Tautologien und Schlussregeln

BLOG: Die Natur der Naturwissenschaft

Ansichten eines Physikers
Die Natur der Naturwissenschaft

In dem Exkurs über formale Sprachen im letzten Blogbeitrag haben wir schon die Zeichen und allgemeinere Ausdrücke der Aussagenlogik kennen gelernt. Wir haben gesehen, dass es dort spezielle Zeichenketten gibt, so genannte Tautologien, die stets, d.h. unabhängig von den Wahrheitswerten der einzelnen Zeichen, wahr sind. Wir hatten auch schon eine solche Tautologie vorgestellt, nämlich (A ∧ (A → B)) → B.

Hier soll nun gezeigt werden, wie sich mit Hilfe von Tautologien logisch korrekte Schlussregeln formulieren lassen. Fragen wir aber zunächst, welche einfachen Tautologien es noch gibt und wie man allgemein Tautologien und erzeugen kann. Interessant in diesem Zusammenhang sind dabei natürlich auch Zeichenketten, die immer falsch sind, denn aus deren Negation kann man auch eine Tautologie gewinnen.

Tautologien

Stellen wir erst einmal prominente Tautologien vor:

  • A ∨¬A ist in jedem Fall wahr,

denn entweder ist A wahr oder ¬A. Etwas Drittes gibt es nach unseren Voraussetzungen nicht. Man nennt diese Aussage den Satz vom ausgeschlossenen Dritten.

Andererseits ist A ∧ ¬A in jedem Fall falsch, denn die Aussage A und die Aussage ¬A können nicht gleichzeitig wahr sein. Es kann z.B. nicht sein, dass es zugleich regnet und nicht regnet. A und ¬A stehen im Widerspruch. Man nennt allgemein einen zusammengesetzten Ausdruck, der unabhängig von den Wahrheitswerten der Einzelaussagen falsch ist, einen Widerspruch. Damit gilt für die Negation

¬(A ∧ ¬A) ist in jedem Fall wahr.

Man nennt diese Aussage den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch.

Hier sollten wir auch die Tautologie aus dem letzten Blogbeitrag noch einmal aufführen.

(A ∧ (A → B)) → B ist in jedem Fall wahr.

Wie findet man nun weitere Tautologien, um auch weitere Schlussregeln, also logisch korrekte Sätze bilden zu können?

Man kann zeigen, dass die Aussagenlogik als ein axiomatisch-deduktives System betrachten kann. Als Axiome kann man z.B. alle Tautologien der Form (von Kutschera & Breitkopf, Alfred, 2007, p. 69)

 A → (B → A),

(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)),

(¬A → ¬B) → (B → A)

betrachten und als Schlussregel den Modus ponens, den wir ja schon in einem früheren Blogbeitrag erwähnt haben. Gleich werden wir diese Schlussregel wirklich einführen, indem wir sie aus einer Tautologie ableiten.

Alle logischen Ausdrücke, die man nun aus diesen Axiomen mit Hilfe des Modus ponens ableiten kann, sind wieder Tautologien. Damit kann man also beliebig viele Schlussregeln aufstellen. Nur wenige wird man brauchen.

Wir verstehen aber jetzt, warum Ludwig Wittgenstein (1889 bis 1951) sagt: Die Sätze der Logik sind Tautologien. Die Sätze der Logik sagen also nichts (Wittgenstein, 2006, pp. Nr. 6.1, 6.11).

Von Tautologien zu Schlussregeln

Schauen wir uns die Wahrheitstafel für die Tautologie (A ∧ (A → B)) → B noch einmal an:         

A B A B A ∧ ( A B) (A(A B))B
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1

Betrachten wir zunächst die erste Zeile, in der beide Prämissen A und A → B wahr sind. Aus der zweiten Spalte dieser ersten Zeile entnehmen wir dann, dass B wahr ist. Die Aussage B muss also notwendig wahr sein, wenn sowohl A wie A→B wahr ist.

Das ist nun ein Schluss, der sich durch Inspektion der Wahrheitstafel einer Tautologie ergibt. Elementarer kann ein Schluss nicht sein. Dies ist auch der Schluss, mit dem alle anderen Schlussregeln gewonnen werden können. Hier haben wir also den Ursprung des logischen Schließens vor uns, die „Mutter“ aller Schlussregeln.

Man schreibt, mit dem Zeichen „⊨“ für einen logischen Schluss:

A ∧ (A → B) ⊨ B,

aber auch oft in einer Form, in der die einzelnen Prämissen nur jeweils durch ein Komma getrennt sind:

A, (A → B) ⊨ B.

Das Symbol „⊨“ ist kein Zeichen der Aussagenlogik, sondern eine Abkürzung für die Formulierung „daraus folgt logisch“ in der Umgangssprache. Ansonsten müssten wir ja mit diesem Symbol rechnen können wie mit „∧“ oder „∨“. Es drückt nur die Beziehung zwischen den Aussagen A ∧ (A → B) und B in der Metasprache, unserer Umgangssprache, aus:  Im Falle, dass die Aussage A wahr ist und im Falle, dass aus A die Aussage B folgt, dann ist B wahr.

Man ist vielleicht zunächst verwirrt und fragt, wozu der ganze Aufwand.  Das wusste man doch längst. Es ist in der Tat trivial, und zwar im wahrsten Sinne des Wortes, denn das Wort „trivial“ wurde im Mittelalter auf Einsichten gemünzt, die man im Trivium, der untersten Stufe der Ausbildung in einer Klosterschule erlangen konnte. Dieses Trivium wiederum wurde schon in der Antike nach einem Platz genannt, zu dem drei Wege führen und an dem sich deshalb viele zusammenfinden können, die gleicher Meinung sind.

Hier ist aber nun in einer formalen Sprache ganz konkret realisiert, was Aristoteles schon definiert hat: „Ein Schluss ist also eine Rede, in der bei bestimmten Annahmen etwas anderes als das Vorausgesetzte auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt.“ (nach Schupp, I, S.267). Die Betonung liegt auf „Notwendigkeit“.

Dieser Schluss wird Modus ponens genannt. Er ist der prominenteste logische Schluss, war schon in der Antike bei den Philosophen der Stoa bekannt und Thema vieler Diskussionen im Mittelalter (siehe „Die Logik der Stoiker“).

Wir wollen noch untersuchen, was uns dieser Schluss sagt, wenn eine der Prämissen oder beide falsch sind. Auf jeden Fall ist dann die gesamte Prämisse falsch, weil ja die einzelnen Prämissen durch ein „∧“ verknüpft sind. Wir extrahieren dafür aus der obigen Tabelle die beiden relevanten Spalten aus und ordnen sie etwas anders an:

A (A B) B
1 1
0 0
0 1
0 0

Ist also die Gesamtprämisse falsch (2. bis 4. Zeile), kann B wahr, aber auch falsch sein, d.h. über den Wahrheitswert von B kann nichts ausgesagt werden. Aus einer falschen Prämisse kann man alles ableiten. Das ist zunächst überraschend, und in der Geschichte der Logik wurde das lange diskutiert. Aber wenn man sowohl B wie ¬B ableiten kann, dann ist die Schlussregel eben sinnlos.

Aus der Betrachtung des Modus ponens können wir lernen, wie man nun allgemein eine Schlussregel erzeugen kann: Aus jeder Tautologie, die sich in der Form

M → B schreiben lässt, kann man die Schlussregel

M ⊨ B

gewinnen, denn dann folgt aus der Wahrheitstafel für „→“ sofort, dass unter der Voraussetzung, dass M wahr ist, auch B wahr sein muss, denn diese Implikation M → B ist ja nach Annahme eine Tautologie und damit wahr.

Dies ist eine Aussage auf der Metaebene, nicht im Kalkül der syntaktischen Ebene. Wir wissen aber, dadurch dass M → B eine Tautologie ist, dürfen wir auf der syntaktischen Ebene von der Zeichenkette M zum Zeichen (zur Zeichenkette) B übergehen, ohne dass man dabei auf der semantischen Ebene den Bereich der wahren Aussagen verlässt. Wir schreiben das in der Form

M ⊢ B,

und nennen diese Operation auf der syntaktischen Ebene eine Ableitung. Das, was auf der semantischen Ebene also eine Folgerung ist, nennt sich auf der syntaktischen Ebene eine Ableitung.

Auf der syntaktischen Ebene dürfen wir also von der Zeichenkette M zum Zeichen bzw. zur Zeichenkette B übergehen, ohne dass man dabei auf der semantischen Ebene den Bereich der wahren Aussagen verlässt.

Man weiß aber nun, wie man auf der syntaktischen Ebene „rechnen“ darf, nämlich nach den Regeln für die Bildung von Zeichenketten und nach Schlussregeln, mit denen man bestimmte Zeichenketten in andere umformen darf, welche dann auch meistens kürzer sind. Solch ein System von Rechenregeln nennt man einen „Kalkül“.

Die Aussagenlogik hat also mit irgendeiner inhaltlichen Bedeutung der Aussagen nichts zu tun. Sie stellt gewissermaßen nur die Gleise bereit, auf denen Wahrheit von Aussagen sicher von Prämissen zur Konklusion transportiert werden kann. Falsche Aussagen führen auf solchen Gleisen in die Beliebigkeit. Ohne Wahrheit der Prämissen ist also „alles nichts“. Das wird uns noch beschäftigen.

Zwei Anmerkungen sind hier am Platze:

Sei

A: = „2 + 2 = 4“,

B ≔ „Freiburg liegt im Süden Deutschlands“. 

Die Aussagen A und B sind wahr, also auch die Implikation A → B, d.h. Wenn 2 + 2 = 4 ist, dann liegt Freiburg im Süden Deutschlands“. Der Ausdruck A → B ist also wohl geformt, aber sinnlos. Dann ist auch der logische Schluss 

A, A → B ⊨ B

sinnlos. Das muss nicht irritieren. Auch in unserer Umgangssprache können wir grammatisch korrekte Sätze bilden, die sinnlos sind: „Der Mond labert roten Anzug“. Die Gleise sind nicht verantwortlich für das, was darauf fährt. Sinnlos sind ohnehin inkorrekt gebildete Sätze bzw. nicht wohl formulierte Ausdrücke.

Oft hört man sagen: „Ist doch logisch, oder?“ und der Sprecher meint damit, dass ihm die Folgerung unmittelbar einleuchtet. Dieses Gefühl bezieht sich aber wohl nicht auf die Schlussregel, sondern auf die Implikation, die für dem Sprecher selbstverständlich wahr ist. Der Sprecher verwechselt also den logischen Schluss mit seiner Annahme, dass seine Prämisse wahr ist. Er müsste eigentlich sagen: „Ist doch eine plausible Annahme für den Modus ponens, oder?“. Man würde ihm ehrwürdiges Verständnis entgegenbringen.

Bedeutende Schlussregeln in Anwendungen

Der Modus ponens ist auch in verallgemeinerter Form wohl die prominenteste Schlussregel. Sie lautet:

(A1 ∨ A2 ∨ …   ∨ An A) ∧ (¬A ∨ B1 ∨ B2 ∨ …   ∨ Bm)

  ⊨ A1 ∨ A2 ∨ …  ∨ AnB1 ∨ B2 ∨ …   ∨ Bm.

Der fett gedruckte Anteil an der Prämisse stellt genau den einfachen Modus ponens. Dieser Term erscheint dann auch entsprechend als B1 in der Konklusion.

Hier geht man in der Prämisse von einer Zeichenkette in Normal- bzw. Standardform aus, in die man jede Zeichenkette durch ein systematisches Umformungsverfahren bringen kann. Ganz allgemein lautet diese Normalform:

(A1 ∨ A2 ∨ …   ∨ An) ∧ (B1 ∨ B2 ∨ …   ∨ Bm).

Solche Verfahren und Anwendungen von Schlussregeln wie des verallgemeinerten Modus ponens sind in so genannten Resolutionsalgorithmen implementiert. Die Länge der Zeichenkette kann dabei sukzessive verringert werden. Im Rahmen des Programms „Prolog“ z.B. kann solch ein Algorithmus auf einem Rechner abgearbeitet werden.

Eine besonders beliebte und schon in der Antike bekannte Schlussregel in der Mathematik ist der Beweis durch Widerspruch:

Will man beweisen, dass eine Aussage A eine andere Aussage B impliziert, dass A also eine hinreichende Bedingung für B ist, so nimmt man für den Beweis bekanntlich zunächst an, dass neben einer Prämisse A auch ¬B wahr ist. Wenn man dann daraus einen Widerspruch ableiten kann, kann ¬B nicht wahr sein. Also muss B wahr sein, denn ein Drittes gibt es nicht. Hier wird also gezeigt, dass die Negation einer Annahme auf einen Widerspruch reduziert werden kann. Man nannte diese Beweisform im Mittelalter deshalb auch „reductio ad adsurdum“.

Der Widerspruch kann sich z.B. darin zeigen, dass man aus A ∧ ¬B eine Aussage C, aber auch die Aussage ¬C ableiten kann. Um zu zeigen, dass diese Strategie auch als eine Schlussregel darstellbar ist, muss man nur die zugehörige Form M → B finden. Diese ist

((A ∧ ¬B) → C) ∧ ((A ∧ ¬B) → ¬C) → (A → B).

Dies ist in der Tat eine Tautologie und somit lautet die Schlussregel:

((A ∧ ¬B)  C) ∧ ((A ∧ ¬B) → ¬C) ⊨ (A → B).

In einer etwas anderen Form benutzt man den Beweis durch Widerspruch an, wenn man wissen will, ob eine Aussage B in einer Wissensbasis W enthalten ist und damit auch wahr ist. Man fragt also danach, ob

W ⊨ B

gilt. Das ist der Fall, wenn W → B, also ¬W ∨ B eine Tautologie ist. Da ¬W ∨ B sich in ¬(W ∧ ¬B) umformen lässt, müssen wir also danach fragen, ob ¬(W ∧ ¬B) eine Tautologie und damit W ∧ ¬B ein Widerspruch ist. Wir können also feststellen:

Eine Aussage B kann man also aus einer Wissensbasis W deduzieren, wenn

W ∧ ¬B

einen Widerspruch darstellt. Das ist auch plausibel: Wenn die Information von B in W enthalten ist, muss bei der Auswertung des Ausdrucks W ∧ ¬B der Widerspruch B ∧¬B irgendwie zum Tragen kommen.

Um nun zu zeigen, dass W ∧ ¬B zu einem Widerspruch führt, formt man den Ausdruck W ∧ ¬B im Rahmen des Kalküls auf die disjunktive Normalform um und reduziert dann den erhaltenden Ausdruck sukzessive mit Hilfe des verallgemeinerten Modus ponens, bis sich ein Ausdruck zeigt, der einen Widerspruch darstellt – oder auch nicht, je nachdem, ob die Aussage B in der Wissensbasis W enthalten ist oder nicht. 

Der Beweis der Pythagoreer, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist z.B. von dieser Form. Die Aussage B ist dann: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Die Aussage ¬B lautet: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Die Wissensbasis besteht aus den Regeln der Arithmetik für ganze Zahlen.

Auf dieser Basis von ¬B und mit dem Wissen von W zeigt man dann, dass man zu jeder Menge von endlich vielen Primzahlen immer eine neue Primzahl finden kann, also ¬B falsch ist, im Widerspruch zur Annahme W ∧ ¬B.  

Josef Honerkamp

Veröffentlicht von

Josef Honerkamp war mehr als 30 Jahre als Professor für Theoretische Physik tätig, zunächst an der Universität Bonn, dann viele Jahre an der Universität Freiburg. Er hat er auf den Gebieten Quantenfeldtheorie, Statistische Mechanik und Stochastische Dynamische Systeme gearbeitet und ist Autor mehrerer Lehr- und Sachbücher. Nach seiner Emeritierung im Jahre 2006 möchte er sich noch mehr dem interdisziplinären Gespräch widmen. Er interessiert sich insbesondere für das jeweilige Selbstverständnis einer Wissenschaft, für ihre Methoden sowie für ihre grundsätzlichen Ausgangspunkte und Fragestellungen und kann berichten, zu welchen Ansichten ein Physiker angesichts der Entwicklung seines Faches gelangt. Insgesamt versteht er sich heute als Physiker und "wirklich freier Schriftsteller".

37 Kommentare

  1. Mit diesem logischen Rüstzeug lässt sich gut diskutieren. Bekannt ist ja die Theodizee, bei der bewiesen wird, das es Gott nicht geben kann.
    Diese Theodizee bedient sich dabei einer logischen Schlußfolgerung , die sich modus tollens nennt, und die immer zu einem Widerspruch führt, also unabhängig davon, was als Objekt in die Beweiskette eingeführt wird. Man kann damit beweisen, dass der Dackel Theo, der gerade gebellt hat, gar nicht existiert.
    Das nur als spaßiger Abschluss.

  2. @bote19: Der modus tollens ist eine ganz normale Schlussfolgerung. Wie sollte denn der Beweis, dass Theo nicht existiert, obwohl er gerade gebellt hat, aussehen? Dazu muss man wohl Unfug mit den Klammern machen.

  3. @Robert a.k.a. bote19

    Bekannt ist ja die Theodizee, bei der bewiesen wird, das es Gott nicht geben kann.

    Das ist Quatsch. Ein Beweis im logischen Sinne ist mit der Theodizee gar nicht möglich, weil die Möglichkeit besteht, dass ein Gott existiert und das Übel der Welt will.

    @Josef Honerkamp
    Zur Info: bote19 ist mit verschiedenen Nicks seit Jahren als christlicher Missionar bei Scienceblogs und bei Scilogs unterwegs. Derzeit versucht er drüben bei Joseph Kuhn zu deponieren, dass sein Gott prinzipiell unbeweisbar sei, was ihm endlich die Freiheit einräumen würde, allen möglichen religiösen Kokolores zu behaupten, ohne dass er dafür je in der Belegpflicht stünde.

  4. Josef Honerkamp,
    Da steckt kein Klammertrick dahinter, das ist ganz normale Logik.
    die Beweiskette lief über 9 Folgerungen.
    Die Prämisse ist: 1, Gott existiert und ist gut
    Die Behauptungen : 2.. Gott ist allmächtig. 3.. Gott läßt Ungerechtigkeit zu
    Die Schlußfolgerung: Wenn Gott allmächtig ist und Ungerechtigkeit zulässt, dann kann er nicht gut sein.
    Das steht im Widerspruch zur Eingangsprämisse, also kann es Gott nicht geben.

    Die genaue Beweisführung habe ich in einem kleinen Büchchen gefunden, das ich erst wiederfinden muss. Geduld !
    Statt Gott kann man auch den Dackel Theo nehmen, der wieder andere Eigenschaften aufweist, die sich widersprechen.

  5. @bote19:

    Da steckt kein Klammertrick dahinter, das ist ganz normale Logik.

    Das ist gar kein logischer Beweis, nicht einmal ein Trick – nur eine wilde Zusammensetzung von Prämissen. Sie müssen schon etwas sorgfältiger den Text lesen.

  6. Josef Honerkamp,
    der modus tollens ist die Umkehrung des modus ponens
    Eine Beweiskette in der Form des modus tollens negiert die Eingangsprämisse A, wenn die erste Behauptung ein modus ponens ist und die zweite Behauptung B ,negiert ist.
    Überprüfen sie es !
    modus tollens : ( aus A folgt B ) und nicht B daraus folgt nicht A

    In dieser Schlussform ist die Theodizee konstruiert, die den Schluss hat, Gott existiert nicht.
    Das ist streng logisch, denn die formale Form dieses Schlusses ergibt ( nicht A)
    und zwar immer, auch wenn man keine Begriffe einsetzt.
    https://books.google.de/books?id=QI5sAgAAQBAJ&pg=PT27&lpg=PT27&dq=modus+tollens+theodizee&source=bl&ots=PxvucrdOE3&sig=ACfU3U3nLC6UuPsfRE6q7sRqB9QSPwQXCQ&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjMuYLyl8DhAhUM1xoKHcm7DrYQ6AEwBHoECAcQAQ#v=onepage&q=modus%20tollens%20theodizee&f=false

  7. Nachtrag Josef Honerkamp

    Modus ponens modus tollens

    A B ( A folgt B ) ( A folgt B) und (nicht B ) folgt (nicht A) hier ist mit A (A folgt B) gemeint.

    1 1 1 1 0 0
    1 0 0 0 1 1
    0 1 1 1 0 0
    0 0 1 1 1 0

    Ein Schlussverfahren das immer die Eingangsbehauptung negiert, kann man nicht als Beweis ansehen.

  8. bote19:

    modus tollens : ( aus A folgt B ) und nicht B daraus folgt nicht A

    Das ist richtig. Für einen logischen Schluss müssen die Prämissen aber wahr sein. Bei Ihnen sind sie aber nur für bestimmte Leute glaubwürdig. Das ist also höchstens nur ein dialektischer Schluss.
    Natürlich kann man alles so “beweisen”, wenn man nur die “richtigen” Annahmen macht. Das Mittelalter lässt grüßen.

  9. Josef Honerkamp,
    mir geht es darum, dass unsere Mitkommentatoren verstehen, was unter einer formalen Logik zu verstehen ist, ohne Bezug auf die Inhalte. Und was eine Logik leistet, die sich bei der Entscheidung wahr oder falsch auf die Inhalte bezieht.
    Das ist ein grundsätzlichr Unterschied.
    Im Nachbarblog bemühen sich unsere Freunde zu beweisen, dass es Gott nicht geben kann. Und das geschieht meistens in der Form, dass die Annahme von göttlichen Eigenschaften zu einem Widerspruch führt, der als Beweis der Nichtexistenz angenommen wird.
    Das ist aber nicht korrekt. Die Form des modus tollens hat keinen Bezug zu den Inhalten und deren Wahrheit.
    Und deswegen ist meine Meinung, dass es den Gottesbeweis auf logische Art nicht geben kann.
    Also genau das Gegenteil von Mittelalter, wo man ja die Existenz eines Gottes beweisen wollte.

    Für einen logischen Schluss müssen die Prämissen wahr sein. Wahr im formalen Sinn , oder wahr im inhaltlichen Sinn ?
    Das gilt es zu unterscheiden.
    Für wahr im formalen Sinn haben Sie recht, aus einer falschen Prämisse kann man alles folgern, sie hat keinen Aussagewert. Und darum geht es bei der Theodizee. Mit dem modus tollens wird die Eingangsprämisse negiert und damit falsch.
    Und damit wird die Theodizee als deduktiver Beweis entlarvt, der immer zur Negierung der Eingangsprämisse führt.
    Und jetzt Schluss, es gibt noch viele andere logische Gesetze zu entdecken.

  10. Etwas zur Auflockerung. Es gibt ja den Spruch “Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, ändert sich das Wetter oder bleibt wie es ist”.

    Die Ausssage A ist “der Hahn kräht auf dem Mist”
    Die Aussage B ist “ändert sich das Wetter oder bleibt wie es ist”.

    Diese Aussage ist dann Wahr wenn der Hahn kräht und falsch wenn er nicht kräht. Denn Die Aussage B ist ja immer wahr.
    Oder liege ich da falsch?

  11. Oft hört man sagen: „Ist doch logisch, oder?“ und der Sprecher meint damit, dass ihm die Folgerung unmittelbar einleuchtet.

    Captain oder Commander Spock hat es diesbezüglich immer wieder verhunzt.
    Commander Data war wohl in der Folge vorsichtiger.

    Und wer Ungerechtigkeit zulässt, kann bis muss gut sein?

    MFG
    Wb

  12. @Rudi Knoth: Schönes Problem, aber einfach:
    A≔ Der Hahn kräht auf dem Mist. B≔ das Wetter ändert sich. C≔ das Wetter bleibt, wie es ist.
    Der Spruch lautet formal: A → (B ∨ C) = A → (B ∨ ¬B) oder = ¬A ∨ (B ∨ ¬B).
    Da B ∨ ¬B eine Tautologie ist, ist diese Implikation immer wahr, ist selbst eine Tautologie. Es gilt sogar A ⊨ (B ∨ ¬B).
    Ist A falsch, so ist die Implikation immer wahr (siehe Wahrheitstafel). Folgern (⊨) lässt sich aus A dann nichts. Dieses „nichts“ könnte man auch durch eine Tautologie darstellen. Denn diese enthält keine Information.

  13. @Josef Honerkamp. April 2019 @ 11:41

    Ja stimmt. Ich habe mich in meinem Posting geirrt. Auch wenn der Hahn tot ist, gilt die Tautologie. Da habe ich wohl “und” mit “oder” verwechselt.

  14. Rudi Knoth
    Sie haben bei dem Hahn inhaltlich gedacht und argumentiert.
    Leichter geht es mit der Logiktabelle. Da sieht man, wie es Herr Honerkamp sehr ausführlich gezeigt hat, dass wenn
    A = falsch die Schlussfolgerung (aus A folgt B) immer richtig ist.
    Umgangssprachlich: “auch wenn der Hahn nicht kräht, ändert sich das Wetter oder nicht.”
    Fazit: Auf Bauernregeln ist Verlass!

  15. @bote19

    Ein Satz wie »Gott existiert« hat gar keine wahrheitsfunktionale Bedeutung, da er lediglich ein grammatisches, aber kein logisches Prädikat hat — zu existieren ist keine Eigenschaft. Es handelt sich hier um einen sinnfreien Scheinsatz, einen zwar formal korrekt gebildeten Deklarativsatz, jedoch ohne einen propositionalen Gehalt, der sich als wahr oder falsch interpretieren liesse. Daher ist die Aussagenlogik hierauf auch gar nicht anwendbar, und es kommt zwangsläufig nur unsinnige Rabulistik dabei heraus, wenn das jemand trotzdem versucht.

  16. Chrys
    das ist das, was ich allen Beweiswütigen versuche zu erklären.
    Vom Beweis zu unterscheiden ist die (Selbst)tErfahrung. Auf dieser Ebene kann ich behaupten, Gott existiert.

    Versuche dich mal an dieser Aufgabe.
    Frau Lütke sagt: “Wenn es morgen regnet, gehe ich entweder in den Zirkus oder in das Kino.
    Am nächsten Tag geht aber Frau Lütke sowohl in den Zirkus als auch in das Kino.
    Hat es jetzt geregnet oder nicht ?

  17. @bote19 10. April 2019 @ 11:47

    Nun ich wollte das Thema etwas auflockern. Mit der Wahrheitstabelle oder der algebraischen Beschreibung geht es auch. Leider muß ich erstmal LaTeX lernen, um das algebraisch zu beschreiben.

  18. @bote19 10. April 2019 @ 14:28

    Da XOR von A und B im Fall A und B wahr falsch ist, und wenn die Aussage wahr ist dann hat es nicht geregnet.

  19. Rudi Knoth,
    Sie haben gleich den schwereren Lösungsweg gewählt, den ich auch im Kopf hatte, als ich die Aufgabe stellte.
    Mir kam es darauf an, wie die Kommentatorfreunde die Aufgabe angehen.
    Aber ist dieser Schluss richtig? Ich lasse die Antwort mal offen.

    Vorab eine grundsätzliche Überlegung. Die Implikation von ( aus A folgt B ) ist nicht gleichwertig mit ihrem Umkehrschluss (aus B folgt A). Die Wahrheitstabellen liefern unterschiedliche Werte.
    Meine Frage, hat es geregnet oder nicht, erfordert einen Umkehrschluss.
    Kann ich also aus der vereinfachten Aussage, Frau Lütke ging in den Zirkus, schließen, dass es geregnet hat?
    Diese Antwort überlasse ich mal den Kommentatorenfreunden .

  20. @bote19:
    Schreiben Sie doch Ihren Text erst in Word und kopieren Sie ihn dann in das Kommentarfeld.
    In Word erhalten sie z.B. mit \vee und einem Blank ein ∨ und mit \wedge und ein Blank ein ∧. Unter Option-Dokumentprüfung-Autokorrektur-Optionen finden Sie die anderen Codewörter.

  21. @bote19 11. April 2019 @ 08:48

    Na gut, dann sehen wir mal weiter. Es geht also um die Frage, wenn bei einer hinreichenden Bedingung (aus A folgt B) die Folge falsch ist, man einen Schluss auf A machen kann. Nehmen wir denSatz “wenn es regnet, ist die Strasse nass”. Es ist damit der Regen die hinreichende Bedingung für die nasse Straße. Es ist wohl klar, daß bei einer trockenen Straße es nicht geregnet haben muss. Denn sonst wäre die Aussage falsch.

    Kann ich also aus der vereinfachten Aussage, Frau Lütke ging in den Zirkus, schließen, dass es geregnet hat?

    Nein, denn es muß die zweite Aussage des XOR geprüft werden. Wenn diese Prüfung nicht gemacht wird, dann kann man nicht schliessen, daß es geregnet hat.

  22. Josef Honerkamp,
    Danke für den Tipp. Ich probiere es mal mit html-tags. Dann ihre Lösung.
    Ich bin ja mal gespannt, zu welchem Schluss unsere Mitkommentatoren kommen.

    Rudi Knoth
    nochmal mit Logiksymbolen: aus A &rArr B folgt nicht aus B&rArr.
    Der Schluss , dass es beim Zirkusgehen regnet, ist naheliegend , aber nicht zwingend.
    Und wie Sie weiter logisch folgern , wenn Frau Lütke sowohl ins Theater geht als auch in den Zirkus , dann wäre das eine XOR Verknüpfung und die ist genau dann falsch, wenn beides zutrifft. Also hat es nicht geregnet.
    Für alle, die mit XOR nicht vertraut sind.
    A B AXORB
    1…….1……………..0
    1…….0……………..1
    0…….1……………. 1
    0…….0……………..0
    wem das spanisch vorkommt, hier eine andere Form für XOR
    A Xor B = ( (&not A&andB) &andor (A&and&notB))

  23. @bote19

    Wenn wir zur Bequemlichkeit ein XOR-Synbol gemäss
    \[
    \phi \nleftrightarrow \psi := (\phi \wedge \neg\psi) \vee (\psi \wedge \neg\phi)
    \]
    definieren. dann lautet die Behauptung von Herrn Knoth aussagenlogisch formal, dass
    \[
    K \wedge Z, R \rightarrow (K \nleftrightarrow Z) \models \neg R
    \]
    gilt, was wiederum gleichbedeutend damit ist, dass
    \[
    \models ((K \wedge Z) \wedge (R \rightarrow (K \nleftrightarrow Z))) \rightarrow \neg R
    \]
    gilt, womit diese Formel als eine Tautologie behauptet wird.

    Hat Herr Knoth recht? Das könnten Sie eigentlich jetzt selbst herausfinden, oder?

  24. Rudi Knoth,
    Sie haben Recht, wir müssen prüfen, bei welchen Fällen die XOR Verknüpfung eine wahre Aussage liefert und in welchen Fällen eine falsche.
    Um es kurz zu machen, die XOR Verknüpfung liefert eine wahre Aussage, wenn A falsch ist und B richtig oder wenn A richtig ist und B falsch. Sind sowohl A und B richtig, wie in unserem Beispiel, dann ist die Verknüpfung falsch, weil ja mit dem Exklusiv-Oder genau dieser Fall ausgeschlossen wird, dass beides zutrifft.
    Aber damit nicht genug, die XOR Verknüpfung ist auch dann falsch, wenn beide Behauptungen falsch sind. Also wenn Frau Lütke weder ins Kino geht, noch ins Theater. So gesehen würde es also nicht regnen im Umkehrschluss.

    Aber, der Pferdefuss kommt noch, wenn wir wieder unsere einfache Implikation verwenden
    mit B als Eingangsbehauptung , dass Frau Lütke sowohl ins Tehater geht als auch ins Kino. Und dieser Fall ist laut XOR falsch.
    Und wie wir vorher gelernt haben, Wenn die Eingangsbehauptung falsch ist, dann ist die Schlussfolgerung immer richtig,
    interpretiert formuliert: Aus einer falschen Eingangsbehauptung kann ich alles folgern, sie hat also keine Beweiskraft.

    “Was tun spricht Zeus, dieGötter sind besoffen “

  25. Habe Beitrag von Chris lesbar gemacht, da dieser zum Ziel führt:

    @bote19:
    Wenn wir zur Bequemlichkeit ein XOR-Symbol gemäss
    ϕ ⊕ ψ: = (ϕ ∧ ¬ψ) ∨ (ψ ∧ ¬ϕ)
    definieren. dann lautet die Behauptung von Herrn Knoth aussagenlogisch formal, dass
    K ∧ Z, R → (K ⊕ Z) ⊨ ¬R
    gilt, was wiederum gleichbedeutend damit ist, dass
    ⊨ ((K ∧ Z) ∧ (R → (K ⊕ Z))) → ¬R
    gilt, womit diese Formel als eine Tautologie behauptet wird.
    Hat Herr Knoth recht? Das könnten Sie eigentlich jetzt selbst herausfinden, oder?

  26. Josef Honerkamp
    Danke für die Übersetzung. Meinen Fehler habe ich auch gefunden, man muss nur an den Ausdruck &rArr ein Semikolon anhängen und schon wird &rArr:daraus.

    Chris, die Einführung der XOR Verknüpfung diente nur dazu, vom Kern der Logik abzulenken.
    Die Frage nach dem Wetter entspricht einer Kontraposition.
    Aus der Behauptung A B folgt nicht B A
    Damit ist bewiesen, dass man aus dem Kinobesuch nicht auf das Wetter schließen kann.

    Um jetzt auf Ihre Beweisführung bzw. die von Rudi Knoth ,sprechen zu kommen, liegt der Widerspruch in der zweiten Annahme , dass es regnet, um dann zu sehen, dass es nicht regnet.
    Dazu passt ja wunderbar diese Schlussfolgerung:

    aus ¬A A
    Die Wertetabelle dazu
    A A ¬A A
    w……f…………………..w
    f…….w………………….f
    Übersetzt heißt das, wenn ich klug bin, dann bin ich es nicht. Widerspruch ?

    Korrektur:
    Die Übersetzung lautet: Wenn ich nicht klug bin, bin ich klug.

  27. @bote19:
    Ihre Rede ist dunkel. Kann es sein, dass Sie eine Implikation mit einer Schlussfolgerung verwechseln?

  28. Josef Honerkamp
    Zum Schluss ein geistreicher Witz.
    “Ist Kinderlosigkeit erblich ?
    das als Antwort zu Wittgensteins Meinung.

  29. @bote19 12. April 2019 @ 19:12

    Da sehe ich eine Differenz zu Ihnen. Beispiel Regen und nasser Straße. Man kann zwar aus dem Regen eine nasse Strasse folgern, aber nicht unbedingt aus der nassen Strasse den Regen. Aber man kann aus der trockenen Strasse folgern, daß es nicht regnet. Das sagt schon die Wahrheitstabelle. Wie ist es denn, wenn man von A auf A schliesst? Dann hat man nicht nur die eine Richtung sonder auch dem volle Umkehrschluss (Äquivalenz). Wenn eine Bedingung notwendig und hinreichend ist, dann kann man aus B immer auf A schliessen.

  30. Rudi Knoth
    Der Umkehrschluss von A BC ist schon als ¬BA definiert. Er ist auch eine Tautologie. Anmerkung: Bei Ihrer Denkweise würde auch der Nichtbesuch von Kino oder Zirkus darauf schließen lassen, dass es nicht regnet. Die Tautologie liefert eine notwendige Bedingung, aber sie ist nicht hinreichend , weil es zwei Fälle gibt, bei der die XOR Verknüpfung ein falsch liefert.

    Ein drittes Problem ergibt sich beim Einsetzen von Inhalten, wie Sie das tun. Da zeigt es sich, dass man ein passendes sprachliches Beispiel erst finden muss, das auch sprachlich gebräuchlich ist.
    Ich hatte oben das Beispiel angeführt. “Wenn es heute nicht regnet, dann regnet es.” Das erscheint uns unlogisch.
    R ¬R ………… ¬R ⇒R
    w f……………..w
    f .w……… …….f
    Die Aussage ist richtig, wenn ich davon ausgehe, dass es nicht regnet. Erkennen sie die Regel, aus etwas Falschem kann ich alles folgern ?
    Wenn ich aber einsetze: ” Wenn Rudi Knoth nicht ein dufter Typ ist, dann ist er es”. Mit der Aussage können sie sich doch anfreunden ?

  31. @bote19 / 15. April 2019 @ 09:20

    »Erkennen sie die Regel, aus etwas Falschem kann ich alles folgern ?«

    Wie Herr Honerkamp schon bemerkt hatte, Sie verwechseln offensichtlich die (materiale) Implikation, die objektsprachlich durch den Junktor `\(\to\)’ symbolisiert wird, mit einer logischen Folgerung, die metasprachlich durch die Relation `\(\models\)’ bezeichnet wird.

    Lesen Sie doch nochmals den obigen Blogtext, um den Unterschied zwischen Implikation und Schlussfolgerung zu erkennen, und welche Beziehung zwischen diesen Begriffen besteht.

    Nur aus wahren Prämissen lässt sich etwas schlussfolgern. Und eine Implikation wie \(A \to \neg A\) ist keine Schlussfolgerung.

    N.B. Noch zur HTML-Codierung von Unicode-Symbolen:
    `→’ wird dargestellt als `→’
    `⊨’ wird dargestellt als `⊨’

  32. Chrys
    ohne jetzt hier ein Logikkompendium durchzuführen, die Unterscheidung zwischen Implikation und logischer Folgerung ist der Systematik wegen richtig, ändert aber nichts an der Konklusion. Ich habe diese Unterscheidung nicht getroffen und auch nicht die korrekten Logiksymbole verwendet.
    Um weitere Missverständnisse auszuräumen richte ich mich nach der Definition bei Wikipedia.
    https://de./wikipedia.org/wiki/Schlußfolgerung

    Danach ist die Schlußfolgerung von Rudi Knoth eine Abduktion, weil die Ursache ( Wetterbedingung) untersucht wird.
    Bei der Abduktion können sich mehrere Möglichkeiten ergeben, also nicht zwingend sein , wie bei der Deduktion.
    Anmerkung: Bei der Abduktion kommt es auf die tatsächliche Wahrheit der Prämissen nicht an.

  33. @bote19

    “Bei der Abduktion kommt es auf die tatsächliche Wahrheit der Prämissen nicht an.”

    Alle deine Kommentare, inkl. des letzten, beruhen auf Abduktionen.

    Du darfst raten, ob das eine Tautologie ist oder eine Schlussfolgerung. Für die Wahrheit spielt das keine Rolle.

  34. Joker
    deduktiv sein kann jeder, abduktiv erfordert Überzeugungskraft. Mit deiner Einwilligung werde ich mich jetzt “Abduktor ” nennen.

  35. @bote19

    Über Abduktives Schlussfolgern können wir u.a. noch folgendes lernen:

    Abduktive Schlüsse beziehen ihre Gültigkeit […] nicht aus der formalen Logik ihres Zustandekommens, sondern aus der empirischen Überprüfung der durch sie generierten Regeln.


    Und ich schätze mal, Abduction ist nicht der Film, der hier vorgeführt wird…

  36. Chrys,
    sag das auch joker! Du hast vollkommen Recht. Man muss strikt trennen zwischen formaler Logik mit ihren Wahrheitstabellen und sprachlicher Logik, gemeint ist die sprachliche Syntax.
    Im Falle mit dem Kinobesuch und dem Regen wäre die Regel der übliche Sprachgebrauch.
    Dazu kommt noch die Unterscheidung zwischen dem was man sagt, und was man meint.
    Wer nicht verheiratet ist , der bleibt in dieser Beziehung ziemlich naiv.

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