Bergwandern in n Dimensionen
BLOG: Heidelberg Laureate Forum
Stellen Sie sich vor, Sie werden bei einer Bergwanderung in den Alpen vom Nebel überrascht. Die Sichtweite beträgt nur noch wenige Meter, Sie kennen sich nicht aus, und andere Orientierungsmöglichkeiten wie GPS stehen nicht zur Verfügung. Da Sie sich Ihren Standort nicht gemerkt haben, hilft Ihnen auch die Wanderkarte nicht viel. Es versteht sich, dass Sie möglichst rasch, bevor es dunkel wird, ins Tal wollen – einerlei in welches Tal, denn dort findet sich mit Sicherheit ein Unterschlupf für die Nacht und vielleicht sogar eine Portion Kässpätzle, oder was das Herz sonst begehrt.
Was tun? Das scheint relativ klar. Sie schauen sich um, gehen ein paar Schritte in die Richtung, in der es am steilsten bergab geht, schauen sich wieder um – vom neuen Standpunkt aus sieht man etwas mehr vom Gelände –, wählen wieder die Richtung des steilsten Abstiegs, und so weiter.
In den echten Alpen dürfte dieses Rezept in den meisten Fällen zum Ziel führen. Scheitern würde es allenfalls an einer hoch gelegenen Talsenke, die möglicherweise von einem abflusslosen See gefüllt ist – was in den Alpen eher selten vorkommt. Oder man trifft auf eine senkrecht abfallende Wand, und der nächste Schritt führt einen zwar ein gutes Stück abwärts, aber die Nebenbedingung, dass man die Wanderung überleben soll, ist nicht erfüllt.
Am Ziel angekommen, stellen Sie fest, dass Sie einen ziemlich großen Umweg gelaufen sind. Das Ende Ihrer Wanderung liegt nämlich an der Mündung eines kleinen Flusses, der sich eine einigermaßen geradlinige Schlucht ins Gebirge gegraben hat. Als der Nebel kam, waren Sie an einem der Hänge dieses schmalen Tals, sind zunächst steil bergab bis zum Fluss gelaufen und dann dessen Lauf gefolgt. Mit dem richtigen Überblick wären Sie ganz allmählich schräg am Hang mäßig abwärts gewandert und hätten eine Menge Weg gespart.
Na gut. Natürlich schreibe ich in diesem Mathematik-Blog nicht wirklich übers Bergwandern. Aber das ist eine geeignete Krücke zum Verständnis abstrakter Probleme, die unserer Vorstellung nicht so ohne weiteres zugänglich sind.
Eine Wanderung, mathematisch modelliert
Das Bergwandererproblem in Mathematik umzusetzen ist nicht besonders schwer. Als Koordinatensystem bieten sich Längen- und Breitengrade an. Es gibt eine Funktion, nennen wir sie f(x), die gibt zu jedem Punkt x dessen Höhe über dem Meeresspiegel an. (Wohlgemerkt: x besteht aus zwei reellen Zahlen, eine für die geografische Länge, die andere für die Breite.) Gesucht wird ein Punkt, für den f(x) minimal wird.
Wenn es richtig zur Sache geht, besteht x aus n Komponenten, und n ist wesentlich größer als zwei: so viele Größen, wie man braucht, um ein zu modellierendes physikalisches oder auch chemisches System vollständig zu beschreiben. Die Funktion f kennzeichnet dann etwas, das man gerne möglichst klein hätte: den Aufwand zur Herstellung eines Produkts, das Gewicht einer Maschine, die Menge an Abfall, die der Prozess produziert, oder die Abweichung zwischen einer Prognose und der Realität. Oder man hätte f gerne möglichst groß, was dasselbe Problem mit umgekehrtem Vorzeichen ist.
Ein kundiger Wanderer würde seinen Blick über eine Landkarte schweifen lassen und dabei ohne größere Schwierigkeiten den tiefsten Punkt der Landschaft finden. Unsere Funktion f verschafft uns ebenfalls eine vollständige Kenntnis der Landschaft – aber eben nicht in Form einer Landkarte!
Abgesehen davon, dass die Karte n Dimensionen haben müsste, gibt uns die Funktion f keinen adlergleichen Überblick. Vielmehr sagt sie uns nur, wie hoch es an jedem Punkt x ist, den wir ihr vorlegen. Daraus eine Landkarte zu machen, indem wir die Funktion an lauter dicht gepackten Punkten unseres Rechengebiets auswerten, sagen wir 100 Punkte entlang jeder Koordinatenachse, ist im Allgemeinen keine gute Idee. Eine Funktionsauswertung kann nämlich den Computer eine ganze Weile beschäftigen, und 100n Punkte sind schon für mäßig große n sehr viel.
Aber vielleicht ist unsere Funktion f ja differenzierbar, hat also in jedem Punkt eine Ableitung; im mehrdimensionalen Fall nennt man sie den Gradienten. Das Gelände ist irgendwie sanft gewellt, es gibt keine scharfen Kanten, sondern in jedem Punkt eine Tangentialebene, die beschreibt in der unmittelbaren Umgebung dieses Punktes das Gelände mit großer Genauigkeit und zeigt einem nebenbei noch genau, in welcher Richtung es am steilsten abwärts geht. Wenn man gerade auf einem Geröllfeld steht, will dieses Bild nicht so recht passen, kann aber dennoch eine brauchbare Näherung der Situation darstellen. Allerdings gibt der Gradient von f eine brauchbare Auskunft nur über die unmittelbare Umgebung; man steht also tatsächlich im Nebel. Und die Sichtweite? Darüber gibt es keine allgemeine Aussage. Das ist die Tücke der Analysis: Wie weit die Auskunft, die man durch Ableiten erhält, brauchbar ist, stellt sich, wenn überhaupt, erst im Nachhinein heraus.
Wie war das mit dem Finden von Extremstellen?
In vielen Anwendungsproblemen ist die Zielfunktion f in der Tat differenzierbar. Und da gab’s doch ein Rezept aus dem Schulunterricht: Im Minimum ist die Ableitung gleich null. (Wenn umgekehrt die Ableitung null ist, dann ist da noch lange kein Minimum; das will noch eigens nachgeprüft werden. Aber diese Komplikation soll uns hier nicht beschäftigen.) Dann suchen wir doch einfach nach einer Nullstelle der Ableitung. Das läuft auf die Lösung eines Systems aus n Gleichungen mit n Unbekannten hinaus.
Das kann je nach Problem ziemlich unübersichtlich werden. Aber wenn der Gradient selbst eine differenzierbare Funktion ist, dann kann man seine Nullstellen mit dem Newton-Verfahren suchen. Das wiederum basiert abermals auf der Idee, dass man eine krumme Funktion durch etwas Gerades annähert, nämlich die Tangente im gegenwärtigen Standpunkt, beziehungsweise deren Verallgemeinerung im n-dimensionalen Fall. Dann berechnet man die Nullstelle der Tangente – das ist einfach, weil die Tangente ebenso wie der Gradient etwas Gerades ist – und hofft, dass die Nullstelle der Näherung eine Näherung der Nullstelle ist, das heißt, dass der so berechnete Punkt von der eigentlich gesuchten Nullstelle der Funktion nicht allzu weit weg ist. Diesen macht man zum neuen Standpunkt, berechnet dort eine Nullstelle der Tangente und so weiter.
Wenn der gegenwärtige Standpunkt nicht allzu weit vom Ziel der Suche entfernt ist, findet das Newton-Verfahren dieses Ziel mit atemberaubender Geschwindigkeit. Wenn die Situation in der Umgebung des Standorts noch deutlich anders ist als in Zielnähe, wenn also zum Beispiel zwischen dem einsamen Wanderer und dem Ziel noch ein Höhenrücken liegt, dann kann das Verfahren gewaltig in die Irre laufen. Deswegen fängt man zweckmäßig mit verkürzter Schrittweite an und lässt die Bremsen erst los, wenn das Ziel gewissermaßen in Sichtweite ist.
Verallgemeinerte Eierbecher
Zur Lösung des ursprünglichen Problems werden gewissermaßen zwei verschiedene Prinzipien aufeinandergestapelt: Man sucht ein Minimum der Zielfunktion, indem man eine Nullstelle der Ableitung sucht. Und dieser Nullstelle versucht man mit Hilfe der Ableitung der Ableitung näherzukommen. Kann man diese zwei gedanklichen Schritte zu einem zusammenfassen?
Im Prinzip ja. In einer Dimension ist das relativ klar zu sehen. Die Nullstelle einer linearen Funktion ist dasselbe wie das Minimum einer quadratischen Funktion, also der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel. In zwei Dimensionen entspricht der Parabel zunächst der verallgemeinerte Eierbecher: eine Parabel, die um ihre Symmetrieachse rotiert wird – nach oben offen, und jeder horizontale Querschnitt ist kreisförmig. Aber das ist dann doch zu speziell. Im Allgemeinen ist der Eierbecher deformiert. Der Querschnitt ist dann nicht ein Kreis, sondern eine Ellipse, und die darf sehr schmal sein und sogar schräg zu den Koordinatenachsen liegen. Und die noch höherdimensionalen, noch komplizierter deformierten Eierbecher kann und mag man sich gar nicht vorstellen.
Jedenfalls läuft die beschriebene Suche nach dem Minimum auf folgendes Verfahren hinaus: Man lege an den gegenwärtigen Standpunkt denjenigen verallgemeinerten Eierbecher an, der sich der Geländeform in der Umgebung dieses Standpunkts am besten anpasst. Dann springe man zum tiefsten Punkt des Eierbechers und setze von dort aus die Suche fort. Wenn es schwierig ist, arbeite man zunächst mit geschrumpften Eierbechern und lasse sie erst kurz vor Schluss wieder auf Originalgröße anwachsen.
An diesem Bild wird klar, dass das Verfahren den Umweg des Bergwanderers vermeidet. Wenn es am Rande eines Kraters mit elliptischem Querschnitt steht, läuft es nicht dahin, wo es am steilsten abwärts geht, sondern springt schräg, unmittelbar zum Mittelpunkt der Ellipse. In mehreren Dimensionen kann die Ersparnis durchaus dramatisch ausfallen.
Lange, schmale Täler machen dem Verfahren also nicht viel aus. Richtig schwierig wird es, wenn das Tal bananenfömig ist: lang, schmal und krumm. Dann springt ein ungebremstes Verfahren mitunter gewaltig bergauf und hat die größten Schwierigkeiten, aus der falschen Ecke wieder herauszukommen. An diesen „banana-shaped valleys“ erproben dann die Designer der Optimierungsverfahren ihre Künste.
Christoph Pöppe schrieb (16. Apr 2025):
> Bergwandern […] möglichst rasch, bevor es dunkel wird, ins Tal
… also vom “Standort” entlang einer der Kurven von geringster Bogenlänge bis zum Ziel (sofern die “Höhe” entlang der betreffenden Kurve bzgl. deren Bogenlänge differenzierbar wäre — aus Sicherheitsgründen) …
Zwar sehe ich ein, dass ein solcher “kürzester Weg” nicht unbedingt in Richtung des “steilsten Abstiegs (vom Standort aus)” beginnen muss — Stichwort: “lokale Minima” — und ich finde das obige Beispiel vom “engen Tal in an dessen Grund ein Bächlein bis zum Ziel fließt” ganz einleuchtend, nicht aber das skizzierte Beispiel:
> [vom] Rande eines Kraters mit elliptischem Querschnitt […] nicht dahin, wo es am steilsten abwärts geht, sondern [….] schräg, unmittelbar zum Mittelpunkt der Ellipse.
bzw.
> Von einem Standpunkt (blau) am Rande des Kraters führt der kürzeste Weg zum tiefsten Punkt nicht in Richtung des steilsten Abstiegs (rot), sondern schräg dazu (grün).
Ist die grüne Kurve denn nicht doch “in Richtung des steilsten Abstiegs, vom blauen Punkt” ??
(Ich vestehe zwar auch, dass es von anderen Punkten “links neben dem blauen Punkt, auf der gleichen Höhe am Kraterrand” noch steiler abwärts gehen kann … Trotzdem: meine voausgehende Frage.)
p.s. — Sachdienliche Definition der “Steilheit” einer Kurve K (von “Punkt P ∈ K” aus):
lim_{ Q ∈ K : Bogenlänge_K[ P, Q ] –> 0 }_[ (Höhe[ Q ] – Höhe[ P ]) / Bogenlänge_K[ P, Q ] ]
p.p.s. —
diese Definition war eine Kleinigkeit dank meines ständigen Übens und Bestehens auf einer analogen Definition der “Gangrate (von Uhren)” in der permanent geführten Auseinandersetzung darum, ob jede höher gehaltene Uhr pauschal “schneller geht”, als jede tiefer gehaltene Uhr (oder ob zum Vergleich von “Gang-Schnelligkeiten” spezifischer auch die jeweiligen Gang-Dauern gemessen und ins Verhältnis gesetzt werden sollten.)
Frank Wappler schrieb (16.04.2025, 17:40 o’clock):
> […] nicht aber das skizzierte Beispiel: […]
Was mich an der Skizze des “Kraters mit elliptischem Querschnitt” aus dem obigen SciLogs-Beitrag stört, kann ich inzwischen damit zusammenfassen, dass es mir schwerfällt, die kurze rote Linie so aufzufassen, als ob sie den Kraterrand (und auch alle Höhenlinien nahe des Kraterrandes) orthogonal schneidet — sofern diese Eigenschaft überhaupt erkennbar dargestellt sein soll.
Dass die lange grüne Gerade den Kraterrand (und Höhenlinien nahe des Kraterrandes) nicht orthogonal schneidet ist dagegegen deutlicher; es bleibt allerdings nachzuweisen bzw. zu diskutieren und zu begreifen, dass damit tatsächlich eine (die) Kurve geringster Bogenlänge zwischen dem blauen Punkt des Kraterrandes und dem Kraterzentrum repräsentiert ist (bzw. in die Skizze projeziert ist).
Ich find’s lustig, dass sich die Mathe bei der Beschreibung von Realität mit den gleichen Problemen herumplagen muss, wie die Physik bei derer Herstellung – schon bei x fällt auf, dass auch ein 3D-Koordinatensystem im n-dimensionalen Raum möglichst viele Dimensional-Achsen zur Masse zusammenfasst. Also zu dem, was Sie erleben, wenn Sie mit nahezu Lichtgeschwindigkeit in die Landschaft rasen und plötzlich alles von hier bis zum Horizont gleichzeitig als Schwarzes Loch auf Ihrer Windschutzscheibe klebt.
Im Grunde erleben wir schon auf Erden Quantenphysik: Im großen Maßstab rutschen wir als eindimensionale Teilchen über die Oberfläche einer Kugel, erst in der energetischen Goldlöckchen-Zone, wo all die Wege des geringsten Widerstandes verlaufen, den wir mit unserer Energie überwinden können, stehen uns mehr Dimensionen zur Verfügung (denn wir können ja ohne die Extra-Energie der Maschinen weder allzu hoch hüpfen, noch allzu tief graben). Und da können Sie gleich vermuten, dass sich das Ganze mit schrumpfenden Maßstab fortsetzt, und all die Debatten der Quantenphysiker, ob es auf der untersten Ebene 7, 11, 30 Dimensionen gibt, keinen Sinn ergeben, denn das Verhältnis zwischen der Energie eines Teilchens und seiner Umgebung muss ja nicht immer und überall gleich sein – damit kann auch für jede Messung eine unterschiedliche Zahl Dimensionen geknackt worden sein.
Ein Computer, der sich mit allzu vielen Dimensionen beschäftigen muss, bekommt Scherereien mit Einstein: Allzu viele Punkte, Masse, erzeugen Zeitdilatation, weil sie alle Rechenprozesse verzögern, allzu viele Prozessoren des Computers auch, weil sie ja Zeit brauchen, um miteinander zu kommunizieren, beschleunigen Sie die Prozessoren zu sehr, steht Ihr Rechner irgendwann in Flammen, also ist das Verhältnis von Masse und Energie in einem bestimmten Rahmen gefangen, bei dem die Lichtgeschwindigkeit eine Schlüsselrolle spielt.
Und bei den Eierbechern sind wir schon an der Grenze zur Gravitation, die ja auch mit der Masse, also Energie des Objekts zusammenhängt, also mit der „Sichtweite“, die die Glühbirne „beleuchtet“. Die Anführungsstriche werden Sie auch irgendwann entfernen müssen, sobald irgendein Zweistein herausgefunden hat, dass Gravitationswellen und EM sich nur durch die Eigenschaften des Beobachters unterscheiden.
Und dann sehen Sie auch den Zusammenhang zwischen Perspektive, Raum, Zeit und Größen: Jede Uhr, die sich vom Beobachter entfernt, scheint immer langsamer zu ticken, denn sie muss ja immer kleiner werden, der Kreisumfang immer kürzer, damit sie noch in Echtzeit nachkommt. Würde eine der vielen Uhren ausnahmsweise nicht mit der Entfernung schrumpfen, würde sie immer größer werden und immer schneller laufen, bis die Zeiger mit Überlichtgeschwindigkeit zu rotieren scheinen. Scheinen – denn beide Uhren ticken ja so oder so synchron. Nur die Übertragung, die Kommunikation, wird über Masse angepasst – mit zunehmender Entfernung drängeln sich immer mehr Uhren pro Quadratmeter Fläche, die ihre Energie aber über immer mehr Raum gestreut haben, deswegen kommt beim Beobachter auch weniger Licht an.
Wenn Sie aber überlegen, wieso das Licht nicht gestreut und gemischt ankommt, als diffuser Nebel, in dem die Uhr nicht mehr erkennbar ist, müssen Sie dem Raum ein Linsensystem unterstellen, das die Lichtstrahlen immer wieder streut und bündelt, sodass jeder Punkt im Raum seine eigene Mini-Version der ganzen Uhr bekommt, der aus unzähligen Mikro-Versionen der ganzen Uhr besteht. Und da sind wir wieder beim Thema: Wellen. Also Kurven, durch die jeder Lichtstrahl seinen Weg geradeaus finden muss, in einem Raum, in dem andere Wellen unendlich viele Berge und Täler erzeugen.
Und dann sehen Sie auch, wie der 3D-Raum im n-dimensionalen Raum funktioniert – auf unserer Ebene bekommen wir weder die ganze n-dimensionale Sonne mit, noch den ganzen n-dimensionalen Atomkern, sondern nur einen Querschnitt und/oder ein Spiegelbild – den Teil, der die Ebene kreuzt, und/oder ein Abbild, das dort entsteht, wo seine Wirkung auf die Ebene trifft. Also wiederum nur ein zur Masse zusammengepapptes x, dessen n Dimensionen von der Perspektive verkürzt werden – oder, wie es das Quanten-Neusprech will, eingewickelt.
Mathematiker: Schlau. Physik: Erster!
Ein paar Anmerkungen zum elliptischen Krater. Würde man den zeichnerisch um 90 Grad drehen, dann fällt die optische Täuschung weg.
Wo ist die rote Linie ?
Viele Leser haben eine rot grün Schwäche, also sollte man zwei andere Farben wählen.
Der kürzeste Weg für einen faulen Bergwanderer ist der mit den engsten Abständen zwischen den Höhenlinien. Aber wie tief ist der Krater ?
Befinden wir uns gerade in der 3. Dimension ? Dann haben(sehen) wir einen senkrechten Querschnitt durch den Krater .
In der Überschrift steht “n Dimensionen”. Wie kann man sich die denken. Mathematisch ja, in der Realität gibt es nur 3 Dimensionen.
»Paul S«,
ich find’s lustig, um Paul S mit seinen ersten Worten zu bemühen, dass »Paul S« Quantenmechanik (QM) und Relativitätstheorie(SRT/ART) mit den von Christoph Pöppe Vorgetragenen (inhaltlich) in Verbindung bringt.
Das eröffnet hier die Möglichkeit, einmal diverse Vorurteile und Behauptungen analytisch-kombinatorisch zu betrachten…
Ist die Quantenmechanik unverständlich?
Eine weit verbreitete und gern geäußerte Schutzbehauptung besagt, dass die Quantenmechanik zwar unverständlich, irgendwie “seltsam” sei, aber wissenschaftlich betrachtet, sehr voraussagepräzise ist.
Das hat(te) für die »QM-Bewahrer« den Vorteil, dass sich nahezu niemand aufgerufen fühlt(e), sich kritisch mit Annahmen und Aussagepostulaten der QM zu beschäftigen.
Erst einmal, die Quantenmechanik ist aus mathematischer Sicht nicht “seltsam”. Es gibt im großen »Spektrum der Mathematik« deutlich schwierigere, komplexere und vor allen Dingen deutlich abstraktere Themenfelder. Siehe beispielsweise »Differentialtopologie« und »Abstrakte Algebra«.
Mathematische Hintergründe, ursprünglicher Sinn und Zweck, willentlicher Verzicht auf Anschauung der QM
Gemäß dem Satz von Weierstraß lassen sich „beliebige“ Kurven durch „Sinus-Kosinus-Funktions-Kombinationen“ zumindest abschnittsweise nähern. Wenn die Funktion in einen neuen (Teil-)Abschnitt wechselt, werden im Grenzübergang die einzelnen Abschnitte immer kürzer und “schrumpfen” schließlich auf Punkte zusammen. Die Funktion wird punktweise angenähert. In diesem Grenzfall ist wieder das ursprüngliche Bild der differenzierbaren Mannigfaltigkeit erreicht, in dem jetzt die Eigenbasis des Bewegungsraums die Bausteine aus den Sinus- und Kosinus-Funktionen sind. Ohne auf weitere mathematische Fragen einzugehen folgt, dass jede mathematische Funktion f(t) durch eine Fouruerreihe entwicjkelt werden kann.
Räume mit dieser Struktur werden als Hilbert-Räume bezeichnet. Im 20. Jahrhundert wurde dieser Ansatz erst in die Atomspektroskopie und dann allgemein in Quantenfeldtheorien eingeführt.
So wie ein Klang in dem Grundton x und die Obertöne 2x, 3x, 4x … darstellbar ist, wird in der Quantenfeldtheorie der Zustand eines Teilchens (z.B. eines Elektrons) in einen Grundzustand x und höhere Zustände zerlegt. Am Anfang steht also die qualitative Zerlegung in Grundelemente, dann folgt für jedes Grundelement die Zerlegung in die „Obertonreihe“ (Fourier-Reihe). Insgesamt können nun Wahrscheinlichkeiten definiert respektive (interpretiert) gemessen werden, mit denen sich das Elektron in einem der möglichen Zustände befindet. Wenn man genauer hinschaut folgt hier die ganzzahlige Quantisierung banalerweise aus der mathematischen Darstellung. Der Formalismus ermöglicht nun die vermeintliche „Bequemlichkeit“ sich nicht realobjekt-inhaltlich mit der Phänomenologie der Quantisierung auseinandersetzen zu müssen um Ergebnisse zu erhalten.
Kopenhagener Deutung von 1927
Im Zuge der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik ist der Realitätsverlust methodisch und gewollt. Gemäß der Kopenhagener Deutung von 1927 ist der Wahrscheinlichkeitscharakter quantentheoretischer Vorhersagen nicht Ausdruck der Unvollkommenheit der Theorie, sondern des prinzipiell indeterministischen (unvorhersagbaren) Charakters von quantenphysikalischen Naturvorgängen. Des Weiteren “ersetzen” die »Objekte des Formalismus« die Realität, ohne selbst eine Realität zu besitzen. Die Kopenhagener Deutung zeichnet sich durch die Bequemlichkeit aus, die sie ihren »Gläubigen« liefert. Der Welle-Teilchen-Dualismus gestattet(e) ein “Umsteigen” auf die “Welle” mit einer e-Funktion mit komplexem Exponent, welcher gemäß Fourier-Theorems es wiederum gestattet »ALLES« stückweise monotone, also auch jedes experimentelle Ergebnis, formal mathematisch darzustellen. Die statistische Deutung hält von der Mühe ab, den physikalischen Prozeß zu erkunden, Anschaulichkeit und Phänomenologie werden ausgeblendet.
Interessanterweise war es Albert Einstein (1879 – 1955), der die Quantenmechanik “schon früh” – nachvollziehbar argumentativ begründet – als unbrauchbar identifizierte:
…”die ψ-Funktion ist als Beschreibung nicht eines Einzelsystems, sondern einer Systemgemeinschaft aufzufassen. Roh ausgesprochen lautet dies Ergebnis: Im Rahmen der statistischen Interpretation gibt es keine vollständige Beschreibung des Einzelsystems. Vorsichtig kann man so sagen: Der Versuch, die quantentheoretische Beschreibung der individuellen Systeme aufzufassen, führt zu unnatürlichen theoretischen Interpretationen, die sofort unnötig werden, wenn man die Auffassung akzeptiert, daß die Beschreibung sich auf die Systemgesamtheit und nicht auf das Einzelsystem bezieht. Es wird dann der ganze Eiertanz zur Vermeidung des ‘Physikalisch-Realen’ überflüssig. Es gibt jedoch einen einfachen physiologischen Grund dafür, warum diese naheliegende Interpretation vermieden wird. Wenn nämlich die statistische Quantentheorie das Einzelsystem (und seinen zeitlichen Ablauf) nicht vollständig zu beschreiben vorgibt, dann erscheint es unvermeidlich, anderweitig nach einer vollständigen Beschreibung des Einzelsystems zu suchen, dabei wäre von vornherein klar, daß die Elemente einer solchen Beschreibung innerhalb des Begriffsschemas der statistischen Quantentheorie nicht enthalten wäre. Damit würde man zugeben, daß dieses Schema im Prinzip nicht als Basis der theoretischen Physik dienen könne. Die statistische Theorie würde – im Fall des Gelingens solcher Bemühungen – im Rahmen der zukünftigen Physik eine einigermaßen analoge Stellung einnehmen wie die statistische Mechanik im Rahmen der klassischen Mechanik.”… A. Einstein, Qut of my later years. Phil Lib. New York 1950 Seite 498
Einsteins unschlagbare Argumente wurden und werden bis heute “schlicht” ignoriert. Einsteins kritische Äußerungen, insbesondere zur Quantenmechanik, führten letztendlich zu seiner Isolation. Er war zwar später ein “Medienstar” aber wissenschaftlich ohne weitere Bedeutung.
Voraussagefähigkeit der Quantenmechanik
Die innerhalb der Quantenmechanik (QM) und daraus folgend innerhalb der Quantenfeldtheorien (QFTn) verwendete, teils neu definierte Mathematik (Stichworte: Störungstheorie, Regularisierung, Renormierung), ist phänomenologisch unbegründet. Sie ist formal(-axiomatisch) deutlich komplexer und schwieriger verständlich als die bloße Erkenntnis, dass beispielsweise Energie-Niveaus in Abhängigkeit der Hauptquantenzahl n mit 1/((n²-(n+1)²)) “quantisiert” sind, kommt aber über den Status einer Rechenvorschrift nicht hinaus. Zudem gibt es im Rahmen der Störungstheorie keine formal-analytischen Lösungen. Wenn also Quantenelektrodynamik (QED) basierend von einer hervorragenden Übereinstimmung von Theorie und Experiment berichtet wird, dann handelt es sich um gigantische Lösungssysteme, dessen iterative Ergebnisse den Meßwerten immer wieder angepasst wurden. Die einen sagen es nicht, die anderen durchschauen es nicht.
Tatsache ist: Die Berechnung von Grundzustandsenergien ist weder quantenmechanisch noch quantenelektrodynamisch begründet respektive nicht möglich, da ein signifikant maßgebender Anteil von dem Verhältnis der wechselwirkenden Massen bestimmt wird. Es gibt weder QM und schon gar nicht QED basierend die Möglichkeit die »reduzierte Masse mred = mA / (1 + mA/mB)« quantenfeld-phänomenologisch einzuführen. Der reduzierte Masseterm mred = mA / (1 + mA/mB) wirkt sich auf die energetischen Verhältnisse aus. Die reduzierte Masse ist – ob man es wahr haben will oder nicht – im Rahmen der Standardphysik historisch aus der Himmelsmechanik abgeleitet. Das bedeutet im Klartext, dass im Sinne atomarer Wechselwirkungen, diese weder QM noch QED begründet ist.
Reduzierte Masse
Folgt man dem (deutschen) Wikipedia-Eintrag zur »reduzierten Masse«, wird der hier relevante energetische Aspekt nicht (nachvollziehbar) thematisiert. Dort beginnen die Ausführungen mit:
„Die reduzierte Masse ist eine fiktive Masse, die unter bestimmten Voraussetzungen die Eigenschaften zweier Einzelmassen eines Systems repräsentiert….“
Energetisch handelt es sich bei der Berechnung der Grundzustandsenergie zweier wechselwirkender Körper jedoch um nichts Fiktives. Schon beim Wasserstoffatom ist die reduzierte Masse maßgebend relevant. Deutlicher wird der Massen-Wechselwirkungseffekt beim myonischen Wasserstoff, da dort anstelle der Elektronenmasse, die Myonmasse tritt…