# BLOG: Heidelberg Laureate Forum

Laureates of mathematics and computer science meet the next generation

hose with an interest in the history of mathematical notation may have noted that in last month’s post I mentioned the symbol for equality, =, is often credited to Welsh physician and mathematician Robert Recorde, who used it as early as 1557 to denote equality. In his manuscript, The Whetstone of Witte, Recorde got bored with writing out in words, ’is equalle to’, and instead drew a pair of parallel lines of the same length, noting that ‘no two thynges can be more equalle’.

While this may not actually be the first recorded use of the equality symbol – Italian manuscripts dating from 1465 have been found to use a similar symbol – Recorde’s popularisation of the glyph has cemented his place for many as ‘the inventor of the equals sign’. But the book in which he first used it included many other mathematical notation and terminology conventions, some of which caught on – it was actually the first book in English to use the plus and minus signs – and others which… didn’t.

## Power play

One particular topic from the book I found interesting was an alternative way of writing out powers of numbers. In modern notation, known as Cartesian notation (named after Descartes), we use indices to denote repeated multiplication:

When learning about such notation at school, we often learn that different powers of the same base value can be combined – but that doing so requires caution. For example, if we were to multiply together 𝑥³ and 𝑥²,  this would be three 𝑥s multiplied together, times two 𝑥s multiplied together. The result would be the product of 5 𝑥s, or 𝑥⁵. So, if we multiply powers of 𝑥 together, the powers are combined by addition: 𝑥³ × 𝑥² = 𝑥³⁺² = 𝑥⁵.

Similarly, if we raise a power of 𝑥 to another power – say, (𝑥²)³, we can consider this to be three copies of 𝑥² multiplied together, resulting in the product of 6 𝑥s, or 𝑥⁶. This correspondence between addition, multiplication and exponentiation echoes the same pattern found in logarithms: log a + log b = log(a × b), and  log aⁿ = n log a.

## Hip to be squared

In Recorde’s time, this notation was all completely unknown. Numbers could be squared and cubed, and multiplied together, but algebraic notation was in its infancy and proper notation to describe higher powers hadn’t yet been introduced. Recorde noticed that if squaring and cubing were accepted notions, they could be combined using the rule for raising powers to other powers, and in this way we can obtain higher powers.

For example, a fourth power could be considered to be a square, squared, and a sixth power would be a square, cubed (as in the example above). Continued squaring of the square could be used to obtain all powers which are themselves a power of two, and cubing cubes would get the powers of three. Further powers could be obtained by squaring cubes and cubing squares.

This leaves a few gaps – for example, there’s no way to obtain a fifth power using only squaring and cubing. Recorde realised that in order to obtain other powers, we’d also need to be able to raise numbers to every prime power beyond two and three. Such powers were named sursolids, with 𝑥⁵ being termed the ‘first sursolid’ of 𝑥, then each prime power beyond that taking the next named sursolid – the second sursolid being 𝑥⁷, third sursolid 𝑥¹¹ and so on.

In this way, systematic terminology could be developed. Using the term ‘zenzic’ to denote squaring, ‘cubic’ for cubing, and sursolids as described above, Recorde could concisely combine these to form terms for other powers. For example, e.g. the square of squares, or ‘zenzizenzic’, would be 𝑥⁴, and the square of cubes, or ‘zenzicubic’ would be 𝑥⁶. This could be extended to such joys as the term for a sixteenth power, described as a ‘square of squares, squaredly squared’, pleasingly known as the zenzizenzizenzizenzic.

While this method of writing powers remarkably didn’t catch on, it’s an interesting alternative way of thinking about powers, and might be more than just an amusing diversion for someone currently learning about powers and trying to understand how numbers fit together more generally. There are several other areas of maths in which we have analogous notions to that of prime numbers, and in this case prime numbers themselves pop up again in these ‘prime exponents’, which can be combined to make any power.

The book, whose full title is The whetstone of witte, whiche is the seconde parte of Arithmetike: containyng the extraction of Rootes: The Coßike practise, with the rule of Equation: and the woorkes of Surde Nombers, covers a range of other interesting topics around powers and surds, including finding roots of numbers and many of the ideas behind modern algebra.

It’s well worth a look for the delicious script handwriting and illuminated initials on chapter heads (a sadly dying art), as well as Recorde’s hand-drawn diagrams of squares and cubes. Next time you write a plus, minus or equals, spare a thought for the physician from Wales who brought them to fame – and when you raise one number to the power of another, be thankful his system didn’t catch on.

### Posted by Katie Steckles

is a mathematician based in Manchester, who gives talks and workshops on different areas of maths. She finished her PhD in 2011, and since then has talked about maths in schools, at science festivals, on BBC radio, at music festivals, as part of theatre shows and on the internet. Katie writes blog posts and editorials for The Aperiodical, a semi-regular maths news site.

1. Nur ergänzend :

Zahlen waren auch ein Problem, seinerzeit, wenn sie bestimmte Größe überstiegen, die Million gab es bspw. lange Zeit nicht.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

2. It is interesting how long it takes from time to time for certain generalization steps to be taken. There are even more examples than those presented here, for example from geometry. Geometries in which the parallel axiom does not apply were only used in the 19th century and thinking in spatial dimensions higher than the third dimension, with which we are all very familiar today (hyper cubes even appear in Dalìs work), only began in the 19th century.

• Jaja,
es ging im dankenswerterweise bereit gestellten Initialbeitrag / Primärtext der Dame um (mathematische) Abbreviation und Notation, Dr. W mag so, besondere ‘Responsibility’ erkennt er im Moment nicht.
Nicht schlecht natürlich derartiges Print-Werk.
Dr. W mag auch sozusagen zeitversetzte Rezensionen.
MFG
WB

• Eine Notation finden ist der letzte Schritt. Vorher muss aber ein einleuchtendes Denkprinzip gefunden werden. Wenn man das hat, findet man auch eine passende Notation.

Es stimmt aber, dass die Notation umgekehrt das Denken und Operieren erschweren kann.
Beispiel 1: Die römische Zahldarstellung (additiv/subtraktiv, kein Stellenwertssystem) erschwert oder verunmöglicht gar das Rechnen mit Zahlen.
Beispiel 2: Die Newton‘sche Notation der Differentiation war der Leibniz‘schen unterlegen, was die englische Mathematik, welche Newton‘s Schreibweise übernahm in Rückstand brachte.

• Eine Notation finden ist der letzte Schritt. Vorher muss aber ein einleuchtendes Denkprinzip gefunden werden. Wenn man das hat, findet man auch eine passende Notation.
Das Dezimalsystem ist der Zehnfingerigkeit des hier gemeinten Primaten geschuldet, ein Oktalsystem wäre sozusagen cooler.

Römische Zahlenschrift ging, Dr. W geht davon aus, dass das Dezimalsystem sich auch deshalb durchgesetzt hat, dass, wenn mal was abgebissen wird, oft noch vier Finger oder Zehen bereit stehen, sieht insofern das Dezimalsystem als Näherung zum “cooleren” Oktalsystem.
Nobody is perfect.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

• Lustig bleibt, dass es Oktalsystem heißt, aber die Acht als Zeichen nicht gibt.
Gilt übrigens für alle Zahlsysteme, die eine Null besitzen.

Ob der Vorteil mit den 2 er Potenzen die Nachteile aufwiegt ?
Die Zahlen sind beim Achtersystem länger als beim Zehnersystem.

• Es gibt die Acht als Zeichen, bspw. so : ‘8’ oder so ‘1000’.

Letztlich geht es natürlich bei den “Zeichen” nur um die Darstellung mathematischen Konzepts.

Vgl. amüsant ist auch so etwas :

Es geht hier um sog. Bit-Length.

Es ist für den Computer sozusagen ergomischer letztlich binär basiert zu arbeiten, beim hier gemeinten Hominiden (“wenn mal was abgebissen wird”) könnte hier evolutionär sozusagen, sozusagen die Ausfallsicherheit meinend, eine Art Mittelweg beim Rechnen gefunden worden sein.

Das Dezimalsystem ist also nicht so-o intuitiv, wie einige meinen.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

3. @fauv (Zitat): Lustig bleibt, dass es Oktalsystem heißt, aber die Acht als Zeichen nicht gibt.
Ja, das bedeutet implizit, dass man mit 0 beginnt. Ohne Null gibt es kein Stellenwersystem.

• Das stimmt, so glaubt Dr. Webbaer, nicht.
Ob in einem Oktal- oder Dezimalsystem mit der Null zu zählen begonnen wird, ist rein definitorischer Art, es hängt so auch davon ab, ob die Null als Zahl bereits erfunden worden ist, vergleiche :

-> https://de.wikipedia.org/wiki/Null (Dies hier ‘Dargestellt wird die Null durch die Ziffer „0“, deren Einführung Stellenwertsysteme wie die Dezimalzahlen erst möglich machte.’ ist inkorrekt)

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

• @Dr.Webbaer (Zitat): “ Ob in einem Oktal- oder Dezimalsystem mit der Null zu zählen begonnen wird, ist rein definitorischer Art, es hängt so auch davon ab, ob die Null als Zahl bereits erfunden worden ist“
Sobald man ein Stellenwertsystem hat, braucht man die 0.
70 im dezimalen Stellenwertsystem bedeutet 7*10+O.
70 im oktalen Stellenwertsystem bedeutet 7*8+0.

• Moment, Dr. Webbaer ‘verzichtet’ nicht auf die Null, sondern redet (aktuell) Herrn “Holzherr” gegen, bspw. so :

-> Ja, das bedeutet implizit, dass man mit 0 beginnt. Ohne Null gibt es kein Stellenwer[t]system. [Quelle]

MFG
WB

4. “Ohne Null gibt es kein Stellenwertsystem.”
Und das impliziert den Zweifel, ob die Null eine natürliche Zahl sei.

5. Dr. Webbaer schrieb (15.07.2022, 07:57 o’clock):
> [ Ohne Null gibt es kein Stellenwertsystem. ] Das stimmt, so glaubt Dr. Webbaer, nicht.

> Ob in einem Oktal- oder Dezimalsystem mit der Null zu zählen begonnen wird, ist rein definitorischer Art, […]

Ja, aber:
In einem Stellenwertsystem soll es ja Ungleichheiten (d.h. Wert-mäßige Unterschiede) z.B. zwischen

– der ausdrücklich zweistelligen Zahl “11” und

– der ausdrücklich dreistelligen Zahl “101” und

– der ausdrücklich vierstelligen Zahl “1001”

geben.
Wobei die beiden letzteren Ausdrücke unter Verwendung des üblichen Symbols “0” für einen an sich Wert-losen Stellen-Platzhalter geschrieben sind.
(Dieser Zweck könnte natürlich auch von irgendeinem anderen dafür festgesetzten Symbol erfüllt werden, sofern es nur von den Symbolen für (anders-)wertige Ziffern verschieden ist, und natürlich auch verschieden von weiteren Symbolen für Operatoren oder Gruppierung.)

Zugegeben: es ließen sich stattdessen jeweils eigene Symbole z.B. für Ziffernfolgen “10”, “100”, usw. wählen; sogar Symbole bestehend aus der jeweils passenden Anzahl von Glyphen …

Ein (“echtes”) Stellenwertsystem passt aber (definitionsgemäß) zum Denkprinzip eines Zahlenwertes als Potenzreihe (also ausdrücklich nicht als “echte” Puiseux-Reihe) bzgl. einer (von “1” verschiedenen) Basis; zwangsläufig einschl. der Möglichkeit von einzelnen Koeffizienten des Wertes “0”.

p.s.
Ergänzend, insbesondere weil in Wikipedia (noch) nicht ausdrücklich repräsentiert, sei auf eine Notation für (identifizierbare, individuelle) Beteiligte, deren Begegnungen (Koinzidenzen) und die auf diesen Denkprinzipen gegründeten (“Kausal”- bzw. “light cone”-)Strukturen hingewiesen.

• Vergleichsoperatoren müssen nicht an einer Zahl Null orientiert bleiben, die bei gleichem Wert Gleichheit unterstützt sozusagen, in dem Sinne, dass A + Null und B gleich sein könnten, wenn sie nur der Nullwert unterscheidet.
Schreiben Sie einfach, Kommentatorenfreund Herr Dr. Frank Wappler, dass Dr. Webbaer recht hatte.

Wobei Dr. W hier :

– der ausdrücklich dreistelligen Zahl “101” und
– der ausdrücklich vierstelligen Zahl “1001”
Wobei die beiden letzteren Ausdrücke unter Verwendung des üblichen Symbols “0” für einen an sich Wert-losen Stellen-Platzhalter [Hervorhebung : Dr. Webbaer] geschrieben sind.

… ein wenig blass zu gucken hat.

MFG
WB

6. @Dr. Webbaer

Zur Erläuterung:

Ohne einen an sich Wert-losen Stellen-Platzhalter würde 11 immer dasselbe bedeuten, egal ob man damit eine zwei-, drei- oder vierstellige Zahl meint. Mit Plazthalter ‘.’ würde das schon unterscheidbar: 11; 1.1; 1..1

Man muss ja irgendwie klarmachen, an welcher Stelle die vorderste 1 stehen soll, wenn Stellen nicht besetzt sind.

@Martin Holzherr hätte in seiner Antwort weiter oben anstatt

Sobald man ein Stellenwertsystem hat, braucht man die 0.

schreiben sollen, man braucht einen Wert-losen Stellen-Platzhalter.

• der Sachverhalt ist immer noch nicht klar.
Ist die Null nur eine Ziffer oder ist sie auch eine Zahl ?
Der Begriff des Platzhalters macht das Stellenwertsystem besser verständlich.
Ob der Platzhalter jetzt eine Ziffer ist oder auch eine Zahl das ist noch nicht beantwortet.

• @fauv

Na ja, für ein Stellenwertsystem braucht man die 0 nicht, wie beschrieben. Aber es ist eben so unheimlich praktisch die 0 auch als Zahl zu verwenden. Dank ihrer Eigenschaften kann man nämlich die Methode verwenden, den Wert einer mehrstelligen Zahl einfach als die Summe einzelner Produkte zu bestimmen.

Als nichtendes (Fachwort: absorbierendes) Element bei der Multiplikation und neutrales Element der Addition ergibt sich für beliebige Basis b und beliebige Stelle s ja immer:

0 * (b hoch s) = 0

Für eine solche Stelle muss also 0 addiert werden, was an der Summe über alle Stellen, also dem Wert der dargestellten Zahl, nichts ändert.

Würde man z.B. einen Punkt verwenden, müßte man für solche Stellen immer eine Fallunterscheidung machen und sagen, wenn da ein Punkt steht, soll man halt nichts addieren.

• Die Null ist als Idee eine Zahl und ansonsten als Zeichen zu verstehen, das austauschbar bleibt.
Die Idee der Zehn benötigt bspw. keine Null, auch wenn so vielleicht “handy” ist.

• @ Kommentatorenfreund “Joker | Jolly”, Dr. Webbaer will sich mal an Sie wenden, weil Sie ja (einigen) als bewährter Mathematicus gelten :

Stimmt Ihnen gerne zu, im Dezimalsystem ist ja (lange Zeit ohne die Null als Idee und Wert zu kennen [1]) sinngemäß wie folgt gezählt worden :

“1,2,3,4,5,6,7,8,9,HV [2]”

und weiter :

“HV1, HV2, HV3, HV4, HV5, HV6, HV7, HV8, HV9, 2HV [3]”

und so weiter …

Es wird eine Regel</em< für die Bildung von Stellen bei Zahlen benötigt, die selbstverständlich nicht die Idee der Null (siehe oben) benötigt.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

[1]
Die Null als leere Menge oder als Anzahl von Gegenständen, die eine natürliche Zahl meint und kleiner Eins ist, ist (erst einmal) nicht intuitiv (und deshalb auch lange Zeit gemieden worden).
Auch mag bspw. Dr. Webbaer nicht die Idee bei Aufzählungen das erste Element sozusagen als das nullste zu bezeichnen.
Eine derartige Notwendigkeit besteht nicht und erschwert oft auch die Arbeit des Programmierers.

[2]
'HV' soll hier "(beide) Hände voll" meinen oder als Zeichenkombination, als Code, <em<repräsentieren

[3]
‘2HV’ soll zweimal “(beide) Hände voll” meinen oder als Zeichenkombination, als Code, <em<repräsentieren

• “V2”, so schaut’s besser aus :

@ Kommentatorenfreund “Joker | Jolly”, Dr. Webbaer will sich mal an Sie wenden, weil Sie ja (einigen) als bewährter Mathematicus gelten :

Stimmt Ihnen gerne zu, im Dezimalsystem ist ja (lange Zeit ohne die Null als Idee und Wert zu kennen [1]) sinngemäß wie folgt gezählt worden :

“1,2,3,4,5,6,7,8,9,HV [2]”

und weiter :

“HV1, HV2, HV3, HV4, HV5, HV6, HV7, HV8, HV9, 2HV [3]”

und so weiter …

Es wird eine Regel für die Bildung von Stellen bei Zahlen benötigt, die selbstverständlich nicht die Idee der Null (siehe oben) benötigt.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

[1]
Die Null als leere Menge oder als Anzahl von Gegenständen, die eine natürliche Zahl meint und kleiner Eins ist, ist (erst einmal) nicht intuitiv (und deshalb auch lange Zeit gemieden worden).
Auch mag bspw. Dr. Webbaer nicht die Idee bei Aufzählungen das erste Element sozusagen als das nullste zu bezeichnen.
Eine derartige Notwendigkeit besteht nicht und erschwert oft auch die Arbeit des Programmierers.

[2]
‘HV’ soll hier “(beide) Hände voll” meinen oder als Zeichenkombination, als Code, <em<repräsentieren

[3]
‘2HV’ soll zweimal “(beide) Hände voll” meinen oder als Zeichenkombination, als Code, <em<repräsentieren

PS:
Opa ärgert sich immer ein wenig, wenn so etwas passiert, bittet um Enschuldigung.

• @Dr. Webbaer

‘HV’ soll hier “(beide) Hände voll” meinen
‘2HV’ soll zweimal “(beide) Hände voll” meinen

Mit HV bin ich noch einverstanden, man braucht zehn verschiedene Zeichen in einem Dezimalsystem, aber 2HV, also ein elftes, eher nicht.

Sei ß das Zeichen für HV. Dann läßt sich auch ohne die Idee der Null in einem Stellenwertsystem zählen

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ß, 11, 12, … , 1ß, 21, … 99, 9ß, ß1, …

(Man sieht ihr 2HV wird als 1ß geschrieben.)

Die rechte Stelle steht für den Wert der Ziffer multipliziert mit 1 (ß hoch 0 darf man mangels 0 ja nicht sagen). Jede weitere, wie gewohnt, für den Wert der Ziffer multipliziert mit ß hoch (Stelle – 1).

Ein (“echtes”) Stellenwertsystem passt aber (definitionsgemäß) zum Denkprinzip eines Zahlenwertes als Potenzreihe

Scheint ja zu passen.

Vorbehaltlich, dass da doch noch etwas nicht passt, und seine Zustimmung vorausgesetzt, auch im Namen von @Frank Wappler:

Sie hatten recht.

• ‘2HV’, zweimal die Zehnfingerigkeit meinend, bleibt im Dezimalsystem, sofern ‘HV’ als ‘Zehn’ verstanden bleibt.

Statt :

… 99, ßß, ßß1, …

Mag Dr. W so :

… 9HV9, HVHV, HVHV1, …

… korrekt, nicht wahr ?

MFG
Dr. Webbaer (der die Substitution der Null als Idee oder Wert in sogenannten Stellenwertsystemen auch gar nicht so-o für unverständlich empfindet)

Die alten Latiner waren ähnlich bemüht, die römische Zahlschrift meinte ähnlich.

• @Dr. Webbaer

Nachteilig ist es natürlich zwei (immer zusammengehörende) Zeichen für eine Stelle zu erlauben.

2HV entspricht ihrer Notation folgend dann ja auch 2 * (10 hoch 1) + 10, demnach 30, also 3 Hände voll, und nicht wie von ihnen irgendwie vorgesehen 2 * HV.

• ‘HV’ – zwei Hände voll, war ein zweistelliges Symbol, das auch einstellig bereit gestellt werden könnte, dafür geeignete (Zeichen-)Tabellen, Zeichensätze vorausgesetzt.

(Die Dreißig wäre im abstrahierten Zahlensystem als ‘3HV’ oder ‘3ß’, Ihre Notation, bereit zu stellen.)

Wichtich, mittelniederdeutsch, bleibt halt zu verstehen, dass auf die Idee der Null, siehe oben, so verzichtet werden kann.

So – ‘Ein (“echtes”) Stellenwertsystem passt aber (definitionsgemäß) zum Denkprinzip eines Zahlenwertes als Potenzreihe (also ausdrücklich nicht als “echte” Puiseux-Reihe) bzgl. einer (von “1” verschiedenen) Basis; zwangsläufig einschl. der Möglichkeit von einzelnen Koeffizienten des Wertes “0”.’ [Kommentatorenfreund Dr. Frank Wappler] – war inkorrekt eingeschätzt, jedenfalls könnte das ‘Passen’ besser erklärt worden sein.

Amüsanterweise ist so auch, wie Dr. Webbaer findet, die Vierzig als sozusagen biblische Zahl dem Abzählen von Fingerknochen geschuldet, die beidhändig bis zu Vierzig zu zählen erlauben.
Auch Grade, auch 360-zige sind so angeleitet.

Beim Dutzend, lol, weiß Dr. W nicht so recht.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

7. Joker,
wie steht es mit 1 hoch 0 oder 0 hoch 1 und noch krasser 0 hoch 0.
Du merkst , 0 ist nicht nur eine Zahl die einen Wert vertritt, sondern die 0 dient auch noch als Black Box für die Definitions-Lücken unseres Zahlenraumes.
Danke für die lange Erklärung.

• wie steht es mit 1 hoch 0 oder 0 hoch 1 und noch krasser 0 hoch 0.

Den ganzen Ärger spart sich @Dr. Webbaer doch, er macht sich das Leben leicht, wenn er auf die 0 verzichtet.

8. Dr. W.
“Die Null ist als Idee eine Zahl und ansonsten als Zeichen zu verstehen, das austauschbar bleibt.”
Das ist eine gute Definition.

• Das Fachwort hier :

-> Semiotik

Dr. Webbaer mag auch so :

Aristoteles hat sie [vorhergegangene Untersuchungen] in seinen logischen und rhetorischen Schriften zu einem ersten System der Semiotik zusammengefasst und erweitert. Er behandelt die Zeichen als eine Dreiecksbeziehung [Ergänzung + Hervorhebung : Dr. Webbaer] zwischen dem Zeichen selbst (dem gesprochenen Wort), dem Bezeichneten (einem Gegenstand) und einer Vorstellung in der Seele. [selbe Quelle also]

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

9. Joker
Rameshbabu Praggnanandhaa ist Inder und hat im rapid chess tournament Magnus Carlsen besiegt.
Hüte Dich vor den Indern. Warum ? Sie haben auch die Null erfunden, was beweist, dass der Dr. W. kein Inder ist.

10. @Dr. Webbaer

Die Dreißig wäre im abstrahierten Zahlensystem als ‘3HV’ oder ‘3ß’, Ihre Notation, bereit zu stellen

3ß = 3 * 10 + ß * 1 = 40

Keine Ahnung wie Sie sich ein Stellen(!)wertsystem zusammenreimen.

• 3ß ist rechnend so bearbeitbar : (3 * ß) + (ß * 1) = 4ß

In sozusagen ursprünglichen Rechen-System ?

Sofern ‘ß’, Dr. Webbaer bevorzugte weiter oben die Notation ‘HV’, so auch als einzelnes Zeichen darstellbar und die Bedeutung “beide Hände voll”, “Zehn” meinend ist ?

Die soz. biblische Zahl Vierzig meint idT die Anzahl der Fingerknochen, die abgezählt werden könnte, beim Daumen muss womöglich die Handfläche mitgezählt werden.

Nobody is perfect.

Die Leutz hatten früher sozusagen hart zu nagen, auch der Zahl.

Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer

11. Beide Hände voll bedeutet eine Mengenangabe. Wir befinden uns damit im Bereich Physik und nicht mehr nur in der Mathematik. Die Einheit der Mengenangabe ist das Stück.
Wenn wir also sagen 10 Kühe, dann ist das verkürzt für 10 Stück Kühe.
Mit der Händevoll Mengenangabe haben wir 10 Stück. Oder kurz 1HV = 10 Stück .
1 HV ist eine physikalische Größe, genauso wie 1 kg , wobei 1 kg = 1000 g.

Eine physikalische Größe ist keine Zahl ! In einem Zahlensystem hat sie keinen Platz.
Ersetzen wir ß mit kg ergibt sich folgendes Bild

3 * kg + kg * 1 = 4 kg ?? Die Schreibweise kg * 1 ist nicht zulässig

12. Joker schrieb (16.07.2022, 11:08 o’clock):
> […] ohne die Idee der Null in einem Stellenwertsystem zählen

> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ß, 11, 12, … , 1ß, 21, … 99, 9ß, ß1, …

So weit, so pfiffig.
Lassen sich mit diesen gegebenen Ziffer-Symbolen in Fortsetzung dieses skizzierten Systems die Zahlenwerte “Eintausend”, “Eintausend-und-Zehn”, “Eintausend-Einhundert” und “Eintausend-Einhundert-und-Zehn” so notieren, dass (auch dann noch) von einem Stellenwertsystem die Rede sein kann ??

• p.s.
Zur Vollständigkeit bitte außerdem die Notation für “Eintausend-und-Eins”, “Eintausend-und-Elf” sowie “Eintausend-Einhundert-und-Eins”.

• Doch, doch — das ist ein taugliches Stellenwertsystem:

999, 99ß, 9ß1, …, 9ßß, ß11, …, ß9ß, ßß1, …, ßßß, 1111 …

Die “Idee eines Stellen-Platzhalters ohne eigenen Wert” ist dabei also nicht erforderlich.

• Lustig, nicht? Ich hatte zunächst auch meine Zweifel.

• Joker schrieb (19.07.2022, 23:51 o’clock):
> Lustig, nicht? Ich hatte zunächst auch meine Zweifel.

Dabei sind wir doch schon seit der Grundschule daran gewöhnt, dass der ganze Spaß (“Addition mit Übertrag” usw.) auch über mehrere Stellen hinweg funktioniert.
Das ist mir allerdings erst ungefähr beim Absenden meiner Kommentare ausreichend klar geworden … (so wie meistens).

Schade, übrigens, dass sich Deine lustige Notation (“mit der Basis als einer Ziffer, aber dafür ohne Null”) nicht auch für Werte mit (kleinem) gebrochenem Anteil eignet …
(Oder fehlt mir es auch dafür nur an genug Witzischkeit ? … ;)

• Es ist mathematisch möglich ohne der Null auszukommen, mehr ist nicht los.
MFG
WB (der so nicht, lol bewerben möchte)