Parität und Addition: Eine Retroanalyse von Korolkow

Wladimir Alexandrowitsch Korolkow, Schach 1957

Wladimir Alexandrowitsch Korolkow, Schach 1957

Die meisten Problemkomponisten fragen in ihren Schachproblemen nach dem einzigen Gewinnzug, nicht jedoch Korolkow in diesem Schachproblem: Dort ist der Gewinnzug bereits bekannt. Wenn Weiß am Zug ist, schlägt er mit dem Springer auf d5 den Bauern auf c7 und setzt matt. Wenn Schwarz am Zug ist, schlägt er mit dem Springer auf a1 den Bauern auf c2 und setzt Matt. Daher lautet die Frage bei dieser Retroanalyse: Wer ist am Zug?

Wie soll das allein aus der Diagrammstellung heraus festgestellt werden? Immerhin können die Springer, Türme und Könige beider Seiten eine beliebige Anzahl von Zügen ausgeführt haben und scheinbar kann deshalb sowohl Weiß als auch Schwarz am Zug sein.
Nein. Diese Stellung ist mathematisch eindeutig.

Das Konzept der Parität

Zur Lösung dieser Aufgabe verwenden wir das Konzept der Parität. Der Begriff Parität wird in der Mathematik verwendet, um bei Zahlen zwischen gerade und ungerade zu unterscheiden. Wenn zwei ganze Zahlen beide gerade oder beide ungerade sind, so haben sie dieselbe Parität. Bedenke, dass die Summe aus gerade plus ungerade eine ungerade Zahl ergibt; andererseits die Summe aus ungerade plus ungerade oder gerade plus gerade immer zu einer geraden Zahl führt.

Die Diagrammstellung befindet sich noch nah genug an der Grundstellung.

Die Grundstellung beim Schach

Die Grundstellung beim Schach

Ausgehend von der Grundstellung ziehen die Spieler abwechselnd. Weiß macht den ersten Zug (ungerade). Schwarz macht den zweiten Zug (gerade). Weiß macht den dritten Zug (ungerade) usw.. Ist eine gerade Anzahl von Zügen geschehen wissen wir Weiß ist am Zug. Ist eine ungerade Anzahl von Zügen geschehen wissen wir Schwarz ist am Zug. (Für Freunde der Zahlentheorie: In der Grundstellung ist die Anzahl der Züge Null. Null ist eine gerade Zahl, also ist Weiß am Zug.)

Die Parität der Zahl der weißen Züge und der Zahl der schwarzen Züge

Wir müssen also beim Problem von Korolkow herausfinden, ob eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Zügen geschehen ist.

Beginnen wir mit Weiß: Welche Figuren haben gezogen?

Bauer, Springer, Türme

Bauer auf a2 hat einmal gezogen (ungerade)
Turm auf a1 hat gezogen (ungerade)
Turm auf h1 hat gezogen (ungerade)

Die Springer haben insgesamt eine ungerade Zahl von Zügen ausgeführt. Wie viele Züge das sind, ist unbekannt, aber es ist eine ungerade Zahl.

In der Grundstellung steht der Springer auf b1 auf einem weißen Feld. Ein Springer wechselt bei jedem Zug die Farbe seines Standfeldes. Im ersten Zug zieht der Springer b1 auf ein schwarzes Feld (ungerade) von dort im Zweiten auf ein weißes (gerade).
In der Grundstellung steht der Springer auf g1 auf einem schwarzen Feld. Im ersten Zug zieht der Springer g1 auf ein weißes Feld (ungerade) von dort im Zweiten auf ein schwarzes (gerade).

Weiß hat eine gerade Zahl von Zügen gemacht: (ungerade + ungerade) + (ungerade + ungerade)

Nun zu Schwarz: Welche Figuren haben gezogen?

Bauern, Springer, Türme

Bauer auf a7 hat einmal gezogen (ungerade)
Bauer auf h7 hat einmal gezogen (ungerade)
Turm auf a8 hat gezogen (ungerade)
Turm auf h8 hat gezogen (ungerade)

Die beiden Springer befinden sich auf Feldern der gleichen Farbe, sie haben also insgesamt eine ungerade Zahl von Zügen ausgeführt.
Schwarz hat eine ungerade Zahl von Zügen gemacht: (ungerade + ungerade) + (ungerade + ungerade) + ungerade

Zahl der weißen Züge (gerade) + Zahl der schwarzen Züge (ungerade) = ungerade Gesamtzahl von Zügen

Also ist Schwarz am Zug.

Eine Lösung von Korolkows Retroanalyse

Ausgehend von der Grundstellung ist eine mögliche Zugfolge die zum Problem von Kolrokow führt die folgende:

1. a3 a6 2. Sc3 h6 3. Sf3 Ta7 4. Tb1 Th7 5. Tg1 Sc6 6. Sg5 Sf6 7. Se6 Sg4 8. Sxd8 Se3 9. Se6 Sxd1 10. Sf4 Se3 11. Sd1 Sf5 12. Th1 Sfd4 13. Tg1 Sb3 14. Th1 Sa1 15. Tg1 Sd8 16. Sd5

Wie Du siehst zählen Schachspieler die Züge anders als Mathematiker. Nach der mathematischen Zählweise sind 31 Züge geschehen ein Schachspieler würde jedoch sagen: „Wir befinden uns im 16. Zug“ Das bedeutet der 16. Zug ist noch nicht abgeschlossen. Der 16. Zug würde erst abgeschlossen sein wenn Schwarz zieht. Schwarz ist also am Zug. Eine andere Redewendung wäre: „Die Stellung nach dem 15. Zug.“ Das bedeutet der 15. Zug ist abgeschlossen und Weiß ist am Zug.

Der Mathematiker zählt erster Zug, zweiter Zug usw. Der Schachspieler zählt erster Zug Weiß, erster Zug Schwarz, zweiter Zug Weiß zweiter Zug Schwarz usw.

Die oben aufgeschriebene Zugfolge ist eine Lösung von vielen für dieses Problem. Alle Lösungen haben gemeinsam, das sie diese Züge enthalten müssen und das die Zahl der ausgeführten Züge ungerade ist. Die Lösungen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge dieser Züge und in der Anzahl der Züge.

Meine Fragen an die Mathematiker:

Wie viele Zugfolgen gibt es die nach 31 Zügen (mathematische Zählweise) zur Stellung von Korolkow führen?

Das sind die Lösungen mit der kürzesten Anzahl von Zügen.

Zusätzlich muss für die anderen längeren Lösungen folgende Bedingungen (Schachregeln) bedacht werden: Nach 75 Zügen ohne Bauernzug oder Schlagzug ist die Partie jedenfalls remis, ein etwaiges Matt im letzten Zug hat aber Vorrang. Wenn Weiß  am Zug ist kann er durch die 50-Züge-Regel oder 3-malige Stellungswiederholung ein Remis reklamieren. (Entsteht 5-mal direkt hintereinander dieselbe Stellung, so ist die Partie ebenfalls Remis.)

Daher muss es für die Lösungen von Korolkows Problem eine obere Grenze für die Anzahl der Züge geben. Ich vermute, dass diese Zahl 165 ist (mathematische Zählweise). Mich würde es aber nicht wundern wenn diese Zahl um einiges kleiner als 165 ist.

Unter den oben genannten Bedingungen: Was ist die obere Grenze für die Anzahl der Züge (mathematische Zählweise) für die Lösungen von Korolkows Problem?

 

Veröffentlicht von

Joe Dramiga ist Neurogenetiker und hat Biologie an der Universität Köln und am King’s College London studiert. In seiner Doktorarbeit beschäftigte er sich mit der Genexpression in einem Mausmodell für die Frontotemporale Demenz. Die Frontotemporale Demenz ist eine Erkrankung des Gehirns, die sowohl Ähnlichkeit mit Alzheimer als auch mit Parkinson hat. Kontakt: jdramiga [at] googlemail [dot] com

45 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. “Ich vermute, dass diese Zahl 165 ist”

    Was verstehe ich falsch?

    Es gibt 3 Bauernzüge und 2 mal Schlagen (der Damen). Es sollte doch kein Problem sein, vor, zwischen und nach diesen Zügen je 50 Züge (Schachzählweise) hinzubekommen ohne dreifache Stellungswiederholung. Vor dem ersten Bauernzug könnte Weiß mit einem seiner Springer übers ganze Feld jagen. In der Mitte sind ja 32 Felder frei. Und ums einfacher zu machen, könnte Weiß auch noch anfangen den 2. Springer zu bewegen. Schwarz müsste die ganze Zeit nur mit einem Springer raus- und wieder zurückspringen. Im 50. Zug würde Schwarz einen Bauernzug machen. Danach würde es noch einfacher werden, weil man bei Bedarf dann auch noch einen Turm verschieben kann.

    Dann wäre die maximale Zahl eher bei 6 * 50 = 300 Schachzüge. Das gäbe nach Abzug einiger Halbzüge 595 Züge in mathematischer Zählweise.

    • Siehst Du was passiert wenn ich spät nachts mit matschiger Birne blogge 😉 Ich stimme deinen Überlegungen zu 90% zu – man kann das sehr hinauszögern. Es sind weit mehr als 165 Züge in der mathematischen Zählweise möglich.

      Die Springer haben nicht konstant 32 Felder zur Verfügung. Die weißen Springer haben am Anfang mit ihrem Ausgangsfeld 31 Felder zur Verfügung. Die weißen Springer dürfen nicht auf die Felder d6 und f6, weil sie von dort aus dem schwarzen König Schach geben. Analog dürfen die schwarzen Springer nicht auf die Felder d3 und f3, weil sie von dort aus dem weißen König Schach geben. Wenn die Bauern gezogen haben fallen auch die Felder a3, a6 und h6 weg. Dafür kommen auch neue Felder hinzu a2, a1, h1 für Weiß und a7, h7, a8, h8 für Schwarz. Leider stehen auch von diesen Feldern (wegen der Türme) nicht alle auf Dauer zur Verfügung. Die Springer kommen sich später auch gegenseitig in die Quere: Einem Springer werden durch die drei anderen Springer immer drei Felder genommen. Sobald auch die Damen geschlagen wurden, wird es immer schwieriger sowohl in die Problemstellung zu gelangen als auch nicht die Remisregeln zu verletzten. Ich sehe da so einen Flaschenhalseffekt.

      • Joe Dramiga schrieb (15. Dezember 2015 17:41):
        > […] sowohl in die Problemstellung zu gelangen als auch nicht die Remisregeln zu verletzten.

        Wie im Scilog-Artikel beschrieben ist die „3-malige Stellungswiederholung“ eine „Kann“-Bestimmung; sie erfordert die Anfrage/Reklamation eines Spielers.
        (Und zum erwähnten Fall „5-mal direkt hintereinander dieselbe Stellung“ habe ich nichts Gegenteiliges gefunden.)

        Sofern das gezeigte Problem Korolkows aber darauf angelegt ist, dass beide Spieler die Schlussstellung erreichen wollen (wer würde sich denn ansonsten die Dame derartig wegnehmen lassen!?), erscheint es zumindest naheliegend, dass die Spieler auch alle optionalen (mit Anfrage/Reklamation verbundenen) Remismöglichkeiten ungenutzt lassen (wollen).

        Aber natürlich lässt sich stets getrennt untersuchen, bei welchen Zugfolgen sich z.B. Weiß noch in ein Stellungswiederholungs-Remis retten könnte, sofern das gewollt würde.

        Die einzige relevante zwangsläufige (weil „vom Schiedsrichter selbst zu erklärende“) Remismöglichkeit bzw. -gefahr scheint stattdessen die 75-Züge-Version der „50-Züge-Regel zu sein.
        (Eine Patt-Situation, die ebenfalls zwangsläufig ein Remis ergeben würde und die daher im betrachteten Problem vermieden werden müsste, kann offenbar überhaupt nicht entstehen.)

        • Wenn das gezeigte Problem Korolkows darauf angelegt ist, dass beide Spieler die Schlussstellung erreichen wollen müssen sie neben der 75-Züge-Regel noch darauf achten, dass sie nicht 5-mal direkt hintereinander dieselbe Stellung erreichen, denn dann wäre die Partie auch automatisch remis.

  2. Joe Dramiga schrieb (14. Dezember 2015):
    > […] muss für die anderen längeren Lösungen folgende Bedingungen (Schachregeln) bedacht werden:
    > Nach 75 Zügen ohne Bauernzug oder Schlagzug ist die Partie jedenfalls remis, ein etwaiges Matt im letzten Zug hat aber Vorrang. Wenn Weiß am Zug ist kann er durch die 50-Züge-Regel oder 3-malige Stellungswiederholung ein Remis reklamieren. […]

    Mir hat dieser Wikipedia Artikel zur „50-Züge-Regel“ geholfen zu verstehen, dass es dabei, wie im Zitat beschrieben, wirklich um eine Grenze von 75 Zügen geht (von beiden Seiten, also gezählt wie unter Schachspielern üblich), nach deren Erreichen die Partie nicht nur (auf Spielerantrag hin) Remis erklärt werden kann, sondern muss.

    > Daher muss es für die Lösungen von Korolkows Problem eine obere Grenze für die Anzahl der Züge geben.

    Ja, denn es gibt im gezeigten Problem (wie in überhaupt jeder Partie) nur eine begrenzte Anzahl von Schlag- oder/und Bauernzügen. Im gezeigten Problem Korolkows sind das offenbar 5 relevante Züge: drei Bauern gezogen und zwei Damen (von Springern) geschlagen.

    > Ich vermute, dass diese Zahl 165 ist (mathematische Zählweise). Mich würde es aber nicht wundern wenn diese Zahl um einiges kleiner als 165 ist.

    Ich vermute eher, dass die Obergrenze der Zuganzahl zum regelgerechten Erreichen der Stellung in Korolkows Problem bei genaugenommen 449 + 1/2 Schachzügen (also 899 „mathematischen Zügen“; auch „Halbzüge“ genannt) liegt. (6 * 75 = 450. Remis wegen Stellungswiederholung erscheint ohnehin nur als Möglichkeit, das Spiel bei entsprechendem Spielerantrag zu beenden, und lässt sich allein schon durch geeignet abwechselnde Züge zweier Springer ganz vermeiden.)

  3. Dein Gebot liegt also bei 899 Zügen nach mathematischer Zählweise. Vielleicht liefert ja bald jemand einen konstruktiven Beweis. @Joker und Du habt ja jetzt einen Algorithmus zur Herstellung der längsten Lösung geliefert. Wo sind die Schachcomputerprogrammierer?

  4. Erst eine kleine Bemerkung zum hier verwendeten Konzept der Parität:
    Dieses kann hier angewendet werden, denn es kann herausgefunden werden, wer am Zug ist und Matt geben kann, weil alle beteiligten Figuren kein Tempo verloren haben können.
    Springer können per se kein Tempo verlieren, Läufer, Türme und Damen wie auch Könige könnten dies, hier ist die besondere einklemmende Rolle der vier Läufer zu beachten, so dass dies in diesem Fall unmöglich war, und ein Bauer könnte ein Tempo verloren haben, wenn er mehr als ein Feld vorgerückt ist, dies ist hier ebenfalls nicht der Fall.

    Insofern müsste die Lösung des Schachproblems schlicht darin bestehen die erreichte Stellung, aus der Ausgangsstellung heraus, i.p. Zügen irgendwie durchzuzählen und dann wäre halt einer dran, der Matt geben könnte.

    Zur Frage im Artikel:
    Ein Mathematiker dürfte sich von der Frage der möglichen Lösungswege, die nur durch reines Durchzählen der möglichen Varianten ermittelt werden kann, nicht direkt angesprochen fühlen?!

    MFG
    Dr. W

    • Warum können die Springer kein Tempo verlieren? Sie schreiben von “der einklemmende Rolle der vier Läufer” Wen klemmen die Läufer ein? Die Könige und Türme? Wenn man so argumentiert dann klemmt jede Figur eine andere Figur der eigenen Partei ein, wenn sie ein Feld besetzt auf das die andere Figur ziehen könnte.

      Wie kann ein Bauer ein Tempo verlieren, wenn er mehr als ein Feld vorrückt? Das Gegenteil ist doch der Fall. Der Bauer verliert doch ein Tempo wenn er in der Grundstellung nur ein Feld vorrückt.

      • @ Herr Dr. Dramiga :

        Ein Pferd benötigt immer 2n Züge um auf sein Ausgangsfeld zurückzukehren.
        Die Läufer hindern die Dame zu ziehen.
        Wird diese vom Pferd geschlagen kann der König nur hin- und herziehen (2n Züge um auf sein Ausgangsfeld zurückzukehren.
        Auch gilt das mit den 2n Züge für die von den Läufern eingeklemmten Türme.

        Ein Bauer kann von seinem Ausgangsfeld einen Zug oder zwei Züge nach vorne gehen, steht er zwei Felder vor seinem Ausgangsfeld kann er ein Tempo verloren haben, er kann dieses in einem oder in zwei Zügen erreicht haben.

        Insofern hat der Komponist der Aufgabe ganz verstärkt oder höllisch sozusagen darauf geachtet, dass kein Tempo verloren werden kann durch die beteiligten und eingeklemmten Figuren, denn sonst wäre die Aufgabe unlösbar.

        MFG
        Dr. W (der im Abgang noch gerne anmerkt, dass die Zahl der möglichen Lösungen seehr hoch sein müsste)

        • Ich lasse mir keinen Webbaeren aufbinden. Sie zeigen sich in diesem Kommentar als Meister im Erschaffen von Texthülsen. Ihr Versuch den Eindruck zu erwecken sie hätten Korolkows Problem verstanden, ist gründlich misslungen. Ich hatte es bereits geahnt aber jetzt habe ich Gewissheit.

          • @ Herr Dr. Dramiga :

            Korrekt, das Schach-Problem ist hier verstanden worden.
            Das mit dem Tempo oder der von Ihnen zitierten Parität von Schach-Zügen war doch gerade der “Kick” bei dieser Aufgabe.
            Insofern ist der Schreiber dieser Zeilen auf die Funktionsweise der einzelnen Schachfiguren bestmöglich eingegangen, insbesondere auch auf das Pferd.

            MFG
            Dr. W (der sich nun ausklinkt)

    • Dr. Webbaer schrieb (15. Dezember 2015 21:10):
      > Springer können per se kein Tempo verlieren […]

      Die Worte „Tempo“ bzw. „Tempoverlust“ haben allerdings im Schach eine eigene Bedeutung (die eher „mit Strategie und Taktik“ zusammenhängen, was jedenfalls auch Springer betrifft).

      Das, was auf einen bestimmten Springer (mit seinem bestimmten Startfeld in der Ausgangsstellung) beispielhaft zutrifft, ist eben der direkte Zusammenhang zwischen Parität (d.h. Geradheit oder Ungeradheit der Anzahl gemachten Züge) und der dadurch erreichten Stellung, d.h. konkret der Farbe des Feldes, das der Springer erreicht hat. Wenn ich dieser Eigenschaft einen bestimmten Namen geben müsste, würde ich z.B. von (einer noch genauer zu benennenden Art von) „Kohärenz“ sprechen.

      Und genau diese „Art von Kohärenz“ geht allen anderen Schachfiguren an sich mehr oder weniger grundsätzlich ab. Es ist lediglich die Besonderheit der Stellung in Korolkows Problem (und aller Spielzüge auf dem Weg dahin), dass auch dafür diese besondere „Art von Kohärenz“ insgesamt besteht und durchgehalten wird; was das „Lösen durch bloßes Durchzählen“ überhaupt erst ermöglicht.

      p.s.
      In puncto des immerwährend-wahrhaftigen Bestrebens, das, was unterscheidbar ist, auch verschieden zu benennen, siehe (Anstelle einer ausführlichen Erörterung) nur das Memo.

      • Schon die Änderung eines kleinen Details reicht um diese Kohärenz aufzulösen: Wenn z. B. alle Felder die gleiche Farbe hätten, dann könnten wir die Parität der weißen und schwarzen Züge in Korolkows Problemstellung nicht mehr feststellen. Auf die im Text beschriebene Zugfolge als eine Lösung, kann man auch ohne Verwendung des Paritätsprinzips kommen, weil sie noch ziemlich nah an der Grundstellung ist.

        • Joe Dramiga schrieb (16. Dezember 2015 17:08):
          > Wenn z. B. alle Felder die gleiche Farbe hätten, dann könnten wir die Parität der weißen und schwarzen Züge in Korolkows Problemstellung nicht mehr feststellen.

          Aber gewiss doch, sofern die Felder trotz fehlendem “Farb”-Unterschied noch erkennbar/unterscheidbar und wie üblich als 8*8-Quadrat angeordnet sind und bleiben; nämlich:
          indem der Zahlenwert “Spalte + Zeile” des jeweiligen Feldes hinsichtlich “gerade, oder ungerade” bewertet wird.

          (Natürlich ist auch anzunehmen, dass “die beiden Mannschaften” noch als solche erkennbar und unterscheidbar sind.)

          > Auf die im Text beschriebene Zugfolge als eine Lösung, kann man auch ohne Verwendung des Paritätsprinzips kommen,

          Naja: man kann die bekannten Schachregeln, die für Springer im Allgemeinen, und für andere Figuren zumindest in manchen Stellungen (z.B. denen im Zusammenhang mit dem Korolkow-Problem), die “Erhaltung der Parität” (alias “Kohärenz”) garantieren,
          auch dann anwenden, wenn man sich dieser Eigenschaft nicht bewusst ist.

          > weil sie noch ziemlich nah an der Grundstellung ist.

          D.h. “nah” allein und konkret im Sinne von “(immer noch) kohärent”.
          Aber ich habe den Eindruck, dass Korolkow so ziemlich ausgereizt hat, “wie weit” diese (“Kohärenz”-)Idee getrieben werden kann; d.h. im (sicherlich gebräuchlicheren) Sinne von “wie viele verschiedene Figuren bewegt wurden”.

          • Wenn die Springer in jedem Zug die Feldfarbe wechseln – wenn also die weißen Springer auf zwei weißen Feldern stehen, am Anfang aber auf schwarz und weiß gestanden haben, müssen sie eine ungerade Anzahl an Zügen gemacht haben, Wie kann man die gerade oder ungerade Zahl von Springerzügen feststellen wenn z. B. alle Felder weiß sind? Es geht ja nicht um die Parität der Felder sondern um die Parität der Zügezahl.

          • Joe Dramiga schrieb (17. Dezember 2015 8:22):
            > Wie kann man die gerade oder ungerade Zahl von Springerzügen feststellen wenn z. B. alle Felder weiß sind?

            Indem man für die (beiden) Felder, auf denen die Springer (jeweils eines Spielers) stehen, die Zahl

            (SpaltenIndex_des_einen_Feldes + ZeilenIndex_des_einen_Feldes) +
            (SpaltenIndex_des_anderen_Feldes + ZeilenIndex_des_anderen_Feldes)

            auswertet und insbesondere mit dem entsprechenden Wert der Anfangsstellung vergleicht, nämlich z.B.
            für Weiß „Sb1“ und „Sg1“:

            (2 + 1) + (7 + 1) = 11 =~= ungerade.

            (Statt „Zeilen“ und „Spalten“ sagt man natürlich eher „Reihen und Linien;
            und anstatt des Reihennamens „a“ … „h“, der ansonsten für die Zugnotation bequem ist, gilt der „entsprechende SpaltenIndex-Wert“ 1 … 8;
            und falls die 64 immerhin noch unterscheidbaren Felder nicht ganz genau auf diese Weise indiziert/benannt würden, sondern wer-weiß-wie-anders, falls überhaupt, dann kann ich für nichts garantieren.)

            Durch einen (weißen) Zug, z.B. „1. Sh3 …“ ergibt sich dann

            (2 + 1) + (8 + 3) = 14 =~= gerade.
            Usw.

            > Es geht ja nicht um die Parität der Felder sondern um die Parität der Zügezahl.

            Meines Erachtens geht es um beide, im Zusammenhang.
            Daher auch der Bedarf/Anlass für ein entsprechendes „neues“ Wort;
            und insbesondere daher auch mein mathematisch-kategorisches Interesse (wenn ich es so nennen darf) an diesem Thema.

          • Frank Wappler schrieb (17. Dezember 2015 9:06):
            > […] des Reihennamens „a“ … „h“, der ansonsten für die Zugnotation bequem ist

            Korrektur: „a“ … „h“ benennt (natürlich!) die acht Linien des Schachbretts.

          • Für die weißen Springer Sb1 und Sg1in der Grundstellung ergibt sich nach deinem System (2 + 1) + (7 + 1) = 11 =~= ungerade. Das ist falsch. Sie haben in der Grundstellung eine gerade Zahl von Zügen, nämlich null Züge absolviert. Für das andere Beispiel mit dem Sb1, der auf das Feld h3 zieht (2 + 1) + (8 + 3) = 14 = gerade. Hier stimmt es – der Sb1 braucht eine gerade Zahl von Zügen um das Feld h3 zu erreichen. Nimmt man den anderen Springer auf g1 um auf das Feld h3 zu ziehen ergibt sich (7+1) + (8+3) = 19 = ungerade – Auch das stimmt. Er braucht eine ungerade Zahl von Zügen um nach h3 zu gelangen.

            Vielleicht kann man mit deinem System nur jeweils einen Springer betrachten aber nicht beide gleichzeitig.

            Wenn es so ist – wäre es nicht einfacher die Felder nach einem bestimmten System von 1 bis 64 durchzunummieren? z. B. alle Felder der Reihe a1 – h1 werden von links nach rechts mit 1 bis 8 nummeriert, alle Felder der Reihe a2 – h2 von links nach rechts mit 9 bis 16 usw. bis zur achten Reihe.
            Dann könnte man direkt die Parität der Felderzahlen vergleichen z. B.
            b1 = 2 und h3 = 24

          • Joe Dramiga schrieb (17. Dezember 2015 21:51):
            > [Frank Wappler schrieb (17. Dezember 2015 9:06): > >] Für die weißen Springer Sb1 und Sg1 in der Grundstellung ergibt sich […] (2 + 1) + (7 + 1) = 11 =~= ungerade.
            > Das ist falsch.

            Cool.
            (Denn nach Pauli/Woit/Trepl lassen sich Aussagen nur dann nicht mehr in dieser Welt richtigstellen, wenn sie “noch nicht mal falsch” wären.)

            > Sie haben in der Grundstellung eine gerade Zahl von Zügen, nämlich null Züge absolviert.

            Richtig: “(Sb1, Sg1)” bezeichnet die Positionen/Felder der beiden weißen Springer in der Grundstellung/Ausgangsstellung.

            > Für das andere Beispiel mit dem Sb1, der auf das Feld h3 zieht (2 + 1) + (8 + 3) = 14 = gerade. Hier stimmt es – der Sb1 braucht eine gerade Zahl von Zügen um das Feld h3 zu erreichen.

            Oh; aber ich hatte doch ausdrücklich geschrieben:
            > > Durch einen (weißen) Zug, z.B. „1. Sh3 …“ ergibt sich […]

            Das bedeutet: durch nur einen einzigen Zug, den ersten Zug aus der Grundstellung heraus, gelangt ein (weißer) Springer auf Feld h3.
            Das kann nur den (“rechte”) Springer von g1 aus gewesen sein; das ist ganz eindeutig (gemeint).
            (Für den durchaus üblichen Fall, dass ein Spieler mit zwei gleichen Figuren das selbe Feld erreichen könnte, aber natürlich nur eine bestimmte dafür eingesetzt hat, und nicht die andere, gibt es die gebräuchliche, geeignet eindeutige “ausführliche Notation;
            im betrachteten Fall nämlich “1. Sg1h3 …”.

            Merke:
            Ein Springerzug ändert die “Feldparität”.
            Zwei Springerzüge bewirken insgesamt keine Änderung der “Feldparität”.
            Usw.
            (Dieser Zusammenhang zwischen Zug- und Feldparitäten wurde oben “Kohärenz” genannt.)

            > Nimmt man den anderen Springer auf g1 um auf das Feld h3 zu ziehen ergibt sich (7+1) + (8+3) = 19 = ungerade – Auch das stimmt.

            Das ich nicht die Rechenmethode, die ich beschrieben hatte, um die “Feldparität” (d.h. die Stellung) zweier Springer (des selben Spielers) zu bewerten.
            Sondern (ich Wiederhole):

            (SpaltenIndex_des_einen_Feldes + ZeilenIndex_des_einen_Feldes) +
            (SpaltenIndex_des_anderen_Feldes + ZeilenIndex_des_anderen_Feldes)
            .

            Nicht wahr?

          • “ungerade. Das ist falsch”

            Das ist weder falsch noch richtig. Das ist zunächst die Ausgangssituation. Die muss dann mit der aktuellen vergleichen. Erst dann kann man eine Aussage treffen, ob eine gerade oder ungerade Anzahl von Zügen gemacht wurde.

            “Sie haben in der Grundstellung eine gerade Zahl von Zügen [] absolviert”

            Zusammengenommen.

            “Sie haben [] nämlich null Züge absolviert.”

            Sie könnten auch bereits vor und zurück auf die Ausgangssituation gesprungen sein. Dann hätte jeder Springer für sich eine gerade Anzahl von Zügen gemacht.

            Sie hätte aber auch schon die Plätze tauschen können. Dann hätte jeder Springer eine ungerade Anzahl von Zügen gemacht.

            Zusammengenommen wäre das dann auch wieder eine gerade Anzahl.

            Wenn man nichts über die Vorgeschichte weiß, kann man die gerade/ungerade Zuganzahl der Springer nur zusammen betrachten.

            “Wenn es so ist – wäre es nicht einfacher die Felder nach einem bestimmten System von 1 bis 64 durchzunummieren?”

            Es wäre am einfachsten, die Felder farblich zu markieren. Wenn Reihen-Index plus Spalten-Index gerade ist, dann schwarz, wenn die Summe ungerade ist, dann weiß.

      • @ Herr Wappler :

        (…) d.h. konkret der Farbe des Feldes, das der Springer erreicht hat (…)

        Huch, stellen Sie sich das Schachbrett gerne farblos vor. [1]
        Die Parität kennen Sie konzeptuell, woll?!, also bspw. auch Anwendungen wie RAID5, Sie sind ja vom Fach…

        Ansonsten meint die Parität hier, also bei dieser schachlichen Herausforderung, die Paarbildung von Schach-Zügen, diese ist hier möglich und erlaubt ihre Lösung.
        War wohl auch so von Ihnen zu benachrichtigen versucht.

        MFG
        Dr. W

        [1]
        Der Schreiber dieser Zeilen sieht ja bekanntlich Farbe nicht, findet es ansonsten aber schon töfte wenn der hiesige Inhaltegeber zwischen brillanten und unterirdischen Beiträgen schwankt.

  5. Die 50-Züge-Regel ist irrelevant, weil sie nur auf Reklamation des am Zug befindlichen Spielers zum Remis führt, der am Zug Befindliche wird aber nicht reklamieren, sondern Matt setzen. Wichtiger ist der Hinweis, dass die Spieler hier mit den bewegten Figuren keinen Zug verloren haben können. Das in dem Sinne, dass
    1. die Springer in jedem Zug die Feldfarbe wechseln – wenn also die weißen Springer auf zwei weißen Feldern stehen, am Anfang aber auf schwarz und weiß gestanden haben, müssen sie eine ungerade Anzahl an Zügen gemacht haben,
    2. die Anzahl der Bauernzüge in der Stellung klar vorgegeben ist,
    3. die Türme mit jedem Zug die Feldfarbe gewechselt haben müssen, da ihnen nur die Eckfelder plus jeweils direkte Nachbarfelder zur Verfügung gestanden haben,
    4. die Könige mit jedem Zug die Feldfarbe gewechselt haben müssen, da ihnen nur d8/e8 bzw. d1/e1 zur Verfügung standen,
    5. Läufer und Damen nicht gezogen haben können.

    Wir können für Weiß und Schwarz somit ausrechnen, ob sie eine gerade oder eine ungerade Anzahl an Zügen ausgeführt haben:
    Weiß: ungerade Anzahl an Zügen mit den Springern, gerade Anzahl an Zügen mit Türmen, gerade Anzahl an Zügen mit dem König, ungerade Anzahl an Zügen mit Bauern => insgesamt gerade
    Schwarz: gerade Anzahl an Zügen mit König, Türmen und Bauern, ungerade Anzahl an Zügen mit Springern => insgesamt ungerade.
    Schwarz und Weiß können also nicht gleich oft gezogen haben, und wegen des weißen Anzugs muss damit zwingend Schwarz am Zug sein.

    • “4. die Könige mit jedem Zug die Feldfarbe gewechselt haben müssen, da ihnen nur d8/e8 bzw. d1/e1 zur Verfügung standen”

      Etwas, was ich zur Berechnung der ersten uns gestellten Aufgabe, “Wie viele Zugfolgen gibt es?” glatt übersehen hätte, ich Patzer.

  6. Warum wurde der schwarze Springer nicht vom Bauer geschlagen, als er auf b3 stand? Hat Weiß die Gefahr übersehen? Dann wäre es eine Fehlentscheidung von Weiß gewesen. Konnte Weiß nicht anders? Ich sehe keine Grund. Schwarz muss am Zug sein und Weiß hat Tomaten auf den Augen.
    Spielen Mathematiker so Schach?

    • @ Paul Stefan

      “Weiß hat Tomaten auf den Augen.”

      Alles andre als das. Googeln Sie doch mal nach ‘Hilfsmatt’. Schwarz und Weiß müssen sehr aufmerksam sein, um derartig gestellte Aufgaben regelkonform zu lösen.

      Das Leben, äh pardon, das Schach muss nicht immer nur aus Kampf mit Sieger und Besiegtem bestehen, für manches bedarf es der Kooperation – auf Ziele kann man sich einigen, es ist ein Spiel.

      “Spielen Mathematiker so Schach?”

      Zeitweilig auch die. Hier allerdings war es wohl eher ein Musiker, ein ‘Problemkomponist’!

    • Ergänzend zu dem was @Joker bereits geantwortet hat. Was vorher mit dem Paritätskonzept nur abstrakt bewiesen wurde, habe ich in meinem Artikel durch eine konkrete Zugfolge anschaulich gemacht. Mit der Zugfolge erreicht man von der Grundstellung aus die Problemstellung von Korolkow mit Schwarz am Zug. Die Zugfolge soll nicht als Schachpartie im klassischen Sinn verstanden werden.

  7. Zum kombinatorischen Problem “Wie viele Zugfolgen gibt es?”:

    Schwarz hat nicht einmal 13.513.500 Zugfolgemöglichkeiten.

    Zur Bestimmung dieser oberen Schranke habe ich einige vereinfachende Annahmen gemacht:

    – Das Feld der schwarzen Dame ist frei.
    – Springer und Bauer können gleichzeitig auf h6 stehen.
    – Schwarze Springer werden nicht durch weiße Springer blockiert.

    Berücksichtigt ist:

    – Um in 15 Zügen die gezeigte Stellung zu erreichen, müssen alle Figuren auf schnellstem Weg zu ihrer Endposition gelangen.

    – Die Türme können erst gezogen werden, wenn der Bauer vor ihnen gezogen wurde.

    – Sg8 ist der Springer, der auf schnellstem Weg (4 Züge) zunächst die weiße Dame auf d8 schlägt und dann nach a1 wandert (5 Züge). Es gibt 6 verschiedene schnellste Wege nach d8, und 5 derartige von dort nach a1. Insgesamt ergibt das also 5 * 6 = 30 mögliche Wege für den Springer, um von g8 nach a1 zu kommen. (Was allerdings dem hier widerspricht: “Alle Lösungen haben gemeinsam, dass sie diese Züge [die in der Beispiellösung genannten] enthalten müssen”. Falls ausschließlich an den im Beispiel genannten Zügen festgehalten werden soll, wäre auch eine relativ gute obere Schranke für Weiß wesentlich leichter zu bestimmen.)

    Könnte das hinkommen, oder habe ich schon wieder was übersehen?

    Für Weiß könnte bitte jemand anders die Möglichkeiten abschätzen, ich leide unter Zeitmangel.

    Die Abhängigkeiten mit zu berücksichtigen, die sich daraus ergeben, dass nur eine Figur auf einem Feld stehen darf, das sollten wir dann wohl wirklich den Programmierern und einem schnellen Computer überlassen. Oder hat das schon ein Mathematiker berechnet, bist Du gar mittlerweile im Besitz einer Lösung, Joe?

    • Was die obere Grenze (längste Zugfolge) betrifft so bin ich mittlerweile überzeugt, dass die von @Frank Wappler genannte 899 Züge nach mathematischer Zählweise die richtige Zahl ist. Zumindest weiß ich jetzt wie ich sie konstruieren kann.

      • Ja, ich denke auch, dass @Frank Wappler recht hat.

        Bei der Konstruktion muss man noch beachten, dass zunächst nur Schwarz die 75-Züge-Regel durch Schlagen oder Bauernzug außer Kraft setzt, hier dreimal. Erst danach ist Weiß dran, das Remis zu vermeiden, noch zweimal. Bei jedem Wechsel der Verantwortlichkeit geht ein halber (Schach-)Zug verloren.

      • Schwarz: einen Bauernzug.
        Weiß: drei Bauernzüge und zwei mal Schlagen.

        ((6+1) * 75) * 2 – 1 (wegen Wechsel) + 1 (Mattzug geht vor Remis) = 1050 Züge

        Schwarz am Zug: g6, Schach Matt!

        Korrekt?

        • Joker schrieb (19. Dezember 2015 2:49):
          > [ http://www.schachfeld.de/fenviewer.php?r1bN1b1Q/ppppp1pp/5p2/5K2/5P2/7P/PPPPPnP1/R1BnkBNR ]

          > Schwarz: einen Bauernzug.
          > Weiß: drei Bauernzüge und zwei mal Schlagen.
          > ((6+1) * 75) * 2 – 1 (wegen Wechsel) + 1 (Mattzug geht vor Remis) = 1050 Züge
          > Schwarz am Zug: g6, Schach Matt!

          > Korrekt?

          Wird schon stimmen, und wäre ganz nett so.
          (Deine Überlegungen zum Fall der “149 anstatt 150 Einzelzüge” finde ich jedenfalls richtig.)

          Die o.g. Stellung hatte ich eher unter der Betrachtung “Wer ist dran (mattzusetzen) sofern kein Tempo verschwendet wurde?” … ähm … komponiert.
          Ich denke, das geht in 16 Zügen, so dass Weiß daraufhin mattsetzten kann (und zwar mit einem Mattbild in Anlehnung bzw. Weiterentwicklung des im SciLog gezeigten Korolkow-Problems).

          Zumindest ist die Reihenfolge der entsprechenden Züge dafür nicht völlig beliebig. Aber ganz stringent und optimal war das sowieso nicht gemeint, sondern eher als “Bookmark” für mich selbst.

          • @ Frank Wappler

            “Wird schon stimmen”

            Leider nein:

            “+ 1 (Mattzug geht vor Remis)” ist natürlich Quatsch. Es gibt keinen Bonuszug, wenn im nächsten Zug Matt möglich ist, wie ich gestern noch verwirrt dachte. Die entsprechende Regel besagt nur, wenn der letzte Zug, und das wäre also der 1049. , Matt setzt, dann endet die Partie halt nicht Remis, aber immer noch im gleichen Zug.

            Also Weiß am Zug, und das ist dann ja auch das weitaus schönere Matt. Danke dafür.

            In eine ähnliche Richtung geht auch die Partie – wie verlief sie? – bei der Weiß bereits im 6.Zug Matt setzt:

            6. gxf8=S#

            Hier scheint es mir tatsächlich erreichbar zu sein, wenn auch nicht vollkommen trivial, die Anzahl der möglichen Zugfolgen mit vertretbarem Aufwand analytisch zu bestimmen.

            PS.
            Für die kürzeste Schachpartie, Matt in 2 Zügen, habe ich 8 mögliche Zugfolgen errechnet. Hoffentlich stimmt wenigstens das.

          • Joker schrieb (20. Dezember 2015 14:55):
            > In eine ähnliche Richtung geht auch die Partie – wie verlief sie? – bei der Weiß bereits im 6.Zug Matt setzt:
            > 6. gxf8=S#

            Das fällt mir leider (auch) schwer …
            (Ich kann mir zwar vorstellen, den schwarzen König in fünf Zügen auf d7 zu bringen und mit den beiden schwarzen Springern geeignet „einzukerkern“, aber damit bliebe f8 immer noch vom Turm h8 geschützt …)

            Na dann schon mal: schöne Feiertage, allerseits!

          • @ Frank Wappler

            Das Matt ist nur ähnlich, nur ein schwarzer Springer ist am Einkerkern beteiligt. Dafür ist die Partie sehr kurz. Mit dieser Info wirst Du selbst drauf kommen. Falls nicht:

            Die Lösung steht weiß auf weiß in dem Link, den ich hinter meinem Namen versteckt hatte.

        • @ Joker :

          ‘Grundstellung’ ist das schachliche Fachwort, vgl. :
          -> https://de.wikipedia.org/wiki/Schach (dort wird die Grundstellung fünffach genannt und genau erklärt)

          Mal abgesehen davon, dass in dieser Grundstellung definitorisch Weiß am Zug ist, und additiv spaßeshalber dazu angenommen, dass auch Schwarz am Zuge sein könnte, könnte es dann in der sogenannten Grundstellung sein, dass einmal Weiß und einmal Schwarz am Zuge ist (ähnliche Problematik wie im hiesigen WebLog-Artikel veranlagt, also auch Fragen i.p. Tempo und möglichen Tempo-Verlust betreffend)?

          MFG + schönen Sonntagabend noch,
          Dr. W (der abär schon anzumerken hat, dass es in PF ‘So we cool?’ und ‘Yeah man, we cool.’ heißt – es heißt ja auch an anderer Stelle paritär ‘We happy?’ und ‘Yeah, we happy’)

  8. @Frank Wappler Ich hatte mich gewundert, weil bei Dir stand:

    “Durch einen (weißen) Zug, z.B. „1. Sh3 …“ ergibt sich dann (2 + 1) + (8 + 3) = 14 =~= gerade.
    Usw.”

    Da der Springer auf g1 in deiner Notation ja nicht auftaucht und er derjenige Springer ist, der in einem Zug nach h3 kann.

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