Lehrer fragen – Wissenschaftler antworten

BLOG: Einsteins Kosmos

Vom expandierenden Universum bis zum Schwarzen Loch
Einsteins Kosmos

Sie sind Lehrer und vermitteln gerade Ihren Schülern Themen aus dem Bereich Physik/Astronomie/Kosmologie? Vielleicht

  • haben Sie eine Fachfrage und wünschen sich einen Wissenschaftler, der sie beantwortet?
  • oder Sie möchten einem Wissenschaftler die Frage eines Schülers weiterleiten?
  • oder Sie hätten gerne einen brauchbaren Buchtipp zu einem speziellen Fachthema?
  • oder Sie suchen im Internet nach geeignetem Material für Ihren Unterricht?
  • oder Sie suchen einen Film im Internet zu einem bestimmten Thema? 
  • oder Sie möchten gerne eine gute Analogie für einen physikalischen Vorgang genannt bekommen?

Falls das so ist, möchte ich Sie ermutigen, Ihre Frage hier in diesem Blogbeitrag mit der Kommentarfunktion zu posten. Ich werde mich bemühen, Ihre Frage hier zu beantworten und ggf. einen geeigneten Experten zu Rate ziehen. Vielleicht liest auch ein fachkundiger Besucher Ihre Frage und beantwortet sie direkt. Oder ein Lehrerkollege weiß einen Rat und schreibt ihn hier nieder.

Anleitung: Um die Übersicht zu behalten sollen die Fragesteller bitte im Betreff "Frage:" schreiben und dahinter Ihr Thema mit ein bis zwei prägnanten Worten umschreiben. Die Antworten werden eingeleitet mit "@Name des Fragers plus Thema".

Ich freue mich auf einen interessanten Diskurs zwischen Lehrerschaft und Wissenschaft!

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Veröffentlicht von

Die Astronomie ist faszinierend und schön – und wichtig. Diese interdisziplinäre Naturwissenschaft finde ich so spannend, dass ich sie zu meinem Beruf gemacht habe. Ich bin promovierter Astrophysiker und befasse mich in meiner Forschungsarbeit vor allem mit Schwarzen Löchern und Allgemeiner Relativitätstheorie. Aktuell bin ich der Scientific Manager im Exzellenzcluster Universe der Technischen Universität München. In dieser Tätigkeit im Forschungsmanagement koordiniere ich die interdisziplinäre, physikalische Forschung in einem Institut mit dem Ziel, Ursprung und Entwicklung des Universums als Ganzes zu verstehen. Besonders wichtig war mir schon immer eine Vermittlung der astronomischen Erkenntnisse an eine breite Öffentlichkeit. Es macht einfach Spaß, die Faszination am Sternenhimmel und an den vielen erstaunlichen Dinge, die da oben geschehen, zu teilen. Daher schreibe ich Artikel (print, online) und Bücher, halte öffentliche Vorträge, besuche Schulen und veranstalte Lehrerfortbildungen zur Astronomie, Kosmologie und Relativitätstheorie. Ich schätze es sehr, in meinem Blog "Einsteins Kosmos" in den KosmoLogs auf aktuelle Ereignisse reagieren oder auch einfach meine Meinung abgeben zu können. Andreas Müller

65 Kommentare

  1. YouTube als Quelle

    Über die Rolle, die Videoclips aus YouTube im Physikunterricht spielen könnten und sollten, gibt es sogar schon ein gelehrtes Paper – das auch das heikle Thema Copyright anspricht.

    An diesem – bzw. Sorgen darüber – ist schon so manches Projekt eines Materialpools für Lehrer (und andere Referierende in Sachen Astronomie) gescheitert, obwohl gerade solch ein
    Depot v.a. von didaktisch durchdachten Visuals eine der meistgehörten Forderungen im Zusammenhang mit dem Astronomiejahr 2009 ist.

    Eine gute Nachricht kann ich aber schon mal (brühwarm) verkünden: Es wird im IYA 2009 einen Pool von vortragstauglichen Astronomen geben, aus dem man sich (als Volkssternwarte oder auch Schule) Referenten zu ganz unterschiedlichen Themen auswählen können wird, im Idealfall nur gegen Reisespesen. Oder nicht mal das. Stay tuned …

  2. Die Antwort liegt vor der Tür

    Wie ich inzwischen gelernt habe, wird die erwähnte Datenbank, bei der man sich während des IYA Vortragende aus der deutschen Fachastronomie “ausleihen” werden kann, vom Exzellenzcluster betreut werden, im Auftrag der Astronomischen Gesellschaft. Die allerdings erst einmal alle ihre Mitglieder darüber informieren muss, auf dass sich zahlreiche Freiwillige melden mögen – es wird also noch einige Wochen dauern, bevor der Pool entsteht.

  3. Schwarze Löcher, Akkretion und Jets

    Hallo Andreas,

    ich bin zwar kein Lehrer, mich beschäftigt aber gerade eine Frage, die ich im Internet bislang nicht so richtig (bzw. für mich verständlich) erklärt bekommen habe: Wie entstehen eigentlich die Materiejets bei der Akkretion von Materie in ein Schwarzes Loch? Also, wieso bildet sich so ein Jet, der senkrecht auf der Scheibe steht und in dem Materie beschleunigt wird – das ist für mich alles andere als einleuchtend.

    Oft liest man in diesem Zusammenhang von starken Magnetfeldern, in denen geladene Teilchen spiralen – kann ein Schwarzes Loch denn überhaupt noch ein Magnetfeld haben? Genauer: Wenn ein Stern zu einem Schwarzen Loch kollabiert, was geschieht dann mit seinem Magnetfeld?

    Ok, dass waren eigentlich schon mehrere Fragen…

    Gespannt,

    Jan

  4. rechenaufgabe

    wenn ich ein Teil für einen Euro plus Versandkosten Ersteigere, ergibt sich eine Summe von 6,00€.
    Mir gefällt dieses nicht und verkaufe dieses für einen Euro plus Versandkosten,somit bezahlt der Käufer auch sechs Euro an mich.
    Habe ich dann einen Verlust von 5 €?
    Bei dieser Frage ist eine Diskusion entstanden.
    Der eine meinte ich gehe mit keinem Verlust raus, ein anderer meint ich habe einen Verlust von 5€. Die Antwort auf diese Frage wäre schon wichtig.
    Vielen dank für Ihre Zeit.
    Mit freundlichen Grüßen
    Gudrun

  5. Hi,

    wie wird heute die Möglichkeit gesehen, dass manche Nanomaschinen möglicherweise gegen den 2. Hauptsatz der Thermodynamik verstoßen?

    mfg
    Luchs

  6. wenn ich ein Teil für einen Euro plus Versandkosten Ersteigere, ergibt sich eine Summe von 6,00€.

    DU ZAHLST 6 EURO.

    Mir gefällt dieses nicht und verkaufe dieses für einen Euro plus Versandkosten,somit bezahlt der Käufer auch sechs Euro an mich.

    DU BEKOMMST 6 EURO, ABER DAVON DARFST DU NUR 1 EURO BEHALTEN, WEIL DU 5 EURO BEI DER POST BEZAHLEN MUSST. ALSO HAST DU 5 EURO VERLUST.

    Habe ich dann einen Verlust von 5 €?
    Bei dieser Frage ist eine Diskusion entstanden.
    Der eine meinte ich gehe mit keinem Verlust raus, ein anderer meint ich habe einen Verlust von 5€. Die Antwort auf diese Frage wäre schon wichtig.
    Vielen dank für Ihre Zeit.
    Mit freundlichen Grüßen
    Gudrun

  7. Ich meine das ungefähr so:

    Betrachten wir z.B. die molekulare Ratsche
    http://de.wikipedia.org/wiki/Molekulare_Ratsche

    Die Sperrklinke könnte sich ja in einem Vakuum befinden. Ist die Speerklinke überhitzt führt sie (auch) Wärem nach außen ab. Außerdem könnte bei “falschem” Gasdruck auf die Flügelräder die Sperrklinke mechanische Energie speichern und diese beim erneuten Strecken an das Rad abgeben und es dennoch antreiben, so dass er keine “falsche” Richtung gibt.

    Capito?

    mfg
    Luchs

  8. Frage: Nanomaschinen und 2. Hauptsatz

    Hi,

    wie wird heute die Möglichkeit gesehen, dass manche Nanomaschinen möglicherweise gegen den 2. Hauptsatz der Thermodynamik verstoßen?

    Ich meine das ungefähr so:

    Betrachten wir z.B. die molekulare Ratsche
    http://de.wikipedia.org/wiki/Molekulare_Ratsche

    Die Sperrklinke könnte sich ja in einem Vakuum befinden, so dass sie nicht von Gaspartikeln getroffen wird. Ist die Speerklinke örtlich und zeitlich überhitzt, führt sie (auch) Wärme nach außen ab an die Umwelt. Außerdem könnte bei “falschem” Gasdruck (Folge der Fliktuationen) auf die Flügelräder die Sperrklinke gebogen werden und so mechanische Energie speichern und diese bei ihrem erneuten Strecken an das Rad abgeben und es dennoch antreiben, so dass er keine “falsche” Richtung gibt.

    Lässt sich die Frage mittlerweile allgemein gültig beantworten, oder muss bei jedem PM 2. Art neu überlegt werden, was hier speziell nicht stimmt, oder könnte es durchaus Überraschungen geben, d.h. eine Nanomaschine, die eindeutig einen Energiefluss erzeugt, indem sie eine Temperaturdifferenz erzeugt und durch ihre Funktion aufrecht erhält?

    mfg
    Luchs

  9. KARL BEDNARIK

    Hi Karl,

    wenn ich richtig recherchiert habe, bist Du hier DER FACHMANN für meine Frage. Es wäre schön, wenn ich ein Feedback bekommen könnte. Was meinst Du, ist die molekulare Ratsche ein Kandidat für eine bessere energetische Zukunft?

    mfg
    Luchs

  10. Perpetuum Mobiles der zweiten Art

    Hallo Luchs,

    Perpetuum Mobiles der zweiten Art können prinzipiell nicht funktionieren, weil sie gegen das Wahrscheinlichkeitsgesetz verstoßen.

    Leider ist bei den Perpetuum Mobiles der zweiten Art die mathematische Beweisführung fast immer sehr unanschaulich.

    Die mathematische Beweisführung ist bei den Perpetuum Mobiles der ersten Art viel einfacher, weil neu entstehende Energie die Kausalität verletzen würde.

    Richard P. Feynman hat die molekulare Ratsche widerlegt, aber leider habe ich noch nicht herausgefunden, wie er das gemacht hat.

    Ich empfehle meine Faustregel:

    Jedes Objekt ist ein Molekül, ganz gleich wie groß es ist.

    Auf Grund der Gleichverteilung der thermischen Energie hat jedes Molekül im Mittel die gleiche kinetische Energie.

    Massereiche Objekte stoßen seltener und heftiger als massearme Objekte etwas beiseite.

    Deshalb laufen die folgenden Maschinen auch nicht gerichtet in eine bestimmte Richtung:

    http://members.chello.at/….bednarik/SZIMOT-1.jpg

    http://members.chello.at/karl.bednarik/AEE-2.jpg

    Mit freundlichen Grüßen,
    Karl Bednarik.

    P. S.:
    Hier gibt es noch mehr, was nicht funktioniert:

    http://members.chello.at/karl.bednarik/

  11. eine Frage bleibt

    Hi KARL,

    danke für Deine Antwort. Wenn ich Dich richtig verstehe, würde Dein erstes Beispiel nicht funktionieren, weil nicht nur das Gasteilchen den Kolben stößt, sondern mitunter auch der Kolben das Gasteilchen, dann allerdings heftig und in die ungewollte Richtung. Würde man anstatt 1 Gasteilchen 3 verwenden (damit man immer auf einer Seite einen Überschuss hat), würden sich die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse nicht ändern. Die Apparatur ist relativ leicht zu durchschauen, wie sie wahrscheinlich ablaufen würde, sofern der 2. Hauptsatz nicht verletzt wird.

    Aber was stimmt an Deinem zweiten Beispiel nicht? Hier kann ich beim besten Willen keinen Fehler finden. Ich muss es mal so sagen: EINFACH GENIAL DIE IDEE.
    Du schreibst: „Die Sperrklinken können das Rad nicht in die falsche Richtung stoßen.“ Man könnte ergänzen: „Die Sperrklinken können das Rad nur in die richtige Richtung stoßen.“ Für eine Sperrklinke müssten meines Erachtens zusätzliche Stopper von Vorteil sein, die den Winkelbereich der möglichen Bewegung der Sperrklinken in beide Richtungen begrenzen. Außerdem wäre eine Vorbiegung der Sperrklinken von Vorteil, so dass diese bei Belastung in die falsche Richtung mechanische Federenergie speichern und diese beim erneuten Strecken an das Rad übertragen können und es so in die richtige Richtung antreiben. Es bleibt die Frage: „Was stimmt denn hier nicht?“

    Eine Frage habe ich noch: „Funktionieren eigentlich alle Nanomaschinen, die der Idee nach ein PM 2. Art darstellen sollen, im Prinzip so, dass eine thermische Fluktuation gleichgerichtet werden soll?“ (Die Bewegung der Sperrklinken im Beispiel lässt sich doch auch als thermische Fluktuation auffassen, oder?)

    mfg

    Luchs

  12. Kaufen Sie keinesfalls meine Maschinen.

    Hallo Luchs,

    es ist so wie bei der Roulette-Methode des Verdoppelns.

    In 1023 von 1024 aller Fälle gewinnt man den Einsatz zurück, und in 1 von 1024 aller Fälle verliert man dann alles wieder.

    Irgendwann wird sich das Schrägzahnrad “falsch” verhalten, und der gesamte Energiegewinn geht wieder verloren.

    Eine Vorspannung der Sperrklinken führt nur dazu, daß alles (ganz gleich, ob richtig oder falsch) insgesamt seltener, aber heftiger passiert.

    Besonders raffiniert, aber ebenfalls wirkungslos:

    Animation:

    (Wenn diese Animation nicht läuft, dann liegt es an den Einstellungen der
    persönlichen Firewall.)

    http://members.chello.at/karl.bednarik/AEE-19.gif

    Text:

    http://members.chello.at/karl.bednarik/AEE-19.txt

    Eine völlig andere Methode, die aber auch nicht funktioniert:

    http://members.chello.at/….bednarik/PEMOZWAR.txt

    Hier (in Kapitel 2.3 Entropie und Gravitation, ab Text-Seite 25) ist ein vermutlich physikalisch korrekter Artikel, der die Diskussion zwischen Maxwell und Loschmidt über den nicht vorhandenen Temperaturgradienten in Gassäulen genauer beschreibt.

    http://www.wias-berlin.de/…ias_preprints_330.pdf

    Warum nicht gleich ein Perpetuum Mobile der ersten Art?

    Bild:

    http://members.chello.at/….bednarik/MAGMOT-1.jpg

    Animation:

    http://members.chello.at/….bednarik/MAGMOT-2.gif

    Das ist doch sehr überzeugend, und lauffähig ist es auch (als Animation).

    Casimir-Effekt-Motor (auch in Stargate gibt es ein Zero-Point-Modul):

    http://members.chello.at/….bednarik/CASIMODO.gif

    Mit freundlichen Grüßen,
    Karl Bednarik.

  13. Tour de force.

    Hallo Luchs,

    ich bin ja nicht nachtragend, aber ich liefere dennnoch einen Nachtrag zu meinem Vortrag (nettes Wortspiel).

    Von der “tour de force” in die “rue de merde”.

    Ich liebe französische Sprichworte, keiner versteht sie, aber sie klingen so gut (je t’aime mes chers).

    Wenn man 10 völlig frei schwingende Sperrklinken hat, dann kann jede davon offen oder zu sein.

    Das bedeutet aber auch, daß in 1 von 1024 Fällen alle gleichzeitig offen sind (2 hoch 10 ist 1024).

    In der Hälfte aller Fälle wird sich dann das Schrägzahnrad in die richtige Richtung drehen, und in der anderen Hälfte aller Fälle wird sich dann das Schrägzahnrad in die falsche Richtung drehen.

    Falls das Schrägzahnrad zum Zwecke der Energiegewinnung eine Feder spannen soll, dann wird es natürlich die falsche Richtung noch viel öfter wählen, weil ihm das seine Feder sagt.

    Nun kommen wir zu der mechanischen Vorspannung der Sperrklinken.

    Wenn die mechanische Vorspannung der Sperrklinken zu hoch ausgelegt ist, dann sind sie alle einfach immer zu, und gar nichts passiert.

    In dem zwischen der freien thermischen Bewegung und der allzu straffen Vorspannung durch eine Feder liegenden Bereich läßt sich problemlos ein Diagramm der Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Sperrklinke an einem bestimmten Ort anfertigen.

    Na, ja, sie können dann immer noch offen oder zu sein, aber sie sind dann eben wesentlich seltener offen (setze deine Mitarbeiter unter Druck, und nichts kommt dabei heraus).

    Was das Schrägzahnrad in der verbliebenen freien Zeit macht, das ist noch immer ungewiß, und das Schlimme daran ist, daß auch das Schrägzahnrad keine Ahnung hat, was es nun machen soll.

    Mit freundlichen Grüßen,
    Karl Bednarik.

    P. S.:

    Kauft freie Energie Aktien!

    Sitzt Du in der Sonne, dann fühlst Du die Energie der Natur.

    Immer schön spenden, hier ist meine Kontonummer:

    *** *** *** ***

  14. glauben oder wissen?

    Lieber geehrter Karl,

    vielen Dank für die vielen hochinteressanten Ideen, Informationen und Links. Ich bin von der Fülle zunächst etwas erschlagen und ratlos. Deshalb möchte ich zunächst nur über Deine Erfindungsidee des Schrägzahnrades sprechen. Ich bin in der glücklichen Lage, dass ich prinzipiell Teile aus unterschiedlichen Thermoplasten herstellen könnte, mit einer Präzision von ca. 50 nm. Deine Schrägzahnradapparatur befindet sich also innerhalb der mir zur Verfügung stehenden apparativen Technik – wäre aber eine echte Herausforderung.

    Du schreibst: „Wenn man 12 (Bezug zu Deiner Zeichnung) völlig frei schwingende Sperrklinken hat, dann kann jede davon offen oder zu sein. Das bedeutet aber auch, dass in 1 von 4096 Fällen alle gleichzeitig offen sind (2 hoch 12 ist 4096). In der Hälfte aller Fälle wird sich dann das Schrägzahnrad in die richtige Richtung drehen, und in der anderen Hälfte aller Fälle wird sich dann das Schrägzahnrad in die falsche Richtung drehen.“

    Einverstanden, wenn der Winkelbereich in dem die Sperrklinken sperren genauso groß ist, wie der Winkelbereich in dem sie nicht sperren. Ließe sich durch die von mir beschriebenen zusätzlichen Stopper beeinflussen.

    „Falls das Schrägzahnrad zum Zwecke der Energiegewinnung eine Feder spannen soll, dann wird es natürlich die falsche Richtung noch viel öfter wählen, weil ihm das seine Feder sagt.“

    Der 2. Hsatz fordert, dass die Feder im stat. Mittel genauso viel komprimiert wird, wie expandiert. Sagen wir bei zumindest einer geschlossenen Sperrklinke wird die Feder komprimiert. Die Federspitze hat den Weg x zurückgelegt. Jetzt tritt das System in den Zustand alle Sperrklinken geöffnet über. Der 2. Hsatz fordert nun, dass im statistischen Mittel die Federspitze auf –x zurückgedrängt wird, gegen die Kraft nach dem Durchtritt x=0. Durch die Massenträgheit wäre das in 1. Näherung sogar möglich, aber dann darf sich während der GESAMTEN Bewegung keine Sperrklinke schließen. Das ist doch illusorisch, oder?

    „Nun kommen wir zu der mechanischen Vorspannung der Sperrklinken. Wenn die mechanische Vorspannung der Sperrklinken zu hoch ausgelegt ist, dann sind sie alle einfach immer zu, und gar nichts passiert.“

    Einverstanden.

    „In dem zwischen der freien thermischen Bewegung und der allzu straffen Vorspannung durch eine Feder liegenden Bereich läßt sich problemlos ein Diagramm der Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Sperrklinke an einem bestimmten Ort anfertigen. Na, ja, sie können dann immer noch offen oder zu sein, aber sie sind dann eben wesentlich seltener offen (setze deine Mitarbeiter unter Druck, und nichts kommt dabei heraus).“

    So ist es. Aber denk auch an die Stopper. Du kannst bei freier thermischer Beweglichkeit einen Stopper so anbringen, dass der Winkelbereich der geöffneten Sperrklinke möglichst klein ist und einen zweiten Stopper, dass der Winkelbereich der geschlossenen Sperrklinke möglichst groß ist. Öffnet eine Sperrklinke sich gerade und prallt vor den Stopper, wird sie einfach in den geschlossenen Zustand reflektiert. Der äußere Stopper kann geradezu beliebig platziert werden. Die schrägen Zahnräder haben eine gewisse Höhe. Diese gibt den Winkelbereich vor, in dem eine Sperrklinke geschlossen wirkt. Und unabhängig von den unterschiedlich zu wählenden Winkelbereichen geschlossen/offen, soll der 2. Hsatz gelten?!

    „Was das Schrägzahnrad in der verbliebenen freien Zeit macht, das ist noch immer ungewiß, und das Schlimme daran ist, dass auch das Schrägzahnrad keine Ahnung hat, was es nun machen soll.“

    Ich denke, hier gibst Du selber zu, dass auch Du die Allgemeingültigkeit des 2. Hptsatzes anzweifelst.

    Mit freundlichen Grüßen
    Luchs

  15. Hi Karl,

    Du schreibst:
    Warum nicht gleich ein Perpetuum Mobile der ersten Art?

    Bild:

    http://members.chello.at/….bednarik/MAGMOT-1.jpg

    Animation:

    http://members.chello.at/….bednarik/MAGMOT-2.gif

    Das ist doch sehr überzeugend, und lauffähig ist es auch (als Animation).

    Ich vermute mal, Du willst mich testen 😉

    Erstens werden die bewegbaren Weicheisen auch von den Polen des Permanentmagneten in der Mitte angezogen.

    Zweitens erhalten die Weicheisen auch eine Polarisierung durch den oberen und den unteren Magneten.

    Der mittige, der obere und der untere Permanentmagnet konkurrieren um die Polarisierung des Weicheisen und dessen Orientierung.

    Drittens schwächt sich die Polarisierung innerhalb des Weicheisens ab. Sie läuft nicht nach dem Motto alles oder nichts, sondern sowohl als auch und im Zweifel nur ein bisschen.

    mfg
    Luchs

    P.S. Wenn Weicheisen einem äußeren Feld ausgesetzt wird und die Elementarmagnete orientieren sich um, dann erhitzt sich doch das Material. Beim umgekehrten Vorgang kühlt es sich ab, oder erhitzt es sich da wieder?

  16. “Wenn nun in unserer Vakuum-Kammer die Quecksilber-Atome vom
    Boden zum Deckel fliegen, dann verlieren sie bei 17 Metern
    Höhen-Unterschied ungefähr ein Prozent ihrer kinetischen
    Energie. Sie gewinnen natürlich genau so viel an potentieller
    Energie, aber diese hat keine Auswirkungen auf die Heftigkeit
    ihrer Stöße an den Deckel unserer Vakuum-Kammer.

    Das bedeutet, daß der Boden unserer Vakuum-Kammer im Gleichgewicht mit
    Quecksilber-Dampf von null Grad Celsius ist, und der Deckel unserer
    Vakuum-Kammer im Gleichgewicht mit Quecksilber-Dampf von minus
    2.7 Grad Celsius ist. Diese durch das Gravitations-Feld erzeugte
    Temperatur-Differenz bereitet mir Kopfzerbrechen.”

    Aber es kommen oben doch nur die heißesten Gasatome an. Die ganz kalten erreichen nicht die erforderliche Höhe.

    Die Frage ist, ob die 1-d-Geschwindigkeitsverteilung der oberen Gasatome exakt dieselbe ist wie die der unteren Gasatome. Ich glaube nicht, deshalb könnte die Idee m.E. funktionieren, wäre aber extrem ineffektiv.

    mfg
    Luchs

  17. Casimir-Effekt-Motor (auch in Stargate gibt es ein Zero-Point-Modul):

    http://members.chello.at/….bednarik/CASIMODO.gif

    Hmm, wenn es nicht funktioniert, dann kann es nur daran liegen, dass das zur Seiteschieben Energie kostet. Gemäß der Äthertheorie kostet das ja tatsächlich Energie, weil der Raum wie ein zäher Honig jede Änderung seiner Schwingungszustände hemmt. Aber wer will heute noch an die Äthertheorie glauben. Fazit: Ich weiß es ÜBERHAUPT nicht. (Und ich vermute mal, es gibt hier keinen, der das PM widerlegen könnte.)

    mfg
    Luchs

  18. Casimir und Maxwell

    Hallo Luchs,

    der Casimir-Effekt entsteht durch die partielle Abschirmung der virtuellen Photonen.

    Das Kraftfeld des Casimir-Effektes hat genau die selbe Gestalt wie jedes andere elektrostatische Feld (es kommt aber ohne Ladungen aus).

    In solchen Kraftfeldern kann es keine geschlossenen Schleifen geben, die Energie liefern.

    ——

    Diagramm der Maxwell-Boltzmann-Energie-Verteilung:

    http://members.chello.at/….bednarik/MABOVE-3.PNG

    Erläuterungen in den Anmerkungen zur Kurzgeschichte (weiter unten):

    http://www.e-stories.de/…geschichten.phtml?23801

    ——

    Das Schrägzahnrad hat zwangsläufig eine um so größere Tendenz zum “falschen” Verhalten, um so stärker es jene Feder gespannt hat, die die nutzbare Energie speichern soll.

    Ohne diese Feder wird das Schrägzahnrad weder eine Richtungs-Tendenz haben, noch Energie abliefern.

    Mit freundlichen Grüßen,
    Karl Bednarik.

    P. S., wenn schon Gasdruck, dann gründlich:

    http://de.wikipedia.org/wiki/Orion-Projekt

    http://www.youtube.com/…amp;feature=channel_page

    http://www.tukult.de/…anguage=germ&fileid=27

  19. Magnetische Kühlung

    http://de.wikipedia.org/…agnetische_K%C3%BChlung

    Die Kühlung durch adiabatische Entmagnetisierung ist deshalb möglich, weil der Abbau der Ordnung eine Schmelzwärme verbraucht.

    In der technischen Praxis wird es aber zumeist Wirbelströme geben, die diesen Effekt zunichte machen.

    ——

    Das Landauer-Prinzip besagt, daß das Löschen eines Bits an Information zwangsläufig die Abgabe einer bestimmten Energiemenge erfordern muß (weil Ordnung im Speicher entsteht).

    http://de.wikipedia.org/wiki/Landauer-Prinzip

  20. Hallo KARL,

    wenn ich jetzt längere Zeit nicht geschrieben habe, dann heißt das nicht, dass ich mit Deinen Ideen schon abgeschlossen hätte. Im Gegenteil, ich denke viel darüber nach und manchmal kommt auch etwas bei heraus. Dein Riesenrad mit den Brownschen Sperren ist meiner momentanen Ansicht nach noch immer funktionstüchtig. Aber etwas anders scheint mir nicht zu funktionieren, wie Du ja selber geschrieben hast. Ich beziehe mich auf:

    “Eine völlig andere Methode, die aber auch nicht funktioniert:

    http://members.chello.at/….bednarik/PEMOZWAR.txt

    Hier (in Kapitel 2.3 Entropie und Gravitation, ab Text-Seite 25) ist ein vermutlich physikalisch korrekter Artikel, der die Diskussion zwischen Maxwell und Loschmidt über den nicht vorhandenen Temperaturgradienten in Gassäulen genauer beschreibt.

    http://www.wias-berlin.de/…ias_preprints_330.pdf

    Unten am Boden gelte die 1-d Geschwindigkeitsverteilung, hergeleitet von Maxwell und Boltzmann:

    (I) F(v) = (m/(2*PI*kT))^0.5 * exp (-mv^2/(2kT))

    Ein Gasteilchen, das unten mit der Geschwindigkeit v1 startet, hat gemäß dem Energieerhaltungssatz oben am Deckel die Geschwindigkeit v2, es gilt

    0.5mv1^2 – mgh = 0.5mv2^2
    (II) v2^2 = v1^2 – 2gh

    Wenn unten also (I) gilt, dann ist mit (II) die Geschwindigkeitsverteilung oben

    (III) F#(v) = (m/(2*PI*kT))^0.5 * exp (-m(v^2-2gh)/(2kT))

    Es ist zu zeigen, dass der auf 1 normierte “positive Ast” (v^2>2gh) von (III) identisch oder nichtidentisch mit (I) ist. Eiegntlich müsste man die Funktion jetzt integrieren, aber es geht auch mit geringerem mathematischem Aufwand.

    Wir betrachten den Spezialfall Hg (200,59 g/Mol) bei 20m Höhe.

    Wenn v unten 0m/s beträgt, dann beträgt der Ausdruck des Exponenten 1.
    Wenn v unten (2gh)^0.5 = (2*9.81*20)^0.5 = 19.81m/s beträgt,
    dann beträgt v oben 0m/s. Der Anteil mit 19.81m/s beträgt unten
    exp (-200.59*10^-3 * 19.81^2 / ( 2*8.314*298)) = 0.98424
    Der Normierungsfaktor für F# an der Stelle v2=0 beträgt also 1/0.98424 = 1.01601

    Der Normierungsfaktor z.B. an der Stelle v2=19.81m/s müsste bei Identität zwischen (I) und (III) denselben Wert haben. 19.81^2 + 2gh = v1^2 = 784.8361 => v1 = 28.015 m/s
    exp (-200.59*10^-3 * 28.015^2 / ( 2*8.314*298)) = 0.968730
    Der Normierungsfaktor für F# an der Stelle v2=19.81 beträgt also 0.98424/0.968730 = 1.01601

    Der Normierungsfaktor z.B. an der Stelle v2=200 m/s müsste bei Identität zwischen (I) und (III) wieder denselben Wert haben. 200^2 + 2gh = v1^2 = 40392.4 => v1 = 200.9786 m/s
    exp (-200.59*10^-3 * 200.9786^2 / ( 2*8.314*298)) = 0.1949421
    exp (-200.59*10^-3 * 200^2 / ( 2*8.314*298)) = 0.19806328
    Der Normierungsfaktor für F# an der Stelle v2=200 beträgt also 0.19806328/0.1949421= 1.01601

    Das kann im Prinzip für alle Werte überprüft werden, der Normierungsfaktor beträgt konstant 1.01601. D.h. die Geschwindigkeitsverteilung ist oben exakt dieselbe wie unten, auch ohne Zusammenstöße der Gasteilchen.

    mfg
    Luchs

  21. “Frage”: Spiegelbild virtuell?

    Ist der Begriff “virtuell” korrekt für das Bild, das man in einem Spiegel sieht?
    Wie definiert man “virtuell” richtig?

  22. Zur vrtuellen Frage 🙂

    Liebe Frau Witting,

    die Bedeutung von “virtuell” hängt von Kontext ab. Üblich ist das Begriffspaar virtuell versus real (reell). Im Internet gibt es virtuelle Welten, an denen man sich aufhalten kann, also künstliche Welten, die nur im Computer existieren, die man aber niemals real betreten kann.

    In der Optik gibt es virtuelle und reelle Bilder. Virtuelle und vergrößerte Bilder entstehen beispielsweise bei der Lupe.

    In der Teilchenphysik gibt es virtuelle Teilchen. Es ist nicht korrekt, dies als spiegelbildliche Teilchen zu übersetzen. Vielmehr sind virtuelle Teilchen extrem kurzlebig und nicht direkt messbar. Das quantenphysikalische Vakuum ist angefüllt mit virtuellen Teilchen, die ständig (als Teilchen-Antiteilchen-Paare) entstehen und schnell wieder vergehen. Je mehr Energie (=Masse) die Teilchenpaare haben, umso kurzlebiger sind sie.
    Ein Proton (oder Neutron) besteht streng genommen nicht aus drei Quarks, sondern ist angefüllt mit virtuellen Quarks und Antiquarks. Ihre Anwesenheit bemerken Physiker, wenn sie (mit viel Energie eines Teilchenbeschleunigers) ein Proton in Einzelteile zerlegen wollen; dann treffen sie eine Vielzahl dieser Teilchen-Antiteilchen-Paare und eben nicht nur die drei Quarks.

    Spiegelbildliche Teilchen gibt es auch: Man kann einem Teilchen einen Drehsinn (Spin, damit verwandt Helizität) zuordnen und dieser ändert sich beim Übergang zum Spiegelbild. Diese Umwandlung vom Teilchen zum Spiegelteilchen nennen Physiker eine Paritätstransformation. Sie war jüngst auch Thema in den Medien, nämlich Inhalt des letzten Physik-Nobelpreises (Stichwort: CP-Verletzung).

    Beste Grüße,
    Andreas Müller

  23. NEED ein Business-Darlehen, die flexibel’S?

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  26. Frage: zum Panzer auf der Falltüre

    Ein Panzer fahre mit konstanter Geschwindigkeit v über eine Falltüre. Er wird dabei von der Unterseite der Laufketten bis zur Dachluke starr unterstützt und vom Fallen abgehalten.

    Die charakteristische (“Aufwärts”-)Beschleunigung der Laufketten-Unterseite bzgl. frei-fallenden Referenzsystemen sei
    g_U > 0;

    die Ping-Dauer der Laufketten-Unterseite bzgl. der Dachluken-Oberseite sei
    τ_UOU > 0;

    die Ping-Dauer der Dachluken-Oberseite bzgl. der Laufketten-Unterseite sei entsprechend
    τ_OUO = τ_UOU Exp[ g_U τ_UOU / c ];

    und die charakteristische (“Aufwärts”-)Beschleunigung der Dachluken-Oberseite bzgl. frei-fallenden Referenzsystemen sei entsprechend
    g_O = g_U (τ_UOU / τ_OUO) = g_U / Exp[ g_U τ_UOU / c ].

    Nun werde die Luke “schlagartig” geöffnet, d.h. so dass alle Bestandteile der Falltüre gleichzeitig mit Beschleunigung a_Luke ≫ g_U nach unten weggezogen werden …
    .. vgl. Rindler, Wolfgang (1961). “Length Contraction Paradox”. American Journal of Physics. 29 (6): 365–366; s. http://home.agh.edu.pl/~mariuszp/wfiis_stw/stw_rindler_lcp.pdf

    Wie groß (mindestens) ist die Dauer τO_Latenz der Dachluken-Oberseite

    – von ihrer Anzeige gleichzeitig zur Anzeige der Laufketten-Unterseite bei Wegfallen der Unterstützung durch die Falltüre

    – bis zu ihrer ersten Anzeige einer Verminderung der Unterstützung durch darunterliegende Bestandteile des Panzers

    ?

    Stimmt es, wie von Rindler und u.a. dort unterstellt wird, dass

    τO_Latenz ≪ (1/2) τ_OUO

    ?

  27. Frage: zur Bedeutung und Bezeichnung von Koordinaten

    Für eine geeignete Menge von Ereignissen seien die Verhältnis-Werte der paarweisen Syngeschen Weltfunktion gegeben;
    d.h. für jedes Paar von Ereignissen sei gegeben, ob deren Weltfunktion den Wert Null hat, oder nicht,
    und für je zwei Paare von Ereignissen, deren Weltfunktions-Werte beide von Null verschieden sind, sei das Verhältnis dieser Weltfunktions-Werte gegeben.

    Aus diesen Verhältniswerten lässt sich schlussfolgern, welche Teilmengen von Ereignissen jeweils Kurven bildeten, und welche nicht;
    und es lassen sich wiederum Verhältnisse der Längen dieser Kurven berechnen.

    Durch den Bezug auf die Syngesche Weltfunktion ist unterstellt, dass sich den in Betracht stehenden Ereignissen Tupel reeller Zahlen eins-zu-eins so zuordnen lassen,
    dass für jedes Ereignis Werte der Koordinaten-Komponenten eines metrischen Tensors induziert werden,
    so dass die Kurvenlängen-Verhältnisse sich wiederum als Verhältnisse von Riemannschen Kurven-Integralen jeweils “über bi-quadratische Koordinaten-Darstellungen der Kurven-Linienelemente” ausdrücken lassen.

    Zweifellos wird eine derartige Eins-zu-eins-Zuordnung von Zahlen-Tupeln zu Ereignissen als “(deren) Koordinaten” bezeichnet.
    Gibt es für derartige Koordinaten, durch die (zusammen mit gegebenen Verhältnissen von Kurvenlängen) Koordinaten-Komponenten eines metrischen Tensors induziert werden, eventuell eine noch speziellere Bezeichnung ?

    Zweifellos lassen sich den beschriebenen Ereignissen Tupel reeller Zahlen eins-zu-eins auch so zuordnen, dass durch sie (zusammen mit gegebenen Verhältnissen von Kurvenlängen) i.A. keine Koordinaten-Komponenten eines metrischen Tensors induziert würden, durch die sich die Kurvenlängen-Verhältnisse als Verhältnisse Riemannscher Kurven-Integrale ausdrücken ließen.
    Werden derartige Eins-zu-eins-Zuordnung von Zahlen-Tupeln zu Ereignissen ebenfalls als “(deren) Koordinaten” bezeichnet ?

  28. Frage: zur Identifizierung eines Beteiligten als “Mitte zwischen” zwei gegebenen, gegenüber einander ruhenden Beteiligten A und B

    Sowohl Einsteins Definition von Gleichzeitigkeit (1916) als auch die dazu komplimentäre Gleichzeitigkeits-Definition Comstocks (1910), geben je zwei (i.A. verschiedene) bestimmte Beteiligte (A und B) vor, die durchwegs gegenüber einander ruhten (dazu wäre demnächst eine separate Frage zu stellen), und beide Definitionen setzen außerdem (genau einen) geeigneten weiteren Beteiligten (im Folgenden zunächst hypothetisch M genannt) voraus, der (durchwegs) als “Mitte zwischen A und B” identifizierbar wäre.

    Zu den Bedingungen, die M dafür erfüllen muss (und die auch schon aus Transitivitäts-Forderung in Einstein Synchronisierungs-Ansatz von 1905 hervorgehen) gehört offenbar:

    (1) dass M für jede seiner Signal-Anzeigen M_S die entsprechenden Ping-Echos von A bzw. von B koinzident wahrnahm:
    M_sah_A_sah_M_S ≡ M_sah_B_sah_M_S;

    (2A) dass A für jede seiner Signal-Anzeigen A_P das entsprechenden Ping-Echo von B und das entsprechende Ping-Echo des Ping-Echos von M koinzident wahrnahm:
    A_sah_B_sah_A_P ≡ A_sah_M_sah_A_sah_M_sah_A_P; und

    (2B) dass B für jede seiner Signal-Anzeigen B_Q das entsprechenden Ping-Echo von A und das entsprechende Ping-Echo des Ping-Echos von M koinzident wahrnahm:
    B_sah_A_sah_B_Q ≡ B_sah_M_sah_B_sah_M_sah_B_Q.

    Stimmt es, dass diese konkreten Bedingungen (1), (2A) und (2B) zusammen allein noch nicht ausreichen, um den Beteiligten M durchwegs als “Mitte zwischen” A und B (im o.g. Sinne Einsteins und Comstocks) zu identifizieren ?

    Stimmt es insbesondere, dass ein Beteiligter M, für/mit dem die konkreten Bedingungen (1), (2A) und (2B) zusammen durchwegs erfüllt sind, und wobei A und B durchwegs gegenüber einander ruhten,
    nicht unbedingt gegenüber A und/oder gegenüber B durchwegs ruhte ?

    Stimmt es weiterhin hin, dass Erfüllung der nachstehenden Bedingungen (3), (4) und (5), zusammen mit (1), (2A) und (2B), ausreicht um den Beteiligten M durchwegs als “Mitte zwischen” A und B (im o.g. Sinne Einsteins und Comstocks) zu identifizieren, und insbesondere festzustellen, dass M sowohl bzgl. A als auch bzgl. B ruhte:

    (3) dass A und B (mindestens) zwei weitere Beteiligte (J und K) identifizierten, so dass A für jede seiner Signal-Anzeigen A_P die entsprechenden Ping-Echos von B, von J und von K koinzident wahrnahm:
    A_sah_B_sah_A_P ≡ A_sah_J_sah_A_P ≡ A_sah_K_sah_A_P, und ebenso

    dass B für jede seiner Signal-Anzeigen B_Q die entsprechenden Ping-Echos von A, von J und von K koinzident wahrnahm:
    B_sah_A_sah_B_Q ≡ B_sah_J_sah_B_Q ≡ B_sah_K_sah_B_Q ≡,

    und so weiter entsprechend durchwegs für jede Signal-Anzeige Js sowie entsprechend durchwegs für jede Signal-Anzeige Ks (s. Bedingungen (5));

    (4) dass A, B, J, K und M (genau) fünf weitere Beteiligte (N, F, G, U, W) identifizierten, so:
    dass M für jede seiner Signal-Anzeigen M_S die entsprechenden Ping-Echos von A von B, von F, von G, von U und von W koinzident wahrnahm:
    M_sah_A_sah_M_S ≡ M_sah_B_sah_M_S ≡ M_sah_F_sah_M_S ≡ M_sah_G_sah_M_S ≡ M_sah_U_sah_M_S ≡ M_sah_W_sah_M_S, und

    dass N für jede seiner Signal-Anzeigen M_T die entsprechenden Ping-Echos von J von K, von F, von G, von U und von W koinzident wahrnahm:
    N_sah_J_sah_N_T ≡ N_sah_K_sah_N_T ≡ N_sah_F_sah_N_T ≡ N_sah_G_sah_N_T ≡ N_sah_U_sah_N_T ≡ N_sah_W_sah_N_T,

    und so weiter entsprechend durchwegs für jede Signal-Anzeige Fs (bzgl. der Ping-Koinzidenz-Echos von A, von J, von M, von N, von W und von U),
    entsprechend durchwegs für jede Signal-Anzeige Gs (bzgl. der Ping-Koinzidenz-Echos von B, von K, von M, von N, von U und von W),
    entsprechend durchwegs für jede Signal-Anzeige Us (bzgl. der Ping-Koinzidenz-Echos von A, von K, von M, von N und F und von G), und
    entsprechend durchwegs für jede Signal-Anzeige Ws (bzgl. der Ping-Koinzidenz-Echos von B, von J, von M, von N und F und von G); und

    (5) entsprechend (2A) und (2B), einschl. (3):
    dass J für jede seiner Signal-Anzeigen J_C die entsprechenden Ping-Echos von A, von B, von K, und die entsprechenden Ping-Echo der Ping-Echos von N, von F und von W koinzident wahrnahm: und
    dass K für jede seiner Signal-Anzeigen K_D die entsprechenden Ping-Echos von A, von B, von J, und die entsprechenden Ping-Echo der Ping-Echos von N, von G und von U koinzident wahrnahm.

    ?

  29. Frage: Zur Messung und (improperen) Bezeichnung von Längen

    Gegeben seien zwei Beteiligte, P und Q, die voneinander getrennt durchwegs gegenüber einander ruhten (deshalb also Mitglieder des selben Inertialsystems waren). Man stelle sich diese z.B. als die beiden Enden eines Eisenbahnzuges vor, d.h. Q als die Spitze der Lokomotive, und P als Ende des Bremswagen-Kabäußchens.

    P und Q wird folglich ein bestimmter Abstand PQ voneinander zugeschrieben; auch “die Länge des Zuges PQ” genannt.

    Außerdem seien die Mitglieder eines anderen Inertialsystems gegeben (man stelle sich die Gleisschwellen eines Eisenbahndamms vor), so dass sich diese und P bzw. Q also geradlinig-gleichförmig gegenüber einander bewegten; darunter insbesondere

    – A, der sowohl (zuerst) von Q als auch (danach) von P getroffen und passiert wurde; und

    – B, der (ebenfalls) sowohl (zuerst) von Q als auch (danach) von P getroffen und passiert wurde, wobei
    As Anzeige des Treffens/Passierens von P gleichzeitig zu Bs Anzeige des Treffens/Passierens von Q gewesen sein soll;
    A_P ⓢ B_Q.

    (Folglich wurde Q sowohl (zuerst) von A als auch (danach) von B getroffen und passiert;
    und P wurde ebenfalls sowohl (zuerst) von A als auch (danach) von B getroffen und passiert.)

    Auch A und B wird folglich ein bestimmter Abstand AB voneinander zugeschrieben; die “Länge des Gleisstücks AB” genannt.

    Der Betrags-Wert der Geschwindigkeit der Mitglieder der beiden Inertialsysteme gegenüber einander sei
    β c ≠ 0.

    Bekanntlich (vgl. https://scilogs.spektrum.de/relativ-einfach/latex-spielwiese/#comment-31780) hat das Verhältnis der Abstände AB und PQ folglich den Wert

    (AB/PQ) = √{ 1 – β^2 } ≠ 1.

    Und selbstverständlich lassen sich auch noch etliche verschiedene weitere Mitglieder von As und Bs Inertialsystem (also Gleisschwellen des Bahndamms) finden;
    darunter sicherlich auch den Beteiligten (die Gleisschwelle) G so, dass das Verhältnis der Abstände AB und AG gerade ebenfalls den Wert

    (AB/AG) = √{ 1 – β^2 }

    hat; wofür demnach die Abstände AG und PQ gerade einander gleich sind:

    (AG/PQ) = 1.

    Welchen Abstand nennt man dann “die in As, Bs und Gs Inertialsystem gemessene Länge des Zuges PQ”:
    AB oder AG ?

  30. Frage: Ist der Krümmungsradius einer Weltlinie reziprok zum Beschleunigungsbetrag ?

    Der Krümmungsradius ρ_A[ _K ] einer bestimmten (durchwegs zeitartigen) Weltlinie, d.h. konkret der (geordneten) Menge aller Ereignisse, an denen ein bestimmter Beteiligter (“A”) teilgenommen hatte, jeweils hinsichtlich eines bestimmten dieser Ereignisse (“ε_AK”, das insbesondere zwischen den beiden Ereignissen “ε_AB” und “ε_AQ” gewesen sein soll), lässt sich (definitionsgemäß; vgl. Wikipedia zu [[Circumscribed_circle#Other_properties]] und [[Cayley-Menger determinant]]) durch Werte der Lorentzschen Distanzen zwischen Paaren dieser Ereignissen folgendermaßen ausdrücken:

    ρ_A[ _K ] :=

    Limit_{ (ℓ[ ε_AΦ, ε_AΨ ] / ℓ[ ε_AB, ε_AQ ]) → 0 }[

    ℓ[ ε_AΦ, ε_AΨ ] / Sqrt[

    2 +
    2 (ℓ[ ε_AΦ, ε_AΨ ] / ℓ[ ε_AΦ, ε_AK ])^2 +
    2 (ℓ[ ε_AΦ, ε_AΨ ] / ℓ[ ε_AK, ε_AΨ ])^2 –
    (ℓ[ ε_AK, ε_AΨ ] / ℓ[ ε_AΦ, ε_AK ])^2 –
    (ℓ[ ε_AΦ, ε_AK ] / ℓ[ ε_AK, ε_AΨ ])^2 –
    ((ℓ[ ε_AK, ε_AΨ ] / ℓ[ ε_AΦ, ε_AK ])^2 *
    (ℓ[ ε_AΦ, ε_AK ] / ℓ[ ε_AK, ε_AΨ ])^2)

    ] ],

    wobei Ereignis ε_AK jeweils zwischen den beiden “variablen” Ereignissen “ε_AΦ” und “ε_AΨ” gewesen sein soll.

    (Da Lorentzsche Distanzen manifest invariant hinsichtlich der Wahl von Bezugssystemen und/oder hinsichtlich der Zuordnung von Koordinaten sind, ist der oben gezeigte Ausdruck ebenso manifest invariant;
    und er hat offensichtlich die Dimension von Lorentzscher Distanz ℓ, also die Dimension von Dauer.)

    Der Betrag der (eigentlichen) Beschleunigung As, | a^0_A[ _K ] |, jeweils hinsichtlich eines bestimmten Ereignisses “ε_AK”, an dem A teilgenommen hatte, gilt ebenfalls als (Lorentz-)invariant;
    vgl. [[Beschleunigung_(Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie)#Eigenbeschleunigung]] bzw. [[Proper_acceleration]].

    Gibt es darüberhinaus eine bestimmte (feste, kovariante) Beziehung zwischen diesen beiden Größen, etwa

    | a^0_A[ _K ] | = c / ρ_A[ _K ]

    ?

  31. Fragen zum Begriff “Stab” in der relativistischen Geometrie und Kinematik

    In einigen historischen Dokumenten, die mit der Entstehung der Relativitätstheorie verbunden sind, treten die Begriffe “starrer Stab” und “ruhender Stab” auf.

    Beschreibt der Begriff “ruhender Stab” insbesondere zwei durchwegs voneinander getrennte Beteiligte (als “die beiden Enden des ruhenden Stabes”), die durchwegs gegenüber einander ruhten, also beide durchwegs konstante und gegenseitig gleiche Ping-Dauern gegenüber einander aufwiesen, also beide durchwegs Mitglieder des selben Inertialsystems waren ?

    Beschreibt der Begriff “starrer Stab” insbesondere zwei durchwegs voneinander getrennte Beteiligte (als “die beiden Enden des starren Stabes”), die durchwegs gegenüber einander starr waren, also jeder von beiden durchwegs konstante Ping-Dauern bzgl. des anderen aufwies ?

    Bezeichnet man zwei Beteiligte eventuell auch dann “die beiden Enden eines Stabes”, wenn sie weder “die beiden Enden eines ruhenden Stabes” noch “die beiden Enden eines starren Stabes” entsprechend den obigen Beschreibungen bildeten ?

    Insbesondere:
    Falls zwei bestimmte Beteiligte zunächst “die beiden Enden eines ruhenden Stabes” waren, also beide durchwegs konstante und gegenseitig gleiche Ping-Dauern gegenüber einander aufwiesen,
    und sich danach ihre individuellen Beschleunigungen derart änderten (verbunden mit “Ruck”/”Jerk” usw.), dass die gegenseitigen Ping-Dauern nicht konstant blieben und
    dass die beiden schließlich einzeln konstante (und von Null verschiedene, “hyperbolische”) Beschleunigungen aufwiesen und “die beiden Enden des starren Stabes” bildeten, so dass schließlich die gegenseitigen Ping-Dauern der beiden konstant aber gegenseitig ungleich blieben,

    nennt man diese beiden Beteiligten auch “die beiden Enden eines Stabes”, während sich ihre individuellen Beschleunigungen veränderten ?,
    und falls so:

    wie bezeichnet man diesen Stab (da weder “ruhenden Stab”, noch “starren Stab”) ?

  32. Frage nach “momentan mitbewegten Inertialsystemen” eines Beteiligten

    Es sei A ein Beteiligter, der sich durchwegs in einer flachen Region aufhielt, dabei aber zu keinem Inertialsystem gehörte (und insbesondere gegenüber keinem anderen Beteiligten ruhte), sondern duchwegs (oder höchstens mit momentanen Ausnahmen) beschleunigt war.

    Zu jedem Ereignis ε_AΦ, an dem A teilnahm, lässt sich allerdings jeweils ein weiterer Beteiligter (J) finden,

    – der am selben Ereignis teilnahm, d.h. ε_AΦ ≡ ε_AΦJ,

    – der durchwegs (zusammen mit weiteren geeigneten Beteiligten) zu einem bestimmten Inertialsystem Σ^J gehörte, und

    – dessen Mitglieder wiederum messen, dass die (Momentan-)Geschwindigkeit As bzgl. Inertialsystem Σ^J (und also insbesondere bzgl. J) im Ereignis ε_AΦJ verschwindet; kurz:
    v_J[ A ] = 0.

    Es wäre offensichtlich falsch und irreführend, dieses Inertialsystem Σ^J ein “momentanes Ruhesystem As” (bzw. ein “instantaneous rest system of A”) zu nennen; weil, entsprechend Vorgabe, A gegenüber keinem anderen Beteiligten ruhte — weder durchgängig noch abschnittsweise noch “momentan”.

    Wie ist dieses hinsichtlich des Beteiligten A beschriebene Inertialsystem Σ^J stattdessen zu bezeichnen ?

  33. Frage zum Begriff “Starrheit” in der Relativitätstheorie, insbesondere hinsichtlich gleichmäßig rotierender Körper

    Falls eine gegebene Menge Beteiligter im Flachen mit gleicher konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine gemeinsame Achse rotierten und dabei jeder bzgl. jedem Bestandteil der Achse konstante Pingdauer hatte und behielt, dann waren auch ganz allgemein die Pingdauern jedes dieser Beteiligten bzgl. jedes anderen konstant (aber, offensichtlich, nicht unbedingt gegenseitig gleich).

    Kann man deshalb sagen, dass je zwei dieser Bestandteile gegenüber einander “starr” waren (bzw. jeweils die beiden Enden eines “starren Stabes” bildeten),
    und dass diese Bestandteile deshalb insgesamt einen “starren Körper” bildeten (z.B. eine “starr rotierende Scheibe”),
    obwohl sich für je zwei dieser Bestandteile im Allgemeinen kein Inertialsystem finden lässt, dass für diese beiden ein “momentan mitbewegtes Inertialsystem” gewesen wäre ?

  34. Frage zum “Mitte”-Begriff bei improperer Formulierung von Gleichzeitigkeit

    Bei Definition bzw. Feststellung von Gleichzeitigkeit im Rahmen der Relativitätstheorie ([[Einstein 1916/17]], vgl. [[Comstock 1910]]), spielt bekanntlich der Begriff der “Mitte (zwischen je zwei voneinander getrennten, gegenüber einander ruhenden Beteiligten)” eine wesentliche Rolle:

    Falls z.B. zwei bestimmte Eisenbahnschwellen, A und B, gegenüber einander ruhten, und ein weiterer Beteiligter (z.B. Eisenbahnschwelle M) als “Mitte zwischen” A und B festgestellt wurde,
    dann gelten jeweils ein bestimmter Ereignis-Anteil As (z.B. As Anzeige A_P der Passage der Lokomotive P eines bestimmten Eisenbahnzuges) und ein bestimmter Ereignis-Anteil Bs (z.B. Bs Anzeige B_Q der Passage des Bremswagens des selben Eisenbahnzuges) genau dann als gleichzeitig, falls M die beiden Ereignisse ε_AP und ε_BQ koinzident wahrgenommen hatte.

    Eine (leider verbreitete) impropere Formulierung dieser Definition bzw. entsprechender Befunde ist die Aussage, dass dann stattdessen
    »die beiden Ereignisse ε_AP und ε_BQ insgesamt im Inertialsystem von A, B und M gleichzeitig« gewesen wären.

    Wird damit auch unterstellt, oder sogar vorausgesetzt, dass:
    »Eisenbahnschwelle M als “Mitte zwischen” Lokomotive P und Bremswagen Q im Inertialsystem von A, B und M«
    festgestellt worden wäre
    ?

  35. Fragen zur Didaktik und Nachvollziehbarkeit (der Geometrie) der Allgemeinen Relativitätstheorie

    Eine offenbar prominente Auffassung zur Didaktik (der Geometrie) der Allgemeinen Relativitätstheorie äußert sich folgendermaßen (R. M. Wald, “Teaching General Relativity”>):

    […] How does one go about giving a precise mathematical description of the geometry of
    a spacetime in general relativity—or, for that matter, of the geometry of a surface of a
    potato? The notion of a “distance function” between (finitely separated) points can be
    defined for the surface of a potato, and, similarly, the notion of a “spacetime interval”
    could be defined for (finitely separated, but sufficiently close) events in general relativity,
    but it would be extremely cumbersome to base a geometrical description of these entities
    on such a notion. A much better idea is to work infinitesimally, using the idea that, on
    sufficiently small scales, a curved geometry looks very nearly flat. […] one begins by introducing the notion of a tangent vector to describe an infinitesimal displacement about a point p.

    Demnach würde jeglichem (geeignet verallgemeinerten) Begriff von “Distanz” zwischen den in Betracht stehenden Ereignissen abgesprochen, grundlegend oder auch nur didaktisch nützlich zu sein. Ohne einen geeigneten solchen “Distanz”-Begriff (“spacetime interval”, “Lorentzian distance”, “chronometric distance”, “geodesic distance” …) zu benutzen, also ohne einen solchen zunächst nachvollziehbar definiert zu haben, oder zumindest abstrakt vorauszusetzen —

    Was wäre dann überhaupt mit den Einschränkungen auf “sufficiently close events” und “sufficiently small scales” gemeint ??

    Was genau wäre mit “looks very nearly flat” gemeint, wenn nicht, dass [[Cayley-Menger-Determinante]]n, die bekanntlich durch Distanz-Werte bzw. durch Distanz-Verhältnisse ausgedrückt werden, nahezu (und im Grenzübergang zu immer kleineren Distanz-Werten immer näher) Null sind ??

    Wie wäre überhaupt zu entscheiden, welche (Raum-Zeit-)Kurven, die genau ein Ereignis gemeinsam haben, zur selben “Tangente” (d.h. Äquivalenzklasse von Kurven, die sich “nur berühren”, aber “nicht schneiden”) gehören, und welche nicht ??

    Und welcher Anteil von Studierenden fände es überhaupt “extremely cumbersome”“, an einen (den?) “Krümmungs”-Begriff dadurch herangeführt zu werden,

    – dass jeweils drei (gegenüber einander ruhende) Beteiligte (beispielhaft: “Kimme”, “Korn” und “Zielscheibe”) entweder gegenüber “gerade” sein können, oder ansonsten eben “krumm” (wobei die Berechnung des entsprechende Krümmungsradius aus den Distanz-Beziehungen bekanntlich nach Herons Formel erfolgt);

    – dass jeweils vier (gegenüber einander ruhende) Beteiligte (beispielhaft: die Enden der vier “Beine” eines Tisches) entweder gegenüber “eben” sein können, oder ansonsten eben “krumm” (wobei die Berechnung des entsprechende Krümmungsradius aus den Distanz-Beziehungen bekanntlich nach der Gramschen Formel erfolgt);

    – dass entsprechend auch jeweils fünf (gegenüber einander starre) Beteiligte (beispielhaft: die fünf “materiellen Punkte” eines Syngeschen “Five-Point Curvature meters”) entweder gegenüber “(Euklidisch) flach” sein können, oder ansonsten eben “krumm” (wobei die Berechnung des entsprechende Krümmungsradius aus den Distanz-Beziehungen bekanntlich nach der Gramschen Formel erfolgt);

    – und dass entsprechend auch jeweils sechs Ereignisse entweder gegenüber “(Minkowskisch) flach” sein können, oder ansonsten eben “krumm” (wobei die Berechnung des entsprechende Krümmungsradius aus den Distanz-Beziehungen bekanntlich nach der Gramschen Formel erfolgt)

    ??

  36. Frage zur Unumgänglichkeit von Einschränkungen in Definitionen von Raum-Zeit-Intervallen s^2

    Im (nicht zuletzt von Lehrern beachteten) Artikel “Teaching General Relativity” erwähnt R. M. Wald (eher beiläufig):

    […] the notion of a “spacetime interval” could be defined for (finitely separated, but sufficiently close) events in general relativity […]

    Womöglich dachte Wald dabei insbesondere an die [[Syngesche Weltfunktion]] (nach Definition von H. S. Ruse), die einem Ereignispaar (ε_AB, ε_JK) jeweils nur unter der Einschränkung einen bestimmten Raum-Zeit-Intervall-Wert s^2[ ε_AB, ε_JK ] := 2 σ^2[ ε_AB, ε_JK ] zuschreibt, dass diese beiden Ereignisse durch genau eine geodätisch-gerade Kurve miteinander verbunden sind (und in diesem Sinne “hinreichend nah zueinander” sind bzw. gemeinsam zu einer “Normal-Umgebung” gehören).

    Lassen sich Raum-Zeit-Intervalle grundsätzlich nicht auch für Paare von Ereignissen definieren, die nicht derart eingeschränkt wären ?

    Sofern ein Ereignispaar (ε_AB, ε_PQ) zumindest überhaupt durch (mindestens) eine Kurve γ miteinander verbunden ist, die von überlappenden Abschnitten (“Normal-Umgebungen”) bedeckt werden kann, deren jeweilige Elemente (Ereignisse) alle paarweise durch genau eine geodätisch-gerade Kurve miteinander verbunden sind,
    sodass anhand gegebener Werte der Syngesche Weltfunktion in jedem zu Kurve γ gehörigen Ereignis deren Krümmung (d.h. der inverse Krümmungsradius) κ sowie die Abschnitts-weise Kurvenlänge ermittelt werden könnten, womit sich die gesamte Länge der Kurve als (konvergierende) Summe von Längen-Abschnitten für geeignete Zerlegungen ergibt —

    was stünde dann z.B. der folgenden Definition eines Raum-Zeit-Intervall-Wertes (entsprechend der “East-Coast”-Vorzeichenkonvention, d.h. positiv für Raum-artig voneinander getrennte Ereignisse) für dieses Ereignispaar entgegen ? —

    s^2[ ε_AB, ε_PQ ] := Infimum[ { S^2[ γ ] : γ ∈ Γ[ ε_AB, ε_PQ ] } ],

    wobei Γ[ ε_AB, ε_PQ ] die Gesamtheit aller Kurven bezeichnet, die die beiden Ereignisse ε_AB und ε_PQ verbinden, und S^2[ γ ] so definiert ist, dass

    • falls γ durchwegs gerade ist, also auf jeder ihrer überlappenden Normal-Umgebungen bzgl. der Syngesche Weltfunktion eine geodätische Kurve mit Krümmung κ = 0 ist, dann

    S^2[ γ ] := (Länge[ γ ])^2 * East-Coast-Vorzeichen[ ε_AB, ε_PQ ],

    • und andernfalls

    S^2[ γ ] := (Länge[ γ ])^2 * East-Coast-Vorzeichen[ ε_AB, ε_PQ ] * (2 – 2 Cos[ φ[ γ ] ]) / (φ[ γ ])^2

    mit

    φ[ γ ] := Integral_{ γ }[ | κ d_Länge | ].

  37. Frage zur Geometrie einer Photon-Sphäre

    Wenn ein Photon “in der Photon-Sphäre einer hinreichend krummen Region stabil kreiste”, dann gibt es offenbar zu jedem Ereignis, an dem dieses Photon teilnahm, zahlreiche andere Ereignisse, an denen das Photon “ein volles Orbit, oder mehr, vorher” teilgenommen hatte, mit denen das erstgenannte Ereignis zeitartig verbunden war.

    Gilt sogar für alle Paare von Ereignissen, an denen solch ein “stabil kreisendes Photon in einer Photon-Sphäre” teilgenommen hatte, also insbesondere auch für je zwei beliebig nahe Ereignisse “während des selben Orbits”, dass sie zeitartig miteinander verbunden waren ?

  38. Fragen zur Darstellung und Bezeichnung Dimensions-behafteter Abstandsmaße

    Wenn je zwei bestimmten Elementen einer gegebenen Menge ℳ ein bestimmter Wert als “deren Abstand voneinander” zugeordnet wird, dann diese Abstandswerte offenbar nicht unbedingt reelle Zahlen, wie insbesondere für metrische Räume (und deren Verallgemeinerungen, die Wikipedia in Betracht zieht) zugrundegelegt ist, sonderen sie sind (allgemeiner) “Dimensions-behaftet”.

    Bekannte Beispiele sind für eine gegebene Ereignismenge ℰ,

    – dass jedem Paar von Ereignissen aus ℰ ein Wert des
    “Raumzeit-Intervalls zwischen einander” zugeordnet wird, dem “Dimension »(Länge)²«” zugeschrieben ist, oder

    – dass jedem Paar von Ereignissen aus ℰ ein Wert von
    “chronometrischer Distanz χ := sgn[ ] * √{ sgn[ ] * } zwischen einander” zugeordnet wird, dem “Dimension »Länge«” zugeschrieben ist.

    Frage 1:
    Ist der Wertebereich jeweils einer solchen Zuordnung von “Dimensions-behafteten Abständen” eine Abelsche Gruppe “(𝒜, ⊞)” ?

    (Die Menge der reellen Zahlen bildet ja ebenfalls eine Abelsche Gruppe “(ℝ, +)” bzgl. der “üblichen Addition reeller Zahlen”).

    Falls so:
    Die oben beispielhaft genannten Zuordnung von Abstandsmaßen zu Ereignispaaren, “Raumzeit-Intervall s²” bzw. “chronometrische Distanz χ” unterscheiden sich qualitativ offenbar dahingehend, dass für je vier Ereignisse ε_FG, ε_JK, ε_PQ, ε_UV ∈ ℰ zwar gilt:

    • falls
    χ[ ε_FG, ε_JK ] ⊞ χ[ ε_JK, ε_UV ] = χ[ ε_FG, ε_UV ] und
    χ[ ε_FG, ε_PQ ] ⊞ χ[ ε_PQ, ε_UV ] = χ[ ε_FG, ε_UV ],

    dann ist garantiert, dass sowohl
    χ[ ε_FG, ε_JK ] ⊞ χ[ ε_JK, ε_PQ ] = χ[ ε_FG, ε_PQ ] als auch
    χ[ ε_JK, ε_PQ ] ⊞ χ[ ε_PQ, ε_UV ] = χ[ ε_JK, ε_UV ].

    • Dagegen, falls
    [ ε_FG, ε_JK ] ⊞ [ ε_JK, ε_UV ] = [ ε_FG, ε_UV ] und
    [ ε_FG, ε_PQ ] ⊞ [ ε_PQ, ε_UV ] = [ ε_FG, ε_UV ],

    dann i.A. dennoch
    [ ε_FG, ε_JK ] ⊞ [ ε_JK, ε_PQ ] ≠ [ ε_FG, ε_PQ ] oder
    [ ε_JK, ε_PQ ] ⊞ [ ε_PQ, ε_UV ] ≠ [ ε_JK, ε_UV ], oder sogar beides.

    Frage 2:
    Wie nennt man diese Eigenschaft einer Zuordnung von Abständen, bzgl. je vier Elementen, die offenbar für “chronometrische Distanz χ” erfüllt ist, für “Raumzeit-Intervall ” dagegen nicht ?

    (Falls für diese Eigenschaft noch keine Bezeichnung aktenkundig wäre, möchte ich hiermit vorschlagen, sie “Linearität der Abstandszuordnung” zu nennen.)

  39. Frage: Was entspricht für Abschnitte raumartiger Kurven der Dilatation von Abschnitten zeitartigen Kurven ?

    Aus für eine bestimmte Ereignismenge 𝙀 gegebenen reell-wertigen Verhältnissen Lorentzscher Distanzen 𝓁 lässt sich für jeden durch zwei “Enden” begrenzten Abschnitt 𝘼 ⊆ 𝙀 einer zeitartigen Kurve (bekanntlich) dessen “Dilatation” definieren bzw. ermitteln:
    Dil[ 𝘼 ] :=
    Supremum_{ aller Paare a, b ∈ 𝘼 mit 𝓁[ a, b ] ≠ 0 }_[
    Infimum_{ aller abzählbarer Teilmengen 𝙎 ⊆ 𝘼 }_[
    Infimum_{ aller Permutationen P[ 𝙎 ] }_[
    Summe_{ k = 2 bis Mächtigkeit[ 𝙎 ] }_[
    (𝓁[ p_{ k }, p_{ k - 1 } ] / 𝓁[ a, b ]) +
    (𝓁[ p_{ k - 1 }, p_{ k } ] / 𝓁[ a, b ])
    ] ] ] ]
    .

    Lässt sich eine entsprechende Größe auch für jeden durch zwei “Enden” begrenzten Abschnitt einer raumartigen Kurve definieren bzw. ermitteln ?
    Und nennt man diese womöglich dessen “Konzentration” ?

    (Zu beachten ist natürlich, dass für beliebige zwei voneinander raumartig getrennte Ereignisse, p und q, gilt:
    𝓁[ p, q ] = 𝓁[ q, p ] = 0.)

  40. Frank Wappler schrieb (25.03.2020, 10:33 Uhr):
    > Aus für eine bestimmte Ereignismenge 𝙀 gegebenen reell-wertigen Verhältnissen Lorentzscher Distanzen ℓ lässt sich für jeden durch zwei “Enden” begrenzten Abschnitt 𝘼 ⊆ 𝙀 einer zeitartigen Kurve

    … weil und sofern die beiden “Enden” des Kurvenabschnitts ausdrücklich angenommen werden, können und sollen sie auch ausdrücklich benannt sein: passend zum Folgenden als a und b

    > (bekanntlich) dessen “Dilatation” definieren bzw. ermitteln:
    Dil[ 𝘼 ] := Supremum_{ ...

    Das war leider falsch! (Ich bitte um Entschuldigung; siehe allerdings auch Zusammenhänge weiter unten.)

    Richtig ist stattdessen (ausdrücklich hinsichtlich der “Enden” a und b des Kurvenabschnitts 𝘼):
    Dil[ 𝘼 ] :=
    Infimum_{ aller abzählbarer Teilmengen 𝙎 ⊆ 𝘼 }_[
    Infimum_{ aller Permutationen { P[ 𝙎 ] } }_[
    Summe_{ k = 2 bis Mächtigkeit[ 𝙎 ] }_[
    (ℓ[ P_{ k }, P_{ k - 1 } ] / ℓ[ a, b ]) +
    (ℓ[ P_{ k - 1 }, P_{ k } ] / ℓ[ a, b ])
    ] ] ].

    Meine Frage ist ausdrücklich nach einer entsprechenden Größe für jeden durch zwei “Enden” begrenzten Abschnitt einer raumartigen Kurve.

    Ambitionierter ist der Versuch, “Dilatation” einer ausnahmslos zeitartigen Kurve (oder i.A. auch schlicht: einer ausnahmslos zeitartigen Menge) 𝙆 insgesamt zu definieren, ohne deren Begrenztheit, also zwei “Enden” (oder auch nur ein einzelnes “Ende”) vorauszusetzen. Die entsprechende Definition ist und daher zwangsläufig eine andere als in der obigen Korrektur gezeigt:
    Dil[ 𝙆 ] :=
    Infimum_{ aller Paare j, q ∈ 𝙆 mit ℓ[ j, q ] ≠ 0 }_[
    Supremum_{ aller abzählbarer Teilmengen 𝙎 ⊆ 𝘼 }_[
    Infimum_{ aller abzählbarer Teilmengen 𝙁 ⊆ 𝘼 }_[
    Infimum_{ aller Permutationen { P[ Union[ 𝙎, 𝙁 ] ] } }_[
    Summe_{ k = 2 bis Mächtigkeit[ Union[ 𝙎, 𝙁 ] ] }_[
    (ℓ[ P_{ k }, P_{ k - 1 } ] / ℓ[ j, q ]) +
    (ℓ[ P_{ k - 1 }, P_{ k } ] / ℓ[ j, q ])
    ] ] ] ] ].

    (Eine entsprechende Größe für jede ausnahmslos raumartige Kurve bzw. jede ausnahmslos raumartige Menge lässt sich womöglich nicht sinnvoll definieren.)

  41. Frage: Wie nennen wir den Anteil eines (Koinzidenz-)Ereignisses, der jeweils nur einem bestimmen daran Beteiligten zugeschrieben wird ?

    Oder komplementär:

    Wie nennen wir den Teil eines bestimmten Beteiligten, der zu genau nur einem bestimmten Ereignis gehörte, an dem er teilnahm ?

    Nennen wir diesen Anteil: “die Anzeige des betreffenden Beteiligten am betreffenden Ereignis” (?) …

  42. Frage:
    Welche Vorzeichenwahl der Syngeschen Weltfunktion verträgt sich mit CAT(k)-Dreiecksvergleichen ?

    Für bestimmte metrische Räume, nämlich CAT(k)-Räume, lassen sich die Ergebnisse sogenannter Dreiecksvergleiche sehr anschaulich und einprägsam (monoton, und insofern einfach) formulieren; etwa (in Verallgemeinerung der urspünglichen Formulierung von Alexandrov):

    Beim Vergleich zwischen Dreiecken, die sich in ihren Seitenlängen genau gleichen, ist die Distanz zwischen einer Ecke eines Dreiecks und jeweils einem vierten Punkt in der Mitte der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks um so größer, je größer die Krümmung dieser vier Punkte ist. (Und natürlich auch umgekehrt: um so geringer, je geringer die Krümmung dieser vier Punkte ist.)

    Dabei versteht sich (der Wert von) “Krümmung” als (die vom Betrag her kleinste, von Null verschiedene) Lösung k für das Verschwinden der Gram-Kokkendorff-Determinante für die Distanzwerte zwischen vier Punkten (A, B, C und M):

    Det[   {
    {                   1,                         Cos[ Sqrt[ k ] d[ A, B ]^2 ],   Cos[ Sqrt[ k ] d[ A, C ]^2 ],   Cos[ Sqrt[ k ] d[ A, M ]^2 ] },
    { Cos[ Sqrt[ k ] d[ B, A ]^2 ],                       1,                       Cos[ Sqrt[ k ] d[ B, C ]^2 ],   Cos[ Sqrt[ k ] d[ B, M ]^2 ] },
    { Cos[ Sqrt[ k ] d[ C, A ]^2 ],   Cos[ Sqrt[ k ] d[ C, B ]^2 ],                       1,                       Cos[ Sqrt[ k ] d[ C, M ]^2 ] },
    { Cos[ Sqrt[ k ] d[ M, A ]^2 ],   Cos[ Sqrt[ k ] d[ M, B ]^2 ],   Cos[ Sqrt[ k ] d[ M, C ]^2 ],                       1                     }
      } = 0

    (es sei denn, die entsprechende Cayley-Menger-Determinante verschwindet, so dass die vier Punkte A B, C und M gegenüber einander flach sind und deren Krümmung den Wert k = 0 hat).

    Für die wie beschrieben zu vergleichenden Dreiecke gilt natürlich außerdem z.B.

    d[ A, B ] = 2 d[ B, M ] = 2 d[ M, C ]

    sofern M beispielsweise die Mitte derjenigen Dreicksseite (“BC”) ist, die Ecke A gegenüberliegt.

    Bekanntlich (vgl. S. L. Kokkendorff, “Gram Matrix Analysis of Finite Distance Spaces”) lässt sich das oben Beschriebene auch über die Betrachtung metrische Räume verallgemeinern, und sich Krümmungs-Werte entsprechend auch für jeweils vier Punkte ermitteln, zwischen denen Werte der Syngeschen Weltfunktion σ gegeben sind; die nicht unbedingt alle das gleiche Vorzeichen haben (und insbesondere für Dreiecke, die mindestens eine Seite mit von Null verschiedenem σ-Wert haben); also als (Betrags-kleinste, von Null verschiedene) Lösung k der Gleichung:

    Det[   {
    {                   1,                         Cos[ Sqrt[ k σ[ A, B ] ] ],   Cos[ Sqrt[ k σ[ A, C ] ] ],   Cos[ Sqrt[ k σ[ A, M ] ] ] },
    { Cos[ Sqrt[ k σ[ B, A ] ] ],                       1,                       Cos[ Sqrt[ k σ[ B, C ] ] ],   Cos[ Sqrt[ k σ[ B, M ] ] ] },
    { Cos[ Sqrt[ k σ[ C, A ] ] ],   Cos[ Sqrt[ k σ[ C, B ] ] ],                       1,                       Cos[ Sqrt[ k σ[ C, M ] ] ] },
    { Cos[ Sqrt[ k σ[ M, A ] ] ],   Cos[ Sqrt[ k σ[ M, B ] ] ],   Cos[ Sqrt[ k σ[ M, C ] ] ],                       1                     }
      } = 0

    (es sei denn, die entsprechende “linearisierte” Cayley-Menger-Determinante verschwindet, so dass die vier Punkte A B, C und M gegenüber einander flach sind und deren Krümmung den Wert k = 0 hat).

    Die beiden möglichen, also konventionellen, Vorzeichenwahlen für Werte der Syngeschen Weltfunktion können dabei danach unterschieden werden, ob all jenen Punkt-Paaren, für deren σ-Werte die anti-Heronische Ungleichung gilt:

    (σ[ J, K ])^2 + (σ[ J, Q ])^2 + (σ[ J, Q ])^2 ≥
    2 σ[ J, K ] σ[ J, Q ] + 2 σ[ J, K ] σ[ K, Q ] + σ[ J, Q ] σ[ K, Q ]

    gemeinsam positive oder gemeinsam negative Werte zugeordnet werden.

    Die Gesamtheit der Ergebnisse der daraus resultierenden Dreiecksvergleiche, verbunden mit der Bedingung, dass z.B.

    Sgn[ σ[ A, B ] ] Sqrt[ Sgn[ σ[ A, B ] ] σ[ A, B ] ] =
    2 Sgn[ σ[ A, M ] ] Sqrt[ Sgn[ σ[ A, M ] ] σ[ A, M ] ] +
    2 Sgn[ σ[ M, B ] ] Sqrt[ Sgn[ σ[ M, B ] ] σ[ M, B ] ] ≠ 0

    lässt sich naheliegender Weise folgendermaßen beschreiben:

    Beim Vergleich zwischen Dreiecken, die sich in den Werten der Syngeschen Weltfunktion ihrer Seiten genau gleichen, ist die Syngesche Weltfunktion einer Ecke eines Dreiecks und jeweils eines vierten Punktes in der Mitte der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks (um so größer, je größer die Krümmung dieser vier Punkte ist. (Und natürlich auch umgekehrt: um so geringer, je geringer die Krümmung dieser vier Punkte ist.)

    Unter der Konsistenzforderung, dass für Dreiecke, von deren Seiten sich sowohl Distanz- als auch Syngesche Weltfunktions-Werte ermitteln lassen, und dass jeweils der selbe vierte Punkt M festgelegt wird, jeweils der gleiche Krümmungswert k gefunden wird, gilt die gezeigte Formulierung der Ergebnisse von Dreickevergleiche sicherlich nicht für beide mögliche Vorzeichenwahlen. Daher meine Frage: Für welche ?. D.h. ausführlicher:

    Für welche Vorzeichenwahl der Syngesche Weltfunktion lassen sich Dreiecksvergleiche wie oben gezeigt (gewohnt monoton) beschreiben — die anti-Heronischen Werte positiv ?, oder negativ ?

  43. Frage: Wenn den Punkten einer (in einem metrischen Raum gegebenen) Dreiecksfläche Koordinaten durch fortgesetztes Vierteln des Dreiecks zugeordnet werden, erhält man eine “differenzierbare Struktur”?

    Ein Dreieck “{A B C}” mit gegebenen Seitenlängen “AB”, “AC”, “BC”, lässt sich (unter bestimmten, recht allgemeinen Bedingungen eindeutig) folgendermaßen in vier Dreiecke zerlegen:

    Bestimme drei Punkte “M”, “P” und “Q” durch die Distanzbedingungen

    AB = 2 AM = 2 MB,

    AC = 2 AP = 2 PC,

    BC = 2 BQ = 2 QC.

    Durch diese Punkte “M”, “P” und “Q” wird das Dreieck “ABC” in die vier (“neuen”, “kleineren”) Dreiecke “{A M P}”, “{B M Q}”, “{C P Q}” und “{M P Q}” aufgeteilt.

    Diesen vier Dreiecken seien die folgenden Zahlen-Paare “(s, t)” als “Typenbeschreibung” zugeordnet:

    “{A M P}” → (0, 1),

    “{B M Q}” → (-1, 0),

    “{C P Q}” → (1, 0) und

    “{M P Q}” → (0, -1).

    Benennen wir nun die Punkte “M”, “P” und “Q” folgendermaßen um (nämlich in Anlehnung an die Namen der jeweils gegenüberliegenden Punkte des Dreiecks “{A B C}”):

    “M” → “C_1”,

    “P” → “B_1” und

    “Q” → “A_1”.

    Jedes der vier o.g. (“neuen”, “kleineren”) Dreiecke lässt sich nun wiederum entsprechend durch Bestimmungen von jeweils drei weiteren Punkten vierteln, usw.
    In jedem Konstruktionsschritt “j” entstehen dabei jeweils die vier Teildreiecke

    “{A_u B_j C_j}”, “{A_j B_v C_j}”, “{A_j B_j C_w}” und “{A_j B_j C_j}”;

    wobei “u”, “v” und “w” die jeweils zutreffenden Indices kleiner als j sind, und sich die Benennungen “A_0 ≡ A”, “B_0 ≡ B” und “C_0 ≡ C” verstehen.

    Und jedem dieser vier im Konstruktionsschritt “j” entstandenen (“immer noch kleineren”) Dreiecke ist jeweils seine “Typenbeschreibung (s_j, t_j)” zugeordnet:

    “{A_u B_j C_j}” → (0, 1),

    “{A_j B_v C_j}” → (-1, 0),

    “{A_j B_j C_w}” → (1, 0) und

    “{A_j B_j C_j}” → (0, -1).

    Aus jeder (endlichen) Sequenz 𝒮 solcher “Typenbeschreibungen (s𝒮_j, t𝒮_j)”, bis zum Konstruktions-Schritt “n”, lässt sich jeweils ein Paar von (reellen) “vorläufigen Koordinatenzahlen, (x𝒮_n, y𝒮_n)” folgendermaßen iterativ bilden:

    (x𝒮_0, y𝒮_0) := (2, 2);

    (x𝒮_n, y𝒮_n) :=
    (
    ((1 – (t𝒮_n)^2) + t𝒮_n) * (x𝒮_{(n – 1)} + Sgn[ x𝒮_{(n – 1)} ] * (s𝒮_n / (2^n))),
    ((1 – (t𝒮_n)^2) + t𝒮_n) * (y𝒮_{(n – 1)} + Sgn[ y𝒮_{(n – 1)} ] * ((t𝒮_n + 1)/2) * (t𝒮_n / (2^n))
    ).

    Für bestimmte Punkte F lassen sich nun (notwendiger Weise unendliche) Folgen von Konstruktions-Schritten von (“immer noch kleineren”) Dreiecken derart finden, dass für die entsprechenden Distanzen zwischen F und den betreffenden weiteren Punkten (insbesondere im Verhältnis zu den Seitenlängen des gegebenen Dreiecks) gilt:

    Limit_{ j → Infinity }_[ (FA_j / BC) ] = 0,

    Limit_{ j → Infinity }_[ (FB_j / AC) ] = 0 und

    Limit_{ j → Infinity }_[ (FC_j / AB) ] = 0.

    (Von diesen Punkten F würde man sagen, dass sie “die Fläche des Dreiecks {A B C} bilden”.)

    Zu jeder (d.h. nicht unbedingt durch F eindeutig bestimmten) entsprechenden Sequenz 𝒮F von “vorläufigen Koordinatenzahlen, (x𝒮_n, y𝒮_n)” seien dann (letztlich doch eindeutige) Koordinaten von F zugeordnet:

    (xF, yF) :=
    (
    Abs[ Limit_{ n → Infinity }_[ { x𝒮F_n } ] – 2,
    Abs[ Limit_{ n → Infinity }_[ { y𝒮F_n } ] – 2
    ).

    Alle o.g. Punkte, zusammen mit allen Distanzen bzw. Dreiecks-Seitenlängen zwischen diesen Punkten, seien als metrischer Raum gegeben, der (dadurch) auch die Eigenschaft haben soll, eine topologische Mannigfaltigkeit zu erzeugen (bzw. eine Topologie zu induzieren, die ihn auch zu einer topologische Mannigfaltigkeit macht).

    Eine weitere Eigenschaft, die differenzierbare Mannigfaltigkeiten im Unterschied zu (“bloßen”) topologischen Mannigfaltigkeiten besitzen (sollen), ist deren sogenannte “differenzierbare Struktur”.
    Daher meine Frage:

    Ist die Gesamtheit der wie beschrieben konstruierten Koordinaten-Paare “(xF, yF)” (zusammen mit der betreffenden Menge von Punkten an sich, zu der alle A_j, B_j, C_j sowie alle geeigneten Punkte F gehören; und zusammen mit der Topologie, die durch die gegebenen Distanzen zwischen diesen Punkten induziert ist) eine “differenzierbare Struktur”;
    und insbesondere “die (bis auf Diffeomorphismen eindeutige) differenzierbare Struktur” des gegebenen metrischen Raumes ?

  44. Frage: Was genau ist ein “hypometrischer Raum”?

    Ein “hypometrischer Raum” (“hypometric space”) ist offenbar eine Verallgemeinerung der (üblichen, im engen Sinne verstandenen) metrischen Räume. Ein entsprechender Abschnitt Hypometrik fehlt allerdings noch in der nachstehenden Liste der “Verallgemeinerungen und Spezialisierungen metrischer Räume”. Deshalb:

    Wie sind “hypometrischer Raum” bzw. “Hypometrik” konkret definiert ?

  45. Ein hypometrischer Raum, (𝒮, h), besteht aus einer Menge 𝒮 zusammen mit einer Funktion
    h : 𝒮 × 𝒮 → ℝ, die folgende Eigenschaften hat:

    h[ A, A ] = 0 (Ununterscheidbarkeit Ein-und-des-Selben),

    h[ A, B ] = h[ B, A ] (Symmetrie),

    ∃ A, B ∈ 𝒮 | ∀J, K, Q ∈ 𝒮 :
    ((h[ J, K ] h[ A, B ] > 0) und (h[ J, Q ] h[ A, B ] > 0) und (h[ K, Q ] h[ A, B ] > 0)) ⇒
    (2 (h[ J, K ] h[ J, Q ])^2 + 2 (h[ J, K ] h[ K, Q ])^2 + 2 (h[ J, Q ] h[ K, Q ])^2 ≤
    (h[ J, K ])^4 + (h[ J, Q ])^4 + (h[ K, Q ])^4).

    Die letztere Ungleichung ist offenbar entgegengesetzt der Heronschen Ungleichung; sodass die damit verbundene Eigenschaft hypometrischer Räume als “Anti-Heronismus einer Teilmenge des Raumes” bezeichnet werden kann.

    Entsprechend ist u.a. Lorenztsche Distanz λ als auch die Syngesche Weltfunktion σ (bzw. genaugenommen deren Vorzeichen-berücksichtigende Wurzel Sgn[ σ ] Sqrt[ Sgn[ σ ] σ ]) hypometrisch; Distanz (im üblichen engen Sinne) jedoch nicht, und insbesondere auch Pseudo-Distanz nicht.

  46. Frage: Liegen je zwei Parallelen in einer Ebene?

    Susanne M. Hoffmann schrieb (27. Dez 2020):
    > […] auf der Kugel: Zwei Längenkreise verlaufen am Äquator parallel zueinander, aber [… verlaufen] sonst also nicht parallel.

    Das ist richtig — und zwar hinsichtlich einer bestimmten geeigneten Definition von “parallelem Verlauf (zweier Kurvenabschnitte gegenüber einander, jeweils hinsichtlich eines bestimmten Punktes des einen bzw. anderen Kurvenabschnittes)”; nämlich:

    (1) dass die beiden Kurvenabschnitte keinen Punkt gemeinsam haben (sich also weder schneiden, noch berühren),

    (2) dass es sich bei den beiden in Betracht stehenden Kurvenabschnitten im metrischen Sinne um Geradenabschnitte handelt (d.h. im einfachsten Fall insbesondere: jeweils die kürzeste Kurve, die zwei bestimmte Abschnitts-Endpunkte miteinander verbindet),

    (3) dass diese beiden Kurvenabschnitte jeweils einen bestimmten Punkt (jeweils “zwischen den beiden Abschnitts-Endpunkten”) enthalten, so dass dieser Punkt jeweils die “Spitze” gleichschenkliger Dreiecke ist, deren “Dreiecks-Seiten” diesen Punkt mit dem anderen Kurvenabschnitt verbinden (so dass deren “Dreickes-Basis” jeweils vollständig auf dem anderen Kurvenabschnitt liegt),

    (4) dass für jedes dieser gleichschenkligen Dreiecke der jeweils andere durch (3) bestimmte Punkt genau die Mitte der entsprechenden Dreiecks-Basis bildet, und

    (5) dass für je zwei dieser gleichschenkligen Dreiecke, die entgegengesetzt liegen (d.h., die nicht den selben bestimmten Punkt als Spitze haben, sondern das eine Dreieck den einen, und das andere Dreieck den anderen; bzw. deren Basen nicht auf dem selben Kurvenabschnitt liegen, sondern die Basis des einen Dreiecks auf dem einen, und die Basis des anderen Dreiecks auf dem anderen) jede Dreiecks-Seite genau eine Seite des anderen Dreiecks genau einmal schneidet.

    (Würde anstatt der ausdrücklichen Forderung (5) verlangt, dass die beiden in Betracht stehenden Kurvenabschnitte »in derselben Ebene liegen« sollten, wie z.B. in der dort präsentierten Auffassung des Begriffes “parallel”, handelt es sich offenbar nicht um die strikte Forderung nach “Ebenheit” als dem Verschwinden aller Cayley-Menger-Determinanten für je vier Punkte dieser Kurvenabschnitte, sondern doch “nur” um eine Forderung entsprechend (5). Schließlich bestimmen ein Kreisabschnitt zusammen mit einem Punkt, der nicht zu dem entsprechenden Kreis gehört, i.A. auch nicht eine Ebene im strikten Sinne, sondern stattdessen eine bestimmte Kugelfläche.)

    Die o.g. Definition lässt sich insbesondere dahingehend zu “Gesamt-Parallelität” verallgemeinern, dass ggf. für zwei bestimmte Kurven und jeden ihrer Punkte sich jeweils ein bestimmter Punkt der anderen Kurve finden ließe, so dass hinsichtlich dieser beiden bestimmten Punkte jeweils der beschriebene “parallele Verlauf” zutrifft.

    Zwei verschiedene Großkreise einer Kugeloberfläche sind dann deshalb nicht “insgesamt parallel” zueinander, weil sie schon an Forderung (1) scheitern, aber i.A. auch an den Forderungen (2) und (4).

    p.s.
    > [Ein Großkreis ist ein Kreis mit dem Umfang des Äquators einer Kugel. Die meisten Kreise geographischer Breite sind keine Großkreise.]

    Hinsichtlich einer schlicht durch die Distanzverhältnisse zwischen ihren Punkten gegebenen Kugeloberfläche ließe sich jeder beliebige Großkreis gleichermaßen wahlweise als “Äquator” bezeichnen.
    Es stimmt zwar, dass alle Großkreise einer Kugel den gleichen Umfang haben, und dass (folglich) ein/jeder Großkreis ein Kreis mit dem Umfang des Äquators ist; und dass sich auch Kreise anderen Umfangs in der gegebenen Kugel finden lassen, die (folglich) keine Großkreise sind. Was Großkreise aber auszeichnet, und sich offensichtlich in ihrem Namen ausdrückt, ist, dass sie alle gleichermaßen die hinsichtlich ihres Umfangs größten Kreise sind, die sich jeweils in einer gegebenen Kugel finden lassen.

  47. Frage: Wie werden “\(\LaTeX\)”-Symbole in “>code< … >/code<“-Blöcken von SciLogs-Kommentaren dargestellt?

    (Minimal-)Beispiel:

    “>code<\(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n + 1)}\)>/code<”

    wird dargestellt als

    \(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n + 1)}\)“.

  48. Frage: Wie lässt sich die konstante Krümmung K eines Lorentzschen Modell-Raumes aus Lorentzschen Distanzen ermitteln?

    Da die Ermittlung von Krümmung (im Sinne der Charakterisierung von metrisch gegebenen Raumzeit-Regionen als CAT(k)-Räume) durch sogenannten “Dreiecksvergleich” mit bestimmten 3+1-dimensionalen (“Lorentzschen”) “Modell-Räumen”, M_k, von jeweils konstanter Krümmung k, erfolgt (vgl. “Lorentzian length spaces”, M. Kunziger, C. Sämann, math-1711.08990, Abschn. 4), lassen sich diese Modell-Räume wiederum durch geeignete “Vergleichsdreiecks-Bedingungen”, also durch bestimmte Bedingungen an (insbesondere Lorentzsche) Distanzen, hinreichend festlegen.

    Naheliegend und effizient dafür erscheint der Vergleich mit Bedingungen an Lorentzsche Distanzen zwischen Ereignissen, die jeweils durch die beiden lichtartigen Ecktransversalen eines zeitartigen Dreiecks ausgezeichnet sind.

    Für jeweils fünf gegebene positive reelle Zahlenwerte, a, b, c, p, q, die die (allgemeinen “Lorentzschen”) Bedingungen erfüllen, dass

    a + b < c

    p ≤ a

    und

    q ≤ b :

    Lässt sich (mindestens) ein entsprechender Lorentzscher Modell-Raum M_k finden, der

    – ein (zeitartiges Vergleichs-)Dreieck {A,B,C} mit den Seitenlängen AB = c, AC = b, BC = a enthält,

    – für jedes Paar positiver reeller Zahlen 0 < x < a und 0 < x < b entsprechende Punkte X und Y enthält, mit denen

    CX = x, CY = y,

    AX + BX = AB, AY + BY = AB

    AX + CX < a und BY + CY < b

    erfüllt ist,

    – und zwar so, dass

    Supremum_{ X }[ AX ] = p und Supremum_{ Y }[ BY ] = q;

    und was ist dessen Krümmungs-Wert k als Funktion der gegebenen Werte a, b, c, p, q ?

    p.s.

    Falls
    a^2 = p c - p q und
    b^2 = q c - p q
    ergibt sich zweifellos (wenn auch womöglich nicht ausschließlich) k = 0, d.h. der flache Lorentzsche Modell-Raum (alias “Minkowski-Raum”).

    • Frank Wappler schrieb (27.01.2021,17:45 Uhr:
      > […] Lässt sich (mindestens) ein entsprechender Lorentzscher Modell-Raum M_k finden, der

      – ein (zeitartiges Vergleichs-)Dreieck {A,B,C} mit den Seitenlängen AB = c, AC = b, BC = a enthält,

      – für jedes Paar positiver reeller Zahlen 0 < x < a und

      0 < y < b

      > entsprechende Punkte X und Y enthält, mit denen […]

  49. Frage: Lässt sich mit Bestimmtheit feststellen, _wem_ was gleichzeitig passierte ?

    Im Rahmen der Einsteinschen Relativitätstheorie (d.h. der bislang offenbar einzigen Theorie, die sich überhaupt mit einem Begriff von “Gleichzeitigkeit” bzw. mit der Frage, wie “Gleichzeitigkeit” zumindest im Prinzip zu messen wäre, beschäftigt) gilt offenbar (umgangssprachlich aber dennoch hoffentlich unmissverständlich formuliert):

    »Falls etwas Bestimmtes passiert war, und außerdem etwas bestimmtes Anderes passiert war, dann ist es jedenfalls grundsätzlich falsch zu sagen, dass beides gleichzeitig passiert sei. «

    (Diese gegebene umgangssprachliche Formulierung lässt sich unter Verwendung der direkt entsprechenden Fachbegriffe der RT folgendermaßen ausdrücken:

    “Von je zwei verschiedenen Ereignissen ist grundsätzlich nicht zu messen (und demnach auch nicht zu schlussfolgern, oder anzunehmen), dass sie gleichzeitig gewesen wären.”

    Und diese Aussage ist natürlich richtig, denn je zwei verschiedene Ereignisse sind keinesfalls gleichzeitig gewesen, sondern stattdessen entweder

    – zeitartig voneinander getrennt, d.h. es sind Beteiligte denkbar bzw. sogar auffindbar, die an beiden Ereignissen teilgenommen hatten; oder

    – lichtartig voneinander getrennt, d.h. es sind zwar keine Beteiligten denkbar und erst recht nicht auffindbar, die an beiden Ereignissen teilgenommen hätten, aber es sind Beteiligte an einem dieser beiden Ereignisse denkbar bzw. sogar auffindbar, die zusammen mit ihrer Teilnahme an diesem einen Ereignis Signal-Anzeigen von Teilnehmern an dem anderen Ereignis wahrnahmen; oder ansonsten

    – raumartig voneinander getrennt, d.h. alle anderen Paare von Ereignissen.

    Oder, sofern es sich gar nicht um zwei verschiedene Ereignisse handelt, sondern lediglich um zwei verschiedene Bezeichnungen für unterscheidbare Bestandteile ein-und-des-selben Ereignisses, insbesondere für die unterscheidbaren Anzeigen unterscheidbarer Teilnehmer an diesem einen bestimmten Ereignis, oder für die verschiedenen Wahrnehmungen jeweils eines bestimmten Teilnehmers an diesem einen bestimmten Ereignis, dann waren diese unterscheidbaren Bestandteile dieses Ereignisses

    – koinzident.
    )

    Es fragt sich folglich, wovon überhaupt richtigerweise mit Bestimmtheit gesagt werden könnte: “beides ist gleichzeitig passiert”. Insbesondere:

    »Falls mir etwas Bestimmtes passiert war, und außerdem etwas bestimmtes Anderes passiert war, das mir selbst nicht passierte, lässt sich dann (ganz allgemein, oder zumindest unter bestimmten Bedingungen) schlussfolgern und entsprechend richtigerweise mit Bestimmtheit sagen, wem das gleichzeitig passiert war? «

    (Diese gegebene umgangssprachliche Formulierung lässt sich unter Verwendung der direkt entsprechenden Fachbegriffe der RT folgendermaßen ausdrücken:

    “Lässt sich hinsichtlich meiner Beteiligung an einem bestimmten Ereignis, d.h. hinsichtlich einer bestimmten meiner Anzeigen messen, wessen Anzeige, unter allen Beteiligten an einem bestimmten anderen Ereignis, meiner Anzeige gleichzeitig war ?”.)

  50. Frage: Wie lässt sich die konstante Krümmung k eines Lorentzschen Modell-Raumes aus Lorentzschen Distanzen ermitteln?

    (In Korrektur und Ergänzung des obigen Kommentars, 27.01.2021, 17:45 Uhr, mit der selben Fragestellung.)

    Da die Ermittlung von Krümmung (im Sinne der Charakterisierung von metrisch gegebenen Raumzeit-Regionen als CAT(k)-Räume) durch sogenannten “Dreiecksvergleich” mit bestimmten 3+1-dimensionalen (“Lorentzschen”) “Modell-Räumen”, M_K, von jeweils konstanter Krümmung K, erfolgt (vgl. “Lorentzian length spaces”, M. Kunziger, C. Sämann, math-1711.08990, Abschn. 4), lassen sich diese Modell-Räume wiederum durch geeignete “Vergleichsdreiecks-Bedingungen”, also durch bestimmte Bedingungen an (insbesondere Lorentzsche) Distanzen, hinreichend festlegen.

    Naheliegend und effizient dafür erscheint der Vergleich mit Bedingungen an Lorentzsche Distanzen zwischen Ereignissen, die jeweils durch die beiden lichtartigen Ecktransversalen eines zeitartigen Dreiecks ausgezeichnet sind.

    Für jeweils fünf gegebene positive reelle Zahlenwerte, a, b, c, p, q, die die (allgemeinen “Lorentzschen”) Bedingungen erfüllen, dass

    a + b < c

    p ≤ a

    und

    q ≤ b :

    Lässt sich (mindestens) ein entsprechender Lorentzscher Modell-Raum M_k finden, der

    – ein (zeitartiges Vergleichs-)Dreieck {A,B,C} mit den Seitenlängen AB = c, AC = b, BC = a enthält,

    – für jede Zahl 0 < x < 1 einen Punkt X (“auf Dreiecksseite AB“) enthält, d.h. für den jeweils

    AX = x c und BX = (1 - x) c gilt,

    – und zwar so, dass

    Infimum_{ X: CX = 0 }[ AX ] = p und Infimum_{ X: CX = 0 }[ BX ] = q;

    und was ist dessen Krümmungs-Wert k als Funktion der gegebenen Werte a, b, c, p, q ?

    p.s.

    Die gesuchte Funktion müsste dahingehend symmetrisch sein, dass sie durch gemeinsames Austauschen von “a mit b” und von “p mit q” unverändert bleibt.

    Außerdem gilt im Fall k = 0, d.h. für den flachen Lorentzschen Modell-Raum (alias “Minkowski-Raum”) sowohl

    a^2 = p c - p q als auch
    b^2 = q c - p q.

    Aus diesen beiden Bedingungen zusammen ergibt sich u.a. die folgende (ebenfalls auffallend symmetrische) Gleichung:

    (c - p - q)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2 a b - 2 a c - 2 b c.

    Es ist folglich naheliegend, den Krümmungs-Wert k als Funktion und insbesondere als Puiseux-Reihe der Größe

    c - p - q - √{ a^2 + b^2 + c^2 - 2 a b - 2 a c - 2 b c }

    auszudrücken, deren Koeffizienten, wiederum als Funktionen der gegebenen Werte a, b, c, p, q , jeweils ebenfalls die beschriebene Austausch-Symmetrie aufweisen.

  51. Frage: Wie lässt sich die Photonsphäre der Schwarzschild-Geometrie durch Koinzidenzbestimmungen identifizieren ?

    Der geometrisch-kinematische Teil der Allgemeinen Relativitätstheorie Einsteins besteht (bekanntlich) darin, dass »alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen, stets auf Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinauslaufen«.

    Es seien Koinzidenzbestimmungen betreffend die gegenseitigen Wahrnehmungen der Anzeigen von insgesamt elf unterscheidbaren Beteiligten folgendermaßen gegeben:

    Für vier bestimmte Beteiligte A, B, F und G:

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen A_* nahm A die entsprechenden Ping-Anzeigen der drei anderen Beteiligten, B_sah_A_*, F_sah_A_* und G_sah_A_*
    koinzident wahr;

    und gleichermaßen

    – für B hinsichtlich der Ping-Anzeigen der drei anderen Beteiligten in Reflexion jeder seiner Anzeigen B_*,
    – für F hinsichtlich der Ping-Anzeigen der drei anderen Beteiligten in Reflexion jeder seiner Anzeigen F_*, und
    – für G hinsichtlich der Ping-Anzeigen der drei anderen Beteiligten in Reflexion jeder seiner Anzeigen G_*.

    Weiterhin, für sechs bestimmte Beteiligte J, K, M, P, Q, und U:

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen A_* nahm A die entsprechenden Ping-Anzeige Bs, B_sah_A_*, koinzident mit Js Anzeige des entsprechenden Pingechos bzgl. A, J_sah_A_sah_J_sah_A_*, wahr,

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen B_* nahm B die entsprechenden Ping-Anzeige As, A_sah_B_*, koinzident mit Js Anzeige des entsprechenden Pingechos bzgl. B, J_sah_B_sah_J_sah_B_*, wahr,

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen J_* nahm J die entsprechenden Ping-Anzeigen As und Bs, d.h. deren Anzeigen A_sah_J_* und B_sah_J_* koinzident wahr, und

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen J_* nahm J die entsprechenden Ping-Anzeigen Ks, Ms, Ps und Qs koinzident wahr;

    und gleichermaßen

    – für K hinsichtlich A und F sowie hinsichtlich J, M, P und U,

    – für M hinsichtlich A und G sowie hinsichtlich J, M, Q und U,

    – für P hinsichtlich B und F sowie hinsichtlich J, K, Q und U,

    – für Q hinsichtlich B und G sowie hinsichtlich J, M, P und U und

    – für U hinsichtlich F und G sowie hinsichtlich K, M, P und Q.

    Schließlich betreffend den Beteiligten Z:

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen Z_* nahm Z die entsprechenden Ping-Anzeigen Js, Ks und Ms koinzident wahr,

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen J_* nahm J die entsprechenden Ping-Anzeigen Ks, Ms, Ps, Qs und auch Zs koinzident wahr,

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen K_* nahm K die entsprechenden Ping-Anzeigen Js, Ms, Ps, Us und auch Zs koinzident wahr,

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen M_* nahm M die entsprechenden Ping-Anzeigen Js, Ks, Qs, Us und auch Zs koinzident wahr;

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen J_* nahm J die entsprechenden Ping-Anzeige Zs, Z_sah_J_*, koinzident mit Bs Anzeige des entsprechenden Pingechos bzgl. J, B_sah_J_sah_B_sah_J_*, wahr,

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen Z_* nahm Z die entsprechenden Ping-Anzeige Js, J_sah_Z_*, koinzident mit Bs Anzeige des entsprechenden Pingechos bzgl. Z, B_sah_Z_sah_B_sah_Z_*, wahr,

    – hinsichtlich jeder seiner Anzeigen B_* nahm B die entsprechenden Ping-Anzeigen Js und Zs, d.h. deren Anzeigen J_sah_B_* und Z_sah_B_* koinzident wahr,

    und gleichermaßen

    – für F hinsichtlich K und Z, sowie

    – für G hinsichtlich M und Z.

    Meine Frage:
    Sind diese elf genannten und durch die gegebenen Koinzidenzbestimmungen festgelegten Beteiligten folglich alle gemeinsam Bestandteile einer bestimmten Schwarzschild-symmetrischen Photonsphäre ?

  52. Frage: Lassen sich in Syngeschen Krümmungsmessern falsch-positive periodische Krümmungssignale induzieren ?

    In Zwei-Arm-Interferometern lassen sich bekanntlich Veränderungen des Interferenzmusters u.a. dadurch hervorrufen, dass (mindestens) bestimmte (wenn nicht sogar alle) seiner Bestandteile geeignet beschleunigt werden. (In bestimmten Fällen spricht man von “hardware injections”.)

    Krümmungsmesser nach Synge (GR, ch. XI, §8; pp. 408) mit mindestens 5 (i.A. n) voneinander getrennten “Enden” und insgesamt n (n – 1) / 2 “Armen zwischen” allen Paaren dieser Enden, gehen andererseits davon aus, dass alle Endenpaare gegenüber einander durchwegs starr gehalten (geführt, gezwungen, …) werden; ganz egal, welche Beschleunigungen einzelner Enden damit verbunden sein mögen (d.h. jedenfalls insofern eingeschränkt, dass sich die Enden überhaupt durchwegs gegeseitig wahrnehmen können). Die entsprechend erhaltenen Krümmungs-Messwerte sind demnach so gut wie konstant (verglichen mit der maximalen Pingdauer zwischen Endenpaaren).

    Im Zusammenhang mit Versuchen der Messung von Gravitationswellen (und womöglich auch trotz eventueller Einwände wie z.B. arXiv:gr-qc/0109007) besteht aber Interesse an der Messung (quasi-)periodisch veränderlicher Krümmung …

    Um zumindest einen vermeintlich besonders einfachen Fall zu untersuchen, daher die Frage:

    Lassen sich in einer durchwegs (so gut wie) flachen 3+1 dimensionalen Region n ≥ 5 voneinander getrennte Beteiligte derart periodisch (insbesondere: harmonisch; ggf. mit geeigneten Phasenbeziehungen untereinander und ggf. mit ungleichen Periodendauern) beschleunigen, dass

    (n (n – 1) / 2) – 1 Paare gegenüber einander exakt starr bleiben (d.h. jeweils konstante Pingdauern gegenüber einander aufweisen), und

    – die Entfernung L (bzw. die beiden Quasi-Entfernungen) des verbleibenden Paares voneinander sich periodisch (harmonisch) ändert/ändern ?

    Falls so: Wie groß ist die maximale Amplitude ΔL der Veränderung dieser periodisch (harmonisch) veränderlichen Entfernung im Vergleich zum “intrinsischen Maßstab” a (L/c)^2 ?

    • Frank Wappler schrieb (01.06.2021, 11:05 Uhr):
      > Lassen sich in einer durchwegs (so gut wie) flachen 3+1 dimensionalen Region n ≥ 5 voneinander getrennte Beteiligte derart periodisch (insbesondere: harmonisch; ggf. mit geeigneten Phasenbeziehungen untereinander und ggf. mit ungleichen Periodendauern) beschleunigen, dass […]

      Insbesondere in Hinsicht auf das Äquivalenzprinzip (vgl. Frage 08.06.2021, 14:40 Uhr) liegt bestimmt die Antwort nahe:
      “Na aber sicher doch; warum denn nicht?!”.

      Meiner Frage ist deshalb ein (vermutlich wesentliches) Detail hinzuzufügen (das an anderer Stelle auch schon vorher erwähnt und untersucht wurde), nämlich:

      Lassen sich in einer durchwegs (so gut wie) flachen 3+1 dimensionalen Region n ≥ 5 voneinander getrennte Beteiligte derart kohärent und periodisch (insbesondere: harmonisch; ggf. mit geeigneten Phasenbeziehungen untereinander und ggf. mit ungleichen Periodendauern) beschleunigen, dass […]

      D.h. insbesondere hinsichtich Distanzen, Richtungen und Gleichzeitigkeits-Beziehungen von Mitgliedern r eines Inertialsystems (also in einer flachen Region) so, dass

      – die Beschleunigung jedes einzelnen Beteiligten (z.B. von J) das Produkt aus einer für alle Beteiligten (so gut wie) gleichen Richtung a, einer für alle Beteiligten (so gut wie) gleichen maximalen Amplitude A und einem individuellen Phasenfaktor Cos[ φ_J ] mit φ_J := φ_J[ r_J[ t ], t ] ist, und

      – die individuellen Phasen je zweier Beteiligter (J und K) folgendermaßen zusammenhängen:

      φ_K[ r_K[ t + T ], t + T ] =
      φ_J[ r_K[ t ], t ] +
      2 π f (T - (r_K[ t + T ] - r_J[ t ]) · a / (c √{ (a · a) } ))

      mit konstanter Frequenz f.

  53. Frage: Welche Ping-Koinzidenz-Gitter werden für geometrische Bestimmungen “im Krummen” (nach dem Äquivalenzprinzip) benutzt ?

    Die (oder zumindest eine) Auffassung des Einsteinschen Äquivalenzprinzips, die (entsprechend Einsteins eigener Forderung) direkt auf Koinzidenzbestimmungen hinausläuft, besteht in dem Vorhaben:

    – in Regionen, in denen sich tetrahedral-oktahedrale (alias Sierpinski-tetraedrische) Ping-Koinzidenz-Gitter denken und womöglich sogar auffinden lassen (die deshalb auch als “flache” Regionen bezeichnet werden) auch “andersartige” starre Ping-Koinzidenz-Gitter zu suchen, die sich ebenfalls in zumindest einigen Regionen denken bzw. finden lassen, in denen sich tetrahedral-oktahedrale Ping-Koinzidenz-Gitter nicht denken bzw. finden lassen (die also/deshalb ausdrücklich nicht “flach” heißen, sondern “krumm”),

    – die (konstanten) Verhältnisse der Ping-Dauern eines solchen “krummen” Ping-Koinzidenz-Gitter im Flachen mit den Mitteln der SRT festzustellen (also insbesondere durch Ausnutzen der beweisbaren Dilatations-Beziehungen zwischen den Mitgliedern verschiedener vorhandener tetrahedral-oktahedraler Ping-Koinzidenz-Gitter), und schließlich

    – diese festgestellten (konstanten) Verhältnisse der Ping-Dauern dem (hinsichtlich Koinzidenz-Bestimmungen) gleichen “krummen” Ping-Koinzidenz-Gitter auch im Krummen zuzuschreiben.

    Konkret welche “andersartigen” starren Ping-Koinzidenz-Gitter kommen dafür in Betracht ?, und:
    Konkret welcher Wert von “CAT[ k ]-Krümmung” wird ihnen jeweils zugeschrieben ?

  54. Frage: Ist die (räumliche) Dicke eines kausalen Diamanten durch dessen (zeitliche) Höhe begrenzt ?

    Für je zwei zeitartig voneinander getrennte Ereignisse, ε_AJ und ε_AQ (die insbesondere dadurch als “zeitartig voneinander getrennt” identifizierbar sind, dass (mindestens) ein bestimmter Beteiligter, hier z.B. A, an beiden teilgenommen hatte, und wobei der Eindeutigkeit halber Ereignis ε_AQ zur (kausalen und damit zwangsläufig sogar zur chronologischen) Zukunft des Ereignisses ε_AJ gehören soll, und folglich auch umgekehrt Ereignis ε_AJ zur (kausalen und damit zwangsläufig sogar zur chronologischen) Vergangenheit des Ereignisses ε_AQ), wird jeweils der entsprechende “kausale Diamant zwischen” diesen beiden Ereignissen, 𝒟^A[ _J, _Q ], als die Menge von Ereignissen bezeichnet,
    die sowohl zur kausalen Zukunft des Ereignisses ε_AJ als auch zur kausalen Vergangenheit des Ereignisses ε_AQ gehören.

    Die Lorentzsche Distanz zwischen diesen beiden Ereignissen,
    ℓ[ ε_AJ, ε_AQ ] > 0,
    wird auch als die “Höhe” dieses kausalen Diamanten 𝒟^A[ _J, _Q ] bezeichnet.

    (Der kausale Diamant 𝒟^A[ _J, _Q ] versteht sich dabei “einschließlich der Berandung seines Inneren”, und die Ereignisse ε_AJ und ε_AQ als Bestandteile der Berandung, nämlich insbesondere als “Anfang” bzw. als “Ende”.)

    Zu einem solchen kausalen Diamanten gehören offensichtlich auch Paare von Ereignissen, die raumartig voneinander getrennt sind.
    Um solche Paare von Ereignissen quantitativ vergleichen zu können (wofür sich deren Lorentzsche Distanz voneinander bekanntlich nicht eignet, weil deren Wert für alle raumartig voneinander getrennte Ereignisse gleichermaßen den Wert Null hat), beschränken wir uns auf die Betrachtung der Ereignisse ε_AJ und ε_AQ und des dadurch bestimmten kausalen Diamanten 𝒟^A[ _J, _Q ] in einer Region, in der für jedes Paar von Ereignissen außerdem die Werte der Syngeschen Weltfunktion σ gegeben sind.

    Die Höhe des kausalen Diamanten 𝒟^A[ _J, _Q ] lässt sich in diesem Fall natürlich auch als

    ℓ[ ε_AJ, ε_AQ ] = Sqrt[ 2 σ [ ε_AJ, ε_AQ ] Sgn[ σ [ ε_AJ, ε_AQ ] ] ]

    ausdrücken.

    Es lassen sich dann selbstverständlich Paare von (räumlich oder zeitlich voneinander getrennten) Ereignissen im kausalen Diamanten 𝒟^A[ _J, _Q ] finden, deren (räumlicher oder zeitlicher) Abstand voneinander (betragsmäßig) klein gegenüber der (zeitlichen) Höhe dieses kausalen Diamanten ist, d.h.

    ∃ x, y ∈ 𝒟^A[ _J, _Q ] : 0 < Sqrt[ 2 σ [ x, y ] Sgn[ σ [ x, y ] ] ] < ℓ[ ε_AJ, ε_AQ ].

    Ich möchte wissen, ob diese Abschätzung auch im Allgemeinen richtig ist. Gilt also:

    ∀ x, y ∈ 𝒟^A[ _J, _Q ] : 0 < Sqrt[ 2 σ [ x, y ] Sgn[ σ [ x, y ] ] ] ≤ ℓ[ ε_AJ, ε_AQ ] ?

    (Für lichtartig voneinander getrennte Ereignisse x, y ∈ 𝒟^A[ _J, _Q ] ist natürlich σ [ x, y ] = 0, und die fragliche Abschätzung unmittelbar erfüllt.
    Für zeitartig voneinander getrennte Ereignisse x, y ∈ 𝒟^A[ _J, _Q ] gilt die fragliche Abschätzung recht offensichtlich aufgrund der Definitionen von Lorentzscher Distanz, Syngescher Weltfunktion und der Definition kausaler Diamanten.
    Die relevante Frage betrifft folglich raumartig voneinander getrennte Ereignisse x, y ∈ 𝒟^A[ _J, _Q ];
    und hinsichtlich dieser raumartig voneinander getrennten Paare von Ereignissen ist

    Supremum_{ x, y ∈ 𝒟^A[ _J, _Q ]; raumartig getrennt }[ { Sqrt[ 2 σ [ x, y ] Sgn[ σ [ x, y ] ] ] } ]

    auch als “Dicke” des kausalen Diamanten 𝒟^A[ _J, _Q ] zu bezeichnen.)

  55. Frage: Wie sollten zwei unterscheidbare Beteiligte, “A” and “B”, zumindest im Prinzip messen bzw. entscheiden, ob sie (jeweils in einem bestimmten Versuch) “räumlich voneinander getrennt” waren, oder nicht ?

  56. Frage: Benötigt man zur Messung des Orientierungswinkels zweier Analysatoren gegenüber einander,
    “φ[ A_durch, B_durch ]”, korrelierte Beobachtungsdaten von beiden Analysatoren ?

    Hinweis:
    Der Wert (Cos[ φ[ A_durch, B_durch ] / 2 ])^2 wird u.a. auch

    – als “Erwartungswert des beiderseitigen Durchgangs, P[ A_durch, B_durch ]“, oder

    – (nach É.-L. Malus) als “Durchgangsintensität I[ A_durch, B_durch ]

    (jeweils bezogen auf eine bestimmte Menge von Versuchen) bezeichnet.

  57. Frage: Wie nennt man ein System von Definitionen, die nachvollziehbare Methoden an die Hand geben, mit denen aus (hinreichenden) Gegebenheiten ggf. jeweils empirische Evidenz zu gewinnen wäre bzw. entsprechend tatsächlich gewonnen wurde ?

    Anschlussfrage:
    Personen welcher Berufsgruppe(n) würden ein T-Shirt, auf dem die vorausgehenden Frage gut lesbar aufgedruckt ist, als ein Sinnbild ihrer jeweiligen Berufsgruppe betrachten (und ggf. deshalb sogar mit Berufsstolz tragen) ?

  58. Frage: Gibt es irgendeinen Unterschied zwischen der (allgemeinen) Relativitätstheorie einerseits, und andererseits der Theorie (insbesondere 3+1-dimensionaler) pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten zzgl. Variationsrechnung mit dem Hilbert-Einstein-Ansatz für “Wirkung (einschl. Energie-Impuls-Spannung)” ?

    Anschlussfrage:
    Falls so, welche Unterschiede bestehen (deshalb) zwischen der Didaktik der (allgemeinen) Relativitätstheorie einerseits, und andererseits der Didaktik der Theorie (insbesondere 3+1-dimensionaler) pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten zzgl. Variationsrechnung mit dem Hilbert-Einstein-Ansatz für “Wirkung (einschl. Energie-Impuls-Spannung)” ?

  59. Frage: Welche intrinsischen Beziehungen sind zwischen Werten Lorentzscher Distanz erforderlich ?

    Die Zuordnung von Werten Lorentzscher Distanz zu den Ereignis-Paaren einer Raumzeit-Region,

    𝓁 : 𝓢 × 𝓢 → ℝ_{0-und-größer}

    beruht Definitions-gemäß auf der Identifizierung von “(Zukunfts-)gerichteten kausalen Kurven” in der gegebenen Region, und der Charakterisierung von Abschnitten solcher Kurven, jeweils “zwischen” zwei bestimmten Ereignissen, durch einen bestimmten Wert der “(Bogen-)Länge” des betreffenden Kurven-Abschnitts.
    (Diese Angaben beziehen sich in verbreiteten Darstellungen wiederum auf die Auffassung der betrachteten Raumzeit-Region als Lorentzsche Mannigfaltigkeit, und insbesondere als orientierbare Mannigfaltigkeit.)

    Die dadurch zugeordneten Werte Lorentzscher Distanz sind (“deshalb”, “Definitions-gemäß”) nicht völlig beliebig, sondern erfüllen gewisse einschränkende Bedingungen; bekanntlich insbesondere

    – Asymmetrie für zeitartig voneinander getrennte Ereignisse, d.h.

    ∀ j, k ∈ 𝓢 :

    (𝓁[ j, k ] > 0) ⟹ (𝓁[ k, j ] = 0)

    - und die "zur (Euklidischen) Dreiecksungleichung entgegengesetzte" Ungleichung
    (auch "Penrose-Ungleichung" oder "Dilatations-Ungleichung"):

    ∀ j, k, n ∈ 𝓢 :

    (𝓁[ j, n ] + 𝓁[ n, j ] > 𝓁[ j, k ] + 𝓁[ k, j ]) und
    (𝓁[ j, n ] + 𝓁[ n, j ] > 𝓁[ k, n ] + 𝓁[ n, k ]) ⟹

    (𝓁[ j, n ] + 𝓁[ n, j ] > 𝓁[ j, k ] + 𝓁[ k, j ] + 𝓁[ k, n ] + 𝓁[ n, k ]).

    Um von den genannten Voraussetzungen zu abstrahieren, also die Raumzeit-Region als (geeignet verallgemeinerten) metrischen Raum aufzufassen, dessen Ereignis-Paaren bestimmte Werte Lorentzscher Distanz unmittelbar zugeschrieben sind, müssten natürlich diese beiden genannten Bedingungen und überhaupt alle Bedingungen erfüllt sein, die bei "Definitions-gemäßer Zuordnung" (auf hinreichend viele und "geeignet kompliziert angeordnete" Ereignisse) zwangsläufig erfüllt sind.

    Konkret welche Bedingungen sind das, außen den beiden oben genannten ?

    Dass solche zusätzlichen Bedingungen überhaupt bestehen, ergibt sich aus der Betrachtung der "kausalen Richtung", die kausal voneinander getrennten Ereignispaaren zugeschrieben wird (und sich ggf. ebenfalls aus der Auffassung der betrachteten Raumzeit-Region als orientierbare Lorentzsche Mannigfaltigkeit ergibt).

    Hinsichtlich dreier verschiedener Ereignisse, die alle zeitartig paarweise voneinander getrennt sind, ist diese zusätzliche Bedingung:


    ∀ j, k, n ∈ 𝓢 :

    (𝓁[ j, n ] > 𝓁[ j, k ] > 0) und (𝓁[ j, n ] > 𝓁[ k, n ] > 0) ⟹

    (𝓁[ j, n ] > 𝓁[ j, k ] + 𝓁[ k, n ]).

    Meine Frage geht deshalb u.a. dahin, ob und welche solcher zusätzlichen "Bedingungen wegen kausaler Richtung" womöglich hinsichtlich lichtartig voneinander getrennten Ereignis-Paaren besteht.

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