Die meisten Zahlen sind unaussprechlich

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Nettes Spiel beim Abendessen: Kind giert nach dem großen Stück Kuchen, das noch übrig ist. Vater hält es für pädagogisch sinnvoll, nur ein halbes Stück herauszurücken. Kind isst es auf und giert weiter. Vater lässt sich erweichen und gibt ihm von der übriggebliebenen Hälfte die Hälfte. Kind isst auf und hat noch immer nicht genug. Vater gibt die Hälfte vom Rest …
So könnte das Spiel endlos weitergehen – nicht in der Realität natürlich. Irgendwann muss Kind ins Bett, und überhaupt lässt sich Kuchen nicht beliebig fein zerteilen. Aber in der Theorie? Kein Problem. Am Ende (was immer das heißen mag) haben wir den Kuchen in unendlich viele Teile zerlegt, jedes von ihnen endlich groß, und alle zusammen sind nicht mehr als der ursprüngliche Kuchen.

Dasselbe Spiel mit Zeit statt Kuchen ist noch deutlich überzeugender, denn anders als beim Kuchen gibt es keinen offensichtlichen Grund, warum ein Zeitintervall nicht in beliebig kleine Teile zerlegt werden dürfte. Der antike Philosoph Zenon von Elea hat das in seiner berühmt gewordenen Geschichte von Achilles und der Schildkröte getan und stieß auf einen – für ihn – unauflöslichen Widerspruch: Es könnten sich doch nicht unendlich viele Zeitintervalle zu einem endlichen aufaddieren. Da aber genau das in der Realität passiert – wie jeder sehen kann, holt Achilles die Schildkröte ein –, besteht ein Widerspruch zwischen Theorie und Realität. Also, schließt Zenon messerscharf, muss die Realität falsch sein. Dieser unglaublichen Dreistigkeit verdankt Zenon seine bis heute andauernde Bekanntheit.

Heute wissen wir es besser. Der Grenzwertbegriff versetzt uns in die Lage, eine unendliche Summe sauber und widerspruchsfrei zu definieren, und mit Hilfe der Formel für die Summe einer geometrischen Reihe können wir sie sogar manchmal ausrechnen, zum Beispiel in den beiden oben angeführten Beispielen. Da kommt der Eindruck auf: Unendlich ist ja gar nicht so viel. Immerhin passt eine Unendlichkeit unter gewissen Umständen problemlos in ein Zeitintervall oder ein Stück Kuchen.

Die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen, wohlgemerkt, das, was die Mathematiker „abzählbar unendlich“ nennen. Es gibt noch viel unendlichere Mengen!

Aber der Reihe nach. Wie vergleicht man die Größe unendlicher Mengen? Das hat uns Georg Cantor (1845–1918) mit seiner damals revolutionären Mengenlehre erklärt. Zwei Mengen sind gleich groß („gleichmächtig“ in der Ausdrucksweise der Mengentheoretiker, die keine Missverständnisse aufkommen lassen wollen), wenn es eine Abbildung gibt, die jedem Element der einen Menge genau eines der anderen zuordnet. Insbesondere ist eine Menge abzählbar, wenn man ihre Elemente sämtlich nummerieren kann. Denn das heißt nichts anderes, als dass man jedem Element eine natürliche Zahl (eine „Nummer“) zuordnen kann und kein unnummeriertes übrigbleibt.

Und dann stellt sich heraus, dass abzählbar unendlich doch ganz schön viel ist. Zum Beispiel ist die Menge aller Paare natürlicher Zahlen abzählbar. Das will auf den ersten Blick nicht einleuchten. Immerhin bilden diese Paare eine Tabelle, die nicht nur nach rechts unendlich ist, sondern auch nach unten, unendlich mal unendlich sozusagen:

Aber es ist kein Problem, diese doppelt unendliche Menge mit den einfach unendlichen natürlichen Zahlen abzuzählen. Man zählt entlang den (endlichen) Diagonalen:

Ja, die unendlich vielen schrägen Zählreihen werden immer länger, und für das imaginäre Männchen, das die Paare abzählt, wird es immer mühsamer, auch nur eine Zeile weiterzukommen; aber derlei Beschwernisse verschwinden im Unendlichen. Einer der wesentlichen Gründe, warum die Mathematiker das Unendliche so schätzen: Dorthin kann man allerlei abschieben, was einem im Endlichen nur lästig wäre.

Jetzt nennen wir das erste Element jedes Paares den Zähler und das zweite den Nenner, und schon haben wir die Tabelle in ein Verzeichnis aller (positiven) Brüche verwandelt. Die rationalen Zahlen sind abzählbar! (Die negativen rationalen Zahlen bringt man mit einem einfachen Kunstgriff auch noch in der Abzählung unter.)

Das ist nun schon etwas heftiger. Immerhin liegen die rationalen Zahlen dicht auf der Zahlengeraden: Man findet sie auf jedem noch so kleinen Abschnitt, und wenn man noch weiter hineinzoomt, tauchen immer wieder neue auf. Trotzdem gibt es nicht mehr von ihnen als die mit ordentlichem Abstand auf der Zahlengeraden aufgereihten natürlichen Zahlen.

Und so lückenlos sie jedes Intervall zu füllen scheinen: Es gibt Lücken zwischen ihnen, die irrationalen Zahlen. Dass die Wurzel aus 2 nicht rational sein kann, ist leicht zu beweisen (und hat angeblich die alten Griechen zur Verzweiflung gebracht). Gleiches gilt für die Wurzel aus jeder natürlichen Zahl, die nicht gerade eine Quadratzahl ist, und alles, was man aus ihnen und den bereits vorhandenen Zahlen durch Addieren und Multiplizieren machen kann. Berühmte irrationale Zahlen wie \(\pi\) und e kommen noch hinzu.

Am Ende stellt sich heraus: Die irrationalen Zahlen sind noch unendlicher als das gewöhnliche Unendliche. Sie sind überabzählbar; man sagt auch: Die Menge der reellen Zahlen hat die Mächtigkeit des Kontinuums. Das beweist man mit Cantors klassischem Diagonalargument. Aber es handelt sich um eine andere Diagonale als die, mit der ich oben die Abzählbarkeit der Paare natürlicher Zahlen gezeigt habe.

Was dort für die Paare funktioniert, lässt sich ohne große Mühe auf Tripel, Quadrupel, … allgemein endliche Folgen natürlicher Zahlen übertragen. Alle diese Mengen sind abzählbar: Man schreibt sie als drei-, vier-, … n-dimensionale Tabelle und ribbelt die von ihrem endlichen Ende her auf. Aber die irrationalen Zahlen passen in keine derartige Tabelle; sie sind eben keine endlichen Ziffernfolgen, sondern haben unendlich viele Ziffern hinterm Komma, die auch niemals periodisch werden.

Cantors Diagonalargument verläuft dann nach dem klassischen Katz-und-Maus-Spiel, auch Widerspruchsbeweis genannt: Wenn du behauptest, du hättest eine Abzählung der irrationalen Zahlen, dann konstruiere ich eine Zahl, die garantiert nicht darin enthalten ist. Die kannst du zwar dazunehmen, aber dann konstruiere ich zu der erweiterten vorgeblichen Abzählung eine neue Zahl, die nicht darin enthalten ist, und so weiter. Jedenfalls verlierst du mit Sicherheit.

Na schön, dann sind die reellen Zahlen eben noch unendlicher als die rationalen. Aber brauchen wir die wirklich alle?

Fürs praktische Rechnen bestimmt nicht. Was wir an physikalischen Größen (Längen, Zeiten, Kräfte, Massen …) auszurechnen haben, benötigen wir immer nur bis zu einer gewissen Genauigkeit. Selbst für die exotischsten Anwendungen sind 40 gültige Dezimalstellen mehr als genug. Davon abgesehen kann der größte denkbare Computer nicht mit jeder beliebigen Irrationalzahl umgehen. Da er aus endlich vielen Atomen besteht, hätte er gar nicht genug Speicher, um eine Zahl mit unendlich vielen Dezimalstellen überhaupt zur Kenntnis zu nehmen, geschweige denn mit ihr zu rechnen.

Es gibt so einen inoffiziellen Wettbewerb: Wer berechnet die meisten Stellen von \(\pi\)? Der Rekord steht derzeit bei 50 Billionen. Das ist wirklich sehr viel, immerhin musste ein ziemlich neuer Computer mehr als 300 Tage dafür rechnen; aber verglichen mit der Unendlichkeit ist das nach wie vor vernachlässigbar. Und eine praktische Verwendung für die 5×1013 Stellen gibt es auch nicht.

Man muss die ganze unendliche Ziffernfolge ja auch nicht haben. Ein Zeichen wie \(\pi\) ist allemal genug, um die berühmte Irrationalzahl in aller wünschenswerten Eindeutigkeit zu beschreiben. Dasselbe gilt für Ausdrücke wie \(\sqrt 2\) oder „die kleinste Nullstelle von \(x^4-12x^3+2\)“ oder so komplizierte Ausdrücke wie \[2 \int_0^1 {dt \over \sqrt{1-t^4}} \] (diese Zahl hat es sogar zu einem Eigennamen gebracht: „lemniskatische Konstante“). Es gibt also sehr viele Irrationalzahlen, mit denen man „umgehen“ kann in dem Sinn, dass sie eindeutig definiert sind und für sie gewisse Rechenregeln anwendbar sind. Aber ach! Die Menge dieser Zahlen ist abzählbar.

Wie das? Na ja, die Beschreibung jeder dieser Zahlen muss mit endlich vielen Zeichen aus einem begrenzten Zeichenvorrat auskommen. Denn mit mehr als endlich vielen Zeichen können die Computer nicht umgehen, und die Menschen schon gar nicht. Wenn man sich vorher auf geeignete Konventionen einigt (das muss man sowieso; schon die gewöhnlichen Ziffern sind Konventionen zur Bezeichnung kleiner natürlicher Zahlen), genügt als Zeichenvorrat schon das Alphabet plus die Ziffern und ein paar Sonderzeichen.

Man nehme der Reihe nach alle Zeichenketten der Länge 1, der Länge 2, 3 und so weiter; davon gibt es jeweils endlich viele, also kann man sie der Reihe nach abzählen, also ist die Menge aller endlichen Zeichenketten aus einem endlichen Zeichenvorrat abzählbar, und davon ist die Menge aller mathematisch sinnvollen Darstellungen einer Zahl eine (sogar ziemlich mickrige) Teilmenge.

Das heißt aber auch: Für die überwältigende Mehrheit aller reellen Zahlen können wir keine Bezeichnungen finden, und wenn wir die mathematische Formelsprache auf die Spitze treiben. Fast alle Zahlen sind unaussprechlich.

Das hat eine merkwürdige Konsequenz, wenn es darum geht, Mengen von Zahlen zu „messen“. In diese Verlegenheit kommt man zum Beispiel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nehmen wir einen Zufallsprozess, der reelle Zahlen gleichverteilt im Intervall zwischen 0 und 1 produziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Zahl zwischen 0,4 und 0,6 fällt? 0,2, was sonst. Das „Maß“ aller Zahlen in einem Intervall ist gleich der Länge dieses Intervalls.

Die Mathematiker mit ihrem Hang zum Verallgemeinern denken über alle möglichen Maße nach; das sind Abbildungen, die jeder Teilmenge einer gewissen Grundmenge eine reelle Zahl zuordnen und einige vernünftige Bedingungen erfüllen. Diese Vielfalt an Maßen braucht man auch für eine ordentliche Wahrscheinlichkeitstheorie. Für unsere Zwecke genügt das „Standardmaß“ (offizieller Name: Lebesgue-Maß), das dem Intervall [a, b] die Zahl ba zuordnet.

Was ist das Maß eines einzelnen Punktes auf der Zahlengerade? Null, was sonst. Was ist das Maß einer abzählbaren Teilmenge der reellen Zahlen? Auch null. Zur Definition des Maßes gehört nämlich, dass man die Maße abzählbar vieler (disjunkter) Teilmengen aufsummieren darf.

Also: Alle Zahlen, die man sich ausdenken (und mit endlich vielen Zeichen beschreiben) kann, sind eine Menge vom Maß null, kurz „Nullmenge“ genannt. Und der oben genannte Zufallsprozess trifft beim nächsten Mal mit Wahrscheinlichkeit 1 eine Unaussprechliche. (Ja, Wahrscheinlichkeit 1 ist nicht ganz dasselbe wie Sicherheit …).

Das ist schon etwas gewöhnungsbedürftig.

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

33 comments

  1. Ein guter Artikel . Auch spannend dargestellt.
    Er würde von seinem Zauber einbüßen, wenn ich behaupte “unendlich” ist gar nicht unendlich, weil wir uns ja unendlich als unendlich groß vorstellen.
    Die Wurzel 2 , dargestellt als Kettenbruch, die verliert dann ganz ihren Zauber.

    Und wenn wir uns jetzt eine Zahl nicht als ihren Wert vorstellen, sondern als Funktion, die den Wert als Grenzwert hat, dann entpuppen sich Zahlen als Gedankengespinste und dann wird es mythisch. Da waren uns die Alten voraus.

  2. Ja, was in diesem Beitrag, der sich ja nur gerade mit vom Menschen erfundenen Zahlen beschäftigt, vorkommt, wirft sehr viele ganz unterschiedliche Fragen auf. Einige davon sind:

    1) Warum war das Zenon‘sche Paradox für seine Zeitgenossen überhaupt ein scheinbarer Widerspruch? Denn die einfache Geschichte vom Kind, welches immer wieder die Hälfte des jeweils übriggebliebenen Kuchens ist, zeigt doch, dass 1 Kuchen in unendlich viele Teile geteilt werden kann und deshalb unendlich viele Teile zusammengenommen trotzdem nur etwas sehr endliches – wie eben einen Kuchen – ergeben.
    Aus heutiger Sicht zeigt Zenons Paradox, dass die alten Griechen an aus heutiger Sicht trivialer Mathematik scheiterten. Das wiederum erscheint mir als Paradox, denn andernorts hatten die alten Griechen in der Mathematik grossartiges geleistet. Euklids Elemente haben bereits die axiomatische Mathematik der Moderne vorweggenommen.
    In der Wikipedia wird eine interessante Spekulation bezüglich dem, was Zenon mit seinem Paradoxon zeigen wollte, gemacht (Zitat):

    Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei.

    2) in der Mathematik, die die Physiker verwenden, tauchen überall Zahlen mit – mindestens prinzipiell – beliebig viele Stellen auf. Und ja, die Idee des Laplaceschen Dämons, nämlich die Idee, alles lasse sich bis in alle Ewigkeit vorausberechnen, wenn man nur alle Naturgesetze und alle Initialbedingungen bis auf beliebig viele Stellen kenne, diese Idee funktioniert selbst bei nur deterministischen Naturgesetzen nur dann, wenn man mit reellen Zahlen rechnet. Doch sind die reellen Zahlen überhaupt nötig um die Physik korrekt abzuhandeln? Oder genügt die begrenzte Darstellung von Zahlen, die ein Computer zur Verfügung stellt?
    Kleine Nebenbemerkung: Einige postulieren, wir hier lebten nur in einer Simulation und es gäbe die Chance das zu bemerken, wenn wir plötzlich feststellen, dass unser Universum Rundungsfehler begehe.

    3) Wie ist überhaupt das Verhältnis Mathematik zur Physik? Für die alten Griechen, speziell Platon mit seiner Ideenlehre, war es naheliegend, dass die Mathematik die eigentliche Wahrheit sei und die Realität nur ein wenig perfektes Nachbild der göttlichen Ordnung. Diese Weltsicht kommt auch im Zitat von oben zum Ausdruck:

    Also, schließt Zenon messerscharf, muss die Realität falsch sein.

    Für heutige Physiker aber ist das Unsinn, denn sie wollen ja das beschreiben, was sie beobachten und nicht das, was sie sich wünschen. Wünschen würden sich viele Physiker ein schönes, ein mathematisch schönes Universum, beobachten aber tun sie gemäss Sabine Hossenfelder Das hässliche Universum

    Es gibt inzwischen Physiker, die daran zweifeln, dass die reellen Zahlen die „richtige“ Zahlensorte ist, mit der Physik beschrieben werden sollte. Nicolas Gisin hat dazu folgenden Artikel geschrieben: Indeterminism in Physics, Classical Chaos and Bohmian Mechanics. Are Real Numbers Really Real?
    Das folgende ist das Abstract dazu:

    Es ist üblich, Anfangsbedingungen klassischer dynamischer Systeme mit mathematischen reellen Zahlen zu identifizieren. Allerdings enthalten fast alle reellen Zahlen eine unendliche Menge an Information. Ich argumentiere, dass ein endliches Volumen des Raums nicht mehr als eine endliche Menge an Information enthalten kann, daher sind die mathematischen reellen Zahlen physikalisch nicht relevant. Außerdem ist eine bessere Terminologie für die sogenannten reellen Zahlen “Zufallszahlen”, da ihre Bitreihen wirklich zufällig sind. Ich schlage eine alternative klassische Mechanik vor, die empirisch äquivalent zur klassischen Mechanik ist, aber nur Zahlen mit endlicher Information verwendet. Diese alternative klassische Mechanik ist nicht-deterministisch, trotz der Verwendung von deterministischen Gleichungen, ähnlich wie die Quantentheorie. Interessanterweise können sowohl die alternative klassische Mechanik als auch die Quantentheorien durch zusätzliche Variablen so ergänzt werden, dass die ergänzte Theorie deterministisch ist. Die meisten Physiker ergänzen die klassische Theorie einfach mit reellen Zahlen, denen sie physikalische Existenz zuschreiben, während die meisten Physiker die Bohmsche Mechanik als ergänzte Quantentheorie ablehnen, mit dem Argument, dass Bohmsche Positionen keine physikalische Realität haben.

    • “Am Ende (was immer das heißen mag) haben wir den Kuchen in unendlich viele Teile zerlegt, jedes von ihnen endlich groß, und alle zusammen sind nicht mehr als der ursprüngliche Kuchen.”

      Das entspricht dem Bewusstsein der Homöopathie!?😃

    • Kleine Nebenbemerkung: Einige postulieren, wir hier lebten nur in einer Simulation und es gäbe die Chance das zu bemerken, wenn wir plötzlich feststellen, dass unser Universum Rundungsfehler begehe.

      Den Gedanken kann man weiterspinnen. Die begrenzte Genauigkeit, mit der die Simulationen Ort und Impuls aller Teilchen darstellt, erleben wir als die Unschärferelation. Habe ich vor Jahren mal in einem Kommentar ausgeführt.

      • “Dann müsste es auch Programmierfehler geben, und wir müssten im Prinzip fähig sein, sie zu entdecken.”

        Unsere Vernunftbegabung macht uns fähig die Schwächen unserer gepflegten Bewusstseinsschwäche/Bewußtseinseinsbetäubung seit der “Vertreibung aus dem Paradies” (Mensch erster und bisher einzige geistige Evolutionssprung) zu erkennen und fusionierend dem Verantwortungsbewusstsein / der Logik des geistigen Ursprungs/Universums/Zentralbewusstseins “gottgefällig” anzupassen.

        • Doch leider haben wir bisher nur den Glaube an “Individualbewusstsein” durch unser zeitgeistlich-reformistisches “Zusammenleben” zum “gesunden” Konkurrenzdenken im nun “freiheitlichen” Wettbewerb um … entwickelt, was dem geistigen Stillstand des Ursprünglichen und dem Selbst-/Massenbetrug entspricht.

      • Meine AKE – eine Erinnerung daran war, dass ich eine Zeitlang das Gefühl hatte das es weder vorgesehen noch vorbestimmt war – ein Programmierfehler, aber ein ansonsten überwältigender.

  3. Nicht 42 ist die Antwort auf alle Fragen, aber eine passend konstruierte reelle Zahl ist es
    Im von mir bereits verlinkten Artikel befindet sich eine schöne Anekdote, die beschreibt wie man in eine einzige Zahl die Antworten auf alle Fragen hineinpacken kann. Zitat:

    Eine andere schöne Art, die unendliche Menge an Informationen in typischen reellen Zahlen zu veranschaulichen, geht auf Emile Borel zurück, wie sie von Gregory Chaitin [7] sehr schön erzählt wird. Sie betonen, dass eine einzige reelle Zahl die Antworten auf alle (binären) Fragen enthalten kann, die man in jeder menschlichen Sprache formulieren kann. Um dies zu sehen, genügt es, sich klar zu machen, dass es nur endlich viele Sprachen gibt, jede mit endlich vielen Symbolen. Daher kann man diese Liste von Symbolen binarisieren (wie es in heutigen Computern routinemäßig gemacht wird) und alle Sequenzen von Symbolen auflisten, zuerst die Sequenzen, die nur ein einzelnes Symbol enthalten, dann die, die zwei Symbole enthalten, und so weiter. Diese riesige Liste von Symbolen kann dann als die Bits einer reellen Zahl betrachtet werden. Lassen wir zwischen jeder Folge Sn von Symbolen 2 Bits, b1nb2n, stehen:
    0.S1 b1 b21 S2 b12 b2 S3 b13 b23 …Sn b1n b2n … (4)
    Wenn die Folge Sn von Symbolen keine binäre Frage darstellt, setzen wir diese beiden Bits auf 0 (b1nb2n = 00). Wenn sie eine Frage repräsentieren, deren Antwort ja ist, setzen wir diese Bits auf 01 und wenn die Antwort nein ist, setzen wir sie auf 10. Dieses Verfahren ist überhaupt nicht effizient, aber wen kümmert’s: Da eine reelle Zahl unendlich viele Bits hat, gibt es keinen Grund, Platz zu sparen! Man kann also wirklich die Antworten auf alle möglichen (binären) Fragen in einer einzigen reellen Zahl kodieren. Dies verdeutlicht die absurd unbegrenzte Menge an Informationen, die reellen Zahlen sind Monster.

    Fazit: In der Tat gilt: (Zitat)Die meisten Zahlen sind unaussprechlich und man kann sogar sagen: Eine einzige reelle Zahl kann durchaus alle Informationen enthalten, die es je gab und geben wird. Die Antwort auf die Frage „nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest“ gibt es in Form der reellen Zahlen nicht nur einmal, sondern unendlich oft mal.

  4. M. Holzherr,
    Wenn Sie unterscheiden zwischen einer Zahl (Wert) und der Zahldarstellung dann verliert die Zahl ihre Mystik. Wir schreiben ja deshalb einfach nur” e” und verzichten auf die Dezimaldarstellung.

    Was jetzt Zenon betrifft. Der wollte sich nur wichtig machen. Die Zeit hält nicht an. Der Pfeil erreicht deshalb sein Ziel.

    ” Eine einzige reelle Zahl kann durchaus alle Informationen enthalten, die es je gab und geben wird. ” Unter der Voraussetzung, dass sich die Informationen quantitativ darstellen lassen.
    Die Information :”die Zeit macht nur vor dem Teufel halt, denn der wird niemals alt” die können sie darstellen, ob sie jemand versteht, das bleibt offen.

  5. @hwied (Zitat 1): “ Was jetzt Zenon betrifft. Der wollte sich nur wichtig machen.“
    Antwort: Zenon war vielleicht bereits ein moderner Philosoph: Er wollte die Leute mit (Schein-)Logik verwirren und sie zu Lösungsideen anstiften von denen er annahm, dass sie nicht alle befriedigen würden, was dann zu einem Diskussionswirrwar führen würde. Ganz so wie heute bei vielen philosophischen Fragestellungen.

    Zitat 2: „Eine einzige reelle Zahl kann durchaus alle Informationen enthalten … „ Unter der Voraussetzung, dass sich die Informationen quantitativ darstellen lassen.
    Informationen lassen sich immer quantitativ darstellen, also mit Ziffern darstellen. Ganz einfach indem sie ein passendes Codierungssystem wählen. Jeder Computer arbeitet mit solchen Codes und auch die Sprachen, die wir verwenden können als Codes interpretiert werden.

  6. Christoph Pöppe schrieb (11. Feb 2021):
    > […] Zum Beispiel ist die Menge aller Paare natürlicher Zahlen abzählbar. […] Man zählt entlang den (endlichen) Diagonalen: […]

    Zum Beispiel. (Eine andere, ebenfalls systematisch einleuchtende Abzählweise wäre, “über die Ebene der Zahlenpaare zu mäandern”.)

    > Was dort für die Paare funktioniert, lässt sich ohne große Mühe auf Tripel, Quadrupel, … allgemein endliche Folgen natürlicher Zahlen übertragen. Alle diese Mengen sind abzählbar: Man schreibt sie als drei-, vier-, … n-dimensionale Tabelle und ribbelt die von ihrem endlichen Ende her auf.

    Wohlgemerkt ohne irgendeine endliche Obergrenze für den (jedenfalls endlichen) Wert n.

    > Aber die irrationalen Zahlen […] unendlich viele Ziffern hinterm Komma, die auch niemals periodisch werden. […]
    > Wenn du behauptest, du hättest eine Abzählung der irrationalen Zahlen, dann konstruiere ich eine Zahl, die garantiert nicht darin enthalten ist. Die kannst du zwar dazunehmen, aber dann konstruiere ich zu der erweiterten vorgeblichen Abzählung eine neue Zahl, die nicht darin enthalten ist, und so weiter. Jedenfalls verlierst du mit Sicherheit.

    Offenbar sollte die genannte Konstruktion auch für Abzählungen unendlicher (aber abzählbarer) Teilmengen irrationaler Zahlen möglich sein; also jeweils eine Zahl konstruieren, die in der vorgegebenen Abzählung garantiert nicht enthalten ist.

    Inwiefern gilt eine Zahl (deren Dezimaldarstellung womöglich unendlich viele, von Null verschiedene Ziffern enthält und auch nicht periodisch wird) eigentlich als fertig “konstruiert” und dadurch festgelegt ? — Lässt sich dann neben den ersten n Dezimalstellen z.B. außerdem angeben, konkret welche (endlich langen) Ziffernfolgen jeweils insgesamt wie oft in der Dezimaldarstellung vorkommen ?

    Umgekehrt könnte auch eine Abzählung von (vermeintlich allen, oder auch nur von einer Teilmenge der) irrationalen Zahlen “lediglich als schrittweise Konstruktion beschrieben” sein, die insbesondere Schritt für Schritt zusätzliche Zahlen “einribbelt” (meinetwegen insbesondere: “beginnend erst immer weiter hinten in der Liste”, so dass im Verlaufe der Konstruktion zumindest ein immer längeres Stück des Anfangs der Abzählung unverändert bliebe).

    Käme man dann überhaupt jemals dazu, die “Konstruktion einer Zahl, die in der insgesamt zu konstruierenden Abzählung garantiert nicht enthalten ist” durchzuführen ?? …

  7. Holzherr,
    Sie lassen die Empfänger der Information seelisch verhungern Zu einer Information gehört auch ihr qualitativer Inhalt , Sinn , Bedeutung.
    Und nun kommen wir zu dem Fall, dass die Quantitative Nachricht nicht ausreicht den Inhalt aufzunehmen. Das Hilbertsche Hotel hat nicht genug Zimmer für seine Gäste.
    Die Quantität hat eine andere Kardinalzahl als die Qualität.

  8. Käme man dann überhaupt jemals dazu, die “Konstruktion einer Zahl, die in der insgesamt zu konstruierenden Abzählung garantiert nicht enthalten ist” durchzuführen ?? …

    Natürlich nicht. Das wird aber auch nicht verlangt. Um die Existenz einer Zahl mit – zum Beispiel – den oben geforderten Eigenschaften nachzuweisen, genügt es zu zeigen, dass man sie mit beliebiger Genauigkeit konstruieren könnte. Ausführlicher ausgedrückt: Man muss ein Verfahren angeben, mit dem man jede Stelle der gesuchten Zahl bestimmen kann. Damit ist die Zahl eindeutig bestimmt. (Beweis: Angenommen, es gäbe zwei verschiedene Zahlen, die mit diesem Verfahren konstruierbar wären. Dann gäbe es (sozusagen im Endlichen) eine erste Dezimalstelle, an der sie sich unterscheiden. Das kann aber nach Voraussetzung nicht sein.)
    Daraus folgt insbesondere: Zwei reelle Zahlen, deren Unterschied kleiner ist als jede positive Zahl, sind gleich. Das ist die übliche axiomatische Festlegung. Es gibt andere Axiomensysteme, die mit unendlich kleinen Zahlen arbeiten. Aber diese Nichtstandardanalysis ist über eine Nischenexistenz innerhalb der Mathematik nicht hinausgekommen.

    Inwiefern gilt eine Zahl (deren Dezimaldarstellung womöglich unendlich viele, von Null verschiedene Ziffern enthält und auch nicht periodisch wird) eigentlich als fertig “konstruiert” und dadurch festgelegt?

    Durch ein geeignetes Verfahren, siehe oben.

    Lässt sich dann neben den ersten n Dezimalstellen z.B. außerdem angeben, konkret welche (endlich langen) Ziffernfolgen jeweils insgesamt wie oft in der Dezimaldarstellung vorkommen?

    In Einzelfällen ja. Man kann z. B. beweisen, dass in der Dezimaldarstellung von π jede endlich lange Ziffernfolge unendlich oft vorkommt (und alle Ziffernfolgen der Länge n gleichwahrscheinlich sind, das heißt in jedem endlichen Abschnitt der Dezimaldarstellung annähernd gleich häufig auftreten mit der Eigenschaft, dass die Unterschiede in den Häufigkeiten gegen null gehen – ja, man muss vorsichtig formulieren …) .

  9. Der Autor Daniel Tammet schreibt in seinem Buch “Die Poesie der Primzahlen” sinngemäß:

    Pi enthält die Geburtsdaten aller aktuellen Bundestagsabgeordneten direkt hintereinander in aufsteigender Reihenfolge – Pi muss das enthalten, denn Pi ist unendlich.
    Pi enthält die Maße aller Playmates des Jahres in direkter Folge – Pi muss das enthalten, denn Pi ist unendlich.
    Pi enthält die vollständige Ausgabe von “Moby Dick” – in Zahlen übertragen. Denn Pi ist …
    Pi enthält alle natürlichen Zahlen von 1 bis 1 Googol, die keine 7 enthalten, in aufsteigender Reihenfolge direkt hintereinander und danach 1 Googol mal die Zahl 7. Pi muss …

    Stimmt die Aussage Tammets?

    • @Gerald Fix (Zitat sinngemäss): enthält 𝜋 alle denkbaren Bitmuster?

      Antwortversuch mit Wikipedia: Womöglich. Dazu müsste 𝜋 „einfach normal“ sein, was bedeutet, dass jede Ziffer und sogar jede beliebige Folge von n Ziffern in den Nachkommastellen gleich häufig vorkommt und die gleiche Verteilung hat wie wenn man die jeweils nächste Ziffer/die nächste Ziffernfolge mit einem perfekten Würfel 🎲 bestimmt. Zitat:

      In der Mathematik sagt man, dass eine reelle Zahl in einer ganzzahligen Basis b[1] einfach normal ist, wenn ihre unendliche Folge von Ziffern gleichmäßig in dem Sinne verteilt ist, dass jeder der b Ziffernwerte die gleiche natürliche Dichte 1/b hat. Eine Zahl gilt als normal in der Basis b, wenn für jede positive ganze Zahl n alle möglichen n-stelligen Folgen die Dichte b-n haben.

      Wenn eine Zahl normal ist, kommt keine endliche Kombination von Ziffern einer bestimmten Länge häufiger vor als irgendeine andere Kombination derselben Länge. Eine normale Zahl kann man sich als eine unendliche Folge von Münzwürfen (binär) oder Würfelwürfen (Basis 6) vorstellen.

      Man sagt, dass eine Zahl absolut normal ist, wenn sie in allen ganzzahligen Basen größer oder gleich 2 normal ist.

      Wichtig: Es wurde bewiesen, dass fast alle reellen Zahlen „einfach normal“ sind. Der Beweis für 𝜋 fehlt jedoch. Bis jetzt gibt es kein konstruktives Verfahren um normale Zahlen zu erzeugen oder zu zeigen, dass eine bestimmte Zahl normal ist.

    • Die Aussagen selbst stimmen. Aber die Begründung! Was soll das heißen, “Pi ist unendlich”? Pi ist unendlich groß? Offensichlich nicht. Pi hat unendlich viele Stellen hinterm Komma? Richtig, aber das gilt für 1/3=0,333333… auch, und in der Ziffernfolge dieser Zahl finden sich mit Sicherheit nicht die oben zitierten Dinge. Pi ist unendlich vielgestaltig? Kommt der Sache schon näher. Die Mathematiker drücken es etwas prosaischer aus: Die Ziffernfolge von Pi ist “normal”, und das ist präzise definiert: Im langfristigen Durchschnitt kommt jede Ziffernfolge der Länge n mit der relativen Häufigkeit 1/10^n vor.
      Schreibt der Tammet immer so wolkig?

      • Schreibt der Tammet immer so wolkig?

        Ja, eigentlich schon – er ist ein beeindruckender Autor für die, welche die Grundlagen nicht kennen (wie mich).

        Mir fällt dazu immer der schöne Satz ein, den, wenn ich mich recht erinnere, Martin Beheim-Schwarzbach mal über die ‘Unsterbliche Partie’ des Schachspielers Andersen gesagt hat: “Sie verblüfft mehr, als sie überzeugt.” (Yuval Noah Harari ist auch so ein Autor.)

    • @Gerald Fix: Mit der Website The Pi-Search Page können sie nach einer beliebigen Zahl/Ziffernfolge suchen, die in 𝜋 vorkommt.
      Beispiel einer Ausgabe für meine Suchzahl 24191956:

      The string 24101956 occurs at position 28334799. This string occurs 3 times in the first 200M digits of Pi.

      Vorschlag: Suchen sie doch mal nach den zusammengestringten Playmate-Massen!

      • Vorschlag: Suchen sie doch mal nach den zusammengestringten Playmate-Massen!

        Ich mache es mir leichter und suche nach:

        777777777777777777777

        Sorry, we couldn’t find your string in Pi!

        (Nebenbei – Playmatemasse ist ein Wort, bei dem ich die Existenz des ‘ß’ schätze 🙂

        • Wenn 777777777777777777777 in den ersten 200 Millionen Nachkommastellen von 𝜋 nicht vorkommt, wäre das doch eine gute Gelegenheit für sie, Gerald Fix, zu berechnen wie viele Nachkommastellen von Pi berücksichtigt werden müssen, damit 777777777777777777777 mit einer Wahrscheinlichkeit grösser als 0.5 (50 Prozent) vorkommt.

          Wie wärs mit Math Ups anstatt Push Ups!

    • @Gerald Fix: Die vollständige Ausgabe von „Mobby Dick“ kann allein durch eine Serie von Zufallszahlen erzeugt werden – wenn man genügend lange durchhält beim Erzeugen dieser Zufallszahlen.
      Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem Erzeugungsversuch erfolgreich ist, ist natürlich äusserst klein.
      Doch nun kommt das „Wunder“: Wenn sie aus den reellen Zahlen zwischen 0 und 1 eine beliebige Zahl auswählen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Zahl keine „normale“ Zahl ist (also keine Zahl mit Zufallsziffern), noch viel kleiner als die Wahrscheinlichkeit die Gesamtausgabe von Mobby Dick zu würfeln. Das wurde bewiesen.

      Oder anders formuliert: Die Mobby Dick Gesamtausgabe ist eine unwahrscheinliche Folge von Buchstaben , eine Zahl wie 0.33333…. , also eine Zahl mit periodischer Wiederholung in den Nachkommastellen im Intervall [0,1] auszuwählen, ist noch viel unwahrscheinlicher. Wenn Mobby Dick eine „Singularität ist, dann ist es 0.3333… erst recht!

      Was ich jetzt geschrieben habe entspricht ungefähr dem, was Christoph Pöppe im obigen Beitrag so schrieb (ganz am Schluss des Beitrags):

      Und der oben genannte Zufallsprozess trifft beim nächsten Mal mit Wahrscheinlichkeit 1 eine Unaussprechliche.

    • @Gerald Fix (Zitat): Pi enthält die vollständige Ausgabe von “Moby Dick” – in Zahlen übertragen
      Ja, aber nur dann, wenn Pi eine normale Zahl ist. Das aber wurde noch nicht bewiesen.
      Es könnte also sein, dass Pi unendlich oft Moby Dick enthält, aber bei jedem Vorkommen fehlt genau ein Wort aus der Originalausgabe.

      Ich vermute aber, dass man beweisen kann, dass Pi keine solche Zahl wie ich sie eben beschrieben habe, sein kann, denn das würde ja bedeuten, dass Pi eine ganz spezielle Zahl ist. Und dagegen spricht einiges.

      Folgendes stimmt aber sicher: es gibt im Intervall [0,1] unendlich viele reelle Zahlen, die alle unendlich oft Moby Dick in codierter Form jeweils mit Auslassung eines einzelnen Wortes enthalten.
      Warum stimmt das? Na weil ich diese Zahlen doch gerade skizziert habe und nur noch ein Zahlen-Ingenieur sie in Form bringen muss.
      Ja, ich hab sie bestellt und kann sie morgen beim Bäcker abholen!

  10. Man scheint der Frage ob 𝜋 normal ist schon näher gekommen zu sein, gibt es doch nun einen Algorithmus mit dem man eine beliebige n-te Nachkommastelle von 𝜋 berechnen kann ohne die davorliegenden Ziffern berechnet zu haben. Jemand hat nachgewiesen, dass diese Methode die Ziffern gleichverteilt.
    Doch ein Beweis sei das noch nicht liest man in Wie zufällig ist die Kreiszahl Pi? Ist Pi “normal”?

  11. Holzherr, die Nachkommastellen von Pi (wird im Englischen oft mit pie verwechselt) beinhaltet meiner Meinung nach nicht alle Anordnungsmöglichkeiten von Zahlen. Denn das würde bedeuten, dass der Wert von Pi auch irrational ist.
    Es gibt Werte, die lassen sich nur komplex darstellen, aber sie haben einen Wert.

    • @hwied (Zitat):

      die Nachkommastellen von Pi (wird im Englischen oft mit pie verwechselt) beinhaltet meiner Meinung nach nicht alle Anordnungsmöglichkeiten von Zahlen. Denn das würde bedeuten, dass der Wert von Pi auch irrational ist.

      π ist irrational. Wobei irrational bedeutet: π lässt sich nicht als p/q mit p und q Ganzzahlen, darstellen. Zusätzlich ist π transzendental, was bedeutet, dass π keine Lösung/Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Komponenten ist.

      Eine immer noch offene Frage ist aber, ob π „normal“ ist, also ob π eine von einer Zufallsfolge nicht unterscheidbare Sequenz von Nachkommastellen hat.
      Weil man das (noch) nicht weiss, könnte Pi = 3.1415926…..01001000100001000001 gelten, es könnten also irgendwann nur noch die Ziffern 0 und 1 vorkommen.
      Allerdings ist man sich ziemlich sicher, dass das nicht so ist.
      Jedenfalls taucht in List of unsolved problems in mathematics folgendes auf: Is π a normal number (its digits are “random”)?[134]

    • Ergänzung zu meinem Vorgängerkommentar vom 14.02.2021, 23:47 o’clock: Dass π irrational ist scheint mir eigentlich klar. Denn: Wenn es nicht irrational wäre müsste seine Dezimaldarstellung irgendwann abbrechen oder periodisch werden. Das aber scheint mir auf den ersten Blick nicht möglich, denn: Den Umfang eines Kreises, der ja 2*π ist, kann man durch ein eingeschriebenes Vieleck beliebig annähern, einfach indem man die Zahl der Seiten des Vielecks gegen Unendlich streben lässt. Der Umfang des Vielecks nähert sich dabei immer mehr dem Umfang des Kreises an. Dass dabei eine Periode entsteht scheint mir auf den ersten Blick unmöglich.
      Die offiziellen Beweise für die Irrationalität von π scheinen mir relativ kompliziert.

  12. Christoph Pöppe schrieb (11.02.2021, 20:47 o’clock):
    > […] Man kann z. B. beweisen, dass in der Dezimaldarstellung von π jede endlich lange Ziffernfolge unendlich oft vorkommt […]

    Damit wäre also bewiesen, dass π eine (auf Englisch so genannte) disjunctive number ist. …

    Oder wird das (bisher doch) nur vermutet ?

  13. Martin Holzherr schrieb (15.02.2021,00:27 o’clock):
    > [… einen Kreis] durch ein eingeschriebenes Vieleck beliebig annähern, einfach indem man die Zahl der Seiten des Vielecks gegen Unendlich streben lässt.

    Das trifft sowohl auf jeden Kreis einschl. den ihm eingeschriebenen (regelmäßigen) Vielecken in der Ebene zu, als auch (z.B.) auf jeden Kreis auf einer Kugel einschl. den ihm eingeschriebenen (regelmäßigen) sphärischen Vielecken, deren Seiten aus Großkreis-Segmenten bestehen.

    > Der Umfang des Vielecks nähert sich dabei immer mehr dem Umfang des Kreises an.

    Das trifft sowohl in der Ebene als auch auf der Kugel zu.

    > […] Dass π irrational ist

    … ergibt sich bekanntlich in der Ebene; mit π als dem Verhältnis zwischen Kreisumfang und dem Durchmesser des Kreises (als Länge der größten Sehne durch den Kreis, natürlich auch in der Ebene).
    Für einen Kreis auf einer Kugel kann dagegen das Verhältnis zwischen seinem Umfang und seinem Durchmesser (als Länge des größten Großkreissegments, das zwei Punkte des Kreises verbindet und mit dem Kreis auf der selben Halbkugel liegt) ggf. auch einen rationalen Wert zwischen (einschl.) 2 und kleiner als π aufweisen.

    • @Frank Wappler: Ja, das bedeutet, dass der Beweis von π‘s Irrationalität vielleicht doch nicht so einfach ist.
      Der Elementarer Beweis der Irrationalität von π , den man im verlinkten Text findet, arbeitet mit Polynomen, Ableitungen und Integralen und dem Binominalsatz und kommt auf Seite 3 zu einem Beweis durch Widerspruch.

      Zum Glück gibt es noch einfachere Beweise. Allerdings keinen so einfachen wie den, der beweist, dass die Wurzel aus 2 irrational ist – etwas was bereits die Pythagoräer zeigen konnten.

  14. Ungewollte Zahlen
    Es gibt nicht nur ungewollte Kinder, sondern auch ungewollte Zahlen. Es sind Zahlen, die einem nicht in den Kram passen, Zahlen, die aus der Art schlagen.

    Die alten Griechen scheinen eine gewisse Liebe zu den rationalen Zahlen entwickelt zu haben und wollten ihnen innerlich wohl schon ein Denkmal bauen. Und ausgerechnet ein Mitglied der pythagoreischen Schule,einer Denkschule, die solch ein quasi-religiöses Verhältnis zu den rationalen Zahlen entwickelt hatte, konnte dann beweisen, dass die Diagonale eines Quadrats in keinem rationalen Verhältnis zur Seitenlänge des Quadrats stehen kann. Der Entdecker und Erstbeschreiber dieses ungewollten Nicht-Verhältnisses und der damit zusammenhängenden Nicht-Rationalen Zahl soll später im Meer ertrunken sein, quasi als Strafe für die ungewollte Nachricht, die er überbracht hatte.
    Allerdings tauchen in der von den Griechen geliebten Geometrie solche „irrationalen Verhältnisse“ an viele Stellen auf, beispielsweise auch beim goldenen Schnitt.

    Als eigentliche Geburtsmaschine für neue Zahlenarten kann man einfache Gleichungen mit einer möglicherweise potenzierten Unbekannten betrachten. Will man solche Gleichungen lösen, entdeckt man zuerst einmal, dass es selbst ohne potenzierte Unbekannte bereits negative Zahlen braucht um eine Lösung angeben zu können. Mit potenzierten Unbekannten drängen sich einem dann zuerst die irrationalen Zahlen auf und schon ein bisschen später stösst man auf die komplexen Zahlen. Lauter ungewollte, aber nötige Zahlen. Nötig, damit man Lösungen angeben kann.

    Schon eigenartig: Alles was es zum Lösen einer Gleichung braucht ist im Grunde bereits festgelegt, wenn man mathematisch festlegt, was eine Gleichung mit einer Unbekannten bedeutet und wie man sie grundsätzlich löst. Und trotzdem stösst man beim Umgang damit auf Neues und Unerwartetes. Scheinbar Determiniertes führt also denjenigen, der seiner inneren Logik folgt, zu Neuland!

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