Neuronale Netze und die Suche nach dem Minimum
BLOG: Heidelberg Laureate Forum
In meinem letzten Beitrag hatte ich Ihnen erzählt, wie man das Minimum einer Funktion von mehreren Variablen finden kann. Wenn es nur zwei Variable sind, dann kann man die als Koordinaten auf einer Landkarte interpretieren. Der Funktionswert ist dann die Höhe über dem Meeresspiegel, und es geht darum, den tiefsten Punkt in der Landschaft zu finden.
Wenn es mehr als zwei Variable sind, versagt jedoch die Anschauung. Aus der Landkarte wird ein N-dimensionaler Raum, und der wäre selbst dann sehr unübersichtlich, wenn man sich ihn vorstellen könnte. Aber die Mathematik funktioniert im Wesentlichen genauso wie beim Wandern in der Landschaft. Es stellt sich heraus, dass es auf die Ableitungen der Funktion nach allen ihren Variablen ankommt. Diese so genannten partiellen Ableitungen bilden einen Vektor, den man den Gradienten der Funktion nennt, genauer: den Gradienten dieser Funktion in dem speziellen Punkt im N-dimensionalen Raum, an dem man die Funktion gerade auswertet. Der Gradient weist in die Richtung, in der es am steilsten abwärts geht – nicht unbedingt der kürzeste Weg zum Ziel, aber für den ersten zaghaften Schritt eine gute Idee.
Und wenn die Anzahl der Variablen in die Millionen oder gar Milliarden geht? Dann bleibt die Theorie immer noch unverändert. Aber in der Praxis ist es bereits ein erheblicher Aufwand, den Gradienten überhaupt auszurechnen. Um den Aufwand in Grenzen zu halten, muss man sich schon Mühe geben.
Gibt es überhaupt Minimierungsprobleme mit dieser aberwitzigen Variablenzahl? Allerdings, und sie sind sogar im Moment in aller Munde. Maschinelles Lernen, das, was ChatGPT und seinesgleichen zu derart erstaunlichen Leistungen befähigt, läuft nämlich im Grunde auf die Lösung eines Minimierungsproblems hinaus. Dessen Variable sind die Eigenschaften der Komponenten eines neuronalen Netzes, und deren Anzahl geht bei den großen Modellen in der Tat in die Milliarden.
Um es gleich vorweg zu sagen: Erwarten Sie bitte keine Erklärung, wie ChatGPT funktioniert. Mal abgesehen davon, dass selbst die Konstrukteure dieser Systeme damit ihre Schwierigkeiten haben: Ein Large Language Model (LLM) ist sehr viel mehr als ein (sehr großes) neuronales Netz. Beschränken wir uns hier auf die Basisversion, die – wenn auch ziemlich abstrakt – dem Sehsystem in unserem Gehirn nachempfunden ist.
Aus diesem Grund heißen die Elemente eines solchen Netzes Neuronen. Unter denen der untersten Schicht darf man sich die Sehzellen in unserer Netzhaut vorstellen. Jede von ihnen gibt ein Signal ab, das ungefähr proportional zur Menge des eingefallenen Lichtes ist, und übermittelt diese Zahl an verschiedene Neuronen eine Schicht höher. Jedes von diesen nimmt Signale von mehreren Neuronen der nächsttieferen Schicht entgegen und macht aus diesen Zahlen eine neue: Es berechnet den Wert einer Funktion, deren Variablen die eingehenden Signale sind. Zum Beispiel multipliziert es jeden dieser Inputs mit einem gewissen Faktor (dem „synaptischen Gewicht“ der Verbindung), addiert alle diese Produkte zusammen und verarbeitet diese Summe noch weiter.
So wird das Bild, das die unterste Schicht gesehen hat, Schicht für Schicht weiterverarbeitet, bis die Neuronen der obersten (Output-)Schicht das Ergebnis bekanntgeben. Die heißen zum Beispiel „Hund“, „Katze“, „Mensch“, „Elster“, „Schwertwal“ und so weiter, und wenn das vorgelegte Bild eine Katze zeigt, dann soll das Neuron namens „Katze“ das Signal 1 abgeben und alle anderen das Signal null. (Der besseren Vergleichbarkeit zuliebe werden die Outputs normiert, das heißt, mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert, so dass ihre Quadratsumme gleich 1 ist.)
Das passiert im Urzustand des Netzes natürlich nicht; denn die synaptischen Gewichte haben „ab Werk“ irgendwelche zufälligen Werte. Vielmehr soll das Netz erst lernen, wie – zum Beispiel – eine Katze aussieht, und zwar an Beispielen.
Ein Schritt des Lernprozesses besteht darin, dass ein Computerprogramm (der „Lehrer“) dem Netz ein Bild einer Katze vorlegt, zusammen mit der Auskunft „Das ist eine Katze“. Daraufhin verändert das Netz seine synaptischen Gewichte ein kleines Stück in Richtung des erwünschten Zustands: Nur das Outputneuron „Katze“ liefert den Wert 1 und alle anderen den Wert 0.
Wie macht es das? Indem es ein Minimierungsproblem löst. Man definiert zunächst die zu minimierende Funktion. In diesem Fall ist es die sogenannte Fehlerfunktion: Man nimmt den vorliegenden Output minus den erwünschten Output, das zum Quadrat, und summiert über alle Outputneuronen. Wenn das System perfekt ist, hat die Fehlerfunktion den Wert 0, und in jedem anderen Fall ist sie positiv. Also ist es eine gute Idee, die Variablen der Funktion – die in diesem Fall die synaptischen Gewichte sind – so abzuändern, dass die Fehlerfunktion kleiner wird. Und das geht wie bei der Geschichte mit dem Bergwandern in die Richtung, in der es am steilsten abwärts geht („steepest descent“), also in Richtung des Gradienten.
Das letzte Mal hatte ich noch wortreich argumentiert, dass es geschicktere Wege zum Ziel gibt als den steilsten Abstieg. Stattdessen sollte man die Funktion in der Nähe des aktuellen Punktes durch einen verallgemeinerten elliptischen Eierbecher annähern und dann sogleich auf den Grund dieses Eierbechers springen. Das ist zwar nach wie vor richtig, aber im Fall eines neuronalen Netzes völlig witzlos. Die Konstruktion des Eierbechers läuft auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems hinaus, und darüber braucht man bei Millionen bis Milliarden von Variablen gar nicht erst nachzudenken.
Bereits die Berechnung des Gradienten ist nicht einfach. Dass sie überhaupt gelingt, verdanken wir einem der nützlichsten Sätze der Analysis, der Kettenregel. In ihrer einfachsten Form lautet sie \[(f \circ g)’ (x) = f’(g(x))g’(x) \; .\] Wenn f nur vermittels g von x abhängt, dann ist die Ableitung von f nach x gleich der Ableitung von f nach g an der Stelle g(x) mal der Ableitung von g nach x. In der leibnizschen Schreibweise \[{df \over dx}= {df \over dg}{dg \over dx} ] sieht das besonders elegant aus, so als müsste man nur den Bruch df / dx mit dg erweitern, um zur Kettenregel zu kommen. Nur sind das alles keine Brüche, sondern Grenzwerte von Brüchen, so dass die Eleganz ein bisschen in die Irre führt.
Angewandt auf unsere Fehlerfunktion weist die Kettenregel im Effekt jedem Outputneuron einzeln zu, welchen Beitrag es zur Minderung des Fehlers zu leisten hat. Und nicht nur das: Jedes Neuron wendet die Kettenregel auf die Funktion an, die es selbst ausrechnet, und findet dadurch den Beitrag, den es selbst zu leisten hat, und außerdem die Beiträge, die seine „Lieferanten“ zu leisten haben, also die Neuronen eine Schicht tiefer, deren Werte in seine eigene Berechnung eingegangen sind. Auf diese Weise erledigt jedes Neuron seine Pflichten zur Nachbesserung zum einen Teil selbst, zum anderen Teil reicht es sie an die Ebene eins tiefer weiter. Die arbeitet nach demselben Prinzip, und so weiter, bis schließlich die Information über den Fehler, und wie er zu mindern ist, von oben nach ganz unten durchgesickert ist.
Das Prinzip heißt backpropagation, Rückwärtsverbreitung. Es hat den Charme, dass jedes Neuron seine Pflichten lokal berechnen kann, das heißt, indem es nur die Information verwendet, die es selbst schon besitzt oder von unmittelbar oben durchgereicht bekommt.
Das ist einerseits für die Leute wichtig, die ein neuronales Netz auf einem Computer programmieren wollen. Bei derart vielen Zahlenwerten, die das Gerät im Speicher halten muss, kommt es darauf an, dass die Kommunikation unter den Speicherplätzen sehr geregelt und vor allem lokal, das heißt möglichst nur zwischen benachbarten Plätzen stattfindet. Dann kann man nämlich die gewaltige Rechenarbeit auf viele parallel arbeitende Rechenwerke (Prozessoren) verteilen.
Andererseits interessiert das Prinzip der Backpropagation auch die Forschenden aus der Neurowissenschaft, die verstehen wollen, wie ein echtes Gehirn lernt – oder wenigstens dessen Sehsystem. Irgendwie muss auch dort die Information, mit der die Neuronen ihr Verhalten korrigieren, entgegen der allgemeinen Richtung „von oben nach unten“ fließen.
Mit einem Lernschritt ist es allerdings nicht getan – nicht entfernt. Die Richtung des steilsten Abstiegs ändert sich ja möglicherweise sehr rasch, wenn man sich in dem millionendimensionalen Raum der synaptischen Gewichte bewegt; also muss man die Schrittweite ziemlich klein wählen, damit das System nicht in die Irre läuft. Dadurch werden es sehr viele kleine Schritte.
Darüber hinaus, und noch wichtiger: Das nächste Mal ist die Zielfunktion eine ganz andere. Der „Lehrer“ legt dem Netz ein anderes Bild vor, sagt „Hund“ dazu, und schon versucht das Netz einen anderen Idealzustand anzustreben: 1 für das Outputneuron „Hund“, 0 für alle anderen.
Nach Millionen von Lernschritten mit ebenso vielen vorgelegten Bildern hat das Netz dann tatsächlich die Fähigkeit erworben, ein Bild, das es vorher noch nie gesehen hat, korrekt als „Hund“ oder „Katze“ oder sonst ein Tier aus dem Trainingsdatensatz zu identifizieren.
Wie es das im Einzelnen macht? Das wissen weder die Erbauer des lernfähigen Systems noch sein Trainer. Im ausgelernten Zustand haben alle synaptischen Gewichte einen Wert angenommen; der ändert sich auch kaum noch beim Weiterlernen. Alle diese Zahlenwerte sind ohne weiteres zugänglich. Aber sie bringen nicht die geringste Erkenntnis – über das hinaus, was man erfährt, wenn man das Netz auf ein neues Bild ansetzt.
Das ist die – viel beschriebene – Heimtücke der neuronalen Netze: Sie können zwar Antworten geben, und die stimmen auch meistens, aber ihre Antworten nicht begründen.
Und wann wird das Ganze analog und beginnt mit Wellen zu rechnen, die einander modulieren, verstärken oder auslöschen?
Ich vergleiche das Ganze mit dem Wellen-Computer Universum, das ja auch mit Fraktalmustern und Mathe arbeitet. Sie sind gerade selbst Teil einer solchen Berechnung:
Wir sind an einem Punkt angekommen, wo wir eine vage Ahnung haben, wie die Welt der Zukunft aussehen soll: 2+2= ungefähr 4. Sie sehen aber, dass sich die Menschheit nur in einem Punkt einig ist: 2+2 ist nicht 4. Und so laufen unendlich viele Nebenberechnungen in unendlich vielen Grauzonen, wir versuchen, mit Gewalt auf ein Ergebnis zu kommen, das uns genehmer ist als 4.
Die Realität ist ein Computer, der Massenwahn namens Normalität in unseren Köpfen das Betriebssystem – sagen wir vereinfacht, bislang hatte es den Wert 11. Die Realität hat sich verändert, die Normalität ist immer noch die von Gestern, und weil die gegenseitige Kontrolle fehlt, stürzen beide ins Chaos – die Realität wird wahnsinnig und unberechenbar, die Betriebssysteme laufen ins Leere, also rechnen wir um die Wette und experimentieren mit allen möglichen Betriebssystemen: Die von Gestern, die von Vorgestern, kleinen bis großen Mutationen des aktuellen Betriebssystems: 11, 10, 9, 76, T-1000, 666, Pi Komma Sahnetorte zum Quadrat hüpft im Dreieck.
Sowohl in unseren Köpfen, wie auch in der Realität sehen Sie ein Massensterben von Arten, Denkweisen, Gewissheiten, Firmen, Völkern, Systemen: Fehlerhaften Berechnungen. Sie sehen unendlich viel Inflation in allen möglichen Bereichen, was auch immer schon immer funktioniert hat, wird maßlos übertrieben: Geld, Börse, Aggression, Rechthaberei. Werte, die von 4 abweichen, können sich vorübergehend stabilisieren, aber der Kraftaufwand, den wir hineinstecken müssen, damit sie wider alle Fakten fortbestehen, macht es zu Blasen, die Realität weigert sich, sie zu unterstützen, also platzen sie aus mangelnder Kompatibilität zu der Physik und natürlicher Logik der Welt.
Es ist wie die Mobilisierung einer Armee, die sehr, sehr lange nur Frieden kannte, oder eine brodelnde Ursuppe, bei der das Alte geschmolzen und zu Neuem geschmiedet wird: Erst mal Chaos, Versuch und Irrtum, gnadenloser Konkurrenzkampf, bei dem der Stärkste gewinnt und sich ihm alles andere hierarchisch unterordnet: Am Ende wird eine stabile Realität herauskommen, der ewige Stärkste, gebaut aus Materie und Physik. Und unter ihrer Herrschaft alle möglichen Welten des Wahns, die von ihr stabilisiert und mit Strom versorgt werden und hierarchisch und parallel zu einem Netzwerk verschaltet sind. Und dieser Konstrukt wird die 4 sein: Ein stabiles, konkretes Ergebnis, mit dem alles und jeder zuverlässig rechnen kann.
Jaa, ich rede hier von potenziellen Zuständen und Quanten-Kollaps in der Makro-Welt. Werdet damit fertig, Quantenfeen gibt es nicht, im Kleinen und Großen herrschen exakt die gleichen Regeln.
Wir erkennen hier keinen Hund, sondern bauen ihn, indem wir Klümpchen aufeinander klatschen lassen und mit dem weiterarbeiten, das die Kollision überlebt hat – schnöder Darwinismus also, Evolution as usual. Die Sache ist nur die: Die Evolution macht unglaublich komplexe Mathematik, und hat doch noch nie was von Zahlen oder Formeln gehört.
Einfache Werte: 1 und 0, Plus und Minus, Weiß und Schwarz, werden in großen Mengen zu Grauzonen, das Digitale wird analog. Aus Mathematik wird Musik, man fasst Myriaden winziger Berechnungen zu einer Welle zusammen und weiß gar nicht mehr, was da genau passiert. Man betrachtet nur die ganze Welle, Frequenz, Amplitude, Wellenlänge, und die Interaktion mit anderen Wellenmustern. Man verzichtet auf Präzision, rechnet mit Wahrscheinlichkeiten, statistischen Werten, lässt Grauzonen zu.
Wenn Sie Ihren Fußboden wischen, kippen Sie einen Eimer hochentwickelter Computer, von denen jeder für sich komplexe Berechnungen ausführt, auf den Boden, und arbeiten mit der Pfütze, ohne die Berechnungen zu kennen. Sie kennen das Verhalten des Wassers, nicht der Moleküle.
Und die neuralen Netzwerke bewegen sich bereits in die Richtung des Doppelspalt-Experiments: Wellen, die einander auslöschen oder verstärken und komplexe, vorhersagbare Muster erzeugen – aber nur Wahrscheinlichkeiten, wenn man sich die einzelnen Photonen anguckt.
Das Chaos der Selbstorganisation überlassen und es nur durch allgemeine Management-Maßnahmen in sinnvolle Bahnen zu lenken – am Ende werden wir auch bei KI die gleichen Probleme lösen müssen, wie auch bei der natürlich entstandenen Art.
Zu „Quantenfeen gibt es nicht, im Kleinen und Großen herrschen exakt die gleichen Regeln.“
Nicht ganz denn es gibt Grenzen, wie den Schmelz- oder Siedepunkt in der Natur und in neuronalen Netzen Sprünge mit Licht- oder Schallgeschwindigkeit https://www.scinexx.de/news/kosmos/interstellare-turbulenzen-im-supercomputer/
Christoph Pöppe schrieb (14. May 2025):
> In meinem letzten Beitrag [ https://scilogs.spektrum.de/hlf/bergwandern-in-n-dimensionen/ ] hatte ich Ihnen erzählt, wie man das Minimum einer Funktion von mehreren Variablen finden kann.
Dort waren ja nicht einmal (ausdrückliche) Bedingungen genannt, unter denen die Existenz “des Minimums einer Funktion von mehreren Variablen” überhaupt garantiert wäre; und nicht “nur ein Infimum”, oder etwa “mehrere (gleiche) Minima, an verschiedenenen Stellen”.
> Wenn es nur zwei Variable sind, dann kann man die als Koordinaten auf einer Landkarte interpretieren. Der Funktionswert ist dann die Höhe über dem Meeresspiegel, und es geht darum, den tiefsten Punkt in der Landschaft zu finden.
Wie (und warum) sollten den Bestandteilen einer “Landkarte” denn überhaupt Koordinaten (d.h. Paare reeller Zahlen) zugeordnet werden ??
In der “Landschaft” (an sich) sind Koordinaten ja nicht zu finden …
> […] Ableitungen der Funktion nach allen ihren Variablen
… sofern diese überhaupt existieren …
> bilden einen Vektor,
Woher käme denn der Vektorraum “in dem” irgendein Zahlen-Tupel “einen Vektor bildet” ??
> […] Richtung, in der es am steilsten abwärts geht („steepest descent“)
Dabei ist die Problematik noch immer offen (oder noch nicht einmal zur Kenntnis genommen) ob und wie “Steilheit” als eine Größe zu definieren ist,
von deren Maximal-Wert ggf. im Superlativ (“am steilsten”) zu sprechen wäre; oder …
… ob “steiler als” z.B. lediglich als eine paarweise Beziehung von (monotonen) Funktionen auf einer geordneten Menge zu verstehen wäre.
> […] Kettenregel […]
\[ (f \circ g)’ [ \, x \, ] = f’[ \, g[ \, x \, ] \, ] \times g’[ \, x \, ] \]
oder noch ausdrücklicher (in Operator-Schreibweise):
\[ \frac{\rm d}{\rm d x}\left[ \phantom{\frac{|}{|}} (f \circ g)[ \, x \, ] \right]_{x = x_\text{s}} = \frac{\rm d}{\rm d g}\left[ \phantom{\frac{|}{|}} f[ \, g \, ] \right]_{g = g[ \, x_\text{s} \, ]} \times \frac{\rm d}{\rm d x}\left[ \phantom{\frac{|}{|}} g[ \, x \, ] \right]_{x = x_\text{s}}. \]
> Wenn \(f\) nur vermittels \(g\) von \(x\) abhängt, dann ist die Ableitung von \(f\) nach \(x\) […]
Die Bezeichnung des/ihres Arguments ist aber (i.A.) nicht Bestandteil der Definition einer Funktion. Deshalb geht es (wie schon oben gezeigt) zumindest am deutlichsten um die Ableitung von \(f \circ g\) nach \(x\).
> gleich der Ableitung von \(f\) nach \(g\) […] mal der Ableitung von g nach x.
(Wobei die Notation von bestimmten “Stellen” des jeweiligen Definitions-Bereiches noch festzulegen und zu vereinbaren bleibt; vgl. oben)
> […] Heimtücke der neuronalen Netze: Sie können zwar Antworten geben, und die stimmen auch meistens, aber ihre Antworten nicht begründen.
Auch “das Begründungen geben” lässt sich wohl lehren und üben …
Zu „… und es geht darum, den tiefsten Punkt in der Landschaft zu finden: Das System „Landkarte“ kann aber auch in einem metastabilen Zustand verharren bis es eine Energiebarriere überwindet, um dann eventuell in einen stabilen Zustand überzugehen. Beispielsweise ist ein Punkt im Gleichgewicht auf welchen drei Kräfte wirken die nicht parallel im Gleichgewicht sind wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt werden: Die Kraftvektoren sind Koplanar, befinden sich also in derselben Ebene und die Geraden durch die Kraftvektoren sind kongruent, sie treffen sich also an einem Punkt. In der Chemie bezeichnet ein metastabiler Zustand eine Zwischenform eines Stoffes die energetisch weniger stabil ist als der Grundzustand, aber dennoch für eine gewisse Zeit bestehen kann bevor sie in einen stabileren Zustand übergeht. Eine Verlustfunktion ordnet dann jeder Entscheidung in Form einer Punktschätzung, einer Bereichsschätzung oder eines Tests den Schaden zu, der durch eine vom wahren Parameter abweichende Entscheidung entsteht.
Zu „> […] Heimtücke der neuronalen Netze: Sie können zwar Antworten geben, und die stimmen auch meistens, aber ihre Antworten nicht begründen.
Auch “das Begründungen geben” lässt sich wohl lehren und üben …“:
Das ist nur mit großem Aufwand möglich, denn neuronale Netze der KI kann man mit dem Unterbewusstsein vergleichen, also dem System 1 das schnelle System, welches ohne große Anstrengung Informationen aufnimmt, mit gespeicherten Erfahrungen und (Denk-) Mustern kombiniert und zu einer raschen Entscheidung kommt. Das ist genau das System, wo die meisten kognitiven Verzerrungen auftreten da keine sorgfältige Informationsverarbeitung und -analyse passiert. Das energieaufwendigere System 2 das kontrollierte System welches aktiviert wird wenn wir ganz bewusst Entscheidungen treffen und rational nachdenken ist aktiv wenn wir Informationen hinterfragen, nach Alternativen suchen, und Vor- und Nachteile abwägen. Es führt also zu einer meist wahrheitsgetreuen Informationsverarbeitung, aufgrund dessen Verzerrungen mit viel Aufwand vermieden werden können.
Wie angenehm, motivierend, erleichternd, beruhigend, ein Trainingsziel formulieren und setzen zu können, für das sich Aufwand lohnt;
insbesondere, all unsere Feststellungen betreffend Geometrie und Kinematik ausdrücklich mit Koinzidenz-Bestimmungen zu begründen (anstatt mit was auch immer aus dem Regal der PTB in Markus Pössels SciLog oder MPI-Präsenz gepurzelt käme).
Verzerren ist menschlich — Diskurs-Verweigern ist spaltend.
Zu „Die Neuronen der untersten Schicht (blau) nehmen Information in Gestalt eines Zahlenwerts aus der Außenwelt auf und reichen sie (schwarze Striche) an die Neuronen der nächsthöheren Schicht weiter. Diese verrechnen das, was aus verschiedenen Neuronen von unten kommt, zu einem neuen Zahlenwert, den sie nach oben weiterreichen, und so weiter. Die Neuronen der obersten Schicht (grün) liefern die Ergebnisse dieses Verarbeitungsprozesses.“:
Das System arbeitet zum großen Teil auf dem Prinzipe der “Relativgeschwindigkeit im System/Körper” auf Grundlage der unterschiedlichen gegenseitigen Geschwindigkeiten innerhalb eines Körpers oder Systems, also den Geschwindigkeiten der Scheinleistungen, wie etwa der Quasiteilchen z.B. Exitonen in Kristallen. Sie können zusätzlich zur Energie auch Informationen speichern, transportieren und diese auch als Licht abgeben wenn sie sich dabei ohne Wiederstand bewegen oder auf Bahnen kreisen. Ankommende Photonen des Lichts regen Elektronen im Material an. Das zurück gelassene positiv geladene Loch zieht das Elektron an und bildet mit ihm eine Art Paar. Diese Paare aus getrenntem Elektron aus dem Verband des Materials und dem entstandenem Loch als neues eigenständiges Teilchen werden mit Quasiteilchen bezeichnet. Die Besonderheit der Exitonen besteht darin dass sie die Energie des ursprünglich anregenden Lichts als „Unwucht“ speichern können und so durch ihre Beweglichkeit auch innerhalb des Materials, Körpers bzw. Systems transportieren können ohne dass gleichzeitig ein Ladungstransport stattfindet, da Loch und Elektron zusammen elektrisch neutral sind. Durch entsprechende Kombinationen können dann aus dem Hintergrund von ChatGPT Lösungen eines Minimierungsproblems im Bildbereich gelöst und als Wirkleistung weitergereicht, aufgenommen und verarbeitet werden.
In der Mathematik bedeutet die Division eine Umkehrung der Multiplikation und die Subtraktion die Umkehrung der Addition. Auf einem Zahlenstrahl der Realität ist das Minimum 1, denn unter 1 beginnt immer das Abbild der Realität, auch von ChatGPT Lösungen, da man mit der Einführung von -∞ alles mit 0=1, 0=2, …, 0=∞ beweisen kann.
Wo und wann die Realität der 1 bei einem Minimum -∞ = 0 = ∞ ist zeigt beispielsweise der Blitzeinschlag mit zwei Entladungspfaden, ein negativ geladener von der Wolke Richtung Boden und ein positiv geladener vom Boden nach oben: https://www.heise.de/news/Forscher-beobachten-erstmals-Gammablitz-auf-der-Erde-10417659.html. Der Gammablitz entstand Mikrosekunden bevor sich die Entladungspfade trafen. Wenn sie sich treffen, kommt es zur Entladung 1 auf dem Potential 0 zwischen -∞ und ∞.
Einsteins Theorie lässt prinzipiell Teilchen zu https://www.spektrum.de/kolumne/relativitaetstheorie-tachyonen-koennten-laut-mathematik-existieren/2232346 die sich schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, sofern ihre Masse imaginär ist, also ihr Wert der Wurzel einer negativen Zahl entspricht. Es gibt eventuell am Atom einen Anfangszustand, repräsentiert durch das Elektron, der sich in Richtung Zukunft entwickelt und einen zweiten, repräsentiert durch das Proton, der vom Endzustand her zeitlich rückwärts läuft. Vergangene und zukünftige Messungen liefern im Bildbereich gemeinsam die vollständige Information zu diesem Quantensystem. Dadurch werden der Anfangs- und der Endzustand als Zwillingszustände gleichzeitig behandelt. Diese Zwillingszustände sind keine mathematischen Kuriositäten. Für eine vollständige Beschreibung sind jeweils Anfangs- und Endzustand nötig und diese ändern sich als Gesamtes nicht bei der Lorentz-Transformation. Ein bewegter und ein ruhender Beobachter nehmen daher bei Betrachtung dieser beiden Zustände stets dasselbe wahr.
Really enjoyed reading this explanation of how gradients guide optimization in high-dimensional spaces. It’s fascinating to think about how billions of tiny parameter tweaks can shape intelligent behavior. It’s a bit like how our Lightroom Mod polishes photos step by step until they look perfect — only here, the “image” being refined is the model’s understanding.