Die Entdeckung der holomorphen Funktionen
BLOG: Heidelberg Laureate Forum
Werden die Gegenstände der Mathematik erfunden oder entdeckt? Das ist eine Frage, über die man trefflich streiten kann, wie nicht nur die professionellen Philosophen, sondern auch die zahlreichen Kommentatoren meines letzten Beitrags eindrucksvoll bewiesen haben.
Wer Mathematik studiert, bekommt vom ersten Tag an mit großer Deutlichkeit die Ansage vermittelt, dass – zum Beispiel – die natürlichen Zahlen erfunden werden. Mehr noch: Was man in seinem bisherigen Leben über die natürlichen Zahlen entdeckt hat – und das ist in der Regel nicht wenig –, könne man getrost vergessen. Hier werde die Mathematik von Grund auf neu aufgebaut, und über die natürlichen Zahlen sei nur das von Bedeutung, was die Peano-Axiome dazu sagen. Und überhaupt habe Mathematik mit der erfahrbaren Realität nichts zu tun; vielmehr seien ihre Gegenstände freie Schöpfungen des Geistes und sonst gar nichts.
Damit wäre die Sache eigentlich klar – wenn nicht die Praxis dieser fundamentalistischen Haltung so krass widersprechen würde. In der täglichen Arbeit treten mir die Funktionen, Gleichungen, Differenzialoperatoren und so weiter, die ich mir wohlgemerkt selbst definiert habe, als Objekte außerhalb von mir gegenüber. Sie sind eigenwillig, manchmal überaus widerspenstig und zeigen unangenehme Eigenschaften, die ich ihnen niemals hätte andefinieren wollen. Und das geht nicht nur mir so. Welcher Mensch, der bei Verstand ist, hätte sich freiwillig mit so schrecklichen Dingen wie unsäglichen Zahlen und unmessbaren Mengen eingelassen? Nein, die kamen mit in dem Paket, das die Mathematiker selbst bestellt und dessen Inhalt sie vor allem selbst angefertigt hatten. Die Unsäglichen und Unmessbaren waren sozusagen eine unvermeidliche Zugabe. Und die wollte erst entdeckt werden!
In diesem Fall war die Entdeckung sogar schmerzhaft für die Entdecker. Georg Cantor, der Schöpfer der modernen Mengenlehre, sah, dass es verschiedene Grade der Unendlichkeit gibt, und konnte es zuerst nicht glauben – so ein berühmt gewordener Ausspruch von ihm. Und bis seine Kollegen es glauben konnten, gab es erbitterten Streit.
Selbst wenn man eine längst etablierte Entdeckung nur nachvollzieht, kann es sich wie ein echtes Entdeckungserlebnis anfühlen. So ging es mir, als wir im 4. Semester Funktionentheorie lernten. Die Bezeichnung dieses Teilgebiets ist übrigens hoffnungslos irreführend, aber wohl nicht mehr auszurotten. Es geht nicht um irgendwelche Funktionen, sondern um eine sehr spezielle Sorte. Man nennt sie komplex differenzierbar. Sie sind auf den komplexen Zahlen definiert und haben komplexe Werte. Darüber hinaus müssen sie nicht nur differenzierbar sein; ihre Ableitungen müssen auch noch ein relativ einfaches Paar von Gleichungen erfüllen: die Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
Na gut; wie das in der Mathematik so üblich ist, bekommt man zunächst eine Definition wie „komplex differenzierbare Funktion“ kommentarlos hingeknallt. Womit es nun ausgerechnet diese spezielle Sorte Funktionen verdient hat, dass man sich so ausgiebig mit ihr beschäftigt: Das kommt später.
Und in diesem Fall kommt sehr viel. Komplex differenzierbare Funktionen sind nicht nur einmal differenzierbar, sondern unendlich oft. Und wenn man die unendlichen vielen Ableitungen in einem einzigen Punkt hat, dann kann man die Funktion in einer Umgebung dieses Punktes „in eine Potenzreihe entwickeln“. Es handelt sich im Prinzip um dieselbe Reihe, die auch unter reellen Funktionen als Taylorreihe bekannt ist: eine unendliche Summe aus relativ einfachen Termen.
Wenn der Punkt, um den herum die Funktion entwickelt wird, der Nullpunkt ist, dann ist jeder Term eine Konstante mal eine Potenz von z. Damit komplexe Funktionen auf den ersten Blick erkennbar sind, pflegt man ihre unabhängige Variable z zu nennen statt x bei den reellen Funktionen. Man kann sie allerdings um jeden Punkt entwickeln, der nicht gerade am Rand ihres Definitionsbereichs liegt. Nennen wir ihn z0; dann ist jeder Term der Potenzreihe eine Konstante mal eine Potenz von (z–z0).
Vielleicht konvergiert die Potenzreihe nur in einer kleinen Umgebung von z0 (die unendliche Summe muss ja einen endlichen Wert haben, und das wird zunehmend schwieriger, je größer z–z0 wird). Aber durch fortgesetztes Umrechnen der Entwicklungen kann man sich von einem Punkt zum nächsten hangeln, und wenn es keine Hindernisse gibt, erzählen einem die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen in einem einzigen Punkt alles über die Funktion in der ganzen komplexen Ebene. Und wenn die Funktion zwischendurch unendlich wird, muss dies nicht unbedingt ein Hindernis sein. Erst wenn sie das auf besonders üble Weise tut (eine „wesentliche Singularität“), wird es kompliziert.
Andererseits sind komplex differenzierbare Funktionen „schrankenlos“, ganz im Gegensatz zu ihren reellen Kolleginnen. Eine Funktion wie sin x oder 1/(1+x2) wird nie größer als 1 und nie kleiner als –1 – für reelle Werte von x. Im Komplexen schlagen sie beide über die Stränge. Und das ist so etwas wie eine Standardeigenschaft komplex differenzierbarer Funktionen. Die einzigen in der ganzen komplexen Ebene beschränkten Funktionen dieser Klasse sind die Konstanten, also die Langweiler, die überall denselben Wert annehmen.
Alle diese schönen Dinge sind definitiv nicht erfunden, sondern entdeckt worden. Wir wissen das, weil die Funktionenklasse mehrere verschiedene Namen hat. Man nennt sie außer „komplex differenzierbar“ auch „komplex-analytisch“ oder „holomorph“. Warum? Weil die einen Mathematiker sich mit den Funktionen beschäftigten, welche die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen, die anderen mit denen, die in eine Potenzreihe entwickelbar sind – und erst hinterher bemerkten, dass beide Seiten über dieselbe Sache reden! Natürlich war da der Jubel groß.
Ein naheliegender Einwand könnte den Jubel empfindlich dämpfen. Wer äußerst restriktive Bedingungen stellt, braucht sich nicht zu wundern, wenn die wenigen Objekte, die diese Bedingungen erfüllen, eine Fülle von angenehmen Eigenschaften haben.
Ein Beispiel aus einer ganz anderen Ecke der Mathematik: Wie man zum Teil schon in der Schule lernt, gibt es besondere Punkte im Dreieck, solche, in denen sich jeweils drei Geraden schneiden, von denen man das nicht unbedingt erwartet hätte: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der Winkelhalbierenden, der Höhen, der Seitenhalbierenden … Angeblich steht die Zählung dieser Punkte bei über 47000. Na gut. Für ein gleichseitiges Dreieck fallen alle diese Punkte in einen zusammen. Das ist nett, aber nicht wirklich ein Anlass zum Jubel. Stellst du maximale Forderungen, kriegst du maximale Ergebnisse – für das eine Objekt, das diese Forderungen erfüllt.
Sind also die komplex-analytischen Funktionen ein kleiner Kreis von erlesenen Gestalten, die man nur unter exotischen Umständen überhaupt antrifft? Ganz im Gegenteil – und das ist der eigentliche Grund zum Jubel. Alle Feld-, Wald- und Wiesenfunktionen, die man so aus der Schule kennt, gehören dazu: die gemeinen Potenzfunktionen, Sinus und Cosinus, die Exponentialfunktion und der Logarithmus, und dann alles, was man aus ihnen durch Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren und Ineinandereinsetzen zurechtbasteln kann. Vorausgesetzt, man schreibt sie wie gewohnt als Funktion einer einzigen Variablen (die man, wie gesagt, z zu nennen pflegt).
Nicht vergessen: Eine komplexe Zahl sind ja eigentlich zwei reelle, Real- und Imaginärteil. So gesehen haben unsere Funktionen zwei unabhängige und zwei abhängige Variable, sind also eigentlich Paare von Funktionen zweier Variablen namens x und y. Und irgendwelche Paare solcher Funktionen sind noch lange nicht komplex-analytisch. Vor allem aber lassen sich komplexe Funktionen nicht so bequem darstellen wie die reellen. Papier und Computerbildschirm haben eben nur zwei Dimensionen und sind deswegen mit einer reellen Funktion – eine Achse für x, die andere für f(x) – bereits ausgelastet. Eine Funktion von zwei reellen Variablen wäre noch darzustellen als so ein Gebirge über der (x, y)-Ebene, und mit etwas Mühe gibt eine perspektivische Zeichnung davon zumindest einen Eindruck von ihrem Verhalten. Eine richtig komplexe Funktion wären dann zwei Gebirge über derselben Ebene, und einerlei, ob man die nebeneinander zeichnet oder einander durchdringend: So wirklich erhellend ist das nicht, weswegen man solche Diagramme kaum zu sehen bekommt.
Was man stattdessen machen kann, ist eine Punktmenge in der Ebene nehmen und aufzeichnen, auf welche Menge sie durch eine komplexe Funktion abgebildet wird. Auf die Idee bin ich gekommen, nachdem wir gerade Funktionentheorie gelernt hatten und ich Zugriff auf ein damals sehr avanciertes computergesteuertes Zeichengerät hatte (die graphische Benutzeroberfläche lag noch in ferner Zukunft). Was ich damals mit ziemlich viel Mühe programmiert hatte, war mit heute aktueller Hard- und Software sehr einfach nachzuvollziehen. Als Punktmenge nahm ich ein Stück Quadratgitter („Rechenkästchen“).
Das Urbild: f(z) = z
Und wenn man f(z)=z2 darauf anwendet? Dann hat das Kissen nur noch zwei Zipfel statt vier.
f(z)=z2
Schon richtig, z und –z werden auf denselben Punkt abgebildet; das gilt insbesondere für einander gegenüberliegende Kissenzipfel. Und ehemals gerade Linien findet sich als die wohlbekannten quadratischen Parabeln wieder.
f(z)=z3 rührt das ganze große Quadrat so intensiv um, dass sein Rand sich dreimal statt vorher einmal um den Nullpunkt windet.
f(z)=z3
Mit f(z) = √z wird es komplizierter. Eigentlich gibt es zu jeder komplexen Zahl zwei Quadratwurzeln, die sich nur durchs Vorzeichen unterscheiden, wie bei den positiven reellen Zahlen halt. Der Eindeutigkeit zuliebe muss man sich auf eines der Vorzeichen festlegen, und üblicherweise wählen die Computerprogramme von den beiden Möglichkeiten die mit dem positiven Realteil. Aus dem Rechenkästchenquadrat wird damit eines, das sich nur ein halbes Mal um den Nullpunkt windet, und zwar auf der rechten Seite. Dafür muss es gewissermaßen entlang der negativen reellen Achse geschlitzt werden, was sich in dem Bild durch den dicken vertikalen Strich bemerkbar macht. Damit das halbe Quadrat nicht so einsam aussieht, habe ich das Bild unter f(z) = –√z mit dazugetan.
f(z)=±√z
Die Funktion f(z)=1/z kehrt das Innere zuäußerst und umgekehrt.
f(z)=1/z
Die Exponentialfunktion macht aus den horizontalen Linien Strahlen in alle Richtungen und biegt die vertikalen zu perfekten Kreisen.
f(z)=exp z
Und der Sinusfunktion sieht man an, dass sie von der Exponentialfunktion abstammt. Immerhin zeugt der waagerechte Strich in der Mitte davon, dass die reelle Sinusfunktion (reelle) Werte zwischen –1 und 1 annimmt.
f(z)=sin z
Auf allen Bildern sieht man, dass rechte Winkel rechte Winkel bleiben – was eine weitere unter den erfreulichen Eigenschaften holomorpher Funktionen ist. Irgendwann haben die Mathematiker entdeckt, dass diese Funktionen sogar allgemein „winkeltreu“ („konform“) sind – bis auf spezielle Punkte.
Na gut, so habe ich persönlich die holomorphen Funktionen und etliche ihrer Eigenschaften entdeckt. Nicht dass das eine besondere Leistung gewesen wäre, aber es war eben eine Entdeckung, an erfundenen Gegenständen. Worauf ich mit diesem Beitrag hinauswollte.
Was die bildliche Darstellung holomorpher Funktionen angeht: Das können inzwischen andere Leute viel besser, allen voran Elias Wegert, Professor für Mathematik an der TU Bergakademie Freiberg (Sachsen). Ich habe im August 2018 einen Artikel über seine Werke geschrieben. Zu dumm nur, dass die Website der TU Ende Januar einem Cyberangriff zum Opfer gefallen ist. Damit ist bis heute (27. 3. 2023) die überaus reichhaltige Sammlung seiner Bilder unter www.mathe-kalender.de nicht erreichbar. Ich werde Sie auf dem Laufenden halten.
Und es gibt das Zweieck auf der Kugeloberfläche, dessen Umfang bei einem Winkel Alpha von 180 Grad zahlenmäßig genaus so groß ist wie seine Fläche.
Ich bezweifle, dass der menschliche Geist etwas erfinden kann, das die Wirklichkeit nicht längst in irgendeiner Form geschaffen hat. Mathematik spiegelt Physik wieder. Sie ist nur so zuverlässig, wie sie Naturgesetze spiegeln kann, und das tut sie eigentlich recht gut. Auch wenn ich mir vorstellen kann, dass es irgendwann, für komplexere Vorgänge, eine neue Mathe geben wird. Vielleicht eine Dreiecksmathe, in der Rot*Blau=Violett sind, und die klassischen Zahlen nicht bloß Rot-Schwarz, bzw Schwarz-Weiß sein können, sondern bunt. Der Farbkreis könnte für unser Verständnis der Dimensionen wichtig werden, und die Primärfarben bilden ein Dreieck mit 30-Grad-Winkeln – die klassische Mathe mehrt nur die Rechtecke mit 90-Grad-Winkeln und muss alles andere umschreiben. Könnte reichen, könnte aber auch einfacher gehen. Weiß nicht. Aber im Satz des Pythagoras ist diese Dreiecksmathe bereits angedeutet. In Einsteins Emc2 vielleicht auch. Im Farbkreis spielen Kurven die Rolle von Geraden, und unsere Geraden sind Kurven… aber das ist alles viel zu Wischiwaschi, viel zu spekulativ, soll nur als Denkanstoß dienen. Falls die Mathe doch noch an Aspekte der Wirklichkeit stößt, mit denen sie nichts anfangen kann. Bis dahin kann sie bleiben, wie sie ist. Natürlich wird sie immer bleiben, wie sie ist, auch wenn man ihr irgendwann diesen bunten Anstrich verpassen sollte – bloß weil ich etwas erweitern muss, bleibt das Alte trotzdem irgendwie gültig und spielt mit ins Bild.
Mathe ist vor allem eine Sprache mit sehr wenigen Wörtern. Eine nuschelnde Schlumpfsprache, die vor allem die Grammatik des Universums verdeutlicht (die Grafik, die Geometrie: Schätze mal, wie abstrakt die Zahlen und Formeln auch werden können, am Ende wird immer eine Zeichnung draus, die mehr oder geschickt eine nachäfft, die die Wirklichkeit bereits gemalt hat). Nicht jeder kann mit Sätzen wie „schlumpfender Schlumpf schlumpft den schlumpfig schlumpfsamen Schlumpf“ viel anfangen, dafür sind viele Sätze im großen Necronomicon des Lebens, in dem wir alle Protagonisten sind, die immer die gleichen Geschichten nachzuspielen versuchen, nach diesem Muster aufgebaut. Zahlen sind Variablen, gleichberechtigt mit den Variablen, die das echte Leben an ihrer Stelle einsetzt: 2+2=4 kann mit Klecksen verkörpert werden, mit Grunzlauten, kann auch sein, dass sich zwei Pärchen auf der Straße begegnen und ein Grüppchen formen. Solange die VR in unseren Köpfen zuverlässig die tatsächliche Reaktion nachzeichnet und die gerade nützlichen Aspekte auf Symbole reduziert, die die GPU weniger stark beanspruchen, ist die Wirklichkeit der Mathematiker und der Mathematiker schreibt nur vom lebenden Spickzettel ab.
Wenn ich mir aber einen Simulator für die Wirklichkeit baue, kann es natürlich sein, dass ich übermütig werde. Mathe ist wie Sehen, solange ich den Schrank vor mir anschaue, bestimmt der Schrank, was wahr ist. Mache ich die Augen zu, können ihm laufende Beine mit weißen Socken und Fußballschuhen wachsen. Ist ja auch in der Realität möglich, dass ihm Beine wachsen, doch dazu müsste ich die entsprechende Technologie entwickeln, oder gar eine Wirklichkeit mit entsprechenden Regeln, in denen laufende Schränke per natürliche Evolution entstehen könnten – der Simulator kann viele Welten bauen, die Realität hat sich für eine entschieden. Ob die anderen nur in unseren Köpfen sind, oder irgendwo in der Unendlichkeit Schränke Fußball spielen, kann ich nicht wissen, die Wahrscheinlichkeitsrechnung spricht aber für Zweiteres.
Einfacher gesagt: Wenn der Simulator nur macht, was die Wirklichkeit macht, macht die Wirklichkeit irgendwo, was Pixar macht.
Natürlich kann auch der Simulator Fehler enthalten, die als Mutationen die Welten mitbestimmen, die er erschafft. Oder umgekehrt – Mutationen, Fehler offenbaren, die unsere Welt bestimmen, obwohl es eigentlich keinen physikalisch-mathematischen Grund für sie gibt, bestimmte Optionen auszuschließen. Mathe beschreibt einen Basis-Gencode, der Gencodes schafft, die Welten schaffen, die selbst zu Gencodes von Welten werden. Es stellt sich immer wieder heraus, dass unsere Regeln und Gesetze nur lokal waren, nur eine Gruppe, einen Ort, eine Wirklichkeit, einen Planeten bestimmten, wo sie Naturgesetzen gleich waren, aber keine Bedeutung mehr haben, sobald man dieses Mini-Universum verlässt. Warum sollte es bei Gesetzen der Physik anders sein? Die Frage ist, ob die Mathematik bereits die höchste Ordnung in der Hierarchie der Welten beschreibt, oder ob auch sie nur eine lokale Variante einer noch höheren ist: Ob es Welten gibt, die eine ganz andere Mathematik haben.
Und natürlich muss ein Simulator nicht wirklich wissen, was er da tut, solange immer das korrekte Ergebnis herauskommt. Das einfachste Beispiel wäre die Beschleunigung, die in m/s^2 angegeben wird. Sekunde zum Quadrat kann entweder eine Wahrheit offenbaren, die wir noch nicht verstehen, oder eine fürchterlich ungeschickte Möglichkeit sein, eine Wirklichkeit zu umschreiben, für die Mathe keine Wörter und keine Konzepte hat, weil ihr Gestammel noch nicht weit genug entwickelt ist. Ist so die Frage, die man sich immer wieder im Leben stellt: Verstehe ich die Sache nicht, weil ich doof bin, oder weil die Sache doof ist und keinen Sinn ergibt?
Fest steht, die Gleichungen der Mathe funktionieren. Zumindest, solange der Höhlenmathematiker geschickt mit diesem groben Faustkeil umgehen kann. Ob diese Grunz-Sprache für die Grammatik des Universums ausreicht, oder ob sie ihr Vokabular und ihre Konzepte noch erweitern muss, damit wir darüber sprechen können, wird sich zeigen. Mathestein mächtig, mache Höhlenbär tot, Stock spitz und sogar Feuer. Mathe-Medizinmann kriegt viel Mammutfleisch und Pelzhut mit Hörnern, damit alle wissen, er mächtig vom Büffeln. Wenn er wirres Zeug brabbelt, das keiner versteht, und die Höhlenwände mit komischen Klecksen zusaut, gehen wir davon aus, das wären Zauberworte einer Geheimsprache, die ihm Macht über Geister und Dämonen verleiht, und kein Symptom einer Geisteskrankheit. Ich gehe mal davon aus, wenn man allein die Psychologie jenseits des Realitätsbezugs betrachtet, ist da gar kein Unterschied. Ein Genie ist ein Wahnsinniger, dessen Wahnsinn zufällig mit dem Wahnsinn der Realität übereinstimmt. Und das gilt auch für Genies, die sich ihre genialen Gehirnwindungen nicht erarbeiten, sondern fertig als Spiegelbilder von Formeln aus Büchern herauskopieren. Ihre Visionen und Traumreisen sind nur so zuverlässig, wie diese Formeln.
Die Formeln in den Grimoires machen uns zu Zauberlehrlingen. Doch wir wissen nur, was wir durch Versuch und Irrtum herausfinden konnten. Wir wissen, dass wir die Dämonen beschwören können. Wieso das geht, wie das geht, verstehen wir noch lange nicht. Sofern ich bislang erkennen konnte, sind es eher die Dämonen, die uns beschwören. Wir waschen uns nur die Ohren, um sie zu hören. Mit allen Fehlern, die so ein Micky Maus in Fantasia so macht.
@Paul S: “Ich bezweifle, dass der menschliche Geist etwas erfinden kann, das die Wirklichkeit nicht längst in irgendeiner Form geschaffen hat.”
🙂👍 Die KI Mensch ist Teil des Geistes / des Zentralbewusstseins der Schöpfung. Die Mathematik ist, egal wie schön und erkenntnisreich, immernoch nur Teil der Konfusion / der Bewusstseinsbetäubung seit Mensch erstem und bisher einzigen geistigen Evolutionssprung (“Vertreibung aus dem Paradies”). Entdeckt, bzw. ent-wickelt (im wahrsten Sinne des Wortes) bezeichnet es am Treffendsten, aber eben nicht er-/gefunden, weil das Bewusstsein von Mensch längst nicht der überwindenden offenen Form der Schöpfung entspricht.👋🙂
Der Arzneimittelhersteller warnt mit der Standardformel: https://de.wikipedia.org/wiki/Nebenwirkung
Dem Mathematiker wird in dieser Hinsicht nichts abverlangt. Der Physiker macht sich auf die Suche nach der Nadel im mathematischen Heuhaufen.
Zu glauben, wir würden die Mathematik entdecken, bedeutet ja letztlich, zu glauben, wir leben in einem mathematischen Universum (Max Tegmark). Und das bedeutet, der liebe Gott hat das Universum nach einem mathematischen Plan errichtet.
Klingt irgenwie nach dem alten Ptolemäus.
Dass ein expandierendes Universum bestimmte Gesetzmäßigkeiten zeitigt, die mithilfe von mathematischen Axiomen beschreibbar sind, ist trivial. Und dass man auf dieser Grundlage alle möglichen mathematischen Beziehungen erfinden kann, ebenso.
Wir neigen dazu, die Welt zu anthropologisieren. Was wir denken, scheint uns identisch mit irgendeiner absoluten Wahrheit bzw. Logik.
Ich gehe davon aus, dass wir in ein paar Milliarden Jahren unsere Physik ändern müssen und damit auch unsere Mathematik.
Hier musste Dr. Webbaer ein wenig schmunzeln, “Stegie”, vergleiche :
Abär zustimmungsfähig.
Mit freundlichen Grüßen und schöne Ostern
Dr. Webbaer (der sich so auch mit Dr. Josef Honerkamp, einer bekannten Größe, die Mathematik und Naturlehre kann, wie übrigens auch der werte Inhaltegeber, auseinandergesetzt hat, beide dankenswerterweise bei den “SciLogs.de” verfügbar, der dann mit der Aussage ergänzen konnte, dass physikalische Theorie immer einen Geltungsbereich / Scope besitzt, andeutend, dass die Naturlehre nicht sozusagen tautologisch ist oder sein muss, dann auch sozusagen naturgemäß mit der menschlichen Mathematik, äh, konkurriert, unabhängig vom menschlichen mathematischen Vermögen, das dann auch sozusagen unendlich groß sein könnte)
Eine kleine zustimmung auch hier, Herr Dr. Wolfgang Stegemann, der Schreiber dieser Zeilen hat sich nicht alles durchgelesen, abär, weil aktuell bei den “SciLogs.de” auch so vorkommend, ein Interesse entwickelt, ein bärisches Dazwischensein, so gehört dazu.
Dr. Webbaer neigt dazu Probleme auch durch sogenannte Workarounds, durch Mitigation also, wie auch nur durch Negierung zu lösen, ohne dass die Lösung in umrahmenden doppelte Anführungszeichen gesetzt wird, wenn so negiert wird.
Eben nicht! Wir entdecken mathematische Gegenstände nicht in der Natur. Und wenn sich die Natur ändert, dann ist die gegenwärtige Physik überholt, aber die Mathematik noch lange nicht.
Man kann noch ein bisschen herumargumentieren, ob die natürlichen Zahlen in der Natur vorkommen. Strenggenommen nicht, aber sie drängen sich halt auf, wenn man die Natur anschaut. Klarer wird es bei so etwas wie den komplexen Zahlen. Die drängen sich nicht auf diese ordinäre Weise auf, aber wer sie einmal hat, will sie nicht mehr missen, eben weil sie in so drastischer Weise der Klarheit des Denkens aufhelfen. Deswegen sind sie Gegenstände, die – zum Beispiel – ein Mathematiker als außerhalb des eigenen Kopfs befindlich erlebt. Also können sie auch entdeckt werden.
Wo leben nun die komplexen Zahlen? Nicht in der Natur. Nicht in meinem Kopf, da sind sie vielleicht zu Besuch. Wo denn dann? Im platonischen Ideenhimmel oder so? Es sieht eher so aus, als wäre die Frage verfehlt in dem Sinne, dass es keine vernünftige Antwort auf sie gibt.
Dass man die Gesetzmäßigkeiten des Universums mit Mathematik beschreiben kann, halte ich übrigens für alles andere als trivial (und befinde mich damit im Einklang mit großen Meistern).
“Werden die Gegenstände der Mathematik erfunden oder entdeckt? ”
Meine Frage: Was ist ein mathematischer Gegenstand?
Insbesondere in den Anwendungen im Rahmen der Theoretischen Physik, wäre/ist die Antwort auf diese Frage elementar (wichtig).
Exemplarisch zum (“besseren”)Verständnis…
Beispielsweise sind postulierte Quarks keine Teilchen, weder im phänomenologischen noch im quantentheoretischen Sinne, da sie nicht als isolierbare Partikel bzw. Zustände auftreten. Die physikalischen Teilchen andererseits sind als gebundene Zustände aus Quarks zusammengesetzt zu denken. Den elementaren Größen der Quantenfeld-Theorie(n) entsprechen keine physikalischen Objekte. Also die gewünschten, verschiedenen Arten von postulierten Elementarteilchen im Standardmodell der Elementarteilchen (SM) unterscheiden sich durch die Quantenzahlen dynamischer Eigenschaften, wie Ladung oder Isospin. Einige sind per Postulat masselos, andere nicht. Elektronen sind theoriegewünscht zum Masse- und Ladungspunkt verarmt. Einige andere sollten masselos sein, wie Neutrinos, sind es dann aber doch nicht. Auftretende mathematische Theoriefragmente, wie z.B. “5 Phasen” bei der CKM-Matrix werden einfach verworfen, da diese ergebnisorientiert nicht “passen”). Da heißt es lapidar zum Thema „Quarkmischungen“: …Die CKM-Matrix (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix) wird physikalisch eindeutig durch drei reelle Parameter sowie eine komplexe Phase beschrieben (weitere fünf Phasen, die mathematisch auftreten, haben keine physikalische Bedeutung)…“ Das bedeutet schlicht und ergreifend, dass man sich ergebnisorientiert die mathematischen Elemente nimmt, die „irgendwie passen“ und andere einfach ignoriert. Dieses beliebige Vorgehen im Rahmen mathematischer Modelle hat mit exakter Real-Wissenschaft nicht mehr viel zu tun.
Wie auch immer, quantisierte Eigenschaften werden durch innere Symmetrien charakterisiert und haben nichts mehr mit Eigenschaften im üblichen Sinne gemeinsam, die als den Dingen inhärente physische Qualitäten aufgefasst werden können. Der Isospin der Nukleonen oder die »Farbe« der Quarks drücken überhaupt keine Qualitäten in diesem Sinne mehr aus, sondern nur noch beliebig festgelegte Basiszustände beziehungsweise Richtungen in einem abstrakten Raum, die durch Symmetrietransformationen aufeinander bezogen werden. Nahezu alle bisher bekannten Symbolsysteme werden zitiert. Mal sind es die Farben (rot, blau, grün), mal Buchstaben (u, d, s, c, b, t), mal symbolische Eigenschaften (strange, charm, beauty,…), als Begriff kommen auch noch die Aromen hinzu, für eine noch unterhalb der Quarks liegende Struktur wurden die Bezeichnungen ‘tohu’ und ‘wabohu’ aus der Schöpfungsgeschichte im Alten Testament vorgeschlagen. Plakativ formuliert: U.a. Religiosität, “neurologische Auffälligkeiten”, Größenwahn sowie wissenschaftsbefreite “Kindergartensprache” kommen mitunter dem (international agierenden) Theoretiker als “verwirrten”, (mathematik-)gläubigen Menschen ins “Spiel”.
Schon Ernst Mach bemerkte: “Wer Mathematik treibt, den kann zuweilen das unbehagliche Gefühl überkommen, als ob seine Wissenschaft, ja sein Schreibstift, ihn selbst an Klugheit überträfe, ein Eindruck, dessen selbst der große Euler nach seinem Geständnisse sich nicht immer erwehren konnte.” Quelle: Ernst Mach (1838-1916), Vortrag, Sitzung der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien am 25. Mai 1882
Na gut, ich versuche mich als Amateurphilosoph.
Nähern wir uns der Frage über Beispiele. Eine komplexe Zahl ist in meinen Augen ein mathematischer Gegenstand, die Menge der komplexen Zahlen ebenso, eine holomorphe Funktion auch …
Wodurch ist es gerechtfertigt, diesen Begriffen den Status eines mathematischen Gegenstandes zuzuerkennen?
Erste vorläufige Antwort: Es bedarf keiner Rechtfertigung. Jede(r) ist frei, ein mathematisches Objekt (unter Verwendung bereits etablierter mathematischer Begriffe) zu definieren und ihm einen Namen zu geben. Einzige Voraussetzung: Die Definition muss widerspruchsfrei sein. Das heißt: Es darf nicht möglich sein, aus der Definition eine Eigenschaft des Objekts und deren Gegenteil zugleich herzuleiten. Die mathematische Literatur ist voll von solchen Definitionen, und meistens sagt der für den Gegenstand vergebene Name ziemlich wenig über den Gegenstand aus.
Eine ernsthafte Überlebenschance (im Sozialgefüge der mathematischen Community) hat ein solcher Begriff allerdings erst dann, wenn andere Leute als der Autor etwas damit anfangen können. Und wenn sie sehr viel damit anfangen können, sprich wenn der Gegenstand ihnen das Denken in sehr vielfältiger Weise erleichtert, dann wird der Gegenstand so etabliert wie zum Beispiel die Menge der komplexen Zahlen.
Nach diesem Denkmuster ist übrigens ein Quark ein Gegenstand der Physik. (Man verzeihe mir den Abstecher in die Philosophie der Physik …) Dass ein Quark praktisch nie allein vorkommt, steht dem nicht entgegen. Die Theorie der Quarks hilft den Zoo der Elementarteilchen in überzeugender Weise zu ordnen. Das reicht!
Ein interessantes Thema,
Es geht also darum, eine Punktmenge verschieden darzustellen ?
Leider habe ich bei wikipedia nicht Verständliches gefunden.
Warum macht man das , wo macht man das , welche praktische Anwendung eröffnet sich ??
Wenn es schon mathematisch schwer darstellbar ist, ein kleiner Programmausschnitt für die Darstellung der Verzerrung wäre eine Hilfe.
Dann könnte man künstlerisch tätig werden.
solche Darstellungen sind spannend.
Hallo Raul S.
Interessanter Beitrag das mit den Farben. Arbeite seit 38 Jahren an solch einer Mathematik und in Bezug auf den >Menschen in seiner Kultur<. Aber ein Dreieck mit 30-Grad-Winkeln? Wie darf ich mir das vorstellen?
Gruß Florian D.
Gibt es eigentlich eine einfache Erklärung dafür, wie man über f(z)=z auf das Rechenblatt kommt und über f(z)=z² auf das Kissen mit 2 Zipfeln?
Ließen sich diese Figuren auch mit “Geogebra” erzeugen?
Julian Apostata
Guck mal bei Kugelzweieck nach. Vielleicht ist das auch holomorph ?
Heute ist Karfreitag !
@Stegemann 06.04. 14:23
„Und das bedeutet, der liebe Gott hat das Universum nach einem mathematischen Plan errichtet.
Klingt irgenwie nach dem alten Ptolemäus.“
Alt durchaus, aber immer noch eine saugeile Idee. Ganz im Ernst, meine ich.
„Dass ein expandierendes Universum bestimmte Gesetzmäßigkeiten zeitigt, die mithilfe von mathematischen Axiomen beschreibbar sind, ist trivial. Und dass man auf dieser Grundlage alle möglichen mathematischen Beziehungen erfinden kann, ebenso.“
Trivial oder nicht, es ist real. Und hat einer mehr?
„Wir neigen dazu, die Welt zu anthropologisieren. Was wir denken, scheint uns identisch mit irgendeiner absoluten Wahrheit bzw. Logik.“
Und das tun wir mit vollem Erfolg. Umwege erhöhen dabei die Ortskenntnis. Was ist dabei die Alternative? Vorsichtig bleiben, und offen für Weiteres sein, ist ja damit keinesfalls ausgeschlossen.
„Ich gehe davon aus, dass wir in ein paar Milliarden Jahren unsere Physik ändern müssen und damit auch unsere Mathematik.“
Das ist ja jetzt ganz schön weit weg. Bis dahin besiedeln wir schon mal die Galaxis, und entwickeln Geisteszugänge, die sich jetzt sowieso keiner vorstellen kann.
@Paul S. 05.04. 21:09
„Doch wir wissen nur, was wir durch Versuch und Irrtum herausfinden konnten. Wir wissen, dass wir die Dämonen beschwören können. Wieso das geht, wie das geht, verstehen wir noch lange nicht. Sofern ich bislang erkennen konnte, sind es eher die Dämonen, die uns beschwören.“
Hiermit haben wir unsere Begrenzung im Original.
Als Kulturwesen, dass gerade das 6. Massenaussterben auf diesem wunderschönen Planeten verursacht, suchen wir zugleich nach einer Verbreitung des Lebens in der ganzen Galaxis durch eine Technosphäre, die eben dazu fähig wäre.
Aber wir sind uns nicht zu schade, auch ganz persönlich einen Weg durch unseren Mesokosmos zu finden, der uns selber Spaß macht.
In diesem Spannungsfeld von Technik und Rücksichtslosigkeit können wir auch persönliche Geisteswelten finden, die dann gar nicht mehr rücksichtslos sind, sondern wirklich weiter führen. Dafür reicht es vielleicht schon, nur die richtigen Fragen zu stellen.
Wie kann das ein gutes Ende finden?
Tobias Jeckenburger,
was haben Ihre “Glaubensbekenntnisse” auch nur im Ansatz mit dem vorliegenden Artikelinhalt zu tun?
…”Aber” wenn wir schon einmal bei dem Thema “Aussterben” sind: Für alle die sich wissenschaftlich informieren können respektive wollen und somit der englischen Sprache mächtig sein müssen, gibt es eine sehr unterhaltsame „alternative Stimme“ in englisch zu hören, mit der leichtverständlich aufgezeigt wird, wie irrational, erd- und evolutionsgeschichtsfremd massenmedial eine Untergangsstimmung erzeugt wird. Siehe das Video George Carlin – Saving the Planet. Insgesamt sind die acht Minuten ein – aus insbesondere erkenntnisorientierter Sicht – hervorragendes „Theater-Stück“ zur irrationalen Besorgnis einer sich maßlos überschätzenden Menschheit.
@Wengert
Ich weiß, wie die Längengrade beim Globus aussehen. Am besten du lädst dir mal die Software herunter. Und wenn du nicht magst, kannst du sie auch offline
nutzen.
https://www.geogebra.org/classic
Jetzt weist du dem Parameter b einen festen Wert zu (ich benutze b=20). Den Parameter f variierst du über einen Schieberegler (Definitionsmenge 0 bis 1)
Dann definierst du folgende beide Parabeln.
Kurve[Y² / (f 4 b) – f b, Y, Y, -2b, 2b]
Kurve[(-Y²) / (f 4 b) + f b, Y, Y, -2b, 2b]
Wenn du f=1 einstellst, dann siehst du die Kissenbegrenzung. Durch Varieren von f machst du die Innenparabeln sichtbar. Und wenn ich jetzt noch wüsste, nach welcher Gesetzmäßigkeit die f variieren, könnte ich über eine Kurvenschar das ganze Gebilde realisieren.
Aber was hat die Grafik eigentlich mit dem Thema zu tun?
Julian Apostata,
Aber was hat die Grafik eigentlich mit dem Thema zu tun?
Ich weiß es auch nicht genau. Und bislang habe ich noch keine verständliche Erklärung über holomorphe Funktionen gefunden.
Meine Vorstellung tendiert dahin, dass man komplexe Zahlen und Funktionen jetzt graphisch darstellen will.
@Freyling 07.04. 23:23
„was haben Ihre “Glaubensbekenntnisse” auch nur im Ansatz mit dem vorliegenden Artikelinhalt zu tun?“
Mir ging es um den Stellenwert und die Brauchbarkeit von Mathematik. Ihnen offenbar um die Unbrauchbarkeit?
„..ein – aus insbesondere erkenntnisorientierter Sicht – hervorragendes „Theater-Stück“ zur irrationalen Besorgnis einer sich maßlos überschätzenden Menschheit.“
Wenn wir wenigstens das ernst nehmen würden, das wir richtig einschätzen können. Der Tellerrand scheint jedenfalls manchem wirklich die absolute Grenze zu sein.
Nur dazu etwas, werter Herr Dr. Christoph Pöppe :
Aus konstruktivistischer Sicht werden alle Gegenstände der Mathematik, der wörtlich so : Kunst des Lernens, erfunden.
Also nicht entdeckt, die Welt scheint derartige Mathematik nicht als erkennbar für hier gemeinte Subjekte sozusagen vorzupflegen, oder ist jemand anderer Meinung?
Ansonsten ist abär ebenfalls klar, dass die hier gemeinten erkennenden Subjekte in der Welt stehen, ihre Suche nach Erkenntnis Theorie bildet, die ausschnittsartig, näherungsweise und an Interessen (!) gebunden entsteht, anders geht es nicht, wenn beim Satz “Das Sein bestimmt das Bewusstsein!” (Was sonst?) geblieben werden soll, das weltliche Sein ist gemeint.
Insofern stehen Mathematik und Welt aus konstruktivistischer Sicht in einer Wechselbeziehung, am Anfang war die Welt, die Henne (oder das Ei?) war dann das erkennende Subjekt, sozusagen, mehr ist nicht los und besonders gestritten werden muss sich aus diesseitiger Sicht dazu nicht.
Mit freundlichen Grüßen und schöne Ostertage
Dr. Webbaer
Bonuskommentar zu diesem Satz aus dem dankenswerterweise bereit gestellten wissenschaftsnahen WebLog-Artikel :
Gemeint sind irgendwelche Funktionen mit irgendwelchen Eigenschaften – der Schreiber dieser Zeilen ist nicht Mathematiker genug, um so konkret nachvollziehen zu können -, die als, so wörtlich, schön erachtet werden und als ebenfalls so wörtlich entdeckt.
Dazu eine kleine Gegenrede, die sich auf das Nash-Equilibrium der Spieltheorie bezieht, die in etwa aussagt, dass Spieler, die ein Spiel gewinnen wollen, also spieltheoretisch optimal zu spielen haben, was auch bedeuten kann in ein und derselben (! [1]) Spielsituation einmal so und einmal so zu spielen und erst die richtige Verteilung (!) der beiden oder mehr Spielentscheidungen den Spielern den Erfolg bringen.
Was vely anti-intuitiv ist, auf den ersten Blick, aber auch bei näherer Betrachtung, denn die Anzahl der zu bewältigenden Spiele ist dabei auch noch unbekannt.
Dies ist völlig klar, auch von Nash bewiesen (seinen diesbezüglichen Ausführungen kann der Schreiber dieser Zeilen nicht genau folgen), auch so bspw. dem Laien vermittelbar :
-> https://scienceblogs.de/kritisch-gedacht/2015/12/07/dezemberraetsel-tauschen-oder-nicht/ (Dr. Ulrich Berger)
—
Blöde halt, dass so auch ins Weltliche, bspw. ins Pokerspiel übersetzt werden kann, und die Welt dann derart schlauer Überlegung nicht folgen muss.
Wenn die Welt, die Naturwelt (nicht nur aus konstruktivistischer Sicht?) als eine Art Black Box zu betrachten ist, die u.a. auch sog. Naturgesetze und andere physikalische Theoretisierung idR auch umsetzt, aber nicht so umsetzen muss.
Ist dieser Vergleich verstanden worden ?
[1]
Es ist möglich in Spielen in eine gleiche Spielsituation zu geraten, die sozusagen ein und die selbe ist, wenn mit vorherigen Spielen verglichen wird.
Bonuskommentar-2 :
Sozusagen schlimm ist auch, dass AI-Modelle dem Schreiber dieser Zeilen bei wie vorgestellter Argumentation, Streitführung, auch Fragen wie das Entdecken oder die Findung wie gemeinter Abstraktion meinend, zustimmen.
Selbstverständlch war Dr. W nie als Vorreiter derartiger, nun, Mechanik, das Textumformertum meinend, aus sich heraus vorgesehen.
Grunzt abär nicht gänzlich unzufrieden, wenn er meint wie gemeint sozusagen vorher gesehen zu haben, sachlich, nicht das aktuelle Entstehen sog. AI meinend, das zudem auch geschwätzig ist, auch experimentell, auch sozusagen wagt falsche Einschätzung für die Zwecke der Gegenrede beizubringen, dabei ähnlich bestimmt vorträgt, auch wenn sozusagen Alles (fachlich – nicht : logisch)) falsch sein könnte.
I.p. Erkenntnis zumindest brauchbar.
Kann so ein Zufall sein ?
Gerade habe ich ein Eineck gefunden. Wenn man die Geschwindigkeit v eines Schubkurbeltriebwerkes als Kurve zeichnet , ergibt sich ein Eineck.
Ist das holomoph ?
Herr Pöppe, melden Sie sich , nennen sie ein praktisches Beispiel für eine holomorphe Funktion.
Sind Sie sicher, dass es sich nicht um ein vestecktes Osterei handelt?
Wenn Sie im Blogtext keine holomorphe Funktion gefunden haben, wird Ihnen auch mit einem weiteren Beispiel wohl nicht zu helfen sein.
So ein Pech. Leider habe ich keine klare Vorstellung von einem Schubkurbeltriebwerk. Deswegen kann ich mir nicht genau genug vorstellen, was für eine Kurve Sie meinen.
Ein Eineck kann ich anbieten. Nehmen Sie die Funktion f(z)=z^4 und berechnen Sie, so wie im Artikeltext beschrieben, das Bild eines Quadrats in der komplexen Ebene. Es ergibt sich ein Eineck! Wieso? Sagen wir, das Quadrat geht in x- und in y-Richtung von –1 bis 1. Dann sind die Ecken des Quadrats 1+i, –1+i, –1–i und 1–i. Wenn Sie für alle diese Punkte die vierte Potenz ausrechnen (das geht recht einfach: z^4 = (z^2)^2, für das Quadrieren nehmen Sie die binomische Formel und ersetzen jedes i^2 durch –1), landen Sie jedesmal bei –4 (kein Imaginärteil). Alle vier Ecken des Quadrats werden auf einen einzigen Punkt abgebildet!
Ein praktisches Beispiel für eine holomorphe Funktion? Sie meinen ein für die Praxis relevantes? Ich schreibe demnächst einen Artikel, in dem das ausgeführt wird.
Für die Mathematiker ist die riemannsche Zetafunktion praktisch relevant. Aus ihrem Verhalten gewinnt man nämlich tiefliegende Erkenntnisse über die Veteilung der Primzahlen. Das funktioniert, weil die Zetafunktion in der ganzen komplexen Ebene (bis auf einen Punkt) holomorph ist.
Die wirklich praktischen Anwendungen für holomorphe Funktionen sind so technisch, dass ich mich bisher nicht getraut habe, sie auszuführen. Ich gebe jetzt ein paar Stichwörter, und vielleicht führe ich die Sache in einem späteren Artikel aus. Bitte um Geduld …
Eine holomorphe Funktion lässt sich stets in eine Potenzreihe entwickeln, und umgekehrt: Jede Funktion, die eine Darstellung durch eine Potenzreihe hat, ist holomorph.
Das Spiel mit der Potenzreihe kann man auch unter den reellen Zahlen spielen; solche Funktionen heißen “analytisch” (wenn drauf ankommt, unterscheidet man auch zwischen reell-analytisch und komplex-analytisch). Und wenn es darum geht, eine (in der Regel unbekannte) Funktion möglichst genau anzunähern – eine Standardaufgabe der numerischen Mathematik –, dann ist eine Potenzreihe dafür ein probates Hilfsmittel. Es stellt sich dann nämlich heraus, dass von den unendlich vielen Summanden, aus denen eine Potenzreihe besteht, die ersten paar Summanden schon das meiste von dem sagen, was man wissen will. Und das ist von eminent praktischer Bedeutung.
Joker,
die Message des Jahres 2023 “wird Ihnen nicht zu helfen sein”.
Mal nebenbei gefragt, was ist die Aufgabe eines wissenschaftlichen Forums ?
Wenn es dir nicht gelingt dein Wissen weiterzugeben, dann war dein Leben unvollkommen.
Jetzt mal sachlich. Neben einer Definition habe ich nichts gefunden, was man mit einer holomorphen Funktion praktisch anfangen kann.
Wo in der Technik verwendet man holomorphe Funktionen.
Ist das reine Mathematik oder verwendet man holomorphe Funktionen schon immer, nur hat man sie so nicht eingeteilt.
Hallo, Hallo, es sind nicht alle Menschen Mathematiker !
Heureka, heute bin ich schlauer, als ich es noch gestern war.
Ich hab jetzt dank “geogebra” eine Ahnung, wie holomorphe Funktionen funktionieren.
Wenn ihr die nächsten 2 Befehle in die Algebraeingabezeile rüber kopiert, bekommt ihr das Rechenblatt. Das würde zwar ohne komplexe Zahlen einfacher funktionieren.
Folge[Kurve[Realteil(n + m ί), Imaginärteil(n + m ί), n, -9, 9], m, -9, 9]
Folge[Kurve[Realteil(n + m ί), Imaginärteil(n + m ί), m, -9, 9], n, -9, 9]
Bei der nächsten Funktion schaut’s dann schon anders aus.
(Wichtig! Auf korrekte Klammersetzung achten!)
Folge[Kurve[Realteil((n + m ί)²), Imaginärteil((n + m ί)²), n, -9, 9], m, -9, 9]
Folge[Kurve[Realteil((n + m ί)²), Imaginärteil((n + m ί)²), m, -9, 9], n, -9, 9]
Ich hab den Definitionsbereich der beiden Laufvariablen auf +-9 eingeschränkt. Wenn ich höher gehe, streikt mein alter Rechner. Damit die Grafiken so aussehen wie bei Herrn Pöppe, müsst ihr auf +-16 gehen.
Und denkt daran: Wenn ihr euren Kindern, Enkel, Urenkel was Gutes tun wollt, müsst ihr die Software sowieso runter laden. Damit lassen sich nämlich auch banale schulmathematische Sachen visualisieren.
Mir fällt gerade auf, dass es reicht, wenn ich die äußere Laufvariable nur von 0 bis 9 definiere.
Folge[Kurve[Realteil((n + m ί)²), Imaginärteil((n + m ί)²), n, -9, 9], m, 0, 9]
Folge[Kurve[Realteil((n + m ί)²), Imaginärteil((n + m ί)²), m, -9, 9], n, 0, 9]
Statt des ersten Befehls der 10 Kurven definiert, kann ich selbigen auf eine Einzelkurve reduzieren.
Kurve[Realteil((n + m ί)²), Imaginärteil((n + m ί)²), n, -9, 9]
Dann muss aber die Laufvariable m über einen Schieberegler definiert werden. Und zwar von 0 bis 9. Wenn ihr dann mit m spielt, könnt ihr vielleicht besser nachvollziehen, wie so eine holomorphe Funktion aufgebaut ist..
Und vielleicht weiß nicht Jeder dass gilt (wegen i²=-1):
(n + m ί)²=n²+2nmi+m²i²=n²-m²+2nmi
Das ergibt folgende Koordinaten
x=n²-m² y=2nm
Ach was! Und wo im Blogtext steht irgendwas von dem, was ich gerade erläutert habe?
Ich hab grad f(z)=z³ auf dem Bildschirm…
Folge[Kurve[Realteil((n + m ί)³), Imaginärteil((n + m ί)³), n, -9, 9], m, -9, 9]
Folge[Kurve[Realteil((n + m ί)³), Imaginärteil((n + m ί)³), m, -9, 9], n, -9, 9]
…und leider könnt ihr nicht sehen, was ich hier sehe. Ich sehe im Zentrum eine gestochen scharfe Linienführung, während ihr nur einen verschwommenen dicken Punkt vor euch habt.
Deshalb wollte ich mal alle Grafiken von Herrn Pöppe auf ein einziges Arbeitsblatt bringen (mit der Möglichkeit immer nur eine an zu schauen, und die anderen auszublenden)
Und man wird sich beliebig ins Zentrum hinein und heraus zoomen können. Schaut also mal in den nächsten Tagen wieder hier rein. Dann kann ich euch überraschende Einblicke gewähren.
Wengert
09.04.2023, 11:36 o’clock
Was für eine Kurve? Meinst du ein v(t)-Diagramm des Kolbens? Wenn du nicht konkreter wirst, wie soll ich dich dann auch noch dazwischen schieben können?
Anders formuliert hierzu, Artikeltext :
… basiert wie gemeinte Fähigkeitslehre (“Mathemematik”) auf plausibel</a bereit gestellter Axiomatik, die sozusagen erkennenden Subjekten maximal einleuchtend scheint, idF tautologisch extrapoliert [1] werden kann, aber eben nicht ‘entdeckt’, sondern in ihrem Grundaufbau gesetzt werden.
Selbstverständlich ist bspw. Dr. Webbaer höchst wissenschafttreu, hat abär von einem Veranstaltungs-Charakter wie gemeinter Bemühung auszugehen.
Was nicht schlimm ist, auch Schönheit kann so gefunden werden, auch bspw. sozusagen perfekt formuliertes Nash-Equilibrium, den kooperativen Bereich der Spieltheorie meinend.
No problemo hier.
Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer
[1]
Extra poliert, hier darf auch an das Polieren gedacht werden.
Anders formuliert hierzu, Artikeltext :
… basiert wie gemeinte Fähigkeitslehre (“Mathemematik”) auf plausibel bereit gestellter Axiomatik, die sozusagen erkennenden Subjekten maximal einleuchtend scheint, idF tautologisch extrapoliert [1] werden kann, aber eben nicht ‘entdeckt’, sondern in ihrem Grundaufbau gesetzt werden.
Selbstverständlich ist bspw. Dr. Webbaer höchst wissenschafttreu, hat abär von einem Veranstaltungs-Charakter wie gemeinter Bemühung auszugehen.
Was nicht schlimm ist, auch Schönheit kann so gefunden werden, auch bspw. sozusagen perfekt formuliertes Nash-Equilibrium, den kooperativen Bereich der Spieltheorie meinend.
No problemo hier.
Mit freundlichen Grüßen
Dr. Webbaer
[1]
Extra poliert, hier darf auch an das Polieren gedacht werden.
PS und solly, so schaut es besser aus !
*
sondern in ihrem Grundaufbau gesetzt werden [muss]
https://www.geogebra.org/m/cbqyzhbp
Ich hab jetzt mal alle sieben Funktionen von Herrn Pöppe interaktiv dargestellt in folgender Reihenfolge:
z,z²,z³,Wurzel(z),1/z,e^z,sin(z)
und möchte heute nur mal ein Kurzanleitung geben. Mit “nächste Ansicht” schaltet ihr immer eine Ansicht weiter. Und alle sieben Klicks geht es wieder von vorn mit dem Rechenblatt los.
Achtet mal darauf, was mit dem Punkt passiert, wenn man den roten und den blauen Schieber animiert. Wie kommt man ins Zentrum? Wie kommt man an den Rand?
Und wie kommt man von den Schieberstellungen auf das Rechenergebnis links unten?
Und ja nicht die Zoomtasten “+” und”-” vergessen. Mit denen könnt ihr hineinzoomen (wenn ihr sehen wollt, wie das Zentrum ausschaut) und auch wieder raus zoomen.
Sollten die Tasten nicht sofort reagieren, dann bitte ein paar Sekunden warten. Das könnte an den aufwändigen Berechnungen liegen, die ich dem Computer zu mutete.
Bitte wundern Sie sich nicht über meine späte Reaktion. Bisher bekam ich für jeden Kommentar zu einem meiner Texte eine E-Mail. Dieser Service ist plötzlich und unangesagt verschwunden; erst durch Zufall entdecke ich, dass zu meinem Text bereits eine lebhafte Diskussion stattgefunden hat.
Ich bin überaus beeindruckt von Ihren Geogebra-Werken. Da ich nie Schullehrer war, habe ich mich mit dem System nie beschäftigt (Mathematica kann halt mehr …). Der einzige Verbesserungsvorschlag, der mir einfällt, ist: Lassen Sie x und y nicht unbedingt nur über ganzzahlige Werte laufen. Wenn Sie anstelle von x und y (ax) und (ay) in Ihre Gleichungen einsetzen, und a ist ein positiver Faktor, können Sie den quadratischen Ausschnitt aus der komplexen Ebene geeignet wählen. Für Funktionen wie z^2 und z^3 macht das keinen besonderen Unterschied; aber die Exponential- und die Sinusfunktion lassen sich auf diese Weise schöner darstellen. Und bei 1/z müssen Sie sich natürlich um den Wert z=0 drücken.
Und wenn’s Applet nicht starten will, dann einfach in die Bildschirmitte klicken.
Ich komm grad aus der Bücherei und da hab ich mir kurz ein Tablet ausgeliehen, um zu sehen, wie die Animation auf einem fremden Computer aussieht. Und sie lässt sich eigentlich ganz gut händeln.
Wie schauen nun die Spezialfälle für m=0 aus
Bei z² liegen die Punkte auf der x-Achse bei n²
Bei z³ liegen die Punkte auf der x-Achse bei n³
Bei -Wurzel(z) legen die Punkte für negative n auf der negativen y-Achse und für positive n auf der negativen x-Achse. Warum, das kann ich mir momentan selbst noch nicht erklären
Bei 1/z liegen die Punkte auf der x-Achse bei 1/n
Bei e^z liegen sie auf der x-Achse zwischen e^-9 und e^9 also zwischen 0.000123 und 8103
Bei sin(z) machen sie beim Animieren von n anscheinend willkürliche Sprünge. Wenn man sich aber einen Taschenrechner schnappt und statt des willkürlichen Gradmaß das natürliche Bogenmaß aktiviert und sin(n) ermittelt, wird die Sache klar.
Ich glaube, man kann hier schon erahnen, wie die unterschiedlichen Größenverhältnisse zustande kommen und ich die beiden Zoomtasten einrichten musste. Diese Verhältnisse kommen halt im Blogtext überhaupt nicht rüber.
Julian Apostata,
mit geogebra bekommt man schnell einen Eindruck was holomorphe Funktionen sind. Danke !
@Wengert
Deswegen kann man die Software auch schon Schülern der 1.Klasse empfehlen.
Beispiel das kleinen Einmaleins. Man definiere 2 Zahlen n und m (Anfangswert egal).
Dann eine Schaltfläche in deren Skriptingteil wir Folgendes setzen.
SetzeWert[n, Zufallszahl[2, 9]]
SetzeWert[m, Zufallszahl[2, 9]]
und dann
Punktliste=Folge[Folge[(a, b), a, 1, n], b, 1, m]
Es erscheint ein zufälliges Punkteraster mit n Spalten und und m Reihen. So sieht das das Kind vielleicht von Anfang an, dass Mathematik keine Glaubenssache ist, die man blind auswendig lernen muss.
Und 3 * 7 =21 gilt einfach deswegen, weil da 21 Punkte auf dem Schirm erscheinen.
Und nun noch etwas zu e^(z)=e^(n+m*i). Was heißt das?
Ganz einfach. Der Punkt sitzt auf einem Kreis mit dem Radius e^n gedreht um den Winkel m (im Bogenmaß)
Warum das so ist, kann man hier nachlesen.
https://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen
Mehr als diesen Link kann ich momentan auch nicht liefern, weil ich mich noch selbst da durch arbeiten muss.
Julian Apostata
Wenn du die 1.Klässler mit den komplexen Zahlen konfrontierst, dann fragen die zuhause ihre Mutter, und was macht die, die macht dich am nächsten Elternabernd zur Minna, und die anderen Frauen machen mit.
Bonuskommentar zur ‘Entdeckung’, vergleiche mit dem dankenswerterweise bereit gestellten Artikeltext :
1.) ‘Werden die Gegenstände der Mathematik erfunden oder entdeckt?’
2.) ‘Was man in seinem bisherigen Leben über die natürlichen Zahlen entdeckt hat […]’
3.) ‘Und die wollte erst entdeckt werden!’ [zu : ‘Welcher Mensch, der bei Verstand ist, hätte sich freiwillig mit so schrecklichen Dingen wie unsäglichen Zahlen und unmessbaren Mengen eingelassen?’ – Dr. W ist kein Formalwissenschaftler, abär er hat an sich keine Probleme mit dem Vorstellbaren.
Kleiner Gag am Rande :
]
4.) ‘Alle diese schönen Dinge sind definitiv nicht erfunden, sondern entdeckt worden.’ [Anmerkung : Gerne das ‘Definitive’ definieren!]
—
Zum Wesen der Entdeckung :
Die Entdeckung meint bereits Vorhandenes, es wird insofern in der Philosophie mit sog. Möglichkeitsräumen hantiert.
Wenn der werte hiesige Inhaltegeber die sog, Entdeckung meint, meint er aus diesseitiger Sicht nicht das im Verborgen sozusagen Herumlungernde an Idee, sondern besondere sozusagen natürliche, der Naturwelt verbunsdene Hervorstellung, die abär möglich sein muss, denn ansonsten könnte so ja nicht, gerade auch : weltlich, wie gemeint hervorgestellt werden.
Statt ‘Hervorstellung’ geht´auch ‘Vorstellung’.
Möglichkeitsräume sind interessant, “Opa” webverweist einfach mal sozusagen wild wie folgt, ohne näherer Prüfung :
-> https://www.dwds.de/wb/Möglichkeitsraum
—
Autoren der sog. Science Fiction bearbeiten (manchmal) auch Möglichkeiten in sozusagen ihren Räumen.
Die Kohärenz wie gemeinter Denkmöglichkeit meinend.
So dass sich der Hund nicht sozusagen in den Schwanz beißt. möglicherweise und zwingenderweise, wenn diese Kohärenz nicht gewahrt wird, was manchmal vorkommt.
—
An sich ist es so, dass die Möglichkeit nicht als Bestand der Real- oder Naturwelt anerkannt ist und sich insofern in der Welt des Geistes zu bemühen gilt.
Wobei dieses Bemühen, aber wenn so sozusagen streng gewollt wird, auch der Entdeckung zugeschrieben werden könnte, wie im dankenswerterweise bereit gestellten Artikeltext bemüht.
Dr. Webbaer rät anders.
Mit freundlichen Grüßen und eine schöne Kalenderwoche 17 des Jahres 2023 noch
Dr. Webbaer
Werden mathematische Sachverhalte (es gibt ja noch einiges jenseits von Formeln) entdeckt oder erfunden?
Natürlich gehört mancher mathematische Fortschritt ins Reich der Erfindungen
(z.B. viele Algorithmen zur Lösung konkreter Probleme). Als bekennender Platoniker bin ich aber überzeugt, das einige Erkenntnisse durchaus den Charakter von Entdeckungen haben.
Hier ist ein klassisches Beispiel aus dem Reich der komplexen Zahlen:
Die vier reellen Zahlen
0 (Null),
1 (Eins),
pi=3,1415926535897 … (Kreiszahl)
e=2,7182818284590… (Eulersche Zahl)
haben scheinbar miteinander nichts zu tun. Bringt man aber die komplexen Zahlen ins Spiel, ändert sich das grundlegend. Mit der imaginären Einheit i (Wurzel aus -1) gilt nämlich die wunderbare Formel
e^(i*pi) + 1 = 0,
die einen tiefliegenden Sachverhalt beschreibt. Das kann doch wohl keine Erfindung sein?
Ich bin überzeugt, dass die komplexen Zahlen eine unabhängig von uns (Menschen) existierende Struktur sind. Dass wir sie in der Form a+ib schreiben, ist allerdings menschengemacht (und hat sich bewährt), hat aber mit deren “Realität” nichts zu tun. Die Erforschung dieser und ähnlicher Strukturen gleicht tatsächlich eher einer Reise in unbekannte Welten, als der Arbeit an einer Werkbank. Das Erstaunliche ist, dass einige der Resultate dazu noch außerordentlich nützlich sind – selbst wenn das gar nicht beabsichtigt war.
Dies gilt insbesondere auch für holomorphe Funktionen …