Über sägliche und unsägliche Zahlen

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In meinem letzten Beitrag hatte ich Ihnen erzählt, dass man schon mit der kleinsten Größe des Unendlichen, dem abzählbar Unendlichen, ungeheuer viele Zahlen erfassen kann: nicht nur die natürlichen Zahlen, mit denen das Abzählen (und damit die Abzählbarkeit überhaupt) anfängt, sondern auch die rationalen Zahlen, alle Wurzeln, prominente Irrationale wie π und e mitsamt ihren rationalen Vielfachen, …

Was bleibt da überhaupt noch übrig? Die ernüchternde Antwort ist: die überwältigende Mehrheit aller Zahlen.

Was ist eine reelle Zahl? Eine brauchbare Definition ist: endlich viele (Dezimal-)Ziffern vor dem Komma und unendlich viele dahinter, darin eingeschlossen die „abbrechenden“ Dezimalbrüche, bei denen ab einer gewissen Nummer alle Ziffern null sind. Ausgerechnet diese Spezialfälle bedürfen einer besonderen Aufmerksamkeit, weil bei ihnen die Dezimaldarstellung nicht eindeutig bestimmt ist: 0,14999… ist gleich 0,15000… . Aber darauf kommt es für das Folgende nicht an.

Für manche dieser unendlichen Ziffernfolgen gibt es ein Bildungsgesetz, das man mit endlich vielen Zeichen ausdrücken kann: ganz trivial die Aufzählung der Ziffern bei den abbrechenden Dezimalbrüchen mit dem Hinweis „alle weiteren Ziffern sind null“, oder „null Komma Periode 142857“, oder die Angabe eines Algorithmus, mit dem man beliebig viele Ziffern von π oder √2 findet, oder „die kleinste obere Schranke“ einer beliebig wild definierten Menge, von der man immerhin weiß, dass sie nach oben beschränkt ist (denn dann weiß man, dass die kleinste obere Schranke eine eindeutig bestimmte Zahl ist, muss aber noch lange nicht wissen, wie sie zu bestimmen ist) … Was nicht gilt, ist die schlichte Aufzählung aller unendlich vielen Ziffern, und zwar aus einem ganz pragmatischen Grund: Solche Zahlen kriegen wir nicht in unseren endlichen Kopf, nicht in alle Speichermedien der Welt und nicht in das ganze Universum, selbst wenn wir jedes seiner Atome veranlassen könnten, eine Ziffer zu speichern. Ganz zu schweigen von der Vorstellung, man könnte mit solchen Zahlen irgendwelche Rechnungen anstellen. Sie sind im Wortsinn unsäglich.

Aber die Menge der Zahlen, die nicht unsäglich sind – nennen wir sie entsprechend „sägliche Zahlen“ –, ist abzählbar. Die Menge aller reellen Zahlen ist überabzählbar, und wenn man von einer überabzählbaren Menge eine abzählbare wegnimmt, bleibt sie überabzählbar. Das gilt auch für Mengen reeller Zahlen, die gar nicht bis ins Unendliche reichen, zum Beispiel für das Intervall von 0 bis 1. Wenn wir aus diesem Intervall per Zufall eine Zahl herausgreifen, ist sie mit Wahrscheinlichkeit 1 unsäglich.

Da stellen sich jetzt merkwürdige philosophische Fragen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine vorgelegte reelle Zahl aus dem Intervall [0, 1] unsäglich? Antwort: mit Wahrscheinlichkeit null, denn wenn sie vorlegbar – das heißt unserem endlichen Geist präsentierbar – ist, ist sie säglich. Also ist „eine Zahl per Zufall herausgreifen“ etwas anderes als „eine per Zufall herausgegriffene Zahl vorlegen“. Die Mathematiker können mit einer Zahl mit unendlich vielen Dezimalstellen umgehen, wenn sie – im Prinzip! – jede dieser Dezimalstellen berechnen könnten. Es wird nicht gefordert, dass sie alle unendlich vielen Stellen berechnen (das wäre auch unmöglich). Über die restlichen Zahlen, nämlich die unsäglichen, kann man zwar irgendwie, summarisch, reden, aber über keine konkrete unter ihnen. Schon etwas seltsam.

Vom Volumen einer Teilmenge

Aber zurück zur Eingangsfrage: Wozu brauchen wir dann die unsäglichen Zahlen? Antwort: um nicht in unüberwindliche Widersprüche zu geraten.

Stellen Sie sich einen Zufallsprozess vor, der reelle Zahlen zwischen 0 und 1 ausstößt, und zwar „gleichverteilt“: Keine einzige Zahl ist gegenüber irgendeiner anderen bevorzugt. Wenn Sie sich das etwas konkreter vorstellen wollen: Denken Sie an ein Rouletterad mit einem Zeiger daran, das irgendwie in Gang gesetzt wird und schließlich stehenbleibt. Aber es gibt keine Kugel, die in eines von 37 Fächern fällt, sondern am Ende zeigt der Zeiger auf eine zufällige Stelle auf dem Kreisumfang, den wir mit den Zahlen von 0 bis 1 beschriftet haben. Gegeben eine sägliche Zahl: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Rouletterad an dieser Zahl stehenbleibt?

Nach Voraussetzung muss diese Wahrscheinlichkeit für jede sägliche Zahl dieselbe sein; nennen wir sie x. Es gibt aber abzählbar unendlich viele sägliche Zahlen zwischen 0 und 1. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad an irgendeiner säglichen Zahl stehenbleibt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes einzelnen dieser Ereignisse, das ist gleich unendlich mal x, was immer das heißen mag. Es muss aber 1 herauskommen, denn das ist die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses, dass das Rad irgendwo stehenbleibt. Daraus folgt: x = 0. Hm.

Wenn die Menge der möglichen Ereignisse unendlich ist, dann ist Wahrscheinlichkeit 1 nicht mehr dasselbe wie „sicher“ und Wahrscheinlichkeit 0 nicht mehr dasselbe wie „sicher nicht“. An solche Merkwürdigkeiten muss man sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie leider gewöhnen. Aber damit ist das Problem nicht aus dem Weg geräumt. Unendlich mal null ist ja einer dieser undefinierten Ausdrücke, die im Prinzip alles heißen können und mit denen man deshalb nicht vernünftig rechnen kann.

An dieser Stelle sagt ein Mensch, der mit Wahrscheinlichkeiten in der Realität umzugehen hat, sagen wir eine Physikerin: „Das Problem habt ihr Mathematiker euch selbst eingebrockt. Schon der Unterschied zwischen rational und irrational ist mit keinem Messgerät zu ermitteln. Die Endstellung des Rouletterads kann ich ohnehin bloß auf vier Stellen hinterm Komma messen. Also gibt es 10000 mögliche Messergebnisse, jedes hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/10000, mit denen kann ich rechnen, ohne mir über Unendlichkeiten Gedanken zu machen, und über eure unsäglichen Zahlen brauche ich erst gar nicht nachzudenken.“

Na gut, sie hat ja Recht. Aber für die Kolleg*innen von der Mathematik ist die Idee, nach ein paar Dezimalstellen mit dem Denken aufzuhören und damit die ganze Theorie von so etwas Dreckigem wie der unvollkommenen Realität abhängig zu machen, natürlich unerträglich.

Auf die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei dem Zufallsprozess eine bestimmte Zahl herauskommt, gibt es nur eine unbefriedigende Antwort: null. Also gilt es, die Frage anders zu stellen. Eine gute Frage lautet: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Zahl, die herauskommt, zwischen 0,28145 und 0,28155?“ Nichts anderes hat die Physikerin gemeint, als sie fragte: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt mein Messgerät 0,2815?“ Denn das ist der Wert, auf den das Messgerät alle „echten“ Werte zwischen 0,28145 und 0,28155 rundet.

Einzelne Zahlen haben keine Wahrscheinlichkeit, Intervalle (Zahlenbereiche mit linker und rechter Grenze) dagegen schon: Darauf baut ein ganzes Teilgebiet der Mathematik auf, die Maßtheorie, die wiederum wesentliche Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie ist.

Nehmen wir als Beispiel wieder unseren „gleichverteilten“ Zufallsprozess auf dem Intervall [0, 1]. Das Wahrscheinlichkeitsmaß des ganzen Intervalls, sprich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zufällige Ereignis irgendwo in dieses Intervall fällt, ist 1. Das Maß eines Intervalls [a, b] ist gleich seiner Länge ba. Wenn zwei Mengen keinen Punkt gemeinsam haben („disjunkt“ sind), dann ist das Maß ihrer Vereinigung die Summe der Maße der einzelnen Mengen. Das gilt auch für die Vereinigung abzählbar vieler Mengen. Das ist dann zwar eine unendliche Summe, aber die ist wohldefiniert, denn mehr als 1 – das Maß des ganzen Intervalls – kann nicht herauskommen. Das Maß eines Punktes ist null, siehe oben.

Die Definition eines Maßes im Allgemeinen ist viel umfassender. Ein Maß ist eine Abbildung, die gewissen Teilmengen einer gewissen Grundmenge eine reelle Zahl ≥ 0 zuordnet und einige einleuchtende Forderungen erfüllt. Insbesondere ist das Maß einer abzählbaren disjunkten Vereinigung von Mengen gleich der Summe der Maße der Einzelmengen. Ein Maß kann auch auf Teilmengen des dreidimensionalen Raumes definiert sein; ein Beispiel wäre das Volumen einer solchen Teilmenge. In zwei Dimensionen wäre es entsprechend der Flächeninhalt.

Das Maß eines Intervalls [a, b] muss auch nicht einfach ba sein. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es häufig ein Integral der Form \( \int_a^b f(x)dx \) mit einer Funktion \(f(x)\), die dann Wahrscheinlichkeitsdichte heißt. Das spezielle Maß der „Gleichverteilung“ auf dem Intervall [0, 1], das oben als Beispiel diente, hat die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)= 1 für 0 ≤ x ≤ 1, 0 sonst, eine Funktion in Form eines Rechtecks. Deswegen bestehen die Puristen darauf, die Verteilung nicht „Gleichverteilung“, sondern „Rechteckverteilung“ zu nennen. Denn dass alle Punkte des Intervalls die gleiche Wahrscheinlichkeit haben (nämlich 0), ist nicht das Wesentliche.

In unserer Rechteckverteilung ist das Maß jeder einzelnen Zahl gleich null. Das gilt auch für die abzählbare Vereinigung von Mengen, die jede nur aus einer Zahl bestehen, insbesondere für die Menge aller säglichen Zahlen. Was also einem Intervall (oder allgemeiner einer Teilmenge der reellen Zahlen) überhaupt eine nennenswerte Wahrscheinlichkeit verschafft, sind die unsäglichen Zahlen.

Schon merkwürdig.

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

13 comments

  1. Christoph Pöppe schrieb (07. Dec 2022):
    > In meinem letzten Beitrag […]

    … wurden Grundlagen gelegt, die insbesondere zu der (von Christoph Pöppe, 27.11.2022, 15:34 o’clock, dargelegten) Auffassung führten, dass

    – unter Voraussetzung und Anwendung eines festgesetzten “Computerprogramm[s] namens f, das […] von jeder vorgelegten [endlichen alpha-numerischen Zeichenkette entscheiden können soll], ob [diese jeweils] tatsächlich eindeutig eine reelle Zahl bestimmt [oder nicht]”,

    – sich insbesondere eine bestimmte endliche alpha-numerische Zeichenkette angeben lässt, die (bzw. von der das festgesetzte Computerprogramm ermitteln würde, dass diese Zeichenkette) gar keine reelle Zahl bestimmt.

    (Zumindest, sofern ich die im genannten verlinkten Kommentar dargelegte Auffassung recht verstehe … (Worüber sich gewiss mal nachzufragen lohnt … (Was ich hiermit ausdrücklich versuche … (Wenn auch erfahrungsgemäß längst nicht alle meine Nachfragen mit erkennbarer Kenntnisnahme oder gar mit Beantwortung gewürdigt werden …))))

    > […] abzählbar Unendliche[s] […] Was bleibt da überhaupt noch übrig? Die ernüchternde Antwort ist: die überwältigende Mehrheit aller Zahlen.

    Wer (wie ich) an diese zitierte Stelle des obigen SciLog-Beitrages anschließend eine (einigermaßen ausführliche, die vorliegenden Nachfragen aufnehmende und womöglich unterstützende) Begründung dieser zitierten Einschätzung in Anlehnung an die (schon im o.g. “letzten Beitrag” beiläufig erwähnte aber dort immerhin zu Wikipedia verlinkte) Argumentation von G. Cantor erwartet hätte —
    dürfte nun enttäuscht sein (so wie ich es bin).

    Darum möchte ich bis auf Weiteres nur noch kurz darauf hinweisen, dass Wikipedia, wie Cantor selbst, auch nur endliche alpha-numerische (alias “sägliche”) Zeichenketten nutzte, um damit etwaige Argumentationen vorzulegen …

  2. Rechnen wir mit Falschgeld?
    Beispiel:
    “Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad an irgendeiner säglichen Zahl stehenbleibt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes einzelnen dieser Ereignisse, das ist gleich unendlich mal x, was immer das heißen mag. Es muss aber 1 herauskommen, denn das ist die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses, dass das Rad irgendwo stehenbleibt. Daraus folgt: x = 0.”

    Das ist so nicht akzeptabel. Mit unendlich darf man nicht rechen. Durch 0 zu teilen ist auch nicht definiert.
    Überhaupt, eine Wahrscheinlichkeit von O zu postulieren, wenn man es mit reellen Zahlen zu tun hat, das ist widersprüchlich. Reelle Zahlen sind reell, weil sie auf einem Zahlenstrahl darstellbar sind. Sie nehmen eine Position ein.
    Und die ist gegeben als Differenz zwischen 0 und der Position, die die Zahl einnimmt. Wenn man jetzt behauptet, die Wahrscheinlichkeit eine Zahl in der Unendlichkeit zu finden sei 0, dann ist das zwar logisch richtig , aber man rechnet dann mit der Unendlichkeit , was nicht zulässig ist.

  3. Aus diesseitiger Sicht verhält es sich hierzu so :

    Da stellen sich jetzt merkwürdige philosophische Fragen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine vorgelegte reelle Zahl aus dem Intervall [0, 1] unsäglich? Antwort: mit Wahrscheinlichkeit null, denn wenn sie vorlegbar – das heißt unserem endlichen Geist präsentierbar – ist, ist sie säglich. [Artikeltext]

    … dass abzählbare Werte jeder Art, die nicht Zahlen sein müssen, sinnhafterweise Skalare genannt werden und nicht abzählbare Werte Prozeduren genannt werden.
    Auch wenn dies nicht immer intuitiv erscheinen mag.
    Dr. Webbaer hat ebenfalls, jedenfalls keine Probleme damit zwischen der Fähigkeitslehre (der Mathematik) und der sozusagen nackten Idee zu unterscheiden. diese Idee nicht mathematisch sein muss. [1]
    Die Idee zwischen 0 und 1 ist sozusagen zwingend unendlich groß.
    (Sofern genau so vom sog. ‘Geist’ gedacht werden kann, nur dann, natürlich.)
    MFG
    WB
    [1]
    Die Mathematik, diese Fähigkeitslehre, meint wohldefinierte Möglichkeitsräume, die bedarfsweise erweitert, vergrößert werden könnten, wobei derartige Vergrößerung nicht mathematisch genannt werden muss.
    Die Mathematik ist ja eine Formallehre, die vglw. zeitnah aus der Philosophie herausgelöst werden konnte, sinnhafterweise, sicherlich, eine sog. Formalwissenschaft liegt seitdem vor.
    (Nein, Dr. Webbaer will an dieser Stelle nicht esoterisch werden.)

  4. Dr. Webbaer schrieb (11.12.2022, 11:10 o’clock):
    > […] Die Idee zwischen 0 und 1 ist sozusagen zwingend unendlich groß. […] (Nein, Dr. Webbaer will an dieser Stelle nicht esoterisch werden.)

    Man gestatte mir die (natürlich nur wahlweise zu beantwortende) Frage, ob diese zitierten Bemerkungen

    – entweder geschrieben wurden, nachdem Dr. Webbaer die (von mir zuletzt im Bonus-Link meines Kommentars 20.11.2022, 14:25 o’clock empfohlene) populär-zugängliche Quelle, womöglich schon vor vielen Jahren, wenigstens bis zum Anfang von »Excursion II« gelesen und verdaut, oder sich mit deren wesentlichen Inhalt zumindest schon woanders her vertraut gemacht hatte;

    – oder: nicht.

    (Mich hat darin jedenfalls der “jump von 1 auf 2” mindestens ebenso beeindruckt, gerade weil dieser nicht nur “poetisch angedeutet”, sondern nachvollziehbar dargelegt wurde; zusammen, wenn auch nicht ganz explizit, mit der Angabe des entsprechenden Jargons, die Zahl 2 als »[the largest finite hyperinaccessible number« zu bezeichnen.
    (Dass sich um den “jump von 1 auf 2” trotzdem auch, und sogar erst recht, jede Menge “poetischen Gedöns” machen lässt, versteht sich.))

    > … dass abzählbare Werte jeder Art, die nicht Zahlen sein müssen, sinnhafterweise Skalare genannt werden und nicht abzählbare Werte Prozeduren genannt werden.
    Auch wenn dies nicht immer intuitiv erscheinen mag.

    Ja, mir scheint das jedenfalls nicht intuitiv; insbesondere, dass in abzählbaren Fällen nicht auch von “Prozeduren” die Rede sein sollte.
    Beantrage doch bitte mal einen entsprechenden SciLogs-Gastbeitrag, um diese Deine nicht immer intuitiv Ansicht ausführlicher und Nachfrag- bzw. kommentierbar darzulegen (oder ggf. darlegen zu lassen).

  5. Was für ein Wortungetüm “unsägliche Zahl”.
    Ein PR-Manager würde so ein Wort nie verwenden. Es wäre unverkäuflich.

    Zahl kommt von zählen. Die natürlichen Zahlen entsehen durch Zählen, oder wie es der Mathematiker Kronecker ausgedrückt hat, “Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht”, alles andere ist Menschenwerk.”

    Soll man die Wurzel aus 2 eine Zahl nennen. Man kann sie durch abzählen nicht erreichen. Einen Versuch wäre es doch wert, den reellen Zahlen einen anderen Namen zu geben, den komplexen Zahlen sowieso.
    Das wäre doch eine Neuerung in der Mathematik.

  6. Frank Wappler schrieb (12.12.2022, 10:44 o’clock):
    > […] die Zahl 2 als »[the largest finite[]] hyperinaccessible number« zu bezeichnen. […]

    In den Zeiten, als sich noch ein gewisser Chrys SciLog-kommentierend eingebracht hätte (wobei er sich sogar selbst wohl nie ganz gewiss war, ob er damit eher dem, was er gut fand, nacheifern oder eher dem, was er schlecht fand, entgegentreten würde), wäre er bestimmt und ganz zu recht an dieser Stelle eingeschritten:

    Ist denn 2, alias \( \overbrace{ \mathsf S[ \, \mathsf S[}^{\text{(zweimal)}} \, \mathbf 0 \, ] \, ] \), überhaupt erst mal schlicht eine »inaccessible number«,
    wie insbesondere in der »Excursion I« ausdrücklich gefordert ist ?

    (Den Link dorthin möchte ich mir an dieser Stelle leider wieder mal verkneifen, weil ich die sicherlich geringe und vor allem immer noch undokumentierte maximale Anzahl von Links in SciLog-Kommentaren vermutlich schon wieder gleich zu Anfang verballert habe. &)

    (Das Symbol \(\mathsf S\) steht dabei (wie üblich) für “successor”-Operation, alias die “generiere-den-Nachfolger”-Operation, die auf das jeweilige Argument anzuwenden ist.)

    Betrachtet man die (nicht ganz ausdrücklich) angegebene Definition einer »accessible number«, nämlich als “die nächste Kardinalzahl, die auf eine bestimmte (gegebene) Kardinalzahl folgt”, d.h. als \( \overbrace{ \mathsf K[ \, … \mathsf K[}^{\text{(mindestens einmal)}} \, \mathbf 0 \, ] … \, ] \),

    dann ist diese Frage, die ich Chrys zugetraut hätte (der Pöppe scheint nicht so scharf), offensichtlich berechtigt und mit “Nein.” zu beantworten;
    denn die für »accessibility« zu erfüllende Bedingung ist ganz ausdrücklich erfüllt:

    \( \mathsf S[ \, \mathsf S[ \, \mathbf 0 \, ] \, ] = \mathsf K[ \, \mathsf K[ \, \mathbf 0 \, ] \, ] \).

    (Wobei das Symbol \(\mathsf K\) für die anzuwendende “generiere-die-nächste-Kardinalzahl”-Operation steht.)

    Ist es also schlichtweg falsch (von mir, per obigem Kommentar 12.12.2022, 10:44 o’clock), die Zahl 2 »inaccessible number« oder gar »hyperinaccessible number« nennen zu wollen? —
    Eigentlich, offensichtlich, ja: das war falsch von mir. Aber …

    … (beim Galileo: trotzdem!) doch ein bescheidener, “uneigentlicher” Einwand:

    Die Zahl 2, alias \( \overbrace{ \mathsf S[ \, \mathsf S[}^{\text{(zweimal)}} \, \mathbf 0 \, ] \, ] \) ist ja “vor allem” und unbestritten eine »accessible number«,
    d.h. sie ist nicht “durch arithmetische Operationen mit weniger als zwei Zahlen kleiner als 2” auszudrücken;
    d.h. sie ist insbesondere nicht “unter Einsatz nur einer einzigen “generiere-den-Nachfolger-Operation \(\mathsf S\)” “von der \(\mathbf 0\) aus zu erreichen”.

    Und, offensichtlich, ist die Zahl 2 ebenfalls nicht “unter Einsatz nur einer einzigen generiere-die-nächste-Kardinalzahl-Operation \(\mathsf K\)” “von der \(\mathbf 0\) aus zu erreichen”.

    Sofern nun aber die Definition von »inaccessible number« in Analogie zur Definition von »regular number« gemeint sein soll,
    und zwar “konkret und einfach” durch direkte Substitution der “generiere-die-nächste-Kardinalzahl”-Operation \(\mathsf K\) für die “generiere-den-Nachfolger”-Operation \(\mathsf S\), …
    … müsste man dieser Eigenschaft bzw. Bedingung einen eigenen, passende(re)n Namen geben: z.B. “Analog-Unerreichbarkeit”;
    also die Zahl 2 als »analogue-inaccessible number« bezeichnen.

    Die Zahl 1 erfüllt diese Bedingung erst recht (sie ist nicht “ohne Einsatz wenigsten einer einzigen “generiere-den-Nachfolger-Operation \(\mathsf S\)” “von der \(\mathbf 0\) aus zu erreichen”); und \(\mathbf 0\) selbst? — Tja.

    Also hat Zahl 2 diese »analogue-inaccessible number«-Eigenschaft, und es gibt genau 2 (sprich: “zwei”) Zahlen kleiner als 2, die diese Eigenschaft ebenfalls haben.

    Gemäß Definition in »Excursion I« hat die Zahl 2 demnach sogar die entsprechende »hyper«-Eigenschaft;
    d.h. 2 ist (wenigstens, genau genommen) als »hyper-analogue-inaccessible number« zu bezeichnen.

    (Hope this helps.)

  7. Frank Wappler schrieb (12.12.2022, 10:44 o’clock):
    > […] die Zahl 2 als »[the largest finite [ ] ] hyperinaccessible number« zu bezeichnen. […]

    In den Zeiten, als sich noch ein gewisser Chrys SciLog-kommentierend eingebracht hätte (wobei er sich sogar selbst wohl nie ganz gewiss war, ob er damit eher dem, was er gut fand, nacheifern oder eher dem, was er schlecht fand, entgegentreten würde), wäre er bestimmt und ganz zu recht an dieser Stelle eingeschritten:

    Ist denn 2, alias \( \overbrace{ \mathsf S[ \, \mathsf S[}^{\text{(zweimal)}} \, \mathbf 0 \, ] \, ] \), überhaupt erst mal schlicht eine »inaccessible number«,
    was insbesondere hinsichtlich der Definition der »hyper«-Eigenschaft in »Excursion I« zunächst ausdrücklich zu fordern wäre ?

    (Den Link dorthin möchte ich mir an dieser Stelle leider wieder mal verkneifen, weil ich die sicherlich geringe und vor allem immer noch undokumentierte maximale Anzahl von Links in SciLog-Kommentaren vermutlich schon wieder gleich zu Anfang verballert habe. &)

    (Das Symbol \(\mathsf S\) steht dabei (wie üblich) für “successor”-Operation, alias die “generiere-den-Nachfolger”-Operation, die auf das jeweilige Argument anzuwenden ist.)

    Betrachtet man die (nicht ganz ausdrücklich) angegebene Definition einer »accessible number«, nämlich als “die nächste Kardinalzahl, die auf eine bestimmte (gegebene) Kardinalzahl folgt”, d.h. als \( \overbrace{ \mathsf K[ \, … \mathsf K[}^{\text{(mindestens einmal)}} \, \mathbf 0 \, ] … \, ] \),

    dann ist diese Frage, die ich Chrys zugetraut hätte (der Pöppe scheint nicht so scharf), offensichtlich berechtigt und mit “Nein.” zu beantworten;
    denn die für »accessibility« zu erfüllende Bedingung ist ganz ausdrücklich erfüllt:

    \( \mathsf S[ \, \mathsf S[ \, \mathbf 0 \, ] \, ] = \mathsf K[ \, \mathsf K[ \, \mathbf 0 \, ] \, ] \).

    (Wobei das Symbol \(\mathsf K\) für die anzuwendende “generiere-die-nächste-Kardinalzahl”-Operation steht.)

    Ist es also schlichtweg falsch (von mir, per obigem Kommentar 12.12.2022, 10:44 o’clock), die Zahl 2 »inaccessible number« oder gar »hyperinaccessible number« nennen zu wollen? —
    Eigentlich, offensichtlich, ja: das war falsch von mir. Aber …

    … (beim Galileo: trotzdem!) doch ein bescheidener, “uneigentlicher” Einwand:

    Die Zahl 2, alias \( \overbrace{ \mathsf S[ \, \mathsf S[}^{\text{(zweimal)}} \, \mathbf 0 \, ] \, ] \) ist ja “vor allem” und unbestritten eine »regular cardinal number«,
    d.h. sie ist nicht “durch arithmetische Operationen mit weniger als zwei Zahlen kleiner als 2” auszudrücken;
    d.h. sie ist insbesondere nicht “unter Einsatz nur einer einzigen “generiere-den-Nachfolger-Operation \(\mathsf S\)” “von der \(\mathbf 0\) aus zu erreichen”.

    Und, offensichtlich, ist die Zahl 2 ebenfalls nicht “unter Einsatz nur einer einzigen generiere-die-nächste-Kardinalzahl-Operation \(\mathsf K\)” “von der \(\mathbf 0\) aus zu erreichen”.

    Sofern nun aber die Definition von »inaccessible number« in Analogie zur Definition von »regular number« gemeint sein soll,
    und zwar “konkret und einfach” durch direkte Substitution der “generiere-die-nächste-Kardinalzahl”-Operation \(\mathsf K\) für die “generiere-den-Nachfolger”-Operation \(\mathsf S\), …
    … müsste man dieser Eigenschaft bzw. Bedingung einen eigenen, passende(re)n Namen geben: z.B. “Analog-Unerreichbarkeit”;
    also die Zahl 2 als »analogue-inaccessible number« bezeichnen.

    Die Zahl 1 erfüllt diese Bedingung erst recht (sie ist nicht “ohne Einsatz wenigsten einer einzigen “generiere-den-Nachfolger-Operation \(\mathsf S\)” “von der \(\mathbf 0\) aus zu erreichen”); und \(\mathbf 0\) selbst? — Tja.

    Also hat Zahl 2 diese »analogue-inaccessible number«-Eigenschaft, und es gibt genau 2 (sprich: “zwei”) Zahlen kleiner als 2, die diese Eigenschaft ebenfalls haben.

    Gemäß Definition in »Excursion I« hat die Zahl 2 demnach sogar die entsprechende »hyper«-Eigenschaft;
    d.h. 2 ist (wenigstens, genau genommen) als »hyper-analogue-inaccessible number« zu bezeichnen.

    (Hope this helps.)

  8. Frank Wappler schrieb (13.12.2022, 11:49 o’clock):
    > […] in Analogie […] direkte Substitution der “generiere-die-nächste-Kardinalzahl”-Operation \(\mathsf K\) für die “generiere-den-Nachfolger”-Operation \(\mathsf S\), […]
    >
    […] also die Zahl 2 als »analogue-inaccessible number« bezeichnen. […]

    > Die Zahl 1 erfüllt diese Bedingung erst recht

    … denn: sie ist nicht “ohne Einsatz wenigsten einer einzigen generiere-die-nächste-Kardinalzahl-Operation \(\mathsf K\)” “von der \(\mathbf 0\) aus zu erreichen”.

    Natürlich gilt ebenfalls: …
    > (sie ist nicht “ohne Einsatz wenigsten einer einzigen generiere-den-Nachfolger-Operation \(\mathsf S\)” “von der \(\mathbf 0\) aus zu erreichen”);

    … aber zu dieser selbstverständlichen Eigenschaft der Zahl 1 sagt man ja (schon immer), dass 1 als »regular cardinal number« zu bezeichnen ist.

    > und \(\mathbf 0\) selbst? — Tja.

    Soll heißen:
    \(\mathbf 0\) gilt selbstverständlich als »regular cardinal number«, die von vornherein zwar ganz ohne eine einzige “generiere-den-Nachfolger”-Operation \(\mathsf S\) aber nicht ohne das Null-Symbol \(\mathbf 0\) selbst auszudrücken ist.

    Und das gilt ganz analog auch unter Substitution “\(\mathsf K\) für \(\mathsf S\)”, womit \(\mathbf 0\) ebenfalls als »analogue-inaccessible number« qualifiziert ist. usw.

  9. Lieber Herr Dr. Frank Wappler, Herr Srinivasa Ramanujan war ein sozusagen außerordentlicher Mathematiker :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

    Er hat, auch in der westlichen Welt, die damals schon lange der Aufklärung gefolgt ist, wenn auch mit gewisser Gegenwehr, vergleiche :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Abolitionismus

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Kritik_an_der_Relativitätstheorie#Hundert_Autoren_gegen_Einstein

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Falsifikationismus

    … sozusagen exorbitant vorgetragen.

    Zu Ihrer Nachricht :

    -> ‘Ja, mir scheint das jedenfalls nicht intuitiv; insbesondere, dass in abzählbaren Fällen nicht auch von “Prozeduren” die Rede sein sollte.
    Beantrage doch bitte mal einen entsprechenden SciLogs-Gastbeitrag, um diese Deine nicht immer intuitiv Ansicht ausführlicher und Nachfrag- bzw. kommentierbar darzulegen (oder ggf. darlegen zu lassen).’ [Ihre Nachricht, gerne die Duzerei lassen, danke, wenn doch die sozusagen vollkommene Anredeform in der Dritten Person Plural bereit steht, in der deutschen Sprache, nochmals danke]

    Die Mathematik. die hier, teils dankenswerterweise, auch von dem hiesigen Inhaltegeber (Physiker und Mathematiker, sofern sich Dr. Webbaer korrekt erinnert] auf besonders dankenswerte Art und Weise beigebracht worden ist.

    Deckt halt nicht das Denkbare ab, die Mathematik ist (als Fähigkeitslehre) gesondert heraus gelöst und formalisiert worden, aber sie deckt nicht das Denkbare ab. [1]


    Auch das Skalar ist abzählbar, als Eins, eine besondere Prozedur liegt nicht vor, aber bei anderen “Zahlen” wird es sozusagen anzählerisch.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer (der hoffentlich kein Autist ist, jedenfalls noch nicht sein will, als ein bisserl eitel dann vielleicht doch im sozusagen großen Archiv, die Wissensmengen des hier gemeinten Primaten, wenn sich so ergeben sollte, womöglich schon zukünftige Web-Archäologen beschäftigen wird)

    [1]
    Redundanz war beabsichtigt.

  10. Dr. Webbaer schrieb (13.12.2022, 17:01 o’clock):
    > […] Auch das Skalar ist abzählbar, als Eins, eine besondere Prozedur liegt nicht vor, aber bei anderen “Zahlen” wird es sozusagen anzählerisch.

    ???
    H. Graßmanns “Ausdehnungslehre” wäre vermutlich aufschlussreicher, und (nicht zuletzt deshalb) weniger anstrengend zu lesen. …

    p.s.
    https://www.google.com/search?q=%22der+Skalar%22+%22das+Skalar%22

    p.p.s.
    Trotzdem: Danke für den durch den o.g. Kommentar erbrachten Nachweis, dass die maximal zulässige Anzahl von Links in Kommentaren dieses SciLogs offenbar mindesten 4 beträgt.
    (Wer weiß, wofür diese Bestimmung mal nützlich sein mag.)
    In zumindest manchen anderen SciLogs ist die entsprechende Anzahl vermutlich mehr oder weniger deutlich geringer.

    p.p.p.s.
    > […] Ramanujan war ein sozusagen außerordentlicher Mathematiker […]

    Auch Hardy oder Hilbert, z.B., werden ja so charakterisiert.
    Ramanujan war dagegen wohl eher ein sozusagen außerordentlicher außerordentlicher Mathematiker.

    In R. Ruckers schon mehrfach erwähntem, empfehlenswerten und dankenswerter Weise auch automatisiert-durchsuchbar bereitgestelltem Werk finden sich übrigens die Strings "ama" offenbar 26 mal, "aman" 1 mal, und "amanu" gar nicht.

  11. Die Unterscheidung zwischen Abzählbarkeit und Anzählbarkeit mag feinsinnig gewesen sein, oder auch nicht.
    Icke haben ja keine Ahnung von Mathematik, icke sogar nach gewissem Lehrverhalten eines Mathematiklehrers auch a bisserl mathemikophob sein.
    Was ich allerdings geschafft habe, ist das sog. Ziegenproblem in seiner frequentistischen Sicht zu lösen, Webbaer-Poker, ein wenig zeitversetzt zu Kuhn-Poker mit ähnlichen Schlüssen beizubringen, Kuhn-Poker zuvor nicht kennend, und das Nash-Equilibrium sozusagen zu fordern.
    MFG
    WB (mathematisch sozusagen : bauernschlau)

    PS :
    Dr. Webbaer hasst es, wenn falsche Textauszeichnung so eskaliert, V2!

  12. Dr. Webbaer schrieb (15.12.2022, 00:28 o’clock):
    > Die Unterscheidung zwischen Abzählbarkeit und Anzählbarkeit mag feinsinnig gewesen sein, oder auch nicht.

    Dass ein entsprechender Unterschied im auf “meine Nachricht” (12.12.2022, 10:44 o’clock) bezogenen Teil des vorausgegangenen Kommentars (13.12.2022, 17:01 o’clock) überhaupt vorlag, hat sich mir erst durch Nachlesen wegen dieses Hinweises erschlossen.
    Dass diesem Unterschied sogar besondere Bedeutung zukommen sollte, war mir erst recht nicht klar, weil bzw. solang ich schon auf dem Weg dahin das (anstrengende!, weil entnervende!) Lesen … gelassen hatte.

    Als Deutsch-Muttersprachler sind mir Differenzierungen durch Präfixe natürlich als relevant erkennbar — ich erinnere auch an das u.a. für Musik-darbietende Formationen relevante “Einzählen”. (“Mein” Big-Band-Leiter-seelig hat dazu sogar “Anzählen” gesagt, WIMRI.)

    Im Mathe-Jargon ist mir die zitierte Wortwahl zwar nicht bekannt. Aber es gibt in der Mengen- und Gruppen- und Repräsentations-Theorie usw. sicher jede Menge feinsinnige Unterscheidungen (von denen ich nur einen Bruchteil kenne bzw. erklären könnte), die wiederum entsprechend Jargon-sprachlich verschieden benannt sein müssten.
    Es kommen also stattdessen Phrasen wie “endlich”, “abzählbar unendlich”, “ordinal”, “kardinal”, “endlich erzeugt” u.v.a.m. vor.

    > […] Ziegenproblem […] Kuhn-Poker […] Nash-Equilibrium […]

    Das ist (leider?) alles weit von den mehr oder weniger rein-mathematischen Problemen entfernt, für ich mich leidenschaftlich interessiere.
    (Ein Urteil, mit welchen sich “die größeren Fische fangen” ließen, sei dahingestellt.)

    Aber ich spiel gern mal Skat, Schach, Räuber-Rommee! Uno/Mau-Mau, Poker, Mensch-ärgere-Dich-nicht!, (Pool-)Billiard oder (Mini-)Golf zur Not auch. Also, falls sich sowas ergeben sollte …

    p.s.
    > […] Ahnung von Mathematik […]

    Die Ahnung, dass “der Schritt von 0 zu 1” sozusagen ein “(in kardinalem Sinne) unvergleichlich kolossaler” ist, dürfte doch weithin geteilt werden.
    Meine diesbezügliche obige Frage (12.12.2022, 10:44 o’clock) war durchaus aufrichtig und anerkennend gemeint.
    Mich hatte schon länger (nämlich seit ich “Inf. + the Mind” in den 90-ern las) auch “der Schritt von 1 zu 2” beschäftigt, und wie “dessen ebenfalls nicht unbeträchtliche kardinale Größe” mathematisch zu fassen und entsprechend zu würdigen sei.

    Ausreichend “elementare Ahnung von Mathematik” haben sicher viele, wenn nicht sogar die meisten. Deswegen kann man ja von “Axiomen” und “Beweisen” sprechen.
    Aber es macht eben jedenfalls Mühe, vielen elementaren Schritten in eine lohnende Richtung zu folgen; nicht alle finden den jeweiligen Lohn ihrer Mühe wert.
    Zu begreifen, dass man Ziele suchen und setzen und verfolgen sollte, von denen man schon begriffen hat, wie man sie mit human leistbarer Beharrlichkeit schrittweise erreicht, wird wohl auch als “weitaus seltenere Art von Ahnung” verklärt. …

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