Noch mehr Python: Das Ziegenproblem
BLOG: Bierologie
Nachdem ich im letzten Blogpost das „Iterated Prisoners Dilemma“ kurz erklärt habe kommt nun der nächste Python-Code-Block auf euch zu. Und zwar in Form des Ziegenproblems.
Das Ziegenproblem ist auch unter dem Namen „Monty-Hall-Problem“ bekannt, benannt nach dem gleichnamigen, amerikanischen Showmaster der Spielshow „Let‘s make a deal“. Die Sendung sagt vermutlich niemandem hier etwas. Aber sie ist das Gegenstück zu „Geh aufs Ganze“, ihr wisst schon. Die Sendung mit dem roten Vieh namens ZONK.
Im Gegensatz zum Zonk mit Jörg Draeger folgt die US-Variante dabei recht strikten Regeln: Es gibt 3 Tore. Hinter 2 der Tore versteckt sich je ein Zonk. Oder in den US eben eine Ziege (jetzt dürftet ihr auch wissen woher der Name des Problems kommt). Hinter dem dritten Tor verbirgt sich der Preis. Nachdem der Kandidat sich für ein Tor entschieden hat öffnet der Showmaster eines der Tore mit einer Ziege dahinter.
Es verbleiben also noch 2 Tore, hinter einem ist der Gewinn. Hinter dem anderen die zweite Ziege. Der Kandidat kann sich nun entscheiden ob er sein Tor noch ändert oder bei seiner ersten Wahl bleibt. Doch wie sollte er sich entscheiden um seine Gewinnchancen zu maximieren? Und macht es überhaupt einen Unterschied?
Wenn ihr nun antwortet, dass es doch völlig egal ist ob man tauscht oder nicht, dann gehört ihr zu der großen Mehrheit die sich von ihrem Bauchgefühl täuschen lässt. Denn genau das macht das Ziegenproblem so interessant: Es ist ein einfaches Beispiel dafür wie sich unser Verstand bei der Schätzung von Wahrscheinlichkeiten ganz elementar täuschen kann (Ein anderes bekanntes Beispiel dafür ist das Geburtstagsparadoxon).
Aber kommen wir zur Antwort, wie sollte sich der Kandidat verhalten: Er sollte das Tor wechseln. Weil seine Chancen den Gewinn zu bekommen dann auf 2/3 wächst, während sie für die erste Entscheidung bei 1/3 verbleibt. Man kann das auch mathematisch korrekt erklären, dafür empfehle ich aber einfach die Wikipedia. Etwas anschaulicher ist es schon über den Entscheidungsbaum -ebenfalls aus der Wikipedia kopiert.
In unserem Python-Kurs haben wir uns den mathematischen Beweis gespart und stattdessen lieber den empirischen Beweis geliefert. Wie das letzte mal: Der Code für Python 3 ist hier zum Download verfügbar. Der Code ist für Multi-Core-Prozessoren geschrieben, falls er bei euch also nicht will könnt ihr ihn bequem anpassen.
Viel Spass beim Spielen. Vielleicht komme ich nächste Woche auch mal wieder dazu über mehr Wissenschaft und weniger Spielkrams zu schreiben.
Bildquelle: Wikipedia
Ziegenproblem
Ich stehe immer vor Tor B. Es sind 4 Alternativen, nicht deren 3.
1) Das Auto steht hinter A; der Mod ist gezwungen, C zu öffnen. Wechseln wird belohnt.
2) Das Auto steht hinter C; der Mod ist gezwungen, A zu öffnen. Wie 1)
3) Das Auto steht hinter B; der Mod öffnet A. Bleiben wird belohnt.
4) Das Auto steht hinter B; der Mod öffnet C. Wie 3)
Chance 2 : 2 ; sag ich doch. Kein Auto flieht vor dem gewonnen Werden; meine diesbzgl. aktivitäten sind daher sinnlos. Das ergibt sich übrigens unmittelbar aus dem informationstheoretischen Ansatz von E. Shannon und Norbert Wiener.
Aus der Bild der Wissenschaft
Du hast zwei Kinder; J(unge) und M(ädchen) Das ältere darf sich zuerst nennen; Zwillinge seien der Einfachheit halber untersagt. 4 Möglichkeiten: JJ, JM, MJ, MM.
Inspektor Maigret späht deine Kinder aus und trifft deinen Sohn; also kann er Position MM von der Liste streichen. Das zweite Kind ist ein
JJ = Junge
JM = Mädchen
MJ = Mädchen
Maigret weiß 2 : 1 , dass das zweite Kind ein Mädchen sein wird …
1) So steht das in der Zeitschrift.
2) Glaubst du das?
3) Oder hast du Angst, dass dich jede Nackttänzerin aus wiehert?
4) Wie ‘ macht ‘ der Junge bei seiner Geburt, dass sein jüngeres Geschwister ( frühestens ! ) nächstes Jahr weiblich sein wird?
5) Das ist die Behauptung: Allein die TATSACHE, dass du einen Sohn hast, begünstigt, dass das Geschwister ein MÄDCHEN sein wird …
Du kannst mir auch antworten, wenn du magst.
Ziegenproblem
Ich stehe immer vor Tor B. Es sind 4 Alternativen, nicht deren 3.
1) Das Auto steht hinter A; der Mod ist gezwungen, C zu öffnen. Wechseln wird belohnt.
2) Das Auto steht hinter C; der Mod ist gezwungen, A zu öffnen. Wie 1)
3) Das Auto steht hinter B; der Mod öffnet A. Bleiben wird belohnt.
4) Das Auto steht hinter B; der Mod öffnet C. Wie 3)
Chance 2 : 2 ; sag ich doch. Kein Auto flieht vor dem gewonnen Werden; meine diesbzgl. aktivitäten sind daher sinnlos. Das ergibt sich übrigens unmittelbar aus dem informationstheoretischen Ansatz von E. Shannon und Norbert Wiener.
Aus der Bild der Wissenschaft
Du hast zwei Kinder; J(unge) und M(ädchen) Das ältere darf sich zuerst nennen; Zwillinge seien der Einfachheit halber untersagt. 4 Möglichkeiten: JJ, JM, MJ, MM.
Inspektor Maigret späht deine Kinder aus und trifft deinen Sohn; also kann er Position MM von der Liste streichen. Das zweite Kind ist ein
JJ = Junge
JM = Mädchen
MJ = Mädchen
Maigret weiß 2 : 1 , dass das zweite Kind ein Mädchen sein wird …
1) So steht das in der Zeitschrift.
2) Glaubst du das?
3) Oder hast du Angst, dass dich jede Nackttänzerin aus wiehert?
4) Wie ‘ macht ‘ der Junge bei seiner Geburt, dass sein jüngeres Geschwister ( frühestens ! ) nächstes Jahr weiblich sein wird?
5) Das ist die Behauptung: Allein die TATSACHE, dass du einen Sohn hast, begünstigt, dass das Geschwister ein MÄDCHEN sein wird …
Du kannst mir auch antworten, wenn du magst.
Ziegenproblem
Ich stehe immer vor Tor B. Es sind 4 Alternativen, nicht deren 3.
1) Das Auto steht hinter A; der Mod ist gezwungen, C zu öffnen. Wechseln wird belohnt.
2) Das Auto steht hinter C; der Mod ist gezwungen, A zu öffnen. Wie 1)
3) Das Auto steht hinter B; der Mod öffnet A. Bleiben wird belohnt.
4) Das Auto steht hinter B; der Mod öffnet C. Wie 3)
Chance 2 : 2 ; sag ich doch. Kein Auto flieht vor dem gewonnen Werden; meine diesbzgl. aktivitäten sind daher sinnlos. Das ergibt sich übrigens unmittelbar aus dem informationstheoretischen Ansatz von E. Shannon und Norbert Wiener.
Aus der Bild der Wissenschaft
Du hast zwei Kinder; J(unge) und M(ädchen) Das ältere darf sich zuerst nennen; Zwillinge seien der Einfachheit halber untersagt. 4 Möglichkeiten: JJ, JM, MJ, MM.
Inspektor Maigret späht deine Kinder aus und trifft deinen Sohn; also kann er Position MM von der Liste streichen. Das zweite Kind ist ein
JJ = Junge
JM = Mädchen
MJ = Mädchen
Maigret weiß 2 : 1 , dass das zweite Kind ein Mädchen sein wird …
1) So steht das in der Zeitschrift.
2) Glaubst du das?
3) Oder hast du Angst, dass dich jede Nackttänzerin aus wiehert?
4) Wie ‘ macht ‘ der Junge bei seiner Geburt, dass sein jüngeres Geschwister ( frühestens ! ) nächstes Jahr weiblich sein wird?
5) Das ist die Behauptung: Allein die TATSACHE, dass du einen Sohn hast, begünstigt, dass das Geschwister ein MÄDCHEN sein wird …
Du kannst mir auch antworten, wenn du magst.
Korrekte Lösung
Da alle 3 Tore ununterscheidbar sind, ist für jedes Tor die Wahrscheinlichkeit das Auto dahinter zu finden gleich 1/3. Also:
>
1/3 + 1/3 + 1/3 = 1
>
Nach dem öffnen des Tores ohne Auto, wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit das Auto da zu finden gleich 0 ist.
>
Ab dem Moment des Öffnens ändert sich daher die Wahrscheinlichkeit für die verbleibenden Tore zu:
>
1/2 + 1/2 + 0 = 1
>
Es ist daher irelevant ob der Kandidat wechselt. Er hat bei einem Wechsel die gleich Chance wie ohne.
>
Dr. Vogel 1.6.
Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht dadurch, dass ein Quizmaster vorher die richtige Lösung weiß. Das Öffnen der Niete ist eine Zusatzinformation für den Kandidaten:
Fall 1: erste Wahl ist richtig (1/3), der Quizmaster hat die freie Wahl, zwischen zwei Nieten zu wählen. Der Wechsel des Kandidaten verliert.
Fall 2: erste Wahl ist falsch (2/3), der Quizmaster hat keine freie Wahl und kann jeweils nur die andere Niete wählen. Der Wechsel führt dann zwangsläufig zum Gewinn.
Der Wechsel gewinnt also zu 2/3