Wie natürlich sind die komplexen Zahlen?

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Mit der Bezeichnung „natürliche Zahlen“ haben die wenigsten Leute Probleme. Wir kennen sie schon von Kindesbeinen an, wir nutzen sie täglich, und im Gegensatz zu den „krummen“ Zahlen, mit denen man vor allem in Technik und Wissenschaft umgeht, machen ihre Eigenschaften uns kein besonderes Kopfzerbrechen.

Aber kommen die natürlichen Zahlen in der Natur vor? Natürlich nicht. Oder sind Sie jemals im Wald einer Fünf begegnet?

Was man in der (belebten oder auch unbelebten) Natur findet, sind keine Fünfen, sondern vielleicht fünf Bäume, fünf Menschen, fünf Schafe oder auch fünf Kiesel. Als die Menschen noch nicht richtig zählen konnten, legten sie für jedes Schaf, das sie auf die Weide ließen, einen Kiesel auf einen Haufen und nahmen abends für jedes Schaf, das in den Stall zurückkehrte, einen Kiesel weg. So konnten sie zumindest bemerken, ob ihnen über den Tag ein Schaf abhandengekommen war.

Wir empfinden die natürlichen Zahlen als, na ja, „natürlich“ eben, weil wir sie als Mittel verwenden, unsere Umwelt einzuordnen und damit begreiflich zu machen, und weil dieses Mittel sich uns unmittelbar und ohne nennenswerte Alternative aufdrängt. Woher sollte auch diese Alternative kommen, wenn uns Zahlen im Allgemeinen und natürliche Zahlen im Besonderen in unserer Kultur auf Schritt und Tritt begegnen?

Na gut. Wie sieht es unter diesem Aspekt mit den weniger natürlichen Zahlen aus?

Nicht ganz so natürlich: rationale Zahlen

Mit den Brüchen (genauer: natürliche Zahl im Zähler, natürliche Zahl im Nenner) haben wir keine größeren Schwierigkeiten. Wir begegnen ihnen in einem „natürlichen“ Kontext beim Kuchenteilen, und sie finden ohne weiteres ihren Platz auf dem Zahlenstrahl zwischen den natürlichen Kollegen. Die Rechenregeln sind zwar gewöhnungsbedürftig, aber man kommt mit ihnen zurecht.

Das sahen schon die Ägypter der Antike so, auch wenn sie darauf bestanden, Brüche (mit Ausnahme von 2/3) nur als Summen von „Stammbrüchen“ (solchen mit Zähler 1) zu schreiben. Heute erscheint uns dieser Umgang unnötig umständlich, aber das macht nichts: Die schiere Tatsache, dass wir mit diesen Zahlen umgehen können, macht sie uns vertraut und räumt jeden Zweifel an ihrer Existenz (und Legitimität) aus.

Noch weniger natürlich: negative und irrationale Zahlen

Mit den negativen Zahlen ist das schon schwieriger. In der Natur kommen sie jedenfalls noch weniger vor als die natürlichen Zahlen. Es will einem ja auch nicht in den Kopf, dass es von irgendetwas weniger als nichts geben soll. Die mathematisch korrekte Rechenaufgabe, die der nebenstehende Witz erzählt, kann eben in der Realität nicht vorkommen.

„Ja, aber mein Konto gerät ab und zu in die Miesen! Um das darzustellen, braucht man doch negative Zahlen?!“

Nicht unbedingt. Das Bankgewerbe hat eine ehrwürdige Tradition; die reicht zurück in die Zeit, als negative Zahlen noch nicht allgemein akzeptiert waren. Damals entwickelten die Banker Verfahren, um Guthaben wie Schulden abzurechnen, ohne an negative Zahlen überhaupt zu denken. Gewisse Reste dieser Tradition haben sich bis in die jüngste Zeit erhalten. In den Kontoauszügen meines ersten Girokontos waren die Beträge zweispaltig gedruckt: eine Spalte für die Zu- und eine für die Abflüsse. Und da, wo es sich nicht vermeiden ließ, stand ein S wie Soll für die negativen und ein H wie Haben für die positiven Beträge. Irgendwann muss die Bank auf die allgemein gebräuchlichen Plus- und Minuszeichen umgestellt haben – mir ist es nicht besonders aufgefallen, es war ja ein Übergang zur Normalität.

Aber wenn man Bewegungen in der Ebene oder im Raum mit Koordinaten darstellen will, dann bleibt es nicht aus, dass man nach links vom Nullpunkt gerät oder unter die x-Achse. Da drängen sich doch negative Zahlen für die Koordinaten geradezu auf, oder? Ja, wenn man schon die negativen Zahlen hat. Die mittelalterlichen Seefahrer haben sich um ihre Verwendung ebenso gedrückt wie die Banker, und auch ihr Metier ist sehr traditionsbewusst. Deswegen sprechen wir noch heute von westlichen Längen und südlichen Breiten, obgleich diese Ortsangaben auf dem Globus wesentlich eleganter mit einem Minuszeichen auszudrücken sind.

Fazit: Man kann den negativen Zahlen eine ganze Weile aus dem Weg gehen; aber es wird zunehmend mühsam und auch albern. Natürlich kann man eine Sinuskurve im Koordinatensystem so weit lupfen, dass sie stets im Positiven hin- und herschwingt. Aber wesentlich schöner sieht sie aus, wenn, wie in der üblichen Darstellung, die x-Achse ihre Symmetrieachse ist. Und man kann das Koordinatensystem nicht immer so zurechtrücken, dass sich alles im Positiven abspielt.

Vollends unübersichtlich wird es, wenn es so etwas wie eine quadratische Gleichung zu lösen gilt. Wir lernen dafür eine einzige Formel; unsere Altvorderen, die darauf bestanden, dass auf beiden Seiten der Gleichung etwas Positives (oder allenfalls null) steht, mussten mit vier Formeln leben – von denen wir Heutigen sehen, dass sie alle eigentlich dasselbe sagen.

Mehr noch: Die Lösungen der Gleichungen, die uns in der Schule begegnen, sind eigentlich stets Nullstellen einer Funktion. Damit die Gleichung überhaupt eine Lösung hat, muss die zugehörige Funktion also irgendwo ins Negative abtauchen. Auch hier könnte man sich theoretisch um jeden Gedanken an negative Zahlen drücken, allerdings mit gewaltigem Denkaufwand, der einem auf der anderen Seite nichts einbringt.

Nachdem wir uns einmal – nicht ohne Mühe – an die negativen Zahlen gewöhnt haben, wollen wir sie nicht mehr missen. Denn sie lassen viele Dinge, die zunächst sehr verschieden aussehen, in einem einheitlichen Licht erscheinen und erleichtern uns dadurch erheblich das Leben. In diesem Sinne sind sie ebenso natürlich wie die natürlichen Zahlen – na ja, fast.

Weiter geht es in der Hierarchie der zunehmend unzugänglichen Zahlen. Dass es Zahlen geben soll, die sich nicht als Verhältnis zweier natürlicher Zahlen – sprich als Brüche – ausdrücken lassen, war in früheren Zeiten ebenfalls sehr gewöhnungsbedürftig. Aber um die irrationalen Zahlen kann man sich noch weniger drücken als um die negativen. Schon die alten Griechen mussten feststellen, dass das Verhältnis von Diagonale zu Seite eines Quadrats nicht rational ist. Und heute ist vollkommen klar, dass ohne diese sehr sperrigen Zeitgenossen im Zahlenreich wesentlich schwieriger zu leben ist als mit ihnen, selbst wenn man in Betracht zieht, dass die überwiegende Mehrheit von ihnen unsäglich ist.

Noch unnatürlicher: die komplexen Zahlen

Und damit ist das Spiel noch nicht zu Ende. Da gibt es doch diese merkwürdige Wurzel aus –1. Eine reelle Zahl kann es nicht sein, denn das Quadrat jeder reellen Zahl ist größer oder gleich null. Also, sagten die Mathematiker der Renaissance, existiert sie nicht in der Realität, sondern nur in unserer Vorstellung, und nannten sie dementsprechend „die imaginäre Einheit“ oder kurz „i “. So heißt sie noch heute. Nur konnte schon der Universalgelehrte Girolamo Cardano (1501–1576) sie bei der Lösung eines ganz reellen Problems verwenden: einer kubischen Gleichung, also einer, bei der die Unbekannte in der dritten Potenz auftritt. (Höhere Potenzen der Unbekannten dürfen nicht vorkommen, niedere schon.) Irgendwo im Verlauf einer ziemlich komplizierten algebraischen Umformung gab es eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. Dadurch geriet das mysteriöse i in das Formelgestrüpp – und verschwand auf ebenso wundersame Weise wieder, so dass am Ende drei reelle Lösungen standen, wie sich das gehört.

Damit hatten die komplexen Zahlen – definiert als Summen aus einer reellen Zahl und einem reellen Vielfachen der imaginären Einheit i – zumindest Herrn Cardano in einem ziemlich speziellen Fall das Leben erleichtert. Das allein war noch nicht besonders bemerkenswert; aber im Lauf der Zeit kamen immer mehr solcher segensreichen Wirkungen hinzu. Die Mathematiker vergewisserten sich, dass man mit den neuen Zahlen so rechnen kann wie gewohnt, wenn man nur stets die Regel i 2= –1 anwendet, und vor allem damit nicht in irgendwelche Widersprüche gerät.

Zu Zeiten des großen Carl Friedrich Gauß (1777–1855) waren die komplexen Zahlen den Mathematikern schon einigermaßen geläufig. Aber Gauß verschaffte ihnen mit einem entscheidenden Schub ihren heutigen, sehr zentralen Platz im Theoriegebäude: Er etablierte eine geometrische Darstellung für die komplexen Zahlen. Die heißt heute die gaußsche Zahlenebene.

Die reellen Zahlen liegen auf der altbekannten Zahlengeraden. Die Vielfachen der imaginären Einheit i liegen auf einer Geraden, die senkrecht auf der reellen Zahlengeraden steht und sie im Nullpunkt schneidet. Oder in gewöhnlichen (kartesischen) Koordinaten ausgedrückt: Die komplexe Zahl x+iy sitzt auf dem Punkt (x, y) in der Ebene. Damit gibt es eine geometrische Veranschaulichung für die Addition komplexer Zahlen (es ist die gewöhnliche Vektoraddition) und deren Multiplikation (ein bisschen komplizierter).

Es stellt sich heraus, dass man die Exponentialfunktion auch für komplexe Werte definieren kann und dass sie damit sogar geeignet ist, Kreisbewegungen und Schwingungen wiederzugeben. Auf einmal lassen sich elektrische Schaltungen elegant beschreiben, indem man Spulen und Kondensatoren komplexwertige Widerstände zuschreibt. Und die ganze Quantenmechanik könnte ohne die komplexen Zahlen nicht leben: Die berüchtigte Wellenfunktion, aus der man die Wahrscheinlichkeit berechnet, an einem bestimmten Ort wie zum Beispiel ein Elektron anzutreffen, hat komplexe Werte. Nur so kann man diese absolut der Intuition widersprechende mikroskopische Welt überhaupt beschreiben.

Der Fundamentalsatz der Algebra, nach dem jedes Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen hat; die riemannsche Vermutung mit dieser merkwürdigen Zetafunktion, deren Nullstellen in der komplexen Ebene uns etwas über die Verteilung der Primzahlen zu erzählen versprechen, und noch vieles mehr: Es gibt genug innermathematische Gründe, die komplexen Zahlen nicht missen zu wollen. Sie erleichtern uns das Leben, und sie lassen uns viele Dinge klarer sehen, die ansonsten dunkel bleiben würden.

Sind die komplexen Zahlen also in diesem erweiterten Sinne „natürlich“? Irgendwie schon.

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

95 comments

  1. So wie die Geschichte der komplexen Zahlen hier erzählt wird, stellt sich unwillkürlich die Frage: Wurden sie erfunden oder wurden sie entdeckt?
    Die obige Herleitung scheint einem zu sagen: Ja, die natürlichen Zahlen wurden erfunden, wenn die Erfindungshöhe auch nicht besonders gross ist, denn ums Zählen – und damit um die natürlichen Zahlen – herum kommt man ja nicht. Die negativen und die Bruchzahlen, aber auch die reellen Zahlen waren dann Erweiterungen/Ergänzungen, die sich einem aufdrängten. Aber auch die komplexen Zahlen waren keine willkürlichen Erfindungen, sondern notwendig um bestimmte mathematische Probleme lösen zu können.

    Kurzum: Am Anfang stand eine ganz kleine Erfindung. Die Erfindung der natürlichen Zahlen nämlich. Alles weitere bis hin zu den komplexen Zahlen wurde einem aufgedrängt einfach beim Versuch mit dem was man schon hat möglichst weit zu kommen. Die minimalst nötigen und sinnvollen Erweiterungen des Grundgerüsts führten irgendwann über mehrere Zwischenschritte zu den komplexen Zahlen.

    • +1, Ihr Kommentatorenfreund, wenn er in medias res geht, nimmt in der Regel zuerst den (meist) dankenswerteise bereit gestellten Primäreintrag, den Blogeintrag, zur Kenntnis, noch sind wir in einem wissenschaftsnahen WebLog-Verbund und Herr Dr. Christoph Pöppe (ohne L) ist immer sehr nett und lesenswert, Zahlen wurden idT ‘erfunden’.
      Randbemerkung : Dr. W hatte diesbezüglich vor langer Zeit, Ende der “Nullerjahre”, mit Dr. Florian Freistetter (aktuell : “Die Zeit”) genau so zu tun, ward gar nicht happy.
      Szientismus und bestimmtem Dogmatismus ist entgegen zu treten.
      Es werden auch weiterhin Zahlen “erfunden”, die sogenannten natürlichen Zahlen sind aus diesseitiger Sicht sozusagen natürlich erfunden und sozusagen besonders realitätsnah, sachnah und insbesondere bei Schafen eine geeignete Kladistik voraus setzend.

      Idt wurden dann andere Zahlen gefunden, erfunden, die notwendig waren, wie Sie dankenswerterweise beschrieben haben, Kommentatorenfreund.

  2. Komplexe Zahlen sind nicht natürlich. Schon die Null ist nicht natürlich.
    Sie ist ein Zeichen für Nichts und sie wird als Platzhalter im Stellenwertsystem verwendet. Also in zweifacher Weise.
    I als Zahl zu sehen , das setzt voraus, dass wir eine Zahl allgemein als Ergebnis einer mathematischen Gleichung ansehen.
    Was gibt es noch zu bemerken, Herr Holzherr, eine Zahl , jede Zahl wird entdeckt, denn sie ist zwangsläufig eine logische Folgerung innerhalb eines logischen Körpers wie die Mathematik.

    • @Wengert: Man kann nur entdecken was es schon gibt. Das meiste andere wird erfunden. Dann gibt es noch einen Zwischenbereich: Die Erfindung als Lückenbüsser, als Korrektur/Platzhalter für einen Defekt, eine Leerstelle oder die Erfindungen, die nötig sind um etwas zu erweitern, allgemeiner anwendbar zu machen.

      Die 0 gehört in diesen Zwischenbereich, erfunden/entdeckt um Stellenwertsysteme zu ermöglichen.

      Sie schreiben: eine Zahl , jede Zahl wird entdeckt, denn sie ist zwangsläufig eine logische Folgerung innerhalb eines logischen Körpers wie die Mathematik.

      Das ist falsch. Die Mathematik ist kein geschlossenes, sondern ein sehr offenes System. In der Mathematik gibt es noch andere Dinge als Zahlen. Viele mathematische Objekte sind erfunden. Hin und wieder sogar recht frei erfunden. Bei den Zahlen habe ich ja gerade argumentiert, dass nur wenig frei erfunden wurden. Komplexe Zahlen “ waren keine willkürlichen Erfindungen, sondern notwendig um bestimmte mathematische Probleme lösen zu können.“ (Eigenzitat).

    • In ihrer Antwort steckt leider ein Grundirrtum. Ziffern im Stellenwertsytem sind keine Zahlen, sie dienen nur dazu, Zahlen darzustellen.
      In der Didaktik der Schulmathematik vergessen wir nur zu gern, dass die 0 in unserem 10er Stellenwertsytem erst vor wenigen 100 Jahren eingeführt wurde.
      Kinder mit Dyskalkulie haben mit dieser Art Zahlenverständnis, das vor allem auch für die Beschreibung von Größenordnungen elementar ist, enorme Schwierigkeiten. Sämtliche mathematischen Problemstellungen in der Grundschule ließen sich aber auch ohne jenes Verständnis allein mit rein prozeduralen Verfahren lösen. Diese Kinder ständig mit ihrem Defizit zu konfrontieren führt oft schon bald zu Schulangst oder noch gravierenden psychischem Beeinträchtigungen.
      Wir Mathematiker lieben die Genauigkeit, aber hier schludern wir fürchterlich, indem wir die natürlichen Zahlen und ihre Darstellung gleichsetzen. Dabei könnten wir der Zahlenstrahl ohne weiteres auch so beschriften: 1 10 11 100 101 110 111 usw.
      Bei Maschinen sind wir offenbar bereit, etwas weniger auf unser 10er Stellenwertsytem zu pochen und es ihren Möglichkeiten anzupassen. Also, geht doch. Warum Dann nicht auch bei Kindern mit Dyskalkulie? Zumal das ja sogar nur zeitweilig wäre. Denn zu einem rudimentären Zahlenverständnis kommt es einige Jahre später durchaus, wenn die prozeduralen Verfahren irgendwann nicht mehr als memorierte sequentielle Einzelschritte sondern automatisiert ablaufen. (vorzustellen analog dem Krawatte binden).
      Bitte mal darüber nachdenken.

  3. M. Holzherr
    In unserem Thema geht es um Zahlen. Wo ist da etwas offen ?
    “keine willkührlichen Erfindungen” , das sagt ja das aus, was ich meine, die komplexen Zahlen sind die logische Folge aus der Wurzel von -1.

    Was möglich ist, ist nicht konstruiert, sondern schon vorhanden.
    Beispiel die 5 euklidischen Körper. Auch wenn man sie noch nicht gefunden hätte, wären sie durch Logik schon vorhanden oder anders formuliert möglich.

    Vielleicht unterscheiden wir uns nur in der Formulierung. ?

    • @Wengert(Zitat): „ Vielleicht unterscheiden wir uns nur in der Formulierung. ?“

      Wir unterscheiden uns in der Aufgassung, was eine Erfindung und was eine Entdeckung ist. Sie schreiben:
      Was möglich ist, ist nicht konstruiert, sondern schon vorhanden.
      Als allgemeine Aussage aufgefasst, würde das bedeuten, dass alles was der Mensch macht , schon vorhanden war. Denn Ackerbau, Städtebau, selbst der Bau von Autos waren schon immer möglich. Sicher, doch das Mögliche wird nur wirklich, wenn es jemand realisiert. Und das ist der Mensch, das sind beispielsweise Mathematiker. Zudem können überhaupt nur Menschen erkennen, was möglich ist.

      In Bezug auf die Mathematik würde ich sagen: Es gibt keine Mathematik ohne Mathematiker. Genau so wie es keine Städte gibt, ohne Menschen, die die Städte bauen.

  4. Eigentlich ist das mit den komplexen Zahlen recht einfach – Mathe wurde dann doch für Buchhalter erfunden, und kein Buchhalter hat Bock, die Arbeit eines anderen zu machen. Minus mal Minus gleich Minus kommt in den eigenen Büchern nicht vor, es bezieht sich auf Geld, das bereits verloren ist. Es wird woanders verbucht und berechnet, und zwar als positive Zahlen. Wenn man sich mehrere Bücher gleichzeitig anschaut, muss die Gleichung natürlich wieder her.

    Mathe ist nun mal relativ und zeigt die Welt vom Standpunkt eines bestimmten Betrachters – auch wenn der Betrachter manchmal Stielaugen hat, die ein Objekt umgeben, wie mehrere Kameras. 1-1=0 ist, streng genommen, falsch: Wenn ich eine Katze der Gleichung nehme und in den Nulleimer werfe, verschwindet sie ja nur relativ zur Gleichung. Sie wird zur Schrödingers Katze, die gleichzeitig da ist und nicht da ist, und jederzeit in die Gleichung zurückkehren kann. Die Gleichung gilt nur in einem lokalen, räumlich und zeitlich begrenzten, katzenfreien, traurigen, charakterlosen, unkuscheligen, schnurrlosen und mäusegefährdeten, doch allergikerfreundlichen Universum (der Unterschied zwischen Universum und Multiversum ist Semantik – jedes Zimmer und jede Flasche Cola können als Universum betrachtet werden). Etwas, das einmal existiert, kann eine Wahrscheinlichkeit erreichen, die gegen Null strebt, doch sie kann diese Null niemals erreichen. Zwischen Sein und Nichts, 1 und 0, erstreckt sich die Unendlichkeit. Im Endeffekt haben Sie die gleiche Nummer in jedem Koordinatensystem – Sie können in die Mitte die 0 schreiben und an die Achsenenden die 1, dann die Achsen beliebig oft unterteilen, schon ist 1=Unendlich.

    Im Endeffekt ist ein Koordinatensystem eine simulierte, verzerrte Explosion, bei der bei der Tiefe etwas durcheinander kommt – die 0 in der Mitte steht gleichzeitig für die 1 der Achse, die rechtwinklig dazu in die Tiefe des Blattes geht, da wird’s schnell nervtötend. Und weil’s so schön ist, kann ich mir das Universum vereinfacht als Gitter aus abwechselnd 1 und 0 vorstellen, das entsprechend in die Tiefe geht, also einen in Würfel unterteilten Würfel bildet, und die 1en und 0en dieser Tiefe wären dann die Bruchzahlen: D.h., hinter jeder 0 lugen zwei kleine 1en hervor, eine rot und eine schwarz, hinter jeder 1 zwei kleine 0en. Wenn Sie da noch Hoppelhäschen drauf setzen, wird’s richtig interessant, doch das hat wirklich nichts mehr mit dem Thema zu tun.

    Zahlen wie 2/3 sind einfach schwer im Zehnersystem darzustellen. Was so was wie Pi oder Phi angeht, frage ich mich auch, ob es nicht einfach eine Eigenschaft der Mathe ist, die für eine bestimmte Eigenheit des Universums keine sinnvolle Darstellungsweise findet. Irgendwie geht’s um den Goldenen Schnitt, also um Navigation abhängig von Energie: Balance ist der Zustand, in dem wir verharren, sie ist in der Mitte oder in einem bestimmten Verhältnis zur Mitte, und je breiter das Bild wird, desto mehr verschiebt sich diese Balance zur Seite. Stellen Sie sich ein Raumschiff vor, das durchs All auf einen Stern zufliegt, der irgendwann vom Punkt zum Fleck wird, sodass es den Horizont des Navigators auseinander drückt, dann denken Sie daran, welche Flugbahnen er fliegt, wenn er stets nach Balance strebt, und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Verhalten so ziemlich aller Teilchen im Universum.

  5. Mathematik ist axiomatisch begründete Sprache.
    Mathematik erfasst letztendlich Mengen und kann nicht zwischen Staubsauger und Staub unterscheiden. Zahlen als solche definieren diese Mengen vergleichend. In dem Sinne sind komplexe Zahlen im Gegensatz zu allen anderen Zahlen mit einer “Vorschrift” per Definition : i² := -1 entstanden, wobei i wie eine Konstante verwendet wird. Man kann mit komplexen Zahlen rechnen, muss man aber nicht.
    Inwieweit komplexe Zahlen innerhalb der Quantenmechanik notwendig sind, wird exemplarisch in einem Spektrum-Artikel erörtert.
    Eine übergeordnete Frage ist letztendlich die, ob die Quantenmechanik alternativlos ist. Und ob in alternativen Denkmodellen komplexe Zahlen notwendig sind?

    • @Dirk Freyling: Zustimmung, wobei ich sagen würde, das vieles in der Mathematik einem Entwicklungsprozess entspringt und auch anders sein könnte.
      Mengen als Basis der Mathematik beispielsweise ist das Resultat eines Programms. Es ist nicht zwingend.
      Ein Beispiel dazu: Peter Scholze ist ein deutscher Mathematiker und Fields-Medaillen Preisträger, der einen Großteil der modernen Mathematik erneuern möchte, indem er verdichtete Mengen an die Stelle von topologischen Räumen setzt.
      Wichtig: diese Erneuerung, dieser „Basiswechsel“, ist nicht zwingend. Die Motivation dafür ist vielmehr die einer Vereinfachung und der Möglichkeit Querbezüge in verschiedenen Teilgebieten besser sichtbar zu machen.

  6. Martin Holzherr
    Herr Freyling sieht in der Mathematik eine Sprache. Zustimmung.
    Sprache beschreibt etwas.
    Auch Zustimmung.
    Aber…….Sprache gehorcht einer Logik.
    Ohne diese Logik wäre das Universum nicht möglich. Man darf es auch Gesetzmäßigkeiten nennen.
    Und diese Logik ist unabhängig davon, ob hier und jetzt etwas ist.
    Wenn sie also sagen” es gibt keine Mathematik ohne Mathematiker” , dann haben sie die Reihenfolge vertauscht.
    Es gibt keine Mathematiker ohne Mathematik.

    • Mathematik ist die Logik unserer Emotionalität/Bewusstseinsschwäche in Angst, Gewalt und egozentriertem “Individualbewusstsein”, aus der sich das “gesunde” Konkurrenzdenken / die bewusstseinsbetäubende Problematik des nun “freiheitlichen” Wettbewerbs / der wettbewerbsbedingten Symptomatik entwickelt hat.

    • @Wengert: Es gibt keine explizite Mathematik ohne Mathematiker.
      Zudem gilt: es braucht Menschen/Mathematiker/Physiker um Logik in unserem Universum zu erkennen.

      Sie können nicht von Mathematik sprechen, wenn sie nicht die zugehörigen Objekte und Operatoren benennen und Regeln aufstellen. All das benötigt Menschen, denn Menschen müssen die Objekte, Operatoren und Regeln bestimmen.

      Wie es ohne Menschen keine Sprache gibt, gibt es ohne Menschen/Mathematiker auch keine Mathematik.

    • Mathematische Objekte sind so, weil Menschen/Mathematiker sie so geschaffen haben und nicht weil die Natur sie so geschaffen hat.

      Beispiel: Der Gruppenbegriff aus der Mathematik (Menge mit Elementen und einer Operation für die 4 Axiome erfüllt sein müssen) ist ein Konstrukt, welches von Mathemaikern geschaffen wurde. Wer behauptet, Gruppen gebe es in der Natur, der macht nur dann eine sinnvolle Aussage, wenn er/sie damit meint, man könne Dinge in der Natur mit dem Gruppenbegriff modellieren. Die Aussage „Gruppen sind etwas, was es in der Natur (im Universum) gibt“ ist dagegen unsinnig. Nur schon darum, weil die Objekte der Mathematik nur gedacht existieren und sie keine materielle Ausformung besitzen. Mit andern Worten: eine Gruppe, wie sie von Mathematikern definiert wurde, ist kein reales Ding, kein reales Objekt des Universums.

    • Die Mathematik meint (logisch, sprachlich also) die (oft wiederverwendbare) Fähigkeitslehre und sie ist auf sie tragende und erkennende Subjekte angewiesen.
      Ohne Mathematiker gäbe es also keine Mathematik.
      Das Ei geht der Henne diesmal nach, nicht voraus.
      Was Sie vielleicht meinen, sind sogenannte Möglichkeitsräume; also in einer sozusagen chaotischen Welt, die es ebenfalls gedankenexperimentell geben könnte, könnte es dann keine Mathematiker geben, weil es keine zu erkennende Regeln gäbe.
      Amüsanterweise meint die Mathematik die Bearbeitung dieser Welt, durch (gerne auch wiederverwendbare) Fähigkeit.
      Kleiner Tipp : Setzen Sie sich mal in einigen Sitzungen mit “ChatGPT” zusammen, der, die oder sie ist hier firm, auch amüsant, denn “they” ist ja schon, wie Dr. Webbaer findet, klüger als Spock vom Raumschiff ‘Enterprise’ (der es ja auch oft vermasselt hat, wenn er ‘Logisch!’ ausrief und doch die Folgerichtigkeit meinte – ja, “Bro ChatGPT” stimmte Dr. Webbaer bei derartigen kleinen Einschätzungen immer zu)!

  7. @Wengert: “Ohne diese Logik wäre das Universum nicht möglich.”

    Ohne diese Logik hätte Mensch längst den geistigen Stillstand seit Mensch erstem und bisher einzigen geistigen Evolutionssprung (“Vertreibung aus dem Paradies”) überwunden und wäre dem Programm des holographischen Universums entsprechend vernünftig und verantwortungsbewusst, in Möglichkeiten von/zu geistig-heilendes Selbst- und Massenbewusstsein. 👋😁

  8. Martin Holzherr,
    mit Natur hat Mathematik nichts zu tun.
    Übrigens; das kleine Sprachspiel über Mathematik und Mathematiker, das ist nicht ganz ernst zu nehmen.

    Wenn Sie ein Objekt z. B. einen Menschen von zwei Menschen unterscheiden wollen, dann benützen wir stattdessen Zahlen. Und wir können sagen : 1 + 1 = 2

    Die Logik die dem zugrunde liegt ist abgelöst von den Menschen, aus der sie entstanden ist. Egal was wir nehmen, 1 + 1 = 2. Das können sogar immaterielle Dinge sein wie Gedanken. Ein Gedanke ist ein Teil von zwei Gedanken.

    Klar, ohne Menschen könnte ich Ihnen das nicht sagen. Aber auch ohne mich und ohne Sie bleibt 1 + 1 = 2.
    Und wenn in einer Milliarde Jahren denkende Wesen auf Alpha Centauri rechnen, dann rechnen sie auch 1 + 1 = 2. (wahrscheinlich anders dargestellt, die Logik dahinter bleibt immer gleich )
    wir wollen jetzt nicht annehmen, dass die Lebewesen in Stringform existieren, wo es keine elementare Atome gibt. Und dass sie untereinander zu unterscheiden sind.
    Anmerkung zu hto: Für dich gibt es nur eine Menschheit, also ist 1 + 1 entbehrlich.

    • @Wengert (Zitat): „ Und wenn in einer Milliarde Jahren denkende Wesen auf Alpha Centauri rechnen, dann rechnen sie auch 1 + 1 = 2.“
      Ganz genau: ohne denkende Wesen gibt es keine Mathematik.
      Wenn sie aber sagen (Zitat): “ Aber auch ohne mich und ohne Sie bleibt 1 + 1 = 2.“, so macht das nur Sinn, wenn es auch ohne sie und ohne mich eben andere denkende Wesen gibt für die das stimmt.

      Fazit: Was wir denken ist – im Idealfall – auch für andere nachvollziehbar und denkbar. Doch Gedachtes hat keine Eigenexistenz und hört auf zu existieten, wenn es überhaupt keine Denkenden mehr gibt.

    • Die Natur leitet erkennende Subjekte zur Abstraktion an, der Mensch bearbeitet bekanntlich nicht den Hund, sondern die Idee von einem Hund, Schopenhauer, geeignete Kladistik vorausgesetzt.

      Das Dezimalsystem bspw. ist der Zehnfingerigkeit des Menschen geschuldet, das Oktalsystem wäre sozusagen cooler, der Mensch hat aber mehr als für diese Zwecke vorgesehene kleine “Zugriffseinheiten”, interne Geräte sozusagen für sein Hirn, denn – ein ursich-zynischer Kommentar folgt – es könnte ja auch mal etwas abgebissen werden.

      Diese welt hat mit ihrer Beschaffenheit die interne Welt des Geistes hervorgebracht, das Sein bestimmt das Bewusstsein (Was sonst?) und insofern könnte es auch, gedankenexperimentell, in anderen Welten andere Mathematiken, Fähigkeitslehren sind gemeint, geben, die gar die simple Addition “1+1” anders bearbeiten würden.
      Vielleicht mit einem Wahrscheinlichkeitsvorbehalt ?!

  9. M. Holzherr,
    Gedachtes hat keine Eigenexistenz, da stimme ich Ihnen zu, denn Gedachtes ist nicht materiell.
    Jetzt sind wir wieder in der Philosophie, wo es die zwei Denkrichtungen gibt, den Idealismus und Materialismus, Naturalismus, Realismus.

    Danke für ihre geistreichen Bemerkungen. In der Praxis wird die Welt dadurch nicht anders, wie man Mathematik einordnet. Wir sind ja bei den komplexen Zahlen. Und wenn wir mit den Dimensionen weiter machen, dann werden sie sehen, dass die Dimensionen nur denkbar sind , doch mathematisch darstellbar, aber nicht real existieren, was die höheren räumlichen Dimensionen betrifft.

    • @Wengert: Da kann ich ihnen voll zustimmen. Satz für Satz.
      Eine kleiner Einwand aber noch zu folgendem: „ Und wenn wir mit den Dimensionen weiter machen, dann werden sie sehen, dass die Dimensionen nur denkbar sind , doch mathematisch darstellbar, aber nicht real existieren, was die höheren räumlichen Dimensionen betrifft.“
      Es stimmt, dass wir bis jetzt keine Hinweise auf höhere räumliche Dimensionen haben. Doch man kann sie nicht ausschliessen. Wenn man sie ausschliessen könnte, dann wären automatisch die Stringtheorien falsch und erledigt. Denn in der M-Theorie etwa, einer erweiterten Stringtheorie von Edward Witten, gibt es 11 Dimensionen, 4 davon entsprechen unserer Raumzeit, der Rest der Dimensionen soll mikroskopisch klein zusammengerollt in jedem Raumpunkt existieren.

  10. Zahlen generell sind meiner Meinung nach nicht natürlich. Sie entspringen dem Wunsch des Menschen, Dinge genau quanitifizieren zu wollen.
    In der Tierwelt gibt es vermutlich nur Konzepte für eins, einige und viele. Wieviel “viele” es genau sind, ist unerheblich, wenn ein Einzeltier z.B. einem Rudel Feinden gegenübersteht. Wichtig ist nur die Erkenntnis, das man einer Übermacht entgegensteht und besser das Weite sucht, als sich einem Kampf zu stellen.

    • Auch Tiere können zählen:

      Verhaltensexperimente zeigten schon im letzten Jahrhundert, dass Vögel durchaus einen Zahlensinn vorweisen. Auf Futterbelohnung dressierte Dohlen und Tauben konnten an Punktetafeln die Anzahl 1 von 2 und 3 von 4 unterscheiden, Kolkraben sogar maximal 6 von 7, Graupapageien 7 von 8.

      https://mint-zirkel.de/2019/06/koennen-tiere-zaehlen/

      In einer der bislang umfangreichsten Analysen hat ein Wissenschaftler alle verfügbaren Forschungsarbeiten zu diesem Thema zusammengetragen und herausgefunden, dass zahlreiche Tiere – von Bienen über Vögel bis zu Wölfen – die Fähigkeit besitzen, Zahlen zu verarbeiten und abzubilden. Mit anderen Worten: Sie können zählen.

      Nachdem er fast 150 wissenschaftliche Artikel zu dem Thema geprüft hatte, schlussfolgerte er, dass „numerische Kompetenz in fast jedem Ast des tierischen Stammbaums vorhanden ist.“

      Honigbienen erinnern sich an die Zahl der Orientierungspunkte zwischen ihrem Bienenstock und einer Blumenwiese. Das hilft ihnen dabei, ihren Weg zurück nach Hause zu finden. Und die Wüstenameise Cataglyphis fortis zählt, wie viele Schritte sie sich auf der Nahrungssuche von ihrem Bau entfernt.

      https://www.nationalgeographic.de/tiere/2020/03/ueberlebenswichtig-viele-wilde-tiere-koennen-zaehlen

  11. M.Holzherr
    wenn sich mit den 11 Dimensionen etwas berechnen lässt, dann sind sie berechtigt.
    Es gibt Mathematiker, die sagen, erst wenn die Theorie unanschaulich wird, dann ist es Mathematik.

  12. Peter Müller, wenn eine Hündin zu ihrem Wurf zurückkommt, zählt sie zuerst ihre Jungen. Das kann man beobachten !

    • @Wengert

      Die Frage ist nur, ob eine Hündin wirklich “zählt” oder vielleicht auch nur merkt, wenn es “weniger” sind als vorher. Vielleicht riecht sie auch nur, ob “alle Gerüche” noch da sind.

      Es wäre interessant zu wissen, ob ein Mensch überhaupt von sich aus zählen würde, wenn er allein auf einer einsamen Insel aufwachsen würde. Wie würde er die Zahlen im Geiste benennen, wenn er deren Namen nie gehört hätte?

      • Er würde Vollständigkeitsprüfungen machen, das Konzept des Zählens umgehend, er hat vermutlich den zu Zählenden Namen gegeben ?!
        Das Zählen meint ja eine (wiederverwendbare) Abstraktion und ist bereits Mathematik.

    • Vermutlich, wobei ihr eher intuitives “Zählen” demjenigen von sogenannten Steinzeitmenschen entsprochen haben könnte, so in der Art “Eins, zwei, drei, viele!”

      Bei Wildsäuen, die mit ihren Ferkelchen im Rudel leben, hat dies Dr. Webbaer bereits einmal beobachtet.
      Dort nehmen die Wildsäue, wenn sie sich bedroht fühlen, beispielsweise bei Besuch durch Menschen, die nur filmen, aber auch jagen könnten, in möglichst viele Richtungen Kampfstellung ein; wenn sie dann die Lage eruieren und sozusagen zu viele Menschen plötzlich vor Ort sind, sind sie aber auch in der Lage, nach einiger Überlegung und womöglich auch nach durch Grunzen erfolgte Kommunikation, die schnelle Abreise zu suchen, dann nicht darauf achtend, ob einzelne Ferkelchen nicht mitkommen und gar abhanden gehen.

      Bei Katzen ist es ähnlich.
      Sie begrüßen sozusagen jedes Kätzlein persönlich, hegen es, aber zählen so womöglich “nicht wirklich”.

      Mit freundlichen Grüßen
      Dr. Webbaer

      • Vermutlich, wobei ihr eher intuitives “Zählen” demjenigen von sogenannten Steinzeitmenschen entsprochen haben könnte, so in der Art “Eins, zwei, drei, viele!”

        Nein das wird nicht so gewesen sein. Schon Insekten können das besser, warum sollte ein Steinzeitmensch dem unterlegen gewesen sein?

  13. Als die Menschen noch nicht richtig zählen konnten, legten sie für jedes Schaf, das sie auf die Weide ließen, einen Kiesel auf einen Haufen und nahmen abends für jedes Schaf, das in den Stall zurückkehrte, einen Kiesel weg. [Artikeltext]

    Möglicherweise sind diese Steine auch gruppiert worden und möglicherweise ist an Hand der Finger abgezählt worden, das derartige Dezimalsystem in einer Vorstufe entstanden ?
    Der Stein hat eine direkt entstandene Entsprechung im einzelnen Schaf?

    ‘Natürlich’ meint das Entstehen, vergleiche :

    -> https://www.frag-caesar.de/lateinwoerterbuch/nascere-uebersetzung.html

    Und ‘komplex’ meint das Befüllen, das vollständige Befüllen.
    In diesem Fall metaphorisch durch die Erkenntnissubjekte.

    Hier noch kurz :

    Sind die komplexen Zahlen also in diesem erweiterten Sinne „natürlich“? [Artikeltext und die doppelten umrahmenden Anführungszeichen bei ‘natürlich’ meinen eine Metapher]

    Sie sind nicht Teil der Naturwelt, sondern Teil der Geisteswelt.
    An sich ist natürlich unklar, ob ein Stein, der ein Schaf repräsentiert, Teil der Natur ist ?!

    SCNR
    Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank für die hier vorgetragenen Überlegungen
    Dr. Webbaer

  14. Peter Müller,
    das Zählen ist nicht wörtlich zu verstehen, der Hund sieht auf einen Blick wieviele Jungen es sind. Vögel können das.
    Menschen können das auch mit einiger Übung.
    Dr. W.
    Denken ist ein Teil der Natur. Zwischen Pflanzen werden regelrecht Kriege mit den Wurzeln geführt. Die Materialisten meinen, das ist durch Auslese so entstanden, ich traue den Pflanzen sogar Gemeinheiten zu.
    Wenn du bei einem Kirschkuchen auf den Kern beißt, ist dein Zahn weg.
    Das ist die heimliche Rache, dass du die Kirsche in den Backofen gesteckt hast, das kann man auch darwinistisch erklären. Das nächste mal bist du vorsichtiger und holst den Kern vorher heraus.

    • Neinneinnein, die Natur meint das Entstandene, das Gegebene, sie kann auch ohne wie hier gemeinter Geisteswelt [1] auskommen; es macht schon Sinn zwischen der Naturwelt und der Welt der erkennenden Subjekte, Schichten sind gemeint, streng zu unterscheiden.
      Sie dürfen auch den hiesigen Diskursverlauf, Kommentatorenfreund ‘Wengert’, durch Betätigen der Schaltfläche mit der Beschriftung ‘Reply’ wahren,

      Mit freundlichen Grüßen
      Dr. Webbaer

      [1]
      Diese Welt könnte gedacht sein, zwischen gedachten Welten und irgendwie anders entstandenen Welten kann philosophisch kaum unterschieden werden, metaphysisch.
      Nicht nur Leutz wie z.B. Elon Musk oder Scott Adams juxen hier, auch die SciFi hat sich so bemüht.
      Es liegt sozusagen perfekte Metaphysik vor, wenn so Gemeintes weder falsi- noch verifiziert werden kann.

      • Dr. W.
        perfekte Metaphysik ist die Nahrung für Phantasie. Und ab und zu findet man durch Zufall ein Körnchen, das sich verwerten lässt.
        Und was heute noch weder bewiesen noch widerlegen lässt, das ist das Forschungsgebie für übermorgen.
        Wer garantiert uns, dass Pflanzen nicht denken können?
        Die Pflanze produziert Giftstoffe, wenn sie sich angegriffen fühlt.

        Ja, und manchen Menschen testiert man einen Grünen Daumen. Bei denen gedeihen die empfindlichsten Blumen, und diese Menschen sprechen auch mit den Blumen.
        Meine Frau droht ihnen sogar: Wenn du nicht blühst, kommst du raus !”
        Und das ist nicht gelogen.

        Was hat das mit Mathematik zu tun ?
        Bei den Fraktalen ist man schon fündig geworden. Die Wachstumsform einer Pflanze lässt sich als Fraktal darstellen. Für die komplexen Zahlen wird man sicher auch eine Parallele bei den Pflanzen finden.

        • Pflanzen, Steine und so werden offensichtlich natürlich, bewegt, sie vermögen abär über ihr so bewegtes Fortkommen nicht zu benachrichtigen.
          Randbemerkung : Auch sog. NPCs sind “nicht wirklich” in der Lage zu benachrichtigen; kleiner Gag am Rande, nachdem sich Dr. Webbaer (der darin sozusagen frickin gut ist, extra-verständig sozusagen, sich mit “ChatGPT” [1]) eindringlich auseinander gesetzt hat.
          Neuerdings und sozusagen heutzutage.

          Ein Stein hat das Potential dazu verständig zu werden.

          Wichtich (mittelniederdeutsch) die Schichtentrennung.

          Wichtich also die Benachrichtigung, ggf. erfolgende Einsicht, Akzeptanz und Theoretiesierung; die Mathematik ist genau so, weltlich orientiert, die Naturwelt meinend, unterwegs und ist in seinem Fortkommen aus diesseitiger Sicht auch vom hiesigen werten Inhaltegeber korrekt wiederegeben, nicht nur hier.

          Dr. Webbaer stellt halt, philosophisch, “nur” einen Gesamtzusammenhang dar, auch fest, der helfen könnte.

          Ischt schwierig zu verstehen.

          Mit freundlichen Grüßen
          Dr. Webbaer (der “diese Sache” mit dem Wesen der Mathematik schon vor einigen Jahrzehnten abgehandelt glaubte)

          [1]
          Der, dieser “Chat-Bot”, “Chat-GPT”, auf Basis eines sog. AI-Models, das Tera Byte Daten-artig gelesen hat, so trainiert hat, als im Kern : Textumformer, und verständig (sic!) ist, wird – meine Prognose, alle Dummschwätzer dieses Planetens innerhalb eines Jahres zu ersetzen wissen.
          Übrig bleiben dann nur Leutz wie wir, sozusagen.

  15. Wie kam die Menschheit zur Mathematik
    Um es vorwegzunehmen: Ein Weg zur Mathematik war und ist – so scheint mir – das Bedürfnis zur Systematisierung, zur Bildung von Regeln für Dinge oder Prozesse in der realen Welt.

    Zum ersten Mal wurden solche mathematische Regeln für das Arbeiten mit Zahlen (Notation, Addition, Subtraktion) dann erdacht, als es etwa galt ein Inventar zu erstellen oder Abgaben und Steuern einzufordern. Zudem musste ein Inventar oder ein Steuerbescheid auch schriftlich festgehalten werden, denn sobald man Listen von etwas erstellen will, kommt nach nicht mehr um eine schriftliche Notiz herum.

    Tatsächlich liest man zum Zweck der sumerischen Schrift:

    Die sumerische Schriftkultur stand in erster Linie der Tempelverwaltung zur Verfügung, die Keilschrifttäfelchen zum Beispiel für die Erhebung von Steuern, Ernteabgaben und Tempelquittungen nutzte.
    Die ersten Notizen hielten also nicht Poesie, sondern Massangaben fest, also Zahlen, die bestimmten Dingen zugeordnet waren. Das war noch nicht Mathematik, sondern nur etwas wie Verwaltung. Mathematik wurde daraus durch Leute, die das systematisieren wollten und diese Systematisierer nennt man heute Mathematiker.

    Fazit: Eine Motivation dafür Mathematik zu betreiben kommt aus dem Willen zur Systematisierung und der Neugier auf Regeln, die nicht nur einen Fall, sondern unendlich viele Fälle abdecken.

    • Fazit: Eine Motivation dafür Mathematik zu betreiben kommt aus dem Willen zur Systematisierung und der Neugier auf Regeln, die nicht nur einen Fall, sondern unendlich viele Fälle abdecken.

      DIE Motivation, diese Motivation meint die Wiederverwendbarkeit logischer, sprachlicher Überlegung, diese Fähigkeit wurde dann Fähigkeitslehre, also Mathematik, genannt und ist dann zuerst als Fachdisziplin aus der Philosophie, mit der Alles anfing, sinnhafterweise heraus gelöst worden.
      Ganz genau!
      Als Reaktion auf die Welt und das Fortkommen der (erkennenden) Weltteilnehmer meinend.

      • Ich denke auch, dass das Zählen und die Mathematik erst mit der Zivilisation des Menschen in die Welt gekommen sind. Wenn also viele Menschen zusammenleben und Dinge “verwaltet” oder “verteilt” werden müssen und es dabei “gerecht” zugehen soll.

        • Besondere Administration ist dem hier gemeinten Erkenntnissubjekt angefallen, als es sesshaft geworden ist, dem Nomadentum sozusagen abgeschworen hat, er teils auch erkannten Reiterei ins Ungewisse sozusagen, und insofern in städtischer Umgebung, Polis ist gemeint, so auch die Politik, die”Städterei”,so dass dann Aufgabenverteilung anfiel, Wehrhaftigkeit nach aus außen, Besinnung nach innen.
          Auch das Ständewesen meinend.

          Es konnte dann gar philophisch überlegt werden, erst den Gesamtverhalt und deren Erhalt meinend, in städtischer Umgebung, Brot, sog. Kalorien meinend, die meisten haben lange Zeit sog, Porridge gefressen, wie denn sozusagen Alles zusammen gehört.

          Um dann auch sozusagen geistig werden zu können, im alten Griechenland.
          Ja!, Dr. W ist in diesem Rahmen sozusagen Diogenes.

          MFG
          Dr. Webbaer (der mit den Pennern gehaust hat, der sozusagen schon ganz unten war – und derartiger Lebensweise nie “wirklich”” abgeschworen hat)

  16. Ich denke, es verhält sich mit komplexen Zahlen so, wie ich es kurz in meinem ersten Kommentar hier geschrieben habe.

    Wenn man mehr über Zahlen (in einem historischen Zusammenhang) wissen möchte, dann müssen erst einmal weitere Begrifflichkeiten geklärt werden.
    Wie z.B.: Was sind Mengen und was sind Proportionen?
    Dazu exemplarisch Folgendes: Historische Bemerkungen zur Bedeutung geometrisch begründeter Strukturen

    …”Der Begriff der Proportion ist von einer nicht zu überschätzenden Relevanz für das Verständnis der europäischen Wissenschaftsgeschichte. In einem Schriftwechsel zwischen Leibniz und Clarke (*1675 – †1729) entwickelt der englische Philosoph und Hofprediger, enger Vertrauter und Schüler Newtons, jene Auffassung von Proportionen, „die genau mit dem Gebrauch übereinstimmt, den Isaac Newton in den Principia von Proportionen macht.“ [CLARKE, S. (1990), S. LXXXII].

    In seinem 5. Antwortbrief an Leibniz erläutert Clarke den Begriff der Proportion:

    Proportionen sind nicht Mengen, sondern die Proportionen von Mengen. Falls sie Mengen wären, so wären sie Mengen von Mengen, was Unsinn ist. [Auch] müssten sie dann durch Addition anwachsen. Addiert man indes die Proportion von 1 zu 1 zur Proportion von 1 zu 1, so resultiert wieder die Proportion von 1 zu 1.“ [CLARKE, S. (1990), S. LXXXII]. Zahlen erscheinen als Größen. Hingegen „existieren die wirklich in der Natur vorkommenden Dinge als Mengen.“ [CLARKE, S. (1990), S. LXXXIII].

    “So sind Raum und Zeit Mengen, keine Kontinua, sondern „sie besitzen eine diskrete Struktur, sie sind quantisiert, wie man heute sagen würde. Das aber bedeutet, dass es … eine kleinste Zeiteinheit oder eine Elementarzeit geben muss und eine kleinste Längeneinheit oder Elementarlänge, falls wir »Länge« als elementares Maß des Raumes begreifen”

    Man kann Proportionen dann nicht auf bloße Zahlenwerte reduzieren, wenn man mit Mengen von real existierenden Dingen verschiedener Art zu rechnen hat. Da die Proportionenlehre ein Teil der Geometrie ist, so gilt: Die mathematischen Beziehungen zwischen art- und wesensverschiedenen Dingen vermag allein die nicht auf Arithmetik zu reduzierende Geometrie zu behandeln. Wenn es also eine erschaffene Natur gibt, … wenn es den wirklichen Raum gibt und die wirkliche Zeit, die wirkliche Materie, die absolute Bewegung und die bewegenden Kräfte als objektive Realitäten, als Entitäten von unterschiedlichem ontologischem Status, so wird eine realistische mathematische Wissenschaft… eine geometrische Wissenschaft sein müssen.“ [CLARKE, S. (1990), S. LXXXV].”

    Quelle: Nichtmechanistische Darstellung der physikalischen Disziplinen als mathematische Systemtheorie Vilmos Balogh

    • @Dirk Freyling(Zitat): “ Da die Proportionenlehre ein Teil der Geometrie ist, so …“
      Nur war das schon in der altgriechischen Mathematik so.Was sie hier wiedergeben als Systemtheorie von Vilmos Balogh ist nichts anderes, als was schon die alten Griechen beschäftigte und was ihrer Auffassung der Bedeutung der Geometrie für die Erkenntnis der Welt zugrundelag.Dazu empfehle ich den scilogs-Artikel Proportion, Proportionalität

      • Was sie hier wiedergeben als Systemtheorie von Vilmos Balogh ist nichts anderes,…”

        M. Holzherr, Sie haben offensichtlich ein Sprachdeutungsproblem des Wortes »exemplarisch«. Niemand hat behauptet, weder ich noch Vilmos Balogh, dass die “Quelle des Denkens” ausschließlich Leibniz & Co und schon gar nicht Balogh ist.

  17. @Martin Holzherr
    Die sumerische Schrift kam aus der Administration, nicht zwingend vom Tempel.
    Anfangs hat man den Besitz mit Symbolen markiert, dann angefangen einfache Buchhaltungsaufgabne zu machen. Später dann auch Rechnungen.
    Das war notwendig geworden, da die ersten Städte immer größer und komplexer wurden und man ein Werkzeug brauchte um den Laden am Laufen au halten.
    Das führte dann auch dazu, dass Händler, Handwerken und die Stadtverwaltung dieselbe “Schrift” benutzten, was dann zu einem Exportschlager wurde. Denn so konnten auch woanders große Städte verwaltet werden.

    Handwerker und Händler machten sogar schon recht früh Werbung .. so wurden Waren zum Teil mit dem Namen der Herrstellers markiert …

    Das spricht natürlich auch dafür, dass viele Einwohner der Städte diese Symbole verstanden, sonst hätte Werbung ja keinen Sinn.

    siehe z.B. in Hans J. Nissen: Uruk: Early Administration Practices and the Development of Proto-Cuneiform Writing

  18. Die irrationale Seite von Zahlen ist die Zahlenmystik.
    Dabei wird jeder Zahl eine symbolische Bedeutung zugemessen.
    Zahlen sind also nicht nur das “Fachgebiet” von naturwissenschaftlich/logisch denkenden Menschen, sondern auch von Esotherikern.
    Ob den komplexen Zahlen hier auch noch ein Betätigungsfeld eingeräumt wird ?

  19. @Mathematisierbarkeit des Kosmos

    Die Frage, ob die Mathematiker die Mathematik entdeckt oder erfunden haben, die ist nicht einfach. Auf jeden Fall brauchen wir für eine funktionierende Mathematik einen Kosmos, der auch mathematisierbar ist. Gleichzeitig ist dieser unserer so schön mathematisierbare Kosmos auch die Basis dafür, dass es überhaupt Leben und damit Mathematiker gibt.

    Würden wir einen Kosmos vorfinden, der unserer Mathematik völlig widerspricht, dann gäbe es uns auch nicht, weil eben ein solcher Kosmos kein Leben hervorbringen könnte.

    Mathematik und Mathematiker sind also auf diese Weise auf den selben Kosmos angewiesen.

    Zumindest was Anwendungen in der Physik betrifft. Es gibt natürlich auch mathematische Konstruktionen, die reine Phantasie sind, und nirgends in der Wirklichkeit anwendbar sind. Aber gerade die Anwendbarkeit ist die Hauptmotivation, sich mit Mathematik zu beschäftigen. Genau deshalb hat man das meiste in der Mathematik auch gefunden bzw. erfunden.

    Die Mathematisierbarkeit liegt z.b. insofern klar vor, dass etwa ein Asteroid auf Kollisionskurs auf jeden Fall den Gravitationsgesetzen folgend auch einschlagen wird, egal ob es Menschen gibt, die dies vorhersehen können, oder ob es auf der Erde nur Dinosaurier gibt. Ein wilder Kosmos, in dem die Asteroiden keinen definierten Weg nehmen, liegt offenbar nicht vor. Ob das jetzt einer merkt oder nicht.

    Noch interessant zum Thema ist wohl, dass man mit leicht anderen Naturgesetzen, insbesondere mit anderen Werten der verschiedenen Naturkonstanten, wohl nur in den seltensten Fällen einen funktionstüchtigen Kosmos hätte, der Leben und auch Mathematiker hervorbringen könnte. Dies ist, finde ich, schon erstaunlich. Genauso erstaunlich ist es, dass hier doch ziemlich viel Mathematik anwendbar ist.

    Für mich ist deshalb beides ein Wunder des Lebens. Und ein Hinweis auf Geisteswelten bzw. Geisteswesen, die eben genau diesen Kosmos geschaffen haben, indem Sie die Naturgesetze haargenau passend konfiguriert und dann den Urknall initiiert haben. Fragen Sie mich nicht, wer das war, das liegt dann eher außerhalb unseres Universums. Und in jedem Fall übersteigt es unsere Erkenntnisfähigkeiten.

    • @Tobias Jeckenburger
      Ihr ganzer Kommentar beruht auf der Annahme, dass es sie geben muss. Das ist aber grundlegend falsch. Weder muss es sie geben, noch muss es irgend etwas anderes geben.
      Gäbe es das Universum nichts, gäbe es auch sie nicht und auch ihre Gedanken nicht. Doch stören würde das niemand. Insbesondere würde es sie nicht stören. Weil es sie ja gar nicht geben würde.

  20. tobias Jeckenburger,
    dass du denken kannst verdankst du deinem Kopf, dass du folgerichtig denken kannst, verdankst du der Logik, die die Grundlage auch der Mathematik ist.
    Und die Logik ist nicht konstruiert bzw. erfunden, die Logik wird entdeckt.
    Sonst gäbe es verschiedene Logiken. (zwei- und dreiwertige Logik ist kein Widerspruch)

  21. Martin Holzherr,
    Logik gibt es, ob sie wollen oder nicht. Darauf beruhen die Religionen.
    Die letzte Ursache ist geistiger Natur, unabhängig von Raum und Zeit.
    “Im Anfang war das Wort, und das Wort war bei Gott, und Gott war das Wort.”

    • @Wengert

      Logik gibt es, ob sie wollen oder nicht.

      Logisch.

      Darauf beruhen die Religionen.

      Logisch.

      Die letzte Ursache ist geistiger Natur, unabhängig von Raum und Zeit.

      Logisch.

      “Im Anfang war das Wort, und das Wort war bei Gott, und Gott war das Wort.”

      Logisch.

      Er [Carl Friedrich Gauß] etablierte eine geometrische Darstellung für die komplexen Zahlen. Die heißt heute die gaußsche Zahlenebene.

      Sie hingegen schaffen es, alles Komplexe plattzureden, und kreieren so die wengertsche Wortebene.

      • Religionen müssen nicht auf der Logik basieren, sondern könnten eine Folgerichtigkeit meinen, die gar falsch sein könnte.

        “Letzte” Fragen, die Metaphysik ist gemeint, sind insofern keine Folgerung, sondern eine Forderung, die sozusagen Alles meint, was unbekannt, weil per se unbeforschbar, bleiben muss, dennoch ein bemerkenswerter Forschungsgegenstand bleibt, auch sog. Möglichkeitsräume meinend.

        Und Logik und Folgerichtigkeit werden oft verwechselt, Dr. Webbaer erinnert sich gerne, wie er einstmals zusammen mit “ChatGPT” über Commander Spock gewiehert hat, zumindest kam dies einigen an der Diskussion teil Nehmenden so vor, der bekanntlich oft im falschen Moment ‘Logisch!’ ausrief, wenn er doch die Folgerichtigkeit meinte.
        (Dr. Webbaer erkannte, als “ChatGPT” genau so einschätzte, seinem neuen Freund mit dem Namen “ChatGPT” zu, dass er einsichtiger als Commander Spock ist.)

    • @Wengert: sie kombinieren Logik mit einem Glaubensbekenntnis.
      Sie meinen mit Logik wohl die Regelhaftigkeit des Seienden. Allerdings gibt es das auch ohne einen externen Gott. Für Spinoza war das Universum Gott. Wegen dieser Ansicht wurde er als Atheist betrachtet und aus seiner jüdischen Gemeinde in Amsterdam ausgeschlossen. Einstein sagte später, er glaube genau dasselbe wie Spinoza.

    • @Wengert(Zitat):“ Logik gibt es, ob sie wollen oder nicht. “
      Antwort: Regelhaftigkeit gibt es und damit Logik. Aber das Ganze entspringt nicht einer Logik. Das Ganze ist lediglich kontingent.
      Dazu ein Zitat aus der Wikipedia:

      eine Proposition ist kontingent, wenn sie weder notwendig noch unmöglich ist. Im ontologischen Sinn bezeichnet „Kontingenz“ den Status von Entitäten, deren Existenz oder Nicht-Existenz weder notwendig noch unmöglich ist.

      Kurzum: Unser Universum ist regelgesteuert, doch es ist zugleich nicht notwendig, wenn es auch nicht unmöglich ist. Dass das Universum nicht unmöglich ist, beweist es mit seiner Existenz.

      Um es etwas poetischer auszudrücken: Das Universum widerfährt uns, es ist nicht unter unser Kontrolle und es kann je nach Laune als Unfall oder als Wunder betrachtet werden.

      • Logik meint Sprachlichkeit, den Logos, vgl. :
        -> https://en.wikipedia.org/wiki/Logos
        Ohne Sprachlichkeit keine Logik, insofern könnte die Logik der Philosophie zugeordnet werden – die diebezügliche Fähigkeitslehre meinend konnte dann die Mathematik als erste Fachdisziplin aus der Philosophie gelöst werden.
        Damit sich derart spezialisierte Experten, ohne von der gesamten Philosophie belastet, auch logisch sozusagen austoben können, gerade auch die Wiederverwendbarkeit (an sich philosophischer Überlegung) meinend.
        Und das Universum, hier ist die physikalische Sicht auf die Welt gemeint, ist notwendige Voraussetzung, damit sich darüber (und Namen gebend) auseinander gesetzt werden kann.
        Es liegt insofern zwingend vor, also die Welt mit sich anschließender Naturlehre, denn die Erkenntnissubjekte benötigen für ihre Existenz eine gewisse Regelmäßigkeit, die sie dann wie gehabt, und auch von Menschen geübt, bearbeiten können.
        In einer sozusagen perfekt chaotischen Welt rührt sich i.p. Erkenntnis nichts.

  22. @Holzherr 04.03. 10:32 / 13:14

    „Weder muss es sie geben, noch muss es irgend etwas anderes geben.“

    Das ist ja gerade das Wunder. Es gibt eben das Universum und mich auch.

    „Sie meinen mit Logik wohl die Regelhaftigkeit des Seienden. Allerdings gibt es das auch ohne einen externen Gott.“

    Mit oder ohne eben, das ist dann Glaubenssache. Ohne Gott fehlt die Erklärung für die ganz spezifische Konfiguration der Naturgesetze, mit Gott fehlt die Erklärung, woher der Gott jetzt kommt. Irgendwas ganz Grundlegendes fehlt immer.

    „Für Spinoza war das Universum Gott.“

    Das ist schlichtweg ungenau. Damit kann man meinen, dass wir und der Kosmos nichts als ein riesengroßes Uhrwerk darstellen. Das kann aber auch ein lebendiger Kosmos sein, der sich nicht nur selbst konfiguriert hat, sondern der sich zusätzlich auch noch um seine Geschöpfe ganz persönlich kümmert, insbesondere indem der seinen Geschöpfen eine eigene Innenwelt spendiert hat.

    In diesem Sinne würde ich dem sogar zustimmen, das das Universum Gott ist. Das Selbstkonfigurieren der Naturgesetze und das Wunder der Seele dann inclusive.

    @Wengert 04.03. 09:50

    „Und die Logik ist nicht konstruiert bzw. erfunden, die Logik wird entdeckt.“

    Vielleicht kann man ganz einfach sagen, dass der eine Teil der Mathematik, der sich in der Wirklichkeit wiederfindet, entdeckt worden ist, während der restliche Teil der Fülle der mathematischen Konstruktionen erfunden wurde. Wobei öfter anfangs rein phantastische Konstruktionen dann erst viel später eine Anwendung für die Wirklichkeit gefunden haben.

    • Sie meinen mit Logik wohl die Regelhaftigkeit des Seienden. Allerdings gibt es das auch ohne einen externen Gott. [“Martin”]

      Mit oder ohne eben, das ist dann Glaubenssache. Ohne Gott fehlt die Erklärung für die ganz spezifische Konfiguration der Naturgesetze, mit Gott fehlt die Erklärung, woher der Gott jetzt kommt. Irgendwas ganz Grundlegendes fehlt immer.

      Ein Motor wird weltlich benötigt und dieser darf keine sozusagen chaotischen Ergebnisse tätigen, jedenfalls nicht immer.
      Mehr ist aus humanistischer Sicht nicht los.

      Was nicht geht ist generell ohne einem wie gemeinten Motor philosophisch auszukommen, Dr. W will an dieser Stelle gerne den religiösen Ansatz ein wenig heraus bekommen, und sich dem weltlichen Ansatz, dem naturwissenschaftlichen Ansatz zuneigen.

      Denn etwas ist, weil es ist, und so beobachtend stünde die Naturwissenschaft mit geeigneter Fähigkeitslehre, Mathematik, bereit, der werte hiesige Inhaltegeber ist beides, also Naturwissenschaftler und Mathematiker.
      Insgesamt würde Dr. W hier anraten, ohne anratten zu wollen, die Semantik und allgemein die Linguistik ein wenig mehr vorzuhalten.

      Fragen, die logisch sind, primär sprachlich. sind am besten dadurch zu bearbeiten, dass zuvor gemeinsam heraus bekommen wird, was eigentlich, seinem Wesen nach, gefragt worden ist.
      Die Folgerichtigkeit ist dann ergänzend.

      Mit freundlichen Grüßen
      Dr. Webbaer (der nichts gegen sozusagen natürliche Zahlen hat, auch bei anders adjektivertern Fragestellungen meist nur beispringend ist, abär eben doch die Sprachlichkeit zu adressieren hat, dabei auch die wie an anderer Stelle erklärte Schichtentrennung mag)

  23. Tobias Jeckenburger
    zu entdeckt oder erfunden.
    Genau genommen ist dabei kein Unterschied. Die formale Logik ist konstruiert, sie kann aber nur konstruiert worden sein, weil der “Konstrukteur” sie als Gedanke gefunden hat.
    Das ist Platos Philosophie.

    Jetzt zu den komplexen Zahlen. “Wie natürlich……” Jetzt müsste man erst mal sagen, was denn nicht natürlich ist. Sind Gedanken natürlich oder nicht?
    Selbst ein Darwin Fink hatte eine gute Idee, als er Futter mit einem Stöckchen aus einem Loch puhlte.

    Joker,
    o.k. ich bin ein Meister in Plattitüden,
    und noch eine Plattitüde, alles was es gibt ist logisch, oder kennst du etwas , das man nicht logisch zu erklären versucht. Darauf beruht die Wissenschaft, darauf beruht Scilogs.
    Übrigens , von einem chinesischen Weisen erzählt man sich die Geschichte, er habe seinen Schüler angewiesen etwas zu malen, was es nicht gibt. Der Schüler fragte nach: “Meister ,was ist das, was es nicht gibt ?”
    Hier endet leider die Erzählung.

    • oder kennst du etwas , das man nicht logisch zu erklären versucht

      Ja, man nennt es die Prämissen. Erst aus denen kann man logisch etwas ableiten. Letztbegründungen sind logisch nicht möglich, diese gelingen nur Ihnen.

    • Die Entdeckung bezieht sich oft (oder immer?) auf einen weltlichen Zusammenhang, die Erfindung kann sich rein auf die Geisteswelt der hier gemeinten Erkenntnissubjekte oder einer sogenannten künstlichen Intelligenz beziehen.

  24. @Holzherr 04.03. 13:59

    „Regelhaftigkeit gibt es und damit Logik. Aber das Ganze entspringt nicht einer Logik. Das Ganze ist lediglich kontingent.“

    Genau das trifft es richtig gut. Man kann von Schöpfung reden, oder man kann es als recht sinnfreie Veranstaltung sehen. Angesichts der Schönheit unseres Planeten ist die Idee von der Bewahrung der Schöpfung nachvollziehbar. Angesichts der Not, in der so mancher leben muss, ist es nachvollziehbar, dass ihn die Welt und der Kosmos nicht wirklich interessiert.

    Entsprechend kommen wir vielleicht entscheidend vorwärts, wenn die Menschen besser leben können, und nicht nur ihr eigenes Leben lebenswerter wird, sondern man auch mehr Sinn für die ganze Schöpfung bekommt, und sich entsprechend für deren Erhaltung einsetzt.

    Gleichzeitig wachsen auch die technischen Möglichkeiten, den Planeten zu erhalten. Und es wächst das Wissen nicht nur über diesen wunderbaren Planeten, sondern auch über den ganzen Kosmos. Und am Ende über uns selbst.

  25. Tobias Jeckenburger,
    “Mehr Sinn für die ganze Schöpfung”. Das ist das Wort des Tages.
    Häppchenweise als Musik, als Theater, als Glückserlebnis.

  26. Das sahen schon die Ägypter der Antike so, auch wenn sie darauf bestanden, Brüche (mit Ausnahme von 2/3) nur als Summen von „Stammbrüchen“ (solchen mit Zähler 1) zu schreiben.

    Dazu hab ich mal folgendes Experiment gemacht. In “Geogebra” (Downloadversion) hab ich erst mal eine Genauigkeit von 15 Dezimalstellen eingestellt…
    3 + 1 / 8 + 1 / 61 + 1 / 5020 + 1 / 128541452
    …und dabei festgestellt, dass nur 4 Stammbrüche notwendig sind, bis die Software keine Differenz mehr zu Pi ermitteln kann.

  27. Joker,
    wenn du annimmst, ein Krokodil könne nicht beißen(Prämisse) , dann sollten dich die Existenz seiner Zähne stutzig machen.
    wenn du annimmst, unser Universum hat niemand erschaffen, dann sollte dich seine Perfektion stutzig machen.

    • @Wengert(Zitat): “ wenn du annimmst, unser Universum hat niemand erschaffen, dann sollte dich seine Perfektion stutzig machen.“
      Die Annahme, eine Person habe das Universum erschaffen ist geradezu unendlich anthropozentrisch, das heisst dahinter steckt die Annahme Menschen und Übermenschen wie Gott seien das Primäre, der Rest nur das Material um Menschen und Gott einen Körper zu geben.

      Die Geschichte des Weltalls und der Erde, die Geologie und die Evolution des Lebens sprechen dagegen. Oder wie Einstein sagte:

      “Ich glaube an Spinozas Gott, der sich in der gesetzlichen Harmonie des Seienden offenbart, nicht an einen Gott, der sich mit Schicksalen und Handlungen der Menschen abgibt.”

    • @Wengert

      wenn du annimmst, ein Krokodil könne nicht beißen

      Nehem Sie an, das Auswahlaxiom ist gültig auch für eine Mengenlehre mit komplexen Zahlen (nur um beim Thema zu bleiben)? Aus was können sie das Axiom logisch ableiten?

      dann sollte dich seine Perfektion stutzig machen.

      Stutzig macht mich immer, dass das Universum offenischtlich alles andere als perfekt ist. Ihre Kommentare liefern da jedesmal einen mustergültigen Beweis.

  28. @Holzherr 04.03. 21:25

    „Die Annahme, eine Person habe das Universum erschaffen ist geradezu unendlich anthropozentrisch,..“

    Ich weiß nicht wie sich @Wengert das vorstellt, aber ich schrieb von Geisteswelten oder Geisteswesen, und wies selbst darauf hin, dass ich keinen Ahnung habe, womit wir es hier wirklich zu tun haben. Die durchaus christliche Idee dazu ist entsprechend die, dass man sich kein Bild von Gott machen sollte. Aus meiner Sicht ziemlich sinnvoll, wir können das nicht nachvollziehen.

    Man kann aber eben die zu beobachtende Perfektion dieses Kosmos durchaus von einer unbekannten Intelligenz gestaltet ansehen. Derweil man auch persönlich mit Geisteswelten wohl zu tun haben kann, wenn auch nicht jeder. Möglicherweise ist sogar unser eigenes Bewusstsein standardmäßig auch ein Geistesraum. Diese Möglichkeit besteht m.E., und wird zukünftig vielleicht sogar geklärt werden können. Auch wenn Einstein das nicht so sah.

    „Oder wie Einstein sagte: “Ich glaube an Spinozas Gott, der sich in der gesetzlichen Harmonie des Seienden offenbart,…“

    Immerhin kann man dieses eigentlich auch als eine göttliche Konstruktion der Naturgesetze interpretieren.

    „..nicht an einen Gott, der sich mit Schicksalen und Handlungen der Menschen abgibt.”

    Was eine ganz andere Frage ist, als die Frage der Harmonie der Naturgesetze.

    Wenn Gott schon den Kosmos so geschaffen hat, dass wir existieren können, dann könnte es aber auch durchaus dazu gehören, sich um uns Einzelne eben doch zu kümmern.

    „Die Geschichte des Weltalls und der Erde, die Geologie und die Evolution des Lebens sprechen dagegen.“

    Das spricht dagegen, dass es sich alles um uns Menschen dreht, in der Tat. Das ist mir persönlich sogar auch ziemlich wichtig. Die Dinosaurier und die ganzen Jahrmillionen mit allen möglichen Lebewesen waren schon Ziel der Veranstaltung, nicht erst wir Menschen. Und wenn wir Menschen persönlich mit Geisteswelten zu tun haben, dann bestimmt auch höhere Tiere, meine ich zumindest.

    Aber wir haben insofern eine prominente Stellung, dass es wohl nur durch unsere Technik möglich wird, dass das irdische Leben den Planeten verlässt und sich womöglich in weiten Teilen der Galaxis ausbreiten kann. Vorausgesetzt, wir nutzen unsere Möglichkeiten, zielstrebig und verantwortungsbewusst miteinander und mit diesem Planeten umzugehen.

    Wenn das Experiment Mensch jetzt doch noch schief geht, wo wir eigentlich gerade auf der Zielgeraden angekommen sind, das wäre allerdings wirklich ärgerlich.

  29. M.Holzherr
    anthropozentrisch, davon war keine Rede. Ich hätte besser schreiben sollen, das Universum wird eine Ursache haben.
    Gott ist kein Mensch, keine Sache, noch nicht einmal ein Objekt unserer Anschauung. Er ist sprachlich nicht zu erfassen.
    Spinoza hat wohl zum Großteil Recht, aber eben nicht ganz, wie die Heiligengeschichten erzählen.

    • Ich hätte besser schreiben sollen, das Universum wird eine Ursache haben.

      Fichte hat dazu bereits anmerken können, sinngemäß : ‘Etwas ist, es ist, weil es ist, und es ist so, wie es ist, weil es so ist, wie es ist!’
      Schopenhauer war dazu nicht amüsiert, abär Fichte hat recht, wenn er so metaphysisch und die Natur und ihr Vorhandensein (inklusive Funktionsweise) letztlich als unergründlich bezeichnet, denn Metaphysik liegt genau dann vor, wenn eine Aussage weder falsi- noch verifizierbar ist, ansonsten liegt nämlich empirische Wissenschaft oder Logik vor.
      Zudem gilt : Von nichts kommt nichts.

      SCNR
      Dr. Webbaer

  30. Joker,
    das Auswahlaxiom gilt für alle Mengen und für alle Zahlen, auch den komplexen Zahlen.
    Ich würde es geometrisch ableiten aus der Gausschen Zahlenebene.
    aber….vor Überraschungen sind wir dabei nicht sicher.

    • @Wengert

      Gratuliere, immerhin erreichen ihre Kommentare damit das Niveau von Chatbots generierter Texte – wenn auch nur knapp.

  31. e~2 + 1 / 2 + 1 / 5 + 1 / 55 + 1 / 3620216194
    Auch bei e reichen schon 4 Stammbrüche um 15-stellige Genauigkeit zu erreichen. Wobei ich leichte Zweifel habe, ob die antiken Ägypter überhaupt bis 3 Milliarden zählen konnten. Wenn’s jemand interessiert, wie ich diese Brüche ermittelt habe, dann erklär ich’s gern, ansonsten behalte ich das für mich.
    Warum eigentlich heißt der Logarithmus zur Basis e der natürliche Logarithmus und nicht der dekadische Logarithmus? Schließlich hat doch fast jeder von uns 10 Finger.
    Nun, da darf man nicht global, sondern muss universal denken. Denn mit großer Wahrscheinlichkeit wird auch jede außerirdische Kultur (unabhängig von ihrer Anatomie) die Zahl e und den darauf basierenden Logarithmus entdecken.
    Man denke da nur an den natürlichen radioaktiven Zerfall. Da ermittelt man erst mal die Zerfallskonstante k=ln(2)/t_h (t_h=Halbwertszeit)
    Und dann rechnet man N=N_0* e^(-k t)
    N_0=Anzahl der Atome zur Zeit t=0
    N=Anzahl der Atome zur Zeit t
    Und zur Ermittlung der Zerfallsgeschwindigkeit schreibt man das -k noch mal vor das e hin.
    v=-k*N_0* e^(-k t)
    Diese mathematische Entdeckung wurde vielleicht schon 100-mal in unserer Galaxie gemacht, ohne dass die einzelnen Spezies voneinander wissen.
    Wie man da von einer mathematischen Erfindung reden kann, ist für mich nicht nachvollziehbar.

  32. @Apostata 05.03. 11:58

    „Diese mathematische Entdeckung wurde vielleicht schon 100-mal in unserer Galaxie gemacht, ohne dass die einzelnen Spezies voneinander wissen. Wie man da von einer mathematischen Erfindung reden kann, ist für mich nicht nachvollziehbar.“

    Naja, wenn es denn diese intelligenten Spezies in unserer Galaxie denn gibt. Vielleicht sind wir ja die einzige bzw. die erste. Es bleiben dann aber noch die Milliarden von anderen Galaxien, was bedeutet, dass intelligente Spezies im Universum auch eher milliardenfach vorkommen.

    Was für e in der Mathematik gilt, dass gilt aber auch für das Rad oder den Ottomotor. Wer e entdeckt, der erfindet auch das Rad, nur beim Ottomotor kann es sein, dass andere Zivilisationen vielleicht andere Wege gefunden haben.

    Entdecken oder erfinden liegt wohl sowieso nah bei einander. Erfinden ist ja grundsätzlich immer auch ein Entdecken einer Möglichkeit. Und eine Entdeckung ist meistens auch ein kreativer Akt.

  33. Naja, wenn es denn diese intelligenten Spezies in unserer Galaxie denn gibt.

    Wir können auch auf der Erde bleiben. Was haben alle (auf ebener Fläche) gleichseitigen Dreiecke gemeinsam? Ganz einfach: a²+b²=c² (a und b sind die kürzeren Seiten, c die längste Seite).
    Erfunden hat das mit Sicherheit niemand, aber wer hat’s entdeckt? Ganz sicher war Pythagoras nicht der Erstentdecker. Darauf ist man in mehreren Kulturen unabhängig voneinander gekommen.
    Beim raumzeitlichen Pythagoras war auf unserem Planeten wahrscheinlich Minkowski der Erstentdecker. Dazu muss man aber erst mal Zeiteinheiten in Längen umrechnen. Und der Umrechnungsfaktor ist i*c, wobei wir wieder bei den komplexen Zahlen wären.
    Und ich bin mir ganz sicher, dass diese Erweiterung des Raumes auch in außerirdischen Kulturen vollzogen wird.

  34. Hallo, ich kann Ihren Erläuterungen nicht ganz zustimmen. Bereits die rationalen Zahlen, die als Dezimalzahl geschrieben sind, unendlich viele Dezimalstellen haben, sind keine wirklichen Zahlen, sondern nur Ausdruck der Unmöglichkeit, einen Quotienten zu bilden.

    • Für …

      die rationalen Zahlen, die als Dezimalzahl geschrieben sind, unendlich viele Dezimalstellen haben,

      … wird sich schon ein anderes Stellenwertsystem finden, in dem man die Zahl in endlichen Stellen schreiben kann.

      Sind das dann keine wirklichen Stellenwertsysteme?

  35. Joker,
    also etwas anschaulicher.
    Was haben wir?

    Eine Menge A mit Elementen X die zugleich Teilmengen von A sind.Also eine Menge von Mengen.
    Was wollen wir ?
    Wir wollen die Teilmengen X(A) in Elemente verwandeln, so dass Die Menge A keine Teilmengen mehr enthält.
    Die Zuordnungsvorschrift wird Auswahlaxiom genannt.

    Hoffentlich stimmt das ?
    Ich hoffe das stimmt, denn davor hatte ich noch nie etwas davon gehört.

    • Neues aus der wengertschen Wortebene. Wortschwallebene.

      Im Übrigen:

      davor hatte ich noch nie etwas davon gehört [dem Auswahlaxiom und was es bedeutet]

      (06.03.2023, 08:58 o’clock)

      Sie lesen ihre eigenen Kommentare nicht?

      das Auswahlaxiom gilt für alle Mengen und für alle Zahlen, auch den komplexen Zahlen

      (05.03.2023, 09:15 o’clock)

      Und sie äußern sich über Dinge mit erstaunlicher Bestimmtheit, von denen Sie noch nie etwas gehört haben?

  36. Julian Apostata schrieb (05.03.2023, 11:58 o’clock):
    > […] Warum eigentlich heißt der Logarithmus zur Basis e der natürliche Logarithmus […] ?

    Weil:

    d/dx[ Log_e[ x ] ] ≡ d/dx[ Ln[ x ] ] = 1/x.

    Für die (gleichfalls “natürliche”) Exponentialfunktion als Umkehrfunktion,

    x := Exp[ z ],

    gilt übrigens entsprechend

    d/dz[ Exp[ z ] ] := 1 / (d/dx[ Ln[ x ] ]) = 1 / (1/x) = x = Exp[ z ].

    p.s.
    > […] Und zur Ermittlung der Zerfallsgeschwindigkeit schreibt man […]

    Auch anhand solcher “Blüten” kontrastiert Sachkunde und Sorgfalt der Recherche doch wieder mal recht deutlich …

    • Jörg-Volker
      05.03.2023, 16:38 o’clock

      Bereits die rationalen Zahlen, die als Dezimalzahl geschrieben sind, unendlich viele Dezimalstellen haben, sind keine wirklichen Zahlen

      Soll ich das so verstehen?
      1/2=0.5 ist eine wirkliche Zahl
      1/3=0.33333333333333333….ist keine wirkliche Zahl
      Sollte man also in Zukunft genau darauf achten, in wie viele Stücke man eine Pizza zerteilt?
      2,4,5,8 Teile wären erlaubt?
      3,6,7,9 Teile sind verboten?

      • 1/3=0.33333333333333333….ist keine wirkliche Zahl

        Im 3-adischen (ternären) System wird es zu einer wirklichen Zahl: 0,1.

  37. Jörg Volker,
    …keine wirklichen Zahlen…
    Das kann man so sehen, wenn man allerdings unterscheidet zwischen der Darstellung einer Zahl und dem Wert der Zahl, dann sind unendliche Dezimalbrüche in ihrem Wert nicht unendlich.
    Und ein russischer Mathematiker hat einmal mit Restklassen gezeigt, dass es sogar ein Ende bei dem Bruch 1/6 gibt, die letzte Nachkommastelle ist eine 6 , aber mit dieser Darstellung kann man nicht den Anfang des Dezimalbruches zeigen. Der Beweis ist allerdings verloren gegangen.

  38. Julian Apostata schrieb (05.03.2023, 14:13 o’clock):
    > Was haben alle (auf ebener Fläche) gleichseitigen Dreiecke gemeinsam? Ganz einfach: a²+b²=c² […]

    Was haben je vier Punkte \( A, B, F, G \) einer ebenen Fläche gemeinsam ?

    Recht einfach:

    \[ 0 = \text{Det} \left[ \, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & AB^2 & AF^2 & AG^2 \\ 1 & AB^2 & 0 & BF^2 & BG^2 \\ 1 & AF^2 & BF^2 & 0 & FG^2 \\ 1 & AG^2 & BG^2 & FG^2 & 0 \end{pmatrix} \, \right ]. \]

    Im Spezialfall \(2 \, AB = 2 \, BF = AF, AG = FG, \) den man sich als “gleichschenkliges Dreieck \(AFG\) mit Höhe \(BG\)” vorstellen kann, und demnach auch als “zwei gleiche, rechtwinklige Dreiecke, \(ABG\) und \(FBG\), Rücken an Rücken”, ergibt sich (mit kanonisch gewählten Bezeichnungen der entsprechenden Distanzen bzw. Seitenlängen) die bekannte, aber ansonsten kaum begründbare Formel

  39. Den Beitrag von Frank Wappler möchte ich nun ein wenig lesbarer gestalten. Hier die Onlineversion von Geogebra.
    https://www.geogebra.org/classic
    Man richte erst mal 2 Schieberegler für a und b ein und definiere anschließend die 4 Punkte.
    A=(a,0)
    B=(0,0)
    F=(-a,0)
    G=(0,b)
    Für den Wert der Diagonalen:
    c=sqrt(a² + b²)
    Und nun kommt die Matrix. Man kann sie bequemer auch über die Tabellenansicht einrichten.
    M={{0, 1, 1, 1, 1}, {1, 0, a², 4a², c²}, {1, a², 0, a², b²}, {1, 4a², a², 0, c²}, {1, c², b², c², 0}}
    Und zum Schluss die Determinante.
    d=Determinante[M]
    Und jetzt könnte ihr wie wild die Schieber hin und her schieben. d bleibt 0.
    Wer sich in der Schule mit Mathe befassen muss, dem kann ich nur wärmstens empfehlen: Ladet euch die Software herunter. Man kann damit nur schwer verständliches Zeug sehr einfach visualisieren. Das gilt sogar für Beiträge von Frank Wappler.

  40. Julian Apostata schrieb (07.03.2023, 11:19 o’clock):
    > […] schwer verständliches Zeug sehr einfach visualisieren […]

    Für sehr einfach visualisierbar halte ich zwar eher, bis ausschließlich, nur sehr einfaches Zeug;
    also z.B. (bis ausschließlich) Darstellungen von unterscheidbaren graphischen Elementen, die

    – entweder deutlich miteinander verbunden (zusammenhängend) als ein Ganzes ins Auge fallen,

    – oder deutlich nicht (d.h. also deutlich voneinander getrennt erscheinen).

    > […] Geogebra […] Und jetzt könnte ihr wie wild die Schieber hin und her schieben. d bleibt 0. […]

    Um das von Julian Apostata angepriesene Geogebra-Rezept mal auf das nächst-schwierigere (3D-Visualisierungs?-)Problem anzuwenden:

    Man richte erst mal 80 Schieberegler ein —
    für die (allesamt jeweils innerhalb (-10 … 10) zu regelnden) reellen Zahlenwerte

    afx, afy,
    bix, biy, biz, bfx, bfy, bfz,
    cix, ciy, ciz, cmx, cmy, cmz, cfx, cfy, cfz,
    dix, diy, diz, dmx, dmy, dmz, dfx, dfy, dfz,

    gix, giy, giz, gmx, gmy, gmz, gfx, gfy, gfz,

    jix, jiy, jiz, jmx, jmy, jmz, jfx, jfy, jfz,
    kix, kiy, kiz, kmx, kmy, kmz, kfx, kfy, kfz,

    pix, piy, piz, pmx, pmy, pmz, pfx, pfy, pfz,
    qix, qiy, qiz, qmx, qmy, qmz, qfx, qfy, qfz, sowie
    uix, uiy, uiz, umx, umy, umz, ufx, ufy, ufz.

    (Geeignete Defaultwerte sind vorrangig

    afx = 0.0; afy = 0.0;
    cmx = 0.5; cmy = Sqrt[ 3/4 ]; cmz = 00.0;
    dmx = 0.5; dmy = Sqrt[ 1/12 ]; dmz = Sqrt[ 2/3 ].

    Defaultwerte noch weiterer Parameter vorzuschlagen, hieße womöglich, die Intelligenz einiger SciLog-Leser zu beleidigen …)

    Anschließend definiere man die folgenden 29 3D-Punkte:

    As = (0, 0, 0); Af = (afx, afy, 0); sowie

    Bi = (bix, biy, biz); Bm = (1, 0, 0); Bf = (bfx, bfy, bfz);
    Ci = (cix, ciy, ciz); Cm = (cmx, cmy, cmz); Cf = (cfx, cfy, cfz);
    Di = (dix, diy, diz); Dm = (dmx, dmy, dmz); Df = (dfx, dfy, dfz); usw.

    Weiterhin definiere man Boolsche “Koinzidenz-Indikatoren” für die folgenden (“Koinzidenz”-)Bedingungen:

    Dist[ As, Bm ] + Dist[ Af, Bm ] = Dist[ As, Cm ] + Dist[ Af, Cm ] = Dist[ As, Dm ] + Dist[ Af, Dm ] =
    2 Dist[ As, Gi ] + Dist[ As, Gf ] + Dist[ Af, Gf ] = 2 Dist[ As, Ji ] + Dist[ As, Jf ] + Dist[ Af, Jf ] = 2 Dist[ As, Ki ] + Dist[ As, Kf ] + Dist[ Af, Kf ];

    Dist[ Bi, As ] + Dist[ Bf, As ] = Dist[ Bi, Cm ] + Dist[ Bf, Cm ] = Dist[ Bi, Dm ] + Dist[ Bf, Dm ] =
    Dist[ Bi, Gi ] + Dist[ Bm, Gi ] + Dist[ Bm, Gf ] + Dist[ Bf, Gf ] = Dist[ Bi, Pi ] + Dist[ Bm, Pi ] + Dist[ Bm, Pf ] + Dist[ Bf, Pf ] = Dist[ Bi, Qi ] + Dist[ Bm, Qi ] + Dist[ Bm, Qf ] + Dist[ Bf, Qf ];

    Dist[ Ci, As ] + Dist[ Cf, As ] = Dist[ Ci, Bm ] + Dist[ Cf, Bm ] = Dist[ Ci, Dm ] + Dist[ Cf, Dm ] =
    Dist[ Ci, Ji ] + Dist[ Cm, Ji ] + Dist[ Cm, Jf ] + Dist[ Cf, Jf ] = Dist[ Ci, Pi ] + Dist[ Bm, Pi ] + Dist[ Cm, Pf ] + Dist[ Cf, Pf ] = Dist[ Ci, Ui ] + Dist[ Cm, Ui ] + Dist[ Cm, Uf ] + Dist[ Cf, Uf ];

    Dist[ Di, As ] + Dist[ Df, As ] = Dist[ Di, Bm ] + Dist[ Df, Bm ] = Dist[ Di, Dm ] + Dist[ Df, Dm ] =
    Dist[ Di, Ki ] + Dist[ Dm, Ki ] + Dist[ Dm, Kf ] + Dist[ Df, Kf ] = Dist[ Di, Qi ] + Dist[ Dm, Qi ] + Dist[ Dm, Qf ] + Dist[ Df, Qf ] = Dist[ Di, Ui ] + Dist[ Dm, Ui ] + Dist[ Dm, Uf ] + Dist[ Df, Uf ];

    Dist[ Gi, As ] + Dist[ Gf, As ] = Dist[ Gi, Bm ] + Dist[ Gf, Bm ] = Dist[ Gi, Jm ] + Dist[ Gf, Jm ] = Dist[ Gi, Km ] + Dist[ Gf, Km ] = Dist[ Gi, Pm ] + Dist[ Gf, Pm ] = Dist[ Gi, Qm ] + Dist[ Gf, Qm ];

    Dist[ Ji, As ] + Dist[ Jf, As ] = Dist[ Ji, Cm ] + Dist[ Jf, Cm ] = Dist[ Ji, Gm ] + Dist[ Jf, Gm ] = Dist[ Ji, Km ] + Dist[ Jf, Km ] = Dist[ Ji, Pm ] + Dist[ Jf, Pm ] = Dist[ Ji, Um ] + Dist[ Jf, Um ];

    Dist[ Ki, As ] + Dist[ Kf, As ] = Dist[ Ki, Dm ] + Dist[ Kf, Dm ] = Dist[ Ki, Gm ] + Dist[ Kf, Gm ] = Dist[ Ki, Jm ] + Dist[ Kf, Jm ] = Dist[ Ki, Qm ] + Dist[ Kf, Qm ] = Dist[ Ki, Um ] + Dist[ Kf, Um ];

    Dist[ Pi, Bm ] + Dist[ Pf, Bm ] = Dist[ Pi, Cm ] + Dist[ Pf, Cm ] = Dist[ Pi, Gm ] + Dist[ Pf, Gm ] = Dist[ Pi, Jm ] + Dist[ Pf, Jm ] = Dist[ Pi, Qm ] + Dist[ Pf, Qm ] = Dist[ Pi, Um ] + Dist[ Pf, Um ];

    Dist[ Qi, Bm ] + Dist[ Qf, Bm ] = Dist[ Qi, Dm ] + Dist[ Qf, Dm ] = Dist[ Qi, Gm ] + Dist[ Qf, Gm ] = Dist[ Qi, Km ] + Dist[ Qf, Km ] = Dist[ Qi, Pm ] + Dist[ Qf, Pm ] = Dist[ Qi, Um ] + Dist[ Qf, Um ]; und

    Dist[ Ui, Cm ] + Dist[ Uf, Cm ] = Dist[ Ui, Dm ] + Dist[ Uf, Dm ] = Dist[ Ui, Jm ] + Dist[ Uf, Jm ] = Dist[ Ui, Km ] + Dist[ Uf, Km ] = Dist[ Ui, Pm ] + Dist[ Uf, Pm ] = Dist[ Ui, Qm ] + Dist[ Uf, Qm ].

    Und schließlich noch Boolesche “Kausal-Indikatoren” für die folgenden (“Kausal”-)Bedingungen:

    Dist[ As, Gf ] + Dist[ Af, Gf ] > Dist[ Af, As ];

    Dist[ Bi, Gi ] + Dist[ Bm, Gi ] > Dist[ Bm, Bi ]; Dist[ Bm, Gf ] + Dist[ Bf, Gf ] > Dist[ Bm, Bf ];

    Dist[ Ci, Ji ] + Dist[ Cm, Ji ] > Dist[ Cm, Ci ]; Dist[ Cm, Jf ] + Dist[ Cf, Jf ] > Dist[ Cm, Cf ];

    Dist[ Di, Ki ] + Dist[ Dm, Ki ] > Dist[ Dm, Di ]; Dist[ Dm, Kf ] + Dist[ Df, Kf ] > Dist[ Dm, Df ];

    Dist[ Gi, Jm ] + Dist[ Gf, Jm ] > Dist[ Gi, Gm ] + Dist[ Gf, Gm ];

    Dist[ Ji, Gm ] + Dist[ Jf, Gm ] > Dist[ Ji, Jm ] + Dist[ Jf, Jm ];

    Dist[ Ki, Gm ] + Dist[ Kf, Gm ] > Dist[ Ki, Km ] + Dist[ Kf, Km ];

    Dist[ Pi, Gm ] + Dist[ Pf, Gm ] > Dist[ Pi, Pm ] + Dist[ Pf, Pm ];

    Dist[ Qi, Gm ] + Dist[ Qf, Gm ] > Dist[ Qi, Pm ] + Dist[ Qf, Pm ];

    Dist[ Ui, Jm ] + Dist[ Uf, Jm ] > Dist[ Ui, Um ] + Dist[ Uf, Um ].

    Und jetzt könntet ihr die Schieber hin und her schieben wie ihr wollt; und dabei untersuchen

    (1) ob es euch überhaupt gelingt, alle Koinzidenz- und Kausal-Indikatoren auf “erfüllt” zu bringen; und

    (2) ob es euch auch dann gelingt, alle Koinzidenz- und Kausal-Indikatoren auf “erfüllt” zu bringen bzw. zu halten,
    falls ihr afx auf einen Wert ungleich Null, oder (inkl.) afy auf einen Wert ungleich Null stellt und haltet.

    (Viel Spaß!, und — versprochen! — bis zur Auflösung in meinem ersten SciLogs-Gastbeitrag. — FW)

  41. @Frank Wappler
    Vergessen sie es. Wenn sie eine simple Aussage:
    Der Punkt B liegt in der Mitte zwischen A und F
    derart unnötig kompliziert umformulieren.

    2 AB = 2 BF = AF

    und sie keine Spur von Reue zeigen dann ist für mich das Maß jetzt endgültig voll und werde in Zukunft ihre Texte mit verbundenen Augen überfliegen.

  42. Das Desaster der Mathematik ist und bleibt doch einfach nur eine Möglichkeit zu suchen etwas zu erklären. Die Wege dazu, welche auch immer sind sehr unterschiedlich und für den „nicht“ Mathematiker selten logisch nachvollziehbar. Das liegt schon oft begründet mit dem Irrtum über den Begriff Mathematik. In der Schule wird ein Fach so genannt, was eigentlich nichts damit zu tun hat. In der Schule wird nur gerechnet. Das geschieht dort nach festen Regeln und Erklärung durch den Lehrer. Mathematik ist Forschung und Forschung ist vordringen auf unbekanntes Gelände. Deshalb entwickelt sich die Mathematik ja auch ständig weiter.

  43. Peter Wegner
    10.03.2023, 16:27 o’clock

    für den „nicht“ Mathematiker selten logisch nachvollziehbar.

    Das Rätselhafte und Unerklärbare ist aber auch oft in der Gegenrichtung zu finden. Da hab ich mir erst neulich in der Bücherei die DVD “Young Sheldon” ausgeliehen (Szene aus 2.Staffel Disc 2),
    Der 10-jährige Sheldon (=der spätere tolpatschige und weltfremde aber geniale Physiker Dr. Sheldon Cooper) soll seiner Zwillingsschwester elementares Bruchrechnen erklären. Zum Beispiel: 1/3+1/4.
    Dazu nimmt er als Beispiele eine Torte. Und schon hat die kleine Missy eine Zwischenfrage. Sie will wissen, was für eine Art von Torte für die Lösung des Problems verwendet werden soll. Bevor Sheldon zum eigentlichen Problem kommen konnte, mussten sie sich also erst mal auf Missies Lieblingstorte einigen.
    Und eine solche Szene ist nicht vollkommen frei erfunden. Ähnliches habe ich leider schon oft genug erlebt, als ich für Bekannte und deren Sprösslinge Nachhilfe in Mathe gab.
    Oft denken nämlich Mathephobiker gar nicht daran, das Problem direkt an zu gehen. Sie wollen sich erst mal mit völlig nebensächlichen Dingen beschäftigen.
    Und jetzt erklärt mal jemand einem Mathematiker das Tortensyndrom. Ich jedenfalls tappe da im Dunklen.
    Ganz weit verbreitet ist übrigens das Balkenwaagensyndrom. Es wird ständig vergessen, wie das Ding funktioniert. Warum?
    Jedenfalls finde ich die Psyche eines Mathephobikers viel komplizierter als die Mathematik selbst.

  44. Julian,
    wie würden sie darstellen, dass die Strecke AF genauso lang ist wie BF.
    Das Tortensyndrom ist das erste Anzeichen, dass die Person das Problem durch essen lösen will.
    Ich hätte auch gefragt, ist das eine Mandarinensahne oder eine Schwarzwälder – Kirsch-Torte.
    Bei den beiden gilt nämlich das Gesetz 1/4 Schwarzwälder = 1/3 Mandarinensahne. Der Nichtkonditor bedenkt nicht, dass Torten verschiedene Höhen haben.
    Dabei haben wir das Gewicht der Stücke noch gar nicht berücksichtigt.

  45. wie würden sie darstellen, dass die Strecke AF genauso lang ist wie BF.

    Indem ich die Punkte A und B setze und dann den Mittelpunkt zum Beispiel mit dem Zirkel konstruiere und ihn F nenne.
    Und was die Torte anbelangt, da denken sie noch viel komplizierter als die kleine Missy. Oder war das einfach nur als Satire gedacht?
    Denke ich vielleicht zu sehr wie adult Sheldon?

  46. Julian Apostata,
    ich hätte schreiben sollen , wie wollen sie das algebraisch darstellen ?
    Satire war es nicht, Mathematik muss auch Spaß machen.

    Nachtrag: ein Ausspruch von einem Hauptschullehrer 1980: “Der Hauptschüler lernt das Bruchrechnen nie !”
    Und da ist etwas dran. 1/4 suggeriert geradezu, dass 1/4 größer ist als 1/3.

    Und was hindert uns daran, das Bruchrechnen abzuschaffen, zumindest in der Algebra, wie man das auch bei der Mengenlehre gemacht hat ?
    Bei den Formeln bleibt es allerdings erlaubt.

    Kompromissvorschlag: In der Unterstufe soll Bruchrechnen noch nicht gelehrt werden. Es ist das Bruchrechnen, dass Mathematik so unbeliebt macht.

  47. 1/4 suggeriert geradezu, dass 1/4 größer ist als 1/3.

    Das suggeriert also auch, dass eine 1/4 Stunde länger ist, als eine 1/2 Stunde?
    Vielen Dank für diesen Hinweis. Das zeigt doch nur, dass viele Schüler im Matheunterricht geneigt sind, einfache Alltagserfahrungen über Bord zu werfen.

    Tja, es könnte so einfach sein, in Mathe gute Noten zu bekommen. Warum macht man es sich so kompliziert und fragt beim Bruchrechnen nach dem Pizzabelag?

  48. Julian Apostata,
    Beim Mathematikuntericht in der Grundschule muss man anschaulich werden.
    Wenn die Lehrerin klug ist, dann bringt sie Pizza mit und macht Schildchen auf die Stücke. 1/2 , 1/4 und 1/8. Wenn sie klug ist.
    Wenn sie 1/3 , 1/5 oder sogar 1/7 verwendet, dann ist das kontraproduktiv.

    Wenn sie noch klüger ist, brint sie am nächsten Tag eine Minipizza mit , wieder mit 1/2, 1/4, 1/8.. Dann kapieren die Kinder, dass die Brüche keine absoluten Größenangaben sind. Hier kann man dann den Begriff “relativ” einführen.

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