Berechnung der Erdflucht, Beispiel Parker Solar Probe

Am 12.8.2018 wurde die Parker Solar Probe gestartet. Diese Sonnensonde soll sich der Sonne bis auf 9 Sonnenradien nähern – der Perihelradius der Zielbahn liegt bei etwa 6.8 Millionen km. In diesem Abstand liegt die von der Sonne empfangene Strahlungsleistung beim 484fachen der Solarkonstante. Statt, wie bei 1 AE (149.6 Millionen km) rund 1367 W, treffen dort auf einen Quadratmeter Fläche, auf den das Sonnenlicht senkrecht  fällt, satte 662 kW!

Die Sonne erscheint bei diesem Abstand mit einem Winkeldurchmesser von 11.8 Grad anstatt wie bei 1 AE einem halben Grad, also wie ein beeindruckend riesiger Feuerball. Es muss eine gewaltige Herausforderung darstellen, die Komponenten der Sonde von Überhitzung zu schützen.

Aber das ist nicht das Thema dieses Artikels. Der Wärmehaushalt von Raumsonden und seine Regelung ist ein weites Feld, aber keins, in dem ich Experte bin. Ich möchte hier über die Bahnenergie sprechen und über die Konsequenzen, die sich für den Start der Sonde und ihren Transfer zur Zielbahn ergeben.

Die Bahnenergie

Die Energie einer Keplerbahn ist eine Funktion der großen Halbachse der Bahn. Bei einer elliptischen Bahn ist die große Achse der Abstand vom Perizentrum zum Apozentrum. Die große Halbachse ist die Hälfte davon.

Im Weltraum sind Entfernungen nicht wirklich wichtig. Energieunterschiede sind wichtig. Das Schwerkraftpotenzial jedes Himmelskörpers hängt linear von der Masse des Körpers ab und ist umgekehrt proportional zum Abstand von diesem Körper. Wenn man eine Raumsonde zum Mars schickt, dann muss sie ein Stück weit den Trichter hinaufklettern. Die Transferbahn unterscheidet sich energetisch etwas von der Erdbahn, aber der zu überwindende Höhenunterschied ist nicht so dramatisch. Dazu gleich mehr.

Soll das Raumfahrzeug aber in eine Bahn, die sehr weit hinunter reicht, dann bedeutet das, dass sie sehr tief hinein in den Trichter muss, sodass ein erheblicher Unterschied in der Energie anfällt.

Die Vis-Viva-Gleichung

Eigentlich braucht man als Raumfahrtingenieur einfach nur eine Gleichung zu kennen. Hätte ich das vor 35 Jahren gewusst, wäre mein Studium wesentlich entspannter verlaufen.

Die Vis-Viva-Gleichung, die die Bahngeschwindigkeit auf einer Keplerbahn als Funktion des aktuellen bahnradius und der konstanten großen Halbachse angibt

Die Vis-Viva-Gleichung, die die Bahngeschwindigkeit auf einer Keplerbahn als Funktion des aktuellen bahnradius und der konstanten großen Halbachse angibt

a ist die große Halbachse der Bahn, die im ungestörten Zweikörperproblem konstant bleibt. r ist der aktuelle Bahnradius bezüglich des Zentralkörpers, der sich in einem Brennpunkt der Bahn befindet. μ ist das Produkt aus Masse des Zentralkörpers und universeller Gravitationskonstante. Für die Sonne beträgt μ 1.327*1011 km3/s2, für die Erde 398600.44 km3/s2. v ist die Bahngeschwindigkeit beim Bahnradius r für eine große Halbachse a. Wir nehmen hier grundsätzlich vereinfachend an, dass die Masse des Zentralkörpers so groß ist, dass die Masse des ihn umlaufenden Körpers vernachlässigt werden kann.

Soweit ganz einfach … und es bleibt auch einfach. So einfach, dass eine Gleichung reicht.

Wir können jetzt schon einmal ausrechnen, welche Bahngeschwindigkeit die Erde um die Sonne hat bzw. welche Geschwindigkeit sie hätte, wenn ihre Bahn exakt kreisförmig wäre. Bei einer Kreisbahn ist r=a, daher vereinfacht sich die Gleichung etwas und wir bekommen, wenn wir den μ-Wert der Sonne einsetzen, v=29.783 km/s.

Beispielfall: Marstransfer

Mars ist auf einer exzentrischen, gegenüber der Ekliptik geneigten Bahn mit einer großen Halbachse von 1.524 AE. Exzentrizität und Neigung vernachlässigen wir hier mal. Der Transfer ist eine Bahn mit einem Perihelradius von 1 AE und einem Aphelradius von 1.524 AE. Die große Halbachse der Transferbahn ist (1+1.524)/2=1.262 AE. Die Perihelgeschwindigkeit berechnet sich zu 32.729 km/s.

Das heißt, wenn ein Mars-Raumschiff bei einem Sonnenabstand von 1 AE eine Geschwindigkeit von 32.729 km/s im heliozentrischen Inertialsystem hat, wird es sich zwangsläufig in einer Bahn um die Sonne befinden, die eine große Halbachse von 1.262 AE hat.

Aber halt: das bedeutet noch lange nicht, dass diese Bahn auch eine geeignete Transferbahn für den Flug zum Mars ist. Eine große Halbachse von 1.262 AE hat beispielsweise auch eine Bahn, die einen Perihelradius von nur 0.3 AE hat, also knapp unterhalb der Merkurbahn, dafür aber einen Aphelradius von 2.224 AE, also weit jenseits der Marsbahn im Asteroidengürtel.

Eine Transferbahn zum Mars sollte ihr Perihel bei 1 AE haben. Dann ist sie am Perihel tangential zu Erdbahn, was ihre Erreichbarkeit für ein von der Erde gestartetes Schiff maximiert. Die erforderliche Erdfluchtgeschwindigkeit berechnet man in guter Näherung als Betrag der Vektordifferenz zwischen dem Geschwindigkeitsvektor auf der Transferbahn bei 1 AE und dem Geschwindigkeitsvektor der Erde. Bei tangentialen Bahnen vereinfacht sich die Rechnung zur Differenz der Geschwindigkeiten.

Als Erdfluchtgeschwindigkeit erhält man 32.729 km/s – 29.783 km/s = 2.946 km/s. Ungefähr 3 km/s – das kann man sich als Anhaltswert für die Erdfluchtgeschwindigkeit für Marstransfers merken. Die Rakete muss also das Raumfahrzeug in eine Fluchthyperbel einschießen, deren Endgeschwindigkeit relativ zur Erde bei großem Erdabstand 2.946 km/s beträgt, und die Erdflucht muss so gezielt werden, dass das Schiff nach der Erdflucht in gleicher Richtung wie die Erde fliegt, nur eben knapp 3 km/s schneller.

In der Realität variiert die Erdfluchtgeschwindigkeit etwas von Startfenster zu Startfenster, denn da muss man die tatsächliche Form der Erd- und Marsbahn berücksichtigen. Wir schauen uns hier aber nur den idealisierten Fall an.

Ganz weit runter

Das Prinzip ist jetzt klar, also nächstes Beispiel: Eine hypothetische Mission, deren Perihelradius nur 6.8 Millionen km beträgt. Bei einem Aphelradius von 1 AE ergibt sich eine große Halbachse von 78.2 Millionen km. Die Aphelgeschwindigkeit auf dieser Bahn ergibt sich aus der Vis-Viva-Gleichung als 8.783 km/s.

8.783 km/s auf einer heliozentrischen Bahn! Die Bahngeschwindigkeit der Erde (wie gesagt, wir rechnen hier mit idealisierten Bedingungen) ist 29.783 km/s. Das heißt, eine Rakete müsste ein Raumfahrzeug in eine Fluchthyperbel starten, deren asymptotische Geschwindigkeit bei 21 km/s liegt! Das ist vollkommen illusorisch. Keine Rakete würde sowas packen, noch nicht einmal mit Null-Nutzlast.

Die charakterische Energie C3

In der Raumfahrttechnik ist die Verwendung der charakteristischen Energie C3 üblich. Bei einer hyperbolischen Bahn entspricht C3 einfach dem Quadrat der Fluchtgeschwindigkeit. Schauen wir uns noch einmal die Vis-Viva-Gleichung an. Auf der Asymptote der Fluchthyperbel geht der Abstand r gegen Unendlich. Dann geht der Term 2/r gegen Null. Das Quadrat der Geschwindigkeit bei großem Abstand (die Bezeichnung vau-Unendlich ist üblich) ist also wie in der oberen der folgenden zwei Gleichungen, die man auch so umformen kann, dass man die große Halbachse als Funktion des Quadrats der Fluchtgeschwindigkeit erhält.
Vergleicht man die charakterische Energie für den Start in den hypothetischen Direktflug zum Perihelradius von 6.8 Millionen Kilometern mit der für den Einschuss in den Marstransfer, dann ergibt sich zwischen beiden ein Faktor von 212 / 2.9462 = 50.8! Eine solche Mission wie die der Parker Solar Probe ist im Direktflug überhaupt nicht zu bewerkstelligen. Ohne Venus-Swingbys geht es einfach nicht.

Warum aber sieben Venus-Swingbys?

Kaum etwas in der Himmelsmechanik wird so wenig verstanden wie die Technik der planetaren Swingbys. Die meisten Leute, die darüber reden, wissen nicht wirklich, wie ein Swingby funktioniert, trauen ihm aber wahre Wunder zu. Die Wirksamkeit von Swingbys hat jedoch deutliche Grenzen.

Eine Grenze liegt in der folgenden Gesetzmäßigkeit. Mit einem Swingby an einem Planeten kann man zwar die Energie und/oder die Neigung der Bahn eines Objektes um die Sonne ändern. Man kann aber in einer Folge von Swingbys nicht die hyperbolische Ankunftsgeschwindigkeit am Planeten ändern, es sei denn, zwischen den Swingbys finden Triebwerksmanöver oder ein Swingby an einem anderen Himmelskörper statt.

Beispielsweise hätte man, wie das mit der ESA-Mission SolO geplant ist, nach einem Venus Swingby noch einen Erdswingby vorsehen können. Warum dies bei der Parker Solar Probe nicht eingeplant wurde, entzieht sich meiner Kenntnis, aber ich gehe davon aus, dass es einen guten Grund gab, die Transfersequenz so zu machen, wie sie ist.

Nun gut, bei stark exzentrischen Bahnen hat man auch noch den zusätzlichen Freiheitsgrad, den Swingby auf dem Bogen vor bzw. nach dem Aphel zu legen. Aber im Großen und Ganzen gilt: Wenn ein Objekt einem Planeten mit 5 km/s begegnet, und später kommt es zu weiteren Swingbys, dann werden alle diese Swingbys auch nur mit einer Ankunftsgeschwindigkeit von 5 km/s stattfinden.

Jetzt kann man schnell ausrechnen, welche hyperbolische Ankunftsgeschwindigkeit an der Venus erforderlich ist, um die Zielbahn der Parker Solar Probe zu erreichen. Wiederum brauche ich dazu nur die Vis-Viva-Gleichung, denn das ist ja bekanntlich die einzige Gleichung, die man in der Bahnmechanik kennen muss.

Die Venus-Bahn hat eine große Halbachse von 108.21 Millionen km. Die dazugehörige Kreisbahngeschwindigkeit ist 35.019 km/s. Was man mit Venus-Swingbys maximal erreichen kann, ist eine heliozentrische Bahn, deren Aphel die Venusbahn streift. Der Aphelradius kann also nicht kleiner als 108.21 Millionen km sein. Um das Aphel weiter abzusenken, müsste man Swingbys am Merkur machen, oder ein Bremsmanöver am Perihel, aber mit Venus allein ist da Ende der Fahnenstange.

Eine Bahn mit einem Perihelradius von 6.8 Millionen km und einem Aphelradius von 108.21 Millionen km hat eine große Halbachse von 57.505 Millionen km. Die Aphelgeschwindigkeit liegt bei 12.042 km/s. Das bedeutet, wenn die Sonde an ihrem Aphel der Venus begegnet, ist die Geschwindigkeitsdifferenz gewaltige 22.976 km/s.

Das ist ein Problem. Je höher die asymptotische Geschwindigkeit auf einer Hyperbel, desto “steifer” ist diese Hyperbel, d.h., desto weniger lässt sie sich durch die Gravitation eines Himmelskörpers selbst bei einem nahen Vorbeiflug umlenken. Je dichter man an die Venus zielt, und je niedriger die hyperbolische Ankunftsgeschwindigkeit liegt, desto kleiner ist die Exzentrität der Hyperbel und desto stärker ist die Umlenkung. 

Idealerweise kann man eine Umlenkung von 120 Grad  oder mehr erzielen. Bei dieser hohen Ankunftsgeschwindigkeit ist das jedoch nicht drin, selbst wenn man auf eine großte Annäherung über Venus von 250 km zulässt. Niedriger sollte man wirklich nicht gehen. Ich rechne das jetzt nicht vor, allein schon, weil ich dann zugeben müsste, dass ich noch mindestens eine weitere Gleichung kenne. Ich stelle einfach mal in den Raum, dass hier maximal eine Umlenkung von etwa 10 Grad drin ist.

Daraus ergibt sich nun zweierlei.

Zum einen verändert jeder Swingby die heliozentrische Bahn der Parker Solar Probe um die Sonne nicht sehr stark – deswegen sind zahlreiche Swingbys erforderlich – hier halt sieben. Man muss dann auch noch bedenken, dass man bei einem Swingby nicht einfach nur darauf achten darf, die heliozentrischen Bahn der Raumsonde maximal zu verändern. Man muss zudem auch darauf achten, dass die Sonde für ihren nächsten Venus-Swingby gezielt wird – es muss also eine Synchronizität mit der Venusbahn gewählt werden.

Zum anderen muss man schon die Transferbahn von der Erde zur Venus zu legen, dass gleich der erste Vorbeiflug an der Venus eine sehr hohe Ankunftsgeschwindigkeit hat. Das geht nur dann, wenn bereits die Anfangsbahn ein Perihel hat, das weit innerhalb der Venusbahn liegt. Bie Bahnen von Venus und Raumsonde kreuzen einander, anstatt sich nur zu streifen. dadurch kommt die hohe Differenzgeschwindigkeit zustande.

Hieraus ergibt sich aber auch zwingend, dass bereits der Start von der Erde mit einer enormen Abfluggeschwindigkeit stattfinden muss. Und so ist es auch (siehe das Press-Kit der NASA zum Start der Parker Solar Probe). Der Start der nur knapp 700 kg schweren Raumsonde erfolgte mit einer horrend teuren Delta IV Heavy, der zudem auch noch eine Feststoff-Zusatzoberstufe mit einem Motor vom Typ Star 48 draufgeschnallt wurde. Das damit erreichte C3 lag laut Press Kit bei 153.79 km2/s2. Enorm, aber immer noch weit unter dem für einen direkten Transfer zu einem Perihelradius von 6.8 Millionen km erforderlichen Wert von 212=441 km2/s2.

Und jetzt wissen Sie, warum das so ist.

Ich bin Luft- und Raumfahrtingenieur und arbeite bei einer Raumfahrtagentur als Missionsanalytiker. Alle in meinen Artikeln geäußerten sind aber meine eigenen und geben nicht notwendigerweise die Sichtweise meines Arbeitgebers wieder.

10 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Zitat: Ungefähr 3 km/s – das kann man sich als Anhaltswert für die Erdfluchtgeschwindigkeit für Marstransfers merken.

    3 km/s wäre wohl die Transfergeschwindigkeit ausgehend von einem Erdorbit.
    In Quora schreibt Toby Mardlin dazu: The minimum change in velocity to get from Low Earth Orbit to Mars is around 3.6 kilometers per second. It takes 9.5km/s to get from Earth’s surface to Low Earth Orbit, so the total is 13.1km/s. Using the minimum velocity like this will mean a roughly 9 month travel time from Earth to Mars.

    Im Conversation-Artikel Five reasons to forget Mars for now and return to the moon kommen die Autoren auf die gleiche Zahl und folgern daraus gar noch, dass es für eine sehr grosse Mission (z.b. bemannt) falsch wäre, direkt von der Erde aus zum Mars zu fliegen (Zitat):
    Um die Anziehungskraft der Schwerkraft zu überwinden und einen anderen Körper im Raum zu erreichen, muss man eine bestimmte Geschwindigkeit erreichen. Eine Reise zum Mars von der Erdoberfläche aus erfordert eine minimale Gesamtgeschwindigkeit von fast 30.000mph (ca. 13,1km/s). Dies erfordert große Raketen, tonnenweise Treibstoff und komplexe Orbitalmanöver. Aufgrund des schwächeren Gravitationsfeldes des Mondes würde die gleiche Reise von der Mondoberfläche “nur” eine Geschwindigkeit von 6.500mph (2,9km/s) erfordern. Das ist etwa ein Drittel dessen, was nötig ist, um die Internationale Raumstation von der Erde aus zu erreichen.

    Das ist übrigens der erste (wichtigste?) Grund, den die Autoren nennen, warum eine Mondbasis heute einer Marsbasis vorzuziehen wäre.

  2. Hallo Herr Holzherr, diese Autonomie-Idee ist mir bekannt, rein rechnerisch schon ok.
    Aber in wieviel Jahrhunderten ist das technologisch soweit? Nicht im 21sten, oder?

  3. @Herr Senf: Es werden Roboter und künstliche Intelligenzen sein, die dort schuften und schürfen werden – und das noch im 21. Jahrhundert. Vielleicht geschickt von der NASA oder von Privaten, vielleicht aber auch als Exilanten, weil von der Menschheit von der Erde verbannt, weil zu gefährlich. Roboter könnten aber auch nur schon deshalb für diese Frontier-Aufgaben eingesetzt werden, weil selbst die Existenz von Marsbars auf dem Mars Irdlinge nicht hinter dem Ofen hervorlocken kann. Elon Musk könnte also vergebens planen(Zitat): “Mars will need everything from iron foundries to pizza joints to nightclubs,” Musk said. “Mars should definitely have great bars,” he quipped before adding, “The Mars bar.”

    • Ich bezweifele, dass man von irgendjemand eine belastbare Vorhersage über die technische Entwicklung über viele Jahrzehnte hinweg erwarten kann.

      Ich sehe allerdings keinen Grund, warum nicht bereits in absehbarer Zeit eine dedizierte Nutzung von Ressourcen auf dem Mond angegangen werden könnte. Technisch sind alle Gegebenheiten dafür vorhanden. Mit der Indienststellung der Falcon Heavy ist auch das Problem des Fehlens einer bezahlbaren Schwerlastrakete weggefallen.

      Ohnehin wird die kommerzielle Nutzung der Ressourcen auf dem Mond und auf Asteroiden von anderen Akteuren bewerkstelligt werden als die bisherige planetare Forschung.

      Aber das hat alles gar nichts mit dem Artikel zu tun.

  4. Die Website Velocity of a Hyperbola bringt im Kern die genau gleichen Überlegungen wie hier im Artikel (in einem Teil des Artikels) dargelegt. Zusätzlich wird aber die Bahn Erde-Mars noch in den Zusammenhang eines Hohmann-Transfers gebracht (ergibt sich wohl implizit).
    Zitat: Die 3 km/s Differenz zwischen der sonnenzentrierten Hohmann-Ellipse und der Erdumlaufbahn ist die hyperbolische Exzesseschwindigkeit für diese Hyperbel. Hyperbolische Exzessgeschwindigkeit wird auch als Vinfinity bezeichnet.

  5. Noch mal zur Erdfluchtgeschwindigkeit nötig um den Mars zu erreichen. Oben liest man zur Definition dieser Geschwindigkeit: Die erforderliche Erdfluchtgeschwindigkeit berechnet man in guter Näherung als Betrag der Vektordifferenz zwischen dem Geschwindigkeitsvektor auf der Transferbahn bei 1 AE und dem Geschwindigkeitsvektor der Erde.
    Dies entspricht fast wörtlich dem Abschnitt über dieses Thema im Buch Spacecraft Mission Design von Charles D. Brown, wo er schreibt: Der Vektorunterschied zwischen der Geschwindigkeit der Erde in Bezug auf die Sonne und der auf der Übertragungsellipse erforderlichen Geschwindigkeit wird als hyperbolische Exzessgeschwindigkeit bezeichnet.
    In diesem Beispiel (im Buch wird die Venus als Beispiel genommen) wurde angenommen, dass die Transfer-Ellipse und die Erdumlaufbahn tangential und koplanar sind.

    Allerdings finde ich den Namen Erdfluchtgeschwindigkeit irritierend, denn es führt zu einer falschen Assoziation (Abflug von der Erdoberfläche). Hyperbolische Exzessgeschwindigkeit scheint mir da weniger problematisch.

  6. v gleich Wurzel aus… der Physiker quadriert die Gleichung sofort zu

    v² = 2μ/r – μ/a

    was mit der halben Masse erweitert links die Bewegungsenergie ist und rechts ganz stark nach Gravitationspotential aussieht:
    mv²/2 = μm/r – μm/2a

    nur daß die Energie im Gravitationsfeld abnimmt, wenn die kinetische Energie zunimmt – also die ganz normale Energieerhaltung.

    Plausibilitäts-Check: der einzige Punkt, wo v² Null werden kann, ist bei r=2a, d.h., am äußersten Ende einer zur Linie plattgedrückten Ellipse.

    Ja, ich glaube gern, daß das die wichtigste Gleichung für Bahnberechnungen ist!

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