Die Quadratur des Kreises und von Lindemanns Geburtstag

Heute vor 135 Jahren, an seinem 30. Geburtstag, bewies der Mathematiker Carl Louis Ferdinand von Lindemann, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist.
Die Quadratur des Kreises war ein ungelöstes mathematisches Problem der Antike,  was dem Mathematiker Anaxagoras (499 – 428 v. Chr.) zugeschrieben wird. Nur mit Zirkel und Lineal soll aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt konstruiert werden. Diese Konstruktion besteht aus einer Aufeinanderfolge von Schritten, deren jeder von einer der folgenden vier Arten ist:

1. Verbinden zweier Punkte durch eine Gerade
2. Bestimmen des Schnittpunktes zweier Geraden
3. Schlagen eines Kreises mit gegebenem Radius um einen Punkt
4. Bestimmen des Schnittpunktes eines Kreises mit einem anderen Kreis oder einer Geraden

Dabei wird von einer gegebenen Einheitsstrecke ausgegangen.

Sind zwei Strecken a und b bereits konstruiert, so können wir Strecken der Längen a + b, a − b,  a x b und a/b sowie der Quadratwurzeln von a und b mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Von Lindemanns Kollegen aus der analytischen Geometrie hatten das ursprünglich geometrische Problem bereits mithilfe eines Koordinatensystems in ein äquivalentes algebraisches Problem umgewandelt: Sie beschrieben Geraden und Kreise durch algebraische Gleichungen und bestimmten die Schnittpunkte zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden mit einem Kreis durch das Lösen algebraischer Gleichungssysteme. Sie fanden heraus, dass die Längen, der mit Zirkel und Lineal konstruierten Strecken, algebraische Zahlen sind. Das bedeutete, sie sind eine Teilmenge der Zahlen, die eine Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen Grades mit rationalen Koeffizienten sind. Dadurch ergab sich der neue Lösungsansatz das geometrische Problem rechnerisch, zu lösen.

Von Lindemann bewies das die Kreiszahl π, das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser beim Kreis, transzendent ist und damit keine Lösung dieser algebraischen Gleichungen sein kann. Transzendente Zahlen haben unendlich viele Dezimalstellen ohne jede Regelmäßigkeiten. Wenn eine Zahl x transzendent ist, kann man keine Strecke der Länge x konstruieren. Von Lindemann gab seinem Manuskript den unscheinbaren Titel „Über die Zahl π“

Obwohl eine exakte Lösung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, gibt es Näherungskonstruktionen für die Quadratur des Kreises.

Credit: von Petrus3743 (Eigenes Werk) [CC BY-SA 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons Die Quadratur des Kreises, Eine Näherungskonstruktion als Animation

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Joe Dramiga ist Neurogenetiker und hat Biologie an der Universität Köln und am King’s College London studiert. In seiner Doktorarbeit beschäftigte er sich mit der Genexpression in einem Mausmodell für die Frontotemporale Demenz. Die Frontotemporale Demenz ist eine Erkrankung des Gehirns, die sowohl Ähnlichkeit mit Alzheimer als auch mit Parkinson hat. Kontakt: jdramiga [at] googlemail [dot] com

8 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Ein Problem zu lösen indem man es in eine anderen Bereich, eine andere Domain übersetzt wie hier von der Geometrie in die Analysis, hat sich in den letzten Jahrzehnten immer wieder als sehr fruchtbar erwiesen. Nicht nur in der Mathematik mit Ansätzen wie der algebraischen Geometrie oder der Übersetzung von zahlentheoretischen Problemen in Probleme verschiedener anderer mathematischer Gebiete, sondern auch in der Physik, wo sich Dualitäten in der String- und M-Theorie als äusserst fruchtbar erwiesen haben. Die erkannten Dualitäten erlauben es jeweils ein Problem in ein äquivalentes Problem in einer scheinbar völlig anderen Welt zu übersetzen. Dort hat es dann eventuelle eine einfache, evidente Lösung.
    Auf allgemeinerer Ebene könnte man diesen Lösungsansatz – übertrage das Problem in eine andere Domain, einen andere Welt – als ein höhere Form von Abbildung, als Metaabbildung auffassen. Transformationen spielen in vielen wissenschaftlichen Gebieten eine wichtige Rolle, auch beispielsweise in der Informatik mit dem Compiler – und Interpreterbau, denn Interpreter und Compiler übersetzen und zwingen den Benutzer zugleich in Übersetzungen/Transformationen zu denken.

  2. Joe Dramiga schrieb (12. April 2017):
    > Die Quadratur des Kreises, Eine Näherungskonstruktion als Animation […] Credit: von Petrus3743 (Eigenes Werk)

    Wie nah ist das denn ?!? …

    • Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen: Bei einem Radius r = 1 Mio.km wäre der Fehler der konstruierte Seite des Quadrats ca. 1 mm
      Bei einem Radius r = 100 km wäre der Fehler des Flächeninhalts des Quadrats ca. 32 mm2.

        • Joe Dramiga schrieb (12. April 2017 @ 17:06):
          > Ich weiß nicht welche Näherungsformel benutzt wurde um die Quadratwurzel von Pi auszurechnen.

          Nicht Pi an sich auszurechnen, lieber Joe Dramiga, sondern (lediglich, aber mit bemerkenswerter Präzision): nachzuahmen, einzugrenzen, abzuschätzen.

          Immerhin: danke für die erkennbare Reaktion auf meinen vorausgegangenen Kommentar; das wirkt doch sympathischer und erträglicher, als „mir-doch-Wurscht“-igen SciLogs-Autismus zu pflegen.

          Ich, im Gegenzug, hatte gestern übersehen, dass auf der Webseite, auf der ich die oben gezeigte Zahl gefunden hatte (die rationale Dezimalzahl mit den auffällig vielen Nachkommastellen), auch ein Link zu https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Schulmathematik:_Planimetrie:_N%C3%A4herungskonstruktionen:_Die_drei_antiken_Probleme#Version_2 zu finden ist.

          Und daraus geht wiederum hervor, wenn ich das recht verstehe, dass die Näherungsformel, die der im obigen Beitrag gezeigten Konstruktion zugrundeliegt, tatsächlich (und sozusagen brutal einfach) die Formel

          „Wurzel aus Pi is annähernd
          1772453850905515
          geteilt durch
          1000000000000000“

          ist;
          die von der gezeigten Konstruktion sozusagen von der letzten Stelle angefangen und bis zur ersten durchgeführt wird.
          Das deutet sich (für mein Verständnis) zumindest durch die „10“ in der zweiten Zeile der erläuternden Beziehungen an, d.h. in
          „AF = 1/10 AN“.

          Welch ein Kontrast zu dem! …
          (und gar nicht unbedingt ein ausschließlich nur unvorteilhafter).

  3. Joe Dramiga,
    Der Wert von Pi ist fest, aber es ist nicht möglich ihn mit unserem Dezimalsystem mit endlicher Nachkommastellenzahl darzustellen. Korrekt?
    Ist ein anderes Zahlensystem denkbar, dass Pi mit einer endlichen Anzahl von „Größen, Funktionen,Zahlen“ darstellen kann?

    Genauso interessant finde ich die Behauptung, dass die Nachkommastellen von Pi keine Regelmäßigkeit aufweisen. Ist das nicht eine Widerspruch, wenn sie mit einem Algorithmus berechnet wurden, müssen sie doch eine Gesetzmäßigkeit auweisen?

  4. Was meinst Du mit „Der Wert von Pi ist fest“? Ich vermute, Du willst damit sagen, dass Pi eine Konstante ist.

    Ja, es ist korrekt, dass man Pi nicht mit endlicher Nachkommastellenzahl darstellen kann. Die Dezimaldarstellung von Pi bricht nicht ab und sie ist nicht periodisch.

    Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser sollte aber auch in einem anderen Zahlensystem nicht mit endlicher Nachkommastellenzahl darzustellen sein.

    Es ist kein Widerspruch, wenn man die nicht periodischen Nachkommastellen von Pi mit einem Algorithmus berechnen kann.

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