Wozu die unsichtbaren Löcher stopfen?

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Über die Vollständigkeit der reellen Zahlen und anderer Objekte

Wenn man es genau nimmt, tragen die reellen Zahlen ihren Namen nur zur Hälfte zu Recht. Die eine Richtung geht noch: Wenn etwas in der Realität passiert, dann gibt es ein Ensemble von reellen Zahlen, das dieses Ereignis beschreibt. Zumindest in der Theorie; wie weit die Physiker beim Messen diesem Idealzustand nahekommen, ist eine andere Frage.

Aber in der anderen Richtung sieht es schlecht aus. Irgendwie ist der Mantel der reellen Zahlen viel zu weit für die Realität. Selbst in der Theorie ist es sinnlos, die Position eines Objekts genauer anzugeben als auf eine Planck-Länge, das sind ungefähr 1,6 x 10–35 Meter. Das ist zwar sehr klein, aber um die Position eines, sagen wir, Elementarteilchens auf einem metergroßen Experimentiertisch zu beschreiben, genügen ein paar Dezimalzahlen mit 35 Stellen. Und wenn es irgendwo im beobachtbaren Universum sein soll, mit seinem geschätzten Radius von 45 Milliarden Lichtjahren oder auch 2,3 x 1026 Metern, dann braucht man halt 62 Stellen oder etwas mehr, um auf der sicheren Seite zu sein.

Tun wir noch reichlich Stellen hinzu, um uns gegen die unvermeidlichen Rundungsfehler beim Rechnen abzusichern, und noch ein paar extra, damit uns auch für irgendwelche wilden Multiversen oder die nächste fantastische Stringtheorie ausreichend Beschreibungsmaterial zur Verfügung steht: Es bleibt für alle praktischen Zwecke bei einer Stellenzahl in den niedrigen Hundertern. Jedenfalls besteht kein ernsthafter Bedarf an unendlich vielen gültigen Dezimalstellen. Die sind es aber, die uns die großen theoretischen Schwierigkeiten mit den reellen Zahlen einbrocken. Sie sind nicht nur weitaus unendlicher als die natürlichen Zahlen („überabzählbar“), die weitaus meisten unter ihnen sind im Wortsinn unaussprechlich.

Warum tun sich die Mathematiker das an? Weil alles andere noch viel komplizierter wäre. Schon der Versuch, es sich anders vorzustellen, endet im Absurden. Ein internationales Gremium legt nach sorgfältiger Anhörung aller Beteiligten ein überschaubares Sortiment an Zahlen fest, die als reell gelten sollen? Und jeder, der ein neues Ergebnis findet, muss sich erst vergewissern, ob die von ihm errechnete Zahl in der Liste steht? Und alle paar Jahre muss die Liste im Licht neuer Erkenntnisse revidiert werden?

Nein. Man folgt dem allgemeinen Prinzip: Wenn man etwas unzweideutig definieren kann und diese Definition nicht auf Widersprüche führt, dann gibt es das. Die Gegenstände der Mathematik sind sowieso nicht der Natur entnommen (sondern allerhöchstens von der Natur inspiriert wie die „natürlichen“ Zahlen); also genießt eine komplizierte Zahl wie \(\sqrt 2\) dasselbe Existenzrecht wie die natürliche Zahl 2, über deren Existenz sich kaum jemand ernsthafte Gedanken macht.

Wie geht das mit dem Definieren? Üblicherweise über einen Grenzwertprozess. Wir kennen bisher nur die rationalen Zahlen. Die Zahl \(\sqrt 2\) zählt nicht dazu; aber wir finden eine Folge rationaler Zahlen, deren Grenzwert sie ist. Was heißt Grenzwert? Das ist die eindeutig bestimmte Zahl mit der Eigenschaft, dass ihre Differenz zu den Gliedern der Folge auf die Dauer kleiner wird als jedes positive Epsilon. Aber Vorsicht! Noch gibt es die Zahl nicht, sie soll ja erst definiert werden, also können wir auch ihre Differenz zu irgendwelchen Folgengliedern noch nicht bilden. Damit unsere Definition nicht aus Versehen zirkulär wird, müssen wir von einem Grenzwert reden, ohne das Wort Grenzwert in den Mund zu nehmen.

Das gelingt mit einem speziellen Konzept. Eine Folge heißt „Cauchy-Folge“, wenn der Abstand zweier Folgenglieder auf die Dauer kleiner wird als jedes positive Epsilon.

Für eine richtig saubere Definition genügt diese schwammige Ausdrucksweise nicht. Eine Lehrbuchformulierung lautet: Eine Folge \(a_n\) heißt Cauchy-Folge, wenn es für alle \(\epsilon >0 \) eine natürliche Zahl \(n_0\) gibt mit der Eigenschaft, dass für alle \(m,n>n_0\) gilt \(|a_m-a_n|< \epsilon \). Das kann man noch kürzer und ohne Wörter der Umgangssprache ausdrücken, indem man für die Formulierungen „für alle“ und „es gibt“ spezielle Symbole einführt. Dann gibt es gar keine Interpretationsfreiheiten mehr. Die formale Definition ist zugleich eine Anweisung, wie man zu beweisen hat, dass eine spezielle Folge eine Cauchy-Folge ist. Für einen beweisführenden Computer ist das gerade richtig. Leider muss ein gewöhnlicher Mensch über einer solchen Formulierung immer etwas länger brüten, bis er weiß, was gemeint ist.

Eine Cauchy-Folge ist also eine Folge, die einen Grenzwert haben könnte: Wenn alle ihre Glieder sich dicht beieinander tummeln, dann liegt es nahe zu glauben, dass es die eine Zahl gibt, der sie alle beliebig nahe kommen. Also deklarieren wir einfach, dass es sie gibt, und vergewissern uns, dass diese Deklaration nicht auf Widersprüche führt – was in der Regel kein Problem ist. Nur muss unsere neu definierte Zahl nicht die Eigenschaften der Folgenglieder haben, aus denen sie sozusagen hervorgegangen ist. Der Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen – jetzt dürfen wir darüber reden – ist nicht unbedingt eine rationale Zahl. Immerhin kann man Rechenregeln für irrationale Zahlen festlegen – ein erheblicher Schreibaufwand, weil man mit den Folgen hantieren muss, durch welche die beteiligten Zahlen definiert sind, und sich vergewissern muss, dass alles seine Richtigkeit hat. Aber das Ergebnis ist ohne unangenehme Überraschungen.

Die Menge der reellen Zahlen ist also „vollständig“, das heißt, jede Cauchy-Folge aus Elementen dieser Menge hat einen Grenzwert, der ebenfalls in der Menge liegt. Damit sind alle Löcher auf der Zahlengeraden gestopft. Ein etwas merkwürdiges Ergebnis, denn als man noch nichts als die rationalen Zahlen hatte, war die Zahlengerade auch schon gut gefüllt, und von Löchern war nichts zu sehen: Zwischen zwei rationalen Zahlen, einerlei wie dicht sie benachbart sind, liegen stets noch unendlich viele weitere rationale Zahlen. Vielleicht ist das Stopfen unsichtbarer Löcher nicht jedermanns Sache; für die Mathematik ist es unentbehrlich.

Richtig interessant wird das ganze Gerede von der Vollständigkeit erst bei Objekten, die uns weniger vertraut sind als die reellen Zahlen. Funktionen zum Beispiel. Zu den Lieblingsbeschäftigungen der Mathematiker zählt das Lösen von Gleichungen – genauer: Differenzialgleichungen –, bei denen die Unbekannten nicht bloß Zahlen, sondern Funktionen sind. Und mit Ausnahme der einfachsten Sonderfälle gibt es kein Lösungsrezept nach dem Muster „Forme die Gleichung so lange um, bis die Unbekannte allein auf der linken Seite steht“.

Vielmehr findet man typischerweise mit Mühe eine Funktion, die die Gleichung ungefähr löst. Die verwendet man zum Nachbessern, sucht also eine Funktion, die die Gleichung etwas besser löst, und so weiter. Das ergibt eine Folge von Näherungslösungen. Jetzt müsste man nur noch den Grenzwert bilden und hätte die Lösung – wenn es diesen Grenzwert denn gäbe. Und wenn man von so etwas wie einem Grenzwert überhaupt reden dürfte. Denn: Grenzwert ist, wenn der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert gegen null geht. Wenn die Folgenglieder Funktionen sind: Was ist der Abstand zwischen zwei Funktionen? Und wenn wir das wissen und es uns tatsächlich gelingt, eine Cauchy-Folge von Funktionen herzustellen: Gibt es einen Grenzwert? Das heißt, ist die Menge der Funktionen vollständig? Und welche Eigenschaften erbt der Grenzwert, so wir ihn denn definieren können, von seinen Folgengliedern?

Ganz so locker wie bei den reellen Zahlen sind diese Fragen nicht zu beantworten. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen Abstand zwischen zwei Funktionen zu definieren; je nach der konkreten Fragestellung ist die eine oder die andere sinnvoll. Entweder schaut man nach der Stelle, an der sich die beiden Funktionen am meisten unterscheiden, und nimmt diese Differenz – deren Betrag, um genau zu sein – als Maß für den Abstand. Oder man ist bereit, einzelne „Ausreißer“ zu tolerieren, wenn sie sich auf einen kleinen Bereich beschränken und die Funktionen einander im Übrigen sehr nahe sind. Bei Differenzialgleichungen geht es nicht nur um die Funktion selbst, sondern auch um deren Ableitungen; daher legt man gelegentlich Wert darauf, dass nicht nur die Werte der Funktion, sondern auch die der Ableitung nahe beieinander liegen.

Üblicherweise spricht man bei einer Menge von Objekten, die irgendeine Beziehung, zum Beispiel einen Abstand, zueinander haben, von einem „Raum“. Das legt die Vorstellung nahe, dass man sich innerhalb des Raums in verschiedene Richtungen („Dimensionen“) bewegen kann. Das ist zwar nicht zwingend – auch die reellen Zahlen sind ein Raum –, stimmt aber meistens. Funktionenräume haben sogar, wie unser dreidimensionaler Raum, Eigenschaften, die man von Vektoren kennt: Man kann die Funktionen des Raums addieren und mit reellen Konstanten multiplizieren, und das Ergebnis ist wieder ein Element des Raums. Insbesondere gibt es ein Nullelement, so etwas wie den Ursprung des Koordinatensystems. Nur haben Funktionenräume im Allgemeinen unendlich viele Dimensionen.

Wenn nun die Abstandsfunktion sich mit der Vektorraumstruktur des Funktionenraums verträgt, nennt man sie eine „Norm“ und den mit einer Norm ausgestatteten Raum einen „normierten Raum“. Vollständige normierte Räume genießen bei den Fachleuten ein so intensives Interesse, dass sich eine Bezeichnung für sie eingebürgert hat: „Banachraum“, nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach (1892 – 1945), der die Analysis auf Funktionenräumen („Funktionalanalysis“) maßgeblich begründet hat. Unzählige mathematische Arbeiten beginnen mit dem Satz: „Sei X ein Banachraum …“

Das mathematische Forschungsinstitut Oberwolfach im Schwarzwald ist für Mathematiker eine gute – für irdische Bedingungen sogar hervorragende – Näherung an das Paradies. Wenn nicht gerade Pandemie herrscht, findet dort jede Woche eine Tagung zu einem Spezialgebiet der Mathematik statt. Ungefähr 40 Leute können, aller Sorgen um alltägliche Dinge enthoben, Tag und Nacht mit ihresgleichen über Mathematik diskutieren. Das halten auch Mathematiker nicht ohne Unterbrechung aus, und deswegen gehört zum Oberwolfacher Ritual die geführte Wanderung am Mittwochnachmittag in die idyllische Umgebung. Das ist der Kontext für die folgende Geschichte, die sich durchaus in der Realität abgespielt haben könnte: Bei der Mittwochsexkursion kommt ein Teilnehmer gedankenverloren vom Weg ab, findet nach stundenlangem Umherirren einen abgelegenen Bauernhof und bittet dort um Hilfe. Der Bauer hat das schon mehrfach erlebt und ruft im Forschungsinstitut an. Während man auf das Auto wartet, das den Verirrten heimholen soll, fragt ihn der Bauer: „Was machen Sie eigentlich den ganzen Tag im Forschungsinstitut?“ Da blüht der bis dahin etwas bedröppelte Wissenschaftler auf: „Das kann ich Ihnen sagen! Sei X ein Banachraum …“

Jetzt haben wir eine elementare Ausrüstung beisammen, um uns in irgendwelchen Funktionenräumen auf die Wanderschaft zu begeben. Aber das Wandern ist gewöhnungsbedürftig! Jeder Punkt dieser abstrakten Landschaft ist eine Funktion, also nicht bloß drei Koordinaten, sondern ein ziemlich komplexes Objekt.

Wenn wir uns in einem Banachraum herumtreiben, kann man die Norm einer Funktion oder ihre Abweichung von der Idealgestalt als eine Höhe über dem Meeresspiegel verstehen. Dann gibt es Auf- und Abstiege, und vor allem geht es darum, ans Meer zu kommen. Nur: Aussicht gibt es keine! Wegweiser sowieso nicht. Allenfalls von der nächsten Umgebung seines aktuellen Standorts gewinnt man eine nebelhafte Vorstellung.

Die Vollständigkeit unseres Banachraums garantiert uns nur, dass wir auf unserem Weg zum Ziel nicht in ein Loch fallen. Aber wie kommen wir zum Ziel? Das ist eine Wissenschaft für sich. Demnächst will ich Ihnen einen solchen Weg zeigen. Das Ziel ist die Funktion, die den Anspruch des Laplace’schen Dämons auf Allwissenheit rechtfertigt.

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

24 comments

  1. Entscheidend ist, was eine Zahl ist.
    Entscheidend ist, dass man zwischen einer Zahl (dem Wert) und der Zahldarstellung unterscheidet.

    Das Besondere an den Zahlen ist, dass sie nützlich sind und dass man sie so lang machen kann, wie man will.
    Mit sehr viel Nachkommastellen z.B. von der Wurzel 2 kann man die Genauigkeit von neutentwickelten Prozessoren überprüfen. Wie sonst ?

    Mit einer sehr großen Primzahl kann man ein asymmetrisches Verschlüssellungsverfahren benützen, dass nur der beherrscht, dier diese große Primzahl beherrscht. Zahlen haben also auch eine Macht !

    Sehr große Zahlen braucht man auch bei der Kombinatorik. Die Lasswitsche Bibliothek hat 10 hoch 2 Millionen Bände. Die füllt das ganze Universum aus. In Zahlen ausgedrückt 10 hoch 2 Millionen.

    Das erfreut den Mathematiker. Das lässt jeden Mensch staunen.
    Zahlen sind etwas Geistiges !

    Das mit dem Banachraum habe ich noch nicht verstanden.

    • @hwied (Zitat): Entscheidend ist, was eine Zahl ist.
      Christoph Pöppe hat Zahlen „nur“ für den Einstieg, für die Einleitung seines eigentlichen Anliegens herangezogen. Sein eigentliches Anliegen scheint mir mit folgender Frage erfassbar: Sind Funktionen so vollkommen formbar wie Ton, so dass man beliebig nahe an eine „Grenzfunktion“ , also an die gewünschte Funktion, die Zielfunktion, herankommen kann, einfach indem man Funktionen richtig zusammensetzt, sie wie Legosteine benutzt oder sie dementsprechend „formt“.

      Weil sie aber schon über Zahlen schreiben, möchte ich einen Satz von ihnen aufgreifen (Zitat):
      Das Besondere an den Zahlen ist, dass sie nützlich sind und dass man sie so lang machen kann, wie man will.
      Zustimmung, wobei in der Praxis oft genau die umgekehrte Zielsetzung gilt: wie mach ich die Zahl möglichst kurz (möglichst wenig Stellen), genau so kurz, dass sie meine Anforderungen erfüllt – und nicht länger.
      Denken sie nur an die Informatik, also an die Welt der Elektronik, wo grundsätzlich alles beschränkt ist. Dort begann man mit 8-Bit – Zahlen und erst gegen das Jahr 2000 war man bei 64-Bit – Zahlen angelangt und viele denken immer noch, dass sei doch verschwendeter Aufwand für das bisschen mehr, das man dadurch erhält.

      In der Physik stellt sich sogar grundsätzlich die Frage, ob beliebige Genauigkeit von Zahlen nicht in die Irre führt. Denn ist nicht in der Physik und im Leben überhaupt alles endlich? Könnte es nicht sogar sein, dass man in der Physik beispielsweise mit 128 oder 256 Bit auskommt und es nie mehr Bit braucht als eben die 128 oder 256? Das weiss man in der Tat noch nicht, aber es gibt viele Physiker, die in der Tat überzeugt davon sind, dass die reellen (und imaginären) Zahlen der Mathematiker zwar sehr nützlich für Berechnungen sind, dass sie aber eine Informationsfülle vortäuschen, die es in der Wirklichkeit, also in der physikalischen Welt, gar nicht gibt.

  2. Christoph Pöppe schrieb (21. Apr 2021):
    > […] Wenn man etwas unzweideutig definieren kann und diese Definition nicht auf Widersprüche führt
    > […] Wie geht das mit dem Definieren? Üblicherweise über einen Grenzwertprozess.

    > […] Die Zahl \(\sqrt{2}\) […] wir finden eine Folge rationaler Zahlen, deren Grenzwert sie ist.

    Jedenfalls lässt sich das Vergleichen der (formal gegebene) Zahl \(\sqrt{2}\) mit jeder einzelnen rationalen Zahl (die durch Angabe von Zähler \(u\) und von Nenner \(v\) formal gegeben sei) auf das Berechnen und Vergleichen von natürlichen Zahlen zurückführen:

    falls \( 2 \, v^2 \lt u^2 \), dann gilt \( \sqrt{2} \lt \frac{u}{v}.\)

    Was dabei helfen mag, die Angabe “alle rationalen Zahlen, die kleiner als \(\sqrt{2}\) sind” für unzweideutig zu halten;
    und wohl auch erlaubt, bestimmte Folgen rationaler Zahlen, von denen zumindest einige im konkreten Detail jeweils unaussprechlich wären, kollektiv als “Folgen rationaler Zahlen, deren Grenzwert jeweils \(\sqrt{2}\) ist” anzusprechen.

    > […] Eine Folge heißt „Cauchy-Folge“, wenn der Abstand zweier Folgenglieder auf die Dauer kleiner wird als jedes positive Epsilon.
    > […] Eine Lehrbuchformulierung lautet: Eine Folge \(a_n\) heißt Cauchy-Folge, wenn es für alle \(\epsilon \gt 0\) eine natürliche Zahl \(n_0\) gibt mit der Eigenschaft, dass für alle \(m,n \gt n_0\) gilt \(|a_m – a-n| \lt \epsilon\).

    > […] Die formale Definition ist zugleich eine Anweisung, wie man zu beweisen hat, dass eine spezielle Folge eine Cauchy-Folge ist. Für einen beweisführenden Computer ist das gerade richtig.

    Diese zitierten Formulierungen der Definition einer „Cauchy-Folge“ könnten diejenigen, die einen beweisführenden Computer programmieren bzw. bedienen, auf die Idee bringen (dazu verleiten), “jedes positive Epsilon” (als eine bestimmte Menge) ausdrücklich als “Argument (im Sinne des Programmierens bzw. Berechnens)” anfordern bzw. eingeben zu wollen.

    Es lassen sich aber auch äquivalente Formulierungen finden (oder handelt es sich doch um inäquivalente Definitionen ?), in denen “Epsilon” gar nicht erwähnt und gebraucht wird; z.B.

    \(\forall j \, \exists q \ge p \gt j : \forall r \ge s \ge q \, |a_s – a_r| \lt \frac{1}{2} \, |a_p – a_j|.\)

    > […] Üblicherweise spricht man bei einer Menge von Objekten, die irgendeine Beziehung, zum Beispiel einen Abstand, zueinander haben, von einem „Raum“. Das legt die Vorstellung nahe, dass man sich innerhalb des Raums in verschiedene Richtungen („Dimensionen“) bewegen kann.

    Schon in zweidimensionalen Räumen (d.h. in denen die Radien der Umkugeln um je vier gewählte Punkte nicht beliebig klein sein können) kann es (jeweils “von einem bestimmten Ursprungs-Punkt aus”) sehr viele verschiedene Richtungen geben (jeweils “zu einem anderen Punkt”, so dass keine zwei solcher “anderen Punkte” bzgl. des “Ursprungs” gerade lagen, also alle drei insgesamt eine verschwindende Cayley-Menger-Determinante aufwiesen).

    > […] Funktionenräume haben […] Eigenschaften, die man von Vektoren kennt: Man kann die Funktionen des Raums addieren und mit reellen Konstanten multiplizieren, und das Ergebnis ist wieder ein Element des Raums.

    > […] wie unser dreidimensionaler Raum

    “Unseren dreidimensionalen Raum” von vornherein als Vektorraum aufzufassen, und nicht etwa (“nur” und “schlicht”) als eine Menge (von ausgewählten identifizierbaren “Punkten”) deren Elemente jeweils paarweise einen bestimmten Abstand zueinander haben, läge “uns Nicht-Mathematikern” allerdings fern.

  3. Frank Wappler schrieb (22.04.2021, 17:00 o’clock):
    > […] z.B. […]

    Um das Beispiel noch betont unzweideutiger zu notieren:

    \(\forall \, j : \left( \exists \, q \ge p \gt j : \left( \forall \, r \ge s \ge q : \left( |a_s – a_r| \lt \frac{1}{2} \, |a_p – a_j| \right) \, \right) \, \right) .\)

    • @Frank Wappler / 22.04.2021, 17:11 o’clock

      »> […] z.B. […]«

      Warum dann nicht einfach so?
      \[
      \forall \nu\in\mathbb{N}_+\,\exists n_\nu\in\mathbb{N} : \left(\forall m,n \gt n_\nu : |a_m – a_n| \lt 1/\nu\right)
      \]

      • Chrys schrieb (23.04.2021, 23:50 o’clock):
        > <em Warum dann nicht einfach so? […]

        Weil bzw. sofern

        – für das Programmieren und Ausführen des entsprechenden Beweisalgorithmus die Menge \(\mathbb N_{+}\) ausdrücklich bereitzustellen wäre; und

        – die Indices der gegebenen Folge, die untereinander geordnet und vergleichbar sind, i.A. nicht unbedingt bzw. nicht eindeutig mit Elementen der Menge \(\mathbb N_{+}\) vergleichbar sind.

        Abgesehen davon natürlich: hübsche Idee.

        • Diese zitierten Formulierungen der Definition einer „Cauchy-Folge“ könnten diejenigen, die einen beweisführenden Computer programmieren bzw. bedienen, auf die Idee bringen (dazu verleiten), “jedes positive Epsilon” (als eine bestimmte Menge) ausdrücklich als “Argument (im Sinne des Programmierens bzw. Berechnens)” anfordern bzw. eingeben zu wollen.

          Ich fürchte, da liegt eine Begriffsverwirrung vor. Wenn ein Mensch oder auch ein Algorithmus eine Aussage beweisen soll, die mit “Für alle epsilon >0” oder auch “Für alle natürlichen Zahlen n” beginnt, muss er dafür nicht die Menge aller positiven reellen Zahlen bzw. die Menge aller natürlichen Zahlen “ausdrücklich bereitgestellt” oder “explizit zur Verfügung” haben (was immer das genau heißen mag). Die Forderung wäre ohnehin unerfüllbar, einerlei ob man es mit oder ohne epsilon formuliert: Unendliche Mengen sind sowieso nicht explizit in einem endlichen Kopf / Computerspeicher repräsentierbar.
          Das ist aber auch gar nicht nötig. Der Beweis geht so: Du sagst “Sei epsilon > 0” und definierst damit erstmal nur ein Symbol namens epsilon. (Das soll in deiner Vorstellung jede positive reelle Zahl vertreten, aber die Vorstellung ist nicht erforderlich; der Algorithmus kommt auch ohne aus.) Dann rechnest du mit dem Symbol rum wie mit jeder positiven reellen Zahl, achtest dabei sorgfältig darauf, dass du ihm nicht aus Versehen irgendwelche Eigenschaften andichtest, die über “>0” hinausgehen, und kommst hoffentlich zu der Ungleichung oder was auch immer die zu beweisende Aussage war. An keiner Stelle musst du dabei über die Menge, zu der das epsilon bzw. n gehört, auch nur explizit nachdenken.
          Deswegen sehe ich auch nicht, was die alternative Formulierung des Cauchy-Kriteriums einbringen soll. So wie es aussieht, ist jede Wappler-Folge eine Cauchy-Folge und umgekehrt. Aber ich vermute, dass das Wappler-Kriterium im Einzelfall mühsamer zu beweisen ist als das Cauchy-Kriterium. Wozu dann der zusätzliche Aufwand?

    • @Frank Wappler / 24.04.2021, 08:45 o’clock

      Ehrlich gesagt, mir ist nicht klar geworden, was Dir da eigentlich als Problem vorschwebt. Einstweilen haben wir es nur doch mit einer Definition zu tun. Und eine Definition wird nicht bewiesen.

      Implizit hast Du \(\mathbb{N}\) als Indexmenge dabei ohnehin schon akzeptiert. Denn sofern nicht anderslautend spezifiziert, ist eine Folge \(a_n\) in \(X\) schliesslich by default zu verstehen als eine Abb. \(a:\mathbb{N} \to X, \text{ def. by } n \mapsto a_n\).

    • @Wappler vs. Cauchy

      Eine konstante Folge \(a_n = a_0\;\forall n\) wäre ein Beispiel für eine Cauchy Folge, die beim Wappler Kriterium durchfällt, wegen
      \[
      \underbrace{\left|a_s – a_r\right|}_{=0} \lt \underbrace{\tfrac{1}{2}\left|a_p – a_j\right|}_{=0}.
      \]

      • Nanu? Das ging doch sonst… Neuer Versuch:

        \[
        \underbrace{\left|a_s – a_r\right|}_{=0} \lt \underbrace{\frac{1}{2}\left|a_p – a_j\right|}_{=0}.
        \]

    • Frank Wappler wrote (22.04.2021, 17:11 o’clock):
      > […]

      Yet another typo to fix:

      \(\forall \, j : \left( \exists \, q \ge p \gt j : \left( \forall \, r \ge s \ge q : \left( |a_s – a_r| \le \frac{1}{2} \, |a_p – a_j| \right) \, \right) \, \right) .\)

  4. Die Wissenschaft, die Tautologie, so auch die Mathematik eingeschlossen, die Fähigkeitslehre von erkennenden Subjekten ist hier gemeint inklusive ihrer Formulierungen (das Geben von Form ist also gemeint) und ihrer Theoretisierungen (das Geben von Sicht (auf Welt bspw. aber auch die Sicht auf Sicht, die Metasicht kann gemeint sein)), ist Veranstaltung.
    Insofern misst das erkennende Subjekt ausschnittsartig, näherungsweise und an Interessen (!) gebunden, um in der Folge den Ausschnitt meinend, die Näherung und an Interessen (!) gebunden die Sicht, die Theorie, die Sichtenbildung, die Theoretisierung zu suchen – und auch zu finden.
    Was gelingt, seitdem nicht mehr die Verifikation, sondern die Anhäufung von Evidenz für zumindest temporär und den Ort meinende physikalische Theorie gesucht, auch gefunden wird.
    Theorien als (noch) empirisch adäquat, beschreibend, erklärend und die Prädiktion suchend zu pflegen.
    Die Prädiktion, die auch Anwendungen erlaubt, nur die szientifische Methode ist sozusagen so cool so belastbar Anwendungen zu erlauben bis gar weiter zu entwickeln, ist besonders nützlich.
    An sich könnte die Natur auch als “Black Box” betrachtet werden, im defätistischen Sinne, dies wollen wir aber nicht.
    Im utilitaristischen Sinne sozusagen nicht.

    Wissen kann immer in “n:m”-Beziehungen zwischen erkennendem Subjekt und Gegenstand verwaltet werden, dies nur als Randnotiz, was abär den behaupteten Veranstaltungsinhalt der hier gemeinten Bemühung unterstützt, als Aussage.

    Hier – ‘Selbst in der Theorie ist es sinnlos, die Position eines Objekts genauer anzugeben als auf eine Planck-Länge, das sind ungefähr 1,6 x 10–35 Meter.’ – würde Dr. Webbaer a bisserl ablehnend werden wollen, denn die Mathematik ist ja Formalwissenschaft und insofern, auf die Welt bezogen, metaphisch unterwegs und sollte sich nicht beschränken, das Denkmögliche meinend.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer (der sich sicher ist, dass alles ganz grob, wie von ihm geschrieben, im dankenswerterweise bereit gestellten Inhalt bereits gemeint war)

  5. *
    metaph[ys]isch

    PS und bevor hier Missverständnisse aufkommen, nicht gemeint war im Intro, dass die Wissenschaft (nur) Tautologie ist.

  6. Martin Holzherr,
    danke für die ausführliche Antwort.
    Jetzt kommen wirr zum zweiten Teil, der Zahldarstellung.
    Die Irrationalzahl Wurzel von 2 lässt sich mindestens auf drei Arten darstellen.
    1. Als Gleichung x² – 2 = 0
    2. Als Kettenbruch 1 + [2,2,2….]
    3. Als Fixpunktgleichung x = N (x) = ½ (x + 2/x)
    Mit dem Iterationsverfahren
    x tief n+1 = N (x tief n ), n = 1,2,…..
    Anmerkung: bereits nach 11 Iterationen haben wir 11 richtige Stellen.

    Das bedeutet , wir können mit dem Computer die Wurzel aus 2 auf beliebige Länge ausrechnen.
    Es bedeutet auch, dass die Zahldarstellung als Dezimalbruch vollständig nicht möglich ist.
    Und deswegen ist es sinnvoll Gleichungen, genauer deren Fixpunkte, als Zahlen zu bezeichnen.

    Bei den Fraktalen sind die Fixpunkte der Schnittpunkt von sogar zwei Funktionen, von denen eine gegen die andere iteriert.

    Fazit: die kürzeste Darstellung einer Zahl ist die als Grenzwert einer Funktion oder Schnittpunkt von mindestens zwei Funktionen.

    • @hwied (Zitat): „ Und deswegen ist es sinnvoll Gleichungen, genauer deren Fixpunkte, als Zahlen zu bezeichnen.„
      Ja, so oder so ähnlich. Nur können sie damit nur „Zahlen mit Namen“ ( in Christoph Pöppes Diktion) ausdrücken, also Zahlen wie Pi, Wurzel 2 und so weiter.
      Wie Christoph Pöppe im letzte Artikel schrieb gibt es aber in der Menge aller reellen Zahlen nur wenige mit Namen und die Wahrscheinlichkeit auf eine zu treffen, wenn sie nach dem Zufallsprinzip eine beliebige Zahl auf dem Zahlenstrahl herauspicken, diese Wahrscheinlichkeit ist exakt 0.

  7. Dr. Webbaer,
    ihr letzter Abschnitt ist richtig. Ich möchte sogar behaupten, die Mathematik geht über die Realität hinaus, sprich, sie ist komplexer als die Realität.
    Das entspricht dem philosophischem Konstruktivismus.
    Beispiel: Eine fraktale Landschaft gibt es in der Realität nicht, es gibt sie in der Mathematik. Wir können also von einem Geist ausgehen, der der Realität überlegen ist.

  8. Mathematik ist Metaphysik.
    Jedes Denken über die Welt ist Metaphysik, oft ist es gut direkt physikalisch, naturwissenschaftlich vorzugehen, es bleibt aber, in gewissem Sinne, metaphysisch, wenn die Natur als sozusagen Black Box bearbeitet bleibt.
    Im skeptizistisch-konstruktivistischen Sinne.

    Dennoch macht es Sinn zwischen der theoretisierenden Bearbeitung der Natur und dem Bearbeiten der sozusagen Theorie der derartigen Bearbeitung, möglichst streng, zu unterscheiden.

    Dr. W ist insofern streng der Idee verbunden, dass der Weg, die szientifische Methode, auch das Ziel ist, Veranstaltungscharaktere meinend, die an dieser Stelle bestimmend zu sein scheint.

  9. Dr. Webbaer,
    allgemeine Zustimmung. Mit einer Einschränkung: ” Wenn du denkst, du denkst, dann denkst du nur du denkst, denn das Denken der Gedanken ist gedankenloses Denken aber denken tust du nie.
    Schönes Wetter heute !

  10. Martin Holzherr,
    Die natürlichen Zahlen haben keinen Namen außer dem Zahlnamen weil die Mengeneigenschaft der Zahl so dominant ist. Wir vergessen dabei ,dass jede natürliche Zahl im allgemeineren Sinn auch schon eine Abstraktion darstellt, nämlich die Summe von kleineren Einheiten. 1 Pferd besteht aus zig Quadrillionen Atomen. Uns genügt die Aussage = 1 Pferd.

  11. Chrys schrieb (24.04.2021, 14:24 o’clock):
    > […] Einstweilen haben wir es nur doch mit einer Definition zu tun.

    … oder mit mehreren nicht-äquivalenten Definitionen …

    > Und eine Definition wird nicht bewiesen.

    Definitionen sind an sich nicht zu beweisen. (Da bist Du offenbar ganz meiner Meinung. ;)
    Aber: Definitionen werden benutzt, um Beweise zu führen. Wie Christoph Pöppe im obigen SciLog schrieb, und ich schon in meinem ersten Kommentar hier (22.04.2021, 17:00 o’clock) zitierte:

    Die formale Definition ist zugleich eine Anweisung, wie man zu beweisen hat, dass […]

    Aber wie konkret ist “die” betreffende Anweisung ??

    Die “naivest-denkbare Brute-Force-Methode” (nämlich jeden einzelnen Wert “Epsilon” bzw. \(\nu\) für sich zu überprüfen) wäre unzureichend.
    (Was man sicherlich von vornherein durchdenken und wissen kann, weil die damit verbundenen Mengen unendlich sind;
    was ein hinreichend naiver Programmierer oder Nutzer aber eben doch erst durchdenken bzw. lernen müsste.)

    Und im Zusammenhang mit anderen, vermeintlich aussichtsreicheren Anweisungen hat Christoph Pöppe gerade (24.04.2021, 17:54 o’clock) das in Beschreibungen von Algorithmen eher untypische Wort “hoffentlich” gebraucht …

    > Ehrlich gesagt, mir ist nicht klar geworden, was Dir da eigentlich als Problem vorschwebt. […]

    Nach einiger Introspektion ging und geht es mir weniger darum, “die Epsilons loszuwerden (weil es unendlich viele davon gibt)”;
    sondern vielmehr der Intuition zu folgen, dass sich “das Wesentliche” so weit verallgemeinern lässt, dass sich injektive Funktionen jeweils einer (unendlichen) geordneten Menge in eine (andere) geordnete Menge entsprechend behandeln (auf “zutreffend” oder “nicht zutreffend” unterscheiden) lassen, ohne dass “Metrisches” dabei irgendeine Rolle spielt.

    (Die Idee einer solchen Definition konkreter zu skizzieren, womöglich gar mit \(LaTeX\)-Notation, verkneif ich mir zunächst. Erst einmal schauen, ob unter [[Cauchy space]] und [[Convergence space]] und [[Filters in topology]] schon etwas Passendes zu finden ist …)

    p.s.
    Chrys schrieb (25.04.2021, 16:20 o’clock):
    > Eine konstante Folge […]

    Da hab ich mir ja (wieder mal) einen peinlichen und ärgerlichen Schreibfehler geleistet! (Ist mittlerweile berichtigt. &)

  12. Warum Funktionen viel wichtiger sind als Zahlen
    Raketeningenieur M: “42 ist die Lösung. 42 Sekunden nach dem Wiedereintritt in die Atmosphäre wird der Punkt der maximalen Hitze- und Druckentwicklung erreicht.”
    Projektleiter N: “42? Nein ich will mehr, ich will den ganzen zeitlichen Verlauf vom Wiedereintritt bis und nach der maximalen Temperatur- und Druckentwicklung auf das Hitzeschild unseres Wiedereintrittkörpers.”

    Diese kleine Anekdote zeigt folgendes:
    Heute wollen wir fast immer mehr wissen als eine Zahl, uns genügt es nicht zu hören, die Welt gehen genau am 13.7.2133 unter, sondern wir wollen wissen wie es dazu kommt, Schritt für Schritt. Das heisst, die Lösungen, nach denen wir verlangen sind Funktionen, nicht nur einzelne Zahlenwerte (Funktionswerte).

    Ein grosser Teil der Physik und Technik stützt sich auf Verfahren, die nach Funktionen und nicht nach Zahlen als Lösungen von Problemen suchen. Besonders prominent sind hier partielle Differentialgleichen, denn mit partiellen Differentialgleichungen kann man einen Grossteil der Erkenntnisse der Physik ausdrücken und partielle Differentialgleichungen stehen oft am Anfang von Projekten wie der Klima- oder Strömungsmodellierung oder auch von Alltagskram wie Wettervorhersagen. Und die Lösung von partiellen Differentialgleichungen sind Funktionen. Aber selbst wenn wir für ein physikalisches System oder etwas anderes, zeitlich sich Entwickelndes keine Differentialgleichung zur Hand haben wollen wir trotzdem die weitere zeitliche Entwicklung modellieren, das heisst in sehr vielen Fällen suchen wir nach Funktionen als Lösungen.

    Mathematiker wie Christoph Pöppe entwickeln die theoretischen Grundlagen für die Räume in denen Funktionen beheimatet sind und zeigen oder beweisen uns gar wie weit wir gehen können und was mit Funktionen alles möglich ist.
    Sogenannt analytische Lösungen von beispielsweise Differentialgleichungen und Differentialsgleichungssystemen liefern uns allein mit einem mathematischen Apparat die gewünschten Funktionen, die die gesuchte Lösung darstellen. Doch analytische Lösungen gibt es nur in den allereinfachsten Fällen. Numerische Näherungsverfahren, die uns die Funktionen Punkt für Punkt liefern sind hier die Regel, doch auch diese Verfahren sind aufwendig und in vielen Fällen zu numerisch, zu stark auf ein Gitter von Berechnungsstellen, abgestellt.
    Doch jetzt kommt etwas Neues dazu, jetzt kommen als neue superschnelle Löser von Differentialgleichungen Funktionsapproximatoren auf der Basis von neuronalen Netzen. Diese liefern die gewünschten Funktionen aufgrund eines Trainings mit Daten, ja sie sind sogar in der Lage Funktionen als Input zu nehmen und neue Funktionen als Output zu liefern, etwas was man Operatoren nennt.

    DeepONet und Fourier Neural Operator (FNO) als Künstliche Neuronale Netze für Operatoren
    DeepONet ist ein speziell konstruiertes neuronales Netz, welches Lösungen (Funktionen) für partielle Differentialgleichungen liefert. Es wird mit einem numerischen Löser für partielle Differentialgleichungen trainiert bis es schliesslich viel besser und allgemeiner arbeitet als der numerische Löser, der als Trainier dient, je war. DeepONet benutzt je ein neuronales Netz für die Eingabeseite (die Eingabedaten der partiellen Differentialgleichung) und eines für die Ausgabeseite (die Funktionen, welche die Lösung der Differentialgleichung sind) und es stimmt die beiden Netze im Trainingsprozess aufeinander ab, so dass es immer besser und schneller wird.
    DeepONet ist sehr allgemein und kann auf alle denkbaren Differentialgleichungen angesetzt werden. Doch für jede neue Differentialgleichung benötigt es auch ein neues Training.
    Das ist beim künstlichen neuronalen Netz namens Fourier Neural Operator (FNO) schon etwas besser. Dieses FNO kann gleich eine ganze Familie von partiellen Differentialgleichungen lösen ohne dass für jedes Familienmitglied ein neues Training nötig ist. Dazu benützt es einen Trick, eine Art Vereinheitlichungsverfahren: FNO lässt die Eingabedaten zuerst durch einen Fourier Transformer passieren, wendet erst dann das Neuronale Netz an und verfüttert das Resultat schliesslich einem reversen Fourier Transformer. Ein Fourier Transformer verwandelt Eingabedaten/funktionen in eine Summe von Sinus-/Cosinugsschwingungen und sorgt damit für die gewünschte Vereinheitlichung. Der reverse Fourier Transformer wandelt die erzeugten Ausgabe-Sinus/Cosinus-Funktionen schliesslich wieder ins gleiche Format in dem sich die Eingabedaten ursprünglich befanden.
    FNO ist unheimlich schnell und kann wie gesagt mit einem Training gleich dazu gebracht werden, eine ganze Familie von Differentialgleichungen zu lösen.
    Mehr dazu liest man im Quanta-Artikel Latest Neural Nets Solve World’s Hardest Equations Faster Than Ever Before

    Heute ist noch unklar, wieweit man FNO, also dem Fourier Neuronal Operator trauen kann, wie weit man also mit einem einzigen Training ganze Familien von partiellen Differentialgleichungen abdecken kann. Doch es gibt ja jetzt bereits zwei solche neuronale Netze, die nicht nur partielle Differentialgleichungen lösen können sondern die ganz allgemein für Funktionen als Eingabedaten neue Funktionen als Ausgabedaten, als Lösungen liefern können.

    Was aber ist der Zusammenhang dieses kurzen Exkurses mit dem Beitrag von Christoph Pöppe
    Über die Vollständigkeit der reellen Zahlen und anderer Objekte
    Nun, in diesem aktuellen Beitrag geht es ja nicht mehr nur um Zahlen, sondern um Funktionen oder etwas allgemeiner um Funktionsräume und ihre Vollständigkeit. Christoph Pöppes Anspruch an Funktionen in den von ihm betrachteten Funktionsräumen ist aber sehr rigoros: er sucht nach der Vollständigkeit des Funktionenraumes und das würde bei einer „Cauchy-Folge“ von Funktionen bedeuten, dass wir unendlich viele und unendlich fein abgestufte Funktionen müssten bilden können. Das scheint recht ambitioniert und auch recht theoretisch. Doch wahrscheinlich hilft es letztlich sogar dabei, etwa zu zeigen wie weit man Vertrauen haben kann in Verfahren wie DeepONet und Fourier Neural Operator .

  13. @Frank Wappler / 26.04.2021, 14:30 o’clock

    Die Typos und Bugs anderer Leute sind seltsamerweise immer viel leichter zu finden als die eigenen… ich kenne das.

    Beim “beweisführenden Computer” scheint mir Christoph Pöppe schon ein zu gewissen Symbolic Calculations befähigtes System im Sinn zu haben. Also etwas, das mit dem Epsilon Symbol rechnen kann ähnlich wie ein menschlicher Beweisführer, und das mehr als nur rein numerische Operationen ausführen kann.

    Bei der Konstruktion der reellen Zahlen durch Äquivalenzklassen rationaler Cauchy Folgen wäre hinsichtlich der Lehrbuchformulierung noch zu beachten, dass hier \(\epsilon \in \mathbb{Q}\) und nicht etwa reell zu wählen ist, denn `reell’ hat man da ja noch nicht. Einem Computer sollte man das gegebenenfalls unzweideutig mitteilen.

  14. Chrys schrieb (26.04.2021, 18:43 o’clock):
    > […] ein zu gewissen Symbolic Calculations befähigtes System […], das mit dem Epsilon Symbol rechnen kann

    Das ist schon ‘ne feine Sache.
    Sofern aber zugelassen ist, dass eine bestimmte, zu überprüfende Folge \(\{ a_j \}\) jeweils iterativ beschrieben bzw. eingegeben werden kann,
    d.h. durch eine bestimmte (reelle) Zahl \(a_1\) als Startwert und eine bestimmte/konkrete Iterationsformel
    \( a_{(k + 1)} := f[ \, a_k \, ] \)
    (wobei stattdessen auch noch Komplizierteres denkbar wäre),

    und sofern das Resultat der Überprüfung sein soll

    – entweder eine konkrete (Index-)Formel

    \( x : \mathbb Q_+ \rightarrow \mathbb N_+ \) anzugeben, durch die die Cauchy-Konvergenz-Bedingung

    \( \forall m, n \gt x[ \, \epsilon \, ] : | a_n – a_m | \le \epsilon \)

    allgemein (für alle Argument-Werte \(\epsilon\)) erfüllt sein soll (was wiederum für Einzelfälle nachprüfbar wäre),

    – oder ansonsten die Meldung, “dass es hinsichtlich der zu überprüfenden Folge keine derartige (Index-)Formel gibt”,

    dann — würde mich ein dermaßen fähiges Symbolic Calculation System jedenfalls erstaunen.
    (Und dazu anregen, weiter zu untersuchen, ob dessen Resultat-Meldungen in jedem Fall richtig wären.)

    Im Übrigen weise ich (erneut) darauf hin, dass sich der Begriff “Grenzwert (einer geeigneten Folge)” ohne Erwähnung metrischer Beziehungen (zwischen Folge-Gliedern) definieren lässt.

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