richtige Antwort zu geben.”

    Das heißt die Chance eine richtige Antwort zu geben beträgt 0 %.

    Um ganz sicher zu gehen, dass auch das falsch ist (oder muss ich hier “richtig ist” schreiben?), könnte man bei C) die 60 % durch 0% ersetzen.

  8. @ Joachim: Kleine Korrektur

    „Wenn nicht die 25%, sondern die 50% zwei mal vorkäme, wäre das die Lösung: 50%“

    Die Sache ist noch vertrackter: Wenn 25% einmal und 50% zweimal vorkommt, dann gibt es auch keine Lösung. Denn auch 25% wäre richtig, wenn es nur einmal vorkommt, aber nur dann, wenn nicht gleichzeitig 2 mal 50% angeboten wird und umgekehrt. Die richtige Lösung wäre also dann scheinbar 75%, wodurch dann aber die anderen Antworten wieder falsch wären usw ad infinitum.

  9. @ Dr. Webbaer

    Man kann den Selbstbezug der Frage besser verständlich machen, indem man umformuliert:

    „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie auf eine Lösung tippen, in der diese Zahl steht?“

  10. Welches Geräusch macht das Klatschen mit

    “If you choose an answer to this question at random…” – “Damn! A chosen answer is not a random answer.”, soll der aufgebrachte Wittgenstein einst auf einer drögen Silvesterparty in Cambridge erwidert haben. Daraufhin, so die Legende, gab eine Rauferei, im Verlauf derer die Frage schließlich beantwortet werden konnte, indem sie nicht mehr gestellt wurde.

  11. Mu

    Es ist etwas im Titel meines Kommentars verloren gegangen, aber man kann leicht erraten, das es sich um die Anspielung eines Mu-Koans handelte.

  12. Mu

    Sehr schön.

    Ich fand bei Wikipedia zum Stichwort „Mu“ die Formulierung „un-ask the question“. Da wir hier auf einem Hirn-Blog sind, sei mir die Bemerkung erlaubt, dass der Umgang der Materialisten mit dem Leib-Seele-Problem auch etwas von Mu hat: aber erst, nachdem die Identität/Emergenz behauptet wurde, natürlich.

    Fazit: Logik und Spiritualität brauchen verschiedene Methoden und haben daher verschiedene Standards.

  13. Zufall

    “Damn! A chosen answer is not a random answer.”, soll der aufgebrachte Wittgenstein (…)

    Lustig. – Wobei hier Wittgensteins Verständnis des Zufalls noch interessieren würde…

  14. .

    Mein letzter Kommentar war als Frage an Jörg Schütze (bzw Wittgenstein) gedacht, nicht als Antwort auf das Problem. Da kam dann noch ein Kommentar dazwischen, so das meiner nun etwas in der Lust hängt.

  15. Ja ja

    Ja ja, aber warum kann ich nicht mit 25% Antwort A) “wählen”?

    Wie gesagt, ich glaube, wegen der Anführungsstriche. Die hast du ja auch adäquat gewählt.

  16. frequentistisch oder aus Überzeugung

    Damit sind wir aber dann wohl beim ersten Thema angekommen, ob wir Wahrscheinlichkeiten mit einem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff oder als Grad persönlicher Überzeugung interpretieren.

  17. Hasen und Hasenähnliche

    Damit sind wir aber dann wohl beim ersten Thema angekommen, ob wir Wahrscheinlichkeiten mit einem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff oder als Grad persönlicher Überzeugung interpretieren.

    Soweit bin ich ehrlich gesagt gar nicht gekommen, Du wirst das vielleicht erläutern. Ich dachte anders: Ein Sokrates-Einwand ist eine gute Frage (wenn Frage eine sinnvolle Kategorie darstellt, die dichotomisch funktioniert) – wie ein gutes Experiment, oder wie die Logik eines binary search tree. Hingegen die Frage “Was würden Sie wählen, wenn nächsten Mittwoch Sonntag wäre?” eher zu den “spielerischen” Vergnügungen mit Logik zählen dürfte.

    Womit nun nicht behauptet werden soll, daß man nicht auch auf diesem Wege zur Erkenntnis gelangen kann, immerhin ist er streng an der Logik (als, ja, lachenmachende Spielregel) orientiert – wer so denkt, wird allerdings auf eine Antwort der oben gestellten Frage verzichten. So hat es auch Buddha gehalten wie es heißt.

    Einfach mal keine Antwort geben – wenn die Frage es verlangt.

  18. Typo

    Womit nun nicht behauptet werden soll, wollte ich geschrieben haben. Für wann war nochmal die Implementation einer Vorschaufunktion geplant? Herbst 2013, stimmt’s? oder war es 2014?

  19. Wahrscheinlichkeiten

    (…) ob wir Wahrscheinlichkeiten mit einem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff oder als Grad persönlicher Überzeugung interpretieren (…)

    Wahrscheinlichkeiten werden an Hand eines mathematischen Modells ermittelt, dazu muss erst ein realer (oder: real (res = Sache) erscheinender) nachzubauender Sachverhalt mathematisiert und theoretisiert werden. Ist eine gewisse Form gewahrt, darf auch von einem Modell gesprochen und geschrieben werden.

    Ist der ‘Grad der persönlichen Überzeugung’ gemeint, wird die Aussage politisch – und dann oft auch schnell etwas niedrig, vgl. 1.) ‘Die Wahrscheinlichkeit, dass es keinen Gott gibt, würde ich bei etwa 98 Prozent ansetzen.’ 2.) ‘Nun, die Chance, dass das gesamte Wissenschaftssystem hier [bei der Klimmodellierung, Klimaaprognostik] irrt, liegt wohl unter einem Prozent.’

    Der Zusammenhang zu unserem kleinen Problem ist wg. des Selbstbezugs durchaus gegeben.

    MFG + guten Rutsch!
    Dr. Webbaer

  20. nicht politisch

    Es geht nicht um “politisches” sondern um die subjektivistische Theorie des Bayesianismus, die Wahrscheinlichkeiten als Grade des Überzeugtseins interpretiert. Vielleicht sollte ich eher über vernünftige Einschätzungen sprechen, aufgrund von (wenigen) Messungen und Annahmen der Verteilung, im Gegensatz zur Erhebung von einer großen Anzahl gleicher, wiederholter, voneinander unabhängiger Messungen (Zufallsexperimente), auf deren Grundlage dann Ereignisses mit einer relativen Häufigkeit versehen werden.

  21. Wahrscheinlichkeiten

    Wahrscheinlich ist dasselbe gemeint, aber Dr. Webbaer ist wahrscheinlich kein Experte beim Thema Wahrscheinlichkeit.

    Er sieht das in etwa so: Mathematik (“die Kunst des Lernens”), Wissenschaft und Wahrscheinlichkeit gibt es in der Natur selbst nicht, sondern entsteht bei geeigneter Mathematisierung beim Erkenntnissubjekt, in dessen Welt.

    Diese Mathematisierung kann rückblickend (Statistik) oder vorausblickend (Stochastik) erfolgen, sicher kann man hier in keiner Beziehung sein, wenn ein Sachverhalt der Natur adressiert ist, rückblickend sieht’s aber leichter aus.

    D.h. die Subjektivität des Ganzen ist immer gegeben, subjektives Vorgehen i.p. Zufall und Wahrscheinlichkeit hat oft etwas Politisches (“Städtisches”, gemeint dasjenige Sozialverhalten, das nach Ende der Nomadenzeit notwendig wurde).

    Weil der Webbaer mit der Wahrscheinlichkeit nie besondere Probleme hatte, bei Aussagen zu oder über eine Wahrscheinlichkeit konnte er sich immer gut an seinem Standardsatz [1] festhalten, fehlt ihm jetzt ein wenig der vertiefende Zugang, man hat ja schon recht viel im “frequentistischen” Sinne geschrieben hierzu, und subjektivistisch sowieso. Oder ist das ein wichtiges Thema, das wichtig zu verstehen ist?

    MFG
    Dr. Webbaer

    [1] ‘Eine Aussage zu einer Sache oder dbzgl. Verhalt ist für den Systematiker immer zuerst eine Aussage einer Person(enmenge) zu einer Sache oder dbzgl. Verhalt.’

  22. @Markus A. Dahlem / Grübel, grübel…

    Dios mio, wie es aussieht bewerfen sich die Philosophen seit Jahren unentwegt gegenseitig mit Papers zur Frage der Wahrscheinlichkeit 1/2 vs. 2/3 für das Ereignis “Zahl”.
    http://philpapers.org/browse/sleeping-beauty

    Die “amnesische” Ereignismenge {(Kopf,Mo), (Zahl,Mo), (Zahl,Di)} ist dessen ungeachtet der einzig plausible Ansatz für das Entscheidungsproblem, mit dem sich das Dornrösli herumzuplagen hat. Der Rest erledigt sich dann durch Hingucken oder — als Lösung für eine Übungsaufgabe möglicherweise besser — durch das Theorem über die totale Wahrscheinlichkeit, das gibt die 2/3. So hatte zumindest ich die Übungsaufgabe verstanden.

    Bei en.wikipedia.org sieht man das allerdings ganz anders:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Sleeping_Beauty_problem#Correct_Solution

    Würde mich jetzt noch interessieren, wie die Studenten denn mehrheitlich die Frage beantwortet haben. Und was genau ist nun die “offizielle” Lösung für die Vorlesung, 1/2 oder 2/3?

    War jedenfalls unterhaltsam und lehrreich, mir war die ganze Geschichte zuvor nicht bekannt gewesen.

  23. Hauptlernziel: Problem programmieren

    Soweit ich mich erinnere, haben wir die Punkte letztlich nur für das Computerprogramm vergeben, denn dass zu erstellen, war ja das Hauptlernziel. Da der Kurs da erst anlief, waren die Gedanken zu dem, was hier passiert willkommen und gut, aber eine Musterlösung haben wir nicht vorgegeben oder gar abverlangt. Ich frage aber nochmal nach, wie so argumentiert wurde, weiß ich jetzt gar nicht aus dem Kopf.

  24. Correct Solution

    Wie schön, dass man bei Wikipedia bereits eine “Correct Solution” finden kann, während die Philosophen sich noch heftig streiten über das Sleeping-Beauty-Problem. Typisch Philosophen, kann man da nur sagen – Kopfschüttel.

    Zu dem anderen Problem, das mit den vier möglichen Antworten, habe ich auch eine interessante Idee im Netz gefunden (hier in meine Worte gepackt und etwas erweitert):

    Es gibt zwei Situationen. Entweder (X) keine der Antworten ist richtig oder (Y) eine der Antworten ist richtig.

    (X)
    Im Fall von X ist die Wahrscheinlichkeit eine richtige Antwort per Zufall zu wählen 0 %.

    (Y)
    Wenn man annimmt, dass eine der vier Antworten (A,B,C,D) richtig ist, man aber nicht weiß welche, ergeben sich 16 Möglichkeiten ( 4 Ergebnisse 25,50,60,25 * 4 Antworten A,B,C,D )

    A ist korrekt: 1000* – 0100 – 0010 – 0001*
    B ist korrekt: 1000 – 0100* – 0010 – 0001
    C ist korrekt: 1000 – 0100 – 0010* – 0001
    D ist korrekt: 1000* – 0100 – 0010 – 0001*

    Man sieht, dass 6 davon richtig sind, die mit * gekennzeichneten. Man bekommt also eine Wahrscheinlichkeit von 6 / 16 = 37,5 %.

    Da man keinerlei Information hat, in welcher Situation (X oder Y) man sich befindet, setzt man vernünftigerweise jeweils 50 % an und findet so die

    Correct Solution:
    0,5 * 0 % + 0,5 * 37,5 % = 18,75 %

    Ich glaube, es wurde der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrundegelegt.

  25. Analyse des vereinfachten Problems

    Betrachten wir mal das Problem ohne Selbstbezug:

    Wenn wir die Wahl haben zwischen vier Antworten, von denen die erste und die vierte identisch sind, und entweder (die erste Antwort und die vierte Antwort) oder (die zweite Antwort) oder (die dritte Antwort) richtig ist – und wir keine Angaben zu den Einzelwahrscheinlichkeiten haben, aber die Wahrscheinlichkeit ermitteln wollen, dass durch Raten zufällig die richtige Antwort gefunden wird, dann rechnen wir so:

    X = die wie oben beschrieben gesuchte Wahrscheinlichkeit durch Raten die richtige Antwort zu erhalten
    A = die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Antwort richtig ist
    B = die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Antwort richtig ist
    C = die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Antwort richtig ist
    D = die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte Antwort richtig ist

    1.) Es gilt: A = D

    2.) Es gilt: A + B + C = 100%

    3.) Es gilt:
    A = 100% – B – C
    B = 100% – A – C
    C = 100% – A – B
    D = 100% – B – C

    4.) Wir addieren A, B, C und D und teilen durch 4, weil wir ja raten:
    X = (A + B + C + D) / 4
    X = (A + B + C + A) / 4
    X = (2A + B + C) / 4
    X = (2A + (100% – A – C) + C) / 4
    X = (2A + 100% – A) / 4
    X = (A + 100%) / 4

    5.) Zusammenfassung:
    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit X ist von A abhängig, ist A bspw. 100%, haben wir eine 50%-Chance richtig zu liegen beim Raten, ist A bspw. 0%, haben wir eine 25%-Chance richtig zu liegen. – Womit der Wertebereich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit X mit 25% als Untergrenze und mit 50% als Obergrenze in Abhängigkeit von A bestimmt ist…

  26. @Joker

    Es gibt zwei Situationen. Entweder (X) keine der Antworten ist richtig oder (Y) eine der Antworten ist richtig.

    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit X ist dann nicht:
    X = (A + 100%) / 4

    …sondern:
    X = ((A + 100%) / 4) * K

    Wobei K die Wahrscheinlichkeit ist, dass keine Antwort richtig ist, die Abhängigkeit von A bleibt bestehen…

    Wobei 18,75% natürlich auch seinen Charme hat.

    MFG
    Dr. Webbaer

  27. …da sind jetzt noch zwei kleine Fehler, die aber am Ergebnis wenig ändern – bei Interesse später noch dazu, aber man sieht’s ja sofort…

  28. Nachtrag

    Einen letzten noch, die Formel für die gesuchte Wahrscheinlichkeit X lautet also:

    X = ((A + K) / 4)

    Wobei A die Wahrscheinlichkeit ist, dass Antwort A richtig ist und K die Wahrscheinlichkeit ist, dass exakt A oder B oder C richtig ist.
    K darf nicht größer (A + B + C) sein.
    (Wenn man ganz wüst für A 25% einsetzt und für K 50% einsetzt, wie das einmal weter oben implizit und einmal explizit getan worden ist, kommt man dann idT auf 18,75% – die “correct solution”)

    Und wenn wir jetzt für A 25% einsetzen und für K 75%, haben wir eine Lösung!
    Die Problembeschreibung schließt “K = 75%” nicht aus.

    Soviel für heute, gähn, keine Garantie wg. Uhrzeit…

  29. “Und wenn wir jetzt für A 25% einsetzen und für K 75%, haben wir eine Lösung!”

    Besser:
    Und wenn wir jetzt für A 50% einsetzen und für K 50%, haben wir eine Lösung!

    Das würde dann bedeuten, dass es in 50% der Fälle keine Lösung gibt und in den anderen Fällen A (und D) die Lösung ist. Ein Losender würde A oder D jedes zweite Mal treffen, in der Gesamtheit der Fälle läge er dann wg. “K = 50%” jedes vierte Mal richtig – was sich dann auch mit der Beschriftung bzw. mit dem Selbstbezug deckt.

  30. Mathematically Correct Solution

    Der abstrusen “correct solution” à la wikipedia sollte man vielleicht doch noch etwas entgegenstellen, was diese Bezeichnung auch verdient:

    J.S. Rosenthal. A mathematical analysis of the sleeping beauty problem. Math. Intelligencer, 31, no. 3, (2009), 32-37 [Link].

    Die Philosophen haben sich hierdurch bei ihrem Geplänkel aber offensichtlich nicht nennenswert stören lassen.

  31. Danke @Chrys …

    … für den Hinweis, hast Du den Artikel als pdf? Ich habe mir gerade die erste (freie) Seite durchgelesen und fand die zwei möglichen Antworten (Absatz 2 und 3) erschlagen alles was es da zu sagen gibt …

    Ich hörte übrigens von diesem Problem auf einer Tagung im Oktober, Bard Ermentrout gab es zum besten und bekannte sich (als überzeugter Frequentist) dennoch gleich als Thirder (die vermeintliche Bayesian-Position) — nur in diesen einen Fall.

    Ich fand ja gleich, das geht alles etwas an dieser fundamentalen Diskussion vorbei (Bayesian vs Frequentist), was somit auch die Thirder-Position selbst als Frequentist erklärt (wenn man Geld verdienen will).

    So kam ich auf die Idee, dass ein kleines Computer-Programm als Lernziel der Sache in Form einer Übungsaufgabe gerecht wird. Als Nebeneffekt sollte man noch ein wenig nachdenken.

    Jetzt bin ich aber doch noch etwas neugierig geworden und würde gerne mal den ganzen Artikel lesen.

  32. @Markus A. Dahlem

    Erfreulicherweise ist der ganze Artikel frei… auf der verlinkten Seite einfach auf “Download PDF” clicken.

    N.B. Ein ganz nettes und weitgehend allgemeinverständliches Bücherl u.a. zur Problematik Bayesians vs. Frequentists ist übrigens noch von Peter Coles (From Cosmos to Chaos, OUP, 2006). Der hat dort ein ganzes Kapitel dazu. Coles ist eigentlich Kosmologe, hat aber ein Faible für Probabilities und schreibt ziemlich gut, wie ich meine. Ausserdem blogged er auch.

  33. Gummipunkte

    BTW:
    Nur für den Fall, dass es noch irgendwelche Gummipunkte geben sollte für die Lösung und deren korrekte Herleitung des photographisch beschriebenen kleinen Problems dieses Blogeintrags: Dr. Webbaer stände diesbezüglich gerne per E-Mail zum Empfang bereit; E-Cash bevorzugt.

    Bei Bedarf wird auch gerne noch mal erläutert.

    MFG + guten Rutsch!
    Wb

  34. Springer kostenfrei

    Auf der von Chris verlinkten Seite ist unter “Download PDF (254,0 KB)” der ganze Artikel kostenfrei zu bekommen.

  35. freies pdf

    Mein blödes firefox kann pdf nicht anzeigen und wenn man — was ich alternativ mache — das pdf mit

    %>wget URL

    sich runter ziehen will, kommt dann

    %>
    HTTP request sent, awaiting response… 403 Forbidden

    und so dachte ich fälschlich, es geht nicht. Wer weiß, wie viele freie pdfs ich so schon übersah … Nun habe ich es geschafft. Puh. Jetzt habe ich was zu lesen. Ach ja und Danke für den Tipp bzgl. Peter Coles.

  36. Problemlösung und Gutes Neues!

    Der Schreibär dieser Zeilen verabschiedet sich mit der Problemlösung auf Grund zu erwartend hoher Belastung im neuen Jahr – Einen guten Rutsch! an dieser Stelle – bis auf weiteres, Feedback am besten per E-Mail an ‘dr.webbaer’, der bei ‘gmail.com’ zu erreichen ist.

    Problem:
    “If you choose an answer to this question at random what is the chance you will be correct? A) 25% B) 50% C) 60% D) 25%”

    Vorbemerkungen:
    Es wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt mit der eine zufällig gewählte vorgebene Antwort richtig ist. Gewählt werden kann A oder B oder C oder D, also kein Multiple Choice.

    Unbekannt ist mit welcher Wahrscheinlichkeit Wa Aussage A richtig ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit Wb Aussage B richtig ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit Wc Aussage C richtig ist und mit welcher Wahrscheinlichkeit Wd Aussage D richtig ist.
    Auch ist somit die Gesamt-Wahrscheinlichkeit Wg unbekannt, dass mindestens eine Antwort richtig ist.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Wt, dass der zufällig Wählende die richtige Antwort trifft? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Wg, dass es eine richtige Antwort gibt? Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten Wa, Wb, Wc und Wd?

    Lösungsschritte:

    1.) Ist A richtig, ist auch D richtig:
    A = D
    Wa = Wd

    2.) Es gilt:
    Wg = Wa + Wb + Wc + Wd

    3.) Es gilt:
    Wa = Wg – Wb – Wc
    Wb = Wg – Wa – Wc
    Wc = Wg – Wa – Wb
    Wd = Wg – Wb – Wc

    4.) Wir addieren Wa, Wb, Wc und Wd und teilen durch 4, weil der Antwortende zufällig eine Antwort auswählt, um die Wahrscheinlichkeit Wt zu ermitteln mit der die gewählte Antwort richtig ist.
    Wt = (Wa + Wb + Wc + Wd) / 4
    Wt = (Wa + Wb + Wc + Wa) / 4
    Wt = (2Wa + Wb + Wc) / 4
    Wt = (2Wa + (Wg – Wa – Wc) + Wc) / 4
    Wt = (2Wa + Wg – Wa) / 4
    Wt = (Wa + Wg) / 4

    Zusammenfassung:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass eine richtige Antwort zufällig gewählt wird, ist von der Wahrscheinkeit Wa abhängig und von der Gesamt-Wahrscheinlichkeit Wg, nicht aber von Wb und Wc. Wenn wir jetzt frei Werte einsetzen in die hergeleitete Formel, wie es das Problem erlaubt,
    Wt = (Wa + Wg) / 4
    , und zwar Wa = 50% und Wg = 50%, ist die Trefferwahrscheinlichkeit Wt = 25% und entspricht somit den Aussagen A und D. Bei anderen in diese Formel frei eingesetzten Werten kann keine der Aussagen A (25%) oder B (60%) oder C (50%) oder D (25%) adressiert werden.

    Anders formuliert: Wir kennen zwar keine der Wahrscheinlichkeiten, können aber dank des Selbstbezugs des (leider nicht gänzlich klaren) Problems die o.g. Wahrscheinlichkeiten (Wa = 50%, Wb = 0%, Wc = 0%, Wg = 50%) eindeutig bestimmen, weil nur mit diesen das Problem lösbar wird…

  37. @ Dr. Webbaer

    Deine Rechnung scheint mir plausibel.

    Was das Rätsel, und auch deinen Lösungsvorschlag, so interessant macht, versuche ich mal so zu beschreiben:

    “1.) Ist A richtig, ist auch D richtig:
    A = D
    Wa = Wd

    2.) Es gilt:
    Wg = Wa + Wb + Wc + Wd”

    Die von dir gefundene einzige mögliche Lösung (Wa = 50%, Wb = 0%, Wc = 0%, Wg = 50%) in 2.) eingesetzt, unter Berücksichtigung von 1.) ergibt:

    50 % = 50 % + 0 % + 0 % + 50 %
    50 % = 100 %
    (Sprich: Fünfzig Prozent ist Hundert Prozent die richtige Lösung)

    Keep smiling. Viel Spaß auf der Silvesterparty und Guten Rutsch!

  38. Schreibfehler

    Es gilt:
    Wg = Wa + Wb + Wc

    Sie können die Lösung auch gerne überprüfen: Gilt “Wa = 50%” und die Gesamtwahrscheinlichkeit für eine richtige Lösung ist “Wg = 50%”, dann sind die Antworten A und D mit einer Wahrscheinlichkeit von eben der Beschriftung entsprechenden ‘25%’ richtig.

    Einfach mal gedankenexperimentell ausprobieren.

    Wichtig ist die Abhängigkeit “Wt = (Wa + Wg) / 4” zu erkennen. Zur Herleitung darf gerne noch nachgereicht werden, ab Januar 2012 bitte per E-Mail.

    MFG
    Dr. Webbaer

    PS: Nichts gegen Ihren Lösungsvorschlag natürlich, ‘18,75%’ hat seinen Charme. Ischt aber nicht ganz korrekt.

  39. Korrektur

    (…) dann sind die Antworten A und D mit einer Wahrscheinlichkeit von eben der Beschriftung entsprechenden ‘25%’ richtig.

    Dann werden die Antworten A und D von einem zufällig Ratenden mit einer Wahrscheinlichkeit Wt von 25% als “richtig” gewählt oder “getroffen”.

    Geht ein wenig auf die Birne dieses kleine Problen,
    MFG + guten Rutsch!
    Dr. Webbaer

  40. @ Dr. Webbaer: Zum Jahresabschluss

    “Correct Solution:” sollte bei meinem Post nicht semantisch interpretiert werden, also nicht mit “korrekt” übersetzt werden. Ich folgerte nur aus dem von Chrys verlinkten Wikepedia-Artikel, dass auf diese Art und Weise generell im Internet abstruse Abschnitte gekennzeichnet werden.

    Abstrus erscheint mir die hier von mir nur vorgestellte, nicht selbst entwickelte und auch nicht unbedingt vertretene Lösung deshalb, weil im Berechnungsansatz gar nicht eingeht, welche konkreten Werte bei A,B,C,D stehen. Es wird nur berücksichtigt, dass bei A und D gleiche Werte stehen. Unter diesen Voraussetzungen, also einer großen Unsicherheit, und der Annahme, dass eine Lösung richtig ist, ergeben sich die 37,5 %. Das habe ich dann noch mal halbiert, weil ich vorausgesetzt hatte, dass wir nicht wissen ob sich eine richtige Lösung bei den Antworten befindet oder nicht.

    Tatsächlich wissen wir aber was bei A,B,C,D steht. Und da wir alle nicht auf den Kopf gefallen sind muss sich doch an den Wahrscheinlichkeiten noch etwas verändern durch diesen Informationsgewinn. 18,75 % kann nur eine untere Grenze darstellen. Leider fällt damit aber auch die von vielen für korrekt gehaltene Antwort 0 % weg. Ansonsten hätten wir die paradoxe Situation, dass sich durch mehr Information eine geringere Trefferwahrscheinlichkeit ergeben würde – oder?

    Nun zu deiner Rechnung.

    Den Schreibfehler hätte ich tatsächlich selbst bemerken können, was du meintest wird ja aus 3.) ersichtlich.

    Dafür eine andere Frage: Was passiert bei Wa = 100 %, Wb = 0 %, Wc = 0 %, Wg = 100 % ?

    Wt = (100 % + 0 % + 0 % + 100 %) / 4 = 200 % / 4 = 50 %

    Dann stimmen doch die bei A und D befindlichen 25 % zu 100 % (Wa) mit der Wahrscheinlichkeit überein, mit der ich B zufällig wähle, wo dann der korrekte Wert von Wt steht: 50 %

    Jetzt haben wir also wieder die beiden Lösungsmöglichkeiten, die wir von Anfang an diskutieren. Ich glaube wir drehen uns im Kreis. Mir ist schon ganz schwindlig, dabei hab ich noch gar keinen Sekt getrunken. Aber gleich …

  41. Der Selbstbezug

    …geht leider beim Einsetzen von
    Wa = 100%
    Wg = 100%
    in
    Wt = (Wa + Wg) / 4
    , also
    Wt = (100% + 100%) / 4
    Wt = 50%
    , verloren.

    MFG + guten Rutsch!
    Dr. Webbaer (der deshalb gerne bei Wa = 50% und Wg = 50% bleiben würde)

  42. So herrlich kompliziert gedacht

    Die Antwort ist schlicht und einfach 33%. Nirgendwo steht geschrieben, dass sich die Antwort unter A, B, C oder D verbergen muss. Also bin ich so frei, selbst zu denken/rechnen. Da komme ich auf 33%.

    [Frage]
    a) Kartoffel
    b) Tomate
    c) Bohne
    d) Kartoffel

    Das sollte es deutlicher machen.

  43. Da Dr. Webbaer bei http://scienceblogs.de/mathlog/2014/04/01/raetsel-iv/ hierher verwiesen hat, ein Versuch, den Thread wiederzubeleben.

    @Garki:
    Du legst nahe, daß Kartoffel, Tomate und Bohne gleichwahrscheinlich sind (je 1/3). Mit gleichem Recht könnten aber a), b), c) und d) gleichwahrscheinlich sein (je 1/4). Oder man könnte eine Gewichtung nach Masse der einzelnen Dinge, nach Anzahl der Buchstaben des jeweiligen Wortes, nach Kilopreis oder, oder … zugrundelegen.

    Im obigen Problem, als Laplace-Experiment behandelt (weil´s passend klingt und damit man rechnen kann) bekäme man mit Ω = {A; B; C; D} und p(A)=p(B)=p(C)=p(D)=1/4 für die zur gleichberechtigten Wahl stehenden Antworten diese Wahrscheinlichkeiten:
    p(“25%”) = p(A) + p(B) = 1/4 + 1/4 = 50%
    p(“50%”) = p(B) = 1/4 = 25%
    p(“60%”) = p(C) = 1/4 = 25%
    Da offensichtlich keine der Antworten der Wahrscheinlichkeit ihrer Wahl entspricht bleibt nur: “there is no chance to choose a correct answer to this question”. Das unmögliche Ereignis, die leere Menge mit p({})=0, gehört zu einem vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum dazu.

    @webbaer:

    Mit unbekannten Wahrscheinlichkeiten zu rechnen hat was, das “at random” sagt ja tatsächlich nicht definitv aus, wie wahrscheinlich (also mit welcher relativen Häufigkeit) A, B, C und D gezogen werden. Nur Vollständigkeit würde ich schon aus der Aufgabenstellung lesen, denn da steht “if you choose” (“wenn Sie wählen”, also aus dem, was zur Auswahl steht) und nicht “if you suggest” (“wenn Sie raten”, also beliebig).
    Für mich folgt daraus: p(A) + p(B) + p(C) + p(D) = 1. Das war´s dann aber leider schon, mit einer Gleichung für vier Unbekannte kommt man nicht weit.

    Ihre Lösung ist keine:

    1. Grundsätzlich sind Lösungen richtig oder falsch. Das bedeutet, daß schon die Vorbemerkung “Es wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt mit der eine zufällig gewählte vorgebene Antwort richtig ist” in die Irre geht. Zu fragen ist vielmehr, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die vorgegebenen Antworten jeweils gezogen werden und ob die gezogene Antwort dieser Wahrscheinlichkeit entspricht. Zu definieren, Wa sei die Wahrscheinlichkeit, mit der Aussage A richtig ist, hat gar keinen Sinn. Aussagen sind nicht wahrscheinlich richtig, sondern ganz oder gar nicht.

    2. Sich widersprechende Aussagen schließen sich aus. Selbst wenn wir also annehmen, Wa sei die Wahrscheinlichkeit, daß A gezogen wird usw., dann kann man nicht Wa, Wb und Wc addieren um eine “Gesamt-Wahrscheinlichkeit Wg, daß mindestens eine Antwort richtig ist” zu erhalten. A, B, und C schließen sich je wechselseitig bezüglich ihrer Richtigkeit aus, es kann nur A (und D) oder B oder C (oder keins von den vieren) richtig sein.

    3. Der Rest ist Zahlenspielerei, mit Wt = (Wa + Wb + Wc + Wd) / 4 führen Sie hintenrum die Laplace-Verteilung wieder ein, was wg.100% / 4 = 25% eine scheinbar plausible Antwort gibt. Was aber soll der Durchschnitt aus Wahrscheinlichkeiten, deren Ergebnisse sich teils gegenseitig ausschließen, teils identisch sind, sein?

    @Joker:
    “Wa = 100 %, Wb = 0 %, Wc = 0 %, Wg = 100 %” macht Wd = Wa = 100% und das hieße, daß man immer A und gleichzeitig B wählt, was aber nicht “choose an answer” erfüllt.

    Wo lieg ich falsch?

  44. @ pederm :
    Ihr Kommentatorenfreund hat eigentlich keine Lust in dieses (durchaus faszinierende) Problem erneut einzusteigen, Die (es gibt genau eine) Problem-Lösung lautet: Wenn die Wahrscheinlichkeit 50% beträgt, dass eine oder mehrere der vier Antworten richtig ist, werden die Antworten A und D richtig.

    MFG
    Dr. W

  45. @ pederm :
    Ihr Kommentatorenfreund hat eigentlich keine Lust in dieses (durchaus faszinierende) Problem erneut einzusteigen, Die (es gibt genau eine) Problem-Lösung lautet: Wenn die Wahrscheinlichkeit 50% beträgt, dass eine oder mehrere der vier Antworten richtig ist, werden die Antworten A und D richtig.

    MFG
    Dr. W

  46. PS:
    Sorry wegen der Doublette, es ist aber nur einmal auf die Schaltfläche mit der Beschriftung ‘Kommentar abschicken’ geklickt worden, üblicherweise sortiert das Publikationssystem auch Doubletten aus, kA, was passiert ist.
    Kleiner Gag noch, und darum meldet sich Ihr Kommentatorenfreund noch einmal im PS: Wenn Sie sich die oben genannte Lösung in iterierter Form vorstellen, nimmt das System der vier Antworten sozusagen einen Schroedinger-Status ein, “(A,B,C,D) 50% richtige Antwort möglich” und die Antworten A und D sind “verschränkt”.

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