In letzter Zeit überschlagen sich die Meldungen des Inhalts, eine künstliche Intelligenz (KI) habe ein bedeutendes mathematisches Problem gelöst. Die Community der Fachleute ist in heller Aufregung, große Hoffnungen und noch größere Befürchtungen machen die Runde, nicht zuletzt in der Podiumsdiskussion auf dem diesjährigen Heidelberg Laureate Forum. Über eines waren sich die Diskutierenden sehr einig: dass für die Zukunft mit Überraschungen zu rechnen sei, und eine Prognose noch weit schwieriger als ohnehin üblich.

In dieser Situation werde ich kleines Licht mich hüten, irgendwelche allgemeinen – und notwendig unfundierten – Einschätzungen abzugeben. Stattdessen will ich von einer Einzelleistung erzählen, die relativ früh in dem aktuellen Gewitter der Meldungen erschienen ist: der Widerlegung der Jacobi-Vermutung.

Ausgerechnet während des Endspiels der Fußball-Weltmeisterschaft hat eine KI ein Gegenbeispiel gefunden, nachdem der Mathematiker Levent Alpöge ihr die Aufgabe in der offenbar entscheidenden Form (den „Prompt“) gestellt hatte. Und das Ergebnis lässt sich auf wenigen Zeilen formulieren: \[ F(x,y,z) = \pmatrix{(1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) \cr y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy)\cr 2 x – 3 x^2 y – x^3 z}: C^3\to C^3\] hat die Jacobi-Determinante \(-2\) und bildet \( (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2)\) und \( (-1, 3/2, 13/2)\) auf \( (-1/4, 0, 0)\) ab.

Damit ist es auch ohne weiteres überprüfbar. Im Prinzip kann man das mit Bleistift und Papier nachrechnen; ich habe – ich gebe es zu – ein Computeralgebra-Programm in Anspruch genommen, weil das weitaus bequemer ist und vor allem keine Vorzeichenfehler macht. Natürlich stimmt es.

Es geht um eine Abbildung (Funktion) namens F von einem dreidimensionalen Raum in einen ebenfalls dreidimensionalen Raum. Es ist nicht ganz der gewohnte Raum, der uns umgibt, denn die Koordinaten sind nicht die gewöhnlichen reellen Zahlen, sondern komplexe (ja, die mit dem Real- und dem Imaginärteil, wo es eine Wurzel aus –1 gibt und noch viele andere interessante Dinge). Aber die meisten Dinge sieht man auch, wenn man sich x, y und z als reelle Koordinaten vorstellt.

Die Abbildung F ist von sehr spezieller Gestalt. Ihre drei Komponenten sind nämlich Polynome in x, y und z; das heißt, sie sind Summen von Termen der Form Konstante mal Potenz von x mal Potenz von y mal Potenz von z. Und da Polynome so ziemlich die einfachsten Funktionen sind – von den ganz langweiligen abgesehen –, kann man über sie eine Menge Aussagen machen.

In der Schule begegnen sie einem unter dem – wenig aussagekräftigen – Namen „ganz-rationale Funktionen“, man kann sie in das übliche Koordinatensystem einzeichnen, und die Kurven, die dabei herauskommen, sind schön glatt („differenzierbar“), das heißt, sie haben in jedem Punkt eine Tangente.

Hat eine ganz-rationale Funktion f eine Umkehrfunktion? Also eine Funktion, die aus dem Funktionswert f(x) wieder das x macht? Das sieht im Allgemeinen schlecht aus. Um f(x)=x² umzukehren, muss man die Quadratwurzel ziehen; aber die Wurzel und minus die Wurzel tun dasselbe, also ist die Umkehrung nicht eindeutig. So etwas ist immer dann zu befürchten, wenn die Ableitung von f irgendwo gleich null ist. Dann ist da vielleicht ein Maximum oder Minimum, beiderseits davon nimmt die Funktion dieselben Werte an, und schon ist es vorbei mit der Eindeutigkeit der Umkehrung. (Ja, f(x)=x³ hat eine eindeutige Umkehrfunktion; aber diese Fälle interessieren in unserem Kontext nicht.)

So ähnlich geht es den komplizierteren Kolleginnen im dreidimensionalen Raum. Statt der einen Ableitung hat die Funktion F deren neune – jede Komponente nach jeder der drei Variablen x, y und z –, die sortiert man in ein Schema namens Jacobi-Matrix. Zu dieser Matrix kann man eine bestimmte Zahl ausrechnen, die Auskunft über das Verhalten von F gibt; das ist die Determinante der Jacobi-Matrix, die entsprechend Jacobi-Determinante heißt.

Bei den gewöhnlichen eindimensionalen Funktionen aus der Schule erzählt uns die Ableitung, wie stark die Funktion den Abstand zweier benachbarter Punkte vergrößert; da war was mit der Steigung der Tangente. Bei den dreidimensionalen Kolleginnen übernimmt die Jacobi-Determinante diese Rolle. Man lege einen kleinen Würfel um einen bestimmten Punkt (x_0, y₀, z₀) im Raum; dann hat das Bild dieses Würfels – die Menge aller Punkte F(x, y, z), für die (x, y, z) im Würfel liegt – das d-fache Volumen, wobei d die Jacobi-Determinante ist. Um genau zu sein: Das gilt ungefähr, und richtig genau im Grenzwert unendlich kleiner Würfel.

Jedenfalls: Wenn d gleich null ist, dann wird der Würfel zu einem zweidimensionalen Gebilde geplättet. Und schon ist es vorbei mit der Umkehrbarkeit. Wie soll man ein unendlich dünnes Stück Fläche zu einem dreidimensionalen Objekt aufblasen?

Wenn andererseits die Jacobi-Determinante in einem Punkt ungleich null ist, dann ist die Funktion zumindest lokal umkehrbar. Das heißt, es gibt in der Umgebung dieses Punktes eine Umkehrfunktion. In unserem eindimensionalen Beispiel f(x)=x² ist das die Wurzel oder eben minus die Wurzel je nachdem, ob x positiv oder negativ ist. Das funktioniert so lange, wie die Umgebung sich von der Null fernhält.

Und wenn die Jacobi-Determinante überall ungleich null ist? Dann gibt es nichts, was die Umgebung daran hindern könnte, sich beliebig weit auszubreiten. Also wäre unsere Funktion nicht nur lokal, sondern global umkehrbar.

Sollte man meinen. Für den Fall, dass die Funktion F, wie in dem obigen Beispiel, aus Polynomen besteht, waren etliche Leute davon überzeugt. Das ist die Aussage der Jacobi-Vermutung. (Es war also nicht Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851), der die Vermutung geäußert hat; die Namensgeber der Vermutung haben sich an der Matrix und der Determinante orientiert, die nach Jacobi benannt sind.)

Was die Vermutung zusätzlich plausibel macht, ist die Tatsache, dass in diesem Fall die Jacobi-Determinante, wenn sie überall ungleich null ist, dann auch überall denselben Wert haben muss. Wieso? Die Jacobi-Determinante einer Funktion, die aus Polynomen besteht, ist ihrerseits ein Polynom, und wenn ein Polynom nicht gerade eine Konstante ist, hat es eine Nullstelle. Die liegt vielleicht im Komplexen, aber das war ja erlaubt.

Jetzt kommt die böse Überraschung: Wie wir seit wenigen Wochen wissen, ist die Jacobi-Vermutung falsch. Um das zu beweisen, braucht es keine lange Abhandlung, sondern nur ein einziges Gegenbeispiel; siehe oben. Das ist eine explizit angegebene Polynomfunktion, deren Jacobi-Determinante ist konstant gleich –2, und sie bildet drei ebenfalls explizit genannte Punkte auf denselben Punkt ab. Also ist sie zumindest in diesem Punkt nicht umkehrbar; vielmehr hat man die Auswahl unter drei Urbildern. Das will einem erstmal nicht in den Kopf.

An dem Wert –2 der Determinante ist übrigens nichts Besonderes. Wir sind frei, in den beiden Räumen, in denen die Funktion F arbeitet, das Koordinatensystem nach unserem Belieben zu verschieben, zu verdrehen und die Maßstäbe zu ändern. Also gibt es auch eine Funktion, welche die Jacobi-Vermutung widerlegt und überall die Jacobi-Determinante 1 hat.

Das ist nun vollends verrückt. Die neue Funktion ist nämlich zu allem Überfluss auch noch volumenerhaltend. Stellen wir uns also vor, der Raum, in dem die Funktion wirkt, sei mit einer klebrigen, beliebig deformierbaren, aber inkompressiblen Masse gefüllt. Dann drückt unsere Funktion diese Pampe vielleicht in der einen Richtung zusammen, wodurch sie sich in einer anderen Richtung ausdehnt, und legt sie außerdem noch beliebig krumm. Aber sie reißt das Zeug an keiner Stelle auseinander – die Funktion ist ja insbesondere stetig –, und das Volumen ändert sich auch nicht. Trotzdem gelingt es der Funktion, verschiedene Stücke Pampe an dieselbe Stelle zu bringen, so dass diese sich gegenseitig durchdringen. Das habe ich als Kind mit Matsche im Sandkasten nicht hingekriegt, und richtig vorstellen kann ich es mir bis heute nicht.

Für die folgenden Bilder habe ich die Koordinaten so verändert, dass die Jacobi-Determinante gleich 1 ist und außerdem besser sichtbar wird, wie die Funktion die Pampe deformiert.

Wie ist jetzt dieses Ergebnis einzuschätzen?

Ja, es ist unter massiver Beteiligung einer KI zustande gekommen, und ja, ich halte es für einen bedeutenden Fortschritt. Das zeigt sich schon daran, dass die Mathematiker dieses spezielle Gegenbeispiel mit unglaublicher Geschwindigkeit unter die Lupe genommen und zahlreiche Gedanken dazu geäußert haben. Allen voran Terence Tao, Fields-Medaillen-Preisträger und Pionier der mathematischen Zusammenarbeit über das Internet. Wenige Tage später fand Jake Levinson im Dialog mit der KI Claude und einem menschlichen Kollegen eine koordinatenfreie Formulierung des Gegenbeispiels, und David Speyer eröffnete in seinem „secret blogging seminar“ eine weitere lebhafte Diskussion.

Es ist davon auszugehen, dass die KI auf der Suche nach dem Gegenbeispiel sehr viele Zahlenwerte für die Koeffizienten – die Konstanten vor den Termen wie x²y – durchprobiert hat, etwas, das die Geduld eines menschlichen Mathematikers sehr bald überfordert hätte. Aber stupides Durchrechnen aller Möglichkeiten hätte auch mit großer Rechenleistung nicht funktioniert, wie Tao in seinem Beitrag überzeugend vorrechnet. Die KI muss also irgendwelche Vorinformationen gehabt haben, die den Suchraum massiv einschränken, über den Prompt oder aus irgendwelchen Quellen, die ihr beim Durchkämmen des Internets in die Hände gefallen waren.

Wird die KI auf die Dauer die menschlichen Mathematiker arbeitslos machen? Für diese häufig geäußerte Befürchtung gibt dieses Einzelbeispiel wenig her. Ja, es gibt die traurige Geschichte von Yitang Zhang (Link hinter der Bezahlschranke). Der wurde von seinem damaligen Doktorvater darauf angesetzt, die Jacobi-Vermutung zu beweisen. Er scheiterte, und inzwischen wissen wir, warum. Daraufhin lag seine Karriere über 20 Jahre lang auf Eis, bis er einen Durchbruch zur Primzahlzwillingsvermutung erzielte.

Hätte er das aktuelle Gegenbeispiel damals schon gekannt, dann hätte er sich jahrelange vergebliche Mühe ersparen können. Und ich bin sicher, das wäre ihm lieber gewesen. Die Mathematik ist voll von ungelösten Problemen; da ist an Beschäftigung kein Mangel – bisher.

Ein anderer Umstand gibt mehr Anlass zur Sorge. Es ist nicht unplausibel, dass die KI für ihr Gegenbeispiel Ergebnisse von Alexander Borisov, Ofer Gabber und Adrian Vasu genutzt hat, die zu diesem Zeitpunkt noch nicht veröffentlicht waren. Mittlerweile, am 4. September dieses Jahres, haben die drei Autoren eine 175-seitige Arbeit auf den Preprintserver arXiv gestellt. Dort beweisen sie unter anderem, dass die Jacobi-Vermutung unter gewissen Zusatzvoraussetzungen (die ich bislang nicht durchschaue) gültig ist – ohne Zweifel eine hilfreiche Einschränkung für die Suche nach einem Gegenbeispiel.

Das könnte heißen: Ein Mathematiker stellt über einen Prompt eine Frage an eine KI und gibt dabei unvermeidlich Vorwissen preis; sonst könnte er die Frage gar nicht formulieren. Dieses Vorwissen saugt die KI auf, wie alles Wissen, das sie kriegen kann, und nutzt es, um einen Beweis vorwegzunehmen, den der Mathematiker eigentlich selbst erbringen wollte.

Hm. Dasselbe kann einem im Prinzip auch passieren, wenn man statt der KI einen menschlichen Kollegen fragt. Der ist dann allerdings gehalten, die Quelle seiner Weisheit in der Veröffentlichung zu nennen und damit dem Frager seinen Teil des Ruhms abzutreten. (Funktioniert auch nicht immer, aber …)

Wenn ich mich jetzt aber nicht mehr traue, eine KI zu fragen, weil ich fürchten muss, dass die meine vorläufige Erkenntnis zu einer publizierbaren ausbaut, ohne meinen Beitrag zu nennen: Dann würde das ein eigentlich nützliches Instrument entwerten. Hm.