Wie schnell wir durch die Zeit reisen

“Eins zwei drei, im Sauseschritt / Läuft die Zeit; wir laufen mit.” mit diesem Zitat von Wilhelm Busch bin ich aufgewachsen. Aber laufen wir wirklich durch die Zeit? Eine geläufige populäre Erklärung der Zeitdilatation lautet: Wir alle bewegen uns grundsätzlich mit Lichtgeschwindigkeit durch die Zeit. Wenn wir uns aber im Raum bewegen, geht diese Bewegung zulasten der Zeitbewegung. Die Gesamtgeschwindigkeit bleibt gleich, so dass sich die Bewegung durch die Zeit verlangsamt. 

Diese Auffassung von Zeit als etwas durch das wir mit einer Geschwindigkeit hindurchgehen, bezieht sich auf die Zeit als vierte Dimension. Dass sich Zeit auch als Parameter auffassen lässt, habe ich in einem anderen Beitrag bereits geschrieben. In dieser Interpretation ist es kaum sinnvoll, der Zeit eine Geschwindigkeit zuzugestehen. Alltags-Sprachlich vergeht Zeit schnell, wenn sie mit Aktivitäten ausgefüllt ist, und langsam, wenn sie von Warten dominiert ist.

Geschwindigkeit

Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit, die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich, indem eine zurückgelegte Strecke durch die vergangene Zeit geteilt wird. Die Maßeinheit für Geschwindigkeit ist daher eine Längeneinheit geteilt durch eine Zeiteinheit. Also etwa Kilometer pro Stunde oder Meter pro Sekunde oder auch Zoll pro Herzschlag. Schon aus dieser Definition heraus ist es kaum nachvollziehbar, wie Zeit eine Geschwindigkeit haben soll, man müsste Zeit durch Zeit definieren. Braucht also schon einmal zwei unterschiedliche Definitionen von Zeit.

Die Momentan-Geschwindigkeit ist keine Division mehr, sondern eine Ableitung. Die Ableitung des Ortes von der Zeit, also die momentane Ortsänderung. Der Ort eines Objektes kann im dreidimensionalen Raum durch drei Komponenten, drei Ortskoordinaten dargestellt werden. Jede dieser Koordinaten kann sich natürlich ändern und ist daher Zeitabhängig. Die komponentenweise Ableitung des Ortsvektors eines Objektes nach der Zeit ergibt so drei Geschwindigkeits-Komponenten, die die Änderungen des Ortes mit der Zeit beschreiben. Auch die Geschwindigkeit kann wieder Zeitabhängig sein, ihre Ableitung ergibt die Beschleunigung.

Vierer-Geschwindigkeit

In der speziellen Relativitätstheorie wird vieles Anschaulicher, wenn wir Zeit als vierte Komponente eines vierdimensionalen Raumzeit-Vektors darstellen. Solch ein Raum-Zeit-Vektor ist natürlich auch Zeitabhängig. Hier taucht die Zeit aber zwei Mal auf: Einmal als vierte Koordinate, einmal als Parameter, der die Veränderung der Ortes und der Zeit des Objektes markiert. Es ist üblich, als Parameter die Eigenzeit des Objektes zu nehmen. Man leitet also die vier Raumzeit-Koordinaten des Objektes nach seiner Eigenzeit ab und erhält so eine vierdimensionale Geschwindigkeit, die Vierer-Geschwindigkeit.

Für ein im Koordinatensystem ruhendes Objekt ist die Geschwindigkeit der Raum-Anteile der Vierer-Geschwindigkeit 0. Koordinaten- und Eigenzeit sind für ein ruhendes Objekt gleich, somit ist die Ableitung der Koordinatenzeit nach der Eigenzeit 1. Das Objekt bewegt sich also mit der “Zeitgeschwindigkeit” 1 Sekunde pro Sekunde durch die Koordinatenzeit. Um die Einheiten innerhalb des Vierer-Vektors konsistent zu halten, wird das noch mit der Konstante Lichtgeschwindigkeit multipliziert.

Raum- und Zeitanteil der Vierer-Geschwindigkeit

Ein bewegtes Objekt hat eine “Raumgeschwindigkeit” größer als 0.1 Da die Ableitung nicht nach Koordinatenzeit sondern Eigenzeit erfolgt, ist sie um den relativistischen Faktor Gamma (\(\gamma\)) vergrößert.

Die Eigenzeit ist relativ zur Koordinatenzeit um \(\gamma\) langsamer. Es vergeht also um \(\gamma\) mehr Koordinatenzeit als Eigenzeit für das Objekt. Damit wird die “Zeitgeschwindigkeit” größer als 1, nämlich genau \(\gamma\). Gamma ist immer größer als 1. Für ein bewegtes Objekt nehmen also beide Komponenten der Vierer-Geschwindigkeit zu. Man kann nicht davon sprechen, die Zeitgeschwindigkeit würde zugunsten der Ortsgeschwindigkeit abnehmen.

Länge von Vektoren

Wie kommt man also auf diese Idee? Vierer-Vektoren unterscheiden sich von gewöhnlichen Vektoren dadurch, dass die Zeitkomponente sich zu den Ortskomponenten etwa so verhalten, wie eine imaginäre Zahl zu einer reellen. Die Länge \(l\) eines gewöhnlichen Vektors mit den Komponenten \(x\), \(y\), und \(z\) berechnet sich durch den Satz von Pytagoras nach:

\(l^2=x^2+y^2+z^2\).

Für einen Vierervektor mit der zusätzlichen Zeitkomponente \(t\) ergibt sich dagegen die “Länge” \(s\) zu:

\(s^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2=c^2t^2-l^2\).

Sie sehen, das \(s\) keine richtige Länge ist. \(s^2\) kann negativ werden, wenn die Zeitkomponente kleiner ist als die Raumkomponente. Für Vierer-Geschwindigkeiten ist das allerdings nie der Fall. Die Ortskomponente ist \(\gamma v\). Die Zeitkomponente ist \(\gamma c\). Damit ergibt die “Länge” der Vierer-Geschwindigkeit immer \(c\):

\((\gamma c)^2-(\gamma v)^2=\frac{c^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=c^2\).

Es stimmt also schon, dass die “Länge” des Vierer-Geschwindigkeits-Vektors immer gleich ist. Aber nicht, weil die Geschwindigkeit der Zeitkomponente abnimmt wenn die Ortskomponente zunimmt, sondern weil beide miteinander zunehmen.

Anmerkungen:
1. Genau genommen handelt es sich um den Betrag der Geschwindigkeit.

Veröffentlicht von

www.quantenwelt.de/

Joachim Schulz ist Gruppenleiter für Probenumgebung an der European XFEL GmbH in Schenefeld bei Hamburg. Seine wissenschaftliche Laufbahn begann in der Quantenoptik, in der er die Wechselwirkung einzelner Atome mit Laserfeldern untersucht hat. Sie führte ihn unter anderem zur Atomphysik mit Synchrotronstrahlung und Clusterphysik mit Freie-Elektronen Lasern. Vier Jahre hat er am Centre for Free-Electron Laser Science (CFEL) in Hamburg Experimente zur kohärenten Röntgenbeugung an Biomolekülen geplant, aufgebaut und durchgeführt. In seiner Freizeit schreibt er zum Beispiel hier im Blog oder an seiner Homepage "Joachims Quantenwelt".

37 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Mein erster Eindruck, das versteht keiner von den *neuen Freunden* – verbale Mathematik 🙁
    Nach der Längenformel s² = t² – l² zur Orientierung auch die Geschwindigkeit (s/τ)² = (t/τ)² – (l/τ)²
    hinschreiben, wo dann y=t/τ ist wegen (Koordinate) t=y*τ (Eigenzeit) , erspart Grübeln.
    Schon bei “Es vergeht also um γ mehr Koordinatenzeit als …” Formel t=y*τ einfügen.

  2. @Joachim

    Nur eine kurze Anmerkung: Es wäre womöglich angebracht, bei der Minkowski-Länge hier auch das \(c\) noch explizit mitzunehmen, also
    \[
    s^2 = c^2dt^2 – dx^2 – dy^2 – dz^2 = c^2dt^2 – dl^2.
    \]
    Denn erstens passt es so besser zur nachfolgenden Formel, wo die Lichtgeschw. offenbar nicht normalisiert ist. Und zweitens, wenn man SI-Einheiten mitschleppt, wäre dann die Grösse \(c^2dt^2 = d(ct)^2\) in SI-Metern statt SI-Sekunden zu bemessen. Die `Zeitgeschwindigkeit’, aufgefasst als Betrag der (auf Eigenzeit bezogenen) 4-Geschw. einer Uhr, die das `Verrinnen der Zeit’ messen und anzeigen* soll, wäre damit auch in SI-Einheiten eine `echte’ Geschwindigkeit, eben die Lichtgeschw. \(c\).

    * Anzeigen sollte die Uhr normalerweise eine gemessene Zeitdauer in SI-Sekunden. Die dimensionslose Grösse \(\|\text{4-Geschw.}\|/c\), die angibt, mit welcher Rate sich der Anzeigewert der Uhr zeitabhängig ändert (ihre `Gangrate’), hat in diesem Fall den Wert 1. Soll die Uhr etwas anderes anzeigen — wie e.g. die retardierten GPS-Satellitenuhren — lässt sich dies hier durch einen entsprechenden Faktor kennzeichnen. Eine maipulierte Anzeige ändert natürlich nichts am `Verrinnen der Zeit’ selbst, nur zeigt die manipulierte Uhr dies nicht mehr korrekt in SI-Sekunden an.

  3. @Senf, Chrys,

    Danke für die Anmerkungen. Den Faktor c habe ich gleich eingebaut, aber Senf hat auch recht, ich hätte gleich mit Formeln beginnen sollen.

    Dass die Kritiker das verstehen, erwarte ich nicht, aber ich wollte es mal als Referenz zum verlinken loswerden.

  4. Zu dem Thema würde ich mir doch mal am Anfang eine übergeordnete Definition der Zeit wünschen.
    Und da wieder alles durcheinander gebracht wird, sollte auch eine Sortierung erfolgen nach:
    1. Dem Universum mit dem materiellen Befund,
    2. der verbalen Beschreibung,
    3. der physikalischen Verarbeitung und
    4. der mathematischen Berechnung.
    Das könnte viele ewige sinnlose Diskussionen ersparen!!!
    Also, dann mal los!!!

    [[Anmerkung der Moderation: Das ist hier nicht Thema und soll nicht weiter besprochen werden.]]

  5. Es gibt einen Kraftbegriff , den das Volk versteht und es gibt einen Kraftbegriff, mit dem der Physiker rechnet.
    Es gibt einen Zeitbegriff, den das Volk versteht und es gibt einen Zeitbegriff, mit dem die Physiker rechnen.
    Lassen wir beide Bereiche getrennt.

  6. https://scilogs.spektrum.de/quantenwelt/mit-dem-dopplereffekt-relativitaet-durchschauen/
    Zarathustra
    10. November 2018 @ 09:27
    Zitat:
    Wenn Sie diesen Beitrag nicht löschen, dann werde ich hier nicht mehr schreiben, solange keiner darauf eingeht.
    Ich will nur allen zeigen, dass mit meinem Auftreten die Diskussion über SRT beendet wird bzw. beendet werden soll, denn diese These ist wirklich aus dem puren Wahnsinn entsprungen

    —–
    Sehr geehrter Schulz
    Ich schrieb doch hier einen Kommentar, weil Sie doch darauf (Thema ZEIT in RT) eingegangen sind, jedoch nicht dort, sondern hier.

    Was Sie in diesem Beitrag geschrieben haben, ist der aufschlussreichste Artikel über die Zeit in der Physik, (den ich gelesen habe) in dem die physikalische Bedeutung des Viererabstandes, der Vierergeschwindigkeit und der Eigenzeit zum Vorschein kommt, allerdings nicht in allen Konsequenzen durchdacht und kann deshalb vervollständigt werden, womit die Relativierung der Zeit und Gleichzeitigkeit als purer Schwachsinn erkannt wird.

    PS:Löschen Sie bitte den Beitrag nicht, solange Sie über die Zeit in der Physik schreiben möchten. Ich halte Vorlesung nicht nur für Sie oder Besucher hier, sondern im gewissen Sinne für alle großen Geister der Geschichte der Physik wie Newton, Maxwell, Faraday, Einstein ,Schrödinger, Dirac und andere d.h. ich zeige warum diese Menschen die offenen fragen der Physik nicht beantworten könnten.

  7. Grundsätzlich verstehe ich das o.g. Koordinatensystem als absolutes System. Deshalb kann man die Zeit nur als äußerer Beobachter messen, dh. sie hat nur dann eine Geschwindigkeit. In der Eigenzeit der Zeit vergeht keine Zeit.

    Das Problem liegt wahrscheinlich darin, dass ein absolutes System schwer vorstellbar ist. Aber es ist ja vergleichbar mit einer absoluten Geschwindigkeit – warum soll es also nicht auch eine absolute Zeit und evtl. auch einen absoluten Raum geben?

  8. Wir alle bewegen uns grundsätzlich mit Lichtgeschwindigkeit durch die Zeit.

    Ist es nicht so, dass “wir alle” bewegt werden, durch das Weltsystem und dass dessen Funktionsweise, Änderungen meinend, die “uns allen” als Zeit vorkommt [1], auf höherer Ebene, auf Ebene des Weltbetriebs, mit unbekannter Zeit sozusagen erfolgen, vom Weltsystem sozusagen berechnet werden?
    Terry Pratchett zumindest hat so gedacht, er hat diese Idee, die womöglich so nicht von ihm stammt, in ‘Thief of Time literarisch bearbeitet, verwurstet sozusagen und damit auch ein wenig Geld verdient.

    Selbstverständlich will Dr. W die physikalische Sicht auf “Raum und Zeit” so nicht in Frage stellen, sondern nur, den Weltmotor sozusagen meinend, ein wenig aufklopfen.

    Die Welt, sie müsste serialisierbar (das Fachwort an dieser Stelle) sein, könnte, wenn sie dies wäre, auf sehr große Lochkartenrollen passen, einen Momentan-Zustand meinend.
    Um dann von einem Lochkartenrollen einlesendem Rechner angenommen werden zu können und von einem diesem Rechner zur Verfügung stehenden Lochkartenrollen druckenden Gerät wieder ausgegeben zu werden, nach erfolgtem Rechenschritt.

    So dass eine weitere Lochkartenrolle entsteht, so dass diese Lochkartenrollen dann in einem (fast) unendlich großen Raum gelagert werden könnten, wohlgemerkt : auf Weltbetreiberebene, um dann bedarfsweise und wie auch immer weiter verarbeitet zu werden, wiederum (natürlich) vom Weltbetreiber.

    Dem Weltteilnehmer, dem erkennenden Subjekt auf diesen Lochkartenrollen (abstrahiert – ein weiteres Fachwort) sozusagen, kämen diese Arbeitsvorgänge auf höherer Ebene des Weltbetreibers dann -in seiner Schicht und dort die Physiklehre meinend- wie “Zeit” vor, oder?

    MFG
    Dr. Weihnachtswebbaer

    [1]
    “Zeit” meint für Weltteilnehmer, für erkennende Subjekte die Veränderung der Welt, für die sie Maßstäbe suchen und gefunden haben, bspw. so :
    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitsystem
    Physikalisch in Zeitsystemen suchend, geisteswissenschaftlich i.p. Historie, bei diesbezüglich anliegender Forschung.

  9. Eine geläufige populäre Erklärung der Zeitdilatation lautet: Wir alle bewegen uns grundsätzlich mit Lichtgeschwindigkeit durch die Zeit.

    Das verstehe ich nicht so recht. Insb. den zweiten Teil des Satzes. Kann mir das bitte jemand näher erklären.

  10. @ Kommentatorenkollege ‘Axel Krüger’ :

    Wenn auf der physikalischen Grundlage angenommen wird, dass Bewegung, auch individuelle, Erkenntnissubjekte bleiben gemeint, in einem Bezug auf Zeit und Raum erfolgt, ist ‘grundsätzlich’ hier die Lichtgeschwindigkeit als (auch ein wenig) versteckte diesbezügliche Maßgabe anzunehmen, die physikalische Gesetzmäßigkeit meinend.

    Opi W hat insofern, auch Terry Prachtett, abär nicht nur dem, folgend angemerkt, was das Wesen von Zeit sinnhafterweise bedeuten könnte, oder wie es ebenfalls sinnhafterweise festgestellt werden könnte, physikalisch und philosophisch.
    Das eine ergänzt (hoffentlich) bestmöglich das andere.

    MFG
    Dr. Weihnachtswebbaer

  11. @Axel: Wenn man sich nicht bewegt, vergeht die Zeit mit Lichtgeschwindigkeit. Konstant und unabhängig von der messbaren Zeit auf den Uhren natürlich. Wenn man sich schnell fortbewegt, vergeht sie langsamer.

    Oder: Wenn man am Bahngleis still steht, fährt ein Zug (mit Lichtgeschwindigkeit) an einem vorbei. Das ist die Zeit. Wenn man jetzt versucht mit dem Zug mitzulaufen um auf ihn aufzuspringen, fährt der Zug nicht mehr so schnell. Man selbst merkt das aber nicht, sondern nur eine weitere Person, die still am Bahngleis steht, da für sie die Zeit schneller vergangen ist.

  12. @ Hallo Axel Krüger 15:55
    Das Ganze heißt “Epstein Mythos” https://www.relativity.li/de/epstein/lesen/c0_de/c1_de
    Er hat so ähnliche Diagramme genommen, wie Minkowski, die sollen anschaulicher sein (?)
    Man könnte es auch so sagen “Alles fällt mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit” deshalb
    messen auch nur alle die eine Lichtgeschwindigkeit c, nicht mehr und nicht weniger.
    Relativistische Effekte “tauchen” dann auf, wenn wir mit der Richtung von der Zeit abweichen.

  13. Der springende Punkt ist leider, dass die eingangs beschriebene Relation, die Jade schön zusammengefasst hat, nicht stimmt. Jedenfalls nicht, wenn man die Vierer-Geschwindgkeit so definiert, wie es in der SRT (und ART) geschieht. Dann vergeht die Zeit nämlich schneller, wenn man sich bewegt. Die Koordinatenzeit relativ zur Eigenzeit, wohlgemerkt. Und dass ist es ja, worin wir uns im allgemeinen Bewegen: In einem von Koordinaten aufgespannten Raum.

  14. Ich denke, dass das Koordinatensystem selbst keine Eigenzeit und somit keine eigene (berechenbare) Geschwindigkeit besitzen kann. Um eine Relation für etwas auszurechnen, bräuchte man also einen dritten Akteur, um dann die Relation zwischen den beiden Akteuren zu berechnen. Das Koordinatensystem würde lediglich festlegen für wen die Zeit langsamer vergeht (nämlich für den, der sich im Koordinatensystem bewegt hat).

  15. @Jade
    Ein Koordinatensystem hat keine Eigenzeit, aber es definiert eine Koordinatenzeit.
    Ein Koordinatensystem lässt sich nahezu beliebig definieren. Beispiel: Wir haben hier einen Elektronen-Beschleuniger. In diesen Geräten muss jede Komponente gut justiert werden. Um das zu realisieren, definiert man ein Koordinatensystem, das in Zeichnungen sowie bei der materiellen Einrichtung der Komponenten verwendet wird. Üblicher Weise definieren wir die Z-Achse entlang des Beschleunigers so, dass die positive Achse in Beschleunigungsrichtung läuft. Die Y-Achse ist vertikal nach oben ausgerichtet und schließlich die X-Achse so, dass es ein rechtwinkliges, rechtshändiges Koordinatensystem gibt. Also in Beschleunigungsrichtung guckend nach links.

    Möchte man dieses 3D-Koordinatensystem nun um eine Zeitachse erweitern, so kann man sich an jedem Punkt eine ideale Uhr denken und diese Uhren nach einem gut definierten Verfahren synchronisieren. Was diese Uhren an jedem Koordinatenpunkt zeigen würden, ist dann die Koordinatenzeit. Bei dieser spezifischen Festlegung entspricht sie der Eigenzeit jedes Objektes, das in diesem Koordinatensystem ruht.

  16. Also ich hatte das so verstanden: in der ART gibt es die Raumzeit als Inertialsystem. Die kann man aber meines Erachtens nicht genauso wie in der SRT berechnen, da zumindest die Zeit als Intertialsystem statisch ist (Lichtgeschwindigkeit; Gravitation außen vor gelassen). Ich bin jetzt in dem obigen Beispiel davon ausgegangen, dass das Koordinatensystem diese statische Raumzeit ist und ich glaube man bekommt Probleme mit der Berechnung, da es keine Eigenzeit im Inertialsystem gibt. Oder anders gesagt: im Koordinatensystem der ART zeigen die Uhren nichts an, da keine Zeit vergeht. Zeit vergeht erst beim Objekt. Ist aber wirklich schwer das in Worte zu fassen.

  17. Kurzer Hinweis, weil es schon mehrfach vorkam:
    Ich moderiere hier: Fragen und Anmerkungen (vor allem kritische) zum Inhalt des Artikels sehe ich gern, wer den Artikel oder einen anderen Kommentar zum Anlass nimmt, mal wieder eines seiner/ihrer Lieblingsthemen auszubreiten, muss damit rechnen, dass ich dessen Beitrag kommentarlos lösche.

  18. Eine kleine Verständnis-frage:

    s kann negativ werden, wenn die Zeitkomponente größer ist als die Raumkomponente.

    Sollte es nicht umgekehrt sein, daß s oder s² bei grösseren Raumkomponenten negativ wird?

  19. Also bei Wikipedia steht auch folgendes:

    “… So kann beispielsweise selbst ein Beobachter auf einem rotierenden Drehstuhl den Standpunkt vertreten, er selbst sei in Ruhe und der Kosmos rotiere um ihn herum. Dabei entsteht das Paradoxon, dass sich die Sterne und das von ihnen ausgesandte Licht im Koordinatensystem des rotierenden Beobachters rechnerisch mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen, was scheinbar der speziellen Relativitätstheorie widerspricht. Die Auflösung dieses Paradoxons ist, dass die allgemein kovariante Beschreibung per Definition lokal ist. Das bedeutet, dass die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nur nahe der Weltlinie des Beobachters gelten muss, was für den rotierenden Beobachter ebenso erfüllt ist, wie für jeden anderen Beobachter. Die kovariant, also im Sinne des allgemeinen Relativitätsprinzips, geschriebenen Gleichungen ergeben für die Sterne also überlichtschnelle Kreisbewegungen, stehen aber dennoch im Einklang mit den Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie. …”

    Habe ich das richtig verstanden, dass es um dieses Problem geht?

  20. Das interaktive Minkowskidiagramm beschreibt folgendes Szenario.
    https://www.geogebra.org/m/muuuaggv
    A bewegt sich 10 Jahre lang auf der grünen Weltlinie.
    B bewegt sich 3 Jahre auf der blauen und dann 3 Jahre auf der roten Weltlinie.

    v_1 kann man direkt am Schieberegler einstellen. v_2 und v_3 passen sich so an, dass die Relativgeschwindigkeiten zwischen A und B immer +0.8c beziehungsweise -0.8c betragen.

    Für die in der Literatur übliche Darstellungsweise setze man v_1=0

    Setzt man v_1 =-0.5 so erhält man diesen zunächst symmetrischen Sonderfall. Einfach die Befehle in die Eingabezeile kopieren.

    https://www.geogebra.org/classic
    t=Schieberegler[0, 6, 0.01, 1, 200, false, true, false, false]
    A=(-t, 0)
    B=Wenn(t < 3, (t, 0), (12 – 3t, 0))

    Man kann also jedes beliebige Bezugsystem auswählen. Man erhält immer:
    A ist 10 Jahre und B 6 Jahre unterwegs.

    Und n.v.B. und Frau Lopez mögen mal bitte ein Minkowskidiagramm liefern, bei dem etwas Anderes raus kommt.

  21. @Jade

    Nein, um das Problem mit den rotierenden Koordinaten ging es hier nicht. Aber das ist auch spannend und in diesem Zusammenhang nicht ganz uninteressant. Hier geht es darum, wie Bewegungen in der Raumzeit aufzufassen sind. Viele typische Beschreibungen drehen es so als würde sich die Zeit genau andersherum verhalten, aber wenn wir die Entwicklung eines Objektes als “Reise durch die Raumzeit” auffassen, dann bewegt sich ein Objekt eben um so schneller in der Zeit je höher seine Raumgeschwindigkeit ist. Die Eigengeschwindigkeit ist die Konstante.

  22. Moin Joachim,

    wer sich auf die Minkowski-Geometrie nicht einlassen möchte, braucht hier auch nicht mitzumachen. Ohne geht es nun einmal nicht.

    .
    Ich will schon und auch verstehen, damals in meiner Jugend, da gab es kein Internet, ging ich den Weg von Epstein und nutze aber einfach die Geometrie von Euklid. Die Annahme war trivial, alles bewegt sich mit c durch die Zeit, Bewegung durch den Raum geht zu Lasten der Geschwindigkeit durch die Zeit. Dann ist c ein Vektor, wir haben ein Dreieck berechnen die Katheten und bekommen den Kehrwert von Gamma.
    .
    Und das klappt ja so weit, und sogar noch weiter, geht bis zur Energie-Impuls-Gleichung. Haben das vor fast 10 Jahren auf RK mal diskutiert, hier mal das Resümee:
    .
    http://www.relativ-kritisch.net/forum/viewtopic.php?p=35180#35180
    .
    Also mir ist das mit der Metrik noch immer nicht wirklich klar, gut Euklid soll nicht gehen und es soll Minkowski soll es sein, oder, es muss Minkowski sein, Euklid geht nicht.
    .
    Und da klemmt es bei mir leider noch immer ein wenig. Bin sicher nicht alleine der lieber Euklid da hätte, aber geht ja nicht um persönliche Wünsche.
    .
    Wie nun kann ich da weiterkommen, denn ein wenig Euklid geht ja wohl schon, sonst hätte ich so nicht den Gammafaktor errechnen können.
    .
    Finde gut wie das hier läuft, wenn man 24 h nachläuft ist es recht gut zu lesen.

  23. @Manuel
    Du kannst die Metrik
    \[ds^2=c^2 dt^2 – dx^2 – dy^2 – dz^2\]
    leicht so umformen, dass es Euklidisch aussieht:
    \[c^2dt^2=ds^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\]

    Aber das hilft dir nicht weiter. Das kannst du zwar schön als Dreieck aufmalen, aber du hast die Invariante auf der rechten Seite. Nicht Hypotenuse sondern eine der Katheten bleibt beim Wechsel des Koordinatensystems unverändert.

  24. @Joachim

    Viele typische Beschreibungen drehen es so als würde sich die Zeit genau andersherum verhalten, aber wenn wir die Entwicklung eines Objektes als “Reise durch die Raumzeit” auffassen, dann bewegt sich ein Objekt eben um so schneller in der Zeit je höher seine Raumgeschwindigkeit ist.

    .
    Gut, ja, wenn ich in der Rakete bin und immer weiter beschleunige, werde ich im Raum schneller un die Zeit vergeht für mich im Universum immer schneller, so wie wenn ich in der Nähe eines SL Picknicke.
    .
    Aber in meinen eigenen Ruhesystem ruhe ich immer und bewege mich ja nie.
    .
    Darum habe ich also ein Raumschiff in meinem Ruhesystem betrachtet und dass immer schneller durch den Raum bewegt und dann bewegt sich diese im Vergleich zu mir, langsamer durch die Zeit.
    .
    Denke doch, so passt es.
    .
    Denn wie schnell ich mich mit meinem Raumschiff bewege, ist relativ und nicht von mir abhängig, sondern von all den Systemen in denen man mein Raumschiff misst. Für den einen bewege ich mich mit 0,9 c und für den anderen mit 0,5 c.
    .
    Nun weiß ich nicht, warum man das so umdrehen sollte, wie Du es machst.
    .
    Jetzt hab ich mir mal wieder selber ein Bein gestellt, in meinem System ist ja alles andere dann bewegt. Eigentlich müssten dann doch für mich alle Uhren im Universum immer langsamer laufen, je schneller ich werde.
    .
    Noch mal auf nach Proxima, von der Erde aus gesehen, geht meine Zeit in der Rakete langsamer. Für mich in der Rakete vergeht die Zeit im Universum schneller, aber die auf der Erde langsamer?
    .
    Da kommt noch die LK und die RdG dazu, eben in der Pause beim Kaffee mit Blick auf die Uhr bekomme ich es nicht hin, offenbar geht meine Zeit aktuell schneller als mir lieb ist.
    .
    Das mag ich so an der SRT, man kann immer und immer wieder grübeln.

  25. @Joachim
    .
    Das ist schon seltsam, mal das hier:
    .
    https://www.bun.kyoto-u.ac.jp/philosophy_and_history_of_science/phs-archives/gallery/minkowski_note.html
    .
    Da steht nun τ² = t² – s²
    .
    Nun ist in der Grafik aber τ die Hypotenuse, da wird dann von dem Quadrat der größeren Kathete das Quadrat der kleineren abgezogen und soll das Quadrat der Hypotenuse ergeben.
    .
    Das bei Bäcker geht so, kann man verstehen, aber das hier auf der Grafik, macht mir fast Angst. 😀
    .
    Und ich hatte mal wo eine ganz tolle Beschreibung zu diesem “seltsamen” Pythagoras, gelesen, verstanden, begeistert, nur ist das leider über 10 Jahre, glaub ich her.

  26. @Manuel Krüger
    27. November 2018 @ 15:30

    Lies mal den Text dazu. Das ist genau der Punkt, den der Autor macht (und ich hier): In Minkowski-Diagrammen gilt eine andere (Pseudo)-Metrik. Das ist es übrigens, was ich letztens meinte, als ich schrieb, die Zeit sei wie eine Irrationale Zahl.

  27. @Manuel Krüger 27. November 2018 @ 14:31

    Noch mal auf nach Proxima, von der Erde aus gesehen, geht meine Zeit in der Rakete langsamer. Für mich in der Rakete vergeht die Zeit im Universum schneller, aber die auf der Erde langsamer?

    Das ist wohl wie bei dem Hasen und Igel. Immer scheinen die Uhren auf den Planeten langsamer zu gehen, aber wenn man ankommt, zeigen sie eine spätere Zeit an.

  28. Die Sache mit der Metrik kann man sich auch ganz gut mit Geogebra veranschaulichen. Der x’ Einheitsvektor wird übrigens genauso definiert, wie der Vektor der Vierergeschwindigkeit (ohne y und z).

    https://www.geogebra.org/classic
    v=Schieberegler[0, 1, 0.01, 1, 200, false, true, false, false]
    γ=1/sqrt(1-v²)
    t_e’=Vektor[(v,1)]*γ
    x_e’=Vektor[(1,v)]*γ
    P=(0,0)+5*t_e’+4*x_e’
    s=sqrt(y(P)²-x(P)²)

    Wenn ihr diese Befehle rüber kopiert habt und mit dem v-Schieber spielt, werdet ihr merken, dass zwar der Punkt P wandert, s dagegen unverändert bleibt.

  29. @Joachim

    Noch als Anmerkung: Diesem Blogartikel würde ich, wenn man mich fragte, schon das Prädikat “besonders lehrreich” verleihen wollen. So klärt u.a. die letzte Formel durch eine invariante Grösse auf einen Schlag, wieso ein Myon, das relativ zu einem Labor-System mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt ist, in dessen systembezogener Darstellung ziemlich lange leben und ziemlich weit kommen kann.

    Aus meiner Sicht ist das didaktisch absolut vorbildlich. Und das kriegen die allermeisten populären Erklärer nämlich bei weitem nicht so elegant hin, wenn überhaupt.

  30. @Joachim
    .
    Also ich grübel da noch immer ein wenig, Fakt ist, ich komme mit meiner Gleichung aus meiner Annahme sehr schön zu Gamma. Ohne Latex auf die Schnelle:
    .
    vt = √ (1 – vr²)
    .
    Dich Lichtgeschwindigkeit c hab ich auf 1 gesetzt. Auch mit der Energie-Impulsgleichung geht es mc² ist bei mir dann pt, aber egal, mir fehlt gerade die Zeit dafür das zu vergleichen. Ich will erstmal wissen, warum ich auf Gamma komme, wenn ich eine euklidische Metrik nehme.

  31. Ich bring hier noch mal das Beispiel der 101 Schiedsrichtersysteme ins Spiel.
    https://www.geogebra.org/m/muuuaggv

    A(Grün) legt hier einen Weg ct’=10 zurück. Der räumliche Weg x’ beträgt 0.
    Im Bildschirmsystem beträgt ct=10.32796 und x=2.58199, wobei gilt:
    (ct)²-x²=(ct’)²-x’²=100 (egal wie man v_1 einstellt)

    Jetzt gestalten wir das Szenario (zunächst) vollkommen symmetrisch und stellen v_1=-0.5 ein. Bei einer Boje, die weiterhin im Bildschirmsystem ruht, stoßen wir A und B mit v_1=-0.5 und v_2=+0.5 ab.

    Was passiert nun nach Newton, wenn wir in dieses Szenario nicht mehr eingreifen? Jeder A noch B oder die Boje werden sich jemals wieder begegnen, weil jeder Körper bestrebt ist, seinen Bewegungszustand bei zu behalten.

    Geben wir nun B einen kräftigen Stoß in die Gegenrichtung so dass dieser wieder zu A gelangt, so haben wir 2 Dinge, die A von B unterscheiden. B bekommt einen Stoß und A nicht.

    Wer das erste Unterscheidungsmerkmal nicht gelten lassen will, der bekommt hier ein zweites. B begegnet der Boje noch ein zweites mal und A nicht.

    Im Minkowskidiagramm müssen sich also die Weltlinie von B und die ct-Achse noch mal kreuzen. Und es ist also völlig egal in welches Bezugsystem man jetzt wechselt. A altert um Δt=10 und B umΔt=6.

    https://scilogs.spektrum.de/quantenwelt/wie-schnell-wir-durch-die-zeit-reisen/#comment-32719

    Ach ja, wenn ihr die Eichkurve in diesem Beispiel haben wollt, so müsst ihr
    sqrt(1 + x²) eingeben.

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