Schwarze Löcher sind nicht immer “kompakt”

BLOG: Uhura Uraniae

Ko(s)mische Streifzüge durch Zeit und Raum
Uhura Uraniae

… sonst würden sie wahrscheinlich "Kompakte Löcher" heißen, eine in sich ziemlich widersprüchliche Bezeichnung (entweder kompakt oder Loch=Nixdrinsein). Sie sind "schwarz", d.h. es kann von ihnen kein Licht nach außen dringen. Die Schwarzloch-Bedingung ist also: betrachte einen Körper (ideal kugelförmig, wie sich das für ein Objekt im Weltall gehört), an dessen "Oberfläche" die Fluchtgeschwindigkeit v = c der Vakuumlichtgeschwindigkeit ist.

Um sich solche Objekte zu denken, braucht man übrigens weder Herrn Einstein und seine Relativität noch Herrn Schwarzschild, der diese Lösung der Feldgleichungen als erster fand. Solche Objekte kann man schon klassisch, newtonsch denken und daher wurden sie auch schon früher postuliert (z.B. von Pierre Simon Laplace (1749-1827) als "corps obscur", dunkle Körper). Damals war nur überhaupt nicht sicher – und im Gegenteil von den meisten Wissenschaftlern bezweifelt worden – dass Licht überhaupt von der Gravitation beeinflusst wird.

Das war der Durchbruch von Einstein für die Schwarzen Löcher, weil die ART eben die Wirkung der Gravitation auf Licht beschreibt!

Dichte von Schwarzen Löchern

(Die Rechnung führe ich hier euklidisch auf dem Niveau der 12. Schulklasse auf – eigentlich müsste man hier natürlich mit gekrümmten Räumen rechnen, so dass sich die Volumen-Radius-Relation in der n-dimensionalen Kugel (Kreis) ändert – aber weil es so schön einfach ist und daher bestimmt viele Menschen so denken, will ich hier einfach mal vorstellen, was ich mir damals als Schülerin aus Spaß am physikalischen Rechnen überlegt hatte. Ich gebe später eine exaktere Darstellung.)

Die Massendichte ρ eines Körpers berechnet sich als Quotient aus Masse und Volumen:

Hier habe ich eingesetzt, dass das Kugelvolumen 4/3 pi r³ ist.

Nun gibt es zu jeder beliebigen Masse m ein passendes Volumen, in dem sie ein Schwarzes Loch wäre. Da dieses Volumen nur vom Radius abhängt, spricht man vom "Schwarzschildradius" statt vom Schwarzschildvolumen.

In unserem Alltag haben jedoch alle Körper größere Ausdehnung als dieses Mini-Volumen: Einen 2 m großen Menschen mit Normalgewicht müsste man z.B. kleiner zusammenpressen als den klassischen Elektronenradius, damit er ein Schwarzes Loch wäre. Das ist natürlich unpraktikabel. 😉

Andererseits gibt es im Weltall unter Bedingungen, die unserer Erderfahrung fremd sind, durchaus die Möglichkeit, riesige Massen auf ihren Schwarzschildradius einzugrenzen. Wenn wir die Schwarzen Löcher für didaktische Zwecke auf Alltagserfahrungen herunterbrechen, dann sind die natürlich sehr dicht, im Weltall sind die Massen aber größer als die, die wir im Alltag händeln:

Daher lohnt es sich offensichtlich, mal einen Blick auf die Dichtefunktion zu werfen. Also, die Bedingung für das Schwarze Loch ist, dass die Fluchtgeschwindigkeit an der "Oberfläche" (genauer: am Ereignisjorizont) größer oder gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. Die Fluchtgeschwindigkeit vF kann man aus dem Gravitationsgesetz herleiten (z.B. mit Energiesatz: potentielle Gravitationsenergie an der Oberfläche = kinetische Energie, mit der man eine Rakete von da beschleunigen müsste, damit sie wegkommt). Heraus kommt dies:

Fluchtgeschwindigkeit

Ich habe die Formel hier gleich umgestellt nach dem Radius r, denn jetzt kann ich diese Formel in die obige Dichteformel einsetzen:

Wie man leicht sieht, ist die Massendichte umgekehrt proportional zum Quadrat der Masse! Für große Massen ist also die Dichte gar nicht notwendigerweise hoch, sondern kann im Gegenteil sehr klein sein.

Ein großes Schwarzes Loch, vieltausend Sternmassen schwer, wie es z.B. im Zentrum unserer Milchstraße wohnt, kann durchaus die Dichte von Luft haben!

(Wer’s nicht glaubt, setze Werte aus Tabellenwerken ein.)

nota bene

Zugegeben ist das, was ich hier aufgeschrieben habe, nicht wirklich Physik (das kann Andreas Müller besser), sondern reine mathematische Taschenspielerei: Faktisch wissen wir nicht, wie die Masse im SL verteilt ist und die obige Formel setzt stillschweigend eine homogene Massenverteilung voraus. Natürlich kann es sein, dass die gesamte Masse eines SLs, die wir nach außen "merken", wirklich im Zentrum hockt und von da bis zum Ereignishorizont gähnende Leere herrscht. Kann sein – aber wir wissen’s ja nicht wirklich, sondern verschmieren das, was die Gravitationswirkung macht, gleichmäßig über die ganze Kugel. Als ersten Ansatz ist das legitim, denn die Masse wirkt quasi aus dieser Kugel nach außen.

Alternativ gibts halt noch die mathematische Definition von Kompakta. Wenn ich mich recht entsinne, heißt dort "kompakt" = monoton und beschränkt (für Folgen, Reihen…). Über die Homogeneitität lässt sich wenig aussagen und beschränkt sind Schwarze Löcher auf jeden Fall. 

Das ist aber nicht, was man sich typischerweise unter kompakten Objekten im Alltag vorstellt.

Resümee

Darum rate ich Kollegen und Lehrern, die sich berufen fühlen, der Welt von Schwarzen Löchern zu berichten zur Vorsicht, wenn es um Kompaktheit und Dichte geht!

Veröffentlicht von

"physics was my first love and it will be my last physics of the future and physics of the past" Die Autorin ist seit 1998 als Astronomin tätig (Universitäten, Planetarien, öffentliche Sternwarten, u.a.). Ihr fachlicher Hintergrund besteht in Physik, Wissenschaftsgeschichte und Fachdidaktik (neue Medien). Sie ist aufgewachsen im wiedervereinigten Berlin, zuhause auf dem Planeten Erde.

32 Kommentare

  1. Schwarz-Loch-Universum

    Wenn man eine Kugel annimmt, die einen Radius von 13,7 Milliarden Lichtjahren hat, und die die mittlere Materiedichte unseres Universums hat, würde dann diese Kugel nach aussen hin als Schwarzes Loch wirken?

    Falls 13,7 Milliarden Lichtjahre Radius zu wenig sind, wie gross müsste dann der Radius der Kugel sein, um bei der mittleren Materiedichte unseres Universums ein Schwarzes Loch zu ergeben?

    Würde das auch dann gelten, wenn dieses Schwarze Loch in einen Raum eingebettet wäre, der ebenfalls die mittlere Materiedichte unseres Universums hat?

    Wenn wir nun in einem Schwarzen Loch leben würden, dann müsste doch bei uns die Zeit viel langsamer vergehen, als ausserhalb.

    Platz für diese Überlegungen ist vermutlich genug vorhanden, denn das Universum ist wahrscheinlich grösser als der visuelle Horizont von 13,7 Milliarden Lichtjahren Radius.

  2. kompakt

    ‘kompakt’ hat nichts mit ‘homogen’ zu tun, sondern bedeutet in der Mathematik ‘beschränkt’ (d.h. nicht unendlich groß) und ‘abgeschlossen’ (d.h. das Objekt hat einen Rand, der mit zum Objekt gehört).

    Zumindest die erste Bedingung (nicht unendlich groß) entspricht m.E. schon der umgangsspranglichen Bedeutung von ‘kompakt’. Z.B. hieß die CD doch wohl deswegen Compact Disc, weil sie so wenig Platz benötigte im Vergleich zur Schallplatte.

  3. Ich sitze in einem Schwarzen Loch

    Wenn man annimmt, dass der sichtbare Teil des Universums eine Masse von 8,75*10^52 kg hat, und einen Radius von 1,375*10^10 Lichtjahren hat, dann passt der berechnete Schwarzschildradius von 1,374*10^10 Lichtjahren sehr gut dazu.

    Eigentlich müsste dann die Zeit bei uns unendlich langsam ablaufen.

    Berechnung mit Kontrollwerten:

    R Schwarz = 2GM/c^2
    G = 6,6742*10^-11 m^3/kgs^2 .. 6,674E-11
    M Erde = 5,972*10^24 kg .. 5,972E+24
    c = 2,99792458*10^8 m/s .. 2,998E+08
    r Erde = 6,37815*10^6 m .. 6,378E+06
    c^2 .. 8,988E+16
    M Universum = 8,75*10^52 kg .. 8,750E+52
    s/Jahr .. 3,156E+07
    m/Lichtjahr .. 9,461E+15
    R Schwarz Erde m .. 8,870E-03
    r Universum Lichtjahre .. 1,375E+10
    r Universum m .. 1,301E+26
    R Schwarz Universum Lichtjahre .. 1,374E+10
    R Schwarz Universum m .. 1,300E+26
    Alter Universum s .. 4,339E+17

  4. Problematische Definitionen

    Die Astrowissenschafter “definieren” ein Schwarzes Loch üblicherweise als eine Region einer (asymptotisch flachen) Raumzeit, aus der nichts herauskommen kann, nicht einmal Licht.

    Mathematisch ist das allerdings nicht akzeptabel, für Mathematiker ist ein Schwarzes Loch in einer asymptotisch flachen Raumzeit definiert als ein Gebiet, das nicht zur kausalen Verganhenheit der zukünftigen lichtartigen Unendlichkeit gehört. (Sagt man das so auf Deutsch? Hört sich grauslig an.) Warum das so und nicht anders formuliert wird, das ist en detail z.B. in [1] ausgeführt. Kompaktheit ist dabei nirgendwo gefordert. Die phänomenologischen “Schwarzen Löcher” in den Astrowissenschaften sind aber ohnehin keine Schwarzen Löcher im Sinne dieser transfiniten, geometrischen Definition.

    In der Praxis scheinen mir die Astrophysiker alles als ein “kompaktes Objekt” zu bezeichnen, was mindestens die Materiedichte eines Weissen Zwerges hat. Dann würde es sich doch anbieten, ein “astrophysikalisches Schwarzes Loch” zu charakterisieren als ein kompaktes Objekt, das weder ein Weisser Zwerg noch ein Neutronenstern ist. Das wäre jedenfalls weniger falsch als der eingangs zitierte Versuch einer Beschreibung.

    [1] R. Wald. General Relativity. The Univ. of Chicago Press, 1984

  5. Zwei weitere Fragen

    Frage 1:

    Wenn der Radius des sichtbaren Teils des Universums mit dem Schwarzschildradius der Masse des sichtbaren Teils des Universums übereinstimmt, dann stellt sich die Frage wie das vor 5 Milliarden Jahren war, und wie das in 5 Milliarden Jahren sein wird.

    Das Universum expandiert ja, aber die Masse des Universums wird vermutlich dabei nicht grösser, und die Grösse des Schwarzschildradius des Universums hängt linear von seiner Masse ab.

    Übrigens:

    Wenn man ein nicht expandierendes euklidisches Universum annimmt, das an allen seinen Orten gleichzeitig entstanden ist, dann expandiert auch in diesem Falle der sichtbaren Teil des Universums mit Lichtgeschwindigkeit, obwohl sich seine Galaxien nicht bewegen, einfach deshalb, weil man auf Grund der Lichtgeschwindigkeit erst später weiter entfernte Objekte sehen kann.

    Während in diesem Falle der Radius des sichtbaren Teils des Universums linear mit Lichtgeschwindigkeit wachsen würde, würde bei gleichmässiger Materiedichte die Masse der sichtbaren Materie mit der dritten Potenz ansteigen.

    Frage 2:

    Wenn man ein Schwarzes Loch in einen viel grösseren Raum einbettet, der die gleiche Materiedichte wie das Schwarze Loch hat, dann stellt sich die Frage, welche Auswirkungen das auf das Schwarze Loch hat.

    In einem euklidischen Universum könnte man sagen, dass das nun eben ein grösseres Schwarzes Loch geworden ist, aber das geht nicht in einem endlosen, aber nicht unendlich grossen sphärischen Universum mit gleichmässiger Materieverteilung, weil es in diesem Universum gar keine Aussenfläche des Schwarzen Loches geben kann.

    Auch in einem unendlich grossen euklidischen Universum mit gleichmässiger Materieverteilung gibt es keine Aussenfläche, und auch keinen definierten Schwerpunkt.

    Unter normalen Bedingungen wird die Gravitationwirkung um so grösser, je mehr man sich im Inneren eines Objektes von seinem Schwerpunkt entfernt.

    Ein Gravitationsfeld kann nur dann entstehen, wenn zu beiden Seiten einer Grenzfläche unterschiedliche Gravitationswirkungen vorhanden sind.

    Ähnlich verhält es sich mit einer Hohlkugel, die in ihrem Inneren kein Gravitationsfeld haben kann.

  6. Ähem – Kompaktheit vs. Dichte?

    Hallo Susanne,

    es ist löblich, dass du ein häufiges Vorurteil angehst, dasjenige nämlich, dass Schwarze Löcher notwendigerweise extrem dicht sein müssen. Das ist, wie du richtig vorrechnest, nicht der Fall.

    Aber wie nennt man nun die Eigenschaft, die Schwarze Löcher auszeichnet? Mathematisch gesprochen: M/r-hoch-drei, mit M der Masse des Objekts und r seinem Radius (oder einer anderen linearen Ausdehnung) ist die Dichte, klar. Wie nennt man M/r, die Größe, die bei Schwarzen Löchern entscheidend ist?

    Für diese Größe hat sich in den Fachveröffentlichungen der Ausdruck “Kompaktheit” (häufiger liest man’s auf Englisch: compactness) eingebürgert. Im Alltag mögen die beiden Begriffe “kompakt” und “dicht” synonym sein, in dem Themenbereich, um den es hier geht, sind sie es nicht – und das ist wichtig zu wissen.

    Deswegen ist deine Überschrift leider sehr irreführend: Kompakt (in diesem Sinne) sind Schwarze Löcher per Definition sehr wohl.

    Dass es für “kompakt” eine Alltagsbedeutung (die sich dann auch bis in die Physik zieht) und eine speziellere Bedeutung gibt, ist verwirrend genug. Das sollte man nicht noch künstlich verschärfen.

  7. Rechenfehler?

    Ich dummer kleiner Ingenieur ohne Ahnung von Astronomie setze die mir bekannten Naturkonstanten ein:

    Gravitationskonstante: 6.673*10^-11 m^3/(kg s^2)
    Lichtgeschwindigkeit: 3*10^8 m/s

    und erhalte für das, was in deiner Gleichung als “Konstante” bezeichnet ist, den Zahlenwert

    7.32*10^79 kg^3/m^3. Soweit richtig, oder habe ich mich da schon verrechnet?

    Die Sonnenmasse ist etwa 2*10^30 kg. Wenn man auf eine Dichte von Luft, also 1.25 kg/m^3 (ich nehme an, du meintest Luft bei 1 bar und ca. 290 K) kommt, braucht man dazu schon mehr als die milliardenfache Sonnenmasse (mit den oben genannten Werten: 3.8 Milliarden Sonnenmassen).

    Ein schwarzes Loch von vieltausendfacher Sonnenmasse recht da auf keinen Fall. Nun gut, 3.8 Milliarden sind natürlich auch viele Tausend … sehr viele. 🙂

    Entweder habe ich mich verrechnet oder du.

  8. Rückrechnung

    Wenn ich eine Konstante von 7,287*10^79 auf die Masse des sichtbaren Universums von 8,75*10^52 kg anwende, dann errechne ich eine Dichte von 9,518*10^-27 kg/m^3.

    Wenn die mittlere Dichte des Universums ein Wasserstoffatom pro Kubikmeter wäre, dann wäre der Wert für seine Dichte 1,661*10^-27 kg/m^3.

    Bei einem Volumen des sichtbaren Universums von 9,221*10^78 m^3 errechne ich bei einer Dichte von 9,518*10^-27 kg/m^3 eine Masse von 8,776*10^52 kg.

  9. @ Markus Pössel

    Mit Ihrer Begründung wäre dann aber in der Astrophysik alles “kompakt”, was Masse und Radius hat. Also beispielsweise die Sonne. Andererseits wird die Sonne gemeinhin nicht unter den “kompakten Objekten” gelistet. Damit gäbe es also “kompakte” Objekte, die keine “kompakten Objekte” sind.

    Von den COW Boys & Girls wird das gerade genauer erforscht:

    We study astronomical objects of extremely high density called compact objects.

  10. @Chrys

    Der Sprachgebrauch ist aehnlich wie bei der Dichte. Jeder Koerper hat eine Dichte. Aber wenn jemand sagt, er untersuche “dichte Materialien”, dann ist das ueblicherweise als Gegensatz zu “weniger dichten Materialien” gemeint.

    Ebenso hier: der Kompaktheitsparameter oder, kurz, die Kompaktheit, ist 2GM/c-Quadrat, geteilt durch die lineare Ausdehnung. Jedem Objekt mit Masse und Ausdehnung kann man eine Kompaktheit zuordnen. Aber “kompakt” nennt man das Objekt nur, wenn diese Kompaktheit gross ist, genauer: wenn sie ungefaehr 1 oder noch groesser ist.

    Zu der angegebenen Webseite: So ein etwas nachlaessiger Sprachgebrauch ist leider nicht so selten. Die Kollegen widersprechen sich da ja auch selbst: Auf http://cow.physics.wisc.edu/compobj.html definieren sie Schwarze Loecher als Ueberreste von Sternkollaps und als sehr dichte Objekte, aber weiter unten auf derselben Seite kommen dann doch noch die supermassereichen Schwarzen Loecher als Beispiel, auf die beides nicht zutrifft…

    Die Lehrbuecher sind da gluecklicherweise meist sorgfaeltiger. Das Standardwerk zum Thema, naemlich der Shapiro/Teukolsky (“Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars”) haelt gleich am Anfang fest, wie Kompaktheit definiert ist, und dass eine der Herausforderungen darin besteht, dass kompakte Objekte ganz unterschiedliche Dichten aufweisen koennen.

  11. @ Markus Pössel

    Das ist schon einleuchtend, dass man sich eine griffige Bezeichnung schafft, wenn man ständig mit dem Verhältnis von Schwarzschild-Radius zu Radius hantiert und diese Grösse dann für verschiedene Objekte vergleichen will. Unter Fachkollegen, wo alle die gleiche Terminologie verwenden, ist es sicherlich auch praktikabel, diese Quantität “compactness” zu nennen, auch wenn das ausserhalb dieser Fachkreise dann missverständlich sein kann, da mit dem Begriff oft eine qualitative Eigenschaft assoziiert wird. In jedem Falle gilt unstrittig die folgende, klassifizierende Feststellung [1, p.1]:

    As a class of astronomical objects, compact objects include white dwarfs, neutron stars and black holes.

    Noch zu der obigen Dichte-Kalkulation. Das dabei betrachtete Objekt ist eigentlich der klassische Mitchell-Laplace Dark Body. Bei einer relativistischen Betrachtung bezeichnet der Radius r aber nur noch eine Koordinatenlänge und keinen metrischen Abstand. Zur Bestimmung der Dichte, sagen wir, eines Neutronensterns, benötigen wir unbedingt die Metrik in seinem Inneren, um überhaupt sinnvoll von Längen und Volumina reden zu können. Anders gesagt, man müsste Karl Schwarzschilds inkompressible Fluidkugel durch irgendein realistischeres Modell ersetzen — und das ist ein Problem. Und es wird nicht einfacher, wenn man immer weiter und weiter komprimiert. Dazu noch ein Zitat, [2, p.42]:

    We do not know how individual stars convert their cores into black holes. One uncertainty is the equation of state, the relation between pressure and density, for material at densities in excess of ~ 10^15 g cm^{-3}. At such densities and pressures the stiffness of the material, its ability to resist pressure before yielding, is not in hand. Knowledge of this property is critical to understanding whether, how, and when a massive star may collapse to form a black hole.

    Über die innere Beschaffenheit dieser astronomischen Objekte, die als Schwarze Löcher bezeichnet werden, wissen wir in Wahrheit doch immer noch fast nichts. Ob die supermassiven Schwarzen Löcher dann wieder fluffig werden, wenn sie nur gross genug sind, das ist mir angesichts dieses unvollständigen Erkenntnisstandes nun überhaupt nicht klar.

    [1] M. Camenzind. Compact Objects in Astrophysics. Springer, 2007.

    [2] M. Harwit. Astrophysical Concepts. Springer 4th ed., 2006.

  12. Schwarze Löcher sind immer kompakt!

    Ich bin etwas unglücklich mit dem Titel des Blogbeitrags, denn Schwarze Löcher sind per definitionem immer kompakt.

    Zur Kompaktheit verweise ich gerne auf einen meiner Beiträge:

    http://www.wissenschaft-online.de/…_k04.html#kph

    Die hier dargestellten Rechnungen, bei denen man eine Masse in Bezug setzt zu einem Kugelvolumen, wobei der Radius der Kugel mit der Ereignishorizont (dem zugehörigen Schwarzschild-Radius der Masse) übereinstimmen möge, sind in der Tat mathematische Taschenspielereien. Denn über die Natur der Schwarzen Löcher verrät uns das wenig.

    Man könnte diese Rechnung allenfalls in Bezug setzen zur inneren Schwarzschild-Lösung, siehe dazu hier

    http://www.wissenschaft-online.de/…s02.html#schw

    Diese innere Schwarzschild-Lösung beschreibt jedoch relativistisch eine Flüssigkeitskugel und nicht ein Schwarzes Loch. Die innere Schwarzschild-Lösung enthält keine Singularität mehr (es ist übrigens auch keine Vakuum-Raumzeit, denn der Energie-Impuls-Tensor ist nicht null, sondern derjenige einer idealen Flüssigkeit).

    Mit Schwarzen Löcher, die per definitionem einen Ereignishorizont UND eine Krümmungssingularität aufweisen, hat die Rechnung also nichts zu tun.

    Erschwerend kommt hinzu, dass bei den meisten kosmischen Kandidaten für Schwarzen Löcher mittlerweile nachgewiesen wurde, dass sie rotieren. Sie werden bestens beschrieben durch die Kerr-Metrik (siehe mein aktueller SuW-Artikel in der Mai-Ausgabe 2010, S. 40).

    Für die Kerr-Metrik gibt es keine innere Kerr-Lösung, also kein Analog zur inneren Schwarzschild-Lösung. Alle Schwarzen Löcher vom Kerr-Typ enthalten eine Krümmungssingularität und der ganze Rest der Raumzeit ist Vakuum (T = 0). Hier darf man sich also keinesfalls die Lochmasse über ein Volumen verschmiert denken!

    Ich bitte auch zu bedenken, dass ein Schwarzes Loch mitnichten ein räumlich ausgedehntes Gebilde zu einer festen Zeit ist – so wie wir Objekte in unserer Welt alltäglich wahrnehmen – sondern es sind raumzeitliche Gebilde, die sich in der Zeit eigentlich nicht fassen lassen. Auch das habe ich versucht in meinem SuW-Artikel hervorzuheben, weil es allgemein nicht so bekannt zu sein scheint. Der Ereignishorizont liegt in der Zukunft des Außenbeobachters!

    Wenn also die Allgemeine Relativitätstheorie die Natur korrekt beschreibt – und bislang tut sie das äußerst erfolgreich – dann sind Schwarze Löcher kompakte Objekte mit Singularitäten, deren Masse nicht homogen über ein Volumen verteilt ist, sondern deren Masse in einem Punkt steckt.

    Beste Grüße,
    Andreas

  13. Eine kleine Ergänzung:

    Natürlich gilt auch in den Krümmungssingularitäten der äußeren Schwarzschild-Lösung und der Kerr-Lösung T = 0; das ist eine globale Bedingung.

  14. @Chrys

    “Bei einer relativistischen Betrachtung bezeichnet der Radius r aber nur noch eine Koordinatenlänge und keinen metrischen Abstand.” – nein, so willkürlich ist es dann auch nicht. Die Koordinate r hat in der Schwarzschild ja durchaus eine geometrische Bedeutung: Sie ist so gewaehlt, dass allein mit den Winkelkoordinaten berechnete Abstaende (sprich: kleine Kreisboegen) auch metrische Abstaende sind, und dass also die ueblichen Beziehungen fuer Umfang (2 Pi r) und Kugelflaeche (4 Pi r-Quadrat) gelten.

    Damit kommen wir der Frage nach dem Status der Kompaktheitsdefinition schon naeher. Wir kommen naemlich zu Kip Thorne’s “Ring-Kriterium” (“Hoop conjecture”) dafuer, wann ein Objekt mit bestimmter Masse M ein Schwarzes Loch sein muss (bzw. zu einem solchen kollabieren muss): Dann naemlich, wenn ich einen Ring mit dem Radius 2 G M/c-Quadrat (also gerade der Schwarzschildradius der entsprechenden Masse) nehmen kann, und das Objekt in beliebiger Orientierung durch diesen Ring passt.

    Das ist die eigentliche Bedeutung der Kompaktheit, und der Grund, warum der Schwarzschildradius darin vorkommt (der im Spezialfall des Schwarzschild-Lochs ja gerade so gewaehlt ist, dass er Ring-Umfaenge und aehnliches außerhalb des Ereignishorizonts richtig wiedergibt).

  15. @ Markus Pössel

    Ja, die Winkel sind im sphärisch-symmetrischen Fall ebenso unproblematisch wie im Minkowski Raum. Aber radiale und temporale Koordinatenabstände erfahren die Effekte der gekrümmten Raumzeit, dergestalt dass im Vergleich zum flachen Koordinatenraum erstere geschrumpft und letztere gedehnt werden. Für das Inneren eines relativistischen Neutronensterns wird man da also aus der Metrik etwas anderes erhalten als bei einer Rechnung mit flachen Koordinaten. Und für die physikalisch relevanten Grössen ist doch genau die Metrik entscheidend.

    Im übrigen sei auch noch einmal daran erinnert, wie Günther Hasinger einmal einem Laienpublikum die astronomischen Schwarzen Löcher erklärt hat, nämlich schlicht als eine extrem komprimierte Form der Materie — unterschiedslos für stellare und supermassive Schwarze Löcher. Nach meiner Einschätzung ist das eine sehr gute und korrekte Formulierung, die sich auch Physiklehrer merken sollten für den Fall, dass sie danach gefragt werden. (Für die Schwarzen Löcher in der Lorentzschen Geometrie gilt das alles freilich so nicht, aber davon will der generische Laie auch nicht wirklich etwas hören.)

  16. @ Andreas

    Zu Ihrem Kommentar möchte ich zweierlei rasch anmerken. Nehmen wir als Beispiel dazu doch die Kruskal Raumzeit, die hat ein tadelloses Schwarzes Loch.

    1)

    Der Ereignishorizont liegt in der Zukunft des Außenbeobachters!

    Nein, denn der Aussenbereich des Schwarzen Loches ist ja gerade dadurch bestimmt, dass jeder sich darin befindliche Punkt (oder Beobachter) kausal mit “future null infinity” verbunden ist. Hingegen, der Ereignishorizont liegt in der Vergangenheit eines Innenbeobachters, damit wäre ich einverstanden.

    2)

    […] dann sind Schwarze Löcher kompakte Objekte mit Singularitäten, […] deren Masse in einem Punkt steckt.

    Sehen Sie bei der Kruskal Raumzeit irgendeinen singulären Punkt, in dem irgendeine Masse steckt?

  17. @Chrys

    Der Ereignishorizont liegt in der Zukunft des Außenbeobachters. Das sieht man am besten daran, wenn man die Raumzeit des Schwarzen Loches (z.B. Schwarzschild) in raumartige Hyperflächen aufteilt (3+1-Split). Auf jeder Hyperfläche gilt t=const. Nun schneidet aber die Hyperfläche des Außenbeobachters niemals den Ereignishorizont. Sie “leben” sozusagen in unterschiedlichen Zeiten; schlimmer noch: die Hyperfläche am Ereignishorizont liegt in der Zukunft bei t= +unendlich.

    Auch die Kruskal-Lösung (“Wurmloch”) hat eine intrinsische Singularität bei r = 0.

  18. @ Andreas

    Der Ereignishorizont liegt in der Zukunft des Außenbeobachters. Das sieht man am besten daran, wenn man die Raumzeit des Schwarzen Loches (z.B. Schwarzschild) in raumartige Hyperflächen aufteilt (3+1-Split). Auf jeder Hyperfläche gilt t=const. Nun schneidet aber die Hyperfläche des Außenbeobachters niemals den Ereignishorizont. Sie “leben” sozusagen in unterschiedlichen Zeiten; schlimmer noch: die Hyperfläche am Ereignishorizont liegt in der Zukunft bei t= +unendlich.

    Die Schwarzschild Raumzeit enthält doch gar keinen Ereignishorizont. Das gilt nicht nur für Schwarzschilds eigene Lösung, sondern auch für die von Hilbert, die aus zwei Zusammenhangskomponenten besteht (und in der Literaur üblicherweise Karl Schwarzschild zugeschrieben wird). Der Grund ist einfach der, dass in beiden Fällen die Metrik am Ort der sog. “Koordinatensingularität”, wo Sie den Ereignishorizont vermuten, überhaupt nicht definiert ist.

    Wir brauchen den Ereignishorizont schon innerhalb der Raumzeit, und eben das leistet die Fronsdal/Kruskal/Szekeres Konstruktion. Die Kruskal Raumzeit beschreibt die obige Situation isometrisch mittels einer zweifachen Überlagerung der erwähnten Zusammenhangskomponenten. Hier lässt sich jetzt aber mit Ereignishorizonten argumentieren.

    Aber konkret, was meinen Sie denn damit, dass ein Ereignis “in der Zukunft eines Beobachters liegt”? Ich lese daraus, dass eine zukunftsgerichtete Weltlinie des Beobachters das Ereignis unweigerlich trifft. Ein Aussenbeobachter fällt aber nicht nicht unweigerlich ins Schwarze Loch, er kann die Querung des Ereignishorizonts vermeiden.

    Auch die Kruskal-Lösung (“Wurmloch”) hat eine intrinsische Singularität bei r = 0.

    Gewiss, aber r = 0 kennzeichnet keinen Punkt. Und wo steckt die Masse?

  19. @Chrys und @Andreas

    @Chrys: Klar, im Inneren ist die Bedeutung von r unklar und man stößt in Gebiete mit sehr merkwürdiger Geometrie vor.

    Aber darauf zielte ja gerade die Bemerkung in meiner letzten Mail ab: Mit Hilfe des Ringkriteriums bleibt man fein außerhalb des Körpers, und vermeidet alle Probleme mit inneren Metriken. Der Radius ist dann nur eine günstige Art und Weise, einen (metrischen) Umfang (z.B. des Ringes) zu parametrisieren.

    @Chrys und @Andreas: Ich glaube, ihr redet aneinander vorbei – Andreas meint mit Schwarzschild, soweit ich sehen kann, die urspruengliche Metrik inklusive aller Erweiterungen. Chrys benutzt die strengere Definition – die Schwarzschild-Raumzeit ist dann nur im Geltungsbereich der urspruenglichen Schwarzschildkoordinaten definiert.

    @Andreas: Deine Aussagen dazu, dass der Ereignishorizont in der Zukunft liegt, kann ich nicht nachvollziehen. Wenn ich mir das z.B. im konformen Diagramm aufmale, kann ich immer Lichtkegel einzeichnen, von denen aus gesehen ein Stueck Ereignishorizont im “Anderswo”, aber nicht in der Zukunft liegt. Anders z.B. als bei der Singularitaet, die beim (erweiterten) Schwarzschild-Loch fuer einen Beobachter, der hereingefallen ist, tatsaechlich immer in der Zukunft liegt.

  20. @ Markus Pössel

    Ich glaube, ich habe jetzt begriffen worauf Sie mit dem hoop hinauswollen. Sie nehmen des Umfang des Kreises bei konstantem t, das könnte man auch als proper circumference bezeichnen. Das wäre dasselbe für die Minkowski Metrik und für die Schwarzschild Metrik, sofern nur r = const. gilt, also die sphärische Symmetrie ausgenutzt wird.

    Andererseits haben wir Längen relativistisch mit Licht und Uhren zu bestimmen. Für den Kreis heisst das, dass wir ihn polygonal approximieren und die Abstände zwischen den Eckpunkten jeweils über Lichtlaufzeiten ermitteln müssten (“radar distance”). Im Minkowski Raum wären die Verbindungslinien Geradenststücke, und wir würden so schlussendlich auch wieder nur den proper circumference Wert finden. In der gekrümmten Raumzeit würde die Prozedur aber einen anderen Wert für den Umfang liefern, das Licht läuft dann ganz anders wegen der Krümmung.

    In jedem Fall wäre die Längeneinheit formal der Meter, aber Angaben von proper length, oder eben proper circumference, wären auch keine SI Meter (nach aktuell geltender Regelung).

  21. @Markus und Chrys

    Man stelle sich in der Schwarzschild-Metrik einen Außenbeobachter vor, der auf einer Hyperfläche 1 mit t1=const sitzt. Dann gibt es eine Schar weiterer Hyperflächen 2 und 3 mit t2=const, t3=const usw., für die gilt t1 kleiner als t2 kleiner als t3 usw. Die Schar der Hyperflächen 2, 3 usw. schneiden nicht diejenige, auf der der Außenbeobachter sitzt. So schmiegt sich Hyperfläche an Hyperfläche zwischen Außenbeobachter und Loch. Der Parameter t nimmt in Richtung Loch immer mehr zu. Deshalb liegt das Loch in der Zukunft.

    Sorry, in Ermangelung eines Diagramms, habe ich versucht es rein verbal zu erklären.

    Beste Grüße,
    Andreas

  22. @Chrys

    Hi,

    genau, man bestimmt die metrische Länge, keine bloße “Koordinatenlänge”. Im Englischen wäre das der “proper circumference”.

    Und es funktioniert nicht nur in Minkowski und Schwarzschild; die “hoop conjecture” (ich habe es als “Ringkriterium” übersetzt) von Kip Thorne behauptet, dass es in ganz allgemeinen Raumzeiten gilt (diese Behauptung ist allerdings bislang, soweit ich weiß, nicht mathematisch exakt bewiesen). Wir haben es also mit einem ganz allgemeinen, sehr nützlichen Konzept zu tun.

    Und nein, die metrischen Längen sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie ganz allgemein die physikalischen Längen, die sich aus unserer Verallgemeinerung der elementaren Messvorschriften (Licht, Uhren) ergeben. Der Umfang des Kreises ist eine wohldefinierte Größe. Praktische Messungen stehen auf einem ganz anderen Blatt – wenn das das Kriterium wäre, dürften wir ja weder über die Metrik im Inneren materieller Körper noch über die Metrik im Inneren eines Schwarzen Lochs reden!

  23. @ Andreas / @ Markus Pössel

    @Andreas
    Hier ist so ein Bild:
    http://www.mathpages.com/…-03_files/image022.gif

    @Markus
    Zum Vergleich, betrachten wir doch eine Kreisscheibe vom Radius R. Der Umfang (proper) ist dann 2 Pi R. Nun lassen wir die Kreischeibe um ihre Symmetrieachse rotieren, sodass am Perimeter relativistische Effekte auftreten. Der Umfang wird dann durch die Bewegung relativistisch verkürzt, der Radius bleibt indessen gleich. Da haben wir dann auch zweierlei Mass für den Umfang — proper und relativistisch. Das ist ganz ähnlich wie bei dem Kreis im Schwarzschildfeld, nur ist in einem Fall die Drehbewegung ursächlich für das Resultat und im anderen das Gravitationsfeld. Den Umfang von 2 Pi R erhalten wir aber immer nur bezüglich der flachen Metrik.

    Soweit ich sehe, die hoop conjecture ist von all dem nicht wirklich berührt. Wenn Thorne konsequent alle Längen als proper length ausdrückt, dann hat er einen konsistenten Formalismus, oder? Ich habe das nochmals herausgesucht.
    (K. Thorne. Black holes and time warps. 1994, p. 266):

    Construct a hoop with circumference equal to the critical circumference of your object. Then try to place the object at the center of the hoop, and try to rotate the hoop completely around the object. If you succeed, then the object must already have created a black-hole horizon around itself. If you fail, then the object is not yet compact enough to create a black hole.

  24. Fluchtgeschwindigkeit

    Die Formel für den Schwarzschildradius ist richtig, aber die Formel für die Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete ist falsch! Richtig wäre: v = sqrt(Gm/r), d.h. ohne den Faktor 2 im Zähler. Der Faktor 2 beim Schwarzschildradius r = 2Gm/c² ergibt sich nur mit Hilfe der Relativitätstheorie!

  25. Formel für Fluchtgeschwindigkeit

    die Formel für die Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete ist falsch! Richtig wäre: v = sqrt(Gm/r), d.h. ohne den Faktor 2 im Zähler.

    v=sqrt(2GM/r) ist die allgemeine Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit. Was soll daran falsch sein?

  26. Fluchtgeschwindigkeit

    Sorry 🙁
    v = sqrt(Gm/r) ist die “erste kosmische Geschwindigkeit”.
    v=sqrt(2GM/r) ist tatsächlich die allgemeine Gleichung für die Fluchtgeschwindigkeit.

  27. SL

    Das ist doch nur Blödsinn, weder abstrakt gedacht noch vernünftig!
    Weder ist die Größe bekannt noch die dei Masse dessen was ein schwarzes Loch ausmacht, also was berechene ich heir?

  28. Alle Werte sind bekannt

    Gravitationskonstante = G = 6,6742*10^-11 m^3/kgs^2
    Masse der Erde = M = 5,972*10^24 kg
    Lichtgeschwindigkeit = c = 2,99792458*10^8 m/s
    Radius der Erde = r = 6,37815*10^6 m
    Zeitkonstante Lambda t = 3,968*10^15 kg^3/s

    Schwarzschildradius der Erde = R
    R = 2GM / c^2 = 8,86967*10^-3 m = also nur ca. 9 mm,
    Lebensdauer Delta t = M^3 / ( 3 * Lambda t ) = 1,79*10^58 s

    Alter des Universums zum Vergleich =
    13,7*10^9*365,25*24*60*60 = 4,32*10^17 s

  29. nicht kompakte black holes ( BH)

    Der wichtigste Unterschied zu einem kompakten BH ist doch dass Gegenstände dorthin hineinfallen und nicht wieder rauskommen, es sei denn es zerstrahlt durch den Hawking Effekt.
    Das nicht kompakte BH ist jedoch offenkundig so gestaltet, dass sogar Gegenstände und Licht durchfliegen können. Sie werden stark beschleunigt bzw mit Energie aufgeladen beim Einfall in das BH aber können wieder rauskommen, soferne sie nicht durch ein Atom im Innernes absorbiert wurden. Dies ist unwahrscheinlicher. Aus einem einfallenden sichtbaren Photon wird ein Gammaquant, das wenig Absorbtion erfährt. Fliegt dieses wieder raus, entzieht die Gravitation wieder die Energie und es wird wieder normal sichtbar. Es können nur jene Atome kein Licht aus dem BH senden, deren Energie ja beschränkt ist. ( Emissionslinien etc. ) Diese reinen Emissionslinien würden durch das BH rotverschoben werden und wären für uns unsichtbar. Das nichtkompakte BH ist also nur nicht selbstleuchtend , aber sonst eher durchsichtig.
    Die Frage erhebt sich aber , was mit der hohen Gravitationsverschiebung des Zeitablaufes passiert. ( Uhren gehen relativ zum Aussenraum extrem langsam )
    Ob das eingefallene Lichtphoton zwar im Prinzip durchkommt möge ja möglich sein, aber WANN es rauskommt .. das könnte lange dauern aufgrund dieser relativistischen Zeitverschiebung.
    Wenn wir etwas dort rauskommen sehen, wurden diese Photonen schon womöglich vor Millionen Jahren eingestrahlt.
    Im Gesamten erschiene das Objekt also faktisch durchscheinend relativ zum Hintergrund.
    Würden sie mir zustimmen ?

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