Vom Banachschen Fixpunktsatz zum Determinismus
BLOG: Heidelberg Laureate Forum
Diesmal möchte ich für Sie zwei lose Fäden zusammenknüpfen, die ich in früheren Posts gesponnen habe.
Zum einen die Sache mit dem Laplace’schen Dämon und dem Determinismus: Kennst du den Zustand der Welt zu einem bestimmten Zeitpunkt und die Naturgesetze, dann kennst du ihn für alle Zukunft. Diesmal soll es nicht um die Philosophie gehen, sondern um die Mathematik. Was genau kann man beweisen, und wie?
Zum anderen habe ich angefangen, die Mittel für einen solchen Beweis zurechtzulegen. Es ging darum, sich in einem unendlichdimensionalen Raum wohlzufühlen, dessen Punkte aus kompletten Funktionen bestehen, und vor allem zuzusehen, dass dieser Raum keine Löcher hat, wenn man also eine Folge von Punkten in diesem Raum hat, deren Glieder einander immer näherkommen, dass diese Folge einem eindeutigen Grenzwert zustrebt.
Präzisieren wir zunächst den Laplace’schen Allwissenheitsanspruch. Wie beschreibt man den Zustand der Welt? Durch endlich viele reelle Zahlen. Denken wir uns die Koordinaten von Ort und Geschwindigkeit aller Massenpunkte, die in der Welt herumschwirren. Das sind für einen Massenpunkt schon sechs Stück, und für eine Primitivwelt, die nur aus Sonne, Mond und Erde besteht (alle drei punktförmig!), wären es 18 Koordinaten. Für alle Elementarteilchen im Universum kommen da sehr viele reelle Zahlen zusammen. Wie man die alle zu einem bestimmten Zeitpunkt kennen soll, ist eine interessante Frage, aber die wollen wir hier beiseitelassen; die Philosophie hatten wir ja in einem anderen Blogbeitrag. Einerlei: Wir schreiben die Orts- und Geschwindigkeitskoordinaten aller Beteiligten der Reihe nach sorgfältig auf, dann haben wir das, was man im Jargon einen Vektor nennt: eine geordnete Liste von Zahlen. (Die Pfeile im Raum, die man auf der Schule als Vektoren kennenlernt, sind Listen von drei geordneten Zahlen — x-, y– und z-Koordinate; hier sind es halt etwas mehr.)
Wie beschreibt man die Naturgesetze? Durch die Kräfte, mit denen die Teilchen aufeinander wirken, im Verein mit Newtons allgegenwärtigem Gesetz „Kraft ist Masse mal Beschleunigung“. Da wir ohnehin den Zustand der Welt durch die Orte und Geschwindigkeiten der Beteiligten ausdrücken müssen, lassen sich die Naturgesetze mit Hilfe von (ersten) zeitlichen Ableitungen formulieren: Ableitung des Ortes gleich Geschwindigkeit, Ableitung der Geschwindigkeit gleich Beschleunigung gleich Kraft geteilt durch Masse. Damit nimmt das Gesetz, das die Entwicklung der Welt beschreibt, eine geradezu irreführend einfache Form an: \[y'(t)=f(y(t))\] Dabei ist y(t) der Zustandsvektor, also die oben genannte Liste aller Zahlen, die den Zustand der Welt zum Zeitpunkt t beschreibt. Die ganze Vielfalt der Naturgesetze steckt in der Funktion f, die einen Zustandsvektor, in diesem Fall y(t), auf einen anderen abbildet. Und wenn y so von der Zeit abhängt, dass tatsächlich \(f(y(t))=y'(t)\) ist, dann folgt die Welt, beschrieben durch y, den Naturgesetzen.
Wenn wir also wissen wollen, wie die Welt sich entwickeln wird, müssen wir die (vektorwertige) Funktion y(t) finden, die diese Differenzialgleichung löst. Unter der Voraussetzung, dass wir den Zustand der Welt zum Zeitpunkt t=0 kennen; nennen wir ihn y0. Das ist das, was man das Anfangswertproblem für gewöhnliche Differenzialgleichungen nennt. Und das hat in der Tat eine Lösung, und die ist eindeutig bestimmt.
Unter einer einzigen, relativ milden Voraussetzung, die für klassische Naturgesetze schon fast per definitionem erfüllt ist: „Natura non facit saltus“, die Natur macht keine Sprünge. Wenn sich Ort und/oder Geschwindigkeit eines Teilchens nur ein bisschen ändern, dann ändern sich die wirkenden Kräfte auch nur ein bisschen. Es kann nicht sein, dass man ein Teilchen nur ein beliebig kleines Stück verschiebt, und die Kraft ändert sich erheblich. Mathematisch heißt das: Die Funktion f muss stetig sein. Gefordert ist sogar eine verschärfte Form von stetig, die man lipschitzstetig nennt.
Wie beweist man nun die Existenz und die Eindeutigkeit? Bei manchen gewöhnlichen Gleichungen gibt es ein Lösungsverfahren; dessen Anwendung liefert zugleich den Beweis. Bei unseren Differenzialgleichungen funktioniert das nur in sehr exotischen Spezialfällen. Für den allgemeinen Fall gibt es immerhin eine zweitbeste Methode: ein Näherungsverfahren, das gegen eine Lösung konvergiert, und zwar immer gegen dieselbe, einerlei mit welcher (beliebig schlechten) Näherung man anfängt.
Dazu formen wir das ursprüngliche Problem ein bisschen um, indem wir es integrieren: \[y(t) = y_0+\int_0^t f(y(s))ds\]
Wie war das? Differenzieren und Integrieren sind irgendwie Umkehrungen voneinander, so wie das Dividieren die Umkehrung vom Multiplizieren ist. So ungefähr. Ein paar Einzelheiten sind komplizierter, aber die sollen uns hier nicht interessieren. Jedenfalls: Wenn man die obige Gleichung nach t differenziert, kommt wieder die ursprüngliche Differenzialgleichung heraus. Also ist die Umformung zulässig. Sie macht das Problem sogar in einem gewissen Sinne milder: Die ursprüngliche Gleichung macht nur Sinn, wenn y differenzierbar ist (was sollte sonst y’ sein?). Das verlangt die integrierte Gleichung nicht. Man kann also beide Seiten der integrierten Gleichung hinschreiben, auch wenn y irgendwelche Knicke oder Löcher hat. Dann kann zwar die Gleichung nicht erfüllt sein, aber das ist eine andere Sache.
Zudem definieren wir uns eine Funktion namens F zurecht, die Funktionen auf Funktionen abbildet. Wenn also y eine unserer vektorwertigen Funktionen ist, dann ist F(y) auch eine. Und zwar ist die definiert durch \(F(y)(t) = y_0+\int_0^t f(y(s))ds\). Wenn wir ein y gefunden haben, für das F(y) = y gilt (einen „Fixpunkt“ der Abbildung F), sind wir am Ziel; denn nichts anderes sagt unsere umgeformte Differenzialgleichung.
Unversehens sind wir in einem Funktionenraum gelandet. Alle Funktionen sind nichts weiter als Punkte in diesem Raum. Und wenn wir uns beim Definieren des Funktionenraums ein bisschen Mühe geben, ist es ein Banachraum. Was heißt das nochmal? Man kann die Elemente des Raums addieren und mit Konstanten multiplizieren — das geht auch mit Funktionen –; es gibt eine Norm, das heißt, zu jedem Element u des Raums gibt es eine reelle Zahl, die man mit ||u|| („Norm von u“) bezeichnet und die sozusagen den Abstand des Elements u von der Null beschreibt; und der Raum ist vollständig, das heißt, jede Cauchy-Folge konvergiert.
Jetzt kommt die entscheidende Idee: Wenn eine Abbildung F, die von einem Banachraum in denselben Banachraum geht, eine Kontraktion ist, dann hat sie einen eindeutig bestimmten Fixpunkt. Das ist die Aussage des Banach’schen Fixpunktsatzes. Was heißt Kontraktion? In einem gewöhnlichen Raum wäre das so etwas wie eine Verkleinerung, vielleicht noch mit einer Verschiebung oder Drehung dabei. Genauer: Wenn man zwei Punkte, nennen wir sie u und v, in dem Raum hat, dann sind deren Bilder unter der Abbildung F einander näher als die Punkte selbst: \[||F(u)-F(v)|| \leq c ||u-v|| \] mit einem „Verkleinerungsfaktor“ c < 1.
Warum gilt der Banach’sche Fixpunktsatz? Die Idee ist so einfach wie genial. Man beginne mit irgendeinem Punkt aus dem Banachraum, nennen wir ihn u0, wende die Funktion F auf ihn an, nenne das Ergebnis u1, wende darauf wieder F an, und so weiter. \(u_1=F(u_0), u_2=F(u_1)=F(F(u_0)), u_3=F(F(F(u_0))) \ldots \), jawohl, ein iteriertes Funktionensystem, wie es uns schon bei der chaotischen Blätterteigfunktion begegnet ist. Dann konvergiert die Folge \(u_0, u_1, u_2, \ldots \) gegen einen Fixpunkt von F. Wieso? F macht den Abstand zwischen zwei Punkten stets etwas kleiner, auch den zwischen einem Folgenglied uj und seinem Nachfolger uj+1. In der Tat geht wegen der Kontraktionseigenschaft \(||u_j-u_{j+1}|| = ||u_j-F(u_j)||= ||F(u_{j-1})-F(u_j)|| \) \( \leq c( ||u_{j-1}-u_j||) \) mindestens so schnell gegen 0 wie eine geometrische Folge mit dem Faktor c < 1. Also ist (uj) eine Cauchy-Folge, also hat sie einen Grenzwert, nennen wir ihn u, und für den gilt \(||u-F(u)||=0\) und deswegen auch \(u=F(u)\). Da haben wir unseren Fixpunkt. Und es kann nur einen geben; denn hätten wir zwei, dann würden wir F auf beide anwenden, was ihnen nichts ausmacht, es sind ja Fixpunkte, aber wegen der Kontraktionseigenschaft sind sie nun näher beieinander als zuvor, und das kann nur sein, wenn sie von Anfang an gleich waren. Was zu beweisen war.
OK, kurze Verschnaufpause.
Der Beweis des Banach’schen Fixpunktsatzes hat uns quasi nebenher ein Verfahren für eine Näherungslösung für unsere Differenzialgleichung geliefert: Man nehme irgendeine Funktion, egal welche, wenn sie nur in unserem Banachraum ist, wende immer wieder F auf sie an, und auf die Dauer wird das Ergebnis unserer gesuchten Lösung beliebig nahekommen. Da gibt es ein paar technische Hindernisse — ein Integral auszurechnen ist theoretisch eine schöne Sache, aber praktisch schwierig –, aber die Idee ist trotzdem durchaus brauchbar.
Nur fehlt in der ganzen Gedankenkette ein entscheidendes Glied: Woher wissen wir, dass F eine Kontraktion ist? Das versteht sich in der Tat nicht von selbst. Das Integrieren, das in dem F enthalten ist, macht eine Funktion zwar irgendwie braver; zum Beispiel ist F(y) stets eine differenzierbare Funktion, auch wenn y selbst nur stetig ist. F bügelt also allerlei Knicke aus. Aber das reicht nicht. Auch bei Differenzialgleichungen gibt es die empfindsame Abhängigkeit von den Anfangsdaten, über die ich in der Blätterteig-Geschichte erzählt habe. Infolgedessen kann es passieren, dass selbst bei zwei Funktionen u und v, die sich nicht sonderlich voneinander unterscheiden, F(u) und F(v) für große Zeiten t weit auseinanderlaufen. Das würde der Kontraktionseigenschaft widersprechen.
Also definiert man sich die Norm so zurecht, dass sie „kurzsichtig“ ist: Je größer die Zeit t wird, desto weniger genau schaut sie hin. Und wenn man das geschickt anstellt, dann stellt sich F tatsächlich als eine Kontraktion dar, und damit ist der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für das Anfangswertproblem gewöhnlicher Differenzialgleichungen bewiesen. Hurra.
Aber da bleibt ein übler Nachgeschmack. Das mit der kurzsichtigen Norm sieht doch verdächtig nach Pfusch aus. Wir schauen nicht so genau hin, damit wir nicht merken, wenn die Funktion F sich doch nicht so brav verhält, wie wir das gerne hätten, und machen deswegen uns selbst und anderen vor, es sei alles in Ordnung? Um Fehler dieser Art auszuschließen, muss man den Beweis sorgfältig führen und zum Beispiel sichergehen, dass die Norm nicht aus Versehen Ungleiches für gleich hält.
Außerdem handelt man sich mit diesem Verfahren eine Einschränkung ein. Die Existenz einer eindeutigen Lösung ist nicht für alle Zeiten garantiert, sondern nur für einen beschränkten Zeitraum. Für wie lange? Kann man so genau nicht sagen. Es kommt im Wesentlichen darauf an, wie stetig die rechte Seite f unserer Differenzialgleichung ist.
Das ist nicht so schlimm, wie es zunächst klingt. Wir haben den Zustand der Welt für den Zeitraum von t=0 bis zu einem gewissen Zeitpunkt, nennen wir ihn t1, vorhergesagt. Dann nehmen wir den so ermittelten Zustand zum Zeitpunkt t1 als Anfangswert eines neuen Problems mit derselben Differenzialgleichung, finden eine Lösung bis zu einem weiteren Zeitpunkt t2, und so weiter. Also sagen wir den Zustand der Welt gewissermaßen auf Raten vorher, bis in alle Ewigkeit.
Wenn die einzelnen Raten nicht beliebig klein werden! Die erste Prognose überdeckt eine Sekunde, die zweite eine halbe, die dritte eine viertel Sekunde … Dann ist nach zwei Sekunden das Ende der Welt erreicht, oder zumindest das Ende unserer Erkenntnismöglichkeiten.
Und das kann tatsächlich passieren. Es gibt Differenzialgleichungen, die sehen ganz brav aus, und ihre Lösung explodiert in endlicher Zeit, will sagen geht gegen unendlich — das, was man eine Singularität nennt. Nur dass es nicht mehr weitergeht, ohne dass es knallt: Das kann nicht passieren.
Zu allem Überfluss macht sogar die Natur manchmal Sprünge. Das bekannteste Beispiel ist das Gravitationsgesetz. Anziehungskraft ist proportional eins durch Abstand zum Quadrat, und wenn der Abstand gegen null geht … Ein Frontalzusammenstoß zweier Massenpunkte ist zwar ein Ereignis „mit Wahrscheinlichkeit null“, ist also auch in manchen Theorien vernachlässigbar; aber die schiere Möglichkeit vereitelt etliche allgemeine Aussagen über die Zukunft unseres Planetensystems, vor allem über dessen Stabilität — womit wiederum dem Chaos Tür und Tor geöffnet ist.
🙂
Aber nicht für die Vergangenheit.
Zudem ist nicht diese Welt gemeint, sondern eine besondere, die für Anschauungszwecke theoretisierend bereit gestellt worden ist.
(Der Weltbetreiber (der nicht personalisiert werden muss) kann so frei sein seine physikalisch scheinende Bearbeitung der Weltzustände bedarfsweise in jedem Moment umzustellen.)
Das erkennende Subjekt bearbeitet zudem nicht diese Welt (direkt), sondern die Idee einer Welt – aus dem Gedächtnis : Es war Schopenhauer, der meinte, dass nicht der Hund bearbeitet wird, sondern die Idee des Hundes.
Insofern lässt sich formalwissenschaftlich, die Mathematik als Fähigkeitslehre ist gemeint, sie entnahm ihre Axiomatiken der Natur, korrekt, über die Welt nur besser spekulieren als ohne sie.
Sie ist Grundlage der Naturwissenschaften und erlaubt so indirekt auch Anwendungen, was se-ehr nett ist, was ihren Nutzen sozusagen täglich beweist, nur (absolut) richtig (gerichtet schon) ist diese Methode nicht.
I.p. Determinismus ist physikalisch kein Honig zu saugen.
MFG
WB
Doch. Beim Anfangswertproblem für gewöhnlichen Differenzialgleichungen darf die Zeit ebenso gut vorwärts wie rückwärts laufen. Und wenn die Welt tatsächlich durch ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen erschöpfend beschreibbar wäre, dann müsste man aus ihrem gegenwärtigen Zustand nicht nur jeden zukünftigen, sondern auch jeden vergangenen rekonstruieren können. Man bestimme den Bewegungszustand jedes Moleküls im Atlantik; dann wäre man in der Lage nachzuweisen, wann und wo jener unglückliche Sklave über Bord geworfen wurde – unter anderem.
Dass das unmöglich ist, haben die Physiker auch schon gemerkt. Sie modellieren den Atlantik und vergleichbare Systeme mit Gleichungen, die nicht zeitsymmetrisch sind und mit Theorien wie der statischen Mechanik gerechtfertigt werden (Entropie und so). Das ist ein Riesenthema für sich, und die Frage, warum die Zeit überhaupt eine Richtung hat, wird intensiv diskutiert.
Wenn auf aktuelle Zustände geschaut wird und die zugrunde liegenden Regelmengen für die Veränderlichkeit von Zuständen bekannt ist, gibt es auf die Vergangenheit bezogen keine Eindeutigkeit, es kann nicht “zurückgerechnet” werden, es sei denn, es wird ein (sehr großer) “Range” von möglicherweise zuvor bestehenden Zuständen in Kauf genommen.
Es gibt hier wohl auch mathematische Fachbegriffe, Dr. W hat sie als Nicht-Mathematiker nicht zur Hand.
Irgendwas mit nicht umkehrbaren Funktionen ist gemeint, Eindeutigkeit von Ergebnis auf die Parametrierung bezogen dieser Funktionen meinend.
Es ist auch möglich mit den Mitteln der Kombinatorik hier Beispiele zu benennen.
Gemeint worden sein muss irgendwie anders.
Ich widerspreche ja nur ungern, aber es hilft nichts: Das Anfangswertproblem für gewöhnliche Differenzialgleichungen ist vorwärts wie rückwärts lösbar.
Für Herrn Laplace übrigens kein ernsthaftes Problem: Die Vergangenheit ist ja (im Prinzip) bekannt und auf jeden Fall eindeutig bestimmt. Dass unser gegenwärtiger Zustand mehrere denkbare Vergangenheiten hätte – ziemlich absurde Idee, oder?
Im Gegensatz zu den hier behandelten kontinuierlichen Systemen ist eine unbestimmte Vergangenheit bei diskreten Systemen (\(x_{n+1}=f(x_n)\), die Systeme, von denen ich bei der Blätterteigtransformation erzählt habe) durchaus möglich und sogar die Regel, wenn die Iterationsfunktion f nicht eindeutig umkehrbar (bijektiv) ist. Und das ist nicht nur bei der Blätterteigfunktion der Fall, sondern bei so ziemlich allen interessanten Funktionen.
Jaja, Herr Dr. Pöppe, Sie sind sehr nett, vielen Dank für Ihre Toleranz, für Dilettantentum und Interdisziplinarität.
In concreto kann Dr. Webbaer Ihre Essays nicht bearbeiten, Sie arbeiten ja schon seit einiger Zeit sozusagen daran die Welt und bestimmte ihrer Einstellungen politisch-mathematisch nachvollziehbar werden zu lassen, bisher meist ohne Zuspruch des Schreibers dieser Zeilen.
Sondern nur im Denkmöglichen :
Also es ist so, es scheint so zu sein, dass Sie die(se) Welt als (dem hier gemeinten Hominiden) mathematisierbar betrachten, keine schlechte Idee aus diesseitiger Sicht, vielleicht falsch, abär nachvollziehbar.
Es ist so, dass mathematische Funktionen nur unter bestimmten Bedingungen erlauben vom Ergebniswert auf die (einstmals erfolgte) Parametrisierung der Funktion zu folgern.
Es gibt für diese Eigenschaft von Funktionen auch einen Namen, der benannt werden könnte, Dr. Webbaer hat ihn nicht zur Hand.
Es kann grundsätzlich nicht wie gemeint rückwärts gerechnet werden.
Einige Funktionen leisten aber so.
Sie fordern in Ihrem dankenswerterweise bereit gestellten Re-Feedback bestimmte Funktionalität des Weltsystems an.
Mehr scheint nicht los zu sein.
—
Ansonsten, Sie bewerben ja den Determinismus, weil anderes auch nicht vorstellbar ist. (Echter Zufall kann nicht mathematisiert werden, Zufallsgeneratoren haben sich, leider sozusagen, eine Schnittstelle zur Physik, zur Natur, zu suchen, um sich zu initialisieren.)
Den Welt-Determinismus.
Dem nachgespürt werden kann, in der Hoffnung, dass irgendwann sozusagen eine Weltformel bereit steht (mit der gar rückwärts gerechnet werden kann), tja, vielleicht ist dies möglich , als Forderung oder als behauptete Tatsache bleibt sie per se unfalsifizierbar und auch unverifizierbar,
Sie stellen sozusagen perfekte Metaphysik bereit, nicht schlecht.
Kann damit gut gearbeitet werden?
Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer (der Sie hoffentlich näherungsweise verstanden hat, ansonsten gerne noch mal klopfen)
In https://www.spektrum.de/kolumne/freistetters-formelwelt-das-bizarre-kuppel-paradox/1878964 hat Florian Freistetter das Kuppelparadox vorgestellt. Ein Ball befindet sich auf der Spitze einer (rotationssymmetrischen) Kuppel. Nach unbestimmter(!) Zeit rollt er auf irgendeiner Seite herunter (auch als spontane. Symmetriebrechung bekannt). Es ist die einfache Zeitumkehrung eines Vorgangs, der völlig ok erscheint: Ein Ball bekommt gerade soviel kinetische Energie, dass er es bis auf die Sitze der Kuppel schafft, dann ist diese vollständig in potentielle Energie umgewandelt und der Ball verharrt im labilen Gleichgewicht. Merke: In der klassischen reibungslosen Mechanik sind alle Bewegungen zeitumkehrbar. Das Beispiel zeigt, wie Florian Freistetter bemerkt, dass die klassische Mechanik doch ein Moment der Indeterminiertheit hat. Ich verstehe aber im Moment nicht, wie sich das mit der hier präsentierten Ableitung verträgt, wo ist der Haken/Denkfehler oder die versteckte Annahme? (Abgesehen vom Chaos, dass mathematisch eine Unstetigkeit darstellt, weswegen man in diesem Fall die Ausgangsparameter unendlich genau kennen muss und die Entwicklung ohne jeden Fehler berechnen müsste)
Wer platziert denn den Ball so genau? Wie sollte das funktionieren? Wie man es auch anstellt wird er nie exakt im Maximum des Pontentials zu liegen kommen und daher sofort losrollen.
@Ernst Sauerwein / 30.06.2021, 23:44 o’clock
»Ich verstehe aber im Moment nicht, wie sich das mit der hier präsentierten Ableitung verträgt, wo ist der Haken/Denkfehler oder die versteckte Annahme?«
Norton’s dome ist ja nicht irgendeine (rotationssymmetrische) Kuppel, sondern mit Bedacht so konstruiert, dass die im Blogtext genannte Bedingung “lipschtzstetig” für die Bewegungsgl. mit der Anfangsbedingung “am Scheitelpunkt der Kuppel ruhend” verletzt ist, sodass dieses Anfangswertproblem keine eindeutige Lösung hat.
Newton und Laplace wussten noch nichts über die Bedingungen, welche die Existenz sowie Eindeutigkeit von Lösungen für Anfangswertprobleme garantieren. Die Einsichten dazu stammen aus dem späteren 19. Jhdt.
Im übrigen halte ich die Bezeichnung “Kuppel-Paradox” für ziemlich verfehlt und irreführend. Denn an Noton’s Dome ist bei genauer Betrachtung überhaupt nichts paradox.
Die Natur ist viel zu komplex, als dass sie etwas Anderes als eine Approximation vertragen würde. (John von Neumann)
Empirische Ergebnisse in eine Formel zu “pressen” das tun die Physiker.
Dann von Determinismus zu reden, das machen dann die Philosophen, die die Physik nur halb verstehen.
Die Iteration ist eine neuzeitliche Methode, die es einem Computer erlaubt schnell und genau zu einem Ergebnis zu kommen.
Es gibt durchaus Einfaches: Motion near the Collinear Equilibrium Points
http://www.cds.caltech.edu/~marsden/volume/missiondesign/KoLoMaRo_DMissionBook_2011-04-25.pdf
Das James-Webb-Weltraumteleskop macht sich auf den Weg.
K.Mistelberger
Ihr Link ist bestimmt sehr informativ. Mein Englisch weniger.
Schade.
Papa meinte in den Fünfzigern: “Englisch lesen und sprechen können ist wichtig. Russisch braucht keiner.” Recht hat er behalten.
Als Österreicher habe ich die Deutschen überschätzt und brauchte Jahrzehnte um zu kapieren. Was der gemeine Deutsche von sich gibt muss man nicht mit aller Anstrengung zu entschlüsseln versuchen. Es ist einfacher Englisch zu lernen und zu verstehen.
K.M.
Der gemeine Österreicher stammt von dem gemeinen Deutschen ab.
Die Habsburger haben es geschafft, eine eigene Identität aufzubauen.
Und sie waren erfolgreich. Schrödinger, Freud, Karl Schranz, Bruno Kreisky die sind immer noch vorzeigbar.
Wenn es trotzdem nicht gelingt die Deutschen zu “entschlüsseln”, dann sind wir bei dem Problem von dem Küken und der Henne. Die Henne hat einfach mehr Erfahrung.
Christoph Pöppe schrieb (30. Jun 2021):
> […] den Laplace’schen Allwissenheitsanspruch. Wie beschreibt man den Zustand der Welt? Durch endlich viele reelle Zahlen. […] Massenpunkte, die in der Welt herumschwirren. […] Wie man die alle zu einem bestimmten Zeitpunkt kennen soll, ist eine interessante Frage, aber die wollen wir hier beiseitelassen; die Philosophie hatten wir ja in einem anderen Blogbeitrag [ https://scilogs.spektrum.de/hlf/laplace-die-karnickel-und-das-chaos/ ]
Im genannten SciLog-Beitrag (Christoph Pöppe, 03. Sep 2020) “hatten wir” allerdings ein “Mini-Universum” (bzw. mehrere verschiedene, durch \(k\) parametrisierte “Mini-Universen”), und (jeweils) lediglich eine “Iterationsfunktion” als entsprechendes “Naturgesetz”;
adaptiert an die Notation des obigen SciLog-Beitrags also
– mehrere verschiedene geordnete (abzählbare) Mengen
\[ \mathcal Y^k \equiv \{ y^k_j\}_{j = 0}^{\infty} \]
– und mehrere Iterations-Funktionen
\[f^k_{\text{iter}} : \mathcal Y^k \rightarrow \mathcal Y^k, \qquad f^k_{\text{iter}}[ \, y^k_j \, ] \mapsto y^k_{j + 1}. \]
Die interessante Frage, “Wie man die [ Komponenten-Werte \(y^k[ \, t \, ] \) ] alle[r] [ Zustandskomponenten \(y^k\) des Gesamt-Zustandesvektors \(y\) des Universums ] zu einem bestimmten Zeitpunkt [ \(t\) ] kennen soll”, hat deshalb einen (womöglich besonders interessanten) Aspekt, den ich hier als ausdrückliche Einzel-Frage formulieren möchte:
Gegeben geordnete (meinetwegen jeweils abzählbare) Mengen \( \mathcal Y^k \) von Zustands-Zahlen, die insbesondere verschiedene, mit Parameterwert \(k\) identifizierte “Massenpunkte” betreffen, wie ist aus jeder jeweils ein bestimmtes Element, Wert \( y^k_{tau^k} \in \mathcal Y^k \), auszuwählen, um diese zu einem Wert des Gesamt-Zustandesvektors mit einem einzigen gemeinsamen Wert des \(t\)-Parameters zusammenzufassen; d.h. so dass
\( y[ \, t \, ] \equiv \{ y^k_{tau^k} \} \)
?
> […] Die Existenz einer eindeutigen Lösung [ \(f\) ] ist nicht für alle Zeiten garantiert, sondern […]
Kann die jeweilige Lösung \(f\) insbesondere davon abhängen, genau welche einzelnen Werte \(y^k_{tau^k}\) zu einem Gesamt-Wert \(y[ \, t \, ] \) zusammengefasst würden ?
Vorsicht, Begriffsverwirrung!
Mein Beitrag zu den Karnickeln handelt von einem diskreten dynamischen System. Wir haben einen Zustand zum Zeitpunkt t, und aus diesem errechnet sich (mittels Iterationsfunktion) der Zustand zum Zeitpunkt t+1. Was in der Zwischenzeit passiert, wissen wir nicht und wollen es auch gar nicht wissen. Dass eine Lösung dieses Systems existiert, ist in aller Regel unproblematisch. Es genügt zum Beispiel, dass die Iterationsfunktion f auf allen reellen Zahlen definiert ist und reelle Werte annimmt. Im Gegensatz zu den kontinuierlichen dynamischen Systemen (Differenzialgleichungen), von denen im aktuellen Beitrag die Rede ist, gibt es also eigentlich nichts zu beweisen.
Das gilt auch dann noch, wenn der Systemzustand ein mit k parametrisiertes Kontinuum ist oder, weniger bombastisch ausgedrückt, eine Funktion von k. Darauf läuft Ihre Frage hinaus. Die Lösung existiert ohne Zweifel für alle Zeiten. Aber besonders schön sieht sie nach wenigen Zeitschritten schon nicht mehr aus.
Christoph Pöppe schrieb (13.07.2021, 14:37 o’clock):
> Vorsicht, Begriffsverwirrung! […]
Vorsicht ist ja immer ratsam …
Ich hatte auf das diskrete Beispiel Bezug genommen, um meine Fagestellung samt dazu geeigneter Notation zu motivieren;
zumal “wir die Philosophie” (oder eher: die Grundlagen-Physik) dort angeblich schon “gehabt” hätten.
Wenn dieses Vorgehen aber eher verwirrt, als hilfreich zu sein, dann eben bitte nocheinmal bezogen ausschließlich auf den oben vorliegenden SciLog-Beitrag:
> […] Liste aller Zahlen, die den Zustand der Welt zum Zeitpunkt \(t\) beschreibt. […]
Wir betrachten also \(k\) identifizierbare, unterscheidbare “Massenpunkte”; und wir betrachten eine Menge \(\mathcal Y \equiv \{ y[ \, t \, ] \}_{(t \in \mathbb R)} \) von Listen \(y\), die jeweils einen reellen Zahlenwert als Index \(t\) haben und in denen jeweils bestimmte “Zustands”-Zahlen aufgelistet sind.
Wesentlich ist, dass sich jede dieser Listen wiederum eindeutig in einzelne (disjungierte) “Zustands”-Anteile \(y^k\) gliedern (partitionieren) lässt;
ganz anders als beispielsweise ein metrischer Raum.
Demnach lassen sich die Mengen \(\mathcal Y^k \equiv \{ y^k[ \, t \, ] \}_{(t \in \mathbb R)} \) einzeln betrachten;
und die jeweiligen “Zustands”-Anteile \(y^k\) lassen sich einzeln (um-)parametrisieren
(wobei die jeweilige Umparametrisierungs-Funktion
\( t^k : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \)
durchaus streng monoton steigend und sogar stetig sein mag).
Wenn also eine Familie \( \{ \mathcal Y^k \} \) von einzeln parametrisierte Mengen
\(\mathcal Y^k \equiv \{ y^k[ \, t^k \, ] \}_{(t^k \in \mathbb R)} \)
formal gegeben ist
(wobei ich wohl einen gewissen Notations-Missbrauch begangen habe, den abzustellen ich z.B. die Hilfe eines Mathematikers gut brauchen könnte),
dann steht die Frage, wie welche Elemente aus den einzelnen Mengen \(\mathcal Y^k \) auszuwählen sind, um gemeinsam die “Zustands”-Anteile jeweils ein-und-der-selben Liste \( y[ \, t \, ] \) zu bilden.
Oder rein verbal (unter Voraussetzung von entsprechend definierter Terminologie, oder eher: um die betreffenden vermuteten Definitionen überhaupt erst zu erfragen):
Wie lassen sich “Zustands”-Anteile verschiedener “Massenpunkte” finden, die den selben “Zeitpunkt” betreffen ?
Und (insbesondere falls zumindest einige der “Zustands”-Anteile \(y^k\) nicht konstant wären, sondern
\(\exists t^k_{\alpha}, t^k_{\beta} \in \mathbb R \, | \, y^k[ \, t^k{\alpha} \, ] \ne y^k[ \, t^k{\beta} \, ]) —
Hängt die (o.g., jeweils zweifellos existierende) “Lösung \(f\)” davon ab, wie bzw. welche Elemente aus den einzelnen Mengen \(\mathcal Y^k \) jeweils ausgewählt werden, die gemeinsam die “Zustands”-Anteile einer bestimmten Liste \( y[ \, t \, ] \) für jeweils einen bestimmten Index-Wert \(t\) bilden ?
[…] Und (insbesondere falls zumindest einige der “Zustands”-Anteile \(y^k\) nicht konstant wären, sondern
\(\exists t^k_{\alpha}, t^k_{\beta} \in \mathbb R \, | \, y^k[ \, t^k{\alpha} \, ] \ne y^k[ \, t^k{\beta} \, ]\)) — […]
[…] Und (insbesondere falls zumindest einige der “Zustands”-Anteile \(y^k\) nicht konstant wären, sondern \(\exists \, t^k_{\alpha}, t^k_{\beta} \in \mathbb R \, | \, y^k[ \, t^k_{\alpha} \, ] \ne y^k[ \, t^k_{\beta} \, ]\)) — […]
Ich habe immer noch Verständnisprobleme. Wenn Sie von Listen y[t] reden, die mit einem (reellen) Index t parametrisiert sind, dann würde ich schlicht von Funktionen y(t) sprechen (und runde Klammern verwenden). Da fürchte ich, Sie meinen eigentlich etwas anderes, komme aber nicht darauf, was.
Ein “Zustandsanteil” wäre zum Beispiel so etwas wie ein Massenpunkt, richtig? Ja, es gibt Gelegenheiten, bei denen man einen Massenpunkt oder auch ein Ensemble von Massenpunkten separat betrachten kann– nämlich dann, wenn sie nicht mit anderen wechselwirken.
Aber jetzt führen Sie für jeden Zustandsanteil eine eigene Zeitrechnung ein. Können Sie machen; ist sogar sinnvoll, wenn man den Singularitäten (zwei Massenpunkte prallen frontal aufeinander) aus dem Wege gehen will. Aber was ist, wenn sich zwei Zustandsanteile mit verschiedener Zeitrechnung begegnen? Vor allem: Wann ist das? Dann muss man die verschiedenen Uhren ineinander umrechnen. Wozu hat man sie dann überhaupt erst eingeführt?
Wenn Sie jetzt an die Relativitätstheorie denken, wo jedes Bezugssystem seine Eigenzeit hat und so: falsche Baustelle! In dem Kontext, den ich dargestellt habe, gibt es nur eine alles übergreifende Zeit, und von der ist auch nicht abzukommen. Einsteins Konzepte brauchen eine komplett neue Theorie.
Christoph Pöppe schrieb (14.07.2021, 12:56 o’clock):
> […] Verständnisprobleme. Wenn Sie von Listen […] reden, die mit einem (reellen) Index t parametrisiert sind, dann würde ich schlicht von Funktionen […] sprechen
Den Begriff “Liste” (für \(y\)) habe ich ja dem obigen SciLog-Beitrag entnommen, und zitiert.
Eine einzelne solche Liste kann man gewiss jeweils auch als eine (nicht unbedingt bijektive) Funktion bezeichnen; entsprechend dem Schema
\[ \text{Auflistungs-Funktion} : \\
\text{Teilmenge der natürlichen Zahlen} \longrightarrow \text{Menge aller verschiedenen gelisteten Elemente}. \]
Im Unterschied dazu kann man auch von Funktionen sprechen, deren Wertebereich (Bildmenge, Zielmenge) die Menge aller in Frage kommenden (verschiedenen) Listen ist; etwa
\[ \text{Parametrisierung} : \text{Menge der Parameterwerte} \longrightarrow \text{Zielmenge}. \]
Ich habe vermutlich auch darin einen Fehler begangen, \(t\) einen “Index” anstatt (nur) einen “Parameter” zu nennen, denn es versteht sich vermutlich, dass ein “Index” umkehrbar eins-zu-eins abbildet:
\[ \text{Index-Funktion} : \text{Indexmenge} \longleftrightarrow \text{Zielmenge}. \]
> (und runde Klammern verwenden [um Argumente einer Funktion einzuschließen])
Das, wiederum, würde ich jedenfalls vermeiden, sondern mich, sofern erlaubt, stets an die Mathematica-Konvention zur Klammerung halten (Argumente also stets in eckige Klammern einschließen, und runde Klammern in mathematischen Ausdrücken weitgehend nur für Priorisierung benutzen).
> […] In dem Kontext, den ich dargestellt habe, gibt es nur eine alles übergreifende Zeit, und von der ist auch nicht abzukommen.
Vor allem darauf wollte ich mit meiner Fragestellung hinaus. Der obige SciLog-Beitrag ist also auch insbesondere in diesem Aspekt der “dämonischen Epoche” verhaftet, die von der aufgeklärten Physik längst verlassen, längst überwunden wurde.
p.s.
> […] Ein “Zustandsanteil” wäre zum Beispiel so etwas wie ein Massenpunkt, richtig?
Ein o.g. “Zustandsanteil”, \(y^k\), wären jeweils insbesondere die im Artikel genannten “sechs Stück” reelle Zahlen, die sich auf einen bestimmten “Massenpunkt” \(k\) beziehen.
> […] Aber jetzt führen Sie für jeden Zustandsanteil eine eigene Zeitrechnung ein.
Ganz recht — einem (einzelnen) “Massenpunkt”, als auch einem bestimmten seiner konkreten “Zustandsanteile” (am “Zustand der Welt” insgesamt) sieht man irgendeinen konkreten, insbesondere als reell-wertig verstandenen “übergreifenden Zeitpunkt \(t\)” nun mal nicht an.
> […] Aber was ist, wenn sich zwei Zustandsanteile mit verschiedener Zeitrechnung begegnen? Vor allem: Wann ist das? […] Einsteins Konzepte brauchen eine komplett neue Theorie.
Jedenfalls befasst sich Einsteins Relativitätstheorie mit diesen Themen schon vom Ansatz her (und ist damit komplett anders und besser als die überkommene “Dämonen-Physik”);
und ich erlaube mir (als Bonus), dazu noch Einzelheiten aufzulisten:
– indem 1916 von Einstein selbst formuliert:
»alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen […] stets auf Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinauslaufen; [nämlich insbesondere auf gegebene Auflistungen von] Begegnungen materieller Punkte.«, und
– indem die unterscheidbaren Anteile der verschiedenen Beteiligten an jeweils einem solchen Koinzidenz-Ereignis jeweils an sich unterschieden und berücksichtigt werden (in Einsteins anfänglicher Formulierung, 1905:
»[… dass] ich an Stelle der “Zeit” die “Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr” [oder allgemeiner: “Anzeige”] setze.«);
unabhängig von der Zuordnung irgendwelcher Parameter, Koordinaten oder Ablesewerte \(t\) oder Ähnliche.
OK, ich glaube, wir kommen Ihrem Anliegen näher.
Erstmal noch ein Tipp zur Bezeichnungsweise: Wenn Sie einen “Index” oder “Parameter” oder so etwas t nennen, denkt jeder erstmal an die Zeit (ich auch). Das haben Sie nicht gemeint, wie mir inzwischen klar ist.
Ich glaube inzwischen, dass Ihr t ein Index sein soll, mit dem die (zahlreichen) Variablen unseres Systems nummeriert werden. Wenn man sich unter den Komponenten des Systems Massenpunkte (Elementarteilchen oder so) vorstellt, dann ist jeder Massenpunkt mit sechs reellen Variablen in dieser Sammlung vertreten, also ist es vielleicht sinnvoll, Indizes zu verwenden, die jeweils sechs reelle Variable zusammenfassen. Das kann man sich ohne weiteres zurechtdefinieren.
Es ist üblich, Indizes klein und untendran zu schreiben. Klein und obendran, wie Sie es gemacht haben, kommt vor, ist aber selten (eigentlich ist der Platz klein und obendran den Exponenten (Hochzahlen) vorbehalten). In der Quantenmechanik unterscheidet man zwei verschiedene Arten von Vektoren daran, dass die einen den Index (für ihre Koordinaten) unten tragen, die anderen oben. Und die Einsteinsche Summationskonvention arbeitet ebenfalls mit oberen und unteren Indizes.
Die Mathematica-Konvention für einen Index (genauer: die Nummer eines Elements in einer Liste) ist “doppelte eckige Klammer”. Aus der internen Logik von Mathematica gut begründet, aber schrecklich unhandlich; kommt deshalb außerhalb von Mathematica praktisch nicht vor.
Nach der Rumkrittelei an Ihrer Bezeichnungsweise endlich zur Sache: Ja, die Beschreibung der Welt durch ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen ist (jedenfalls in der von mir vorgestellten vereinfachten Form) veraltet. Man muss dafür nämlich nicht nur an eine absolute Zeit, sondern auch einen absoluten Raum glauben. Beides ist seit Einstein nicht mehr Stand des Wissens.
Nur: Auch in der Relativitätstheorie beschreibt man die Zustandsänderung der Welt mit deterministischen Gleichungen. Nur ist das alles viel schwieriger.
Genau, insofern können Einsteinsche, möglicherweise auch tautologische Aussagen (‘lle unsere zeiträumlichen Konstatierungen […] stets auf Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinauslaufen; [nämlich insbesondere auf gegebene Auflistungen von] Begegnungen materieller Punkte’, Zitat : Frank Wappler) als nebensächlich für unsere kleine Erörterung betrachtet werden.
@Frank Wappler / 14.07.2021, 19:07 o’clock
Falls es Dich — oder gegebenenfalls noch sonst noch jemanden — interessieren sollte, Marco Giovanellis (bis anhin nur als Preprint erhältliche) Abhandlung zu Einsteins kryptischer Bemerkung über Koinzidenzen ist jüngst in publizierter Form erschienen (open access):
Giovanelli, M. (2021). Nothing but coincidences: the point-coincidence and Einstein’s struggle with the meaning of coordinates in physics. Eur. J. Philos. of Sci., 11(2), 1-64. DOI: 10.1007/s13194-020-00332-7
Falls Einstein 1916 damit tatsächlich in einer Art von postivistischem Anfall gemeint haben sollte, “alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen” sollten auf Protokollsätze über Koinzidenzen zurückführbar sein, so hat das bei ihm selbst jedenfalls nicht sonderlich lange und intensiv nachgewirkt.
@ Dr. Webbaer:
Vorsicht! Ich sehe mich vorrangig als Journalist, genauer: als jemand, der Dinge erklärt und seine persönliche Meinung nach Möglichkeit beiseite lässt. Aber wenn Sie mich so konkret auf meine Überzeugungen ansprechen, will ich nicht zögern, Ihre Vorstellungen zurechtzurücken.
Ob ich die Welt – so richtig insgesamt – für mathematisierbar halte? Au weia. “Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben”, sagt Galilei. Das stimmt, sagen wir, für einen Teil der Natur. Die absoluten Vorstellungen, die manche Philosophen damit verbunden haben: Man könne mit Mathematik alle Zukunft vorhersagen und/oder die Welt beherrschen, halte ich für unhaltbar.
Insbesondere bin ich kein Advokat des Determinismus. Nicht vergessen: Angefangen hat meine ganze Schreiberei mit der Chaostheorie. Deterministisches Chaos ist zwar, wie der Name sagt, deterministisch, aber macht jede Vorhersage unmöglich, was dem Determinismus einen wesentlichen Teil seiner Zähne zieht.
Wenn ich mit der ganzen Geschichte über den Banachschen Fixpunktsatz die mathematische Grundlage für den Determinismus referiere, dann auch, um die Grenzen dieses Satzes zu zeigen. Und die sind ja in der Diskussion auch deutlich zutage getreten.
Die Mathematik meint ja das Lernen des erkennenden Subjekts, insofern liegt es nicht nahe, dass die(se) Welt umfänglich mathematisierbar ist, es kann aber so behauptet werden.
Unwiderlegbar, unfalsifizierbar, denn klappt es nicht, kann die Mathematik angepasst werden, dann klappt es bestimmt, ganz sicher.
BTW, ein Rechner, der sozusagen so groß ist wie die(se) Welt, könnte, nach einigem Rechnen, dann die(se) Welt trotz ihrer hohen Komplexität, ihr sozusagen Chaos meinend, dann doch vorherberechnen, im deterministischen Sinne, insofern ist Dr. Webbaer mit der ‘Unmöglichkeit jeder Vorhersage’ vorsichtig.
Vielen Dank für Ihre Ergänzungen, Herr Pöppe, sehr nett und nachvollziehbar und so.
MFG
WB
Dr. Webbaer
Die Mathematik ist eine Sprache, so wie die Noten in der Musik eine Sprache sind, aber die Musik ist mehr als die Sprache.
Mit einer Sprache lässt sich eine Sache beschreiben und erklären und wenn die Redundanz groß genug ist, dann entsteht Raum für Interpretationen.
Wenn man eine mathematische Formel entwickelt, dann entspricht das Satzaussagen. Und für jedes Objekt schreibt man eine Abkürzung, das ist der Vorteil der Formel gegenüber mehreren Satzaussagen.
Und eine sprachliche Aussage muss sich nicht mit der physikalischen Realität decken.
So hat man früher gesagt, die Welt besteht aus den 4 Elementen. Feuer, Wasser, Luft und Erde.
Eine mathematische Rechnung muss sich nicht mit der Wirklichkeit decken.
1l Wasser + 1l Schwefelsäure ergibt mathematisch 2 l verdünnte Schwefelsäure.
Physikalisch stimmt das aber nicht. Es ergibt nur 1,8l verdünnte Schwefelsäure.
Komisch oder ? Ich wollte damit nur die Glaubwürdigkeit der Mathematik ein wenig erschüttern.
Die Aussage: Die Welt ist mathematisch , die ist einfach zu ungenau.
Die Mathematik meint die Fähigkeitslehre, die von einzelnen Fachdisziplinen abgezogen, abstrahiert werden kann.
Sie meint als Vorgehensweise, die sozusagen immer funktioniert, tautologisch, Formales, sie wird Formalwissenschaft genannt, was hier gut klingt.
Es ist nicht möglich mit Logik wichtige, sozusagen entscheidende Aussagen über die(se) Welt zu treffen, Wittgenstein ist mit seinem “Tractatus” megalomanerweise gescheitert, er gab dies später zu, es gibt audiovisuelles Material aus seiner Spätzeit, in der er, lol, betonte besonders gescheitert zu sein, nichts war jemals,, womöglich, richtiger als diese beigebrachte Selbsteinschätzung.
Die Mathematik ist keine Sprache, es ist aber möglich mit ihrer Hilfe (künstliche) Sprachen beizubringen, zu entwickeln.
Wir unterscheiden grundsätzlich zwischen Formalem, Wirklichen und Moral.
Dr. Webbaer hat ja (auch) hier nur ein wenig genagt, Herr Dr. Christoph Pöppe war so freundlich auf ihn einzugehen, besondere Fragen sind nicht offen.
Die(se) Welt ist nicht mathematisch, denn die Mathematik meint ihre Bearbeitung durch erkennendes Subjekt, insofern liegt hier :
-> https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_universe_hypothesis
…Projektion vor, vielleicht auch : schlechtes Marketing.
Dr. Webbaer mag aber die Idee, dass nichts so ist, wie es zu sein scheint und letztlich irgendwelche Mengen vorliegen, die Zustände meinen, darstellen, und dass die(se) Welt mehr oder besser mathematisch, informatorisch bearbeitet werden kann.
Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer
Vielleicht können wir uns so einigen.
Die Logik ist ein Teil der Sprache. Und die Logik ist ein Teil der Mathematik.
In der Logik treffen sich Sprache und Mathematik.
Die Sprache ist sozusagen Mathematik.
>:->
Wenn es um Mengen geht, dann lässt sich Mathematisches sprachlich ausdrücken.
Wenn es um Strukturen geht, dann ist die Mathematik die geeignetere Sprache.
Man denke nur an die komplexen Zahlen. Wie will man denn die Wurzel aus -1 beschreiben und erklären.
Herr Pöppe,
mit dem Fixpunktsatz haben Sie sich etwas Schönes und Gleichzeitig etwas Exotisches herausgesucht. Ich versuche mich dem Satz zu nähern und bin jetzt bei Felix Hausdorff angelangt und dem Hausdorff Abstand.
Da wird gesagt f(a) + f(b) < a + b wobei a und b Punkte in der Ebene sind.
Frage: Ist mit f(a) schon der Grenzwert der Iteration also f(f(f(a….))) gemeint ?
Und bedeutet das, dass es zu jeder Iteration mindestens einen Grenzwert geben muss ?
Das kann ich mir offengestanden nicht vorstellen. In der Formel, die SIe zitieren, fehlt etwas, wahrscheinlich ein paar senkrechte Striche. Eine Formel der Gestalt |f(a)+f(b)| < |a+b| würde Sinn machen; üblich sind sogar Doppelstriche anstelle der einfachen Striche. Das wäre dann ungefähr die Definition einer Kontraktion (noch nicht so ganz, aber es kommt der Sache nahe). Und dabei sind a und b irgendwelche Punkte, die noch keine besonderen Eigenschaften haben müssen.
@hwied
In der Logik treffen sich Sprache und Mathematik, das stimmt. Und beide treffen sich im logischen Denken. Das Wörtchen “und” hat gewisse Bedeutungen für unser Denken, aber die Bedeutungen sind zu unscharf und zu ungenau, wie die Sprache insgesamt. Die Mathematik bzw. math. Ausdrucksweise präzisiert das Denken und die Sprache. Das hat hauptsächlich Gottlob Frege geschaffen.
Was bedeutet a+b für Punkte a,b in der Ebene oder im Raum?
Mengen sind selbstverständlich ebenfalls Strukturen, denn sie bilden gewisse Relationen, als Zusammenfassung von Elementen. Strukturen wiederum sind Informationen! Eine Information ist als eine binäre Relation aufzufassen, z. B. x wohnt in y, oder xRy (Menge von Einwohnern einer Stadt). Deshalb können Informationen in Tabellen dargestellt werden.
Es ist auch möglich Listen, eindimensionale Gegenstände, in Tabellen zu halten, insofern ist eine Relation nicht gegeben, wenn sozusagen nur eine Liste als Tabelle geführt wird.
Fakten sind gemeint, “Tatsachen”.
Dazu gibt es zwischen Gegenständen unterschiedliche Beziehungen, die nicht
binär’, zweiseitiger Art sein müssen, sondern auch statt “1:1” “1:n” oder “n:m” sein können, diese Beziehungen können auch so-o speziell sein, dass wie oben Beschriebenes zu ihrer Beschreibung nicht ausreicht.
Fakten sind gemeint, “Tatsachen”.
Was abär immer geht, ist Fakten und erkennende Subjekte in “n:m”-Beziehungen zu setzen, genau deshalb sind multidimensionale Datenstrukturen immer angewiesen.
Denn es geht um Erkenntnis, es interessiert stets, wer etwas wann festgestellt hat.
Sprache präzisiert weltliche Zusammenhänge, indem Näherungen, Ausschnittsartigkeit und dies vor allem auch an Interessen gebunden gesucht werden.
Die Logik wiederum ist von der Weltlichkeit losgelöst, sie ist formalsprachlich sozusagen.
Generell wollen wir auch zwischen Datum, Gegebenen, Daten, Data und Information unterschieden wissen, es lohnt sich diesbezüglich.
Auch darf zwischen (sozusagen tautologischer) Logik und Folgerichtigkeit unterschieden werden.
Ihr Kommentar, Kommentatorenftreund Herr Reutlinger ist aus diesseitiger Sicht in vielerlei Hinsicht falsch oder desorientiert.
Bei der Mathematik handelt es sich um aus der Sprache philosophischerseits extrahierte formale Einheit, die u.a. wiederverwendbar ist und von der Realwelt abgezogen, sozusagen evakuiert.
Insofern besteht zwischen Sprache und formalisierter Logik eine sozusagen giftige Wechselbeziehung, denn die formalisierte Logik hat letztlich der Sprache, der tonalisierten Bemühung des hier gemeinten Hominiden zu gehorchen, der aber zumindest gelegentlich der sogenannten Logik.
MFG
WB (der sicherlich ein wenig vom im dankenswerterweise weblog-seitig dankenswerterweise bereit gestellten Inhalt angekommen ist, nun sich langsam, sozusagen reuig, ausklinkt)
Christoph Pöppe schrieb (16.07.2021, 21:43 o’clock):
> […] Wenn Sie einen “Index” oder “Parameter” oder so etwas t nennen, denkt jeder erstmal an die Zeit (ich auch).
Wer beim Wort “Zeit” vor allem an Einsteins oben schon einmal zitierte Setzung denkt,
»[… dass] ich an Stelle der “Zeit” die “Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr” [oder allgemeiner: “Anzeige”] setze.«,
wird einen (insbesondere reell-wertigen) Index oder Parameter t, der jeweils jemandes Anzeigen zugeordnet ist,
nicht (ebenfalls) “(dessen) Zeit” nennen,
sondern (stattdessen, zur Unterscheidung) jeweils “Zeit-Koordinate” oder “time stamp” oder “Ablesewert” der betreffenden Anzeige.
> Ich glaube inzwischen, dass Ihr t ein Index sein soll, mit dem […]
Ich habe “das t” ausschließlich aus dem obigen SciLogs-Beitrag entnommen und zitiert.
> […] Es ist üblich, Indizes klein und untendran zu schreiben.
Einverstanden. Beispielhaft \(y_0\) oder \(t_1\) aus dem obigen SciLogs-Beitrag.
> Klein und obendran, wie Sie es gemacht haben, kommt vor, ist aber selten
Das kommt insbesondere dann vor, und ist dann sogar üblich, falls es um mehrere, i.A. voneinander unabhängige Indices geht; wie z.B. hier;
nämlich mit dem Subskript als einem Wert des “System-Gesamtzustands-Index” \(t\),
und mit dem Superskript als einem Wert des “Anteil” oder –“Komponenten”-Index \(k\)
(der schon im vorausgegangenen SciLogs-Beitrag (Christoph Pöppe, 03. Sep 2020) auftrat).
> (eigentlich ist der Platz klein und obendran den Exponenten (Hochzahlen) vorbehalten).
Oft, wie z.B. hier, reicht der Kontext aus, um einen Exponenten (der die algebraische Operation Potenzierung ausdrückt) von einem Superskript-Index zu unterscheiden. (Ansonsten kann ich runde Klammern zur Gruppierung empfehlen.)
> […] zur Sache: Ja, die Beschreibung der Welt durch ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen ist (jedenfalls in der von mir vorgestellten vereinfachten Form) veraltet. Man muss dafür nämlich nicht nur an eine absolute Zeit, sondern auch einen absoluten Raum glauben.
Jedenfalls würde offenbar eine Menge vorausgesetzt, deren Elemente durch je drei (reell-wertige) Koordinaten(-Zahlenwerte) benennbar sind.
> Auch in der Relativitätstheorie beschreibt man die Zustandsänderung der Welt mit deterministischen Gleichungen.
Erstens trennt man in der Relativitätstheorie besonders sorgfältig zwischen “geometrisch-kinematischem Zustand” (der sich grundsätzlich nur “in der Rückschau” ermitteln lässt), und “dynamischem Zustand” (d.h. der momentan wahrscheinlichsten Verteilung von “Massen”, “Ladungen”, “Feldern” …) der sich (Achtung, Webbaer!) aus gegebenen geometrisch-kinematischen constraints durch Variationsrechnung ergibt.
Wenn jemand die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen (im Zusammenhang mit der Erwartung, dass “die momentan wahrscheinlichste Verteilung von Massen/Ladungen/Feldern …” weitgehend fortbesteht) “deterministisch” nennen will — dann schleift sich diese altmodische Unsitte hoffentlich bald ab.
Chrys schrieb (17.07.2021, 00:05 o’clock):
> […] Falls Einstein 1916 damit tatsächlich in einer Art von postivistischem Anfall gemeint haben sollte, “alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen” sollten auf Protokollsätze über Koinzidenzen zurückführbar sei[e]n,
… Unbedingt; selbstverständlich. (Worauf denn sonst ?!?) …
> so hat das bei ihm selbst jedenfalls nicht sonderlich lange und intensiv nachgewirkt.
Immerhin lange und intensiv genug, um den prototypischen Fall, in dem eine zeiträumliche Konstatierung auf eine Koinzidenz-Feststellung hinausläuft, nämlich Einsteins Definition von “Gleichzeitigkeit” zu autorisieren.
(Wobei Einstein die Darstellung von Comstock, 1910, zumindest kongenial ergänzt; und sich beides schon in Einsteins Forderung, 1905, nach Transitivität von Gleichzeitigkeits-Feststellungen andeutet.)
Die “Nachwirkungen” der Speziellen Relativitätstheorie in Form von Verallgemeinerungen dürften ja bekannt sein …
Einsteins eigene Darstellung des konkreten Hinauslaufens aller, insbesondere auch allgemeiner zeiträumlicher Konstatierungen auf Koinzidenz-Bestimmungen lässt allerdings wirklich sehr zu wünschen übrig.
@Frank Wappler / 21.07.2021, 14:42 o’clock
»… Unbedingt; selbstverständlich. (Worauf denn sonst ?!?) …«
Vieldeutig bleibt doch bei Einsteins Bemerkung von 1916, was eigentlich als “zeiträumliche Konstatierung” gelten kann oder soll. Das hat sich nachfolgend jeder ganz nach eigenem Ermessen zurechtgelegt, weshalb Einsteins Rede dem einen dann auch als ganz fundamental, einem anderen jedoch als eher trivial erscheint.
Falls mit einer “zeiträumlichen Konstatierung” bereits ein Protokollsatz gemeint ist, wie etwa “Der Zug trifft um 7 Uhr hier am Bahnsteig ein,” dann kann man Einsteins Worten zustimmen, doch dann stimmt auch Kretschmanns Einwand, dass damit eigentlich nur eine Trivialität ausgedrückt wird.
Ganz etwas anderes wäre aber die Konvention, “[dass] ich an Stelle von `Zeit’ die `Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr’ setze.” Da gehen doch etliche ungenannte theoretische Annahmen u.a. über das Konzept von `Uhr’ ein, die sich nicht auf elementare Protokollsätze über Koinzidenzen reduzieren und auf diese Weise begründen lassen.
Spätestens 1926 war das auch Einstein klar, wie aus dem Gespräch mit Heisenberg ersichtlich wird, von dem letzterer berichtet (in Der Teil und das Ganze) und dem der folgende kurze Extrakt entnommen ist:
N.B. Die kategorielle Bezeichnung `Protokollsatz’ wurde von Otto Neurath eingeführt. Der brachte dazu noch einen Vergleich mit quasi direktem Querbezug zum eigentlichen Thema hier (Hervorhebungen im Original):
Neurath, O. (1932). Protokollsätze. Erkenntnis, 3(1), 204-214. DOI: 10.1007/bf01886420
Chrys schrieb (22.07.2021, 09:48 o’clock):
> Vieldeutig bleibt doch bei Einsteins Bemerkung von 1916, was eigentlich als “zeiträumliche Konstatierung” gelten kann oder soll.
Die Vielfalt wird dadurch gewissermaßen umarmt, dass ausdrücklich alle gemeint sind.
> Falls mit einer “zeiträumlichen Konstatierung” bereits ein Protokollsatz gemeint ist, wie etwa “Der Zug trifft um 7 Uhr hier am Bahnsteig ein,”
Die beispielhafte Feststellung “Die Lokomotiven-Spitze, die Einfahrts-Kante des Bahnsteigs und ich — wir trafen uns (genau einmal; in Abwesenheit jeglicher Bestandteile des Flugzeugs, des Naschmarkts und Heisenbergs).” stellt ja insbesondere eine Koinzidenz-Bestimmung dar;
und somit eine elementare und sozusagen triviale “zeiträumlichen Konstatierung”.
Als Beispiel einer ganz erheblich komplizierteren “zeiträumlichen Konstatierung” möchte ich (erneut) insbesondere die Aussage (das Messergebnis) “Einfahrts-Kante des Bahnsteigs und Ausfahrts-Kante des Bahnsteigs ruhten durchwegs gegenüber einander.” zur Diskussion stellen.
> Ganz etwas anderes wäre aber die Konvention, “[dass] ich an Stelle von `Zeit’ die `Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr’ setze.” Da gehen doch etliche ungenannte theoretische Annahmen u.a. über das Konzept von `Uhr’ ein,
Offenbar nennt man unterscheidbaren Anzeigen einer konkreten mechanischen Uhr aus Einsteins Alltag und Vorstellung insbesondere auch “(die unterscheidbaren) Stellungen ihres (kleinen) Zeigers”.
Das ist eine sprachliche Konvention, und eher eine Trivialität anstatt einer “theoretischen Annahme”.
> die sich nicht auf elementare Protokollsätze über Koinzidenzen reduzieren und auf diese Weise begründen lassen.
Es geht um eine schlichte sprachliche Konvention:
Den Anteil jeweils eines bestimmten Beteiligten an jeweils einem bestimmten Koinzidenz-Ereignis nennen wir gemeinhin eine bestimmte “Zeit” dieses Beteiligten;
oder, insbesondere weil das Wort “Zeit” vielfältige Bedeutungen hat, genauer und eindeutiger eine bestimmte “Anzeige” dieses Beteiligten.
Ein Koinzidenz-Ereignis mit mehreren unterscheidbaren, identifizierbaren Beteiligten besteht folglich aus den betreffenden Anzeigen dieser Beteiligten. Um die schon mehrfach vorgelegte entsprechende Notation zu repetieren:
Das Koinzidenz-Ereignis
ε_AB, an dem die beiden BeteiligtenAundBteilnahmen, besteht aus deren Anzeigen (Anteilen)A_BundB_A.Mit dem RT-Begriff “Uhr”, deren (geordneter) Menge von Anzeigen nämlich eine Menge reeller Zahlen als Ablesewerte zugeordnet ist, hat das nur am Rande zu tun.
> […] Einstein[s …] Gespräch mit Heisenberg […] »beobachtbare Größen« […]
Eine physikalische Theorie enthält Festsetzungen, welche elementaren Konstatierungen (Wahrnehmungen) als Beobachtungsdaten in Betracht zu ziehen sind, und konkret wie aus einem geeigneten, hinreichenden Satz von Beobachtungsdaten ggf. jeweils ein Messwert einer weiteren, komplizierteren Messgröße zu ermitteln ist.
(Sie enthält außerdem alle Theoreme, die sich aus der Gesamtheit solcher Festsetzungen ergeben.)
> Neurath, O. (1932). Protokollsätze. Erkenntnis, 3(1), 204-214.
Präsentiert Neurath dort etwa ein konkretes, strikter “No-Go”-Theorem betreffend das Hinauslaufen jedweder Konstatierungen auf Koinzidenz-Bestimmungen ??
Jedenfalls ist die Vorstellbarkeit (“gedankliche Existenz”) von tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gittern unbestritten;
und der Beweis nicht allzu schwierig, dass sich verschiedene derartige Gitter (mit unterscheidbaren Mitgliedern) allenfalls gleichförmig gegenüber einander bewegen können, aber insbesondere nicht gegenüber einander isotrop expandieren bzw. kontrahieren können —
weshalb sie sich konkret dafür anbieten, die zeiträumlichen Konstatierung der “gemeinsamen Mitgliedschaft bestimmter unterscheidbarer Beteiligter in einem bestimmten Inertialsystem” ausdrücklich aus Koinzidenz-Bestimmungen zu konstruieren bzw. ggf. zu ermitteln.
@Frank Wappler / 22.07.2021, 23:12 o’clock
Zum einen ist für einen Protokollsatz die Bezeichnung “zeiträumliche Konstatierung” absolut gerechtfertigt, indem er Angaben zu Zeit und Ort einer konstatierten Beobachtung enthält. Zum anderen hat anscheinend auch niemand Einsteins Behauptung bestritten, dass eine solche Beobachtung dann auf eine Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinausläuft. So weit, so gut.
Allerdings hat Kretschmann schon recht, wenn er darauf hinweist, dass sich dies alles auch mit Bezug auf die klassischen Begriffe von “Raum + Zeit” sagen liesse und keineswegs eine Besonderheit des relativist. Begriffs von “Raumzeit” darstellt. Andererseits ist auch die Begeisterung von Schlick verständlich vor dem Hintergrund seiner damaligen empiristischen Überzeugung, derzufolge ohnehin alles empirische Wissen auf elementare und unmittelbar einsichtige Protokollsätze zurückführbar sein sollte. Zu dieser empiristischen Auffassung war Schlick aber schon gekommen, bevor Einstein 1916 mit seiner “Grundlage” herauskam, und er nimmt Einsteins Bemerkung dann halt als eine Bestätigung seines eh schon bestehenden wissenschaftl. Weltbildes.
Doch betrachten wir beispielsweise einmal die relativist. Definition von Eigenzeit — und mithin die Definition von `Uhr’ als einem theoretischen Begriff der RT. Eine Definition ist kein Protokollsatz und überhaupt keine Konstatierung einer Beobachtung von etwas Vorfindlichem. Minkowski hat sich bei der Definition von Eigenzeit nur der formalen Begriffe aus der geometrisch verfassten Objektsprache der RT bedient. Und das bestätigt doch Einsteins Bemerkung von 1926 zu Heisenberg. Das heisst: Die Theorie entscheidet darüber, was unter einer Uhr zu verstehen ist, und folglich wie deren Anzeigen als Messwerte zu interpretieren sind.
Man müsste also insbesondere die relativist. Begriffe von Uhr und Eigenzeit schon verfügbar haben für alle jene “zeiträumlichen Konstatierungen”, die zu einer strikten und einzig auf elementare Bestimmungen von zeiträumlichen Koinzidenzen gestützten Fundierung der RT dienen könnten. Das sieht nicht sonderlich gut aus…
Herr Dr. Frank Wappler nagt daran, ganz offensichtlich, dass er zwischen Bild und Sein nicht direkt und streng unterscheiden mag, Dr. Webbaer ist sich hier sicher und kann nur so bestimmte Vorstöße jener Kraft i.p. Messtheorie erklären.
Die sie sozusagen monothematisch gemacht hat.
[1]
Dr. W ist mit dem hier gewählten Pseudynym ‘Chrys’ unzufrieden, wegen Unklarheit seiner Herkunft.
PS :
Soll heißen, dass ein Theoretisierender, ein Sichten Bildender, enzscheidet, sofern überhaupt entschieden wird, in der Naturwissenschaften, Theorien, Sichten, dürfen gerne empirisch adäquat bleiben und es darf auch gerne so folgend verkündet werden, mehr ist allerdings nicht los.
Dr. Webbaer rät an sich zum Wesen der Naturwissenschaft mit Bas van Fraassen zu beschäftigen, mit seinen Arbeiten, Dr. Webbaer folgt hier vergleichsweise streng.
*
entscheidet
Not bad als Intro sozusagen :
-> https://www.youtube.com/watch?v=brAOVfAoimQ
Tatsächlich, die Tat meinend, ist es so, dass das erkennende Subjekt – Vorsicht bei Man-Sätzen! -, näherungsweise Datenlagen meinend (“Gegebenes oder Gemessenes meinend”), ausschnittsweise die Natur meinend und an Interessen (!) gebunden eben naturwissenschaftlich erfasst wird, der szientifisischen Methode folgend, erfasst wird, an Interessen (!) gebunden, und in der Folge ganz ähnlich theoretisiert wrd.
Die Theorie ist Sicht der Erkennenden, eine Abhängigkeitsbeziehung ergibt sich derart, als dass das um Erkenntnis bemühte Subjekt über eine Art Messtheorie verfügen muss, um sich in puncto Erfahrung oder Empirie wie gemeint zu wagen.
Herr Dr. Wappler nagt idR so, er darf den Veranstaltungscharakter, so eben sozusagen eingebrannt, annehmen, der Naturwissenschaft.
Naturwissenschaftlich kann mitgemacht werden, wenn die szientifische Methode quasi durch Glaubensentscheid individuell angenommen wird, als Veranstaltung eben.
Nicht gemeint ist also, dass irgendwie Wahrheit vorliegt, Richtigkeit, Gerichtetheit, liegt vor.
U.a. Science-Fiction-Autoren der Güteklasse haben mit anderen Welten (Terry Pratchett) und anderen Weltbildern (Philip K. Dick) klar stellen können, gedankenexperimentell, dass Setzungen vorliegen, die (hoffentlich) passen.
Methodologisch.
HTH
WB
Chrys schrieb (24.07.2021, 13:47 o’clock):
> […] Doch betrachten wir beispielsweise einmal die relativist. Definition von Eigenzeit
Zunächst eine Anmerkung betreffend die Bezeichnung dieser Messgröße:
Die Bezeichnung “Eigenzeit” ist zweifellos historisch verbürgt, hat aber insbesondere mit dem von Einstein ausdrücklich dargelegten “Zeit”-Begriff (etwa als jemandes eigener “Stellung” bzw. jemandes eigener Anzeige) nur mittelbar zu tun. Die konkrete, eindeutige, und als solche auch gebräuchliche Bezeichnung der betreffenden Messgröße ist stattdessen: Dauer; bzw. im Kontext: die Dauer von jemand Bestimmten; von einer bestimmten seiner Anzeigen, bis zu einer (anderen) bestimmten seiner Anzeigen.
Betrachten wir also beispielsweise einmal die relativist. Definition von Dauer!
(Und wie schon mehrfach an anderen Stellen ist SciLogs zu danken, uns die Gelegenheit dafür zu geben. (Und wie schon mehrfach an anderen Stellen verbinde ich meinen Dank mit der Hoffnung und Erwartung, dass SciLogs dafür einen entsprechenden Anteil meines und unseres Beitrags für kommunikative Teilhabe.))
(An dieser Stelle wäre nun die relativistische Definition von “Dauer”, möglichst konkret und ausführlich, in Betracht zu stellen …)
> — und mithin die Definition von `Uhr’ als einem theoretischen Begriff der RT.
Nein: der allgemeine RT-Begriff “Uhr”, nämlich die (nicht-leere, geordnete) Menge von Anzeigen eines bestimmten Beteiligten, der irgendeine (nicht-leere) Menge reeller Zahlen irgendwie zugeordnet ist, erfolgt offensichtlich, ohne den “Dauer”-Begriff der RT bzw. diesbezügliche Messwerte zu erfordern, und andererseits ohne den “Dauer”-Begriff der RT zu begründen.
Im Unterschied dazu
– erfordert der RT-Begriff “gute Uhr” gegebene Dauer-Werte (bzw. Werte von “Dauer”-Verhältnissen):
Uhr
(𝒜, t_𝔄)genau dann, falls für alle je drei verschiedene ihrer AnzeigenA_B, A_K, A_Q ∈ 𝒜gilt:t_𝔄[ A_K ] - t_𝔄[ A_B ] =t_𝔄[ A_Q ] - t_𝔄[ A_B ] *(τA[ _K, _B ] / τA[ _Q, _B ]),und
– legt der RT-Begriff einer “idealen Uhr, die Mitglied eines Inertialsystems ist”, überhaupt erst die Grundlage des RT-Begriffs “Dauer” als Messgröße.
> Die Theorie entscheidet darüber, was unter einer Uhr zu verstehen ist,
Ganz recht; und zwar sowohl unter einer Uhr im Allgemeinen (siehe oben),
als auch im Besonderen unter einer guten Uhr (siehe oben), einer idealen Uhr, und z.B. auch einer monotonen Uhr.
> und folglich wie deren Anzeigen als Messwerte zu interpretieren sind.
Anzeigen, also Anteile jeweils eines bestimmten Beteiligten an bestimmten Ereignissen, sind doch keine Werte (und insbesondere keine reellen Werte, wie z.B. bestimmte Ablesewerte t_𝔄, die bestimmten Anzeigen zugeordnet werden mögen) und sind daher keinesfalls als Messwerte zu (miss-)interpretieren.
@Frank Wappler / 26.07.2021, 00:16 o’clock
Relativistisch ist Dauer ein (orientiertes) Mass für die entlang einer Uhren-Weltlinie ermittelte Zeitspanne (elapsed time) zwischen zwei Anzeige-Ereignissen dieser Uhr. Und der zugehörige Messwert wird erhalten als die aus den entsprechenden reellen Anzeigewerten \(\tau_1 \le \tau_2\) der Uhr gebildetete Differenz \(\tau_2 – \tau_1\) — vorausgesetzt, dass die Uhr Eigenzeit \(\tau\) anzeigt.
`Dauer’ als eine relativist. Messgrösse bekommt man also gleichsam gratis als Zugabe zur Def. von `Eigenzeit’ hinzu.
Bekanntlich kann ein Rundflug über die Chesapeake Bay für den Piloten im Flugzeug schon mal etwas länger dauern als für den Controller im Tower auf dem Airfield. Was haben die Uhren, mit denen das gemessen wurde, Deiner Ansicht nach denn wohl angezeigt? (Und sag’ jetzt bitte nicht irgendwas mit “Die Stellung des kleinen Zeigers …”)
Chrys schrieb (26.07.2021, 22:14 o’clock):
> […] vorausgesetzt, dass […]
Es ist jedenfalls richtig und sorgfältig, eventuelle Voraussetzugen zu bedenken, festzusetzen und zu erwähnen.
Dazu ist Terminologie erforderlich, die im Allgemeinen zutrifft und im Allgemeinen anwendbar ist; sowohl in den (denkbaren) konkreten Fällen, in denen sich schließlich herausstellen würde, dass die Voraussetzung erfüllt ist, als auch in den (denkbaren) konkreten Fällen, in denen sich herausstellen würde, dass die Voraussetzung nicht erfüllt ist.
> […] vorausgesetzt, dass die Uhr Eigenzeit \(tau\) anzeigt.
Ist also ein/jeder Beteiligte(r) zunächst einmal ganz allgemein als eine bestimmte “Uhr” zu bezeichnen,
– egal, ob dessen Anzeigen “(dessen) Eigenzeit \(\tau\)” wären, oder z.B. »Stellungen seines kleinen Zeigers«, oder (ganz allgemein) dessen Anteile an den Ereignissen, an denen dieser Beteiligte teilnahm; und
– egal, welche bestimmte Ablesewerte
tseinen Anzeigen zugeordnet wurden?
> Bekanntlich kann ein Rundflug über die Chesapeake Bay für den Piloten im Flugzeug schon mal etwas länger dauern als für den Controller im Tower auf dem Airfield.
Nein!, Improper!.
Sofern überhaupt “bekanntlich”, dann:
Bekanntlich kann ein Rundflug eines Flugzeugs (einschl. der Rundflüge der Bestandteile des Flugzeugs, wie z.B. einschl. des Piloten) über die Chesapeake Bay (von dessen “Abreise”-Anzeige bis zu dessen “Ankunfts”-Anzeige)
in geeigneten Versuchen länger dauern als
die Überwachung dieses Rundflug durch den Controller im Tower auf dem Airfield (von dessen Anzeige zusammen mit der “Abreise”-Anzeige des Flugzeugs bis zu dessen Anzeige zusammen mit der “Ankunfts”-Anzeige des Flugzeugs).
> Was haben die Uhren, mit denen das gemessen wurde,
Sofern die beiden o.g. Dauern in bestimmten Rundflug-Fällen überhaupt miteinander verglichen wurden (bekanntlich kann das schwierig sein), liefen solche Feststellungen (zwangsläufig) auf Koinzidenz-Bestimmungen hinaus, die insbesondere von Bestandteilen des starren Bezugssystems des Controllers im Tower des Airfields (der Patuxent Naval Air Station und deren Umgebung), einschl. dessen “Radar”-Systems, untereinander bzw. hinsichtlich des jeweiligen Flugzeugs ergingen.
> Deiner Ansicht nach denn wohl angezeigt? (Und sag’ jetzt bitte nicht irgendwas mit “Die Stellung des kleinen Zeigers …”)
Die Anteile, die diese Bezugssystems-Bestandteile jeweils an bestimmten Ereignissen hatten, waren im Wesentlichen:
– “Ich (
A) habe jemand Bestimmten, Wiedererkennbaren (J) im Aneinander-VorbeiFliegen getroffen (und ich werde mich an dieses Treffen erinnern).” und– “Ich (
A) habe koinzident wahrgenommen, dass mehrere bestimmte, wiedererkennbare Beteiligte (B,C, …) meine o.g. Anzeige (A_J) beim Passieren vonJwahrgenommen haben. (Und genau diese Beteiligten,B,C, …, sind mir in ähnlicher Weise schon mal aufgefallen).”oder Ähnliche.
Natürlich kann man diesen Anzeigen jeweils eines dieser Beteiligten auch noch irgendwelche reellen Zahlen zuordnen, und somit jeweils irgendwelche Uhren erhalten …
Aus dem Vergleich der Rundflug-Dauer eines air planes und der entsprechenden Rundflug-Überwachungsdauer eines flight controllers lassen sich übrigens auch Vergleiche der durchschnittlichen Gangraten von air plane-Uhren mit den durchschnittlichen Gangraten von flight controllers-Uhren ableiten.
p.s.
> Relativistisch ist Dauer ein (orientiertes) Mass für […]
Wenn man diese Formulierung im strikt mathematisch-technischen Sinne auffasst (der Dir sicherlich nicht fremd ist, und den ich hier zum Vorankommen unserer Diskussion betonen möchte), dann fällt auf, dass:
.
Um “Dauer” stattdessen als “das Maß zeitlichen Verlaufes (jeweils eines bestimmten Beteiligten)” verstehen und ansprechen zu können (wie es in der Physik üblich ist), bedarf es deshalb der Berücksichtigung und Behandlung der gesamten
k-Äquivalenzklasse all dessen, was einzeln jeweils ein Maß wäre. (Und Deine obigen schlichten \(\tau\)-Rechnungen leisten das nicht.)@Frank Wappler / 29.07.2021, 00:36 o’clock
In der älteren Literatur, etwa bei Hilbert, wird der metrische Tensor \(g\) gelegentlich Maßbestimmung genannt, was durchaus berechtigt ist. Denn u.a. induziert \(g\) ein natürliches Längenmass zur Bestimmung der orientierten Bogenlänge von Abschnitten einer rektifizierbaren Kurve. Und die geometrische Bedeutung von Eigenzeit ist die von Bogenlänge einer zukunftsorientiert parametrisierten, also insbesondere zeitartigen Weltlinie. (Modulo einer Konvertierung zwischen Bogenlänge und Eigenzeit, \(s = c\tau\), die aber geometrisch belanglos ist, da sich die Lichtgeschw. stets auf \(c = 1\) normalisieren lässt.)
Wie sich das einsehen lässt, hatte ich bei früherer Gelegenheit schon mal dargelegt, und ich verlinke dazu nochmals meinen früheren Kommentar (10.10.2018, 23:30 Uhr). Das induzierte Längenmass ist die 1-Form \(\lambda\), und geometrisch gemessen wird die (zeitorientierte) Bogenlänge eines Kurvensegments, indem \(\lambda\) über dieses Segment integriert wird.
Im Royal Observatory Greewich, inzwischen ein Museum, ist eine HP 5061A caesium beam clock, wie sie angeblich auch bei den Rundflügen über die Chesapeake Bay verwendet wurden, als Exponat zu bewundern. Hilft der Link womöglich weiter bei der Frage, was so eine Uhr anzeigt?
Chrys schrieb (30.07.2021, 09:27 o’clock):
> […] meinen früheren Kommentar (10.10.2018, 23:30 Uhr).
Im Zusammenhang mit der gerade (29.07.2021, 00:36 o’clock) erwähnten
k-Äquivalenz bzw. -Ambiguität zitiere ich von dort:Zu jeder von Dir dabei eingesetzten Norm \( \|.\|_g \equiv \|.\|^{\text{Chrys}}_g \) und jeder von mir gewählten positiven reellen Zahl \(k\) ist \( \|.\|^{\text{Frank}}_g := k \, \|.\|^{\text{Chrys}}_g \) ebenfalls eine Norm \( \|.\|_g \equiv \|.\|^{\text{Frank}}_g \).
Entsprechend ist “die Pfaffsche Form \(\lambda\)” ebenfalls nicht eindeutig bestimmt, sondern lediglich bis auf einen Faktor \(k\).
Und das lässt sich offenbar für jeden einzelnen Punkt \(p\) diskutieren. Demnach wäre es auch irreführend, von \(k\) als “Konstante” zu sprechen; sondern wir müssen individuelle Werte \( k_p \) in Betracht ziehen, die mehr oder weniger voneinander unabhängig sein können.
Aber das stellt aus meiner Sicht nur ein beiläufiges mathematisch-technisches Detail dar. Viel schwerwiegender ist, dass wir uns offenbar (noch) nicht darüber einig sind, worin überhaupt “das Problem” bzw. “die Aufgabe der RT” liegt. Dazu ein Zitat aus Deinem Kommentar 11.10.2018, 15:10 Uhr:
Die Feldgleichungen der GR (sowohl z.B. in der Variante nach Einstein-Hilbert, als auch nach Weil-Mannheim, und womöglich noch anderen) beinhalten neben dem metrischen Tensor \(g\) doch auch \(\mathcal L_{\mathrm M}\), was die (wahrscheinlichste) Verteilung von “Masse, Ladung, Feldern …” symbolisiert.
In wie fern ließe sich denn der metrische Tensor \(g\) durch Lösung der Feldgleichungen bestimmen”, während \(\mathcal L_{\mathrm M}\) noch gänzlich unbekannt ist ??
Nein! – umgekehrt:
Die geometrisch-kinematischen Beziehungen von gegebenen Beteiligten (und damit die Geometrie der Region, in der sie enthalten sind) können und müssen in Unkenntnis jeglicher Verteilung von “Masse, Ladung, Feldern …” ermittelt werden.
(Die GR-Feldgleichungen können anschließend eingesetzt werden, um \(\mathcal L_{\mathrm M}\) zu errechnen. (Womöglich mag das für \(\mathcal L^{WM}_{\mathrm M}\) besser klappen, als für \(\mathcal L^{EH}_{\mathrm M}\) …).)
p.s.
> Im Royal Observatory Greewich, inzwischen ein Museum, ist eine HP 5061A caesium beam clock, wie sie angeblich auch bei den Rundflügen über die Chesapeake Bay verwendet wurden, als Exponat zu bewundern.
Man sieht diesem Replika-Kasten wirklich kaum (noch) an, an welchen Koinzidenz-Ereignissen das entsprechende Original mal beteiligt gewesen wäre. Nicht mal wenigstens: ob es Anzeigen von Passagen von Weißkopf-Seeadlern waren, oder Anzeigen von Passagen von Virginia-Rallen; geschweige denn, ob und welche “time-stamp”-Zahlenwerte diesen Anzeigen jeweils zugeordnet worden wären (um den Kasten überhaupt “Uhr” nennen zu können).
Frank Wappler schrieb (31.07.2021, 11:31 o’clock):
> […] Die Feldgleichungen der GR (sowohl z.B. in der Variante nach Einstein-Hilbert, als auch nach Weil-Mannheim,
… Entschuldigung! — gemeint waren Hermann Weyl und Philip Mannheim …
> und womöglich noch anderen) […]
@Frank Wappler / 31.07.2021, 11:31 o’clock
Die mit einem gegebenen \((M,g)\) assoziierte Norm \(\|X\|_g := \sqrt{g(X,X)}\) auf einem Tangentialraum \(T_pM\) ist ja in natürlicher Weise nur durch \(g\) und sonst nichts bestimmt.
Für eine beliebig gewählte Konstante \(k \gt 0\) lässt sich aber noch \(g_k := k^2g\) setzen, sodass \((M,g_k)\) konform und projektiv äquivalent ist zu \((M,g)\), (siehe D. Malament, p. 8). Dann gilt \(\|\cdot\|_{g_k} = k\|\cdot\|_g\) und folglich \(\lambda_{g_k} = k\lambda\) für das zugehörige Längenmass. Abgesehen von der Skalierung metrischer Grössen mit dem konstanten Faktor ändert sich durch diese Setzung aber nichts an der Geometrie.
Wird der konforme Faktor indes nicht als konstant, sondern allgemeiner als eine Funktion \(k:M \to \mathbb{R}^+\) gewählt, dann bleibt nur noch die konforme Äquivalenz zwischen zwei Räumen resp. Raumzeiten, die dann zwar u.a. noch die gleiche Kausalstruktur haben, sich aber geometrisch auch recht deutlich unterscheiden können.
Dass \(g\) eine Lösung von Einsteins Feldgl. sei, wird dabei nirgends vorausgesetzt, das Gesagte gilt also allgemeiner für (Pseudo-)Riemannsche Räume. Es ist allerdings nicht so einheitlich geregelt, ob für die Def. des Begriffs `Raumzeit’ diese Lösungseigenschaft gefordert wird oder nicht. Malament tut das beispielsweise nicht, doch bei anderen Autoren habe ich das schon gesehen, sodass man sich darauf einigen muss, was jetzt genau mit `Raumzeit’ gemeint sein soll
Aber wo Du es gerade ansprichst, ein Initial Value Problem in General Relativity für Einsteins Feldgl. lässt sich formulieren, und für einen relativist. Cousin des Laplaceschen Daemons läuft es dann wohl darauf hinaus, so ein Problem zu lösen.
N.B. Es hatte natürlich Royal Observatory Greenwich heissen sollen. Immerhin, diese Uhr hat sogar noch ein 24h-Ziffernblatt mit Zeigern. Wie C.O. Alley da die Differenz von
47.1 nsfür die Rundflug-Dauer abgelesen hat, ist mir anhand der Abbildungen leider auch noch nicht ersichtlich.Chrys schrieb (01.08.2021, 12:22 o’clock):
> […] in natürlicher Weise […]
Einem “Tangentialvektor” \(X\) (d.i. einer Äquivalenzklasse von Kurven, die “sich berühren, nicht schneiden”), im betreffenden Punkt, ist durch \(g\) eine bestimmte Zahl zugeordnet. Weitere Zusammenhänge mit Normen mögen dann “natürlich” oder “unnatürlich” sein, bzw. “konventionell” oder “unkonventionell” (vgl. “Vorzeichen-Konvention”).
Ein Zusammenhang mit Kurven-Länge (oder auch nur -Parametrisierung) bleibt aber zweifelhaft, sofern diese nicht von vornherein unabhängig gegeben ist bzw. ermittelt wurde.
Besonders fällt mir auf: Es soll doch auch gelten:
\(g[ \, a \, X \, ] = a \, g[ \, X \,] \),
für reelle Zahlen \(a\).
Aber was bedeutet überhaupt “das \(a\)-Fache” einer bestimmten Äquivalenzklasse von Kurven, die “sich berühren, nicht schneiden”??
Ist es überhaupt gerechtfertigt, \(X\) als “Vektor” anzusprechen?
> […] die Differenz von
47.1 ns[…]Dieser Wert wurde doch dadurch erhalten, dass die Krümmung des starren Bezugssystems der Air Field-Bestandteile und von Beteiligten gemessen wurde, die gelegentlich vom Flugzeug passiert wurden. (Messwert ca.
10^{-13}.)@Frank Wappler / 04.08.2021, 09:37 o’clock
Man hat verschiedene Möglichkeiten zur Definition von Tangentialvektor an einem Punkt einer diff.baren Mannigfaltigkeit, und es ist von Vorteil, nicht nur eine vor Augen zu haben.
Die geometrische Definition bezieht sich auf Åquivalenzklassen von bei einem Punkt tangential äquvalenten Wegen, und nicht etwa nur auf Kurven als Bildmengen von Wegen.
Im Prinzip betrachtet man dazu lokal bei \(0 \in \mathbb{R}\) definierte, diff.bare Wege \(w:I_w \to M\) und \(u:I_u \to M\) mit \(w(0) = u(0) = p\), wobei \(p \in M\) beliebig, aber fest gewählt sei. (Diff.barkeit sei hier stets vorausgesetzt für alle Abbildungen, Funktionen etc.) Die Wege \(w, u\) werden tangential äquivalent bei \(p\) genannt, wenn für jede auf einer Umgebung von \(p\) definierte relle Funktion \(f\) gilt
\(\((f \circ w\)’|_{t=0} = (f \circ v)’|_{t=0}\), wobei der prime die Ableitung nach dem Parameter kennzeichnet. Die von \(w\) repräsentierte Äquivalenzklasse sei mit \([w]\) bezeichnet.
Als reelle Funktionen hat man speziell die Komponenten \(\varphi^1,\ldots,\varphi^n\) einer lokalen Karte \(\varphi:U_p \to \mathbb{}R^n\) bei \(p\), und es folgt
\[
(\varphi \circ u)’|_{t=0} = (\varphi \circ w)’|_{t=0} \;\; \forall u \in [w].
\]
Das heisst aber, \([w]\) bestimmt einen Tangentialvektor \((\varphi \circ w)’|_{t=0} \in T_{\varphi(p)}\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^n\), und folglich, äquivalent dazu, eine Derivation (eine Richtungsableitung) von reellen Funktionen bei \(\varphi(p)\) in Richtung dieses Vektors. Dies lässt sich zurückziehen nach \(M\), indem der Klasse \([w]\) eine Derivation \(X_w\) von reellen Funktionen, \(f\), \bei \(p\) zugeordnet wird durch
\[
X_w f := (d(f \circ \varphi^{-1}))_{\varphi(p)}(\varphi \circ w)’|_{t=0}.
\]
Das definiert nun \(X_w\) als den der Klasse \([w]\) zugeordneten Tangentialvektor bei \(p\), wenn man noch zeigt, dass die rechte Seite unabhängig von der Wahl der Karte ist. Die Richtungsableitung rechts ist aber invariant unter einem kartenwechsel, denn ist \(\psi:V_p \to \mathbb{R}^n\) eine weitere lokale Karte bei \(p\), dann gilt für alle \(f\)
\[
(d(f \circ \varphi^{-1}))_{\varphi(p)}(\varphi \circ w)’|_{t=0} = (d(f \circ \psi^{-1}))_{\psi(p)}(\psi \circ w)’|_{t=0}.
\]
Was auszuführen ich hier vermeide, geht aber straightforward.
Zu C.O. Alley. Der Titel, PROPER TIME EXPERIMENTS IN GRAVITATIONAL FIELDS WITH ATOMIC CLOCKS, AIRCRAFT, AND LASER LIGHT PULSES, der Publikation von 1983 ist schon treffend. Er hat schon PROPER TIME mit seinen Uhren gemessen, d.h. präziser, Anzeigewerte seiner insgesamt 6 Cs- und 6 Rb-Uhren als ermittelte elapsed proper time interpretiert. Ich denke mal, zum Ablesen muss man in die Buchsen an den Uhren noch die passenden Datenleitungen anstopseln.
Korrektur:
… wenn für jede auf einer Umgebung von \(p\) definierte relle Funktion \(f\) gilt \((f \circ w\)’|_{t=0} = (f \circ v)’|_{t=0}\), …
Korrektur 2. Ordnung:
… wenn für jede auf einer Umgebung von \(p\) definierte relle Funktion \(f\) gilt \((f \circ w)’|_{t=0} = (f \circ v)’|_{t=0}\), …
Mist. Das \(\v\) sollte noch ein \(u\) sein.
Chrys schrieb (08.08.2021, 13:24 o’clock):
> Man hat verschiedene Möglichkeiten zur Definition von Tangentialvektor an einem Punkt einer diff.baren Mannigfaltigkeit, […]
Es geht in der Physik und auch in der Geometrie (im Sinne von “Geometrie” als einem Teilgebiet der Physik und insbesondere der RT) nicht um die Charakterisierung von gegebenen Mannigfaltigkeiten bzw. Systemen von (offenen) Teilmengen des \(\mathbb R^n\) jeweils bzgl. eines bestimmten \(n\)-Tupelwertes (“Punktes”) \(p\), und erst recht nicht um die Behandlung von jeweils zugeordneten Funktionen (“Wegen”) \(w : I_w \rightarrow \mathbb R^n\);
sondern es geht insbesondere in der RT um die Charakterisierung von gegebenen Mengen von Beteiligten (»materiellen Punkten«) anhand der ihnen gegebenen Koinzidenz-Bestimmungen (Ereignisse).
Es ist ohne Weiteres denkbar, den (hinreichend vielen) Elementen einer bestimmten gegebenen Ereignismenge jeweils offene Teilmengen des \(\mathbb R^n\) eins-zu-eins zuzuordnen, so dass resultierende Koordinaten-Transformatonen \(\varphi_{\beta} \circ (\varphi_{\alpha})^{(-1)}\) nicht differenzierbar und sogar nicht stetig bzw. nicht homöomorph sind.
Von einer bestimmten diff.baren Mannigfaltigkeit auszugehen, ist hinsichtlich Physik nur insofern von Interesse, als zuvor erklärt wurde, wie und wieso einer bestimmten gegebenen Ereignismenge ausgerechnet diese bestimmte diff.bare Mannigfaltigkeit zugeordnet wurde.
Auch nur von einer bestimmten Äquivalenzklasse von bis auf Diffeomorphismen äquivalenten diff.baren Mannigfaltigkeiten auszugehen, ist hinsichtlich Physik nur insofern von Interesse, als zuvor erklärt wurde, wie und wieso einer bestimmten gegebenen Ereignismenge ausgerechnet diese bestimmte Äquivalenzklasse von bis auf Diffeomorphismen äquivalenten diff.baren Mannigfaltigkeiten zugeordnet wurde.
Innerhalb jeweils einer bestimmten solchen Äquivalenzklasse von bis auf Diffeomorphismen äquivalenten diff.baren Mannigfaltigkeiten besteht aber gerade die induzierte Äquivalenz von “Tangentialvektoren” (jeweils hinsichtlich eines bestimmten Ereignisses), die ich oben “\(k\)-Äquivalenz” genannt hatte.
Kurz: Du hast offensichtlich die Mathematik drauf; aber mit Geometrie und insbesondere mit der Messung (dem Vergleich) der Längen von Kurven (also von bestimmten Ereignismengen; d.h. aus Mathematikersicht den Bildern von Wegen) hat das so gut wie gar nichts zu tun.
Da in den bekannten Darstellungen von (Verhältnissen von) Kurvenlängen als (Verhaltnisse von) bestimmten Integralen allerdings doch “der metrische Tensor” in Gestalt “des Linien-Elements” auftritt,
hat mich mittlerweile beschäftigt, ob sich dahinter womöglich etwas Koordinaten-Freies, Nachvollziehbares verbirgt. Ein teilweiser (und zumindest formaler) Zusammenhang besteht offenbar mit Abstandsverhältnissen in (ebenen) Parallelogrammen bzw. in (flachen) Parallelepipeden und deren höher-dimensionalen (insdesondere 4-dimensionalen) Verallgemeinerungen.
Betrachten wir zunächst den 2-dimensionalen Fall — vier Ereignisse: \(\varepsilon_{o}, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{b}\) und \(\varepsilon_{x}\) verbunden mit den folgenden Bedingungen an deren paarweise Synge-Weltfunktionen \(\sigma\) (als verallgemeinerten Abständen):
\( \sigma[ \, \varepsilon_{b}, \varepsilon_{x} \, ] \rightarrow \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{a} \, ] \),
\( \sigma[ \, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{x} \, ] \rightarrow \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{b} \, ] \),
und für die CKM-Determinante dieser vier Ereignisse:
\[ \begin{vmatrix}
0 & \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{a} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{b} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{x} \, ] & 1 \\
\sigma[ \, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{o} \, ] & 0 & \sigma[ \, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{b} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{x} \, ] & 1 \\
\sigma[ \, \varepsilon_{b}, \varepsilon_{o} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{b}, \varepsilon_{a} \, ] & 0 & \sigma[ \, \varepsilon_{b}, \varepsilon_{x} \, ] & 1 \\
\sigma[ \, \varepsilon_{x}, \varepsilon_{o} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{x}, \varepsilon_{a} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{x}, \varepsilon_{b} \, ] & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow 0. \]
Diese Bedingungen ergeben zusammen:
\(\sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{x} \, ] \rightarrow 2 \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{a} \, ] + 2 \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{b} \, ] \, – \, \sigma[ \, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{b} \, ] \).
Die Teilsumme
\( \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{a} \, ] + \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{b} \, ] \, – \, \sigma[ \, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{b} \, ]\)
wird nun auch gern mal durch eine andere, verklausulierte Ausdrucksform ersetzt (Stichwort: “Kosinussatz”); etwa durch
\(\frac{g_{ab}}{\sqrt{g_{aa} \, g_{bb}}} \, \sqrt{ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{a} \, ] \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{b} \, ] }\)
(wobei ich womöglich erforderliche “Behandlungen negativer Radikanden” der Übersichtlichkeit wegen weggelassen habe).
Allgemein, also insbesondere auch für 4-dimensonale “Parallelepipede”, ergibt sich mit den für die entsprechende Dimension gewählten Bedingungen:
\[ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{x} \, ] \rightarrow \sum_{(\mu, \nu \in \{ a, b, \dots \} )} \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] + \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\nu} \, ] \, – \, \sigma[ \, \varepsilon_{\mu}, \varepsilon_{\nu} \, ]
was sich in der “verklausulierten Form” (und ohne Rücksicht auf Vorzeichen) folgendermaßen (und damit einigermaßen ähnlich zu Ausdrücken “des Linien-Elements”) darstellt:
\[ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{x} \, ] \rightarrow \sum_{(\mu, \nu \in \{ a, b, \dots \} )} \frac{g_{\mu \nu}}{\sqrt{g_{\mu \mu} \, g_{\nu \nu}}} \, \sqrt{ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\nu} \, ] }. \]
p.s.
> Zu C.O. Alley. […] Er hat schon PROPER TIME mit seinen Uhren gemessen, d.h. präziser, Anzeigewerte
… ??? Vermutlich stattdessen:
Differenzen von reellen Ablesewerten, die er jeweils bestimmten Anzeigen seiner Uhren zuordnete …
> seiner insgesamt 6 Cs- und 6 Rb-Uhren als ermittelte elapsed proper time
… kürzer und treffender:
als ermittelte Dauer …
> interpretiert. […]
Damit hätte sich C.O. Alley in die (unwürdige) Tradition eines Louis Essen gestellt, der (auf Nachfrage, vgl. Memo) offenbar (auch) keine Ahnung davon hatte, wie die RT zu benutzen ist, um “Genauigkeit” gegebener Uhren zu messen und überhaupt erst zu definieren.
p.p.s.
Zum diesbezüglichen Begriff von “Messgeräten” schulde ich dem jüngsten Kommentar von Rudi Knoth an anderer Stelle von eine Antwort (die “sich gewaschen hat” ;) …
Frank Wappler wrote (10.08.2021, 12:44 o’clock):
> […] Allgemein, also insbesondere auch für 4-dimensonale “Parallelepipede”, ergibt sich mit den für die entsprechende Dimension gewählten Bedingungen:
\[ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{x} \, ] \rightarrow \sum_{(\mu, \nu \in \{ a, b, \dots \} )} \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] + \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\nu} \, ] \, – \, \sigma[ \, \varepsilon_{\mu}, \varepsilon_{\nu} \, \] […]
Frank Wappler wrote (10.08.2021, 12:46 o’clock):
> […]
Einige Korrekturen sind fällig:
Allgemein, also insbesondere auch für 4-dimensonale (flache) “Parallelepipede” (d.h. “Parallelotope”) , ergibt sich mit den für die entsprechende Dimension gewählten Bedingungen:
\[ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{x} \, ] \rightarrow \left( \frac{1}{2} \right) \, \sum_{(\mu, \nu \, \in \{ a, b, \dots \})} \left[ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] + \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\nu} \, ] \, – \, \sigma[ \, \varepsilon_{\mu}, \varepsilon_{\nu} \, ] \right]. \]
Jeder einzelne Summand der Summe im obigen Ausdruck,
\( \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] + \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\nu} \, ] \, – \, \sigma[ \, \varepsilon_{\mu}, \varepsilon_{\nu} \, ], \)
kann auch als
\( 2 \, \left( \frac{g_{\mu \nu}}{\sqrt{g_{\mu \mu} \, g_{\nu \nu}}} \right) \, \sqrt{ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\nu} \, ] } \)
dargestellt werden.
Für \(\mu = \nu\) ist die Gleichheit dieser Darstellungen explizit:
\( \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] + \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] \, – \, \sigma[ \, \varepsilon_{\mu}, \varepsilon_{\mu} \, ] = 2 \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] + 0\)
und
\( 2 \, \left( \frac{g_{\mu \mu}}{\sqrt{g_{\mu \mu} \, g_{\mu \mu}}} \right) \, \sqrt{ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] } = 2 \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] \)
(wie oben ohne ausdrückliche Behandlung von negativen Radikanden).
Zusammen:
\[ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{x} \, ] \rightarrow \sum_{(\mu \, \in \{ a, b, \dots \})} \left[ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] \right] + \sum_{(\mu \, \ne \, \nu \, \in \{ a, b, \dots \})} \left[ \left( \frac{g_{\mu \nu}}{\sqrt{g_{\mu \mu} \, g_{\nu \nu}}} \right) \, \sqrt{ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\nu} \, ] } \right] = \]
\[ \sum_{(\mu, \nu \, \in \{ a, b, \dots \})} \left[ \left( \frac{g_{\mu \nu}}{\sqrt{g_{\mu \mu} \, g_{\nu \nu}}} \right) \, \sqrt{ \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\mu} \, ] \, \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{\nu} \, ] } \right], \]
in formaler Ähnlichkeit zu Darstellungen “des Linien-Elements”.
Frank Wappler wrote (10.08.2021, 12:44 o’clock):
> […] und für die CKM-Determinante dieser vier Ereignisse: […]
Pardon!, gemeint war stattdessen selbstverständlich die Cayley-Menger-Determinante der o.g. vier Ereignisse, deren Verschwinden allgemein “Flachheit” definiert, d.h. im betrachteten Fall die (Annäherung an) “Ebenheit” der vier Ereignisse gegenüber einander:
\[ \begin{vmatrix}
0 & \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{a} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{b} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{o}, \varepsilon_{x} \, ] & 1 \\
\sigma[ \, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{o} \, ] & 0 & \sigma[ \, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{b} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{a}, \varepsilon_{x} \, ] & 1 \\
\sigma[ \, \varepsilon_{b}, \varepsilon_{o} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{b}, \varepsilon_{a} \, ] & 0 & \sigma[ \, \varepsilon_{b}, \varepsilon_{x} \, ] & 1 \\
\sigma[ \, \varepsilon_{x}, \varepsilon_{o} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{x}, \varepsilon_{a} \, ] & \sigma[ \, \varepsilon_{x}, \varepsilon_{b} \, ] & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \rightarrow 0. \]
@Frank Wappler / 10.08.2021, 12:03 o’clock ff.
Von einer Länge (resp. Norm) eines Tangentialvektors war (in meinem Kommentar 08.08.2021, 13:24 o’clock) noch nicht die Rede, dazu braucht es zusätzliche Struktur. Du hattest ja mehr oder minder direkt danach gefragt, wie man von einander berührenden Kurven bei einem Punkt dort formal zu einem Tangentialvektor kommt, und dass fällt dann noch unter Differentialtopologie.
Geometrie wird es erst durch die Hinzunahme eines metrischen Tensors, wo ein Tangentialraum an jedem Punkt dann aber schon vorausgesetzt wird. Nun war Einstein bekanntlich kein Freund von Geometrie, und seine physikal. Interpretation dessen, was hinter dem geometr. Formalismus liegt, erschliesst sich meines Erachtens letztlich nur bei Beachtung der Rolle der Feldgleichungen. Und das kommt für meinen Geschmack bei Dir deutlich zu kurz.
Gemeinsam mit Grossmann hatte er dabei die Idee einer Verallgemeinerung der Poisson Gleichung für Newtons Gravitationpotential verfolgt, die sich schreiben lässt als \(\Delta\phi = 4\pi\kappa;\rho\). Was schlussendlich dabei herausgekommen ist, lässt sich als \(G = 8\pi\kappa T\) schreiben und hat dann ja auch eine unübersehbare Ähnlichkeit. Nur ist die Struktur einer Lösung dieser Gleichung auch ein wenig komplizierter.
Während bei der Poisson Gleichung eine skalare Funktion \(\phi\) (mit einem noch zu nennenden Def.bereich) als Lösung gesucht ist, wird bei Einsteins Gleichung eine Lösung durch ein Tensorfeld \(g\) zusammen mit einer Mannigf. \(M\) als Def.bereich gegeben.
Nach Einsteins eigenem Verständnis wird die Gravitation dabei aber nicht etwa durch das metrische Feld selbst repräsentiert, die hat er vielmehr erkannt in dem damit assoziierten affinen Zusammenhang, der sich durch die Christoffel Symbole ausdrücken lässt. Die mit einem (letztlich verzichtbaren) Vorzeichenwechsel verzierten Christoffel Symbole der 2. Art hat er dann auch als Komponenten des Gravitationsfeldes bezeichnet — und dabei anscheinend beiläufig mit seinen Gammas auch die Notation eingeführt, die inzwischen gängiger Standard ist.
Dass der affine Zus.hang tatsächlich etwas von der Art eines Potentials ist, bei dem man eine Freiheit der Eichung hat, war in den 1910er Jahren noch nicht klar. Das kam erst in den 1920ern mit Élie Cartan, was in der Konsequenz dann zur Einstein-Cartan Theorie als so etwas wie einer Supertheorie führt, die u.a. Einsteins GR und Einsteins TP als Spezialfälle umfasst.
Deine Vorstellung davon, wie Alley wohl zu seinem Messergebnis gekommen ist, erschliesst sich mir übrigens immer weniger. Éric Gourgoulhon stellt das alles zusammenfassend doch sehr hübsch und begreiflich dar — stimmst Du damit überein oder macht Gourgoulhon es Deiner Meinung nach auch falsch?
Gemeint war \(\Delta\phi = 4\pi\kappa\rho\).
Chrys schrieb (12.08.2021, 17:06 o’clock):
> […] Alley […] Éric Gourgoulhon stellt das alles zusammenfassend doch sehr hübsch und begreiflich dar […]
Wie schon vor Längerem beziehen wir uns dabei auf die “Sample Pages” (Chap. 2 von »SR in General Frames«), die (freundlicher Weise, immer noch) öffentlich sind.
Richtig: dort findet sich Abschnitt »2.6.6.2 Alley Experiment (1975)« (so weit hatte ich bisher gar nicht gelesen);
und auch Sachdienliches, was dem vorausgeht.
> stimmst Du damit überein oder macht Gourgoulhon es Deiner Meinung nach auch falsch?
Lass mich zunächst das dort Vorausgehende rekapitulieren, das ich bei sachdienlich finde (weil ich damit ausdrücklich übereinstimme):
Zwischenfrage: Entspricht das auch Deiner Auffassung des Begriffs “Uhr”, den Du z.B. in Deinen obigen Kommentaren 22.07.2021, 09:48 o’clock und 24.07.2021, 13:47 o’clock benutzt hast ?
Entscheidend ist dabei natürlich, dass bzw. ob für jede Auswahl einer (Teil-)Sequenz aufeinanderfolgender Ticks einer gegebenen (generischen) Uhr die entsprechende Konstante K den gleichen Wert hat, oder nicht (und ggf. dann auch: in wie fern nicht).
Und mit Gedanken an diese Vorgabe lese ich mir nun Gourgoulhons »2.6.6.2 Alley Experiment (1975)« durch …
Von K-Werten ist da zumindest ausdrücklich überhaupt keine Rede;
– weder hinsichtlich jeweils einer einzelnen Uhr (ggf. verbunden mit Messungen, d.h. Bewertungen, ob die betreffende Uhr im betreffenden Versuch womöglich entsprechend Gourgoulhons o.g. Definition »ideal« gewesen wäre, bzw. in wie fern nicht),
– noch etwa hinsichtlich des Vergleichs von K-Werten verschiedener Uhren (wobei ggf. vom Vergleich der “Gangraten” der verschiedenen Uhren zu sprechen gewesen wäre).
Und damit bin ich jedenfalls nicht einverstanden.
Stattdessen liest man dort u.a.:
Es handelte sich im betreffenden Versuch bei den im Flugzeug geladenen Uhren offensichtlich nicht um die selben Uhren, die im Trailer installiert waren und blieben; sondern um davon unterscheidbare, andere, sogar gelegentlich getrennte.
Derart unterscheidbare, verschiedene Uhren gemeinsam als »identical« anzusprechen, finde ich ganz falsch.
Allenfalls mögen sie bzgl. bestimmter definierter Maße als »equal« (gleich) befunden worden sein; oder ansonsten eben als »unequal« (ungleich).
Weiterhin:
Ich bin nicht mit der Bezeichnung »theoretical prediction« nicht einverstanden. Entweder handelt es sich beim Wert \(T^{\prime} – T = {\rm 47.1~ns}\) um einen Messwert, der in Anwendung der entsprechenden Messgrößendefinition der RT ermittelt wurde (es wird auf Einzelheiten in Chap. 22 verwiesen). Oder es handelt sich um eine Abschätzung (eines Messwertes), die sich aus gewissen Modellannahmen ergibt. Vorhersagen (predictions) sind jedenfalls nicht Bestandteil von Theorien, sondern von Modellen.
p.s.
> Von einer Länge (resp. Norm) eines Tangentialvektors war (in meinem Kommentar 08.08.2021, 13:24 o’clock) noch nicht die Rede […]
Das stimmt allerdings. Ich war eher mit meiner Ahnung beschäftigt, worauf das Dargelegte hinausläuft …
Dabei ist mir ein womöglich interessantes Detail entgangen: Die rechte (Definitions-)Seite Deiner Setzung (08.08.2021, 13:24 o’clock)
\[X_w f := (d(f \circ \varphi^{-1}))_{\varphi(p)}(\varphi \circ w)’|_{t=0}\]
enthält offenbar einen einzelnen Buchstaben \(d\) — Was soll denn das bedeuten ?!?
(In über einem Jahrzehnt von Beiträgen oder Kommentaren zum Thema “Relativ einfach” ist mir sowas noch nicht untergekommen! … &)
> […] dazu braucht es zusätzliche Struktur.
Gerne. Aber immer beachten: Entweder läuft die betreffende Struktur ausdrücklich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinaus — oder sie wird am (Physik/Geometrie-)Ende rigoros weggekürzt bzw. -geeicht.
p.p.s.
> […] physikal. Interpretation dessen, was hinter dem geometr. Formalismus liegt, erschliesst sich meines Erachtens letztlich nur bei Beachtung der Rolle der Feldgleichungen. Und das kommt für meinen Geschmack bei Dir deutlich zu kurz.
Wir können und werden doch nicht mit Dynamik (Variationsrechnung) anfangen, bevor endgültig definiert und geklärt ist, wie geometrisch-kinematische constraints festzulegen wären ?!?.
@Frank Wappler / 13.08.2021, 12:23 o’clock
a) Eine metrologische (“reale”) Uhr hat einen Oszillator und ein Zählwerk, das im Prinzip die aktuell seit einem festgestzten Beginn durchlaufenen Zyklen zählt und einen inkrementierten diskreten Zählwert anzeigt (als Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen).
b) Eine geometrische (“ideale”) Uhr in der RT ermittelt hingegen im Prinzip die aktuelle Bogenlänge ihrer zeitartigen Weltlinie ab einem festgesetzten Anfangspunkt und kann zusammen mit einer Anzeigefunktion gedacht werden, die einen inkrementierten kontinuierlichen Messwert anzeigt (als reelle Zahl).
Gourgoulhon will anscheinend irgendwie von a) nach b) kommen und “ideale” Uhr durch “reale” Uhr motivieren. Das ist ihm aber nicht recht gelungen, da hat er gepatzt. Er nennt dabei u.a. eingangs in Sec. 2.3.2 den Begriff Tick als ein wesentliches Merkmal einer Uhr, braucht das jedoch anschliessend im ganzen Buch nicht mehr! Konzepte einzuführen, auf die nachfolgend gar nicht mehr Bezug genommen wird, kann der Weisheit letzter Schluss gewiss nicht sein. Doch schauen wir noch etwas genauer hin.
Gourgoulhons Ansatz zur Geometrisierung einer Uhr als ein punkthaftes Partikel, das einer zeitartigen Weltlinie \(\mathcal{L} \subset (M,g)\) folgt, ist für die RT obligatorisch. Sei nun \(I_w \subset \mathbb{R}\) ein Intervall und \(w:I_w \to w(I_w) = \mathcal{L}\) irgendeine zukunftsoriente Parametrisierung von \(\mathcal{L}\). Dann wäre dies nach Gorgoulhons Begriffen bereits eine “Uhr” zu nennen, welcher sich ja durch
\[
E_k := w(k) \;\; \forall\,k\in I_w \cap \mathbb{Z}
\]
eine Folge von Ticks zuordnen lässt. Es liegt nahe, die Ticks als Markierungen der Endpunkte von Zyklen \([k,k+1]\) eines Oszillators aufzufassen, und in diesem Fall gilt dann
\[
\tau(E_k,E_{k+1}) = \tau(w(k),w(k+1)) = \text{ Dauer der Zyklus } [k,k+1] \subset I_w.
\]
Geben wir dieser “Uhr” noch einem symbolischen Zeiger, was sich modellieren lässt durch eine monoton wachsende Zeigerfunktion \(*w:I_w \to \mathbb{R}\). Die einfachste, wenngleich nicht zwingende Möglichkeit ist hier \(*w(\theta) := \lfloor\theta\rfloor\). Das heisst, der bei \(w(\theta)\) angezeigte Zählwert ist damit die Anzahl der seit Beginn der Zählung bis zu diesem Punkt komplett durchlaufenen Zyklen des Oszillators. Allgemeiner wäre für \(b = 0,1,2,\ldots\) durch \(*w(\theta) = 10^{-b}\lfloor 10^b\theta\rfloor\) eine Zeigerfunktion gegeben, die gezählte Zyklen mit Bruchteilen anzeigt.
Da die Dauer der einzelnen Zyklen hier unspezifisch bleibt und beliebig variabel sein kann, ist eine solche “Uhr”, die nur Zyklen ihres Oszillators zählt und den Zählwert anzeigt, ganz und gar ungeeignet zur Messung von Dauer. Insofern erscheint die Bezeichnung “Uhr” oder “generische Uhr” hierfür auch reichlich unangebracht.
Diesen Mangel will Gourgoulhon dann beheben durch die zusätzliche Annahme, dass seine “Uhr” isochron ticken möge, also Zyklen von stets gleicher Dauer \(K\) produziert, was er dann eine “ideale Uhr” nennt. Seine Bedingung besagt ja
\[
\exists\,K \gt 0\;\forall\,[k,k+1]\subset I_w\::\: \tau (E_k,E_{k+1})\,=\,K.
\]
Damit ist jedoch noch nicht garantiert, dass der Parameter \(\theta\) proportional zur Bogenlänge ist, d.h., das liefert noch “ideale” Uhr in dem oben unter b) beschriebenen Sinne. Immerhin lassen sich mit einer modifizierten Zeigerfunktion \(*w(\theta\) = K\lfloor\theta\rfloor\) angezeigte Werte auch als Messwerte für Dauer interpretieren, denn für Gl. (2.11) gilt dann zumindest
\[
\tau(E_k,E_{k+N}) = *w(k+N) – *w(k) = KN.
\]
Der langen Rede kurzer Sinn ist, ich bin mit Gorgoulhons Einlassungen zu “ideal clocks” nicht glücklich und denke, er selber ist es auch nicht, denn er hält sich anschliessend ja nicht mehr an das, was er da geschrieben hat. Das hätte er besser machen können.
»Die rechte (Definitions-)Seite Deiner Setzung (08.08.2021, 13:24 o’clock) […] enthält offenbar einen einzelnen Buchstaben d — Was soll denn das bedeuten ?!?«
Gemeint ist schlicht die exterior derivative (kurz und kompatkt, hier, Def. 29), was zu erwähnen mir einfach durchgerutscht war, sorry. Mit anderen Worten, \((d(f\circ\varphi^{-1}))_{\varphi(p)}\) bedeutet hier das Differential der reellen Funktion \(f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U_p) \to \mathbb{R}\) an der Stelle \(\varphi(p)\).
Korrektur: “Dauer des Zyklus” hätte es sein sollen, und
… mit einer modifizierten Zeigerfunktion \(*w(\theta) = K\lfloor\theta\rfloor\) …
@Frank Wappler / Rb-Clocks
Vielleicht interssiert Dich ja noch dieses Fundstück:
Riley, W. (2019). A History of the Rubidium Frequency Standard. IEEE UFFC-S History.
[PDF]
C.O Alley selbst erwähnt lediglich “three small rubidium optically pumped clocks made by Efratom, Inc.” in der clock box. Mit einiger Wahrscheinlichkeit düfte es sich dabei um Uhren vom Typ Efratom Model FRK gehandelt haben; dieser Link stammt aus Riley (2019).
Chrys schrieb (15.08.2021, 14:44 o’clock):
> […] ich bin mit Gorgoulhons Einlassungen zu “ideal clocks” nicht glücklich […]
Ich bin jedenfalls sehr zufrieden mit der Definitionskette von beliebigen Beteiligten (»point particles«) über den Uhren-Begriff im Allgemeinen (»generic clock«) zu besonderen Arten von Uhren mit bestimmten zusätzlichen Eigenschaften (z.B. “monotone Uhr”, insbesondere Gourgoulhons »ideal clock«, und schließlich auch die schon öfters erwähnte und ausdrücklich definierte “gute Uhr”).
Mit Gourgoulhons Notation bin ich dagegen ganz entschieden nicht einverstanden (weshalb diese auch in meinen obigen Zitaten aus sect. 2.3.2 nicht auftaucht). Insbesondere ist sein Bezug auf ganze Ereignisse (in sect. 2.3.2. ausdrücklich erwähnte »events«) im Zusammenhang mit der Dauer \(\tau\) jeweils eines bestimmten Beteiligten (»point particles«‘s) und der entsprechende Einsatz des Formelzeichens \(E\) ziemich abwegig. Leider hast Du Gourgoulhons Notation in dieser Hinsicht kritiklos übernommen …
> Es liegt nahe, die Ticks als Markierungen der Endpunkte von Zyklen […] eines Oszillators aufzufassen,
Als diskrete, einzeln identifizierbare, und in diesem speziellen Falle abzählbare Anzeigen eines bestimmten Beteiligten. (Um erneut die Terminologie vorzuschlagen, die ich bevorzuge.)
Jedenfalls — und wenigstens darin sind wir uns offenbar schon mal einig — nicht als ganze Ereignisse (»events«, im ausdrücklichen fachlichen Sinne der RT, in dem zu jedem einzelnen Ereignis i.A. zahlreiche verschiedene Beteiligte koinzident waren).
> Da die Dauer der einzelnen Zyklen
… des jeweils konkret in Betracht stehenden Beteiligten (“Oszillators”) …
> hier unspezifisch bleibt und beliebig variabel sein kann,
… zumindest kann die Dauer \(\tau A[ \, \_J, \_Q \, ]\) des Beteiligten (“Oszillators”) \(A\) von dessen Anzeige \(A_J\) bis zu dessen Anzeige \(A_Q\) nicht Null sein, sofern diese beiden Anzeigen ausdrücklich verschieden (z.B. “aufeinanderfolgend”) sein sollen,
d.h. dass die beiden (zur Identifizierung dieser Anzeigen \(A\)s in Betracht zu ziehenden) Beteiligten \(J\) und \(Q\) nicht ein-und-der-selbe Beteiligte sind, d.h. ausdrücklich \(Q \not\equiv J\),
und dass das Koinzidenzereignis \(\varepsilon_{AJ}\), dessen Bestandteil u.a. \(A\)s Anzeige \(A_J\) ist, verschieden vom Koinzidenzereignis \(\varepsilon_{AQ}\) ist, dessen Bestandteil u.a. \(A\)s Anzeige \(A_Q\) ist: \(\varepsilon_{AQ} \not\equiv \varepsilon_{AJ}\) …
> ist eine solche “Uhr”, die nur Zyklen ihres Oszillators zählt
und den Zählwert anzeigt… wobei ihren einzelnen Tick-Anzeigen der jeweillige Zählwert als Ablesewert (time-stamp) \(t\) zugeordnet ist …
> ganz und gar ungeeignet zur Messung von Dauer.
Ganz recht!
Und das sollte die wesentliche Frage nahelegen:
Was wird denn zur Messung von Dauer (im Sinne der RT, in der RT) stattdessen gebraucht ?!?
Antwort: Bezugssysteme!,
also hinreichende Mengen mehrerer identifizierbarer, i.A. voneinander getrennter Beteiligter (man erinnere sich an Synges “Five-Point-…”),
die aus den Koinzidenz-Bestimmungen ihrer gegebenen gegenseitigen Wahrnehmungen ihre “zeit-räumlichen” (geometrisch-kinematischen) Beziehungen untereinander ermitteln;
darunter ggf. die reell-wertigen Verhältnisse ihrer gegenseitigen Ping-Dauern.
Auch z.B. der von Märzke (a.k.a. Marzke) und Wheeler (1964) unterbreitete Vorschlag zu Messung von Dauer betrifft ja eine bestimmte Menge von Beteiligten und die Auswertung der Koinzidenz-Bestimmungen ihrer gegebenen gegenseitigen Wahrnehmungen. (Nur ist der “Marzke-Wheeler”-Vorschlag dahingehend untauglich, als er nicht ausschließlich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinausläuft, sondern außerdem eine Vorab-Auswahl der Beteiligten als “frei” erfordert.)
Nachvollziehbarer und zur Messung von Dauer geeigneter sind Mengen von Beteiligten, die untereinander tetrahedral-oktahedrale (alias Sierpinski-tetraedrische) Ping-Koinzidenz-Gitter vorfinden.
> […] die zusätzliche Annahme, dass seine “Uhr” isochron ticken möge, also Zyklen von stets gleicher Dauer \(K\) produziert, was er dann eine “ideale Uhr” nennt.
Um Versuch für Versuch herauszufinden, ob, bzw. inwiefern, eine gegebene (insbesondere “aus dem Regal gepurzelte”) Uhr »ideal« gewesen sein mag, oder nicht, müssen also Dauern miteinander verglichen, deren reell-wertige Verhältnisse ermittelt werden.
p.s.
> a) Eine metrologische (“reale”) Uhr hat einen Oszillator und ein Zählwerk, das im Prinzip die aktuell seit einem festgestzten Beginn durchlaufenen Zyklen zählt und einen inkrementierten diskreten Zählwert anzeigt (als Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen).
Forensische, geologische, kosmologische und Floraluhren sind z.B. auch real, beinhalten aber weder erkennbare Oszillatoren noch Zählwerke.
Sofern andererseits Dauern gemessen werden sollen, also Metrologie betrieben werden soll, kann man die dafür anwendbaren Ping-Koinzidenz-Gitter durchaus als (skalierbare) Oszillatoren einschl. Zählwerken betrachten.
> b) Eine geometrische (“ideale”) Uhr in der RT ermittelt hingegen im Prinzip die aktuelle Bogenlänge ihrer zeitartigen Weltlinie ab einem festgesetzten Anfangspunkt […]
Was sollte da “ermittelt” werden ?? — Die Dauer eines/jedes bestimmten Beteiligten, von einer bestimmten seiner Anzeigen als “Anfangs”-Anzeige bis zu einer anderen bestimmten seiner Anzeigen als “Schluss”-Anzeige, ist schlich und einfach auch als “Bogenlänge des zeitartigen Weltlinien-Abschnitts” bekannt, der aus allen Ereignissen besteht, an denen derjenige teilnahm; beginnend mit dem Ereignis, an dem der Anteil des in Betracht stehenden Beteiligten die genannte “Anfangs”-Anzeige war, und endend mit dem Ereignis, an dem der Anteil des in Betracht stehenden Beteiligten die genannte “Schluss”-Anzeige war.
Wenn in diesem Zusammenhang jeweils ein insbesondere reeller Wert zu ermitteln ist, dann der reelle Verhältniswert dieser bestimmten Dauer dieses bestimmten Beteiligten zu einer bestimmten (und von Null verschiedenen) Dauer i.A. eines anderen Beteiligten und/oder i.A. hinsichtlich eines anderen zeitartigen Weltlinien-Abschnitts.
> kontinuierlichen Messwert […] (als reelle Zahl).
Dabei geht es offenbar nicht um eine “ideale Uhr” im o.g. Sinne Gourgoulhons bzw. ebenso im Sinne von “Marzke-Wheeler” bzw. von MTW, in dem auch ich den Begriff “ideale Uhr” stets gebrauche und gebraucht habe;
sondern um eine “gute Uhr” (bei MTW Fig. 9 »good clock«), deren Definition ich schon mehrfach unterbreitet habe und die ich hier gern wiederhole:
Eine Uhr \(\mathfrak A \equiv (\mathcal A, t_{\mathfrak A})\),
d.h. eine (geordnete) Menge \(\mathcal A\) der Anzeigen eines bestimmten Beteiligten (“materiellen Punktes”, »point particles« …) \(A\),
zusammen mit einer bestimmten Zuordnung
\(t_{\mathfrak A} : \mathcal A \longrightarrow \mathbb R\)
von Ablesewerten (“readings”, “time stamps” …),
heißt gut, falls
für irgendwelche drei verschiedene ihrer Anzeigen, o.B.d.A. \(A_J, A_Q, A_W \, \in \, \mathcal A\) gilt:
\[ (t_{\mathfrak A[ \, A_Q \, ] – t_{\mathfrak A[ \, A_J \, ]) = (t_{\mathfrak A[ \, A_W \, ] – t_{\mathfrak A[ \, A_J \, ]) \times \left( \frac{\tau A[ \, \_ J, \_ Q \, ]}{\tau A[ \, \_ J, \_ W \, ]} \right).\]
Man beachte, dass der reelle Verhältniswert \(\left( \frac{\tau A[ \, \_ J, \_ Q \, ]}{\tau A[ \, \_ J, \_ W \, ]} \right)\) ein Messwert ist, der nicht etwa von der betreffenden, ggf. im Nachhinein als “gut” befundenen Uhr zu liefern ist, sondern der wie oben beschrieben von vornherein zu messen ist.
p.p.s.
Chrys schrieb (15.08.2021, 22:21 o’clock):
> Vielleicht interssiert Dich ja noch dieses Fundstück:
> Riley, W. (2019). A History of the Rubidium Frequency Standard. IEEE UFFC-S History. […]
Dieses Fundstück hätte interessant sein können, wenn darin nachvollziehbar beschrieben worden wäre, wie »(phase and) frequency data« zu gewinnen wäre, woraus das von William J. Riley Jr. beworbene Microsoft-Windows-Programm “Stable32” ggf. nachvollziehbare Bewertungen der Frequenz-Stabilität ermitteln würde. Der Verweis auf »carefully engineered systems« im Abstract von Referenz [34] deutet eher auf Münchhausiaden á la Louis Essen hin.
Frank Wappler schrieb (16.08.2021, 13:29 o’clock):
> […] Eine Uhr \(\mathfrak A \equiv (\mathcal A, t_{\mathfrak A})\),
d.h. eine (geordnete) Menge \(\mathcal A\) der Anzeigen eines bestimmten Beteiligten (“materiellen Punktes”, »point particles« …) \(A\),
zusammen mit einer bestimmten Zuordnung
\(t_{\mathfrak A} : \mathcal A \longrightarrow \mathbb R\)
von Ablesewerten (“readings”, “time stamps” …),
heißt gut, falls
für irgendwelche drei verschiedene ihrer Anzeigen, o.B.d.A. \(A_J, A_Q, A_W \, \in \, \mathcal A\) gilt:
\[ (t_{\mathfrak A[ \, A_Q \, ]} – t_{\mathfrak A[ \, A_J \, ]}) = (t_{\mathfrak A[ \, A_W \, ]} – t_{\mathfrak A[ \, A_J \, ]}) \times \left( \frac{\tau A[ \, \_ J, \_ Q \, ]}{\tau A[ \, \_ J, \_ W \, ]} \right).\]
Frank Wappler schrieb (16.08.2021, 13:29 o’clock):
> […] Auch z.B.
der von Märzke (a.k.a. Marzke) und Wheeler (1964) unterbreitete Vorschlag zu Messung von Dauer
> betrifft ja eine bestimmte Menge von Beteiligten und die Auswertung der Koinzidenz-Bestimmungen ihrer gegebenen gegenseitigen Wahrnehmungen. (Nur ist der “Marzke-Wheeler”-Vorschlag dahingehend untauglich, als er nicht ausschließlich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinausläuft, sondern außerdem eine Vorab-Auswahl der Beteiligten als “frei” erfordert.) […]
@Frank Wappler / 16.08.2021, 13:29 o’clock
Meine Bezeichnung `metrologische Uhr’ war schon mit Bedacht gewählt, hinreichend präzise ist das aber auch noch nicht, wie ich zugestehe. (Insofern als die Distribution von UTC-Zeitkoordinaten für den zivilen Gebrauch, vulgo “Uhrzeit”, ebenfalls eine Obliegenheit metrolog. Institute ist und auch hierbei Atomuhren zum Einsatz kommen, die dann aber gerade nicht als Instrumente zur Messung von Dauer dienen.)
Was ich mit einer `metrologischen Uhr’ gemeint habe, heisst metrologisch auch nicht Uhr, sondern Frequency Standard, und auf deutsch dann Frequenznormal. (Das Museum hat als Exponat ausser dem Model FRK von Efratom California, Irvine, noch ein Model FRK von Efratom Elektronik, München, das vom Hersteller dann auch nicht etwa als Uhr, sondern als Kleinatomfrequenznormal in den Handel gebracht wurde.)
Ein Frequency Standard hat nun vom Prinzip her einzig die Aufgabe, die Zyklen seines Oszillators zu zählen und den Zählwert anzuzeigen, der auf irgendein gewähltes Format konvertiert sein kann. Ein auf “Dauer” konvertiertes Anzeigeformat impliziert aber schon, dass die Zyklen hierbei als periodisch angenommen sind, also alle die gleiche Dauer haben. Das wäre für meine Begriffe dann aber immer noch eine “reale Uhr” zu nennen. Und “reale Uhren” mit dem gleichen Typ von Oszillator (Rb- oder Cs-Atome etc.) erledigen diese Aufgabe nicht alle gleichermasen fehlerfrei. Man sollte also bei solchen “realen Uhren” von einem unterschiedlichem Grad an Perfektion reden, und eine “perfekte reale Uhr” wäre dann eine, die das absolut fehlerfrei kann, was natürlich auch nur als Näherung vorstellbar ist.
Der Begriff “ideale Uhr” geht jedoch über die “perfekte reale Uhr” noch hinaus, sofern hier die Idee zugrundeliegt, dass dem von einer Uhr angezeigten “Verrinnen von Zeit” nicht wirklich eine diskrete Abfolge periodischer Zyklen, sondern vielmehr ein kontinuierlicher und gleichförmiger Fluss entspricht, der sich dann durch Zyklen von beliebiger Periode gleichmässig segmentieren lässt.
Wenn ich also sage, der Zeitparameter bei der relativist. Bewegung eines punkthaften Testpartkels sei die von einer dieses Partikel begleitenden Uhr angezeigte Eigenzeit, dann ist damit eine Uhr gemäss Postulat P2 von David Malament gemeint. Das kann man eine “ideale Uhr” nennen, aber es reicht schlicht “Uhr”, denn es hat seitens der Theorie gar keine anderen Uhren. Indes hat die Frage, bis zu welchem Grad eine “reale Uhr” dann als perfekt oder gar als approximativ “ideal” gelten kann, nur bedingt mit RT zu tun. Da stimme ich mit Malament absolut überein, der hierzu nochmals zitiert sei (meine Hervorhebung):
Auf die von Dir plakativ aufgeworfene Frage (»Was wird denn zur Messung von Dauer (im Sinne der RT, in der RT) stattdessen gebraucht ?!?«) hätte ich eine andere Antwort als »Bezugssysteme!«
Eine Uhr schaut bei der Messung von Dauer nicht auf Bezugssysteme, auf andere Beteiligte, oder was sonst in der Welt noch abgeht. Die geometrische Uhr in der Raumzeit schaut stur auf ihre eigene Weltlinie und wie sie entlang dieser vorankommt, was sie als einen Wert anzeigt. Enstprechend schaut ein metrologischer Frequency Standard stur auf seinen internen Oszillator und zählt dessen Zyklen, was er als einen Wert anzeigt. Das passt dann schon zusammen — siehe SI Brochure, Appendix 2.
Chrys schrieb (17.08.2021, 17:06 o’clock):
> […] dass dem […] “Verrinnen von Zeit” […] ein kontinuierlicher […] Fluss entspricht, der sich dann durch Zyklen von beliebiger Periode gleichmässig segmentieren lässt.
Zur Benennung jedes einzelnen Elemente einer solchen Menge, bzgl. jeweils einem bestimmten/identifizierbaren Beteiligten, schlage ich (beharrlich) das Wort “Anzeige” vor; bzw. die Formulierung “eine bestimmte Anzeige dieses Beteiligten”;
– in Verallgemeinerung des Einsteinschen Vorschlages »[eine bestimmte] Position des kleinen Zeigers [der] Uhr [des betreffenden Beteiligten]«,
– zur Spezifizierung des äußerst vielseitig benutzten und überstrapazierten Wortes “Zeit” (bzw. “einer bestimmten Zeit des betreffenden Beteiligten”), und
– anstatt des Wortes “Tick” (das sich meiner Auffassung nach nicht gut mit der Vorstellung von Kontinuität verträgt).
Da Du Dich offenbar beharrlich weigerst, das Wort “Anzeige” in diesem Sinne zu benutzen, bestehe ich darauf, dass Du einen konkreten Vorschlag zur kurz-und-knackigen Benennung eines “Elementes des o.g. Flusses” unterbreitest;
und damit auch dazu beträgst, nachvollziehbar zu machen, was Du mit “Zyklen (eines Oszillators)” und deren Zählung meinst.
> dass die Zyklen hierbei als periodisch angenommen sind, also alle die gleiche Dauer haben […] eine “perfekte reale Uhr” wäre dann eine, die das absolut fehlerfrei kann […] Indes hat die Frage, bis zu welchem Grad eine “reale Uhr” dann als perfekt oder gar als approximativ “ideal” gelten kann, nur bedingt mit RT zu tun. Da stimme ich mit Malament absolut überein, […]
Dem setze ich Einsteins eindringliche Ermahnung entgegen:
Dass ein Malament diese Ermahnung ignoriert und somit auch den grundsätzlichen Vorzug der RT gegenüber Newtonscher Theorie übersieht oder leugnet, werden wir aushalten.
> Eine Uhr schaut bei der Messung von Dauer nicht auf Bezugssysteme, auf andere Beteiligte, oder was sonst in der Welt noch abgeht. Die geometrische Uhr in der Raumzeit schaut stur auf ihre eigene Weltlinie und wie sie entlang dieser vorankommt, […]
Die “Marzke-Wheeler”-Konstruktion belegt im Gegenteil, dass Physiker nach konstruktiven Mess-Methoden verlangen, nur bestimmte “Segmentierungen” “gleichmäßig” zu nennen, und andere nicht. Und die bloße Feststellung der (Koinzidenz-)Ereignisse, an denen man teilnahm (“Huch! — schon wieder jemand anderes, den ich traf und passierte!”) ermöglicht alleine keine Konstruktionen, diesem Verlangen gerecht zu werden.
Außerdem, da Du oben “gleichmäßige Segmentierungen mit beliebiger (aber dabei jeweils fester) Periodendauer” erlaubt/zugegeben hast, stellt sich stets das (durch Bezugssysteme lösbare) Problem, Segmente von Beteiligten zu vergleichen, die nicht durchwegs koinzident waren und blieben.
@Frank Wappler / 17.08.2021, 21:50 o’clock
Mir gefällt als heuristische Motivation, sich für die Belange der RT eine Uhr als ein “zeitartiges Odometer” vorzustellen. Das heisst im wesentlichen, man schreibt die “Weltgeschwindigkeit” als ein Produkt, \(c = \omega R\), mit positiven Konstanten \(\omega\) und \(R\), die anschaulich vorstellbar sind als Winkelgeschwindigkeit und Radius des Rades eines Odometers, welches mit der Geschw. \(c\) entlang einer zeitartigen Weltlinie in Richtung Zukunft rollt und dabei die ab einem gewählten Startpunkt absolvierte Weglänge misst (und anzeigt).
Ein mit konstanter “Weltgeschwindigkeit” rollendes Rad liefert so einen Oszillator mit periodischen Zyklen der auf die Eigenzeit \(\tau\) bezogenen Periodendauer \(K = 2\pi/\omega\), was Gourgoulhon dann auch in seine Tick-Formel (2.11) einsetzen kann, sofern er das für relevant hält. Ist umgekehrt \(K \gt 0\) konstant gegeben, lassen sich daraus natürlich auch wieder \(\omega = 2\pi/K\) und \(R = cK/2\pi\) erhalten.
Ich denke, äquivalent zu Postulat P2 lässt sich eine (geometrische) Uhr charakterisieren einfach als eine zeitatige Weltlinie \(\mathcal{L}\) zusammen mit einer zukunftsorient. natürlichen Parametisierung \(u_p(s)\) durch die Bogenlänge \(s = c\tau\), wie ich es früher schon (10.10.2018, 23:30 Uhr) beschrieben hatte, und worauf ich halt immer wieder zurückkomme. Dann habe ich auch einen Anschluss an Gourgoulhon und seine tickenden Uhren, wenn ich für jede Periodendauer \(K \gt 0\) eine passende Anzeigefunktion \(*_K u_p:I_{u_p} \to \mathbb{R}\) definiere gemäss
\[
*_K u_p(s)\,=\,*_K u_p(c\tau)\,:=\,K\lfloor K^{-1}\tau\rfloor\,\stackrel{K\to 0}{\longrightarrow}\,\tau,
\]
sodass die Uhr dann zumindest insofern “tickt”, als ihre Anzeigewerte damit diskret inkrementiert werden und mit jeder Inkrementierung eben ein “Tick” generiert wird.
Das verträgt sich alles auch ganz grandios mit dem, was Atomic Frequency Standards so tun, die je nach atomarem Oszillator ein charakterist. \(K\) haben. Und vor diesem Hintergrund erschliesst sich meines Erachtens dann auch problemlos, was in der SI Brochure gemeint ist mit “The definition of the second should be understood as the definition of the unit of proper time.”
Wenn Du schon überall nach Koinzidenzen suchst, warum schaust Du dann nicht mal ins Innere einer Atomuhr? Da sind doch so einige identifizierbare Komponenten beteiligt, die in ihrer Gesamtheit die Uhr in Gang halten, da kannst Du doch bestimmt ewas finden. Klar, das geht über die RT hinaus, da braucht es u.a. Atomphysik, aber das sollte Dich doch nicht hindern. Die RT allein ist eben noch lange keine “Theory Of Everything”.
Chrys schrieb (19.08.2021, 23:37 o’clock):
> [… Ablese]werte damit
… mit zunehmender “Bogenlänge”, gelegentlich …
> diskret inkrementiert werden und mit jeder Inkrementierung eben ein “Tick” generiert wird.
Es ist ja beinahe zum Verzweifeln!
Ich frage Dich (17.08.2021, 21:50 o’clock) wie (wenn wegen Dir eben unbedingt nicht “Anzeige”) das physisch Gegebene, Wahrnnehmbare, jeweils auf einen bestimmten Beteiligten Bezogene allgemein (und insbesondere einschl. im kontinuierlichen Fall) denn ansonsten genannt werden soll, dessen diskrete, zählbare Ausprägung meinetwegen jeweils ein “Tick” dieses Beteiligten genannt werden mag.
Und Du präsentierst die Auffassung, dass ein “Tick” durch Inkrementierung eines Wertes (Zählen) überhaupt erst generiert würde; geschweige denn auf meine Frage einzugehen. …
> […] was Atomic Frequency Standards so tun, die je nach atomarem Oszillator ein[e bestimmte, konstante] charakterist. [Periodendauer] \(K\) haben.
Mich interessiert aber nun mal vor allem das, was (unterscheidbare, i.A. voneinander getrennte, aber ansonsten völlig beliebige, allgemeine) Beteiligte (bei Einstein und insbesondere auch schon bei Comstock schlicht und allgemein als \(A\), \(B\), \(C\), … \(M\), \(N\) … bezeichnet) im Prinzip überhaupt tun können; nämlich jeweils:
– dass einer davon (der Konkretheit halber hier z.B. \(A\)) jeweils eine bestimmte Signalanzeige darstellte, die (insbesondere deren Signalfront) i.A. von anderen wahrnehmbar war, so dass
– \(A\) die entsprechenden Wahrnehmungsanzeigen der anderen Beteiligten (insbesondere deren jeweilige Signalfronten) als deren “Ping-Echos” hinsichtlich seiner jeweiligen Signalanzeige i.A. wiederum wahrnehmen und ggf. erkennen konnte, und dass
– \(A\) im Anschluss an die Darstellung der jeweiligen Signalanzeige beurteilen konnte, wessen entsprechende Ping-Echos \(A\) jeweils schon zusammen (koinzident) oder schon nacheinander (nicht koinzident) oder noch gar nicht wahrgenommen hatte.
Von allen denkbaren zeiträumlichen Konstatierungen, die auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufen (und die somit in Wertebereichen von Messoperatoren der RT liegen), bin ich besonders an denjenigen interessiert, die auf (hinreichend vielfache bzw. ununterbrochene) gegenseitige Anwendung dieser beschriebenen Einstein(-Comstock)-Konstruktion (zwischen hinreichend vielen Beteiligten) hinauslaufen.
Womöglich gehört dazu auch jeweils die Konstatierung, welche (abzählbaren) Teilmengen von Anzeigen eines gegebenen Beteiligten jeweils als “gleichmäßige Segmentierung (der gesamten bisherigen geordneten Anzeigenmenge) dieses Beteiligten” zu bezeichnen wären (sodass dem Betreffenden hinsichtlich dieser Teilmenge von Anzeigen auch “konstante Periodendauer” zuzuschreiben wäre); und welche nicht.
Womöglich ließe sich der gesamten Menge von Ereignissen, an denen dieser Betreffende teilgenommen hatte, auch “Bogenlänge” (als Äquivalenzklasse, d.h. jeweils bis auf eine unbestimmte, von Null verschiedenen Konstante) dann so zuordnen, dass auch sie von denjenigen (abzählbaren) Ereignisse “gleichmäßig segmentiert” wäre, die jeweils eine von den Anzeigen enthielten, die zusammen die Anzeigenmenge des Teilnehmers “gleichmäßig segmentierten”.
@Frank Wappler / 20.08.2021, 13:45 o’clock
Dies habe ich im Web gefunden: Wie funktioniert ein Messrad?
Aha, analoge oder digitale Anzeige. Ist das für Dich ein Problem? Wie würdest Du das denn nennen wollen, wenn nicht “Anzeige”?
So wenig, wie es ein Messrad für die Messung interessiert, was links und rechts seines Weges liegt, so wenig kümmert es eine als “zeitartiges Messrad” gedachte Uhr in der RT, was ausserhalb ihrer eigenen Weltlinie passiert. Weshalb sie in der geometrischen Idealisierung dann auch als räumlich punkthaftes Objekt gedacht werden kann. Entsprechend zum ordinären Messrad ist dann aber auch diese Uhr mit einer Anzeige für die “zurückgelegte Strecke” zu denken.
Metrologisch kriegt man zwar keine punkthafte Uhr hin, aber Model FRK ist als ein kleiner Würfel von ca. 10 cm Kantenlänge für die Belange von “Proper Time Experiments” mit Flugzeugen doch schon eine ganz gute Näherung an die punkthafte Idealgestalt. Wesentlich ist für ein angenähert punkthaftes Uhren-Design noch, dass das Innere weitestmöglich abgekapselt ist von allen äusseren Einflüssen (Erschütterungen, Temperatur, …), die eine tatsächlich punkthafte Uhr ja auch nicht spüren würde.
»Mich interessiert aber nun mal vor allem das, was (unterscheidbare, i.A. voneinander getrennte, aber ansonsten völlig beliebige, allgemeine) Beteiligte (bei Einstein und insbesondere auch schon bei Comstock schlicht und allgemein als
A, B, C, … M, N …bezeichnet) im Prinzip überhaupt tun können; nämlich jeweils: …«Schön, nur hat das mit einer Messung von Dauer eigentlich nichts zu tun. Einstein hatte 1905 überhaupt keinen definierten Begriff von Dauer — seine “Zeit” war Koordinatenzeit und seine Uhren waren Koordinaten- resp. “Uhrzeit”-Anzeiger von der Art einer gemeinen Bahnhofsuhr. Er hat sich da lediglich mit Gleichzeitigkeit befasst, und Eigenzeit hätte er mit seinen Begriffen von 1905 auch noch gar nicht definieren können.
Chrys schrieb (23.08.2021, 17:10 o’clock):
> Dies habe ich im Web gefunden: »[…] Das Zählwerk […] verfügt über eine analoge oder digitale Anzeige, die mittels Nullstelltaste zurückgesetzt werden kann.«
> […] Wie würdest Du das denn nennen wollen, wenn nicht “Anzeige”?
Zum Beispiel: “Ablesewerk”.
Auch ich habe gegoogelt, und kann anhand von drei Funden dokumentieren, dass jemand »anzeigte, dass er verletzt [war]«.
Wie würdest Du das jeweils so wahrnehmbar Dargestellte denn nennen wollen?
Und wie insbesondere im allgemeinsten Sinne den Anteil jeweils eines bestimmten Beteiligten an einem bestimmten Ereignis, wenn nicht “dessen jeweilige Anzeige”?
> So wenig, wie es ein Messrad für die Messung interessiert, was links und rechts seines Weges liegt […]
… es sei denn, es interessiert (außerdem), wie “Bogenlänge” und “Radius” und “Schlupf” zu messen sind …
> […] so wenig kümmert es eine als “zeitartiges Messrad” gedachte Uhr in der RT, was ausserhalb ihrer eigenen Weltlinie passiert.
Um beim Wesentlichen zu bleiben:
Ich stimme zu, dass eine bestimmte Ereignismenge (von Ereignissen, an denen insbesondere ein bestimmter Beteiligter, \(A\) ausnahmslos teilgenommen hatte) ungeachtet irgendwelcher anderen Ereignisse parametrisiert werden kann.
Entsprechend ließe sich auch die Menge \(\mathcal A\) der Anteile dieses Beteiligten an diesen Ereignissen parametrisieren (genau das meine ich ja mit “generischer Uhr”);
wobei vielfältige Parametrisierungen \(t_{\mathfrak A} : \mathcal A \rightarrow \mathbb R\)
denkbar sind, die gegenüber einander nicht unbedingt stetig, oder (durchwegs) monoton, oder differenzierbar, oder glatt, oder (sogar) affin sein müssten;
mit den entsprechend verschiedenen Uhren \(\mathfrak A \equiv (\mathcal A, t_{\mathfrak A})\).
Eine Betrachtung ausschließlich dieser zeitartigen Ereignismenge (bzw. erst recht ausschließlich der Menge \(\mathcal A\) der Anteile \(A\)s an diesen Ereignisse) kann jedoch keine Werte der Dauer-Verhältnisse \( \left( \frac{\tau A[ \, \_J, \_Q \, ]}{\tau A[ \, \_J, \_W \, ]} \right) \in \mathbb R+ \) für irgendein oder gar für alle Tripel \(\varepsilon_{AJ}, \varepsilon_{AQ}, \varepsilon_{AW} \) dieser Ereignisse liefern — und demnach auch keine Feststellung, welche der Uhren \(\mathfrak A\) (durchwegs) gut oder zumindest ideal gewesen wäre, und somit i.A. auch keine Vergleiche von Gangraten bzw. von \(K\)-Werten derartig identifizierter Uhren.
Nein: für solche Messungen bedarf es hinreichender, mehrdimensionaler Bezugssysteme!
Ohanian leitet seine Vorstellung der “Marzke-Wheeler-Konstruktion” ja sicher nicht umsonst mit der Feststellung ein:
Wobei zu ergänzen ist:
> Weshalb sie in der geometrischen Idealisierung dann auch als räumlich punkthaftes Objekt gedacht werden kann.
Dass sich bestimmte Messwerte ggf. jeweils ausschließlich auf eine rein zeitartige Ereignismenge beziehen lassen, insbesondere die Feststellungen “Diese Parametrisierung dieser rein zeitartigen Ereignismenge ist gut.” und “Jene Parametrisierung dieser rein zeitartigen Ereignismenge ist nicht gut.”, besagt doch nicht, dass sich diese Messwerte ausschließlich aus (der Betrachtung) dieser rein zeitartigen Ereignismenge ermitteln ließen! (Und in den obigen Kommentaren, 17.08.2021, 17:06 o’clock und 17.08.2021, 21:50 o’clock, ging’s jedenfalls um Messung!)
Eine Analogie gefällig?: Der Wert der (ersten) Ableitung einer (glatten) Funktion lässt sich jeweils “in einem einzelnen Punkt”, d.h. bezogen auf jeweils nur einen einzelnen Argument-Wert angeben; aber nicht allein durch Auswertung hinsichtlich nur eines einzelnen Argument-Wertes ermitteln.
> […] für die Belange von “Proper Time Experiments”
… de facto: für Messungen/Vergleiche von mittleren Gangraten bzw. von Mittelwerten \(\overline K \) unterscheidbarer, insbesondere voneinander getrennter Uhren.
Wer Versuch für Versuch vorbehaltlos (nachvollziehbar, wettsicher) messen kann, mag (insbesondere anhand schon erhaltener Ergebnisse) weitergehende Erwartungen hegen und sogar auf (oder gegen) bestimmte “Designs” wetten.
> [… »Koinzidenz-Bestimmungen hinsichtlich Ping-Echos« …] Schön, nur hat das mit einer Messung von Dauer eigentlich nichts zu tun.
Grund genug, uns der Definition von “Dauer” als Messgröße in den wesentlichen Einzelheiten zu vergewissern:
1. Definition/Nachvollziehbarkeit eines “Inertialsystems” als Menge von Beteiligten, die sich durchwegs gegenseitig wahrnahmen, und nie trafen/passierten, und die hinsichtlich ihrer gegenseitigen Ping-Koinzidenz-Beziehungen ein (beliebig feines) tetrahedral-oktahedrales Gitter bildeten. Für je drei bestimmte Mitglieder \(A\), \(B\), \(C\) ist (definitionsgemäß)
– \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\) konstant (und entsprechend für alle Paare von Mitgliedern),
– \(B\)s Ping-Dauer bzgl. \(A\) gleich \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\) (und entsprechend für alle Paare von Mitgliedern),
– falls \(A\) den Abschluss von \(j\) aufeinanderfolgende Pings bzgl. \(B\) koinzident mit dem Abschluss von \(k\) aufeinanderfolgende Pings bzgl. \(C\) wahrnahm, dann ist \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(C\) das \(\left(\frac{j}{k} \right)\)-fache von \(A\)s Ping-Dauer bzgl. \(B\).
2. (Dilatations-Beziehung zwischen verschiedenen, gegenüber einander bewegten Inertialsystemen.)
3. (Beziehung zwischen Mitgliedern eines Inertialsystems und Beteiligten, die mindestens abschnittsweise nicht zu einem Inertialsystem gehörten.)
4. (Beziehung zwischen gegenüber einander starren, jeweils gleichmäßig-hyperbolisch beschleunigten Beteiligten, im Flachen.)
5. (Äquivalenzprinzip: Beziehung zwischen gegenüber einander starren Beteiligten im Allgemeinen.)
> Einstein hatte 1905 überhaupt keinen definierten Begriff von Dauer
Nur gut, dass alle unsere zeit-räumlichen Konstatierungen auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufen! …
Kann Einsteins Forderung, 1905, nach »Transitivität des Synchronismus« als Beleg gelten, dass er spätestens 1905 über den “Koinzidenz”-Begriff verfügte ?
@Frank Wappler / 25.08.2021, 15:32 o’clock
Je nach Kontext kann die Bedeutung von `Anzeige’ und `anzeigen’ erheblich variieren. So wird e.g. in der Nautik von einem Schiff im Hafen mit dem Blue Peter sein bevorstehendes Auslaufen angezeigt, mit einer Diver-Down Flag wird angezeigt, dass Taucher im Einsatz sind, etc. Hier wäre `anzeigen’ synonym zu `signalisieren’. Das hat dann aber eine andere Bedeutung als bei der Rede von Uhrmachern, dass eine Uhr etwas anzeigt. Speziell von den Uhrmachern erhält man dazu noch diese Auskunft:
Quelle: Illustriertes Fachlexikon der Uhrmacherei [online] © Verband der Schweizerischen Uhrenindustrie FH
»Dass sich bestimmte Messwerte ggf. jeweils ausschließlich auf eine rein zeitartige Ereignismenge beziehen lassen, insbesondere die Feststellungen “Diese Parametrisierung dieser rein zeitartigen Ereignismenge ist gut.” und “Jene Parametrisierung dieser rein zeitartigen Ereignismenge ist nicht gut.”, besagt doch nicht, dass sich diese Messwerte ausschließlich aus (der Betrachtung) dieser rein zeitartigen Ereignismenge ermitteln ließen!«
Inspizieren wir das nochmals en détail.
Die geometrische Idealisierung von `Uhr’ in einer Raumzeit erfordert grundsätzlich a) eine generelle Massbestimmung, also einen metrischen Tensor \(g\), und b) eine zeitartige Weltlinie \(\mathcal{L}\), auf welcher sich dann bezüglich der Massgabe durch \(g\) die Bogenlänge von Liniensegmenten geometrisch messen lässt. Damit wird zunächst Dauer als Messgrösse geometrisiert, wenn die Raumzeit noch als zeitorientiert vorausgesetzt und die Weltlinie als Darstellung der Bahnkurve eines punkthaften “materiellen Partikels” gedacht wird, für das “die Zeit verrinnt”, indem es zukunftsorientiert seiner Weltlinie folgt. Sind dann \(p \lt q\) zwei chronal geordnete Punkte auf dieser Weltlinie, dann ist für das Partikel (mit der Notation von Gourgoulhon) die Dauer \(\tau(p,q)\) per definitionem proportional zur Bogenlänge des entsprechenden Weltliniensegments \(\mathcal{L}_{p,q} \subset \mathcal{L}\), was sich mit der von \(g\) auf \(\mathcal{L}\) induzierten 1-Form \(\lambda\) schreiben lässt als
\[
c\,\tau(p,q)\,=\,\text{arclength}(\mathcal{L}_{p,q})\,=\,\int_{\mathcal{L}_{p,q}}\!\!\!\lambda.
\]
Damit hat das Partikel noch immer keine `Uhr’, von der man etwas ablesen könnte; erst durch die Einführung eines Parameters lässt sich so etwas erreichen. Ist \(u:I_u \to \mathcal{L}\) eine zukunftsorientierte Paramatrisierung und \(p \in \mathcal{L}\) wie zuvor, dann existiert zu diesem \(u\) genau ein \(s_p \in I_u\) mit \(u(s_p) = p\), womit für \(s \ge s_p\) das von \(p\) und \(u(s)\) begrenzte Liniensegment die Darstellung \(\mathcal{L}_{p,u(s)} = u([s_p,s])\) hat. Als Verallgemeinerung der obigen Formel ergibt sich damit
\[
c\,\tau(p,u(s))\,=\,\int_{\mathcal{L}_{p,u(s)}}\!\!\!\lambda\,=\,\int_{u([s_p,s])}\!\!\!\lambda\,=\,\int_{[s_p,s]}\!\!\!u^*\lambda.
\]
Durch eine Parametrisierung \(u\) wird also die Bestimmung der Bogenlänge von \(\mathcal{L}_{p,u(s)}\) bzgl. \(\lambda\) reduziert auf die Bestimmung der Länge des Intervalls \([s_p,s] \subset \mathbb{R}\) bzgl. \(u^*\lambda\). Nun hat dieses Intervall aber die “natürliche” Länge \(s – s_p\) bzgl. des Euklidischen Längenmasses \(ds\) auf \(\mathbb{R}\), was die folgende Definition motiviert:
Eine Parametrisierung \(u:I_u \to \mathcal{L}\) heisse natürlich, falls \(u^*\lambda = ds\) gilt.
Das bedeutet mit anderen Worten schlicht, eine Parametrisierung \(u\) heisst natürlich, wenn die Abb. \(u:(I_u,ds) \to (\mathcal{L},\lambda)\) längentreu ist.
Wie sich aus einer unspezifischen zukunftsorient. Parametrisierung auch eine natürliche Parametrisierung konstruieren lässt, die ich mit \(u_p\) bezeichnet hatte, will ich nicht nochmals wiederkäuen. Alle geometrischen Fragen zu relativist. `Uhren’ lassen sich somit oBdA mit Bezug auf eine natürliche Parametrisierung der Uhren-Weltlinie klären.
Insbesondere lässt sich so schlussendlich dem materiellen Partikel eine `Uhr’ verpassen, die dem Postulat P2 von Malament genügt, indem ich eine `Uhr’ definiere als eine natürliche Parametrisierung \(u:I_u \to \mathcal{L}\) der Partikel-Weltlinie zusammen mit einer Anzeigefunktion \({*u}:I_u \to \mathbb{R}\), die definiert sei durch \((*u)(s) := c^{-1}s\).
Unterm Strich vereinfacht sich mit diesen Setzungen die letzte abgesetzte Formel zu
\[
\tau(p,u(s))\,=\,c^{-1}(s – s_p)\,=\,(*u)(s) – (*u)(s_p).
\]
Das heisst, die ganz rechts stehende Differenz von angezeigten resp. abgelesenen Werten ist gerade die in Eigenzeit bemessene Dauer der Bewegung des Partikels entlang seiner Weltlinie von \(p = u(s_p)\) bis hin zu \(u(s)\). Und genau so etwas wird ja von einer zur Messung von Dauer konzipierten Uhr gemeinhin gefordert.
Das Partikel muss dabei für seine Eigenzeit-Uhr nirgendwo Bezug nehmen auf irgendwas, das sich abseits seiner eigenen Weltlinie abspielt. Womit die RT abr auch eine Vorgabe macht für die Konstruktion metrologischer Frequency Standards zur Realisierung der SI Sekunde, die ja laut SI Brochure als Einheit von Eigenzeit zu interpretieren ist.
Chrys schrieb (29.08.2021, 15:01 o’clock):
> Je nach Kontext kann die Bedeutung von `Anzeige’ und `anzeigen’ erheblich variieren. […]
Im Kontext der Grundlagen der RT, betreffend die Bestimmung von Koinzidenzen und weiterführender Bewertungen, kann die Gegebenheit jeweils eines Bestimmten Beteiligten in einem bestimmten Ereignis mit der Formulierung “diese Anzeige dieses Beteiligten” bezeichnet werden.
(Von “Koinzidenz” ist entsprechend die Rede,
– falls eine Anzeige eines bestimmten Beteiligten und eine Anzeige eines anderen Beteiligten zusammen Bestandteile des selben Ereignisses waren; oder auch
– falls eine bestimmte Wahrnehmung eines Beteiligten und eine andere Wahrnehmung des selben Beteiligten zusammen Bestandteile der selben Anzeige dieses Beteiligten waren.)
> […] erfordert grundsätzlich a) eine generelle Massbestimmung, also einen metrischen Tensor \(g\), und b) eine zeitartige Weltlinie \(\mathcal L\), auf welcher sich dann bezüglich der Massgabe durch \(g\) die Bogenlänge von Liniensegmenten geometrisch messen lässt. […]
Womöglich unterstellst Du \(g\) als gegeben; ich jedoch nicht.
Du zeigst weder Absicht noch Vermögen zu erläutern, wie aus (hinreichenden) konkret gegebenen Koinzidenzbestimmungen konkrete reelle Verhältniswerte der Bogenlängen von verschiedenen (und von Null verschiedenen) konkreten Segmenten einer zeitartige Weltlinie ermittelt werden sollten.
p.s.
So wenig interessant ich Deine Darlegungen finde, fällt mir darin doch der Begriff “längentreu” auf …
Nun ist die (Mess-)Größe \(\text{ArcLength}[ \, \mathcal L_{p,q} \, ]\) ja offenbar “dimensionsbehaftet”, während die Differenz zweier reeller Zahlen, e.g. der Wert \(s_q – s_p\), wiederum eine reelle Zahl ist.
Wenn also die von Dir angesetzte, offenbar reell-wertige und auch umkehrbare Parametrisierung
\( u : I_u \rightarrow \mathcal L \)
sich entsprechend Deiner Definition als “längentreu” erweist,
wäre die (ebenfalls reell-wertige und umkehrbare) Parametrisierung
\( w : I_w \rightarrow \mathcal L, \qquad \forall s \in I_u : w^{(-1)}[ \, u[ \, s \, ] \, ] = k_{uw} \, s \, + \, j_{uw} \)
mit festen reellen Parametern \(k_{uw} \ne 0\) und \(j_{uw}\) dann ebenfalls “längentreu” ??
@Frank Wappler / 30.08.2021, 14:58 o’clock
»Womöglich unterstellst Du
gals gegeben; ich jedoch nicht.«Gewiss verstehe ich unter Raumzeit ziemlich genau das, was Malament beschreibt, und was strukturell insbesondere den metrischen Tensor beinhaltet. Den brauche ich schon zur Definition von `zeitartig’ bei der Rede von zeitartigen Weltlinien.
Wenn Du alle Begriffe umkrempeln, umdeuten oder umdefinieren willst, dann sehe ich zwei Möglichkeiten. Entweder Du kommst da äquivalent heraus und hättest dann zu klären, wie sich das alles bei Deinem Zugang ergibt, wenn Du verstanden werden willst. Oder Du ignorierst, was schon etabliert ist, und machst Dein ganz eigenes Ding, was dann aber auch nicht mehr die RT von Einstein wäre — Koinzidenzen hin oder her.
»… “dimensionsbehaftet” …«
Da ist nichts “dimensionsbehaftet”, das ist alles Geometrie und keine Physik. Auch geometr. Längen von Intervallen sind reelle Werte. Nimm’ beispielsweise mal Deine Umparametrisierung \(\varphi(s) := ks + j\) für \(s \in \mathbb{R}\) mit \(k \gt 0\). Sei \([a,b] \subset \mathbb{R}\) ein Intervall, dann ist die Länge des Bildes \(\varphi([a,b])\) bzgl. \(ds\) einfach
\[
\text{arclength}(\varphi([a,b]))\,=\,\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}\!\!ds\,=\,\int_a^b\!\!\varphi'(s)\,ds\,=\,k(b-a).
\]
Wann \(\varphi\) dann längentreu ist, sollte jetzt eigentlich ins Auge springen.
Chrys schrieb (31.08.2021, 17:18 o’clock):
> […] Wenn Du alle Begriffe umkrempeln, umdeuten oder umdefinieren willst,
Die Absicht (entsprechend Einsteins ausdrücklicher Forderung, 1916) ist, elementare Begriffe bzw. Bewertungen als diejenigen zu deuten, die zusammen mit dem Begriff der Koinzidenz-Bestimmung als nachvollziehbar vorausgesetzt werden können;
und weitergehende relevante Begriffe bzw. Messgrößen ausdrücklich aus Koinzidenz-Bestimmungen zu konstruieren.
(Zum Begriff der Koinzidenz-Bestimmung gehört dabei insbesondere die Vorstellung identifizierbarer, unterscheidbarer Beteiligter, die bei Einstein 1916 als »materielle Punkte«, bei MTW, Box 13.2, als »principal identifiable points«, und in den bekannten Gedankenexperimenten synonym z.B. als »Stellen« bzw. »Beobachter« mit individuellen Bezeichnungen wie \(A\), \(B\), …, \(F), \(G\), …, \(J\), \(K\), …, \(M\), \(N\), …, \(P\), \(Q\), … auftreten.)
Wer der Einsteinsche RT stattdessen mit der Auffassung “keine Physik” zu begegnen gewohnt ist, dem mag das wohl als “Umkrempeln” und “Umdeuten” erscheinen.
Von “Umdefinieren” kann allerdings keine Rede sein, sofern bislang noch gar keine nachvollziehbaren Definitionen vorlagen.
> dann sehe ich zwei Möglichkeiten. Entweder Du kommst da äquivalent heraus und hättest dann zu klären, wie sich das alles bei Deinem Zugang ergibt
Was genau beinhaltet denn “das alles” ?? —
Hinsichtlich der elementaren Begriffe legst Du zumindest ein Beispiel nahe:
> […] den metrischen Tensor [\(g\) …] brauche ich schon zur Definition von `zeitartig’ bei der Rede von zeitartigen Weltlinien.
Zur Definition der Beziehung zwischen bestimmten geeigneten Ereignissen als “zeitartig” brauche ich stattdessen den Begriff identifizierbarer, unterscheidbarer Beteiligter:
Zwei Ereignisse heißen gegenüber einander “zeitartig”, falls mindestens ein bestimmter Beteiligter an beiden teilgenommen hatte.
(Dabei versteht sich,
– dass sich die beiden Ereignisse dadurch unterscheiden, dass mindestens ein weiterer anderer Beteiligter nur an dem einen, und mindestens ein weiterer anderer Beteiligter nur an dem anderen teilgenommen hatte, und
– dass Beteiligte, die “nicht punktartig” sind, nicht in Betracht gezogen werden sollen; wobei falls z.B. an jedem Ereignis, an dem \(J\) teilgenommen hatte auch \(A\) teilgenommen hatte, aber umgekehrt nicht an jedem Ereignis, an dem \(A\) teilgenommen hatte auch \(J\) teilgenommen hatte, dann jedenfalls \(A\) “nicht punktartig” ist.
)
Hinsichtlich weitergehender Begriffe, die jeweils nach einer konkreten Konstruktion verlangen, die ausdrücklich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinausläuft, habe ich oft genug auf tetrahedral-oktahedrale (alias Sierpinski-pyramidale) Ping-Koinzidenz-Gitter als (eine denkbare) konstruktive Definition des Begriffes “Inertialsystem” (d.h. nach W. Rindler: »point particles sitting still relative to each other«) hingewiesen.
Konkret “ergibt sich” (beweisbar) dabei, dass jeweils 10 Beteiligte, die miteinander durchwegs eine Elementarzelle eines tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gitters bildeten, und deren Trajektorien wiederum bzgl. eines beliebig feinen tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gitters beschrieben wurden (wie sonst??), nach jeweils einer elementaren Ping-Periode korrespondierende Punkte des Bezugs-Gitters traffen/passierten; d.h. dass diese 10 Trajektorien in diesem konkreten Sinne weder “voneinander wegdrifteten”, noch “aufeinander zustrebten”, sondern “gegenüber einander starr” blieben und insgesamt “gleichförmig bewegt” waren. Das gilt folglich auch für ganze beliebig feine tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gitter gegenüber einander.
(Von Inertialsystemen ist ähnlich Lautendes wohl bisweilen behauptet oder gefordert worden, jedoch offenbar ohne nachvollziehbare zugrundeliegende Definition, wie insbesondere “Gleichförmigkeit der Bewegung” zu messen wäre.)
p.s.
> [… »Nun ist die (Mess-)Größe \(ArcLength[ \, \mathcal L_{p,q} \, ]\) ja offenbar “dimensionsbehaftet”« …] Da ist nichts “dimensionsbehaftet”, das ist alles Geometrie und keine Physik. […]
Längen bzw. Bogenlängen, die insbesondere als “\(c \, \tau\)” eingeführt oder angesetzt werden (wie in der Physik durchaus üblich, vgl. Dein Kommentar 29.08.2021, 15:01 o’clock), sind nun mal “dimensionsbehaftet”; nämlich konkret: mit der Dimension “1-dimensionaler räumlicher Ausdehnung”. Dem stimmt offenbar auch Gourgoulhon, “Sample Pages”, p. 32, im Anschluss an eq. (2.6) zu (wobei sich über die konkrete Terminologie diskutieren lässt).
@Frank Wappler / 01.09.2021, 13:55 o’clock
Angesichts der Kontroversen um sein Koinzidenz-Argument in der “Grundlage” (1916) sah sich Einstein noch zu einer Rechtfertigung veranlasst; siehe Ref. Einstein (1918b) bei Giovanelli (2021). Dort erläutert Einstein (Fettung im Original kursiv):
Seine Forderung nach allgemeiner Kovarianz scheint mir doch eine deutlich schwächere Konsequenz zu sein als das, was Du da offenbar herausliest, nämlich dass man von gar nichts anderem mehr reden dürfe als von Koinzidenzen.
(Giovanelli gibt dazu noch CPAE, Vol. 7, Doc. 4 als Quelle an. Mit der Suchfunktion dort komme ich nicht klar; eine witere CPAE Recherche überlasse mal besser Dir.)
»Längen bzw. Bogenlängen … sind nun mal “dimensionsbehaftet”; nämlich konkret: mit der Dimension “1-dimensionaler räumlicher Ausdehnung”. Dem stimmt offenbar auch Gourgoulhon, “Sample Pages”, p. 32, im Anschluss an eq. (2.6) zu …«
Dein “dimensionsbehaftet” habe ich durchaus mit Hinblick auf Gourgoulhon aufgefasst. Aber da scheint mir doch einiger Bedarf an begrifflicher Entwirrung zu bestehen. Zunächst ist (auch) die Bedeutung von `Dimension‘ abhänging von Kontext; beachte dort insbesondere die Punkte 2 und 4:
• eine Kategorie einer physikalischen Größe, siehe Dimension (Größensystem)
• die Anzahl von Freiheitsgraden eines mathematischen Objekts, siehe Dimension (Mathematik)
Zwischen diesen beiden Bedeutungen unterscheidest Du hier anscheinend so wenig wie Gourgoulhon, der an der besagten Stelle schreibt: “Thanks to the \(c\) factor [having the dimension of speed] (cf. Sect. 1.2.4), the dimension of \(d\tau\) is time, \(g\) having no dimension and \(d\vec{x}\) having the dimension of length …” Ganz konkret hat er zuvor diesem konstanten Faktor die metrologische Dimension (Einheit)
Meter/Sekunde [m/s]verpasst.Die zu unterscheidenden Kontexte sind hier der objektsprachliche und der metasprachliche Teil einer physikal. Theorie. Die Objektsprache der RT ist die der Lorentzschen Geometrie, und dort sind metrologische Dimensionen absolut deplaziert. Das Anheften solcher Einheiten gehört indes zur Metasprache, die damit insbesondere einen Anschluss von abstrakter Modellierung an experimentelle Observationen ermöglicht, was letztlich erst die ganze Sache überhaupt zu Physik macht.
Gourgoulhon verliert an dieser Stelle anscheinend ein wenig die Übersicht, und seine Gl. (2.10) ist leider etwas vermurkst. Da ich seine dort eingeführte Notation auch verwendet hatte, ist eine Anmerkung dazu vielleicht noch angebracht. Korrekt wäre in (2.10) eine Definition
\[
\tau(A,B)\,:=\,\frac{1}{c}\int_{\mathcal{L}_{A,B}}\!\!\!\!\lambda
\]
in Verbindung mit einer (parameterfreien) Herleitung der 1-dim. Volumenform \(\lambda\) (vulgo Längenmass) aus dem metr. Tensor. Das hat er verpasst, da er anscheinend nicht gemerkt hat, dass er die Eigenzeit nur durch eine Parametrisierung in Spiel bringen kann, auf die er sich dann bei der Integration zu beziehen hat. Das heisst, mit der formalen (und “metrologisch dimensionslosen”) Setzung \(\tau = c^{-1}s\) als nominaler Relation zwischen Eigenzeit und Bogenlänge und einer natürlichen Parametrisierung \(u(s)\) von \(\mathcal{L}\) lässt sich \(w(\tau) := u(c\tau)\) definieren und die Darstellung und \(\mathcal{L}_{A,B} = w([\tau_A,\tau_B])\) erhalten. Dann gilt \(w^*\lambda = \|w'(\tau)\|_g\,d\tau = c\,d\tau\) und es folgt
\[
\tau(A,B)\,=\,\frac{1}{c}\int_{[\tau_A,\tau_B]}\!\!\!\!w^*\lambda\,=\,\int_{\tau_A}^{\tau_B}\!\!\!d\tau\,=\,\tau_B\,-\,\tau_A.
\]
N.B. zu »… nach jeweils einer elementaren Ping-Periode …«
Wie willst Du eigentlich beurteilen, ob es da periodisch zugeht, wenn Du nicht zuvor eine Uhr bereitgestellt hast, mit der Du die Dauer sukzessiver Ping-Roundtrips messen und anschliessend vergleichen kannst?
Chrys schrieb (03.09.2021, 15:02 o’clock):
> […] Einstein (1918b)
… https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol7-doc/86?highlightText=Koinzidenzen …
> »a) […] Die Naturgesetze sind nur Aussagen über zeiträumliche Koinzidenzen;«
Siehste! — »die Naturgesetze« auch!
> »sie finden deshalb ihren einzig natürlichen Ausdruck in allgemein kovarianten Gleichungen.«
Mag schon sein (für jede geeignete Definition des Begriffs »natürlicher Ausdruck«);
aber zweifellos ist die Gesamtheit der betreffenden Aussagen über zeiträumliche Koinzidenzen jeweils an sich auch ein Ausdruck des entsprechenden »Naturgesetzes«.
> […] dass man von gar nichts anderem mehr reden dürfe als von Koinzidenzen.
Natürlich einschließlich eventueller Nicht-Koinzidenzen; und natürlich einschließlich dessen, das (bzw. derer, die) koinzident oder nicht koinzident waren;
und gern in jeder Ausdrucksform, deren Hinauslaufen auf die zugrundeliegenden Koinzidenz-Bestimmungen nachvollziehbar ist.
> [… dass jeweils 10 Beteiligte, die miteinander durchwegs eine Elementarzelle eines tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gitters bildeten, … nach jeweils einer elementaren Ping-Periode …] Wie willst Du eigentlich beurteilen, ob es da periodisch zugeht,
Ich hätte mich sorgfältiger folgendermaßen ausdrücken können/sollen:
” … nach jeder Wiederholung eines Pings eines der o.g. 10 Beteiligten bzgl. seiner (drei, oder sechs) direkten Nachbarn in der Elementarzelle traf/passierte jeder jeweils korrespondierende Bestandteile des Bezugs-Gitters (kein Auseinanderdriften oder Zusammenziehen).”
Konstanz und Gleichheit der jeweiligen Pingdauern sind dabei nicht als Resultate von Messungen zu verstehen, sondern im Sinne einer zunächst erforderlichen Definition der Messgröße “Dauer” an sich (d.h. wie “Dauern” überhaupt, zumindest innerhalb eines bestimmten tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gitters miteinander verglichen werden sollen).
Und zwar einer Definition, die offensichtlich ausdrücklich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinausläuft.
Und so, dass der Vergleich von Dauern zwischen verschiedenen, sich gegenüber einander jeweils “korrespondierend verschiebenden”, tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gittern konsistent entsprechend der (“Lorentzschen”) Dilatations-Beziehung erfolgt (mit der “offensichtlichen”, auf Auszählung sukzessiver Pings beruhenden Definition bzw. Bestimmung des Wertes von \(\beta\), die gegenseitig gleiche Werte garantiert).
Es geht um die initiale, unabhängige, aber kompatible Konstruktion/Auffindung/Bereitstellung von “idealen Uhren” (im Sinne von “Frequenzgeneratoren”), bzw. von “Inertialsystemen”.
p.s.
> […] mit der formalen (und “metrologisch dimensionslosen”) Setzung \(\tau = c^{-1} \, s\) […] und einer natürlichen Parametrisierung […]
Gourgoulhons abscheulicher, untauglicher Notation und Deiner schwer erträglichen Verweigerung, den qualitativen Unterschied zwischen reellen Zahlen und Werten dimensionsbehafteter Größen (wie Dauer, oder Distanz, oder Bogenlänge) zu würdigen möchte ich wenigstens das Folgende entgegensetzen:
Es sei \(S\) eine Ereignismenge (“spacetime”) und darin \(P\) ein (“punktartiger”) Beteiligter mit Weltlinie (Bahn)
\(\mathcal E_P \equiv \{ \, \varepsilon \in \mathcal S : \exists X \, | \, \varepsilon \equiv \varepsilon_{XP} \, \}.
Dann gilt hinsichtlich je zweier (verschiedener) Ereignisse \(\varepsilon_{AP}, \varepsilon_{ZP} \in \mathcal E_P\) mit Lorentzscher Distanz \(\ell[ \, \varepsilon_{AP}, \varepsilon_{ZP} \, ]\):
\[ \left( \frac{\tau P[ \, \_A, \_Z \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{AP}, \varepsilon_{ZP} \, ]} \right) = \int_{\varepsilon_{AP}}^{\varepsilon_{ZP}}\{\text{entlang Bahn}\mathcal E_P\} {\rm d}\ell / \ell[ \, \varepsilon_{AP}, \varepsilon_{ZP} \, ]. \]
Man beachte, dass die Abhängigkeit beider Seiten dieser Gleichung vom relevante Beteiligten \(P\) dadurch erkennbar ist, dass das Symbol “\(P\)” auf beiden Seiten der Gleichung ausdrücklich auftaucht;
und dass beide Seiten dieser Gleichung reelle Zahlenwerte darstellen (die von Null verschieden und kleiner oder gleich Eins sind).
Die eindeutig bestimmte gute und normalisierte Parametrisierung von \(P\)s Bahnabschnitt zwischen \(\varepsilon_{AP}\) und \(\varepsilon_{ZP}\) ist
\[ p : [\varepsilon_{AP} \dots \varepsilon_{ZP}] \rightarrow [0 \dots 1], \]
\[ p[ \, \varepsilon_{XP} \, ] \mapsto \left \frac{\tau P[ \, \_A, \_X \, ]}{\tau P[ \, \_A, \_Z \, ]} \right).\]
Für je zwei Ereignisse dieses Bahnabschnitts, \( \varepsilon_{JP}, \varepsilon_{MP} \in [\varepsilon_{AP} \dots \varepsilon_{ZP}]\), gilt folglich:
\[ \left( \frac{\tau P[ \, \_J, \_M \, ]}{\tau P[ \, \_A, \_Z \, ]} \right) = p[ \, \varepsilon_{MP} \, ] – p[ \, \varepsilon_{JP} \, ]. \]
Frank Wappler wrote (04.09.2021, 01:16 o’clock):
> […] Die eindeutig bestimmte gute und normalisierte Parametrisierung von \(P\)s Bahnabschnitt zwischen \(\varepsilon_{AP}\) und \(\varepsilon_{ZP}\) ist
\[ p : [\varepsilon_{AP} \dots \varepsilon_{ZP}] \rightarrow [0 \dots 1], \]
\[ p[ \, \varepsilon_{XP} \, ] \mapsto \left( \frac{\tau P[ \, \_A, \_X \, ]}{\tau P[ \, \_A, \_Z \, ]} \right).\]
Für je zwei Ereignisse \( \varepsilon_{JP}, \varepsilon_{MP} \in [\varepsilon_{AP} \dots \varepsilon_{ZP}]\) gilt folglich:
\[ \left( \frac{\tau P[ \, \_J, \_M \, ]}{\tau P[ \, \_A, \_Z \, ]} \right) = p[ \, \varepsilon_{MP} \, ] \, – \, p[ \, \varepsilon_{JP} \, ]. \]
Frank Wappler wrote (01.09.2021, 13:55 o’clock):
> […] 10 Beteiligte, die miteinander durchwegs eine Elementarzelle eines tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gitters bildeten […]
Erfreulicherweise ist eine solche Elementarzelle öffentlich anschaulich; nämlich als: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Triangulated_tetrahedron.png
(Aber bedauerlicherweise ist dieses Bild, obwohl es ein Wikipedia-Bestandteil ist, immer noch nicht öffentlich editierbar.)
p.s.
Frank Wappler wrote (04.09.2021, 01:16 o’clock):
> […] Es sei \(\mathcal S\) eine Ereignismenge (“spacetime”) und darin \(P\) ein (“punktartiger”) Beteiligter mit Weltlinie (Bahn)
\(\mathcal E_P \equiv \{ \, \varepsilon \in \mathcal S : \exists X \, | \, \varepsilon \equiv \varepsilon_{XP} \, \}\).
> Dann gilt […]
@Frank Wappler / 04.09.2021, 01:16 o’clock
Super, dass Du Einstein 1918b in den Collected Papers ausgegraben hast. Ich wollte mir daraufhin noch anschauen, was John Norton davon hält (Norton 1993), hatte aber einfach nicht die Zeit, um das alles genauer zu lesen.
Mir würde ja einleuchten, dass Protokollsätze nur Aussagen über zeiträumliche Koinzidenzen sind, das liegt eigentlich auf der Hand. Aber Naturgesetze???
Kretschmanns Einwand bezog sich anscheinend zuvörderst auf die Rolle der allg. Kovarianz, deren Bedeutung mehr die formale Darstellung als einen physikal. Gehalt von Naturgesetzen betrifft. Beispielsweise lassen sich die Maxwellschen Gleichungen schreiben als \(dF = 0, \delta F = 4\pi j\). Maxwell konnte das noch nicht so hinschreiben, doch durch die elegante kovariante Formulierung der Gleichungen allein ist für die Physik noch keine tiefere Einsicht gewonnen. Und eine unmittelbare Aussage über Koinzidenzen liefert das doch auch nicht.
Mir scheint, dass sich Einsteins Verständnis zwischen dieser Publikation von 1918 und seiner Konversation mit Heisenberg von 1926 in mancher Hinsicht beträchtlich gewandelt hat. Insbesondere ist 1926 keine Rede mehr von Koinzidenzen — warum nicht? Man sollte meinen, wenn ihm diese noch immer so fundamental bedeutsam erschienen wären, hätte er das Heisenberg gegenüber doch gewiss ganz besonders betont.
Chrys schrieb (14.09.2021, 11:52 o’clock):
> […] Mir würde ja einleuchten, dass Protokollsätze nur Aussagen über zeiträumliche Koinzidenzen sind, das liegt eigentlich auf der Hand.
Fanden diejenigen, die sich den Begriff “Protokollsatz” einfallen ließen und vermutlich ihren Fans beibrachten, das eigentlich auch einleuchtend; und wäre das womöglich öffentlich dokumentiert ??
(Meine Bemühungen würden an dieser Stelle damit beginnen, “Wiener Kreis” zu googlen. Du bist dabei hoffentlich viel effizienter.)
> Aber Naturgesetze???
Was für ein mittelalterlicher!, verwaschener!!, unbrauchbarer!!! Begriff …
Meinst Du etwa bestimmte Festsetzungen von Auswertungs-Operatoren (als Definitionen bestimmter Messgrößen; Beispiel: Wie misst man “gemeinsame Mitgliedschaft im selben Inertialsystem”?) ? — Dann ja: Was sonst gäbe es denn auszuwerten, wenn nicht Beobachtungsdaten (in Form von “Protokollsätzen”), die von zeiträumlichen Koinzidenzen (oder natürlich auch Nicht-Koinzidenzen) handeln.
Oder meinst Du etwa bestimmte Theoreme, die sich ausschließlich aus gegebenen Festsetzungen von Auswertungs-Operatoren ergeben (Beispiel: Konstanz und Endlichkeit von “Signalfront-Geschwindigkeit”) ? — Dann ja: Jedes Theorem muss doch genau darauf hinauslaufen, was zu dessen Beweis vorgegeben ist.
Oder meinst Du etwa die Ergebnisse der Auswertungen von gegebenen Beobachtungsdaten (in Form von “Protokollsätzen”) durch Anwendung bestimmter festgesetzter Auswertungs-Operatoren, also Messwerte ? — Dann ja: Jeder Messwert muss doch genau darauf hinauslaufen, was zu dessen Ermittlung festgesetzt bzw. gegeben ist.
Oder meinst Du etwa Modelle (insbesondere in Form von algebraischen Modell-Formeln), die gegebene Messwerte und/oder (womöglich erhoffte bzw. durch Wetteinsätze gewinnbringende) Erwartungswerte zusammenzufassen ? — Dann enthalte ich mich einer Antwort.
Übrigens: Dass jeweils eine Aussage (ein Protokollsatz, ein Beobachtungsdatum) von nur einer einzigen Koinzidenz oder Nicht-Koinzidenz handeln soll, verhindert ja nicht, dass mehrere Aussagen sich kollektiv z.B. mit mehreren verschiedenen Koinzidenz-Ereignissen beschäftigen, und dabei ggf. insbesondere auch mit bestimmten identifizierbaren Beteiligten an all diesen verschiedenen Koinzidenz-Ereignissen.
> Kretschmanns Einwand bezog sich anscheinend zuvörderst auf die Rolle der allg. Kovarianz,
Das wird wohl so gewesen sein …
Das beeinträchtigt aber in keiner Weise die Bedeutung des Koinzidenz-Begriffs bzw. des Begriffs-Paares “zusammen”-vs.-“nicht zusammen” bzw. des Begriffs-Paares “das Selbe”-vs.-“Verschiedenes”.
(Jeder Versuch, die Behauptung aufzustellen und anderen begreiflich machen zu wollen, dass man selbst über genau diese Begriffe nicht verfügen würde, beweist im Gegenteil, dass man sie doch dabei benutzt und deshalb ggf. versteht. Ich nenne diese besondere Eigenschaft “begriffliche Nachvollziehbarkeit”, und ich betrachte sie als Begründung der Nutzung des Koinzidenz-Begriffes in der RT; also auch als Begründung der RT.)
> Einsteins Verständnis […] Insbesondere ist 1926 keine Rede mehr von Koinzidenzen — warum nicht?
Ich vermute: premature optimization.
(Einstein betreffend insbesondere exzessive voreilige Beschäftigung mit Dynamik.Immerhin hat Einstein keinen öffentlich dokumentierten Versuch unternommen, die Nachvollziehbarkeit des Koinzidenz-Begriffs zu bestreiten.)
> […] was John D. Norton davon hält […]
Würde mich auch sehr interessieren.
Und nicht minder, was John W. Schutz davon hält.
Dann werden diese beiden Antipoden sicher auch bald zu SciLog-Gastbeiträgen eingeladen …
p.s.
> […] Beispielsweise lassen sich die Maxwellschen Gleichungen schreiben als […]
Ach! — immer gleich Dynamik! …
Mir gefällt (an der Dynamik), dass sich der Yang-Mills-Term als Robertson-Schrödinger-Abschätzung auffassen lässt:
0 ≤ (1/4) ((D_a D_b – D_b D_a)~ (D_a D_b – D_b D_a)) ≤ Varianz_a * Varianz_b.
p.p.s.
Zwischendurch habe ich versucht, eine mathematische Fassung für “dimensionsbehaftete Werte (einer Messgröße)” zu erkunden. Anfangs erwidert mit überwältigendem Unverständnis; und letztlich begleitet von namenlosem Desinteresse
Frank Wappler schrieb (15.09.2021, 22:23 o’clock):
> […] Oder meinst Du etwa Modelle […] ? — Dann enthalte ich mich einer Antwort [auf die Frage, ob diese strikt auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufen].
Sofern die betreffenden Modelle aber prüfbar und wettsicher/nachvollziehbar sein sollen, dann: ja.
p.s.
Norton’s Opus https://sites.pitt.edu/~jdnorton/papers/decades.pdf war mir zwar schon in Teilen bekannt; beim (annähernden) Durchlesen ist mir nun der Abschnitt
»6.3 Coordinate systems versus frames of reference« angenehm aufgefallen; und darin wiederum besonders relevant für unsere obige Debatte:
Es fragt sich natürlich zunächst, wie denn überhaupt Uhren ausgewählt werden sollten, die »smooth ticken« (bzw. wie das überhaupt gemessen werden soll, oder was überhaupt nchvollziehbar damit gemeint wäre). (Ähnliches fragt sich übrigens auch bei V. Perlick.) Dass die verbleibenden »smoothness«-Attribute anschließend z.B. anhand von Radar-Koordinaten beurteilt werden könnten, leuchtet zwar ein, beantwortet aber nicht die genannte vorrangige Frage. (Daher meine gewohnte Antwort: dem Aufsuchen von tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gittern.)
@Frank Wappler / 15.09.2021, 22:23 o’clock
»Fanden diejenigen, die sich den Begriff “Protokollsatz” einfallen ließen und vermutlich ihren Fans beibrachten, das eigentlich auch einleuchtend; und wäre das womöglich öffentlich dokumentiert ??«
Einfallen lassen hat sich den Begriff Otto Neurath, nur weiss ich nicht genau wann. Mit einiger Wahrscheinlichkeit aber erst nachdem Rudolf Carnap 1926 zum Wiener Kreis hinzukam.
Moritz Schlick (Raum und Zeit in der gegenwärtigen Physik. J. Springer, Berlin, 3. Aufl., 1920) war jedenfalls begeistert von Einsteins Koinzidenzen. Später war er zusammen mit den beiden Genannten auch involviert in die Diskussion um die Rolle von Protokollsätzen; ob er diese jedoch mit dem Koinzidenz-Argument irgendwo dokumentiert in Verbindung gebracht hat, kann ich nicht sagen.
Eine Version des früher schon zitierten Aufsatzes von Neurath (1932) ist hier. (Offenbar neu gesetzt von einer OCR Software, die mit dem Schriftsatz des Originals erkennbare Schwierigkeiten hatte.) Falls es Dich interessieren sollte, was Neurath da gemeint hat.
Das nur auf die Schnelle, ich muss hier gerade abbrechen.
Da an meinem SciLog-Kommentar-Versuch, den ich 06.10.2021, 11:11 Uhr, anderswo in Reaktion auf einen Kommentar von Chrys (05.10.2021, 12:09 Uhr) eingereicht habe, von der dortigen Administration offenbar mal wieder eine Sonderbehandlung exerziert wird,
und er sich außerdem u.a. auch auf die obige Erwähnung von Moritz Schlick durch Chrys (16.09.2021, 18:23 o’clock) bezieht, möchte ich hiermit wenigstens ein Duplikat (einschl. Memo) zur Kenntnis bringen und archivieren:
Chrys schrieb (05.10.2021, 12:09 Uhr):
> Realistischer als ein Five-Point-Detector für Krümmung scheint mir, was hier vorgeschlagen wird: Koop, M. J., & Finn, L. S. (2014).
> […] » Expressing the gravitational wave detector response in terms of the Riemann curvature « […]
Hängen denn »Riemann curvature« und die (in meinen obigen Kommentaren, als auch anderswo) kritisierten “LIGO-Detektor-artigen” Zwei-Arm-Interferometer so eng und definitiv miteinander zusammen, dass jegliche von Null verschiedene »detector response« garantiert/definitiv einer von Null verschiedenen (und meinetwegen quasi-periodischen) Veränderung von »Riemann curvature« entspricht ??
Falls nicht, kann der Koop-Finn-Vorschlag die genannte Kritik auch nicht entkräften, dass das Auftreten von “LIGO-Detektor-artigen” Zwei-Arm-Interferometer-»detector responses« eben keinen strikten/definitiven Nachweis der Veränderung von »Riemann curvature« etc. darstellt.
Im Übrigen wird wieder einmal um so mehr ein gesonderter [SciLog-]Beitrag zur Frage von Koordinaten und koordinatenfreien Darstellungen vermisst, der uns vor mittlerweile über 5 Jahren in Aussicht gestellt wurde …
(Natürlich insbesondere, um dadurch SciLogs-Kommentatoren die Möglichkeit zu geben, die in Frage kommenden Koordinaten-freien Darstellungen ganz Allgemein zu erörtern; einschl. dessen, was ggf. überhaupt Koordinaten-frei darzustellen sei. Behandlungen der dabei zuerst erwähnten “Frage von Koordinaten”, also ob und wie dann noch reelle Zahlen-Tupel drübergestreuselt werden könnten, können meinetwegen dagegen gern weiter aufgeschoben werden.)
p.s.
Anderswo hast Du mich auf Moritz Schlick hingewiesen …
( … den hatte ich bisher kaum zur Kenntnis genommen, weil ich ihn wohl mit P. A. Schilpp verwechselte … )
Dazu kurz, und meinetwegen auch abschließend:
Na toll! — Noch jemand, der ausgehend von Koinzidenz-Bestimmungen nicht selber auf tetrahedral-oktahedrale Ping-Koinzidenz-Gitter gekommen ist! …
@Frank Wappler / 08.10.2021, 10:30 o’clock
Hab’s gefunden. Sieht mir auch so aus, dass da etwas im Orcus der Moderation verschwunden ist.
Das sind eigentlich zwei verschiedene Baustellen: a) die Frage nach einem korrekten Verständnis der theoret. Grundlagen von GWs, inklusive der nach dem Design von Detektoren, und b) die Frage, ob LIGO/Virgo irgendwas vorweisen kann, was man fraglos als “Nachweis” von GWs zu akzeptieren hätte.
ad a) Lee S. Finn ist aus meiner Sicht ein echter Lichtblick. Hätte einer von uns bereits 2016 das Paper Finn (2009) gekannt und bei MP darauf hingewiesen, wären uns gewiss einige fruchtlose Kommentare erspart geblieben. Als LIGO Insider wird Finn in der Diskussion eben doch anders wahrgenommen als jemand, der nicht zu diesem Club gehört und es wagt, at least 35 years of misconceptions in der GW-Literatur anzuprangern.
Was den Five-Point Curvature Detector angeht, H. Quevedo [1] schreibt dazu:
Auf dieser Grundlage ein praktikables Design von Detektoren für transiente GW-Events zu konzipieren, erscheint mir doch eher unrealistisch.
ad b) GW150914 war offenbar ähnlich einzigartig wie das SETI Wow!-Signal. Und wenn die SETI-Leute ihr Rauschen auch so LIGO-mässig filtern würden, vorzugsweise mit Templates für “Exterminate!” und “Explain!“, dann schätze ich, würde SETI bestimmt auch schon längst den erfolgreichen Nachweis von Daleks feiern können. 😉
[1] Quevedo, H. (1992). Determination of the metric from the curvature. Gen. Rel. Grav., 24(8), 799-819. [Abstract]
Chrys schrieb (09.10.2021, 14:45 o’clock):
> […] a) die Frage nach einem korrekten Verständnis der theoret. Grundlagen von GWs, inklusive der nach dem Design von Detektoren,
Das Verständnis der definitiven Auswertungsoperation (die jeweils auf einen Satz gegebener Koinzidenz-Bestimmung anzuwenden ist, und deren Resultatswerte genau entweder “GW”, oder “keine GW”, oder “ungültiger Versuch” sind) dürfte als “Grundlagen” und “Design” doch ausreichen.
> […] b) die Frage, ob LIGO/Virgo irgendwas vorweisen kann, was man fraglos als “Nachweis” von GWs zu akzeptieren hätte.
Das hängt direkt damit zusammen, ob LIGO/Virgo irgendwas vorweisen kann, das sich als LIGO/Virgo’s Antwort auf Frage (a) versteht.
> […] ein praktikables Design von Detektoren für transiente GW-Events
Sowas mag ja auch ganz nett sein — sofern sich dessen systematische Unsicherheiten abschätzen lassen, indem es mit dem definitiven “Design” in Beziehung gesetzt wird.
> Was den Five-Point Curvature Detector angeht, H. Quevedo [1] schreibt dazu:
Ob es sich tatsächlich um (Werte von) Distanzen handelt, oder nicht i.A. von Quasi-Distanzen, sei mal dahingestellt.
Wie zitiert, hat Quevedo zumindest Recht damit, die Beziehungen »between the source[-cum-receiver] and the mirrors« genau so zu bezeichnen wie die Beziehungen »between the mirrors«. Jedenfalls geht es dabei um (Verhältnisse von) Ping-Dauern — gleichermaßen paarweise zwischen allen Beteiligten — und um die Auswertung der daraus bestehenden Cayley-Menger-Determinante. (Warum eigentlich nicht auch bzw. von vornherein der entsprechenden Gram-Determinante (vgl. Kokkendorff) ??)
Und die gegenseitigen Pings legen ja (fast schon) die Beachtung und Auswertung von (unmittelbar als Koinzidenz-Bestimmungen gegebenen) Ping-Koinzidenz-Beziehungen zwischen den Beteiligten nahe …
(Wenn ich mich recht erinnere, hatte Synge selbst das schon “zugegeben”.) Aber ganz ähnlich, wie MTW (§ 16.4) “spacetime-filling” Märzke-Wheeler-Uhren unterbreiten, wird man sich wohl “spacetime-filling” congruences identifizierbarer “materieller Punkte” vorstellen dürfen, die alle, ununterbrochen ihre Ping-Koinzidenz-Beziehungen untereinander feststellen und meinetwegen Quintett-weise auswerten. (Cayley-Menger- bzw. Gram-Determinanten dürften ja auch von höherer Ordnung [?] bedeutsam sein; insbesondere jeweils im Limit der Betrachtung von Beteiligten mit verhältnismäßig kleiner maximaler Pingdauer untereinander.)
@Frank Wappler / 11.10.2021, 13:41 o’clock
a) Wer die theoret. Grundlagen von GWs korrekt verstanden zu haben meint, sollte zumindest die Gretchenfrage hinsichtlich der “sticky bead” und wer sich da geirrt hat — Feynman XOR Cooperstock — auch ohne mumbo-jumbo beantworten können. Kannst Du es? Und so lange das nicht jeder GW-Erklärbär kann, ist da eben noch eine offene Baustelle der theoretischen Art.
b) Unabhängig davon besteht die Baustelle der experimentellen Art, also die Frage, ob die LIGO-Daten überhaupt das hergeben, was behauptet wird. Wenn etwa Frau Hossenfelder da ihre Zweifel kungetan hat, so hat das mit der unter a) skizzierten Baustelle nichts zu tun.
Im übrigen traue ich es Lee S. Finn zu, die “sticky bead”-Frage korrekt beantworten zu können. Seinem Thesis Advisor, dem 1/4-Nobelpreisträger Kip S. Thorne, traue ich es hingegen nicht zu.
Chrys schrieb (12.10.2021, 18:23 o’clock):
> a) […] die Gretchenfrage hinsichtlich der “sticky bead” und wer sich da geirrt hat — Feynman XOR Cooperstock — auch ohne mumbo-jumbo beantworten können. Kannst Du es?
Haben denn Feynman bzw. Cooperstock ihre jeweiligen Auffassungen überhaupt so (“ohne mumbo-jumbo”, sondern nachvollziehbar, d.h. ausschließlich unter Verwendung von Begriffen, die ausdrücklich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufen) dargestellt, dass sich diese gewissenhaft unterscheiden ließen ?? …
Ich kann zum Thema “bead and stick” guten Gewissens immer noch (vgl. Memo) nur das Folgende beitragen (was ich auch in vorausgegangenen Kommentaren schon angedeutet zu haben glaube, die aber offenbar nicht mehr öffentlich auffindbar sind, was wiederum die spezielle Auffassung von Wissenschafts-Kommunikation der betreffenden SciLog-Administratoren ausdrückt):
Wenn sich ein Beteiligter, der durchwegs unbeschleunigt (“frei”) war und blieb (nennen wir ihn: “bead”), und ein anderer Beteiligter (“piece of stick”), der durchwegs beschleunigt (“unfrei”, “gehalten”, “geführt”) war, getroffen haben, dann jeweils nur in einzelnen/diskreten Ereignissen “im Einander-Passieren”.
> b) […] ob die LIGO-Daten überhaupt das hergeben, was behauptet wird.
Sind denn die betreffenden Behauptungen überhaupt so (“ohne mumbo-jumbo”, sondern nachvollziehbar, d.h. ausschließlich unter Verwendung von Begriffen, die ausdrücklich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufen) in Betracht gestellt, dass sich gewissenhaft unterscheiden ließe, welche Daten welche Behauptungen hergäben, und welche nicht ?? …
> Wenn etwa Frau Hossenfelder da ihre Zweifel kundgetan hat, so hat das mit der unter a) skizzierten Baustelle nichts zu tun.
Bestimmt. …
Ungeachtet dessen besteht hinsichtlich meiner Zweifel offensichtlich ein enger Zusammenhang zwischen (a) und (b).
> Im übrigen traue ich es Lee S. Finn zu, die “sticky bead”-Frage korrekt beantworten zu können. […]
Christoph Pöppe könnte und sollte Lee S. Finn mal zu einem SciLog-Gastbeitrag einladen!
Immerhin findet sich in einem Artikel von Lee S. Finn (den Du oben vermutlich als “das Paper Finn (2009)” bezeichnet hast) eine Stelle, zu der (sogar) ich (womöglich vorgreifend) hier schon eine sachdienliche (Anschluss-)Frage (in ein paar Einzelteilen) stellen kann; nämlich (p. 5):
Dazu fragt sich (immer noch, wie schon anderswo zumindest angedeutet, wenn auch nicht mehr unbedingt öffentlich auffindbar):
– Was ist (wie misst man, auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufend) »Metrischer Tensor« ??
Oder wenigstens:
– Wie misst man, auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufend, die Koordinaten-freien (skalaren) Größen
\[ (g_{\mu \nu} \, g^{\mu \nu}), \qquad (g_{\mu \nu} \, \eta^{\mu \nu}), \text{ und/oder } (\eta_{\mu \nu} \, g^{\mu \nu}) \]
??
@Frank Wappler / 13.10.2021, 11:56 o’clock
Wir haben uns geirrt — Dein Kommentar anderswo (06.10.2021, 11:11 Uhr) wurde nicht von einem Schwarzen Loch verschluckt.
»Wie misst man, auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufend … ??«
Die Frage wäre an Einstein zu richten, denn er selbst war es ja, der 1916 GWs mit einem metrischen Störungsansatz \(g = \eta + h\) für Lösungen \(h\) der linearen Wellengleichung \(\square h = 0\) ins Spiel gebracht hat.
Vielleicht hat er sich einfach gedacht, dass erst die Theorie zu bestimmen hat, was eine GW überhaupt sein soll, bevor irgendwer behaupten kann, man habe eine beobachtet.
Okay,
\squarefunktioniert hier also nicht. Neuer Versuch:… der lineaen Wellengleichung \(\Box h = 0\) …
Chrys schrieb (14.10.2021, 12:30 o’clock):
> Wir haben uns geirrt […]
Wir ?? Ich bin nur enttäuscht davon, wie sehr meine Erwartung erfüllt wurde.
p.s.
Ich kann malen wie Pauli:
\[ {\large \sqcup \! \! \! \! \! \sqcap } \text{ !}\]
(Und an tetrahedral-oktahedral Ping-Koinzidenz-Gitter-igen Details lasse ich’s bekanntlich auch nicht fehlen. ;)
Folgende Frage habe ich zum Lösen der gewöhlichen Differentialgleichung:
Beim Umformen der Differentialgleichung definieren wir durch Integrieren ein Funktional, dass Funktionen y auf Funktionen y abbildet.
Das heißt also, es reicht die Fixpunktgleichung F(y) = y zu lösen, um die ursprüngliche Differentialgleichung zu lösen?
Dabei haben wir also nach dem Fixpunktsatz von Banach dann Erfolg, wenn die Abbildung F eine Kontraktion ist?! Wie prüft man praktisch nach, ob F eine Kontraktion ist?
Bei welchen partiellen Differentialgleichung kann man ebenfalls auf obige Strategien zurückgreifen?
Welch wohltuende Abwechslung! Nach endlosen Abschweifungen in unbekannte Gefilde (und Monaten der Stille) endlich mal wieder eine Frage zum Thema.
Ja.
Ja.
Muss man im Einzelfall nicht nachprüfen. F ist bereits dann eine Kontraktion, wenn die Funktion f, die die rechte Seite der Differenzialgleichung beschreibt, lipschitzstetig ist. Die Nachprüfung findet also bereits im Beweis des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes statt. Die Idee ist ungefähr: f lipschitzstetig heißt: Es gibt ein L mit der Eigenschaft \(||f(y_1)-f(y_2)|| \le L ||y_1-y_2|| \). Wenn \(f(y)=Ly\) wäre, dann wäre die Lösung \(y(t)=e^{Lt}\) mal eine Konstante. Verschiedene Lösungen unterscheiden sich also auch um \(e^{Lt}\) mal eine Konstante. Schlimmer kann es für ein beliebiges f mit der Lipschitzkonstante L auch nicht kommen. Dieses trompetenförmige Auseinanderstreben der Lösungen dämpft man beim Definieren der Norm auf dem Funktionenraum mit dem Faktor \(e^{-Lt}\) oder noch ein bisschen stärker. Damit hat man sich seine Kontraktion zurechtgebastelt.
Auswendig weiß ich keine. Wenn auf der rechten Seite noch Ableitungen nach x stehen, wird es mühsam mit der Lipschitzstetigkeit. Aber das Prinzip sollte nach wie vor funktionieren.