Könnte so etwas in der Mathematik passieren? Die Geschichte des Werdegangs von Stefan Hell ist, im positiven Sinne, ein wissenschaftliches Märchen: der junge Forscher mit seiner ungewöhnlichen Leitidee – eine Idee die, wenn sie umgesetzt würde, ein grundlegendes Gesetz der Optik umstürzen würde, das seit Jahrhunderten als Lehrbuchwissen gilt. Es folgen Jahre der Verbannung in ein dunkles und kaltes Land (Finnland), dort der Durchbruch, und am Ende das wissenschaftliche Äquivalent von das-halbe-Königreich-und-die-Prinzessin-zur-Frau: eine prestigeträchtige Position und der Nobelpreis. Mit der von Hell entwickelten Methode lässt sich die Beugungsgrenze für herkömmliche (Licht-)Mikroskope überwinden, so dass nun auch Strukturen kleiner als die magische Grenze von 200 Nanometern optisch auflösbar sind – in Hells eigenen Worten: es öffnete sich eine neue Welt.

Könnte so etwas in der Mathematik passieren? Verglichen mit mathematischen Theoremen sind physikalische Gesetze so etwas wie Eisberge: Unter der Lehrbuch-Version des Gesetzes – in modernen, bachelortauglichen Büchern auswendiglerngerecht in farbig unterlegter Box vom Haupttext abgesetzt – verbirgt sich eine Vielzahl von Annahmen über die Voraussetzungen. In einem guten Lehrbuch findet man diese Annahmen vollständig in den dem Gesetz benachbarten Textabschnitten; in einem schlechten Lehrbuch findet man sie vielleicht zumindest zum Teil. Ändert man auch nur eine dieser Voraussetzungen, dann könnte es sein, dass auch das Gesetz nicht mehr in derselben Form anwendbar ist.

Im Falle der Forschungen von Hell, wo es um die praktische Verallgemeinerung der Gesetze ging, welche das Auflösungsvermögen von Lichtmikroskopen beschränken, sind es die vielen kleinen, verwischten Bildchen der einzelnen Moleküle des Beobachtungsgegenstandes, die sich überlagern und das insgesamt schärfebegrenzte Bild erzeugen. Die von Hell entwickelte Methode der STED-Mikroskopie verwendet eine spezielle Konfiguration von Lasern, um alle bis auf einige dieser Moleküle “abzuschalten”, so dass nur einige wenige der Moleküle im Bildfeld tatsächlich leuchten. Das “abschalten” durch stimulierte Emission hängt direkt mit den Quanteneigenschaften der Moleküle zusammen; für ein Rezept, um ein vor Entdeckung der Quantentheorie formuliertes Gesetz zumindest in einigen Situationen auszuhebeln, sicher eine angemessene Zutat. Dann kann man die Probe abscannen und dabei Strukturen unterhalb der Beugungsgrenze abbilden. Nicht, weil sich die elementaren Eigenschaften des Lichts geändert hätten, die in das Gesetz eingeflossen sind, sondern weil eine bei der Allgemeinfassung unausgesprochenen Voraussetzungen – unzählige Moleküle strahlen fortlaufend um die Wette Licht aus – sich verändert hat.

Könnte so etwas in der Mathematik passieren? In gewisser Weise passiert es, und zwar routinemäßig. Wenn alles läuft, wie es soll, dann liefert jedes vollständig aufgeschriebene Theorem seine Voraussetzungen mit; jeder, der das Theorem liest, kann sehen, worauf es beruht. Sich eine der Voraussetzungen vorzunehmen, sie abzuschwächen und zu schauen, ob sich der Beweis doch noch führen lässt – in leicht abgewandelter oder vielleicht sogar ganz anderer Form als zuvor – ist eine mathematische Standardtaktik. So gesehen hat Hells Vorgehensweise etwas sehr mathematikpraktisches an sich. Anderseits gilt auch: Wo eine Methode so häufig angewandt wird, kommt ihr kein besonderer Status zu. Und wo alle Voraussetzungen offen genannt wurden, arbeitet es sich gleich anders als bei den physikalischen Eisbergtauchern.

Man kann festhalten: Einige Voraussetzungen sind leichter zu hinterfragen als andere. Und es ist schon vorgekommen, dass einige Voraussetzungen lange Zeit nicht hinterfragt wurden – bis es dann doch soweit war und sich neue Welten eröffneten. Der bekannteste Fall dürfte Euklids fünftes Axiom der Geometrie in der Ebene sein; in einer moderneren Version von John Playfair: Gegeben eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt. Dann gibt es genau eine Gerade durch den gegebenen Punkt, welche die erste Gerade nirgends schneidet. Es hat mehr als 2000 Jahre gedauert, bis Gauß, Bolyai, Lobatschewski und andere diese Voraussetzung fallengelassen und andere, nicht-euklidische Geometrien gefunden haben – so dass sich die Schulgeometrie als nur ein kleiner Teil einer viel reicheren mathematischen Struktur herausstelle. (Auf der Erweiterung durch Riemann baute Albert Einstein später seine Allgemeine Relativitätstheorie auf.)

Fallen euch noch weitere Beispiele ein? Dann schreibt bitte in den Kommentaren etwas dazu! Und wer Hells Eröffnungsvortrag sehen möchte, hat hier zumindest per Video die Gelegenheit dazu.