Exponentielle Entwicklungen, oder: sich auf die einfachen pandemischen Dinge besinnen

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… aber nicht einfacher
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Die Weihnachtszeit ist ja immer auch eine Zeit, sich auf die einfachen Dinge zu besinnen. In diesen Tagen heißt das: betrachten wir die einfache Exponentialfunktion. Sie tritt überall dort auf, wo der Wert einer Größe bestimmt, wie schnell sich jene Größe ändert (mathematisch-fachbegrifflich: wenn die Änderungsrate einer Funktion proportional zum Funktionswert ist). Und exponentielle Entwicklungen sind leider derzeit recht wichtig.

Bei einer Pandemie ist das näherungsweise immer dann der Fall, wenn jede*r Infizierte im Mittel dieselbe Zahl weiterer Menschen ansteckt. Wenn beispielsweise jeder Infizierte im Schnitt insgesamt zwei weitere Menschen ansteckt, würden 1000 Infizierte im Schnitt 2000 weitere anstecken, 2000 Infizierte aber im Schnitt 4000 weitere. Wie sich die Zahl der Infizierten ändert ist also proportional dazu, wieviele Menschen bereits infiziert sind.

Exponentielle Kurven im logarithmischen Diagramm

Die Wissenschaftsjournalistin Sibylle Anderl postet auf Twitter (als @sianderl) immer einmal wieder Diagramme mit den Zahlen der Neuinfektionsdarstellungen, und zwar in logarithmischer Darstellung. Das ist eine Darstellung, in der die Kuven in Phasen exponentieller Entwicklung wie Geraden aussehen. Hier ist das letzte Beispiel, vom 28.11. (also noch vor dem jüngsten Abknicken der Kurve):

Covid-Diagramm, das die Neuinfektionszahlen in logarithmischer Darstellung zeigt. An einige gerade Abschnitte sind Geraden angefitted. Exponentielle Phasen erscheinen darin als Geraden. Das Diagramm wurde auf Twitter von Sibylle Anderl veröffentlicht, siehe Link im TextEingezeichnet sind an geeigneter Stelle, wo die Kurve zeitweise gerade verlief, die exponentiellen Fits – also diejenigen Exponentialkurven, die das Geschehen in jener Phase gut wiedergeben.

Man sieht gut, dass einige der Verläufe tatsächlich in guter Näherung exponenziell waren. Im Januar oder Ende April gab es auch ein exponentielles Schrumpfen, denn umgekehrt gilt natürlich in so einer Situation auch: Wenn nur noch weniger Menschen infiziert sind, dann ändert sich die Zahl der Infizierten auch nicht mehr so schnell. Es sind ja nicht mehr soviele Infizierte da, die andere anstecken.

Andererseits hatten wir auch Phasen, in denen der Verlauf nicht exponentiell war. Das ist nicht überraschend. Wenn schärfere Regeln in Kraft gesetzt werden oder eben wieder abgeschafft werden, wenn viele Menschen ihr Verhalten ändern – entweder noch vorsichtiger werden oder mit den eigenen Bemühungen wieder etwas nachlassen – oder wenn sich die äußeren Übertragungsbedingungen ändern (etwa die berühmte saisonale Abhängigkeit) dann ändert sich die Anzahl der Neuinfizierten eben nicht mehr proportional zur Anzahl der bereits Infizierten. Dann haben wir ein anderes als ein exponentielles Wachstum.

Exponentielle Parameter: Wachstum pro Zeiteinheit und Verdopplungszeit

Charakteristisch für exponentielles Wachstum oder exponentielle Schrumpfung ist, dass die Veränderung durch einen Faktor pro Zeiteinheit beschrieben wird. Der lilafarbene Fit in dem Diagramm von Frau Anderl ab 7. Juli beispielsweise entspricht einem Wachstum von 38% pro Woche. Wartet man eine Woche, dann verändert sich die Zahl der Neuinfizierten also um den Faktor 1,38. Nach einer weiteren Woche verändert sie sich, voraugesetzt das exponentielle Wachstum hält an, noch einmal um den Faktor 1,38 zu. Insgesamt hat sich die Zahl der Neuinfizierten über jene zwei Wochen also bereits um den Faktor 1,38 mal 1,38 = 1,9 verändert, sich also so gut wie verdoppelt.

Apropos: Die “Verdopplungszeit” ist eine weitere Möglichkeit, dieselbe Veränderungsweise zu beschreiben. Bei 38-prozentigem Wachstum verdoppelt sich der Wert alle 15,1 Tage, also in der Tat etwas mehr als alle zwei Wochen.

Omikron: Exponentielles Wachstum mit vergleichsweise kurzer Verdopplungszeit

Für die neue Omikron-Variante hat die WHO in den betroffenen Ländern Verdopplungszeiten von 1,5 bis 3 Tagen konstatiert (Link zum Bericht vom 17. Dezember als PDF). In Dänemark liegt die Verdopplungszeit bei rund 2 Tagen.

Das sind besorgniserregend kurze Zeitskalen.

Nebenbemerkung: Dänemark hat im Vergleich zu uns einen Impfvorsprung, 80% vollständig geimpfte gegen unsere 70% (aus Our World in Data, wobei ich nicht weiß, wie weit da Boosterimpfungen berücksichtigt sind). Im Mittel (Median) sind die Menschen in Dänemark etwas jünger als in Deutschland.

Versuchen wir mal eine einfache Abschätzung. In der Kalenderwoche 49 wurden dem RKI 183 neue Omikron-Nachweise in derjenigen Stichprobe gemeldet, die auf Virusvarianten hin untersucht wird. Die Stichprobe umfasst insgesamt nur 41000 Nachweise (die übergroße Mehrheit war zu jenem Zeitpunkt noch Delta). In derselben Woche stieg die Zahl der Infizierten in Deutschland insgesamt um 336072 (Meldezahlen derselben Kalenderwoche aus dem RKI-Wochenbericht vom 16.12.). Wäre die Stichprobe repräsentativ, hätten wir es also mit schätzungsweise 1500 Omikron-Neuinfektionen in jener Woche in Deutschland zu tun.

Nehmen wir an, die Verdopplungszeit wäre dabei dieselbe wie in Dänemark, dann hätten wir es in jener Woche mit den folgenden Tageszahlen zu tun gehabt:

Montag 60 Omikron-Neuinfektionen
Dienstag 85 Omikron-Neuinfektionen
Mittwoch 120 Omikron-Neuinfektionen
Donnerstag 170 Omikron-Neuinfektionen
Freitag 241 Omikron-Neuinfektionen
Samstag 341 Omikron-Neuinfektionen
Sonntag 482 Omikron-Neuinfektionen.

Heute, also am 19. Dezember, noch eine Woche später, wären wir schon bei 5450 Neuinfektionen pro Tag. Am zweiten Weihnachtstag wären wir von der Größenordnung der Neuinfektionen pro Tag her bei den Höchstwerten der letzten Welle, nämlich bei mehr als 60000 Neuinfektionen pro Tag. (Die Höchstwerte der Tagesmeldungen bei der letzten Welle lagen bei rund 76000. Ach ja: Delta läuft ja auch noch weiter, aber das haben wir hier beiseitegelassen.)

Es kann natürlich sein, dass die Verdopplungszeit bei uns eine andere ist. Nehmen wir als Rechenbeispiel mal vier Tage an. Das liegt noch oberhalb des obersten WHO-Schätzwerts, ist also sehr optimistisch. Also: die ganze Rechnung noch einmal, diesmal mit optimistischer 4-Tage-Verdopplungszeit.

Die 1500 Omikron-Neuinfektionen der Kalenderwoche 49 wären dann wie folgt auf die Wochentage verteilt:

Montag 120 Omikron-Neuinfektionen
Dienstag 143
Mittwoch 170
Donnerstag 202
Freitag 240
Samstag 285
Sonntag 340

Heute, also am 19. Dezember, wären wir bei 1142 Neuinfektionen. Die Marke von 60000 Neuinfektionen pro Tag hätten wir in den ersten Tagen der 2. Januarwoche geknackt.

Einige Wochen später würde das exponentielle Wachstum von alleine erst gerade so merklich, dann immer mehr nachlassen. Dann stieße das exponentielle Wachstum an seine Grenzen, denn es wären gar nicht mehr genügend Nichtinfizierte da, die sich noch neu anstecken könnten um das exponentielle Wachstum aufrecht zu erhalten.

All das setzt natürlich voraus, dass wir keine wirksamen Maßnahmen treffen, um das exponentielle Wachstum zu unterbrechen. Auch dabei ist das Problem wieder die Kürze der Zeitskalen. Eine Woche ist bei einer Verdopplungszeit von 2 Tagen ein Faktor 11, also ungefähr eine Größenordnung, bei einer Verdopplungszeit von 4 Tagen immerhin ein Faktor 3,4. Wer nicht vorausschauend abschätzt, sondern nur nach den jeweils aktuellen Werten geht und dann auf Zeitskalen von mehreren Wochen handelt, hinkt der Entwicklung gewaltig hinterher.

Omicron und Intensivbettenzahlen

In Bezug auf die Intensivbettenbelegung ist die kurze Zeitskala deswegen so besorgniserregend, weil die charakteristische Zeitskala für die Belegung von Intensivbetten soviel länger ist. Covid-Patient*innen liegen im Schnitt mehr als zwei Wochen auf der Intensivstation. Bei denjenigen, die überleben, sind es im Schnitt sogar rund 3 Wochen.

Derzeit (Zahl vom 17. Dezember) haben wir laut DIVI-Intensivregister pro Tag 182 Neuaufnahmen von Covid-Patient*innen auf den Intensivstationen pro Tag. Angenommen, wir hätten eine Verdopplungszeit wie in Dänemark, das entspricht einer Zunahme von Wurzel 2, also ungefähr um den Faktor 1,414 pro Tag. Wir nehmen außerdem an, dass die Zahl der Neuaufnahmen auf Intensivstationen proportional ist zur Zahl der eine Weile vorher neu Infizierten, insbesondere also mit demselben Faktor pro Zeiteinheit wächst.

Wenn wir an einem gegebenen Tag für Omicron dieselbe Anzahl von Neuaufnahmen hätten wie jetzt für Delta, hätten wir also:

Am ersten Tag 182 Neuaufnahmen,
Am zweiten Tag 182 mal 1,414 = 257
Am dritten Tag 182 mal 2 = 364
Am vierten Tag 182 mal 2 mal 1,414 = 515
Am fünften Tag 182 mal 4 = 728
Am sechsten Tag 182 mal 4 mal 1,414 = 1029
Am siebten Tag 182 mal 8 = 1456
Am achten Tag 182 mal 8 mal 1,414 = 2059
Am neunten Tag 182 mal 16 = 2912
Am zehnten Tag 182 mal 16 mal 1,414 = 4118
Am elften Tag 182 mal 32 = 5824
Am zwölften Tag 182 mal 32 mal 1,414 = 8235
Am dreizehnten Tag 182 mal 64 = 11684
Am vierzehnten Tag 182 mal 64 mal 1,414 = 16470.

Wir haben also insgesamt

182+257+364+515+728+1029+1456+2059+2912+4118+5824+8235+11684+16470= 55833

neue Patient*innen aufgenommen bevor der erste Patient oder die erste Patientin nach 14 Tagen (Mittelwert) das erste Intensivbett wieder freigibt. 

Haha, war natürlich nur ein Witz. So viele Patient*innen hätten wir nicht aufgenommen.

Es gibt in Deutschland ja insgesamt nur 21700 Intensivbetten (Stand 19.12.2021). Den Wert hätten wir am 12. Tag erreicht.

Na gut, wenn man in Kauf nehmen will, dass die Notfallreserve in Betrieb genommen wird, ohne dass dafür in genügender Zahl erfahrene Pflegekräfte zur Verfügung stehen, kann man das machen. Ist ja auch sicher besser als nichts. Dann wären wir bei ganzen 30125 Intensivbetten. Den Wert hätten wir dann im Laufe des 13. Tages erreicht.

Und auch das geht natürlich von zweierlei unrealistischen Annahmen aus: Erstens, dass niemand außer Covid-Patient*innen überhaupt Intensivbetten benötigt. Da würden die rund 14500 Nicht-Covid-Patient*innen, die derzeit auf einer Intensivstation liegen, vermutlich vehement widersprechen. Wenn sie denn in einer Verfassung wären, in der sie überhaupt irgendetwas mit Vehemenz tun könnten. Effektiv wären es also selbst mit Notreserve nur rund 16000 Intensivbetten. Den Wert erreichen wir in unserer Modellrechnung im Laufe des 11. Tages.

Und die Annahme, dass vorher keinerlei Covid-Patient*innen auf den Intensivstationen waren, ist natürlich auch falsch.

Wie man es dreht und wendet: In Bezug auf die Behandlungsmöglichkeiten auf den Intensivstationen ist ein exponentielles Wachstum auf diesen Zeitskalen im Wortsinne katastrophal. Wir haben schlicht die Kapazitäten nicht.

Hinzu kommt, dass wir ja bereits jetzt in einer Situation sind, in der das Gesundheitssystem nicht mehr so funktioniert, wie es soll. Eigentlich nötige Operationen werden auf unbestimmte Zeit verschoben, weil für die betreffenden Patient*innen kein Intensivbett nach der Operation zur Verfügung stünde. Wer einen schweren Unfall hatte, wird nicht mehr so gut versorgt, wie es in unserem Gesundheitssystem eigentlich Standard ist, sondern muss eventuell in Kauf nehmen, länger durch die Lande gekarrt zu werden, bis ein Intensivplatz gefunden werden konnte. Und auch Triage findet längst statt, insbesondere in derjenigen Variante, in der Menschen, die eigentlich auf die Intensivstation gehörten, in ein normales Krankenhausbett verlegt werden – insbesondere weil gerade jemand in noch deutlich schlechterem Zustand eingeliefert wurde, der oder die das Intensivbett noch dringender braucht. Das ist eine bislang noch eher unauffällige Art und Weise, wie Menschen durch die derzeitige Situation geschädigt werden. Sie ist soweit ich sehen kann auch nirgends systematisch dokumentiert. Aber je größer die Überlastung ist, desto größer wird die Zahl derjenigen sein, bei denen der Zusammenhang “kein Intensivbett” und “leider gestorben” unmittelbarer und deutlicher ist.

Ebenfalls nicht eingerechnet: Wenn Omikron sehr ansteckend sind, werden mit der Zeit natürlich auch einige von denjenigen krank, die eigentlich die Intensivstationen am Laufen halten sollten. Dann wird die Kapazität noch weiter gedrückt. Analog kann es ab einem gewissen Krankenstand natürlich auch Probleme mit der allgemeinen Aufrechterhaltung der Infrastruktur geben. Aber soweit müssen wir mit unseren einfachen Rechnungen gar nicht gehen.

Konsequenzen

Wenn eine exponentielle Entwicklung gegen eine feste Grenze anläuft, gewinnt immer die exponentielle Entwicklung. Würden wir es wie durch ein Wunder schaffen, die Intensivbettenanzahl binnen Wochen (!) zu verdoppeln (!) hätten wir das Überlastungsproblem dadurch bei anhaltend exponentieller Entwicklung nur um eine Verdopplungszeit, also um 2 bis 3 Tage nach hinten geschoben.

Ähnliches gilt auch für die Frage, ob Omikron eventuell einfach mildere Verläufe erzeugt als beispielsweise Delta. Dazu gibt es noch keine soliden Daten. Aber selbst wenn Omikron nur halb so viele Menschen auf die Intensivstation schicken würde wie Delta: Bei exponentiellem Wachstum wäre der Vorteil nach einer Verdopplungszeit, also nach 2 bis 3 Tagen ausgeglichen. Nur ein Zehntel soviele Menschen? Damit wäre das Problem nur um rund eine Woche bis 10 Tage nach hinten geschoben.

Es gibt also nur eine Möglichkeit, die Situation unter Kontrolle zu bringen, nämlich das exponentielle Wachstum zu unterbrechen. Impfen und Boostern ist dabei wichtig, aber ich sehe ehrlich gesagt nicht, wie das bei Omikron den entscheidenden Unterschied machen kann. Wie gesagt: Dänemark ist uns bei der Impfquote deutlich voraus. Mit Großbritannien liegen wir in etwa gleichauf.

Mit dem Blick nach Dänemark ist die Gefahr einer sehr kurzen Zeitskala für die exponentielle Entwicklung durchaus real. Vernünftiger Umgang mit Unsicherheit heißt auch: Seine eigenen Fähigkeiten und Handlungsoptionen nicht zu überschätzen. Gerade dass wir derzeit nicht wissen, wie es mit der individuellen Gefährlichkeit von Omikron, mit der Verdopplungszeit unter deutschen Verhältnissen, mit der Wirksamkeit unserer laufenden Impfkampagnen steht, heißt doch, dass wir ein großes Risiko eingehen, wenn wir abwarten. Denn damit verlassen wir uns ja implizit darauf: Wie auch immer es weitergeht, wir bekommen das mit dem, was wir als Staat und als Gesellschaft tun können, irgendwie rechtzeitig in den Griff, und bekämen es auch dann in den Griff, wenn sich eine katastrophale Lage abzeichnen würde. Und wir verlassen uns darauf, dass wir einigermaßen genau wissen, was “rechtzeitig” ist – obwohl “rechtzeitig” ja direkt von der Verdopplungszeit abhängt.

(Zwischenbemerkung: Ich hätte ja vor diesem Herbst gedacht, was derzeit in den Krankenhäusern passiert, würde schon als katastrophal genug zählen, um unbedingt vermieden zu werden. Aber ja offenbar nicht.)

Einigermaßen sicher sagen zu können, dass wir die Lage in den Griff bekommen, egal in welchem Bereich des aufgrund der vorhandenen Daten Möglichen sich die Gefährlichkeit und die Verdopplungszeit bewegen, ist eine einigermaßen starke Aussage. Mindestens hoffe ich, dass Bundesregierung und Landesregierungen derzeit knallhart durchrechnen, was sich in den ungünstigeren Fällen doch noch machen ließe – von Aktivierung des Katastrophenschutzes bis zu Infrastruktur-Sicherungsmaßnahmen, Einsatz des Sanitätsdienstes der Bundeswehr und derlei Maßnahmen mehr, für die es Pläne gibt, weil ein vorausschauend handelndes Staatswesen eben auch für Katastrophen geeignete Pläne erstellt.

Wir werden sehen, wie es weitergeht. Dass die bisherigen “Lockdowns” (einen richtigen Lockdown wie in anderen Ländern hatten wir ja in Deutschland noch gar nicht) auf so große Empörung insbesondere in den Medien, von Seiten von Wirtschafts-Lobbygruppen und von politischer Seite gestoßen sind, besorgt mich etwas. Das dürfte ein sowieso schon vorhandenes politisches Zögern, weitreichende Kontaktbeschränkungen durchzusetzen (die ja in der Tat einen tiefen Eingriff in das Alltagsleben darstellen!), noch verstärken. Und welche Konsequenzen es hätte, wenn sich ein hypothetischer nötiger Lockdown auf diese Weise zwei oder drei Tage hinauszögern würde, haben wir ja an den einfachen exponentiellen Beispielrechnungen gesehen. Exponentielle Entwicklungen muss man als solche berücksichtigen. Sonst bekommt man exponentiell wachsende Probleme.

 

Anmerkung zu Kommentaren
Nach den bisherigen Erfahrungen mit Pandemie-Themen, und angesichts des Umstandes dass ich in den nächsten Wochen sowieso schon eher weniger Zeit habe als sonst, werde ich die Kommentare zu diesem Blogbeitrag entsprechend moderieren. Bitte fassen Sie sich einigermaßen kurz (weniger als 2000 Zeichen als Richtschnur); bitte beziehen Sie sich mit Ihren Kommentaren direkt auf die Aussagen des Blogbeitrags-Textes – ich betreibe hier kein allgemeines Pandemie-Diskussionsforum.

 

Markus Pössel hatte bereits während des Physikstudiums an der Universität Hamburg gemerkt: Die Herausforderung, physikalische Themen so aufzuarbeiten und darzustellen, dass sie auch für Nichtphysiker verständlich werden, war für ihn mindestens ebenso interessant wie die eigentliche Forschungsarbeit. Nach seiner Promotion am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut) in Potsdam blieb er dem Institut als "Outreach scientist" erhalten, war während des Einsteinjahres 2005 an verschiedenen Ausstellungsprojekten beteiligt und schuf das Webportal Einstein Online. Ende 2007 wechselte er für ein Jahr zum World Science Festival in New York. Seit Anfang 2009 ist er wissenschaftlicher Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Astronomie in Heidelberg, wo er das Haus der Astronomie leitet, ein Zentrum für astronomische Öffentlichkeits- und Bildungsarbeit. Pössel bloggt, ist Autor/Koautor mehrerer Bücher, und schreibt regelmäßig für die Zeitschrift Sterne und Weltraum.

24 Kommentare

  1. Der Corona-Expertenrat der Bundesregierung scheint ebenfalls eine exponentielle Zunahme von Corona-Krankheitsfällen vorauszusehen (Verdoppelungszeit von 2 bis 4 Tagen) und er empfiehlt dementsprechend Kontaktbeschränkungen schon in den nächsten Tagen. Der neue Gesundheitsminister Karl Lauterbach liess aber schon einmal verlauten: »Einen Lockdown wie in den Niederlanden vor Weihnachten, den werden wir hier nicht haben«.

    Karl Lauterbach will ja die Booster-Impfungen deutlich beschleunigen. Bei einer Verdoppelungszeit von 2 bis 4 Tagen würden die aber immer noch zu spät kommen.

    Ich denke, in den nächsten Tagen kann politisch noch vieles neu aufgegleist/entschieden werden je nachdem wie sich die Fallzahlen entwickeln.

  2. Ein Lesetip von Gerd Antes (siehe dazudessen Twitteraccount)
    von Bernhard Müller in Ihre Recherchen zum Thema einbezogen? Eventuell erweitert er noch Ihren verständlichen Text.

    “3.1 Exponentielles Wachstum – Fakt oder Fiktion?

    Wer Anfang 2020 erstmals mit der Idee des exponentiellen Wachstums von Epidemien in Beruhrung kam, dem mochte dieses Konzept einleuchtend erscheinen.”
    “Mit einfachen Gleichungen auf dem Niveau der Mittelstufenmathematik kann man diese Herdenimmunitätsschwelle aus der Reproduktionszahl ausrechnen. Jedem mathematisch Vorgebildeten musste damals freilich klar sein, dass er mit wesentlich komplexerem Verhalten realer Epidemien rechnen musste, denn andernfalls hatte man das Gebiet der mathematischen Epidemiologie langst wegen vollstandiger Losung des Problems einstampfen konnen.”
    “Wer ein klein wenig tiefer einstieg, fand sogenannteSIR-Modelle, in denen die Bevolkerung in Suszeptible, Infizierte und Genesene eingeteilt werden, fur deren Anteile man dann Differentialgleichungen aufstellt, wobei einige Ausschmuckungen dieses Ansatzes moglich sind. Vieles was publikumswirksam auf denMarkt geworfen wurde, beschr̈ankte sich auf diesen Typ von Modellen, so beispielsweisedie Studie von Dehning et al., welche die entscheidende Wirkung des Lockdowns im Fruhjahr 2020 zu bestatigen suchte. Dieser Ansatz, der an dem naiven Bild vom exponentiellen Wachstum nicht viel ruttelt, ist freilich schon fast hundert Jahre alt. Ich erinnere mich aus Oberstufenzeiten gut an eine erste Begegnung in einem Lehrbuchin Schreibmaschinenschrift ̈uber Differentialgleichungen. Dass man so billig realistische Epidemiemodelle bauen konnte, erschien von Anfang an suspekt, aber angesichts der Informationslage gew ̈ahrte man der These vom drohenden exponentiellen Wachstum gerneinen Vertrauensvorschuss.”

    • Aus meiner Sicht keine Erweiterung, sondern eher wieder eine Nebelkerze. Die Grenzen des einfachen exponenziellen Modells spreche ich im Text direkt an. Die Phasen exponentiellen Wachstums (und exponentiellen Abfalls) sind in den Daten (siehe eben das Diagramm von Sibylle Anderl) klar sichtbar. Kann man ignorieren, wird dann aber der Sache nicht gerecht :-/

  3. Vielen Dank für ihren Beitrag, der ganz klar die Problematik einer exponentiellen Entwicklung der Infektionen zeigt. Ein Aspekt ist aber noch zu berücksichtigen: wenn Omikron so viele Impfdurchbrüche erzeugt wie erwartet, dann werden sehr viele der Menschen, die in systemrelevanten Berufen arbeiten, im Januar erkranken und damit für eine bestimmte Zeit ausfallen. Dann haben wird überlaufende Intensivstationen und zusätzlich Probleme, das Land überhaupt am laufen zu halten. Es gab schon mal vor Weihnachten bessere Perspektiven für das nächste Jahr als diesmal.

    • @Physiker (Zitat sinngemäss): Impfdurchbrüche, die Menschen in systemrelevanten Berufen betreffen machen es schwierig das Land am Laufen zu halten
      Wie von Markus Pössel oben erwähnt wird der Betrieb der Krankenhäuser/Intensivstationen durch Corona-Erkrankungen beim Gesundheitspersonal wohl erschwert werden. Andererseits ist gemäss Statistiken nur bei 0.1 Promille (jedem 10‘000.ten) der Corona-Infizierten unter 40 mit einem so schweren Verlauf zu rechnen, dass die betroffene Person ins Spital eingewiesen werden muss. Das heisst: Corona ist vor allem für ältere Menschen eine Katastrophe und kann auch sehr viele jüngere für ein bis zwei Wochen arbeitsunfähig machen, aber die meisten Jüngeren erkranken nur kurz und selten schwer. Der Weltuntergang kann also noch auf uns warten.

      • Mal die Weltuntergang-Polemik beiseitegelassen: Wenn die ältere Hälfte der Belegschaft z.B. bei denjenigen, die auf einer Intensivstation arbeiten, für zwei Wochen ausfällt, dasnn *ist* das eine einschneidende Beeinträchtigung der Infrastruktur.

        • Trotzdem müssen sich aber alle Infizierten in Quarantäne begeben, unabhängig von der Schwere des Krankheitsverlaufs.

      • @Martin Holzherr

        Andererseits ist gemäss Statistiken nur bei 0.1 Promille (jedem 10‘000.ten) der Corona-Infizierten unter 40 mit einem so schweren Verlauf zu rechnen, dass die betroffene Person ins Spital eingewiesen werden muss.

        Haben Sie dafür eine Quelle, wäre für mich hilfreich? Danke im voraus.

        • @Joker. Von der Quelle (Wie gefährlich ist das Coronavirus? habe ich folgenden Satz herangenommen: Müssen Infizierte nicht ins Krankenhaus, liegt die Rate laut einer US-Studie bei 0,26 über alle Altersstufen hinweg, bei Menschen unter 40 Jahren jedoch bei nur 0,01 Prozent, bei Menschen Älter 60 bereits bei 1,71 Prozent.
          Doch beim nochmaligen Lesen komme ich zum Schluss, dass ich das falsch interpretiert habe und mit einer Rate von 0,01% für Menschen unter 40 die Infektionssterblichkeit gemeint ist.
          Hier hilft wohl folgende Statistik weiter: Corona-Fälle in der Schweiz nach Alter und zwar die Tabelle Hospitalisierte Fälle bis zum 21.12.2021 wo man folgendes findet: von 39081 Hospitalisierten total sind 3203 unter 40 Jahre alt. Das heisst 8.2% der wegen Covid Hospitalisierten sind unter 40 Jahre alt. Das bedeutet wohl, dass das Risiko für einen unter 40 jährigen wegen Covid hospitalisiert zu werden doch wesentlich grösser ist als von mir zuerst angegeben.

          • Danke. Der Link zur Schweiz war hilfreich, da gibt es ja direkt die Angaben der Hospitalisationsrate nach Alter getrennt. Das war das, was ich gesucht hatte.

  4. Vielen Dank für die überdeutliche(!) Darstellung.
    Ich befürchte aber, dass der Anfang unsere mathematisch eher uninteressierten Mitbürger davon abschreckt, diese gut begründeten Schlussfolgerungen bis zum Ende zu lesen. Obwohl das nicht nur für Impfgegner absolut empfehlenswert ist.
    Vielleicht wäre es besser, mit dem erschreckenden Fazit beginnen und darauf hinweisen, dass die mathematischen Begründungen folgen?

  5. Markus Pössel schrieb (19. Dez 2021):
    > […] die einfache Exponentialfunktion […] (mathematisch-fachbegrifflich: [deren] Änderungsrate […] proportional zum Funktionswert ist).

    Diese Änderungsrate (d/dt[ N ]_{t = tX} := λ N[ tX ] ) der Exponentialfunktion (N[ t ] := N_0 Exp[ λ (t - t_0) ]), die proportional zum (momentanen) Funktionswert (N[ tX ]) ist, versteht sich dabei als ein Momentanwert bzgl. eines bestimmten Zeitpunktes (tX); d.h. (mathematisch-fachbegrifflich) als Grenzwert einer (geeigneten) Folge von durchschnittlichen Änderungsraten ΔN / Δt, ermittelt über Zeitabschnitte, die jedenfalls den Zeitpunkt tX enthalten, aber deren jeweilige Dauer Δt in der Folge gegen Null strebt.

    Dabei bezeichnet λ eine Konstante (d.h. mit dem gleichen Wert für alle relevanten Zeitpunkte); und zwar eine konstante Rate, die entsprechend auch “spezifische Wachstumsrate” oder “charakteristische Zerfallsrate” genannt wird, je nachdem, ob sie positiv oder negativ ist.

    > […] Charakteristisch für exponentielles Wachstum oder exponentielle Schrumpfung ist, dass die Veränderung durch einen Faktor pro Zeiteinheit beschrieben wird.

    Grundsätzlich ist es egal, in welcher Einheit der Wert einer Größe (z.B. der Änderungsrate bestimmter Anzahlen) angegeben wird (die betreffende SI-Basiseinheit wäre offenbar “Hertz”); und zwei (von Null verschiedene) Werte einer bestimmten Größe haben ein bestimmtes reell-wertiges Verhältnis zueinander auch ohne Angabe irgendwelcher Einheiten.

    Zur konketen Angabe bestimmter Werte lassen sich deren Einheiten “natürlich geeignet wählen”, sodass wahlweise auch die jeweilige Maßzahl “anschaulich” wäre. Das beeinflusst aber selbstverständlich nicht den jeweiligen Wert, noch die Definition der betreffenden Größe überhaupt.

    > Der lilafarbene Fit in dem Diagramm von Frau Anderl ab 7. Juli beispielsweise entspricht einem Wachstum von 38% pro Woche.

    Dieser Wert ist offenbar zum »Exponentiellen Fit ab 7.7.« im Diagramm von Frau Anderl angegeben.
    Gemeint ist somit offenbar ein Fit mit der einfachen Exponentialfunktion N[ t ] := N_0 Exp[ 0,38 * (t - t_0) / (1 Woche) ]

    > Wartet man eine Woche, dann verändert sich die Zahl der Neuinfizierten also um den Faktor 1,38.

    Das wäre jedenfalls eine Angabe eines bestimmten Anstiegs hinsichtlich eines Zeitabschnitts von bestimmter endlicher Dauer.
    Aus der von Frau Anderl nahegelegten einfachen Exponentialfunktion, mit dem Wert von 38 % pro Woche als Wert der charakteristischen Wachstumsrate λ (der als Konstante im Zusammenhang mit momentanen, oder realistischer Weise zumindest täglichen, Änderungsraten gefittet wurde) ergibt sich jedoch:

    N[ nach_einer_Woche ] / N_0 =
    Exp[ 0,38 * (1 Woche) / (1 Woche) =
    Exp[ 0,38 ] =
    1,46...

    In Worten also: Wartet man eine Woche, dann verändert (erhöht) sich die Zahl der Neuinfizierten (ca.) um den Faktor 1,46 (d.h. ca. auf das 1,46-fache).

    > Nach einer weiteren Woche verändert sie sich, vorausgesetzt das exponentielle Wachstum hält an, noch einmal um den Faktor […]

    (1,46)^2 > 2.13 usw.

    • Habe gerade eine Antwort von Sibylle Anderl bekommen: Die Zahlenangabe war genau so gemeint, wie ich sie gelesen hatte. (Eine Zahlenangabe, die man erst in eine Exponentialfunktion einsetzen muss um einen anschaulichen Wert zu erhalten, ginge ja in einem an die allgemeine Öffentlichkeit gerichteten Tweet auch am Großteil der Zielgruppe vorbei.)

      • Markus Pössel schrieb (23.12.2021, 13:01 Uhr):
        > [ … Die Auffassung des angegebenen Wertes »+38 % p. W. nicht als der einer Momentanrate, sondern als durchschnittlicher relativer Zuwachs während einer Woche … ] war genau so gemeint, wie ich sie gelesen hatte. […]

        Um so interessanter wäre eine einvernehmliche Antwort auf die Frage:

        Welche Formel beschreibt das violett-gepunktete Geradenstück, dass im o.g. Diagramm als »Exponentieller Fit ab 7.7.« bezeichnet wurde ?

        (Hinweis:
        (Log[ 2000 ] - Log[ 500 ]) * Ln[ 10 ] * (28,5 / 60,6) =
        0.38 * 1,71...
        .)

          • Markus Pössel schrieb (25.12.2021, 16:06 Uhr):
            > Guter Punkt, den Einwand kann ich anhand des Diagramms nachvollziehen.

            Danke.
            Im Gegenzug möchte ich darauf hinweisen, dass für die hellblau-gestrichelte Gerade ganz links, »Exponentieller Fit Oktober« beschriftet mit »+64 % p. W.« die entsprechende abgeschätzte Geradengleichung sehr gut zur Beschriftung zu passen scheint. (Was ich mir allerdings erst heute genauer angeschaut habe.)

  6. Kommentieren kurz und zu Artikelaussagen:

    Ergo, warum haben wir in Schweden kein exp. Wachstum der Intensivbettenbelegung (siehe ourworldindata) trotz neuer Mutation die hier ja die einzige Erklärung sein kann bei über 70% Impfquote im Vergleich zu 2020.

    Tipp: Ist nicht die Impfquote (da unwesentlich höher) und die math. Gesetze gelten dort auch.

    Folgefrage: Was bedeutet das hinsichtlich einer natürlichen Immunisierung vs. 3monatigem Boostern und mittlerweile offensichtlichen fehltrainieren der Grundimmunität gegen Coronaviren ohne absehbares Ende?

    Rhetorische Frage: Was bringt eine Impfung die Wochen später frühestens wirkt und die Menschen in Schlangen oder Impfzentrum dicht gedrängt stundenlang stehen, wenn nach ihrer Rechung das binnen weniger Tage explodiert? Hätten sie dann nicht vielleicht diesen Artikel im Sommer schreiben sollen als Zeit und Zweck war die Risikogruppen rechtzeitig zu impfen?

    Bonusfrage: Haben wir bei starken Influenzawellen eigentlich kein exp. Wachstum wenn zu den Monaten Dez-März die Totenzahlen und Intensivbettenauslegung von durchschnittlich 60k auf bis zu 100k über die Intensivbettenmaximalzahl ankletterten? Wieso ist das medial nie aufgefallen? (Ist es ja wenn man mal ÖRR Sendungen per youtube durchsucht). Kann das an der Ungenauigkeit bzw. Missbrauch des PCR-Tests liegen? Warum funktioniert der in Schweden so schlecht?

    Mit Plausibilität fängt leider alles an und hört auf in der Wissenschaft, ich weiss, das nervt, mich am meisten…

    • Klingt in meinen Ohren eigentlich alles wie rhetorische Fragen, die ein dumpfes Grundgefühl von Unsicherheit erzeugen sollen, ohne wirklich am Finden von Antworten interessiert zu sein. :-/

      Aber bitte: Dass die Intensivbettenbelegung hinter den Infektionszahlen hinterherhinkt ist ja nun Grundwissen über den Verlauf von Covid. Insofern: Solange bei den Omicron-Fällen nicht einige Woche deutliches exponentielles Wachstum sichtbar war, erwartet man das auch nicht bei der Intensivbettenbelegung, oder?

      “fehltrainieren der Grundimmunität” klingt sehr fragwürdig – warum sollte das der Fall sein, schon gar “offensichtlich”? Für so etwas bitte seriöse Belege mitliefern. Sonst liest es sich für mich nur wie das übliche nicht substantiierte Querdenker-Geschwurbel. Saisonale Booster haben wir ja auch bei der Grippeimpfung. Wie sich das bei SARS-CoV2 einpendelt müssen wir dann halt sehen. Impfungen für den Rest der Welt wären auf alle Fälle schonmal ein wichtiger Schritt, es neuen Varianten mit dem Aufkommen nicht zu einfach zu machen.

      Die Impfung bringt mittel- bis langfristig etwas (hat ja in der andauernden Welle die Sterbezahlen beachtlich reduzieren können), und wenn Sie die Zeitangaben im Haupttext nochmal nachlesen: das sind insgesamt ggf. schon Wochen, um die es geht. Davon abgesehen sehe ich es aber auch so: Impfen alleine reicht für die kurzfristigen möglichen Omikron-Probleme nicht, sondern angesichts der Dynamik wären weitere Kontaktbeschränkungen nötig. Und im Sommer kannte noch keiner Omikron, auch ich nicht – eine sehr realitätsferne rhetorische Frage, oder?

      Starke Influenzawellen: Da habe ich bislang gar keine höher aufgelösten Zeitreihen gesehen. Haben Sie welche? Ohne solche Daten kann man sich ja schlecht darüber unterhalten. Wichtiger Unterschied zwischen Influenza und SARS-CoV2 war und ist allerdings die Sache mit der immunologischen Naivität. Wie Sie von Influenza zum PCR-Test-Bashing (und auch das ja als reine Behauptung, ohne Belege) springen kann ich nicht nachvollziehen.

      Insgesamt klingt mir das alles eher wie Geraune, das mit meinem Haupttext jetzt nicht wirklich viel zu tun hat.

  7. Gute Nachricht zwischendurch. ARD-Text (Tafel 575). Der R-Wert liegt derzeit unter 0,9. Das heißt man kann die Neuinfektionen alle 4 Tage mit 0.9 multiplizieren. Die 4 also am g-Schieber so lassen und r auf 0.9 verstellen. Dann t (wie tage) auf 27 stellen und man sieht, die Zahlen haben sich halbiert.
    https://www.geogebra.org/m/refd3mt7
    Genauer wäre natürlich 4*log(0,5)/log(0,9)~26,3 Tage

    Ich befürchte aber, dass der Anfang unsere mathematisch eher uninteressierten Mitbürger davon abschreckt, diese gut begründeten Schlussfolgerungen bis zum Ende zu lesen.

    Richtig und genau deswegen mach ich sowas.

  8. @Markus Pössel “Nachtrag Südafrika”

    In Australien sieht es leider trotz aller Maßnahmen nicht so gut aus, ist das schon exponentiell?

    “henning rosenbusch@rosenbusch_
    ·
    46 Min.
    Die Fälle in Australien explodieren – mit 91 Prozent vollständig Geimpften über 16, mit Maskenpflicht, Quarantänelagern, mit den längsten Lockdowns und mit #greenpass.

    The Science™ ist ratlos.”

    https://twitter.com/rosenbusch_/status/1474647424044044288/photo/1

    • Oh, cool, schon wieder so ein Propagandatweet. Was dabei zum Beispiel verschwiegen wird: Australien war schon seit einer ganzen Weile nicht mehr in einem Lockdown. (Soweit ich sehen kann war Mitte Oktober 2021 der letzte regionale Lockdown.)

      Insofern: Schämen Sie sich eigentlich gar nicht, die Leser*innen hier für so dumm verkaufen zu wollen? Sie glauben ja vermutlich selbst nicht, dass ein Lockdown im Oktober gegen Omicron-Ansteckungen im Dezember helfen kann. Trotzdem posten Sie hier so etwas. Warum?

      Was man jetzt sieht, ist wenn, dann die Konsequenz der neuen Haltung der australischen Regierung, die jetzt nämlich sagt: Wir machen keine Lockdowns mehr. Das ist jetzt eine Frage der Eigenverantwortung. Insofern: Die jetzige Entwicklung ist nicht trotz Lockdowns, sondern eben gerade nach Abkehr von Lockdowns.

      Was die Impfzahlen angeht: Das ist ja das (seit der ersten Omikron-Detektion) diskutierte Problem, dass die Impfungen schlechter gegen Omikron-Ansteckung schützen als gegen die vorigen Varianten. Daher ja die großen Anstrengungen (auch in Deutschland), möglichst viele Booster-Impfungen hinzubekommen. Bislang (Stand 23. Dezember) aber nur weniger als 10% geboosterte Australier*innen.

      Insofern: Schon wieder Fehlinformationen und verzerrte Darstellungen von Ihnen. Da das jetzt schon öfter vorgekommen ist, werde ich Ihre entsprechenden Kommentare hier in Zukunft nicht mehr freischalten. Hin und wieder mal (wie diesmal) zu zerlegen, wie bei Tweets wie dem von Ihnen verlinkten gemauschelt wurde, um die gewünschte Botschaft hinzubekommen, mag ja ganz instruktiv sein. Aber letztlich verschafft es den Fehlinformationen halt auch Sichtbarkeit, und so spannend ist die kurze Google-Suche, die nötig ist, um die Anti-Infektionsschutz-Propaganda zu entlarven, dann doch nicht. Insofern: …und Tschüss!

  9. … sich auf die einfachen Dinge besinnen …

    Moin Herr Pössel, vielen Dank für diesen Beitrag.

    Es ist nicht leicht, exponentielle Entwicklungen einzuschätzen, wenn man nicht spontan nachrechnen kann oder nicht vertraut ist mit nicht-linearen Entwicklungen oder wenn es keinen Hinweis gibt der Art „nicht nur die Alt-Infizierten, auch die Neu-Infizierten können anstecken“.

    Wenn eine zeitliche Entwicklung von Interesse ist und zu beobachten ist, fällt es sehr leicht, den zuletzt beobachteten Trend linear fortzusetzen. Nicht passend, wenn ein regelmäßiger Wachstums-Faktor „am Werk ist“.

    Bei einer Beispielrechnung mit 1.000 als Anfangswert und „moderaten“ 5% Zuwachs bzw. Änderung pro Zeiteinheit sieht man leicht, dass der Verlauf mit linearem Wachstum (Zuwachs immer bezogen auf den Anfangswert) zunächst kaum zu unterscheiden ist vom Verlauf mit exponentiellem Wachstum (Zuwachs immer bezogen auf den aktuellen Wert). Mit zunehmender Zeit werden die Unterschiede deutlicher und bald auch dramatisch.

    Zeit Linear Exponentiell Exp/Lin in %
    0 1.000,00 1.000,00 100,00%
    1 1.050,00 1.050,00 100,00%
    2 1.100,00 1.102,50 100,23%
    3 1.150,00 1.157,63 100,66%
    4 1.200,00 1.215,51 101,29%
    5 1.250,00 1.276,28 102,10%
    6 1.300,00 1.340,10 103,08%
    7 1.350,00 1.407,10 104,23%
    8 1.400,00 1.477,46 105,53%
    9 1.450,00 1.551,33 106,99%
    10 1.500,00 1.628,89 108,59%
    11 1.550,00 1.710,34 110,34%
    12 1.600,00 1.795,86 112,24%
    13 1.650,00 1.885,65 114,28%
    14 1.700,00 1.979,93 116,47%
    15 1.750,00 2.078,93 118,80%
    16 1.800,00 2.182,87 121,27%
    17 1.850,00 2.292,02 123,89%
    18 1.900,00 2.406,62 126,66%
    19 1.950,00 2.526,95 129,59%
    20 2.000,00 2.653,30 132,66%

    Ich bitte um Nachsicht für die lange Liste mit Zahlen.

    Man muss nicht Mathematiker sein oder eine Neigung zur Mathematik haben, um das zu verstehen. Ich nehme an, dass z.B. Leute im Bankwesen diese Zusammenhänge sehr gut kennen. Als es noch Sparverträge mit „Zinseszins“ und mit Zinssätzen von deutlich mehr als 0% pro Jahr gab, haben sie nämlich darauf geachtet, dass die Laufzeit so eines Vertrages nicht zu lang wurde.

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