Auf geraden Linien untergehen
BLOG: Quantenwelt
Die gerade Linie führt zum Untergang der Menschheit.
Dieser Ausspruch Friedrich Hundertwassers traf mich im Sommer auf einer Hundertwasser-Ausstellung im Einkaufszentrum Schenefeld. Mich erinnerte es an eine Frage, die mich schon im Grundstudium bewegt hat: Warum sind in der Physik so viele Zusammenhänge linear? Warum bewegt sich alles ausgerechnet auf geraden Linien?
Die meisten von uns kennen das Relativitätsprinzip von Galilei: Ein kräftefreier Körper bewegt sich stets so, dass sein Schwerpunkt eine gerade Linie beschreibt. Diese Linie durchläuft er zudem gleichmäßig, also linear in der Zeit. Das scheint den meisten Physikern, Ingenieuren und interessierten Laien selbstverständlich. Aber so war es nicht immer. In der Antike und bis in die Neuzeit hinein wurde die Kreisbahn als ausgezeichnete Linie und die Kugel als ausgezeichneter Körper angesehen. Darauf basierte schließlich das Ptolemäische Weltbild mit der kugelförmigen Erde im Zentrum, umgeben von den kugelförmigen Planeten (einschließlich Sonne und Mond) und zu guter Letzt der ebenfalls kugelförmigen Fixsternsphäre (Achtung, Tautologie!). Eine gerade Linie, unendlich ausgedehnt, passte hier nicht hinein.
Was ebenfalls nicht hineinpasste, waren die offensichtlich nicht kreisförmigen Planetenbahnen, auf denen die Planeten sogar die Richtung wechseln. So war es nicht die gerade Linie, sondern gerade die Kreisbahn, die Kopernikus im frühen 16. Jahrhundert dazu angeregt hat, das sonnenzentrierte Weltbild zu publizieren. Auch in Galileis Arbeiten, die die moderne Physik vorbereitet haben wie keine anderen, gibt es von geraden Linien noch nicht viel zu sehen. So ist in seinem Werk nicht eindeutig klar, ob er sich das nach ihm benannte Relativitätsprinzip tatsächlich geradlinig gedacht hatte, oder ob er eher an ein kreis- und kugelorientiertes Prinzip dachte: Ein kräftefreier Körper bewegt sich gleichmässig auf einem Kreis um die Erdachse, dem Erdmittelpunkt oder dem Sonnenzentrum.[1]
Überhaupt sind die Kosmologen allesamt entschuldigt. Schließlich stellte Kepler (1600) mit seinen Gesetzen klar, dass es weder Kreise noch Geraden sind, auf denen sich Himmelskörper bewegen, sondern Kegelschnitte aller Art. Das sind neben den Geraden und Kreisen also auch Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln.
Die Hauptschuld an die Geradlinigkeit der modernen Physik müssen sich wohl Isaac Newton und René Descartes (Cartesius) teilen. Newton, weil er die Gesetze der Mechanik erst aufgestellt hat, die nun einmal bezüglich der geradlinigen Galilei-Transformation invariant sind. Cartesius, weil auf ihn das kartesische Koordinatensystem zurückgeht, in dem wir alle so gerne rechnen.
Tatsächlich gilt ja diese Geradlinigkeit aller kräftefreier Bewegungen überhaupt nur in Kartesischen Koordinaten, genauer gesagt in einer bestimmten Klasse von Kartesischen Koordinaten, den Inertialsystemen. Schon in Kugelkoordinaten ändert sich bei einem kräftefrei vorbeifliegenden Körper ständig sowohl die Radialgeschwindigkeit als auch die Winkelgeschwindigkeit. Und wenn man dann noch in ein rotierendes System übergeht, dann ist solch ein Körper gar nicht mehr kräftefrei. Dort zerren dann Zentrifugal und Corioliskraft am Körper und an allem, was ihn auf eine gerade Bahn zwingen möchte. So ist also letztlich nicht die Physik, also Mutter Natur, für die Bevorzugung der geraden Linie verantwortlich. Es ist die Definition der Koordinaten. Wir können eine Physik der geraden Linie betreiben, müssen es aber nicht. Oft wird die Physik in krummlinigen Koordinaten sogar einfacher.
In seinem Buch, Concepts of Space, wirft Max Jammer sogar die Frage auf, ob man die Gerade physikalisch überhaupt unabhängig von der Trägheit definieren kann.[2] Kann die Aussage “Ein kräftefreier Körper bewegt sich geradlinig, gleichförmig” tatsächlich als physikalisches Gesetz verstanden werden? Oder ist es vielmehr die physikalische Definition einer geraden Linie?
Die allgemeine Relativitätstheorie (ART) von Albert Einstein, deren Gültigkeit erst kürzlich auf kosmologischen Skalen gezeigt werden konnte, bringt uns ein gutes Stück weiter und führt von der geraden Linie weg. Nach ihr erfolgt die Trägheitsbewegung nicht mehr auf geraden Linien, sondern auf Linien der maximalen Eigenzeit, auf Geodäten. Die ART, die ich vor Jahren im Hotelzimmer auf einer Dienstreise gelernt habe, kann vollständig unabhängig von Koordinaten definiert werden und funktioniert auf krummen Linien so gut wie auf geraden. Sicher wird man immer Koordinaten brauchen, wenn es eine konkrete Situation zu berechnen gilt, aber zwischen unterschiedlichen Koordinaten kann man hin und zurück transformieren und in der ART treten dabei keine Scheinkräfte auf. Die Formulierung bleibt gleich.
Natürlich dachte Hundertwasser nicht an Physik, als er voraussagte, die gerade Linie führe zum Untergang der Menschheit. Er meinte Architektur und hielt geradlinige und sachliche Wohngebäude einfach für unmenschlich, also nicht dem Menschen gerecht werdend. Physikalisch ist die Aussage ebenfalls interessant. Ist die Bevorzugung der geraden Linie nicht auch in physikalischen Theorien eine Festlegung, die mehr schadet als nützt? Die ART ist mit all ihrer beliebig gebogenen Geometrie schwer zu durchschauen und sehr gewöhnungsbedürftig. Sie ist aber auch ein spannendes Denkexperiment, das mir geholfen hat, selbstverständlich scheinendes zu hinterfragen.
Zum Beispiel die Absolutheit der Rotation. Bei all unseren Erklärungen über Relativitätstheorie können wir eins nicht erklären: Warum bevorzugt die Natur rotationsfreie Systeme? Ist die Rotation, wie Mach vermutete, nur relativ zu den anderen Massen im Universum definiert, oder haben wir es hier tatsächlich mit absolutem Raum zu tun? Und wie ist es mit Beschleunigungen? Wäre Beschleunigung im absolut leeren Raum von gleichförmiger Bewegung zu unterschieden, oder braucht es dazu den Massenhintergrund? Diese Fragen kann auch die ART nicht beantworten. Vielleicht ist zur Beantwortung eine Quantentheorie der Gravitation nötig. Vielleicht aber müssen wir nur eine weitere, tiefer reichende Symmetrie der Physik erkennen. Solche Erkenntnisse haben in der Vergangenheit von Newtons absoluten Raum auf Galileos Relativität, von dort auf Einsteins spezielle Relativitätstheorie und schließlich auf die allgemeine Relativitätstheorie geführt. Es ist spannend, was die Zukunft hier bringt.
[1] Wilfried Kuhn “Ideengeschichte der Physik”, Viehweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden, 2001
[2] Max Jammer “Concepts of Space”, Third Edition, Dover Publications, Mineola, N.Y. 1993
absolute Raumzeit in der ART
Wieder mal ein toller Beitrag!
Als interessierter Laie war ich immer der Meinung, dass selbst die Raumzeit, selbst wenn sie aller materiellen Bezugspunkte beraubt ist, ein “Etwas” bietet, relativ zu dem sich die Beschleunigung von Objekten bestimmen lässt.
Oder ist das keine Folgerung aus der ART sondern ein Axiom für ihre Begründung?
Viele Grüße
Martin
Die Raumzeit ist etwas
Hallo Martin,
Ja, in der ART hat der leere Raum Eigenschaften. Aber das ist nichts neues. Auch in der klassischen Mechanik kann man ja ohne Bezugnahme auf äußere Objekte messen, ob man beschleunigt ist oder nicht. Das heißt, auch dort hat der Raum Balken. Newton ist nicht umsonst von der Existenz eines absoluten Raums ausgegangen.
Aber eines hat sich grundlegend geändert: Seit Anfang des 20. Jahrhunderts ist klar, dass schon die Tatsache, dass der Raum euklidisch ist, eine nicht triviale Eigenschaft des Raums ist. Newton hat also, wie auch seine Vorgänger und Nachfolger, zu viel als selbstverständlich angenommen.
Wir sollten vorsichtig sein, nicht den gleichen Fehler in Bezug auf Beschleunigungen zu machen.
Beschleunigung im absolut leeren Raum
so ganz leer scheint mir der Raum nicht zu sein; außer dem Objekt muss es nach dem Text ja auch noch einen “Unterscheider” geben; und wenn der da ist, dann lässt sich von dem Beschleunignung sehr wohl konstatieren
Stimmt
Wenn ich bei gutem Wetter nachts auf dem Balkon stehe, scheint mir der Weltraum auch nicht ganz leer zu sein.
Hatte ich behauptet, er sei leer?
Rotierende Welten
Ihrer Einschätzung, dass die Natur generell rotationsfreie Systeme bevorzugt, werden die Astrowissenschafter, die überall Rotationen erspähen, vermutlich nicht so ohne weiteres zustimmen wollen. Vielleicht sollte man hier etwas vorsichtiger formulieren, etwa in dem Sinne, dass die Natur scheinbar einen rotationsfreien Raum bevorzugt, gegen sich darin befindliche rotierende Objekte aber im Prinzip nichts einzuwenden hat.
Dass die Relativitätstheorie zur Frage nach einer Bevorzugung von Rotationsfreiheit keine entscheidenden Einsichten liefern kann, das würde ich nicht so sehen. In der Tat gestatten die Feldgleichungen rotierende Raumzeiten als Lösung, und das ist auch ganz in Ordnung. Es fällt dabei aber auch auf, dass rotierende Vakuum- oder Fluid-Lösungen ganz typisch dazu tendieren, geschlossene zeitartige Weltlinien zu beinhalten — und daher in Konflikt stehen zum Kausalitätsprinzip. Der bekannteste Vertreter dieser Klasse von Raumzeiten ist bestimmt Kurt Gödels rotierendes Universum. Die Frage, die Sie aufgeworfen haben, steht also möglicherweise gerade über die Relativitätstheorie in Verbindung mit der Frage nach der Kausalstruktur unserer Welt. Spannend ist das auf alle Fälle, da bin ich absolut Ihrer Meinung.
Rotierende Koordinatensysteme
Vielen Dank für diese Anmerkungen, Chrys.
Ich muss gestehen, ich war schlampig. Meine Frage hätte lauten müssen: Warum bevorzugt die Natur rotationsfreie KOORDINATENsysteme?
Das ist die alte Frage nach der Herkunft der Trägheitskräfte. Gäbe es Corioliskraft und Zentrifugalkraft auch ohne die umliegenden Massen, oder wird das nicht-rotierende Referenzsystem von dem Massen im Universum bestimmt.
Sie haben es ja angesprochen: Mit der ART lässt sich ein rotierendes Universum errechnen. Alles was wir sehen könnte relativ zum Raum rotieren. Damit hat die ART noch etwas vom absoluten Raum Newtons geerbt.
Der Raum definiert keine absolute Geschwindigkeit, er definiert aber eine absolute Rotation und Beschleunigung.
Einsprüche
Lieber Joachim
Ich habe mich an mehreren Absätzen gestoßen und lade zur Diskussion ein:
“Warum sind in der Physik so viele Zusammenhänge linear? Warum bewegt sich alles ausgerechnet auf geraden Linien?”
Zunächst muss man zwischen einem Gesetz, das einen linearen Charakter hat und geraden Linien unterscheiden. Ersteres sind Zusammenhänge zwischen zwei Größen und das Zweite sind Trajektorien von Testkörpern, also eine parametrisierte Bahn.
“So ist also letztlich nicht die Physik, also Mutter Natur, für die Bevorzugung der geraden Linie verantwortlich. Es ist die Definition der Koordinaten. Wir können eine Physik der geraden Linie betreiben, müssen es aber nicht. Oft wird die Physik in krummlinigen Koordinaten sogar einfacher.”
Klar, man kann immer zwischen Koordinaten hin und her transformieren, aber man kann manchmal ein Problem mit den falschen Koordinaten nicht lösen. Beispiel: Wasserstoff-Problem in der Quantentheorie. Nur mit Kugelkoordinaten separiert die Wellenfunktion für die Elektronen. “Gerade Linien” bzw. kartesische Koordinaten bringen einen hier definitiv nicht weiter.
Anderes Beispiel: Gerade Linien sind alles andere als natürlich und zweckmäßig bei einem Globus. Die Großkreise, also Längen- und Breitengrade, sind die Geodäten der Kugeloberfläche und sie sind keine geraden Linien.
Gestoßen habe ich mich auch an der Behauptung “Warum bevorzugt die Natur rotationsfreie Systeme?” – und stimme als Astrophysiker mit Kommentator Chrys überein.
Der Kosmos ist voll von rotierenden Systemen: Planetoiden, Planeten, Planetensysteme, Sterne, Mehrfachsternsysteme, Galaxien, Galaxienhaufen, sogar Schwarze Löcher – alles rotiert! Der Drehimpuls ist sozusagen eine natürliche Eigenschaft von kosmischer Materie und seine Erhaltung ist auf natürliche Weise verknüpft mit der Achsensymmetrie des Systems (vgl. Noether-Theorem). Ein achsensymmetrisches Linienelement (nach Papapetrou) ist also allgegenwärtig.
Die letzte Übertragung dieses offenbar recht fundamentalen “Rotationsprinzips” auf den Kosmos selbst gibt es zwar in Gestalt des rotierenden Gödel-Universums in der Theorie, aber dieser Kosmos widerspricht den astronomischen Beobachtungen – und auch dem kosmologischen Prinzip.
Zur Frage “Wäre Beschleunigung im absolut leeren Raum von gleichförmiger Bewegung zu unterschieden, oder braucht es dazu den Massenhintergrund?”
Was ist absoluter Raum in der ART? Ich denke, dass wir uns von diesem beim Übergang von der Newtonschen zur Einsteinschen Physik verabschiedet haben. Die Relativitätstheorie ist eine Theorie des Relationalen. Das Linienelement misst relative Abstände von Punkten und dieses ist invariant.
Ich erwarte nicht, dass uns eine Theorie der Quantengravitation weiterbringen wird, was absoluter Raum ist. Vielmehr wird sie uns weiterbringen, was leerer Raum ist, also das Quantenvakuum. In der ART ist leerer Raum exakt durch T = 0 beschrieben (Die resultierende Einstein-Gleichung im Vakuum G = 0 liefert Vakuumraumzeiten wie die Schwarzschild- oder die Kerr-Lösung ). Als materiefreier Raum darf auch der de-Sitter-Raum gelten, der mit einer kosmologischen Konstante beschrieben ist.
Von einer “Bevorzugung rotationsfreier Systeme” kann also genauso wenig die Rede sein, wie von einer “Bevorzugung der geraden Linie”.
Beste Grüße,
Andreas
Gödel, Einstein, Mach
Das ist so eine Frage über die ja schon Leibniz und Newton gestritten haben. Es steckt schon eine Begriffsevolution in der Sequenz
absoluter Raum -> Aether -> Metrik
Zur ersten Ersetzung findet sich u.a. einiges bei Max Jammer, zur zweiten sei noch Hermann Weyls “Space – Time – Matter” genannt. In der Relativitätstheorie ist durch die Metrik determiniert, welche Bewegungen beschleunigungsfrei (i.e., geodätisch) sind und welche nicht. In diesem Sinne sind die Metrik und die daraus abgeleiteten Begriffe absolut, allerdings auch ganz und gar koordinatenunabhängig. Hingegen war Newtons Vorstellung von absolutem Raum durchaus fest an ein Koordinatensystem geknüpft. Die Perspektive hat sich zwischenzeitlich gewandelt, Koordinaten werden nurmehr als ein Hilfsmittel der Darstellung verstanden.
Die SRT lässt sich relational interpretieren, und das war wohl 1905 auch Einsteins Sicht. Für die ART lässt es sich aber nicht mehr umgehen, dass man der Raumzeit selbst gewisse Eigenschaften zuschreiben muss, die schlecht zu einem klassischen Relationalismus passen. Relational oder absolut, das ist irgendwie auch ein Streit mit den falschen Begriffen. Schon für Weyl war die Relativitätstheorie dann einfach geometrisch, damit ist die Situation angemessen charakterisiert.
Bei seinem rotierenden Universum war Gödel schon gezielt darauf aus, die Existenz von (aus physikalischer Sicht) pathologischen Lösungen der Feldgleichungen zu demonstrieren. (Meines Wissens hat er bei dieser Gelegenheit auch das notorische “Grossvaterparadoxon” in Umlauf gesetzt.) Rotation spielt bei der Problematik um Pathologien eine zumindest exemplarische Rolle, insofern als sie die Entstehung von CTCs begünstigt. Offenbar macht es aber einen entscheidenden Unterschied, ob eine ganze Raumzeit rotiert oder ob eine beschränkte Massendistribution innerhalb einer Raumzeit rotiert. Letzteres erscheint ungefährlich, wie die Erfahrung zeigt, und das sollte auch in der ART entsprechend reflektiert sein.
Newton, Mach, Einstein, Gödel — hier ist noch ein nettes kleines Paper wo sie alle miteinander versammelt sind:
http://homepage.univie.ac.at/…del/dizzyPaper.pdf
@Andreas
Als Einladung zu Diskussionen möchte ich natürlich auch meinen Blog verstanden wissen.
Zu deinem ersten Punkt muss ich zugeben, dass ich zunächst einen umfangreicheren Artikel im Kopf hatte, in dem ich auch auf die Linearität eingegangen wäre. Allerdings haette das den Rahmen eines Blog-Artikels einfach gesprengt. Ich werde darauf ein andern Mal eingehen.
Deine Beispiele für Probleme, in denen mehrlinige Koordinaten sinnvoll sind, kann ich natürlich nur bestätigen. Das meinte ich mit dem Satz: Oft wird die Physik in krummlinigen Koordinaten sogar einfacher.
Auch deinen Widerspruch bezüglich der rotierenden Systeme meine ich schon in der Antwort auf Chrys geklärt zu haben. Ich meinte hier Koordinatensysteme und nicht Systeme von Objekten. Die rotierenden Galaxien sind ja gerade deshalb stabil, weil sie im Raum rotieren. Also letztlich, weil sie sich auf Geodaeten bewegen und nicht einfach in das Zentrum strömen können.
Chrys hat meines Erachtens klar formuliert, worauf ich hinaus möchte: In der Relativitätstheorie ist durch die Metrik determiniert, welche Bewegungen beschleunigungsfrei (i.e., geodätisch) sind und welche nicht.
Eine kleine Sonde, die im inneren einer Galaxie (irgendwo in einem Spiralarm) die Rotation einfach mitmacht, ruht relativ zu all den anderen Massen. Dennoch kann sie eine Rotation gegenüber dem Raum mit einem Gyroskop messen.
Oder nehmen wir die Erde: Wir können in jedem stationären Labor relativ einfach die Rotation der Erde nachweisen. Rotation ist auch in der ART nach wie vor etwas absolutes.
Nicht rotierende Koordinatensysteme sind gegenüber rotierenden Koordinatensystemen durch das Fehlen von Scheinkräften ausgezeichnet.
@Joachim und Chrys
Chrys sagte und Joachim pflichtete bei: “In der Relativitätstheorie ist durch die Metrik determiniert, welche Bewegungen beschleunigungsfrei (i.e., geodätisch) sind und welche nicht.”
Diesem Satz kann ich nur sehr eingeschränkt zustimmen. Die Geodätengleichung der ART legt fest, wie sich Teilchen bewegen – und diese hängt von der Metrik ab, okay. Aber darüber hinaus legen die Eigenschaften eines Testteilchens wie Ruhemasse, Impuls und Drehimpuls fest, wie die Bewegung (Geodäte) ausschaut. Kommen außerdem äußere Drücke hinzu, wird die Geodätengleichung komplizierter, weil die rechte Seite dann verschieden von null ist.
Es müsste also heißen: In der Relativitätstheorie ist durch die rechte Seite der Geodätengleichung festgelegt, ob die Bewegungen beschleunigungsfrei (i.e., geodätisch) sind oder nicht.
Ein anderes Gegenbeispiel: In der ART kann man durchaus einen beschleunigten Beobachter in der Minkowski-Metrik der SRT betrachten und verwendet dazu die Rindler-Koordinaten und erhält so aus der Minkowski-Metrik die Rindler-Metrik. Dieses Prozedere wird benutzt, um den Unruh-Effekt (Beschleunigungsstrahlung; ein Analog zur Hawking-Strahlung) herzuleiten.
Bitte auch aufpassen beim Begriff “geodätisch”. Es stimmt, dass im Bezugssystem eines geodätisch bewegten Körpers keine Kräfte auftreten. Beispiel: Eine frei fallende Person ist schwerelos, d.h. sie spürt ihr Gewicht nicht. Aber für einen Außenbeobachter, der die Person fallen sieht, ist es eine beschleunigte Bewegung, nämlich eine Person im freien Fall.
“Nicht rotierende Koordinatensysteme sind gegenüber rotierenden Koordinatensystemen durch das Fehlen von Scheinkräften ausgezeichnet.”
Ja, dem kann ich zustimmen.
kräftefrei
Es hätte “kräftefrei” heissen sollen, der Einwand ist berechtigt und akzeptiert. Auch das Stichwort Levi-Cività Zusammenhang wäre vielleicht angebracht gewesen, womit die Geodätengleichung dann eindeutig durch die Metrik bestimmt wird.
Noch zur Klärung der Terminologie. Mit Test-Partikel bezeichnet man oft auch einen mathematischen, eigenschaftslosen Punkt, der sich vor einer fixen Hintergrundmetrik bewegt. Für ein mehr realistisches Partikel mit physikalischen Eigenschaften gilt das ja nicht. Vielmehr sind dessen Eigenschaften dann Beiträge zum Energie-Impuls Tensor, der seinerseits über die Feldgleichungen die Metrik beeinflusst, wovon wiederum die Bewegungsgleichung des Partikels abhängt. Unabhängig davon ist in beiden Fällen die Bewegungsgleichung eine Geodätengleichung, die in obigem Sinne durch die jeweilige Metrik festgelegt ist. Die ursprünglich beabsichtigte Aussage lässt sich immerhin mittelbar stets an der jeweils in Betracht stehenden Metrik aufhängen.
@Chrys
Die Beschreibung mit Testteilchen trägt recht weit. So kann man einen Stern, der um ein supermassereiches Schwarzes Loch kreist (das eine um sechs bis neun Zehnerpotenzen größere Masse hat als der Stern) recht gut in diesem Testteilchenformalismus Formalismus.
Generell ist es vollkommen richtig, Chrys, dass zusätzliche Massen als zusätzliche Quellterme im Energie-Impuls-Tensor auftauchen müssen. Dann wird es in der Tat sehr kompliziert und wir kommen in das Regime der numerischen Relativitätstheorie, um diese Nichtlinearitäten näherungsweise zu berechnen.
Das Konzept der unveränderlichen Hintergrundmetrik wird gern genommen, wird im Allgemeinen aber nicht der Natur gerecht, weil jede Masse die Metrik deformiert.
Beste Grüße,
Andreas
@Andreas: Hintergrundmetrik
So war mein Beitrag auch nicht gemeint. Der Punkt ist doch, dass man, selbst wenn man den Einfluss aller Massen auf die Metrik berücksichtigt, immer noch Randbedingungen braucht, die die globale Struktur der Metrik festlegen. Im Fall der Schwarzschildmetrik nimmt man an, dass die Metrik weit außerhalb des Lochs Galileisch ist. Geht man davon aus, dass die Zentralmasse relativ zur äußeren Metrik rotiert, so kommt man auf eine andere Metrik, die Kerr-Metrik.
Die ART kommt meines Wissens nicht ohne solche Randbedingungen, also Grundannahmen über die Struktur des Raumes aus.
Oder irre ich mich da?
@Joachim
Mir ist die Sprechweise, dass eine Metrik “Galileisch” wird nicht bekannt; ich vermute Du meinst “Minkowskisch” bzw. die “asymptotische Flachheit” einer Metrik. Das sollte eine natürliche Eigenschaft einer gravitierenden Quelle sein, dass mit dem Abstand die Stärke der Gravitation (als die Krümmung der Raumzeit) abnimmt. Das muss auch nach dem Korrespondenzprinzip so sein, damit die Einsteinsche Gravitation in den Newtonschen Grenzfall übergeht.
Generell hast Du Recht, dass Grundannahmen über die Metrik gemacht werden müssen, also Annahmen über ihre Symmetrien, ihr “Fernfeld”, gegebenenfalls über ihre Krümmung (z.B. Raum konstanter Krümmung); es müssen aber gleichwohl Annahmen über die Quellen der Raumzeit gemacht werden, also über den Energie-Impuls-Tensor, z.B. ob es ein Vakuum sein soll (T = 0), eine ideale Flüssigkeit oder eine Raumzeit angefüllt mit einer kosmologischen Konstante.
Zur Ableitung einer Lösung der Einstein-Gleichung klärt man zuerst, welche Eigenschaften der Energie-Impuls-Tensor haben soll. (Trivial ist der Vakuumfall T = 0, der auf eine Einstein-Gleichung G = 0 führt. Aber schon die Ableitung der Kerr-Lösung ist für diese scheinbar triviale Einstein-Gleichung kompliziert.)
Zweitens macht man eine Annahme über die Symmetrien der Metrik, z.B. Kugel- oder Zylindersymmetrie. Aufgrund der Symmetrien müssen bestimmte Terme im Linienelement verschwinden; mathematisch leitet man daraus ab, dass die Lie-Ableitung der Metrik verschwinden muss – das ist die Killing-Gleichung mit den Killing-Feldern als Lösungen.
Und drittens muss man Eigenschaften der Metrik im „Fernfeld“ festlegen. Das ist häufig die “asymptotische Flachheit”, die aus o.g. Gründen plausibel ist.
Interessanterweise reichen wenige Annahmen, um die Kerr-Metrik (eine zweiparametrige Lösung der Einstein-Gleichung) zwingend abzuleiten, nämlich 1) Achsensymmetrie 2) asymptotische Flachheit 3) glatter, konvexer Ereignishorizont und 4) Regularität außerhalb des Horizonts. Der damit verbundene Eindeutigkeitssatz für die Kerr-Metrik heißt Robinson-Theorem.
Randbedingungen
Nur eine kurze Anmerkung hierzu. Für den Fall einer trivialen Massenverteilung, also des Vakuums, lässt sich relativ leicht einsehen, dass man ohne zusätzliche Annahmen i.a. keine eindeutigen Lösungen (M,g) erwarten darf, auch wenn man die Mannigfaltigkeit M vorschreibt und nur nach der Metrik g fragt. Im Fall des Vakuums sind die Feldgleichungen equivalent zu Ric = 0, d.h., man fordert nur Ricci-flach und belässt dem spurfreien Anteil des Krümmungstensors beliebige Freiheiten. Dieser Anteil, der Weyl Tensor, vermittelt insbesondere die Schwerkraft durch leere Gebiete einer Raumzeit und hängt ab von den Bedingungen am “Rand” solcher Gebiete (grob heuristisch gesprochen). Ein einfaches Beispiel wäre der Minkowski Raum im Vergleich zu den ebenen Gravitationswellen. Diese Wellen sind dann gewissermassen der Ausdruck eines ungezügelten Weyl Tensors.
Joachim Schulz schrieb (13. März 2010, vgl. 29. Januar 2019 @ 08:29):
> […] in einer bestimmten Klasse von Kartesischen Koordinaten, den Inertialsystemen [ http://www.relativitätsprinzip.info/inertialsystem.html ].
Dieser Auffassung ist entgegenzusetzen, was von W. Rindler folgendermaßen ausgedrückt wurde:
Auf der Seite http://www.relativitätsprinzip.info/inertialsystem.html liest man auch:
Um Entfernungen (Distanzen, bzw. deren Verallgemeinerungen) zwischen verschiedenen Objekten “in Zahlen zu fassen“, werden diese üblicherweise insgesamt als metrischer Raum (bzw. dessen Verallgemeinerungen) dargestellt.
Bewertungen, welche der Objekte ggf. gegenüber einander “gerade liegen”, und darauf aufbauend, die “Ausrichtungen” (Winkel) zwischen bestimmten Geraden, lassen sich aus den Distanz-Verhältnissen definieren und entsprechend ermitteln.
Im Übrigen gelten die betreffenden Objekte bzw. materiellen Punkte von vornherein als unterscheidbar und identifizierbar;
jegliche darüberhinausgehende Zuordnung von individuell verschiedenen Koordinaten (Tupeln reeller Zahlen) wäre lediglich eine zusätzliche individuelle Benennung.