Von der Gefräßigkeit der Spitzmäuse und der Dauer des menschlichen Lebens

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Es war im Jahre 1962. Mit der damals neuen Substanz Lysergsäurediethylamid (LSD) durfte man noch experimentieren, und die Psychologen Louis J. West und Chester M. Pierce aus Oklahoma City versuchten mit ihrer Hilfe jenem seltsamen aggressiven Erregungszustand namens Musth auf die Spur zu kommen, der periodisch junge Elefantenbullen zu befallen pflegt. Man wusste bereits, dass eine Dosis von 0,1 Milligramm pro Kilogramm Körpergewicht beim Menschen halluzinationsartige Zustände auslöst, während bei der Katze nur mit Mühe überhaupt eine Reaktion zu bemerken war. Dementsprechend injizierten sie dem 3000 Kilogramm schweren Elefanten Tusko knapp 300 Milligramm LSD. Fünf Minuten später konnte sich das Tier nicht mehr auf den Beinen halten, verfiel in krampfhafte Zuckungen und geriet in Atemnot. Hektische Versuche, ihm mit einem Gegenmittel aufzuhelfen, zeigten wenig Erfolg, und nach anderthalb Stunden war der Elefant tot.

Knapp 60 Jahre später stößt nicht nur die Kaltschnäuzigkeit übel auf, mit der die beiden Forscher in ihrem Artikel das missratene Experiment beschreiben, sondern auch die Tatsache, dass sie es schon damals besser hätten wissen können. Große Tiere leben langsamer als kleine. Während eine Spitzmaus täglich so viel fressen muss, wie sie selbst wiegt, um zu überleben, kommt ein fünf Tonnen schwerer Elefant mit bescheidenen 200 bis 300 Kilogramm pro Tag aus. Alles ist langsamer an ihm: Bewegung – relativ zur Körpergröße –, Herzschlag, Schwangerschaft, das ganze Leben – ein Elefant wird wesentlich älter als eine Maus – und eben auch die Stoffwechselintensität. Seine Leber baut das LSD so viel langsamer ab, dass es seine schädlichen Wirkungen viel intensiver entfaltet, in diesem Fall mit tödlichem Ausgang.

Wer das in einigermaßen exakte Zahlen fassen will, verwendet als Messgröße den Grundumsatz (basic metabolic rate): Energieverbrauch pro Zeiteinheit eines erwachsenen Tiers, das sich nicht bewegt und nicht verdaut, zu bestimmen über die Menge des im Messzeitraum ausgeatmeten Kohlendioxids. Es handelt sich im Wesentlichen um den Energieaufwand, den das Tier treibt, um seine Körpertemperatur aufrechtzuerhalten. (Hier und im Folgenden geht es ausschließlich um Säugetiere, auch wenn einige Forschende ihre Betrachtungen auf andere Tierarten und sogar Pflanzen ausdehnen.) Damit sind die nächsten Überlegungen schon ziemlich vorgezeichnet. Energieproduktion ist proportional der Körpermasse, Energieverlust, genauer: Wärmeabstrahlung, ist proportional der Körperoberfläche. Nehmen wir die Körperlänge L als grundlegenden Maßstab, so ist die Körpermasse proportional L3 und die Oberfläche proportional L2. Damit Energieproduktion und -abstrahlung sich die Waage halten, muss der Grundumsatz G nicht der Masse M, sondern der Oberfläche proportional sein. Also: G ist proportional M 2/3.

Klingt einleuchtend, ist aber falsch. Bereits 1947 hat der Physiologe Max Kleiber in Davis (Kalifornien) G und M für verschiedene Säugerarten einschließlich des Menschen gemessen und in ein Diagramm eingetragen (siehe unten). Dabei ergibt sich, dass der Exponent nicht gleich 2/3, sondern vielmehr gleich 3/4 ist.

Kleiber1947

Wie ist das zu verstehen? Man nimmt die Gleichung G =cM b; dabei ist c ein Proportionalitätsfaktor, der uns nicht weiter interessiert, und b der „allometrische Exponent“, das ist die Zahl, die eigentlich 2/3 hätte sein sollen. Man wendet auf die Gleichung die Logarithmusfunktion an: log G = log c + b log M, trägt die Datenpunkte (log M, log G ) in das Diagramm ein und findet mit einem Standardverfahren („Methode der kleinsten Quadrate“, „least squares fit“) die Gerade, die am besten zu den Datenpunkten passt. Deren Steigung ist der allometrische Exponent b. Kleiber hat in sein Diagramm auch die Geraden zu b=2/3 („surface“) und b=1 („weight“) eingetragen; da passt die rote zu b=3/4 wirklich besser.

Aber wie ist das zu erklären? Wenn die Welt vierdimensional wäre und „Oberflächen“ in ihr dreidimensional, dann wäre der allometrische Exponent 3/4 das Einleuchtendste von der Welt. Ist aber leider nicht so. Immerhin wissen wir, dass die Sache mit der Wärme nicht die entscheidende ist. Offensichtlich gelingt es den Tieren, die Diskrepanz zwischen Wärmeproduktion und -abstrahlung auf andere Weise zu überbrücken, zum Beispiel mit dichtem Mäusefell und großen kühlenden Elefantenohren.

Vielleicht besteht ja das wesentliche Problem nicht darin, die Energie – in Form von Wärme – loszuwerden, sondern sie überhaupt erst ans Ziel zu bringen, sprich: Sauerstoff und Glukose an jeden Punkt des Körpers zu transportieren. Dazu verwenden alle Säuger den Blutkreislauf: einen reich verzweigten Baum von der Aorta bis hin zu den feinsten Blutgefäßen, den Kapillaren. Die Astgabeln dieses Baums sehen an jeder Stelle des Baums – bis auf die absolute Größe der Äste – ungefähr gleich aus, eine Eigenschaft, die man als Selbstähnlichkeit bezeichnet. Und damit landet man unversehens bei der „fraktalen Geometrie der Natur“, um den Titel eines berühmt gewordenen Buches von Benoît Mandelbrot zu zitieren.

Die Idee ist: Man nähere – zum Beispiel – das System der Arterien nicht durch eine Sammlung von irgendwie zylindrischen Röhren an, sondern durch ein idealisiertes mathematisches Objekt (ein „Fraktal“), in dem die Verzweigung in immer kleinere Äderchen bis ins Unendliche weitergeht. Mit Hilfe dieser Näherung gewinnt man Aussagen über Eigenschaften des Systems, die auf klassisch-geometrischem Weg nicht oder nur äußerst mühsam zu haben sind. (Wie war das mit der Summe einer geometrischen Reihe? Die Formel für unendlich viele Glieder ist deutlich einfacher als die für endlich viele.)

Auf diesem Wege haben Geoffrey B. West, James H. Brown und Brian J. Enquist 1997 in einer viel beachteten Veröffentlichung Kleibers Gesetz, sprich den allometrischen Exponenten 3/4, hergeleitet. Die Einzelheiten sind überraschend kompliziert. Man muss unterstellen, dass ab einer gewissen Verzweigungstiefe im Aderbaum der pulsierende Blutstrom in einen laminaren übergeht. Für letzteren gilt das Gesetz von Hagen-Poiseuille mit dem Effekt, dass eine Ader vom halben Durchmesser nicht etwa ein Viertel des Blutstroms transportieren kann, wie es ihrem Querschnitt entspräche, sondern nur ein Sechzehntel. Zusätzlich geht in die Überlegungen ein, dass die Größe einer Körperzelle, insbesondere die eines roten Blutkörperchens, nicht mit der Körpergröße des Tiers anwächst, sondern im Wesentlichen konstant ist. Gleiches gilt für den Durchmesser der feinsten Kapillaren: gerade so groß, dass ein rotes Blutkörperchen noch mit Mühe hindurchpasst.

In einer weiteren Veröffentlichung bringen West, Brown und Enquist einen zusätzlichen Gedanken in die Diskussion, um ihre These zu unterstützen. Für ein Tier ist es günstig, wenn es eine möglichst große Stoffwechselrate – die sich ihrerseits in vorteilhaften Eigenschaften wie Geschwindigkeit, Wehrhaftigkeit und Durchhaltevermögen äußert – mit möglichst geringem Aufwand erreichen kann. Man darf davon ausgehen, dass die Evolution dieses Optimierungsproblem im Verlauf der Jahrmillionen gelöst hat. Dies als Bedingung in diverse Gleichungen eingesetzt, ergibt abermals einen allometrischen Exponenten von 3/4.

Man ist ja geneigt, eine mathematische Modellierung schon deshalb zu akzeptieren, weil das Richtige herauskommt. Aber richtig begeistern konnte sie offensichtlich nicht, vor allem, weil ein unmittelbar einleuchtendes Prinzip hinter der Modellierung nicht so recht sichtbar war. Etliche Fachkollegen haben sich intensiv in Fachaufsätzen und Gegenreden mit West, Brown und Enquist beharkt. Dabei geht es, für einen Mathematiker wie mich ungewohnt, nicht in erster Linie darum, wer unter den zahlreichen Beteiligten richtig gerechnet hat – das ließe sich, vielleicht mit Mühe, aber doch irgendwann eindeutig entscheiden –, sondern ob das, was West und Kollegen in die Berechnungen einbezogen haben, das Wesentliche und das, was sie vernachlässigt haben, wirklich unwesentlich ist.

Am Ende hilft da nur der Blick in die empirischen Tatsachen. Aber o weh!, die sind noch verwirrender. Tom Kolokotrones und Kollegen haben 2010 Kleibers Diagramm sozusagen neu gezeichnet, diesmal aber mit einer viel größeren Datenbasis: K. B. McNab hatte den Grundumsatz von 637 Säugetierarten vermessen, deren Körpermasse immerhin sechs Zehnerpotenzen überspannte. Und wo Kleiber noch eine einigermaßen überzeugende Gerade in das doppeltlogarithmische Diagramm legen konnte, sieht das bei Kolokotrones eigentlich nur sehr wolkig aus.

Von einer streng gesetzmäßigen Beziehung ist da (in Fig. 1 des Artikels von Kolokotrones und Kollegen) nicht viel zu sehen. Aber selbstverständlich kann man trotzdem die Gerade berechnen, die die Datenpunkte am besten annähert; das ist die Lösung eines ziemlich einfachen Gleichungssystems (rote Linie im Diagramm). Und deren Steigung wäre der allometrische Exponent? Und wir wüssten jetzt endlich, ob 2/3 oder 3/4 der richtige Wert ist?

Pech gehabt. Was herauskommt, sind Werte wie 0,70 oder 0,71, also ziemlich genau die Mitte zwischen 2/3 = 0,666… und 3/4 = 0,75. Und die ganz schweren Tiere wollen überhaupt nicht passen, weswegen Kolokotrones und Kollegen sie nicht in die Berechnung einbezogen haben.

Na ja – vielleicht ist es ja gar keine Gerade, sondern eine Kurve. Nehmen wir die einfachste Kurve, die der mathematische Werkzeugkasten bereitstellt, eine quadratische Parabel, wieder so zurechtgemacht, dass sie optimal passt (blaue Kurve). Das sieht schon besser aus, irgendwie, vor allem bei den großen Tieren, aber nicht wie der wirklich große Durchbruch. Und eine biologische Rechtfertigung für den quadratischen Term will einem auch nicht einfallen.

Aber die Körpertemperatur zu berücksichtigen: Das bringt etwas. Der Grundgedanke ist: Je höher die Temperatur, desto schneller laufen die meisten chemischen Reaktionen ab und desto höher ist die Stoffwechselrate, die ein Tier bei ansonsten gleicher „Hardware“ – sprich Masse und Blutkreislauf – erzielen kann. Wenn man das in die Gleichungen einbaut, sinkt der „Fehlerterm“ (so die übliche Sprechweise, als ob alles, was das Modell nicht erklären kann, ein Messfehler wäre) drastisch ab. Dabei bleiben die biologischen Fragen offen: Wenn eine hohe Körpertemperatur so günstig ist, wieso sind nicht alle Säuger so heiß wie die heißesten?

Na gut. Welchen Erkenntnisgewinn kann man nun aus alledem ziehen? Das Ergebnis ist eher ernüchternd. Es gibt dieses Phänomen namens Allometrie, das wird durch einen Exponenten irgendwo zwischen 2/3 und 3/4 beschrieben, zumindest wenn man nicht so genau hinschaut. Und wenn man genauer hinschaut, kommt nichts weiter heraus als die banale Feststellung, dass das Leben kompliziert ist.

Bloß weil eine Gleichung eine eindeutige Lösung hat, muss das mathematische Modell, das durch die Gleichung ausgedrückt wird, noch nicht brauchbar sein. Immerhin reicht unsere Kenntnis von der Allometrie, so unvollständig sie ist, aus, einen Elefanten nicht aus Versehen mit LSD umzubringen. Und gelegentlich sind gerade die Abweichungen von der allgemeinen Regel interessant.

Das betrifft sogar mich persönlich. Zu den Größen, die unter die Gesetze der Allometrie fallen, zählt auch die Lebensspanne. Große Tiere leben tendenziell länger als kleine; was langsamer lebt, ist eben haltbarer. Für einen Säuger von Menschengröße kommen dabei größenordnungsmäßig 30 Jahre heraus. Ich bin durchaus erfreut darüber, dass der Mensch an dieser Stelle drastisch von der allgemeinen Regel abweicht; denn sonst wäre ich schon lange unter der Erde.

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

23 comments

  1. Bei den Bäumen spielen auch die genetischen Eigenschaften eine Rolle.
    Eine Fichte kann 600 Jahre alt werden, bei einer Höhe von 60 m.
    Eine Kiefer kann auch 600 Jahre alt werden bei einer Höhe von nur 48 m.
    Schildkröten können älter werden als der Mensch auch wenn sie kleiner und leichter sind. Raben werden auch viel älter als ein Huhn.
    Es tut mir leid die schönen Formeln zu durchkreuzen. Mir scheint, wenn man sich nur die richtigen Tiere aussucht , dann kann man Gesetzmäßigkeiten finden.

    • Ihre Einwände sind in der Literatur sämtlich diskutiert worden. Nein, es sieht nicht so aus, als käme die allometrische Gesetzmäßigkeit nur durch willkürliche Auswahl zu Stande. Wohlweislich beschränken sich die meisten Autoren auf Säugetiere. Da gibt es zwar ungeheure Unterschiede in der Körpergröße, aber immerhin erhebliche Gemeinsamkeiten im Bauplan.
      Ich habe auch gelesen, dass die Wolke in dem doppeltlogarithmischen Diagramm merklich dünner wird, wenn man nur (Säuge-)Tiere ein und derselben Ordnung betrachtet. Die haben dann wohl noch mehr Gemeinsamkeiten im Bauplan.
      Manche Autoren beziehen Pflanzen in die Betrachtung mit ein, versäumen jedoch nicht zu erwähnen, dass die Mechanik der Körperflüssigkeiten bei ihnen eine völlig andere ist. Die Leitungsbündel, mit denen Pflanzen Wasser und anderes aufwärts transportieren, haben nämlich im Wesentlichen konstanten Querschnitt im Gegensatz zu unseren Adern.
      Ob es bauplanunabhängige allometrische Effekte gibt? Manche Autoren behaupten das; ich glaub’s eher nicht.

  2. Es gibt dieses Phänomen namens Allometrie, das wird durch einen Exponenten irgendwo zwischen 2/3 und 3/4 beschrieben, zumindest wenn man nicht so genau hinschaut. Und wenn man genauer hinschaut, kommt nichts weiter heraus als die banale Feststellung, dass das Leben kompliziert ist.

    Größeres Leben lebt auch deswegen länger, weil es weniger leicht vertilgt wird.
    Der Vertilgungsgedanke ist heutzutage Bären, wie auch Menschen, weniger intuitiv, korrekt.

    “Allometrisch” mag es womöglich sinnhaft bspw. eine Kröte zu sein, eine Schildkröte zum Beispiel.
    Die leben lange, wie berichtet wird.

    Es gibt wohl, sofern sich Dr. Webbaer korrekt erinnert, Untersuchungen, die auf längeres Leben bei größeren (vs. kleineren) Menschen hinweisen.
    Ganz genau wird so nicht klar, welche Größe von Leben, terrestrische Bedingungen meinend, sozusagen optimal ist, i.p. eigener Beschaffenheit, Sinnsuche bei womöglich auch zur Verständigkeit talentierten Subjekten, dann auch Personen genannt und i.p. Erbnachfolge.

    Es ist sicherlich. wie gemeint : terrstrische Bedinungen meinend, gut größer, statt kleiner zu sein, Dr. W ist eher größer, auch oben hin zu.

    Hmm – hierzu womöglich : ‘Das betrifft sogar mich persönlich. Zu den Größen, die unter die Gesetze der Allometrie fallen, zählt auch die Lebensspanne. Große Tiere leben tendenziell länger als kleine; was langsamer lebt, ist eben haltbarer. ‘ [Artikeltext]

    Es ist so, dass von auf Planeten bedingte Maßgaben erfolgen, physikalische, auch i.p. möglicher Überhitzung (des Denkapparats) und die Fortbewegung meinend, die, anscheinend, mittlerweile einen Primaten mit ca. einem Liter Gehirngewicht und eine körperliche Größe von ca. 2 M anraten.
    Dr. W rät an hier nicht sonderlich weiter zu theoretisieren.

    Bloß weil eine Gleichung eine eindeutige Lösung hat, muss das mathematische Modell, das durch die Gleichung ausgedrückt wird, nicht brauchbar sein. Immerhin reicht unsere Kenntnis von der Allometrie, so unvollständig sie ist, aus, einen Elefanten nicht aus Versehen mit LSD umzubringen. Und gelegentlich sind gerade die Abweichungen von der allgemeinen Regel interessant.

    MFG
    WB

  3. Dr. W mag an diesem Artikel u.a. auch diese Beobachtung oder Einschätzung :

    Große Tiere leben langsamer als kleine.

    Terry Pratchett hat diesen Gedanken literarisch aufgriffen und zwar in seinem Werk mit dem Namen, nun, an den Namen kann sich der Schreiber dieser Zeilen gar nicht erinnern, gemeint ist so :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Die_Nomen-Trilogie

    Vgl. auch hiermit :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Kleine_freie_Männer


    Gehirngrößen sind interessant, weibliches Personal muss hier also nicht traurig sein, wenn sein Hirn womöglich ein wenig kleiner ist, vergleiche bspw. hiermit :

    -> https://mste.illinois.edu/malcz/DATA/BIOLOGY/Animals.html

    Welche Hirngrößen hatten Dinosaurier?

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer

  4. Für den Wärmeaustausch mit der Umgebung entscheiden
    neben der Größe der Körperoberfläche auch:
    Die Temperaturdifferenz zwischen dem Körper und der Umgebung.
    Die Art des umgebenden Mediums, Luft oder Wasser.
    Die Strömungsgeschwindigkeit des umgebenden Mediums.
    Die Wärmeisolation der Körperoberfläche, Fell oder Fettschicht.
    Die mögliche Kühlung, Schwitzen, Hecheln, Wedeln, Zusatzflächen.
    Integrierte Wärmeaustauscher im Blutkreislaufsystem.

    • In der Tat! Sie haben die Gründe aufgeführt, aus denen die Größe der Körperoberfläche nicht der begrenzende Faktor für die Stoffwechselaktivität ist. Es gelingt den Tieren nämlich im Verlauf der Evolution, Körperteile und Verhaltensweisen zur Wärmeisolation bzw. Kühlung zu entwickeln. Damit fällt die naheliegende Erklärung für den allometrischen Exponenten aus (der dann ohnehin den Wert 1/3 haben müsste), und man muss sich auf die Suche nach einer anderen Erklärung machen. Womit wir beim Thema meines Beitrags wären.
      Was mich persönlich erstaunt hat: Selbst der Orca weicht nicht nennenswert von dem allgemeinen Schema ab, und das, obgleich er im Wasser mit erheblichen Wärmeverlusten zu kämpfen hat, schlimmer als der Eisbär, würde ich sagen. Offensichtlich kann man sich selbst dagegen im Lauf der Evolution eine hinreichend dicke Fettschicht zulegen.

  5. Sehr interessanter Artikel.
    Das bringt mich auf die Idee, die Allometrie auch auf die Technik anzuwenden.
    Wenn man also das Gewicht eines Fahrzeuges erhöht, dann müssen die Achsen auch verstärkt werden.
    Die Teile bräuchte man dann nicht mehr einzeln neu zu berechnen, sondern nur noch mit der Allometrieformel ???
    Den Kraftstoffverbrauch könnte man dann auch theoretisch ermitteln. ???

  6. Hallo hwied.
    Weil die Festigkeit vom Quadrat der linearen Ausdehnung abhängt,
    und weil die Masse vom Kubus der linearen Ausdehnung abhängt,
    kann eine Maschine die gerade 1 g Beschleunigung aushält,
    bei einer linearen Verkleinerung um den Faktor 10,
    dann 10 g Beschleunigung aushalten.
    Sie wäre dann 100 mal schwächer, aber 1000 mal leichter.
    Das spricht natürlich für Mikromaschinen.
    Ein Küchen-Experiment:
    Wie verhalten sich Testwürfel aus dem selben Pudding,
    mit den Kantenlängen von 1 mm, 1 cm, 1 dm und 1 m?
    Noch mehr Text zu diesem Thema findet man,
    wenn man hier drinnen nach Mikromaschinen sucht:
    http://members.chello.at/karl.bednarik/NANO3.html

  7. Danke Herr Bednarik,
    Jetzt wird auch klar, warum Flöhe so weit springen können.
    Wenn wir also demnächst auf Himmelkörpern mit höherer Gravitation auf Lebewesen stoßen, dann müssten die kleiner sein, als auf der Erde.
    Auch mit einem kleineren Hirnvolumen. Also Schluss mit der Angst vor Aliens.

    • Vorsicht mit den Flöhen! Üblicherweise geht es bei solchen Vergleichen nicht um die Sprungweite, sondern um die Sprunghöhe, weil beim Hochsprung die Kraft, gegen die man anarbeiten muss (nämlich die Schwerkraft der Erde), besser definiert ist als beim Weitsprung.
      Auf der Erde können Tiere, die auf Hochsprung optimiert sind, unabhängig von ihrer Körpergröße ungefähr gleich hoch springen (Größenordnung 1 Meter, wenn es nur um die Verlagerung des Schwerpunkts geht). Die verschiedenen Effekte der Größe (mehr Masse zu heben, mehr Muskelmasse zum Springen) gleichen sich nämlich gerade aus. Norbert Treitz hat das in einem Rätsel kurz und in dem (kostenpflichtigen) Artikel “Zu Gast bei Liliputanern” ausführlich erläutert. Wie sich das auf dem Mond darstellt, steht in einem anderen Rätsel.
      Wenn die Aliens von einem Planeten mit größerer Gravitation kommen, sind sie nicht unbedingt kleiner als wir, aber bei menschlicher Körpergröße viel klobiger gebaut.

  8. Um von der Erde, mit einer Fluchtgeschwindigkeit von 11,2 km/s, weg zu kommen, benötigt man mit guten chemischen Triebwerken drei Stufen.
    Wenn die Aliens von einem Planeten mit größerer Gravitation weg kommen wollen, dann benötigen sie mit chemischen Triebwerken mehr als drei Stufen, die nach unten zu, immer größer werden müssen.
    Um durch die dichtere Atmosphäre hindurch zu kommen, würde ein Rockoon helfen.
    In der Hochatmosphäre könnte man ein luftatmendes, nukleares Staustrahltriebwerk vom Typ Pluto verwenden.
    Im leeren Weltraum hilft dann ein nukleares Pulstriebwerk vom Typ Orion weiter.
    Hier ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte zu diesem Thema:
    https://www.e-stories.de/view-kurzgeschichten.phtml?39560

  9. Bednarik, Pöppe
    Zuerst konnten die Aliens im Wasser schwimmen. Ihre Dichte wird also auch bei 1 liegen. Wegen der höheren Gravitation werden sie das Wasser wahrscheinlich nie verlassen haben, sondern sie bewegen sich auf ihrem Planeten in Wa sserbehältern, wenn der überhaupt eine feste Oberfläche hat. Wenn, dann in Form von Eis.
    Vor dem Einfrieren schützen Sie sich mit Glykol.
    Ist allerdings die Gravitation wesentlich schwächer, so dass der Planet keine Lufthülle festhalten konnte, so bleiben sie auch unter Wasser wie beim Mond Kallisto. Da sie keine Beine benötigen haben sie die Form von Quallen, durchsichtig. Da sie auch keine Intelligenz benötigen, sind sie einfach nur doofe Aliens. Unsere Quallen auf der Erde sind vielleicht auch nur doofe Aliens und wir merken das nicht .

  10. Nachtrag zur Fluchtgeschwindigkeit:
    Die Fluchtgeschwindigkeit ergibt sich aus der Quadratwurzel von (zwei mal Oberflächengravitation mal Planetenradius).
    Wenn ein Planet die doppelte Oberflächengravitation der Erde hätte, und wenn er den halben Radius der Erde hätte, dann wäre seine Fluchtgeschwindigkeit ebenfalls nur 11,2 km/s.
    Wenn man die ganze Erde auf ihren halben Durchmesser komprimieren würde, dann wäre ihre Dichte achtmal höher, ihr Volumen achtmal kleiner, und ihre Oberflächengravitation viermal höher, weil sich der Kehrwert des Radiusquadrates auswirkt.
    Wenn also dieser kleine Planet nur die vierfache mittlere Dichte der Erde haben würde, dann hätte er nur die doppelte Oberflächengravitation der Erde, weil er nur ihre halbe Masse hätte.
    Die mittlere Dichte der Erde beträgt 5,514 g/cm3.
    Die Dichte von Osmium beträgt 22,59 g/cm3.
    Das geht sich gerade noch aus, wird aber teuer werden.

  11. Christoph Pöppe schrieb (20. Oct 2021):
    > […] Zu den Größen, die unter die Gesetze der Allometrie fallen, zählt auch die Lebensspanne.

    Die (Mess-)Größe, durch die (z.B.) verschiedene Lebensspannen, d.h. die jeweils von Geburt und Tod begrenzten zeitlichen Ausgedehntheiten verschiedener Lebewesen gleichermaßen charakterisiert und mit einander verglichen werden können, heißt: “Lebensdauer” (bzw. kurz “Dauer“; wie schon im Titel des obigen SciLog-Beitrags verwendet).

    > […] Grundumsatz (basic metabolic rate): Energieverbrauch pro Zeiteinheit

    Der definitorische Zusammenhang zwischen Zähler und Nenner des Verhältnisses wird verdeutlicht,
    wenn “Grundumsatz (basic metabolic rate)” als “Energieverbrauch pro Verbrauchsdauer” bezeichnet wird.

    p.s. — SciLog-Kommentar-HTML-Test:

    “G = c M<sup>b</sup>” wird dargestellt als: “G = c Mb”.

  12. Frank Wappler,
    Lebensspanne ist auch korrekt, jeder weiß, was damit gemeint ist.
    Verwendet man allerdings Formeln, dann ist der genaue Begriff gefordert.
    Ein Plus für diesen Hinweis.

  13. hwied schrieb (25.10.2021, 21:16 o’clock):
    > […] jeder weiß, was damit gemeint ist.

    In diesem Falle deswegen, weil Christoph Pöppe im obigen SciLog-Beitrag (20. Oct 2021) von vornherein ausdrücklich von “Lebensspanne” als einer »de[r] Größen, die […]« schrieb.
    Sodass alle Leser schlussfolgern können, das damit “Lebensspanne” im Sinne einer Größe gemeint ist —
    und zwar sicherlich gerade der bestimmten Größe (konkret genannt: Dauer), die für quantitative Bewertung und Vergleich zeitlicher Ausdehnungen maßgeblich ist —
    und nicht etwa “Lebensspanne” im Sinne der (begrenzten) zeitlichen Ausdehnung jeweils eines bestimmten Lebewesens an sich,
    oder etwa “Lebensspanne” im Sinne jeweils genau seiner beiden Grenzen.

    p.s.
    Da meine Korrespondenz zu diesem Thema woanders seit dem 15.10.2021 unterbrochen ist (vgl. Link im Memo), möchte ich sie hier einflechten:

    Markus Termin schrieb (13.10.2021, 09:54 Uhr):
    > […] nicht um einen Wert, sondern um eine Größe […]

    Um zu bestätigen bzw. zu erklären, wie ich diese Begriffe benutze und durchwegs benutzt habe, und zu verstehen bitte:

    Es ist üblich zu sagen, dass “eine bestimmte Größe einen bestimmten Wertebereich hat“.
    (Und da es zahlreiche verschiedene Größen gibt sich zahlreiche verschiedene Größen definieren lassen, spricht man entsprechend auch von (deren) verschiedenen “Wertebereichen”.)

    Nun wird zwar von manchen auch das Wort “Größenbereich” benutzt … Aber: in der Formulierung, dass “ein bestimmter Wert innerhalb eines in Betracht gestellten Größenbereiches liegt“; es wäre jedenfalls unüblich und falsch zu sagen, dass “ein bestimmter Wert einen bestimmten Größenbereich hat”.

    Ich meine “Größe” also nicht in dem Sinne (einer Antwort auf die Frage) “Wie groß ist … (z.B. der Wert in diesem Versuch) verglichen mit … (z.B. Werten aus vorausgegangenen Versuchen) ?”;
    sondern ich meine “Größe” im übertragenen, abstrakten Sinne (einer Antwort auf die Fragen) “Was will ich messen?”, bzw. “Was wollte ich messen?”, und vor allem “Wie will ich zu einem Ergebnis(-Wert) gelangen?” bzw. “Wie bin ich zum mitgeteilen Ergebnis(-Wert) gelangt?” bzw. “Wie ist diese (Mess-)Größe definiert?”.

    Leider habe ich für das Letztere, also für das, was ich meine, auch kein anderes Wort als “Größe”; die englische/internationale Bezeichnung “quantity” ist ja leider ebenfalls (und ungefähr genau so) mehrdeutig …

    Und so versteht sich die Aussage, um die es (mir/uns) oben ging:
    Der Wertebereich der Messgröße “Signalfront-Geschwindigkeit” besteht nur aus einem (von Null verschiedenen) Wert.
    (Und das ist zweifellos eine Ausnahme; und das erschwert es, diese Messgröße und ihren einzig gültigen Wert begrifflich zu unterscheiden; aber üblicher und richtiger Weise wird nur der betreffende Wert als “c_0” symbolisiert.)

    > […] dann haben wir es […] mit einer Konstruktion zu tun

    Wir (Messende) haben es aber immer mit Konstruktionen bzw. Festsetzungen zu tun:
    nämlich jedenfalls mit der in Betracht stehenden Definition von “Wie will ich zu einem Ergebnis(-Wert) gelangen?” alias “Was will ich messen?”.

    Die so definierte, festgesetzte Bewertungsoperation wird ggf. auf das Versuch für Versuch verschiedene Gegebene (alias “die jeweiligen Beobachtungsdaten”) angewandt.

    Nun sind für beinahe jede solche Konstruktion/Messgröße jeweils verschiedene bestimmte Beobachtungsdaten zumindest vorstellbar, die bei Auswertung/Anwendung des betreffenden Messoperators ungleiche Ergebniswerte liefern. Dazu gehört insbesondere die (allgemeine) Messgröße “Geschwindigkeit (von irgendetwas Bestimmten)”.

    (Dass solche entsprechenden Beobachtungsdaten, für die ungleiche Ergebnisse herauskommen, zumindest vorstellbar sind, heißt natürlich nicht unbedingt, dass in “hinreichend vielen” verschiedenen Versuchen auch “hin und wieder” tatsächlich Beobachtungsdaten vorliegen müssten, aus denen ungleiche Ergebnisse herauskommen; dass also jeweils “der Wertebereich von der Wirklichkeit unbedingt ausgeschöpft” werden müsste. Das ist das Thema “Modelle und Tests von Modellen”.)

    Aber es gibt demgegenüber eben auch die Ausnahme(n): insbesondere die Messgröße “Signalfront-Geschwindigkeit”, für die aus allen denkbaren Beobachtungsdaten immer nur der selbe Ergebniswert herauskommen kann (oder ansonsten “ungültiger Versuch — gar kein Ergebniswert”).

    > im Fall von “c” sei aber bekanntlich eine simple Addition per Definition (c + c ≠ 2 c) nicht möglich

    Ein (billiges aber hartnäckiges?) Missverständnis …
    “2 c” ist durchaus ein Geschwindigkeits-Wert (liegt also im Wertebereich von “Geschwindigkeit, im Allgemeinen”).

    Im Einzelnen jedoch:
    “2 c” liegt im Wertebereich von Phasen-Geschwindigkeit (z.B. “mit der Tor-Jubelschreie die Tribüne füllten”, oder “mit der ein Laser-Pointer-Punkt herumgehuscht wurde”);
    und (“mit Hängen und Würgen, unter Ausnutzung des Kleingedruckten der Definition/Konstruktion”) liegt der Geschwindigkeitswert “2 c” auch im Wertebereich von Gruppengeschwindigkeit.

    Der Wert “2 c” liegt aber ganz offensichtlich nicht im Wertebereich der Messgröße “Signalfront-Geschwindigkeit” (deren Wertebereich nämlich ausschließlich den Wert “c” enthält; sofern mit “c” in diesem Kommentar jedenfalls der Wert der Signalfront-Geschwindigkeit symbolisiert ist).

    Und der Wert “2 c” liegt auch nicht im Wertebereich der Messgröße “Geschwindigkeit von etwas Bestimmten, das sich durchwegs als Individuum wiedererkennbar bewegt”;
    und insbesondere nicht im Wertebereich der Messgröße “Geschwindigkeit von eines Mitgliedes eines Inertialsystems (bzgl. den Mitgliedern eines anderen Inertialsystems)”, denn deren Werte sind kleiner als “c”.

    (Bei Betrachtung von drei verschiedenen Inertialsystemen im selben Versuch ergibt sich wegen der zugrundeliegenden Konstruktion/Definition das sogenannte “Additions”-Theorem für die entsprechenden drei paarweisen Geschwindigkeits-Werte …)

    • Frank Wappler schrieb (26.10.2021, 09:56 o’clock):
      > […] p.s. […] (vgl. Link im Memo)

      Den erwähnten “Link im Memo” ​ hatte ich dabei leider vergessen anzulegen; darum hiermit nachgereicht.

  14. Zweiter Nachtrag zur Fluchtgeschwindigkeit:
    Planeten aus Osmium sind relativ selten.
    Nehmen wir einen Planeten, der die mittlere Dichte der Erde hat.
    Doppelter Radius wie die Erde, und daher die achtfache Masse.
    Er hätte dann die doppelte Oberflächengravitation der Erde, weil
    sie von Radius hoch drei geteilt durch Radius hoch zwei abhängt.
    Seine Fluchtgeschwindigkeit wäre dann 22,4 km/s, weil innerhalb
    der Quadratwurzel-Klammer zwei mal der Faktor zwei dazu gekommen
    ist, was aber die vierfache Fluchtenergie von der Erde bedeutet.
    Für chemische Triebwerke ist das schwer zu erreichen.
    —–
    Geschichten über das Leben:
    https://www.e-stories.de/view-kurzgeschichten.phtml?30976

  15. Hallo, Herr Bednarik,
    da haben wir ja viele Gemeinsamkeiten.
    Meine Großmutter kommt auch aus Wien.
    Alter, ein Jahr jünger als Sie.
    Ich interessiere mich auch für die Naturwissenschaften
    und auch für Zukunftsromane.
    Lieblingsschriftsteller : Isaak Asimov, der verbindet Phantasie mit Wissenschaft.
    Musik: Klassik und von den Neueren, Nina Hagen, Leonard Cohen,
    Hobbies: Sport in jeder Form , Fotografie, Elektronik, Programmieren. Anmerkung : Basic ist gut für die Logik, für lange Berechnungen ist Visual Basic optimal.
    Im Augenblick machen wir Kirchentourismus. Wir fotografieren Kirchen , veröffentlichen die Fotos und wenn wir Glück haben, melden sich Buchverlage und bitten um die Bilder.
    Ein Lob an Herrn Pöppe , der immer wieder interessante Themen ins Netz stellt.

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