Das kleinste Unendliche ist schon ziemlich groß

BLOG: Heidelberg Laureate Forum

Laureates of mathematics and computer science meet the next generation
Heidelberg Laureate Forum

Zu den großen Erkenntnissen der von Georg Cantor (1845–1918) begründeten Mengenlehre zählt die Tatsache, dass es das Unendliche in verschiedenen, wohlunterscheidbaren Größen gibt. Geläufig sind einerseits das „abzählbar Unendliche“, für das die natürlichen Zahlen das klassische Beispiel sind, andererseits das „Kontinuum“, das man in Gestalt der reellen Zahlen kennt.

Da kann einem schon mal die Frage „Was soll der Blödsinn?“ in den Sinn kommen. In der Realität gibt es sowieso nichts Unendliches. Und wenn man sich schon auf die abstrakte Idee vom Unendlichen einlässt, warum reicht dann nicht eines? Unendlich ist jede Menge, die mehr Elemente enthält als jede endliche Menge. Was muss man noch mehr darüber wissen?

So allerlei, stellt sich heraus. Und die Idee, alle unendlichen Mengen in einen Topf zu werfen, scheitert daran, dass es unübersehbare Unterschiede zwischen ihnen gibt.

Zwei endliche Mengen haben gleich viele Elemente, wenn man jedem Element der einen genau eines der anderen zuordnen kann und keines ungepaart übrigbleibt, sprich, wenn es zwischen beiden Mengen eine umkehrbar eindeutige (bijektive) Abbildung gibt. Das mit der bijektiven Abbildung kann man prima auf unendliche Mengen übertragen. Man spricht dann nicht mehr von „gleich vielen“ Elementen, weil das im Unendlichen schlecht definiert ist, sondern von „gleichmächtigen Mengen“. Dabei stellt sich heraus, dass es in diesem verallgemeinerten Sinn „gleich viele“ ganze (positive und negative) Zahlen gibt wie natürliche. Auch die Menge der geraden Zahlen, der Primzahlen, der Quadratzahlen und viele weitere Mengen sind abzählbar, das heißt der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig.

Dagegen sind die reellen Zahlen „viel unendlicher“ als die natürlichen, wie Cantor mit seinem berühmten Diagonalargument bewiesen hat. Und für sie funktioniert auch das Induktionsprinzip nicht, jenes Universalwerkzeug, mit dem man alle Beweise für Aussagen über die natürlichen Zahlen (oder eben jede abzählbare Menge) führt. Da mag man auf die Idee kommen, die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen im Vergleich zu der des Kontinuums für etwas quasi Harmloses zu halten. Der Eindruck täuscht! Das will ich im Folgenden erzählen. Im nächsten Beitrag soll es dann um die andere, richtig große Unendlichkeit gehen.

Abzählbar: das harmlose Unendliche

Wie häkelt man einen unendlich langen Strick? Ganz einfach: eine Masche nach der anderen. Oder etwas präziser und nach dem Vorbild des Induktionsprinzips formuliert: Mach in das Ende deines (unendlich langen) Fadens einen Knoten. Es gibt ein Verfahren, an ein endliches Strickstück eine Masche anzuhäkeln; die Einzelheiten des Verfahrens müssen uns hier nicht interessieren. Beginnend mit dem Knoten, wende dieses Verfahren beliebig oft an, und du erhältst einen Strick beliebiger Länge.

Aber der wird doch nie unendlich lang? Richtig. Aber er wird länger als jede geforderte Länge. Für manche Zwecke reicht das. Wenn zum Beispiel der häkelnde Mensch durch Üben so schnell wird, dass er für jede Masche nur noch halb so viel Zeit benötigt wie für ihre Vorgängerin, dann wird er in endlicher Zeit mit dem unendlichen Strick fertig. Beweis: Sagen wir, die erste Masche erfordert eine Sekunde, die nächste eine halbe, die dritte eine Viertelsekunde und so weiter, dann bleibt die Gesamtzeit für jeden endlichen Strick beliebiger Länge unter zwei Sekunden (kann man ausrechnen). Also braucht der unendliche Strick auch nur zwei Sekunden, denn wenn es mehr wären, müsste es ja einen endlichen Strick geben, der schon mehr als zwei Sekunden braucht, aber den gibt es nicht, also …

Natürlich ist das alles vollkommen irreal, weil die Voraussetzung „Häkelzeit halbiert sich jedes Mal“ aus physikalischen Gründen unerfüllbar ist. Aber halt! Es gibt durchaus Anwendungen des Prinzips in der Realität. Berühmt geworden ist die Geschichte von Achilles und der Schildkröte, die ich, weil sie so bekannt ist, hier nur sehr kurz anreiße: Bis der schnelle Achilles die langsame Schildkröte, der er einen Vorsprung gegeben hat, einholt, muss er unendlich viele Strecken durchlaufen: von seinem Startpunkt bis zu dem der Schildkröte, von diesem Punkt bis zu dem Punkt, an dem die Schildkröte dann ist, und so weiter. Natürlich holt er sie ein, die Summe unendlich vieler Strecken ist endlich, und um die ganze Sache logisch sauber zu machen, was den alten Griechen nicht gelang, muss man den Formalismus mit dem Grenzwert auffahren, und der ist gewöhnungsbedürftig.

Worauf ich hinauswill: Unter geeigneten Umständen kann man vernünftig, also konsistent und widerspruchsfrei, von einer Summe unendlich vieler Größen sprechen. Unendlich viele Klötze mit den Gewichten 1 kg, ½ kg, ¼ kg und so weiter passen in einen Sack, den kann man auf die Waage stellen, die zeigt 2 kg an, und alles ist gut. Es sieht so aus, als sei die Unendlichkeit – zumindest die abzählbare – eine überschaubare Angelegenheit.

Das die Unendlichkeit der reellen Zahlen schlimmer ist, leuchtet auf den ersten Blick ein: Auf der Zahlengeraden sitzen in gebührendem Abstand die natürlichen Zahlen, und alle Intervalle zwischen ihnen sind voll von jeweils unendlich vielen reellen Zahlen.

Zu dumm, dass das die falsche Begründung ist. Zwischen jeweils zwei natürlichen Zahlen sitzen nämlich auch unendlich viele rationale Zahlen, und die sind, so merkwürdig das klingt, abzählbar.

Topflappen und das erste Diagonalargument

Um das zu verstehen, überlegt man sich am besten, wie man einen unendlichen Topflappen häkelt. Was ist das? Nun ja, ein Topflappen ist ein quadratisches Stück Textil, bestehend aus lauter „Zeilen“ von Maschen, die eine unter die andere gehäkelt werden. An einer Ecke ist eine Schlaufe, mit der man den Lappen an einen Haken hängen kann, damit er nicht irgendwo herumliegt.

Ein unendlicher Topflappen besteht halt aus unendlich vielen unendlich langen Zeilen, mit Schlaufe. Tja – wer den auf die übliche Weise häkeln will, wäre bereits mit der ersten Zeile unendlich lange beschäftigt, und aus allen folgenden Zeilen wird nichts. Das funktioniert also nicht. Ein endlicher Strick ist zwar – unter geeigneten Umständen – eine brauchbare Näherung an einen unendlichen Strick, aber niemals an einen unendlichen Topflappen.

Stattdessen gilt es diagonal zu häkeln. Man hänge in Gedanken den Lappen mit der Schlaufe an den Haken, so dass die beiden Kanten schräg nach links unten und rechts unten weisen, und häkele horizontale Reihen.

Auch damit wird man nie fertig – natürlich nicht. Aber unterwegs entstehen Topflappen jeder geforderten Größe; die sind zwar dreieckig, aber man kann sie ja auf Quadratformat zurechtschneiden, wenn es darauf ankommt.

Und was hat das jetzt mit den rationalen Zahlen zu tun? Na ja – jede Masche eines Topflappens ist eindeutig gekennzeichnet durch die Nummer der Zeile und die der Spalte, in der die Masche sitzt. Dabei sind Zeilen und Spalten bezüglich der Standardorientierung des Topflappens – ein auf der Seite liegendes Quadrat – zu verstehen. Also: Jede Masche ist ein Paar natürlicher Zahlen (Zeilennummer und Spaltennummer), und jede Masche kommt beim Häkeln an die Reihe. Damit haben wir bewiesen, dass die Menge aller Paare natürlicher Zahlen abzählbar ist.

Jetzt nennen wir die erste Zahl jedes Paars den Zähler und die zweite den Nenner; damit haben wir zu jedem Bruch ein Paar natürlicher Zahlen gefunden, also sind auch die Brüche (rationalen Zahlen) abzählbar.

Eine technische Nebenbemerkung: Die Abbildung der Zahlenpaare auf die Brüche ist zwar erschöpfend („surjektiv“) – das heißt, dass jeder Bruch irgendwann an die Reihe kommt –, aber nicht eindeutig umkehrbar, denn zum Beispiel die Zahlenpaare (1, 7) und (2, 14) entsprechen demselben Bruch 1/7 = 2/14. Daraus folgt aber nur, dass es höchstens weniger rationale Zahlen gibt als natürliche. Und selbst dieser Schönheitsfehler ist mit etwas zusätzlichem Aufwand korrigierbar.

Formal korrekt wäre der Trick mit dem schrägen Topflappen so zu beschreiben: Aus allen Paaren natürlicher Zahlen zähle man zunächst die mit der Koordinatensumme 2 (das ist nur das Paar (1, 1)), dann die mit der Koordinatensumme 3, dann mit 4 und so weiter. Zu jeder Koordinatensumme gibt es nur endlich viele Paare (n–1 Stück für die Koordinatensumme n), also funktioniert die Abzählung.

Und jetzt: die Abzählung alles Sagbaren

Jetzt wird es vollends seltsam. Die Argumentation mit den Koordinatensummen funktioniert wörtlich so auch dann, wenn es nicht um Paare von Zahlen geht, sondern um Tripel, Quadrupel, allgemein endlich lange Folgen natürlicher Zahlen – beliebiger Länge. Das ist mit der Topflappenmetapher beim besten Willen nicht mehr darstellbar, stimmt aber trotzdem. So sind zum Beispiel alle Folgen aus acht natürlichen Zahlen („Vektoren“ oder „Gitterpunkte im achtdimensionalen Raum“ würde man sie in der Fachsprache nennen) abzählbar.

Zu allem Überfluss muss man die Länge der Folge überhaupt nicht beschränken! Auch unter den Folgen beliebiger Länge gibt es nur endlich viele mit – zum Beispiel – Koordinatensumme 17 (Folgen der Länge 18 dürfen da noch nicht mitspielen …). Also: Die Menge aller endlichen Folgen natürlicher Zahlen ist abzählbar.

Weiter geht es mit den Merkwürdigkeiten. Wir legen uns einen Zeichensatz zu, zum Beispiel die Buchstaben des Alphabets, die Ziffern und ein gewisses Sortiment an Sonderzeichen. Die reichlich 200 Zeichen des Standardzeichensatzes ASCII, mit denen unsere Computer arbeiten, genügen vollauf. Wir können endliche Folgen dieser Zeichen bilden, das heißt natürliche Zahlen, aber auch Wörter und ganze Sätze, die ihrerseits Zahlen beschreiben, und zwar auch solche, die nicht rational sind. „Wurzel aus 2“, „die größte Nullstelle von x2–2“, „pi“, „Logarithmus von 2“ sind einfache Beispiele.

Die Menge aller endlichen Folgen solcher Zeichen ist abzählbar. Denn jedes unserer Zeichen hat eine Nummer, zum Beispiel seinen ASCII-Code, wir bilden jede Zeichenfolge auf die Folge ihrer Nummern ab, und diese sind abzählbar (siehe oben).

Die weitaus meisten dieser Folgen ergeben überhaupt keinen Sinn oder lassen sich zumindest nicht als Zahlen verstehen, manche aber, wie „Wurzel aus 2“, schon. Damit die Mehrdeutigkeiten der natürlichen Sprache keine störende Rolle spielen, kann man sich einen Formalismus zulegen mit dem Ergebnis, dass jede in diesem Formalismus korrekt gebildete Zeichenfolge eindeutig einer Zahl entspricht.

Damit gerät eine Vorstellung über die reellen Zahlen, die so nie ausgesprochen wird, sich aber trotzdem irgendwie im Kopf der Schulkinder festsetzt, gewaltig ins Wanken. Irgendwann lernen wir, dass die Wurzel aus 2 nicht rational sein kann, die Kreiszahl π auch nicht und e, die Basis der natürlichen Logarithmen, schon gar nicht. Zu allem Überfluss bringt eine irrationale Zahl wie √2 alle ihre rationalen Vielfachen mit sich, die genauso irrational sind wie √2 selbst. Es ist doch irgendwie klar, dass alle die irrationalen Zahlen, die man in der Schule kennenlernt, zusammen mit ihrem Gefolge aus rationalen Vielfachen, viel mehr sind als die rationalen.

Falsch! Alle Zahlen, die man in der Schule lernt, oder an der Uni, oder die einem im Verlauf einer absolut komplizierten Rechnung unterkommen, lassen sich durch einen Text endlicher Länge beschreiben. Sonst wäre unser Gehirn überhaupt nicht fähig, mit ihnen umzugehen. Aber die Menge aller Texte endlicher Länge ist abzählbar, und damit die Menge aller überhaupt denkbaren Zahlen.

Aber da war doch was! Die Menge der reellen Zahlen ist noch viel unendlicher als jede abzählbare Menge. Die natürlichen Zahlen, auch die rationalen, allgemein jede abzählbare Menge verschwindet bis zur Bedeutungslosigkeit in der „überabzählbaren Menge“ der reellen Zahlen.

Das heißt im Umkehrschluss: Die allermeisten Zahlen sind „undenkbar“. Das muss man richtig verstehen. Natürlich kann ich mir irgendeine irrationale Zahl vorstellen, typischerweise als eine natürliche Zahl vor dem Komma und eine unendliche, vollkommen strukturlose Folge von Dezimalziffern dahinter. Aber das ist eben nicht „diese Zahl denken“, denn dazu müsste ich alle diese unendlich vielen Ziffern im Kopf haben, oder ersatzweise im Speicher meines Computers. Und genau das geht eben nicht.

Wenn aber die überwältigende Mehrheit aller Zahlen solche sind, die man nicht mit Worten beschreiben kann: Wozu sind die überhaupt zu gebrauchen? Kann man die nicht einfach abschaffen? Oder sich konsequent weigern, über sie nachzudenken? Auch über sie als Kollektiv (individuell geht ja sowieso nicht)?

Nein, es ist nicht sinnvoll. Die Mathematiker haben sich nicht zu einer solchen Abschaffung durchringen können, es noch nicht einmal versucht, soweit ich weiß. Aber die Begründung erzähle ich Ihnen im nächsten Beitrag.

Posted by

Christoph Pöppe (Jahrgang 1953) hat Mathematik und Physik studiert und über allerlei partielle Differenzialgleichungen geforscht, bis er 1989 ziemlich plötzlich Redakteur bei „Spektrum der Wissenschaft“ wurde. Fast 30 Jahre lang hat er für diese Zeitschrift Texte bearbeitet und selbst geschrieben, vornehmlich über Mathematik und verwandte Gebiete. Nach wie vor schreibt er gelegentlich Beiträge für die Rubrik „Mathematische Unterhaltungen“. Seine Liebe zum Fach lebt er auch in allerlei geometrischen Objekten aus, die gelegentlich – in Großveranstaltungen mit vielen Beteiligten – ziemlich monumental geraten. Nebenher bietet er in einem Internet-Laden Bastelbögen für allerlei geometrische Körper an.

32 comments

  1. Unendlichkeit besteht also aus Varianten der Unendlichkeit, so weit klar. Mir zeigt das Ganze vor allem eins: Mathe ist relativ.

    Ich habe also eine unendliche Linie, die ich in 2 Minuten fertig habe. Ich male mir die 2 Minuten als 2 Zentimeter auf ein Blatt Papier und bekomme einfach Fluchtpunktperspektive: Immer kürzere Zeiträume, wie immer kürzere Zentimeter, die auf einen Punkt am Horizont zulaufen.

    Will ich diese Linie zeichnen, muss ich mich hochtakten, meine Zeit so schnell fließen lassen, dass ich es hinkriege (und dabei schrumpfen, Energie und Masse abgeben, denn die bestehen auch aus Strecken, die überwunden werden müssen, die müssen auch stets kürzer werden, damit sie die Schaltkreise schneller schließen können, als die Beschleunigung sie auseinander reißt). Dabei werden aber auch die Zeiträume in der Vergangenheit für mich immer länger: Die 2 Minuten dehnen sich zu Äonen. Und wenn ich irgendwann die Linie fertig gemacht habe, stelle ich fest, dass ich sie wirklich eine Ewigkeit lang gemalt habe.

    Die Zeitlinien des Beobachters und des Zeichners sind auseinander gedriftet: Der Beobachter sieht nur, dass ich in unter zwei Minuten erst immer schneller gealtert (und geschrumpft) bin, dann plötzlich vom Flimmern des Enterprise-Teleporters erfasst wurde. Denn eigentlich ist in dem Beispiel ja keine Unendlichkeit drin: Ich konnte nur durch einen Quantensprung über eine unendlich breite Schlucht an ihr Ende gelangen. Ähnlich wie ich nur bis 1 zählen kann, wenn ich nicht allzu pingelig bin und 0,0000(unendlich viele Nullen)0001 einfach ignoriere.

    Ich habe hier ein 2D-Objekt: Raum x Zeit. Das Koordinatensystem ist gekippt, sodass ich nur die Zeitlinie des Beobachters sehe. Sie bildet die Basis eines Dreiecks, das sich unendlich lange in die Tiefe des Blattes hinein verlängern lässt, aber irgendwann einfach aus seinem Bezugssystem verschwindet. Aus seiner Perspektive ist das Ende der Linie unter 2 Minuten in der Zeit, doch eine unbestimmte Menge Meter im Raum entfernt. Aus der Perspektive des Zeichners sind diese zwei Minuten eine unendlich lange Strecke in Metern und Sekunden entfernt. Je näher wir an die Unendlichkeit, an die 2 Minuten kommen, desto mehr nähern wir uns den Seiten a und c aus der Gleichung des Pythagoras, ohne dass je ein wirklich rechtwinkliges Dreieck daraus werden kann. Außer, wir pfeifen auf die Differenz, weil sie eh zu klein ist, um gemessen zu werden.

    Egal wie ich mich positioniere, ich habe immer die Unendlichkeit drin – von Unbestimmtheit nicht zu unterscheiden. Ob ich der Beobachter bin, der Zeichner, der fertig ist, der Zeichner, der irgendwo mitten drin beim Zeichen ist, und eine endliche Zeitspanne hinter sich, aber eine unendliche vor sich hat, ein Beobachter, der später sein Werk bewundert und nur eine Linie sieht, die sich in zwei Richtungen in der Unendlichkeit verläuft – ich habe immer nur Standpunkte. Das Dreieck selbst wird erst fassbar, wenn ich mich in die Vogelperspektive erhebe und mich so weit entferne, dass diese unendlich lange Linie für mich fassbar wird. Muss ich mich unendlich weit entfernen, verschwinden die zwei Minuten, ich sehe kein Dreieck mehr, sondern eine Linie: Der spitze Winkel ist so spitz geworden, dass die Schenkel zusammengefallen sind. Ein Schmollfreundin-Dreieck gewissermaßen.

    Mit der Distanz schrumpft nicht nur die Raum-, sondern auch die Zeitdimension, der Zwei-Minuten-Beobachter ist schon lange tot, der Zeichner entweder auch, oder lebt ewig und zeichnet so lange weiter, wie der Vogel sich entfernt. Dann entfernt er sich aber nicht, denn die Linie wird ja nie kürzer: Aus der Unendlichkeit ist die Ewigkeit geworden, und gleichzeitig wurde die Zeit ausgelöscht, denn wir haben eine tiefgekühlte Momentaufnahme, immer nur ein und denselben Zeitpunkt. Ist echt fies mit dem ewigen Leben – es ist viel, viel kürzer als das endliche. Nur, wenn man ganz doll viele unterschiedliche Ewigkeiten aneinander reiht, wird Zeit draus. Falls Sie also nach Unsterblichkeit streben, können Sie sich gar nicht so schnell gratulieren, wie Sie immer wieder Erfolg haben, bis Sie tot sind.

    Die 1 ist auch eine unendliche Zahl, da sie sich unendlich oft unterteilen lässt. Unterteile ich sie in zwei Einsen, wird sie zur 2, und so weiter.

    Wenn ich 0, 1, 2, 3 zähle, kann ich es auf zwei Arten in ein Koordinatensystem zeichnen: Als Punkte auf einer Linie, die genauso gut Heinz, Berta und Banane heißen könnten, außer mir ist die Reihenfolge wichtig. Oder auch als Dreieck, bei der ich auch auf der y-Achse immer die Länge der Strecke 1 hinzuaddiere. Dabei ist die Schrittlänge bei der Unterteilung ziemlich egal: Ich kann auch gar nicht unterteilen, die 1=Unendlich setzen. Ich sehe also eine geometrische Figur: Eine Form, die ewig gleich bleibt, ganz egal, wie sehr ich heranzoome oder sie zwecks Vermessung schreddere: Wiederum steht die Unendlichkeit für Unbestimmtheit, denn die Linie, das Dreieck haben ihre fertige Größe erst erreicht, wenn ich aufhöre, zu zählen: Die Form ist da, doch sie entzieht sich der Vermessung. Ich schaffe seine Größe, indem ich sie teile, nicht, indem ich sie mehre: Wenn ich immer mehr Zahlen hinzuaddiere, dividiere ich: Ich mehre die Zahl unterm Bruchstrich, wie die Notenpresse der EZB.

    Voilà, etwas Unendliches in der Realität: Die gesamte Grafik des Universums. Selbst wenn ich Dreiecke zähle und eine endliche Zahl bekomme: Im Grunde zerhacke ich nur das Hologramm eines hypothetischen Dreiecks mit unendlich langen Seiten und unendlich vielen Winkeln. Besser gesagt, jemand hat das Dreieck zerhackt, und ich sehe Bruchstücke, aber nicht das Dreieck selbst. Ich lebe in einem begreifbaren, endlichen Bezugssystem, das mit nur relativistisch greifbaren, unendlichen Bruchstücken der ungreifbaren Unendlichkeit arbeitet, und hier wird’s zu wirr, als dass mein überaus endliches Hühnerhirn da nicht auf die Denkmauer stoßen würde, die uns das Begreifen wirklich elementarer Dinge unmöglich macht: Das Universum stellt uns die Ressourcen zur Verfügung, um alles im Universum zu verstehen, doch wenn’s um seine Entstehung geht, kommt nur wirres Gelaber raus: Wenn’s nichts gibt, gibt’s auch keinen Grund, warum es nicht etwas geben sollte, da kann durchaus spontan ein Universum entstehen. Doch dann ist Nichts Materia Prima mit unendlichem Potenzial, und wer hat die Plörre dann zusammengebraut und ihr solche Eigenschaften verliehen? Ich war’s jedenfalls nicht, euer Ehren, ich hab ein Alibi.

    Ich sehe aber auch, dass die Nummer nicht aufgeht: Wenn ich stets a+a+a… zähle, geht das nicht mit a=0. Auch in der Nähe der 0 muss es die kleinstmögliche 1 geben, die für mich, den Beobachter, in der Unendlichkeit mit der 0 zusammenfällt. Wenn ich bis 1 gezählt habe, habe ich bereits eine unendliche Menge dieser eigentlichen, originalen, für den Beobachter nicht fassbaren Kleinst-Einsen zusammengefasst. Aber ich hätte ja gar kein Dreieck, wenn nicht irgendjemand oder irgendwas sie bereits festgelegt hätte, oder?

    Die kleinsten 1en unseres physikalischen Bezugssystems sind Plancksche Größen, doch auch die lassen sich mit dem Taschenrechner unendlich zerbröseln, und werden als Punkte am Horizont definiert, hinter denen alle Längen und Ereignisse zusammenfallen, es dürfte sich also um bloße Schwellenwerte handeln. Am anderen Ende der Skala haben wir die größte 1, die Lichtgeschwindigkeit, machen wir den Taschenrechner-Test: 300 000 + 1. Der Taschenrechner sagt 300 001, reißt dabei keine Lücke ins Raumzeitgefüge, zerfetzt nicht die Gesetze der Physik und öffnet auch nicht die Pforten der Hölle, in die uns Einsteins Gespenst hinabwerfen könnte, ich kann also die Höchstgeschwindigkeit in immer kleinere Einheiten unterteilen, die sie für andere Bezugssysteme zu Unendlich anwachsen lassen. Zum Beispiel für Leute, die mit Lichtgeschwindigkeit reisen, denn nach deren Uhr sind sie in dem Moment angekommen, in dem sie losgedüst sind. Ich sehe auch, dass jeder Fisch aus seinem Aquarium in den Luft-Hyperraum hinein guckt. Eine überlichtschnelle Fliegende Untertasse wird noch lange nicht draus, doch Lackfarbe und Sitzpolsterung könnte ich mir schon mal aussuchen.

    Zum Zählen und Messen benutze ich ein Lineal: Eine bereits unterteilte Linie. Geometrische Figuren sind unendlich, bis man sie miteinander vergleicht. Größe ist relativ, und der Beobachter und sein Bezugssystem, seine Perspektivwechsel, ändern sie die ganze Zeit. Also kann ich schlussfolgern, dass mir Fielmann eine brauchbare Brille verkauft hat, denn genau das sehe ich ja die ganze Zeit um mich.

    Wenn Sie sich Ihre Überlegungen ansehen: Sie wechseln auch ständig die Perspektive, je nachdem, welche Zahlen Sie sich angucken und wie Sie sie in Formation antreten lassen. Dadurch aber bringen Sie die Endlichkeit ins System. Wenn ich 0+1+ Return zähle, bin ich mit Zählen fertig, ab jetzt kriege ich nur Wiederholungsmuster: Ich kann’s noch so oft wiederholen, ich kriege nie was Neues raus, ich ändere nur den Zoom-Faktor: Der Einsen-Stapel wird größer, ergibt also eine 1, der ich näher komme. An diesem Punkt weiß ich selbst nicht, wovon ich brabbele. Aber vielleicht ist das ein Denkansatz, wenn wir uns überlegen, wie in die Unendlichkeit Berechenbarkeit, Varianten und Muster hinein kommen.

  2. Zitat Christoph Pöppe: „Die reichlich 200 Zeichen des Standardzeichensatzes ASCII, mit denen unsere Computer arbeiten, genügen vollauf.“
    ASCII, der Der American Standard Code for Information Interchange, besteht aber nicht aus (Zitat) reichlich 200 Zeichen, sondern aus genau 128 Zeichen (33 nicht druckbaren und 95 druckbaren Zeichen), da es ein 7-Bit Code ist. Wenn schon ist es der ANSI (American National Standards Institute)-Code, der (Zitat) „reichlich 200 Zeichen“ zur Verfügung stellt, denn ANSI ist ein 8-Bit Code, enthält also 256 Zeichen.

    Die Grundaussage des Artikels, dass reelle Zahlen, also die allermeisten Zahlen „undenkbar“ sind, ist allerdings korrekt und hat nicht für die Mathematik, aber beispielsweise für die Anwendung der Mathematik in der Physik eine Bedeutung. Denn wenn reelle Zahlen in der Physik verwendet werden, kommt man damit automatisch ins Reich des „Undenkbaren“. Nur ist unsere physikalische Welt doch wohl denkbar und nicht undenkbar. Damit kommt man dann schnell zur Frage ob reelle Zahlen in der Physik einfach aus Bequemlichkeit gebraucht werden und nicht darum, weil sie physikalisch notwendig sind. Wer weiss, vielleicht kommt man irgendwann zum Schluss, dass jede physikalische Grösse mit maximal 1000 Bytes oder irgend etwas in dieser Grössenordnung erfasst werden kann. Und irgendwann beschliesst dann vielleicht sogar ein Standardisierungskommitee, dass Zahlen, die sich nicht an die von der Physik aufoktroyierte Maximalgenauigkeit halten, nicht mehr in Veröffentlichungen erscheinen dürfen.

    • Sog. reelle Zahlen folgen, in ihrer Erstellung, einer mathematischen Methode, sie werden/wurden sozusagen, rein im Gedachten notwendig, vgl. mit Ihrem :

      -> ‘Damit kommt man dann schnell zur Frage ob reelle Zahlen in der Physik einfach aus Bequemlichkeit gebraucht werden und nicht darum, weil sie physikalisch notwendig sind.’


      Zahlen und Zahlenklassen können beliebig erfunden werden in der Welt des Geistes, haben sich erst einmal nicht der Notwendigkeit der Physik, der Natur zu stellen, die Zahl selbst gibt es in der Natur nicht.

      MFG + HTH
      Dr. Webbaer

  3. Da kann einem schon mal die Frage „Was soll der Blödsinn?“ in den Sinn kommen. In der Realität gibt es sowieso nichts Unendliches. [Artikeltext]

    +

    Wenn aber die überwältigende Mehrheit aller Zahlen solche sind, die man nicht mit Worten beschreiben kann: Wozu sind die überhaupt zu gebrauchen? Kann man die nicht einfach abschaffen? Oder sich konsequent weigern, über sie nachzudenken? Auch über sie als Kollektiv (individuell geht ja sowieso nicht)?

    Nein, es ist nicht sinnvoll.[Artikeltext]

    Gewohnt vely schlau oder klug angemerkt, dieser Kommentar-Geber dankt dem hiesigen werten Inhaltegeber.

    Auch “lässig”, wie hier befunden, eingeschätzt wird.

    Es ist, der Schreiber dieser Zeilen will hier ein wenig metaphysisch werden, so, dass zur Erkenntnis geeignete Subjekte eigene Welten aufmachen, die sich um die sog. Realwelt bei sog gemeintem Vorhaben erst einmal nicht scheren müssen. [1]
    Die Mathematik, die Kunst des Lernens ist insofern schon recht früh, vielleicht zuerst aus ihrer Mutterwissenschaft, der Philosophie, heraus gelöst worden, sie ist eine Methode.
    Und zwar, wie nicht wenige meinen, zentral für wissenschaftliches, insbes. naturwissenschaftliches Bemühen, Dr. Webbaer mag insofern auch Naturwissenschaftler, die eine mathematische Ausbildung genossen haben. [2]

    Old Webbaer, der kein Naturwissenschaftler und kein Formalwissenschaftler, die Mathematik ist Formalwissenschaft, ist, dafür sozusagen zu “kleine Ärmchen” hatte, hat abär doch irgendwann mal so :

    -> https://en.wikipedia.org/wiki/White_Light_(novel)

    … gelesen, von Rudy Rucker, nomen est omen.

    Mit freundlichen Grüßen und weiterhin viel Erfolg
    Dr. Webbaer

    [1]
    Es ist idT unklar, ob sich die Geisteswelt, die individuelle, eindeutig von der sog. Realwelt, die ebenfalls “nur” gedacht sein könnte, unterscheidet.
    Leutz wie Elon Musk, Scott Adams und so weiter, pflegen insofern, nicht nur spaßeshalber, die Idee, dass diese Welt eine Weltsimulation sein könnte.
    (Dr. W stellt sich an dieser Stelle weit fortgeschrittene Zivilisation vor, die sozusagen en passent diese Welt betreibt, vielleicht ganz ähnlich wie so :
    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Simulacron-3
    )

    [2]
    Anscheinend liegt so beim hiesigen werten Inhaltegeber vor.

    • *
      Es ist, der Schreiber dieser Zeilen will hier ein wenig metaphysisch werden, so, dass zur Erkenntnis geeignete Subjekte eigene Welten aufmachen, die sich um die sog. Realwelt bei so[] gemeintem Vorhaben erst einmal nicht scheren müssen.

    • Kontext, @ Kommentatorenfreund ‘Joker’ ;:

      Wenn aber die überwältigende Mehrheit aller Zahlen solche sind, die man nicht mit Worten beschreiben kann: Wozu sind die überhaupt zu gebrauchen? Kann man die nicht einfach abschaffen? Oder sich konsequent weigern, über sie nachzudenken? Auch über sie als Kollektiv (individuell geht ja sowieso nicht)?

      Nein, es ist nicht sinnvoll. Die Mathematiker haben sich nicht zu einer solchen Abschaffung durchringen können, es noch nicht einmal versucht, soweit ich weiß. [Artikeltext]
      Sog, mathematischer Konstruktivismus leidet sozusagen am Gesamtvorhaben, das konstruiert ist,

      besser webverwiesen :

      -> https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematischer_Konstruktivismus

      MFG
      WB

  4. Kontext, @ Kommentatorenfreund ‘Joker’ ;:

    Wenn aber die überwältigende Mehrheit aller Zahlen solche sind, die man nicht mit Worten beschreiben kann: Wozu sind die überhaupt zu gebrauchen? Kann man die nicht einfach abschaffen? Oder sich konsequent weigern, über sie nachzudenken? Auch über sie als Kollektiv (individuell geht ja sowieso nicht)?

    Nein, es ist nicht sinnvoll. Die Mathematiker haben sich nicht zu einer solchen Abschaffung durchringen können, es noch nicht einmal versucht, soweit ich weiß. [Artikeltext]
    Sog, mathematischer Konstruktivismus leidet sozusagen am Gesamtvorhaben, das konstruiert ist,

    besser webverwiesen :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematischer_Konstruktivismus

    MFG
    WB

    PS:
    Die “V2” sieht besser aus.

  5. Da kann einem schon mal die Frage „Was soll der Blödsinn?“ in den Sinn kommen. In der Realität gibt es sowieso nichts Unendliches. [Artikeltext]

    (Zitatende)

    Das ist sie eben, die “Frage aller Fragen.
    Das Problem ist vermutlich , dass (zur Zeit) die Negation einer physikalischen Unendlichkeit genauso “metaphysisch” (also “unphysikalisch” – manches sagen deswegen auch “unwissenschaftlich” ) ist wie das Postulieren einer realphysikalischen Unendlichkeit.
    Allerdings könnte man , denke ich, durchaus sagen, dass “Unendlichkeit sowohl ein logisches, als auch ein physikalisches Paradox sei.

    Dann allerdings müsste man es wohl eventuell in die Rubrik “Schlechte Science Fiktion” einordnen.
    Böse Zungen behaupten ja , dass da auch noch Platz für so manche andere (rein mathematische) “physikalische” Theoriegebäude sei.

    • @little Loius (Zitat): „die Negation einer physikalischen Unendlichkeit genauso “metaphysisch” ist wie das Postulieren einer realphysikalischen Unendlichkeit.“

      Unendliches kann kein Untersuchungs-Gegenstand der Physik sein. Es gilt sogar: Wann immer Unendlichkeiten in physikalischen Berechnungen auftauchten, wussten die Physiker, dass etwas nicht stimmen kann. Das gilt etwa für schwarze Löcher in denen weder die Raumzeit zusammenbrechen kann noch Masse unendlich dicht werden kann. Das gilt auch für die Unendlichkeiten, die in der Quantenfeldtheorie auftauchten bevor man die Renormalisierung erfand.

      Ein unendlich grosses Universum kann man zwar nicht ausschliessen, aber einer Untersuchung wäre es nicht zugänglich. Damit liegt es streng genommen ausserhalb der Physik.

  6. Ingenieure brauchen Endlichkeit
    Nicht nur in der Physik auch in der praktischen Informatik (dem Softwareengineering) weisen Unendlichkeiten auf schwerwiegende Probleme, ja meist Fehler hin.

    Das von Alain Turing gefundene Halteproblem – es gibt keinen Algorithmus, der bestimmen kann ob ein beliebiger Algorithmus bei seiner Ausführung je zum Ende kommt – ist zwar für die theoretische Informatik ein wichtiges Resultat, sagt es doch aus, dass es wohldefinierte Funktionen gibt, bei denen man aber nicht weiss, ob man sie in endlich vielen Schritten berechnen kann, aber für die praktische Informatik bedeutet das Halteproblem etwas völlig anderes, nämlich folgendes: Nur Algorithmen, die garantiert halten (also in endlich vielen Schritten ein Resultat liefern) dürfen in der Praxis ausgeführt werden. Denn eine potenziell nicht abbrechende Berechnung kann in der Praxis nicht akzeptiert werden. Falls man aus grundsätzlichen Gründen nicht weiss, ob ein Programm/Algorithmus hält, dann muss man den Algorithmus so implementieren, dass er nach einer bestimmten Anzahl von Schritten abbricht selbst wenn kein Resultat herauskommt.

    Lehre: Lieber kein Resultat in endlicher Zeit als kein Resultat in unendlicher Zeit.

    • Der Ingenieur baut halt bedarfsweise Haltestellen ein, wenn Algorithmen keinen Halt kennen wollen.
      Dies ist möglich, wenn die sog. CPU-Auslastung gemeint ist, physikalisch sozusagen.

      Sog. beliebige Algorithmen mit potentiell unendlicher Laufzeit werden insofern auch gar nicht gerne gesehen, sind auszumerzen, sozusagen.
      Womöglich gar als fehlerhaft programmiert zu betrachten, dezent formuliert.

      Insofern liegt eine Fiktion vor, die wenig praxis-relevant ist, wenn sog. Prozesse auch “abgeschossen” werden könnten.

      Sie redeten nicht anders, Kommentatorenfreund “Martin Holzherr”.

      Die Mathematik meint die Theorie der Kunst des Lernens, nicht ihre Praxis.

      Was geht, ist bei sog. Unendlichkeiten Grenzwerte zu beachten.
      Unendlichkeiten meinen insofern, real, Spaß- oder Witzbolde, die mit Mathematik Welt zu überschreiben denken.
      Dr. Webbaer ist auch einer davon, oder (der hiesiege) Kommentatorenfreund “Joker” (oder vielleicht auch *Chrys*), oder Scott Adams oder Elon Musk (der sich hier, metaphysisch beachtenswert interessiert zeigt, wie einige finden), abär letztlich den Ablativ meinen.

      MFG
      WB

  7. Christoph Pöppe schrieb (18. Nov 2022):
    > > Wir legen uns einen Zeichensatz zu, […] Die Menge aller endlichen Folgen solcher Zeichen ist abzählbar.

    > […] sich einen Formalismus zulegen […] dass jede in diesem Formalismus korrekt gebildete Zeichenfolge eindeutig einer Zahl entspricht. […]

    > Aber die Menge aller Texte endlicher Länge ist abzählbar, und damit die Menge aller überhaupt denkbaren Zahlen.

    Drückt die folgende Zeichenfolge, unter Annahme des “naheliegenden, in Mathe-bezogenen Texten üblichen” Formalismus (zur Identifikation und Auswahl “korrekter”, sinnvoller, “wohlgeformter” Zeichenfolgen) eine denkbare Zahl aus:

    das Ergebnis der Diagonalargument-Konstruktion angewandt auf die (der alphabetischen Reihenfolge ihrer zugrundegelegten wohlgeformten Zeichen- folgen nach aufgelistete) geordnete Menge aller überhaupt denkbaren Zahlen

    ?

    • Vorsicht, falsche Baustelle!
      Damit die anderen Leser*innen auch mitkriegen, worum’s geht, hole ich etwas weiter aus.
      Das (zweite) Diagonalargument geht so: Reelle Zahlen sind unendliche Folgen von Dezimalziffern. Angenommen, es gäbe eine Abzählung der reellen Zahlen, dann finde ich eine Zahl, die nicht in der Abzählung enthalten ist, indem ich (für n=1 bis unendlich) die n-te Dezimalstelle meiner Zahl gleich der n-ten Dezimalstelle der Zahl Nummer n in der Abzählung plus 1 (modulo 10: 9 wird 0) setze. Nach Konstruktion ist diese Zahl ungleich jeder Zahl in der angenommenen Abzählung, also war die Abzählung nicht vollständig, Widerspruch!
      Für den Widerspruch reicht es, eine Zahl zu finden, die nicht in der vorgeblichen Abzählung enthalten ist. Dem steht nicht entgegen, dass man die so konstruierte Zahl in die Abzählung (die es nicht gibt) einschieben könnte, ohne an der Abzählbarkeit etwas zu ändern.
      Aber jetzt haben wir die Abzählung aller denkbaren Zahlen, sprich endlichen mathematisch bedeutsamen Zeichenfolgen. Wie wendet man da das Diagonalargument an? Ab einer gewissen Nummer (eigentlich von Anfang an) hat der Ausdruck Nummer n in unserer Abzählung weniger als n Zeichen. Um die Diagonalargument-Zahl zu konstruieren, müsste man die n-te Zahl formal verlängern, mit Leerzeichen oder so. Einerlei wie man es anstellt: Unsere Diagonalargument-Zahl hätte unendlich viele (nicht-leere) Zeichen und würde damit nicht mehr zur Menge unserer denkbaren Zahlen gehören.
      Die Antwort auf Ihre Frage ist also ein klares Nein.

  8. Seltsam, die kleinste Zahl vor dem Komma, die “1“ in Verbindung mit dem Unendlichkeitswert: Zahl “Phi“, verkörpert den Umfang einer Energie- Teilchenwelle – Baustein von Quanten bis hin zum Aufbau des Universums und nachfolgenden Entwicklungen.

    • @W.Bülten: Ohne Zweifel haben gewisse irrationale Zahlen eine Bedeutung in der Physik und vielem mehr. Die meisten reellen Zahlen (gar unendlich viele?) haben aber überhaupt keine praktische Bedeutung.

      • Da sind wir, denke ich, gleicher Meinung. Nur in diesem einmaligen Geschehen, hat eine besondere Zahlenkombination Gestalt (Teilchenwelle) angenommen.
        Besten Dank für Ihren Beitrag. W. B.

  9. Frank Wappler schrieb (20.11.2022, 10:51 o’clock):
    > […] der alphabetischen Reihenfolge nach […]

    Nein — Entschuldigung! — das wäre verkehrt “gehäkelt”.

    Im Zusammenhang mit meiner obigen Frage wäre stattdessen die Sortierung aller endlichen Zeichenketten aus einem gegebenen endlichen Alphabet so, dass (am Beispiel des besonders anschaulichen Alphabets der Kleinbuchstaben, geordnete Menge { a, b, ..., z } ):

    a < b < ... z < aa < ab < ... az < ba < bb < ... < bz < ... < aaa < ...

    Leider kenne ich noch keine Kurz-Bezeichnung dieser (für meine obige Frage geeigneten) Sortierung. Deshalb verzichte ich bis auf Weiteres darauf, meine Frage entsprechend korrigiert erneut zu stellen, und bitte stattdessen zunächst um Vorschläge zur Benennung …

  10. @ Martin Holzherr und:
    “..Unendliches kann kein Untersuchungs-Gegenstand der Physik sein. Es gilt sogar: Wann immer Unendlichkeiten in physikalischen Berechnungen auftauchten, wussten die Physiker, dass etwas nicht stimmen kann. Das gilt etwa für schwarze Löcher in denen weder die Raumzeit zusammenbrechen kann noch Masse unendlich dicht werden kann. Das gilt auch für die Unendlichkeiten, die in der Quantenfeldtheorie auftauchten bevor man die Renormalisierung erfand.
    Ein unendlich grosses Universum kann man zwar nicht ausschliessen, aber einer Untersuchung wäre es nicht zugänglich. Damit liegt es streng genommen ausserhalb der Physik.

    (Zitatende)

    Ihr Wort in Gottes Ohr. Aber die Götter der Standardtheorien oder der aktuellen
    (Astro- ) physikalischen “Narrative” (das Wort trifft hier zu, denn sie werden den Laien in der Tat wie pädagogische Wundererzählungen präsentiert) sehen das nun mal anders.
    Zumal sie ja offenbar jederzeit entdeckte Inkonsistenzen oder empirische Problematiken durch mathematische Methoden wie die “Renormalisierung” aus der Welt schaffen können. Und da sie im akademischen Raum halt fast wie Götter angesehen werden, wagt auch kaum jemand (von innerhalb der “community” ) sie deswegen zu kritisieren.
    Und wenns doch mal jemand tut, kann er halt anschließend seine Veröffentlichungen fast nur noch beim bekanntesten Esoterik Verlag oder als yt- Videos publizieren.
    Stimmts halbwegs so, oder isses “maßlos übertrieben” ?

    • @little Louis: was sich prinzipiell nicht beobachten und empirisch/reproduzierbar untersuchen lässt ist ausserhalb der empirischen Wissenschaft (aka Naturwissenschaft). Das ist etwa der Grund, dass Theologie, Götter und Gott keine Themen der Naturwissenschaft sind. Denn Gott lässt sich weder beobachten noch reproduzierbar untersuchen.

      Unendliches gehört ebenfalls zu diesen nicht beobachtbaren, nicht empirisch untersuchbaren Dingen.

      Das wirkliche „Zuhause“ des Unendlichen ist die Mathematik. In der Tat braucht ein Mathematiker praktisch nichts anderes als seinen Kopf um etwas zu untersuchen. Und im Kopf ist nun mal vieles möglich.

      • Martin Holzherr schrieb (22.11.2022, 10:47 o’clock):
        > […] Unendliches gehört […] zu […d]en nicht beobachtbaren, nicht empirisch untersuchbaren Dingen.

        Das ist nicht zuletzt hinsichtlich “Dingern” wie “Beschleunigung”, “Kraft” und dynamisch-konjugierten Größen insgesamt zu beachten;
        insbesondere hinsichtlich der Auffassung von Werten solcher Größen als Grenzwerte; symbolisch: \(\text{lim}\).

  11. Schon Ernst Mach bemerkte: “Wer Mathematik treibt, den kann zuweilen das unbehagliche Gefühl überkommen, als ob seine Wissenschaft, ja sein Schreibstift, ihn selbst an Klugheit überträfe, ein Eindruck, dessen selbst der große Euler nach seinem Geständnisse sich nicht immer erwehren konnte.” Ernst Mach (1838-1916), Vortrag, Sitzung der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien am 25. Mai 1882

    Siehe als Beispiel unstrittig das BanachTarski-Paradoxon, welches im Ergebnis, mathematisch „axiomatisch sauber“, begründet, in der Realität kläglich scheitert.

    Beispiel: In einfachen Worten „bewiesen (mathematisch)“ 1924 Stefan Banach (1892 -1945 polnischer Mathematiker) und Alfred Tarski (1901 – 1983 polnisch-amerikanischer Mathematiker und Logiker), wie aus einer Kugel zwei Kugeln werden. Das bedeutet, die mathematisch definierte „axiomatische Wirklichkeit“ besitzt hier keine physische Realität.]

    Interessant am Banach-Tarski-Beweis der »Schaffung aus dem Nichts« ist die Tatsache, dass in der „Rezeption“ in der Fachwelt (der Mathematiker und Theoretischen Physiker) die physische Unmöglichkeit des mathematischen Beweises keine fundamentale Kritik an der „axiomatischen Mathematik“ zur Folge hat(te). Denn es drängt sich (nicht nur analytisch betrachtet) die Frage auf, inwieweit auch andere axiomatisch begründete Beweis-Konstrukte, insbesondere innerhalb der Theoretischen Physik, nicht anwendbar sind, da sie physische Unmöglichkeiten als physikalische Realität erscheinen lassen. Ohnehin gilt beispielsweise im Rahmen der Differentialgeometrie seit Anbeginn, das – plakativ formuliert – auch banale Schreibfehler im Formalismus zu neuen Lösungen führen. Dieses Phänomen ist nicht zu unterschätzen, da in den Abstraktionen der „modernen“ Theoretischen Physik per se postuliert realobjektbefreite Begriffe und Entitäten dominieren.

    Die Verselbständigung der mathematischen Abstraktionen führt nachweislich zu beliebigen Fantasiekonstrukten. Und die damit einhergehende Einschränkung des axiomatisch erzeugten Blickwinkels erschwert es zunehmend, wichtige Fragen nach den kausalen Zusammenhängen zu klären, ohne welche die naturwissenschaftliche Forschung selbstgenügend zur irrelevanten Tätigkeit „verkommt“.

    Ausblick

    Die jetzige, auf Mathematik basierende, realobjektbefreite Theoretische Grundlagen-Physik bedarf dringend einer naturphilosophisch orientierten Reglementierung. Hier ist (wieder aktuell) Karl Popper zu zitieren*: …” Unsere Untersuchung lässt erkennen, dass selbst nahe liegende Zusammenhänge übersehen werden können, wenn uns immer wieder eingehämmert wird, dass das Suchen nach solchen Zusammenhängen ‘sinnlos’ sei.”

    *K. Popper, Logik der Forschung. 9. Aufl. Mohr, Tübingen 1989, S. 196.Hrsg. E. Botcher: Die Einheit der Gesellschaftswiss. Bd. 4;The Logic of scientific discovery. (1935); 2nd Ed. London , New York : Basic Books 1959.

  12. Mal etwas für “Fortgeschrittene” am “Rande”

    Historische Bemerkungen zur Bedeutung geometrisch begründeter Strukturen

    1…”Der Begriff der Proportion ist von einer nicht zu überschätzenden Relevanz für das Verständnis der europäischen Wissenschaftsgeschichte. In jenem Schriftwechsel zwischen Leibniz und Clarke (1675 – 1729) entwickelt der englische Philosoph und Hofprediger, enger Vertrauter und Schüler Newtons, jene Auffassung von Proportionen, „die genau mit dem Gebrauch übereinstimmt, den Isaac Newton in den Principia von Proportionen macht.“ [CLARKE, S. (1990), S. LXXXII].

    In seinem 5. Antwortbrief an Leibniz erläutert Clarke den Begriff der Proportion; so meint er:

    „Proportionen sind nicht Mengen, sondern die Proportionen von Mengen. Falls sie Mengen wären, so wären sie Mengen von Mengen, was Unsinn ist. [Auch] müssten sie dann durch Addition anwachsen. Addiert man indes die Proportion von 1 zu 1 zur Proportion von 1 zu 1, so resultiert wieder die Proportion von 1 zu 1.“ [CLARKE, S. (1990), S. LXXXII]. Zahlen erscheinen als Größen. Hingegen „existieren die wirklich in der Natur vorkommenden Dinge als Mengen.“ [CLARKE, S. (1990), S. LXXXIII].

    So sind Raum und Zeit Mengen, keine Kontinua, sondern „sie besitzen eine diskrete Struktur, sie sind quantisiert, wie man heute sagen würde. Das aber bedeutet, dass es … eine kleinste Zeiteinheit oder eine Elementarzeit geben muss und eine kleinste Längeneinheit oder Elementarlänge, falls wir »Länge« als elementares Maß des Raumes begreifen…

    „Man kann Proportionen dann nicht auf bloße Zahlenwerte reduzieren, wenn man mit Mengen von real existierenden Dingen verschiedener Art zu rechnen hat. Da die Proportionenlehre ein Teil der Geometrie ist, so gilt: Die mathematischen Beziehungen zwischen art- und wesensverschiedenen Dingen vermag allein die nicht auf Arithmetik zu reduzierende Geometrie zu behandeln. Wenn es also eine erschaffene Natur gibt, … wenn es den wirklichen Raum gibt und die wirkliche Zeit, die wirkliche Materie, die absolute Bewegung und die bewegenden Kräfte als objektive Realitäten, als Entitäten von unterschiedlichem ontologischem Status, so wird eine realistische mathematische Wissenschaft… eine geometrische Wissenschaft sein müssen.“ [CLARKE, S. (1990), S. LXXXV].”

    Quelle: Nichtmechanistische Darstellung der physikalischen Disziplinen als mathematische Systemtheorie von Vilmos Balogh

  13. Christoph Pöppe schrieb (21.11.2022, 11:50 o’clock):
    > Vorsicht […]!

    (So betrachtet jedenfalls ein guter Ratschlag.)

    > Das (zweite) Diagonalargument

    … das im obigen SciLog-Artikel als “Cantor[s …] berühmte[s] Diagonalargument verlinkt war. (Also nicht das im Artikel ebenfalls erwähnte, so genannte und erklärte “erste Diagonalargument”.) …

    > geht so: Reelle Zahlen sind unendliche Folgen von Dezimalziffern. […]

    Vorsicht!:
    Reelle Zahlen lassen sich u.a. als unendliche Folgen von Dezimalziffern … (ähm) … auffassen.
    (Diese Wortwahl erscheint mir im gegebenen Kontext vorsichtiger, als von “denken” oder “darstellen” zu schreiben.)

    Jede bestimmte reelle Zahl, die sich u.a. als unendliche Folgen von Dezimalziffern auffassen lässt, lässt sich (bekanntlich und sicherlich unbestritten) u.a. auch (jeweils eindeutig) als unendliche Folge von Ziffern jeder anderen (geeigneten) Basis auffassen (vgl. Stellenwertsystem einschl. seiner Verallgemeinerungen).

    Und für mindesten einige reelle Zahlen sind außerdem noch andere, insbesondere endliche alpha-numerische Zeichenfolgen-Darstellungen: gebräuchlich, denkbar, mathematisch bedeutsam.

    Das Auffassen einer/jeder reellen Zahl als unendliche Folge von Dezimalziffern ist demnach Bestandteil (“der erste Schritt”) des Diagonalarguments, das hier gemeint ist und u.a. im Wikipedia-Artikel so (“kanonisch”) beschrieben ist; bzw. “der erste Schritt” der damit verbundenen, von mir oben so bezeichneten “Diagonalargument-Konstruktion (einer reellen Zahl)”.

    > Aber jetzt haben wir die Abzählung aller denkbaren Zahlen, sprich endlichen mathematisch bedeutsamen Zeichenfolgen.

    Ganz recht — wobei allerdings in Frage steht, ob die oben (20.11.2022, 10:51 o’clock) bzw. nochmals untem im “p.s.” in Betracht gestellte endliche Zeichenfolge ausdrücklich dazugehört, oder nicht.

    > Wie wendet man da das Diagonalargument an?

    Sofern (in Anwendung des im obigen SciLogs-Beitrag vorausgesetzten “Formalismus”) festgestellt ist, dass jede in der Auflistung/Abzählung gegebene Zeichenfolge “eindeutig einer [reellen] Zahl entspricht” (und damit natürlich auch “mathematisch bedeutsam” ist), wird

    – jede dieser Zahlen zunächst rein formal und abstrakt als (jeweils eindeutige) Folge von Dezimalziffern aufgefasst, und

    – jeder dieser zunächst abstrakten Ziffern sofern für die folgende Konstruktion bzw. Argumentation jeweils erforderlich ein konkreter Wert aus dem Wertebereich { 0, 1, ... 9 } zugeordnet.

    (Insbesondere, hinsichtlich “der kanonischen Diagonalargument-Konstruktion”, müsste jeweils von der Dezimal-Auffassung derjenigen Zahl, die dem n-ten Eintrag in der Auflistung/Abzählung von endlichen mathematisch bedeutsamen Zeichenfolgen eindeutig entspricht, “nur” der konkrete Wert der n-ten Ziffer ermittelt werden.

    Sicherlich ist durch die Forderung nach “mathematisch bedeutsamen” Zeichenfolgen und entsprechenden reellen Zahlen garantiert, dass der betreffende konkreter Wert einer Dezimalziffer für jeden endlichen Wert n ermittelt werden kann.)

    > […] Um die Diagonalargument-Zahl zu konstruieren, müsste man die n-te Zahl formal verlängern, mit Leerzeichen oder so.

    Richtig: Die erforderliche formale unendliche Verlängerung erfolgt durch das Auffassen der betreffenden Zahl als unendliche Folge von Dezimalziffern.
    Zu beachten ist auch, dass auch die “punktuellen” Bewertungen dieser formalen unendlichen Verlängerungen insgesamt den Dezimalziffern-Wertebereich zwangsläufig ausschöpfen — schon allein wegen aller rationalen Zahlen, deren endliche Zeichenfolgen-Darstellungen aufgelistet sind. Diese Verlängerungen erfolgen also nicht etwa “alle immer nur mit dem selben Ziffern-Symbol”.

    > Einerlei wie man es anstellt: Unsere Diagonalargument-Zahl hätte unendlich viele (nicht-leere) Zeichen

    In der Dezimal-Auffassung “unserer Diagonalargument-Zahl” … alias: “des Ergebnisses” … sofern diese Kurz-Beschreibung tatsächlich einer bestimmten denkbaren Zahl entspricht … träte jede Dezimalziffer unendlich viele Male auf; schon allein wegen aller rationalen Zahlen.

    > und würde damit nicht mehr zur Menge unserer denkbaren Zahlen gehören.

    ???
    Dass in einer unendlichen Dezimalziffern-Folge (“nach dem Komma”) jede Dezimalziffer unendlich viele Male auftritt, oder überhaupt mindestens zwei verschiedene Ziffern unendlich viele Male auftreten, oder überhaupt irgendeine Ziffer außer 0 oder 9 unendlich viele Male auftritt,
    schließt doch keineswegs aus,
    dass die betreffende unendlichen Dezimalziffern-Folge der Dezimal-Auffassung einer bestimmten (reellen) Zahl gleicht, die wiederum auch eine (in Anwendung des im obigen SciLogs-Beitrag vorausgesetzten “Formalismus” nachweisbare) bestimmte Darstellung als endliche und mathematisch bedeutsame Zeichenfolge hat!

    (Zum Beispiel — in Annahme des “naheliegenden, in Mathe-bezogenen Texten üblichen” Formalismus zur Identifikation und Auswahl mathematisch bedeutsamer/wohlgeformter Zeichenfolgen — die durchaus geläufigen Zeichenfolgen
    √2, oder 1/11, oder 1/3,
    jeweils als endliche Darstellung der betreffenden, denkbaren Zahl, deren Dezimal-Auffassung die o.g. Eigenschaften aufweist.)

    Da ich diesem zitierten Begründungs-Versuch wie geschildert nicht folgen kann, kann ich bis auf Weiteres auch keine weiteren Aussagen vertreten, die nur daraus als Schlussfolgerungen erreichbar wären …
    Ich möchte mich aber jedenfalls für das Betreten dieser (auf Anhieb womöglich nicht ganz überschaubaren) Baustelle bedanken!, und —
    ganz vorsichtig nachfragen, welche Anschlussfrage denn bitteschön daraufhin noch in Betracht käme, falls überhaupt eine.

    p.s.
    Meine Eingangsfrage hatte ich (hinsichtlich der Reihenfolge/Sortierung der endlichen mathematisch bedeutsamen Zeichenfolgen) zunächst leider falsch gestellt (was bzgl. des zitierten Begründungs-Versuchs allerdings (noch) keine für mich erkennbare Rolle spielte); und sie profitiert womöglich von der Spezifizierung des gemeinten, im Wikipedia-Artikel so beschriebenen “(zweiten) Diagonalarguments” als “kanonisch”. Entsprechend korrigiert und ergänzt möchte ich meine Eingangsfrage hiermit nochmals vorlegen:

    Drückt die folgende Zeichenfolge, unter Annahme des “naheliegenden, in Mathe-bezogenen Texten üblichen” Formalismus (zur Identifikation und Auswahl mathematisch sinnvoller, wohlgeformter Zeichenfolgen) eine denkbare Zahl aus:
    das Ergebnis der kanonischen Diagonalargument-Konstruktion angewandt auf die (der alpha-numerischen Stellenwert-Reihenfolge ihrer zugrundegelegten wohlgeformten Zeichenfolgen nach aufgelistete) geordnete Menge aller überhaupt denkbaren Zahlen

    • p.p.s. — tl;dr, d.h. eine eigens formulierte Kurzfassung des vorausgehenden Kommentars, zum besonders bedachten Lesen:

      Christoph Pöppe schrieb (21.11.2022, 11:50 o’clock):
      > Vorsicht, falsche Baustelle! […]

      Im obigen SciLogs-Artikel wird ja ein “Formalismus” erwähnt, der die (wichtige) Aufgabe erfüllen soll, “dass jede in diesem Formalismus korrekt gebildete Zeichenfolge eindeutig einer Zahl entspricht.” Leider, wenn sicherlich doch auch mit (gutem) Grund, ist dort aber kein konkreteres Beispiel eines solchen “Formalismus” beschrieben, oder gar bis ins letzte Detail vorgegeben.

      Meine Frage bezieht sich deshalb auf eine konkrete Auswahl eines solchen “Formalismus”, der jedenfalls die richtige (Sektion der) Baustelle ansteuert;
      gemäß dem sich insbesondere die Zeichenfolge

      ... Diagonalargument-Konstruktion angewandt auf [eine bestimmte, unendliche] geordnete Menge [von] Zahlen ...

      im Sinne der (kanonischen) Beschreibung des betreffenden Diagonalargumentes jeweils
      auf Zahlen bezieht, die dabei jedenfalls als unendliche Dezimalfolgen (“nach dem Komma”) aufgefasst werden sollen, insbesondere auch dann, falls sie zunächst in anderer Darstellung gegeben wären;
      und nicht etwa auf irgendeine “alpha-numerische Variante” einer Diagonal-Konstruktion, die (sofern überhaupt) auf (eine bestimmte, unendliche geordnete Menge von) Zeichenfolgen anzuwenden wäre.

      > […] Die Antwort auf Ihre Frage ist also ein klares Nein.

      Dieses “Nein.” ist im zitierten Kommentar allein durch die Annahme eines zugrundegelegten “Formalismus” begründet, der von vornherein die falsche Baustelle ansteuert.

      Das schließt zwar nicht aus, dass eine verneinende Antwort auf meine Frage (20.11.2022, 10:51 o’clock) letztlich begründbar ist.
      Aber bitteschön nicht allein aufgrund des Ansatzes eines konkreten “Formalismus”, der von vornherein auf der falschen Baustelle endet; wenn und weil sich ja wie beschrieben zielführendere “Formalismen” ansetzen lassen.

      Sobald ein bestimmter geeigneter “Formalismus” hinreichend konkret beschrieben bzw. vorgegeben würde, insbesondere hinsichtlich der eventuellen mathematischen Bedeutung der Zeichenfolge Diagonal usw., könnte und würde ich ggf. die Zeichenfolge in meiner Fragestellung ebenfalls entsprechend konkretisieren; um erst im Anschluss daran durch Anwendung dieses konkretisierten “Formalismus” zu untersuchen, ob die Zeichenfolge “korrekt” bzw. “wohlgeformt” ist und eine Zahl darstellt, oder nicht.

  14. @Martin Holzherr und zu den folgenden Zitaten von ihm:

    1.
    @little Louis: was sich prinzipiell nicht beobachten und empirisch/reproduzierbar untersuchen lässt ist ausserhalb der empirischen Wissenschaft (aka Naturwissenschaft).(Zitatende)

    Versteht sich von selbst.

    2.
    Das ist etwa der Grund, dass Theologie, Götter und Gott keine Themen der Naturwissenschaft sind. Denn Gott lässt sich weder beobachten noch reproduzierbar untersuchen.
    Unendliches gehört ebenfalls zu diesen nicht beobachtbaren, nicht empirisch untersuchbaren Dingen.
    (Zitatende)

    Da wäre ich weit vorsichtiger. Denn:
    Warum sollte Naturwissenschaft nicht in der Lage sein können, eine Art von Erstverursachung zu identifizieren? Es muss sich dabei ja nicht zwangsläufig um
    “Unendlichkeiten” handeln. Zumindest weiß man das nicht. Und solange man etwas nicht weiß, weiß man noch lange nicht , ob es prinzipiell unerforschbar (bzw. “nicht zu wissen”) ist.
    Eventuell begeben Sie sich mit solchen Sätzen in ähnliche Basta- Dogmatiken wie Theologen, die “frei Schnautze” dogmatisch postulieren, dass man die Frage noch der Ursache eines Erstverursachers nicht (mehr) stellen darf. Denn es geht halt nicht nur um (Gedanken-) Logik , sondern um Physik.
    Aber ich weiß – ist schon schwierig. Aber Spekulation ist andererseits auch ein wichtiger Keim für wissenschaftlichen Erkenntnisfortschritt. Man brauchte vor hunderten von Jahren schon ein gehöriges Maß an Phantasie um sich überhaupt die Möglichkeit eines “Internet” vorzustellen.
    Und so manche Entdeckung wurde (nachweislich)von Science- Fiction Literatur oder früher auch von Mythen oder (historischer)”Esoterik” inspiriert.

  15. little Louis
    23.11.2022, 16:37 o’clock
    @Martin Holzherr und zu den folgenden Zitaten von ihm:
    1.
    @little Louis: was sich prinzipiell nicht beobachten und empirisch/reproduzierbar untersuchen lässt ist ausserhalb der empirischen Wissenschaft (aka Naturwissenschaft).(Zitatende)
    Versteht sich von selbst.
    2.
    Das ist etwa der Grund, dass Theologie, Götter und Gott keine Themen der Naturwissenschaft sind. Denn Gott lässt sich weder beobachten noch reproduzierbar untersuchen.
    Unendliches gehört ebenfalls zu diesen nicht beobachtbaren, nicht empirisch untersuchbaren Dingen. (Zitatende)
    (Zitatende)
    = = =
    Kommentar:
    Ist doch logisch, die Philosophie befasst sich u. a. mit Naturwissenschaft, z. Bsp.: Das materielle Universum.
    Dagegen die Theologie mit Geisteswissenschaft, z. Bps.: Gott, dem Schöpfer des Universums. Das ist allerdings wie ein Paar Schuhe, Schöpfer und Schöpfung gehören zusammen.
    In der Geometrie (materielle Welt) kennt man die unendliche Kreiszahl. Ohne sie gäbe es keinen Kreis, wie groß auch immer.
    Bezogen auf den Schöpfer (unsichtbarer Geist) heißt es: Ohne Anfang und ohne Ende, wie der Kreis = unendlich.
    Für Naturwissenschaftler ist es selbstverständlich, dass es zum Auto einen Konstrukteur geben muss und zu einem Hochhaus einen Architekten.
    Für das Universum gibt es aber keinen Schöpfer, man kann ihn weder anfassen noch berechnen – logisch?
    Und schaut man mal in den Spiegel, stammt der Mensch angeblich vom Affen.
    Würde er sich folgende Fragen stellen: Wer bin ich, woher komme ich und wohin gehe ich eines Tages, müsste die Antwort lauten:
    Ich bin ein emanzipierter Affe, meine Vorfahren waren Affen und ich lande eines Tages bei meinen Kollegen in einem großen Affenkäfig.
    Das ist doch eine tolle Perspektive, oder?
    M. f. G.

  16. “….Bezogen auf den Schöpfer (unsichtbarer Geist) heißt es: Ohne Anfang und ohne Ende, wie der Kreis = unendlich….” (Zitatende)

    Außer in den Köpfen von Mathematikern und Philosophen gibt es aber vermutlich keinen Kreis ” ..Ohne Anfang und ohne Ende..”. Denn in der physikalisch-technischen Realität hat jeder real existierende Kreis einen abmessbaren Umfang. Und beim Abmessen muss man wohl immer einen Anfangspunkt auswählen. Doch realphysikalisch- technisch ist der nicht mit dem Endpunkt identisch , sondern diesem nur sehr (!) benachbart.
    Der Umfang ist vermutlich aber immer endlich. Außer man lässt , aber wieder nur in den Köpfen der Mathematiker, den Radius bzw. Durchmesser ins Unendliche wachsen.

    Wer weiß, ob es sich beim Thema “Schöpfer” nicht um ein ähnliches
    (eventuelles !) “Scheinproblem” handelt .

  17. little Louis
    25.11.2022, 12:15 o’clock
    Zitat:
    Der Umfang ist vermutlich aber immer endlich. Außer man lässt, aber wieder nur in den Köpfen der Mathematiker, den Radius bzw. Durchmesser ins Unendliche wachsen.
    = = =
    Mathematisch ist vieles möglich, die Realität sieht jedoch anders aus. In Bezug auf unser materielles Sonnensystem gibt es Berechnungen, die auf eine Endlichkeit hinweisen. Selbst das Universum ist endlich. (lt. Bibel)
    Naturwissenschaftler rätseln immer noch, wie diese materielle Welt architektonisch entstanden ist. Da muss doch eine höhere, geniale Intelligenz (Schöpfer) dahinterstehen, die wiederum auf eine Unendlichkeit schließen lässt.
    Ehrlich gesagt: Ich (Grufti), bin begeistert von meinem und Ihrem Schöpfer und bin IHM sehr dankbar.
    M. f. G.

  18. @ Frank Wappler
    Allmählich glaube ich zu wissen, worauf Sie hinauswollen. Um weitere Missverständnisse zu vermeiden, versuche ich die Sache etwas zu formalisieren.
    Wir nehmen an, wir haben eine nummerierte Aufstellung (eine „Abzählung“) aller Zeichenketten endlicher Länge, die eine reelle Zahl eindeutig bestimmen. Um die Sache nicht von irgendwelchen Interpretationszweideutigkeiten abhängig zu machen, denken wir uns ein Computerprogramm namens f, das zu jeder dieser Zeichenketten die zugehörige Zahl berechnet; die Zahl zur Zeichenkette Nummer n nennen wir entsprechend f(n).
    („Berechnen“ ist im üblichen Sinn zu verstehen: Das Programm berechnet nicht etwa alle unendlich vielen Stellen von f(n), was unmöglich wäre, sondern so viele, wie der Programmierer anfordert: beliebig viele.)
    Darüber hinaus vertrauen wir unserem Programm auch die Aufgabe an zu bestimmen, ob die vorgelegte Zeichenfolge tatsächlich eindeutig eine reelle Zahl bestimmt. Das stellt sich möglicherweise erst nach längerem Nachdenken heraus; man denke an etwas wie „Supremum aller Lösungen der Gleichung …“, daraufhin sucht das Programm nach Lösungen und stellt fest, dass es keine gibt. (Natürlich kann man diese Auslesearbeit auch einem anderen Programm anvertrauen – was aber fürs Prinzip keinen Unterschied macht.)
    Jetzt kommt das Programm bei einer (sehr großen) Nummer N zu Ihrer Beschreibung einer Zahl, die durch das Diagonalargument definiert wird: „Die n-te Stelle von f(N) sei gleich der n-ten Stelle von f(n) plus 1 (modulo 10, oder was immer die Basis unseres Zahlensystems sein mag).“
    Das Programm rechnet gutwillig eine Stelle nach der anderen von f(N) aus – und dann kommt es zur N-ten Stelle; bezeichnen wir sie mit \(f(N)_N\). Hier lautet die Anweisung \(f(N)_N = f(N)_N+1\); ein eklatanter Widerspruch.
    Bei dieser Gelegenheit fällt uns auf, was wir schon früher hätten merken können: Das Programm f wird aufgefordert, sich selbst aufzurufen. Das kann gut gehen, aber eben auch schief, hier in Fall n=N. Und schon ist man bei Gödel, Escher, Bach.
    Also: Die Antwort auf die revidierte Frage lautet abermals Nein, aber aus völlig anderem Grund.

  19. Christoph Pöppe schrieb (27.11.2022, 15:34 o’clock):
    > Allmählich glaube ich zu wissen, worauf Sie hinauswollen. […]

    Danke sehr; darüber freue ich mich immer noch lieber spät, als gar nicht.
    (Inzwischen hatte ich mir natürlich auch überlegt, wie ich meine Frage nochmals in Reaktion auf den angekündigten “nächsten Beitrag” formuliert hätte; bzw. auf die erwartbare Argumentation darin.)

    > […] Also: Die Antwort auf die revidierte Frage lautet abermals Nein, aber aus völlig anderem Grund.

    Damit die Mit- und Nachlesenden keinen falschen Eindruck erhalten, möchte ich an dieser Stelle:

    (1) bestätigen, dass ich meine anfängliche Fragestellung (20.11.2022, 10:51 o’clock) in anschließenden Kommentaren (20.11.2022, 14:12 o’clock, 20.11.2022, 14:25 o’clock) in bestimmter Hinsicht als “verkehrt “gehäkelt”” bezeichnet, und später (21.11.2022, 16:44 o’clock) eine sachlich geeignetere, wenn man so will: “revidierte” Version meiner Frage ausdrücklich formuliert hatte; und

    (2) diesbezüglich nachfragen und um eine ausführlichere Formulierung der zitierten Schlussfolgerung bitten:

    Ist damit gemeint:

    – Entweder:

    Also: Die Antwort auf die revidierte Frage [ (21.11.2022, 16:44 o’clock) ] lautet Nein, aber aus völlig anderem Grund [ als die ebenfalls “Nein.” lautende Antwort (21.11.2022, 11:50 o’clock), die auf die anfängliche Fragestellung (20.11.2022, 10:51 o’clock) gegeben würde;
    wobei die Verschiedenenheit der Begründungen dieser beiden äußerlich gleichen Antworten ausdrücklich wegen der sachlichen Verschiedenheit der beiden Fragestellungen (21.11.2022, 16:44 o’clock) kontra (20.11.2022, 10:51 o’clock) geboten und erforderlich war ].

    – Oder:

    Also: Die Antwort auf die revidierte Frage [ (21.11.2022, 16:44 o’clock) ] lautet Nein, aber aus völlig anderem Grund [ als die ebenfalls “Nein.” lautende Antwort (21.11.2022, 11:50 o’clock), die auf die anfängliche Fragestellung (20.11.2022, 10:51 o’clock) gegeben würde;
    wobei die Verschiedenenheit der Begründungen dieser beiden äußerlich gleichen Antworten weniger mit der sachlichen Verschiedenheit der beiden Fragestellungen zu tun hatte, sondern vielmehr mit dem allmählich zunehmenden Verständnis des zugrundeliegenden Anliegens beider Fragestellungen ].

    – Oder: … Welche andere ausführliche Formulierung wäre zustimmungsfähig ?
    .

    Jedenfalls glaube ich mittlerweile, anders als noch (21.11.2022, 16:44 o’clock), dass meine Fragestellung verstanden wurde, und dass die Antwort “Nein [ — die im Kommentar (21.11.2022, 16:44 o’clock) vorgelegte endliche Zeichenfolge bestimmt keine überhaupt denkbare reelle Zahl ].” entsprechend durchdacht wurde — nochmals ausdrücklich danke dafür.

    Es ist auch festzustellen, dass diese Antwort offenbar gut zur Aussage aus dem obigen SciLog-Artikel passt:
    Christoph Pöppe schrieb (18. Nov 2022):
    > […] Aber die Menge aller Texte endlicher Länge ist abzählbar, und damit die Menge aller überhaupt denkbaren Zahlen.

    Um so gespannter bin ich nun auf den angekündigten “nächsten Beitrag”. …

Leave a Reply


E-Mail-Benachrichtigung bei weiteren Kommentaren.
-- Auch möglich: Abo ohne Kommentar. +