Der Blätterteig und das Chaos

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Man nehme ein Stück Teig, rolle es mit dem Wellholz auf die doppelte Länge aus, schneide es dann in zwei Teile und lege diese übereinander, so dass wieder ein Stück Teig mit der ursprünglichen Länge und Dicke entsteht. Allerdings war der Teig anfangs beiderseits mit einer dünnen Schicht Fett („Ziehfett“) bedeckt. Zwischen den aufeinandergelegten Teigschichten halber Dicke befindet sich damit eine Fettschicht.

Man wiederhole die Prozedur aus Ausrollen, Zerschneiden und Aufeinanderlegen (nennen wir sie „Kneten“) nun sehr oft. Dadurch entsteht – bei unveränderter Außengestalt des Teigstücks – eine Vielzahl extrem dünner, fettummantelter Teigschichten. Beim Backen hindert das Fett den Wasserdampf am Austreten, mit dem Effekt, dass der Teig aufgeht und das Endprodukt die vom Feinschmecker so hochgeschätzte blättrige Struktur annimmt.

Nehmen wir an, in dem Ursprungsteig befand sich an der Position x0 eine punktförmige Rosine. Wo ist die Rosine im fertigen Gebäck?

Wer aus der Geschichte einen Krimi machen möchte, darf gerne die Rosine durch ein – punktförmiges – Körnchen eines extrem tödlichen Giftes ersetzen. Der Blätterteig wird vor dem Backen in einzelne Portionen zerteilt, und der Mörder möchte die Giftkapsel so in den Urteig stecken, dass sie am Ende in die letzte Portion gerät. Die pflegt nämlich seine Frau zu vernaschen, bevor sie das ganze Blech in den Verkaufsraum der Bäckerei bringt. Und da der Übeltäter sie auf elegante Weise loswerden will …

Von den köstlichen wie den kriminellen Aspekten der Sache einmal abgesehen: Die scheinbar harmlose Frage nach der Position der Rosine führt mit atemberaubender Geschwindigkeit in die Abgründe der Chaostheorie!

Drücken wir die Arbeit des Bäckers zunächst mathematisch aus. Dazu führen wir Koordinaten ein, und zwar zweckmäßig so, dass das linke Ende vom Teig die Null ist und das rechte die Eins. Nach einmal Ausrollen reicht der Teig von 0 bis 2, wir haben also jeden Punkt x des Teigs mit 2 multipliziert. Zerschneiden und Aufeinanderlegen läuft darauf hinaus, dass die linke Hälfte vom Teig – wo 2x kleiner ist als 1 – unverändert bleibt und die rechte um 1 nach links verschoben wird. Wo also 2x größer ist als 1, ziehen wir genau diese Eins ab. Insgesamt nehmen wir von dem Wert 2x den ganzzahligen Anteil weg, so dass nur noch eine Zahl zwischen 0 und 1 übrigbleibt.

Das lässt sich in eine knackige Formel fassen. Einmal Kneten entspricht der Anwendung einer Funktion f, nennen wir sie „Blätterteigfunktion“, mit der Formel

f(x) = 2x mod 1 .

Dieses „mod“ sieht auf den ersten Blick etwas merkwürdig aus. Man kennt irgendwie a mod b als „den Rest, der bleibt, wenn man a durch b teilt“, und eigentlich sollen a und b ganze Zahlen sein. Durch 1 teilen ist dasselbe wie nichts tun, also ist es sowieso sinnlos, „mod 1“ überhaupt hinzuschreiben?! Schon recht – wenn es um reelle Zahlen geht, muss man die andere Definition heranziehen: a mod b erhält man, indem man von a so oft b abzieht (oder auch addiert), bis das Ergebnis zwischen 0 und b liegt. „mod 1“ heißt also (für positive Zahlen, und nur sie kommen bei unserem Blätterteig vor): Streiche alles, was vor dem Komma steht, und setze statt dessen eine Null vors Komma.

Nach dieser mathematischen Modellierung läuft die Frage nach dem Schicksal der Rosine auf eine einfache Rechenaufgabe hinaus. Von ihrem Ursprungsort x0 gerät sie durch einen Knetakt nach x1=f(x0), beim nächsten Mal nach x2=f(x1)=f(f(x0)), und so weiter. Wer wissen will, wo die Rosine nach zwanzig Runden landen wird, muss halt zwanzigmal hintereinander die Funktion f anwenden: zunächst auf x0, dann auf das Ergebnis und so weiter (die Funktion f „iterieren“). Kein Problem, schon gar nicht bei einer so einfachen Funktion wie f. Wenn wir die Anfangsposition der Rosine kennen, dann kennen wir sie für alle Zeiten; wir können sie ja ausrechnen.

Aber schauen wir uns jetzt an, was mit zwei Rosinen passiert, die wir dicht nebeneinander in den Teig stecken. Bei jedem Ausrollen verdoppelt sich zunächst ihr Abstand; das macht der Faktor 2 in der Funktion f. Das geht nach bescheidenem Anfang rasant auseinander. Nach nur zehn Runden hat sich ihr Abstand ungefähr vertausendfacht (mit dem Faktor 210=1024, um genau zu sein), und noch zehn Runden später ist es bereits das Millionenfache.

Aber so viel Platz ist doch gar nicht im Teig?! Stimmt. Deswegen kommt es irgendwann unweigerlich zu der Situation, dass die eine Rosine in der linken Hälfte landet und ihre Kollegin in der rechten. Durch das Zerschneiden und Aufeinanderlegen geraten die beiden vielleicht sogar näher zusammen als zuvor. Das Entscheidende ist jedoch, dass wir die Kontrolle über den Abstand der Rosinen verloren haben. Ja, wir können jeden Einzelfall nachrechnen. Aber eine allgemeine Aussage der Art „Was zusammen war, bleibt – ungefähr – zusammen“ ist nicht möglich. Selbst wenn wir den Standort der einen Rosine kennen, kann die andere immer noch sonstwo sein.

Das heißt aber auch: Wenn wir die Anfangsposition unserer Rosine nur ungefähr kennen – also gar nicht sagen können, ob sie von den Rosinen des letzten Beispiels auf dem Platz der linken, der rechten oder irgendwo dazwischen gesessen hat –, dann wissen wir nach einer geringen Anzahl von Knetakten praktisch gar nichts mehr über ihren Verbleib. Ein kleiner Unterschied in den Anfangsbedingungen macht einen Riesenunterschied im Ergebnis.

Das ist genau das, was die Rede von dem berühmten „Schmetterlingseffekt“ ausdrücken will. Der Flügelschlag eines Schmetterlings im brasilianischen Regenwald verursacht einen Hurrikan in Texas – oder verhindert ihn. Offiziell heißt das Phänomen „sensitive Abhängigkeit von den Anfangsdaten“; und das wiederum ist eine wesentliche Eigenschaft eines chaotischen Systems.

Aber Vorsicht! Dass sich die Ungenauigkeit mit jedem Schritt verdoppelt: Das allein ist es nicht, was Chaos ausmacht. Machen wir in Gedanken einen Blätterteig aus einem einzigen Blatt. Wir rollen also unseren Teig immer wieder aus, legen aber nie die rechte Hälfte auf die linke. So verdoppelt er bei jedem Schritt seine Länge. Treiben wir die Absurdität noch etwas weiter und verwenden dieses Verfahren, um unsere Rosine zum Mond zu befördern. Abgesehen davon, dass das technisch unmöglich ist, würde sich der Arbeitsaufwand in Grenzen halten. Wenn unser Teigstück zu Beginn 30 Zentimeter lang ist, dann überspannt es nach nur dreißigmal Ausrollen reichlich 109 mal 0,3 Meter, das sind 300000 Kilometer. Damit kommt man unter günstigen Bedingungen gerade so zum Mond, und mit nur einem weiteren Mal Ausrollen schafft man es locker.

So ganz genau können wir unsere Rosine nicht in den Teig stecken; aber eine Abweichung von höchstens einem hundertstel Millimeter (10–5 m) kriegen wir mit einer guten Lupe hin, wenn wir uns etwas Mühe geben. Bei der Ankunft auf dem Mond macht das eine Ungenauigkeit von zehn Kilometer (104 m). Da würde kein Mensch von Chaos reden; vielmehr würde man die Präzision des Apparats bewundern. Der relative Fehler, gemessen an der Gesamtgröße des Objekts, ist ja auch gleich geblieben.

Zum Chaos gehört also nicht nur das Multiplizieren mit 2, das auf die Dauer alle Unterschiede ins Gigantische anwachsen lässt, sondern auch das Zurücklegen des Teigs. Dadurch bleibt nämlich die Gesamtgröße des Systems konstant, und der relative Fehler wächst ins Unermessliche. Einerlei wie genau wir die Anfangsbedingungen festgelegt haben, wir können nach relativ kurzer Zeit über den Systemzustand praktisch gar nichts mehr sagen.

Einen besseren Einblick in die Sache gewinnt man, indem man sich die Brille des Informatikers aufsetzt, sprich das computerübliche Zahlensystem zur Basis 2 (Binärsystem) verwendet. Die Position unserer Rosine ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1; das ist im Binärsystem auszudrücken als Null Komma und dann eine unendliche Folge von Nullen und Einsen. (Im Prinzip nicht anders als in unserem üblichen Dezimalsystem: vor dem Komma eine Null und dahinter eine unendliche Ziffernfolge.)

Multiplizieren mit 2 (Teig ausrollen) heißt das Komma eine Stelle nach rechts verschieben oder, was auf dasselbe hinausläuft, die ganze unendliche Ziffernschlange eine Stelle nach links rücken. Dann kommt die Aktion „modulo 1“ (Teig zerschneiden und zusammenlegen); die ersetzt die eine Ziffer vorm Komma – sei sie 0 oder 1 – durch eine Null. Im Endeffekt tut also die Blätterteigfunktion nichts weiter, als der unendlich langen Ziffernschlange das erste Glied abzuhacken.

Das ist nicht wirklich tragisch – die Schlange ist ja hinterher so unendlich lang wie zuvor. Aber: Wenn wir die Anfangsposition der Rosine nur ungefähr kennen, sagen wir auf 53 Binärstellen genau (das entspricht ungefähr 16 Dezimalstellen und ist die Genauigkeit, mit der die Computer zu rechnen pflegen), dann ist unsere Kenntnis nach nur 53 Knetakten völlig erschöpft. Von der Information, die wir in das System hineinstecken, frisst jede Anwendung der Blätterteigfunktion eine Binärstelle oder kurz ein Bit, die Einheit der Information.

Wir können das Verhalten des Systems für alle Zeiten vorhersagen – wenn wir über unendlich viel Information über seinen Anfangszustand verfügen. Also theoretisch ja, praktisch nie …

Es kommt noch merkwürdiger. Vielleicht erinnern Sie sich daran, wie die Dezimalzahlen im Schulunterricht eingeführt wurden. Wie schreibt man einen Bruch als Dezimalzahl? Es stellt sich heraus, dass die Dezimaldarstellung jedes Bruchs irgendwann periodisch wird, also dieselbe Ziffernfolge unendlich oft wiederholt. (Das schließt den Sonderfall der abbrechenden Dezimalbrüche ein, die nach einer Weile nur noch aus Nullen bestehen.) Rationale Zahlen sind periodische Dezimalbrüche – möglicherweise mit endlich vielen Ziffern davor, die nicht in die Periode passen –; und die überwältigende Mehrheit aller Zahlen ist irrational, das heißt, die Folge ihrer Dezimalziffern wird nie periodisch.

Das ist im Binärsystem nicht prinzipiell anders. Rationale Zahlen sind periodische Binärbrüche. Das heißt, nachdem die Vorperiode erledigt ist, erzeugt die Blätterteigfunktion durch fortgesetztes Abhacken immer wieder dieselben Zahlen. Setzen wir also unsere Rosine auf eine rationale Zahl, dann taucht sie periodisch immer wieder an denselben Stellen auf:

1/7, 2/7, 4/7, 8/7 mod 1 = 1/7, 2/7, 4/7, …

1/5, 2/5, 4/5, 8/5 mod 1 = 3/5, 6/5 mod 1 = 1/5, 2/5, …

Mit etwas mehr Mühe finden wir sogar zu einer vorgegebenen Periode eine Zahl, die diese Periode hat. Das ist doch immerhin eine gewisse Vorhersagbarkeit.

Nur: Wir wissen ja auch, dass rationale und irrationale Zahlen aufs Innigste miteinander vermischt sind. In beliebiger Nähe einer rationalen Zahl liegt stets eine irrationale und umgekehrt. Das heißt, die Inseln der Ordnung in unserem Blätterteigsystem, die rationalen Anfangswerte, sind absolut winzig – punktförmig. Und gleich nebenan schwappt der große Ozean des Chaos.

Spätestens an dieser Stelle wendet sich ein aufrechter Physiker mit Grausen. In einem physikalischen System soll es einen Unterschied machen, ob sein Anfangszustand durch eine rationale oder durch eine irrationale Zahl beschrieben wird? Was für ein Unfug! Und überhaupt: „Dieses Blätterteigsystem ist in höchstem Maße unphysikalisch“, sagt der Physiker – da hat er Recht –, „also sagt es uns nichts über die Natur.“ Und damit liegt er falsch. Aber das ist eine neue Geschichte; die kommt im nächsten Blogbeitrag.

Christoph Pöppe

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten - ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

26 comments

  1. Die Position der Rosine lässt sich nicht allein mit der x-Koordinate bestimmen. Der Kuchen stellt im Querschnitt ein Rechteck dar und bei jedem Ausrollen wandert die Rosine nach rechts, aber gleichzeitig auch nach unten.
    Also wir beginnen bei x = 1/4, die Rosine liegt ein Viertel von 0 entfernt.
    Nach dem 1. Ausrollen wandert die Rosine nach rechts 2 mal 1/4 = 1/2.
    Betrachten wir die y -Koordinate, dann lag die Rosine anfangs oben bei y = 1 . Nach dem Ausrollen liegt die Rosine bei 1 / 2 = 1/2 y

    Beim 2. Ausrollen wandert die Rosine nach rechts , 2 mal 1/2 = 1. Die Rosine hat den rechten Rand erreicht und wird diesen auch niemal mehr verlassen.
    Die y-Koordinate halbiert sich wieder von 1/2 y geteilt 2 = 1/4 y
    Die Koordinaten der Rosine nach dem 2. Ausrollen ist jetzt
    = (1/ 1/4)
    Nach dem 3. Ausrollen wird die Koordinate zu (1 / (1/8))

    Nachtrag.
    Beginnen wir mit der Ausgangsposition x = 0 dann bleibt die Rosine immer bei x = 0 .
    Die Koordinaten sind dann.
    Ausgangspunkt = (0/1)
    1. Ausrollen = (0/ (1/2))
    2. Ausrollen = (0/ (1/4))
    3. Ausrollen = (0/ (1/8))
    Interessant wird es, wenn der Ausgangspunkt x mod 2 ungleich 0 ist.

    Das überlasse ich mal den Anderen.

    • Tja – das ist das Schicksal des Mathematikers, der ein Beispiel aus dem echten Leben heranzieht. Ich rede über Blätterteig, und die Leute glauben, es gehe um Blätterteig. Weit gefehlt! Es geht um eine mathematische Idealisierung von Blätterteig, und sowohl der Konditor als auch der Genießer werden wenig Freude daran haben.
      So gehe ich stillschweigend davon aus, dass der Teig die Dicke 0 hat, oder auch, dass es auf die y-Koordinate nicht ankommt. Wenn man die mitberücksichtigt – na ja, kommt wahrscheinlich auch Chaos in y-Richtung heraus; aber einmal Chaos (dargeboten in einer realitätsfernen Reinform, damit es besser zu verstehen ist) reicht doch eigentlich.
      Und wenn man für den Anfangswert von x eine glatte Zahl einsetzt, landet die Rosine ziemlich rasch an einem Ende vom Teig und bleibt dort stecken. Das ist genau nicht der typische Fall.

  2. Christoph Pöppe schrieb (19. Aug 2020):
    > Man nehme ein Stück Teig, rolle es mit dem Wellholz auf die doppelte Länge aus, […]
    > Drücken wir die Arbeit des Bäckers zunächst mathematisch aus. Dazu führen wir Koordinaten ein, und zwar zweckmäßig

    Da hakt ein aufrechter Physiker gern kommentierend ein; zumal ein von Markus Pössel vor mittlerweile beinahe vier Jahren, 24. September 2016 @ 10:56, in Aussicht gestellter gesonderter [SciLog-]Beitrag zur Frage von Koordinaten und koordinatenfreien Darstellungen, der dafür womöglich noch besser geeignet wäre, leider immer noch auf sich warten lässt:

    Sofern der Zweck des Einführens von (dadurch mehr oder weniger bestimmten) Koordinaten über das bloße individuell-verschiedene Benennen von unterscheidbaren Beteiligten (wie z.B. von unterscheidbaren Teig-Bestandteilen) hinausgeht und insbesondere die “natürlichen” topologischen oder (sogar) metrischen Eigenschaften von reellen Zahlen bzw. Zahlen-Tupeln diesem Zweck (durch eine mehr oder weniger bestimmte Abbildung) dienen sollten,
    müssen die entsprechend abzubildenden Eigenschaften des Gegenstands der Betrachtung zunächst an sich Koordinaten-frei gegeben sein (bzw. durch Messung erhalten werden, was wiederum eine nachvollziehbare Definition der betreffenden Messgröße erfordert).

    Der Zweck des Einführens der Koordinaten müsste ausdrücklich dargelegt werden; und sofern damit eine mehr oder weniger bestimmte Abbildung verbunden sein soll, kann man sich auch gleich unmittelbar mit dem an sich beschäftigen, was durch Koordinaten abgebildet werden sollte.
    Im vorliegenden Fall geht es ja offenbar in erster Linie um (die Messgröße)
    “Länge” oder “Abstand”, bzw. um die Abbildung ihrer Messwerte, oder zumindest von deren Verhältnissen …

    > so, dass das linke Ende vom Teig die Null ist und das rechte die Eins. Nach einmal Ausrollen reicht der Teig von 0 bis 2

    Diese Koordinatenwerte sollen also offenbar nicht nur “das linke Ende” bzw. “das rechte [Ende]” verschieden benennen, sondern Längen- bzw. Abstands-Verhältnisse ausdrücken, die sich ggf. vor und nach dem Ausrollen unterscheiden; insbesondere

    (Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ] /
    Abstand_vom linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) = 1

    und

    (Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ linkes Ende ] /
    Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) = 0

    und

    (Abstand_vom_linken_Ende_nach_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ] /
    Abstand_vom linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) = 2

    und

    (Abstand_vom_linken_Ende_nach_dem_Ausrollen[ linkes Ende ] /
    Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) = 0.

    > wir haben also jeden Punkt x des Teigs mit 2 multipliziert.

    Nö, wir haben bislang bestenfalls eine eins-zu-eins Transformation (“durch Ausrollen”)

    a : [0 ... 1] ↔ [0 ... 2]

    mit den beiden Festlegungen, dass insbesondere

    a[ 0 ] ↦ 0 und a[ 1 ] ↦ 2.

    Aber vielleicht soll der Teig ja gerade so ausgerollt werden, dass für jeden einzelnen unterscheidbaren seiner Bestandteile T gilt:

    (Abstand_vom_linken_Ende_nach_dem_Ausrollen[ T ] /
    Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) =
    2 (Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ T ] /
    Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ])
    ;

    und vielleicht sollen die erwähnten Koordinaten ja außerdem den Zweck erfüllen, auch diese Abstandsverhältnisse für jeden beliebigen Bestandteil T des Teigs maßstäblich abzubilden.

    > […] schneide es dann in zwei Teile und lege diese übereinander, so dass wieder ein Stück Teig mit der ursprünglichen Länge und Dicke entsteht. […] Das lässt sich in eine knackige Formel fassen. […] f(x) = 2 x mod 1.

    An dieser Stelle dürften Blätterteigbäcker, die ihr Ziehfett wert sind, einwenden, dass der ausgerollte Teig anschließend praktischerweise nicht zerschnitten sondern jeweils (einmal) umgeschlagen werden sollte, um wieder ein Stück Teig mit der ursprünglichen Länge und Dicke entstehen zu lassen. Das lässt sich anhand des selben beschriebenen maßstäblich Abstands-Verhältnisses x wohl am knackigsten so ausdrücken:

    u[ x ] = 2 x - (4 x - 2) (2 x - Mod[ 2 x, 1 ]).

    p.s.
    SciLogs-Kommentar-HTML-Test:
    “x<sup>0</sup>” wird dargestellt als: “x0”.

    p.p.s.
    SciLogs-Kommentar-LaTeX-Test:
    “\( x_0 \)” wird dargestellt als: “\( x_0 \)”.

    • Tja – es geht eben nicht um echten (physikalischen) Blätterteig, sondern um idealisierten (vgl. meine Replik zum vorigen Kommentar).
      Und erzählen Sie mir nicht, dass Teig aus Atomen besteht und Rosinen niemals punktförmig sind! Das stimmt zwar, tut aber dem Chaos, um das es hier geht, keinen nennenswerten Abbruch. Macht allerdings die Sache um Klassen komplizierter.
      Ja, ich habe stillschweigend unterstellt, dass der – idealisierte – Teig streng linear gestreckt wird. Diesem Ideal kommt ein Meister mit gut geführtem Wellholz schon recht nahe; sonst hätte der ausgerollte Teig nicht-konstante Dicke. Aber ich gehe ja sowieso von Dicke 0 aus …
      Ja, die Physiker meiden Koordinaten, wo es geht, mit gutem Grund. Das erinnert mich an Übungen zu Theoretische Physik I (schon eine Weile her), wo der Übungsleiter die Hände überm Kopf zusammenschlug, weil ich irgendetwas mit dem Kreuzprodukt mit der Koordinatendefinition ausrechnete (und, wenn auch sehr mühsam, zum Ziel kam), wo ich von gewissen Sätzen über das Kreuzprodukt hätte Gebrauch machen sollen.
      Hier habe ich einen guten, allerdings unphysikalischen, Grund, Koordinaten zu verwenden. Dadurch kommt nämlich auf elegante Weise der informationstheoretische Aspekt ins Spiel. (Den könnte man auch koordinatenfrei formulieren, das wird aber äußerst umständlich.)
      Ja, und ein echter Konditor schneidet den Teig nicht, sondern klappt die eine Hälfte über die andere. Stimmt auch, tut aber nichts am Chaos. Das erkläre ich im nächsten Blog – etwas Geduld bitte.

  3. Christoph Pöppe schrieb (19. Aug 2020):
    > Man nehme ein Stück Teig, rolle es mit dem Wellholz auf die doppelte Länge aus, […]
    > Drücken wir die Arbeit des Bäckers zunächst mathematisch aus. Dazu führen wir Koordinaten ein, und zwar zweckmäßig

    Da hakt ein aufrechter Physiker gern kommentierend ein; zumal ein von Markus Pössel vor mittlerweile beinahe vier Jahren, 24. September 2016 @ 10:56, in Aussicht gestellter gesonderter [SciLog-]Beitrag zur Frage von Koordinaten und koordinatenfreien Darstellungen, der dafür womöglich noch besser geeignet wäre, leider immer noch auf sich warten lässt:

    Sofern der Zweck des Einführens von (dadurch mehr oder weniger bestimmten) Koordinaten über das bloße individuell-verschiedene Benennen von unterscheidbaren Beteiligten (wie z.B. von unterscheidbaren Teig-Bestandteilen) hinausgeht und insbesondere die “natürlichen” topologischen oder (sogar) metrischen Eigenschaften von reellen Zahlen bzw. Zahlen-Tupeln diesem Zweck (durch eine mehr oder weniger bestimmte Abbildung) dienen sollten,
    müssen die entsprechend abzubildenden Eigenschaften des Gegenstands der Betrachtung zunächst an sich Koordinaten-frei gegeben sein (bzw. durch Messung erhalten werden, was wiederum eine nachvollziehbare Definition der betreffenden Messgröße erfordert).

    Der Zweck des Einführens der Koordinaten müsste ausdrücklich dargelegt werden; und sofern damit eine mehr oder weniger bestimmte Abbildung verbunden sein soll, kann man sich auch gleich unmittelbar mit dem an sich beschäftigen, was durch Koordinaten abgebildet werden sollte.
    Im vorliegenden Fall geht es ja offenbar in erster Linie um (die Messgröße) “Länge” oder “Abstand”, bzw. um die Abbildung ihrer Messwerte, oder zumindest von deren Verhältnissen …

    > so, dass das linke Ende vom Teig die Null ist und das rechte die Eins. Nach einmal Ausrollen reicht der Teig von 0 bis 2

    Diese Koordinatenwerte sollen also offenbar nicht nur “das linke Ende” bzw. “das rechte [Ende]” verschieden benennen, sondern Längen- bzw. Abstands-Verhältnisse ausdrücken, die sich ggf. vor und nach dem Ausrollen unterscheiden; insbesondere

    (Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ] /
    Abstand_vom linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) = 1

    und

    (Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ linkes Ende ] /
    Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) = 0

    und

    (Abstand_vom_linken_Ende_nach_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ] /
    Abstand_vom linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) = 2

    und

    (Abstand_vom_linken_Ende_nach_dem_Ausrollen[ linkes Ende ] /
    Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) = 0.

    > wir haben also jeden Punkt x des Teigs mit 2 multipliziert.

    Nö, wir haben bislang bestenfalls eine eins-zu-eins Transformation (“durch Ausrollen”)

    a : [0 ... 1] ↔ [0 ... 2]

    mit den beiden Festlegungen, dass insbesondere

    a[ 0 ] ↦ 0 und a[ 1 ] ↦ 2.

    Aber vielleicht soll der Teig ja gerade so ausgerollt werden, dass für jeden einzelnen unterscheidbaren seiner Bestandteile T gilt:

    (Abstand_vom_linken_Ende_nach_dem_Ausrollen[ T ] /
    Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ]) =
    2 (Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ T ] /
    Abstand_vom_linken_Ende_vor_dem_Ausrollen[ rechtes Ende ])
    ;

    und vielleicht sollen die erwähnten Koordinaten ja außerdem den Zweck erfüllen, auch diese Abstands-Verhältnisse für jeden beliebigen Bestandteil T des Teigs maßstäblich abzubilden.

    > […] schneide es dann in zwei Teile und lege diese übereinander, so dass wieder ein Stück Teig mit der ursprünglichen Länge und Dicke entsteht. […] Das lässt sich in eine knackige Formel fassen. […]
    f(x) = 2 x mod 1.

    An dieser Stelle dürften Blätterteigbäcker, die ihr Ziehfett wert sind, einwenden, dass der ausgerollte Teig anschließend praktischerweise nicht zerschnitten sondern jeweils (einmal) umgeschlagen werden sollte, um wieder ein Stück Teig mit der ursprünglichen Länge und Dicke entstehen zu lassen. Das lässt sich anhand des selben beschriebenen maßstäblich Abstands-Verhältnisses x wohl am knackigsten so ausdrücken:

    u[ x ] = 2 x - (4 x - 2) (2 x - Mod[ 2 x, 1 ]).

    p.s.
    SciLogs-Kommentar-HTML-Test:
    “x<sup>0</sup>” wird dargestellt als: “x0”.

    p.p.s.
    SciLogs-Kommentar-LaTeX-Test:
    “\( x_0 \)” wird dargestellt als: “\( x_0 \)”.

  4. @Christoph Pöppe

    »Wir können das Verhalten des Systems für alle Zeiten vorhersagen – wenn wir über unendlich viel Information über seinen Anfangszustand verfügen. Also theoretisch ja, praktisch nie …«

    Das liest sich jetzt so, als sei es nur ein praktisch unlösbares Problem, die Trajektorie für ein beliebiges \(x_0\) unter der Iteration von \(f\) vorherzusagen, sodass e.g. ein hypothetischer Laplacescher Daemon mit unbegrenzter Computing Power das durchaus noch könnte.

    Mit Hinweis auf Alan Turing — auch so ein Daemon könnte das nur für berechenbare Zahlen \(x_0\). Berechenbar sind ausser den rationalen noch die algebraischen sowie einige transzendente Zahlen, darunter prominent die Eulersche Zahl \(e\) und die Kreiszahl \(\pi\). Die Teilmenge der berechenbaren Zahlen ist noch immer abzählbar, fast alle reellen Zahlen sind unberechenbar.

    Ein generisches \(x_0\) ist also unberechenbar, und da kann auch der Daemon nicht wissen, was genau als nächstes passiert, bevor es passiert. Die erforderliche Information ist einfach nicht im System enthalten, sie wird erst durch die Anwendung von \(f\) generiert, vergleichbar damit, wie bei einem stochastischen dynamischen System Information etwa durch einen fairen Münzwurf generiert wird, dessen Ergebnis der Daemon auch nicht vorab wissen kann.

    Obwohl es so unvorstellbar viele unberechenbare Zahlen zwischen 0 und 1 gibt, werden wohl die wenigsten aufrechten Physiker auch nur eine einzige davon nennen können, ohne zu googeln.

    • Chrys schrieb (19.08.2020, 22:27 o’clock):
      > […] Obwohl es so unvorstellbar viele unberechenbare Zahlen zwischen 0 und 1 gibt, werden wohl die wenigsten aufrechten Physiker auch nur eine einzige davon nennen können, ohne zu googeln.

      “Die erste unberechenbare Zahl, die (unserem (materiell-Punkt-gestaltigem) Orakel) Chrys dazu einfällt.”

      Ob sich allerdings eine konkret gegebene Funktion \(f : (0 … 1) \rightarrow (0 … 1) \) darauf anwenden ließe und einen bestimmten informativen (und das heißt wohl: mit berechenbaren Zahlen vergleichbaren, also kommensurablen) Funktionswert hervorbrächte … ist wohl noch nicht ganz ausgebacken.

  5. Christoph Pöppe schrieb (19.08.2020, 19:57 o’clock):
    > […] Ja, die Physiker meiden Koordinaten, wo es geht, mit gutem Grund.

    Ich würde es sehr begrüßen, wenn diese Auffassung in einem SciLog bald ausführlich dargelegt und zur Barriere-freien Diskussion gestellt würde
    (anstatt in diversen “Physik”-SciLogs über Geduld-strapazierende Jahre hinweg bestritten oder sabotiert zu werden);
    und insbesondere gerne hinsichtlich jener in der Physik wesentlichen Messungen bzw. Konstatierungen, die bekanntlich »auf die Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenz hinauslaufen«.

    > Hier habe ich einen guten, allerdings unphysikalischen, Grund, Koordinaten zu verwenden. Dadurch kommt nämlich auf elegante Weise der informationstheoretische Aspekt ins Spiel. (Den könnte man auch koordinatenfrei formulieren, das wird aber äußerst umständlich.)

    Es wäre ja damit getan, den Parameter \(x\) als (das im vorausgehenden Kommentar bereits gezeigte) Abstandsverhältnis einzuführen, anstatt als “irgendeine Koordinate” (wie im obigen SciLog-Beitrag). …

    Das selbstgewählte und insofern verzeihliche Elend der (“reinen”) Mathematiker ist nun mal, sich nicht darum kümmern zu wollen und insofern auch nicht zu müssen, wie entsprechende Werte allein aus Koinzidenz-Bestimmungen konkret und nachvollziehbar und einvernehmlich und also wirklich zu ermitteln wären. (Sich stattdessen auf “Bäckermeister, die ihr Nudelholz gut führen” herausreden zu wollen, ist ja nur vergleichbar peinlich und unbrauchbar wie EPS’s Unterstellung von “freien Testpartikeln” als vermeintlich axiomatisch-selbstverständlichem Begriff. …)

    > […] im nächsten Blog – etwas Geduld bitte.

    Daran habe ich zugegebenermaßen nur beiläufiges Interesse; aber immerhin genug, dass ich (wieder mal) an den Kleinen Fermatschen Satz erinnert wurde. (Auch dafür schon mal vielen Dank.)

    p.s.
    Ich begrüße es auch, dass \(\LaTeX\) hier offenbar von vornherein verwendbar ist (auch wenn die Kommentarvorschau dafür bislang leider keine Vorschau leistet). Das verkompliziert allerdings die Versuche zu dokumentieren, welche “Backslash-und-Klammer”-Setzungen dafür erforderlich sind.

  6. Ein Ausflug in die Technik:
    Das Schwert des Highlanders muss nur 26 mal gefaltet werden, um von 1 Zentimeter Dicke auf die atomare Schichtdicke von 0,15 Nanometer herunter zu kommen.
    Dadurch wird aus dem polykristallinen Metall eine glasartig ungeordnete Struktur, die bei Schwertkämpfen die Riss-Ausbreitung erschwert.
    Denn: Es kann nur einen geben.

  7. Ch.Pöppe,
    gönnen Sie doch einem Physiker den Kuchen.
    Erstmal eine Korrektur zum ersten Beitrag. Es muss heißen “Wenn 1/x mod 2 ungleich 0 dann wird der Fall interessanter.

    Eine Unterscheidung zwischen Chaos und Unendlichkeit sei angemerkt. Was Sie Chaos nennen ist einfach nur die Unmöglichkeit alle Nachkommastellen anzugeben und damit in der Lebenszeit eines Menschen zu rechnen. Ein mathematischer Dämon könnte das.

    Chrys hat es ja schon angedeutet, wenn x irrational ist, z.B x = Wurzel 2 – 1, dann gibt es unendlich viele Möglichkeiten die Rosine zwischen 0 und 1 zu plazieren.

    Guten Appetit !

    Karl Bednarik
    Wenn der Highlander 27 mal faltet, dann muss er sich Lowländer nennen.

    • Erstmal eine Korrektur zum ersten Beitrag. Es muss heißen “Wenn 1/x mod 2 ungleich 0 dann wird der Fall interessanter.

      Ich glaube, Sie meinten: Wenn y mod 2 ungleich null ist, dann wird der Fall x0= 1/y interessanter.
      Oder einfacher ausgedrückt: Wenn man die Rosine auf 1 geteilt durch eine ungerade Zahl setzt, landet sie nicht nach wenigen Schritten am rechten oder linken Rand.
      Stimmt; aber das Kriterium erfasst die Sache nicht so ganz. Am Rand landen nur die Anfangswerte der Gestalt 1 durch eine Zweierpotenz. Und erst wenn man nicht eine rationale Zahl wählt, wird es richtig chaotisch.
      Das mit dem Laplace’schen Dämon finde ich bemerkenswert. Der Typ ist ja vollkommen fiktiv, aber die Meinungen darüber, was er kann, gehen auseinander. Wenn er sich unendlich viele Binärziffern merken kann, kennt er auch die Zukunft der Rosine für alle Zeiten. Wenn er nur berechenbare Funktionen berechnen kann – na ja, dann ist er irgendwie endlich und schon deutlich weniger dämonisch.

  8. @Frank Wappler / 19.08.2020, 23:52 o’clock

    »“Die erste unberechenbare Zahl, die … Chrys dazu einfällt.”«

    Okay, Smarty, einen materiell punkt-gestaltigen Punkt kriegst Du von mir dafür. Die erste mir einfallende unberechenbare Zahl heisst übrigens \(\Omega\).

    Der aufrechte Physiker mag aus Gewohnheit in der \(f\)-Dynamik ein Modell für das Backen von Blätterteig zu sehen geneigt sein, wohingegen der aufrechte Mathematiker das Backen von Blätterteig hier eher als eine exemplarische Metapher zur Illustration der \(f\)-Dynamik begreift. So kommt’s wohl, dass man bisweilen einander nicht recht versteht…

    »(und das [informativ] heißt wohl: mit berechenbaren Zahlen vergleichbaren, also kommensurablen) …«

    Ein informationstheortischer Aspekt ergibt sich daraus, dass das dynamische Blätterteig-System eine positive metrische Entropie (Kolmogorov-Sinai) hat. Was sich darin ausdrückt, dass hier entlang des \(f\)-Orbits eines generischen (d.h., unberechenbaren) \(x_0\) pro Iteration genau ein bit an Information generiert wird, wodurch die deterministische Dynamik dieses Systems ähnlich unvorhersagbar wird wie die stochastische Dynamik eines random walk mit fairen Münzwürfen, won denen jeder ein bit an Information generiert.

  9. Christoph Pöppe,
    der Dämon ist nicht von dieser Welt. Die Aussage, “wenn er sich alle Binärziffern merken kann” ist ein Widerspruch in sich. Alle Binärziffern suggeriert, dass es eine letzte Ziffer geben muss. Wie heißt die ? 0 oder 1.
    Anmerkung : der russische Mathematiker Uspenski hat ein Rechenverfahren erdacht, dass die letzten Ziffern eines unendlichen Dezimalbruches anzeigt, Als Beispiel 1/6. Die Rechnung zeigt dann 6,6,6……….
    Diese Sechser sind das Ende des Teilungsergebnisses. An den Anfang in Richtung Komma gelangt man aber nie !!

    Irgendwie verrückt oder dämonisch. Man kann auch sagen, die Phantasie toppt die mathematische Logik.

  10. Chrys schrieb (20.08.2020, 13:44 o’clock):
    > [… »“Die erste unberechenbare Zahl, die … Chrys dazu einfällt.”«« …] Okay, Smarty, […] Die erste mir einfallende unberechenbare Zahl […]

    Ich sehe jedenfalls meine Absicht verwirklicht (und bin entsprechend erleichtert), dass an dieser Stelle nicht etwa geantwortet wurde:

    »Was soll denn “Die erste” heißen ? — Zu jedem Einfall einer bestimmten unberechenbaren Zahl, den ich (im Anschluss an Deine Anfrage, dazu) gehabt habe, hatte ich vorher schon massenhaft Einfälle anderer bestimmter unberechenbaren Zahlen (im Anschluss an Deine Anfrage, dazu)!«

    Oder gar:

    »Was soll denn “Die erste” heißen ? — Meine unterscheidbaren Einfälle von verschiedenen jeweils bestimmten unberechenbaren Zahlen sind doch überhaupt keine Teilmenge meiner geordneten Menge von Anzeigen!

    … worauf mindestens einer von uns beiden dumm aus der Wäsche geschaut hätte.

    > […] heisst übrigens \(\Omega\).

    Im Interesse der vollständigen Offenlegung gebe ich zu, dass heute (inzwischen: gestern) tagsüber doch mal gegoogelt habe; was mich letztlich daran erinnerte, dass “unberechenbar” nicht “undefiniert” bedeuten soll. Mir ist dabei auch aufgefallen, dass ich die Kampagne vom August 2014 leider wegen Urlaub verpasst habe. Unabhängig davon habe ich meine Auffassung zu diesem Thema im Wesentlichen im Dezember 2015 dargelegt.

    p.s.
    > […] dass hier entlang des \(f\)-Orbits eines generischen (d.h., unberechenbaren) [Anfangs-Argumentes] \(x_0\) pro Iteration genau ein bit an Information generiert wird […]

    Dieser Formulierung folgend, lassen sich informationstheoretische Aspekte einer Messgröße (bzw. der Theorie, die sie definiert) und eines Modells (bzw. der davon zusammengefassten Messwerte) folgendermaßen gegenüberstellen:

    – dass durch Anwendung eines bestimmten Messoperators auf gegebene Beobachtungsdaten pro (gültigem) Versuch genau ein Messwert (aus dem Wertebereich dieser Messgröße) generiert wird, und

    – dass von einem Modell pro (gültigem) Versuch genau ein Messwert einer bestimmten Messgröße (schon) erfasst oder (noch) vorhergesagt wird.

  11. In Order out of Chaos machen Prigogine und Stengers eine Anmerkung, die ich in den scharfsinnigen Kommentaren nicht gefunden habe:

    Betrachtet man einen einzelnen Punkt ist die Bäckertransformation deterministisch.

    Anders verhält sich ein Gebiet endlicher Ausdehnung. Egal wie klein es auch sein mag wird es letztlich zerbröselt.

  12. Bei der Zahldarstellung von Irrationalzahlen haben wir ja das Problem, dass die Nachkommastellen unendlich sind.
    Um das zu umgehen , bin ich auf die Kettenbruchdarstellung gestoßen, wo z.B. Wurzel 2 = 1 + [ 2,2,2, ……] geschrieben wird.
    Die dazugehörige Entwicklungsgleichung lautet y² + 2y = 1

    Wenn wir also bei unserer Rosine anfangs die Rosine auf Wurzel 2 mod 1 setzen, dann sind alle nachfolgenden Faltungen n mal Wurzel 2 mod 1. richtig ?

    Frage : Kann man die Entwicklungsgleichung, die die Nachkommastellen von Wurzel 2 liefert, so abändern, dass wir bei der Kettenbruchentwicklung sofort die richtigen Nachkommastellen von n mal Wurzel 2 mod 1 bekommen ?

  13. Karl Mistelberger schrieb (21.08.2020, 08:55 o’clock):
    > […] Betrachtet man einen einzelnen Punkt ist die Bäckertransformation deterministisch.

    Jedenfalls:
    Betrachtet man eine einzelne berechenbare Zahl (als Argument einer algebraisch-berechenbar gegebenen “Bäckertransformation”,
    sei es
    x ↦ Mod[ 2 x, 1 ]
    oder
    x ↦ 2 x - (4 x - 2) (2 x - Mod[ 2 x, 1 ])
    oder manch andere), so ist auch deren jeweiliger Funktionswert berechenbar.

    Hinsichtlich der Bezeichnung für eventuelle andere Argumente (die z.B. Chrys noch eingefallen sein mögen) und/oder andere (meinetwegen “meisterliche”) Backverfahren (Stichwort/Metapher: “den Teig ruhen lassen” bzw. “den Teig gehen lassen”) bin ich jedoch unschlüssig …

    > Anders verhält sich ein Gebiet endlicher Ausdehnung.

    “Berechenbar” bliebe jedenfalls “berechenbar”.
    Aber gut: “mehrere verschiedene Argumente” ist natürlich ganz grundsätzlich/qualitativ etwas anderes als “nur ein bestimmtes Argument”.

    > Egal wie klein es auch sein mag wird es letztlich zerbröselt.

    Je drei verschiedene Argumente, die zunächst (wie es reelle Zahlen-Tripel nun mal an sich haben) in einer bestimmten “natürlichen” Reihenfolge geordnet waren (mit “einem bestimmten zwischen den beiden anderen”) würden durch hinreichend häufiges Kneten “auf ihren Knet-Orbits umsortiert” (mit “dem, das zuerst dazwischen war, nun an einer Seite”).
    Es sei denn, sie (zwei, oder sogar alle drei) würden vorher aufeinander fallen …

    Ob und inwiefern dadurch etwas abgebildet wäre, was (manche) Bäcker (manchmal) erreichen könnten, hinge u.a. davon ab,

    – ob und wie die Teigbestandteile ebenfalls geordnet werden könnten. (Das könnte z.B. anhand gemessener Abstandsverhältnisse gelingen.), und

    – wie diesen Teigbestandteilen verschiedene reelle Zahlen als Koordinaten zugeordnet wurden. (Um insbesondere eine “monotone” Zuordnung zu gewährleisten, müsste natürlich die Reihenfolge der Teigbestandteile zuerst allein für sich ermittelt bzw. gemessen worden sein!)

  14. @Frank Wappler / 21.08.2020, 00:57 o’clock

    Auf die Schnelle hier noch ein Link als barrierefreier Einstieg zur Klärung diverser Aspekte:

    Ornstein, D. S. (1989). Ergodic theory, randomness, and “chaos”. Science, 243(4888), 182-187. [PDF]

    1) Die baker’s transformation dort ist zwar nicht die “Blätterteigfunktion” hier, doch die sind sich qualitativ ähnlich genug, und die wesentlichen Aussagen zu übertragen. Schliesslich geht’s ja in beiden Fällen um Backwerk. 😉

    2) Der Bezug zur Informationstheorie steckt letztlich darin, dass die metrische Entropie dynamischer Systeme nach dem gleichen Muster gestrickt ist wie die Shannon Entropie. Im Unterschied dazu wird die topologische Entropie dynamischer Systeme nicht info.-theoretisch definiert, wenngleich es eine Beziehung zwischen metr. und topolog. Entropie gibt (was hier jedoch nicht vorrangig interessieren muss).

    • Chrys schrieb (21.08.2020, 14:11 o’clock):
      > Auf die Schnelle hier noch ein Link als barrierefreier Einstieg zur Klärung diverser Aspekte:
      > Ornstein, D. S. (1989). Ergodic theory, randomness, and “chaos”. Science, 243(4888), 182-187. [PDF] […]

      Danke, aber: einen Einstieg in die Klärung der Frage Koordinaten-freier Darstellungen (bzw. “Wie bestimmte Mengen anhand bestimmter Eigenschaften ihrer Elemente an bestimmte sogenannte »endowments« gelangen könnten, derer sich bestimmte Mengen reeller Zahlen-Tupel ganz von selbst erfreuen”), kann ich darin leider nicht erkennen.

      p.s.
      > […] die topologische Entropie dynamischer Systeme […]

      … find ich ja an sich ganz nett; wobei mir nicht unmittelbar einleuchtet, dass »das Sumpremum aller Werte \(H[ \, f, C \, ]\) für (die gegebene Funktion \(f\) und) alle möglichen endlichen Überdeckungen \(C\) des gegebenen topologischen Raumes \(X\)« überhaupt einen endlichen Wert haben könnte oder gar müsste.

      Es fällt (mir) auch auf, dass dafür “stetige” Funktionen \(f\) genommen werden sollen. Schließlich unterscheiden Bäcker ja auch “den Teig” vom Mehl oder sonstigen Streuseln.

  15. @Christoph Pöppe / Daemonen

    Nehmen Sie doch einfach den Daemon ad hoc als einen idealen Rechner, für den all jene praktischen Beschränkungen nicht gelten, die Sie meinten, als Sie schrieben »theoretisch ja, praktisch nie …«

    Mit anderen Worten, ein solcher Daemon kann die Binärdarstellung einer reellen Zahl genau dann angeben, wenn es theoretisch möglich ist, sie anzugeben.

    Den \(f\)-Orbit einer bei \(x_0\) plazierten Rosine kann der Daemon nur dann vorhersagen, wenn er irgendwie zur Binärdarstellung von \(x_0\) gelangen kann. Wie man sieht, einige scheinen hier zu denken, der Daemon müsse ein generelles Problem mit irrationalen \(x_0\) haben, während andere offenbar dazu tendieren, er habe da bei seiner Befähigung überhaupt keine Schwierigkeiten, weil das System doch deterministisch ist.

    Tatsächlich hätte der Daemon beispielsweise kein Problem mit \(x_0 = \sqrt{2}\bmod{1}\), obwohl irrational, während ihm bei einem unberechenbaren \(x_0 = \Omega\) keine noch so dämonische Rechenfertigkeit auch nur bit weiterhilft.

  16. @Frank Wappler / 25.08.2020, 11:51 o’clock

    Worin genau meinst Du denn, im fraglichen Kontext ein Problem »Koordinaten-freier Darstellungen« zu erkennen?

    Auch wenn im Blogtext die Geschichte mit dem Teig beginnt und dann zum Abstrakten kommt, ist es doch gerade anders herum: Der Blätterteig dient hier zur (physiker- oder laientauglichen) Veranschaulichung eines abstrakten dynamischen Systems, def. durch die Iteration einer Abb. \(f : \mathbb{R}/\mathbb{Z} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z}\), welches ein nützliches toy model zur Illustration von determinist. “Chaos” darstellt.

    Ob anschaulich oder abstrakt — die Dynamik ist so oder so ein algorithmisch ablaufender Prozess. Das Kneten von Blätterteig ist schliesslich kein naturgesetzl. Phänomen, das ganz von selbst eintritt, und wofür man zwecks deduktiv-nomologischer Erklärung nach etwas von der Art der Maxwellschen Gleichungen suchen müsste. Und forderst Du etwa Koordinaten-Freiheit für Algorithmen?

  17. Chrys schrieb (27.08.2020,14:10 o’clock):
    > […] Frank Wappler […] Worin genau meinst Du denn, im fraglichen Kontext ein Problem »Koordinaten-freier Darstellungen« zu erkennen?

    Im Kontext des obigen SciLog-Artikels (Stichwort: “Länge” und “Dazu führen wir Koordinaten ein, und zwar zweckmäßig so, dass […]”) und der damit verbundenen Thematik, die ich aus diesem Anlass oben (19.08.2020,15:26 o’clock) einmal mehr öffentlich erwähnt habe, weil Markus Pössel diesbezüglich interessierte Leser seit beinahe vier Jahren auf die Folter spannt bzw. an der Nase herumführt, ist das Problem schlicht:

    Wie sollen aus hinreichenden gegebenen Koinzidenz-Bestimmungen (vorrangig und insbesondere: “materieller Punkte”) konkrete so genannte “zeit-räumliche” Bewertungen dieser Koinzidenz-Ereignis-Menge gewonnen werden, die dann wiederum durch bestimmte Zuordnung von Koordinaten womöglich “stetig” oder (sogar) “glatt” oder (sogar) “proportional” abgebildet werden könnten ??

    Konketer (und weil dankenswerter Weise hier die Notationsweise unterstützt wird, die mir leichtfällt):

    Gegeben eine Ereignismenge \(\mathcal E\), deren Elemente wiederum bestimmte Mengen sind, in denen jeweils aufgelistet ist, welche verschiedenen indentifizierbaren Beteiligten (materiellen Punkte) zusammen an jeweils einem Koinzidenzereignis teilgenommen hatten, also beispielhaft
    \( \mathcal E \equiv \{ \, \{ A, P \}, \{ A, K \}, \{ B, Q \}, \{ A, J \}, \{ B, P \}, \{ F, Q \}, \\
    \text{uvam., aber jedenfalls auch nicht “alle beliebigen”} \} \, \):

    Wie, im algorithmischen Detail, sind allein daraus zumindest auf einer nicht-leeren Teilmenge \(\mathcal S \subset \mathcal E\) die Werte der entsprechenden Lorentzschen Distanzen
    \( \ell : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R^+ \)
    (natürlich nun bis auf eine gemeinsame, von Null verschiedene Konstante)
    zu bestimmen ??

    Und, bitteschön!, natürlich ohne dafür à la EPS von vornherein zusätzlich raten oder anweisen zu müssen, ob und welche der in den Elementen der Ereignismenge \(\mathcal E\) genannten Beteiligten (materiellen Punkte) dabei in dem einen oder anderen oder in mehreren bestimmten dieser Ereignisse (oder gar “dazwischen”) “frei” gewesen wären.

    (Nach etlichen Jahren unserer gelegentlichen SciLogs-Korrespondenz wird die diese Problemstellung doch nicht etwa neu sein ?!? …)

    > Und forderst Du etwa Koordinaten-Freiheit für Algorithmen?

    Für Messgrößen, deren Definition jeweils als Algorithmus angegeben oder verstanden werden kann, selbstverständlich.

    • p.s.
      Berichtigung

      – eines wesentlichen (sachlich entstellenden) Schreibfehlers:

      … die Werte der entsprechenden Lorentzschen Distanzen
      \( \ell : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R_{(\ge 0)}\) \cup \(\infty\} \) …

      – und zweier kaum erwähnenswerter (die sich so gut wie von selbst richtigstellen):

      … (natürlich nur bis auf eine gemeinsame, von Null verschiedene Konstante) …

      und

      … (Nach etlichen Jahren unserer gelegentlichen SciLogs-Korrespondenz wird Dir diese Problemstellung doch nicht etwa neu sein ?!? …).

      • p.s.
        Berichtigung

        – eines wesentlichen (sachlich entstellenden) Schreibfehlers:

        … die Werte der entsprechenden Lorentzschen Distanzen
        \( \ell : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R_{(\ge 0)} \cup \{ \infty^+ \} \) …

  18. @Frank Wappler / 28.08.2020, 15:51 o’clock

    Wer über ein halbwegs solides Maturawissen verfügt, hat vermutlich irgendwann gelernt, dass die Einführung von Koordinaten den Weg von der anschaulich konstruktiven Geometrie mit Zirkel und Lineal zur analytischen Geometrie ebnet. Und jemand mit diesem Vorwissen im Hinterkopf sollte auch noch folgen können, wenn hier (im Blogbeitrag) Koordinaten ins Spiel gebracht werden, um auf vergleichbare Weise von einem anschaulich handwerklichen Vorgang des Knetens zu einem algorithmischen Prozess zu kommen, der auch als Rechenoperation interpretiert werden kann.

    Der Physiker-Jargon mit einer Gleichsetzung “Koordinaten” = “Sicht eines Beobachters” gehört nicht zum gängigen Maturawissen. Das habe ich erst beiläufig im ersten Studienjahr kapiert, dass die so reden, und die sind sich ihrer Sprechweisen meist auch nicht bewusst. Das methodische Problem der Physiker, ausgehend von Beobachtungen eines Phänomens zu Konstatierungen zu gelangen, die unabhängig von der Perspektive individueller Beobacher (d.h. intersubjektiv resp. koordinaten-unabhängig) gelten, stellt sich beim handwerklichen Kneten von Blätterteig allerdings nicht, und dieser Jargon ist daher für dieses Szenario dann auch ziemlich unangebracht. Denn was dabei passiert, wird ja von vornherein als ein geordneter Handlungsablauf (ohne Koordinaten) dargelegt, das muss nicht erst aus Observationen herausdestilliert werden.

    Zudem können wir am Ende des Blogartikels noch lesen:

    Und überhaupt: „Dieses Blätterteigsystem ist in höchstem Maße unphysikalisch“, sagt der Physiker – da hat er Recht…

    Klar, es geht hier nur vordergründig um Blätterteig — eben zur Motivation für ein Beispiel eines extrem simplen dynamischen Systems mit einer dennoch extrem verwickelten Orbitstruktur. Im übrigen waren es ja auch nicht die Physiker, die uns mittels Observationen erstmals ein derart chaotisches Verhalten offenbart und zu Bewusstsein gebracht haben.

  19. Chrys schrieb (30.08.2020,13:20 o’clock):
    > Wer über ein halbwegs solides Maturawissen verfügt, hat vermutlich irgendwann gelernt, dass die Einführung von Koordinaten den Weg von der anschaulich konstruktiven Geometrie mit Zirkel und Lineal zur analytischen Geometrie ebnet.

    Bestimmt.
    Wer solchen Lehrstoff aber (womöglich erst längst nach dem “ersten Hinunterschlucken”) mit gewisser Selbständigkeit und Neugier (wenn nicht gar Reife) “nochmals durchkaut” (wie es z.B. manche machen, die nicht nur lernen, sondern wiederum ruhigen Gewissens lehren wollen), mag sich fragen, was das überhaupt sein soll: “Zirkel” bzw. “Lineal”.

    Sind ausnahmslos alle Paare von jeweils zwei “Spitzen” (anschaulich: stock photograph “[[Compass_(drawing_tool)]]”) ein “Zirkel” ??
    Sind ausnahmslos alle (mehr-Elementige) Mengen von “dunklen Strichen” (oder womöglich nur: jeweils einem ihrer Enden ?) ein “Lineal”, wie sehr anschaulich und erklärtermaßen z.B. dieses ??

    Oder sollten es nur manche, ggf. besondere bzw. von Fall zu Fall besonders ausgewählte solcher “Spitzen”-Paare bzw. “Strich(-Enden)”-Mengen sein ?!?
    Falls so:
    Was genau wäre denn der konkrete Auswahl-Algorithmus, die konkrete Konstruktion, um aus allen (vorgefundenen oder gar denkbaren) “Spitzen”-Paaren ausgerechnet die “Zirkel” herauszusuchen,
    bzw. aus allen (vorgefundenen oder gar denkbaren) “Strich(-Enden)”-Mengen ausgerechnet die “Lineale” ??

    Wird das etwa im Schulfach oder in der Vorlesung “analytischen Geometrie” gelehrt ??
    Oder (um die besonderen Interessen unseres geschätzten Blogwarts zu würdigen):
    Gelingt das etwa mit Zahlenspielereien “modulo 1” ?? …

    Beanstandest Du etwa, dass ich so gut wie jede noch einigermaßen erkennbare bzw. mit den o.g. Stichworten zitierbare Gelegenheit nutze, um diese Fragen aufzuwerfen und die Hintertreibung von Debatten dieser Fragen anzuprangern und nicht zuletzt zu popularisieren, dass und wie sie in der ART lösbar sind ?!? — Dann hast Du vielleicht selbst ganz andere, Dich drängendere Interessen; und Du hast wohl einen eigenen SciLog (oder wenigstens: einen selbst-administrierten SciLog-Gastbeitrag bekommen), um Barriere-frei Mitstreiter zu suchen.

    p.s.
    > Der Physiker-Jargon mit einer Gleichsetzung “Koordinaten” = “Sicht eines Beobachters” gehört nicht zum gängigen Maturawissen. […]

    Gemeint ist vermutlich, was im Physiker-Jargon als “Radar-Koordinaten” bezeichnet wird (siehe z.B. Perlick, Schelb, Schröter …).
    Wozu die mit irgendwelchen Koordinaten herumnebeln, anstatt sich mit den eindeutigen zugrundeliegenden nachvollziehbar-anschaulich-konstruktiven Ping-Koinzidenz-Bestimmungen zu beschäftigen, würde ich bei Gelegenheit gern mal (öffentlich und Barriere-frei) erfahren.

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