Wie viele Dimensionen hat Schach?
Diese Frage ist mir vor ein paar Tagen auf Twitter über den Weg gelaufen. Der Hintergrund ist das geflügelte Wort vom “four-dimensional chess”, das in den USA bedeutet, so weit vorauszudenken, dass eine anscheinend unsinnige Handlung eben doch Sinn ergibt.
Daraufhin schrieb die Journalistin Helen Rosner in einem inzwischen gelöschten Tweet, dass ganz offensichtlich jedes Schachspiel vierdimensional sei. Was sie meint ist, dass jedes reale Schachspiel in die vierdimensionale Raumzeit eingebettet ist und deswegen auch in letzter Konsequenz vierdimensional ist. Das ist natürlich trivial. Einerseits.
Andererseits macht sie es sich ein bisschen zu einfach. Schach ist ja eben nicht bloß der Spielsatz aus Brett und Figuren. Damit aus den Objekten Schach wird, müssen Dinge nach bestimmten Regeln passieren. Tatsächlich ist die physische Repräsentation nicht einmal zwingend notwendig. Wer das Spiel hinreichend gut beherrscht, kann es ohne Brett und Figuren ausschließlich im Kopf spielen.
Der Schach-Raum
Damit ist Schach unabhängig von der vierdimensionalen Raumzeit. Hat Schach dann überhaupt Dimensionen? Hat es. Mathematisch gesehen ist eine Dimension ein Freiheitsgrad der Bewegung in einem Raum. Mit Raum ist hier ebenfalls das mathematische Konzept gemeint, laut dem Räume grob gesagt Mengen von Objekten mit einer Struktur sind.
Damit ist das Schachbrett selbst auch in seiner abstrakten Version ein Raum, wenn auch ein sehr eigenwilliger. Er besteht aus 64 nach bestimmten Regeln miteinander verknüpften Feldern.[1]
Im einfachsten Fall ist die Anzahl der Dimensionen des Raumes schlicht die Mächtigkeit des Erzeugendensystems. In unserem Fall die Anzahl der Parameter, die man braucht, um einen Ort auf dem Schachbrett eindeutig zu beschreiben. Die horizontal verlaufenden Reihen sind durchnummeriert, die Spalten – oder Linien, wie man im Schach sagt – tragen die Buchstaben a bis h.
Jedes der 64 Elemente der Menge kann man mit einer Kombination von Zahl und Buchstabe eindeutig beschrieben werden können. Wenn wir also sagen, der weiße Läufer steht auf c4, dann haben wir seinen Ort im Raum vollständig beschrieben. Das Schachbrett ist also in diesem Sinne eindeutig zweidimensional.
Graph oder topologischer Raum?
Dafür ist der Läufer übrigens völlig irrelevant. Er ist bloß ein Objekt im Raum, das sich nach den Gesetzen der Physik – den Regeln des Spiels – bewegt. Das Spiel und seine Regeln erfordern allerdings noch eine weitere Dimension, nämlich die Anzahl der gemachten Züge. Das ist die Schach-Version unserer vertrauten Zeitdimension.
Wenn wir sagen: “nach dem zwölften Zug steht der weiße Läufer auf c4”, haben wir also alles, was wir brauchen, um die Position jeder Figur über den Verlauf des Spieles hinweg zu beschreiben. Das tut man tatsächlich auch, man schreibt den Verlauf einer Partie Schach in einer Notation auf, die diese drei Parameter nutzt. Wir können also sagen, dass das Schachspiel in zwei Raumdimensionen und einer Zeitdimension stattfindet.
Es gibt mindestens eine weitere Möglichkeit, dem abstrakten Schachbrett eine Dimension zuzuweisen. Man kann die Felder auch als Knoten eines Graphen betrachten, die untereinander durch Kanten verknüpft sind.
Eine Möglichkeit, die Dimension eines Graphen zu bestimmen ist, ihm die Dimension des einfachsten euklidischen Raumes zuzuweisen, in den man ihn einbetten kann, wenn alle Kanten die gleiche Länge haben. Dabei ist nicht ganz trivial, wie man die Kanten erzeugt. Aber schon wenn man annimmt, dass jedes Feld nur mit den acht umliegenden Feldern verbunden ist, reichen drei Dimensionen nicht mehr aus. Wenn jedes Feld mit jedem anderen verbunden, das von ihm aus im Rahmen der Regeln in einem Zug von irgendeiner Figur erreicht werden kann, dürften noch mal ein paar Dimensionen dazu kommen.
Das Spiel als Ganzes
Die Frage, wie die Felder durch die Regeln für die Bewegungen der Figuren miteinander verknüpft sind, führt zur Topologie. Auch für topologische Räume kann man Dimensionen bestimmen. Aber da habe ich gar keine Ahnung von. Ich fände es interessant, wenn Menschen mit Ahnung etwas dazu in den Kommentaren schreiben könnten. Vor allem dazu, ob die Graph-Beschreibung ooder die Topologie des Schachbretts eine praktische Bedeutung haben, und ob die Zugregeln einen Einfluss auf die Zahl der Dimensionen haben – oder nicht.
Vor allem aber kann man diskutieren, ob die Zahl der Dimensionen des Schachspiels überhaupt der Zahl der Dimensionen des Brettes – plus eine Zeitgimension – entspricht. Ein alternativer Standpunkt ist aus meiner Sicht, dass man damit zwar die wechselnde Position einer Figur abbildet, aber eben nicht das ganze Spiel. Schließlich sind noch andere Figuren auf dem Brett.
Um das zu erfassen, muss man ein bisschen größer denken. Die Zeitdimension bleibt natürlich erhalten. Aber man braucht natürlich die Orte aller Figuren.[2] Um die zu erfassen, braucht man zwei Zahlen für jeden Spielstein. Damit landen wir bei 32 x 2 = 64 Dimensionen, plus eine Zeitdimension.
In diesem 65-Dimensionalen Koordinatensystem kann man nun jede beliebige Kombination von Figuren auf dem Brett in jedem beliebigen Zug darstellen. Jede mögliche Position auf dem Brett entspricht einem Punkt. In diesem so erzeugten entspricht jede individuelle Schachpartie einer Abfolge von Punkten. Die Regeln des Schachspiels sagen, welche anderen Punkte im Phasenraum von einem bestimmten Punkt aus erreichbar sind – und welche nicht.
Ich finde diese Art der Darstellung eigentlich sehr attraktiv, weil es hier keine Rolle für die Zahl der Dimensionen spielt, wie die Figuren ziehen. Ändert sich eine Regel, verändern sich einfach die möglichen Wege, die man im Rahmen einer Partie durch den Raum gehen kann – also die Topologie. Aber vermutlich ist das Geschmackssache.
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[1] Ich habe versucht herauszufinden, um welchen Typ von Raum es sich handelt. Leider geht das über meine mathematischen Fähigkeiten hinaus. Die Frage ist nicht ganz unerheblich, weil für verschiedene Arten von Räumen sehr unterschiedliche Definitionen von Dimensionen existieren.
[2] Aufmerksame Leserinnen und Leser werden hier bereits den hässlichen kleinen Haken bemerkt haben: Was passiert eigentlich, wenn man eine Figur schlägt? Man kann ja nicht einfach nach belieben zwei Dimensionen streichen. Eine zugegebenermaßen unelegante Lösung wäre, die Raumachsen von 0 bis 8 laufen zu lassen (also neun Reihen und Linien zu haben), und bei geschlagenen Figuren beide Raumkoordinaten auf 0 zu setzen.
Dimension kein eindeutig bestimmter Begriff, selbst in der linearen Algebra nicht. Man kann die Dimension als maximale Anzahl linear unabhängiger Elemente oder als minimale Mächtigkeit eines Erzeugendensystems definieren. Für Vektorräume laufen beide Definitionen auf dasselbe hinaus; verallgemeinert man auf Module, schon nicht mehr.
Genauso muss Dimension nicht ganzzahlig sein, wenn man fraktale Mengen betrachtet, Stichwort Hausdorff-Dimension.
Kurz und gut: es gibt nicht die Dimension eines Raums. Es kommt immer auch auf die als relevant zugrundegelegte Struktur an.
Selbst beim Schach macht es einen Unterschied, ob ich nur die Positionen der Steine betrachte, oder zusätzlich auch die noch möglichen Züge betrachte: für eine Rochade darf sich der König nicht bewegt haben (‘versteckte Dimensionen’). Und auch in Offiziere umgewandelte Bauern fügen weitere Dimensionen hinzu.
Ich finde eine Zugnummer- (=Zeit-) und 32 Figuren-Dimensionen recht logisch. Die zwei Koordinaten nehmen ja nur endlich viele Werte an, also können wir die Position von 1 bis 64 laufen lassen. Die 0 hinzufügen für geschlagene Figuren. Und wenn wir Koordinaten bis 5*64 laufen lassen, sind auch die Bauernumwandlungen im verwendeten Koordinatensystem abbildbar. Die Regeln für Rochade und en-passant-Schlagen ändern nichts am Koordinatensystem, sondern bedeuten, dass für die Spielregeln nicht immer nur der Zustand zur aktuellen Zugnummer, sondern manchmal auch die Zustände bei vorhergehenden Zugnummern relevant sind.
Das war jetzt von den Holzfiguren her gedacht – einen kleineren endlichen Raum, aber dafür mehr Dimensionen, erhält man, wenn man von den Schachdiagrammen her denkt und neben der Zeitdimensionen 64 Dimensionen für die 64 Felder nimmt, von denen dann jede nur 7 Werte (leer oder Art der Figur) annimmt. In dieser Betrachtungsweise hat dann Go noch wesentlich mehr, dafür sehr “kurze” Dimensionen.
Es gibt hier noch die Fehlerdimension:
Im Bild: Santje09 / Getty Images / istock stehen der schwarze König und seine Dame vertauscht.
Keine Fehlerdimension, im Bild steht der König / das Patriarchat gegen die Queen / das Matriarchat – die ultimative Spieldimension😀🤗
Man sollte auch noch einen Bauer von unten verdeckt als Spion kennzeichnen, der dann eine Eigenschaft eines Soldaten einmalig😳🤯 zur Verfügung hat 🤔🤭🙂
Die Abfolge von Zügen beim Schach als ´Zeit´-Dimension zu betrachten – ist im Prinzip ein Denkfehler; eine falsche Zuordnung.
Korrekt sollte man diese nur als ´Reihenfolge´ bezeichnen. Die Dimensison ´Zeit-Dauer´ existiert nur in unserer Phantasie.
Für das Schach ist es unwesentlich, ob Züge schnell (Blitzschach) oder langsam erfolgen – d.h. die benötigte Zeit ist kein echtes Element des Spiels.
🗣Wenn wir eines Tages nur noch telepathisch😏👥 kommunizieren, dann wird Schach die Anzahl der Dimensionen …, 🌬🌊 oder die Dimensionen werden die Anzahl …👣🙃🌦🌈
Eine weitere Möglichkeit, mit 64+1 Dimensionen auszukommen ist jedem Feld eine Zahl zuzuordnen, die seine Besetzung beschreibt: 0=leer, 1=schwarzer Bauer, 2= weißer Bauer, 2=schwarzer Turm, usf.
KRichards Einwand ist durchaus gerechtfertigt. Man muss die Zeit nicht als Koordinate auffassen sondern kann die Zugnummer als Parameter verwenden. Wir haben es dann mit einer Abfolge von N 64-dimensionalen Vektoren zu tun.
KRichard,
wenn man vollkommen abstrahiert, dann ist die Zeit keine Dimension.
Da wir aber in einer realen Welt leben ist die Zeit doch ein Faktor, weil bei Zeitüberschreitung der Gegner gewinnt.
Auf jeden Fall kann eine Schachposition als Matrix dargestellt werden. Dabei sind die einzelnen Felder nicht gleichwertig, weil zum Beispiel die Randfelder weniger Zugmöglichkeiten haben. Deswegen ist ja der Kampf um das Zentrum in den meisten Eröffnungen wichtig.
Der Wert der einzelnen Schachfiguren ergibt sich aus den Zugmöglichkeiten. Der Bauer hat deswegen nur den Wert 1, die Dame, den Wert 9.
Wenn jetzt ein Programmierer ein Schachspiel programmiert, dann hat er zwei Möglichkeiten. Er speichert alle Eröffnungen ab , das nennt man die Eröffnungsbibliotek und dann findet nach jedem Zug eine Stellungsbewertung statt, die den nächsten Zug bestimmt. Anmerkung: Auch ein Computer braucht dafür Zeit, und diese Zeit wächst exponentiell mit der Anzahl der Möglichkeiten bei einem Abspiel. Wer also gegen den Computer spielt muss das Spiel verkomplizieren, nur so hat man eine Chance. Kasparov konnte Kombination bis 12 ! Züge vorausberechen. Ein Computer kann das nicht.
Die zweite Möglichkeit ist , der Computer spielt von Anfang an unkonventionell. er richtet sich nur nach den Zugregeln und bewertet die möglichen Züge.
Fazit: Die Zeit berücksichtigt der Computer derart, dass er die Tiefe der Berechnung abbricht, wenn er ziehen muss.
@KRichard
Na ich weiß nicht 🤔, wenn ich Schach im Freien und dazu noch bei Regen, Schnee oder Nebel und einem begehbaren Feld spiele, dann wird Zeit-Dauer eine ganz besondere Dimension 🤭
hto,
du hast die Lebenszeit des Menschen nicht berücksichtigt. Michael Tal hat man vorgeworfen ,er hypnotisiere seine Gegner mit seiner Katze. Diese Faktoren (Dimensionen) sind auch nicht berücksichtigt.
Wir wollen das Spiel ja nicht nur beschreiben sondern es auch lösen und gewinnen.
Dazu müssen wir aus der Zustandsraum-Komplexität von ca. 10^50 bestimmte Muster erkennen, die Lösungen für die vielen Spielsituationen bieten.
Aus diesen Mustern ergibt sich ein vieldimensionaler “Feature-Space”, und das sind die Dimensionen im Schach.
Zeit als zusätzliche Dimension würde es dann ja auch in jedem anderen Spiel geben. Wenn man verschiedene Spielverläufe wie alternative Zeitlinien bewertet, und sie als zusätzliche Dimensionen bezeichnet, dann hat Schach so viele Dimensionen wie mögliche Spielzüge.
Zeit im Schach hat nichts mit Raumzeit zu tun, es ist nur ein int Counter(aus jeder Perspektive).
Wenn man ein zweidimensionales Feld repräsentieren möchte und jedes dieser Felder ein Attribut zugeordnet bekommt (welcher Stein/kein Stein), dann ist man bei drei Dimensionen. Damit beschreibt sich eineindeutig der Ist-Zustand eine Schachbrettes. (Man kann das auch komprimieren und den Figuren als Attribuierung das Feld zuordnen…)
Das ist aber nicht Schach,. sondern nur die Beschreibung einer Aufstellung. Nimmt man nun einen Regelsatz dazu (die Schachregeln eben) und möchte den Verlauf eines Spieles, oder zumindest die möglichen Züge abbilden, dann wird es interessant:
Wenn man nur den Verlauf abbildet, dann gibt es einfache Abbildungen, die auch in 3d erstellt werden (Schachnotation). Möchte man aber auf den __möglichen__ Verlauf hinaus, explodiert das Ganze etwas. Und das war auch lange die Ursache, warum Schachcomputer etliches an Speicher benötigt haben…
Lösungen dafür sind auch, sich mehr Dimensionen hinzuzufügen (und eine Bewertungsfunktion zusätzlich zu den Regeln). Das erschlägt man oft mit viel Speicher und komplexen Rechnungen oder mit etwas weniger Speicher und Statistik: Alpha-Go und Brüder. Und ja, die nutzen einfach viele viele Dimensionen zur internen Repräsentation, womit wir bei “Schach ist vieldimensional” sind, wobei die Anzahl vom genutzten Statistikmodell (Art der Netze im ML-Modul) abhängt…
Also prinzipiell kann man endliche Mengen, auch wenn diese eine gewisse zusätzliche Struktur haben, auf unterschiedliche Arten und Weisen so etwas wie ein Dimension zuordnen.
Den endlichen Körper mit 4 Elementen (und Dimension 1) könnte man z.B. auch als Vektorraum der Dimension 2 über den endlichen Körper mit zwei Elementen ansehen. So etwas ähnliches geht auch bei anderen endlichen Mengen.
Erst bei Mengen mit unendlich vielen Elementen wird dieses “schwieriger” (aber dann gibt es auch eine Bijektion zwischen der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der natürlichen Zahlen, d.h. zumindest bei abzählbar unendlichen Mengen einer gewissen Dimension kann man auch versuchen damit die, der Menge zugeordnete, “Dimension” zu reduzieren).
Und nun ist die Anzahl der Felder beim Schach endlich, genauer gibt es nur 64 Felder. Weiterhin gibt es nur 32 Figuren und mit Bauer, Läufer, Springer, Turm, König und Dame nur 6 verschiedene Typen von Figuren. Auch ist die maximale Anzahl von Zügen beschränkt, da eben alle 50 Züge mindestens eine Figur vom Brett muss oder aber ein Bauer bewegt werden muss, da sonst eine Schachpartie unentschieden (Remie) endet. Dieses bedeutet insgesamt, dass man Schach nun auch die Dimension 1 zuordnen könnte, wobei man die gleiche Dimension auch Verallgemeinerungen von Schach auf einem Spielbrett (mit mehr als zwei, aber endlich vielen Dimensionen) mit der gleichen Argumentation zuweisen könnte. So viel zur “minimalen” Dimension, die man Schach zuweisen könnte.
Auf ähnliche Weise kann man nun überlegen, dass auch die maximale Dimension, welche man Schach zuweisen könnte, nun endlich ist und diese maximale Dimension durch die Anzahl der verschiedenen Stellungen, die es im Schach gibt, nach oben beschränkt ist.
In Bezug zu Graphen und Einbettungen: Bei Graphen ist häufig wichtig, ob diese Graphen “planar” sind, d.h. der Graph im zwei dimensionalen euklidschen Raum eingebettet werden kann, ohne dass sich Kanten zwischen verschiedenen Knoten des Graphen kreuzen, die Länge der Kanten und ein “gerader Verlauf” der Kanten (ohne Knicke etc.) ist dabei zumeist unwichtig. Hier ist es übrigens wichtig, dass die Einbettung im 2-dimensionalen euklidschen Raum betrachtet wird und nicht eine solche Einbettung in eine beliebige 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, denn der vollständige Graph mit 5 Knoten (und Kanten zwischen allen Knoten) kann z.B. kreuzungsfrei auf dem Torus (2-dimensionale Mannigfaltigkeit) eingebettet werden (wobei man damit durchaus alternativ beweisen könnte, dass eben jeder planare Graph nun 4-färbbar ist, und zwar ohne Hilfe von Computern bzw. “Theorem-Provern”). Bei komplizierteren 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten (d.h. mit einer “komplizierteren” Homologie bzw. Homotopie-Gruppe) könnte man sogar auch andere vollständige Graphen (d.h. mit mehr Knoten) kreuzungsfrei einbetten, da eben jeder endliche Graph kreuzungsfrei im drei dimensionalen euklidschen Raum eingebettet werden kann (sofern die Kanten nicht die gleiche Länge haben müssen, sondern sich eben nur keine Kanten kreuzen dürfen), man muss nur ausgehend von einer solchen Einbettung im drei dimensionalen (euklidschen) Raum anschließend den Raum so einschränken (und dabei unter Umständen den Verlauf der Kanten etwas ändern), dass nur eine zwei dimensionale Mannigfaltigkeit (mit “Löchern”) übrig bleibt.
Die Anzahl der möglichen Spielverläufe im Verhältnis zu dem tatsächlichen Spielverlauf wächst exponentiell. Ein Durchnittsspieler rechnet 3 Züge im voraus.
Bei 40 Zügen schätzt man die mögliche Anzahl von möglichen Spielverläufen auf 10 hoch 100. Das ist die mathematische Seite.
Die praktische Beurteilung eines Schachspiels berücksichtigt auch allgemeine Gesetze, die die möglichen Spielverläufe stark einengen. So liegt die Gewinnchance bei Weiß höher als bei Schwarz. So verringert sich die Gewinnchance, wenn man nicht rochiert. So verringern sich die Spielverläufe (Gewinnchancen), wenn man seine Figuren nicht deckt. so verringern sich die Gewinnchancen , wenn man den König nicht deckt. Diese Fehler führen zu einem schnellen Spielabbruch und somit zur Verringerung der Möglichkeiten.
Ein möglicher Suchbaum endet bei den Meisten bei 5 Zügen.
Ein Schachprogramm sollte also 5 Züge im Voraus berechnen können.
Wenn das mit Dimension gemeint ist .
Lars Fischer schrieb (29. Nov 2020):
> […] Der Schach-Raum […] besteht aus 64 nach bestimmten Regeln miteinander verknüpften Feldern. […] um welchen Typ von Raum es sich handelt […]
Sofern die Schach-Regeln in erster Linie bestimmen, wie die verschiedenen Figuren ziehen könnten, falls sie jeweils allein auf dem Brett wären (diese “prinzipiellen Zugregeln” also noch nicht durch das Vorhandensein weiterer Figuren in bestimmter Weise modifiziert sind), lässt sich “der Schach-Raum” z.B. als eine Gesamtheit mehrerer metrischer Räume (oder bestimmter Verallgemeinerungen metrischer Räume) auffassen, die alle “auf” den selben 64 Feldern definiert sind;
wobei für jede Spielfigur einzeln, jeweils entsprechend ihren “prinzipiellen Zugregeln”, die Entfernung (Distanz) zwischen je zwei bestimmten (verschiedenen) Feldern dadurch definiert ist, wie viele Züge die Figur mindestens braucht, um von dem einen zu dem anderen Feld zu gelangen (falls überhaupt).
Entsprechend lassen sich unterscheiden:
– “die Königs-Distanz zwischen je zwei bestimmten Schachfeldern” (Werte 1 bis 7 “Schritte”),
– “die Damen-Distanz zwischen je zwei bestimmten Schachfeldern” (Werte 1 bis 2 “Züge”),
– “die Turm-Distanz zwischen je zwei bestimmten Schachfeldern” (Werte 1 bis 2 “Züge”),
– “die Springer-Distanz zwischen je zwei bestimmten Schachfeldern” (Werte 1 bis 5 “Sprünge” (? — siehe u.a. https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Knight_d4_moves.png)),
– “die Läufer-Distanz zwischen je zwei bestimmten Schachfeldern” (Werte 1 bis 2 “Züge”; separat jeweils “nur auf den weißen”, oder “nur auf den schwarzen Feldern”), und
– “die Bauern-Entfernung zwischen je zwei bestimmten Schachfeldern” (Werte 1 bis 5; im Prinzip jeweils “nur nach vorn”, separat für jeden Bauern einzeln. Die genauere Bezeichnung ist deshalb “Bauern-Quasidistanzen”).
Warum würde man das (übliche) Schachbrett (trotzdem) als 2-dimensional auffassen? —
Am offensichtlichsten wohl, weil sich (nur) zwei Figuren-“Armeen” gegenüberstehen (und zumindest hinsichtlich der Bauern strikt “aufeinander zu laufen”), die anfangs beide in bestimmter “Breite” (von 8 Feldern bzw. 7 Königs-Schritten) aufgestellt sind.
Um ganze Schach-Spielabläufe darzustellen und zu unterscheiden, sind drei Dimensionen ausreichend; schematisch:
{ 64 Felder } ⊗ { 32 Figuren } ⊗ { Anzahl der (Halb-)Züge }.Die Dimensionen von Schach zu diskutieren macht keinen Sinn, wenn man dazu im Vorfeld nicht ganz klar definiert, was genau man als ´Dimension´ betrachtet.
Das quadratische Schachbrett mit seinen 64 Feldern – welche man mit den Koordinaten 1-8 und a-h bezeichnet – wäre eine 2-dimensionale Fläche.
Mehr nicht.
Bezeichnet man aber die Freiheitsgrade für die Züge der einzelnen Figuren ebenfalls als ´Dimension´ – dann macht eine Diskussion schon keinen Sinn mehr.
Denn jetzt wird der Begriff ´Dimension´ schon für zwei völlig verschiedene Bedeutungen gebraucht.
Frank Wappler schrieb (01.12.2020, 11:16 Uhr):
> […] “die Springer-Distanz zwischen je zwei bestimmten Schachfeldern” (Werte 1 bis 5 “Sprünge” (? […]))
Nein: dS[ a1, h8 ] = 6.
(Z.B. https://www.schachfeld.de/fenviewer.php?7N/8/6N1/8/5N2/1N6/4N3/N1N5 und https://www.schachfeld.de/fenviewer.php?7n/8/6n1/4n3/2n5/1n6/3n4/n7.)