Vom Banachschen Fixpunktsatz zum Determinismus

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Diesmal möchte ich für Sie zwei lose Fäden zusammenknüpfen, die ich in früheren Posts gesponnen habe.

Zum einen die Sache mit dem Laplace’schen Dämon und dem Determinismus: Kennst du den Zustand der Welt zu einem bestimmten Zeitpunkt und die Naturgesetze, dann kennst du ihn für alle Zukunft. Diesmal soll es nicht um die Philosophie gehen, sondern um die Mathematik. Was genau kann man beweisen, und wie?

Zum anderen habe ich angefangen, die Mittel für einen solchen Beweis zurechtzulegen. Es ging darum, sich in einem unendlichdimensionalen Raum wohlzufühlen, dessen Punkte aus kompletten Funktionen bestehen, und vor allem zuzusehen, dass dieser Raum keine Löcher hat, wenn man also eine Folge von Punkten in diesem Raum hat, deren Glieder einander immer näherkommen, dass diese Folge einem eindeutigen Grenzwert zustrebt.

Präzisieren wir zunächst den Laplace’schen Allwissenheitsanspruch. Wie beschreibt man den Zustand der Welt? Durch endlich viele reelle Zahlen. Denken wir uns die Koordinaten von Ort und Geschwindigkeit aller Massenpunkte, die in der Welt herumschwirren. Das sind für einen Massenpunkt schon sechs Stück, und für eine Primitivwelt, die nur aus Sonne, Mond und Erde besteht (alle drei punktförmig!), wären es 18 Koordinaten. Für alle Elementarteilchen im Universum kommen da sehr viele reelle Zahlen zusammen. Wie man die alle zu einem bestimmten Zeitpunkt kennen soll, ist eine interessante Frage, aber die wollen wir hier beiseitelassen; die Philosophie hatten wir ja in einem anderen Blogbeitrag. Einerlei: Wir schreiben die Orts- und Geschwindigkeitskoordinaten aller Beteiligten der Reihe nach sorgfältig auf, dann haben wir das, was man im Jargon einen Vektor nennt: eine geordnete Liste von Zahlen. (Die Pfeile im Raum, die man auf der Schule als Vektoren kennenlernt, sind Listen von drei geordneten Zahlen — x-, y– und z-Koordinate; hier sind es halt etwas mehr.)

Wie beschreibt man die Naturgesetze? Durch die Kräfte, mit denen die Teilchen aufeinander wirken, im Verein mit Newtons allgegenwärtigem Gesetz „Kraft ist Masse mal Beschleunigung“. Da wir ohnehin den Zustand der Welt durch die Orte und Geschwindigkeiten der Beteiligten ausdrücken müssen, lassen sich die Naturgesetze mit Hilfe von (ersten) zeitlichen Ableitungen formulieren: Ableitung des Ortes gleich Geschwindigkeit, Ableitung der Geschwindigkeit gleich Beschleunigung gleich Kraft geteilt durch Masse. Damit nimmt das Gesetz, das die Entwicklung der Welt beschreibt, eine geradezu irreführend einfache Form an: \[y'(t)=f(y(t))\] Dabei ist y(t) der Zustandsvektor, also die oben genannte Liste aller Zahlen, die den Zustand der Welt zum Zeitpunkt t beschreibt. Die ganze Vielfalt der Naturgesetze steckt in der Funktion f, die einen Zustandsvektor, in diesem Fall y(t), auf einen anderen abbildet. Und wenn y so von der Zeit abhängt, dass tatsächlich \(f(y(t))=y'(t)\) ist, dann folgt die Welt, beschrieben durch y, den Naturgesetzen.

Wenn wir also wissen wollen, wie die Welt sich entwickeln wird, müssen wir die (vektorwertige) Funktion y(t) finden, die diese Differenzialgleichung löst. Unter der Voraussetzung, dass wir den Zustand der Welt zum Zeitpunkt t=0 kennen; nennen wir ihn y0. Das ist das, was man das Anfangswertproblem für gewöhnliche Differenzialgleichungen nennt. Und das hat in der Tat eine Lösung, und die ist eindeutig bestimmt.

Unter einer einzigen, relativ milden Voraussetzung, die für klassische Naturgesetze schon fast per definitionem erfüllt ist: „Natura non facit saltus“, die Natur macht keine Sprünge. Wenn sich Ort und/oder Geschwindigkeit eines Teilchens nur ein bisschen ändern, dann ändern sich die wirkenden Kräfte auch nur ein bisschen. Es kann nicht sein, dass man ein Teilchen nur ein beliebig kleines Stück verschiebt, und die Kraft ändert sich erheblich. Mathematisch heißt das: Die Funktion f muss stetig sein. Gefordert ist sogar eine verschärfte Form von stetig, die man lipschitzstetig nennt.

Wie beweist man nun die Existenz und die Eindeutigkeit? Bei manchen gewöhnlichen Gleichungen gibt es ein Lösungsverfahren; dessen Anwendung liefert zugleich den Beweis. Bei unseren Differenzialgleichungen funktioniert das nur in sehr exotischen Spezialfällen. Für den allgemeinen Fall gibt es immerhin eine zweitbeste Methode: ein Näherungsverfahren, das gegen eine Lösung konvergiert, und zwar immer gegen dieselbe, einerlei mit welcher (beliebig schlechten) Näherung man anfängt.

Dazu formen wir das ursprüngliche Problem ein bisschen um, indem wir es integrieren: \[y(t) = y_0+\int_0^t f(y(s))ds\]

Wie war das? Differenzieren und Integrieren sind irgendwie Umkehrungen voneinander, so wie das Dividieren die Umkehrung vom Multiplizieren ist. So ungefähr. Ein paar Einzelheiten sind komplizierter, aber die sollen uns hier nicht interessieren. Jedenfalls: Wenn man die obige Gleichung nach t differenziert, kommt wieder die ursprüngliche Differenzialgleichung heraus. Also ist die Umformung zulässig. Sie macht das Problem sogar in einem gewissen Sinne milder: Die ursprüngliche Gleichung macht nur Sinn, wenn y differenzierbar ist (was sollte sonst y’ sein?). Das verlangt die integrierte Gleichung nicht. Man kann also beide Seiten der integrierten Gleichung hinschreiben, auch wenn y irgendwelche Knicke oder Löcher hat. Dann kann zwar die Gleichung nicht erfüllt sein, aber das ist eine andere Sache.

Zudem definieren wir uns eine Funktion namens F zurecht, die Funktionen auf Funktionen abbildet. Wenn also y eine unserer vektorwertigen Funktionen ist, dann ist F(y) auch eine. Und zwar ist die definiert durch \(F(y)(t) = y_0+\int_0^t f(y(s))ds\). Wenn wir ein y gefunden haben, für das F(y) = y gilt (einen „Fixpunkt“ der Abbildung F), sind wir am Ziel; denn nichts anderes sagt unsere umgeformte Differenzialgleichung.

Unversehens sind wir in einem Funktionenraum gelandet. Alle Funktionen sind nichts weiter als Punkte in diesem Raum. Und wenn wir uns beim Definieren des Funktionenraums ein bisschen Mühe geben, ist es ein Banachraum. Was heißt das nochmal? Man kann die Elemente des Raums addieren und mit Konstanten multiplizieren — das geht auch mit Funktionen –; es gibt eine Norm, das heißt, zu jedem Element u des Raums gibt es eine reelle Zahl, die man mit ||u|| („Norm von u“) bezeichnet und die sozusagen den Abstand des Elements u von der Null beschreibt; und der Raum ist vollständig, das heißt, jede Cauchy-Folge konvergiert.

Jetzt kommt die entscheidende Idee: Wenn eine Abbildung F, die von einem Banachraum in denselben Banachraum geht, eine Kontraktion ist, dann hat sie einen eindeutig bestimmten Fixpunkt. Das ist die Aussage des Banach’schen Fixpunktsatzes. Was heißt Kontraktion? In einem gewöhnlichen Raum wäre das so etwas wie eine Verkleinerung, vielleicht noch mit einer Verschiebung oder Drehung dabei. Genauer: Wenn man zwei Punkte, nennen wir sie u und v, in dem Raum hat, dann sind deren Bilder unter der Abbildung F einander näher als die Punkte selbst: \[||F(u)-F(v)|| \leq c ||u-v|| \] mit einem „Verkleinerungsfaktor“ c < 1.

Warum gilt der Banach’sche Fixpunktsatz? Die Idee ist so einfach wie genial. Man beginne mit irgendeinem Punkt aus dem Banachraum, nennen wir ihn u0, wende die Funktion F auf ihn an, nenne das Ergebnis u1, wende darauf wieder F an, und so weiter. \(u_1=F(u_0), u_2=F(u_1)=F(F(u_0)), u_3=F(F(F(u_0))) \ldots \), jawohl, ein iteriertes Funktionensystem, wie es uns schon bei der chaotischen Blätterteigfunktion begegnet ist. Dann konvergiert die Folge \(u_0, u_1, u_2, \ldots \) gegen einen Fixpunkt von F. Wieso? F macht den Abstand zwischen zwei Punkten stets etwas kleiner, auch den zwischen einem Folgenglied uj und seinem Nachfolger uj+1. In der Tat geht wegen der Kontraktionseigenschaft \(||u_j-u_{j+1}|| = ||u_j-F(u_j)||= ||F(u_{j-1})-F(u_j)|| \) \( \leq c( ||u_{j-1}-u_j||) \) mindestens so schnell gegen 0 wie eine geometrische Folge mit dem Faktor c < 1. Also ist (uj) eine Cauchy-Folge, also hat sie einen Grenzwert, nennen wir ihn u, und für den gilt \(||u-F(u)||=0\) und deswegen auch \(u=F(u)\). Da haben wir unseren Fixpunkt. Und es kann nur einen geben; denn hätten wir zwei, dann würden wir F auf beide anwenden, was ihnen nichts ausmacht, es sind ja Fixpunkte, aber wegen der Kontraktionseigenschaft sind sie nun näher beieinander als zuvor, und das kann nur sein, wenn sie von Anfang an gleich waren. Was zu beweisen war.

OK, kurze Verschnaufpause.

Der Beweis des Banach’schen Fixpunktsatzes hat uns quasi nebenher ein Verfahren für eine Näherungslösung für unsere Differenzialgleichung geliefert: Man nehme irgendeine Funktion, egal welche, wenn sie nur in unserem Banachraum ist, wende immer wieder F auf sie an, und auf die Dauer wird das Ergebnis unserer gesuchten Lösung beliebig nahekommen. Da gibt es ein paar technische Hindernisse — ein Integral auszurechnen ist theoretisch eine schöne Sache, aber praktisch schwierig –, aber die Idee ist trotzdem durchaus brauchbar.

Nur fehlt in der ganzen Gedankenkette ein entscheidendes Glied: Woher wissen wir, dass F eine Kontraktion ist? Das versteht sich in der Tat nicht von selbst. Das Integrieren, das in dem F enthalten ist, macht eine Funktion zwar irgendwie braver; zum Beispiel ist F(y) stets eine differenzierbare Funktion, auch wenn y selbst nur stetig ist. F bügelt also allerlei Knicke aus. Aber das reicht nicht. Auch bei Differenzialgleichungen gibt es die empfindsame Abhängigkeit von den Anfangsdaten, über die ich in der Blätterteig-Geschichte erzählt habe. Infolgedessen kann es passieren, dass selbst bei zwei Funktionen u und v, die sich nicht sonderlich voneinander unterscheiden, F(u) und F(v) für große Zeiten t weit auseinanderlaufen. Das würde der Kontraktionseigenschaft widersprechen.

Also definiert man sich die Norm so zurecht, dass sie „kurzsichtig“ ist: Je größer die Zeit t wird, desto weniger genau schaut sie hin. Und wenn man das geschickt anstellt, dann stellt sich F tatsächlich als eine Kontraktion dar, und damit ist der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für das Anfangswertproblem gewöhnlicher Differenzialgleichungen bewiesen. Hurra.

Aber da bleibt ein übler Nachgeschmack. Das mit der kurzsichtigen Norm sieht doch verdächtig nach Pfusch aus. Wir schauen nicht so genau hin, damit wir nicht merken, wenn die Funktion F sich doch nicht so brav verhält, wie wir das gerne hätten, und machen deswegen uns selbst und anderen vor, es sei alles in Ordnung? Um Fehler dieser Art auszuschließen, muss man den Beweis sorgfältig führen und zum Beispiel sichergehen, dass die Norm nicht aus Versehen Ungleiches für gleich hält.

Außerdem handelt man sich mit diesem Verfahren eine Einschränkung ein. Die Existenz einer eindeutigen Lösung ist nicht für alle Zeiten garantiert, sondern nur für einen beschränkten Zeitraum. Für wie lange? Kann man so genau nicht sagen. Es kommt im Wesentlichen darauf an, wie stetig die rechte Seite f unserer Differenzialgleichung ist.

Das ist nicht so schlimm, wie es zunächst klingt. Wir haben den Zustand der Welt für den Zeitraum von t=0 bis zu einem gewissen Zeitpunkt, nennen wir ihn t1, vorhergesagt. Dann nehmen wir den so ermittelten Zustand zum Zeitpunkt t1 als Anfangswert eines neuen Problems mit derselben Differenzialgleichung, finden eine Lösung bis zu einem weiteren Zeitpunkt t2, und so weiter. Also sagen wir den Zustand der Welt gewissermaßen auf Raten vorher, bis in alle Ewigkeit.

Wenn die einzelnen Raten nicht beliebig klein werden! Die erste Prognose überdeckt eine Sekunde, die zweite eine halbe, die dritte eine viertel Sekunde … Dann ist nach zwei Sekunden das Ende der Welt erreicht, oder zumindest das Ende unserer Erkenntnismöglichkeiten.

Und das kann tatsächlich passieren. Es gibt Differenzialgleichungen, die sehen ganz brav aus, und ihre Lösung explodiert in endlicher Zeit, will sagen geht gegen unendlich — das, was man eine Singularität nennt. Nur dass es nicht mehr weitergeht, ohne dass es knallt: Das kann nicht passieren.

Zu allem Überfluss macht sogar die Natur manchmal Sprünge. Das bekannteste Beispiel ist das Gravitationsgesetz. Anziehungskraft ist proportional eins durch Abstand zum Quadrat, und wenn der Abstand gegen null geht … Ein Frontalzusammenstoß zweier Massenpunkte ist zwar ein Ereignis „mit Wahrscheinlichkeit null“, ist also auch in manchen Theorien vernachlässigbar; aber die schiere Möglichkeit vereitelt etliche allgemeine Aussagen über die Zukunft unseres Planetensystems, vor allem über dessen Stabilität — womit wiederum dem Chaos Tür und Tor geöffnet ist.

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

56 comments

  1. Zum einen die Sache mit dem Laplace’schen Dämon und dem Determinismus: Kennst du den Zustand der Welt zu einem bestimmten Zeitpunkt und die Naturgesetze, dann kennst du ihn für alle Zukunft.

    Aber nicht für die Vergangenheit.

    Zudem ist nicht diese Welt gemeint, sondern eine besondere, die für Anschauungszwecke theoretisierend bereit gestellt worden ist.
    (Der Weltbetreiber (der nicht personalisiert werden muss) kann so frei sein seine physikalisch scheinende Bearbeitung der Weltzustände bedarfsweise in jedem Moment umzustellen.)
    Das erkennende Subjekt bearbeitet zudem nicht diese Welt (direkt), sondern die Idee einer Welt – aus dem Gedächtnis : Es war Schopenhauer, der meinte, dass nicht der Hund bearbeitet wird, sondern die Idee des Hundes.

    Insofern lässt sich formalwissenschaftlich, die Mathematik als Fähigkeitslehre ist gemeint, sie entnahm ihre Axiomatiken der Natur, korrekt, über die Welt nur besser spekulieren als ohne sie.
    Sie ist Grundlage der Naturwissenschaften und erlaubt so indirekt auch Anwendungen, was se-ehr nett ist, was ihren Nutzen sozusagen täglich beweist, nur (absolut) richtig (gerichtet schon) ist diese Methode nicht.
    I.p. Determinismus ist physikalisch kein Honig zu saugen.

    MFG
    WB

    • Aber nicht für die Vergangenheit.

      Doch. Beim Anfangswertproblem für gewöhnlichen Differenzialgleichungen darf die Zeit ebenso gut vorwärts wie rückwärts laufen. Und wenn die Welt tatsächlich durch ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen erschöpfend beschreibbar wäre, dann müsste man aus ihrem gegenwärtigen Zustand nicht nur jeden zukünftigen, sondern auch jeden vergangenen rekonstruieren können. Man bestimme den Bewegungszustand jedes Moleküls im Atlantik; dann wäre man in der Lage nachzuweisen, wann und wo jener unglückliche Sklave über Bord geworfen wurde – unter anderem.
      Dass das unmöglich ist, haben die Physiker auch schon gemerkt. Sie modellieren den Atlantik und vergleichbare Systeme mit Gleichungen, die nicht zeitsymmetrisch sind und mit Theorien wie der statischen Mechanik gerechtfertigt werden (Entropie und so). Das ist ein Riesenthema für sich, und die Frage, warum die Zeit überhaupt eine Richtung hat, wird intensiv diskutiert.

      • Wenn auf aktuelle Zustände geschaut wird und die zugrunde liegenden Regelmengen für die Veränderlichkeit von Zuständen bekannt ist, gibt es auf die Vergangenheit bezogen keine Eindeutigkeit, es kann nicht “zurückgerechnet” werden, es sei denn, es wird ein (sehr großer) “Range” von möglicherweise zuvor bestehenden Zuständen in Kauf genommen.

        Es gibt hier wohl auch mathematische Fachbegriffe, Dr. W hat sie als Nicht-Mathematiker nicht zur Hand.

        Irgendwas mit nicht umkehrbaren Funktionen ist gemeint, Eindeutigkeit von Ergebnis auf die Parametrierung bezogen dieser Funktionen meinend.
        Es ist auch möglich mit den Mitteln der Kombinatorik hier Beispiele zu benennen.

        Gemeint worden sein muss irgendwie anders.

        • Ich widerspreche ja nur ungern, aber es hilft nichts: Das Anfangswertproblem für gewöhnliche Differenzialgleichungen ist vorwärts wie rückwärts lösbar.
          Für Herrn Laplace übrigens kein ernsthaftes Problem: Die Vergangenheit ist ja (im Prinzip) bekannt und auf jeden Fall eindeutig bestimmt. Dass unser gegenwärtiger Zustand mehrere denkbare Vergangenheiten hätte – ziemlich absurde Idee, oder?
          Im Gegensatz zu den hier behandelten kontinuierlichen Systemen ist eine unbestimmte Vergangenheit bei diskreten Systemen (\(x_{n+1}=f(x_n)\), die Systeme, von denen ich bei der Blätterteigtransformation erzählt habe) durchaus möglich und sogar die Regel, wenn die Iterationsfunktion f nicht eindeutig umkehrbar (bijektiv) ist. Und das ist nicht nur bei der Blätterteigfunktion der Fall, sondern bei so ziemlich allen interessanten Funktionen.

          • Jaja, Herr Dr. Pöppe, Sie sind sehr nett, vielen Dank für Ihre Toleranz, für Dilettantentum und Interdisziplinarität.
            In concreto kann Dr. Webbaer Ihre Essays nicht bearbeiten, Sie arbeiten ja schon seit einiger Zeit sozusagen daran die Welt und bestimmte ihrer Einstellungen politisch-mathematisch nachvollziehbar werden zu lassen, bisher meist ohne Zuspruch des Schreibers dieser Zeilen.

            Sondern nur im Denkmöglichen :
            Also es ist so, es scheint so zu sein, dass Sie die(se) Welt als (dem hier gemeinten Hominiden) mathematisierbar betrachten, keine schlechte Idee aus diesseitiger Sicht, vielleicht falsch, abär nachvollziehbar.

            Es ist so, dass mathematische Funktionen nur unter bestimmten Bedingungen erlauben vom Ergebniswert auf die (einstmals erfolgte) Parametrisierung der Funktion zu folgern.
            Es gibt für diese Eigenschaft von Funktionen auch einen Namen, der benannt werden könnte, Dr. Webbaer hat ihn nicht zur Hand.
            Es kann grundsätzlich nicht wie gemeint rückwärts gerechnet werden.

            Einige Funktionen leisten aber so.
            Sie fordern in Ihrem dankenswerterweise bereit gestellten Re-Feedback bestimmte Funktionalität des Weltsystems an.
            Mehr scheint nicht los zu sein.


            Ansonsten, Sie bewerben ja den Determinismus, weil anderes auch nicht vorstellbar ist. (Echter Zufall kann nicht mathematisiert werden, Zufallsgeneratoren haben sich, leider sozusagen, eine Schnittstelle zur Physik, zur Natur, zu suchen, um sich zu initialisieren.)

            Den Welt-Determinismus.
            Dem nachgespürt werden kann, in der Hoffnung, dass irgendwann sozusagen eine Weltformel bereit steht (mit der gar rückwärts gerechnet werden kann), tja, vielleicht ist dies möglich , als Forderung oder als behauptete Tatsache bleibt sie per se unfalsifizierbar und auch unverifizierbar,
            Sie stellen sozusagen perfekte Metaphysik bereit, nicht schlecht.
            Kann damit gut gearbeitet werden?

            Mit freundlichen Grüßen
            Dr. Webbaer (der Sie hoffentlich näherungsweise verstanden hat, ansonsten gerne noch mal klopfen)

  2. In https://www.spektrum.de/kolumne/freistetters-formelwelt-das-bizarre-kuppel-paradox/1878964 hat Florian Freistetter das Kuppelparadox vorgestellt. Ein Ball befindet sich auf der Spitze einer (rotationssymmetrischen) Kuppel. Nach unbestimmter(!) Zeit rollt er auf irgendeiner Seite herunter (auch als spontane. Symmetriebrechung bekannt). Es ist die einfache Zeitumkehrung eines Vorgangs, der völlig ok erscheint: Ein Ball bekommt gerade soviel kinetische Energie, dass er es bis auf die Sitze der Kuppel schafft, dann ist diese vollständig in potentielle Energie umgewandelt und der Ball verharrt im labilen Gleichgewicht. Merke: In der klassischen reibungslosen Mechanik sind alle Bewegungen zeitumkehrbar. Das Beispiel zeigt, wie Florian Freistetter bemerkt, dass die klassische Mechanik doch ein Moment der Indeterminiertheit hat. Ich verstehe aber im Moment nicht, wie sich das mit der hier präsentierten Ableitung verträgt, wo ist der Haken/Denkfehler oder die versteckte Annahme? (Abgesehen vom Chaos, dass mathematisch eine Unstetigkeit darstellt, weswegen man in diesem Fall die Ausgangsparameter unendlich genau kennen muss und die Entwicklung ohne jeden Fehler berechnen müsste)

  3. Ein Ball befindet sich auf der Spitze einer (rotationssymmetrischen) Kuppel. Nach unbestimmter(!) Zeit rollt er auf irgendeiner Seite herunter (auch als spontane Symmetriebrechung bekannt).

    Wer platziert denn den Ball so genau? Wie sollte das funktionieren? Wie man es auch anstellt wird er nie exakt im Maximum des Pontentials zu liegen kommen und daher sofort losrollen.

  4. @Ernst Sauerwein / 30.06.2021, 23:44 o’clock

    »Ich verstehe aber im Moment nicht, wie sich das mit der hier präsentierten Ableitung verträgt, wo ist der Haken/Denkfehler oder die versteckte Annahme?«

    Norton’s dome ist ja nicht irgendeine (rotationssymmetrische) Kuppel, sondern mit Bedacht so konstruiert, dass die im Blogtext genannte Bedingung “lipschtzstetig” für die Bewegungsgl. mit der Anfangsbedingung “am Scheitelpunkt der Kuppel ruhend” verletzt ist, sodass dieses Anfangswertproblem keine eindeutige Lösung hat.

    Newton und Laplace wussten noch nichts über die Bedingungen, welche die Existenz sowie Eindeutigkeit von Lösungen für Anfangswertprobleme garantieren. Die Einsichten dazu stammen aus dem späteren 19. Jhdt.

    Im übrigen halte ich die Bezeichnung “Kuppel-Paradox” für ziemlich verfehlt und irreführend. Denn an Noton’s Dome ist bei genauer Betrachtung überhaupt nichts paradox.

  5. Die Natur ist viel zu komplex, als dass sie etwas Anderes als eine Approximation vertragen würde. (John von Neumann)
    Empirische Ergebnisse in eine Formel zu “pressen” das tun die Physiker.
    Dann von Determinismus zu reden, das machen dann die Philosophen, die die Physik nur halb verstehen.
    Die Iteration ist eine neuzeitliche Methode, die es einem Computer erlaubt schnell und genau zu einem Ergebnis zu kommen.

    • Ihr Link ist bestimmt sehr informativ. Mein Englisch weniger.

      Papa meinte in den Fünfzigern: “Englisch lesen und sprechen können ist wichtig. Russisch braucht keiner.” Recht hat er behalten.

      Als Österreicher habe ich die Deutschen überschätzt und brauchte Jahrzehnte um zu kapieren. Was der gemeine Deutsche von sich gibt muss man nicht mit aller Anstrengung zu entschlüsseln versuchen. Es ist einfacher Englisch zu lernen und zu verstehen.

  6. K.M.
    Der gemeine Österreicher stammt von dem gemeinen Deutschen ab.
    Die Habsburger haben es geschafft, eine eigene Identität aufzubauen.
    Und sie waren erfolgreich. Schrödinger, Freud, Karl Schranz, Bruno Kreisky die sind immer noch vorzeigbar.

    Wenn es trotzdem nicht gelingt die Deutschen zu “entschlüsseln”, dann sind wir bei dem Problem von dem Küken und der Henne. Die Henne hat einfach mehr Erfahrung.

  7. Christoph Pöppe schrieb (30. Jun 2021):
    > […] den Laplace’schen Allwissenheitsanspruch. Wie beschreibt man den Zustand der Welt? Durch endlich viele reelle Zahlen. […] Massenpunkte, die in der Welt herumschwirren. […] Wie man die alle zu einem bestimmten Zeitpunkt kennen soll, ist eine interessante Frage, aber die wollen wir hier beiseitelassen; die Philosophie hatten wir ja in einem anderen Blogbeitrag [ https://scilogs.spektrum.de/hlf/laplace-die-karnickel-und-das-chaos/ ]

    Im genannten SciLog-Beitrag (Christoph Pöppe, 03. Sep 2020) “hatten wir” allerdings ein “Mini-Universum” (bzw. mehrere verschiedene, durch \(k\) parametrisierte “Mini-Universen”), und (jeweils) lediglich eine “Iterationsfunktion” als entsprechendes “Naturgesetz”;
    adaptiert an die Notation des obigen SciLog-Beitrags also

    – mehrere verschiedene geordnete (abzählbare) Mengen

    \[ \mathcal Y^k \equiv \{ y^k_j\}_{j = 0}^{\infty} \]

    – und mehrere Iterations-Funktionen

    \[f^k_{\text{iter}} : \mathcal Y^k \rightarrow \mathcal Y^k, \qquad f^k_{\text{iter}}[ \, y^k_j \, ] \mapsto y^k_{j + 1}. \]

    Die interessante Frage, “Wie man die [ Komponenten-Werte \(y^k[ \, t \, ] \) ] alle[r] [ Zustandskomponenten \(y^k\) des Gesamt-Zustandesvektors \(y\) des Universums ] zu einem bestimmten Zeitpunkt [ \(t\) ] kennen soll”, hat deshalb einen (womöglich besonders interessanten) Aspekt, den ich hier als ausdrückliche Einzel-Frage formulieren möchte:

    Gegeben geordnete (meinetwegen jeweils abzählbare) Mengen \( \mathcal Y^k \) von Zustands-Zahlen, die insbesondere verschiedene, mit Parameterwert \(k\) identifizierte “Massenpunkte” betreffen, wie ist aus jeder jeweils ein bestimmtes Element, Wert \(y^k_\{tau^k} \in \mathcal Y^k \), auszuwählen, um diese zu einem Wert des Gesamt-Zustandesvektors mit einem einzigen gemeinsamen Wert des \(t\)-Parameters zusammenzufassen; d.h. so dass
    \(y[ \, t \, ] \equiv \{ y^k_\{tau^k} \}\)
    ?

    > […] Die Existenz einer eindeutigen Lösung [ \(f\) ] ist nicht für alle Zeiten garantiert, sondern […]

    Kann die jeweilige Lösung \(f\) insbesondere davon abhängen, genau welche einzelnen Werte \(y^k_\{tau^k}\) zu einem Gesamt-Wert \(y[ \, t \, ] \) zusammengefasst würden ?

  8. Christoph Pöppe schrieb (30. Jun 2021):
    > […] den Laplace’schen Allwissenheitsanspruch. Wie beschreibt man den Zustand der Welt? Durch endlich viele reelle Zahlen. […] Massenpunkte, die in der Welt herumschwirren. […] Wie man die alle zu einem bestimmten Zeitpunkt kennen soll, ist eine interessante Frage, aber die wollen wir hier beiseitelassen; die Philosophie hatten wir ja in einem anderen Blogbeitrag [ https://scilogs.spektrum.de/hlf/laplace-die-karnickel-und-das-chaos/ ]

    Im genannten SciLog-Beitrag (Christoph Pöppe, 03. Sep 2020) “hatten wir” allerdings ein “Mini-Universum” (bzw. mehrere verschiedene, durch \(k\) parametrisierte “Mini-Universen”), und (jeweils) lediglich eine “Iterationsfunktion” als entsprechendes “Naturgesetz”;
    adaptiert an die Notation des obigen SciLog-Beitrags also

    – mehrere verschiedene geordnete (abzählbare) Mengen

    \[ \mathcal Y^k \equiv \{ y^k_j\}_{j = 0}^{\infty} \]

    – und mehrere Iterations-Funktionen

    \[f^k_{\text{iter}} : \mathcal Y^k \rightarrow \mathcal Y^k, \qquad f^k_{\text{iter}}[ \, y^k_j \, ] \mapsto y^k_{j + 1}. \]

    Die interessante Frage, “Wie man die [ Komponenten-Werte \(y^k[ \, t \, ] \) ] alle[r] [ Zustandskomponenten \(y^k\) des Gesamt-Zustandesvektors \(y\) des Universums ] zu einem bestimmten Zeitpunkt [ \(t\) ] kennen soll”, hat deshalb einen (womöglich besonders interessanten) Aspekt, den ich hier als ausdrückliche Einzel-Frage formulieren möchte:

    Gegeben geordnete (meinetwegen jeweils abzählbare) Mengen \( \mathcal Y^k \) von Zustands-Zahlen, die insbesondere verschiedene, mit Parameterwert \(k\) identifizierte “Massenpunkte” betreffen, wie ist aus jeder jeweils ein bestimmtes Element, Wert \( y^k_{tau^k} \in \mathcal Y^k \), auszuwählen, um diese zu einem Wert des Gesamt-Zustandesvektors mit einem einzigen gemeinsamen Wert des \(t\)-Parameters zusammenzufassen; d.h. so dass
    \( y[ \, t \, ] \equiv \{ y^k_{tau^k} \} \)
    ?

    > […] Die Existenz einer eindeutigen Lösung [ \(f\) ] ist nicht für alle Zeiten garantiert, sondern […]

    Kann die jeweilige Lösung \(f\) insbesondere davon abhängen, genau welche einzelnen Werte \(y^k_{tau^k}\) zu einem Gesamt-Wert \(y[ \, t \, ] \) zusammengefasst würden ?

    • Vorsicht, Begriffsverwirrung!
      Mein Beitrag zu den Karnickeln handelt von einem diskreten dynamischen System. Wir haben einen Zustand zum Zeitpunkt t, und aus diesem errechnet sich (mittels Iterationsfunktion) der Zustand zum Zeitpunkt t+1. Was in der Zwischenzeit passiert, wissen wir nicht und wollen es auch gar nicht wissen. Dass eine Lösung dieses Systems existiert, ist in aller Regel unproblematisch. Es genügt zum Beispiel, dass die Iterationsfunktion f auf allen reellen Zahlen definiert ist und reelle Werte annimmt. Im Gegensatz zu den kontinuierlichen dynamischen Systemen (Differenzialgleichungen), von denen im aktuellen Beitrag die Rede ist, gibt es also eigentlich nichts zu beweisen.
      Das gilt auch dann noch, wenn der Systemzustand ein mit k parametrisiertes Kontinuum ist oder, weniger bombastisch ausgedrückt, eine Funktion von k. Darauf läuft Ihre Frage hinaus. Die Lösung existiert ohne Zweifel für alle Zeiten. Aber besonders schön sieht sie nach wenigen Zeitschritten schon nicht mehr aus.

  9. Christoph Pöppe schrieb (13.07.2021, 14:37 o’clock):
    > Vorsicht, Begriffsverwirrung! […]

    Vorsicht ist ja immer ratsam …
    Ich hatte auf das diskrete Beispiel Bezug genommen, um meine Fagestellung samt dazu geeigneter Notation zu motivieren;
    zumal “wir die Philosophie” (oder eher: die Grundlagen-Physik) dort angeblich schon “gehabt” hätten.

    Wenn dieses Vorgehen aber eher verwirrt, als hilfreich zu sein, dann eben bitte nocheinmal bezogen ausschließlich auf den oben vorliegenden SciLog-Beitrag:

    > […] Liste aller Zahlen, die den Zustand der Welt zum Zeitpunkt \(t\) beschreibt. […]

    Wir betrachten also \(k\) identifizierbare, unterscheidbare “Massenpunkte”; und wir betrachten eine Menge \(\mathcal Y \equiv \{ y[ \, t \, ] \}_{(t \in \mathbb R)} \) von Listen \(y\), die jeweils einen reellen Zahlenwert als Index \(t\) haben und in denen jeweils bestimmte “Zustands”-Zahlen aufgelistet sind.

    Wesentlich ist, dass sich jede dieser Listen wiederum eindeutig in einzelne (disjungierte) “Zustands”-Anteile \(y^k\) gliedern (partitionieren) lässt;
    ganz anders als beispielsweise ein metrischer Raum.

    Demnach lassen sich die Mengen \(\mathcal Y^k \equiv \{ y^k[ \, t \, ] \}_{(t \in \mathbb R)} \) einzeln betrachten;
    und die jeweiligen “Zustands”-Anteile \(y^k\) lassen sich einzeln (um-)parametrisieren
    (wobei die jeweilige Umparametrisierungs-Funktion
    \( t^k : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \)
    durchaus streng monoton steigend und sogar stetig sein mag).

    Wenn also eine Familie \( \{ \mathcal Y^k \} \) von einzeln parametrisierte Mengen
    \(\mathcal Y^k \equiv \{ y^k[ \, t^k \, ] \}_{(t^k \in \mathbb R)} \)
    formal gegeben ist
    (wobei ich wohl einen gewissen Notations-Missbrauch begangen habe, den abzustellen ich z.B. die Hilfe eines Mathematikers gut brauchen könnte),
    dann steht die Frage, wie welche Elemente aus den einzelnen Mengen \(\mathcal Y^k \) auszuwählen sind, um gemeinsam die “Zustands”-Anteile jeweils ein-und-der-selben Liste \( y[ \, t \, ] \) zu bilden.

    Oder rein verbal (unter Voraussetzung von entsprechend definierter Terminologie, oder eher: um die betreffenden vermuteten Definitionen überhaupt erst zu erfragen):

    Wie lassen sich “Zustands”-Anteile verschiedener “Massenpunkte” finden, die den selben “Zeitpunkt” betreffen ?

    Und (insbesondere falls zumindest einige der “Zustands”-Anteile \(y^k\) nicht konstant wären, sondern
    \(\exists t^k_{\alpha}, t^k_{\beta} \in \mathbb R \, | \, y^k[ \, t^k{\alpha} \, ] \ne y^k[ \, t^k{\beta} \, ]) —

    Hängt die (o.g., jeweils zweifellos existierende) “Lösung \(f\)” davon ab, wie bzw. welche Elemente aus den einzelnen Mengen \(\mathcal Y^k \) jeweils ausgewählt werden, die gemeinsam die “Zustands”-Anteile einer bestimmten Liste \( y[ \, t \, ] \) für jeweils einen bestimmten Index-Wert \(t\) bilden ?

    • […] Und (insbesondere falls zumindest einige der “Zustands”-Anteile \(y^k\) nicht konstant wären, sondern
      \(\exists t^k_{\alpha}, t^k_{\beta} \in \mathbb R \, | \, y^k[ \, t^k{\alpha} \, ] \ne y^k[ \, t^k{\beta} \, ]\)) — […]

      • […] Und (insbesondere falls zumindest einige der “Zustands”-Anteile \(y^k\) nicht konstant wären, sondern \(\exists \, t^k_{\alpha}, t^k_{\beta} \in \mathbb R \, | \, y^k[ \, t^k_{\alpha} \, ] \ne y^k[ \, t^k_{\beta} \, ]\)) — […]

        • Ich habe immer noch Verständnisprobleme. Wenn Sie von Listen y[t] reden, die mit einem (reellen) Index t parametrisiert sind, dann würde ich schlicht von Funktionen y(t) sprechen (und runde Klammern verwenden). Da fürchte ich, Sie meinen eigentlich etwas anderes, komme aber nicht darauf, was.
          Ein “Zustandsanteil” wäre zum Beispiel so etwas wie ein Massenpunkt, richtig? Ja, es gibt Gelegenheiten, bei denen man einen Massenpunkt oder auch ein Ensemble von Massenpunkten separat betrachten kann– nämlich dann, wenn sie nicht mit anderen wechselwirken.
          Aber jetzt führen Sie für jeden Zustandsanteil eine eigene Zeitrechnung ein. Können Sie machen; ist sogar sinnvoll, wenn man den Singularitäten (zwei Massenpunkte prallen frontal aufeinander) aus dem Wege gehen will. Aber was ist, wenn sich zwei Zustandsanteile mit verschiedener Zeitrechnung begegnen? Vor allem: Wann ist das? Dann muss man die verschiedenen Uhren ineinander umrechnen. Wozu hat man sie dann überhaupt erst eingeführt?
          Wenn Sie jetzt an die Relativitätstheorie denken, wo jedes Bezugssystem seine Eigenzeit hat und so: falsche Baustelle! In dem Kontext, den ich dargestellt habe, gibt es nur eine alles übergreifende Zeit, und von der ist auch nicht abzukommen. Einsteins Konzepte brauchen eine komplett neue Theorie.

  10. Christoph Pöppe schrieb (14.07.2021, 12:56 o’clock):
    > […] Verständnisprobleme. Wenn Sie von Listen […] reden, die mit einem (reellen) Index t parametrisiert sind, dann würde ich schlicht von Funktionen […] sprechen

    Den Begriff “Liste” (für \(y\)) habe ich ja dem obigen SciLog-Beitrag entnommen, und zitiert.

    Eine einzelne solche Liste kann man gewiss jeweils auch als eine (nicht unbedingt bijektive) Funktion bezeichnen; entsprechend dem Schema

    \[ \text{Auflistungs-Funktion} : \text{Teilmenge der natürlichen Zahlen} \longrightarrow \text{Menge aller verschiedenen gelisteten Elemente}. \]

    Im Unterschied dazu kann man auch von Funktionen sprechen, deren Wertebereich (Bildmenge, Zielmenge) die Menge aller in Frage kommenden (verschiedenen) Listen ist; etwa

    \[ \text{Parametrisierung} : \text{Menge der Parameterwerte} \longrightarrow \text{Zielmenge}. \]

    Ich habe vermutlich auch darin einen Fehler begangen, \(t\) einen “Index” anstatt (nur) einen “Parameter” zu nennen, denn es versteht sich vermutlich, dass ein “Index” umkehrbar eins-zu-eins abbildet:

    \[ \text{Index-Funktion} : \text{Indexmenge} \longleftrightarrow \text{Zielmenge}. \]

    > (und runde Klammern verwenden [um Argumente einer Funktion einzuschließen])

    Das, wiederum, würde ich jedenfalls vermeiden, sondern mich, sofern erlaubt, stets an die Mathematica-Konvention zur Klammerung halten (Argumente also stets in eckige Klammern einschließen, und runde Klammern in mathematischen Ausdrücken weitgehend nur für Priorisierung benutzen).

    > […] In dem Kontext, den ich dargestellt habe, gibt es nur eine alles übergreifende Zeit, und von der ist auch nicht abzukommen.

    Vor allem darauf wollte ich mit meiner Fragestellung hinaus. Der obige SciLog-Beitrag ist also auch insbesondere in diesem Aspekt der “dämonischen Epoche” verhaftet, die von der aufgeklärten Physik längst verlassen, längst überwunden wurde.

    p.s.
    > […] Ein “Zustandsanteil” wäre zum Beispiel so etwas wie ein Massenpunkt, richtig?

    Ein o.g. “Zustandsanteil”, \(y^k\), wären jeweils insbesondere die im Artikel genannten “sechs Stück” reelle Zahlen, die sich auf einen bestimmten “Massenpunkt” \(k\) beziehen.

    > […] Aber jetzt führen Sie für jeden Zustandsanteil eine eigene Zeitrechnung ein.

    Ganz recht — einem (einzelnen) “Massenpunkt”, als auch einem bestimmten seiner konkreten “Zustandsanteile” (am “Zustand der Welt” insgesamt) sieht man irgendeinen konkreten, insbesondere als reell-wertig verstandenen “übergreifenden Zeitpunkt \(t\)” nun mal nicht an.

    > […] Aber was ist, wenn sich zwei Zustandsanteile mit verschiedener Zeitrechnung begegnen? Vor allem: Wann ist das? […] Einsteins Konzepte brauchen eine komplett neue Theorie.

    Jedenfalls befasst sich Einsteins Relativitätstheorie mit diesen Themen schon vom Ansatz her (und ist damit komplett anders und besser als die überkommene “Dämonen-Physik”);
    und ich erlaube mir (als Bonus), dazu noch Einzelheiten aufzulisten:

    – indem 1916 von Einstein selbst formuliert:
    »alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen […] stets auf Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinauslaufen; [nämlich insbesondere auf gegebene Auflistungen von] Begegnungen materieller Punkte.«, und

    – indem die unterscheidbaren Anteile der verschiedenen Beteiligten an jeweils einem solchen Koinzidenz-Ereignis jeweils an sich unterschieden und berücksichtigt werden (in Einsteins anfänglicher Formulierung 1905:
    »[… dass] ich an Stelle der “Zeit” die “Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr” [oder allgemeiner: “Anzeige”] setze.«);
    unabhängig von der Zuordnung irgendwelcher Parameter, Koordinaten oder Ablesewerte \(t\) oder Ähnliche.

  11. Christoph Pöppe schrieb (14.07.2021, 12:56 o’clock):
    > […] Verständnisprobleme. Wenn Sie von Listen […] reden, die mit einem (reellen) Index t parametrisiert sind, dann würde ich schlicht von Funktionen […] sprechen

    Den Begriff “Liste” (für \(y\)) habe ich ja dem obigen SciLog-Beitrag entnommen, und zitiert.

    Eine einzelne solche Liste kann man gewiss jeweils auch als eine (nicht unbedingt bijektive) Funktion bezeichnen; entsprechend dem Schema

    \[ \text{Auflistungs-Funktion} : \\
    \text{Teilmenge der natürlichen Zahlen} \longrightarrow \text{Menge aller verschiedenen gelisteten Elemente}. \]

    Im Unterschied dazu kann man auch von Funktionen sprechen, deren Wertebereich (Bildmenge, Zielmenge) die Menge aller in Frage kommenden (verschiedenen) Listen ist; etwa

    \[ \text{Parametrisierung} : \text{Menge der Parameterwerte} \longrightarrow \text{Zielmenge}. \]

    Ich habe vermutlich auch darin einen Fehler begangen, \(t\) einen “Index” anstatt (nur) einen “Parameter” zu nennen, denn es versteht sich vermutlich, dass ein “Index” umkehrbar eins-zu-eins abbildet:

    \[ \text{Index-Funktion} : \text{Indexmenge} \longleftrightarrow \text{Zielmenge}. \]

    > (und runde Klammern verwenden [um Argumente einer Funktion einzuschließen])

    Das, wiederum, würde ich jedenfalls vermeiden, sondern mich, sofern erlaubt, stets an die Mathematica-Konvention zur Klammerung halten (Argumente also stets in eckige Klammern einschließen, und runde Klammern in mathematischen Ausdrücken weitgehend nur für Priorisierung benutzen).

    > […] In dem Kontext, den ich dargestellt habe, gibt es nur eine alles übergreifende Zeit, und von der ist auch nicht abzukommen.

    Vor allem darauf wollte ich mit meiner Fragestellung hinaus. Der obige SciLog-Beitrag ist also auch insbesondere in diesem Aspekt der “dämonischen Epoche” verhaftet, die von der aufgeklärten Physik längst verlassen, längst überwunden wurde.

    p.s.
    > […] Ein “Zustandsanteil” wäre zum Beispiel so etwas wie ein Massenpunkt, richtig?

    Ein o.g. “Zustandsanteil”, \(y^k\), wären jeweils insbesondere die im Artikel genannten “sechs Stück” reelle Zahlen, die sich auf einen bestimmten “Massenpunkt” \(k\) beziehen.

    > […] Aber jetzt führen Sie für jeden Zustandsanteil eine eigene Zeitrechnung ein.

    Ganz recht — einem (einzelnen) “Massenpunkt”, als auch einem bestimmten seiner konkreten “Zustandsanteile” (am “Zustand der Welt” insgesamt) sieht man irgendeinen konkreten, insbesondere als reell-wertig verstandenen “übergreifenden Zeitpunkt \(t\)” nun mal nicht an.

    > […] Aber was ist, wenn sich zwei Zustandsanteile mit verschiedener Zeitrechnung begegnen? Vor allem: Wann ist das? […] Einsteins Konzepte brauchen eine komplett neue Theorie.

    Jedenfalls befasst sich Einsteins Relativitätstheorie mit diesen Themen schon vom Ansatz her (und ist damit komplett anders und besser als die überkommene “Dämonen-Physik”);
    und ich erlaube mir (als Bonus), dazu noch Einzelheiten aufzulisten:

    – indem 1916 von Einstein selbst formuliert:
    »alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen […] stets auf Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinauslaufen; [nämlich insbesondere auf gegebene Auflistungen von] Begegnungen materieller Punkte.«, und

    – indem die unterscheidbaren Anteile der verschiedenen Beteiligten an jeweils einem solchen Koinzidenz-Ereignis jeweils an sich unterschieden und berücksichtigt werden (in Einsteins anfänglicher Formulierung, 1905:
    »[… dass] ich an Stelle der “Zeit” die “Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr” [oder allgemeiner: “Anzeige”] setze.«);
    unabhängig von der Zuordnung irgendwelcher Parameter, Koordinaten oder Ablesewerte \(t\) oder Ähnliche.

    • OK, ich glaube, wir kommen Ihrem Anliegen näher.
      Erstmal noch ein Tipp zur Bezeichnungsweise: Wenn Sie einen “Index” oder “Parameter” oder so etwas t nennen, denkt jeder erstmal an die Zeit (ich auch). Das haben Sie nicht gemeint, wie mir inzwischen klar ist.
      Ich glaube inzwischen, dass Ihr t ein Index sein soll, mit dem die (zahlreichen) Variablen unseres Systems nummeriert werden. Wenn man sich unter den Komponenten des Systems Massenpunkte (Elementarteilchen oder so) vorstellt, dann ist jeder Massenpunkt mit sechs reellen Variablen in dieser Sammlung vertreten, also ist es vielleicht sinnvoll, Indizes zu verwenden, die jeweils sechs reelle Variable zusammenfassen. Das kann man sich ohne weiteres zurechtdefinieren.
      Es ist üblich, Indizes klein und untendran zu schreiben. Klein und obendran, wie Sie es gemacht haben, kommt vor, ist aber selten (eigentlich ist der Platz klein und obendran den Exponenten (Hochzahlen) vorbehalten). In der Quantenmechanik unterscheidet man zwei verschiedene Arten von Vektoren daran, dass die einen den Index (für ihre Koordinaten) unten tragen, die anderen oben. Und die Einsteinsche Summationskonvention arbeitet ebenfalls mit oberen und unteren Indizes.
      Die Mathematica-Konvention für einen Index (genauer: die Nummer eines Elements in einer Liste) ist “doppelte eckige Klammer”. Aus der internen Logik von Mathematica gut begründet, aber schrecklich unhandlich; kommt deshalb außerhalb von Mathematica praktisch nicht vor.
      Nach der Rumkrittelei an Ihrer Bezeichnungsweise endlich zur Sache: Ja, die Beschreibung der Welt durch ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen ist (jedenfalls in der von mir vorgestellten vereinfachten Form) veraltet. Man muss dafür nämlich nicht nur an eine absolute Zeit, sondern auch einen absoluten Raum glauben. Beides ist seit Einstein nicht mehr Stand des Wissens.
      Nur: Auch in der Relativitätstheorie beschreibt man die Zustandsänderung der Welt mit deterministischen Gleichungen. Nur ist das alles viel schwieriger.

      • Auch in der Relativitätstheorie beschreibt man die Zustandsänderung der Welt mit deterministischen Gleichungen.

        Genau, insofern können Einsteinsche, möglicherweise auch tautologische Aussagen (‘lle unsere zeiträumlichen Konstatierungen […] stets auf Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinauslaufen; [nämlich insbesondere auf gegebene Auflistungen von] Begegnungen materieller Punkte’, Zitat : Frank Wappler) als nebensächlich für unsere kleine Erörterung betrachtet werden.

    • @Frank Wappler / 14.07.2021, 19:07 o’clock

      Falls es Dich — oder gegebenenfalls noch sonst noch jemanden — interessieren sollte, Marco Giovanellis (bis anhin nur als Preprint erhältliche) Abhandlung zu Einsteins kryptischer Bemerkung über Koinzidenzen ist jüngst in publizierter Form erschienen (open access):

      Giovanelli, M. (2021). Nothing but coincidences: the point-coincidence and Einstein’s struggle with the meaning of coordinates in physics. Eur. J. Philos. of Sci., 11(2), 1-64. DOI: 10.1007/s13194-020-00332-7

      Falls Einstein 1916 damit tatsächlich in einer Art von postivistischem Anfall gemeint haben sollte, “alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen” sollten auf Protokollsätze über Koinzidenzen zurückführbar sein, so hat das bei ihm selbst jedenfalls nicht sonderlich lange und intensiv nachgewirkt.

  12. @ Dr. Webbaer:

    Also es ist so, es scheint so zu sein, dass Sie die(se) Welt als (dem hier gemeinten Hominiden) mathematisierbar betrachten, keine schlechte Idee aus diesseitiger Sicht, vielleicht falsch, abär nachvollziehbar.

    Vorsicht! Ich sehe mich vorrangig als Journalist, genauer: als jemand, der Dinge erklärt und seine persönliche Meinung nach Möglichkeit beiseite lässt. Aber wenn Sie mich so konkret auf meine Überzeugungen ansprechen, will ich nicht zögern, Ihre Vorstellungen zurechtzurücken.
    Ob ich die Welt – so richtig insgesamt – für mathematisierbar halte? Au weia. “Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben”, sagt Galilei. Das stimmt, sagen wir, für einen Teil der Natur. Die absoluten Vorstellungen, die manche Philosophen damit verbunden haben: Man könne mit Mathematik alle Zukunft vorhersagen und/oder die Welt beherrschen, halte ich für unhaltbar.
    Insbesondere bin ich kein Advokat des Determinismus. Nicht vergessen: Angefangen hat meine ganze Schreiberei mit der Chaostheorie. Deterministisches Chaos ist zwar, wie der Name sagt, deterministisch, aber macht jede Vorhersage unmöglich, was dem Determinismus einen wesentlichen Teil seiner Zähne zieht.
    Wenn ich mit der ganzen Geschichte über den Banachschen Fixpunktsatz die mathematische Grundlage für den Determinismus referiere, dann auch, um die Grenzen dieses Satzes zu zeigen. Und die sind ja in der Diskussion auch deutlich zutage getreten.

    • Die Mathematik meint ja das Lernen des erkennenden Subjekts, insofern liegt es nicht nahe, dass die(se) Welt umfänglich mathematisierbar ist, es kann aber so behauptet werden.
      Unwiderlegbar, unfalsifizierbar, denn klappt es nicht, kann die Mathematik angepasst werden, dann klappt es bestimmt, ganz sicher.
      BTW, ein Rechner, der sozusagen so groß ist wie die(se) Welt, könnte, nach einigem Rechnen, dann die(se) Welt trotz ihrer hohen Komplexität, ihr sozusagen Chaos meinend, dann doch vorherberechnen, im deterministischen Sinne, insofern ist Dr. Webbaer mit der ‘Unmöglichkeit jeder Vorhersage’ vorsichtig.
      Vielen Dank für Ihre Ergänzungen, Herr Pöppe, sehr nett und nachvollziehbar und so.
      MFG
      WB

  13. Dr. Webbaer
    Die Mathematik ist eine Sprache, so wie die Noten in der Musik eine Sprache sind, aber die Musik ist mehr als die Sprache.
    Mit einer Sprache lässt sich eine Sache beschreiben und erklären und wenn die Redundanz groß genug ist, dann entsteht Raum für Interpretationen.

    Wenn man eine mathematische Formel entwickelt, dann entspricht das Satzaussagen. Und für jedes Objekt schreibt man eine Abkürzung, das ist der Vorteil der Formel gegenüber mehreren Satzaussagen.

    Und eine sprachliche Aussage muss sich nicht mit der physikalischen Realität decken.
    So hat man früher gesagt, die Welt besteht aus den 4 Elementen. Feuer, Wasser, Luft und Erde.
    Eine mathematische Rechnung muss sich nicht mit der Wirklichkeit decken.
    1l Wasser + 1l Schwefelsäure ergibt mathematisch 2 l verdünnte Schwefelsäure.
    Physikalisch stimmt das aber nicht. Es ergibt nur 1,8l verdünnte Schwefelsäure.
    Komisch oder ? Ich wollte damit nur die Glaubwürdigkeit der Mathematik ein wenig erschüttern.

    Die Aussage: Die Welt ist mathematisch , die ist einfach zu ungenau.

  14. Die Mathematik meint die Fähigkeitslehre, die von einzelnen Fachdisziplinen abgezogen, abstrahiert werden kann.
    Sie meint als Vorgehensweise, die sozusagen immer funktioniert, tautologisch, Formales, sie wird Formalwissenschaft genannt, was hier gut klingt.

    Es ist nicht möglich mit Logik wichtige, sozusagen entscheidende Aussagen über die(se) Welt zu treffen, Wittgenstein ist mit seinem “Tractatus” megalomanerweise gescheitert, er gab dies später zu, es gibt audiovisuelles Material aus seiner Spätzeit, in der er, lol, betonte besonders gescheitert zu sein, nichts war jemals,, womöglich, richtiger als diese beigebrachte Selbsteinschätzung.

    Die Mathematik ist keine Sprache, es ist aber möglich mit ihrer Hilfe (künstliche) Sprachen beizubringen, zu entwickeln.

    Wir unterscheiden grundsätzlich zwischen Formalem, Wirklichen und Moral.
    Dr. Webbaer hat ja (auch) hier nur ein wenig genagt, Herr Dr. Christoph Pöppe war so freundlich auf ihn einzugehen, besondere Fragen sind nicht offen.

    Die(se) Welt ist nicht mathematisch, denn die Mathematik meint ihre Bearbeitung durch erkennendes Subjekt, insofern liegt hier :

    -> https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_universe_hypothesis

    …Projektion vor, vielleicht auch : schlechtes Marketing.

    Dr. Webbaer mag aber die Idee, dass nichts so ist, wie es zu sein scheint und letztlich irgendwelche Mengen vorliegen, die Zustände meinen, darstellen, und dass die(se) Welt mehr oder besser mathematisch, informatorisch bearbeitet werden kann.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer

  15. Vielleicht können wir uns so einigen.
    Die Logik ist ein Teil der Sprache. Und die Logik ist ein Teil der Mathematik.
    In der Logik treffen sich Sprache und Mathematik.

  16. Wenn es um Mengen geht, dann lässt sich Mathematisches sprachlich ausdrücken.
    Wenn es um Strukturen geht, dann ist die Mathematik die geeignetere Sprache.
    Man denke nur an die komplexen Zahlen. Wie will man denn die Wurzel aus -1 beschreiben und erklären.

  17. Herr Pöppe,
    mit dem Fixpunktsatz haben Sie sich etwas Schönes und Gleichzeitig etwas Exotisches herausgesucht. Ich versuche mich dem Satz zu nähern und bin jetzt bei Felix Hausdorff angelangt und dem Hausdorff Abstand.
    Da wird gesagt f(a) + f(b) < a + b wobei a und b Punkte in der Ebene sind.
    Frage: Ist mit f(a) schon der Grenzwert der Iteration also f(f(f(a….))) gemeint ?
    Und bedeutet das, dass es zu jeder Iteration mindestens einen Grenzwert geben muss ?

    • Das kann ich mir offengestanden nicht vorstellen. In der Formel, die SIe zitieren, fehlt etwas, wahrscheinlich ein paar senkrechte Striche. Eine Formel der Gestalt |f(a)+f(b)| < |a+b| würde Sinn machen; üblich sind sogar Doppelstriche anstelle der einfachen Striche. Das wäre dann ungefähr die Definition einer Kontraktion (noch nicht so ganz, aber es kommt der Sache nahe). Und dabei sind a und b irgendwelche Punkte, die noch keine besonderen Eigenschaften haben müssen.

  18. @hwied
    In der Logik treffen sich Sprache und Mathematik, das stimmt. Und beide treffen sich im logischen Denken. Das Wörtchen “und” hat gewisse Bedeutungen für unser Denken, aber die Bedeutungen sind zu unscharf und zu ungenau, wie die Sprache insgesamt. Die Mathematik bzw. math. Ausdrucksweise präzisiert das Denken und die Sprache. Das hat hauptsächlich Gottlob Frege geschaffen.

    Was bedeutet a+b für Punkte a,b in der Ebene oder im Raum?

    Mengen sind selbstverständlich ebenfalls Strukturen, denn sie bilden gewisse Relationen, als Zusammenfassung von Elementen. Strukturen wiederum sind Informationen! Eine Information ist als eine binäre Relation aufzufassen, z. B. x wohnt in y, oder xRy (Menge von Einwohnern einer Stadt). Deshalb können Informationen in Tabellen dargestellt werden.

    • Es ist auch möglich Listen, eindimensionale Gegenstände, in Tabellen zu halten, insofern ist eine Relation nicht gegeben, wenn sozusagen nur eine Liste als Tabelle geführt wird.
      Fakten sind gemeint, “Tatsachen”.

      Dazu gibt es zwischen Gegenständen unterschiedliche Beziehungen, die nicht
      binär’, zweiseitiger Art sein müssen, sondern auch statt “1:1” “1:n” oder “n:m” sein können, diese Beziehungen können auch so-o speziell sein, dass wie oben Beschriebenes zu ihrer Beschreibung nicht ausreicht.
      Fakten sind gemeint, “Tatsachen”.

      Was abär immer geht, ist Fakten und erkennende Subjekte in “n:m”-Beziehungen zu setzen, genau deshalb sind multidimensionale Datenstrukturen immer angewiesen.
      Denn es geht um Erkenntnis, es interessiert stets, wer etwas wann festgestellt hat.

      Sprache präzisiert weltliche Zusammenhänge, indem Näherungen, Ausschnittsartigkeit und dies vor allem auch an Interessen gebunden gesucht werden.
      Die Logik wiederum ist von der Weltlichkeit losgelöst, sie ist formalsprachlich sozusagen.

      • Generell wollen wir auch zwischen Datum, Gegebenen, Daten, Data und Information unterschieden wissen, es lohnt sich diesbezüglich.

        Auch darf zwischen (sozusagen tautologischer) Logik und Folgerichtigkeit unterschieden werden.

        Ihr Kommentar, Kommentatorenftreund Herr Reutlinger ist aus diesseitiger Sicht in vielerlei Hinsicht falsch oder desorientiert.

        Bei der Mathematik handelt es sich um aus der Sprache philosophischerseits extrahierte formale Einheit, die u.a. wiederverwendbar ist und von der Realwelt abgezogen, sozusagen evakuiert.

        Insofern besteht zwischen Sprache und formalisierter Logik eine sozusagen giftige Wechselbeziehung, denn die formalisierte Logik hat letztlich der Sprache, der tonalisierten Bemühung des hier gemeinten Hominiden zu gehorchen, der aber zumindest gelegentlich der sogenannten Logik.

        MFG
        WB (der sicherlich ein wenig vom im dankenswerterweise weblog-seitig dankenswerterweise bereit gestellten Inhalt angekommen ist, nun sich langsam, sozusagen reuig, ausklinkt)

  19. Christoph Pöppe schrieb (16.07.2021, 21:43 o’clock):
    > […] Wenn Sie einen “Index” oder “Parameter” oder so etwas t nennen, denkt jeder erstmal an die Zeit (ich auch).

    Wer beim Wort “Zeit” vor allem an Einsteins oben schon einmal zitierte Setzung denkt,
    »[… dass] ich an Stelle der “Zeit” die “Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr” [oder allgemeiner: “Anzeige”] setze.«,
    wird einen (insbesondere reell-wertigen) Index oder Parameter t, der jeweils jemandes Anzeigen zugeordnet ist,
    nicht (ebenfalls) “(dessen) Zeit” nennen,
    sondern (stattdessen, zur Unterscheidung) jeweils “Zeit-Koordinate” oder “time stamp” oder “Ablesewert” der betreffenden Anzeige.

    > Ich glaube inzwischen, dass Ihr t ein Index sein soll, mit dem […]

    Ich habe “das t” ausschließlich aus dem obigen SciLogs-Beitrag entnommen und zitiert.

    > […] Es ist üblich, Indizes klein und untendran zu schreiben.

    Einverstanden. Beispielhaft \(y_0\) oder \(t_1\) aus dem obigen SciLogs-Beitrag.

    > Klein und obendran, wie Sie es gemacht haben, kommt vor, ist aber selten

    Das kommt insbesondere dann vor, und ist dann sogar üblich, falls es um mehrere, i.A. voneinander unabhängige Indices geht; wie z.B. hier;
    nämlich mit dem Subskript als einem Wert des “System-Gesamtzustands-Index” \(t\),
    und mit dem Superskript als einem Wert des “Anteil” oder –“Komponenten”-Index \(k\)
    (der schon im vorausgegangenen SciLogs-Beitrag (Christoph Pöppe, 03. Sep 2020) auftrat).

    > (eigentlich ist der Platz klein und obendran den Exponenten (Hochzahlen) vorbehalten).

    Oft, wie z.B. hier, reicht der Kontext aus, um einen Exponenten (der die algebraische Operation Potenzierung ausdrückt) von einem Superskript-Index zu unterscheiden. (Ansonsten kann ich runde Klammern zur Gruppierung empfehlen.)

    > […] zur Sache: Ja, die Beschreibung der Welt durch ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen ist (jedenfalls in der von mir vorgestellten vereinfachten Form) veraltet. Man muss dafür nämlich nicht nur an eine absolute Zeit, sondern auch einen absoluten Raum glauben.

    Jedenfalls würde offenbar eine Menge vorausgesetzt, deren Elemente durch je drei (reell-wertige) Koordinaten(-Zahlenwerte) benennbar sind.

    > Auch in der Relativitätstheorie beschreibt man die Zustandsänderung der Welt mit deterministischen Gleichungen.

    Erstens trennt man in der Relativitätstheorie besonders sorgfältig zwischen “geometrisch-kinematischem Zustand” (der sich grundsätzlich nur “in der Rückschau” ermitteln lässt), und “dynamischem Zustand” (d.h. der momentan wahrscheinlichsten Verteilung von “Massen”, “Ladungen”, “Feldern” …) der sich (Achtung, Webbaer!) aus gegebenen geometrisch-kinematischen constraints durch Variationsrechnung ergibt.

    Wenn jemand die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen (im Zusammenhang mit der Erwartung, dass “die momentan wahrscheinlichste Verteilung von Massen/Ladungen/Feldern …” weitgehend fortbesteht) “deterministisch” nennen will — dann schleift sich diese altmodische Unsitte hoffentlich bald ab.

  20. Christoph Pöppe schrieb (16.07.2021, 21:43 o’clock):
    > […] Wenn Sie einen “Index” oder “Parameter” oder so etwas t nennen, denkt jeder erstmal an die Zeit (ich auch).

    Wer beim Wort “Zeit” vor allem an Einsteins oben schon einmal zitierte Setzung denkt,
    »[… dass] ich an Stelle der “Zeit” die “Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr” [oder allgemeiner: “Anzeige”] setze.«,
    wird einen (insbesondere reell-wertigen) Index oder Parameter t, der jeweils jemandes Anzeigen zugeordnet ist,
    nicht (ebenfalls) “(dessen) Zeit” nennen,
    sondern (stattdessen, zur Unterscheidung) jeweils “Zeit-Koordinate” oder “time stamp” oder “Ablesewert” der betreffenden Anzeige.

    > Ich glaube inzwischen, dass Ihr t ein Index sein soll, mit dem […]

    Ich habe “das t” ausschließlich aus dem obigen SciLogs-Beitrag entnommen und zitiert.

    > […] Es ist üblich, Indizes klein und untendran zu schreiben.

    Einverstanden. Beispielhaft \(y_0\) oder \(t_1\) aus dem obigen SciLogs-Beitrag.

    > Klein und obendran, wie Sie es gemacht haben, kommt vor, ist aber selten

    Das kommt insbesondere dann vor, und ist dann sogar üblich, falls es um mehrere, i.A. voneinander unabhängige Indices geht; wie z.B. hier;
    nämlich mit dem Subskript als einem Wert des “System-Gesamtzustands-Index” \(t\),
    und mit dem Superskript als einem Wert des “Anteil” oder –“Komponenten”-Index \(k\)
    (der schon im vorausgegangenen SciLogs-Beitrag (Christoph Pöppe, 03. Sep 2020) auftrat).

    > (eigentlich ist der Platz klein und obendran den Exponenten (Hochzahlen) vorbehalten).

    Oft, wie z.B. hier, reicht der Kontext aus, um einen Exponenten (der die algebraische Operation Potenzierung ausdrückt) von einem Superskript-Index zu unterscheiden. (Ansonsten kann ich runde Klammern zur Gruppierung empfehlen.)

    > […] zur Sache: Ja, die Beschreibung der Welt durch ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen ist (jedenfalls in der von mir vorgestellten vereinfachten Form) veraltet. Man muss dafür nämlich nicht nur an eine absolute Zeit, sondern auch einen absoluten Raum glauben.

    Jedenfalls würde offenbar eine Menge vorausgesetzt, deren Elemente durch je drei (reell-wertige) Koordinaten(-Zahlenwerte) benennbar sind.

    > Auch in der Relativitätstheorie beschreibt man die Zustandsänderung der Welt mit deterministischen Gleichungen.

    Erstens trennt man in der Relativitätstheorie besonders sorgfältig zwischen “geometrisch-kinematischem Zustand” (der sich grundsätzlich nur “in der Rückschau” ermitteln lässt), und “dynamischem Zustand” (d.h. der momentan wahrscheinlichsten Verteilung von “Massen”, “Ladungen”, “Feldern” …) der sich (Achtung, Webbaer!) aus gegebenen geometrisch-kinematischen constraints durch Variationsrechnung ergibt.

    Wenn jemand die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen (im Zusammenhang mit der Erwartung, dass “die momentan wahrscheinlichste Verteilung von Massen/Ladungen/Feldern …” weitgehend fortbesteht) “deterministisch” nennen will — dann schleift sich diese altmodische Unsitte hoffentlich bald ab.

  21. Chrys schrieb (17.07.2021, 00:05 o’clock):
    > […] Falls Einstein 1916 damit tatsächlich in einer Art von postivistischem Anfall gemeint haben sollte, “alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen” sollten auf Protokollsätze über Koinzidenzen zurückführbar sei[e]n,

    … Unbedingt; selbstverständlich. (Worauf denn sonst ?!?) …

    > so hat das bei ihm selbst jedenfalls nicht sonderlich lange und intensiv nachgewirkt.

    Immerhin lange und intensiv genug, um den prototypischen Fall, in dem eine zeiträumliche Konstatierung auf eine Koinzidenz-Feststellung hinausläuft, nämlich Einsteins Definition von “Gleichzeitigkeit” zu autorisieren.

    (Wobei Einstein die Darstellung von Comstock, 1910, zumindest kongenial ergänzt; und sich beides schon in Einsteins Forderung, 1905, nach Transitivität von Gleichzeitigkeits-Feststellungen andeutet.)

    Die “Nachwirkungen” der Speziellen Relativitätstheorie in Form von Verallgemeinerungen dürften ja bekannt sein …
    Einsteins eigene Darstellung des konkreten Hinauslaufens aller, insbesondere auch allgemeiner zeiträumlicher Konstatierungen auf Koinzidenz-Bestimmungen lässt allerdings wirklich sehr zu wünschen übrig.

  22. @Frank Wappler / 21.07.2021, 14:42 o’clock

    »… Unbedingt; selbstverständlich. (Worauf denn sonst ?!?) …«

    Vieldeutig bleibt doch bei Einsteins Bemerkung von 1916, was eigentlich als “zeiträumliche Konstatierung” gelten kann oder soll. Das hat sich nachfolgend jeder ganz nach eigenem Ermessen zurechtgelegt, weshalb Einsteins Rede dem einen dann auch als ganz fundamental, einem anderen jedoch als eher trivial erscheint.

    Falls mit einer “zeiträumlichen Konstatierung” bereits ein Protokollsatz gemeint ist, wie etwa “Der Zug trifft um 7 Uhr hier am Bahnsteig ein,” dann kann man Einsteins Worten zustimmen, doch dann stimmt auch Kretschmanns Einwand, dass damit eigentlich nur eine Trivialität ausgedrückt wird.

    Ganz etwas anderes wäre aber die Konvention, “[dass] ich an Stelle von `Zeit’ die `Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr’ setze.” Da gehen doch etliche ungenannte theoretische Annahmen u.a. über das Konzept von `Uhr’ ein, die sich nicht auf elementare Protokollsätze über Koinzidenzen reduzieren und auf diese Weise begründen lassen.

    Spätestens 1926 war das auch Einstein klar, wie aus dem Gespräch mit Heisenberg ersichtlich wird, von dem letzterer berichtet (in Der Teil und das Ganze) und dem der folgende kurze Extrakt entnommen ist:

    [Heisenberg:] »Sie hatten doch betont, daß man nicht von absoluter Zeit reden dürfe, da man diese absolute Zeit nicht beobachten kann. Nur die Angaben der Uhren, sei es im bewegten oder im ruhenden Bezugssystem, sind für die Bestimmung der Zeit maßgebend.«
    »Vielleicht habe ich diese Art von Philosophie benützt«, antwortete Einstein, »aber sie ist trotzdem Unsinn. Oder ich kann vorsichtiger sagen, es mag heuristisch von Wert sein, sich daran zu erinnern, was man wirklich beobachtet. Aber vom prinzipiellen Standpunkt aus ist es ganz falsch, eine Theorie nur auf beobachtbare Größen gründen zu wollen. Denn es ist ja in Wirklichkeit genau umgekehrt. Erst die Theorie entscheidet darüber, was man beobachten kann.«

    N.B. Die kategorielle Bezeichnung `Protokollsatz’ wurde von Otto Neurath eingeführt. Der brachte dazu noch einen Vergleich mit quasi direktem Querbezug zum eigentlichen Thema hier (Hervorhebungen im Original):

    Die Fiktion einer aus sauberen Atomsätzen aufgebauten idealen Sprache ist ebenso metaphysisch, wie die Fiktion des Laplaceschen Geistes. Man kann nicht die immer mehr mit systematischen Symbolgebilden ausgestattete wissenschaftliche Sprache etwa als eine Annäherung an eine solche Idealsprache auffassen.

    Neurath, O. (1932). Protokollsätze. Erkenntnis, 3(1), 204-214. DOI: 10.1007/bf01886420

  23. Chrys schrieb (22.07.2021, 09:48 o’clock):
    > Vieldeutig bleibt doch bei Einsteins Bemerkung von 1916, was eigentlich als “zeiträumliche Konstatierung” gelten kann oder soll.

    Die Vielfalt wird dadurch gewissermaßen umarmt, dass ausdrücklich alle gemeint sind.

    > Falls mit einer “zeiträumlichen Konstatierung” bereits ein Protokollsatz gemeint ist, wie etwa “Der Zug trifft um 7 Uhr hier am Bahnsteig ein,”

    Die beispielhafte Feststellung “Die Lokomotiven-Spitze, die Einfahrts-Kante des Bahnsteigs und ich — wir trafen uns (genau einmal; in Abwesenheit jeglicher Bestandteile des Flugzeugs, des Naschmarkts und Heisenbergs).” stellt ja insbesondere eine Koinzidenz-Bestimmung dar;
    und somit eine elementare und sozusagen triviale “zeiträumlichen Konstatierung”.

    Als Beispiel einer ganz erheblich komplizierteren “zeiträumlichen Konstatierung” möchte ich (erneut) insbesondere die Aussage (das Messergebnis) “Einfahrts-Kante des Bahnsteigs und Ausfahrts-Kante des Bahnsteigs ruhten durchwegs gegenüber einander.” zur Diskussion stellen.

    > Ganz etwas anderes wäre aber die Konvention, “[dass] ich an Stelle von `Zeit’ die `Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr’ setze.” Da gehen doch etliche ungenannte theoretische Annahmen u.a. über das Konzept von `Uhr’ ein,

    Offenbar nennt man unterscheidbaren Anzeigen einer konkreten mechanischen Uhr aus Einsteins Alltag und Vorstellung insbesondere auch “(die unterscheidbaren) Stellungen ihres (kleinen) Zeigers”.
    Das ist eine sprachliche Konvention, und eher eine Trivialität anstatt einer “theoretischen Annahme”.

    > die sich nicht auf elementare Protokollsätze über Koinzidenzen reduzieren und auf diese Weise begründen lassen.

    Es geht um eine schlichte sprachliche Konvention:
    Den Anteil jeweils eines bestimmten Beteiligten an jeweils einem bestimmten Koinzidenz-Ereignis nennen wir gemeinhin eine bestimmte “Zeit” dieses Beteiligten;
    oder, insbesondere weil das Wort “Zeit” vielfältige Bedeutungen hat, genauer und eindeutiger eine bestimmte “Anzeige” dieses Beteiligten.

    Ein Koinzidenz-Ereignis mit mehreren unterscheidbaren, identifizierbaren Beteiligten besteht folglich aus den betreffenden Anzeigen dieser Beteiligten. Um die schon mehrfach vorgelegte entsprechende Notation zu repetieren:
    Das Koinzidenz-Ereignis ε_AB, an dem die beiden Beteiligten A und B teilnahmen, besteht aus deren Anzeigen (Anteilen) A_B und B_A.

    Mit dem RT-Begriff “Uhr”, deren (geordneter) Menge von Anzeigen nämlich eine Menge reeller Zahlen als Ablesewerte zugeordnet ist, hat das nur am Rande zu tun.

    > […] Einstein[s …] Gespräch mit Heisenberg […] »beobachtbare Größen« […]

    Eine physikalische Theorie enthält Festsetzungen, welche elementaren Konstatierungen (Wahrnehmungen) als Beobachtungsdaten in Betracht zu ziehen sind, und konkret wie aus einem geeigneten, hinreichenden Satz von Beobachtungsdaten ggf. jeweils ein Messwert einer weiteren, komplizierteren Messgröße zu ermitteln ist.

    (Sie enthält außerdem alle Theoreme, die sich aus der Gesamtheit solcher Festsetzungen ergeben.)

    > Neurath, O. (1932). Protokollsätze. Erkenntnis, 3(1), 204-214.

    Präsentiert Neurath dort etwa ein konkretes, strikter “No-Go”-Theorem betreffend das Hinauslaufen jedweder Konstatierungen auf Koinzidenz-Bestimmungen ??

    Jedenfalls ist die Vorstellbarkeit (“gedankliche Existenz”) von tetrahedral-oktahedralen Ping-Koinzidenz-Gittern unbestritten;
    und der Beweis nicht allzu schwierig, dass sich verschiedene derartige Gitter (mit unterscheidbaren Mitgliedern) allenfalls gleichförmig gegenüber einander bewegen können, aber insbesondere nicht gegenüber einander isotrop expandieren bzw. kontrahieren können —
    weshalb sie sich konkret dafür anbieten, die zeiträumlichen Konstatierung der “gemeinsamen Mitgliedschaft bestimmter unterscheidbarer Beteiligter in einem bestimmten Inertialsystem” ausdrücklich aus Koinzidenz-Bestimmungen zu konstruieren bzw. ggf. zu ermitteln.

  24. @Frank Wappler / 22.07.2021, 23:12 o’clock

    Zum einen ist für einen Protokollsatz die Bezeichnung “zeiträumliche Konstatierung” absolut gerechtfertigt, indem er Angaben zu Zeit und Ort einer konstatierten Beobachtung enthält. Zum anderen hat anscheinend auch niemand Einsteins Behauptung bestritten, dass eine solche Beobachtung dann auf eine Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinausläuft. So weit, so gut.

    Allerdings hat Kretschmann schon recht, wenn er darauf hinweist, dass sich dies alles auch mit Bezug auf die klassischen Begriffe von “Raum + Zeit” sagen liesse und keineswegs eine Besonderheit des relativist. Begriffs von “Raumzeit” darstellt. Andererseits ist auch die Begeisterung von Schlick verständlich vor dem Hintergrund seiner damaligen empiristischen Überzeugung, derzufolge ohnehin alles empirische Wissen auf elementare und unmittelbar einsichtige Protokollsätze zurückführbar sein sollte. Zu dieser empiristischen Auffassung war Schlick aber schon gekommen, bevor Einstein 1916 mit seiner “Grundlage” herauskam, und er nimmt Einsteins Bemerkung dann halt als eine Bestätigung seines eh schon bestehenden wissenschaftl. Weltbildes.

    Doch betrachten wir beispielsweise einmal die relativist. Definition von Eigenzeit — und mithin die Definition von `Uhr’ als einem theoretischen Begriff der RT. Eine Definition ist kein Protokollsatz und überhaupt keine Konstatierung einer Beobachtung von etwas Vorfindlichem. Minkowski hat sich bei der Definition von Eigenzeit nur der formalen Begriffe aus der geometrisch verfassten Objektsprache der RT bedient. Und das bestätigt doch Einsteins Bemerkung von 1926 zu Heisenberg. Das heisst: Die Theorie entscheidet darüber, was unter einer Uhr zu verstehen ist, und folglich wie deren Anzeigen als Messwerte zu interpretieren sind.

    Man müsste also insbesondere die relativist. Begriffe von Uhr und Eigenzeit schon verfügbar haben für alle jene “zeiträumlichen Konstatierungen”, die zu einer strikten und einzig auf elementare Bestimmungen von zeiträumlichen Koinzidenzen gestützten Fundierung der RT dienen könnten. Das sieht nicht sonderlich gut aus…

    • Die Theorie entscheidet darüber, was unter einer Uhr zu verstehen ist, und folglich wie deren Anzeigen als Messwerte zu interpretieren sind. [Diese Hervorhebung ist von Kommentatorenfreund ‘Chrys’
      [1] übernommen worden]

      Herr Dr. Frank Wappler nagt daran, ganz offensichtlich, dass er zwischen Bild und Sein nicht direkt und streng unterscheiden mag, Dr. Webbaer ist sich hier sicher und kann nur so bestimmte Vorstöße jener Kraft i.p. Messtheorie erklären.
      Die sie sozusagen monothematisch gemacht hat.

      [1]
      Dr. W ist mit dem hier gewählten Pseudynym ‘Chrys’ unzufrieden, wegen Unklarheit seiner Herkunft.

      • PS :

        Soll heißen, dass ein Theoretisierender, ein Sichten Bildender, enzscheidet, sofern überhaupt entschieden wird, in der Naturwissenschaften, Theorien, Sichten, dürfen gerne empirisch adäquat bleiben und es darf auch gerne so folgend verkündet werden, mehr ist allerdings nicht los.
        Dr. Webbaer rät an sich zum Wesen der Naturwissenschaft mit Bas van Fraassen zu beschäftigen, mit seinen Arbeiten, Dr. Webbaer folgt hier vergleichsweise streng.

  25. Erst die Theorie entscheidet darüber, was man beobachten kann.

    Tatsächlich, die Tat meinend, ist es so, dass das erkennende Subjekt – Vorsicht bei Man-Sätzen! -, näherungsweise Datenlagen meinend (“Gegebenes oder Gemessenes meinend”), ausschnittsweise die Natur meinend und an Interessen (!) gebunden eben naturwissenschaftlich erfasst wird, der szientifisischen Methode folgend, erfasst wird, an Interessen (!) gebunden, und in der Folge ganz ähnlich theoretisiert wrd.

    Die Theorie ist Sicht der Erkennenden, eine Abhängigkeitsbeziehung ergibt sich derart, als dass das um Erkenntnis bemühte Subjekt über eine Art Messtheorie verfügen muss, um sich in puncto Erfahrung oder Empirie wie gemeint zu wagen.

    Herr Dr. Wappler nagt idR so, er darf den Veranstaltungscharakter, so eben sozusagen eingebrannt, annehmen, der Naturwissenschaft.
    Naturwissenschaftlich kann mitgemacht werden, wenn die szientifische Methode quasi durch Glaubensentscheid individuell angenommen wird, als Veranstaltung eben.

    Nicht gemeint ist also, dass irgendwie Wahrheit vorliegt, Richtigkeit, Gerichtetheit, liegt vor.

    U.a. Science-Fiction-Autoren der Güteklasse haben mit anderen Welten (Terry Pratchett) und anderen Weltbildern (Philip K. Dick) klar stellen können, gedankenexperimentell, dass Setzungen vorliegen, die (hoffentlich) passen.
    Methodologisch.

    HTH
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  27. Chrys schrieb (24.07.2021, 13:47 o’clock):
    > […] Doch betrachten wir beispielsweise einmal die relativist. Definition von Eigenzeit

    Zunächst eine Anmerkung betreffend die Bezeichnung dieser Messgröße:
    Die Bezeichnung “Eigenzeit” ist zweifellos historisch verbürgt, hat aber insbesondere mit dem von Einstein ausdrücklich dargelegten “Zeit”-Begriff (etwa als jemandes eigener “Stellung” bzw. jemandes eigener Anzeige) nur mittelbar zu tun. Die konkrete, eindeutige, und als solche auch gebräuchliche Bezeichnung der betreffenden Messgröße ist stattdessen: Dauer; bzw. im Kontext: die Dauer von jemand Bestimmten; von einer bestimmten seiner Anzeigen, bis zu einer (anderen) bestimmten seiner Anzeigen.

    Betrachten wir also beispielsweise einmal die relativist. Definition von Dauer!
    (Und wie schon mehrfach an anderen Stellen ist SciLogs zu danken, uns die Gelegenheit dafür zu geben. (Und wie schon mehrfach an anderen Stellen verbinde ich meinen Dank mit der Hoffnung und Erwartung, dass SciLogs dafür einen entsprechenden Anteil meines und unseres Beitrags für kommunikative Teilhabe.))

    (An dieser Stelle wäre nun die relativistische Definition von “Dauer”, möglichst konkret und ausführlich, in Betracht zu stellen …)

    > — und mithin die Definition von `Uhr’ als einem theoretischen Begriff der RT.

    Nein: der allgemeine RT-Begriff “Uhr”, nämlich die (nicht-leere, geordnete) Menge von Anzeigen eines bestimmten Beteiligten, der irgendeine (nicht-leere) Menge reeller Zahlen irgendwie zugeordnet ist, erfolgt offensichtlich, ohne den “Dauer”-Begriff der RT bzw. diesbezügliche Messwerte zu erfordern, und andererseits ohne den “Dauer”-Begriff der RT zu begründen.

    Im Unterschied dazu

    – erfordert der RT-Begriff “gute Uhr” gegebene Dauer-Werte (bzw. Werte von “Dauer”-Verhältnissen):

    Uhr (𝒜, t_𝔄) genau dann, falls für alle je drei verschiedene ihrer Anzeigen A_B, A_K, A_Q ∈ 𝒜 gilt:

    t_𝔄[ A_K ] - t_𝔄[ A_B ] =

    t_𝔄[ A_Q ] - t_𝔄[ A_B ] *

    (τA[ _K, _B ] / τA[ _Q, _B ]) ,

    und

    – legt der RT-Begriff einer “idealen Uhr, die Mitglied eines Inertialsystems ist”, überhaupt erst die Grundlage des RT-Begriffs “Dauer” als Messgröße.

    > Die Theorie entscheidet darüber, was unter einer Uhr zu verstehen ist,

    Ganz recht; und zwar sowohl unter einer Uhr im Allgemeinen (siehe oben),
    als auch im Besonderen unter einer guten Uhr (siehe oben), einer idealen Uhr, und z.B. auch einer monotonen Uhr.

    > und folglich wie deren Anzeigen als Messwerte zu interpretieren sind.

    Anzeigen, also Anteile jeweils eines bestimmten Beteiligten an bestimmten Ereignissen, sind doch keine Werte (und insbesondere keine reellen Werte, wie z.B. bestimmte Ablesewerte t_𝔄, die bestimmten Anzeigen zugeordnet werden mögen) und sind daher keinesfalls als Messwerte zu (miss-)interpretieren.

  28. @Frank Wappler / 26.07.2021, 00:16 o’clock

    Relativistisch ist Dauer ein (orientiertes) Mass für die entlang einer Uhren-Weltlinie ermittelte Zeitspanne (elapsed time) zwischen zwei Anzeige-Ereignissen dieser Uhr. Und der zugehörige Messwert wird erhalten als die aus den entsprechenden reellen Anzeigewerten \(\tau_1 \le \tau_2\) der Uhr gebildetete Differenz \(\tau_2 – \tau_1\) — vorausgesetzt, dass die Uhr Eigenzeit \(\tau\) anzeigt.

    `Dauer’ als eine relativist. Messgrösse bekommt man also gleichsam gratis als Zugabe zur Def. von `Eigenzeit’ hinzu.

    Bekanntlich kann ein Rundflug über die Chesapeake Bay für den Piloten im Flugzeug schon mal etwas länger dauern als für den Controller im Tower auf dem Airfield. Was haben die Uhren, mit denen das gemessen wurde, Deiner Ansicht nach denn wohl angezeigt? (Und sag’ jetzt bitte nicht irgendwas mit “Die Stellung des kleinen Zeigers …”)

  29. Chrys schrieb (26.07.2021, 22:14 o’clock):
    > […] vorausgesetzt, dass […]

    Es ist jedenfalls richtig und sorgfältig, eventuelle Voraussetzugen zu bedenken, festzusetzen und zu erwähnen.

    Dazu ist Terminologie erforderlich, die im Allgemeinen zutrifft und im Allgemeinen anwendbar ist; sowohl in den (denkbaren) konkreten Fällen, in denen sich schließlich herausstellen würde, dass die Voraussetzung erfüllt ist, als auch in den (denkbaren) konkreten Fällen, in denen sich herausstellen würde, dass die Voraussetzung nicht erfüllt ist.

    > […] vorausgesetzt, dass die Uhr Eigenzeit \(tau\) anzeigt.

    Ist also ein/jeder Beteiligte(r) zunächst einmal ganz allgemein als eine bestimmte “Uhr” zu bezeichnen,

    – egal, ob dessen Anzeigen “(dessen) Eigenzeit \(\tau\)” wären, oder z.B. »Stellungen seines kleinen Zeigers«, oder (ganz allgemein) dessen Anteile an den Ereignissen, an denen dieser Beteiligte teilnahm; und

    – egal, welche bestimmte Ablesewerte t seinen Anzeigen zugeordnet wurden

    ?

    > Bekanntlich kann ein Rundflug über die Chesapeake Bay für den Piloten im Flugzeug schon mal etwas länger dauern als für den Controller im Tower auf dem Airfield.

    Nein!, Improper!.
    Sofern überhaupt “bekanntlich”, dann:
    Bekanntlich kann ein Rundflug eines Flugzeugs (einschl. der Rundflüge der Bestandteile des Flugzeugs, wie z.B. einschl. des Piloten) über die Chesapeake Bay (von dessen “Abreise”-Anzeige bis zu dessen “Ankunfts”-Anzeige)
    in geeigneten Versuchen länger dauern als
    die Überwachung dieses Rundflug durch den Controller im Tower auf dem Airfield (von dessen Anzeige zusammen mit der “Abreise”-Anzeige des Flugzeugs bis zu dessen Anzeige zusammen mit der “Ankunfts”-Anzeige des Flugzeugs).

    > Was haben die Uhren, mit denen das gemessen wurde,

    Sofern die beiden o.g. Dauern in bestimmten Rundflug-Fällen überhaupt miteinander verglichen wurden (bekanntlich kann das schwierig sein), liefen solche Feststellungen (zwangsläufig) auf Koinzidenz-Bestimmungen hinaus, die insbesondere von Bestandteilen des starren Bezugssystems des Controllers im Tower des Airfields (der Patuxent Naval Air Station und deren Umgebung), einschl. dessen “Radar”-Systems, untereinander bzw. hinsichtlich des jeweiligen Flugzeugs ergingen.

    > Deiner Ansicht nach denn wohl angezeigt? (Und sag’ jetzt bitte nicht irgendwas mit “Die Stellung des kleinen Zeigers …”)

    Die Anteile, die diese Bezugssystems-Bestandteile jeweils an bestimmten Ereignissen hatten, waren im Wesentlichen:

    – “Ich (A) habe jemand Bestimmten, Wiedererkennbaren (J) im Aneinander-VorbeiFliegen getroffen (und ich werde mich an dieses Treffen erinnern).” und

    – “Ich (A) habe koinzident wahrgenommen, dass mehrere bestimmte, wiedererkennbare Beteiligte (B, C, …) meine o.g. Anzeige (A_J) beim Passieren von J wahrgenommen haben. (Und genau diese Beteiligten, B, C, …, sind mir in ähnlicher Weise schon mal aufgefallen).”

    oder Ähnliche.

    Natürlich kann man diesen Anzeigen jeweils eines dieser Beteiligten auch noch irgendwelche reellen Zahlen zuordnen, und somit jeweils irgendwelche Uhren erhalten …

    Aus dem Vergleich der Rundflug-Dauer eines air planes und der entsprechenden Rundflug-Überwachungsdauer eines flight controllers lassen sich übrigens auch Vergleiche der durchschnittlichen Gangraten von air plane-Uhren mit den durchschnittlichen Gangraten von flight controllers-Uhren ableiten.

    p.s.
    > Relativistisch ist Dauer ein (orientiertes) Mass für […]

    Wenn man diese Formulierung im strikt mathematisch-technischen Sinne auffasst (der Dir sicherlich nicht fremd ist, und den ich hier zum Vorankommen unserer Diskussion betonen möchte), dann fällt auf, dass:

    Wenn μ ein Maß ist, und k eine von Null verschiedene (und meinetwegen insbesondere positive) reelle Zahl, dann ist (k μ) auch ein Maß.

    .

    Um “Dauer” stattdessen als “das Maß zeitlichen Verlaufes (jeweils eines bestimmten Beteiligten)” verstehen und ansprechen zu können (wie es in der Physik üblich ist), bedarf es deshalb der Berücksichtigung und Behandlung der gesamten k-Äquivalenzklasse all dessen, was einzeln jeweils ein Maß wäre. (Und Deine obigen schlichten \(\tau\)-Rechnungen leisten das nicht.)

  30. @Frank Wappler / 29.07.2021, 00:36 o’clock

    In der älteren Literatur, etwa bei Hilbert, wird der metrische Tensor \(g\) gelegentlich Maßbestimmung genannt, was durchaus berechtigt ist. Denn u.a. induziert \(g\) ein natürliches Längenmass zur Bestimmung der orientierten Bogenlänge von Abschnitten einer rektifizierbaren Kurve. Und die geometrische Bedeutung von Eigenzeit ist die von Bogenlänge einer zukunftsorientiert parametrisierten, also insbesondere zeitartigen Weltlinie. (Modulo einer Konvertierung zwischen Bogenlänge und Eigenzeit, \(s = c\tau\), die aber geometrisch belanglos ist, da sich die Lichtgeschw. stets auf \(c = 1\) normalisieren lässt.)

    Wie sich das einsehen lässt, hatte ich bei früherer Gelegenheit schon mal dargelegt, und ich verlinke dazu nochmals meinen früheren Kommentar (10.10.2018, 23:30 Uhr). Das induzierte Längenmass ist die 1-Form \(\lambda\), und geometrisch gemessen wird die (zeitorientierte) Bogenlänge eines Kurvensegments, indem \(\lambda\) über dieses Segment integriert wird.

    Im Royal Observatory Greewich, inzwischen ein Museum, ist eine HP 5061A caesium beam clock, wie sie angeblich auch bei den Rundflügen über die Chesapeake Bay verwendet wurden, als Exponat zu bewundern. Hilft der Link womöglich weiter bei der Frage, was so eine Uhr anzeigt?

  31. Chrys schrieb (30.07.2021, 09:27 o’clock):
    > […] meinen früheren Kommentar (10.10.2018, 23:30 Uhr).

    Im Zusammenhang mit der gerade (29.07.2021, 00:36 o’clock) erwähnten k-Äquivalenz bzw. -Ambiguität zitiere ich von dort:

    Sei also \( U \subset (M, g) \) eine (stückweise) glatte zeitartige Weltlinie. Dann induziert \(g\) auf \(U\) ein zukunftsorientiertes Längenmass durch die eindeutig bestimmte Pfaffsche Form \(\lambda\) auf \(U\), die einem zukunftsorientierten Tangentialvektor \( X \in T^+_p U \) seine \(g\)-Länge zuordnet, \( \lambda(X) = \| X \|_g \gt 0 \).

    Zu jeder von Dir dabei eingesetzten Norm \( \|.\|_g \equiv \|.\|^{\text{Chrys}}_g \) und jeder von mir gewählten positiven reellen Zahl \(k\) ist \( \|.\|^{\text{Frank}}_g := k \, \|.\|^{\text{Chrys}}_g \) ebenfalls eine Norm \( \|.\|_g \equiv \|.\|^{\text{Frank}}_g \).

    Entsprechend ist “die Pfaffsche Form \(lambda\)” ebenfalls nicht eindeutig bestimmt, sondern lediglich bis auf einen Faktor \(k\).

    Und das lässt sich offenbar für jeden einzelnen Punkt \(p\) diskutieren. Demnach wäre es auch irreführend, von \(k\) als “Konstante” zu sprechen; sondern wir müssen individuelle Werte \( k_p \) in Betracht ziehen, die mehr oder weniger voneinander unabhängig sein können.

    Aber das stellt aus meiner Sicht nur ein beiläufiges mathematisch-technisches Detail dar. Viel schwerwiegender ist, dass wir uns offenbar (noch) nicht darüber einig sind, worin überhaupt “das Problem” bzw. “die Aufgabe der RT” liegt. Dazu ein Zitat aus Deinem Kommentar 11.10.2018, 15:10 Uhr:

    In der GR wird der metr. Tensor doch durch eine Lösung der Feldgleichungen bestimmt

    Die Feldgleichungen der GR (sowohl z.B. in der Variante nach Einstein-Hilbert, als auch nach Weil-Mannheim, und womöglich noch anderen) beinhalten neben dem metrischen Tensor \(g\) doch auch \(\mathcal L_{\mathrm M}\), was die (wahrscheinlichste) Verteilung von “Masse, Ladung, Feldern …” symbolisiert.

    In wie fern ließe sich denn der metrische Tensor \(g\) durch Lösung der Feldgleichungen bestimmen”, während \(\mathcal L_{\mathrm M}\) noch gänzlich unbekannt ist ??

    Nein! – umgekehrt:
    Die geometrisch-kinematischen Beziehungen von gegebenen Beteiligten (und damit die Geometrie der Region, in der sie enthalten sind) können und müssen in Unkenntnis jeglicher Verteilung von “Masse, Ladung, Feldern …” ermittelt werden.
    (Die GR-Feldgleichungen können anschließend eingesetzt werden, um \(\mathcal L_{\mathrm M}\) zu errechnen. (Womöglich mag das für \(\mathcal L^{WM}_{\mathrm M}\) besser klappen, als für \(\mathcal L^{EH}_{\mathrm M}\) …).)

    p.s.
    > Im Royal Observatory Greewich, inzwischen ein Museum, ist eine HP 5061A caesium beam clock, wie sie angeblich auch bei den Rundflügen über die Chesapeake Bay verwendet wurden, als Exponat zu bewundern. Hilft der Link womöglich weiter […]

    Man sieht diesem Replika-Kasten wirklich kaum (noch) an, an welchen Koinzidenz-Ereignissen das entsprechende Original mal beteiligt gewesen wäre. Nicht mal wenigstens: ob es Anzeigen von Passagen von Weißkopf-Seeadlern waren, oder Anzeigen von Passagen von Virginia-Rallen; geschweige denn, ob und welche “time-stamp”-Zahlenwerte diesen Anzeigen jeweils zugeordnet worden wären (um den Kasten überhaupt “Uhr” nennen zu können).

  32. Chrys schrieb (30.07.2021, 09:27 o’clock):
    > […] meinen früheren Kommentar (10.10.2018, 23:30 Uhr).

    Im Zusammenhang mit der gerade (29.07.2021, 00:36 o’clock) erwähnten k-Äquivalenz bzw. -Ambiguität zitiere ich von dort:

    Sei also \( U \subset (M, g) \) eine (stückweise) glatte zeitartige Weltlinie. Dann induziert \(g\) auf \(U\) ein zukunftsorientiertes Längenmass durch die eindeutig bestimmte Pfaffsche Form \(\lambda\) auf \(U\), die einem zukunftsorientierten Tangentialvektor \( X \in T^+_p U \) seine \(g\)-Länge zuordnet, \( \lambda(X) = \| X \|_g \gt 0 \).

    Zu jeder von Dir dabei eingesetzten Norm \( \|.\|_g \equiv \|.\|^{\text{Chrys}}_g \) und jeder von mir gewählten positiven reellen Zahl \(k\) ist \( \|.\|^{\text{Frank}}_g := k \, \|.\|^{\text{Chrys}}_g \) ebenfalls eine Norm \( \|.\|_g \equiv \|.\|^{\text{Frank}}_g \).

    Entsprechend ist “die Pfaffsche Form \(\lambda\)” ebenfalls nicht eindeutig bestimmt, sondern lediglich bis auf einen Faktor \(k\).

    Und das lässt sich offenbar für jeden einzelnen Punkt \(p\) diskutieren. Demnach wäre es auch irreführend, von \(k\) als “Konstante” zu sprechen; sondern wir müssen individuelle Werte \( k_p \) in Betracht ziehen, die mehr oder weniger voneinander unabhängig sein können.

    Aber das stellt aus meiner Sicht nur ein beiläufiges mathematisch-technisches Detail dar. Viel schwerwiegender ist, dass wir uns offenbar (noch) nicht darüber einig sind, worin überhaupt “das Problem” bzw. “die Aufgabe der RT” liegt. Dazu ein Zitat aus Deinem Kommentar 11.10.2018, 15:10 Uhr:

    In der GR wird der metr. Tensor doch durch eine Lösung der Feldgleichungen bestimmt

    Die Feldgleichungen der GR (sowohl z.B. in der Variante nach Einstein-Hilbert, als auch nach Weil-Mannheim, und womöglich noch anderen) beinhalten neben dem metrischen Tensor \(g\) doch auch \(\mathcal L_{\mathrm M}\), was die (wahrscheinlichste) Verteilung von “Masse, Ladung, Feldern …” symbolisiert.

    In wie fern ließe sich denn der metrische Tensor \(g\) durch Lösung der Feldgleichungen bestimmen”, während \(\mathcal L_{\mathrm M}\) noch gänzlich unbekannt ist ??

    Nein! – umgekehrt:
    Die geometrisch-kinematischen Beziehungen von gegebenen Beteiligten (und damit die Geometrie der Region, in der sie enthalten sind) können und müssen in Unkenntnis jeglicher Verteilung von “Masse, Ladung, Feldern …” ermittelt werden.
    (Die GR-Feldgleichungen können anschließend eingesetzt werden, um \(\mathcal L_{\mathrm M}\) zu errechnen. (Womöglich mag das für \(\mathcal L^{WM}_{\mathrm M}\) besser klappen, als für \(\mathcal L^{EH}_{\mathrm M}\) …).)

    p.s.
    > Im Royal Observatory Greewich, inzwischen ein Museum, ist eine HP 5061A caesium beam clock, wie sie angeblich auch bei den Rundflügen über die Chesapeake Bay verwendet wurden, als Exponat zu bewundern.

    Man sieht diesem Replika-Kasten wirklich kaum (noch) an, an welchen Koinzidenz-Ereignissen das entsprechende Original mal beteiligt gewesen wäre. Nicht mal wenigstens: ob es Anzeigen von Passagen von Weißkopf-Seeadlern waren, oder Anzeigen von Passagen von Virginia-Rallen; geschweige denn, ob und welche “time-stamp”-Zahlenwerte diesen Anzeigen jeweils zugeordnet worden wären (um den Kasten überhaupt “Uhr” nennen zu können).

    • Frank Wappler schrieb (31.07.2021, 11:31 o’clock):
      > […] Die Feldgleichungen der GR (sowohl z.B. in der Variante nach Einstein-Hilbert, als auch nach Weil-Mannheim,

      … Entschuldigung! — gemeint waren Hermann Weyl und Philip Mannheim

      > und womöglich noch anderen) […]

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