Cantors Einwand gegen Euklids Dimensionsbegriff

Vor etwas mehr als zwei Wochen schrieb ich hier über die vier Raumdimensionen in der Kaluza-Klein-Theorie. Kaluza, Klein und die Stringtheoretiker fordern, dass die Anzahl der Raumdimensionen erhöht werden muss, um die vier Grundkräfte des Universums – schwache Wechselwirkung, starke Wechselwirkung, Elektromagnetismus und Schwerkraft – richtig verstehen zu können. Inwieweit diese Forderung berechtigt ist oder nicht wird die zukünftige physikalische Forschung vielleicht noch zeigen. Jedenfalls ging es dann in den Kommentaren zu diesem Blogartikel hoch her: Einige waren sehr aufgebracht und beschwerten sich über diese Art Physik zu betreiben. Meiner Meinung nach weniger aus physikalischen Gründen sondern mehr aus dem Grund, dass es ihrer naturphilosophischen Anschauung widersprach. Nun gut, so ist das halt mit der mathematischen Physik und dem Internet. Heute befasse ich mich mit dem sehr schwierigen Begriff Dimension und glaube, dass es diesmal in den Kommentaren nicht anders zu gehen wird. Ich lasse mich allerdings gerne positiv überraschen.

Wer sich keinen Punkt denken kann, der ist einfach zu faul dazu.

Mathematiklehrer Brenneke in “Eduards Traum” von Wilhelm Busch (1832 – 1908)

Euklids Dimensionsbegriff

Für Euklid war die Dimension ein hierarchisches Konzept: Ein Punkt war der geometrische Grundbaustein, den man sich „nulldimensional“ vorstellte. Eine Gerade bestand aus einer Ansammlung von Punkten und war daher eindimensional. Wenn man zwei Geraden miteinander kombinierte, entstanden zweidimensionale Ebenen, und aus aufeinander gestapelten Ebenen entstand der dreidimensionale Raum. Dieses hierachische Konzept setzte stillschweigend stetige Bewegungen voraus: Punkte zeichnen eine Linie nach, Geraden fächern sich zu einer Ebene auf, und Ebenen fügen sich zu einem Raum zusammen.

Die Mathematiker stellten sich vor, dass die zweidimensionale Form eines Quadrats durch Aufeinanderstapeln von Strecken gleicher Länge zustande kommt. Wenn nun eine eindimensionale Strecke eine bestimmte Anzahl einzelner Punkte enthielt, dann glaubte man, dass ein Quadrat, das ja aus vielen solcher Linien bestand, wesentlich mehr dieser Punkte umfassen musste.

Cantors Bijektionen

Georg Cantor (1845-1918) widersprach dieser Vorstellung. Er fand eine eineindeutige1 Zuordnung zwischen den Punkten auf einer Strecke der Länge 1 und den Punkten im Quadrat mit Seitenlänge 1. Anders gesagt: Er stellte fest, dass man jedem Punkt auf der Strecke einen Punkt im Quadrat zuordnen kann und jedem Punkt im Quadrat einen (und nur einen) Punkt auf der Strecke.

Wie stellte Cantor das an? Zunächst schrieb er jeden Punkt auf der Strecke als Dezimalbruch – beispielsweise könnte einer dieser Punkte durch den Dezimalbruch 0,24986754… dargestellt werden. Diesem ordnete er nun einen Punkt im Quadrat mit den Koordinaten (x, y) zu, indem er die Ziffern des Dezimalbruchs abwechselnd auf x und y aufteilte, so dass sich in diesem Beispiel der Punkt mit den Koordinaten x = 0,2965… und y = 0,4874… ergibt. Wenn wir umgekehrt einen Punkt im Quadrat mit den Koordinaten (x, y) herausgreifen, dann können wir die Dezimalziffern von x und y miteinander verschränken, so dass wieder ein Dezimalbruch herauskommt, der einen Punkt auf der Strecke angibt.

Cantors eineindeutige Zuordnung zwischen Strecke und Quadrat
Cantors eineindeutige Zuordnung zwischen Strecke und Quadrat

 

Die Folgerung: Eine Strecke enthält genau so viele Punkte wie eine Fläche, nämlich überabzählbar unendlich viele.

Was Cantor sich da ausgedacht hatte, widersprach aller Intuition, sogar seiner eigenen. Im Jahr 1877 schrieb er an den Mathematiker Richard Dedekind: „Ich sehe es, aber ich kann es nicht glauben.“

Durch Cantors Methode stellte es jetzt auch keine besondere Herausforderung mehr dar, eine eineindeutige Zuordnung zwischen einer Strecke und einem dreidimensionalen Würfel herzustellen (man verwende dieselbe Methode mit jeder dritten Dezimalziffer). Für Mathematiker ließ die eineindeutige Zuordnung, die Cantor ersonnen hatte, allerdings noch eine Eigenschaft vermissen. Sie war nicht stetig.
Cantor konnte also nicht garantieren, dass Punkte in der Nähe eines ausgewählten Punkts auf der Strecke auch auf Punkte in der Nähe von dessen Bildpunkt im Quadrat abgebildet wurden. 25 Jahre später konnte der Mathematiker Luitzen Brouwer zeigen, dass es nicht möglich ist, Objekte verschiedener Dimensionen mittels einer stetigen eineindeutigen Zuordnung miteinander zu verbinden.

Cantor brachte also die Mathematiker ins Grübeln, aber es kommt noch besser: Für Euklid bedeutete Dimension soviel wie “Anzahl der Ausdehnungen”. Nun kam Benoît B. Mandelbrot (1924-2010) und zeigte, dass die Zahl der Dimensionen nicht auf ganze Zahlen wie 1, 2 oder 3 beschränkt ist. Es gibt sogenannte fraktale Dimensionen, die beliebige Werte annehmen können. Es kann zum Beispiel ein Objekt, mit der Dimension 2,34 geben. Wer mehr über diese fraktalen Dimensionen erfahren möchte empfehle ich den lesenswerten Artikel „Was sind fraktale Dimensionen?“ von Florian Freistetter.

Fußnoten

1. “eindeutig” heißt wörtlich: hat nur eine Deutung; und übertragen: nur einen Wert.”eineindeutig” heißt: hat nur einen Wert und ist das einzige, was diesen Wert hat. Bei den Funktionen hast du für jedes x genau ein y, für irgendein y aber kann es z. B. bei der Funktion y = x2 verschiedene x geben. Für z. B. y = 4 nämlich x = 2 und x = -2. Wenn die Eindeutigkeit auch in die andere Richtung geht, nennt man das Ganze “eineindeutig”.

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge stattfindet (Bijektion). Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge stets dieselbe Mächtigkeit. Im Falle, dass eine Bijektion zwischen zwei endlichen Mengen vorliegt, ist diese gemeinsame Mächtigkeit eine natürliche Zahl, nämlich genau die Anzahl der Elemente jeder der beiden Mengen.

Veröffentlicht von

Joe Dramiga ist Neurogenetiker und hat Biologie an der Universität Köln und am King’s College London studiert. In seiner Doktorarbeit beschäftigte er sich mit der Genexpression in einem Mausmodell für die Frontotemporale Demenz. Die Frontotemporale Demenz ist eine Erkrankung des Gehirns, die sowohl Ähnlichkeit mit Alzheimer als auch mit Parkinson hat. Kontakt: jdramiga [at] googlemail [dot] com

77 Kommentare

  1. Wie definiert man den Begriff Dimension in der Mathematik? Tatsächlich gibt es in der Mathematik keinen einheitlichen Dimensionsbegriff. Je nach Domäne definiert man Dimension anders. Zudem kann man selbst für eine Domäne (wie etwa die Domäne der Vektoralgebra) den Dimensionsbegriff verschieden herleiten.

    Die Dimension eines Vektorraumes beispielsweise defniert man naheliegend als “Mächtigkeit eines maximalen Systems linear unabhängiger Vektoren” Diese Definition macht bereits klar, dass es in Vektorräumen nur ganzzahlige Dimensionen geben kann.
    Eine andere Definition für die Dimension eines Vektorraumes wäre: “Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der maximalen Länge (Anzahl von Inklusionen) einer Kette von ineinander enthaltenen Unterräumen. ”
    Beide Dimensionsdefinitionen kommen zur gleichen Dimensionszahl für einen gegebenen Vektorraum. Doch die zweite Definition – die mit der Kettenlänge – ist allgemeiner. Da sie mengentheoretisch operiert lässt sich dieser Dimensionsbegriff auf weitere Strukturen anwwenden. Sie ist von der Idee her nicht auf Vektorräume beschränkt.

    Wie aber kommt man in der Mathematik zu gebrochenen – sogenannt fraktalen -, Dimensionen? Dazu gibt es Definitionen, die man mit dem Ansatz der konstruktiven Mathematik verbindet. Die konstruktive Mathematik glaubt nur an mathematische Objetke, die man in endlich vielen Schritten konstruieren kann. Solche konstruktive Definitionen für eine fraktale Dimension sind die Boxcounting – und Yardstick-Methode.

  2. Sich einen Punkt als ´nulldimensional´ vorzustellen (Euklid), ist ein hilfreiches Denkmodell, mehr aber auch nicht.
    Man muss sich darüber im klaren sein, dass jeder Punkt eine geringfügige Ausdehnung haben muss. D.h. die Ausmaße eines Punktes (Länge, Breite, Durchmesser, Fläche, Volumen) müssen zwar an einen Grenzwert 0 angenähert sein, aber von 0 verschieden sein.

    • Ein Punkt besitzt keine Ausdehnung.
      Besäße er zwar eine unvorstellbar kleine, aber endliche Ausdehnung (worauf Sie hinaus wollen), ließe sich ihr Wert stets halbieren…
      Willkommen in der Gegenwart.

    • Apropos Denkmodell – Bei einer Reihe von Bewegungen kann man in der Physik von Form und Volumen des Körpers absehen und annehmen, dass sich der Körper wie ein winziger Punkt bewegt. Dabei stellt man sich vor, dass die gesamte Masse des Körpers in einem Punkt, dem Massepunkt, vereinigt ist. Als den betreffenden Punkt wählt man meist den Massenmittelpunkt (Schwerpunkt).

    • @Zasada @Dramiga: In Denkmodellen darf man sich einen Punkt ohne Ausdehnung oder Körper als Punkt vorstellen – das ist zulässig; für ein Denkmodell. Wir stellen uns in der Optik auch Lichtstrahlen als Linien vor – obwohl wir wissen dass die Realität anders ist.

      Und hier ist das Problem: Man darf Denkmodelle nicht mit der Realität verwechseln: Ein Punkt ohne jede Ausdehnung – ist nur gedacht, es kann ihn aber in der Realtät nicht geben. Und nichtexistente Punkte kann man auch nicht zu einer Linie anordnen.
      D.h. ein Punkt muss zumindest eine unendlich kleine Ausdehnung besitzen. (Im euklidischen Sinne wäre ein nulldimensionales Objekt dann ein unendlich kleines Objekt.)

      (Oder – um es noch einfacher auszudrücken: Man kann sich einen Osterhasen vorstellen, der zu Ostern bunte Eier bringt. Aber deswegen gibt es ihn nicht wirklich.)

      Kurz gesagt: Die Sinnhaftigkeit von Denkmodellen in Bezug zur Realität muss immer hinterfragt werden. Speziell dann, wenn solche Denkmodelle dann die Grundlage für weitere, darauf aufbauende Denkmodelle sind. (z.B. nulldimensionale Teilchen der Quantenfeldtheorie, eindimensionale Teilchen der Stringtheorie).

      • @KRichard
        Einerseits behaupten Sie:
        [1]”Man darf Denkmodelle nicht mit der Realität verwechseln”, andererseits behaupten Sie:

        [2]”Und nichtexistente Punkte kann man auch nicht zu einer Linie anordnen”
        , womit Sie das euklidische Denkmodell als Grundlage der “Realität” der Linie und als Argument für [1] betrachten. Dieses Vorgehen erklären Sie aber selbst, bereits im Punkt [1] für unzulässig.

        [3]”D.h. ein Punkt muss zumindest eine unendlich kleine Ausdehnung besitzen.”

        [4]”Man kann sich einen Osterhasen vorstellen, der zu Ostern bunte Eier bringt. Aber deswegen gibt es ihn nicht wirklich”

        Zu [1] und [3]
        Denkmodelle und Realität sind notwendig dasselbe, denn das Eine ist des Anderen Bestandteil.
        Dies meine ich gar nicht spitzfindig: die Gedanken, wie Zahlen, wie allgemein Information nehmen keinen Platz in der materiellen Wirklichkeit ein, sind aber real vorhanden. Die Geometrien sind allgemein Denkmodelle. Ihre Gegenstände existieren daher nicht wirklich.
        D.h., dass auch die im Punkt [3] verfasste Behauptung kann nicht zutreffen, denn besäße ein Punkt eine Ausdehnung und existierte es “real”, wäre er bereits ein “Körper” (und kein Punkt).

        Zu [2]
        Das Anordnen der Punkte zu einer Linie, um eine Linie definitorisch zu konstruieren, ist ein (euklidisches) Denkmodell.

        Zu [4]
        Man kann sich aber auch einen grauen Hasen vorstellen, der den Salat aus Ihrem Garten knabbert. Ist diese Vorstellung etwa “realer” als die Vorstellung des eierbringenden Osterhasen? (Schauen Sie durchs Fenster, gibt es einen Hasen in Ihrem Garten, der den Salat knabbert? Gibt es den Salat, gibt es den Garten überhaupt?)

        Soviel zu Denkmodellen (Vorstellungen) und ihren Objekten.

        Fazit: “Die Sinnhaftigkeit von Denkmodellen in Bezug zur Realität” existiert grundsätzlich nicht, denn Denkmodelle sind Modelle, die höchstens dazu verwendet werden können, die Realität abzubilden und nicht dazu, die Realität zu sein.
        Insofern ist [1] als Behauptung korrekt.

        • Es muss auch erlaubt sein, sich über Sinn oder Unsinn von Denkmodellen Gedanken machen zu dürfen.
          Zur Idee des nulldimensionalen Punktes: Dieser hätte für L, Br, H jeweils den Wert 0. Will man mehrere Punkte zu einer Linie zusammensetzen, dann braucht man dazu bereits ein mathematisches Wunder, welches die Eigenschaft Länge erzeugt. Um Breite zu erhalten, braucht es noch einmal ein mathematisches Wunder – denn sonst könnte man Linien nicht zu einer Fläche nebeneinander legen. Und ein drittes Wunder ist notwendig, damit die Höhe einer Linie/Fläche erzeugt werden kann.
          Kurz gesagt – die Idee, aus nulldimensionalen Punkten einen Raum zu bilden, beruht auf Grundlage Wunder-barer Mathematik.

          Geht man aber davon aus, dass ein Punkt ein extrem winziger Raumkörper ist, bei dem L, Br, H sich einem Grenzwert 0 nähert, aber größer als 0 ist – dann kann man mit diesem Denkmodell anders argumentieren.
          Solche winzigen Punkte lassen sich zu einer Linie XY anordnen: Diese Linie XY ist demnach als Raumkörper zu beschreiben, wobei dann die Länge den Wert XY hat – und Br bzw. H sich jeweils dem Grenzwert 0 nähern, aber noch größer als 0 sind.
          Solche Raumkörper-Linien lassen sich zu Flächen bzw. Körpern anordnen, ohne dass irgendwelche unlogische Argumentation (Wunder) notwendig ist

          • “Solche [Körper] * lassen sich zu Flächen […] anordnen.”

            Nö. Einmal Körper, immer Körper. Das wird nicht mehr flach.

            (*) ‘Raumkörper-Linien’, welcher Mythologie entstammen denn diese Chimären?

          • @Joker: den Spott gebe ich gerne zurück.
            Lesen Sie meinen Beitrag nochmal bzw. die Aussagen Euklids.
            Euklid betrachtet den Punkt als nulldimensional. Außerdem geht er davon aus, dass Linien, Flächen bzw. der Raum aus Punkten aufgebaut sind.
            Bei dieser Argumentation wird aus dem nulldimensionalen Punkt plötzlich ein dreidimensionales Punktgebilde, welches man nacheinander zu einer Linie anordnen kann (plötzlich ist die Dimension ´Länge´ vorhanden). Mehrere solche Linien kann man zu einer Fläche aneinander legen (plötzlich ist die Dimension ´Breite´ vorhanden)´. Und mehrere Flächen kann man zu einem Raum übereinander legen (plötzlich ist die Dimension ´Höhe´ vorhanden).
            Dieses Argumentationsverfahren Euklids ist ein simpler und gut bekannter rhetorischer Trick: man verwendet den gleichen Begriff (Punkt) in unterschiedlicher Verwendung (dimensionslos, dreidimensional). So lässt sich logischer Unsinn in eine scheinbar sinnvolle Aussage umwandeln.

          • @ KRichard

            “man verwendet den gleichen Begriff (Punkt) in unterschiedlicher Verwendung (dimensionslos, dreidimensional).”

            Das sehe ich bei Euklid nicht. Soweit ich das überblicke, ist die Euklidsche Geometrie ja auch widerspruchsfrei, inklusive des Gebrauchs der Begriffe Punkt (dimensionslos), Gerade, Fläche und Raum. Er irrte sich wohl nur in der Anzahl der Punkte, die nötig sind eine Gerade, eine Fläche oder einen Raum zu bilden. Dass das jeweils gleichviel sind, hat dann Cantor gezeigt. Das mag überraschend gewesen sein, ist aber kein Widerspruch.

            Vielleicht überprüfen Sie doch noch einmal die Verwendung der entsprechenden Begriffe in ihren Kommentaren.

          • @KRichard
            “Man darf Denkmodelle nicht mit der Realität verwechseln”

            Sie tun es aber ständig.
            Sie benutzen Euklids Modell, um die Faktizität der realen Objekte zu beweisen.
            Dass unzählige Punkte aneinandergereiht, eine Linie ergeben (etc.) ist eine Annahme innerhalb des euklidischen Systems, das an sich ein Denkmodell ist. Diese Annahme berechtigt nicht, die reale Existenz des Punktes und des Raumes (als eines Oberbegriffs für Linie, Fläche etc.), die aus Punkten besteht zu postulieren.
            Um es behaupten zu dürfen, müsste man zuerst die Frage beantworten, woraus besteht denn der Raum, in dem Punkte, Linien, Flächen und Körper existieren…und noch dringender: was ist die Zeit, welche mit dem Raum identisch ist?
            Der Punkt im Raum ist dasselbe, was die Gegenwart innerhalb der Zeit.
            Ähnlichkeit beider Konzepte ist offensichtlich.

            @Joe Dramiga
            “in unserem Universum” ist für mich die entscheidende Aussage…

            Sie meinen wohl in unserem materiellen Universum. Das Universum besteht aber (ohne Zweifel) neben den materiellen, aus den immateriellen Bestandteilen. Aus Modellen, Zahlen, Gedanken, Vorstellungen, Persönlichkeiten…aus Information, welche nicht der Menge der materiellen Bestandteile des Universums angehört.
            Diese zwei getrennte Welten (Mengen ohne gemeinsame Teilmengen) erhalten einerseits die Materie, andererseits Entitäten wie Punkt, Gegenwart, Geist…

            Ich habe mich in die Diskussion eingeklinkt, weil ich es nicht mehr ertrage, Unsinn zu lesen.

          • @ Herr Zasada :

            Das Universum besteht aber (ohne Zweifel) neben den materiellen, aus den immateriellen Bestandteilen. Aus Modellen, Zahlen, Gedanken, Vorstellungen, Persönlichkeiten…aus Information, welche nicht der Menge der materiellen Bestandteile des Universums angehört.

            Variante:
            Die Welt (vs. Universum, das die physikalische Sicht auf die Welt meint) besteht aus (physikalisch genannt: materiellen) Bestandteilen und ‘Modelle[], Zahlen, Gedanken, Vorstellungen, Persönlichkeiten’ finden in einer Tochterwelt statt, wobei es davon viele gibt, fürwahr.
            Diese Trennung von Welt und Tochterwelt ist Ihrem Kommentatorenfreund wichtich, auch diese Welt könnte insofern irgendwie töchterlich sein.

            MFG
            Dr. Webbaer

          • KRichard schrieb (24. Mai 2016 10:07):
            > Will man mehrere Punkte zu einer Linie zusammensetzen, dann braucht man dazu bereits ein mathematisches Wunder, welches die Eigenschaft Länge erzeugt.

            Die wundersame Ansicht von mehreren (hinreichend vielen) Punkten als “Linie” beinhaltet
            offenbar die Vorstellungen

            – dass all diese Punkte paarweise unterscheidbar wären,

            – dass sich all diese Punkte (in Bewertung ihrer Unterschiedlichkeit, z.B. anhand von “Abstandsverhältnissen” untereinander) in einer Reihenfolge ordnen ließen,

            und (vielleicht besonders wunderlicher Weise)
            – dass diese Reihenfolge eine geeignete “Vollständigkeitseigenschaft” hätte (d.h. so dass die betrachtete Punktmenge für jede bzgl. dieser Reihenfolge monotone und beschränkte Sequenz von Punkten genau einen “engsten Grenzpunkt” beinhaltet).

            > Um Breite zu erhalten, braucht es noch einmal ein mathematisches Wunder – denn sonst könnte man Linien nicht zu einer Fläche nebeneinander legen. […]

            Man mag sich also (mit Euklid) vorstellen, dass die o.g. Wunder, die bestimmten Mengen von Punkten zugedacht waren, auch bestimmten Mengen von (geeigneten) Linien zuteil werden könnten; usw.

            Anhand von (eventuell wunderbarer Weise gegebenen) Abstandsverhältnissen lässen sich allerdings auch andere/direkte Dimensionsbegriffe konstruieren.

          • @Dr. W
            Es dürfte schwer sein, den Sinn solcher Hierarchie zu finden.
            Weltenhierarchie existiert nicht.
            Grundfehler der Physik: das Universum selbst ist ein Denkmodell.
            Es ist daher ein Irrtum zu glauben, es kann irgendetwas beinhalten oder nicht beinhalten. Wir haben immer noch nicht verstanden wovon wir reden.
            Die Sprache passt nicht zum Begriff.
            Wir arbeiten dran.

  3. Joe Dramiga schrieb (23. Mai 2016):
    > Für Euklid war die Dimension ein hierarchisches Konzept: […] Eine Gerade bestand aus einer Ansammlung von Punkten und war daher eindimensional.

    Man sollte Euklid wohl für sorgfältig genug halten, eine Gerade nicht (allein) deshalb für eindimensional gehalten zu haben, weil es sich dabei um eine Ansammlung von Punkten handelt; denn es sind ja (u.a.) auch flächige oder räumliche Punktansammlungen denkbar.

    Eindimensionale Ansammlungen (bzw. höchstens eindimensionale) zeichnen sich dadurch aus, dass zu je drei verschiedenen ihrer Bestandteile (Punkte) sich stets feststellen lässt, welcher eine „zwischen“ den beiden verbleibenden anderen war.

    • “Kürzere Strecken sind in unserem Universum nicht realisierbar”

      Vielleicht nicht realisierbar, aber denkbar: Punkt.

      • Nein, auch nicht wirklich (quantitativ) denkbar oder vorstellbar. Man bräuchte letztlich eine unendliche Zeitdauer dafür!!! Man könnte es sich nur als “nahe bei null” qualitativ symbolisch denken. Unterhalb der Plancklänge sind Abstände nicht mehr determiniert oder determinierbar.

        • Sie stellen Denkverbote auf? Jetzt machen Sie mal einen Punkt.

          Wenn das eine Plank-Länge ist: 1,616 mal 10 hoch minus 35 Meter, dann ist diese länger kürzer: 1,5 mal 10 hoch minus 35 Meter.

    • Wieviel Dimensionen hat denn eigentlich eine Planck-Länge, oder muss ich fragen, ein ‘Punkt’ mit Durchmesser Planck-Länge?

      • So ein Raum-Zeit-Voxel hat drei räumliche Dimensionen und eine zeitliche Dimension.
        Die zeitliche Dimension ist allerdings nur dann mit den räumlichen Dimensionen vergleichbar, wenn man sie als imaginär annimmt.
        Die zeitliche Ausdehnung ist die Planck-Zeit mit 5,391 mal 10 hoch minus 44 Sekunden.
        Die konkreten Eigenschaften der Raum-Zeit-Voxel werden erst durch den Bewegungszustand des Beobachters festgelegt.
        —–
        Eine Sekunde entspricht 299.792.458 imaginären Metern.
        Daher stehen in der Gleichung für die Beschleunigung unter dem Bruchstrich reale negative Quadratmeter.

        • Es kommt noch schlimmer:
          Meter pro Sekunde zum Quadrat,
          Meter pro 3 mal 10 hoch 8 imaginäre Meter zum Quadrat,
          Meter pro 9 mal 10 hoch 16 negative reelle Quadratmeter,
          oder gekürzt:
          Eins durch 9 mal 10 hoch 16 negative reelle Meter.
          —–
          Die negativen Zahlen erscheinen regelmäßig auf meinem Girokonto.
          Die imaginären Zahlen werden vermutlich erst beim Quadrieren negativ und reell.
          Wenn zum Beispiel eine Linie von einem Metern Länge eine 300 Millionstel Sekunde lang existiert, dann hätte dieses Quadrat eine pythagoräische Diagonale von null Metern Länge.
          Die Pfad-Integral-Methode funktioniert mit der imaginären Zeitachse erstaunlich gut.
          Ich habe es gleich vermutet, es wird sich um eine Verschwörung handeln.

          • Natürlich haben wir hier nur die makroskopisch ausgedehnten Dimensionen der Raum-Zeit-Voxel beschrieben.
            Die zahlreichen mikroskopisch eingerollten Dimensionen der Kaluza-Klein-Kompaktifizierung ergeben dann die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.
            Vermutlich steigt die Anzahl der Dimensionen mit der Energiedifferenz relativ zum Beobachter.
            Ein sehr einfaches Bild mit nur zweieinhalb Dimensionen:
            http://members.chello.at/karl.bednarik/DIMENS25.PNG

    • @Joker @Paul Stefan @anton reutlinger “in unserem Universum” ist für mich die entscheidende Aussage. Karl Bednarik meint damit wahrscheinlich ein Universum indem die Naturgesetze, wie wir sie jetzt kennen, gelten. In die gleiche Richtung weist auch der entsprechende Eintrag zur Planck-Länge bei Einstein Online Ich stelle mir das ähnlich wie bei den Newtonschen Gesetze vor, die bis zu einer bestimmten Größenordnung gelten. Es wird auch mit Ihnen gerechnet, aber ab einem bestimmten Bereich ist damit Schluss…

  4. “Und hier ist das Problem: Man darf Denkmodelle nicht mit der Realität verwechseln: Ein Punkt ohne jede Ausdehnung – ist nur gedacht, es kann ihn aber in der Realtät nicht geben.”

    (sic: da fehlt ein Strich und ein Punkt zur “Realität” in Ihrem Satz)

    Wenn man denn so genau wüsste, was Realität ist. Soweit ich weiß, benutzt man in physikalischen Theorien auch imaginäre Zahlen und es “funktioniert”, obwohl es die Wurzel aus -1 nicht “gibt”. Oder vielleicht gibt es das ja in der Realität doch, auch echte, dimensionslose Punkte, aber wir Menschen haben noch nicht die richtige Physik und Mathematik, sie nachzuweisen?

    Ich wäre da mit definitiven Aussagen sehr vorsichtig.

    Vorstellbar ist vieles, was es nach allgemeiner und vernünftiger Annahme nicht gibt, z.B. Einhörner. Umgekehrt kann man sich weder die Planck-Länge noch eine halbe Planck-Länge “vorstellen”. Man kann mit einer halben Planck-Länge zwar nicht vernünftig Physik betreiben, aber man kann sie aufschreiben, insofern ist sie “denkbar”.

    Bei solchen Diskussionen verstrickt man sich schnell in problematischen Begrifflichkeiten.

    • Frage: Gibt es denn in der “Realität” die Zahl 1 oder -1 . Nur wenn es diese Zahlen in der Realität gibt macht der Satz Sinn: Soweit ich weiss, benutzt man in physikalischen Theorien auch imaginäre Zahlen und es funktioniert, obwohl es die Wurzel aus -1 nicht gibt.
      Was meint man damit, es gebe in der Realität ganze oder gebrochene Zahlen, nicht aber imaginäre? Einige meinen wohl mit Zahlen, die in der Realität vorkommen, Dinge wie die Zuordenbarkeit einer Zahl oder eines Zahlentripels zu einer Wellenlänge (einer Farbe). Doch warum sollte man etwas Messbarem nicht auch eine imaginäre Zahl,zuordnen können. Letztlich hat man mit einer Bemassung oder der Zuordnung einer Zahl die Realität bereits verlassen. Ob diese Zuordnung nun reelle, imaginäre oder hyperkomplexe Zahlen verwendet, spielt eine untergeordnete Rolle.

      • Die Realität meint die Sachlichkeit, mit der Realität liegt bereits für das erkennende Subjekt ein Konzept, eine Sicht oder Schicht auf die Welt, auf das was passiert, vor.
        In dieser Schicht gibt es die Zahl Eins (wie auch das Konzept der Existenz), in der Welt nicht.
        So jedenfalls das übliche konstruktivistische Verständnis.

      • @Holzherr: Zahlensysteme beruhen auf vereinbarten Ideen – und wenn diese logisch aufgebaut sind, dann kann man vernünftig damit arbeiten.

        Das Problem bei Euklid ist aber, dass der Punkt als nulldimensional definiert ist. Neben/An einen Punkt ohne Dimensionen kann man keinen zweiten (ebenfalls dimensionslosen) Punkt setzen – da der erste gar nicht vorhanden sein darf (per Definition). D.h. das Gedankenspiel/Denkmodell zur Bildung einer Linie aus dimensionslosen Punkten, ist in sich logisch unsinnig.

        • stimmt das eigentlich, was hier mehrfach behauptet wird, daß bei Euklid eine Linie aus Punkten “zusammengesetzt” ist? Meiner Sekundärlektüre nach sollen die Griechen eben nicht das “aktual-Unendliche” von Cantor, sondern nur das potentell-Unendliche gekannt haben. Eine Linie wäre dann allenfalls auf unendlich viele Weise teilbar, aber würde deshalb keineswegs aus unendlich vielen Punkten _bestehen_. Dann könnten die Griechen auch keinen “Fehler” betr. der Anzahl der Punkte von Linie, Fläche … gemacht haben, weil es bei ihnen eine solch Anzahl gar nicht gab.

          Bei Euklid steht jedenfalls “die Enden der Linie sind Punkte”; das wäre überflüssig, wenn die ganze Linie sowieso aus Punkten bestehen würde.

          • da ist aber von Euklid nur am Rande die Rede?

            hier aus: Gregor Schneider, Mathematischer Platonismus, Diss. München 2012, S. 52:

            “… So vermittelt die höhere Schulbildung ihren Zöglingen heutzutage die Vorstellung eines Punktraumes. Der unendlich weit ausgedehnte geometrische Raum besteht darin aus unendlich vielen Punkten, deren Zusammensetzung andere Gebilde hervorbringt. Ein Kreis ist die Linie, die sich aus genau den Punkten zusammensetzt, die von einem ausgezeichneten Punkt (dem sogenannten Mittelpunkt) den gleichen Abstand haben.

            Dagegen sind antik-euklidisch vorgestellt Punkt, Linie, Fläche und Körper eigenständige Entitäten, die nicht aufeinander zu reduzieren sind.

            Im Gefolge dieser Tradition konnte man noch im Mittelalter von den
            _drei_ geometrischen Elementen des Kreuzes sprechen: den zwei Strecken und dem Punkt, in dem sie sich schneiden; ein Punkt, den die beiden Linien nicht bereits als Teil enthalten, sondern der zu ihnen hinzukommt und den Schnitt markiert, indem er die durch den Schnitt entstandenen Linienteile begrenzt.

            Aber natürlich stehen Punkt, Linie etc. in bestimmten Beziehungen zueinander. Diese wurde antik-euklidisch als Grenze festgelegt: Eine Linie wird durch zwei Punkte begrenzt, eine Fläche durch eine oder mehrere Linien und ein Körper durch eine oder mehrere Flächen.

            Antik-euklidische Objekte sind demnach endlich, weil begrenzt, insbesondere gibt es keine (aktual-unendlichen) Geraden, sondern nur (beliebig verlängerbare) Strecken.

            Entsprechend gibt es auch antik-euklidisch keinen Begriff unseres geometrischen (unendlichen) Raumes.”

            http://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/14288/1/Dissertation%20Gregor%20Schneider.pdf

          • Wenn ich eine Linie in drei Teillinien teile entstehen zwei neue Punkte. Wo kommen diese neuen Punkte der mittleren Teillinie her? Ich kann noch nicht nachvollziehen wie das funktioniert, wenn die Linie selbst nicht aus Punkten besteht.

          • @Joe Dramiga
            “Wenn ich eine Linie in drei Teillinien teile entstehen zwei neue Punkte. Wo kommen diese neuen Punkte der mittleren Teillinie her?”
            Genau daher, wo die beiden “Ausgangspunkte”, zwischen denen sich die “ursprüngliche” Linie erstreckt herkommen: aus dem nichts.
            Es muss offenbar zwischen der Realität einer Linie und der Realität der geometrischen Figur (Linie) unterschieden werden. Die Geometrie ist ein konstruiertes Machwerk, in dem mit den irrealen Objekten herumexperimentiert werden kann (der Gegenstand der Geometrie ist stets das Gedankenexperiment, dessen empirische Legitimität aufgrund bestimmter…ausschliesslich für Gedanken geltender…Voraussetzungen entsteht, dessen empirische (logische) Stringenz jedoch so stilisiert (sublimiert) ist, dass seine Legitimität sich auf die Realität mit ihren materiellen Objekten erstreckt.)

            Fazit:
            Etwas zu behaupten ist frei und (deshalb) wertlos.
            Etwas begründet zu behaupten ist magisch (vorausgesetzt die Begründung hält Stand).

      • Ich habe vorsichtigerweise “gibt” in Anführungsstriche gesetzt. Das Problem besteht aber bei den imaginären Zahlen darin, dass es m.W. keine Rechenoperation mit reellen Zahlen gibt, mit der man die Wurzel von -1 berechnen kann. Trotzdem kann man mit imaginären Zahlen mathematisch und physikalisch arbeiten.

  5. Hi zusammen,
    der mathematische Dimensionsbegriff setzt so etwas wie den (geometrischen, oder allgemeiner algebraischen) Raumbegriff voraus. Insofern sind ihre Definitionen, lieber Herr Holzherr, zirkulär.

    Bei den Physikern läuft der Begriff Dimension auf die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung hinaus, oder auf irgend so was wie quantifizierbare Metrik. Das ist zwar praktikabel. Da dem physikalischen Begriffsverständnis von Dimension aber alle möglichen Prämissen zugrunde liegen, hilft die Physik mit ihren Plancklängen hier nicht weiter.

    Ohne allzuviel vorauszusetzen kann man vielleicht sagen:

    Dimension ist reine Möglichkeit – nämlich die Möglichkeit für die Existenz eines konkreten Abstandes an sich. Abstand an sich ist quantifizierter reiner Unterschied, sozusagen erstes und grundlegendstes Merkmal einer (entstehenden) Struktur. Keinesfalls sind geometrische oder zeitliche Abstände gemeint, das sind spezielle Abstände.

    Insofern muß man über die geometrische Anschauung, also über Punkt, Strecke und geometrische Beziehungen und deren Idealisierungen, hinausdenken, wenn man den Begriffsinhalt fassen will. Oder anders gesagt: zu diskutieren über das was ein Punkt ist, verstellt den Blick für das das Wesentliche.

    Allerdings ist der Begriff der Möglichkeit auch schwer fassbar.

    Grüße Fossilium

    • Umgekehrt Fossilium: Der Raumbegriff setzt so etwas wie den Dimensionsbegriff voraus, denn Räume sind in der modernen Mathematik lediglich abstrakte mathematische Strukturen, die auf unterschiedlichen Konzepten des Begriffs der Dimension basieren .

      • Der vormoderne Raumbegriff ist noch komplizierter, dazu gibt es viel komplizierte Literatur, die ich aber nicht wirklich studiert habe, nur mal reingeschaut.
        Z.B. Edward Grant, Much Ado about Nothing, Theories of Spaces and Vacuum from the Middle Ages to the Scientific Revolution, Cambridge 1981.

  6. Eine Strecke enthält genau so viele Punkte wie eine Fläche, nämlich überabzählbar unendlich viele.

    Hat Cantor nicht Unendlichkeiten unterschieden, war dies nicht der eigentliche Gag hinter seinem Vorhaben? So dass die “Eineindeutigkeit” oder Bijektivität gleiche Mächtigkeit von Unendlichkeit bedeutet?

  7. Für Euklid entstand die n.te Dimension durch Aufeinanderstapeln von (n-1) dimensionalen Objekten – wird hier behauptet. Daraus ergäbe sich ein Unendlichkeitsbegriff, der nicht konsistent ist mit dem Unendlichkeitsbegriff Cantors, denn nach Euklid hatte ein höherdimensionales Objekt zwangsläufig mehr Punkte als ein niederdimensionales. Cantor dagegen zeigte mit der bidirektionalen Zuordnung von Punkten auf einer Strecke zu allen Punkten in einem Quadrat, dass eine Strecke – also ein eindimensionales Gebilde – gleich viele Punkte hat wie eine Fläche (ein zweidimensionales Gebilde).

    Hier kann man einwenden, dass
    1) es Euklid beim Dimensionsbegriff nicht primär um den Unendlichkeitsbegriff ging und
    2) Cantor selbst mit seiner Punktzuordnung von einem 1-dimensionalen zu einem zweidimensionalen Objekt keine stetige Zuordnung schuff und damit etwas tat, was im Zusammenhang mit dem Dimensionsbegriff illegal war.

    Cantor hat also mit seinen Mengenabbildungen einen sinnvollen Beitrag zum Begriff der Unendlichkeit gemacht, aber nicht zum Begriff der Dimensionalität.

  8. Lieber Herr Holzherr,

    Ich komme immer mehr dahinter, daß das, was Dimension ist, megamäßig vertrakt ist.

    Betrachten wir mal einen diffusen Unter- oder Hintergrund, der in der Lage ist, sich zu strukturieren, in dem also Unterschiede auftauchen können. Wenn plötzlich Unterschiede entstehen, dann braucht man den Begriff des Abstandes oder der Erstreckung, um diese zu beschreiben. Auch mathematisch braucht man zunächst eine Abstandsgröße in allgemeiner Form. Ein Abstand muß sich aber erstrecken in Bezug auf etwas anderes. Das Beziehungsgeflecht einer Menge von Abständen spannt dann einen „Raum“ oder die Mannigfaltigkeit auf, dem bzw. der eine Dimension zugeordnet werden kann. Die so aufgespannten Räume kann man so – unter anderem – durch den Dimensionsbegriff mathematisch unterscheiden. Aus dieser Sicht nutzt die Mathematik den Dimensionsbegriff pragmatisch, z.B. zur Unterscheidung von Räumen. Aus diesen Gründen scheint mir in der Mathematik der Raum primär und die Dimension sekundär zu sein. Der Begriff der Dimension ist ja immer an einen Raum gekoppelt – d.h. es gibt viele Räume, die Dimensionen haben, aber keine Dimension, an die ein Raum angekoppelt ist.

    Also erst Raum, dann Dimension.

    Das Ganze gefällt mir so aber nicht. Das ist zu einfach gedacht. Denn woher kommt der Begriff des Abstandes, mit dem ein Unterschied an einer Sache konkretisiert wird. Ich kann mich des Eindrucks nicht erwehren, daß der Begriff des Abstandes den Begriff der Dimension schon voraussetzt – wir haben eben sonst keine Vorstellung davon, was gemeint ist, wenn wir Begriffe wie weit, nah, höher, tiefer, kurz, lang, usw. verwenden, die auch außerhalb geometrischer Zusammenhänge sehr viel gebraucht werden. Ich meine halt, daß der Begriff Dimension die Voraussetzung dafür ist, daß strukturelle Unterschiede über Abstandsbegriffe beschrieben werden können. Was aber geht dem strukturell Einfachsten (Abstand), das existiert, voraus ? Nur die Möglichkeit, daß es exsistiert. Von daher habe ich argumentiert, das der Begriff oder das Abstraktum Dimension die Möglichkeit darstellt, daß man von Abständen sprechen kann.

    Die „Vorstellung“ von Dimension steht damit am Denkursprung.

    Das ist sehr hobbymäßig ausgedrückt, aber das ist alles ziemlich schwierig.

    Ich lass es jetzt mal dabei.

    LG Fossilium

    • @fossilium
      Nicht interpretieren. Nicht entstellen. Nicht in der Sprache der Begriffe.
      Die Sprache werde ich zuerst entstellen müssen, um es zu schützen.
      Wir begegnen uns.

  9. @Joe Dramiga

    “Wenn ich eine Linie in drei Teillinien teile entstehen zwei neue Punkte. Wo kommen diese neuen Punkte der mittleren Teillinie her? Ich kann noch nicht nachvollziehen wie das funktioniert, wenn die Linie selbst nicht aus Punkten besteht.”

    Ob das stimmt? Ein Punkt ist hier eine gedankliche Abstraktion. Man kann Punkte auf der Linie setzen oder herausgreifen, relevant ist, dass sie die Bedingung erfüllen, auf der Linie zu liegen.

    Wie hat die Geometrie in der Antike begonnen? Ich glaube, mit einer dünnen Schnur, an deren Ende sich Stäbe oder Stifte befanden, mit denen in einem festen Sandboden zeichnen konnte oder sie reinstecken konnte. Ein Punkt ist dann zuerst der Zirkeleinstich, eine Linie die Länge der straff gezogenen Schnur.
    Die Linie wird quasi erst nachträglich mit gedachten Punkten aufgefüllt. Sie sukzessive aus Punkten aufzubauen führt zu dem kritisierten Paradox, dass man mit dimensionslosen Punkte nicht vorankommt.

  10. Ich verstehe es so, dass Punkte mehr als die Enden von Linien sind und für sich stehen können. Es muss nicht eine Linie da sein um dem Punkt seine “Bedeutung” zu geben. Ich verstehe das als emergentes Phänomen ähnlich wie die Aggregatzustände von vielen Wassermolekülen – nur das dort beim Übergang [Wasserdampf > Wasser > Eis] die Zahl der Freiheitsgrade der Bewegung der Wassermoleküle sinkt. Ein einzelnes Wassermolekül kann keinen Aggregatzustand haben genausowenig wie ein Punkt eine Dimension haben kann.

  11. Euklid stand vor dem Problem, einen Punkt zu definieren. Punkte als “Enden von Linien” oder “Schnittstellen von Linien” war die naheliegende Möglichkeit.

  12. Euklids Punkte sind keine Dinge an sich, sondern es sind Elemente in einem System von Elementen, die aufeinander Bezug nehmen und durch die Art des Bezugs zueinander überhaupt erst definieren was das System ist. Bei Euklids Elementen ist das System um das es geht, das System der euklidischen Geometrie.
    Aus heutiger Sicht hat Euklid bereits einen axiomatischen Aufbau der Geometrie angestrebt – auch wenn es ihm nach heutigen Kriterien nicht ganz gelungen ist. Ein axiomatischer Aufbau eines mathematischen Gebiets bedeutet eben gerade, dass man nicht definiert was ein einzelnes Ding ist, sondern man legt fest wie sich die Dinge zueinander verhalten. Wenn Euklid sagt “Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Linie ist breitenlose Länge. Die Enden einer Linie sind Punkte. Eine gerade Linie ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.” so will der Satz “Ein Punkt ist, was keine Teile hat” nicht in erster Linie definieren, was ein Punkt ist, sondern vielmehr definieren, was ein Punkt nicht ist: Etwas was Teile hat, ist kein Punkt. Damit bekommt nun auch der Satz Die Enden einer Linie sind Punkte. erst seine volle Bedeutung. Man darf und soll hier folgern, dass eine Linie nie ein Punkt sein kann, denn eine Linie besteht ja aus mindestens 2 Punkten und hat somit Teile (mindestens die beiden Enden sind zwei Teile einer Linie). Dieser Ansatz Euklids – die Dinge zu definieren, indem er definiert welche Beziehung die Dinge zueinander haben – ist eigentlich bereits moderne Mathematik. Auch wenn Euklid nicht immer sauber zu Ende denkt. Ich würde beispielsweise an der Definition der Linie – “Die Enden einer Linie sind Punkte” – bemängeln, dass Euklid vergisst zu sagen, dass die beiden Punkte an den Enden einer Linie nicht zusammenfallen dürfen. Doch das sind Details. Der Ansatz Euklids war jedenfalls sehr fruchtbar und die Tatsache, dass sein Buch zeitweise neben der Bibel das am zweithäufigsten verbreitete Werk war, deutet darauf hin, dass viele Leute geahnt haben, dass Euklids Ansatz revolutionär war.

    • “Ich würde beispielsweise an der Definition der Linie – “Die Enden einer Linie sind Punkte” – bemängeln, dass Euklid vergisst zu sagen, dass die beiden Punkte an den Enden einer Linie nicht zusammenfallen dürfen.”
      das liegt schon in der Aussage “Enden”, denn wenn die “Endpunkte” zusammenfallen, hat die Linie keine Enden, sondern ist z.B. eine Kreislinie, die Euklid selbstverständlich auch kennt.

    • Euklids Elemente waren nichts Geringeres als die Einführung der reduktionistischen Betrachtungsweise in die Wissenschaft. Sie waren dies, weil in ihnen die Logik und die mittels logischer Schlüsse mögliche Rückführung auf Axiome, eine so wichtige Rolle spielt.
      Im Wikipedia-Artikel zu Reduktionismus liest man:

      Reduktionismus ist die philosophische Lehre, nach der ein System durch seine Einzelbestandteile (‚Elemente‘) vollständig bestimmt wird. Dazu gehört die vollständige Zurückführbarkeit von Theorien auf Beobachtungssätze, von Begriffen auf Dinge und von gesetzmäßigen Zusammenhängen auf kausal-deterministische Ereignisse.

      Diese Umschreibung passt zu einem naturwissenschaftlich/physikalischen Reduktionismus, denn kausal-deterministische Ereignisse meinen etwas, was in der Welt der Dinge passiert. Euklids “Elemente” aber sind Abstraktionen, sie befassen sich mit gedachten “Dingen” mit mathematischen Objekten. Doch es zeigte sich später, dass die Logik nicht nur für die Beschreibung einer mathematischen Welt, sondern auch für die Beschreibung der physikalischen Welt eine wichtige Rolle spielt. Insoweit waren die “Elemente” eine Vorlage für die Wissenschaften überhaupt.

      • @ Herr Holzherr :

        Euklids “Elemente” aber sind Abstraktionen, sie befassen sich mit gedachten “Dingen” mit mathematischen Objekten.

        Euklid hat, wie auch andere seinerzeit, abstrakt gedacht und war sich dieser Abstraktion bewusst. Das Problem beim Reduktionismus ist dies hier: ‘gesetzmäßige[] Zusammenhänge[] auf kausal-deterministische Ereignisse’, insbesondere das Kausale und den oder einen Determinismus meinend, heutzutage mag man dies nicht so-o – und womöglich hat’s Euklid seinerzeit auch nicht so gemeint.

        Doch es zeigte sich später, dass die Logik nicht nur für die Beschreibung einer mathematischen Welt, sondern auch für die Beschreibung der physikalischen Welt eine wichtige Rolle spielt.

        Die Logik meint die sprachliche Kohärenz, Beschreibung darf gerne “logisch” sein, kohärent, bestimmte beobachtete Ereignisse in der Natur sind aber nicht, wie Dr. Spock gelegentlich gemeint hat, ‘logisch’, sondern bestenfalls ‘faszinierend’.

        MFG
        Dr. Webbaer

  13. Ein Punkt ist ein Kreisfläche mit einem im Grenzübergang zu Null verkleinerten Radius – also eine Idealisierung. Solche Idealisierungen sind nur im Rahmen von Modellen erlaubt, mit denen Strukturen beschrieben werden. Auf keinen Fall darf man sich solche Modellobjekte in die Wirklichkeit hineindenken, also so tun, als hätten sie irgendeine Realität im Alltag. Man darf also nicht sagen: ein Punkt ist da oder ist das – er ist es nicht, er ist nur gedacht, stellvertretend für einen kleinen Kreis auf dem Papier. Solche Modelle sind sehr beliebt und sehr häufig, weil sie alles Störende auslassen und das Wesentliche herausstellen, also das Grundlegende. Die Welt ist nämlich auch im Kleinen sehr kompliziert und ohne etwas wegzulassen kommt man nicht dazu, etwas Kleines als Baustein von etwas größerem zu erkennen.
    Grüße Fossilium

    • @fossilium: Ich habe weiter oben schon vorgeschlagen, dass ein Punkt ein unendlich kleines 3D-Objekt ist. L,Br,H mit einem Grenzwert gegen 0, aber größer 0. Solche Punkte kann man sowohl zu Linien, Flächen, wie auch Raumkörpern zusammensetzen *).
      @Zasada hat schon darauf hingewiesen, dass solche unendlich kleine Punkte wiederum unendlich teilbar sind.
      (Viele Probleme mit der mathematischen Logik entstehen, wenn man einen Punkt als nulldimensional betrachtet)

      ( *) außerdem kann man solche 3D-Punkte in eine Linie umwandeln, wenn L = x wird. Aus der Linie erhält man eine Fläche, wenn Br = y; und die Fläche wird zum Kubus, wenn H = z.
      Daraus ergibt sich für Freunde der Mathematik ein interessantes Phänomen: wenn x,y,z = unendlich; dann wäre ein unendlich großer Kubus – mathematisch gesehen – auch nur eine Ableitung vom Punkt.)

      • @ KRichard

        L,Br,H

        Sie machen einiges zu breit. L und H passt, aber warum zwei Buchstaben für Breite?

        Viele Probleme mit der mathematischen Logik entstehen, wenn man einen Punkt als nulldimensional betrachtet.

        Nicht ein logisches Problem entsteht. Null Dimensionen, null Probleme.

        solche unendlich kleine Punkte

        Wenn sie etwas unendlich klein werden lassen, warum lassen Sie es dann nicht gleich ganz verschwinden? Oder möchten Sie bei dem von @Karl Bednarik ins Spiel gebrachten Wert (1,616 mal 10 hoch minus 35 Meter) das unendlich kleine beginnen lassen? Was wäre denn, wenn sie etwas Verschwundenes, mit der Länge 0, unendlich oft aneinanderreihen würden?

        Bedenken Sie bitte auch, dass @Martin Holzherr nicht immer sauber zu Ende denkt. So etwa wenn er sagt,

        dass eine Linie nie ein Punkt sein kann, denn eine Linie besteht ja aus mindestens 2 Punkten

        Ich würde da beispielsweise bemängeln, dass er vergisst zu sagen, eine Linie aus nur 2 Punkten, die nicht zusammenfallen, lässt sich nur schwerlich konstruieren.

        Alles in allem ist mir ihr Denken zu eindimensional …. äh nein, dreidimensional. Das, was sie als Linie und Fläche bezeichnen, ist ja bereits dreidimensional, die Linie hätte eine Oberfläche und auch die Oberfläche der Fläche soll sich aus Dreidimensionalem Zusammensetzen? Hier scheinen mir logische Problem zu entstehen.

        dann wäre ein unendlich großer Kubus – mathematisch gesehen – auch nur eine Ableitung vom Punkt.

        Obwohl Sie das selbst bemängeln, und es als Ursache einiger der hier diskutierten Probleme erkannt haben, verwenden auch sie den Begriff ‘Punkt’ nicht immer nur in seiner mathematischen Bedeutung.

        Lassen wir dazu noch einmal dem Meister das Wort:

        Er entpuppte sich als mein ehemaliger Reisebegleiter, das mathematische Pünktchen.
        Durch eine gewandte Drehung in der Ebene hatte er’s dort bald zu einem umfangreichen Kreise gebracht, war darauf in den dreidimensionalen Raum ausgewandert, hatte sich hier durch ähnliche Umtriebe zur wohlbeleibten Kugel entwickelt und wollte sich nun mit Hilfe eines geeigneten Mediums materialisieren lassen, um dann später, ein Streber wie er war, als Globus an die Realschule zu gehn.
        (Eduards Traum, Wilhelm Busch)

        • @fossilium, @Joker:
          Der Unterschied zwischen einem unendlich kleinen dreidimensionalem und einem nicht vorhandenem nulldimensionalem Punkt ist einfach der – dass im ersten Fall etwas da ist und im zweiten Fall nichts. Das ist ein gewaltiger Unterschied.
          Wenn man eine Linie A-B in Punkte unterteilt, dann erhält man im ersten Fall einen realen Wert – im zweiten Fall erhält man kein Ergebnis da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist.
          Wir sollten hier in der Diskussion bekannte mathematische Regeln als Grundlage von Argumentation verwenden – und nicht irgendwelche Träume.

          Übrigens ist die Definition eines Punktes durchaus auch aktuell von Interesse: Wenn bereits ein Punkt dreidimensional sein muss – dann kann es keine eindimensionalen Strings geben. D.h. das Thema ´Stringtheorie´ muss neu diskutiert werden.

          • @ KRichard

            dass im ersten Fall etwas da ist und im zweiten Fall nichts

            Generell rate ich dazu, wenn Sie schon ‘unendlich’ verwenden, wie z.B. in “unendlich klein”, sich auch an die Null, bekanntlich der Zwilling der Unendlichkeit, und das Nichts zu gewöhnen, davon gibt es dann nämlich auch unendlich viel.

            Wenn man eine Linie A-B in Punkte unterteilt, dann erhält man im ersten Fall einen realen Wert

            Was meinen Sie mit “realen Wert”? Eine reelle Zahl, die die Anzahl der ‘Punkte’ auf der Linie angibt? Oder soll die Anzahl der ‘Punkte’, in die man die Strecke unterteilt, eine reelle Zahl liefern, wie groß die ‘Punkte’ sind?

            Was ginge verloren, ließe sich kein solcher Wert ermitteln? Muss es für alles eine Lösung geben, dazu noch im Realen? Träumen Sie von so einer Welt?

            im zweiten Fall erhält man kein Ergebnis da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist.

            Was ja auch erstaunlich gut mit der Theorie übereinstimmt, dass sich auf so einer Linie A – B unendlich viele Punkte tummeln.

            Hat in ihrer Anti-String-Theorie, die das Eindimensionale ausschließt, wenigstens das Zweidimensionale noch eine Heimat? Haben dort dreidimensionale Körper (Flächen, Linien, Punkte) eine Ober-Fläche?

          • @Joker
            Für eine sinnvolle Diskussion sollten zumindest bekannte mathematische Regeln akzeptiert werden: Eine Division durch 0 ist nicht definiert.
            Die Idee eines winzigkleinen dreidimensionalen Punktes als Grundlage von Linie, Fläche bzw. Raum ist genau so ein Denkmodell, wie die Ideen Euklids.
            Über Denkmodelle kann man nachdenken oder auch nicht – die Frage, ob dreidimensionale Körper eine Oberfläche haben, sollte damit beantwortbar sein.

          • @ KRichard

            Für eine sinnvolle Diskussion sollten zumindest bekannte mathematische Regeln akzeptiert werden

            Mach ich doch. Sie sind es, der die bekannte mathematische Regel nicht akzeptiert, dass ein Punkt keine Dimension hat.

            Über Denkmodelle kann man nachdenken

            Mach ich doch. Gerade grüble ich darüber, ob so ein unendlich klein werdender ‘Punkt’ immer gleichmäßig in allen drei Dimensionen konvergiert oder ob es eine Dimension geben kann, in der er das langsamer macht. Also, gibt es lange Punkte und breite Punkte; gibt es Höhepunkte?

            die Frage, ob dreidimensionale Körper eine Oberfläche haben, sollte damit beantwortbar sein.

            Unter der Annahme, jede Fläche sei dreidimensional und habe selbst wieder eine dreidimensionale Oberfläche, kommen wir zum infiniten Regress und zum Fraktalen. Wobei die fraktale Dimension ebenfalls drei sein muss, anderes gibt´s ja nicht. Korrekt?

          • @Joker
            Wir sollte die Diskussion beenden – das bringt nichts mehr.
            a) Für mich ist die Division durch 0 nicht definiert – daher kann man z.B. eine Linie auch nicht in nulldimensionale Abschnitte unterteilen. Und deshalb sind für mich Denkmodelle sinnlos, die von solch einer Annahme ausgehen.
            b) schauen Sie bei Wikipedia nach (Punkt(Geometrie) ) – dort sind in einem Teilgebiet der Mathematik sogar unendlich lange und unendlich dünne Punkte vorstellbar.
            c) ein dreidimensionaler Körper und dreidimensionale Flächen – sind völlig verschiedene Begriffe, wobei letzterer fragwürdig ist

          • Definition des Punktes: Ein geometrischer Punkt ist eine reine Koordinateninformation (eine Information über eine bestimmte Präsenz innerhalb eines gegebenen Koordinatensystems).

            Erklärung: Ein Punkt ist der geometrische Ausdruck für eine immaterielle Präsenz, welche dadurch, dass sie reine Koordinateninformation ist, unabhängig ist, von der Dimensionalität des jeweiligen Koordinatennetzes (diese Unabhängigkeit ist die Voraussetzung der universellen Gültigkeit der Konstruktion “Punkt” innerhalb eines beliebigen Dimensionsmodells: der Punkt nimmt jede Gestalt innerhalb beliebiger dimensionaler Umgebung an).
            D.h. Der Punkt besitzt entweder die Eigenschaften aller Dimensionen, oder er besitzt überhaupt keine.

            Begründung: Eine Koordinate ist als eine geometrisch kodierte Information zu betrachten. Ein Punkt könnte daher als ein Informationspaket betrachtet werden. Die Information gehört aber nicht dem Materiellen Teil der Wirklichkeit an.
            Die Linie ist eine Verbindung zwischen zwei Koordinaten-Informationen. Sie ist somit auch eine Information. Diesmal aber eine, in den Raum (zweidimensional) kodierte (Objekte wie Quadrat oder Kubus sind in den Raum drei oder vierdimensional kodiert).
            Eine Information bedingt die Entstehung einer anderen. Alles geschieht auf der immateriellen Ebene der Realität. Keine Rede von der Entstehung einer materiellen Konstruktion.
            Die materielle Ebene der Realität (ich nenne sie Wirklichkeit) entwickelt sich als Form aus und durch die jeweils in den Raum kodierte Information.

            Dimensionalität des Punktes

            Der Punkt spiegelt die Geometrie derjenigen Dimension wieder, in welcher er konstituierende Funktion erfüllt.
            Der Punkt müsste nämlich verschiedene Dimensionalitäten besitzen, um Linie, Fläche oder Körper zu bilden. Bezüglich des Punktes spricht fossilium vom Kreis, KRichard von einer dreidimensionalen Kugel…der Punkt ist offensichtlich beides, oder keins).

            Besäße der Punkt innerhalb des euklidischen Systems irgendwelche Eigenschaften, müsste Euklid begründen, welche genau und warum gerade diese.
            Wenn der Punkt beispielsweise eine dreidimensionale Ausdehnung besäße, müsste irgendein (auch ein irrationaler) Wert festgelegt und begründet werden. Euklid war wohl zu pragmatisch, um eine solche Beweisführung nicht von Anfang an als zum Scheitern verurteilt anzusehen. Er tat das richtige und konstruierte mit Erfolg.

            Fazit: Der Punkt als reine Information besitzt keine materielle Eigenschaft. Jeder Punkt ist selbstidentisch.

          • Korrektur:
            Statt “(Objekte wie Quadrat oder Kubus sind in den Raum drei oder vierdimensional kodiert).”

            (Objekte wie Quadrat oder Kubus sind in den Raum zwei- oder dreidimensional kodiert).

          • Die Statuierung der Chronogeometrie. Der Grund der Existenz der Zeit in der Programiersprache der Wirklichkeit.

            In der Zeit erfolgt allgemein die Kodierung der Bewegungsinformation.
            So wie der Punkt eine in den Koordinaten eines Koordinatensystems ausgedrückte und in den Raum n-dimensional kodierte Information ist, so ist die Bewegung des Punktes eine in den Raum (n+t)-dimensional kodierte Information.

            Um die Bewegung eines Punktes, innerhalb eines beliebigen Koordinatensystems eines beliebigen Dimensionsmodells, zu kodieren, ist die Angabe seiner chronogeometrischen Koordinateninformation erforderlich.

          • Chronogeometrie.
            Punkt. Zeit. Zusammenfassung.

            Fazit 1: Der Punkt als reine Information, besitzt keine räumlichen Eigenschaften. Ein Punkt ist daher innerhalb jeder Dimensionalität selbstidentisch.

            Fazit 2: Die (kodierte) Information ist der Grundbaustein der geometrisch strukturierten Realität. (s. Fazit 4)

            Fazit 3: Dimensionalität ist die Eigenschaft des Raumes. Der Raum besitzt die Eigenschaft 2-, 3- oder allgemein n-dimensional zu sein (wir bezeichnen beispielsweise die Fläche als einen 2-dimensionalen Raum und die 2-dimensionalen Figuren, wie Kreis oder Quadrat, als in den Raum 2-dimensional kodiert).

            Hiermit berichtigen wir nicht weniger als Sprache. Indem wir den Begriff “Raum” von dem 3-dimensionalen Raummodell logisch entkoppeln, erreichen wir erst eine begriffliche Klarheit (wir sprechen von 4- oder 11-dimensionalen Raum; den 2-dimensionalen Raum bezeichnen wir als “Fläche” und ordnen ihm Eigenschaften zu, die ihn von dem mehrdimensionalen “Raum” unterscheiden, was sinnlos ist. In Wirklichkeit besteht kein Unterschied zwischen Fläche und Raum – die 3. Dimension des Raumes entsteht auf eine gleiche, “wundersame” Weise aus der 2-dimensionalen Fläche, wie die 2. Dimension der Fläche aus dem 1-dimensionalen Punkt, mit dem Unterschied, dass die 3. Dimension aus der Aufeinanderreihung der 2-dimensionalen Flächen und nicht aus der Aufeinanderreihung der 1-dimensionalen Punkte konstruiert wird.

            Den Raum bezeichnen wir allgemein als eine n-dimensionale Ausdehnung. Die n-dimensionale Ausdehnung ist die Potenzialität der Existenz räumlicher, n-dimensionaler Körper und deren Bewegung. Oder noch universeller: Die n-dimensionale Ausdehnung ist die Zeit (s. Chronogeometrie II).

            Fazit 4: Es besteht offensichtlich eine Verbindung zwischen “Punkt” als einem fundamentalen Baustein des Raumes und “Gegenwart” als einem fundamentalen Baustein der Zeit: der Punkt besitzt nämlich keine räumlichen und die Gegenwart keine zeitlichen Eigenschaften. Betrachten wir den “Raum” und die “Zeit” als begriffliche Ausdrücke des Identischen, so sind wir berechtigt, den Punkt und die Gegenwart als identisch zu betrachten.
            Es besteht die Möglichkeit, nicht nur die Kontinuität, sondern die Identität von Raum und Zeit zu beweisen.

          • Chronogeometrie
            Punkt. Zeit. Zusammenfassung II (Definition der Zeit)

            Definition der Zeit: Die Zeit ist diejenige Ebene der Wirklichkeit, in der allgemein die Informationen über sämtliche Werte der Veränderung kodiert werden.

            Hieraus folgt die Veränderung der Perspektive (als Ergebnis eines in der Zeit erfolgenden Erkenntnisprozesses): Die Zeit betrachten wir ab jetzt nicht als eine Dimension, sondern als einen Parameter, der bei der Entstehung und Erhaltung der Veränderungsinformation notwendig ist. Der erste Schritt in Richtung einer Außenperspektive der Wirklichkeit ist getan, denn diese Information (denn die Möglichkeit der Entstehung dieser Information) ist somit außerhalb dieser Wirklichkeit denkbar. Zweiter Punkt: die Information scheint der Grundbaustein der Wirklichkeit zu sein…wir entdecken die Ebene der Verbindung dieser mit der materiellen Wirklichkeit.

          • Korrektur:
            >Die Zeit betrachten wir ab jetzt nicht als eine Dimension, sondern als einen Parameter, der bei der Entstehung und Erhaltung der Veränderungsinformation notwendig ist.< ist falsch.
            Richtig ist:
            Die Zeit betrachten wir ab jetzt nicht als eine Dimension, sondern als ein Parameter-Netz, der bei der Entstehung und Erhaltung der Veränderungsinformation notwendig ist.

        • @Joker / 27. Mai 2016 12:46

          »L,Br,H«

          Hast Du die Möglichkeit in Betracht gezogen, dass es sich bei dieser literarischen Miniatur um eine Manifestation höherdimensionaler Poesie handeln könnte? Denn:

          Im Visuellen soll dabei die experimentelle graphische Anordnung der Wörter, Buchstaben und/oder Sätze neue „Konstellationen“ und damit auch neue – makrotypographische – Bedeutungsdimensionen eröffnen.

          Quelle: Text als Bild, konkrete Poesie

        • “Ich würde da beispielsweise bemängeln, dass er vergisst zu sagen, eine Linie aus nur 2 Punkten, die nicht zusammenfallen, lässt sich nur schwerlich konstruieren.”

          ich denke, Euklid würde sagen, daß sich bei zwei gegebenen Punkten verschiedene Linien ziehen lassen (eine Gerade, verschiedene Kreisbögen).

      • @KRichard, Fossilium:
        “Ein Punkt ist ein Kreisfläche mit einem im Grenzübergang zu Null verkleinerten Radius – also eine Idealisierung.”

        Dann ist es kein Punkt mehr, sondern eine Kreisfläche oder ein Fleck. Warum kann man eine mathematische Abstraktion nicht eine Abstraktion sein lassen? Einen Punkt muss man nur lokalisieren, z.B. Schnittpunkt von zwei Geraden, die Enden von Geraden.

        Warum kommt man hier immer mit einem naiven Realitätsbegriff, vulgo “Wirklichkeit”? Wenn die Geistesgrößen hier mit dem Punkt fertig sind, können sie ja mit dem “Wort” weitermachen, ist es der Schall, der mein Ohr trifft, die Tinte auf dem Papier, die Pixel auf dem Bildschirm? Oder ein Begriff, aber haben Begriffe Dimensionen?

        • @Paul Stefan Ich habe den Eindruck, dass hier in den Kommentarspalten um den euklidischen Punktbegriff eine Art “Stellvertreterkrieg” im Universalienstreit geführt wird. Man kann diesen z. B. semantisch, ontologisch, epistemologisch betrachten dementsprechend wird aneinander vorbeigeredet. Ein echter Streitpunkt 😉

          • Universalienstreit

            Was denn sonst, außer diesem, allerdings, allerdings scheint dieser auch erneut angezettelt.

            BTW, ‘Begriffe’ haben ‘Dimensionen’, meinen Räume, theoretische, insgesamt, der Webbaer legt ohnehin viel Wert auf die Unterscheidung bspw. zwischen Uni- oder Multiversum (die physikalische Sicht), Realität (“Sachlichkeit”, die Konstruktionen erkennender Subjekte meinend), Wirklichkeit, also das was das erkennende Subjekt direkt betrifft, wirkt, Meister Eckhart sei an dieser Stelle gegrüßt, Welt, also, das was ist oder waltet (die philosophische Sicht, jedenfalls die der Konstruktivisten) – und dem, was es da sonst noch so gibt, es gibt hier auch religiös motivierte Konstruktmengen und hier ist sozusagen alles offen.

            MFG
            Dr. Webbaer

    • @ fossilium :

      Alles OK, bis auf:
      1.) Ein Punkt ist eine Koordinate oder eine Adresse in einem dafür vorgesehenen, abstrakt (“losgelöst”) entwickelten System der erkennenden Subjekte, die idR derartige Systeme nutzen, um die Welt, also, das was ist oder waltet, das Natursystem sozusagen, zu beschreiben.
      Also nicht notwendigerweise, auch Räume außerhalb der Natur werden gepflegt, wenn sich dbzgl. Nutzen anzubahnen scheint, als sogenannte theoretische Entitäten.
      Ein Punkt hat keine Größe.
      2.) Die Trennung zwischen Innen- und Außen- oder Naturwelt darf für die erkennenden Subjekte vielleicht ein wenig besser herausgearbeitet werden, vs. : ‘Die Welt ist nämlich auch im Kleinen sehr kompliziert und ohne etwas wegzulassen kommt man nicht dazu, etwas Kleines als Baustein von etwas größerem zu erkennen.’

      MFG + schönes WE noch,
      Dr. Webbaer

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