Laplace, die Karnickel und das Chaos

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Das Schicksal des Universums ist vorherbestimmt („determiniert“), im Großen wie im Kleinen. Aus dem gegenwärtigen Zustand der Welt folgt nach Maßgabe der Naturgesetze zwangsläufig und ohne irgendwelche Freiheit jeder zukünftige Zustand derselben. Das ist die philosophische Position des Determinismus. Sie wird seit Jahrhunderten heftig diskutiert, weil sie zu weitreichenden Folgerungen Anlass gibt, darunter vor allem Ohnmachts- und Allmachtsfantasien.

Die Ohnmachtsfantasie: Das, was ich als meine persönliche Freiheit erlebe, ist nichts weiter als eine Illusion. Dass ich mich „frei“, von keinem Naturgesetz gezwungen, für eine von zwei Alternativen entscheide und dass diese Entscheidung für die Zukunft der Welt einen Unterschied macht, kann nicht sein. Es gibt keine ursachenlosen Ursachen.

Die Allmachtsfantasie: Wer die Naturgesetze kennt und die Anfangsbedingungen beherrscht, beherrscht die Zukunft. Klassischer Ausdruck ist ein vielzitierter Spruch des Mathematikers und Physikers Pierre-Simon Laplace (1749–1827):

Wir müssen also den gegenwärtigen Zustand des Universums als Folge eines früheren Zustandes ansehen und als Ursache des Zustandes, der danach kommt. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde, die sie zusammensetzen, und die überdies umfassend genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen, würde in der gleichen Formel die Bewegungen der größten Himmelskörper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Nichts wäre für sie ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lägen klar vor ihren Augen.

Die fiktive allwissende Intelligenz, von der Laplace spricht, ist als „Laplace’scher Dämon“ in die Literatur eingegangen.

Etwas weniger bombastisch und mit deutlich bescheidenerem Anspruch ist das die Philosophie jedes Menschen, der eine Maschine oder einen chemischen Reaktor baut. Der Determinismus gilt nicht nur für das Universum im Ganzen, sondern für jedes abgeschlossene, sprich gegen Einflüsse seiner Umwelt isolierte physikalische System. Ich kann mir also ein Kleinuniversum schaffen, in dem ich selbst die geltenden Naturgesetze und den Anfangszustand bestimme. Dann lasse ich das System laufen, und es tut genau das, was ich vorher bestimmt habe.

Im letzten Blogbeitrag habe ich Ihnen ein solches abgeschlossenes System vorgestellt. Es handelt sich um ein extrem kleines Universum: nur die reellen Zahlen zwischen 0 und 1, und ein extrem einfaches Naturgesetz: Was jetzt an der Position x steht, befindet sich im nächsten Zeitpunkt an der Position

f(x) = 2x mod 1 .

Zur Veranschaulichung stelle man sich eine punktförmige Rosine vor, die an der Position x in einem Blätterteig der Länge 1 steckt, und die Wirkung des Naturgesetzes von einem Zeitpunkt zum nächsten besteht darin, dass man den Teig auf die doppelte Länge ausrollt, in der Mitte entzweischneidet und die rechte Hälfte auf die linke legt.

Während der Laplace’sche Dämon im Original über geradezu unermessliche Geisteskräfte verfügen müsste, sind in unserem Mini-Universum die Anforderungen an seine Intelligenz durchaus überschaubar. Es geht darum, immer wieder die Funktion f anzuwenden, und das schafft auch ein Taschenrechner – mühelos.

Nur stellt sich heraus, dass der Dämon schon nach relativ wenigen Zeitschritten keine Ahnung mehr hat, was passiert. Kleine Ungenauigkeiten in den Anfangswerten wachsen zu Unsicherheiten heran, die das ganze Universum umfassen, es besteht nämlich die berüchtigte „empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsdaten“, und alsbald herrscht das schiere Chaos. Da jeder Zeitschritt ein bisschen – ein Bit, um genau zu sein – von der ursprünglich verfügbaren Information wegfrisst, könnte der Dämon diesen Verfall des Wissens nur bewältigen, indem er totale Kenntnis von den Anfangsdaten hätte. Das wäre in diesem Fall unendlich viel Information.

Wenn unser Dämon aber schon an einem derart einfachen Universum scheitert, dann ist er mit dem echten Universum hoffnungslos überfordert. Mit anderen Worten, es kann ihn auch theoretisch nicht geben. Die Zukunft ist nicht vorhersagbar (außer in einfachen Spezialfällen natürlich), und die These des Determinismus ist zumindest angekratzt.

An dieser Stelle kommt der Physiker mit einem gewichtigen Einwand: „Dein Universum ist von der Realität so weit entfernt, dass man von seinen Eigenschaften nicht auf die des großen Universums schließen kann. Vor allem ist dein Naturgesetz unstetig: Die Iterationsfunktion f ist nicht in einem Stück zu zeichnen, sondern unterbrochen (Bild links). Zwei Punkte, die sich dicht beieinander links und rechts von der Stelle 1/2 befinden (da, wo der Teig geschnitten wird), landen an entgegengesetzten Enden des Universums. Kein Wunder, dass Chaos ausbricht. Aber echte Naturgesetze sind stetig. Natura non facit saltus: Die Natur macht keine Sprünge.“

Der Einwand ist vollkommen berechtigt. Aber ihm ist leicht abzuhelfen. Man schneidet den Teig nicht entzwei, sondern klappt die rechte Hälfte auf die linke; so machen es die Bäcker sowieso. Und schon ist die Iterationsfunktion stetig (Bild Mitte). Nur das Chaos ist genauso aktiv wie zuvor. Es ist alles nur etwas mühsamer nachzurechnen.

„Na schön“, sagt der Physiker, „aber echte Naturgesetze sind nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar. Das heißt, die Kurve der Iterationsfunktion darf auch keinen Knick haben, sondern man muss überall eine Tangente anlegen können.“

Na gut, dann ersetze ich halt den geraden Anstieg zum Gipfel mitsamt dem geraden Abfall durch eine schön gerundete Kurve, sagen wir

f(x)=k x (1–x)

mit einem Parameter k, über den ich noch verfügen kann (Bild rechts). Diesmal muss man schon erheblich mehr theoretische Arbeit leisten, aber das Ergebnis ist im Wesentlichen dasselbe wie zuvor. Hier kommt es nicht so sehr auf den Anfangswert von x an, sondern auf den Wert von k. Abhängig von diesem Wert gibt es periodische Lösungen mit beliebiger Periode, die periodischen und die chaotischen Lösungen sind so dicht ineinander vermischt wie die rationalen und die irrationalen Zahlen, und für k=4 herrscht das reine Chaos. Für weitere Einzelheiten empfehle ich das (englischsprachige) Video „This equation will change how you see the world (the logistic map)“.

Ausgerechnet an dieser Iterationsgleichung ist sehr viel geforscht worden, und zu allem Überfluss stellt sich heraus: Auf deren genaue Form kommt es noch nicht einmal an. Es genügt, wenn die Iterationsfunktion schön differenzierbar ist und unterwegs nur ein einziges Maximum hat; dann stellt das komplette Chaosmuster sich ein.

Da bringt der Physiker seinen dritten und gewichtigsten Einwand. „Deine Universen, deren Zustand immer nur von einem Zeitpunkt zum nächsten hüpft, und keiner weiß, was zwischendurch passiert, die sind doch vollkommen unnatürlich! Im echten Universum verläuft die Zeit nicht wie ein tickendes Uhrwerk, sondern kontinuierlich.“

Wieder hat der Physiker völlig Recht – und wieder läuft sein Einwand ins Leere. Ja, kontinuierliche und diskrete Systeme sind eigentlich sehr verschiedene Dinge. Die einen arbeiten mit Differenzialgleichungen, die anderen, von denen hier die Rede ist, mit iterierten Funktionen. Aber die Chaostheoretiker haben Wege gefunden, ein System der einen Sorte mit einem der anderen Sorte in Beziehung zu setzen, und zwar so eng, dass das Chaos sich vom einen auf das andere überträgt.

Ja, es gibt Chaos im Universum, und das macht nicht nur dem Laplace’schen Dämon zu schaffen, sondern auch seinen irdischen Kollegen, die das Wetter für mehr als ein paar Wochen oder die Bewegungen der Planeten für mehr als ein paar Millionen Jahre vorausberechnen wollen.

Den Allmachtsfantasien verpasst also die Existenz des Chaos einen gehörigen Dämpfer. Hilft sie denn auch gegen die Ohnmachtsfantasien? Nicht wirklich. Niemand wird je errechnen können, was in meinem Kopf vorgeht, bevor ich zu einer Entscheidung komme. Das ist gut zu wissen; aber es bleibt das philosophische Dilemma, dass ich – zum Beispiel durch eine Entscheidung – keine Ursache setzen kann, die nicht ihrerseits eine Ursache hat. Da hilft es nicht, dass niemand, noch nicht einmal Laplaces Dämon, diese Ursachenkette nachverfolgen kann.

Ach so, was war mit den Karnickeln? Die sind das natürliche Beispiel für die Iterationsfunktion f(x)=k x (1–x). Sie vermehren sich, na ja, wie die Karnickel. Gibt es in einem Jahr x von ihnen, dann sind es im nächsten Jahr k x; sinnvolle Werte für die Reproduktionsrate k liegen zwischen 1 und 4. Das einzige, was ihre Anzahl am exponentiellen Wachstum hindert, ist das begrenzte Nahrungsangebot. Wenn sie in einem Jahr alles kahlfressen, verhungern sie alle im nächsten Jahr.

Wählen wir die Maßeinheit für die Anzahl x der Karnickel so, dass die vom Nahrungsangebot her mögliche Maximalzahl dem Wert 1 entspricht. Dann dämpft die Nahrungsknappheit die Anzahl der Nachkommen proportional zu 1–x: Je näher x an den gefährlichen Wert 1 heranrückt, desto stärker wird die Karnickelherde im nächsten Jahr dezimiert. So kommt die Iterationsfunktion f(x)=k x (1–x) zu Stande. Und in der Tat kann man in den Schwankungen der Populationszahlen mancher vermehrungsfreudigen Tierart chaotisches Verhalten entdecken.

Christoph Pöppe

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten - ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

50 comments

  1. Es kommt auf den Focus an, den man anlegt. Aus der Ferne betrachtet ist der Werdegang des Universums festgelegt. Von Big Bang bis zum erkalteten Universums.
    Was dazwischen passiert, immer noch aus großer Entfernung, das ist unwesentlich, weil wir nicht wissen, wer auf Planet X wohnt, ob die Population dort sich gerade selbst vernichtet, das gehört alles in das Reich der Spekulation.
    Der Dämon, das ist eine Personifizierung eines Gedankens, den des Determinismus. Mehr nicht.
    Am logischsten ist es, wenn wir annehmen, dass im Kleinen , im menschlichen Bereich eben nicht alles determiniert ist, weil wir einen freien Willen haben. Schon beim Schachspiel wissen wir oft nicht, welchen Zug der Gegner macht.
    Wir wissen auch nicht, ob unser Hund in der Zwischenzeit gerade das Kotelett auf dem Tisch auffrisst. Wenn ja, müssen wir noch mal zum einkaufszentrum, wir geraten in einen Unfall mit fatalen Folgen.
    Hat der Hund das Kotelett nicht gefressen, dann läuft unser Schicksal in anderen Bahnen.
    Ich kann mir nicht vorstellen, dass ein mathematischer Dämon weiß, wie unser Hund reagiert.

  2. zur mathematischen Aussage, dass das Chaos nicht beherrschbar wäre.
    Wir unterscheiden zwischen dem Wert einer Zahl und der Darstellung einer Zahl.
    In der Tat, wenn wir mit Digitalzahlen rechnen, dann ist das chaos nicht beherrschbar, weil ja die Nachkommastellen unendlich sind.
    Aber…..ein Dämon wäre kein Dämon, wenn er sich hier nicht zu helfen wüsste. Er speichert den Wert der Zahl nicht in Zahlendarstellung, sondern analog als Länge, auch nicht mit einer Maßangabe, sondern real, als Abstand zweier Atome z.B.
    Zum Karnickel kommen wir später.

    • “Aber…..ein Dämon wäre kein Dämon, wenn er sich hier nicht zu helfen wüsste. Er speichert den Wert der Zahl nicht in Zahlendarstellung, sondern analog als Länge, auch nicht mit einer Maßangabe, sondern real, als Abstand zweier Atome z.B.”

      dann nimmt er am besten das ganze Universum als Speicher seiner selbst und rechnet dann in Echtzeit, oder?

    • Zitat:

      Den Allmachtsfantasien verpasst also die Existenz des Chaos einen gehörigen Dämpfer. Hilft sie denn auch gegen die Ohnmachtsfantasien? Nicht wirklich.

      So ist es. Wenn überall Chaos obsiegt, dann ist weder die Welt im Grossen noch im Kleinen, also im Bereich, der scheinbar unter unserer Kontrolle ist, beherrschbar und vorausberechenbar und alle, sowohl die Grossen wie die Kleinen werden zu Spielbällen des Zufalls.
      Doch wahrscheinlich obsiegt nicht überall Chaos – obwohl wir uns dessen nicht sicher sein können. Diesen Fragen, der Frage wer was kontrolliert und was genau die wirkliche Ursache von etwas ist – dieser Frage begegnen wir auf sehr vielen Gebieten. Zum Beispiel in der Geschichtswissenschaft wo man etwa fragen kann ob Julius Cäsar eine wichtige Figur der Geschichte ist oder ob Julius Cäsar nur ein Platzfüller ist für eine Leerstelle in die man auch andere Personen hätte einsetzen können. Eine ähnliche Frage ist die ob ohne Adolf Hitler die deutsche Geschichte ganz anders verlaufen wäre oder ob es ohne Adolf Hitler einfach einen anderen deutschen Diktator gegeben hätte. Eine einfache, klare und eindeutige Antwort auf solche Fragen gibt es in meinen Augen nicht.

  3. @lion in oil

    Mensch hat den freien Willen im Rahmen des … Gedankens, bis Mensch sich (re-)fusioniert und die Gedanken des … Gedankens kopiert, vielleicht auch multipliziert, für die Möglichkeiten eines neuen/weiteren … Gedankens, so daß der ursprüngliche Gedanke erweitert wird!? 😎

  4. Pöppe: “Niemand wird je errechnen können, was in meinem Kopf vorgeht, bevor ich zu einer Entscheidung komme.”

    “Mein Kopf” – darüber kann man noch mal extra nachdenken, aber ob Mensch Niemand bleibt und niemals fähig ist die Vorgänge in den Köpfen zu erkennen, vielleicht sogar holographisch (wie die neueste wissenschaftlich-mutmassliche Berechnung vom Universum) darzustellen, das … 😎

  5. zabki,
    genau , der Weltraum ist der Speicher. Alle Gesetzmäßigkeiten sind darin gespeichert, das Verhältnis des Abstandes zur Sonne, zur Umlaufszeit eines Planeten, die Größenverhältnise im Nanoraum, und er geht nicht kaputt, er erneuert sich in jeder Sekunde. Und nichts kommt dazu und nichts geht verloren. Wir müssen das alles nur entdecken.

    hto,
    man nennt das schöpferischen Geist. Die Künstler sind da nahe dran.

  6. “indem er (,der Dämon) totale Kenntnis von den Anfangsdaten hätte”
    Scheint mir auch ein Zeitphänomen zu sein, allzu häufig entsteht der Eindruck, daß im Hintergrund eine solche Annahme herrscht.
    Und nachdem ja alle wissen, wie die Ausgangsbedingungen sind, ist der Einzelne immer ausschließlich selber schuld, wenn irgendwas zu seinen Ungunsten passiert.
    Und umgekehrt, wer irgendwo Erfolg hat, ist dann- unausgesprochen- sowas wie ein Übermensch, denn es war ja nur sein eigenes Zutun, dem er den Erfolg verdankt.

  7. DH,
    unsere Rechtsprechung beruht darauf, dass wir feststellen, wer hat was getan. Anders geht es nicht.
    Beim Scheidungsrecht hat man ein Einsehen gehabt und geht vom Zerrüttungsprinzip aus. Es kann nicht festgestellt werden, wer ausschließlich Schuld hat. Anmerkung: Der Dämon ist als Zeuge nicht zugelassen.

    Christoph Pöppe,
    “die Existenz des Chaos setzt dem Determinismus die Grenze”
    an dieser Stelle sollten wir differenzieren zwischen dem Chaosbegriff der Mathematik, hervorgerufen duch die Iteration, dem Chaosbegriff der Physik, dem Chaosbegriff in der Biologie und dem Chaosbegriff in der Umgangssprache.
    Nur mal eine vorläufige Einteilung. Wenn wir Chaos mit “nicht berechenbar” definieren. Dann ergeben sich 4 Möglichkeiten:
    1. determiniert und berechenbar
    2. determiniert und nicht berechenbar
    3. Nicht determiniert und berechenbar
    4. Nicht determiniert und nicht berechenbar.
    Wenn wir physikalisch denken, dann wäre der 1. Fall die Mechanik.
    Beim 2. Fall müssen wir wieder differenzieren. Beim radioaktiven Zerfall ist nur determiniert die Wahl des radioaktiven Nuklids. Die Halbwertzeit ist determiniert und berechenbar, welches Atom als nächstes zerfällt ist nicht determiniert und nicht berechenbar.
    Fall 3 wäre die Thermodynamik. Wie sich das einzelne Gasteilchen verhält ist nicht determiniert , alle Gasteilchen zusammen sind aber berechenbar über den Druck und die Temperatur.
    Nicht determiniert und nicht berechenbar sind kulturelle Erscheinungen wie Musik, Tanz, bildende Kunst. Was da in den nächsten Jahren kommen wird, das können wir nicht voraussehen.

  8. @DH

    “ERFOLG” – Wenn man Ärger und Verdruss in/über unserer chaotisch-konfusionierten Welt- und “Werteordnung” ersparen/ausweichen will, dann schaut man besser nicht genau hin um die Anfangsdaten erfassen zu wollen.

    Illusionen über Illusionen – Laotse sagt:
    “NICHTS TUN IST BESSER ALS MIT VIEL MÜHE NICHTS SCHAFFEN.” 😎

    • @lion in oil: “… Musik, Tanz, bildende Kunst. Was da in den nächsten Jahren kommen wird, das können wir nicht voraussehen.”

      Doch, ein Stil, ein Ausdruck, eine Form, der das bewusstseinsschwache wie bewusstseinsbetäubte “Individualbewusstsein” SCHEINBAR zum Selbst- und Massenbewusstsein beeindruckt, aber wie gewohnt nur oberflächlich profit-/konsumautistisch und zeitgeistlich-reformistisch vermarktet/assimiliert wird – oder AUCH nichts, wie bei der Vernunftbegabung, die, anstatt fusioniertes Verantwortungsbewusstsein (Mensch) und zweifelsfrei-eindeutige Wahrheit, nur kapitulativ-kompromissbereite Verantwortungslosigkeit und Sündenbocksuche, bzw. Unwahrheit/Symptomatik im nun “freiheitlichen” Wettbewerb um “Wer soll das bezahlen?” generiert hat.

  9. @lion in oil
    Da haben Sie mich falsch verstanden, es geht eher um die zeitgenössische Doktrin, daß jeder ausschließlich selber “seines Glückes Schmied” sei, denn jeder kennt ja alle Ausgangsbedingungen und könne, so die unausgesprochene Behauptung, dann auch erfolgreich damit umgehen. Wer dabei Probleme hat, ist selber schuld.
    Das neoliberale Marktverständnis ist ähnlich gestrickt, alle Voraussetzungen seien bekannt, also herrsche Chancengleichheit- das ist zwar eine unfreiwillige Satire, hat es aber dennoch zur herrschenden Idee geschafft.
    Das Prinzip scheitert schon an der extrem größenwahnsinnigen Idee, daß irgendwer, der nicht zufällig Gott ist, alle Ausgangsbedingungen kennen könne. Über den weiteren Irrsinn, man könne automatisch mit allem umgehen, was man kennt, muß dann gar nicht mehr gesprochen werden.
    Strafrecht ist dennoch interessant, weil es dort ja auch lange so war, daß selbst bekannte Startbedingungen ignoriert wurden, etwa Gewalt in der Familie bei Gewalttätern. Vieles wird da bis heute nicht wahrgenommen, der jeweiligen Ideologie folgend, die gerade vorherrscht.

  10. DH,
    im Prinzip stimme ich zu.
    Jeder ist seines Glückes Schmied, das ist der Kampfruf der Starken und Erfolgreichen. Die Calvinisten gehen noch weiter und behaupten, die Erfolgreichen seien die Auserwählten.
    Wohin das führt, das sehen wir in den USA. Bei uns gibt es zum Glück noch die Kirchen, die uns an das “in memento mori” erinnern und an das “Die Ersten werden die Letzten sein”.

    hto,
    ich würde Ihnen ja gern zustimmen, wenn Sie sich klarer ausdrücken würden. Die Philosophie sucht ja nach der Wahrheit und die reale Geschichte zeigt uns, wie weit wir noch von ihr entfernt sind.
    Und da wir in einer Demokratie leben, wo die Mehrheit entscheidet, muss man die Mehrheit überzeugen, und das geht nur in kleinen Schritten. Machen Sie einen konkreten Vorschlag.

  11. Das ist gut zu wissen; aber es bleibt das philosophische Dilemma, dass ich – zum Beispiel durch eine Entscheidung – keine Ursache setzen kann, die nicht ihrerseits eine Ursache hat.

    Warum nicht? – Wenn eine Ursache korrekt weltlich verstanden worden ist, gibt es keine “Ursache der Ursache” mehr.
    Denn sonst wäre es logisch keine sozusagen echte Ursache mehr.

    “Chaos” würde der Schreiber dieser Zeilen gerne als das verstanden wissen, was von erkennenden Subjekten, von Erkenntnissubjekten (noch) nicht verstanden worden ist.
    Denn eine Welt muss einen Motor haben, der kohärent ändert, “Zufall” ist nicht denkbar.
    Auch von spekulativ beigebrachten Motoren nicht, jedenfalls nicht so, wie von einigen gedacht.
    >:->

    KA, ist dies verstanden worden?
    Dr. Webbaer ist übrigens Konstruktivist, er folgt der sog. Humeschen Metaphsik und sieht den hier gemeinten Primaten auf einem Wege der Annäherung, an Erkenntnis.
    Physikalische Theorie gilt ja nunmehr auch allgemein nicht mehr als “wahr”, der Skeptizismus hat gewonnen, es wird nicht mehr verifiziert, sondern die empirische Adäquatheit physikalischer Theorie bestätigend (oder eben auch nicht) die Falsifikation gesucht; es wird sogenannte Evidenz für physikalische Theorie angehäuft, “Trial & Error” sind hier anleitend für wie gemeinte Vorgehensweise, die szientifische Methode genannt wird.
    Dr. Webbaer ist hier bei Bas van Fraassen.

    In der d-sprachigen bekannten Online-Enzyklopädie steht hierzu (noch) kein sog. Lemma bereit, was sich aber ändern kann, die szientifische Methode meinend, Dr. Webbaer ist diesbezüglich bass erstaunt.

    Es gilt, aus diesseitiger konstruktivistischer Sicht:

    1.) Weitermachen, der physikalisch beschrittene Weg ist gut (er erlaubt auch Anwendungen, sehr beachtenswert, anders wird so nicht erlaubt) und der Weg ist das Ziel.
    2.) Es gibt einen grundsätzlichen Erkenntnisvorbehalt, die(se) Welt, diese Aussage scheint Dr. Webbaer abär für alle Welten zu gelten, ist für den Weltteilnehmer schwer zu begehen, er ist ja kein Weltbetreiber, hat insofern metho(do)logisch vorzugehen.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer (der mit diesem seinem kleinen Kommentar hoffentlich nicht angeeckt, super-wissenschaftstreu ist, sozusagen, keine “esoterischen Spinnereien” bewirbt)

  12. Bonuskommentar zur szientifischen Methode, vergleiche zur Einleitung :

    -> https://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_method (zu beachten hier die Sprachlichkeit in der an sich wohl bekannte naturwissenschaftliche Einsicht in der ebenfalls wohl bekannten Online-Enzyklopädie international bereit gestellt wird, Dr. Webbaer schmunzelt hier stets ein wenig)

    Das Wesen der modernen skeptizistischen Naturwissenschaftlichkeit, wobei derartige Wesensbestimmung selbstverständlich auch für andere Wissenschaft gilt, für Formalwissenschaften und, nun, auch für die sog. Humanities, für die Philosophie, die Mutterwissenschaft nicht nur sozusagen, ist schon schwierig zu bestimmen, wenn doch schon längst sinnhaft bestimmt, wie Dr. Webbaer findet.

    Erkenntnis ist nicht anders als in “n:m”-Beziehungen zwischen Erkenntnissubjekten und Gegenstand sinnhaft zu bearbeiten, insofern finden Theorien (“Sichten”) statt, nicht nur die Natur (“das Geborene oder Gegebene oder Hevorgekommene meinend”) betreffend, auf Daten (“Gegebenes und Notiertes meinend”). [1]

    Blöde formuliert glotzt einer auf anderes und teilt dies, mitsamt seiner Vorstellungen, diesbezüglich, warum etwas so ist, wie es ist, anderen mit.

    [1]
    Der hier gemeinte Primat erfasst die Natur ausschnittsweise, näherungsweise und an Interessen (!) gebunden, um idF ausschnittsweise, näherungsweise und an Interessen (!) gebunden zu theoretisieren zu suchen.

  13. Zum Wesen sog. Naturgesetze vielleicht noch, bonus-bonus-kommentatorisch angemerkt :

    Sie kamen im dankenswerterweise bereit gestellten und namentlich so genannt vielleicht neunfach vor, Dr. Webbaer an dieser Stelle, sofern erlaubt, bestimmte “Aneckung” könnte ja zu Ausschluss führen, den der zählebige persistente Dr. Webbaer nicht anstrebt, den bösen sozialen Ausschluss, merkt dazu an :

    Diesbezügliche Feststellung ist eine Setzung physikalischer Theoretisierung, der Dr. Webbaer (“Webbaerenehrenwort”) nicht gegenredet, sondern sich nur erlaubt festzustellen, dass es “Naturgesetze” nicht gibt (nicht per se, nicht von der Natur soz. geschaffen vorliegt), sondern mit dieser Namennennung physikalische Theorie gemeint ist, die soz. besonders dicht ist und auf eine soz. hervorragende Anhäufung von sog. Evidenz verweisen kann, die empirische Lage meinend, auf dem Planeten Erde und womöglich nicht immer dort mit wohlgeformten und i.p. Erkenntnis-Suche befähigten Subjekten bestückt.

    “Naturgesetze”, also auf diesen Begriff, darf aus Sicht einiger womöglich, wie intuitiv erscheinend auch immer, womöglich verzichtet werden, setzen tut das erkennende Subjekt.

    Die Gravitationstheorie ist hier bestes Beispiel, weil “ansonsten alles wegfliegen würde”.

    MFG
    Wb

  14. Dr. Webbaer,
    unser Themengeber versucht hier einen Mathematikkurs über die Chaostheorie versus dem Laplacschen Dämon.
    Chaos ist in der Mathematik als eine Reihe von Funktionen zu sehen, die divergieren, also keinen Grenzwert haben.
    Die Wetterkunde hat auch den Chaosbegriff übernommen, wenn eine Wettervorhersage nicht mehr möglich ist.
    Dabei könnten sie doch einfach nur auf den Frosch , der auf der Leiter sitzt und uns das kommende Wetter anzeigt, nehmen .
    Wenn Ursache und Wirkung im Einzelnen nicht mehr möglich sind zu trennen, dann wird heute auf die Statistik zurückgegriffen .
    Der Laplacsche Dämon ist noch nicht tot, nein , mit der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Spieletheorie ist er wieder auferstanden.

  15. Es gibt halt mathematische, physikalische und allgemein philosophische Sicht; sicherlich ist Dr. Webbaer weiter oben, auch allgemeine Toleranz testend, die er gut findet, ein wenig aus sich heraus gegangen, jeder hat seine Steckenpferde,
    Kommentatorenfreund ” lion in oil “, dennoch versuchte “Opi” die Grundsätzlichkeiten ein wenig zu klären.
    Mathematik und Physiklehre studiert zu haben zeugt von einer gewissen Verkommnung von Erkenntnis, no problemo hier.
    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer (der sozusagen mathematisches Chaos schon kennt als Grenzen allgemeiner Berechenbarkeit, abär philosophisch ergänzen wollte, womöglich waren Seitenwürfe nicht sonderlich hilfreich, fürwahr!)

  16. Kommentar hierzu :

    Niemand wird je errechnen können, was in meinem Kopf vorgeht, bevor ich zu einer Entscheidung komme.

    Denkmöglich und insofern auch in praxi möglich wäre dies schon, denkbarerweise eben, dies wäre möglich, wenn derartig vorkommende Entscheidungsmöglichkeit in eine andere soz. CPU transportiert werden könnte, vollumfänglich und keine Reste hinterlassend.
    Keine Rest-Mengen, Zwischenmengen sozusagen.

    Reproduzizät ist als denkbar möglich, die Schönheit des Seins ist unklar, Dr. W spielt an diese Stelle und für Vergleichszwecke meinend gerne wie folgt ein :

    -> https://www.youtube.com/watch?v=sMPXRHlZkvc

    MFG
    Wb (wobei Dr. W so bei dem hiesigen werten Inhaltegeber schon ein wenig bleiben möchte)

  17. Wenn unser Dämon aber schon an einem derart einfachen Universum scheitert, dann ist er mit dem echten Universum hoffnungslos überfordert.

    Der Physiker hat dem Laplaceschen Dämon etwas voraus: Er findet sich im Universum zurecht und geht unlösbare Probleme erst gar nicht an.

    Ist das exakte Schicksal eines Teilchens auch ungewiss sieht es bei Ensembles von Teilchen anders aus. Unter geeigneten Randbedingungen, ein einfacher Gradient reicht oft schon aus, kooperieren sie.

  18. Karl Mistelberger,
    Der Dämon ist ein Produkt des beginnenden 19. Jahrhunderts. Damals dachte man sich die Wärme als einen Stoff, der in die Materie eindringt.
    So konnte der Dämon in die Materie eindringen und die einzelnen Atome zählen.
    Was der Dämon nicht wusste, dass die Atomkerne aus Quarks bestehen. Er wusste auch nicht, dass die Atomkerne zerfallen, die meisten im Universum jedenfalls, oder sich zusammenfügen, so musste er jedesmal von vorn anfangen zu zählen und bis heute ist kein Ende abzusehen. Wir sollten Mitleid mit dem Dämon haben.
    Statt “zum Kuckuck” sollten wir lieber “zum Dämon” sagen, wenn etwas nicht so läuft wie es sollte.

    • Der Dämon ist ein Produkt des beginnenden 19. Jahrhunderts. Damals dachte man sich die Wärme als einen Stoff, der in die Materie eindringt.
      So konnte der Dämon in die Materie eindringen und die einzelnen Atome zählen.
      Was der Dämon nicht wusste, dass die Atomkerne aus Quarks bestehen. Er wusste auch nicht, dass die Atomkerne zerfallen, die meisten im Universum jedenfalls, oder sich zusammenfügen, so musste er jedesmal von vorn anfangen zu zählen und bis heute ist kein Ende abzusehen. Wir sollten Mitleid mit dem Dämon haben.
      Statt “zum Kuckuck” sollten wir lieber “zum Dämon” sagen, wenn etwas nicht so läuft wie es sollte.

      Vielleicht sollte man lesen was Laplace geschrieben hat:

      https://books.google.fr/books?id=rDUJAAAAIAAJ&printsec=frontcover&hl=fr&&pg=PA2#v=onepage&q&f=false

  19. Christoph Pöppe schrieb (03. Sep 2020):
    > […] Determinismus […] Ich kann mir also ein Kleinuniversum schaffen,

    … oder zumindest: denken …

    > in dem ich selbst die geltenden Naturgesetze und den Anfangszustand bestimme. Dann lasse ich das System laufen, und es tut genau das, was ich vorher bestimmt habe. […] Was jetzt an der Position x steht, befindet sich im nächsten Zeitpunkt an der Position f(x) […]

    Von einem “Naturgesetz” bzw. einem “(Klein-)Universum” kann dabei wohl nur im übertragenen Sinne die Rede sein. Eigentlich handelt es sich doch um eine technisch-algebraische Spezifikation bzw. ein Modell jeweils eines Iterationsschrittes (verbunden mit der Vorgabe und Erwartung, dass jeder Iterationsschritt gleichermaßen erfolgt).

    p.s.
    > […] Zur Veranschaulichung stelle man sich eine punktförmige Rosine vor, die an der Position x in einem Blätterteig der Länge 1 steckt […] dass man den Teig […] ausrollt, in der Mitte entzweischneidet und die rechte Hälfte auf die linke legt [oder man] klappt die rechte Hälfte auf die linke [oder …]

    > […] An dieser Stelle kommt der Physiker mit einem gewichtigen Einwand: […]

    Wer nicht anschauen mag, dass zwei (oder mehr) punktförmige Rosinen exakt aufeinandergeklappt (und durch fortgesetztes Ausrollen nicht mehr trennbar) zu denken sein sollen, könnte sich ja bijektiven Iterationsschritten zuwenden …

    • Das mit den bijektiven Iterationsschritten funktioniert nicht, fürchte ich; jedenfalls nicht für Blätterteig. Der Charme der Transformation mit dem Wellholz (einerlei ob mit Schneiden oder Zusammenklappen) besteht darin, dass “die Teigdicke stets konstant bleibt”. Es gibt keine Stelle, an der Teig “sich häufen” oder “ausdünnen” würde. Mathematisch korrekt ausgedrückt: Die Transformation ist maßerhaltend. Maßerhaltend und bijektiv zusammen: Da fällt mir erstmal nur die identische Abbildung ein. Das heißt Nichtstun, was definitiv nicht chaotisch ist. Das war’s dann wohl, wenn man auf physikalisch plausiblen, das heißt zum Beispiel differenzierbaren, Transformationen besteht.
      Sehr interessanter Gedanke: Chaos bedeutet nicht nur, dass die Zukunft im Nebel verschwindet, sondern auch die Vergangenheit. Es ist unmöglich, die Herkunft der Rosine zu rekonstruieren.

  20. Karl Mistelberger,
    Danke für diesen Link. Lagrange scheint seiner Zeit weit voraus.
    Mein Französisch reicht nicht aus, um alles zu verstehen. Das was er sagt, ist modern.
    Also, der Dämon ist moderner als vermutet. Herr Pöppe wird ihn mit seiner Chaostheorie nicht kleinkriegen.

  21. Frank Wappler,
    Das Zauberwort heißt jetzt bijektiv. Damit sind wir in der Mathematik.
    In der Physik gelingt die Zuordnung nicht mehr, weil hier die Zeit mitspielt. Während wir ein einzelnes Teilchen z.B. ein Neutron betrachten, ist es schon in ein Proton und ein schnelles Elektron zerfallen. Wir müssen den Determinismus über Gesetzmäßigkeiten definieren und nicht über einzelne Teilchen.
    Und damit nehmen wir Abschied vom reinen Materialismus, der ja auf die Existenz und der Mengenkonstanz aufbaut, und gelangen in den Bereich der Abstraktion, in den Bereich der Physikmodelle, die geistigen Ursprunges sind.
    Die Bezeichnung Lagrangescher Dämon wird mir immer sympatischer, weil das, was geschieht geistigen Gesetzen gehorcht.

  22. @lion in oil: »Die Bezeichnung Lagrangescher Dämon wird mir immer sympatischer, …«

    Lagrange (erstaunt): «Mon démon ? Pardon, je n’avais pas besoin de cette hypothèse-là.»

  23. @lion in oil

    Lagrange, Laplace, Legendre … Vive la France ! Vive la confusion !
    —Charles La Gaulle

    Oh là là ! Charles de Gaulle, naturellement.

  24. Excusez-moi, mon cher ami,
    nous sommes europeen et le mathematic n’est pas le monde.
    Je prefère Grünkohl mit Pinkel. Grünkohl fressen auch die Karnickel, um zum Thema zurückzukehren. Frage: Wie unterscheidet man in der Mathematik den Grünkohl solange er wächst und den Grünkohl, wenn er gefroren ist. Wahrscheinlich hat der Grünkohl da einen Hochpunkt.

  25. @lion in oil / Grünkohl

    Sagen wir mal so: Eine unverkennbar mathematische Art der Unterscheidung wäre, den wachsenden Kohl als L-System und den gefrorenen Kohl als trivial zu bezeichnen.

    N.B. Die Letter `L’ im Wort `L-System’ steht erstaunlicherweise weder für Laplace noch für Lagrange.

  26. Chrys,
    Jetzt kommt das Chaos in den Karnickelstall. Stellen wir uns den Stall in der Größe von 10 000 m² vor. Darin wächst nur Grünkohl im L-Modus. Die Karnickel befinden sich auch im L-Modus und vermehren sich wie der Grünkohl.
    Vermehren sich die Karnickel schneller als der Grünkohl nachwachsen kann, werden sie den gesamten Grünkohl fressen und danach aussterben. Anmerkung: Ich vergaß zu erwähnen, dass wir Teil dieses Ökosystems sind und uns ausschließlich von Karnickeln und Grünkohl ernähren. Wir müssen also soviele Karnickel essen, damit der Grünkohl nachwachsen kann. Essen wir zu wenige, sterben auch wir am Ende der Nahrungskette. Essen wir zuviele, kommt der Zeitpunkt, wo wir danach zu Vegetariern werden.
    Fazit : Es gibt einen Punkt, wo ein Karnickel zu viel oder zu wenig, das L-System aus dem Gleichgewicht bringt. Oder gibt es mehrere Punkte ?

  27. @lion in oil / 13.09.2020, 16:41 o’clock

    Die logistische Abbildung ist schon von Belang für Populationsdynamik in der Biologie, nur nicht gerade für eine wechselseitig bedingte Ausbreitung von Räuberkaninchen und ihrem Beutekohl.

    Für ein konstantes \(q \gt 0\) liefert \(x_{n+1} = qx_n\) eine geometrische Progression und damit ein exponentielles Wachstum, was als biolog. Modell i.a. unrealistisch ist. Beim logistischen Wachstum wird das korrigiert, indem die Progression hier nicht mehr durch einen konstanten, sondern einen variablen Faktor \(q_k(x) = k(1-x)\) mit \(k \gt 0\) als Parameter bestimmt ist, also \(x_{n+1} = q_k(x_n)x_n\).

    Ob dabei dann überhaupt chaotische Folgen \(x_0, x_1, \ldots\) auftreten können, hängt jedoch — wie bereits im Blogtext gesagt — massgeblich vom Wert des Parameters \(k\) ab.

  28. Chrys,
    Nehmen wir als dritten Beteiligten einen Fuchs, der sich ebenfalls vermehrt, dann wird das Gleichgewicht zwischen Füchsen , Kaninchen und den Fresspflanzen noch komplizierter. Ich schätze, dass man dann regelmäßig empirisch überprüfen muss, wieviel Füchse sind notwendig um das exponentielle Wachstum der Kaninchen zu begrenzen und wieviel Pflanzen brauche ich.
    Ohne das Eingreifen eines Menschen, so schätze ich, wird sich kein Gleichgewicht halten können. Das sieht man ja bei den Inseln, wo man versucht hat, die Ratten durch Schlangen im Gleichgewicht zu halten. Am Ende gab es nur noch Schlangen.
    Jetzt zu der Frage: Könnte man diese Funktionen nicht auch bei einem 3-Körper- Problem verwenden, wo sich 3 etwa gleichgroße Sonnen/ Planeten umeinander bewegen, und man Bewegungsgleichungen aufstellen will.

  29. @lioninoil / 15.09.2020, 11:14 o’clock

    Um die Entwicklung von Populationen einer Räuber- und einer Beutespezies zu modellieren. braucht es typischerweise zwei gekoppelte Gleichungen; die logistische Gleichung allein reicht dafür nicht mehr hin. So ein Modell ist zwar noch immer sehr vereinfachend und idealisiert, kann in eingen Fällen aber durchaus brauchbare Näherungen liefern.

    Ein schönes Beipiel dafür kennt man aus Kanada, mit dem Kanadischen Luchs (Lynx candensis) als Räuber- und dem Schneeschuhhasen (Lepus americanus) als Beutespezies. Just google to explore more…

    Chaos im 3-Körper-Problem kann man finden, wenn man sich zwei dicke Massen \(m_1\) und \(m_2\) denkt, für die das Kepler Problem exakt lösnbar ist, und dann eine dritte Masse \(m_3\) hinzunimmt, die (idealisiert) so klein ist, dass ihr Einfluss auf die Bewegung der beiden dicken Massen ignorabel ist. Die Bahn dieser dritten Masse kann dann beliebig erratisch sein. So erratisch, dass der Laplacesche Daemon auch für diese Idealisierung i.a. keine Chance mehr hätte, die Bahn zu berechnen; höchstens fur eine sehr exzeptionelle Menge von Anfangsbedingungen könnte er das noch.

    Als Physiker hätte der Laplacesche Daemon sozusagen schon ein unlösbares Problem mit dem Heisenbergschen Unschärfedaemon, der seinem Laplaceschen Kollegen die geforderte genaue Kenntnis der Anfangsbedingungen ganz grundsätzlich unmöglich macht. Davon konnte Laplace freilich noch nichts ahnen.

    • An dieser Stelle ist ein Hinweis auf den Satz von Poincaré-Bendixson angesagt. Hier nur eine Wischi-waschi-Kurzfassung: Die gegenwärtige Zahl x der Räuber und die Zahl y der Beutetiere, geeignet skaliert, ergeben einen Punkt (x, y) in der Ebene. Die Differenzialgleichung für das Schicksal beider sagt, in welche Richtung sich ein solcher Punkt bewegen wird; sie heftet also an jeden Punkt der Ebene einen Richtungspfeil an. Man folge diesen Pfeilen und erhalte gewisse Kurven; das sind die Lösungskurven des Problems. Um zu wissen, wie die Populationen sich entwickeln werden, laufe man einfach, von dem bekannten Anfangszustand ausgehend, die zugehörige Kurve lang. (Wie schnell man laufen muss, geht aus dieser Darstellung nicht hervor.) Zu einem anderen Anfangszustand gehört im Allgemeinen eine andere Kurve.
      Jetzt kommt der Clou: Alle diese Kurven dürfen einander nicht schneiden. Sonst gäbe es im Schnittpunkt der Kurven zwei verschiedene Richtungspfeile, was nicht sein kann. Erlaubt sind ringförmig geschlossene Kurven; die entsprechen den periodischen Lösungen. Wenn so etwas vorkommt, müssen alle anderen Lösungen entweder drinnen oder draußen bleiben; die “drinnen” können auf einen Punkt zulaufen (Gleichgewicht), sich an die periodische Lösung anschleichen oder selbst geschlossene Kurven bilden. Jedenfalls kein Chaos! Den Kurven “draußen” geht es ähnlich. Da die Anzahl der Luchse und der Schneehasen nach oben wie nach unten begrenzt ist, haben auch die Lösungskurven “draußen” nicht genug Platz, um chaotische Mätzchen zu machen. (Näheres in meinem Artikel “Heidi und der merkwürdige Attraktor”. Wegen der schönen Bilder lohnt es die Mühe, den Artikel in der Originalform auf Papier ausfindig zu machen.)
      Also: Ein zweidimensionales kontinuierliches System macht kein Chaos. (Bei diskreten Systemen wie dem Blätterteig sieht das anders aus.) Aber sowie die dritte Dimension dazukommt, kann alles Mögliche passieren.
      Wie war das mit dem Zwei- bzw. Drei-Körper-Problem? Zwei Massenpunkte, die nur über die Gravitation aufeinander einwirken, umrunden einander auf ewig in wundervollen Kepler-Ellipsen. (Sagen wir Kegelschnitte; da können noch ein paar exotische, aber geregelte Dinge passieren.) Kommt aber ein dritter Körper hinzu, bricht das Chaos aus. (Nein, wir sind hier nicht bei der Eheberatung …)
      Ob man das mit Poincaré-Bendixson begründen kann? Weiß ich im Moment nicht auswendig. Das Zwei-Körper-Problem hat nämlich nicht nur zwei Variable, sondern deren zwölf: je drei Orts- und Impulskoordinaten für jeden der beiden Körper. Von denen kann man zwar mit Hilfe von Impulserhaltungssatz und so etliche aus dem System werfen, aber alle bis auf zwei: glaube ich eher nicht.

  30. Chrys,
    Danke für die ausführliche Antwort. Mir ging es bei dem 3-Körper Problem um drei gleich große Massen. Der Mathematiker kann das nicht, der Dämon jedoch macht das ohne Rucken und Zucken. Anmerkung: Das wird Herrn Pöppe nicht gefallen .
    Persönliche Anmerkung:Zu Beginn des 20. Jahrhunderts löste man solche Aufgaben mit Holzmodellen. Darunter auch das Problem des kürzesten Weges bei dem Handlungsreisenden. Diese Modelle sind in Vergessenheit geraten.
    Letzter Tipp: Lesen Sie meinen Namen mal rückwärts.

    • Ja, geölter Löwe, das habe ich schon gemerkt, dass Sie einen palindromischen Namen haben.
      Übrigens: Der Mathematiker kann das doch, seit reichlich 20 Jahren. Leider ist die Lösung so kompliziert, dass man keinen praktischen Nutzen aus ihr ziehen kann.

  31. Christoph Pöppe,
    Vielen Dank für diesen wunderschönen Aufsatz über das drei-Körper-Problem.
    Meiner Meinung nach sollte man dabei nicht vergessen, dass eine mathematische Lösung nie die physikalischen Gegebenheiten 1:1 wiedergeben kann.
    Und wenn die Gravitation eine Eigenschaft des gekrümmten Raumes ist, und dann noch obendrein die Zeit von der Materiedichte abhängig ist, dann wird klar, dass man die Zukunft des Universums nicht 1:1 berechnen kann.
    Um jetzt zu einem Schluss zu kommen, wenn man den Dämon nicht nur als Beobachter sieht, sondern als den Weltbetreiber selbst, dann weiß der natürlich, wie sich unser Sonnensystem entwickeln wird.
    Aber, wie meine Tante zu sagen pflegte, in jedem Menschen steckt ein kleiner Dämon.

  32. @Christoph Pöppe / 15.09.2020, 23:16 o’clock

    Zu beachten ist dabei noch, dass das Theorem von Poincaré-Bendixson ein Resultat für autonome ebene Flüsse ist, wohingegen Räuber-Beute Szenarien, auch mit nur zwei Spezies, nicht zwingend autonom sein müssen. Dass speziell Climate Change u.a. die Populationszyklen von Hasen und Luchsen in den borealen Wäldern Kanadas zunehmend beeinträchtigen und gleichsam aus dem Takt bringen dürfte, liegt eigentlich auf der Hand. Siehe dazu e.g. Pomara & Zuckerberg (2017) — ist jetzt mehr oder minder willkürlich bei google.scholar aufgegriffen.

    Eine meines Erachtens insgesamt gute Übersicht zu Räuber-Beute Modellen hat scholarpedie (wenngleich wohl nicht mehr in jeder Hinsicht so top-aktuell):
    Frank Hoppensteadt (2006) Predator-prey model. Scholarpedia, 1(10):1563.

    N.B. Beiläufig sei hier vielleicht daran erinnert, dass das 3-Körper-Problem auch die Cover Story von Spektrum d. Wiss. 3/2020 war.

  33. Christoph Pöppe schrieb (15.09.2020, 23:16 o’clock):
    > An dieser Stelle ist ein Hinweis auf den Satz von Poincaré-Bendixson angesagt. […]
    > Wischi-waschi-Kurzfassung: Die gegenwärtige Zahl x der Räuber und die Zahl y der Beutetiere, geeignet skaliert, ergeben einen Punkt (x, y) in der Ebene.

    Wieso nicht schlicht ein Paar von (“geeignet skalierten”) natürlichen Zahlen ?

    > Die Differenzialgleichung für das Schicksal beider sagt, in welche Richtung sich ein solcher Punkt bewegen wird; sie heftet also an jeden Punkt […] einen Richtungspfeil an.

    Sicherlich soll “das Schicksal” jedes Populations-Paar-Wertes \( (x, y) \in \mathcal P \subset \mathbb N \cross \mathbb N \),
    \( \sigma : \mathcal P \rightarrow \mathcal P \),
    eine Funktion sein.

    Und diese heftet jedem denkbaren Paar \(p \in \mathcal P\) eine “Schicksals-Richtung”
    \( \sigma[ \, p \, ] – p \) an.

    Dazu gehören sicherlich (abgesehen von der “geeigneten Skalierung”) die Richtungswerte
    \( (1, 0), (-1, 0), (0, 1) \) und \( (0, -1) \).

    Wären wohl auch Populations-Paar-Werte \( q \in \mathcal P \) denkbar, denen das Schicksal \(\sigma\) jeweils einen der Richtungswerte
    \( (1, 1) \) oder \((-1, -1)\) oder \( (1, -1)\) oder \( (-1, 1) \) zuteilt ??

    Oder (sogar) Populations-Paar-Werte \( z \in \mathcal P \) mit
    \( \sigma[ \, z \, ] – z = (1, 0) + (1, 0) \) ??

    > Man folge diesen Pfeilen und erhalte gewisse Kurven […]

    … oder eher gewisse Wege bzw. Kantenzüge auf der Populationsmenge \(\mathcal P\).

    > Jetzt kommt der Clou: Alle diese Kurven dürfen einander nicht schneiden. Sonst gäbe es im Schnittpunkt der Kurven zwei verschiedene Richtungspfeile, was nicht sein kann.

    Verschiedene differenzierbare Kurven könnten sich allerdings “ihrem Schicksal entlang” stattdessen nur berühren. (Ob sie ihr Schicksal anschließend zusammenhielte, oder nicht, ließe sich — mit geeigneten Zutaten — wohl durch entsprechende Differenzialgleichungen ausdrücken.)

    Verschiedene Kantenzüge, die das Schicksal zusammengeführt hat (“weil” Funktion \( \sigma \) nicht bijektiv ist), wären dagegen ewig zu einem einzigen verbunden.

    > Erlaubt sind ringförmig geschlossene Kurven; die entsprechen den periodischen Lösungen.

    Erlaubt sind gewiss auch periodisch wiederholte Kantenzüge. Sofern sie die oben (als “vom Schicksal \( \sigma \) begünstigt”) beschriebenen Paare \( q \) oder \( z \) oder Ähnliche enthalten, wären solche Kantenzüge allerdings hinsichtlich der Gesamtmenge von Paaren natürlicher Zahlen nicht “ringförmig geschlossen”; womöglich nicht einmal hinsichtlich der Teilmenge \( \mathcal P \) und ihres Schicksals \( \sigma \).

  34. Christoph Pöppe schrieb (15.09.2020, 23:16 o’clock):
    > An dieser Stelle ist ein Hinweis auf den Satz von Poincaré-Bendixson angesagt. […]
    > Wischi-waschi-Kurzfassung: Die gegenwärtige Zahl x der Räuber und die Zahl y der Beutetiere, geeignet skaliert, ergeben einen Punkt (x, y) in der Ebene.

    Wieso nicht schlicht ein Paar von (“geeignet skalierten”) natürlichen Zahlen ?

    > Die Differenzialgleichung für das Schicksal beider sagt, in welche Richtung sich ein solcher Punkt bewegen wird; sie heftet also an jeden Punkt […] einen Richtungspfeil an.

    Sicherlich soll “das Schicksal” jedes Populations-Paar-Wertes \( (x, y) \in \mathcal P \subset \mathbb N \times \mathbb N \),
    \( \sigma : \mathcal P \rightarrow \mathcal P \),
    eine Funktion sein.

    Und diese heftet jedem denkbaren Paar \(p \in \mathcal P\) eine “Schicksals-Richtung”
    \( \sigma[ \, p \, ] \, – \, p \) an.

    Dazu gehören sicherlich (abgesehen von der “geeigneten Skalierung”) die Richtungswerte
    \( \text{(1, 0), (-1, 0), (0, 1)} \) und \( \text{(0, -1)} \).

    Wären wohl auch Populations-Paar-Werte \( q \in \mathcal P \) denkbar, denen das Schicksal \(\sigma\) jeweils einen der Richtungswerte
    \( \text{(1, 1)} \) oder \(\text{(-1, -1)}\) oder \(\text{(1, -1)}\) oder \(\text{(-1, 1)}\) zuteilt ??

    Oder (sogar) Populations-Paar-Werte \( z \in \mathcal P \) mit
    \( \sigma[ \, z \, ] \, – \, z = \text{(1, 0)} + \text{(1, 0)} \) ??

    > Man folge diesen Pfeilen und erhalte gewisse Kurven […]

    … oder eher gewisse Wege bzw. Kantenzüge auf der Populationsmenge \(\mathcal P\).

    > Jetzt kommt der Clou: Alle diese Kurven dürfen einander nicht schneiden. Sonst gäbe es im Schnittpunkt der Kurven zwei verschiedene Richtungspfeile, was nicht sein kann.

    Verschiedene differenzierbare Kurven könnten sich allerdings “ihrem Schicksal entlang” stattdessen nur berühren. (Ob sie ihr Schicksal anschließend zusammenhielte, oder nicht, ließe sich — mit geeigneten Zutaten — wohl durch entsprechende Differenzialgleichungen ausdrücken.)

    Verschiedene Kantenzüge, die das Schicksal zusammengeführt hat (“weil” Funktion \( \sigma \) nicht bijektiv ist), wären dagegen ewig zu einem einzigen verbunden.

    > Erlaubt sind ringförmig geschlossene Kurven; die entsprechen den periodischen Lösungen.

    Erlaubt sind gewiss auch periodisch wiederholte Kantenzüge. Sofern sie die oben (als “vom Schicksal \( \sigma \) begünstigt”) beschriebenen Paare \( q \) oder \( z \) oder Ähnliche enthalten, wären solche Kantenzüge allerdings hinsichtlich der Gesamtmenge von Paaren natürlicher Zahlen nicht “ringförmig geschlossen”; womöglich nicht einmal hinsichtlich der Teilmenge \( \mathcal P \) und ihres Schicksals \( \sigma \).

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