Demokratie ist schwer

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Laureates of mathematics and computer science meet the next generation
Heidelberg Laureate Forum

Kein Zweifel: Bei der anstehenden Stichwahl zur französischen Staatspräsidentschaft wird alles mit rechten Dingen zugehen. Immerhin ist Frankreich eine lupenreine Demokratie, kein potenzieller Bewerber ist ins Gefängnis gesteckt worden, die Wahlberechtigten haben dank freier Presse ausreichend Gelegenheit, sich eine Meinung zu bilden, müssen im Allgemeinen keinen langen Weg zum Wahllokal auf sich nehmen und haben keinen Anlass, Manipulationen bei der Auszählung zu befürchten. Und dennoch bestehen ernsthafte Zweifel, ob der-/diejenige, die am nächsten Sonntag die meisten Stimmen erhält, auch wirklich von der Mehrheit der Französinnen und Franzosen gewollt ist.

Das geht bereits aus dem Ergebnis des ersten Wahlgangs hervor. Die drei Erstplatzierten Emmanuel Macron (27,8 %), Marine Le Pen (23,2 %) und Jean-Luc Mélenchon (22,0 %) liegen mit ihrem Stimmenanteil sämtlich in den Zwanzigern – himmelweit entfernt von einer irgendwie überzeugenden Mehrheit und ziemlich dicht beieinander. Wenn zum Beispiel der rechtsextreme Éric Zemmour nicht angetreten wäre, dann wäre seinen Anhängern wenig anderes übrig geblieben, als Le Pen zu wählen, wodurch diese auf den ersten Platz gerutscht wäre. Wenn es andererseits Mélenchon gelungen wäre, die Stimmen für die vier anderen linken Kandidaten Philippe Poutou (0,77 %), Nathalie Arthaud (0,56 %), Anne Hidalgo (1,75 %) und Fabien Roussel (2,28 %) auf sich zu vereinen, hätte er Le Pen aus der Stichwahl verdrängt und vielleicht sogar Macron überholt.

Mit anderen Worten: Wer für die nächsten fünf Jahre den Élysée-Palast bewohnen wird, hängt wesentlich davon ab, inwieweit es Macrons Konkurrentinnen und Konkurrenten gelungen ist – oder eben nicht –, sich zusammenzuraufen. Und selbst wenn es – was zu erwarten ist – Macron wird, muss er damit leben, dass zwei Drittel seiner Landsleute ihn eigentlich nicht wollten. Oder?

Stimmt auch nicht. Der Wille des wählenden Menschen ist viel komplexer, als er das mit dem Kreuzchen auf dem Stimmzettel ausdrücken kann. Mein Wunschkandidat ist A; mit B wäre ich einigermaßen zufrieden, C finde ich weder gut noch schlecht, und D halte ich für eine absolute Katastrophe. So oder so ähnlich denken meine Mitmenschen auch, allerdings ist die Reihenfolge im Allgemeinen jedesmal eine andere. Na gut; dann fragen wir die Leute halt nicht nur nach ihrem Lieblingskandidaten, sondern bitten sie, alle aufzuzählen, erst den Wunschkandidaten, dann den mit der zweiten Präferenz, und so weiter bis zum letzten, den man, je nach Temperament, unter allen Umständen vermeiden möchte oder auch nur für unbedeutend hält. Bleiben wir bei dem Beispiel mit den vier Kandidaten; dann gibt es nur 24 mögliche Reihenfolgen. Wir zählen aus, wie häufig jede Reihenfolge angekreuzt worden ist; das gibt 24 Zahlen. Jetzt brauchen wir nur noch eine Funktion, die aus diesen 24 Werten den Kandidaten oder allgemeiner die Rangfolge errechnet, die am ehesten dem Wählerwillen entspricht, die „kollektive Rangfolge“.

An Funktionen herrscht kein Mangel – im Gegenteil. Die Mathematik stellt so ziemlich alles bereit, was das Herz begehrt. Das Problem besteht eher darin, das unübersichtliche Sortiment durch geeignete Bedingungen an unsere Funktion einzugrenzen. Erstens muss diese für alle, auch die seltsamsten, Wahlergebnisse eine Antwort liefern; das ist mit dem Wort „Funktion“ gemeint. Für die nächste Bedingung muss man einen Moment länger nachdenken; aber dann stellt sich heraus, dass sie unentbehrlich ist, um gewisse paradoxe Ergebnisse auszuschließen. Es ist die „Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen“. Wenn man wissen will, ob in der kollektiven Rangfolge A vor B steht, darf es nicht darauf ankommen, wie die Abstimmenden die übrigen Kandidaten einordnen. Wenn insbesondere alle A für besser halten als B, dann muss sich das auch in der kollektiven Rangfolge widerspiegeln.

Jetzt kommt die große Enttäuschung: Eine Funktion, die alle diese Bedingungen erfüllt, gibt es nicht. Das ist das berüchtigte Arrow-Theorem, für das sein Schöpfer Kenneth Arrow (1921–2017) 1972 den Wirtschaftsnobelpreis erhielt. Genauer: Die einzigen Funktionen, die die oben genannten Bedingungen erfüllen, sind diejenigen, die alle Ergebnisse auf eine einzige Reihenfolge abbilden – die allerdings mindestens eine Stimme erhalten haben muss. Anders ausgedrückt: Ein einziger Wähler bestimmt das Endergebnis – was man allgemein als Diktatur bezeichnet. Es leuchtet unmittelbar ein, dass man das Verbot der Diktatur unter die Bedingungen aufnehmen muss.

Das Arrow-Theorem ist zweifellos eine große Enttäuschung. Wie kommt man darüber hinweg? Der Beweis des Theorems ist vielfach überprüft worden; da einen Fehler zu finden ist praktisch aussichtslos. Nur in ein paar trivialen Ausnahmefällen – weniger als drei Alternativen zur Wahl oder weniger als zwei Stimmberechtigte – kommt es nicht zur Geltung. Haben wir uns bei der mathematischen Modellierung ungeschickt angestellt? Na ja – der Wille des Menschen ist ein überaus kompliziertes Gewächs; wir haben ihn auf eine schlichte Rangfolge reduziert, und dabei könnte durchaus etwas Wesentliches verloren gegangen sein.

Nur: Kann es eine getreuere Modellierung des Willens geben? Es ist kaum vorstellbar, wie das gehen sollte. Man denke sich eine große Vollversammlung aller Wahlberechtigten. Jeder kann mit jedem verhandeln, insbesondere dessen Präferenzen erfahren, und daraufhin versuchen, eine Entscheidung zu treffen, die seinen Vorstellungen am nächsten kommt. Das Ganze natürlich ohne Drohungen oder Bestechungen.

Abgesehen davon, dass eine solche Veranstaltung praktisch unmöglich ist, kann man ja versuchen zu modellieren, was dabei herauskäme. Die Idee ist gar nicht so absurd, wie sie auf den ersten Blick aussieht. Auch die radikalste Verfechterin ökologischer Ideen tut gut daran, nicht die Splitterpartei zu wählen, die ihre Vorstellungen in mustergültiger Weise vertritt; es entspricht ihren Interessen eher, ihr Kreuz bei den Grünen zu machen – und wenn es mit Zähneknirschen ist –, weil sie so wenigstens auf eine verwässerte Realisierung ihrer Vorstellungen hoffen kann. Mit diesen Überlegungen nimmt sie einen Teil der oben genannten fiktiven Verhandlungen im Kopf vorweg.

Zurück von den Idealvorstellungen zur Realität. Gibt es eine bessere Möglichkeit, den Willen der Menschen abzufragen, als die Rangfolge der Kandidaten? Vorschläge gibt es zuhauf.

Ein altehrwürdiges Prinzip verdanken wir dem Marquis de Condorcet (1743–1794). Man lege den Wählern alle denkbaren Paare von Kandidaten vor und bitte sie, sich für jeweils einen aus diesem Paar zu entscheiden. Für jedes Paar werden die Stimmen ausgezählt, und derjenige, der all diese vorweggenommenen Stichwahlen gewinnt, gilt als gewählt. Dieser „Condorcet-Sieger“ hat in der Tat eine äußerst starke Legitimation für sich. Der Ärger ist nur: Es gibt ihn nicht immer.

Ein weiterer Vorschlag mit dem leicht irreführenden Namen „Wahl durch Zustimmung“ („approval voting“) wirkt zunächst merkwürdig: Man darf auf dem Stimmzettel beliebig viele Kandidaten ankreuzen – wobei man sich zweckmäßig auf diejenigen beschränkt, die man wenigstens irgendwie für akzeptabel hält. Kumulieren – diese baden-württembergische Spezialität, bei der man einem Kandidaten mehr als eine Stimme geben darf – ist nicht erlaubt. Gewählt ist, wer die meisten Stimmen auf sich vereinigt. Das klingt so, als sollte der Wählerwille noch ungenauer abgefragt werden als mit der Rangfolge. Es stellt sich jedoch heraus, dass dieses Verfahren stets einen Condorcet-Sieger findet, wenn es ihn gibt; und vor allem bietet es im Gegensatz zu den üblichen Verfahren keinen Anreiz, entgegen der eigenen Überzeugung zu wählen. Das Problem hat man gerade bei klassischen Wahlen fast immer, wenn nämlich die einzige Möglichkeit, den Katastrophen-Kandidaten zu verhindern, darin besteht, seinen eigentlich ungeliebten, aber chancenreicheren Konkurrenten zu wählen.

Ein dritter Vorschlag, ebenfalls von Condorcet, hat einen besonderen Reiz für idealistisch gesinnte Menschen. Man nimmt an, es gebe eine „wahre“ Rangfolge, und die Äußerungen der Wähler seien deren – möglicherweise unvollkommener – Versuch, diese Wahrheit zu finden. Die Wahl selbst ist dann so etwas wie die Zusammenfassung zahlreicher Messungen; jede für sich ist fehlerhaft, aber die einzelnen Fehler mitteln sich aus. Nach Condorcet genügt es, wenn jeder Wähler eine Chance von mehr als 50 Prozent hat, die Wahrheit zu erkennen, und diese Erkenntnis ohne jede taktische Überlegung in seiner Stimmabgabe und unabhängig von den anderen zum Ausdruck bringt. Wieder fragt man nach der Präferenz für alle Paare von Kandidaten. Als gewählt gilt diejenige Rangfolge, die im Sinne der Statistik die „wahrscheinlichste“ ist unter der Voraussetzung, dass das konkrete Messergebnis, sprich Abstimmungsergebnis, vorliegt. Leider hat das Verfahren einen schwerwiegenden Nachteil: Es ist zu kompliziert und undurchsichtig und gibt deswegen Anlass zu Misstrauen.

Als vor 20 Jahren ebenfalls eine Präsidentschaftswahl in Frankreich anstand, beschrieb der Pariser Wirtschaftswissenschaftler Michel Balinski in einem Artikel detailliert die Vorzüge und Nachteile diverser Wahlsysteme. Die deutsche Version dieses Artikels ist – ohne Tabellen, aber immerhin – noch im Internet verfügbar.

Was sagt uns das für andere Länder? Na ja – in den USA machen sie denselben Fehler wie in Frankreich, mit dem Unterschied, dass der erste Wahlgang nicht offiziell, sondern innerhalb der beiden großen Parteien stattfindet. Deswegen haben die Amerikanerinnen und Amerikaner im entscheidenden Moment eben so häufig nur die Wahl zwischen zwei Übeln.

Und die Deutschen? Da ist es alles viel indirekter und entsprechend komplizierter. Wir wählen ja nur die Abgeordneten, die dann stellvertretend für uns – manchmal äußerst mühsam – verhandeln, wer am Ende das Sagen hat, und zu welchen Bedingungen. Da kann die Mathematik höchstens dafür sorgen, dass die verschiedenen Ausprägungen des Volkswillens sich proportional in der Zusammensetzung des Bundestags wiederfinden. Und schon das ist schwierig, wegen des Zweistimmenprinzips und des Föderalismus. Aber das ist eine andere Geschichte.

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Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

19 comments

  1. Sicherlich ist die Demokratie ein ganz übles Herrschaftssystem, vgl. bspw. aktuell mit :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Präsidentschaftswahl_in_Frankreich_2022 (ca. 72,2 der Wähler wollen Macron im allgemeinen Vergleich also nicht)

    Dennoch wird er absehbarerweise diese Wahl gewinnen, weil er Linkswähler auf sich vereinigen kann, in der Folge, in der Zweitwahl.

    “Arrow-Theorem” und so ist dem Schreiber dieser Zeilen zu schlau, zu pfiffig.
    Am besten ist demokratisch womöglich der Mehrheitsentscheid.

    MFG
    WB

    • ” Am besten ist demokratisch womöglich der Mehrheitsentscheid.”
      Die ist eher die ultima ratio, vorher muß versucht werden, alle irgendwie mitzunehmen.
      Halten wirs weiter mit Churchill
      “Demokratie ist die schlechteste aller Staatsfromen, ausgenommen alle anderen.”

  2. Es musste weiter oben ‘ca. 72,2 [Prozent] der Wähler wollen Macron im allgemeinen Vergleich also nicht’ heißen.

    Interessant ist auch so :

    -> https://en.wikipedia.org/wiki/Paradox_of_voting (K-Probe : ‘Because the chance of exercising the pivotal vote is minuscule compared to any realistic estimate of the private individual benefits of the different possible outcomes, the expected benefits of voting are less than the costs.’)

    Dr. W hat’s mal durchgerechnet, iterativ und Programme der Software meinend; es ist so, dass bei sozusagen extra-knappen sich so ankündigenden Wahlausgängen die einzelne Stimme einen Wert erhält, der tausendfach höher ist als sonst, weil diese einzelne Stimme entscheidend sein kann.

    Vgl. bspw. mit diesem Jokus :

    -> https://www.welt.de/politik/deutschland/article237815203/Saarland-Gruenen-fehlen-23-Stimmen-zum-Einzug-in-den-Landtag.html

    MFG
    WB

  3. Guter Beitrag und gute Überlegungen dazu, wie man eine Personenwahl so organisiert, dass sie am ehesten dem Wählerwillen entspricht. Nur: in meinen Augen sind reine Personenwahlen prinzipiell problematisch, weil Wähler ja eigentlich keine Personen, sondern eine bestimmte Politik wählen wollen. Zum Beispiel denke ich, dass die Wähler, die Hitler gewählt haben dadurch nicht automatisch ihre Zustimmung zu einem grossen Krieg gegeben haben. Doch letztlich wählte, wer Hitler wählte, damit auch den grossen Krieg.

    Mein Vorschlag zu Personenwahlen geht daher in die Richtung, dass der Wähler die Möglichkeit erhält, mehr über die zukünftig eingeschlagene Politik zu entscheiden. Das könnte so aussehen: Jeder Kandidat muss schriftlich angeben, welche politischen Ziele er anstrebt und was er auf jeden Fall vermeiden will. Wenn der Politiker/ die Politikerin gewählt wird, dann gibt es automatisch eine Beobachtungsfrist, in der verfolgt wird inwieweit die gewählte Politikerin ihre schriftlich niedergelegten Ziele verfolgt und es kann während dieser Frist eine Art Referendum ausgelöst werden, welches bei genügend Stimmen zur Abwahl der gewählten Politikerin führt und die Präsidentschaft/Regierung an den Zweitplatzierten übergibt, welcher gemäss einem der Verfahren bestimmt wird, die hier von Christoph Pöppe dargestellt wurden.

    • Die große Konstante in der Politik sind die Parteien. Und die werden in rechts,mitte und links eingeteilt. Nicht schlecht diese Einteilung, da sich dahinter doch viel geschichtliche Erfahrung versteckt.
      Leider lassen die Parteien zu, dass ihre Kandidaten gleichzeitig auch privatwirtschaftliche Interessen wahrnehmen dürfen was einerseits sehr nützlich ist , andererseits aber zu Interessenkonflikten führt.

  4. Es gibt grundsätzlich die beiden Möglichkeiten demokratisch Personen im populistischen Sinne zu wählen oder, das Anonym meinend, im elit(ar)istischen Sinne. [1]

    Besondere schriftliche Angaben, lol, können hier nicht erfolgen, Wahlprogramme liegen ja vor und sie dürfen beachtet bleiben.

    Dr. W rät, im demokratischen Sinne, an sich auch bundesdeutsch vom “Führer” allmählich zu lösen, danke.

    Gerne un-gay werden, danke.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer

    [1]
    Dr. W hat hierzu an anderer Stelle sozusagen x-fach erklärt.

  5. *
    das Antonym meinend
    (Dr. W weiß mittlerweile gar nicht mehr, ob ihm derartige Fehler absichtlich passieren.)

  6. Zitat von Friedrich Schiller

    „Man soll die Stimmen wägen und nicht zählen; Der Staat muß untergehn,
    früh oder spät, Wo Mehrheit siegt und Unverstand entscheidet.”

    • Früher war man viel radikaler, da hat man die Frauen gar nicht wählen lassen.
      gibt ihnen das nicht zu denken Herr Senf.

    • Dr. W kannte mal eine sehr-sehr angesehene regionale (CSU-)Kraft, die nach mehreren Glas Bier abends genau so Schiller zitiert hat, womöglich die Meritokratie meinend oder das Ständewahlrecht.

  7. Wo der zeitgeistlich-reformistische Kreislauf des imperialistisch-faschistischen Erbensystems mit Kreuzchen auf dem Blankoscheck ein Gemeinschaftseigentum OHNE wettbewerbsbedingte Symptomatik verhindert, da ist Demokratie nur ein parlamentarisch-lobbyistisches Marionettentheater in Lug und Trug.

  8. Dr. W will an dieser Stelle verallgemeinern, Entscheid, wenn er sich binär darstellt, wie bspw. bei der Endausscheidung der französischen Präsidentenwahl, ist vglw. einfach zu bearbeiten, A wird mehrheitlich gewählt, sicherlich Macron, und B nicht, was die Stimmenanzahl meint.

    Hier bei – ‘Man lege den Wählern alle denkbaren Paare von Kandidaten vor und bitte sie, sich für jeweils einen aus diesem Paar zu entscheiden. Für jedes Paar werden die Stimmen ausgezählt, und derjenige, der all diese vorweggenommenen Stichwahlen gewinnt, gilt als gewählt. Dieser „Condorcet-Sieger“ hat in der Tat eine äußerst starke Legitimation für sich. Der Ärger ist nur: Es gibt ihn nicht immer.’

    …liegt aus diesseitiger Sicht sozusagen Knuffigkeit vor, kluge, zu kluge womöglich auch : Überlegung.

    Wäre es wirklich so-o schwierig binär oder im x-fachen Sinne zu entscheiden, wären bspw. in der Wirtschaft Beschäftigte arbeitslos, vielleicht heutzutage durch “AI” ersetzt.

    Dr. W hält so etwas für Blödsinn.
    Sicherlich kann (liberale) Demokratie so angegriffen werden, sie kann auch ansonsten angegriffen werden.
    Bspw. im Sinne des sog. Böckenförde-Diktums.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer (der hier anscheinend zeitnah, instantan sozusagen, mit seinen kleinen Kommentaren (noch) durchdringt, nice1!)

  9. Laut Wikipedia [1] ist Kumulieren in 12 Bundesländern erlaubt, also keine baden-württembergische Spezialität. Wenn überhaupt, ist es eine hanseatische Spezialität, denn Hamburg und Bremen sind die einzigen Bundesländer, in denen Kumulieren nicht nur bei Kommunalwahlen, sondern auch bei Landtagswahlen geht.

    [1] https://de.wikipedia.org/wiki/Kumulieren#Deutschland

  10. Inzwischen scheint sich die Situation für die “Demokraten” wohl verbessert zu haben und die Dramatik ist wohl entspannt. Macron ist wohl weit vorne.

    Das die modernen Wahlen aber leider fast purer Hohn wurden, ist leider zu beklagen. Der Populismus (nicht der Rechte, sondern derjenige der Mitte) nahm überhand und Wahlen werden vollkommen unsachlich und emotional entschieden.
    Ich weiß noch, wie man in den 1980´gern über die Wahlwerbung in den Medien diskutierte und wie seltsam streng die Vorgaben waren. Das sieht heute aus, als wäre es vom anderen Stern… angesichts der “sozialen Medien”, die das Fernsehen längst überrundet haben in der Relevanz und Reichweite. Ich meine, die Vorgaben zur Wahlwerbung im Fernsehen hatten schon ihren Sinn. Aber was ist heute? Gibt es diese Wahlwerbung im Fernsehen überhaupt noch? Und wer lacht sich nicht halb kaput beim Ansehen? Oder resigniert bei der Ideotie darin? Die “politische Mündigkeit” scheint vor allem bei den Berufspolitikern verschwunden zu sein. Die simmulieren doch nur noch Verantwortungsbewusstsein und Fähigkeit und Zukunftsideen. Wenn überhaupt darüber fabuliert wird. Meine Theorie: Wenn ein System nur lange genug ununterbrochen läuft, verkommen sie alle zu seltsam korrupten Strukturen. Denn die Menschen finden immer einen Weg, der ihnen zum Vorteil verhilft. Oder sie passen sich so derart an die Mechanismen an, das sie ihre eigendlichen Ideale längst verraten und vergessen haben. Sie schmarotzen im System, anstatt die Welt besser zu machen.

    Anyway, auch die Idee, das man taktisch Wählen sollte, um überhaupt irgendwas zu erreichen, ist Aufruf zur Selbstkorruption und zum Untreu werden. Das Wahlergebnis ist dann auch nicht aussagefähig, wenn die Parteien mit den erwünschten politischen Ideen wegen der taktischen Wahlnotwendigkeit nur noch 0,x % bekommen. Das ist für jeden Wähler und Politiker das Zeichen, das daran ja nichts gutes dran sein kann. Und wird in der Versenkung verschwinden und vergessen werden.

    Ich erinnere mich noch an die Partei, die (wohl bei den Europa-Wahlen) mit der Medizinischen Offensive antrat. herrausgekommen ist ein verschwindend geringer Stimmenanteil. Es will wohl niemand “gesund” sein, werden oder bleiben? Man hält das gegenwärtige Gesundheitssystem und den Stand der gegenwärtigen Medizin wohl für hinreichend genug? Was natürlich ein Hohn ist, weil nichts davon wirklich wahr ist. Und die gottgleichen Statistiken sagen uns, das nahezu jeder im Alter irgendwann vom Tropf der Medizin abhängig wird. Der Privatisierungswahn hat diese ganze Situation ja nicht besser gemacht vor allem in der Medizin und im Gesundheitssystem nicht). Der “Wählerwille” ist nachgewiesen irrational. Wozu also “diese” Demokratie?

  11. „Der “Wählerwille” ist nachgewiesen irrational. Wozu also “diese” Demokratie? „

    Wer wird denn gleich fatalistisch werden ?
    Der Wählerwille ist individueller geworden. Und gleichzeitig ist der Wählerwille für die Volksverteter unwichtiger geworden. Egal, was die Presse aufdeckt, egal welche Skandale publik werden, es ändert sich nicht viel.
    Die Gesetze und Verordnungen haben uns fest im Griff. Selbst wenn alle guten Willens wären und sich einig, es ist fast unmöglich eine Änderung herbeizuführen. Spätestens wenn ein Einspruch erfolgt, findet sich ein Gericht, dass dem Einspruch stattgibt, und dann geht es von Instanz zu Instanz bis der letzte Kläger verstorben ist. (kleine Ironie)

    Also, die Demokratie funktioniert aber von der Verwaltung gebremst.

  12. Christoph Pöppe schrieb (21. Apr 2022):
    > […] mögliche Reihenfolgen. Wir zählen aus, wie häufig jede Reihenfolge angekreuzt worden ist […] Jetzt brauchen wir nur noch eine Funktion, die [daraus …] den Kandidaten oder allgemeiner die Rangfolge errechnet, die am ehesten dem Wählerwillen entspricht, die „kollektive Rangfolge“.

    Obwohl die Idee einer „kollektiven Rangfolge“ eine Verallgemeinerung darstellt, geht es bei Wahlen doch oft vorrangig bis ausschließlich um die Feststellung „kollektiver Sieger“ (die jeweils am ehesten dem Wählerwillen entsprechen (sollten)).

    > geeignete Bedingungen […] Erstens muss diese für alle, auch die seltsamsten, Wahlergebnisse eine Antwort liefern; das ist mit dem Wort „Funktion“ gemeint.

    Sicherlich soll eine geeignete Funktion für alle denkbaren (gültigen) Häufigkeits-Verteilungen (“Abstimmungsweisen”, “Stimmzetteldaten”) jeweils genau eine Antwort (“Funktionswert”) liefern.

    (Das Wort “Wahlergebnis” könnte eher als der Funktionswert verstanden werden, der aus einer bestimmten, ggf. ausgefüllten Stimmzetteln entnommenen Häufigkeits-Verteilung jeweils ermittelt würde, als z.B. die jeweilige Gesamtheit von Eintragungen auf allen abgegebenen Stimmzetteln an sich.)

    Neben der genannten Fallunterscheidung, entsprechend der Funktionswerte

    – entweder “nur Wahlsieger”,

    – oder “ganze Rangfolgen (die alle Kandidaten beinhalten)”

    wären, ließe sich weiterhin noch unterscheiden,

    – ob jeweils nur ein einziger Kandidat als “Wahlsieger” in Frage kommen soll,

    – oder ggf. auch mehrere, auf den Stimmzetteln einzeln geführte Kandidaten gemeinsam “Sieger” sein könnten

    (schließlich können ja auch Stichwahlen mit einer geraden Anzahl von gültigen Stimmen unentschieden “ausgehen”);

    bzw.

    – ob die als Wertebereich in Frage kommenden „kollektiven Rangfolgen“ strikt (streng, stark, …) sein müssen (d.h. nur genau alle Permutationen der einzeln geführten Kandidaten),

    – oder ggf. auch partiell (d.h. auch einschließlich aller Halbordnungen).

    (Ggf. ließen sich partielle Reihenfolgen auch in der Menge der auf Stimmzetteln dokumentierten gültigen “möglichen Reihenfolgen” einschließen, deren Häufigkeiten die Definitionsmenge der Funktionsargumente bilden.)

    > [Zweitens …] „Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen“.

    … (Klingt plausibel! ;) …

    > Wenn man wissen will, ob in der kollektiven Rangfolge A vor B steht, darf es nicht darauf ankommen, wie die Abstimmenden die übrigen Kandidaten einordnen.

    Diese Fassung der zweiten Bedingung bezieht sich offensichtlich auf den Verallgemeinerungs-Fall, d.h. mit ganzen kollektiven Rangfolgen (von mehr als zwei Kandidaten) als Funktionswerten.

    Sofern es aber (oft) (nur) um Wahlsieger geht, ließe sich „Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen“ stattdessen dadurch ausdrücken,
    dass sich der selbe (endgültige) Wahlsieger

    – sowohl (zunächst) durch Anwendung der geeigneten Funktion auf die insgesamt durch die Abstimmung gegebenen Häufigkeiten als Sieger ergeben soll,

    – als auch (nachträglich) durch Anwendung der selben Funktion auf (anteilige) Häufigkeiten, die sich aus den Stimmzetteldaten ergeben (würden), wenn irgendwelche (oder alle) Kandidaten nicht berücksichtigt werden, die nicht zunächst (d.h. in Auswertung der Gesamt-Häufigkeiten) als Sieger ermittelt wurden.

    > […] Die einzigen Funktionen, die die oben genannten Bedingungen erfüllen, sind diejenigen, die alle [denkbaren (gültigen) Häufigkeits-Verteilungen] auf eine einzige Reihenfolge abbilden […]

    … (Sofern zwischen “Reihenfolge” (oben insbesondere: “auf einem Stimmzettel”) und “Rangfolge” (als Funktionswert und Wahlergebnis) unterschieden werden kann und muss, wäre an dieser Stelle wohl eher von “einer einzigen Rangfolge” zu sprechen.) …

    > Das ist das berüchtigte Arrow-Theorem

    Das bezieht sich offensichtlich auf den Verallgemeinerungs-Fall, d.h. mit ganzen kollektiven Rangfolgen (von mehr als zwei Kandidaten) als Funktionswerten.

    Für den deshalb womöglich um so Demokratie-relevanteren Fall der bloßen Suche nach Wahlsiegern lassen sich dagegen sicherlich auch Verfahren mit nicht-trivialen Ergebnissen (also mit mehr als einem Wert im Wertebereich) finden, die sowohl Funktionen sind, als auch im geeigneten Sinne unabhängig von irrelevanten Alternativen.

    p.s.
    > […] alle Ergebnisse auf eine einzige Reihenfolge abbilden – die allerdings mindestens eine Stimme erhalten haben muss

    Warum überhaupt “mindestens eine Stimme” für die betreffende, meinetwegen einem Diktator gefällige Reihenfolge ?
    Welche Bedingung wäre denn von einer Funktion verletzt, die schlicht jeder Häufigkeitsverteilung die selbe, einzige Reihenfolge als Funktionswert zuweist;
    insbesondere auch Häufigkeitsverteilungen mit Null Stimmen für genau diese Reihenfolge ?

    p.p.s.
    Jede Wahl-Funktion zur Ermittlung des Wahlsiegers aus gegebenen Stimm-Häufigkeiten lässt sich offenbar sukzessive wiederum auf (anteilige) Häufigkeiten anwenden, die sich ergeben, wenn dieser Wahlsieger nicht mehr berücksichtigt wird.
    Das setzt die Kandidaten aber (i.A.) in eine (wenn womöglich auch nur partielle) Reihenfolge, ermittelt also ggf. eine „kollektive Rangfolge“.

    Welche der o.g. zwei Bedingungen im Sinne des Arrow-Theorems von solchen Verfahren verletzt sind, bliebe zu untersuchen …

    p.p.p.s.
    Im Memo verlinkt: Bild (rechts) eines Bastelbogenmodells zur Veranschaulichung einer Elementarzelle eines tetrahedral-oktahedralen (Ping-Koinzidenz-)Gitters.

    • Das Arrow-Theorem ist stärker, als Sie vermuten.
      – Es gilt auch, wenn es nur darum geht, den einen Wahlsieger zu bestimmen. Denn wenn wir die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen nicht haben, können diese sich auch auf den Platz 1 in der Rangordnung auswirken.
      – Ein diktatorisches Wahlverfahren, das eine Rangfolge, die niemand gewählt hat, zum Sieger erklärt, widerspricht dem schwachen Pareto-Prinzip (siehe den Wikipedia-Artikel zum Thema): Wenn bei alle Wählern A an erster Stelle steht, dann muss A auch in der kollektiven Rangfolge an erster Stelle stehen.
      – Was man bei Stimmengleichheit macht? Gute Frage. Kommt in der Praxis nicht vor, deswegen kümmert sich wahrscheinlich niemand darum. Wenn man die Sache formal wasserdicht machen möchte, löst man das Patt durch irgendeine willkürliche Regel auf: Im Zweifel hat der Kandidat gewonnen, dessen Name im Alphabet zuerst kommt, oder der als nächster Geburtstag hat. Für die Praxis bedeutungslos. In manchen Gremien wird dann gelost; aber ein solches Wahlverfahren ist dann keine Funktion mehr.
      Waren das Ihre Fragen? Ich habe etwas den Überblick verloren.

      • Hier ein paar Zitate von Goethe zum Thema Demokratie:

        “In der Jugend, wo wir nichts besitzen oder doch den ruhigen Besitz nicht zu schätzen wissen, sind wir Demokraten. Sind wir aber in einem langen Leben zu Eigentum gekommen, so wünschen wir dieses nicht allein gesichert, sondern wir wünschen auch, daß unsere Kinder und Enkel das Erworbene ruhig genießen mögen. Daher sind wir im Alter immer Aristokraten.”

        “Mache zum Herrscher sich der, der seinen Vorteil verstehet: / Doch wir wählen uns den, der sich auf unsern versteht.”

        “Nichts ist widerwärtiger als die Majorität; denn sie besteht aus wenigen kräftigen Vorgängern, aus Schelmen, die sich akkommodieren, aus Schwachen, die sich assimilieren, und der Masse, die nachtrollt, ohne nur im mindesten zu wissen, was sie will.”

        “Sobald die Tyrannei aufgehoben ist, geht der Konflikt zwischen Aristokratie und Demokratie unmittelbar an.”

        Demokratie ist, wenn Mensch sich nicht mehr in der wettbewerbsbedingten Symptomatik von “Wer soll das bezahlen?” und unternehmerischen Abwägungen von/zu “Arbeit macht frei” verlieren kann.

  13. Christoph Pöppe schrieb (27.04.2022, 23:17 o’clock):
    > Das Arrow-Theorem [… (a)] gilt auch, wenn es nur darum geht, den einen Wahlsieger zu bestimmen. […]

    Um das Arrow-Theorem herzuleiten, wird offenbar die Annahme der “Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen” in der Fassung benötigt, die im obigen SciLogs-Artikel dargestellt ist;
    nämlich betreffend jeweils die Unabhängigkeit der paarweisen Rangfolgen (im Funktionswert, d.h. im Wahlergebnis) für alle Paare von Kandidaten.
    (In einer Rangfolge insgesamt ist die paarweise Rangfolge jedes dieser Paare für sich relevant.)

    Wenn es aber nur darum geht, den einen Wahlsieger zu bestimmen, sind nur die paarweisen Rangfolgen des Wahlsiegers mit jeweils einem der Verlierer relevant;
    die paarweisen Rangfolgen von Verlierern untereinander aber nicht.
    Demnach ist die entsprechende Annahme der “Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen” nur in einer schwächeren Fassung zu fordern,
    deren konkrete Darstellung ich im meinem vorausgegangenen Kommentar vorgeschlagen habe,
    und von der ich bezweifle, dass sie zur Herleitung des Arrow-Theorems hinreicht.

    > Denn wenn wir die Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen nicht haben, können diese sich auch auf den Platz 1 in der Rangordnung auswirken.

    Dieser Argumentation kann ich ohne weitere Erläuterung nicht folgen; zumal darin keine Unterscheidung der Fassungen von “Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen” gemacht wird,
    die ich im Zusammenhang damit für wesentlich halte, ob es als Wahlergebnis nur um die Bestimmung eines Wahlsiegers geht, oder die kollektive Rangfolge aller Kandidaten.

    Würde “Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen” in gar keiner Fassung angenommen, dass ließe sich das Arrow-Theorem erst recht nicht herleiten.

    > [… (b)] schwaches Pareto-Prinzip […] Wenn bei allen Wählern A an erster Stelle steht, dann muss A auch in der kollektiven Rangfolge an erster Stelle stehen.

    (O.k. — entsprechend findet sich im obigen SciLog-Artikel:

    Wenn insbesondere alle A für besser halten als B, dann muss sich das auch in der kollektiven Rangfolge widerspiegeln.

    )

    > Ein diktatorisches Wahlverfahren, das eine Rangfolge, die niemand gewählt hat, zum Sieger erklärt, […]

    Um mich an die obige und bisherige Terminologie zu halten, versuche ich diese Formulierung entsprechend zu übersetzen. Das lässt aber mehrere verschiedene Fälle zu:

    – Eine Wahlfunktion, die nur genau einen Funktionswert hat (nämlich genau eine bestimmte Kandidaten-Rangfolge), der deshalb allen, auch den seltsamsten, Stimmen-Häufigkeits-Verteilungen des Definitionsbereiches zugeordnet wird …

    … ordnet diesen einen “naiv-diktatorischen” Funktionswert insbesondere auch jeder einstimmiger Stimmen-Häufigkeits-Verteilung zu, die damit nicht widergespiegelt ist. (Also verletzt ein solche Wahlfunktion das schwache Pareto-Prinzip.)

    Oder:

    – Eine Wahlfunktion, die unter ihren (etlichen) Funktions-Werten auch mindestend einen (d.h. eine bestimmte Kandidaten-Rangfolge) hat, den die Funktion einer bestimmten Stimmen-Häufigkeits-Verteilung zuordnet, in der die bzw. jede Kandidaten-Reihenfolge, die von diesem Funktions-Wert widergespiegelt wäre, Null Stimmen enthält …

    … kann trotzdem das schwache Pareto-Prinzip erfüllen: Dass eine bestimmte Stimmen-Häufigkeits-Verteilung mindestens eine Null enthält, bedeutet ja längst nicht, dass sie einstimmig sein müsste (also nur Nullen und eine Zahl ungleich Null enthielte).

    Als konkreteres Beispiel für eine Wahl-Funktion der letzeren (“diktatorisch-perfiden”) Art:

    – jeder einstimmigen Häufigkeits-Verteilung wird der jeweilige Funktionswert zugeordnet, der die eine Reihenfolge widerspiegelt, für die jeweils alle Wähler stimmten (und somit ist das schwache Pareto-Prinzip offenbar erfüllt),

    – jeder anderen Häufigkeits-Verteilung wird der selbe, z.B. “der schlimmste” Funktions-Wert zugeordnet.

    Um “das schlimmste” Wahlergebnis herbeizuführen, ist es nicht zwingend notwendig, dass jemand ausdrücklich dafür stimmte (also für eine Kandidaten-Reihenfolge, die von diesem “schlimmsten” Funktions-Wert wiedergespiegelt ist),
    sondern jemand (“der Bösewicht bzw. perfide Diktator”) müsste lediglich anders abstimmen als irgendein anderer Wähler.

    (Das schwache Pareto-Prinzip wäre von dieser “diktatorisch-perfiden” Wahl-Funktion also erfüllt; ob und wie andere Voraussetzungen des Arrow-Theorems zwangsläufig verfehlt werden, kann ich im Moment nicht überblicken.)

    > [… (c)] Was man bei Stimmengleichheit macht? […]

    Diese Fälle mögen ja zu den seltsameren aller denkbaren Stimmen-Häufigkeits-Vertailungen (Abstimmungsweisen, Wahldaten) gehören. Aber es wurde ja schon im obigen SciLog-Artikel vorausgesetzt, dass auch für solche Fälle jeweils ein Funktions-Wert, also eine Kandidaten-Rangfolge zuzuordnen ist.

    Und das ist wohl auch nicht an sich schwierig oder problematisch, sofern keine Forderungen nach “Gerechtigkeit” etc. zu berücksichtigen wären.

    Worauf ich in meinem Kommentar hinauswollte:
    Ob es zum Beweis des Arrow-Theorem überhaupt wichtig wäre, dass die Wahl-Funktionen “Patts auflösen”, oder ob “Rangfolgen” auch ausdrücklich “Patts” beinhalten könnten.
    (Daher auch der terminologische Aufwand, Kandidaten-“Reihenfolgen” auf Stimmzetteln von kollektiven Kandidaten-“Rangfolgen” als Werten im Wertebereich der Wahl-Funktion so sorgfältig zu unterscheiden, wie im obigen SciLogs-Artikel angedeutet.)

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