Kopfnüsse fürs Wochenende

Es stehen uns regnerische und kalte Tage bevor. Die Gelegenheit es uns zu Hause gemütlich zu machen und ein paar Rätsel zu lösen. Hier drei Rätsel fürs Wochenende.

Die Aussagenliste

Welche der Aussagen in der folgenden Liste, wenn überhaupt, sind falsch?

1. In dieser Liste ist genau eine Aussage falsch.
2. In dieser Liste sind genau zwei Aussagen falsch.
3. In dieser Liste sind genau drei Aussagen falsch.
4. In dieser Liste sind genau vier Aussagen falsch.
5. In dieser Liste sind genau fünf Aussagen falsch.
6. In dieser Liste sind genau sechs Aussagen falsch.
7. In dieser Liste sind genau sieben Aussagen falsch.
8. In dieser Liste sind genau acht Aussagen falsch.
9. In dieser Liste sind genau neun Aussagen falsch.
10. In dieser Liste sind genau zehn Aussagen falsch.

Wasser predigen und Wein trinken

Ein Kellner hat eine Methode Wein zu stehlen. Er entnimmt am ersten Tag dem Weinfass die Menge von drei Gläsern Wein und ersetzt sie mit der Menge von drei Gläsern Wasser.

Am zweiten Tag entnimmt er dem gleichen Weinfass (mit dem nun verdünnten Wein) wieder drei Gläser Wein und ersetzt sie mit drei Gläsern Wasser.

Am dritten Tag entnimmt er dem gleichen Weinfass (mit dem stärker verdünnten Wein) wieder drei Gläser Wein und ersetzt sie mit drei Gläsern Wasser.
Danach enthält das Weinfass 50 % Wein und 50 % Wasser.

Wie viele Gläser Wein enthielt das Weinfass am ersten Tag, bevor der Kellner den Wein stahl? (Die Lösung ist keine natürliche Zahl, es muss gerundet werden.)

Eine Waschmaschine, die Socken frisst

Ein Statistiker besitzt nur Paare von weißen Socken und Paare von schwarzen Socken. Eine Socke ist in der Waschmaschine verloren gegangen.

Wenn er zufällig zwei Socken aus der Waschmaschine nimmt, haben sie in der Hälfte der Fälle die gleiche Farbe.

Der Statistiker hat mehr als 200 Socken und weniger als 250 Socken. Er hat mehr schwarze Socken als weiße Socken.

Wie viele schwarze Socken hat er?
Wie viele weiße Socken hat er?
Welche Farbe hat die Socke, die in der Waschmaschine verloren gegangen ist?

Veröffentlicht von

Joe Dramiga ist Neurogenetiker und hat Biologie an der Universität Köln und am King’s College London studiert. In seiner Doktorarbeit beschäftigte er sich mit der Genexpression in einem Mausmodell für die Frontotemporale Demenz. Die Frontotemporale Demenz ist eine Erkrankung des Gehirns, die sowohl Ähnlichkeit mit Alzheimer als auch mit Parkinson hat. Kontakt: jdramiga [at] googlemail [dot] com

17 Kommentare Schreibe einen Kommentar

  1. Kopfnüsse erhöhen bekanntlich (leicht) das Denkvermögen, weil Stress erzeugt worden ist.
    Die Antworten lauten :

    1.)

    1. In dieser Liste ist genau eine Aussage falsch.
    2. In dieser Liste sind genau zwei Aussagen falsch.
    3. In dieser Liste sind genau drei Aussagen falsch.
    4. In dieser Liste sind genau vier Aussagen falsch.
    5. In dieser Liste sind genau fünf Aussagen falsch.
    6. In dieser Liste sind genau sechs Aussagen falsch.
    7. In dieser Liste sind genau sieben Aussagen falsch.
    8. In dieser Liste sind genau acht Aussagen falsch.
    9. In dieser Liste sind genau neun Aussagen falsch.
    10. In dieser Liste sind genau zehn Aussagen falsch.

    Aussage 9 ist korrekt. – Begründung: es kann (maximal) nur eine Aussage dieser aus zehn Elementen bestehenden Auflistung richtig sein, so dass (zumindest) neun falsch sein müssen, weil exklusiv ausgesagt wird.

    Die anderen Lösungen folgen sukzessive,
    MFG + schönes Wochenende,
    Dr. Webbaer

  2. 2.)

    Wasser predigen und Wein trinken

    Ganz grobe Knobelei :

    Die Menge an Wein (in Gläsern, das Glas hier als Maß) ist unbekannt, sie soll “W (in G)” genannt werden.

    Es gilt nach drei Versuchen :
    W (in G) = Wasser (in G)

    W (in G) kann nicht größer als 18 G sein.

    Knobel…

    1. Versuch : W (in G) ist 17 G
    Es gilt W (in G) => 17 – 3 = 14 => 17 – (3 * (14 / 17) ) = 11,5 => 11,5 – (3 * (11,5 / 17) ) = 9,5 (zu groß!)

    2. Versuch : W (in G) ist 15 G
    Es gilt W (in G) => 15 – 3 = 12 => 15 – (3 * (12 / 15) ) = 9,6 => 9,6 – (3 * (9,6 / 15) ) = 7,6 (könnte passen!)

    War jetzt, lol, mathematisch wohl nicht immer korrekt formuliert…

  3. 3.)

    Eine Waschmaschine, die Socken frisst

    Knobel :

    Hmm, Es gilt also “Wenn er zufällig zwei Socken aus der Waschmaschine nimmt, haben sie in der Hälfte der Fälle die gleiche Farbe.”
    Hat er bspw. 110 weiße Socken und 111 schwarze Socken, liegt die Wahrscheinlichkeit eine zweite weiße Socke (also nachdem er zuerst eine weiße erwischt hat) zu erwischen bei :
    109 / 220 = ca. 49,55 %
    ansonsten bei :
    110 / 220 = 50 %

    Was der Aufgabenstellung nicht genügen kann.

    Was wäre bspw. mit 50 weißen Socken und 190 schwarzen ?
    Es gilt wie oben :
    49 / 239 = ca. 20,5 %
    ansonsten bei :
    189 / 239 = ca. 79,1 %

    Also, weil er anfänglich zu wenige weiße Socken erwischt und dies berücksichtigt werden muss, wäre der “Gleiche Socken-Wert” deutlich über 50 %

    Was wäre bspw. mit 90 weißen Socken und 120 schwarzen ?
    Es gilt wie oben :
    89 / 210 = ca. 42,4 %
    ansonsten bei :
    119 / 210 = ca. 56,7 %

    Gewichtet :
    ((90 / 210) * 42,4 %) + ((120 / 210) * 56,7%) = 18,2 % + 32,4 % = 50,6 %

    Also irgendwo bei ca. 90 weißen Socken und 120 schwarzen könnte die Lösung liegen…

    MFG
    Dr. Webbaer

  4. PS und dies klang womöglich auch “ein wenig” durch :

    Dr. Webbaer ist “jetzt nicht so” der Mathematiker, Sie, lieber Herr Dr. Joe Dramiga womöglich ebenfalls nicht.

    Iterationsverfahren, wenn die Menge der Möglichkeiten verwaltbar und ausrechenbar erscheint, sind gut, sie führen zwingend zur richtigen Lösung oder zu richtigen Lösungen.
    Zudem besteht nicht die Gefahr ungünstig “schlau” geworden zu sein, wenn alle Möglichkeiten betrachtet werden.

    Sehr hübsch in diesem Zusammenhang vielleicht auch dieses kleine Rätsel, dankenswerterweise von Herrn Dr. Ulrich Berger beigebracht oder gar entwickelt :
    -> http://scienceblogs.de/kritisch-gedacht/2015/12/07/dezemberraetsel-tauschen-oder-nicht/

    • Ich werde mich nicht vor Juni dazu äußern, ob ihre Lösungen richtig oder falsch sind. Ich möchte Anderen, die sich noch an diesen Rätseln versuchen wollen, nicht den Spaß verderben.

      • Joe Dramiga schrieb (7. Mai 2017 @ 11:57):
        > Ich werde mich nicht vor Juni dazu äußern […]

        Dann bleibt ja noch ein Weilchen um herauszufinden, ob sich die aus der Kombinatorik bekannten Binomialkoeffizienten hier in der üblichen, ordentlichen Weise anzeigen lassen; z.B.

        \( \binom{s}{2} \), \( \binom{w}{2} \) oder \( \binom{s + w}{2} \).

        Vor allem möchte ich aber ausdrücklich und umgehend meine Auffassung zum Ausdruck bringen, dass des oben gestellten Socken-Rätsels Lösung insbesondere darin liegt, stets beide Socken jedes aus der Waschmaschine gezogenen Paares in Augenschein zu nehmen, um zu beurteilen, ob sie von gleicher Farbe wären, oder nicht; also in erfrischendem und (hoffentlich) einleuchtenden Unterschied zu muffig-abgetragenen Verwirrspielen.

  5. 1) Nr. 9 ist richtig. Dann hat man genau eine richtige Aussage und die besagten 9 falschen Aussagen.

    2) 14,54 Gläser. Ein klassischer Fall der degressiven Abschreibung.
    Man nehme: 1 minus dritte Wurzel aus 0,5 –> ca. 20,63 %
    20,63 % entsprechen 3 Gläsern -> 3 Gläser durch 0,2063 ergibt 14,54 Gläser Anfangsweinbestand.

    3) 125 schwarze und 124 weiße Socken; damit ist eine schwarze Socke verlorengegangen. Begründung:

    Die Wahrscheinlichkeit, ein Pärchen zu ziehen, beträgt p zum Quadrat für Farbe 1 plus (1-p) zum Quadrat für Farbe 2. Sollte es nur schwarze Socken geben, wäre die Wahrscheinlichkeit für ein Pärchen 100 %. Sollten weiße und schwarze Socken in identischer zahl vorliegen, wäre die Wahrscheinlichkeit genau 50 %. Bei 125 schwarzen und 124 weißen Socken wird das hier mögliche Minimum von 50,000806 Prozent erreicht.

    • @ Statistiker

      Ist nicht die Wahrscheinlichkeit für ein Pärchen bei s schwarzen und w weißen Socken von a allen Socken

      s/a mal s-1/a-1 plus w/a mal w-1/a-1 ?

      Wenn es nun für 200 < w+s < 250 eine Lösung für w und s gibt, für welche die obige Formel genau 0,5 ergibt?

      Und vielleicht ist bei dieser Lösung eine der Zahlen ungerade, dann hätten wir die Farbe der verlorenen Socke.

      Ich kann das allerdings nicht ausrechnen, dazu fehlt mir die Mathematik.

      • @fegalo

        »Ich kann das allerdings nicht ausrechnen, dazu fehlt mir die Mathematik.«

        Warum so ängstlich? Ihr Ansatz ist tadellos und führt nach nur wenigen unwesentlichen Umformungen auf die Bedingung (s − w)² = a. Das Quadrat welcher nat. Zahlen liegt zwischen 200 und 250? Wenn Sie das herausfinden, dann fehlt Ihnen nur noch ein allerletzter Schritt zur Lösung…

      • fegalo schrieb (10. Mai 2017 @ 18:24):
        > Ist nicht die Wahrscheinlichkeit für ein Pärchen bei s

        schwarzen und w weißen Socken von a allen Socken

        > s/a mal s-1/a-1 plus w/a mal w-1/a-1 ?

        Wären darin nicht wenigstens ein paar runde Klammern an

        geeigneten Stellen angebracht, um die Operatorreichenfolge auszudrücken, die in den genannten

        Formeln gemeint ist ?

        Oder Bruchstriche, wie sie (z.B.) durch Verwendung des

        LaTeX-Befehls “\frac” dargestellt werden könnten ? …

        Und was wäre eigentlich, wenn jemand hier auf die Idee käme,

        relevante Ungleichungen wie
        “w < s” und “200 < (w + s) < 250”
        aufs Geratewohl unter Benutzung der “<“-Taste zu tippen ??

        Schaun wir mal: …

        w < s

        … dann werden wir schon sehen.

        • Frank Wappler schrieb (11. Mai 2017 @ 08:57):
          > Und was wäre eigentlich, wenn jemand hier auf die Idee käme, relevante Ungleichungen wie
          “w < s” und “200 < (w + s) < 250”
          aufs Geratewohl unter Benutzung der “<“-Taste zu tippen ?? […]

          Insbesondere die letztere Idee hatte “>fegalo (10. Mai 2017 @ 18:24) offenbar schon gehabt und erfolgreich ausprobiert.

          Aber wie steht’s dahingehend z.B. mit

          “w < s und 250 > (w + s) > 200” ?:

          w (w + s) > 200

          .

  6. @Frank Wappler / 11. Mai 2017 @ 10:57

    Sieht mir danach aus, dass Du hier noch eine den normalsterblichen Kommentatoren vorenthaltene Kopfnuss geknackt Systemeigenschaft enthüllt hast.

    • Chrys schrieb (11. Mai 2017 @ 15:41):
      > […] eine den normalsterblichen Kommentatoren vorenthaltene […] Systemeigenschaft enthüllt

      Richtig bemerkt;
      und danke für die archivierbare Anerkennung, die meinen Zufallsfund als dauerhaft nachvollziehbare Dokumentation würdigt.

      (Wenn die SciLogs-Götter uns erbärmlichen bescheidenen Kommentatoren den Vorschau-Himmel nicht so beharrlich verschlossen hielten, dann wär’s gar nicht der Rede wert gewesen. …)

  7. @ fegalo

    “Ich kann das allerdings nicht ausrechnen, dazu fehlt mir die Mathematik.”

    Dann nehmen sie doch einfach Excel.

    Links die ungeraden Zahlen, oben die geraden und in jeden Punkt der Matrix ihre Formel.

    Bei Werten von 1 bis 249 und 2 bis 250 hat mein Excel zehn korrekte Lösungen gefunden. Wenig überraschend, alle genügen der Formel (s − w)² = a, nur bei einer davon gilt 200 < a < 250.

  8. Pingback:Kopfnüsse fürs Wochenende: Auflösung » Die Sankore Schriften » SciLogs - Wissenschaftsblogs

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