Alan Turing zum 1100100sten
BLOG: Graue Substanz
Beitrag zum „Turing-Jahr 2012“.
Zu Ehren des hundertsten Geburtstages eines genialen Mathematikers wird nächste Woche in Oxford, am Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, ein Workshop veranstaltet. Sein Name ist Alan Turing und der Name hat den Menschen überlebt: Turingmaschine, Turing-Test, Turing-Mechanismus und die Turing-Bombe. (Letzteres ist unter diesem Namen weniger bekannt, was dahinter steckt dafür umso besser: die Entzifferung der deutschen Funksprüche im zweiten Weltkrieg, die mit der Enigma verschlüsselten wurden; Turing knackte den Kode. Es gab Historiker, die seine Mathematik für kriegsentscheidend hielten.)
Nun also ein Workshop von sicher zahlreichen weltweit. Ich bin eingeladen. Er trägt den Titel „Pattern Formation: The inspiration of Alan Turing“. Turing war nicht nur in der Computertechnologie Vorreiter, auch die theoretische Biologie, insbesondere die Morphogenese, die Entstehung der Form, verdankt ihm einen fundamentalen Impuls: den Turing-Mechanismus. Dieser Mechanismus hat auch mit der Entstehung der Migräneaura zu tun – zumindest ist das meine Vorhersage. Auch Oliver Sacks hat in seinem Buch über Migräne diesen möglichen Zusammenhang schon 1992 erkannt. Damals fing ich gerade an, mich mit dem Problem zu beschäftigen. Und viele andere zweifellos schon vorher. Allerdings habe ich erst jetzt den Zusammenhang formalisiert, so dass er nun konkret überprüfbar wird.
Ich bereite gerade meinen Vortrag vor und stelle daraus hier im Blog ein Video vor. Es visualisiert eine für mich sehr bedeutende Entdeckung, die ich in den letzten Monanten gemeinsam mit einer Doktorandin, Frederike Kneer, gemacht habe.
In einem vorangegangenen Beitrag „Das Gehirn ist ein Torus“ habe ich schon kurz den Forschungsansatz erklärt. Ausschnitte der gewundenen Großhirnrinde können idealisiert durch Formen verschiedener Teilflächen eines Torus (Schwimmreifen) betrachtet werden. Daraus leiteten wir dann Aussagen ab, die auch verallgemeinert für real geformte Hirnrinden gelten sollten und die über die Keimbildung pathologischer Erregungszustände bei Migräne etwas vorhersagen. Hier kommt Turing ins Spiel.
Turing hat sich in seinen letzten Jahren, bevor er aufgrund seiner Homosexualität in den Tod getrieben wurde, mit Reaktions-Diffusions-Systemen und der spontanen (ohne Keim!) Strukturbildung beschäftigt. Sein Turing-Mechanismus muss heute noch für Fellzeichnungen im halben Tieralphabet, vom Leoparden bis zum Zebra, herhalten. Und wohl jeder Fisch, der nicht tief genug schwimmt und mindestens einem Fleck hat, dient als Beispiel, jedoch ohne dass dies je nachgewiesen werden konnte. Trotzdem ist der Turing-Mechanismus von fundamentaler Bedeutung im Verständnis der Morphogenese.
Vorsicht aber bei den Beispielen. Auch meine Vermutung muss erst mal nachgewiesen werden, obwohl wir in einer Fallstudie 2009 mit der funktionellen Kernspintomographie sehr gute Indizien fanden [1], die ich in meiner Dissertation 2001 vorhersagte und die nun die weiteren theoretischen Arbeiten anstießen. Das zeigt aber auch den Zeitrahmen, in dem Fortschritt gemacht wird.
Der Keim in der Krümmung erstickt
Der Turing-Mechanismus spielt auch ein Rolle in der Entstehung einzelner lokalisierter Muster. Bumbs oder manchmal auch als Quasiteilchen und dissipatives Soliton bezeichnet. Das hängt etwas von der wissenschaftlichen Community ab, in der man gerade forscht. Der Mechanismus ist universell.
Wir fanden nun heraus, dass die bisher als rein instabil betrachteten Keime in Zwei-Komponenten-Reaktions-Diffusions-Systemen allein durch die Krümmung des Medium stabilisiert werden können. Ein fundamental neuer Mechanismus für lokalisierte Musterbildung, wie sie schon Turing interessierte. Turing fand aber nur periodische Muster in solchen Zwei-Komponenten-Systemen, was damit zusammenhängt, das Turing-Muster spontan einstehen, ohne Keimbildung. Die Wirkung unseres Mechanismus ist hier erstmals in dem Video gezeigt und er wird nächste Woche auf dem Workshop international präsentiert.
Was genau sie hier sehen, kann ich jetzt nicht erklären, aber soviel: wäre das Medium, in der diese rote Welle läuft, flach wie ein Brett und nicht gebogen wie der Torus (oder das Gehirn), dann würde sie gar nicht laufen sondern sogleich zerfallen oder sich einspiralen und ewig anwachsen, also nicht lokalisiert bleiben.
Literatur
[1] Dahlem MA, Hadjikhani N (2009) Migraine Aura: Retracting Particle-Like Waves in Weakly Susceptible Cortex. PLoS ONE 4(4): e5007. doi:10.1371/journal.pone.0005007
© 2012, Markus A. Dahlem
Torus?
Moin Markus,
entschuldigung, ich bin zu blöde. Ich verstehe das Torus-Modell (trotz der Lektüre von “Das Gehirn ist ein Torus”) nicht.
Dass man die einzelnen Gyri und Sulci des Cortex als “Anschnitte” oder “Teilflächen” von Tori auffassen kann – das verstehe ich noch. Aber insgesamt, topologisch gesehen, hat der Cortex doch Ränder, Kanten, wo er einfach endet (“Limbus corticis”, daher auch “limbisches System”, das liegt nämlich da..). Der Cortex ist also eine Fläche mit Rändern und kein Ring.
?
Alan Turing
Auch eine schöne Ausstellung zu Alan Turing gibt es in Paderborn:
http://www.hnf.de/Sonderausstellung/Foyerausstellungen/Turing/Turing.asp
A.T. bei Nature
http://www.nature.com/news/specials/turing/index.html
auch mit Hirn 🙂
quasi unendlich
Schneide mal den Torus auf einer Seite auf und drehe eine Hälfte zur Seite. Jetzt hast Du ein “S”-förmiges Rohr, keinen periodisch geschlossenen Torus mehr.
Nun schneide das rohrförmige S am Äquator auf (der Äquator soll wie beim auch einen Bagel (Torus) so liegen, wie man diesen eben aufschneidet um ihn mit cream cheese zu beschmieren). Du hast immer noch ein S. Dieses U-Schnitt-S-förmige Gebilde ist schon so wie die Hirnrinde. Man kann nun noch seitlich Wellenblech-artig solche Gebilde aneinanderreihen. Jeder Abschnitt ist ein Torus-Ausschnitt.
Das alles versteht Du sicher, sei es wg Gehirn oder Auspuff.
Worauf wir bei den Rechnungen aber achten müssen — und hier ist sicher Dein Problem –, ist dass die Welle keinesfalls merken darf, dass sie in ihren eigenen Rücken läuft. Also etwas von ihrer Refraktärphase mitbekommt. Deswegen laufen die Rechnungen auf Tori, die wie mehrzahlige Spins eines Teilchens sich erst nach mehrmaligen Umdrehungen wirklich periodisch schließen, aber die eine Krümmung haben, wie normale Torie. Damit tricksen wir den Effekt der Refraktärphase aus und es ist nicht periodisch sondern eigentlich quasi unendlich lang.
@ Dahlem – quasi unendlich
Danke für die Replik.
Absatz 1-3 – problemlos kapiert. Ich würde trotzdem darauf beharren, dass der Cortex kein Torus IST, sondern sich mit Anschnitten/topologischen Transformationen von Tori beschreiben lässt.
Letzter Absatz – so halb verstanden – vielleicht. Kann ich es so sagen: die Welle überstreicht – in Abhängigkeit von Krümmung etc – bei einem Umlauf nicht alle Punkte auf dem Torus, sie muss ein paarmal “drüberwischen”, bis sie alles abgedeckt hat?
Wenn das so ist, dann wird’s aber wild. Denn wenn die Topographie – die Krümmungen, die ganze lokale Fältelei (die von Ort zu Ort ja SEHR verschieden ist, man denke an den Unterschied der feinen Foliae cerebelli zu den groben Gyri cerebri, den Unterschied zwischen dem grobgeknoteten Windungen des Isocortex und dem (f)eingerollten Hippocampus, den extrem tiefen Sulci des Occipitallappens und den flachen des temporalen..) – wenn man all dies sich vor Augen führt, und dann noch annimmt, dass ja nicht nur die “Migränewellen”, sondern auch die ganz normale neuronale Aktivität von diesen TOPOLOGISCHEN Faktoren beeinflusst werden könnte — dann greift doach das gängige Konzept der “corticalen Kolumnen”, das auf diese Dinge gar keine Rücksicht nimmt, viel zu kurz.
Oder?
Übergegänge sind was neues
@Helmut:
“ … trotzdem darauf beharren, dass der Cortex kein Torus IST, sondern …“
Stimmt. Aber wenn ich so manche Gedankengänge (auch meine eigenen) von außen betrachte, sei mir diese Metapher vielleicht doch erlaubt.
Ich meine aber “nur”, dass wir von der Torusgeometrie etwas lernen und ableiten können.
“ …bei einem Umlauf nicht alle Punkte auf dem Torus, sie muss ein paarmal ‘drüberwischen’, bis sie alles abgedeckt hat?“
Ja, wann immer sie an einen Ort kommt, an dem sie schon mal zuvor war, haben wir sichergestellt, dass dieses zuvor Dagewesen-sein sehr sehr lange her ist, so dass keine Effekte zu erwarten sind.
Zu Deinem letzten Teil muss ich erstmal gründlicher lesen (habe jetzt wenig Zeit), aber grundsätzlich ist die Krümmungssituation schon individuell anders und gerade die Übergänge zwischen verschiedenen Torusflächen bringen nochmal neue Situationen.
Daran arbeiten wir!
ich verstehe nur Bahnhof
Aber dumm fragen kostet ja nichts:
Die thorusartige Geometrie der Hirnrinde könnte bewirken, dass sich (Schmerz-) Signale unter ungünstigen Bedingungen dort länger aufhalten (fortpflanzen) als es ‘angemessen’ wäre?
Schmerz
Ne, aber die Schmerzrezeptoren liegen nur in der Dura, die aber nicht wie die Pia mater die Innenwindungen mitmacht. Daran forschen wir auch …
@Helmut: es sind zwar nicht die topologischen sondern die metrischen Eigenschaften, die Abstandsmaße, die in der Tat immer übersehen werden, aber Du hast genau recht!
Auf dies, die Metrik, muss man ab bestimmten Größenordnungen Rücksicht nehmen. Ich hatte dazu mal ein langatmiges Paper, das leider die Gutachter zerrissen haben. Das muss ich nochmal aufarbeiten.
Die Quintessenz war folgendes: nimm z.B. die Sehrinde, den Sulcus calcarinus. Er ist gekrümmt. Und das macht Sinn, retinotopisch! Retinometrisch, also.
Der Fundus des Sulcus calcarinus erfüllt die gleiche Funktion wie der visual streak, die erhöhte Rezeptordichte in der Netzhaut. Habe ich mal mit Leo Peichl diskutiert. Da geht gar keine Weg daran vorbei. Ist letztlich Mathematik. Schreib ich bestimmt mal drüber.
Topologien
Mal ‘ne Frage. Die Ausbreitung der Anregung wird durch eine partielle Dgl. beschrieben, und die Topologie des Raumes beeinflusst die Lösungstypen. Verglichen mit der Mikrostuktur der Hirnrinde ist dieser Raum sehr grob, die Dgl. gilt für Mittelwerte. Wenn man dagegegen einzelne Neuronen beschreiben will, kann man natürlich einen Konfigurationsraum anschreiben, aber die Einbettung in einen R^n ist sehr künstlich. Die Krümmung und die Topologie des Grundraums ( Hirnrinde) steckt dann in den Längen der Verzögerungsleitungen zwischen den Zellen. Wenn sich Synapsenstärken verändern, ändert sich effektiv auch die Topologie.Gibt es eine Möglichkeit, den Übergang zwischen diesen Beschreibungen tatsächlich durchzuführen? So etwas wie die statistische Mechanik, nur mit einem Medium, dass Information besser speichern kann als die Teilchen in einem Gas?
Kontinuum-Limit und Diffusion
Die partielle Differentialgleichung ist eine parabolische, weil wir ja allein Diffusion betrachten.
Synapsen und diskrete corticale Netzwerke, also einzelne Neurone mit langweitreichigen Kopplungen (die im Kontinuum-Limit im Rahmen einer neuronale Feldtheorie beschrieben werden) betrachten wir (erstmal) nicht.
Daher ist die Lage eigentlich recht einfach. Das Kontinuum-Limit und die rein diffusive Behandlung scheinen angebracht bei Strukturbildung im Bereich mehrere Zentimeter und Geschwindigkeiten von Millimetern pro Minute.
Wie dick ist der Rahm auf der Milch?
Markus, Hänsel hat eine Frage. Im Video sieht es so aus, als laufe die Welle auf der Oberfläche des Torus’. Wie sieht es mit der (einer) Metrik in der (orthogonalen) Umgebung dieser Oberfläche aus? – Kann man die Dicke vernachlässigen? (Kein Witz auf Kosten der der freundlichen Fachverkäuferin im Wurstladen, s.o.)
Dicke Rinde
Die Sehrinde ist ca. 2mm Dick und so groß wie eine halbe Kreditkarte, um mal Daten einer Struktur, die mich interessiert, zu nennen.
Sind 2mm vernachlässigbar? Nun, die SD läuft sowieso besser in den 3 oberen Schichten der Rinde, im Neurophil; der Grund dafür ist ein eigener Blogbeitrag wert. Die Netzhaut ist nur 0.3 Millimeter dicke und auch da läuft die SD wie im Cortex.
Die BZ-Reaktion würde vielleicht langsam Effekte machen, wenn sie 2mm in der Petrieschale einnimmt, oder? Spätestens bei 5mm .
Würde die Rinde immer Dicker und das wird sie auch, im Frontalcortex haben wir schon fünf Millimeter, dann ist irgendwann der Cortex aber auch nicht mehr krumm, sondern einfach 3D.
Ich glaube wir können die Dicke erstmal vernachlässigen. Wir hatten gerade letzte Woche mit acht Leuten das zwei Stunden lang diskutiert. Hin und her. Ist also keine einfache Frage.
Morgen kommt ein Nachtrag.
“Die Sehrinde ist ca. 2mm Dick und so groß wie eine halbe Kreditkarte, um mal Daten einer Struktur, die mich interessiert, zu nennen.”
Eins vielleicht noch: 2mm Dicke können viel oder wenig sein. Wie ist das Verhältnis dieser 2mm bezogen auf die Topologie des zugrundegelegten Torus’?
“Erstmal vernachlässigen” heißt aber wohl, daß es wissenschaftlich vertretbar ist, einen Kredit darauf aufzunehmen, daß dies keine Rolle spiele; obwohl Du andererseits gerade mittels des Torus bestimmte Linearitäten zu überlisten trachtest.
Maßgebend
Wir müssen die Dicke in Bezug auf die Welle betrachten. Aber wie breit ist spreading depression?
Der Ionenzusammenbruch dauert ca. 20 Sekunden; multipliziert mit 50μm/s ist das also ein Millimeter breit und vielleicht einige Zentimeter lang. Nimmt man die absolute Refraktärphase von 2.5 Minuten, ist die schon 7.5 Millimeter breit, und die relative Refraktärphase von bis zu 20 Minuten macht sie 6cm breit. Da ist es nicht leicht, den Vergleich zu einem ansich dimensionslosen Model zu machen, aber der Wert der absolute Refraktärphase ist wohl maßgebend.
Nun sind 7.5 Millimeter verglichen mit 2 Millimeter kein Unterschied. Aber in der Länge eben doch um eine Größenordnung.
Der Torus ist also einige Zentimeter lang, aber sein Krümmungsradius ist nur etwas 2-3 Millimetter (Die Hirnrinde ist ja eng gekrümmt).
Mehr dazu hier: “Warum ist die Großhirnrinde krumm?“
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