Statistisches Schätzen ist merkwürdig

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Angeblich ist das Psychologiestudium in Mannheim gefürchtet, weil es so mathematiklastig sei. Mein Sohn Max hat sich davon nicht abschrecken lassen. Mit Mathematik hatte er in der Schule keine ernsthaften Schwierigkeiten, und wenn’s ganz schlimm kommt, könne er ja immer noch den Papa fragen.

Na gut, die Fragen halten sich in engen Grenzen. Aber aus ihnen entspinnt sich in der Regel eine ausgiebige Diskussion, die auch für mich, den Mathematiker, durchaus bereichernd ist.
Die große Liebe der Psychologinnen und Psychologen, vor allem der quantitativ arbeitenden, gilt der Normalverteilung. Jawohl, jener Glockenkurve, die man hierzulande bis zur Einführung des Euro auf jedem Zehnmarkschein bewundern konnte, gleich neben dem Portrait von Carl Friedrich Gauß.

Auschnitt aus 10 DM-Banknote der Serie BBK3 mit Carl Friedrich Gauß. Quelle: Deutsche Bundesbank

Mit der Formel, die diese Kurve beschreibt, werden die Psychologiestudierenden in der Regel nicht belästigt; sie ist ja auch nicht eine der zugänglichsten, mit der Exponentialfunktion und dem merkwürdigen Exponenten.

Es geht um Zufallsereignisse, typischerweise Messungen, bei denen eine reelle Zahl x herauskommt. Dummerweise haben die reellen Zahlen mit der Realität, wie sie sich in Messwerten zeigt, nicht allzu viel zu tun. Aber in der Mathematik hat man gute Gründe, mit diesen merkwürdigen Objekten zu arbeiten, von denen es in jedem Intervall unendlich viel mehr gibt, als man abzählen kann. Und damit man für Teilmengen reeller Zahlen überhaupt eine Wahrscheinlichkeit definieren kann, braucht es eine ganze Vorlesung Maß- und Integrationstheorie. Kein Wunder, dass die Psycholog:innen davon nichts wissen wollen.

Immerhin kann die Mathematik ihnen eine Rechtfertigung für ihre Liebe zur Normalverteilung liefern: den zentralen Grenzwertsatz. Der sagt im Wesentlichen: Wenn viele voneinander unabhängige Variablen auf eine Messgröße einwirken und keine dieser Einwirkungen wesentlich größer ist als die anderen, dann ist diese Messgröße annähernd normalverteilt.

Klassisches Beispiel ist die Körpergröße des Menschen. Die meisten Variablen, die sie beeinflussen, kennen wir gar nicht, nämlich wenn sie im Genom des Menschen verborgen sind, oder nur ungefähr, wenn es um die Umwelt geht. Aber es sind viele. Also sollte die Körpergröße normalverteilt sein.
Ist sie aber nicht. Denn unter den Einflussgrößen gibt es eine, die an Bedeutung alle anderen überragt: das Geschlecht. Männer sind im Durchschnitt deutlich größer als Frauen. Deswegen gibt es zwar eine schöne Gaußsche Glockenkurve für Männer und eine für Frauen, aber nicht für beide zusammen.

Verteilung der Körpergrößen. Daten von Statista auf Basis von Umfragen des Socio-economic Panel (SOEP), 2006. Befragt wurden Menschen ab 18 Jahren in Deutschland. Die relativ wenigen Datenpunkte sind der Anschaulichkeit zuliebe durch eine glatte Kurve interpoliert. Bei der Summenkurve wird unterstellt, dass es gleich viele Männer wie Frauen gibt. Bei den ganz großen Männern hätten die Statistiker besser etwas genauer nachgefragt: Hätte man die Größenklassen 1,95 und 2 Meter noch unterschieden, wäre wahrscheinlich eine wohlgeformte Gaußkurve herausgekommen.

Die Liebe der Psycholog:innen zur Normalverteilung geht noch weiter. In der Natur kommen die Glockenkurven in verschiedenen Formen vor: dünne schlanke einerseits, platte zerfließende mit den Körperformen von Jabba the Hutt aus „Star Wars“ andererseits. Aber das ist nur eine Skalierungsfrage. Man gibt – zum Beispiel – die Körpergröße nicht in Metern an, sondern in einer Einheit, mit der die Gaußkurve standardmäßig aussieht. Das sind bei Männern wie bei Frauen ungefähr 8,5 Zentimeter. Zusätzlich legt man den Nullpunkt der Skala auf die Stelle, an der die Gaußkurve maximal wird. Diese Aktion heißt bei den Psychologen z-Transformation. Sie ist eigentlich harmlos, wenn auch etwas gewöhnungsbedürftig. Ich bin in diesen Einheiten ungefähr –0,5 groß, was mir immerhin sagt, dass ich ein bisschen kurz, aber nicht auffällig kurz geraten bin. Das Ergebnis ist dann die vielzitierte (0, 1)-Verteilung: eine Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. An der y-Achse gibt es dann übrigens nichts mehr zu skalieren: Die Fläche unter der Gaußkurve muss gleich 1 sein, wie es sich für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört.

Es gibt noch eine weniger harmlose Transformation für Messkurven, die sich mit der netten linearen z-Transformation nicht in die gewünschte Form bringen lassen wollen. Sie heißt Flächentransformation und besteht darin, die x-Achse an verschiedenen Stellen unterschiedlich zu strecken und zu stauchen, so dass die Kurve hinterher glockenförmig aussieht. Das klingt zunächst sehr kompliziert, ist aber technisch einfach, wenn die Messergebnisse wie üblich nicht mit großer Genauigkeit, sondern in Kästchen sortiert vorliegen: ein Kästchen für 160 bis 164 Zentimeter, das nächste für 165 bis 169 und so weiter. Man setzt das höchste Kästchen (das mit den meisten Werten) an die Null, das rechte Nachbarkästchen an die Stelle auf der x-Achse, wo seine Höhe gerade dem Wert der Gaußkurve entspricht, und so weiter, entsprechend für die linken Kästchen.

Aber das klingt doch ziemlich nach Datenmanipulation. Es wäre ohne weiteres möglich, die verdellerte Kurve der Körpergröße aller Deutschen mit einer Flächentransformation zu einer Gaußkurve zurechtzubiegen und damit den dominierenden Einfluss des Geschlechts auf die Körpergröße wegzumanipulieren. So etwas sollte man offensichtlich nicht tun.

Sinnvoll ist die Flächentransformation eher bei Größen, die man ohnehin nicht in Metern oder Sekunden messen kann. Versuchspersonen werden gebeten, eine Leistung mit Schulnoten zu bewerten oder ihre Schmerzempfindungen auf einer Skala von 1 bis 10 einzustufen. Wahrscheinlich ist der empfundene Abstand zwischen den Schulnoten 4 und 5 viel größer als der zwischen 5 und 6. Da macht es Sinn, nachträglich die Skala so anzupassen, dass eine Normalverteilung herauskommt.

Hat man zwei Verteilungen für dieselbe Population, sagen wir Körpergröße und Körpergewicht der deutschen Männer, und möchte wissen, wie die beiden Variablen zusammenhängen, dann vereinfacht die z-Transformation die Berechnung erheblich. In diesem Fall ist nämlich die eine Maßzahl für den Zusammenhang, die sogenannte Kovarianz, dasselbe wie die andere, der Korrelationskoeffizient, und berechnet sich, indem man für jeden Mann dessen Größe und Gewicht miteinander multipliziert, alle diese Produkte addiert und durch die Anzahl der Männer teilt: \[{\rm cov}(x,y)={1 \over n} \sum_{k=1}^n x_k y_k\] Übrigens: Für einen durchschnittlich großen und schweren Mann sind sowohl \(x_k\) als auch \(y_k\) gleich null – wir haben ja eine (0, 1)-Verteilung.

Ein Korrelationskoeffizient von 0 sagt, dass die beiden Variablen nichts miteinander zu tun haben. Ist er gleich 1, dann sagen beide eigentlich dasselbe, und ist er –1, dann sagen sie immer noch dasselbe, bloß mit umgekehrtem Vorzeichen. Und liegt er zwischen 0 und 1, dann scheint ein gewisser Zusammenhang zwischen beiden zu bestehen. Aber Vorsicht: Die Geburtenrate und die Häufigkeit der Klapperstörche in verschiedenen Regionen haben eine hohe positive Korrelation. Was schließt man daraus? Richtig: gar nichts.

Jetzt kommt das, was ich anfangs nicht glauben wollte: Kennt man nur eine der Variablen, sagen wir die Körpergröße x, und will eine Schätzung für die andere, im Beispiel das Körpergewicht y, abgeben, dann ist der beste Schätzwert für y gleich cov(x, y) mal x. Nun hängen Größe und Gewicht zwar tendenziell zusammen – im Prinzip sind größere Leute auch schwerer –, aber nicht wirklich gesetzmäßig: Es gibt lange Dünne und kurze Dicke. Sagen wir, die Kovarianz wäre 0,5. Dann würde ich einen Mann von Größe 1 (das heißt eine Standardabweichung über dem Durchschnitt) nicht auf das Gewicht 1 schätzen, sondern auf 0,5. Das sieht so aus, als würde ich das Gewicht der Großen unter- und das der Kleinen überschätzen.

Es kommt noch schlimmer. Wenn ich jetzt das Gewicht kenne und die Größe nicht, verschätze ich mich in umgekehrter Richtung: die Dicken zu kurz, die Dünnen zu lang. Weil ich’s wissen wollte, habe ich mir – ohne jeden Realitätsbezug – zwei (0, 1)-Verteilungen zurechtgemacht, die eine Kovarianz von 0,5 haben, und per Zufallszahlengenerator 10000 Stichproben genommen. Das sieht dann so aus:

Die Punktwolke ist so diffus, wie sie sein soll; aber wenn man sie möglichst gut durch eine Gerade annähern wollte, würde es wohl die rote Diagonale werden:

Aber nichts da: Wenn man x kennt und y schätzen will, nimmt man die flache grüne Linie, und im umgekehrten Fall die steile. Es stimmt; ich hab’s nachgerechnet. Wähle eine Körpergröße x, dann ist der zugehörige Punkt auf der flachen grünen Linie der y-Wert, der den kleinsten Schätzfehler für das Gewicht aller x großen Männer macht (genauer: Er minimiert die Quadratsumme aller Abweichungen zwischen echtem und geschätztem Gewicht). Offensichtlich kommt es entscheidend darauf an, was man weiß und was man nicht weiß.

Seltsam. Ich kann mich nicht erinnern, dass das damals in der Statistikvorlesung Thema war. Und das Problem aus dem Beispiel begegnet einem auch nicht oft. Wo kommt es schon vor, dass in der Hausarztpraxis eine Waage zur Verfügung steht, aber kein Metermaß? Oder umgekehrt?
Da habe ich auf meine alten Tage noch etwas Elementares gelernt.

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

14 comments

  1. Christoph Pöppe schrieb (28. Aug 2024):
    > [… Die] Normalverteilung. Jawohl, jene[] Glockenkurve, die man hierzulande bis zur Einführung des Euro auf jedem Zehnmarkschein bewundern konnte, gleich neben dem Portrait von Carl Friedrich Gauß.

    Jene Glockenkurve, die die Gaußsche Normalverteilung graphisch und unverzerrt-skalentreu darstellt, war und bleibt auf diesen Geldscheinen allerdings nicht in Gänze zu bewundern, sondern — gut erkennbar — lediglich in einem
    [{ (μ – 3 &sigma) … (μ + 3 &sigma) }]
    beidseitig endlich begrenzten Ausschnitt daraus.

    (Ein vergleichbar unvollständiger Ausschnitt der Normalverteilungs-Glockenkurve, wie das Abzählen der reellen Zahlen in einem bestimmten Intervall unvollständig bliebe, wenn nicht Zählschritt für Zählschritt immer noch jeweils eine — geeignet geordnete — Unendlichkeit von reellen Zahlen zusätzlich in die Zählung eingeflochten wird, die fehlen würde, wenn man stattdessen nur “und so weiter” zählte.)

  2. Löst die z-Transformation auch das Problem, dass die Größe oder das Gewicht einseitig begrenzt sind (man kann nicht kleiner als 0 sein)?

    • Christoph schrieb (29.08.2024, 07:00 o’clock):
      > […] das Problem, dass die Größe oder das Gewicht einseitig begrenzt sind (man kann nicht kleiner als 0 sein)?

      Sofern sich das “Gewicht”, dessen Werte u.a. in Hausarztpraxen ermittelt werden (sollen), ohnehin ohne besondere Berücksichtigung des eventuellen “Auftriebs” (von “Körpern”, in der mehr oder weniger stickigen “Untersuchungszimmer-Luft”) versteht, ist der Wert 0 jedenfalls keine Grenze des Wertebereiches.

      > Löst die z-Transformation auch das Problem, […]

      Offenbar nicht.

      Und die Formen von beidseitig begrenzten und insbesondere symmetrischen normalisierten Glockenkurven sind bisher womöglich noch nicht mal systematisch erfasst, geschweige denn einzeln benannt.

    • Löst die z-Transformation auch das Problem, dass die Größe oder das Gewicht einseitig begrenzt sind (man kann nicht kleiner als 0 sein)?

      Nein. Die gute Nachricht ist: In diesem Fall (Körpergröße und -gewicht) gibt es kein Problem. Denn lange bevor es auf die Null zugeht, ist die Dichte der Gaußverteilung auf 10 hoch minus sehr viel abgesunken, was für praktische Zwecke von null nicht zu unterscheiden ist.
      Allgemeiner: Die z-Transformation kann nicht alles passend machen. Sie scheitert bereits an Verteilungen mit zwei Kamelhöckern. Desgleichen an sogenannten J-Verteilungen: Die Aufgabe war so schwer, dass fast alle Leute null Punkte gekriegt haben, bis auf ein paar Ausreißer. Oder so leicht, dass man nur mit Flüchtgkeitsfehlern auf unter 100 Punkte kommt.
      Noch heimtückischer: Verteilungen mit dicken Schwänzen (fat tails). Jahrzehntelang sind die Abweichungen vom Mittelwert im Wesentlichen mäßig, man findet eine Gaußkurve, die prima zu den Daten passt, dann kommt die Finanzkrise (oder eine Jahrhundertflut), und plötzlich gibt es hohe Häufigkeitswerte für Extremereignisse. Es hilft nicht, die Gaußkurve zu verbreitern, sie stimmt nicht, egal was man für die Parameter einsetzt. Zu dumm, dass alle Risikoberechnungssoftware der Banken von der Gaußverteilung ausgeht. Weswegen die Beteiligten von der Krise kalt erwischt wurden.

  3. Sehr gut geschrieben.

    Das mit den Störchen und der Geburtenrate ist aber kein Zufall, sondern lässt sich durch die Kovariate “auf dem Land leben” erklären: Dort gefällt’s nicht nur den Störchen bessern, sondern haben die Menschen auch mehr Kinder.

  4. Und zur Normalverteilung:

    Wenn ich das richtig sehe, ist das mit der Körpergröße (mathematisch) kein Widerspruch, da der Faktor “Geschlecht” einen außergewöhnlich großen Einfluss hat.

    Ich erinnere mich an ein Psychologiebuch aus dem Studium, in dem ich (sinngemäß) las, dass eine psychologische Variable nur als valide gelten kann, wenn ihre Messung in der Population zu einer Normalverteilung führt. Das fand ich damals extrem merkwürdig, sich sozusagen von der Ansicht über “Schönheit” einer Formel die Wissenschaft diktieren zu lassen.

    Ein schönes Beispiel wäre die Notenvergabe im Fach Psychologie selbst: In Deutschland ist die wohl extrem zur 1 verzerrt; bei uns in den Niederlanden, je nach Kurs, dürfte der Mittelwert zwischen 7 und 8 (von 10 = Maximum) liegen, was nach deutschem Denken nur einer 3 bis 2 entspräche.

  5. Zu lesen angefangen habe ich eigentlich nur, weil meine Tochter nächste Woche ihr Psychologiestudium in Mannheim beginnt. Dann hat’s mit interessiert, und am Ende war ich verwirrt.
    Ich bin weder Mathematiker noch Psychologe, daher stehe ich auf dem Schlauch. Soweit ich mich erinnere, kommen Regressionsgeraden wie die rote Linie gerade dadurch zustande, dass diejenige Gerade gesucht wird, bei welcher die Summe der Quadrate der Abweichungen zwischen gemessenem Wert und Gerade minimal wird. Wie kann es sein, dass laut Text die grüne Linie dasselbe tut?

    • @ Konrad Lehmann:

      Die Antwort auf Ihre Frage lautet folgendermaßen.

      In einem Fall ist X ihr Prädiktor, in dem anderen Fall Y. Sie tauschen also die Rollen zwischen X und Y in der linearen Regression. In einem Fall minierem sie die least-squares vertikal betrachtet, in dem anderen Fall horizontal. Deshalb ändert sich jeweils die Steigung der Geraden.

      Ein Unterschied besteht wenn Sie statt mit einer einfachen linearen Regression beide Variablen korrelieren, z.B. via einer Pearson correlation. In diesem Fall ist die Korrelation immer gleich, egal ob X-Y oder Y-X korreliert wird. Diese ist wohl die rote Linie in der Grafik oben bzw. wird dieser in etwa entsprechen.

      Der Korrelationskoeffizient r von Pearson ist identisch mit der Steigung der Geraden der linearen Regression wenn beide Variablen, also X und Y, vor Anwendung der Regression zuerst standardisiert werden.

      Dazu gibt es “Verbesserungen” der einfache linearen Regression, z.B. via Theil oder Siegel slopes die deutlich robuster gegen Ausreißer sind. Die einfache ordinary least-square Regression ist sehr anfällig gegen Ausreißer.

      Gruß,
      Philipp

  6. 1. Lesetip: ‘Normal~ bzw. Gleichverteilung’, ihre m-ten Ableitungen -> Beisp.: mexican hat -> Wavelets -> Sobolov-Räume -> Lösungsmöglichkeiten für partielle Diff.-Gleichungen (PDEs) => Das, was Laplace~/Fourier~ für ODEs (im L2 ‘lebend’), könnten Wavelets für PDEs (in echten Teilräumen von L2 ‘lebend’) sein?!?
    2. Lesetip: Bei Variation von Verteilungen zeigt sich, dass Normal- bzw. Gleichverteilung die Entropie maximieren…
    3. Lesetip: Aus der Schulzeit sicher noch bekannt: Lineare Unabhängigkeit zweier Vektoren => Skalarprodukt = 0 (siehe auch L2 in 1.) -> M.a.W die ‘Messwerte’/Funktionen/ein ganzes Bündel von… usw. stehen quasi – paarweise – immer senkrecht zueinander…
    4. Lesetip: (Auto~) Korrelationsfunktionen weißes/farbiges Rauschen in Zeitreihen -> Vorhersagemöglichkeiten…

    Das ist spontan Das, was mir zum alterwürdigen Gauss noch einfällt 🙂 Und dachte Gauss über Psychologie nach? Dank für den Artikel!

  7. Der Zusammenhang von Größe und Gewicht.
    Würden wir anstelle von Größe das Körpervolumen wählen, dann ergibt sich der Zusammenhang. Die Dichte des menschlichen Körpers liegt bei ungefähr 1. Zwischen 0,98 – 1,02 g /cm³. Ein Mensch mit 100 kg Körpergewicht verdrängt also ungefähr 100 l Wasser.
    Zu beachten ist ein zweiter Zusammenhang Die Knochendichte liegt bei 1,50 g/cm³ mit einer Standardabweichung von 0,20 g/cm³.
    So kann man Osteoperose feststellen.
    Mit einer Badewanne lässt sich also feststellen, ob die Frau Osteoperose hat oder nicht. (kleiner Spaß)
    Medizinisch betrachtet ist so eine Standardverteilung sinnvoll.
    Das Tolle an der Gausskurve ist doch, dass sie sich dehnen und pressen lässt wie ein Kunststoffkörper.

    • Na gut, Körpergewicht und Körpervolumen sind in der Tat sehr eng korreliert. Deswegen genügt es, den Menschen auf die Waage zu stellen, statt ihn (viel aufwendiger) in die volle Wanne zu tunken und das überlaufende Wasservolumen zu messen.
      Was aber verloren geht, wenn man statt der Körperlänge das Volumen messen würde, ist der Unterschied zwischen Dicken und Dünnen. Und der ist in der Hausarztpraxis von Bedeutung.

  8. Christoph Pöppe
    Sie wollten ja mit dem Beispiel von Körpergröße und Gewicht zeigen, dass man mit der Normalverteilung auch schätzen kann, wenn es keinen Zusammenhang zwischen zwei Variablen gibt.

    Ich wollte nur zeigen, dass es bei zwei Variablen immer einen Zusammenhang gibt, im Falle von Größe und Gewicht ist das die Dichte.

    Aber darum geht es ja nicht, es geht doch darum, wie diese ausgefuchste Exponentialfunktion aufgebaut ist. Warum kann man sie nicht ausrechnen und braucht für die Werte eine Wertetabelle ?
    Persönlich finde ich das Thema so spannend wie einen Kriminalroman.
    Ihren Satz verstehe ich nicht :”Die Punktwolke ist so diffus, wie sie sein soll; aber wenn man sie möglichst gut durch eine Gerade annähern wollte, würde es wohl die rote Diagonale werden:

    Was wird bei der Punktwolke angenähert ? Ihre Diagonale ?
    Mein Wunsch wäre, dass sie mal kurz einen Crashkurs für Glockenkurvendummies machen, die Erklärungen in den Mathematikbüchern kommen mir alle vor wie nur abgeschrieben, keiner der Autoren macht sich die Mühe, so eine Funktion zu erklären, was ist das Geniale an ihr.

    • Das mit dem Crashkurs wird nichts, fürchte ich. Ein paar Stunden würden Sie schon aufwenden müssen, um sich mit der Exponentialfunktion richtig wohlzufühlen, und so lange gebe ich keinen Privatunterricht, sorry. Vielleicht helfen die folgenden Bemerkungen ein bisschen.
      Man kann die Exponentialfunktion ausrechnen. Genauer: Für jede Zahl \(x\) findet man die Zahl \(e^x= \exp x\), das heißt: Es gibt ein Verfahren, mit dem man \(\exp x\) mit beliebig großer Genauigkeit bestimmen kann. Theoretisch mit Bleistift und Papier, praktisch nimmt man besser eine Tabelle oder einen Taschenrechner. Aber es gibt eben keine knackige Formel, ein Schicksal, das bereits so harmlose Zahlen wie \(\sqrt 2\) trifft.
      Aus den schieren Zahlenwerten, auch aus ganz vielen, lernt man natürlich nicht viel. Da ist es besser, sich an die Rechenregeln für die Exponentialfunktion zu halten. Zum Beispiel \(e^{a+b} = e^a \cdot e^b \). (Was übrigens auch gilt, wenn man anstelle von \(e\) eine andere positive Zahl als Basis nimmt.) Woraus unter anderem folgt, dass \(e^{-a} = {1 \over e^a} \) ist. Und: \(e^x\) ist monoton steigend: Je größer \(x\), desto größer auch \(e^x\). \(e^0=1\), also ist \(e^a > 1\) für jedes positive \(a\). Kleiner als null wird \(e^x\) auch nie. \(e^{-x^2}= 1/e^{x^2}\) ist also immer positiv, aber nie größer als 1, und den Wert 1 erreicht es auch nur für \(x=0\). Und beiderseits der Null fällt es schön gleichmäßig ab.
      Jetzt haben Sie schon fast die Glockenform. Für den Rest müsste man noch etwas Differentialrechnung treiben.

      • Christoph Pöppe schrieb (11.09.2024, 12:14 o’clock):
        > […] Exponentialfunktion […]
        > […] Aber es gibt eben keine knackige Formel […]

        Beim ersten, offenbar nicht ganz sorgfältigen Lesen hat mich diese Formulierung sehr gewundert.
        Die Formel, die die Exponentialfunktion definiert (oder wenigstens so gut wie?),
        ist doch gewiss eine der knackigsten überhaupt:

        \[ \text{Exp}[ \, x \, ] := \frac{d}{dx} \left[ \phantom{\frac{|}{|}} \text{Exp}[ \, x \, ] \, \right] \]

        Erst später dämmerte mir, dass es um numerische Rechnerei gegangen war, und schließlich:

        > Für den Rest müsste man noch etwas Differentialrechnung treiben.

        p.s.
        >
        [… Die Exponentialfunktion] ist monoton steigend: Je größer \(x\), desto größer auch \(e^x\) […]

        Die Formulierung “Je …, desto …” hat allerdings ein gewisses “Geschmäckle” von Proportionalität. (Was auf die Exponentialfunktion bekanntlich nicht zutrifft.)

        Monotones Steigen einer Funktion (an sich) drück man wohl genauer so aus:

        Wenn der Wert des Argumentes zunimmt, dann nimmt auch der Funktionswert zu.”

        Bzw.

        Wenn \(x\) zunimmt, dann nimmt auch \text{Exp}[ \, x \, ] zu.”

        p.p.s.
        Die SciLog-Kommentar-Vorschau funktioniert immer noch nicht!, und insbesondere nicht mal bei SciLog-Kommentaren so kurz wie der obige.

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