Quantenmechanik ist die Physik der kleinen Dinge. Wenn Strukturen in der Größenordnung von Atomen eine Rolle spielen, müssen quantenmechanische Gesetzmäßigkeiten bedacht werden. Wenn Computerchips immer kompakter werden ist abzusehen, dass eines Tages die Grenze zur Quantenmechanik erreicht wird. Streng genommen funktioniert ohnehin kein Computer ohne Quanteneffekte. Aber das macht einen Computer nicht zum Quantencomputer.

Quantencomputer sind Computer, deren kleinste Informationseinheiten aus einem quantenmechanischen Bit, einem Q-Bit bestehen. Wie das klassische Bit kann das Q-Bit einen von zwei Zuständen einnehmen. Diese tragen die Namen 0 und 1. In quantenmechanischer Schreibweise heißen sie \(\left|0\right>\) und \(\left|1\right>\). Das Q-Bit kann aber noch mehr: Es kann zusätzlich jeden beliebigen Überlagerungszustand von \(\left|0\right>\) und \(\left|1\right>\) annehmen. Das sind Zustände wie \(a\cdot\left|0\right>+b\cdot\left|1\right>\), wobei \(a\) und \(b\) komplexe Zahlen sind, für die die Einschränkung \(a^2+b^2=1\) gilt1.

Analogcomputer

Die beiden Zahlen \(a^2\) und \(b^2\) sind Wahrscheinlichkeiten, mit denen beim Abfragen des Q-Bits entweder \(\left|0\right>\) oder \(\left|1\right>\) herauskommt. Hierin ähnelt ein Quantencomputer ein bisschen einem analogen Computer: Analogcomputer verwenden keine Zahlen 0 oder 1 sondern kontinuierliche Werte von 0 bis 1. Damit ist \(\frac{3}{4}\) oder 0,75 ein möglicher Wert eines Bits in einem Analogcomputer.

Bei einem Quantencomputer mit \(a=\sqrt{\frac{1}{4}}\) und \(b=\sqrt{\frac{3}{4}}\) ergibt die Messung des Q-Bits in \(\frac{1}{4}\) der Fälle das Ergebnis \(\left|0\right>\) und in \(\frac{3}{4}\) der Fälle \(\left|1\right>\). Im Unterschied zum Analogrechner kommt also nie etwas vergleichbares zu 0,75 heraus. Ein Quantencomputer ist ein echter Digitalrechner. Die Möglichen Zustände eines Q-Bits liegen nicht irgendwo zwischen \(\left|0\right>\) und \(\left|1\right>\), sie enthalten beides mit einem bestimmten Gewicht. Beim Auslesen des Q-Bits kommt immer einer der beiden Werte heraus.

Wahrscheinlichkeiten

Nun ist ein Computer, bei dem jedesmal etwas anderes herauskommt, kein besonders nützliches Instrument. Tatsächlich liegt die Stärke des Quantencomputers in etwas anderem, nämlich darin dass Q-Bits auch untereinander verschränkt sein können.

In einem herkömmlichen Computer finden sich Bits zu größeren Einheiten zusammen: Vier Bits sind ein Nibble und können Zahlen von 0 (Binär: 0000) bis 15 (Binär: 1111) dastellen. Acht Bits sind ein Byte (Zahlen von 0 bis 255) und 16 Bit sind ein Word (0 bis 65535). Das geht mit Quantencomputern auch. Um die Übersicht zu behalten, lasse ich es hier bei einem Nibble.

Ein Q-Nibble besteht aus vier Q-Bits. Das erste Q-Bit kann die Zustände \(\left|0\right>_1\) und \(\left|1\right>_1\) annehmen, das zweite \(\left|0\right>_2\) und \(\left|1\right>_2\), das dritte \(\left|0\right>_4\) und \(\left|1\right>_4\) und das vierte  \(\left|0\right>_8\) und \(\left|1\right>_8\). Wie Sie vielleicht schon bemerkt haben, schreibe ich hinter jedem Q-Bit-Zustand als kleine, tiefgestellte Zahl seine Wertigkeit. Wie bei gewöhnlichen binären Zahlen soll das erste Q-Bit die Wertigkeit 1 haben, das zweite 2, das dritte 4 und das vierte 8. Mit Hilfe dieser Wertigkeiten und der Schreibweise, bei der die höchste Wertigkeit zuerst kommt lässt sich die Zahl 4 Binär als 0100 schreiben, die Zahl 9 als 1001 \(\left(1\cdot8+0\cdot4+0\cdot2+1\cdot1\right)\) und die Zahl 15 als 1111.

Analog stellt das Q-Nibble  \(\left|1\right>_8\left|0\right>_4\left|0\right>_2\left|1\right>_1\) die Zahl 9 dar und \(\left|0\right>_8\left|0\right>_4\left|1\right>_2\left|0\right>_1\) die Zahl 2. Lassen Sie mich das ein Wenig abkürzen. Ich schreibe nun \(\left|1001\right>\) für die 9 und \(\left|0010\right>\) für die 2. Wie bereits oben beschrieben kann sich ein Q-Bit, das zu einem Q-Nibble gehört. in einem Überlagerungszustand befinden. Befindet sich zum Beispiel das 2-wertige Q-Bit in der oben beschriebenen Überlagerung, während die anderen Q-Bits alle im Zustand \(\left|0\right>\) sind, so bekommen wir das Q-Nibble \(a\cdot\left|0000\right>+b\cdot\left|0010\right>\).

Das Q-Nibble \(\frac{1}{2}\cdot\left(\left|0000\right>+\left|0001\right>+\left|0010\right>+\left|0011\right>\right)\) beschreibt einen Gesamtzustand, in dem jeweils das 2-wertige und das 1-wertige Q-Bit unabhängig voneinander mit 50% Wahrscheinlichkeit im Zustand \(\left|0\right>\) oder \(\left|1\right>\) sind. Es handelt sich außerdem um einen Zustand, der die Zahlen 0, 1, 2 und 3 mit jeweils gleichem Anteil repräsentiert. Dies ist nicht das einzige Q-Nibble, das die genannten Eigenschaften hat. \(\frac{1}{2}\cdot\left(\left|0000\right>-\left|0001\right>+\left|0010\right>-\left|0011\right>\right)\) ist ein anderes Q-Nibble, bei dem 1-wertiges und 2-wertiges Q-Bit unabhängig voneinander mit 50% Wahrscheinlichkeit besetzt sind, und das die Zahlen 0, 1, 2 und 3 mit gleicher Mächtigkeit repräsentiert. Mit komplexen Faktoren lassen sich noch mehr solcher Zustände angeben.

Es gibt also mehrere Q-Nibble, die dieselben Wahrscheinlichkeiten ergeben, einzelne Q-Bits in einem bestimmten Zustand anzutreffen. Sie unterscheiden sich in den Ergebnissen quanten-logischer Operationen. Eine Operation, die in einem Fall die Wahrscheinlichkeit für alle Q-Bits im gleichen Sinne verändert, ändert sie im anderen Fall entgegengesetzt. Auch wenn die Wahrscheinlichkeiten der Q-Bits in dieser Klasse von Q-Nibbles unabhängig voneinander sind, sind sie durch eine sogenannte Phase mit einander verbunden. In den obigen Beispielen zeigt sich die Phase im Vorzeichen.

Verschränkungen

Q-Nibbles, bei denen die einzelnen Q-Bits unabhängige Zustands-Wahrscheinlichkeiten haben, sind sehr spezielle Fälle. Im allgemeinen sind sie nicht unabhängig. Folgendes Q-Nibble stellt zum Beispiel mit 50% Wahrscheinlichkeit je die Zahl 0 und 15 dar: \(\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot\left(\left|0000\right>+\left|1111\right>\right)\) Hier ist kein Q-Bit von dem anderen unabhängig. Sie sind bei einer Messung entweder alle im Zustand \(\left|0\right>\) oder alle im Zustand \(\left|1\right>\). Das ist eine strenge Korrelation. Wir nennen es auch eine Verschränkung der Q-Bits.

Auch dieses Beispiel zeigt, dass ein Quantencomputer nichts mit einem Analogrechner gemein hat. Die Zahl, die dieses Q-Nibble darstellt liegt nicht irgendwo zwischen 15 und 0. Das Q-Nibble enthält die Zahlen 0 und 15 je mit halbem Gewicht ohne irgendeine Zahl dazwischen zu repräsentieren.

In folgendem Q-Nibble sind die drei höherwertigen Q-Bits miteinander streng korreliert, das 1-wertige dagegen ist unabhängig von den Übrigen mit je 50% Wahrscheinlichkeit \(\left|0\right>\) oder \(\left|1\right>\): \(\frac{1}{2}\cdot\left(\left|0000\right>+\left|0001\right>+\left|1110\right>+\left|1111\right>\right)\). Es handelt sich um eine gleichzeitige Repräsentation der Zahlen 0, 1, 14 und 15.

Alles zugleich rechnen

Die Fähigkeit, viele oder gar alle möglichen Zahlen zugleich in einem Rechenschritt zu bearbeiten ist die Stärke aber zugleich auch ein Problem von Quantencomputern. Schließlich wollen Sie am Ende des Programmlaufs auch ein Ergebnis herausbekommen.

Das Auslesen eines Q-Nibbles geschieht in der Regel klassisch. Es handelt sich um einen Messprozess, bei dem die Wellenfunktion zerfällt und eine der repräsentierten Zahlen herauskommt. Lesen wir das zuletzt dargestellte Q-Nibble aus, so bekommen wir entweder eine 0 oder eine 1 oder eine 14 oder eine 15 heraus. Die einzelne Messung gibt weder Aufschluss über die Wahrscheinlichkeiten noch über die Phasen oder die Verschränkungen. Das Ergebnis lautet zum Beispiel einfach 14.

Quantencomputer sind effektive Parallelrechner. Wir können einfach zwei Q-Nibbles mit jeweils einer Hand voll unterschiedlicher Zahlen laden und dann Rechenoperationen an ihnen durchführen. Diese Rechenoperationen geschehen dann parallel an allen möglichen Kombinationen dieser Zahlen. Nur darf man nicht allzu naiv an die Rechnung herangehen: wenn wir am Ende eine Überlagerung aller möglichen Ergebnisse haben und diese auslesen ist nichts gewonnen. Wir bekommen nur eines von vielen Ergebnissen und wissen nicht einmal aus welchen Eingangswerten dieses Ergebnis herausgekommen ist.

Quanten-Algorithmen

Um diese Schwierigkeit zu umgehen, müssen für Quantencomputer spezialisierte Programmabläufe2 entwickelt werden. Der Ausleseprozess ist immer dann kein Problem, wenn am Ende des Programmlaufes entweder ein eindeutiges Q-Nibble wie \(\left|1001\right>\) steht oder wenn es sich um eine Überlagerung aus Zuständen handelt, von denen wir nur irgendeinen als Ergebnis brauchen. Im ersten Fall bekommen wir bei der Messung mit Sicherheit das richtige Ergebnis im anderen erhalten wir ein richtiges Ergebnis, erfahren aber nicht ob und wie viele andere es noch gibt.

Ein Programm für einen Quantencomputer ist eine Art Filter, in den eine Überlagerung vieler Zahlen hineingesteckt wird aber nur eine Antwort herauskommt. Ein gutes Beispiel ist der Shor-Algorithmus, der nach einem Teiler einer Zahl sucht und so die rechenaufwendige Faktorisierung großer Zahlen ermöglicht. Der Quantencomputer probiert hier zugleich alle möglichen Zahlen aus und filtert mit großer Wahrscheinlichkeit genau das richtige Ergebnis heraus, das dann in einem Messprozess gewonnen und mit einem herkömmlichen Rechner überprüft werden kann.

In mathematischen Suchaufgaben, wo die Nadel aus dem Heuhaufen herausgefiltert werden soll, sind Quantencomputer gewöhnlichen Computern haushoch überlegen. Für die meisten Aufgaben, wie Textverarbeitung und Anwendung von Grundrechenarten oder schnelle Grafikausgabe ergibt das Prinzip der Quantencomputer dagegen keinen Vorteil. Hier wollen wir auf eine eindeutige Frage eine eindeutige Antwort. Das ist das Regime gewöhnlicher binärer oder – in Einzelfällen – analoger Rechner.

Weil Quantencomputer so spezialisiert sind, werden sie nie die konventionellen Computer ersetzen. Sie werden aber nützliche Ergänzungen zur Computertechnologie sein, sobald kompakte und zuverlässige Systeme zur Verfügung stehen. Bis dahin ist es noch ein weiter Weg, denn die technische Realisierung von Q-Bits, -Bytes und -Words ist eine große Herausforderung, auf die ich hier nicht eingehen möchte.