Die wilde Dynamik des Pierre Berger
BLOG: Heidelberg Laureate Forum
Der Mathematiker Pierre Berger, der an der Sorbonne in Paris arbeitet, lässt uns in einer Ausstellung an seinen neuesten Ergebnissen zu kontinuierlichen dynamischen Systemen teilhaben. Diese ist Teil der MAINS on Tour Ausstellung in Heidelberg (14. bis 19. September in Heidlberg), zeitgleich zum diesjährigen Heidelberg Laureate Forum.
Worum geht es? Fassen Sie sich bitte einen Moment in Geduld. Die Theorie der dynamischen Systeme (früher auch als „Chaostheorie“ bezeichnet) ist etwas gewöhnungsbedürftig.
Wer sich an meine früheren Beiträge zum Chaos (hier, da und dort) erinnert: Das war eine geringfügig andere Baustelle. Diesmal geht es nicht um hüpfende, sondern um gleichmäßig fließende Zeit. Ein späterer Zustand wird nicht dadurch bestimmt, dass eine Funktion auf den gegenwärtigen Zustand angewendet wird. Vielmehr besteht das „Naturgesetz“ aus Differentialgleichungen. Die sagen grob gesprochen nur an, wie der Zustand des Systems sich in einem „unendlich kleinen“ Zeitraum ändern wird. Daraus den Zustand zu einer endlichen späteren Zeit zu berechnen ist mühsam und häufig nur näherungsweise möglich. Da will man aus den Differentialgleichungen zumindest allgemeine Aussagen über das Verhalten des Systems herleiten können.
Solange der Systemzustand mit zwei oder drei reellen Zahlen beschreibbar ist, bietet sich eine geometrische Darstellung an. Die Menge aller überhaupt möglichen Systemzustände (der „Phasenraum“) ist ein Teil der Ebene bzw. des Raums. Das System selbst ist nichts weiter als ein einzelner Punkt, der sich durch den Phasenraum bewegt. An jedem Punkt des Phasenraums sitzt ein kleiner Pfeil, der dem beweglichen Punkt ansagt, wo es an dieser Stelle langgeht. Die Gesamtheit dieser Pfeile wird auch als „Vektorfeld“ bezeichnet.
Im Allgemeinen interessiert man sich nur für Vektorfelder mit „Wohlverhalten“. Man könnte die Pfeile irgendwie widersprüchlich setzen, etwa so, dass an einer Stelle ein Pfeil nach links weist und unmittelbar links davon einer nach rechts. Aber dann wüsste ein Punkt, der dorthin gerät, beim besten Willen nicht, was er machen soll, und die Differentialgleichung hätte ab da keine Lösung mehr, auch keine chaotische. Das ist ein eher uninteressanter Fall. Also fordert man, dass das Vektorfeld selbst „glatt“ ist, das heißt, sich von einem Punkt zum nächsten nur allmählich und nicht sprunghaft ändert.
Ein Punkt, den man an irgendeiner Stelle (dem „Anfangswert“) in dieser Primitivwelt aussetzt, folgt den Pfeilen und beschreibt dadurch eine Bahn (seine „Trajektorie“) – vollkommen deterministisch. Abgesehen von der Wahl des Anfangswerts gibt es keine Freiheiten in dieser Situation. Was passiert auf lange Sicht?
Zum Beispiel könnte an einem Punkt des Phasenraums ein Nullvektor sitzen. Ein Punkt, der dorthin gerät, würde dann auf alle Zeiten dort hängenbleiben. Vielleicht weisen die Pfeile in der Umgebung dieses „Fixpunkts“ alle auf diesen Punkt hin. Wenn dann der Systemzustand in die Nähe des Fixpunkts gerät, kommt er ihm immer näher und nie wieder weg, als würde der Fixpunkt eine Anziehungskraft ausüben. Das nennt man einen attraktiven Fixpunkt.
Oder alle Pfeile weisen vom Fixpunkt weg. Dann ist er abstoßend, und wenn der Systemzustand nicht am Beginn seines Lebens dorthin gesetzt wird (und dort alt wird), sieht er ihn nie – nicht einmal von weitem.
Oder der Fixpunkt ist in einer Richtung anziehend und in einer dazu senkrechten Richtung abstoßend. Dann wird die Bewegung dramatisch. Ein Punkt hält aus einer attraktiven Richtung kommend auf den Fixpunkt zu; aber wenn er nicht genau auf dem richtigen Weg ist, dann schlagen kurz vor dem Ziel die abstoßenden Kräfte zu und schleudern ihn weit nach draußen, mit ungewissem Schicksal.
Pierre Berger betreibt nicht nur seine Forschung, sondern ist auch bestrebt, ihre Ergebnisse in Form sicht- und greifbarer Objekte zu vermitteln. So hat er diese interessantesten aller Fixpunkte („homokline Punkte“) in einer Metallskulptur verewigt.
Es kann auch vorkommen, dass alle Trajektorien auf die Dauer nicht einem bestimmten Punkt zustreben, sondern einer Teilmenge, einem „Attraktor“. Aus dessen näherer Umgebung kommt ein Systemzustand zwar nie wieder heraus, kann aber gleichwohl die unglaublichsten Dinge anstellen. Eine gewisse Berühmtheit hat der Lorenz-Attraktor erlangt, den der Meteorologe Edward Lorenz fand, als er sein brutal vereinfachtes Modell des Wetters näher untersuchte.
Der hier in Blech wiedergegebene Attraktor gehört zu einem speziellen dynamischen System. Ein Punkt kann unter dem Einfluss der Systemgleichungen wieder zu seinem Anfangswert zurückkehren (und muss dann immer wieder bis in alle Ewigkeit denselben Weg durchlaufen) – so weit noch nichts Besonderes. Aber jede dieser periodischen Bahnen kann sich beliebig oft um sich selbst schlingen und damit das realisieren, was die Mathematiker einen Knoten nennen: eine in sich geschlossene Kurve im dreidimensionalen Raum. Die darf man sich als Bindfaden vorstellen, und für den Knotentheoretiker kommt es nicht darauf an, wie dieser Faden im Raum herumhängt, solange er nicht zerschnitten und hinterher wieder verschlossen wird. Dieses spezielle dynamische System, das Robert Ghrist sich ausgedacht hat, realisiert jeden überhaupt denkbaren Knoten durch eine periodische Trajektorie. Das heißt: Jeder Knoten ist gewissermaßen in dem System enthalten, und um ihn auszuwählen, muss man nur einen einzigen Punkt im dreidimensionalen Raum bestimmen: einen Anfangswert, der ein beliebiger Punkt auf der periodischen Bahn sein darf. Das ist echte Reichhaltigkeit!
Auf einem der beiden Bildschirme in der Ausstellung präsentiert uns Berger eines seiner Ergebnisse noch absolut backfrisch: Die zugehörige wissenschaftliche Arbeit hat er erst diesen Sommer auf den Preprintserver arxiv.org hochgeladen.
Es geht um Vektorfelder, die nicht nur glatt sind, sondern sich auch einer weiteren Eigenschaft erfreuen: Sie sind flächenerhaltend (in zwei Dimensionen) bzw. volumenerhaltend (in drei Dimensionen). Schauen Sie sich eine Teilmenge des Phasenraums an und beobachten Sie, wie sich diese unter dem Einfluss der Dynamik verformt. (Das heißt: Sie lassen auf jeden Punkt der Teilmenge die Systemgleichungen wirken. Dadurch ergibt sich eine deformierte Version dieser Teilmenge, im Allgemeinen umso deformierter, je mehr Zeit vergeht.) Die Teilmengen, die Berger zur Illustration verwendet, sind bunte Ellipsen. Eine flächenerhaltende Dynamik darf eine solche Ellipse verschieben, drehen, zusammendrücken, strecken, krummbiegen und etliches mehr, aber nur solange sie jedes Zusammendrücken durch ein entsprechendes Strecken kompensiert.
Gemessen an dem, was Dynamiken sonst mit den Punkten eines Systems anstellen können, sind die flächenerhaltenden als äußerst brav einzustufen. George Birkhoff, einer der Altmeister der Theorie dynamischer Systeme, ging 1941 sogar so weit, zu vermuten, es handele sich „im Wesentlichen“ um Rotationen.
Nehmen wir an, auf der ganzen Erde weht nichts als ein beständiger Westwind. (Natürlich muss an Nord- und Südpol Windstille herrschen. Diese Punkte sind also Fixpunkte, aber weder anziehend noch abstoßend.) Dann wird jedes Luftvolumen permanent ostwärts gedrückt, manche Teile schneller als andere – wir haben ja nicht gesagt, dass der Wind überall gleich schnell weht –, sodass unser Volumen zwar deformiert wird, aber insbesondere gleichbleibt. So etwas würde man immer noch eine verallgemeinerte Rotation (Fachausdruck: konjugiert zu einer Rotation) nennen. Denn man kann das Koordinatensystem der Erdoberfläche – zeitabhängig – so verändern, dass die Bewegung in dem veränderten Koordinatensystem wie eine Rotation aussieht. Das, so Birkhoff, sollte für jedes flächenerhaltende dynamische System auf der Kugeloberfläche gelten.
Pierre Berger hat Birkhoffs Vermutung widerlegt. Auch unter den braven Dynamiken gibt es wilde, die sich beim besten Willen nicht in das Schema mit der Rotation zwängen lassen. So ganz einfach kann er nicht gewesen sein, ein Gegenbeispiel zu finden; immerhin hat die Suche mehr als 80 Jahre in Anspruch genommen.
Auf dem Bildschirm können Sie die Aktion dieses speziellen dynamischen Systems beobachten und sogar erforschen, indem Sie einen der zahlreichen Knöpfe betätigen.
Erwarten Sie keine rasche Erleuchtung! Berger selbst sagt: „Wenn ein Zehnjähriger sich das anschaut und von den psychedelischen Bildern fasziniert ist, dann ist das auch gut.“
Das gilt in noch höherem Maß für den linken der beiden Bildschirme. Der ist ein Forschungsmittel für Wissenschaftler. Auf Knopfdruck kann man sich gewisse interessante Eigenschaften eines dynamischen Systems darstellen lassen. Das sieht auch sehr psychedelisch aus. Aber es wäre schon hilfreich, vorher zu wissen, was – zum Beispiel – ein Ljapunow-Exponent ist.
Sie können diese Ausstellung und andere spannende Ausstellungstücke vom 14. bis 19. September 2025 im Senatssaal der Alten Universität in Heidelberg sehen. Mehr Informationen gibt es auf der MAINS Webseite.
Christoph Pöppe schrieb (15. Sep 2025):
> Diesmal geht es nicht um hüpfende, sondern um gleichmäßig fließende Zeit.
Und das heißt ?? …
Vermutlich: dass die jeweils Zeit-lich geordneten Elemente der Bahn jedes jeweils in Betracht stehenden Systems so mit Koordinaten-Werten (alias “time stamps”) bestreuselt (parametrisiert) wäre, dass
– diese Koordinaten-Werte monoton bzgl. der Reihenfolge der Bahn-Elemente zunähmen, und
– für jeden endlichen Bahn-Abschnitt dieses Systems die Differenz der Koordinaten, die dem End- bzw. dem Anfangs-Element dieses Bahn-Abschnitts zugeordnet wurden, in konstantem (und von Null verschiedenen) Verhältnis zur Dauer dieses Systems auf diesem Bahn-Abschnit wäre.
Hinsichtlich “System \(A\)”, seiner Bahn \(\mathcal A\) (als geordneter Menge) und je vier (i.A.) verschiedenen Elemente seiner Bahn: \(A_J, A_K, A_P\) und \(A_Q\) (sogenannten “Anzeigen” des Systems \(A\), hier insbesondere \(A\)s Anzeigen seines “Passierens von \(J\)”, seines “Passierens von \(K\)”, seines “Passierens von \(P\)” bzw. seines “Passierens von \(Q\)”),
konkret also
\[ \frac{(t_{\alpha}[ ~ A_Q ~ ] – t_{\alpha}[ ~ A_P ~ ])}{\tau A[ ~ \_P, \_Q ~ ]} = \frac{(t_{\alpha}[ ~ A_K ~ ] – t_{\alpha}[ ~ A_J ~ ])}{\tau A[ ~ \_J, \_K ~ ]} := \nu^A_{\alpha} \]
wobei die Funktion
\(t_{\alpha} : \mathcal A \rightarrow \mathbb R\)
irgendeine geeignete (monotone) Funktion ist,
und das geordnete Paar \((\mathcal A, t_{\alpha})\) auch als “gute Uhr” (alias “stabile Uhr”) bezeichnet wird.
(Womöglich lassen sich für verschiedene Systeme \(A\) und \(B\) jeweils geeignete Parametrisierungen \(t_{\alpha}\) bzw. \(t_{\beta}\) ihrer Anzeigen so wählen, dass
\( \nu^B_{\beta} = \nu^A_{\alpha} \)
erfüllt ist.
Falls \(A\) und \(B\) einander passierten, dann ist jedoch i.A.
\(t_{\alpha}[ ~ A_B ~ ] = t_{\beta}[ ~ B_A ~ ]\) nicht unbedingt erfüllbar;
und sofern ein-und-das-selbe dritte System \(C\) z.B. \(A\) und \(B\) nacheinander und getrennt voneinander passierte,
wobei dessen Parametrisierung \t_{\gamma}\) wiederum so gewählt würde, dass
\( \nu^C_{\gamma} = \nu^B_{\beta} = \nu^A_{\alpha} \)
erfüllt wäre und (“wenigstens”)
\(t_{\gamma}[ ~ C_A ~ ] = t_{\alpha}[ ~ A_C ~ ]\) gesetzt würde, dann wäre i.A.
\(t_{\gamma}[ ~ C_B ~ ] = t_{\beta}[ ~ B_C ~ ]\) nicht unbedingt erfüllbar; usw.)
> […] dass das Vektorfeld selbst „glatt“ ist, das heißt, sich von einem Punkt zum nächsten nur allmählich und nicht sprunghaft ändert.
Da wird doch wohl nicht etwa (“von einem zum nächsten”) gehüpft !?!
Wie wär’s denn, Grenzwerte von Folgen (von “Schritt-für-Schritt i.A. eben doch hüpfenden” Durchschnitts-Werten) in Betracht zu stellen ? —
Dann kämen wir vielleicht endlich mal dazu, dass “Schritt-Längen” verglichen (ins reell-wertige Verhältnis zueinander “gesetzt”) werden müssten; und wie das möglicher Weise vermittels gemessener Verhältnisse von Dauer (alias “Bogen-Länge”) machbar wäre …
Zitate:
„Das System selbst ist nichts weiter als ein einzelner Punkt, der sich durch den Phasenraum bewegt.“
„Ein Punkt, den man an irgendeiner Stelle (dem „Anfangswert“) in dieser Primitivwelt aussetzt, folgt den Pfeilen und beschreibt dadurch eine Bahn (seine „Trajektorie“) – vollkommen deterministisch.“
Hinweis: Auch die Bahn (die Trajektorie) eines Elektrons in einem Atomorbital könnte man als Phasenraum beschreiben. Und ja, der Wissenschaftsphilosoph und Harvard-Physiker Jacob Barandes tut genau das. Nur folgt bei ihm das Elektron nicht einer deterministischen Bahn, sondern es ist Teil eines unaufteilbaren stochastischen Prozesses (indivisible stochastic process) und Barandes hat herausgefunden, dass der dabei zu erwartende Phasenraum genau beschrieben wird durch die Wellenfunktion. Das gleiche gilt auch für Mehrteilchensysteme: wenn man die Dynamik eines Mehrteilchensysteme eines „indivisible stochastic process“ beschreibt, kommt man zur Wellenfunktion. Jacob Barandes sieht deshalb die Wellenfunktion als die Beschreibumg des Phasenraums eines Teilchensystems, dessen Teilchen einem „indivisible stochastic process“ folgen. Damit ergibt sich eine völlig neue Sicht auf die Wellenfunktion: während viele heutige Physiker, die Wellenfunktion als Ausdruck eines physikalischen Objekts auffassen, sieht Jacob Barandes in der Wellenfunktion nur gerade einen Phasenraum. Daraus folgt dann unmittelbar, dass etwa Aussagen wie „Im Doppelspaltexperiment geht ein Teilchen durch beide Spalten gleichzeitig“ falsch sind, denn wenn man die zum Doppeltspaltversuch zugehörige Wellenfunktion als Phasenraum auffasst, bedeutet das, dass das Teichen in gewissen Trajektorien einfach durch den einen Spalt und in anderen Testläufen durch den anderen Spalt geht. Das Endbild aber ist ein Interferenzmuster wie von der Wellenfunktion zu erwarten. Gemäss Jacob Barandes ist es also falsch die Wellenfunktion als Abbild eines physikalischen Objekts zu betrachten, richtig wäre es jedoch, die Wellenfunktion als Phasenraum eines Teilchensystems aufzufassen, das einem „indivisible stochastic process“ folgt.
Wie existieren Teilchen und Beobachter der Natur als Quanten nach der Relativität mit der Mathematik der Dimensionen und im rechten Winkel, sind es die eindimensionalen Fäden oder sind es Körner der Raumzeit?
Die kleinen Störungen der flachen Raumzeit können sich durch ein bestimmtes Teilchen beschreiben lassen, das so genannte Graviton, aber schon die Temperatur an einer Position wirkt wie ein Phasenrauschen und ist eine lokale Fluktuation, die sich überlagert, und im Zusammenspiel aller Positionen ergibt sich das globale Signal, genau wie beim Oszillator die globale Frequenz und die lokalen Phasenverschiebungen damit das Gesamtbild der Informationen des Austausches, kein isolierter Skalar sondern ein emergentes Phänomen, dass sich über viele Dimensionen von Dynamik und Information definiert. Die Schwerkraft folgt nicht den Gesetzen der Quantenphysik sondern lässt sich durch einen minimalistischen Ansatz der (weichen) Information bzw. der Rückkopplung als Vergeltung beschreiben.
Martin Holzherr schrieb (16.09.2025, 19:33 o’clock):
> […] dass etwa Aussagen wie „Im Doppelspaltexperiment geht ein Teilchen durch beide Spalten gleichzeitig“ falsch sind
Falls überhaupt/wenigstens das: falsch.
> [… sondern] dass das Teilchen in gewissen Trajektorien einfach durch den einen Spalt und in anderen Testläufen durch den anderen Spalt geht.
Es ist auch nicht (ganz) richtig, einzelne, unterscheidbare “Läufe” jeweils nur eines Teilchens (von “Quelle” zu “Schirm”) als “Einzelversuche eines Doppelspaltexperimentes” anzusprechen, da sich die tatsächliche (wirksame) Verteilung von “Potential” (bzw. Anzahl, Anordnung, Größen etwaiger “Spalte” oder sonstiger “Potential-Dellen”) nur (zunehmend genau) erst nachträglich aus Ensembles von (hinreichend vielen, und zunehmend zahlreichen) Einzelversuchen schließen lässt.
Das in Betracht stehende Experiment ist eben von vornherein, und Versuch für Versuch, “nur” ein “Quelle-zu-Schirm-Übertragungs”-Experiment.
In dem von jeweils “einer Spalt-genauen Trajektorie” keine Rede sein muss.
Sondern Versuch für Versuch das Potential der gesamten, jeweils “kohärent belaufbaren” Übertragungs-Region “Einfluss (auf das zu schlussfolgernde Ergebnis) nimmt”.
> […] der Wissenschaftsphilosoph und Harvard-Physiker Jacob Barandes […] sieht […] in der Wellenfunktion nur gerade einen Phasenraum. […]
Danke jedenfalls für die Anregung, sich mit den Begriffen vertraut zu machen (oder erneut auseinanderzusetzen), die offenbar auch in gewissen Formulierungen von Ansichten auftreten (können).
p.s.
> […] die Bahn (die Trajektorie) eines Elektrons in einem Atomorbital […]
Die »Wildheit« dieser Formulierung lässt sich sogar quantifizieren: anhand des Verhältnisses von Bohrschem Radius und dem (großzügig gemittelten) Radius des betreffenden Orbitals.
Von einer “Bahn eines (s-Orbital-)Elektrons in einem Atomkern” oder gar “in einem Nukleon” zu sprechen wäre folglich noch zunehmend verwegener…
@Frank Wappler (Zitat): “ Von einer “Bahn eines (s-Orbital-)Elektrons in einem Atomkern” oder gar “in einem Nukleon” zu sprechen wäre folglich noch zunehmend verwegener…“
Antwort: Jede Hypothese ist bis zu einem gewissen Grade verwegen. Vor allem dann, wenn sich die Objekte, die in einer Hypothese auftauchen keiner direkten Beobachtung zugänglich sind. Hier ist die Hypothese von Jacob Barandes folgende: Die Teilchen, die lediglich als Parameter in die Wellenfunktion eingehen, existieren weiterhin und jederzeit als „Individuen“ und haben Bahnen, die durch einen „indivisible stochastic process“ beschrieben werden. Mit dieser Annahme erhält man genau die gleiche Mathematik wie mit der Wellenfunktion. Das bedeutet eben, dass die Hypothese, Elektronen oder Photonen seien jederzeit Teilchen, die sich stochastisch verhalten und die Trajektorien folgen, die man nicht willkürlich unterteilen kann, dass diese Hypothese kompatibel mit der bekannten Mathematik ist wie sie sich in der Wellenfunktion widerspiegelt.
Noch eine weitere wichtige Bemerkung zu Jacob Barandes Erklärung der Wellenfunktion durch die Trajektorien von Teilchen, die einem „indivisible stochastic process“ unterworfen sind: In der Erklärung von Jacob Barandes sind bereits die Bahnen von Elementarteilchen nicht-deterministisch, sie sind stochastisch. Das wiederum passt sehr gut dazu, dass man bei quantenmechanischen Rechnungen immer eine Wahrscheinlichkeit erhält und nie ein einziges fixes Resultat. Tatsächlich haben Physiker schon sehr früh genau nach dem gesucht, was Jacob Barandes nun gefunden hat: sie haben nach einer statistischen Komponente im Verhalten von Elementarteilchen gesucht. Sie haben sie aber nicht gefunden, weil die stochastische Mathematik des 20. Jahrhunderts sich vor allem auf Markov Prozesse konzentriert hat und in Markov Prozessen ist die Kette der Ereignisse nicht von der Vergangenheit abhängig.
Der bekannte Physiker Hugh Everett III, der die Vielen-Welten Interpretation der Quantenmechanik aufs Tapet brachte, dieser Physiker versuchte zuerst in einer nicht veröffentlichten Arbeit die Wellenfunktion mit der damaligen Statistik zu erklären, sie also aus dem statistischen Verhalten der Elementarteilchen herzuleiten. Doch es gelang ihm nicht, weil die damalige Statistik den allgemeingültigen Fall eines statistischen Ensembles noch gar nicht untersucht hatte. Die Mathematik des „indivisible stochastic process“ existiert überhaupt erst seit 2008 und diese Mathematik erlaubt nun eine Herleitung der Wellenfunktion, wie sie bereits von Hugh Everett ||| versucht wurde.
Zu „Die Teilchen, die lediglich als Parameter in die Wellenfunktion eingehen, existieren weiterhin und jederzeit als „Individuen“ und haben Bahnen …“:
• In der Quantenmechanik sind Teilchen keine „kleinen Kügelchen“, sondern Zustände von Feldern, die durch Wahrscheinlichkeitsamplituden beschrieben werden.
• Ein Beobachter ist ebenfalls aus Quantenobjekten (Atomen, Molekülen, Gehirnprozessen) aufgebaut, aber durch seine Makrostruktur treten klassische Eigenschaften hervor.
• Die Messung koppelt das Quantensystem an viele Freiheitsgrade der Umgebung → daraus entsteht Dekohärenz, die wie ein „Kollaps“ wirkt.
Ein Quantensprung im Atom, also der Übergang von einer stabilen Entfernung zur nächsten des Elektrons gegenüber dem Kern, bzw. am Körper ist eine (weiche) Information. Somit kann man eine Information als Individuum betrachten und dem Phasenrauschen ein Bewusstsein zuordnen um sich so als Freiheitsgrad zu manifestieren.
Niemand sagt, dass Teilchen Kügelchen seien, aber Jacob Barandes sagt eben, dass man die Wellenfunktion auch mit einem Teilchenbild erklären kann, dass also die Wellenfunktion nichts anderes als der Phasenraum der beteiligten Teilchen ist.
Wenn sie von Teilchen als Anregungen von Feldern sprechen, so sprechen sie von der sogenannten zweiten Quantisierung, einer Weiterentwicklung der Quantenmechanik, bekannt als Quantenfeldtheorie. Eine Quantenfeldtheorie auf der Basis von „individible stochastic process‘ s gibt es im Moment noch nicht, aber es bemühen sich bereits einige Physiker darum.
Übrigens: Jacob Barandes wendet sich explizit auch gegen jeden Quantenmystizismus, wie er auch bei ihnen auftaucht (Zitat): Somit kann man eine Information als Individuum betrachten und dem Phasenrauschen ein
Bewusstsein zuordnen um sich so als Freiheitsgrad zu manifestieren.
Wichtig: Alles Sprechen über Dinge in der Quantenwelt ist hypothetisch und es gilt: Die Quantentheorie-Axiome handeln immer nur von Messungen. Was zwischen den Messungen passiert, darüber sagt die Quantenmechanik bis jetzt überhaupt nichts. Wer etwas darüber sagt, spekuliert und leider sind sehr viele dieser Spekulationen nichts anderes als Quantenmystik.
Ein Grundfehler, den viele Physiker und Wissenschaftsphilosophen machen, die von der Quantentheorie sprechen, ist es Mathematik mit Physik zu verwechseln. Sehr häufig ordnen diese Leute dann mathematischen Strukturen physikalische Strukturen (physikalische Dinge) zu. Doch so etwas ist grundfalsch, wenn die mathematischen Strukturen gar nicht Ausdruck eines Dings, sondern Ausdruck eines Prozesses sind.
Zu „Ein Grundfehler, den viele Physiker und Wissenschaftsphilosophen machen, die von der Quantentheorie sprechen, ist es Mathematik mit Physik zu verwechseln. Sehr häufig ordnen diese Leute dann mathematischen Strukturen physikalische Strukturen (physikalische Dinge) zu. Doch so etwas ist grundfalsch, wenn die mathematischen Strukturen gar nicht Ausdruck eines Dings, sondern Ausdruck eines Prozesses sind.“:
Aktion und Reaktion – das eine verursacht das andere. Es gibt einen interessanten Zusammenhang von Raum und Zeit der Energie in der Physik E=mc^2 und dem Flächeninhalt A=πr^2 der Geometrie eines Kreises aus der Geometrie, denn wie das Gaussche Gesetz besagt, „das Feld und Potential einer homogen geladenen Kugel wächst innerhalb der Kugel linear an“, wie auch die analoge Rechnung der Gravitationskraft innerhalb einer Kugel homogener Massendichte im Grenzfall eines schwachen Gravitationsfeldes liefert, d. h. im schwach gekrümmten Raum, so dass eine Beschreibung im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht erforderlich ist, wobei das Ergebnis zeigt dass die Gravitationskraft im (Erd-)Mittelpunkt wie auch in der unendlichen Weite verschwindet. Die Wirkung der Gravitation ist an der Oberfläche des Beobachters am größten. Die übertragene Information berechnet sich aus pq − qp = h/2πi da Ort und Impuls sich nicht auf klassische Weise fassen lassen mit qp vor und pq nach der Kommunikation der Beobachter p und q.
Martin Holzherr schrieb (17.09.2025, 19:13 o’clock):
> […] Hypothese von Jacob Barandes […]:
(Sofern es sich bei diesem Zitat um eine einigermaßen direkte Übersetzung aus einer bestimmten, vermutlich Englisch-sprachigen Quelle handelt, wäre eine Quellen-Angabe bzw. -Link anständig; vorzugsweise eine Barriere-freie.)
Zunächst einmal ist es verwegen, die zitierte Darstellung als “Hypothese” zu bezeichnen, da sie sich nicht erkennbar auf konkrete (Mess-)Werte bezieht, und somit
– weder (experimentell; oder ansonsten “rein rechnerisch”) prüfbar erscheint,
– noch sich auf bestimmte Festsetzungen (Definition der in Betracht stehenden Messgröße durch Methodik zur Ermittlung ihrer jeweiligen Messwerte; oder in Betracht kommende Rechen-Operationen); sich also nicht auf eine bestimmte zu Grunde zu legende Theorie bezieht.
Im Übrigen müsste jemand, der bei dieser zitierten Darstellung nicht an “die Pfad-Integral-Darstellung” denkt, sich wohl noch keinerlei Vorstellung von “Pfad-Interalen” gemacht haben (nicht zuletzt, von wegen »nicht willkürlich unterteilen«, auch vom sogenannten “time slicing” und “time ordering” beim Auswerten).
Sofern Jacob Barandes eine bestimmte selbständig-originale Idee hat, dann ist diese ja womöglich wesentlich spezifischer … (Im Zitat kommt der Begriff “Phasenraum” z.B. gar nicht vor.)
Martin Holzherr schrieb (18.09.2025, 09:29 o’clock):
> In der Erklärung von Jacob Barandes sind bereits die Bahnen von Elementarteilchen nicht-deterministisch, sie sind stochastisch. […] statistischen Komponente im Verhalten von Elementarteilchen
Die Stochastik, die in (Feynmans) Pfad-Integralen formalisiert ist, betrifft jedenfalls insbesondere (Definition und) Messung (bzw. eher: Abschätzung) von “(wahrscheinlichstem) Potential” (mit Formelzeichen \(V\), das im verlinkten Wikipedia-Artikel zumindest einmal ausdrücklich auftritt); also die Methodik, aus den Beobachtungs-Daten bestimmter Versuchs-Serien (konkret z.B. aus “Mustern auf dem Bildschirm”) die dabei wahrscheinlichste Potential-Verteilung (also z.B. die wahrscheinlichste Anzahl und Anordnung von “Blenden-Spalten zwischen” Quelle und Bildschim) zu ermitteln.
(Diese — nennen wir’s mal — Einsicht scheint aber zugegebener Maßen ziemlich unterrepräsentiert; insbesondere auch in Feynmans eigenen Darstellungen. Auf den betreffenden Seiten des Deutsch-sprachigen Wikipedia-Fragments, z.B., findet sich das o.g. Formelzeichen offenbar gar nicht.)
> […] dass man bei quantenmechanischen Rechnungen immer eine Wahrscheinlichkeit erhält und nie ein einziges fixes Resultat. […]
Stichwort/Lernhilfe: Eigenwerte (und deren Rolle insbesondere in der Quantenmechanik).
p.s.
Martin Holzherr schrieb (18.09.2025, 10:07 o’clock):
> […] Die Quantentheorie-Axiome handeln immer nur von Messungen.
Wobei zum Messen, also dem Ermitteln je eines Messwertes, allerdings
– sowohl das Einsammeln von (hinreichenden, relevanten) Beobachtungs-Daten (jeweils eines “gültigen” Versuches) gehört,
– als auch das Auswerten geeigneter Beobachtungs-Daten (durch Anwendung des jeweiligen, per Theorie definierten und festgesetzten Auswertungs-Operators).
> Was zwischen den Messungen passiert, darüber sagt die Quantenmechanik bis jetzt überhaupt nichts.
Was zwischen den (jeweils als Integrations-Grenzen des “Wirkungs”-Integrals formalisierten, ggf. jeweils durch Koinzidenz mit geeigneten Bestandteilen der “Umgebung” “fixierten”) Anfangs- und End-Zuständen eines Systems “passierte” nennt man i.A.
– Evolution (“den Verlauf”) des Systems, bzw.
– Propagation (“die Übertragung”) des Systems (jeweils zwischen “fixierten Zuständen/Enden”)
und insbesondere (falls “im Verlauf wirklich etwas Bestimmtes passiert sein könnte”)
– Interaction (“Wechselwirkung”) des Systems mit “Feldern der Umgebung”); ggf. (per Störungs-Rechnung) in Absorption oder Emission einzelner “Feld-Quanten” durch das System einteilbar.
@Frank Wappler: Die Pfadintegrale Feynmans sind nur gerade Berechnungsmethoden und Feynman wies sogar nach, dass sie die gleichen Resultate liefern wie andere Methoden. Sie aber scheinen Pfadintegrale als etwas reales zu verstehen, sie nehmen wohl an, physikalische Objekte bewegten sich entlang der Pfadintegrale. Mit dieser Annahme aber machen sie Mathematik zu Physik und genau das kann auch schief gehen, vor allem dann, wenn der ganze mathematische Apparat in der Quanten-Physik am Schluss nur dazu dient eine Messung zu begründen.
Noch einmal zum Grundgedanken von Jacob Barandes in meinen Worten:
1) Die stochastischen „Outcomes“ von Messungen im Quantenregime (die zur Born-Regel führt) gründen selbst auf dem stochastischen Verhalten der beteiligten Elementarteilchen.
2) Wenn man die im Jahr 2008 formulierte mathematische Theorie des „indivisible stochastic process“ auf die Elementarteilchen anwendet, die als Parameter in die Wellengleichung eingehen, dann erhält man die Wellenfunktion und einen Hilbertraum. Mit anderen Worten: man erhält mit der Hypothese des „indivisible stochastic process“ an dem die Elementarteilchen teilnehmen genau die Mathematik, die heute in der Schrödingergleichung und auch in anderen Gleichungen verwendet wird, in denen die Wellenfunktion vorkommt.
Folgerung: um die Hypothese von Barandes ernst zu nehmen, müssen sie keine neuen Messungen machen, denn alle Messungen im Quantum-Regime lassen sich auch mit der Hypothese des „indivisible stochastic process“ erklären. Oder noch deutlicher: Die Barandes-Hypothese ist eine Interpretation der Quantenrealität, die auf der gleichen Stufe steht wie die „Viele-Welten“-Interpretation, allerdings mit dem Unterschied, dass man bei der Barandes-Hypothese keine Dinge annehmen muss, die man prinzipiell nicht messen kann (wie das bei der „Viele-Welten“-Interpretation der Fall ist).
Die Arbeiten von Jacob Barandes finden sich hier:
https://philarchive.org/s/Jacob%20A.%20Barandes
Speziell hervorheben möchte ich folgendes paper: The Stochastic-Quantum Correspondence. Dort liest man in der Kurzzusammenfassung:
Hier noch der Link zum arxiv-paper mit dem Titel „The Stochastic-Quantum Correspondance“
Martin Holzherr schrieb (18.09.2025, 21:43 o’clock):
> Die Pfadintegrale Feynmans sind […] Berechnungsmethoden […]
Na, schön.
> […] nur gerade Berechnungsmethoden
Aber als solche sind Pfadintegrale ggf. auch zur Ermittlung von konkreten Messwerten einsetzbar (vorausgesetzt geeigneter “Input” ist gegeben).
In diesem Sinne sind die Pfadintegrale Feynmans auch Bestandteil von Mess-Methodik bzw. von Messgrößen-Definition.
Und nochmal: Um welche Resultate, Werte welcher Größe(n) geht’s dabei eigentlich? —
Es geht (unmittelbar) um “die große Unbekannte”, \(V\), das (wahrscheinlichste) Potential;
und mittelbar um “die (jeweils wahrscheinlichste) Verteilung von Ladungen, Massen, Feldstärken …”.
> […] wenn der ganze mathematische Apparat in der Quanten-Physik am Schluss nur dazu dient eine Messung zu begründen.
Nun, wie ich Rutherford zu paraphrasieren pflege:
> […um] primären ontologischen Inhaltsstoff
Da wäre hinsichtlich der schon oben erwähnten experimentellen Anordnung:
“die Quelle”, “der Bildschirm” und die Versuch zu Versuch ergänzbaren geometrischen Beziehungen zwischen Bildschirm-“Pixeln”, von denen jeweils eines pro (gültigem) Versuch “ansprach”.
Dass Pfadintegrale “dazwischen” gewisse formale Selbst-Ähnlichkeit bzw. Modularität aufweisen — erleichtert die Rechnerei (einschl. der Zusammenfassung von Resultaten).
> […] die im Jahr 2008 formulierte mathematische Theorie des „indivisible stochastic process“
… finde ich eine zutreffende Formulierung; im Gegensatz zu: “die Hypothese …” …
… ist (trotz deren formaler Selbst-Ähnlichkeit) relevant für Pfadintegrale:
Das sieht man einem schlicht-geschriebenen \(V[ ~ {\mathbf x} ~ ]\) vielleicht nicht direkt an; aber in dessen Yang-Mills-Ausprägung und dem darin zugrundegelegten
“commutator \( [ D_{\mu}, D_{\nu} ] \)”
erstrecken sich die Indices \(\mu\) bzw. \(\nu\), und somit die indivisibility bzw. Nicht-Faktorisierbarkeit der Auswertung, ausdrücklich “ins Zeitliche”.
> […] nehmen wohl an, physikalische Objekte bewegten sich entlang der Pfadintegrale
Sofern “Quelle” und “Schirm” gegenüber einander durchwegs starr blieben, wenn nicht sogar ruhten, nennt man das Gesamt-Geschehen jeweils eines Versuches doch wohl “Bewegung eines Objekts (Elektrons) von Quelle zu Schirm”.
(Genau welches “(wahrscheinlichste) Potential” aus einem Bildschirm-Muster mit genau einem Pixel “an” zu folgern ist ? — Würde ich mir gern vorrechnen lassen.
Im Übrigen gebe ich zu, dass ich (an anderer Stelle) auch schon mal gefragt habe, ob denn das Pauli-(Ausschluss-)Prinzip z.B. auch unter “virtuellen Elektronen” bzw. unter “(time-order-lich) nebenläufigen Rechnungs-Zweigen (mit gleichen diskreten Quantenzahlen)” zu beachten wäre. (Die so Gefragten haben daraufhin womöglich angefangen, stillscheigend zu rechnen … &))
> […] keine Dinge annehmen […], die man prinzipiell nicht messen kann
Sehr gut! — daher die grundsätzliche Konzentration auf Werte; insbesondere auf Mess-Werte.
Im Übrigen lassen sich auch Größen, deren (jeweilige) Werte sich aus gegebenen Daten prinzipiell ermitteln lassen (auch, falls das noch nicht vollzogen sein sollte), Vorteil-haft von Größen unterscheiden, von denen sich aus den selben gegebenen Daten grundsätzlich kein bestimmter Wert ermitteln lässt.
Frank Wappler schrieb (19.09.2025, 14:05 o’clock):
> […] angefangen,
stillscheigend… stillschweigend. Bzw.: in Abgeschiedenheit …
zu rechnen […]
Quantenmechanik?
Zur Erinnerung, Kenntnisnahme und Selbstanalyse
Drei “frühe” Aussagen…
↓
dokumentierte, nicht bekannte Wahrheiten
↓
Was kaum realisiert wird, da es populärwissenschaftlich nicht kommuniziert wird, ist die Tatsache, dass sich nahezu alle Quantenmechanik-Konstrukteure von dieser im Nachhinein distanzierten.
Exemplarisch drei QM-Heroen “im Nachgang”
Der QM-Mitbegründer Erwin Schrödinger (1887 – 1961) bemerkte rückblickend: „Ich wende mich nicht gegen ein paar spezielle Aussagen der heutigen Quantenphysik (1950er Jahre), ich wende mich sozusagen gegen die gesamte Quantenphysik, ich wende mich gegen ihre grundlegenden Ansichten, die vor 25 Jahren geprägt wurden, als Max Born seine Wahrscheinlichkeitsinterpretation vorlegte, die von fast allen akzeptiert wurde.“ …Hätte ich gewusst, dass wir diesen verdammten Quantensprung nicht loswerden, hätte ich mich nie auf dieses Geschäft eingelassen! Quelle: »Dr Faustus of Modern Physics«
Der Mathematiker, John von Neumann (geb. Neumann János 1903 – 1957) publizierte 1932 sein opus magnum über die Mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik. Das Datum der Publikation dieses Buchs hielt Carl-Friedrich von Weizsäcker für den Beginn der „Machtübernahme“ der Mathematik in der theoretischen Physik. Doch schon vor diesem Datum befielen von Neumann Zweifel an seiner Theorie. Dann im Jahr 1935 wies er nach, dass jede Theorie der Quantenmechanik, die auf dem »Hilbertraum« als Bezugsbasis entwickelt wird, physikalisch inakzeptabel ist. Jeden klaren Kommentar in der Öffentlichkeit darüber vermied er sein Leben lang, obwohl er zusammen mit F. J. Murray in einer Serie von mathematisch höchst innovativen Publikationen zur Algebra (Von-Neumann-Algebren) nachwies, wie eine zutreffende Fassung der Quantenmechanik zu gestalten sei.
Im wahrlich umfangreichen Bestand an Publikationen zur Quantentheorie findet man zu von Neumanns Dilemma kaum eine substantielle Notiz. Erst 44 Jahre nach seinem Tod im Jahr 1957 kann die Fachöffentlichkeit aus mehreren privaten Äußerungen erfahren, warum von Neumann niemals sein berühmtes Buch von 1932 widerrufen oder zurückgezogen hat. Das Motiv war einfach: Seine »Falsifikation« hätte niemand der Fachkollegen ernst genommen, da der »Hilbertraum« weltweit längst zum Grundbestand der Quantentheorie gehört. Aber auch gravierende thermodynamische Einwände spielten eine Rolle, mit denen sich außer von Neumann keiner der großen Quantenheroen in ihren Lehrbüchern befasste.”… Quelle: Nichtmechanistische Darstellung der physikalischen Disziplinen als mathematische Systemtheorie Vilmos Balogh
Interessanterweise war es Albert Einstein (1879 – 1955), der die Quantenmechanik “schon früh” – nachvollziehbar argumentativ begründet – als unbrauchbar identifizierte:
…”die ψ-Funktion ist als Beschreibung nicht eines Einzelsystems, sondern einer Systemgemeinschaft aufzufassen. Roh ausgesprochen lautet dies Ergebnis: Im Rahmen der statistischen Interpretation gibt es keine vollständige Beschreibung des Einzelsystems. Vorsichtig kann man so sagen: Der Versuch, die quantentheoretische Beschreibung der individuellen Systeme aufzufassen, führt zu unnatürlichen theoretischen Interpretationen, die sofort unnötig werden, wenn man die Auffassung akzeptiert, daß die Beschreibung sich auf die Systemgesamtheit und nicht auf das Einzelsystem bezieht. Es wird dann der ganze Eiertanz zur Vermeidung des ‘Physikalisch-Realen’ überflüssig. Es gibt jedoch einen einfachen physiologischen Grund dafür, warum diese naheliegende Interpretation vermieden wird. Wenn nämlich die statistische Quantentheorie das Einzelsystem (und seinen zeitlichen Ablauf) nicht vollständig zu beschreiben vorgibt, dann erscheint es unvermeidlich, anderweitig nach einer vollständigen Beschreibung des Einzelsystems zu suchen, dabei wäre von vornherein klar, daß die Elemente einer solchen Beschreibung innerhalb des Begriffsschemas der statistischen Quantentheorie nicht enthalten wäre. Damit würde man zugeben, daß dieses Schema im Prinzip nicht als Basis der theoretischen Physik dienen könne. Die statistische Theorie würde – im Fall des Gelingens solcher Bemühungen – im Rahmen der zukünftigen Physik eine einigermaßen analoge Stellung einnehmen wie die statistische Mechanik im Rahmen der klassischen Mechanik.”… A. Einstein, Qut of my later years. Phil Lib. New York 1950 Seite 498
Einsteins unschlagbare Argumente wurden und werden bis heute “schlicht” ignoriert. Einsteins kritische Äußerungen, insbesondere zur Quantenmechanik, führten letztendlich zu seiner Isolation. Er war zwar später ein “Medienstar” aber wissenschaftlich ohne weitere Bedeutung.
Claes Johnson (Professor für Angewandte Mathematik) beschreibt das in seinem Buch »Dr Faustus of Modern Physics« u.a. wie folgt,
“Einstein: Die Ikone der modernen Physik
Die Beziehung zwischen der modernen Physik und Albert Einstein kann wie folgt zusammengefasst werden: Einstein initiierte die Entwicklung der modernen Physik als (inkompatible) Kombination von Quantenmechanik und Relativitätstheorie, als Patentangestellter im Alter von 25 Jahren. Die Physik-Community nutzte Einstein als Ikone der modernen Physik und beurteilte ihn im Alter von 45 Jahren senil zu sein und nicht verstehen zu können, welche Aladdin-Lampe er berührt hatte. Dies ist eine klassische griechische Tragödie, deren Erfolg untrennbar mit dem Scheitern verbunden ist und deren Scheitern letztendlich das Spiel ausmacht. Es ist eine wahre Geschichte über einen Doktor Faustus, der seine junge Seele an Luzifer den Teufel verkauft, um Zugang zur Magie der Wissenschaft zu erhalten, und den Preis dafür zahlt, der Hölle bereits auf dieser Welt gegenüberzutreten, wenn die Wissenschaft, die er am meisten schätzt im Leben von ihm genommen wurde.”