Raum und Vektorraum

Mathematik hat viele Gesichter. Für die einen ist es ein anderes Wort für Rechnen, für andere die Königin der Geisteswissenschaften. Für alle quantitativ arbeitenden Wissenschaften ist sie eine unverzichtbare Hilfswissenschaft zur Entwicklung von Modellen. Auf ein mathematisches Modell möchte ich hier eingehen, den Vektorraum.

Keine Angst, ich werde ohne Formeln auskommen. Und das obwohl es bei diesem Teilgebiet der Mathematik, der linearen Algebra, darum geht, Geometrie in Formeln zu gießen. Die Grundlagen der linearen Algebra wurden von den Mathematikern im Mittelalter unter Einfluss arabischer Gelehrter geschaffen und von Rene Descartes in eine moderne Form gebracht.

Vektorräume sind in der modernen Mathematik sehr abstrakt definiert und gehen weit über das hinaus, was man in der Schulmathematik als Vektoren kennenlernt. Ein Vektorraum ist ein abgeschlossenes System von Objekten, die man miteinander Addieren und mit Zahlen multiplizieren kann. Die abstrakten Objekte eines Vektorraums heißen Vektoren. Unter ihnen gibt es einen besonderen Vektor, den Nullvektor und zu jedem Vektor gibt es genau einen inversen Vektor.

Damit wäre fast alles beschrieben, was man über Vektorräume wissen muss. Alles andere folgt daraus. Wer sich jetzt unter Vektoren grundsätzlich Pfeile im Raum oder Spalten von zwei, drei oder mehr Zahlen vorstellt, irrt. Auch Funktionen können Vektoren sein. Bestimmte Vorschriften, wie Verschiebungen von Körpern im Raum, können als Vektoren beschrieben werden. Hier möchte ich über Vektoren in der Auffassung von Raum und Zeit eingehen.

Den Eigentlichen Ursprung der linearen Algebra findet man tatsächlich in der klassischen Mechanik. Wenn es darum geht, Positionen von Punktförmig gedachten Körpern im Raum zu beschreiben, sind Vektorräume Gold wert.

Raum als Vektorraum?

Der uns umgebende dreidimensionale Raum selbst ist kein Vektorraum. Selbst wenn wir alle Objekte (Tische, Stühle, Wände, Menschen) als Mengen von Punkten im Raum abstrahieren, haben diese Punkte noch nicht die Struktur eines Vektorraums. Wie soll man diese Punkte addieren? Wie mit einer Zahl multiplizieren? Welcher Punkt ist der Nullvektor und welcher Punkt ist das inverse Element meiner Nasenspitze?

Der Punkte im Raum können durch Vektoren beschrieben werden, wenn man willkürlich einen Nullpunkt festlegt und jeden Punkt durch Abstand und Richtung vom Nullpunkt definiert. Diesen Vektorraum als Modell für den realen Raum bezeichnet man als Koordinatensystem.

Offensichtlich gibt es beliebig viele solche Koordinatensysteme, denn man kann den Nullpunkt beliebig wählen. Zudem kann man einen einzigen gewählten Nullpunkt auf viele unterschiedliche Arten den Raum aufspannen. Man kann kartesische Koordinaten wählen, bei denen x-, y-, und z-Koordinate einen Vektor repräsentieren oder die von mir angedeuteten Kugelkoordinaten mit Abstand und zwei Winkeln. Oder vielleicht Zylinderkoordinaten mit einem Radius, einem Winkel und einer z-Koordinate.

Man kann sich lange darüber streiten, ob die verschiedenen Koordinatensysteme mit demselben Nullpunkt als unterschiedliche Vektorräume oder als verschiedene Repräsentationen desselben Vektorraums aufzufassen sind. Wichtig ist nur, dass sie durch einfache Transformationen ineinander überführbar sind. Damit ist sichergestellt, dass sie alle gleich gut geeignet sind, den Raum zu beschreiben, der uns umgibt.

Metrik

Mit einem Vektorraum kann man einiges sinnvolles anstellen. Zum Beispiel kann man ihm eine Metrik verpassen. Das ist eine Konstruktion, die einem paar von zwei Vektoren eine nicht negative Zahl zuordnet. Es gibt zwei Bedingungen: Die Reihenfolge der Vektoren darf keine Rolle spielen; die Metrik von A-Vektor und B-Vektor ist gleich der Metrik von B-Vektor und A-Vektor. Die Metrik ist dann und nur dann Null, wenn die beiden Vektoren gleich sind.

Wenn Sie bei der Metrik gleich an Abstände denken, liegen Sie richtig. Die Vorschrift, die zu zwei Punkten im Raum einen Abstand ermittelt, ist eine Metrik. Sie ist allerdings nicht die einzige mögliche Metrik. Man kann in einem kartesischen Vektorraum (x,y,z) auch die Maximum-Metrik definieren, die nicht den Satz von Pythagoras, sondern einfach den größten Wert im Unterschied auf x-, y- oder z-Achse verwendet. Mathematisch ist diese Metrik erlaubt, physikalisch macht sie wenig Sinn.

Die Abstandmetrik dagegen macht physikalisch deshalb so viel Sinn, weil sie eine so genannte Invariante bezüglich Drehungen und Verschiebungen darstellt. Zwei Punkte haben denselben Abstand voneinander, unabhängig davon, in welchem Koordinatensystem sie beschrieben werden. Vektorräume mit Metrik sind also hervorragende Konstrukte unserer Wirklichkeit. Man kann mit ihnen sehr gut Mechanik betreiben. Fragt sich nur, ob es überhaupt garantiert ist, dass der Raum durch einen Vektorraum mit Metrik beschrieben werden kann.
Raumzeit in der Relativität

Im letzten Beitrag habe ich über das Zwillingsparadoxon geschrieben. Das war Anlass für zwei meiner regelmäßigen Kommentatoren, über die Raumzeit und die Metrik in der Relativitätstheorie zu diskutieren. Das möchte ich hier aufgreifen, denn die relativistische Raumzeit hat eine Besonderheit.

Wer meine Blog regelmäßig liest, kennt meine Begeisterung für H.G. Wells’ “The Time Machine”. Dort wird die Zeit als vierte Dimension erklärt und der Zeitreisende erklärt eindeutig, es sei eine Dimension wie jede andere. Zu den drei Raumdimensionen kommt eine weitere hinzu, die auf allen Raumdimensionen senkrecht steht. Senkrecht ist hier nicht anschaulich gemeint. Ich keine keinen Menschen mit vierdimensionaler Anschauung. Senkrecht bedeutet in der Mathematik nur, dass die Zeit von den Ortsdimensionen unabhängig ist. Man kann sich in Zeitrichtung bewegen, ohne den Ort zu wechseln.

alt

Ist diese vierdimensionale Raumzeit ein Vektorraum? In der klassischen Mechanik und der speziellen Relativitätstheorie schon. Man kann jedes punktförmige, instantane Ereignis in der Raumzeit mit vier Dimensionen eindeutig bestimmen. Man braucht Länge, Breite, Höhe und Zeitpunkt. Vorgänge, die etwas mehr Platz und Zeit brauchen werden einfach als eine Punktwolke aus diesen Elementarereignissen gebildet. Das Schöne an dieser Raumzeit ist, dass man nicht nur Positionen, sondern ganze Bewegungen von Objekten als Pfade in dieser Raumzeit darstellen kann. Jedes Objekt bewegt sich ständig gegen die Zeitachse von der Vergangenheit in die Zukunft. Es bewegt sich eventuell auch im Raum und beschreibt so eine Kurve in der Raumzeit.

Unphysikalische metrische Raumzeit

Man könnte natürlich auch hier eine gewöhnliche Abstandsmetrik einführen. Nehmen wir an, Wells’ Zeitreisender könne mit seiner Maschine auf Rädern beliebig im Raum umherfahren. Zugleich kann er in der Zeit vor und zurück fahren oder einfach verweilen. Offensichtlich hätte für ihn jedes Ereignis einen Räumlichen und einen Zeitlichen Abstand und er könnte jedes Ereignis erreichen, indem er erst den räumlichen und dann den zeitlichen Abstand überwindet oder er könnte diagonal durch Zeit und Raum reisen. Letzteres scheint uns kürzer und das wäre der klassische Abstand.

Tatsächlich ist die Raumzeit aber nicht wie Wells’ es sich vorgestellt hat. Eine Zeitmaschine gibt es nicht und es gibt Gründe anzunehmen, dass es sie nie geben wird. Damit macht es keinen Sinn, eine klassische Zeit-Raum-Entfernung über eine Metrik zum Vektorraum zu definieren. Es gibt aber eine Alternative, auf die ich gleich zurückkomme.

Zunächst aber zu den

Besonderheiten der Zeitachse

In der newtonschen Mechanik gibt das galiläische Relativitätsprinzip, das besagt, dass es keine absolute Geschwindigkeit gibt. Jedes zu ruhenden Objekten geradlinig, gleichförmig bewegte Objekt kann man derselben Rechtfertigung als ruhend angenommen werden. Ein ruhendes Objekt “bewegt” sich auf einer Geraden parallel zur Zeitachse. Ein geradlinig, gleichförmig bewegtes Objekt bewegt sich auf einer Geraden, die zur Zeitachse einen Winkel kleiner als 90° einnimmt. Wenn man nun beachten möchte, dass auch dieses zweite Objekt als ruhend angenommen werden kann, bedeutet das, dass man die Zeitachse einfach gegen die anderen Achsen verkippen kann, ohne dass sich physikalisch etwas ändert. Das geht so für eine Raumachse nicht. Ein nicht rechtwinkliges Koordinatensystem erfordert einige Änderungen in der Formulierung der physikalischen Gesetze. Die Zeitachse ist also nach Newton unabhängig vom Raum.

In der speziellen Relativitätstheorie ist diese Unabhängigkeit nur noch eine Näherung für kleine Winkel. Nähert sich die entsprechende Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit an, so muss man die Zeitachse stauchen, den Raum in Richtung der Geschwindigkeit stauchen und den Raum insgesamt der Zeit entgegen kippen. Diese Verzerrung der vierdimensionalen Raumzeit ist etwas Ähnliches wie eine Drehung und wird als Lorentztransformation bezeichnet*.

Raum-Zeit-Abstand und Eigenzeit

Wenn die Zeitachse einfach so  gegen den Raumverkippt werden kann, ohne dass sich physikalisch was ändert, macht eine gewöhnliche Abstandsmetrik in der vierdimensionalen Raumzeit keinen Sinn. Es gibt aber eine ähnliche Struktur, die Sinn macht. Man kann zwei Ereignissen in der Raumzeit eindeutig eine Zahl zuordnen, die für Ereignisse mit identischer Zeitkoordinate mit der Abstandsmetrik übereinstimmt.

Diese Zahl gibt also den Abstand zweier gleichzeitiger Ereignisse an. Wenn man jetzt die Verzerrung auf das Koordinatensystem durchführt, die die physikalischen Gesetze beibehält, dann ändert sich zwar der rein räumliche Abstand dieser Ereignisse (er wird größer), dafür nimmt aber der zeitliche Abstand zu. Die Zahl, von der die Rede ist, bleibt bei all solchen Transformationen und auch bei Drehungen und Verschiebungen des Koordinatensystems gleich. Man kann sie als Raumzeit-Abstand bezeichnen.

Warum ist dieser Raum-Zeit-Abstand nun keine Metrik? Nun, die Zeit geht offenbar negativ ein und wenn man den Raum-Zeit-Abstand zweier nacheinander am selben Ort geschehender Ereignisse nimmt, muss zwangsläufig eine negative Zahl herauskommen. Metriken dürfen aber nach mathematischen Regeln nicht negativ sein.

Eine weitere Eigenschaft von Metriken ist, dass sie nur bei identischen Vektoren Null sein dürfen. Nur der Abstand von einem Ort zum selben kann Null sein. Für in der Raumzeit gibt es dagegen viele Ereignisse, deren Raumzeit-Abstand Null ist. Diese Ereignisse zeichnen sich dadurch aus, dass sie durch einen Lichtstrahl verbunden sein können.

Wir haben also gesehen, dass die Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie gut als vierdimensionaler Vektorraum konstruiert werden kann. Im Gegensatz zum dreidimensionalen Raum macht es aber hier keinen Sinn, eine echte Metrik zu definieren. Aber ist es überhaupt klar, dass man den Raum durch einen Vektorraum darstellen kann?

Raum ohne Vektorraum-Struktur

In der allgemeinen Relativitätstheorie gehen wir nicht mehr davon aus, dass der Raum durch einen Vektorraum modellierbar ist. Hier kann der Raum gekrümmt sein. Es kann Ereignishorizonte geben, über die hinaus der Raum nicht weitergeführt werden kann. Der Raumzeit-Abstand zwischen zwei Ereignissen kann vom Weg abhängig sein, ist also nicht unbedingt eindeutig definiert.

Auch hier machen Vektorräume als mathematische Modelle Sinn. Sie treten aber nur noch als Tangentialräume auf. Eine zentrale Aussage ist, dass man immer einen vierdimensionalen Vektorraum definieren kann, dem sich der Raum lokal in unmittelbarer Nähe eines Punktes anschmiegt. Dieser Vektorraum hat die Struktur der Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie. Er trägt also vier Raumdimension, die eine Metrik zu definieren erlauben, und eine etwas andersartige Zeitdimension. Über den gesamten Vektorraum kann man einen Raumzeit-Abstand definieren.

Diesen Raumzeit-Abstand kann man nun über benachbarte Punkte des beliebig krummen Raums weiterführen. So erhalten wir in der allgemeinen Relativitätstheorie ein vernünftiges Abstandsmaß. Dieses Maß bezeichnen wir in der Physik als Metrik. Aber vorsichtig. Nach Definition der linearen Algebra ist es gar keine Metrik, weil es erstens nicht streng positiv ist und zweitens gar nicht über einen Vektorraum, sondern über Weglinien definiert ist.

Jetzt haben wir endgültig die lineare Algebra und damit den Lebensraum der Vektorräume verlassen. Ich hoffe, die Reise hat Ihnen gefallen.

Anmerkung
*Genauer handelt es sich um einen Lorentz-Boost, denn die Gruppe der Lorentztransformationen beinhaltet auch Verschiebungen und Drehungen.

Veröffentlicht von

www.quantenwelt.de/

Joachim Schulz ist Gruppenleiter für Probenumgebung an der European XFEL GmbH in Schenefeld bei Hamburg. Seine wissenschaftliche Laufbahn begann in der Quantenoptik, in der er die Wechselwirkung einzelner Atome mit Laserfeldern untersucht hat. Sie führte ihn unter anderem zur Atomphysik mit Synchrotronstrahlung und Clusterphysik mit Freie-Elektronen Lasern. Vier Jahre hat er am Centre for Free-Electron Laser Science (CFEL) in Hamburg Experimente zur kohärenten Röntgenbeugung an Biomolekülen geplant, aufgebaut und durchgeführt. In seiner Freizeit schreibt er zum Beispiel hier im Blog oder an seiner Homepage “Joachims Quantenwelt”.

5 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Metrik, einmal so und einmal anders

    Der Begriff Metrik ist in der Mathematik nicht kontextfrei, man darf da durchaus ein wenig aufpassen. Metrik kann bedeuten

    – (metrische Toplogie): eine Distanzfunktion, d, auf einer recht beliebigen Menge M. Das Paar (M,d) heisst dann ein metrischer Raum.

    – (Differentialgeometrie): ein metrischer Tensor, g, auf einer (reellen, n-dimensionalen) differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Das Paar (M,g) heisst dann eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit.

    Ein metrischer Tensor g liefert eine symmetrische, nichtdegenerierte Bilinearform auf jedem Tangentialraum von M. Ist diese positiv definit, also ein Skalarprodukt, dann heisst g eine Riemannsche Metrik. Aber auch im indefiniten Fall nennen wir g noch immer eine Metrik, sie ist dann nur pseudo-Riemannsch. Dazu gehören speziell die Lorentzschen Mannigfaltigkeiten, die in der RT interessieren, da reden wir z.B. von “Schwarzschild Metrik”, “Minkowski Metrik”, etc.

    Als eine Raumzeit bezeichnet man üblicherweise eine zeit-orientierte Lorentzsche Mannigf., (M,g), deren Metrik g die Einsteinschen Felgleichungen erfüllt. (Präziser gesagt, (M,g) ist dann eine Darstellung einer Raumzeit.)

    Eine Raumzeit M wird mit der Lorentzschen Metrik g zwar kein metrischer Raum, aber auf jeder zeitartigen Weltlinie induziert g die Struktur eines metrischen Raumes. Die Distanz zwischen zwei Punkten A und B auf einer zeitartigen Weltlinie ist die Bogenlänge des dazwischenliegenden Liniensegments bezüglich der Metrik g.

    Reist nun jemand, etwa einer der “fabulous twins”, zeitartig vom Raumzeitpunkt A zum Raumzeitpunkt B, dann ist seine dabei verstrichene Eigenzeit gerade die Bogenlänge seiner Weltlinie zwischen A und B, dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit. Der andere Zwilling reist entlang einer eigenen Weltlinie von A nach B und altert dabei genau dann anders als sein Geschwister, wenn die Bogenlänge seiner Weltlinie zwischen A und B eine andere ist. Das, und nur das, erschlägt dann alle vorstellbaren Varianten von Zwillingsparadoxa.

    N.B. Ein unterschiedliches Altern der Zwillinge ist insbesondere keine Konsequenz der relativistischen Zeitdilatation, denn letztere bezeichnet das Verhalten von Koordinatenzeit bei einem Lorentzschen Kartenwechsel. Das Altern der Zwillinge betrifft aber deren Eigenzeit, und die ist ja gerade kartenunabhängig.

  2. @Chrys

    Danke für die Anmerkungen.

    Selbstverständlich hängt es vom Kontext ab, was mit Metrik gemeint ist. Ich hoffe doch, es ist klar geworden, dass es hier um lineare Algebra geht.

    Der Beitrag ist hauptsächlich etwas für Mathematik-Fans, die sich fragen, wie weit man in der Relativität mit Vektorräumen kommt. Ich hatte dazu durchaus schon fragen. Ist also nicht ganz auf Wolken gebaut.

  3. @Joachim

    Gerade zum heutigen Geburtstage Einsteins bliebe dann noch zu wünschen, dass der Blogbeitrag dem einen oder der anderen zu ein wenig Erleuchtung verhelfen möge 😉

  4. Der Auffrischungsschnelleinstieg zu linearen Algebra/allg. Relativitätstheorie hat Spaß gemacht.

    Nun muss ich nach alten Matheklausuren schauen, zum üben 😉

  5. Die Lorentztransformation ist widerlegt, da eine Ablenkung des Lichtstrahls im Michelson-Morley-Experiment nicht berücksichtigt wurde – siehe unter http://ive.xyz/ linke Spalte unter der Rubrik “Physik / Mathe”. Desweiteren wird auf gleicher Webseite – linke Spalte unter der Rubrik “Raum bleibt Raum” dargstellt warum der Raum nur 3 Raumdimensionen haben kann, auch wenn eine Winkelmessung unter R hoch 8 möglich ist (vergleich hierzu bei Teil mit Linearer Algebra). MfG

Schreibe einen Kommentar




Bitte ausrechnen und die Zahl (Ziffern) eingeben