Auflösung zur Knobelei

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Heidelberg Laureate Forum

Carla Cederbaum, Teilnehmerin beim HLF14: Im Vorfeld des Heidelberg Laureate Forums hat Markus Pössel aus dem HLF-Blogteam und ehemaliger geschätzter Kollege von mir ein kurzes Vorab-Interview mit mir geführt. Dabei hat er mich auch nach meiner mathematischen Lieblingsknobelei gefragt. Die hatte ich ihm zwar verraten, jedoch die Lösung nicht, damit die Blog-Leser Gelegenheit haben, selbst darüber nachzudenken.

Doch nun bin ich sie schuldig, die Auflösung zur Knobelei. Zuerst sei noch einmal die Fragestellung genannt:

Dein (sparsamer) Lieblingsonkel schenkt Dir ein leider sehr hässliches Bild und wünscht sich, dass Du es in Deinem Zimmer aufhängst. Du willst ihm den Gefallen gerne tun, allerdings hoffst Du auch insgeheim, dass er das Bild aus Versehen herunter schmeißt und es kaputt geht, damit Du es nicht mehr ertragen musst.

Das willst Du so anstellen: Du befestigst eine Schnur an den beiden oberen Ecken des Bildes und schlägst zwei Nägel in die Wand. Dann versuchst Du, die Schnur so um die Nägel zu wickeln, dass das Bild auf der richtigen Höhe an der Wand hängt, aber herunterfällt, wenn einer der Nägel herausgezogen wird. Wenn Dein sparsamer Onkel dann zu Besuch kommt, so hoffst Du, wird er sicher einen der Nägel aus der Wand ziehen und schwupps fällt das Bild zu Boden und zerbricht. Aber geht das? (Wenn ja: wie?, wenn nein: warum nicht?). Natürlich weißt Du vorher nicht, welchen Nagel er aus der Wand ziehen wird…

 

Die Lösung(en)

In der Tat kann man das Bild so aufhängen, wie Du es Dir gewünscht hast! Das sieht man zum Beispiel so ein: Wir färben den einen Nagel rot und den anderen blau (damit wir nicht von linken und rechten Nägeln sprechen müssen, da haben ja so einige ihre Schwierigkeiten…).

Wenn wir die Schnur, an der das Bild aufgehängt ist, jetzt von ihrem eine zu ihrem anderen Ende verfolgen, können wir mit Worten beschreiben, wie sie um die Nägel gewickelt ist, z.B. so: von links nach rechts um den roten Nagel, dann von rechts nach links um den blauen, dann …

Alternativ können wir auch einen roten und einen blauen Stift zur Hand nehmen und die gleiche Information mit bunten Pfeilen aufzeichnen: erst ein roter Pfeil von links nach rechts (Rechtspfeil), dann ein blauer Pfeil von rechts nach links (Linkspfeil), dann … So entsteht ein “Pfeilwort“, das die gleiche Information enthält, wie die gewickelte Schnur. Für solche Pfeilwörter gelten gewisse Regeln, nämlich:

1) Einen roten Pfeil in eine Richtung neben einem roten Pfeil in die andere Richtung kann man weglassen (da diese Pfeile genau das Hin- und wieder Zurückwickeln der Schnur um denselben Nagel beschreiben); dasselbe gilt für die blauen Pfeile. Man könnte auch sagen neben einander gezeichnete Pfeile derselben Farbe “kürzen sich weg”.

2) Pfeile verschiedener Farben dürfen nicht in der Reihenfolge vertauscht werden (das geht mit der Schnur nämlich auch nicht), Mathematiker würden sagen, Pfeilwörter seien nicht “kommutativ”.

3) Das Entfernen eines Nagels entspricht dem Weglassen aller Pfeile der jeweiligen Farbe.

4) Das leere Wort (keine Pfeile sind mehr da) entspricht dem Herunterfallen des Bildes.

 

Alternativ und noch etwas abstrakter und eleganter kann man den Verlauf der Schnur um die beiden Nägel mit Hilfe von Buchstaben beschreiben, z.B. ein blaues a statt einem blauen Rechts-, ein a^(-1) für einen blauen Linkspfeil und ein rotes b für einen roten Links-, b^(-1) für einen roten Rechtspfeil. (Das eignet sich besonders für Menschen mit Links-Rechts-Schwäche, denn jetzt braucht man gar nicht mehr über links und rechts zu sprechen.) Aus unseren obigen Pfeilwörter werden dann “Buchstabenwörter“, die den gleichen, hier in Formeln übersetzten Regeln genügen:

1) aa^(-1)=a^(-1)a=bb^(-1)=b^(-1)b=e, wobei e das “leere” Wort, also das Wort ohne Buchstaben ist.

2) a und b, a und b^(-1), a^(-1) und b, sowie a^(-1) und b^(-1) dürfen jeweils nicht vertauscht werden.

3) Das Entfernen eines Nagels entspricht dem Weglassen aller Buchstaben der jeweiligen Farbe.

4) Das leere Wort e (keine Buchstaben sind mehr da) entspricht dem Herunterfallen des Bildes.

Mathematiker nennen diese abstrakte Situation die “freie Gruppe in zwei Buchstaben” oder auch die “Fundamentalgruppe der Ebene minus zwei Punkte“.

 

Jetzt (wenn nicht schon vorher) kann man auf die Idee kommen, dass der gesuchte Schnurverlauf (bzw. das gesuchte Buchstaben- oder Pfeilwort) durch eine Art Verschränken entstehen könnte, nämlich z.B. so:

aba^(-1)b^(-1) oder erst ein blauer Rechtspfeil, dann ein roter Linkspfeil, dann ein blauer Linkspfeil und zuletzt ein roter Rechtspfeil. Mathematiker und Physiker nennen solch eine Verschränkung aba^(-1)b^(-1) den “Kommutator von a und b“, da aba^(-1)b^(-1) “misst”, wie wenig kommutativ die Struktur ist, siehe oben.

Wenn der Onkel nun den blauen Nagel entfernt, werden nach Regel 3) alle blauen Pfeile/alle blauen Buchstaben a und a^(-1) gelöscht und es bleibt nur bb^(-1) stehen; wegen Regel 1) kürzen sich b und b^(-1) aber weg und es bleibt das leere Wort e stehen; nach Regel 4) bedeutet dies, dass das Bild herunterfällt. Ebenso verhält es sich, wenn der Onkel den roten Nagel herauszieht (wieso?). Dass das Bild nicht schon vor dem Herausziehen eines Nagels herunterfällt, liegt an Regel 2).

Viel Spaß beim Ausprobieren!

Ach ja, und geht so etwas auch mit drei, vier, fünf,… Nägeln?


P.S. Beim HLF habe ich viele alte Bekannte getroffen und auch viele neue Leute aus aller Herren Länder kennen gelernt. Besonders faszinierend fand ich, wie Mathematik-begeistert alle Teilnehmer/innen waren, sowohl die Laureaten als auch die jungen Wissenschaftler/innen. Das hat mich sehr motiviert!

Leider konnte Maryam Mirzakhani nicht zum Forum kommen, aber dafür kamen andere, mit deren Kommen ich vorher nicht gerechnet hätte bzw. von denen ich vorher auch noch nie gehört hatte. Mich hat die Vielfalt der Forschungs- und anderen Themen, über die die Laureaten vorgetragen haben, sehr beeindruckt.

Am interessantesten fand ich den Vortrag von Shigefumi Mori über moderne Kunst und algebraische Geometrie. Auch die Ideen von Leslie Lamport, wie man am besten einen Beweis aufschreibt, fand ich spannend. Und natürlich, wie erwartet, Michael Attiyahs Plädoyer für die Schönheit in der Mathematik.


20121021_170559Carla Cederbaum ist Mathematikerin an der Universität Tübingen. Dort forscht sie zu Fragen der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Geometrischen Analysis. Außerdem ist sie Chefeditorin der „Schnappschüsse moderner Mathematik aus Oberwolfach“ am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach, siehe http://www.mfo.de/math-in-public/snapshots/.

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1 comment

  1. Hallo,
    Schade, ich als Laie habe nun eine Zeichnung oder so erwartet, die mir zeigt, wie die Nägel positioniert sind und die Schnur gewickelt wird, praktischer Lebenstipp eben. Die dargestellte Lösung gibt mir zwar eine Spur, und beweist, dass es funktioniert, aber wie schon gesagt, als Laie bin ich so schlau wie vorher. Trotzdem interessant, was es so alles gibt….

    Viele Grüße
    Barbara Wilhelm

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