Festkörperphysik beim Spielen mit Magneten

Atome sind bekanntlich kleine Kugeln, die einander elektrisch anziehen und so feste Körper bilden. Viele Kristalle, die nur aus einer Atomsorte bestehen, verhalten sich deshalb wie eine Ansammlung von Kugeln, die einfach dicht zusammenrücken wollen. Sie bilden dichteste Kugelpackungen.

In zwei Dimensionen sind Kugeln zu Kreisen reduziert. Im Bild rechts habe ich einmal sieben gleich große, kreisrunde Münzen so dicht es geht aneinander gelegt. Im zweidimensionalen flachen Raum passen um eine Münze sechs weitere. Und zwar ohne Lücken. Diese Kachelung lässt sich unendlich weiterführen. Es handelt sich um ein hexagonales Gitter. Hexagonal heißt dabei einfach nur Sechseck-förmig. Dieses Gitter ist die dichteste Möglichkeit, Kreise zusammenzulegen. Mit keiner anderen Struktur können gleich viele oder mehr Kreise auf einer gegebenen Fläche untergebracht werden. Die hexagonale Kachelung ist die dichteste Kugelpackung im zweidimensionalen Raum.

Um dieses Spiel dreidimensional weiterführen zu können, habe ich starke Magnetstäbe und Stahlkugeln genommen. Im Bild links sind die Kreise nicht mehr durch Münzen sondern durch Stahlkugeln mit magnetischen Abstandshaltern dargestellt. Das macht das dreidimensionale Bild nachher etwas durchsichtiger. Hier ist also nochmal dieselbe zweidimensionale Struktur abgebildet, aber in einer Weise, die sich leicht in die dritte Dimension fortsetzen lässt.

Die zweite Ebene ist noch eindeutig

Und zwar, indem ich eine zweite Schicht von Kugeln mit gleichen Abstandshaltern darüber setze. Rechts im Bild habe ich also drei weitere Kugeln hinzugefügt. Die Mittlere Kugel hat in dieser Konstellation neun nächste Nachbarn: die sechs aus dem oberen Bild und drei in der zweiten Ebene. Und alle diese Kugeln sind gleich weit von allen ihren direkten Nachbarn entfernt. Dichter können wir Kugeln mit diesen Abstandshaltern nicht packen. Wir haben es also mit einer dreidimensionalen dichten Kugelpackung zu tun.

Bitte bedenken Sie, dass wir sowohl das Sechseck in der unteren Ebene, als auch das Dreieck in der oberen Ebene beliebig zu allen Seiten erweitern können. Es handelt es sich hier also nur um einen Ausschnitt aus einem beliebig großen Kristall.

Zwei mögliche Fortsetzungen

Wollen wir diesen Kristall nun auch nach oben, in der dritten Dimension beliebig weiterführen, so haben wir, im Gegensatz zum zweidimensionalen Fall, eine weitere Freiheit: Das Sechseck in Bild 2 besteht aus sechs Dreiecken, aber nur über jedes zweite Dreieck liegt in Bild 3 eine Kugel. Möchten wir jetzt eine dritte Ebene beginnen, so können wir diese so anlegen, dass die Kugeln direkt über denen der untersten Ebene liegen. Oder wir können die Kugeln der dritten Ebene über die verbleibenden Lücken, über die Leeren Dreiecke anordnen. Beide Anordnungen lassen sich beliebig in die dritte Ebene fortsetzen. Wir könen also die Schichtungsreihenfolge ABABAB… oder ABCABCABC.. wählen.

Unabhängig von der Art der gewählten Fortsetzung: wenn wir die Ebenen beliebig in alle Richtungen ausdehnen, hat jedes Atom im inneren des Kristalls zwölf nächste Nachbarn. Sechs in der eignen Ebene und jeweils drei in der Ebene drunter und drüber. Beide Möglichkeiten packen die Kugeln also gleich dicht.

Der hcp-Kristall

In Bild 4 habe ich die Reihung ABA ausgeführt. Ich habe also symmetrisch ein zweites Sechseck über das Dreieck der zweiten Ebene aus Bild 3 gelegt. Von oben (Bild 5) sieht man gut die Symmetrie diese Gebildes: Eine Drehung um 120°, also einen Drittel Vollkreis, lässt die Struktur unverändert.

Solch eine Kristallstruktur kommt in der Natur tatsächlich vor und heißt hcp-Kristiall. Die Abkürzung hcp steht für hexagonal close packed, also die hexagonal dichteste Packung von Kugeln. Kristalle aus Mangan, Kobalt oder Kohlenstoff (Graphit) sind in dieser Struktur aufgebaut.

Der fcc-Kristall

Aber auch die zweite Möglichkeit kommt in der Natur vor. Aluminium, Silber und Gold bilden solche Strukturen.

Rechts im Bild habe ich auf das Dreieck der zweiten Ebene ein um 60° gedrehtes Dreieck gesetzt. Die Kugeln dieses Dreiecks liegen über den anderen Dreiecken des unteren Sechsecks. Es handelt sich um eine ABC-Reihung. Auch hier kann jede Ebene beliebig erweitert werden, so dass die Auswahl dieser drei obersten Kugeln willkürlich ist.

Eine andere Auswahl habe ich im Bild links getroffen: Ich habe einfach das oberste Sechseck des hcp-Gitters aus Bild 4 nach hinten geschoben, so dass eine weitere Symmetrie dieses Gitters sichtbar wird: die Quadrate vorne links im Bild wiederholen sich über alle Ebenen. Dreht man den Kristall also um eine Achse senkrecht auf einem dieser Quadrate, so gibt es eine vierer-Symmetrie. Eine Drehung um 90° lässt den Kristall unverändert.

Kubische Symmetrie

Die ABCABC…-Reihung ergibt ein kubisches Gitter, ein fcc-Gitter. Die Abkürzung fcc steht für face centred cubic, also ein flächenzentriert kubisches Gitter. Kubus ist einfach nur ein hochtrabendes Wort für Würfel und ein flächenzentriert kubisches Gitter ist eines, bei dem Atome nicht nur an jeder Ecke des Würfels, sondern zusätzlich noch in der Mitte jeder Fläche liegen. Es ist also ein Würfel mit lauter Einsen.

In Bild 7 sieht man die kubische Natur nicht. Aber wenn man eine andere Auswahl von Kugeln und Verbindungen aus dem beliebig großen Kristall trifft, kann man den Kubus rechts im Bild erzeugen. Ich habe hier zur Verdeutlichung den Kubus mit schwarzen Linien nachgezeichnet. Es befindet sich je ein Atom an den Ecken und eines in der Mitte jeder Fläche.

Weitere Strukuren

Das hcp- und das fcc-Gitter sind nicht die einzigen Strukturen, die dichteste Kugelpackungen beschreiben. Auch Schichtungen wie ABACABAC… oder beliebige chaotische Reihenfolgen der Schichtungen bilden gleich dichte Kugelpackungen. Sie sind dann nur nicht mehr so schön symmetrisch.

Mein Bausatz aus magnetischen Stäben und Stahlkugeln ist eigentlich nur ein Spiel. Es gibt ähnliche Bausätze auch in bunt als Kinderspielzeug, aber für einen erwachsenen Physiker wirkt dieses Set weniger verspielt und eleganter. Es macht sich gut als Regalschmuck im Hintergrund bei Videokonferenzen. Aber neben der rein dekorativen Funktion, lassen sich mit diesem Spielzeig eben auch Feinheiten der Festkörperphysik verstehen.